乘法公式与因式分解章节复习
初二数学八上第十四章整式乘法与因式分解知识点总结复习和常考题型练习
第十四章 整式的乘除与分解因式一、知识框架:二、知识概念：1.基本运算：⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a +⨯= ⑵幂的乘方：()nm mn aa = ⑶积的乘方：()nn n ab a b =2.整式的乘法：⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式. ⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加. 3.计算公式：⑴平方差公式：()()22a b a b a b -⨯+=-⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；()2222a b a ab b -=-+ 4.整式的除法：⑴同底数幂的除法：m n m n a a a -÷=⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式. ⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加. ⑷多项式÷多项式：用竖式.5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式子因式分解.6.因式分解方法：⑴提公因式法：找出最大公因式. ⑵公式法：①平方差公式：()()22a b a b a b -=+- ②完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=±③立方和：3322()()a b a b a ab b +=+-+ ④立方差：3322()()a b a b a ab b -=-++ ⑶十字相乘法：()()()2x p q x pq x p x q +++=++ ⑷拆项法 ⑸添项法常考例题精选1.(2015·襄阳中考)下列运算正确的是( ) =3 ·a2=a3C.(-a3)2=a5÷a2=a32.(2015·烟台中考)下列运算中正确的是( ) +2a=5a2 B.(-3a3)2=9a6÷a2=a3 D.(a+2)2=a2+43.(2015·遵义中考)计算(−12ab2)3的结果是( )3 23218184.(2015·沈阳中考)下面的计算一定正确的是( ) +b3=2b6 B.(-3pq)2=-9p2q2·3y5=15y8÷b3=b35.(2015·凉山州中考)下列各式正确的是( )=(−a)2=(−a)3=|−a2|=|a3|6.(2015·长春中考)计算：7a2·5a3= .7.(2015·广州中考)分解因式：x2+xy= .8.(2015·东营中考)分解因式2a2-8b2= .9.(2015·无锡中考)分解因式：2x2-4x= .10.(2015·连云港中考)分解因式：4-x2= .11.(2015·盐城中考)分解因式a2-9= .12.(2015·长沙中考)x2+2x+1= .13.(2015·临沂中考)分解因式4x-x3= .14.(2015·安徽中考)分解因式：x2y-y= .15.(2015·潍坊中考)分解因式：(a+2)(a-2)+3a= .16.(2015·遂宁中考)为庆祝“六·一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛.如图所示，按照下面的规律，摆第(n)个图案，需用火柴棒的根数为.17.(2015·潍坊中考)当n等于1，2，3，…时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示.则第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于.(用n表示，n是正整数)18.(2015·牡丹江中考)一件商品的进价为a元，将进价提高100%后标价，再按标价打七折销售，则这件商品销售后的利润为元.19.(2015·株洲中考)先化简，再求值：(x-1)(x+1)-x(x-3)，其中x=3.1．(2015·徐州)下列运算正确的是( )A．3a2－2a2＝1 B．(a2)3＝a5C．a2·a4＝a6D．(3a)2＝6a22．下列计算错误的是( )A．(5－2)0＝1 B．28x4y2÷7x3＝4xy2C．(4xy2－6x2y＋2xy)÷2xy＝2y－3x D．(a－5)(a＋3)＝a2－2a－153．(2015·毕节)下列因式分解正确的是( )A．a4b－6a3b＋9a2b＝a2b(a2－6a＋9) B．x2－x＋14＝(x－12)2C．x2－2x＋4＝(x－2)2D．4x2－y2＝(4x＋y)(4x－y)4．将(2x)n－81分解因式后得(4x2＋9)(2x＋3)(2x－3)，则n等于( ) A．2 B．4 C．6 D．85．若m＝2100，n＝375，则m，n的大小关系是( )A．m>n B．m<n C．m＝n D．无法确定6．已知a＋b＝3，ab＝2，则a2＋b2的值为( )A．3 B．4 C．5 D．67．计算：(a－b＋3)(a＋b－3)＝( )A．a2＋b2－9 B．a2－b2－6b－9C．a2－b2＋6b－9 D．a2＋b2－2ab＋6a＋6b＋98．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)(如图甲)，把余下的部分拼成一个长方形(如图乙)，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证( )A ．(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2B ．(a －b)2＝a 2－2ab ＋b 2C ．a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b)D ．(a ＋2b)(a －b)＝a 2＋ab －2b 29．若x 2＋mx －15＝(x －3)(x ＋n)，则m ，n 的值分别是( ) A ．4，3 B ．3，4 C ．5，2 D ．2，510．(2015·日照)观察下列各式及其展开式： (a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2(a ＋b)3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3(a ＋b)4＝a 4＋4a 3b ＋6a 2b 2＋4ab 3＋b 4(a ＋b)5＝a 5＋5a 4b ＋10a 3b 2＋10a 2b 3＋5ab 4＋b 5 …请你猜想(a ＋b)10的展开式第三项的系数是( ) A ．36 B ．45 C ．55 D ．6611．计算：(x －y)(x 2＋xy ＋y 2)＝ ．12．(2015·孝感)分解因式：(a －b)2－4b 2＝ ．13．若(2x ＋1)0＝(3x －6)0，则x 的取值范围是 ．14．已知a m ＝3，a n ＝2，则a 2m －3n ＝ ．15．若一个正方形的面积为a 2＋a ＋14，则此正方形的周长为 ．16．已知实数a ，b 满足a 2－b 2＝10，则(a ＋b)3·(a －b)3的值是 ．17．已知△ABC 的三边长为整数a ，b ，c ，且满足a 2＋b 2－6a －4b ＋13＝0，则c为．18．观察下列各式，探索发现规律：22－1＝1×3；32－1＝2×4；42－1＝3×5；52－1＝4×6；….按此规律，第n个等式为．19．计算：(1)(2015·重庆)y(2x－y)＋(x＋y)2; (2)(－2a2b3)÷(－6ab2)·(－4a2b)．20．用乘方公式计算：(1)982; (2)899×901＋1.21．分解因式：(1)18a3－2a；(2)ab(ab－6)＋9；(3)m2－n2＋2m－2n.22．先化简，再求值：(1)(2015·随州)(2＋a)(2－a)＋a(a－5b)＋3a5b3÷(－a2b)2，其中ab＝－1 2；(2)[(x＋2y)(x－2y)－(x＋4y)2]÷4y，其中x＝－5，y＝2.23．如图，某市有一块长为(3a＋b)米，宽为(2a＋b)米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间修建一座雕像，求绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝3，b＝2时的绿化面积．24．学习了分解因式的知识后，老师提出了这样一个问题：设n为整数，则(n＋7)2－(n－3)2的值一定能被20整除吗？若能，请说明理由；若不能，请举出一个反例．25．阅读材料并回答问题：课本中多项式与多项式相乘是利用平面几何图形中的面积来表示的，例如：(2a ＋b)(a ＋b)＝2a 2＋3ab ＋b 2就可以用如图①②所示的图形的面积来表示．(1)请写出如图③所示的图形的面积表示的代数恒等式；(2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示为(a ＋b)(a ＋3b)＝a 2＋4ab ＋3b 2；(3)请仿照上述方法另写一个含有a ，b 的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形．26. 定义2a b a b *=-，则(12)3**= ．。
(完整版)乘法公式和因式分解知识点
乘法公式和因式分解（一）、知识点：1、单项式乘单项式：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
2、单项式乘多项式：单项式与多项式相乘，用单项式乘多项式的的每一项，再把所得的积相加。
m(a+b－c)＝ma+mb－mc3、多项式乘多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd(二)、知识要点 1、乘法公式2、因式分解因式分解：（1）把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做多项式的因式分解。
注、公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
（2）多项式的乘法与多项式因式分解的区别简单地说：乘法是积化和，因式分解是和化积。
3、因式分解的方法： （1）、提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
（2）、运用公式法：运用乘法公式把一个多项式因式分解的方法叫运用公式法。
（3）、分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行． （4）、十字相乘法：有些二次三项式，可以把第一项和第三项的系数分别分解为两个数之积，然后借助画十字交叉线的方法，把二次三项式进行因式分解，这种方法叫十字相乘法。
简单的说十字相乘法就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
注意：十字相乘法不是适合所有二次三项式，只有在一次项系数和二次项系数以及常数项存在一种特殊关系时才能用，这个特殊关系我们通过例题来说明： 注意：我们在用十字相乘法之前一定要根据第一步判断是否能用十字相乘法。
我们在分解常数项和二次项系数时变化多端，目的是交叉相乘之和要等于一次项系数，如何分配常数项和二次项系数要根据情况而定。
整式的乘法与因式分解复习专题
B.2x3·3x3=6x3
C.x6+x3=x2
D.(x2)4=x8
【解析】选D.A是合并同类项,结果为7x2;
B是单项式乘单项式,应为2x3·3x3=6x6;
C不能合并.
3.(2013·恩施中考)下列运算正确的是( )
A.x3·x2=x6
B.3a2+2a2=5a2
C.a(a-1)=a2-1
D.(a3)4=a7
所以 1 1 • 即a 可b得 到
42
ab 1. 2
2.(2012·柳州中考)如图,给出了正方形ABCD的面积的四个表达 式,其中错误的是( )
A.(x+a)(x+a) C.(x-a)(x-a)
B.x2+a2+2ax D.(x+a)a+(x+a)x
【解析】选C.ABCD可看作是边长为(x+a)的正方形,故A正 确,ABCD的面积也可看作是图中2个小正方形面积与两个小长 方形面积之和,故B正确,也可看作是长为(x+a)、宽为a的长方 形与长为(x+a)、宽为x的长方形面积之和,故D正确.
C.x·x3=x4
D.(2x2)3=6x5
【解析】选C.x+x=2x,所以选项A是错误的;
x6÷x2=x6-2=x4,所以选项B是错误的;
x·x3=x1+3=x4,所以选项C是正确的;
(2x2)3=23·x2×3=8x6,所以选项D是错误的,故应选C.
2.(2013·东营中考)下列运算正确的是( )
【例】(2013·资阳中考)(-a2b)2·a=
.
【教你解题】
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1.(2012·丽水中考)计算3a·(2b)的结果是( )
八年级数学整式的乘法与因式分解常考必考知识点总结
一、整式的乘法1.几个常用公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²(a-b)² = a² - 2ab + b²(a+b)(a-b)=a²-b²(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³2.整式的乘法法则：(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd加减混合运算：(a+b)(c-d) = ac - ad + bc - bd3.多项式的乘法：(a₁+a₂+...+aₙ)(b₁+b₂+...+bₙ)=a₁b₁+a₁b₂+...+a₁bₙ+a₂b₁+a₂b₂+...+a₂bₙ+...+aₙb₁+aₙb₂+...+aₙb ₙ4.整式的乘法性质：交换律：a·b=b·a结合律：(a·b)·c=a·(b·c)分配律：a·(b+c)=a·b+a·c5.整式的乘法应用：展开、计算、化简等二、因式分解1.因式分解的基本概念：将一个整式分解为两个或多个因式的乘积的过程。
2.因式分解的方法：a.公因式提取法：找出整个整式和各项中的公因式，并提取出来。
b.公式法：利用已知的一些公式对整式进行因式分解。
c.分组法：将整式中各项按一定的规则分组，然后在每组内部进行因式分解。
d.辗转相除法：若整式中存在因式公共因式，可以多次使用辗转相除法进行因式分解。
3.一些常见的因式分解公式：a.二次差平方公式：a²-b²=(a+b)(a-b)b. 平方差公式：a² + 2ab + b² = (a+b)²c. 平方和公式：a² - 2ab + b² = (a-b)²d. 三次和差公式：a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²)、a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²)e. 四次和差公式：a⁴+b⁴ = (a²+b²)(a²-ab+b²)、a⁴-b⁴ = (a+b)(a-b)(a²+b²)4.因式分解的应用：简化计算、寻找整式的根、列立方程等。
乘法公式因式分解与分式复习课2014.3
2
4. x 1 x 1 1 x _____
2
6.4 x y z 12 x y 的公因式是 ______
7. 4mm n 和 12 mn n m 的公因式是
2
_________
8.a b 3a b 的公因式是 _____
4、从甲地到乙地的路程是15千米，A骑自行车从甲地到 乙地先走，40分钟后，B骑自行车从甲地出发，结果同 时到达。已知B的速度是A的速度的3倍，求两车的速度。
3.对下列多项式进行因式分解：
1x y z yz y 281x 4 y 4
1 2 4 3 a a 4 2 4x y 4x y 1
5 3
9.2mn 2mx _____n x
2 3
10.8m n 2mn 2mn_____ 11.分解因式：x x ______
12、下列代数式是分式的是：
1 x
x 1 3 xy 2
2
3 1 a Hale Waihona Puke y m1 2典例探究
1.如果x y 10, xy 7, 则x y xy ____
2 2
2.计算： 5652 0.13 4352 0.13 _____ 3.若mx ny x 3 y x 3 y , 则m ___,
2 2
n ___
2a b b 2a b
4.先化简，再求值：
2 2
4a , 其中a 1, b 2
乘法公式、因式分解与分式
复 习
学习目标：
1.了解公式的几何解释，分式和最简分式的概念。 2、在应用乘法公式进行计算的过程中，感受乘法 公式的作用和价值． 3、会用提公因式法、公式法（利用公式不超过二 次）进行因式分解． 4、了解因式分解的一般步骤． 5、能利用分式的基本性质进行约分和通分，并进 行简单的分式的加减乘除运算。能解可化为一元 一次方程的分式方程
【全】初中数学整式的乘法与因式分解知识点总结
整式的乘法与因式分解第一节：整式的乘法1．同底数幂的乘法一般地，对于任意底数a与任意正整数m，有(m、n都是正整数)。
即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
该乘法法则是幂的运算中最基本的法则。
在应用法则运算时，要注意以下几点:①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式；②指数是1时，不要误以为没有指数；③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；④当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为（其中m、n、p均为正整数）；⑤公式还可以逆用：（m、n均为正整数）。
2．幂的乘方一般地，对任意底数a与任意正整数m、n，有(m、n都是正整数)。
即幂的乘方，底数不变，指数相乘。
该法则是幂的乘法法则为基础推导出来的，但两者不能混淆。
另有：（m、n都是正整数）。
当底数有负号时,运算时要注意,底数是a与(-a)时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底，如将(-a)3化成-a3。
底数有时形式不同，但可以化成相同。
要注意区别(ab)n与(a+b)n意义是不同的，不要误以为(a+b)n=a n+b n（a、b均不为零）。
3.积的乘方法则一般地，对于任意底数a、b与任意正整数n，有（n为正整数）。
即积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。
4.整式的乘法1）单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。
单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。
这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆；②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
第十四章整式的乘除与因式分解 章末复习小结(4)基本技能、基本思想方法和基本活动经验 教学设计
第十四章章末复习小结（4）基本技能、基本思想方法和基本活动经验教学设计学习目标：1.会利用乘法公式进行简便运算；2.能利用乘法公式的变式求解；3.体验整体、从特殊到一般的思想，会用类比的方法解决身边的问题.一、知识梳理二、典例精讲例1 运用乘法公式简便计算：(1)9992(2)29.4×30.4解：⑴9992＝(1000−1)2＝10002－2×1000×1＋12＝100 0000－2000＋1＝998001⑵ 29.4×30.4＝(30－0.4) (30＋0.4)＝302－0.42＝900－0.16＝899.84归纳：求一个复杂数的平方时，可以考虑用完全平方公式简化计算，将其化为整十、整百与另一个数的完全平方和或完全平方差，再用公式计算；求两个比较接近的数的乘积时，可以考虑用平方差公式简便运算，将其化为整十、整百与另一个数的平方差，再用公式计算.小试牛刀：1. (1)2023²－2022×2024＋32(2)9×11×101×10001．解：⑴原式＝2023²－(2023－1)(2023＋1)＋32＝2023²－(2023²－1²)＋32＝2023²－2023²＋1＋32＝33⑵8×12×104×10001＝(10－2)(10＋2) (100＋4) (10000＋16)＝(10²－2²) (10²＋2²) (104＋16)＝ (104－4²) (104＋4²)＝108－16²＝99999744例2 已知a＋b＝8，ab＝5，求a2＋b2和(a－b)2的值.解：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab ,(a－b)2＝(a＋b)2－4ab .当a＋b＝8，ab＝5时,a2＋b2＝82－2×5＝54(a－b)2 =82－4×5＝44归纳：平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2完全平方和公式：(a＋b)2＝a2＋b2+2ab完全平方差公式：(a－b)2＝a2＋b2+2ab表达了完全平方和(差)与平方和、乘积之间的关系，如果知道其中的部分量，可以运用公式求出剩下的量.小试牛刀：2. 已知(a＋b)2＝10，(a－b)2＝2，求a2＋b2＋ab的值.解：由(a＋b)2＝10得a2＋b2＋2ab＝10①由(a－b)2＝2得a2＋b2－2ab＝2②(①＋②)÷2得a2＋b2＝6(①－②)÷4得ab＝2∴a2＋b2＋ab＝6＋2＝8三、拓展提高若(25−m)(m−15)=7，则(25−m)2+(m−15)2的值.解：设x=25−m ，y=m−15 .则：xy=7，x+y=10 .∴x2+y2=(x+y)2−2xy=102−2×7=86即(25−m)2+(m−15)2=86四、课堂小结本节课，你学到了什么数学知识？学会了哪些学习方法？五、布置作业见精准作业单六、板书设计。
整式的乘法和因式分解知识点汇总
整式的乘法和因式分解知识点汇总整式乘除与因式分解一、知识点1.幂的运算性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即，am·an＝am＋n（m、n为正整数）。
例如：(－2a)2(－3a2)3 = 4a2·-27a6 = -108a8.2.幂的乘方性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即，a(mn)＝(am)n（m、n为正整数）。
例如：(－a5)5 = (-1)5·a25 = a25.3.积的乘方性质：积的乘方等于各因式乘方的积。
即，(ab)n = an·bn（n为正整数）。
例如：(－a2b)3 = (-1)3·a6·b3 = -a6b3.4.幂的除法性质：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
即，a/m ÷ a/n = a(m-n)（a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）。
例如：(1) x8÷x2 = x6；(2) a4÷a = a3；(3) (ab)5÷(ab)2 = a3b3.5.零指数幂的概念：a0 = 1（a≠0）。
任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1.例如：若(2a-3b)0=1成立，则a,b满足任何条件。
6.负指数幂的概念：a-p = 1/ap（a≠0，p是正整数）。
任何一个不等于零的数的-p（p是正整数）指数幂，等于这个数的p指数幂的倒数。
例如：(m/n)-2 = n2/m2.7.单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
例如：(1) 3a2b·2abc·abc2 = 6a4b2c3；(2) (-m3n)3·(-2m2n)4 = -8m14n7.8.单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。
例如：(1) 2ab(5ab+3ab) = 16a2b2；(2) (ab2-2ab)·ab = a2b3-ab2.9.多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。
复习教案-初二-整式的乘法与因式分解(学生版)
3.若（x+2）是多项式4x2+5x+m的一个因式，则m等于（）A．–6 B．6 C．–9 D．9三、课堂练习1．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（）A．﹣1 B．﹣1或﹣11 C．1 D．1或112．已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（）,A．25 B．20 C．15 D．103．已知三个实数a，b，c满足a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，则（）A．b＞0，b2﹣ac≤0B．b＜0，b2﹣ac≤0C．b＞0，b2﹣ac≥0D．b＜0，b2﹣ac≥04．已知a＝，b＝，c＝，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是．}5．若a﹣b＝3，b﹣c＝2，那么a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝．6．已知x2﹣2x﹣1＝0，则3x2﹣6x＝；则2x3﹣7x2+4x﹣2019＝．7．已知x2﹣2x﹣3＝0，则x3﹣x2﹣5x+12＝．8．若a＝2009x+2007，b＝2009x+2008，c＝2009x+2009，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为．9．已知2x2﹣ax﹣2＝0，则下列结论中正确的是．①其中x的值不可能为0；②当x＝2时，；③若a＝1时，；④若a＝2时，x3﹣4x2+2x＝﹣3．10．设n为整数，则（2n+1）2﹣一定能被（）—A．2整除B．4整除C．6整除D．8整除11．248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（）A．61和63 B．63和65 C．65和67 D．64和6712．对于算式20183﹣2018，下列说法错误的是（）A．能被2016整除B．能被2017整除C．能被2018整除D．能被2019整除；13．如图①，是一个棱长为a的正方体中挖去一个棱长为b的小正方体（a＞b）（1）如图①所示的几何体的体积是．（2）用另一种方法表示图①的体积：把图①分成如图②所示的三块长方体，将这三块长方体的体积相加后得到的多项式进行因式分解．比较这两种方法，可以得出一个代数恒等式．14．若a2﹣b﹣1＝0，且（a2﹣1）（b+2）＜a2b．（Ⅰ）求b的取值范围；（Ⅱ）若a4﹣2b﹣2＝0，求b的值．:15．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC的形状是三角形．16．△ABC的两边a，b满足a4+b4﹣2a2b2＝0，且∠A＝60°，则△ABC的形状是三角形．17．阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，》例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）利用（1）所得结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个边长分别为a、b的长方形纸片，①请按要求利用所给的纸片拼出一个几何图形，并画在图3所给的方框中，要求所拼出的几何图形的面积为2a2+5ab+2b2，②再利用另一种计算面积的方法，可将多项式2a2+5ab+2b2分解因式．即2a2+5ab+2b2＝．【18．阅读理解。
整式的乘法和因式分解知识点汇总
整式的乘法和因式分解知识点汇总整式乘除与因式分解在研究代数的过程中，整式乘除与因式分解是非常重要的知识点。
下面将对这些知识点进行详细讲解。
一．幂的运算性质幂的运算性质是代数中最基本的知识之一。
其中，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘。
例如，对于表达式(－2a)2(－3a2)3，可以先计算幂的乘方，然后再将同底数幂相乘。
二．乘方的运算乘方的运算也是代数中的基本知识。
根据乘方的运算法则，积的乘方等于各因式乘方的积。
例如，对于表达式(－a5)5，可以将其分解为a的5次方的积，然后再进行乘方运算。
三．同底数幂的除法同底数幂的除法也是代数中的基本知识之一。
根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减。
例如，对于表达式x÷x，可以将其化简为x的0次方，即1.四．零指数幂和负指数幂在代数中，零指数幂和负指数幂也是非常重要的概念。
任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1；任何一个不等于零的数的负指数幂，等于这个数的指数幂的倒数。
例如，对于表达式(2a3b)1，可以通过代数式的运算，求出a和b的取值范围。
五．单项式和多项式的乘法单项式和多项式的乘法也是代数中的基本知识之一。
对于单项式相乘，需要将系数和同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
对于单项式与多项式相乘，需要用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。
对于多项式与多项式相乘，需要先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。
通过对整式乘除与因式分解的研究，可以更好地理解代数的基本概念和运算法则，为后续的研究打下坚实的基础。
1.计算 (3×10^8)×(-4×10^4) = -1.2×10^132.计算 2x·(-2xy)·(-3) = 12x^2y3.若n为正整数，且x^(2n)=3，则(3x^(3n))^2的值为 274.如果 (anb·abm)^3 = a^9b^15，那么 mn 的值是 55.-[-a^2(2a^3-a)] = 2a^5 - a^36.(-4x^2+6x-8)·(-1/2x) = 2x^3-3x^2+4x7.2n(-1+3mn^2) = -6mn^2+2n8.若 k(2k-5)+2k(1-k) = 32，则 k = 49.(-3x^2)+(2x-3y)(2x-5y)-3y(4x-5y) = -10x^2+31xy-15y^210.在 (ax^2+bx-3)(x^2-x+8) 的结果中不含 x^3 和 x 项，则a = 1/2，b = -311.一个长方体的长为 (a+4)cm，宽为 (a-3)cm，高为(a+5)cm，则它的表面积为 2a^2+22a+32，体积为 (a+4)(a-3)(a+5) = a^3+6a^2-7a-60.若将长方形的长和都扩大了2cm，则面积增大了 8cm^2.12.一个长方形的长是 10cm，宽比长少6cm，则它的面积是 40cm^2.当长和都扩大了2cm时，面积增大了 44cm^2.13.单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式。
七年级数学整式复习乘法公式因式分解
乘法公式是数学中非常重要的一部分，也是解决数学问题的基本工具之一、因此，在七年级数学整式的学习中，乘法公式的掌握是非常关键的。
乘法公式的基本形式是：$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$。
其中，$a$、$b$、$c$、$d$都可以是任意的数。
乘法公式的运用可以简化复杂的乘法运算，提高计算速度。
让我们通过以下例子来了解一下乘法公式的应用。
例1：计算$(x+2)(x+3)$。
根据乘法公式，$(x+2)(x+3)=x(x+3)+2(x+3)$。
再继续展开计算，得到$(x+2)(x+3)=x^2+3x+2x+6$。
最后，合并同类项，化简结果为$(x+2)(x+3)=x^2+5x+6$。
类似地，在应用乘法公式时，可以根据具体的题目要求，灵活变形和计算，以得到最简化的结果。
在这里，我们还需要介绍一下因式分解。
因式分解是将代数式按照乘法公式的逆运算进行分解，将复杂的代数式简化为简单的因式乘积的过程。
因式分解的目的是将代数式写成若干个乘法因式相乘的形式。
这样可以简化运算，使问题更易于解决。
接下来，我们通过以下例子来了解一下因式分解的方法。
例2：分解$x^2+5x+6$。
对于这个代数式，我们需要找到两个因式，使得它们的乘积等于$x^2+5x+6$。
根据题目的要求，我们很容易发现$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$。
因此，$x^2+5x+6$可以分解为$(x+2)(x+3)$。
通过这个例子，我们可以看到，因式分解需要运用乘法公式的逆运算，将复杂的代数式拆解为简单的因式相乘。
因式分解也可以用于解决实际问题。
当我们遇到一些实际问题时，往往需要将问题转化为数学表达式，然后通过因式分解简化计算。
接下来，我们通过一个实际问题来解释一下这个过程。
例3：公司购买了一批文具，共计300支。
其中，铅笔每支售价2元，圆珠笔每支售价4元。
如果该公司总共收入880元，那么圆珠笔和铅笔的数量各是多少？设圆珠笔的数量为$x$，铅笔的数量为$300-x$。
沪科版七年级数学下册第八章乘法公式与因式分解专题—考点重难点复习(解析版)
乘法公式与因式分解专题一、乘法公式1、平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.2、完全平方公式(完全平方公式：两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.常见的变形：22()()4a b a b ab -=+-%1、计算：（1）； （2）； （3）． 22()()a b a b a b +-=-b a ,()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+()()224a b a b ab +=-+332222x x y y ⎛⎫⎛⎫+-⎪⎪⎝⎭⎝⎭(2)(2)x x -+--(32)(23)x y y x ---解：（1）原式．（2）原式． （3）原式2、计算：(1)59.9×60.1； (2)102×98解：(1)59.9×60.1＝(60－0.1)×(60＋0.1)＝＝3600－0.01＝3599.99`(2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝＝10000－4＝99963、计算：(1)； (2)；(3)； (4)． 解：(1) ．(2) ． (3) ． (4) 4、已知m ﹣n ＝3，mn ＝2，求：；（1）（m +n ）2的值；（2）m 2﹣5mn +n 2的值．解：∵m ﹣n ＝3，mn ＝2，∴（1）（m +n ）2＝m 2+n 2+2mn ＝（m ﹣n ）2+4mn ＝9+8＝17；2222392244x x y y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222(2)4x x =--=-22(32)(23)(32)(32)94x y y x x y x y x y =-+-=+-=-22600.1-221002-()23a b +()232a -+()22x y -()223x y --()()22222332396a b a a b b a ab b +=+⨯⋅+=++()()()222223223222334129a a a a a a -+=-=-⨯⨯+=-+()()22222222244x y x x y y x xy y -=-⋅⋅+=-+()()()()2222222323222334129x y x y x x y y x xy y --=+=+⨯⨯+=++（2）m2﹣5mn+n2＝（m+n）2﹣7mn＝9﹣14＝﹣5．5、已知有理数m，n满足（m+n）2＝9，（m﹣n）2＝1，求下列各式的值．（1）mn；（2）m2+n2﹣mn．.解：（m+n）2＝m2+n2+2mn＝9①，（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn＝1②，（1）①﹣②得：4mn＝8，则mn＝2；（2）①+②得：2（m2+n2）＝10，则m2+n2＝5．所以m2+n2﹣mn＝5﹣2＝3．6、已知（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，求下列式子的值：（1）a2+b2；（2）6ab．解：（1）∵（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，∴a2+2ab+b2＝5，a2﹣2ab+b2＝3，∴2（a2+b2）＝8，解得：a2+b2＝4；#（2）∵a2+b2＝4，∴4+2ab＝5，解得：ab＝，∴6ab＝3．二、因式分解1、因式分解：（1）把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式．（2）分解因式是对多项式而言的，且分解的结果必须是整式的积的形式.（3）分解因式时，其结果要使每一个因式不能再分解为止.2、公因式：》多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.3、因式分解的方法：（1）提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即． （2）公式法~①公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：②公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式.（3）十字相乘法~（4）分组分解法 m ()()22a b a b a b -=+-()2222a ab b a b ++=+()2222a ab b a b -+=-222a ab b ++222a ab b -+7、下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A ．（3﹣x ）（3+x ）＝9﹣x 2B ．（y +1）（y ﹣3）＝（3﹣y ）（y +1）C ．4yz ﹣2y 2z +z ＝2y （2z ﹣zy ）+zD ．﹣8x 2+8x ﹣2＝﹣2（2x ﹣1）2解：A 、（3﹣x ）（3+x ）＝9﹣x 2，是整式的乘法运算，故此选项错误；！B 、（y +1）（y ﹣3）≠（3﹣y ）（y +1），不符合因式分解的定义，故此选项错误；C 、4yz ﹣2y 2z +z ＝2y （2z ﹣zy ）+z ，不符合因式分解的定义，故此选项错误；D 、﹣8x 2+8x ﹣2＝﹣2（2x ﹣1）2，正确．故选：D ．8、下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A ．﹣1＝（+1）（﹣1）B ．（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2C ．x 2﹣x ﹣2＝（x +1）（x ﹣2）D ．ax ﹣ay ﹣a ＝a （x ﹣y ）﹣1解：A 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A 错误；B 、是整式的乘法，故B 错误；/C 、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C 正确；D 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D 错误；故选：C ．9、(1)多项式的公因式是________； 2363x xy -+(2)多项式的公因式是________；(3)多项式的公因式是________； (4)多项式的公因式是________．【答案】(1)3 (2)4 (3) (4)解：先确定系数部分的公因式，再确定字母部分的公因式．!(1)的公因式就是3、6、3的最大公约数，最后的一项中不含字母，所以公因式中也不含字母．公因式为3.(2)公因式的系数是4、16、8的最大公约数，字母部分是．公因式为4.(3)公因式是（），为一个多项式因式．(4)多项式可变形，其公因式是．10、把﹣6x y ﹣3x y ﹣8x y 因式分解时，应提取公因式（ ） A.﹣3x yB.-2x yC.x yD.﹣x y 【答案】D ． 【解析】解：﹣6x 3y 2﹣3x 2y 2﹣8x 2y 3=﹣x 2y 2（6x+3+8y ），{因此﹣6x 3y 2﹣3x 2y 2﹣8x 2y 3的公因式是﹣x 2y 2．11、把下列各式因式分解：（1）__________.（2）_________________.【答案】（1）；（2） 324168mn m m --()()()x b c a y b c a a b c +--+----2(3)(3)x x x -+-m b c a +-3x -m m b c a +-()()233x x x ---3x -322223222222222168a b ab --=()()2232x x y x y x ---=()821ab a -+()()221xx y x --【解析】.12、因式分解：____________.【答案】；,【解析】.13、分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 解：（1）． （2）．（3）． （4）．14、分解因式：.（1）； （2）； （3）； （4）． 解：（1）． （2）．（3）． ()()()()()()22222323221x x y x y x x x y x x y x x y x ---=---=--()()2222y x y x +++=()()22y x x y +++()()()()()()22222222y x yx y x x y y x x y +++=+++=+++229a b -22251x y -22168194a b -+214m -+22229(3)(3)(3)a b a b a b a b -=-=+-2222251(5)1(51)(51)x y xy xy xy -=-=+-2222168194949494232323a b b a b a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22214(2)1(21)(21)m m m m -+=-=+-21449x x ++29124x x -+214a a ++22111162a b ab -+22221449277(7)x x x x x ++=+⋅⋅+=+22229124(3)2322(32)x x x x x -+=-⋅⋅+=-2222111124222a a a a a ⎛⎫⎛⎫++=+⋅⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）． 15、分解因式：（1）（3x ﹣2）2﹣（2x +7）2 （2）8ab ﹣8b 2﹣2a 2解：（1）原式＝[（3x ﹣2）+（2x +7）][（3x ﹣2）﹣（2x +7）]）＝（3x ﹣2+2x +7）（3x ﹣2﹣2x ﹣7）＝（5x +5）（x ﹣9）＝5（x +1）（x ﹣9）；（2）原式＝﹣2（a 2﹣4ab +4b 2）＝﹣2（a ﹣2b ）2．16、因式分解：（1）3x 2y ﹣18xy 2+27y 3 （2）x 2（x ﹣2）+（2﹣x ）解：（1）3x 2y ﹣18xy 2+27y 3＝3y （x 2﹣6xy +9y 2）＝3y （x ﹣3y ）2；（2）x 2（x ﹣2）+（2﹣x ）＝（x ﹣2）（x 2﹣1）＝（x ﹣2）（x +1）（x ﹣1）．17、分解因式：（1）1﹣a 2﹣b 2﹣2ab （2）9a 2（x ﹣y ）+4b 2（y ﹣x ）《解：（1）原式＝1﹣（a +b ）2＝（1+a +b ）（1﹣a ﹣b ）；（2）原式＝9a 2（x ﹣y ）﹣4b 2（x ﹣y ）＝（x ﹣y ）（9a 2﹣4b 2）＝（x ﹣y ）（3a +2b ）•（3a ﹣2b ）．18、已知4x 2+y 2﹣4x +10y +26＝0，求6x ﹣y 的值．解：∵4x 2+y 2﹣4x +10y +26＝4（x ﹣）2+（y +5）2＝0，∴x ＝，y ＝﹣5，则原式＝3+1＝4．222221111112111162444a b ab ab ab ab ⎛⎫⎛⎫-+=-⋅⋅+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19、将下列各式分解因式：（1）； （2）； （3） 解：（1）因为；所以：原式＝（2）因为所以：原式＝（3）20、分解因式：（1）； （2）；（3） 解：（1）'（2）（3）21、因式分解：m 2n ﹣5mn+6n.解：m 2n ﹣5mn+6n=n （m 2﹣5m+6）=n （m ﹣2）（m ﹣3）.21016x x -+2310x x --78x x x -=-()()78x x +-2810x x x --=-()()28x x --()()()2210331052x x x x x x --=-+-=-+-1072++x x 822--x x 2718x x --+()()271025x x x x ++=++()()22842x x x x --=-+()()22718(718)29x x x x x x --+=-+-=--+22、将下列各式分解因式：$（1）； （2） 解：（1）因为所以：原式＝（2）因为所以：原式＝23、分解因式：）解：原式【练习】1. 在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（ ）A.))((n m n m +--B.()()3333x y x y -+C.))((b a b a ---D.()()2222c dd c -+ 【答案】A ；91019y y y +=()()2335y y ++21183x x x -=()()2379x x +-22244a b ab c +--()()()22222(44)222a ab b c a b c a b c a b c =-+-=--=-+--【解析】A 中m 和m -符号相反，n 和n -符号相反，而平方差公式中需要有一项是符号相同的，另一项互为相反数.）2．若x y +＝6，x y -＝5，则22x y -等于( )．A.11B.15C.30D.60 【答案】C ；【解析】()()22x y x y x y -=+-＝6×5＝30.3．下列计算正确的是( )．A.()()55m m -+＝225m -B. ()()1313m m -+＝213m - C.()()24343916n n n ---+=-+D.( 2ab n -)(2ab n +)＝224ab n - 【答案】C ；,【解析】()()55m m -+＝225m -；()()1313m m -+＝219m -；(2ab n -)(2ab n +)＝2224a b n -.4．下列多项式不是完全平方式的是( )．A.244x x --B.m m ++241 C.2296a ab b ++D.24129t t ++ 【答案】A ； 【解析】2211()42m m m ++=+；22296(3)a ab b a b ++=+；224129(23)t t t ++=+. 5．已知关于x 的二次三项式4x 2﹣mx+25是完全平方式，则常数m 的值为（ ）[A ．10B ．±10C ．﹣20D ．±20【答案】D ； 【解析】解：∵关于x 的二次三项式4x 2﹣mx+25是完全平方式，∵﹣m=±20，即m=±20.6．若2216x ax ++是一个完全平方式，则a ＝______． 【解析】222216244x ax x x ++=±⨯+，所以4a =±7. 若2294x y +＝()232x y M ++,则M ＝______． 【解析】2294x y +＝()23212x y xy +- 。
第5、6章 整式乘法与因式分式期末复习
2
(6) (x − y − 2)(x − y + 2)
计算下列各式： 计算下列各式：
1 2 (1 )( − 9 a x ) • ( − a c ) 3
2 4
(4)(5−2 )3 ×54 −5×5−3 ÷1250
( 2 )( m + 1 )( m − 1 )( m
的值。 的值。
2 2
的积中， 的积中，不含 x 项，求m
2
若( ax
的积中， + bx + 1)(2 x − 3x + 1) 的积中，不含 x
3
和
x
的项，求a、b的值。 的值。 的项， 、 的值
2
若(x
+ mx + n)( x − 2 x + 5)
2
的积中， 的积中，不含 x 和 x
3
2
的项， 的值。 的项，求m、n的值。 、 的值
其中
a = −1, b = 2
2
化简求值： 2、化简求值：
(2 x − 1) − 4(2 − 3 x + x )
2
其中
x = −2
化简求值： 3、化简求值：
( x − y )( x + y ) − ( x + y ) + 2 y ( y − x)
2
其中
x = 1, y = 3
用简便方法计算： 4、用简便方法计算： 2005× （1）20062-2005×2007 （2） 60 2 × 59 1 3 3 先化简， 5、先化简，再求值 9(x-2)(x+2)+5(x- ,x=（2x+1)2-9(x-2)(x+2)+5(x-1)2,x=-2
乘法公式与因式分解专题复习
《乘法公式与因式分解》专题复习⼀．选择题（共6⼩题）1．（2018秋•⾬花区校级⽉考）下列各式变形中，是因式分解的是（）A．（x+2）2＝x2+4x+4B．2x（x+3y）＝2x2+6xyC．D．x2﹣2x+1＝（x﹣1）22．（2019秋•天⼼区校级⽉考）把多项式（x﹣y）2﹣2（x﹣y）﹣8分解因式，正确的结果是（）A．（x﹣y+4）（x﹣y+2）B．（x﹣y﹣4）（x﹣y﹣2）C．（x﹣y﹣4）（x﹣y+2）D．（x﹣y+4）（x﹣y﹣2）3．（2016秋•⾬花区校级期中）已知，则的值为（）A．B．±2C．±D．4．（2014•泰安模拟）不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x﹣4y+7的值（）A．总不⼩于2B．总不⼩于7C．可为任何实数D．可能为负数5．（2018秋•朝阳区校级期中）若x2+3x﹣1＝0，则x3+5x2+5x+2018＝（）A．10B．2C．2018D．20206．（2019春•新⽥县期中）若A＝﹣（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）…（1+）+1，则A的值是（）A．0B．1C．D．⼆．填空题（共4⼩题）7．（2021•⼤东区⼆模）因式分解：16a2﹣4＝．8．（2018•⽟林）已知ab＝a+b+1，则（a﹣1）（b﹣1）＝．9．（2011春•成都校级期末）已知x4﹣5x3+ax2+bx+c能被（x﹣1）2整除，则（a+b+c）2＝．10．（2019秋•奉贤区期末）已知a，b，c是△ABC的三边，b2+2ab＝c2+2ac，则△ABC的形状是．三．解答题（共6⼩题）11．（2020秋•开福区校级期中）因式分解：（1）3a2b+6ab；（2）m4﹣1；（3）（m+n）2﹣12（m+n）+36；（4）x3y﹣3x2y﹣4xy．12．（2019春•渠县期末）阅读理解先阅读下⾯的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0∴m+n＝0，n﹣3＝0∴m＝﹣3，n＝3问题：（1）x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求x y的值．（2）已知a，b，c是△ABC的三边⻓，满⾜a2+b2＝12a+8b﹣52，求c的范围．13．（2019秋•岳麓区校级期中）阅读材料：选取⼆次三项式ax2+bx+c（a≠0）中两项，配成完全平⽅式的过程叫配⽅，配⽅的基本形式是完全平⽅公式的逆写，即a2±2ab+b2＝（a±b）2．例如：①选取⼆次项和⼀次项配⽅：x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2②选取⼆次项和常数项配⽅：x2﹣4x+2＝+（2﹣4）x，或③选取⼀次项和常数项配⽅：请根据阅读材料解决下列问题：（1）⽐照上⾯的例⼦，将⼆次三项式x2﹣4x+9配成完全平⽅式（直接写出两种形式）；（2）将x4+x2y2+y4分解因式；（3）已知a、b、c是△ABC的三边⻓，且满⾜a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断此三⻆形的形状．14．（2018秋•⽆为县期末）阅读下列⽂字与例题，并解答：将⼀个多项式分组进⾏因式分解后，可⽤提公因式法或公式法继续分解的⽅法称作分组分解法．例如：以下式⼦的分解因式的⽅法就称为分组分解法．a2+2ab+b2+ac+bc原式＝（a2+2ab+b2）+（ac+bc）＝（a+b）2+c（a+b）＝（a+b）（a+b+c）（1）试⽤“分组分解法”因式分解：x2﹣y2+xz﹣yz（2）已知四个实数a，b，c，d，满⾜a≠b，c≠d，并且a2+ac＝12k，b2+bc＝12k，c2+ac＝24k，d2+ad＝24k，同时成⽴．①当k＝1时，求a+c的值；②当k≠0时，⽤含a的代数式分别表示b、c、d（直接写出答案即可）．15．（2018秋•岳麓区校级⽉考）阅读并解决问题：已知a2+3a+1＝0，求a+的值．因为a≠0，将a2+3a+1＝0两边同时除以a，得a+3＝0，即a＝﹣3请解决以下问题：（1）已知x2+3x+1＝0，求x2+的值；（2）已知求的值；（3）已知z+＝2，求代数式z+z2+z4+z8+…+z1024++的值．16．（2016•重庆模拟）“⼗字相乘法”能把⼆次三项式分解因式，对于形如ax2+bxy+cy2的关于x，y的⼆次三项式来说，⽅法的关键是把x2项系数a分解成两个因数a1，a2的积，即a＝a1•a2，把y2项系数c分解成两个因数c1，c2的积，即c＝c1•c2，并使a1•c2+a2•c1正好等于xy 项的系数b，那么可以直接写成结果：ax2+bxy+cy2＝（a1x+c1y）（a2x+c2y）．例：分解因式：x2﹣2xy﹣8y2．解：如图1，其中1＝1×1，﹣8＝（﹣4）×2，⽽﹣2＝1×2+1×（﹣4）．∴x2﹣2xy﹣8y2＝（x﹣4y）（x+2y）⽽对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x，y的⼆元⼆次式也可以⽤⼗字相乘法来分解，如图2，将a分解成mn乘积作为⼀列，c分解成pq乘积作为第⼆列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np＝b，pk+qj＝e，mk+nj＝d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满⾜⼗字相乘规则，则原式＝（mx+py+j）（nx+qy+k）；例：分解因式：x2+2xy﹣3y2+3x+y+2解：如图3，其中1＝1×1，﹣3＝（﹣1）×3，2＝1×2；⽽2＝1×3+1×（﹣1），1＝（﹣1）×2+3×1，3＝1×2+1×1；∴x2+2xy﹣3y2+3x+y+2＝（x﹣y+1）（x+3y+2）请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：①6x2﹣17xy+12y2＝②2x2﹣xy﹣6y2+2x+17y﹣12＝③x2﹣xy﹣6y2+2x﹣6y＝（2）若关于x，y的⼆元⼆次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成两个⼀次因式的积，求m的值．。
整式的乘法与因式分解知识点总结
整式的乘法与因式分解知识点总结整式是由整数、变量和运算符号相结合，通过加、减、乘、除等运算符号连接而成的代数式。
整式的乘法是指对两个或多个整式进行相乘的操作。
一、整式的乘法1.乘法运算的简便性：相同指数的变量相乘，可以将指数相加。
例如，a^2*a^3=a^(2+3)=a^52.简单常数的乘法：整数与整式相乘，只需将整数与整式中的每一项依次相乘。
3.分配律的运用：对于多项式的乘法，可以采用分配律以简化计算过程。
例如：(x+2)(x+3)=x*x+x*3+2*x+2*3=x^2+3x+2x+6=x^2+5x+64.合并同类项：在整式的乘法中，应合并同类项，即将指数相同的项进行合并。
例如，2x*3x=6x^25.乘法的交换律：整式在乘法中满足交换律。
例如，a*b=b*a。
二、因式分解因式分解是将一个整式拆分成多个因式的乘积的过程。
因式分解的目的是将复杂的整式转化为简单的乘法形式，方便计算与研究。
1.提公因式法：通过提取公因式的方法进行因式分解。
提公因式法的步骤如下：(1)将各项中的公因式提取出来；(2)原式中的每一项除以公因式，得到一个新的因式分解。
例如：6x^2+12x=6x(x+2)2.公式法：根据一些特定的公式进行因式分解。
例如：a^2-b^2=(a-b)(a+b)x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)(x+y) = (x+y)^23.分组分解法：根据整式中存在的属于同一类别的项的相似性，将其进行分组并提取公因式。
例如：ab + ac + bd + bc = a(b+c) + b(d+c) = (b+c)(a+d)4.公因式分解法：在整式中找出各项的公因式，并将其提取出来，得到一个新的因式分解。
例如：2a^2b^2 + 4ab^3 = 2ab^2(a + 2b)5.平方差公式：根据平方差公式进行因式分解。
例如：a^2-b^2=(a-b)(a+b)6.根据特定条件进行因式分解：对于特定形式的整式，可以根据一些特定的条件进行因式分解。
第3讲 乘法公式和因式分解
第3讲 乘法公式和因式分解一、考点知识梳理【考点1 平方差公式】两数和与这两数差的积，等于它们的平方差(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2【考点2 完全平方公式】两数的平方和，加上（或者减去）它们的积的两倍等于它们和（或差）的平方(a±b)2＝a 2±2ab ＋b 2【考点3 因式分解】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 要点二、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律.要点三、公式法1.平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：2.完全平方公式两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即，. 形如，的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点四、十字相乘法和分组分解法十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. m m ()()22a b a b a b -=+-()2222a ab b a b ++=+()2222a ab b a b -+=-222a ab b ++222a ab b -+a b a b对于二次三项式，若存在 ，则 分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点五、因式分解的一般步骤因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．（4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．二、考点分析【考点1 平方差公式】【解题技巧】能够运用平方差公式进行多项式乘法运算的必须是两个二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．反之能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式且符号相反．【例1】(2019河北沧州中考模拟)若（a ﹣b ﹣2）2+|a +b +3|＝0，则a 2﹣b 2的值是（ ）A ．﹣1B ．1C ．6D ．﹣6【一领三通1-1】(2019 山东青岛模拟)若k 为任意整数，且993﹣99能被k 整除，则k 不可能是（ ）A ．50B ．100C ．98D ．97【一领三通1-2】(2019辽宁大连模拟)先化简，再求值：(a ＋b)(a －b)＋b(a ＋2b)－b 2，其中a ＝1，b ＝－2.【一领三通1-3】(2019河北石家庄中考模拟)计算并观察、探究下列式子①（x ﹣1）（x +1）＝ x 2﹣1②（x ﹣1）（x 2+x +1）＝ x 3﹣1③（x ﹣1）（x 3+x 2+x +1）＝x 4﹣1④（x ﹣1）（x 4+x 3+x 2+x +1）＝x 5﹣1⑤（x ﹣1）（x 5+x 4+x 3+x 2+x +1）＝x 6﹣1…由以上规律（1）填空：（x ﹣1）（x n +x n ﹣1+…+x +1）＝ ． 2x bx c ++pq c p q b=⎧⎨+=⎩()()2x bx c x p x q ++=++（2）求：22019+22018+22017+…+22+2+1 的值．【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，规律总结得到一般性结论，写出即可；（2）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果．【考点2 完全平方公式】【解题技巧】能运用完全平方公式进行多项式乘法运算的，必须是两个数（或差）的平方和的形式，反之能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．【例2】(2019辽宁锦州中考模拟)如果二次三项次x 2﹣16x +m 2是一个完全平方式，那么m 的值是（ ）A ．±8B ．4C ．﹣2D ．±2【一领三通2-1】(2019山东聊城中考模拟)已知a ，b 是△ABC 的两边，且a 2＋b 2＝2ab ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．锐角三角形D ．不确定【一领三通2-2】(2019沧州九中模拟)当s ＝t ＋12时，代数式s 2－2st ＋t 2的值为 ． 【分析】运用完全平方公式分解因式【一领三通2-3】（2019•吉林长春中考）先化简，再求值：（2a +1）2﹣4a （a ﹣1），其中a ＝．【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式分别化简得出答案．【一领三通2-4】（2018，江苏南京模拟）先化简，再求值：2(21)2(21)3a a +-++，其中a =【分析】直接运用(a+b)2=a 2+2ab+b 2进行计算、化简.【考点3 因式分解】【解题技巧】因式分解的一般步骤：(1)如果多项式各项有公因式，应先提取公因式；(2)如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法来分解因式，看是否符合平方差公式还是完全平方公式，有时需考虑用十字交乘法；(3)检查因式分解是否彻底，必须分解到每一个因式不能再分解为止．类型一、提公因式法分解因式1、 分解因式：(1)；(2)．【总结升华】在提取公因式时要注意提取后各项字母，指数的变化，另外分解要彻底，特别是因式中含有多项式的一定要检验是否能再分，分解因式后可逆过来用整式乘法验证其正确与否．2、利用分解因式证明：能被120整除．【思路点拨】25＝，进而把整理成底数为5的幂的形式，然后提取公因式并整理为含有120的因数即可．【总结升华】解决本题的关键是用因式分解法把所给式子整理为含有120的因数相乘的形式． 类型二、公式法分解因式3、放学时，王老师布置了一道分解因式题：，小明思考了半天，没有答案，就打电话给小华，小华在电话里讲了一句，小明就恍然大悟了，你知道小华说了句什么话吗？小明是怎样分解因式的．【思路点拨】把分别看做一个整体，再运用完全平方公式解答．222284a bc ac abc +-32()()()()m m n m m n m m n m n +++-+-712255-25725()()()222244x y x y x y ++---()()x y x y +-、【总结升华】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，注意把看作完全平方式里的是解题的关键．4、若多项式5x 2+17x ﹣12可因式分解成（x +a ）（bx +c ），其中a 、b 、c 均为整数，则a +c 之值为何？（ ）A ．1B ．7C ．11D ．13故选：A ．5、）把下列各式进行因式分解（1）4（x ﹣2）2﹣1；（2）（x+y ）2+4（x+y+1）.【思路点拨】（1）直接利用平方差公式分解因式即可；（2）经过变形，利用完全平方公式分解因式即可.【总结升华】此题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握乘法公式是解题关键．举一反三： 类型三、十字相乘法和分组分解法分解因式6、分解因式：（1）（2）【总结升华】做题之前要仔细观察，注意从整体的角度看待问题.()()x y x y +-、,a b ()()222222x x ----()2224420x xx x +---7、（x ﹣y ）2+5（x ﹣y ）﹣50．课堂测1．（2019·安徽中考模拟）下列分解因式正确的是（ ）A ．24(4)x x x x -+=-+B ．2()x xy x x x y ++=+C ．2()()()x x y y y x x y -+-=-D ．244(2)(2)x x x x -+=+-2．（2018·江苏中考模拟）把多项式x 2+ax+b 分解因式，得(x+1)(x -3)，则a 、b 的值分别是（） A ．a=2，b=3 B ．a=-2，b=-3C ．a=-2，b=3D ．a=2，b=-33．（2018·广西中考真题）下列各式分解因式正确的是（ ）A ．x 2+6xy+9y 2=（x+3y ）2B ．2x 2﹣4xy+9y 2=（2x ﹣3y ）2C ．2x 2﹣8y 2=2（x+4y ）（x ﹣4y ）D ．x （x ﹣y ）+y （y ﹣x ）=（x ﹣y ）（x+y ）4．（2019·山东中考模拟）多项式4a ﹣a 3分解因式的结果是（ ）A ．a （4﹣a 2）B ．a （2﹣a ）（2+a ）C ．a （a ﹣2）（a+2）D ．a （2﹣a ）25．（2018·安徽中考模拟）将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是( )A ．a 2-1B ．a 2+aC ．a 2+a -2D ．(a+2)2-2(a+2)+1利用公式法解决代数式求值问题的方法1．（2018·河南中考模拟）已知a ﹣b=1，则a 3﹣a 2b+b 2﹣2ab 的值为（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．22．（2017·陕西中考模拟）已知实数x 满足22110x x x x +++=，那么1x x +的值是（ ）A ．1或﹣2B ．﹣1或2C ．1D ．﹣23．（2019·江苏中考模拟）若x 2+mx -15=(x+3)(x+n)，则m 的值为( )A ．-5B ．5C ．-2D ．2课后习题一、选择题1.（2019，湖南湘潭中考模拟）下列式子，正确的是（ ）A. 3+=B. 1)1=C. 122-=-D. 2222()x xy y x y +-=-（2019，安徽蚌埠中考模拟） 下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）A.x 2－xyB. x 2＋xyC. x 2－y 2D. x 2＋y 23.（2019•河北石家庄中考模拟）若要使4x 2+mx +成为一个两数差的完全平方式，则m 的值应为（ ） A ． B ． C ． D ．4.（2019•山东青岛中考模拟）如果自然数a 是一个完全平方数，那么与a 之差最小且比a 大的一个完全平方数是（ ）5.（2019•辽宁本溪中考模拟）有一个长方形内部剪掉了一个小长方形，它们的尺寸如图所示，则余下的部分（阴影部分）的面积（ ）A ．4a 2B ．4a 2﹣abC ．4a 2+abD ．4a 2﹣ab ﹣2b 2 二、填空题1.（2019•呼和浩特中考）因式分解：x 2y ﹣4y 3＝ ．2.（2019•辽宁沈阳中考）因式分解：﹣x 2﹣4y 2+4xy ＝ ．3.（2019•甘肃兰州中考）因式分解：a 3+2a 2+a ＝ ．4.（2019•山东威海中考）分解因式：2x 2﹣2x +＝ ．5.（2019，江苏省连云港中考模拟）当12s t =+时，代数式222s st t -+的值为 ． 6. (2019,山西省太原中考模拟)分解因式(4)4x x ++的结果是 ．7.（2019，山东潍坊中考模拟）分解因式：32627x x x +-= ．8. （2019，河北沧州中考模拟）有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图①，它表示了（2m +n ）（m+n）＝2m2+3mn+n2（1）图②是将一个长2m、宽2n的长方形，沿图中虚线平均分为四块小长方形，然后再拼成一个正方形（图③），则图③中的阴影部分的正方形的边长等于（用含m、n的代数式表示）（2）请用两种不同的方法列代数式表示图③中阴影部分的面积．方法①方法②（3）请你观察图形③，写出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn关系的等式：；（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若已知x+y＝7，xy＝10，则（x﹣y）2＝；（5）小明用8个一样大的长方形（长acm，宽bcm）拼图，拼出了如图甲、乙的两种图案，图案甲是一个正方形，图案乙是一个大的长方形，图案甲的中间留下了边长是2cm的正方形小洞．则（a+2b）2﹣8ab 的值为．三、解答题1.(2019湖南怀化中考模拟)先化简，再求值：(2a－1)2－2(a＋1)(a－1)－a(a－2)，其中a＝2＋1.2.(2019浙江宁波中考模拟)化简：(a＋b)2＋(a－b)(a＋b)－2ab.3、(2019浙江金华中考模拟)先化简，再求值：(x＋5)(x－1)＋(x－2)2，其中x＝－2.4.（2019江苏省淮安中考模拟）先化简，再求值：[]21y 1,))(()(2=-=÷+-+-，其中x x y x y x y x5. 已知a +b ＝3，ab ＝﹣10．求：（1）a 2+b 2的值；（2）（a ﹣b ）2的值．6.下面是某同学对多项式（x 2﹣4x +2）（x 2﹣4x +6）+4进行因式分解的过程．解：设x 2﹣4x ＝y ，原式＝（y +2）（y +6）+4 （第一步）＝y 2+8y +16 （第二步）＝（y +4）2（第三步）＝（x 2﹣4x +4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ．A ．提取公因式B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？ ．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x 2﹣2x ）（x 2﹣2x +2）+1进行因式分解．7.正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长96cm，它们的面积相差960cm2，求这两个正方形的边长．8.如图，在长方形ACDF中，AC＝DF，点B在CD上，点E在DF上，BC＝DE＝a，AC＝BD＝b，AB＝BE＝c，且AB⊥BE．（1）用两种不同的方法表示长方形ACDF的面积S．方法一：S＝．方法二：S＝．（2）求a，b，c之间的等量关系（需要化简）．（3）请直接运用（2）中的结论，求当c＝10，a＝6，S的值．。
第九章 整式乘法与因式分解 2021-2022学年七年级数学下册单元复习(苏科版)(解析版)
第九章整式乘法与因式分解（基础）一．选择题（共8小题）1．下面计算正确的是（）A．x3•x3＝x9B．a4÷2a3＝2aC．2x2•3x2＝6x2D．（x5）2＝x10【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、单项式乘单项式分别计算，进而判断得出答案．【解答】解：A．x3•x3＝x6，故此选项不合题意；B．a4÷2a3=12a，故此选项不合题意；C.2x2•3x2＝6x4，故此选项不合题意；D．（x5）2＝x10，故此选项符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a（x﹣y）＝ax﹣ayC．x2+2x+1＝x（x+2）+1D．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3【分析】根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案．【解答】解：A、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意；B、a（x﹣y）＝ax﹣ay，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；C、x2+2x+1＝x（x+2）+1，没把一个多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；D、（x+1）（x+3）＝x2+4x+3，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了因式分解的意义．掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式是解题关键．3．下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a5B．（a3）2＝a5C．（2ab2）3＝6a3b6D．3a2÷4a2=3 4a【分析】直接利用整式的除法运算法则、同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A、a2•a3＝a5，故此选项正确；B 、（a 3）2＝a 6，故此选项错误；C 、（2ab 2）3＝8a 3b 6，故此选项错误；D 、3a 2÷4a 2=34，故此选项错误； 故选：A ．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算、幂的乘方运算、整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．4．如果x 2+（m ﹣2）x +9是个完全平方式，那么m 的值是（ ） A ．8B ．﹣4C ．±8D ．8或﹣4【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m 的值．【解答】解：∵关于x 的二次三项式x 2+（m ﹣2）x +9是完全平方式， ∴x 2+（m ﹣2）x +9＝（x ±3）2， 而（x ±3）2＝x 2±6x +9， ∴m ﹣2＝±6， ∴m ＝8或﹣4． 故选：D ．【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．5．在下列各项中，可以用平方差公式计算的是（ ） A ．（2a +3b ）（3a ﹣2b ） B ．（a +b ）（﹣a ﹣b ）C ．（﹣m +n ）（m ﹣n ）D ．（12a +b ）（b −12a ）【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可得到结果．【解答】解：A 、（2a +3b ）（3a ﹣2b ），不符合平方差公式的结构特征，故错误； B 、（a +b ）（﹣a ﹣b ），不符合平方差公式的结构特征，故错误； C 、（﹣m +n ）（m ﹣n ），不符合平方差公式的结构特征，故错误； D 、(12a +b)(b −12a)，符合平方差公式的结构特征，故正确； 故选：D ．【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 6．若（x +m ）（x ﹣8）中不含x 的一次项，则m 的值为（ ） A ．8B ．﹣8C ．0D ．8或﹣8【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开式子，并合并，不含x 的一次项就是含x 项的系数等于0，求解即可．【解答】解：∵（x +m ）（x ﹣8）＝x 2﹣8x +mx ﹣8m ＝x 2+（m ﹣8）x ﹣8m ，又结果中不含x 的一次项， ∴m ﹣8＝0， ∴m ＝8． 故选：A ．【点评】本题考查了多项式乘以多项式的法则，根据不含某一项就是说这一项的系数等于0得出是解题关键．7．如图，大正方形与小正方形的面积之差是30，则阴影部分的面积是（ ）A ．15B ．10C ．30D ．20【分析】设大正方形边长为x ，小正方形边长为y ，则AE ＝x ﹣y ，然后表示阴影部分面积，再计算整式的乘法和加减，进而可得答案．【解答】解：设大正方形边长为x ，小正方形边长为y ，则AE ＝x ﹣y ， 阴影部分的面积是：12AE •BC +12AE •DB ，=12（x ﹣y ）•x +12（x ﹣y ）•y ， =12（x ﹣y ）（x +y ）， =12（x 2﹣y 2）， =12×30 ＝15． 故选：A ．【点评】此题主要考查了整式的混合运算，关键是正确运用算式表示出阴影部分面积． 8．如图甲，在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ），把余下的部分剪拼成一个矩形如图乙，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）A．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【分析】分别求得两幅图形中阴影部分的面积，然后依据阴影部分的面积相等可得到答案．【解答】解：图甲的面积＝大正方形的面积﹣空白处正方形的面积＝a2﹣b2；图乙中矩形的长＝a+b，宽＝a﹣b，图乙的面积＝（a+b）（a﹣b）．所以a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：D．【点评】本题主要考查的是平方差公式的几何背景，依据两个图形中阴影部分面积相等求解是解题的关键．二．填空题（共8小题）9．计算：（2×103）×（8×105）＝ 1.6×109．【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．【解答】解：原式＝2×8×108＝1.6×109．故答案为：1.6×109．【点评】本题考查了单项式乘单项式，科学记数法，解决本题的关键是准确进行单项式乘单项式运算．10．若多项式4x2﹣kx+25是一个完全平方式，则k的值是±20．【分析】根据已知可得完全平方式是（2x±5）2＝4x2±20x+25，依据对应相等可得﹣kx ＝±20x，解得k＝±20．【解答】解：∵4x2﹣kx+25是一个完全平方式，∴4x2﹣kx+25＝（2x）2﹣kx+52＝（2x±5）2，∵（2x±5）2＝4x2±20x+25，∴﹣kx＝±20x，解得k＝±20．故答案为：±20．【点评】本题主要考查了完全平方式，完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”11．在实数范围内分解因式：a2﹣3b2＝（a+√3b）（a−√3b）．【分析】利用平方差公式因式分解即可．【解答】解：a2﹣3b2＝a2﹣（√3b）2＝（a+√3b）（a−√3b）．【点评】本题考查了在实数范围内分解因式，一定要注意分解到不能再分解为止．12．若a﹣b＝8，ab＝﹣15，那么a2+b2的值为34．【分析】利用完全平方公式，把a2+b2化为（a﹣b）2+2ab求解即可．【解答】解：∵a﹣b＝8，ab＝﹣15，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝64﹣30＝34．故答案为：34．【点评】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是熟记完全平方公式．13．若x2+x﹣2＝0，则x3+2x2﹣x+2020＝2022．【分析】根据条件得x2＝2﹣x，x2+x＝2，然后整体代入求值即可．【解答】解：∵x2+x﹣2＝0，∴x2＝2﹣x，x2+x＝2，∴原式＝x2（x+2）﹣x+2020＝（2﹣x）（2+x）﹣x+2020＝4﹣x2﹣x+2020＝2024﹣（x2+x）＝2024﹣2＝2022，故答案为：2022．【点评】本题考查了因式分解的应用，体现了整体思想，将x2＝2﹣x代入，可以起到降次的目的，这是解题的关键．14．边长分别为a和2a的两个正方形按如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为2a2．【分析】结合图形，发现：阴影部分的面积＝大正方形的面积的+小正方形的面积﹣直角三角形的面积．【解答】解：阴影部分的面积＝大正方形的面积+小正方形的面积﹣直角三角形的面积＝（2a）2+a2−12•2a•3a＝4a2+a2﹣3a2＝2a2．故填：2a2．【点评】此题考查了整式的混合运算，关键是列出求阴影部分面积的式子．15．有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得图甲，将A、B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和10，则正方形A，B的面积之和为11．【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图形得出关系式求解即可．【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图甲得a2﹣b2﹣2（a﹣b）b＝1即a2+b2﹣2ab＝1，由图乙得（a+b）2﹣a2﹣b2＝10，2ab＝10，所以a2+b2＝11，故答案为：11．【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是根据图形得出数量关系．16．甲乙两人完成因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），那么x2+ax+b分解因式正确的结果为（x ﹣6）（x+2）．【分析】根据甲、乙看错的情况下得出a、b的值，进而再利用十字相乘法分解因式即可．【解答】解：因式分解x2+ax+b时，∵甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），∴b＝6×（﹣2）＝﹣12，又∵乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），∴a＝﹣8+4＝﹣4，∴原二次三项式为x2﹣4x﹣12，因此，x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2），故答案为：（x﹣6）（x+2）．【点评】本题考查十字相乘法进行因式分解，掌握十字相乘法的使用方法是得出答案的关键．三．解答题（共9小题）17．因式分解：（1）4m2﹣36；（2）2a2b﹣8ab2+8b3．【分析】（1）直接提取公因式4，再利用平方差公式分解因式即可；（2）直接提取公因式2b，再利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：（1）原式＝4（m2﹣9）＝4（m+3）（m﹣3）；（2）原式＝2b（a2﹣4ab+4b2）＝2b（a﹣2b）2．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．18．先化简，再求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣x（5x+4）﹣（x﹣1）2，其中x2+x﹣3＝0．【分析】直接利用乘法公式以及单项式乘多项式分别化简，再合并同类项，进而把已知变形代入得出答案．【解答】解：（2x+3）（2x﹣3）﹣x（5x+4）﹣（x﹣1）2＝4x2﹣9﹣5x2﹣4x﹣x2+2x﹣1＝﹣2x2﹣2x﹣10，∵x2+x﹣3＝0，∴x2+x＝3，∴原式＝﹣2（x2+x）﹣10＝﹣2×3﹣10＝﹣16．【点评】此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确运用乘法公式计算是解题关键．19．已知多项式A＝x2+2x+n2，多项式B＝2x2+4x+3n2+3．（1）若多项式x2+2x+n2是完全平方式，则n＝1或﹣1；（2）已知x＝m时，多项式x2+2x+n2的值为﹣1，则x＝﹣m时，该多项式的值为多少？（3）判断多项式A与B的大小关系并说明理由．【分析】（1）根据完全平方式的定义计算即可；（2）根据题意可得（m+1）2+n2＝0，再根据实数的非负性解答即可；（3）可得B﹣A＝（x﹣1）2+2n2+2，再根据实数的非负性解答即可．【解答】解：（1）∵x2+2x+n2是一个完全平方式，∴n2＝1，∴n＝±1．故答案为：1或﹣1；（2）当x＝m时m2+2m+n2＝﹣1，∴m2+2m+1+n2＝0，∴（m+1）2+n2＝0，∵（m+1）2≥0，n2≥0，∴x＝m＝﹣1，n＝0，∴x＝﹣m时，多项式x2+2x+n2的值为m2﹣2m+n2＝3；（3）B＞A．理由如下：B﹣A＝2x2+4x+3n2+3﹣（x2+2x+n2）＝x2+2x+2n2+3＝（x+1）2+2n2+2，∵（x+1）2≥0，2n2≥0，∴（x+1）2+2n2+2＞0，∴B＞A．【点评】本题考查完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如a2±2ab+b2这样的式子是完全平方式，属于中考常考题型．20．图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形．（1）图2中间空白的部分的面积是（a﹣b）2；（2）观察图2，请你写出代数式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系式（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；（3）根据你得到的关系式解答下列问题：若x+y＝﹣4，xy＝3，求x﹣y的值．【分析】（1）由图形面积间和差关系可得此题结果为（a﹣b）2；（2）由图形面积间关系可得：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；（3）由（2）题关系式可得，（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，就能求得最后结果．【解答】解：（1）由题意得，图2中间空白的部分的面积是（a﹣b）2，故答案为：（a﹣b）2；（2）由图2中间空白的部分的面积的不同表示方法可得：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；（3）由（2）题关系式可得，（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝（﹣4）2﹣4×3＝4∴x﹣y＝±2，即x﹣y的值是±2．【点评】此题考查了利用完全平方公式的几何背景解决问题的能力，关键是能根据图形得到整式间关系式，并能运用关系式解决新问题．21．（1）如图，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，你能发现什么？（用含有x、y的等式表示）4xy＝（x+y）2﹣（x﹣y）2．（2）若（3x﹣2y）2＝5，（3x+2y）2＝9，求xy的值；（3）若2x+y＝5，xy＝2，求2x﹣y的值．【分析】（1）阴影部分的面积可以由边长为x+y的大正方形的面积减去边长为x﹣y的小正方形面积求出，也可以由4个长为x，宽为y的矩形面积之和求出，表示出即可；（2）将（3x﹣2y）2＝5，（3x+2y）2＝9，代入（1）中的等式可求解；（3）将2x+y＝5，xy＝2，代入（1）中的等式可求解；【解答】解：（1）4xy＝（x+y）2﹣（x﹣y）2；（2）∵（3x+2y）2﹣（3x﹣2y）2＝24xy＝9﹣5，∴xy=1 6；（3）∵（2x+y）2﹣（2x﹣y）2＝8xy，∴25﹣16＝（2x﹣y）2，∴2x﹣y＝±3．【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，弄清题意是解本题的关键．22．对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132＝666，666÷111＝6，所以，F（123）＝6．（1）计算：F（243），F（761）的值；（2）已知一个相异数p，且p＝100a+10b+c，（其中a，b，c均为小于10的正整数），则F（p）＝a+b+c，（3）若m，n都是“相异数”，其中m＝100x+23，n＝150+y（1≤x≤9，1≤y≤9且x，y都是正整数），若k=F(m)F(n)，当F（m）+F（n）＝16时，求k的值．【分析】（1）利用已知条件及方法代数求解（2）百位数的表示方法（3）利用前两问的方法表示F（m），F（n）．利用F（m）+F（n）＝16，求解不定等式中x与y的值．进而求出F（m），F（n）的值．【解答】解：（1）F（243）＝（423+342+234）÷111＝9，F（761）＝（671+167+716）÷111＝14．（2）∵相异数p＝100a+10b+c，（其中a，b，c均为小于10的正整数），∴F（p）＝[100（a+b+c）+10（a+b+c）+（a+b+c）]÷111＝a+b+c故答案为：a+b+c（3）∵m，n都是“相异数”，且m＝100x+23，n＝150+y（1≤x≤9，1≤y≤9且x，y都是正整数），∴F（m）＝[00（x+2+3）+10（x+2+3）+（x+2+3）]÷111＝x+5，F（n）＝（51y+y51+1y5）＝[100（1+5+y）+10（1+5+y）+（1+5+y）]÷111＝6+y又∵F（m）+F（n）＝16∴x+y＝5．又∵1≤x≤9，1≤y≤9∴当x＝1，y＝4当x＝2，y＝3当x＝3，y＝2当x＝4，y＝1．又∵m，n都是“相异数”，∴x≠2，x≠3，y≠1∴x＝1，y＝4∴F（m）＝6，F（n）＝10∴k＝6÷10＝0.6故k＝0.6【点评】本题考查了数的表示及数的运算，解决不定等式的方法是本题的难点，最后根的取舍考查了同学对相异数定义的理解23．将7张相同的小长方形纸片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠的放在长方形ABCD 内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为S1，S2，已知小长方形纸片的长为a＝9，宽为b＝2，且a＞b，AD＝30．请求：（1）长方形ABCD的面积；（2）S1﹣S2的值．【分析】（1）根据图形和题目中的数据，可以计算出长方形ABCD的面积；（2）根据图形和题目中的数据，可以计算出S1﹣S2的值．【解答】解：（1）由图可知，AB＝4b+a＝4×2+9＝8+9＝17，又∵AD＝30，∴S长方形ABCD＝AB•AD＝17×30＝510；（2）由图可得，S1﹣S2＝（4b•AD﹣4ab）﹣（a•AD﹣3ab）＝（4×2×30﹣4×9×2）﹣（9×30﹣3×9×2）＝（240﹣72）﹣（270﹣54）＝168﹣216＝﹣48．【点评】本题考查整式的混合运算，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．24．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：因为a+b＝3，ab＝1所以（a+b）2＝9，2ab＝2所以a2+b2+2ab＝9，2ab＝2得a2+b2＝7根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；（2）①若（4﹣x）x＝5，则（4﹣x）2+x2＝6；②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝17；（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝18，求图中阴影部分面积．【分析】理解题目给出得例题，再根据完全平方公式的变形应用，解决问题．【解答】解：（1）∵x+y＝8；∴（x+y）2＝82；x2+2xy+y2＝64；又∵x2+y2＝40；∴2xy＝64﹣（x2+y2），∴2xy＝64﹣40＝24，xy＝12．（2）①∵（4﹣x）+x＝4，∴[（4﹣x）+x]2＝42[（4﹣x）+x]2＝（4﹣x）2+2（4﹣x）x+x2＝16；又∵（4﹣x）x＝5，∴（4﹣x）2+x2＝16﹣2（4﹣x）x＝16﹣2×5＝6．②由（4﹣x）﹣（5﹣x）＝﹣1，∴[（4﹣x）﹣（5﹣x）]2＝（4﹣x）2﹣2（4﹣x）（5﹣x）+（5﹣x）2＝（﹣1）2；又∵（4﹣x）（5﹣x）＝8，∴（4﹣x）2+（5﹣x）2＝1+2（4﹣x）（5﹣x）＝1+2×8＝17．（3）由题意可得，AC+BC＝6，AC2+BC2＝18；∵（AC+BC）2＝62，AC2+2AC•BC+BC2＝36；∴2AC•BC＝36﹣（AC2+BC2）＝36﹣18＝18，AC•BC＝9；图中阴影部分面积为直角三角形面积，∵BC＝CF∴S△ACF=12AC⋅CF=92．【点评】本题主要考查了完全平方公式的适当变形灵活应用，（1）可直接应用公式变形解决问题．（2）①②小题都需要根据题意得出两个因式和或者差的结果，合并同类项得①（4﹣x）+x＝4，②（4﹣x）﹣（5﹣x）＝﹣1是解决本题的关键，再根据完全平方公式变形应用得出答案．（3）根据几何图形可知选段AB+BC＝6，再根据两个正方形面积和为18，利用完全平方公式变形应用得到AC•BC＝9，再根据直角三角形面积公式得出答案．25．【知识回顾】七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3．【理解应用】（1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关，求m值；（2）已知A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，且3A+6B的值与x无关，求y的值；【能力提升】（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD 内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系．【分析】（1）由题可知代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，故将多项式整理为（2m﹣3）x﹣3m+2m2，令x系数为0，即可求出m；（2）根据整式的混合运算顺序和法则化简3A+6B可得3x（5y﹣2）﹣9，根据其值与x 无关得出5y﹣2＝0，即可得出答案；（3）设AB＝x，由图可知S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a），即可得到S1﹣S2关于x的代数式，根据取值与x可得a＝2b．【解答】解：（1）（2x﹣3）m+2m2﹣3x＝2mx﹣3m+2m2﹣3x＝（2m﹣3）x+2m2﹣3m，∵其值与x的取值无关，∴2m﹣3＝0，解得，m=3 2，答：当m=32时，多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关；（2）∵A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，∴3A+6B＝3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）＝3（2x2﹣2x+x﹣1﹣x+3xy]﹣6x2+6xy﹣6＝6x2﹣6x+3x﹣3﹣3x+9xy﹣6x2+6xy﹣6＝15xy﹣6x﹣9＝3x（5y﹣2）﹣9，∵3A+6B的值与x无关，∴5y﹣2＝0，即y=2 5；（3）设AB＝x，由图可知S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a），∴S1﹣S2＝a（x﹣3b）﹣2b（x﹣2a）＝（a﹣2b）x+ab，∵当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变．∴S1﹣S2取值与x无关，∴a﹣2b＝0∴a＝2b．【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出关于y的方程是解题的关键．。