人教A版(2019)必修第一册第4章 4.1 第2课时 指数幂及运算 学案
高中数学人教A版(2019)必修第一册第四章4.2《指数函数 》教 案
《指数函数及其性质》教材分析本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想（指数幂运算律的推广）、类比的思想、逼近的思想（有理数指数幂逼近无理数指数幂）、数形结合的思想（用指数函数的图像研究指数函数的性质）等，同时，编写时充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值．根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情景，为学生的数学探究与数学思维提供支持．教学目标1．理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图像，掌握指数函数的性质．2．采用具体到一般、数形结合的思想方法，体会研究具体函数的性质．3．使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实其他学科的联系；感受探究未知世界的乐趣，从而培养学生对数学的热爱情感．教学重难点【教学重点】掌握指数函数的概念和性质．【教学难点】用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质．课前准备引导学生通过实际问题了解指数函数的实际背景，通过本节课导学案的使用和预习，初步理解指数函数的概念和意义，根据图像理解指数函数的性质，带着问题学习．教学过程（一）创设情景，揭示课题1．对任意实数x，3x的值存在吗？（-3）x的值存在吗？1x的值存在吗？2．y=3x是函数吗？若是，这是什么类型的函数？3．（备选引例）（1）思考1：用清水漂洗含1个质量单位污垢的衣服，若每次能洗去残留污垢的，则漂洗x次后，衣服上的残留污垢y与x的函数关系是什么？（2）（合作讨论）人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛增加，已引起全世界关注．世界人口2000年大约是60亿，而且以每年1．3%的增长率增长，按照这种增长速度，到2050年世界人口将达到100多亿，大有“人口爆炸”的趋势．为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的7月11日定为“世界人口日”，呼吁各国要控制人口增长．○1按照上述材料中的1．3%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？○2到2050年我国的人口将达到多少？○3你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？（3）上一节中GDP问题中时间x与GDP值y的对应关系y=1．073x（x∈N*，x≤20）能否构成函数？（4）一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84%，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？提出问题：上面的几个函数有什么共同特征？（二）研探新知1．指数函数的概念一般地，函数(0,1)xy a a a =>≠且叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：○1 指数函数的定义是一个形式定义，要引导学生辨析； ○2 注意指数函数的底数的取值范围，引导学生分析底数为什么不能是负数、零和1． 巩固练习：利用指数函数的定义解决．（教材P 68例2．3）2．指数函数的图像和性质问题：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？ 研究方法：画出函数的图像，结合图像研究函数的性质．研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． 探索研究：思考1：在同一坐标系中画出下列函数的图像： （1）1()3x y =（2）1()2x y =（3）2xy =（4）3xy =（5）5xy =思考2：从画出的图像中你能发现函数2xy =的图像和函数1()2x y =的图像有什么关系？可否利用2xy =的图像画出1()2x y =的图像？思考3：从画出的图像（2x y =、3x y =和5xy =）中，你能发现函数的图像与其底数之间有什么样的规律？思考4：你能根据指数函数的图像的特征归纳出指数函数的性质吗？思考5：利用函数的单调性，结合图像还可以看出：（1）在[a ，b ]上，()(01)xf x a a a =>≠且值域是[(),()]f a f b 或[(),()]f b f a ；（2）若0x ≠，则()1f x ≠；()f x 取遍所有正数当且仅当x R ∈；（3）对于指数函数()(01)xf x a a a =>≠且，总有(1)f a =； （三）例题讲解例1．判断下列函数是否为指数函数？321(1)(2)(1)(3)2x x y x y a y +==+=2(4)5(5)3(6)41x xx y y y -===+问题：你能根据本例说出确定一个指数函数需要几个条件吗？ 例2．已知函数f （x ）＝a x （a ＞0，a ≠1）的图像过点（3， π），求f （0）， f （1）， f（-3）的值．问题：你能根据本例说明怎样利用指数函数的性质判断两个幂的大小？ 说明：规范利用指数函数的性质判断两个幂的大小方法、步骤与格式． （四）课堂练习教材对应习题． （五）课堂小结本节主要学习了指数函数的图像，及利用图像研究函数性质的方法． （六） 布置作业 教材对应习题． 教学反思略．。
高中数学第四章指数函数与对数函数指数函数第2课时指数函数及其性质的应用学案新人教A版必修第一册
第2课时 指数函数及其性质的应用课程标准(1)掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断．(2)能借助指数函数图象及单调性比较大小．(3)会解简单的指数方程、不等式．(4)会判断指数型函数的奇偶性．新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点一 比较大小❶1．对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的________来判断；2．对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的______的变化规律来判断；3．对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过______来判断．要点二 解指数方程、不等式(1)形如a f(x)＞a g(x)的不等式，可借助y＝a x的________求解❷；(2)形如a f(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝a x的_ _______求解；(3)形如a x＞b x的不等式，可借助两函数y＝a x，y＝b x的图象求解．要点三 指数型函数的单调性❸一般地，有形如y＝a f(x)(a>0，且a≠1)函数的性质(1)函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)有________的定义域．(2)当a>1时，函数y＝a f(x)与y＝f(x)具有________的单调性；当0<a<1时，函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)的单调性________．助学批注批注❶ 注意区别指数函数与幂函数的比较大小．批注❷ 如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况进行讨论．批注❸ 与复合函数的单调性“同增异减”一致，即内外两个函数单调性相同，则复合函数为增函数；内外两个函数单调性相反，则复合函数为减函数．基础自测1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若0.3a>0.3b，则a>b.( )(2)函数y＝3x2在[0，＋∞)上为增函数．( )(3)函数y＝21x在其定义域上为减函数．( )(4)若a m>1，则m>0.( )2．设a＝1.20.2，b＝0.91.2，c＝0.3－0.2，则a，b，c大小关系为( ) A.a>b>c B．a>c>bC．c>a>b D．c>b>a3．已知2m>2n>1，则下列不等式成立的是( )A．m>n>0B．n<m<0C．m<n<0D．n>m>04．函数f(x)＝2|x|的递增区间是________．题型探究·课堂解透——强化创新性题型 1 利用指数函数的单调性比较大小例1 若a＝(12)32，b＝(34)14，c＝(34)34，则a，b，c的大小关系是( ) A．a>b>c B．b>a>cC．b>c>a D．c>b>a方法归纳底数与指数都不同的两个数比较大小的策略巩固训练1 下列选项正确的是( )A.0.62.5>0.63B.1.7−13<1.7−12C.1.11.5<0.72.1D.212>313题型 2 解简单的指数不等式例2 (1)不等式3x －2＞1的解集为________．(2)若a x ＋1＞(1a )5−3x(a ＞0且a ≠1)，求x 的取值范围．方法归纳利用指数函数单调性解不等式的步骤巩固训练2 已知集合M ＝{－1，1}，N ＝{x |12<2x ＋1<4，x ∈Z }，则M ∩▒N ＝ ()A ．{－1，1}B ．{－1}C ．{0}D ．{－1，0}题型 3 指数型函数的单调性例3 求函数f (x )＝(13)x 2－2x 的单调区间．方法归纳指数型函数单调区间的求解步骤巩固训练3 函数f (x )＝2x2－1的单调减区间为________.题型 4 指数函数性质的综合问题例4 已知函数f (x )＝e x －mex 是定义在R 上的奇函数．(1)求实数m 的值；(2)用单调性定义证明函数f (x )是R 上的增函数；(3)若函数f (x )满足f (t －3)＋f (2t 2)<0，求实数t 的取值范围．方法归纳有关指数函数性质的综合问题的求解策略是奇函数．巩固训练4 已知函数f(x)＝2x−a2x+a(1)求实数a的值；(2)求f(x)的值域．第2课时 指数函数及其性质的应用新知初探·课前预习[教材要点]要点一单调性 图象 中间值要点二单调性 单调性要点三相同 相同 相反[基础自测]1．答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×2．解析：∵a＝1.20.2>1.20＝1，b＝0.91.2<0.90＝1，∴b<a，又y＝x0.2在(0，＋∞)上单调递增，∴1<a＝1.20.2<0.3－0.2＝(103)0.2，∴b<a<c.答案：C3．解析：因为2m>2n>1，所以2m>2n>20；又函数y＝2x是R上的增函数，所以m>n>0.答案：A4．解析：因为f(x)＝2|x|＝{2x，x>0(12)x，x≤0，故函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)题型探究·课堂解透例1 解析：因为b＝(34)14，c＝(34)34，函数y＝(34)x在R上单调递减，所以(34)14>(34)34，即b>c；又a＝(12)32＝(14)34，c＝(34)34，函数y＝x34在(0，＋∞)上单调递增，所以(14)34<(34)34，即a<c，所以b>c>a.答案：C巩固训练1 解析：对于A：y＝0.6x在定义域R上单调递减，所以0.62.5>0.63，故A正确；对于B：y＝1.7x在定义域R上单调递增，所以1.7−13>1.7−12，故B错误；对于C：因为1.11.5>1.10＝1，0<0.72.1<0.70＝1，所以1.11.5>0.72.1，故C错误；对于D：因为¿)6＝23＝8，¿)6＝32＝9，即(212)6<¿)6，所以212<313，故D错误．答案：A例2 解析：(1)3x－2＞1⇒3x－2＞30⇒x－2＞0⇒x＞2，所以解集为(2，＋∞)．(2)因为a x＋1＞(1a)5−3x，所以当a＞1时，y＝a x为增函数，可得x＋1＞3x－5，所以x＜3.当0＜a＜1时，y＝a x为减函数，可得x＋1＜3x－5，所以x＞3.综上，当a＞1时，x的取值范围为(－∞，3)，当0＜a＜1时，x的取值范围为(3，＋∞)．答案：(1)(2，＋∞) (2)见解析巩固训练2 解析：∵12＜2x＋1＜4，∴2－1＜2x＋1＜22，∴－1＜x＋1＜2，∴－2＜x＜1.又∵x∈Z，∴x＝0或x＝－1，即N＝{0，－1}，∴M∩N＝{－1}．答案：B例3 解析：令u＝x2－2x，则原函数变为y＝(1 3 )u.∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，又∵y＝( 13)u在(－∞，＋∞)上单调递减，∴y＝(13)x2－2x单调递增区间是(－∞，1)，单调递减区间是[1，＋∞)．巩固训练3 解析：令t＝x2，则y＝2t－1为增函数，当x∈(－∞，0)时，t＝x2为减函数，所以f(x)＝2x2－1在x∈(－∞，0)上是减函数．答案：(－∞，0)例4 解析：(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，得m＝1；(2)设x1，x2∈R，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝e x1−1e x1−e x2+1e x2＝(e x1−e x2)¿)∵x1<x2，∴0<e x1<e x2，因此f(x1)<f(x2)，即f(x)是R上的增函数；(3)∵f(x)是奇函数，∴f(2t2)<－f(t－3)＝f(3－t)，又f(x)在R上为增函数，∴2t2<3－t，解得－32<t<1.巩固训练4 解析：(1)因为f(x)＝2x−a2x+a，f(－x)＝2−x−a2−x+a ＝1−a·2x 1+a·2x由f(－x)＝－f(x)，可得1−a·2x1+a·2x ＝－2x−a2x+a，(1－a·2x)(2x＋a)＝(1＋a·2x)(a－2x)，2x－a·2x·2x＋a－a2·2x＝a＋a2·2x－2x－a·2x·2x，整理得2x(a2－1)＝0，于是a2－1＝0，a＝±1.当a＝1时，f(x)定义域为R，f(x)是奇函数．当a＝－1时，f(x)定义域为{x|x≠0}，f(x)是奇函数．因此a＝±1.(2)当a＝1时，f(x)＝1－22x+1，定义域为R，所以2x>0，于是2x＋1>1，0<22x+1<2，因此－1<1－22x+1<1，故f(x)的值域为(－1，1)．当a＝－1时，f(x)＝1＋22x−1，定义域为{x|x≠0}，所以2x>0，且2x≠1，于是2x－1>－1，且2x－1≠0，所以22x−1<－2，或22x−1>0.因此1＋22x−1<－1或1＋22x−1>1，故f(x)的值域为(－∞，－1)∪(1，+∞)．。
高中数学必修第一册人教A版(2019)第四章 《指数函数与对数函数》本章教材分析
《指数函数与对数函数》本章教材分析一、本章知能对标二、本章教学规划本章在研究指数幂和对数的基础上,以研究函数概念与性质的一般方法为指导,借鉴研究幂函数的过程与方法,学习指数函数和对数函数,帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究它们的性质,理解这两类函数中蕴含的变化规律；运用函数思想和方法,探索用二分法求方程的近似解；通过建立指数函数、对数函数模型解决简单的实际问题,体会指数函数、对数函数在解决实际问题中的作用,从而进一步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具,提升数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象和逻辑推理等数学核心素养.三、本章教学目标1.指数函数:通过了解指数的拓展过程,让学生掌握指数幂的运算性质；了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.能借助描点法、信息技术画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.2.对数函数:通过具体事例,让学生理解对数的概念和运算性质,掌握换底公式；了解对数函数的概念,能画对数函数的图象,了解对数函数的单调性与特殊点；知道对数函数y=log a x与指数函数y=a x互为反函数(a>0,且a≠1).3.二分法与求方程近似解:结合指数函数和对数函数的图象,让学生了解函数的零点与方程解的关系、函数零点存在定理,探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图,能借助计算工具用二分法求方程近似解,了解用二分法求方程近似解具有一般性.4.函数与数学模型:利用计算工具,比较对数函数、线性函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.四、本章教学重点难点重点:实数指数幂及其运算,对数及其运算,指数函数和对数函数的概念、图象、性质及其应用. 难点:抽象概括指数函数和对数函数的概念及性质.五、课时安排建议本章教学约需11课时,具体安排如下:六、本章教学建议1.注重引导学生按研究函数的基本思路展开研究本章教学要注重让学生再次经历研究函数的基本过程:背景—概念—图象和性质—应用.要注意引导学生通过计算分析具体实例的数据中蕴含的变化规律抽象形成相应的函数概念,利用教科书中的问题引导学生思考和总结.2.用函数的观点联系相关内容,培养学生的数学整体观本章的核心内容是指数函数和对数函数,全章都应该围绕核心内容展开教学,以更好地帮助学生形成函数观点和思想方法.指数幂的运算、对数的概念及其运算性质和公式、指数和对数的关系,是学习指数函数、对数函数必备的基础,运用这些运算性质,通过运算,解决具体的问题教学中要从整体上把握上述运算性质、函数概念、图象、性质以及应用的关系.3.加强“形”与“数”的融合,循序渐进地研究指数函数和对数函数为了能选择合适的函数类型构建数学模型,刻画现实问题的变化规律,教学时可以依据教科书,从两个方面帮助学生体会不同函数模型增长的差异:一是通过观察函数图象,利用图象直观比较指数函数与线性函数、对数函数与线性函数增长速度的差异；二是通过教科书中的实例,结合具体问题情境理解不同函数增长的差异,教学的关键是从局部到整体,从不同角度观察、比较不同函数图象增长变化的差异,从而直观体会直线的增长、指数爆炸、对数增长的含义4.加强背景和应用,发展学生数学建模素养数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.教学中,应注意参考教科书,结合这些素材,引导学生从数学的视角发现问题、提出问题,构建指数函数和对数函数模型,确定模型中的参数,计算求解,检验结果,改进模型,最终解决问题,让学生体会数学的来源与应用,丰富学生对数学的认识,提升数学建模素养.5.注重借助信息技术工具研究指数函数和对数函数在不同函数增长差异的教学中,利用信息技术可以作出函数在两个不同范围的图象,帮助学生从不同角度观察到不同函数增长的差异.6.注意通过无理数指数幂的教学渗透极限思想教科书通过“用有理数指数幂逼近无理数指数幂”的思想方法引入无理数指数幂.教学中,可以类比初中用有理数逼近无理数,让学生充分经历从“过剩近似值”和“不足近似值”两个方向,用有理数指数幂逼近无理数指数幂的过程；通过在数轴上表示这些“过剩近似值”和“不足近似值”的对应点,发现这些点逼近一个确定的点,其对应的数就是这个无理数指数幂.这样从“数”与“形”的两个角度,加强了逼近和极限思想的渗透,有助于学生从中初步体会这一重要思想.。
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质(教案) 高中数学人教A版(2019)必修第一册
第四章 指数函数与对数函数4.1指数4.1.2 无理数指数幂及其运算性质教学设计一、教学目标1．理解无理数指数幂的含义，掌握其运算性质．2．掌握无理数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．二、教学重难点教学重点无理数指数幂的概念及其运算性质教学难点无理数指数幂的运算三、教学过程（一）新课导入在初中的学习中，我们通过有理数认识了一些无理数.类似地，也可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂.（二）探索新知探究一:无理数指数幂的运算性质学习课本探究部分，明白无理数指数幂是一个确定的实数.无理数指数幂的概念：一般地，无理数指数幂a α（a >0，α为无理数）是一个确定的实数，这样，我们就将指数幂a α（α>0）中指数的取值范围从整数逐步拓展到了实数，实数指数幂是一个确定的实数.无理数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数r ，s ，均有下面的运算性质.(1)(0,,)r s r s a a a a r s +=>∈R(2)()(0,,)sr rs a a a r s =>∈R (3)()(0,0,)r r r ab a b a b r =>>∈R（三）课堂练习1.化简1327125-⎛⎫ ⎪⎝⎭的结果是( ) A.35 B.53 C.3 D.5 答案：B 解析：11313327335125553---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.故选B. 2.若ab =a b +=( )A.1B.5C.-1D.2π5- 答案：A解析：3π|2π|3ππ21a b +==-+-=-+-=，故选A.3.若35n m b -=（m , *n ∈N ），则b =( ) A.35nm - B.35n m- C.35nm D.35mn答案：B解析：35n m b -=，()()131335n n m n b---∴=，即35m n b -=.故选B.4.化简： （1）1112121336325346a b a b a b ----⎛⎫⎛⎫⨯-÷= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______； （2=______.答案：（1）1654b - （2）1解析：（1）原式11111113113113632633262255532644a b a b a b a b b ------+--⎛⎫=⨯-÷=-=- ⎪⎝⎭. （20a >，所以原式1a a ===÷=.四、小结作业小结：本节课我们主要学习了哪些内容？1.无理数指数幂的运算性质：(1)(0,,)r s r s a a a a r s +=>∈R(2)()(0,,)sr rs a a a r s =>∈R （3）()(0,0,)r r r ab a b a b r =>>∈R五、板书设计4.1.2无理数指数幂及其运算性质无理数指数幂的运算性质：(1)(0,,)r s r s a a a a r s +=>∈R(2)()(0,,)sr rs a a a r s =>∈R （3）()(0,0,)r r r ab a b a b r =>>∈R。
人教A版(2019)高中数学必修第一册第四章-4.1.1n次方根与分数指数幂教案
《4.1.1 n 次方根与分数指数幂》教学设计教材内容：n 次方根与分数指数幂这一节的内容是在初中学习过平方、立方以及平方根等的基础上，对以上内容的进一步深入学习。
本节内容将整数的指数推广到分数的指数，体现了数学中由一般到特殊的数学思想。
同时，本节作为本章的起始课，对于后续内容的学习有着奠定基础的作用。
教学目标：1.理解n 次方根与根式的概念，达到数学抽象核心素养水平一的要求.2.掌握分数指数幂和根式之间的互化，达到逻辑推理核心素养水平一的要求.3. 掌握分数指数幂的运算性质，达到数学运算核心素养水平一的要求.教学重点与难点：1、教学重点：根式、分数指数幂概念的理解;掌握并运用分数指数幂的运算性质.2、教学难点：有理数指数幂运算性质的应用.教学过程（一）新课导入让我们回顾一下初中学过的知识，什么是平方根?什么是立方根?一个数的平方根有几个?立方根呢?教师引导学生回答并归纳：若x 2=a ，则x 叫作a 的平方根.同理，若x 3=a ，则x 叫作a 的立方根.（二）探索新知探究一: n 次方根的概念我们类比平方根和立方根的概念，可以归纳出n 次方根的概念：一般的，如果x n =a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ﹥1，且n *N .教师提问，n 的取值会影响n 次方根的值吗?学生讨论，自行归纳出结果：当n 为偶数时，正数a 的n 次方根中，正的n 负的n 次方根用当n 为奇数时，a 的n.n 叫做根指数，a 叫做被开方数.探究二：正数的分数指数幂的意义大家观察以下式子，能否总结出一些规律?1025a a =（a ﹥0）,842a a =（a ﹥0）,1234a a =（a ﹥0）. 学生讨论.教师引导学生总结:“当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数作为指数的形式（分数指数幂的形式）”，大家联想：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式?23a （a ﹥0）, 12b （b ﹥0）,54a （c ﹥0）由此得出结论:mn a （a ﹥0，*,,m n N n ∈﹥1）.正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定：1=mn mn a a -=（a ﹥0，*,,m n N n ∈﹥1）. 注意：0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.探究三：正数的分数指数幂的运算类比平方根，立方根，猜想：当n 为偶数时，一个数的n 次方根有多少个? 当n 为奇数时呢?学生类比初中学过的知识讨论总结:a为正数时，{n a n n a n 为奇数时，的为偶数时，的a 为负数时， ;.n n a n a n a n 为奇数时，的次方根有一个，为为偶数时，的次方根不存在 0的n 次方根为000n =.例：16的四次方根为±2，-27的五次方根为-3，-27的四次方根不存在.教师总结：一个数到底有没有n 次方根，有几个n 次方根，首先要考虑被开方数的正负，，还要分清n 为奇数还是偶数两种情况根据n 次方根的意义可得n n a a =，一定成立. n n a na 的n n n a a =一定成立吗?如果不一定成n n a ?333(3)273-=-=-， 44(8)88-=-=.教师引导学生讨论并总结: n n n a a =；n {,0;,<0.n n a a a a a a ≥-==探究四：有理指数幂的运算由于整数指数幂、分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数运算幂的性质可以推广到有理指数幂，即： 1(>0,,);2()(>0,,);3()(>0,>0,).r s r s r s rs r r r a a a a r s Q a a a r s Q ab a b a b r Q +=∈=∈=∈（）（）（）（三）课堂练习1.求下列各式的值： 338（-） 210（-） 44π（3-）2.求值（1）2 3 8(2)34 16 () 81-3.用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a﹥0）.（1）2a（2（四）小结作业小结：本节课我们主要学习了哪些内容?1.掌握n次方根的概念；2.掌握两个公式；3.根式与指数幂的形式互化；4.有理指数幂的运算性质.四、板书设计1. n次方根与根式的概念；2.掌握两个公式；3.根式与指数幂的形式互化；4.有理指数幂的运算性质.。
人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第4章 指数函数与对数函数 4.2 指数函数
1.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.
2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象,探索并理解指数
函数的单调性与特殊点.
3.能够应用指数函数的图象及性质解决问题.
目 录 索 引
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
基础落实·必备知识全过关
当x值趋近于负无穷大时,函数值趋
负无穷大时,函数值趋近
近于0
于正无穷大
过关自诊
1.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么?具体变化特
征是什么?
提示 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a>1时,
图象具有上升趋势,当x>0时,底数a的值越大,函数图象“越陡”,函数值增长
解 由 y=(a2-3a+3)ax 是指数函数,可得
= 1,或 = 2,
解得
故 a=2.
> 0,且 ≠ 1,
2 -3 + 3 = 1,
> 0,且 ≠ 1,
规律方法
指数函数是一个形式定义,其特征如下:
变式训练1 下列以x为自变量的函数中,是指数函数的为( A )
A.y=(π-1)x
的个数是( A )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 指数函数是形如y=ax(a>0,且a≠1)的函数,故只有③y=2x是指数函数,
①为幂函数,②④⑤都称为指数型函数,所以正确选项为A.
1 2 3 4 5 6
2.函数y=2-x的大致图象是( B )
解析 y=2 =
人教A版高中数学必修第一册 同步学案4-1-2 第2课时指数幂及其运算
第2课时指数幂及其运算1．学会根式与分数指数幂之间的相互转化．2．掌握用有理数指数幂的运算性质化简求值．3．了解无理数指数幂的意义．1．分数指数幂的意义温馨提示：(1)分数指数幂a mn不可以理解为mn个a相乘．(2)对于正分数指数幂,规定其底数是正数．2．有理数指数幂的运算性质(1)a r a s＝a r＋s(a>0,r,s∈Q)；(2)(a r)s＝a rs(a>0,r,s∈Q)；(3)(ab)r＝a r b r(a>0,b>0,r∈Q)．3．无理数指数幂一般地,无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．温馨提示：(1)对于无理指数幂,只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的结果．(2)a－b＝1a b(a>0,b是正无理数)．(3)定义了无理数指数幂后,幂的指数由原来的有理数范围扩充到了实数范围．[答案] 成立2．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)只要根式有意义,都能化成分数指数幂的形式．( )(2)分数指数幂a mn可以理解为mn个a相乘．( )(3)0的任何指数幂都等于0.( )(4)[(a－b)2] 12＝a－b.( )[答案] (1)√(2)×(3)×(4)×题型一根式与分数指数幂的互化【典例1】用分数指数幂的形式表示下列各式(式中字母都是正数)：(1)13a2；(2)a3·3a2；(3)3b－a2.根式与分数指数幂互化的规律(2)在具体计算时,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算性质解题．[针对训练]1．用分数指数幂表示下列各式：题型二指数幂的运算【典例2】计算：[思路导引] 利用指数幂的运算性质化简求值．利用指数幂的运算性质化简求值的方法(1)进行指数幂的运算时,一般化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数,同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时,若能明确被开方数的符号,则可以对根式进行化简运算．[针对训练]2．计算：题型三条件求值问题[变式] (1)若本例条件不变,则a2－a－2＝________.[答案] (1)±3 5 (2)－33解决条件求值问题的一般方法——整体代入法对于条件求值问题,一般先化简代数式,再将字母取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出,这时可将所求代数式恰当地变形,构造出与已知条件相同或相似的结构,从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(a>0,b>0)：课堂归纳小结1．指数幂的一般运算步骤一定要遵循去括号,负数指数幂化为正数指数幂,及底数是负数、小数、带分数的转化方法．2．根式一般先转化成分数指数幂,然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算,在将根式化为分数指数幂的过程中,一般采用由内到外逐层变换为指数的方法,然后运用运算性质准确求解．3．对于含有字母的化简求值,结果一般用分数指数幂的形式表示.1.3a ·6－a 等于( ) A ．－－a B ．－ a C.－aD. a[答案] A2.⎝ ⎛⎭⎪⎫1681 －14 的值是( ) A.23 B.32 C.481D ．－814[解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－14 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫234－14 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－1＝32.[答案] B[答案] A 4．化简(3＋2)2018·(3－2)2019＝________.[解析] (3＋2)2018·(3－2)2019＝[(3＋2)(3－2)]2018·(3－2)＝12018·(3－2)＝3－ 2. [答案]3－ 25．计算或化简下列各式： (1)(a ＋1)2(a －1)2(a －1)－2；课后作业(二十六)复习巩固[答案] B2．下列各式成立的是( )[解析] 被开方数是和的形式,运算错误,A 选项错；⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝b 2a 2,B 选项错；6(－3)2>0,(－3) 13 <0,C 选项错,故选D.[答案] D3．若a<12,则化简4(2a －1)2的结果是( )A.2a －1 B ．－2a －1 C.1－2aD ．－1－2a[解析] ∵a<12,∴2a －1<0,∴(2a －1)2＝1－2a,∴4(2a －1)2＝1－2a. [答案] C[答案] C5．若(1－2x) －34有意义,则x 的取值范围是( ) A ．x ∈R B ．x ∈R 且x ≠12C ．x>12D ．x<12[解析] ∵(1－2x) －34＝14(1－2x )3,∴1－2x>0,得x<12.[答案] D[答案]5[答案] －23[答案] 22 9三、解答题9．计算下列各式的值：10．(1)已知x ＝12,y ＝23,求x ＋y x －y －x －yx ＋y 的值；(2)已知x －3＋1＝a(a 为常数),求a 2－2ax －3＋x －6的值． [解] (1)x ＋y x －y －x －yx ＋y ＝(x ＋y )2x －y －(x －y )2x －y ＝4xyx －y .将x ＝12,y ＝23代入上式得原式＝412×2312－23＝413－16＝－2413＝－8 3. (2)∵x －3＋1＝a,∴x －3＝a －1. 又∵x －6＝(x －3)2,∴x －6＝(a －1)2. ∴a 2－2ax －3＋x －6＝a 2－2a(a －1)＋(a －1)2＝a 2－(2a 2－2a)＋(a 2－2a ＋1)＝1.综合运用11．设a>0,将a2a ·3a2表示成分数指数幂,其结果是( )[答案] C12．设2a ＝5b＝m,且1a ＋1b ＝2,则m 等于( )A.10 B ．10 C ．20D ．100[答案] A13．设α,β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根,则2α·2β＝________,(2α)β＝________.[解析] 利用一元二次方程根与系数的关系,得α＋β＝－2,αβ＝15.即2α·2β＝2α＋β＝2－2＝1 4,(2α)β＝2αβ＝215.[答案]1421514．化简10－43＋22的值为________．[解析] 原式＝10－4(2＋1)＝22－42＋(2)2＝2－ 2[答案] 2－ 2(2)∵a,b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两个实数根,∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，ab ＝4.∵a>b>0,∴a>b,∴a －b a ＋b>0.∵⎝⎛⎭⎪⎫a －b a ＋b 2＝a ＋b －2ab a ＋b ＋2ab ＝6－246＋24＝210＝15, ∴a －b a ＋b＝15＝55.。
《4.2.1指数函数的概念》教学设计教案
究问题的能力以及合作交流等方面的发展不够均衡．
四、教学重难点
重点：指数函数的概念及其应用．
难点：从实际问题中，发现问题变化规律的本质，抽象出指数函数的概念．
五、教学设计
教学环节
环节一
环节目标
自主学习成果
分享
教学活动（师生活动）
媒体作用及设计意图
教师在课前给学生布置自主学习任务.
教师从学生上传的作业中，
（详见课前学习任务单）任务一：探究三
挑出典型错误或优秀答案，在
个不同背景的函数模型.任务二：归纳三个
课堂上进行展示.
函数的共同特征.
学生通过平板上传作业，提交后，即可
将学习任务前置，培养学生
观看答案自己订正.有不能独立解决的问
数函数的教学，体会“背景——概念——图象与性质——应用”的研究具体函数的一般思路．
三、学情分析
从知识方面看，学生已经学习了函数概念及其性质，掌握了一些初等函数的基本性质；并且对于指数幂的运
算，学生已经学习了将指数运算扩充到实数范围内，掌握了基本的指数运算技能．这些都为指数函数的学习奠定
了良好基础．
从能力方面看，学生初步具备了数形结合的思想，初步具备了研究具体函数的一般思路和方法．
达成上述目标的标志是：
①能够结合教科书中问题 1 的游客增长模型和问题 2 的碳 14 衰减模型，通过运算发现其中具体的增长或衰
减的规律，并从中体会实际问题中变量间的关系．在了解指数函数的实际意义的基础上，理解指数函数所刻画
的变化规律，清楚其定义域和底数的取值范围．
②经历由具体实例抽象为具体函数、再由具体函数概括为指数函数的过程，提升数学抽象的素养.并结合指
4.1指数(两个课时)高一数学(人教A版2019必修第一册)
x
5
8
1
3
章节：第四章 指数函数与对数函数
标题：4.1.2无理数指数幂
及其运算性质
课时：1课时
上面，我们将 中的指数的取值范围从整数拓展到了有理数.
那么，指数为无理数时， 的几何意义是什么？
它是一个确定的数吗？如果是，它有什么运算性质？
在初中的学习中，我们通过整数认识有理数，通过有理数认识到一些无理
a b a
1
2
1
2
（3）原式
1
3
m m m
5
6
m m
1
4
1
4
1
4
m
1 1 1 5 1
2 3 4 6 4
1
2
a2
b a
6 1 3 1；
b
a2 b2
1
1
1
1
1
（2）原式 a 2 a 2 a a 4 a 2 a a 4 a
整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理
数, ,均有下面的运算性质.
(1) = + ( > 0, , ∈ );
(2)( ) = ( > 0, , ∈ );
(3)() = ( > 0, > 0, ∈ ).
a
2
3
4
5
【详解】
（1）当 x 0 时， 3 x 2 x ；
（2）当 m n 时， m n 0 ，则 5 m n m n ；
6
2
4.1.2 无理指数幂及其运算性质 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
负.如 (2)2 (2)3 8 ，这样算，对吗？
例题
课本106页
例 3：用分数指数幂的形式表示并计算下列各式：（其
中 a 0 ）：
（1） a2 3 a2 ；
（2） a 3 a .
2
解：（1） a2 3 a2 = a2 a 3
2 2
a 3
8
a3.
（2）
a3 a
1
1 1
aa3 = a 3
5：已知 a 2
1
a2
4
，求下列各式的值：
（1） a a1 ；（2） a2 a2 ；（3） a a1 .
1
解：（1）将 a2
1
a 2
1
4 两边平方得，(a2
a
1 2
)2
16
，
1
展开，得 (a2 )2
1
2a 2
1
a 2
(a
1 2
)2
16,
a 2 a1 16,
a a1 14 . （2）由（1）知 a a1 14 ，两边平方得， (a a1)2 196 ，
展开，得 a2 2a a1 a2 196,
a2 2 a2 196,
a2 a2 194 .
例
1
5：已知 a 2
1
a2
4
，求下列各式的值：
（3） a a1 .
解：由（2）知， a2 a2 194 . (a a1)2 a2 2a a1 a2
a2 a2 2
194 2=192. a a1 R,
9
9
4. 化简： (a2 2 a2 ) (a2 a2 ) . 解： 原式=(a2 2a a1 a2 ) (a a1)(a a1)
人教A版高中同步学案数学精品课件必修第一册精品课件 第4章 指数函数与对数函数 4.1 指数
an =a;当
n 为偶数时, =|a|.
(2)( )n中实数a的取值范围是任意实数吗?
提示 不一定,当n为大于1的奇数时,a∈R;当n为大于1的偶数时,a∈[0,+∞).
知识点二:分数指数幂
1.正数的正分数指数幂的意义:
= (a>0,m,n∈N*,n>1).
16=2,而2 无意义.
a<0 时,两者不相等,如 a=-4
2
2
时,4 =(-4)4
=
知识点三:指数幂的运算性质
对于任意正数a,b和实数r,s,指数幂均满足下面的运算性质:
(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈R);
(2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈R);
(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R).
初等函数,通过这两类重要的基本初等函数的学习,再次理解研究函数的基
本方式,体会用函数模型解决问题的基本思路.
本单元学习指数与指数
函数.为了研究指数函数,首先,
把指数幂运算作了进一步拓
展,将指数幂由整数指数幂推
广到有理数指数幂,再推广到
实数指数幂;其次,根据研究函
数的一般思路“概念—图象—
性质—应用”,对指数函数作了
(3)若 4 + 3 有意义,则实数x的取值范围为
4
[-3,+∞)
解析要使 + 3有意义,则 x 需满足 x+3≥0,即 x∈[-3,+∞).
.
规律方法 根式概念问题应关注的两点
(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数;
2019-2020学年高一数学人教A版(2019)必修第一册教案：4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 Word版含答案
第四章指数函数与对数函数
4.1 指数
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
教学设计
一、教学目标
1.能熟练地进行根式与分数指数幂之间的互化，理解无理数指数幂的概念。
2.掌握无理数指数幂的运算性质。
二、教学重难点
1.教学重点
无理数指数幂及其运算性质
2.教学难点
无理数指数幂的运算
三、教学过程
1.导入新课
前一小节我们将a x(a>0) 中指数x的取值范围从整数拓展到了有理数。
那么，当指数x 是无理数时，a的意义是什么？它是一个确定的数吗？如果是，那么它有什么运算性质？
在初中的学习中，我们通过有理数认识了一些无理数。
类似地，也可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂。
2.探究新知
阅读课本P108探究。
一般地,无理数指数幂(a>0,为无理数)是一个确定的实数。
这样，我们就将指数幂a x (a>0)中指数x的取值范围从整数逐步拓展到了实数。
实数指数幂是一个确定的实数。
整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数r,s,均有下面的运算性
质。
3.课后练习
4.小结作业
小结：本节课学习了无理数指数幂的概念和运算性质。
作业：完成本节课习题。
四、板书设计
4.1.2无理数指数幂及其运算性质。
4.1 指数与指数幂的运算-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册导学案
§4.1 指数与指数幂的运算导学目标:通过对有理数指数幂mna （0a >且1a ≠;,m n 为整数,且0n >）、实数指数幂xa （0a >且1a ≠;x R ∈）含义的认识,了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质、（预习教材P 104~ P 110,回答下列问题）复习:在初中,我们学习了正整数指数幂的意义:一个数a 的n 次幂等于n 个a 的连乘积,即n n a a a a =⋅⋅个、且我们知道,正整数指数幂的运算法则有以下五条: （1）mn m n aa a +=（2）mnm na a a -÷=（3）()nm mn aa =（4）()nn nab a b =（5）nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭问题:在学习幂函数的过程中,我们把正方形场地的边长c 关于面积S 的函数c S =,记作12c S =,这样的以分数为指数的幂,其意义是什么呢?为了回答上述问题,我们需要引入一个新的概念——n 次方根、 我们知道:第四章 指数函数与对数函数- 2 -如果2x a =,那么x 叫做a 的平方根、例如:2±就是4的平方根、 如果3x a =,那么x 叫做a 的平方根、例如:2就是8的立方根、【知识点一】一般地,如果nx a =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中1n >,且n N *∈. （1）当n 是奇数时,正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数,可表示为n a ; （2）当n 是偶数时,正数的n 次方根有两个,这两个数互为相反数.可表示为n a ±（0a >） （3）负数没有偶次方根、（4）0的任何次方根都是0,记作:00n =、即:()()n nnx a n x a x a n ⎧=⎪=⇒⎨=±⎪⎩为奇数为偶数,其中n a 中个部分的名称如下:自我检测1:32的5次方根为 ;32-的5次方根为 ; 16的4次方根为 、思考:以下两个等式()nna a =和n n a a =一定成立吗?请验证?【知识点二】根式的性质 （1）()nna a =;（2）()()()()00n na n a a a a n a a ⎧⎪⎪=>⎧⎨⎪=⎨⎪-<⎪⎪⎩⎩为奇数为偶数、自我检测2:求下列各式的值 （1）()338-= ;（2）()210-= ;（3）()443π-= 、观察下列等式间的互化规律:第四章指数函数与对数函数同样的,无理数指数幂a α( a >0,α是无理数)是一个确定的实数、有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用、题型一 利用根式的性质化简求值 【例1-1】下列各式正确的是（ ）A 88a a =B 、01a =C 44(4)4-=-D 55()ππ-=-【例1-2】化简2(4)ππ-＋＝（ ）A 、4B 、2 4π－C 、2 4π－或4D 、4 2π－题型二 根式与分数指数幂的互化【例2-1】将下列根式化成分数指数幂的形式.（113·a a ( a >0);（2())25230x xx >;第四章 指数函数与对数函数- 6 -（3）23-⎝⎭( b >0).【例2-2】正确的是（ ）A 、43a B 、34aC 、112a D 、14a -题型三 分数指数幂的运算与化简【例3-1】()2531433434a b a b a b -----⎛⎫⎛⎫⋅-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得（ ）A 、232b -B 、232b C 、23bD 、23b -【例3-2】计算下列各式的值:（1）1222301832(9.6)4272-⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;（2）0.752231(0.25)816--⎛⎫+- ⎪⎝⎭;（3）2132723224a a a b b b ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭、1、已知0a >,1132a a a） A 、712aB 、512a第四章 指数函数与对数函数- 8 -C 、56a D 、13a2、化简2115113366221()(3)()3a b a b a b -÷的结果（ ） A 、6a B 、a -C 、9a -D 、29a3、计算211511336622(4)(3)(6)a b a b a b -÷-=（ ）A 、2aB 、2abC 、2a -D 、2ab -)34154mmmm m= ;5、计算下列各式的值:（1）()1620162020449-⎛⎫+--⨯+ ⎪⎝⎭（2）已知14a a-=,求值:①1a a -+;②1122a a -+.§4.1 指数与指数幂的运算（第一课时）答案导学目标:通过对有理数指数幂mna （0a >且1a ≠;,m n 为整数,且0n >）、实数指数幂xa （0a >且1a ≠;x R ∈）含义的认识,了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质、（预习教材P 104~ P 110,回答下列问题）复习:在初中,我们学习了正整数指数幂的意义:一个数a 的n 次幂等于n 个a 的连乘积,即n n a a a a =⋅⋅个、且我们知道,正整数指数幂的运算法则有以下五条: （1）mn m n aa a +=（2）mnm na a a -÷=（3）()nm mn a a =（4）()nn nab a b =第四章 指数函数与对数函数- 10 -（5）nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭问题:在学习幂函数的过程中,我们把正方形场地的边长c 关于面积S 的函数c S =,记作12c S =,这样的以分数为指数的幂,其意义是什么呢?为了回答上述问题,我们需要引入一个新的概念——n 次方根、 我们知道:如果2x a =,那么x 叫做a 的平方根、例如:2±就是4的平方根、 如果3x a =,那么x 叫做a 的平方根、例如:2就是8的立方根、 【知识点一】一般地,如果nx a =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中1n >,且n N *∈. （1）当n 是奇数时,正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数,可表示为n a ; （2）当n 是偶数时,正数的n 次方根有两个,这两个数互为相反数.可表示为n a ±（0a >） （3）负数没有偶次方根、（4）0的任何次方根都是0,记作:00n =、即:()()n nnx a n x a x a n ⎧=⎪=⇒⎨=±⎪⎩为奇数为偶数,其中n a 中个部分的名称如下:自我检测1:32的5次方根为 ;32-的5次方根为 ; 16的4次方根为 、思考:以下两个等式()nna a =和n n a a =一定成立吗?请验证?【知识点二】根式的性质 （1）()nnaa =;（2）()()()()00n na n a a a a n a a ⎧⎪⎪=>⎧⎨⎪=⎨⎪-<⎪⎪⎩⎩为奇数为偶数、自我检测2:求下列各式的值 （1）()338-= ;（2）()210-= ;（3）()443π-= 、观察下列等式间的互化规律:第四章指数函数与对数函数- 12 -自我检测3:用分数指数幂表示:（1）3a a ⋅= ;（2）3a a ⋅= ;【答案】117333222;a a a a a a +⋅=⋅==14211333322()().a a a a a a =⋅==同样的,无理数指数幂a α( a >0,α是无理数)是一个确定的实数、有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用、题型一 利用根式的性质化简求值 【例1-1】下列各式正确的是（ ）A 88a a =B 、01a =C 44(4)4-=-D 55()ππ-=-【答案】D【例1-2】化简2(4)ππ-＋＝（ ）A 、4B 、2 4π－C 、2 4π－或4D 、4 2π－ 【答案】A第四章 指数函数与对数函数- 14 -题型二 根式与分数指数幂的互化【例2-1】将下列根式化成分数指数幂的形式.（1( a >0);（2)0x >;（3）23-⎝⎭( b >0). 【答案】（1）原式1552612(0)a a a ⎛⎫===> ⎪⎝⎭; （2）原式3513935511(0)x x xx -=====>⎛⎫ ⎪⎝⎭;（3）原式＝21321221434339(0)b bb b -⎛⎫-⨯⨯-- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥==> ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦.【例2-2】正确的是（ ）A 、43aB 、34aC 、112a D 、14a -【答案】B题型三 分数指数幂的运算与化简【例3-1】()2531433434a b a b a b -----⎛⎫⎛⎫⋅-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得（ ）A 、232b -B 、232b C 、23b D 、23b -【答案】D【例3-2】计算下列各式的值:（1）1222301832(9.6)4272-⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;（2）0.752231(0.25)816--⎛⎫+- ⎪⎝⎭;（3）2132723224a a a b b b ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭、第四章 指数函数与对数函数- 16 -【答案】（1）1222301832(9.6)4272-⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2132329221433⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦1222232211=2332⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦;（2）原式()3243243223164111244282122---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-=⎢⎥= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎦+⎥-⎝⎭⎢⎣;（3）原式()436461373713473437444444b b b b b b a b a b a a a a a a -⎛⎫=⨯-⨯=⨯-⨯=-=- ⎪⎝⎭.1、已知0a >,1132aaa）A 、712a B 、512aC 、56a D 、13a【答案】B2、化简2115113366221()(3)()3a b a b a b -÷的结果（ ）A 、6aB 、a -C 、9a -D 、29a【答案】C3、计算211511336622(4)(3)(6)a b a b a b -÷-=（ ）A 、2aB 、2abC 、2a -D 、2ab -【答案】A)34154mmmm m= ;【答案】11111151432402346415154641m mm m m mm mm++--+⋅⋅⋅====⋅;5、计算下列各式的值:第四章 指数函数与对数函数- 18 -（1）()1620162020449-⎛⎫+--⨯+ ⎪⎝⎭（24=,求值:①1a a -+;②1122a a -+. 【答案】（1）原式237231434π=⨯+-⨯+-10817399ππ=+-+-=+; （24=,所以1216a a +-=,即118a a +=,所以1a a -+=118a a+=, ②由①知118a a+=,因为0a >,所以11220a a -+>, 所以1122a a -+====.。
4.1指数+教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
教学设计 课程基本信息学科数学 年级 高一 学期 秋季 课题4.1指数 教科书 书 名：普通高中教科书数学必修第一册（A 版）出版社：人民教育出版社教学目标1.掌握n 次方根及根式的概念，能正确运用根式的性质进行根式的运算；2.理解分数指数幂的概念，学会根式与分数指数幂之间的相互转化；掌握有理数指数幂的运算法则；3.了解无理数指数幂的意义，经历用有理数指数幂逼近无理数指数幂的过程，体会逼近思想。
教学内容教学重点：1. n 次方根和分数指数幂的概念及关系；2.实数指数幂的运算及其性质。
教学难点：1.根式与分数指数幂的互化；2.对无理数指数幂的理解：是一个确定的实数。
教学过程一、课前回顾1、正整数指数幂：一个数a 的n 次幂等于n 个a 的连乘积，记作n a ，其中a 称为底数，n 称为指数。
规定：)0(10≠=a a ；)0(1≠=-a aa n n 2、整数指数幂的运算性质：),()(),()(),(Z n m b a ab Z n m a a Z n m a a a m m m mn n m n m n m ∈=∈=∈=⋅+【设计意图】从已有的学习经验出发，引导学生回顾旧知，为学习分数指数幂及其运算性质做好准备。
提出问题：形如21S 的以分数为指数的幂的意义是什么？它们具有怎样的运算性质？二、探究新知探究1：n 次方根如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根，如2±就是4的平方根。
如果a x =3，那么x 叫做a 的立方根，如2就是8的立方根。
师：类比平方根和立方根的定义，同学们能不能给出n 次方根的定义呢？一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中且1>n 且*N n ∈.比如，7712821282=⇒=55322322-=-⇒-=-）（ 发现：正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数。
结论：当n 是奇数时，若a x n =，则n a x =师：n 是偶数呢？比如，44162162±=±⇒=±）（结论：当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个且互为相反数，一般地，正的n 次方根用n a 表示，负的则用n a -表示，两者合起来写成n a ±。
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第
2课时指数幂及运算
学习目标核心素养
1.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、难点)
2．掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．(重点)1.通过分数指数幂、运算性质的推导，培养逻辑推理素养．
2．借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，培养数学运算素养.
1．分数指数幂的意义
分数指数幂
正分数指数幂规定：a m
n＝
n
a m(a>0，m，n∈N*，且n>1)负分数指数幂
规定：a－m n＝
1
a m n
＝
1
n
a m
(a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0，
0的负分数指数幂没有意义
思考：在分数指数幂与根式的互化公式a m n＝n
a m中，为什么必须规定a>0?
提示：①若a＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即n
a m＝a m n＝0，无研究价值．
②若a<0，a m n＝n
a m不一定成立，如(－2)32＝
2
(－2)3无意义，故为了避免上
述情况规定了a>0.
2．有理数指数幂的运算性质
(1)a r a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)．
(2)(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．
3．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数
幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
1．下列运算结果中，正确的是( ) A ．a 2a 3＝a 5
B ．(－a 2)3＝(－a 3)2
C ．(a －1)0＝1
D ．(－a 2)3＝a 6
A [a 2a 3＝a 2＋3＝a 5；(－a 2)3＝－a 6≠(－a 3)2＝a 6；(a －1)0＝1，若成立，需要满足a ≠1，故选A.]
2．425
等于( )
A ．25 B.516 C.415 D.5
4
B [425＝542＝5
16，故选B.]
3．已知a >0，则a －2
3等于( ) A.a 3
B.
13a 2
C.
1
a 3
D ．－3a 2
B [a －23
＝1a 23＝13
a 2
.] 4．(m 12
)4＋(－1)0＝________. m 2
＋1 [(m 12
)4＋(－1)0＝m 2＋1.]
根式与分数指数幂的互化
【例1】 将下列根式化成分数指数幂的形式： (1)a a (a >0)；(2)
13
x (5x 2)2
；
(3)⎝ ⎛⎭
⎪⎫
4b －23－23
(b >0)．
[解] (1)原式＝a ·a 1
2＝a 3
2＝()a 3
21
2＝a 3
4.
(2)原式＝
13x ·(x 2
5
)
2
＝
13x ·x
4
5
＝
13x
95
＝
1()x 9513＝1
x 35
＝x －35
. (3)原式＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫b －2314
－2
3＝b
－23×1
4
×()－23＝b 1
9.
根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分
子．
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
1．将下列根式与分数指数幂进行互化： (1)a 3·3
a 2；(2)
a －4
b 23
ab 2(a >0，b >0)．
[解] (1)a 3·3
a 2＝a 3·a 23＝a 3＋23
＝a 113
.
(2)
a －4
b 23
ab 2＝a －4b 2·(ab 2)13
＝a －4b 2
a 1
3b 23
＝a －
11
3
b 83
＝a －116
b 4
3.
利用分数指数幂的运算性质化简求解
【例2】 化简求值：
指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算. (2)负指数幂化为正指数幂的倒数.
(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.
提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.
2．(1)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫2350
＋2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫
214－1
2
－(0.01)0.5；
(2)化简：3
a 7
2a －3÷3
a －8·3
a 15÷
3
a －3·a －1(a >0)．
指数幂运算中的条件求值
[探究问题]
1.⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2和⎝ ⎛
⎭⎪⎫a －1a 2存在怎样的等量关系？ 提示：⎝ ⎛
⎭⎪⎫a ＋1a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＋4.
2．已知a ＋
1a
的值，如何求a ＋1
a 的值？反之呢？ 提示：设a ＋
1a
＝m ，则两边平方得a ＋1a ＝m 2－2；反之若设a ＋1
a ＝n ，则n ＝m 2－2，∴m ＝n ＋2.即a ＋
1
a
＝n ＋2. 【例3】 已知a 1
2＋a －1
2＝4，求下列各式的值： (1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2.
[思路点拨] a 1
2
＋a －12
＝4――――→两边平方得a ＋a －1
的值――――→两边平方
得a 2＋a －2的值
[解] (1)将a 1
2＋a －1
2＝4两边平方，得a ＋a －1＋2＝16，故a ＋a －1＝14.
(2)将a ＋a －1＝14两边平方，得a 2＋a －2＋2＝196，故a 2＋a －2＝194.
1．在本例条件不变的条件下，求a －a －1的值． [解] 令a －a －1＝t ，则两边平方得a 2＋a －2＝t 2＋2， ∴t 2＋2＝194，即t 2＝192，∴t ＝±83，即a －a －1＝±8 3. 2．在本例条件不变的条件下，求a 2－a －2的值．
[解] 由上题可知，a 2－a －2＝(a －a －1)(a ＋a －1)＝±83×14＝±112 3.
解决条件求值的思路
(1)在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值.
(2)在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用.
1．对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样可以方便使用同底数幂的运算律．
2．解决较复杂的条件求值问题时，“整体思想”是简化求解的“利器”．
1．思考辨析
(1)0的任何指数幂都等于0.()
(2)523＝53.()
(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如4
a2＝a12.()
(4)a m n可以理解为m
n个a.()
[答案](1)×(2)×(3)×(4)×
2．把根式a a化成分数指数幂是()
A．(－a)32B．－(－a)32
C．－a32D．a32
D[由题意可知a≥0，故排除A、B、C选项，选D.]
3．已知x12＋x－12＝5，则x2＋1
x的值为()
A．5 B．23 C．25 D．27
B[∵x12＋x－12＝5，∴x＋x－1＝23，即x2＋1
x＝23.]。