高考数学大一轮复习第6章第2节一元二次不等式及其解法课时提升练文新人教版
届高考数学一轮复习第六章不等式课堂达标一元二次不等式及其解法文新人教版
课堂达标(三十一) 一元二次不等式及其解法[A 根底稳固练]1．(2022·潍坊模拟)函数f (x )＝1ln－x 2＋4x －3的定义域是( )A ．(－∞，1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－∞，2)∪(2，＋∞)D ．(1,2)∪(2,3)[解析] 由题意得－x 2＋4x －3>0，即x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3，又ln(－x 2＋4x －3)≠0，即－x 2＋4x －3≠1，∴x 2－4x ＋4≠0，∴x ≠2.故函数定义域为(1,2)∪(2,3)．[答案] D2．不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，那么函数y ＝f (－x )的图象为( )[解析] 由根与系数的关系得1a ＝－2＋1，－ca＝－2，得a ＝－1，c ＝－2，∴f (x )＝－x 2－x ＋2(经检验知满足题意)，∴f (－x )＝－x 2＋x ＋2，其图象开口向下，顶点为⎝⎛⎭⎪⎫12，94. [答案] B3．某商场假设将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件. 那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间[解析] 设销售价定为每件x 元，利润为y ，那么：y ＝(x －8)[100－10(x －10)]， 依题意有，(x －8)[100－10(x －10)]>320， 即x 2－28x ＋192<0，解得12<x <16， 所以每件销售价应为12元到16元之间． [答案] C4．(2022·昆明模拟)不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，那么实数a 的取值范围为( )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5][解析] x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.[答案] A5．(2022·郑州调研)规定记号“⊙〞表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)，假设1⊙k 2<3，那么k 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)D ．(0,2)[解析] 因为定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)，1⊙k 2<3，所以k 2＋1＋k 2<3，化为(|k |＋2)(|k |－1)<0，所以|k |<1，所以－1<k <1. [答案] A6．(2022·洛阳诊断)假设不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，那么a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－235[解析] 设f (x )＝x 2＋ax －2，由Δ＝a 2＋8>0，知方程f (x )＝0恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)≥0，f (1)≤0，解得a ≥－235，且a ≤1，故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1[答案] B7．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x <0，－x －1x ≥0，那么不等式x ＋(x ＋1)f (x －1)≤3的解集是______．[解析] ∵f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x <1－x ，x ≥1，∴x ＋(x ＋1)f (x －1)≤3等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <1x ＋x ＋1x ≤3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x ＋x ＋1－x ≤3，解得－3≤x <1，或x ≥1，即x ≥－3. [答案] {x |x ≥－3}8．(2022·西安检测)函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝－|x ＋3|＋m .假设函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，那么m 的取值范围为______．[解析] 函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，即为|x －2|>－|x ＋3|＋m 对任意实数x 恒成立，即|x －2|＋|x ＋3|>m 恒成立．因为对任意实数x 恒有|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5，所以m <5，即m 的取值范围是(－∞，5)．。
高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第二节 一元二次不等式及其解法学案 文-人教版高三全册
第二节一元二次不等式及其解法1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．知识点一一元二次不等式的解法判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集______________________________Rax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集________________________{x|x<x1或x>x2} {x|x≠－b2a }{x |x 1<x <x 2} ∅ ∅1．(2016·新课标全国卷Ⅲ)设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则S ∩T ＝( )A ．[2,3]B ．(－∞，2]∪[3，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(0,2]∪[3，＋∞)解析：集合S ＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，结合数轴，可得S ∩T ＝(0,2]∪[3，＋∞)． 答案：D2．不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) 解析：由数轴标根法可知原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1，选A.答案：A3．设一元二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为{x |－1<x <2}，则ab 的值为( ) A ．1B ．－14C ．4D ．－12解析：因为一元二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为 {x |－1<x <2}．所以方程ax 2＋bx ＋1＝0的解为－1,2.所以－1＋2＝－b a，(－1)×2＝1a.所以a ＝－12，b ＝12，所以ab ＝－14.答案：B知识点二 一元二次不等式恒成立的条件 1．ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的充要条件是：______ (x ∈R )．2．ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的充要条件是：______ (x ∈R )．答案1.⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ<02.⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ<04．若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是________． 解析：①当m ＝0时，1>0显然成立． ②当m ≠0时，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0.得0<m <1，由①②知0≤m <1. 答案：[0,1)5．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，∴Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16， ∴a >4或a <－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)热点一 一元二次不等式的解法 【例1】 解关于x 的不等式： (1)－2x 2＋4x －3>0； (2)12x 2－ax >a 2(a ∈R )； (3)a x －1x －2>1(a >0)．【解】 (1)原不等式可化为2x 2－4x ＋3<0.又判别式Δ＝42－4×2×3<0， ∴原不等式的解集为∅.(2)由12x 2－ax －a 2>0⇒(4x ＋a )(3x －a )>0⇒(x ＋a 4)(x －a3)>0，①当a >0时，－a 4<a 3，解集为{x |x <－a 4或x >a3}；②当a ＝0时，x 2>0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； ③当a <0时，－a 4>a 3，解集为{x |x <a 3或x >－a4}． (3)a x －1x －2－1>0⇒a －1x ＋2－ax －2>0⇒[(a －1)x ＋2－a ](x －2)>0.①当a ＝1时，不等式的解为x >2. ②当a ≠1时，关键是(a －1)的符号和比较a －2a －1与2的大小． ∵a －2a －1－2＝－aa －1，又a >0. ∴当0<a <1时，a －2a －1>2， 不等式的解为2<x <a －2a －1； 当a >1时，a －2a －1<2， 不等式的解为x <a －2a －1或x >2.综上所述，当0<a <1时，原不等式的解集为{x |2<x <a －2a －1}；当a ＝1，原不等式的解集为{x |x >2}；当a >1时，原不等式的解集为{x |x <a －2a －1或x >2}. 【总结反思】(1)解决二次问题的关键：一是充分利用数形结合；二是熟练进行因式分解． (2)通过解题程序，适时合理地对参数进行分类讨论． (3)应善于把分式不等式转化为整式不等式.解下列不等式： (1)0<x 2－x －2≤4； (2)x 2－4ax －5a 2>0(a ≠0)． 解：(1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －2x ＋1>0，x －3x ＋2≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{x |－2≤x <－1或2<x ≤3}． (2)由x 2－4ax －5a 2>0知(x －5a )(x ＋a )>0. 由于a ≠0故分a >0与a <0讨论． 当a <0时，x <5a 或x >－a ； 当a >0时，x <－a 或x >5a .综上，a <0时，解集为{x |x <5a 或x >－a }；a >0时，解集为{x |x >5a 或x <－a }． 热点二 一元二次不等式恒成立问题 考向1 形如f (x )≥0(x ∈R )恒成立问题【例2】 已知不等式mx 2－2x －m ＋1<0，是否存在实数m 对所有的实数x ，不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解】 不等式mx 2－2x －m ＋1<0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，1－2x <0，则x >12，不满足题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数，需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝4－4m 1－m <0，不等式组的解集为空集，即m 无解． 综上可知不存在这样的m .考向2 形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])恒成立问题【例3】 设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．【解】 要使f (x )<－m ＋5在[1,3]上恒成立，则mx 2－mx ＋m －6<0，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：解法1：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0. 所以m <67，则0<m <67.当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)＝m －6<0. 所以m <6.所以m <0. 综上所述，m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪0<m <67或m <0. 解法2：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34 在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．因为m ≠0，所以m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <0或0<m <67 . 考向3 形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])恒成立问题【例4】 对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．【解】 由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4， 令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零．∴⎩⎪⎨⎪⎧g－1＝x －2×－1＋x 2－4x ＋4>0，g 1＝x －2＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3.故当x 的取值为(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零.【总结反思】 恒成立问题求解思路(1)形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R )的不等式确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解．(2)形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])的不等式确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围．(3)形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])的不等式确定x 的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的范围；(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的范围； (3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，求实数x 的范围．解析：(1)∵x ∈R 时，有x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，须Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，所以－6≤a ≤2.(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)： ①如图①，当g (x )的图象恒在x 轴上方时，满足条件时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2.②如图②，g (x )的图象与x 轴有交点， 但在x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x ＝－a2<－2，g －2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－43－a ≥0，－a2<－2，4－2a ＋3－a ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a >4，a ≤73，解之得x ∈∅.③如图③，g (x )的图象与x 轴有交点， 但在x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x ＝－a2>2，g 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－43－a ≥0，－a2>2，7＋a ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a <－4，a ≥－7.∴－7≤a ≤－6，综上，得－7≤a ≤2.(3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧h 4≥0，h 6≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解之得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6. 答案：(1)[－6,2] (2)[－7,2](3)(－∞，－3－6)∪[－3＋6，＋∞)1．二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式．2．当Δ<0时，易混ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集为R 还是∅.3．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．4．对于恒成立问题，常用到以下两个结论： (1)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ； (2)a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .。
2021年高考数学大一轮总复习 第6篇 第2节 一元二次不等式及其解法课时训练 理 新人教A版
课时训练 理 新人教A 版一、选择题1．(xx 渭南模拟)函数y ＝x－x 2－3x ＋4的定义域为( )A ．(－∞，－4)∪(1，＋∞)B ．(－4,1)C ．(－4,0)∪(0,1)D ．(－1,4)解析：由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1，所以函数的定义域为(－4,1)．故选B.答案：B2．(xx 年高考重庆卷)不等式x －12x ＋1≤0的解集为( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) 解析：不等式x －12x ＋1≤0⇒⎩⎨⎧ x －12x ＋1≤0，2x ＋1≠0⇒－12<x ≤1. 故选A.答案：A3．如果关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3,4，那么实数a 的取值范围是( )A ．80≤a <125B ．80<a <125C ．a <80D ．a >125 解析：5x 2－a ≤0，得－a5≤x ≤a5，而正整数解是1,2,3,4，则4≤a5<5，∴80≤a <125.故选A.答案：A4．(xx 沈阳模拟)某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间解析：设销售价定为每件x 元，利润为y ，则：y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有，(x －8)[100－10(x －10)]>320，即x 2－28x ＋192<0，解得12<x <16，所以每件销售价应为12元到16元之间．故选C.答案：C5．(xx 莆田二模)不等式(x 2－2)log 2x >0的解集是() A ．(0,1)∪(2，＋∞)B ．(－2，1)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－2，2)解析：原不等式等价于⎩⎨⎧ x 2－2>0，log 2x >0或⎩⎨⎧x 2－2<0，log 2x <0，即不等式的解集为(0,1)∪(2，＋∞)．故选A.答案：A6．(xx 厦门模拟)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－4,1)，则不等式b (x 2－1)＋a (x ＋3)＋c >0的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，1 B ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ C ．(－1,4)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：由题意知－4,1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －4＋1＝－b a ，－4×1＝c a ，∴b ＝3a ，c ＝－4a ，∴不等式ax 2＋bx ＋c >0可化为a (x 2＋3x －4)>0，又其解集为(－4,1)，∴a <0，∴不等式b (x 2－1)＋a (x ＋3)＋c >0可化为：a(3x2＋x－4)>0，∴3x2＋x－4<0，解得－43<x<1.故选A.答案：A二、填空题7．(xx山东师大附中第三次模拟)不等式x x－1x＋2<0的解集是________________．解析：原不等式等价为x(x－1)(x＋2)<0，解得x<－2或0<x<1，即原不等式的解集为(－∞，－2)∪(0,1)．答案：(－∞，－2)∪(0,1)8．若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3<x<1}，则a的值为______．解析：∵(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3<x<1}，∴1－a<0，即a>1.于是原不等式可化为(a－1)x2＋4x－6<0，a－1>0，其解集为{x|－3<x<1}．则方程(a－1)x2＋4x－6＝0的两根为－3和1.由⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，－3＋1＝－4a －1，－3×1＝－6a －1，解得a ＝3.答案：3 9．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2；若当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为________．解析：当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12， ∴f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1，∴m ≥1，n ≤0，m －n ≥1.答案：110．(xx 年高考重庆卷)设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________________．解析：由题意知，(8sin α)2－4×8·cos 2α≤0，∴2sin 2α－cos 2α≤0，∴2sin 2α－(1－2sin 2α)≤0，∴4sin 2α－1≤0， ∴sin 2α≤14， 又0≤α≤π，∴0≤sin α≤12. ∴0≤α≤π6或5π6≤α≤π. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π 三、解答题11．(xx 日照模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R.(1)求a 的取值范围；(2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 解：(1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，则有⎩⎨⎧ a >0，Δ＝2a2－4a ≤0，∴0<a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0,1]．(2)∵f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝ax ＋12＋1－a ， ∵a >0， ∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ，由题意得，1－a ＝22， ∴a ＝12， ∴不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34<0. 解得－12<x <32， 所以不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 12．已知f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．解：法一 f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a ，①当a ∈(－∞，－1)时，结合图象知，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3，要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得a ≥－3.又a <－1，∴－3≤a <－1.②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，由2－a 2≥a ，解得－2≤a ≤1.又a ≥－1，∴－1≤a ≤1.综上所述，所求a 的取值范围为－3≤a ≤1.法二 由已知得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立， 令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0， 或⎩⎨⎧ Δ>0，a ≤－1，g －1≥0，解得－3≤a ≤1.27952 6D30 洰30354 7692 皒28121 6DD9 淙28930 7102 焂40454 9E06 鸆-do32055 7D37 紷q Z23656 5C68 屨24996 61A4 憤37051 90BB 邻。
高考数学一轮复习第六章不等式第二讲一元二次不等式及其解法学案含解析新人教版
第二讲一元二次不等式及其解法知识梳理·双基自测知识梳理知识点一一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数__大于__零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)．(2)计算相应的__判别式__.(3)当__Δ≥0__时，求出相应的一元二次方程的根．(4)利用二次函数的图象与x轴的__交点__确定一元二次不等式的解集．知识点二三个二次之间的关系判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有__两相异__实根x1，x2(x1<x2)有__两相等__实根x1＝x2＝－b2a__没有__实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|__x>x2或x<x1__}{x|x∈R且__x≠x1__}__R__ ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|__x1<x<x2__}__∅____∅__归纳拓展1．ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0且b2－4ac<0(x∈R)．2．ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：a<0且b2－4ac<0(x∈R)．注意：在题目中没有指明不等式为二次不等式时，若二次项系数中含有参数，应先对二次项系数为0的情况进行分析，检验此时是否符合条件．3．二次不等式解集的“边界值”是相应二次方程的根．4．简单分式不等式的解法(1)f(x)g(x)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；(2)f (x )g (x )≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≥0(≤0)g (x )≠0.5．简单的指数与对数不等式的解法 (1)若a >1，a f (x )>a g (x )⇔f (x )>g (x )； 若0<a <1，a f (x )>a g (x )⇔f (x )<g (x )．(2)若a >1，log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )>g (x )>0； 若0<a <1，log a f (x )>log a g (x )⇔0<f (x )<g (x )．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若关于x 的二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( √ ) (2)若关于x 的二次不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( √ )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × ) (4)关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( × ) (5)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( √ )题组二 走进教材2．(必修5P 26T2改编)不等式x (1－2x )>0的解集是( B ) A ．⎝⎛⎭⎫－∞，12 B ．⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞D ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞3．(必修5P 80A 组T4改编)已知集合A ＝{x |x 2－x －6>0}，则∁R A 等于( B ) A ．{x |－2<x <3} B ．{x |－2≤x ≤3} C ．{x |x <－2}∪{x |x >3}D ．{x |x ≤－2}∪{x |x ≥3}[解析] ∵x 2－x －6>0，∴(x ＋2)(x －3)>0， ∴x >3或x <－2，即A ＝{x |x >3或x <－2}． 在数轴上表示出集合A ，如图所示．由图可得∁R A ＝{x |－2≤x ≤3}．故选B ．4．(必修5P 80A 组T2改编)y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是__⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞__. [解析] 由题意，得3x 2－2x －2>0， 令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73，∴3x 2－2x －2>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞.题组三 走向高考5．(2019·天津高考)设x ∈R ，使不等式3x 2＋x －2<0成立的x 的取值范围是__⎝⎛⎭⎫－1，23__. [解析] 3x 2＋x －2<0⇒(x ＋1)(3x －2)<0， ⇒(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x －23<0⇒－1<x <23， ∴x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，23.考点突破·互动探究考点一 一元二次不等式的解法——多维探究 角度1 不含参数的不等式例1 解下列不等式 (1)－2x 2＋x ＋3<0； (2)x 2－2x ＋2>0.[分析] (1)将二次项系数化为正数，变为2x 2－x －3>0，求方程2x 2－x －3＝0的根，若无根，则解集为R ，若有根，则按“小于取中间，大于取两边”写出解集．[解析] (1)化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0， ∴(x ＋1)(2x －3)>0，即(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x －32>0， ∴x >32或x <－1，∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞. (2)因为Δ<0，所以方程x 2－2x ＋2＝0无实数解，而y ＝x 2－2x ＋2的图象开口向上，可得原不等式x 2－2x ＋2>0的解集为R .名师点拨解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． 角度2 含参数的不等式例2 解下列关于x 的不等式： (1)ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R )； (2)x 2－2ax ＋2≤0(a ∈R )；[分析] (1)因二次项系数含有字母，故需对其符号分类求解，即讨论a 与0的关系，并注意根的大小关系，即讨论1a与1的关系，故需分a <0，a ＝0,0<a <1，a ＝1，a >1五种情况求解；(2)由于系数中含有字母，故需考虑对应的方程有无实根，以及有根时根的大小关系； [解析] (1)若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1＜0，解得x ＞1. 若a ＜0，则原不等式等价于⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＞0，解得x ＜1a 或x ＞1. 若a ＞0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0. ①当a ＝1时，1a ＝1，⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0无解； ②当a ＞1时，1a ＜1，解⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0得1a ＜x ＜1； ③当0＜a ＜1时，1a ＞1，解⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0得1＜x ＜1a. 综上所述：当a ＜0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜1a 或x ＞1；当a ＝0时，解集为{x |x ＞1}；当0＜a ＜1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1＜x ＜1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a ＞1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a＜x ＜1. (2)对于方程x 2－2ax ＋2＝0，因为Δ＝4a 2－8，所以当Δ＜0，即－2＜a ＜2时，x 2－2ax ＋2＝0无实根．又二次函数y ＝x 2－2ax ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅；当Δ＝0，即a＝±2时，x2－2ax＋2＝0有两个相等的实根，当a＝2时，原不等式的解集为{x|x＝2}，当a＝－2时，原不等式的解集为{x|x＝－2}；当Δ＞0，即a＞2或a＜－2时，x2－2ax＋2＝0有两个不相等的实根，分别为x1＝a－a2－2，x2＝a＋a2－2，且x1＜x2，所以原不等式的解集为{x|a－a2－2≤x≤a＋a2－2}．综上，当a＞2或a＜－2时，解集为{x|a－a2－2≤x≤a＋a2－2}；当a＝2时，解集为{x|x＝2}；当a＝－2时，解集为{x|x＝－2}；当－2＜a＜2时，解集为∅.名师点拨含参数的不等式的求解往往需要分类讨论(1)若二次项系数为常数，若判别式Δ≥0，可先考虑分解因式，再对根的大小分类讨论(分点由x1＝x2确定)；若不易分解因式，可考虑求根公式，以便写出解集，若Δ<0，则结合二次函数图象写出解集，若判别式符号不能确定，则需对判别式分类讨论(分点由Δ＝0确定)．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后讨论二次项系数大于零、小于零，以便确定解集形式．(3)解简单分式不等式是通过移项、通分化为整式不等式求解，要注意分母不能为零．(4)解简单的指数、对数不等式时，若底含有参数，则需对其是否大于1分类求解，注意对数的真数必须为正．〔变式训练1〕(1)(角度1)(2021·北京市海淀区期末)不等式x2＋2x－3<0的解集为(D)A．{x|x<－3或x>1} B．{x|x<－1或x>3}C．{x|－1<x<3} D．{x|－3<x<1}(2)(角度2)解不等式x2－(a＋1)x＋a<0(a∈R)[解析](1)由x2＋2x－3<0得(x＋3)(x－1)<0，解得－3<x<1.故选D．(2)由x2－(a＋1)x＋a＝0，得(x－a)(x－1)＝0，∴x1＝a，x2＝1，①当a>1时，x2－(a＋1)x＋a<0的解集为{x|1<x<a}，②当a ＝1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为∅， ③当a <1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为{x |a <x <1}． 考点二 三个二次间的关系——师生共研例 3 (1)(2021·黑龙江大庆实验中学期末)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是( B )A ．{x |2<x <3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |13<x <12D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤13或x ≥12(2)若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( A ) A ．⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B ．⎝⎛⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞)D ．⎝⎛⎦⎤－∞，－235 [分析] (1)利用根与系数的关系求解．(2)令f (x )＝x 2＋ax －2，Δ＝a 2＋8>0恒成立，又两根之积为负值，所以只要f (1)≥0或f (1)<0且f (5)>0，于是得解；思路二：“正难则反”，求x 2＋ax －2≤0在区间[1,5]上恒成立的a 的取值集合，只需f (5)≤0，再求其补集即可；思路三：分离参数．[解析] (1)∵不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <－13，∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－12和x 2＝－13，且a <0，∴⎩⎨⎧－12－13＝b a，⎝⎛⎭⎫－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.则不等式x 2－bx －a ≥0即为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≤2或x ≥3.故选B ． (2)令f (x )＝x 2＋ax －2，则Δ＝a 2＋8>0，∴方程f (x )＝0，有两个不等实根，又两根之积为负， ∴方程有一正根和一负根．解法一：不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，只要f (1)≥0或⎩⎨⎧f (1)<0，f (5)>0.解得a ≥1或－235<a <1.∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－235，＋∞，故选A ． 解法二：不等式x 2＋ax －2≤0在[1,5]上恒成立，只要f (5)≤0，即25＋5a －2≤0，解得a ≤－235，∴不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解的a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－235，＋∞. 解法三：x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解⇔a >2x －x 在[1,5]上有解⇔a >f (x )min (记f (x )＝2x －x ，x ∈[1,5])，显然f (x )为减函数，∴f (x )min ＝f (5)＝－235，∴a >－235.[引申]若不等式x 2＋ax －2<0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是__(－∞，1)__. [解析] 由例3(2)的解析知，不等式x 2＋ax －2<0在区间[1,5]上有解，a <2x －x ，x ∈[1,5]有解，显然g (x )＝2x－x 在[1,5]上递减，g max (x )＝g (1)＝1，∴a <1.名师点拨已知不等式的解集，等于知道了与之对应方程的根，此时利用韦达定理或判别式即可求出参数的值或范围，为简化讨论注意数形结合，如本例(2)中对应的二次函数图象过点(0，－2)．〔变式训练2〕(1)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( A ) A ．52B ．72C ．154D ．152(2)(2021·九江模拟)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( A )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)[解析] (1)解法一：由题意知x 1，x 2是方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2.又x 2－x 1＝15，∴(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4a 2＋32a 2＝36a 2＝152.∵a >0，∴a ＝156＝52，故选A ．解法二：由x 2－2ax －8a 2＝(x ＋2a )(x －4a )<0，∵a >0，∴不等式的解集为(－2a,4a )．又不等式的解集为(x 1，x 2)，∴x 1＝－2a ，x 2＝4a .∴x 2－x 1＝4a －(－2a )＝6a ＝15，∴a ＝52，故选A ．(2)解法一：由函数f (x )＝x 2－4x －2－a 图象的对称轴为x ＝2.∴不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解⇔f (4)>0，即a <－2，故选A ．解法二：(分离参数法)不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g (x )<g (4)＝－2，∴a <－2.故选A ．考点三 一元二次不等式恒成立问题——师生共研例4 已知f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于x ∈R ，f (x )<0恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求实数m 的取值范围； (3)若对于|m |≤1，f (x )<0恒成立，求实数x 的取值范围．[分析] (1)二次项系数含有字母m ，应分m ＝0和m ≠0讨论求解；(2)数形结合，分类讨论；(3)把二次不等式转化为含m 的一次不等式，根据一次函数的性质求解．[解析] (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，显然－1<0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0.所以m 的取值范围为(－4,0]． (2)要使f (x )<－m ＋5在[1,3]上恒成立， 只需mx 2－mx ＋m <6恒成立(x ∈[1,3])， 又因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 所以m <6x 2－x ＋1.令y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34.因为t ＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上是增函数， 所以y ＝6x 2－x ＋1在[1,3]上是减函数．因此函数的最小值y min ＝67.所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. (3)将不等式f (x )<0整理成关于m 的不等式为(x 2－x )m －1<0. 令g (m )＝(x 2－x )m －1，m ∈[－1,1]．则⎩⎨⎧g (－1)<0，g (1)<0即⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x －1<0，x 2－x －1<0，解得1－52<x <1＋52，即x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1－52，1＋52.名师点拨一元二次不等式恒成立问题 1．在R 上恒成立(1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(或≥0)对于一切x ∈R 恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝b 2－4ac <0(或≤0).(2)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0(或≤0)对于一切x ∈R 恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝b 2－4ac <0(或≤0).2．在给定某区间上恒成立(1)当x ∈[m ，n ]，f (x )＝ax 2＋bx ＋c ≥0恒成立，结合图象，只需f (x )min ≥0即可； (2)当x ∈[m ，n ]，f (x )＝ax 2＋bx ＋c ≤0恒成立，只需f (x )max ≤0即可．3．解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数．4．“不等式f (x )≥0有解(或解集不空)的参数m 的取值集合”是“f (x )<0恒成立的参数m 取值集合”的补集；“f (x )>0的解集为∅”即“f (x )≤0恒成立．”注意：ax 2＋bx ＋c >0恒成立⇔⎩⎨⎧ a ＝b ＝0c >0或⎩⎨⎧a >0Δ＝b 2－4ac <0； ax 2＋bx ＋c <0恒成立⇔⎩⎨⎧ a ＝b ＝0c <0或⎩⎨⎧a <0Δ＝b 2－4ac <0. 〔变式训练3〕(1)若不等式(a －3)x 2＋2(a －3)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 取值的集合为( D ) A ．(－∞，3) B ．(－1,3) C ．[－1,3]D ．(－1,3](2)(2021·山西忻州第一中学模拟)已知关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意的x ∈(0,1]恒成立，则有( A )A ．m ≤－3B ．m ≥－3C ．－3≤m <0D ．m ≥－4(3)已知对于任意的a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( B )A ．{x |1<x <3}B ．{x |x <1或x >3}C ．{x |1<x <2}D ．{x |x <1或x >2}[解析] (1)当a ＝3时，－4<0恒成立；当a ≠3时，⎩⎪⎨⎪⎧a <3，Δ＝4(a －3)2＋16(a －3)<0，解得－1<a <3.所以－1<a ≤3.故选D ．(2)令f (x )＝x 2－4x ，x ∈(0,1]，∵f (x )图象的对称轴为直线x ＝2，∴f (x )在(0,1]上单调递减，∴当x ＝1时，f (x )取得最小值－3，∴m ≤－3，故选A ．(3)记g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，a ∈[－1,1]，依题意，只须⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，g (－1)>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2>0，x 2－5x ＋6>0⇒x <1或x >3，故选B ．名师讲坛·素养提升一元二次方程根的分布设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，记f (x )＝ax 2＋bx ＋c .(1)方程无根Δ＝b 2－4ac <0；(2)方程有两等根Δ＝b 2－4ac ＝0；(3)方程有两不等实根Δ＝b 2－4ac >0，记其根为x 1，x 2且x 1<x 2.①x 1>0⇔⎩⎨⎧ Δ＝b 2－4ac >0，x 1＋x 2＝－b a>0，x 1x 2＝c a >0.或x 1>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，af (0)>0，－b 2a >0；②x 1<0<x 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝b 2－4ac >0x 1x 2＝c a <0或x 1<0<x 2⇔af (0)<0；③x 1<x 2<0⇔⎩⎨⎧Δ＝b 2－4ac >0，x 1＋x 2＝－b a<0，x 1x 2＝c a >0，或x 1<x 2<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，af (0)>0，－b 2a <0.④x 2>x 1>k ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，af (k )>0，－b 2a >k ，⑤x 1<k <x 2⇔af (k )<0；⑥x 1<x 2<k ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，af (k )>0，－b 2a <k .⑦m <x 1<n <x 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ af (m )>0，af (n )<0；x 1<m <x 2<n ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ af (m )<0，af (n )>0；m <x 1<x 2<n ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ af (m )>0，af (n )>0，m <－b 2a <n ，Δ>0.x 1<m <n <x 2⇔⎩⎨⎧ af (m )<0，af (n )<0.⑧m <x 1<n <x 2<p ⇔⎩⎨⎧ f (m )·f (n )<0，f (n )·f (p )<0.求m 的取值范围．(1)一根在(1,2)内，另一根在(－1,0)内；(2)一根在(－1,1)，另一根不在(－1,1)内；(3)一根小于1，另一根大于2；(4)一根大于－1，另一根小于－1；(5)两根都在区间(－1,3)；(6)两根都大于0；(7)两根都小于1；(8)在(1,2)内有解．[解析] 设f (x )＝(m －1)x 2＋2(m ＋1)x －m ，Δ＝4(m ＋1)2＋4m (m －1)＝8m 2＋4m ＋4＝4(2m 2＋m ＋1)>0.(1)一根在(1,2)内，另一根在(－1,0)内应满足⎩⎨⎧ f (1)f (2)<0f (0)f (－1)<0即⎩⎪⎨⎪⎧m (2m ＋1)<0(－2m －3)(－m )<0，解得－12<m <0. (2)一根在(－1,1)内，另一根不在(－1,1)内，应满足f (－1)f (1)<0，即(2m ＋1)(－2m －3)<0，∴m >－12或m <－32，又∵m －1≠0，∴m ≠1， ∴m 范围⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫－12，1∪(1，＋∞)． (3)一根小于1，另一根大于2，应满足⎩⎪⎨⎪⎧ (m －1)f (1)<0(m －1)f (2)<0即⎩⎪⎨⎪⎧(m －1)(2m ＋1)<0(m －1)m <0解得：0<m <1. (4)一根大于－1，另一根小于－1，应满足(m －1)f (－1)<0，即(m －1)(－2m －3)<0，解得：m >1或m <－32. (5)两根都在(－1,3)内，应满足⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0－1<－m ＋1m －1<3(m －1)f (－1)>0(m －1)f (3)>0，解得：－32<m <314. (6)两根都大于0，应满足⎩⎨⎧ Δ≥0－m ＋1m －1>0(m －1)f (0)>0，解得：0<m <1. (7)两根都小于1，应满足：⎩⎨⎧ Δ≥0－m ＋1m －1<1(m －1)f (1)>0，解得：m >1或m <－12. (8)在(1,2)内有解应满足⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥01<－m ＋1m －1<2(m －1)f (1)>0(m －1)f (2)>0或f (1)f (2)≤0解得－12≤m ≤0， 经检验m ＝－12及m ＝0都不合题意舍去， ∴－12<m <0. 〔变式训练4〕(1)(2021·山东实验中学诊断)如果方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是__(－2,1)__.(2)若方程x 2＋(k ＋2)x －k ＝0的两实根均在区间(－1,1)内，则k 的取值范围为≤k <－12__. [解析] (1)记f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋m 2－2，由题意可知f (1)＝m 2＋m －2<0，解得－2<m <1.(2)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，－1<－k ＋22<1，f (－1)>0，f (1)>0.解得－4＋23≤k <－12.。
【高考领航】高三数学一轮复习 第6章 第2课时 一元二次不等式及其解法课时训练 文 新人教版
【高考领航】2016高三数学一轮复习 第6章 第2课时 一元二次不等式及其解法课时训练 文 新人教版A 级 基础演练1．不等式x 2>x 的解集是( )A ．(－∞，0)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞) 解析：选D.由x 2>x ，得x (x －1)>0.所以解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)，故选D.2．关于x 的不等式ax －b >0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则关于x 的不等式ax －2b －x ＋5>0的解集是( ) A ．(1,5)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，5)D ．(－∞，1)∪(5，＋∞)解析：选A.不等式ax －b >0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞⇒a >0，且a －2b ＝0，则不等式ax －2b －x ＋5>0等价于x －1－x ＋5>0⇔(x －1)(x －5)<0⇔1<x <5，故选A. 3．(2015·北京东城区高三检测)“x 2－2x －3＞0成立”是“x ＞3成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.由x 2－2x －3＞0得x ＜－1或x ＞3，所以x 2－2x －3＞0是x ＞3成立的必要不充分条件．4．(2015·皖南八校联考)不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5]解析：选A.x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.5．如果关于x 的不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，－2)C ．(－2,2)D ．(－2,2] 解析：选D.(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0恒成立的条件为：当a ＝2时，－4<0恒成立；当a ≠2时，⎩⎪⎨⎪⎧ a <2，Δ＝a －2－a －2－，解得－2<a <2.故－2<a ≤2，故选D.6．不等式x －1x ＋2≥0的解集为__________． 解析：x －1x ＋2≥0⇒(x －1)(x ＋2)≥0且x ＋2≠0，解得x <－2或x ≥1. 答案：(－∞，－2)∪[1，＋∞)7．已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是__________． 解析：不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，即Δ＝(－a )2－8a <0，∴0<a <8，即a 的取值范围是(0,8)．答案：(0,8)8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2， x <0，x ＋1，x ≥0，则不等式f (x )>4的解集为__________． 解析：当x <0时，解x 2>4，得x <－2；当x ≥0时，解x ＋1>4，得x >3.所以不等式f (x )>4的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)．答案：(－∞，－2)∪(3，＋∞)9．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，求x 的取值范围． 解析：由f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，令g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4.由题意知[－1,1]上，g (a )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧ g －＝x －－＋x 2－4x ＋4>0，g ＝x －＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3.故当x ∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的a ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零．B 级 能力突破1．(2015·广西南宁模拟)在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12解析：选C.(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，即(x －a )(1－x －a )＜1对任意实数x 成立．∴x 2－x －a 2＋a ＋1＞0恒成立，∴Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＜0，∴－12＜a ＜32. 2．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( )A ．(4,5)B ．(－3，－2)∪(4,5)C ．(4,5]D ．[－3，－2)∪(4,5] 解析：选D.原不等式可能为(x －1)(x －a )<0，当a >1时得1<x <a ，此时解集中的整数为2,3,4，则4<a ≤5，当a <1时得a <x <1，则－3≤a <－2，故a ∈[－3，－2)∪(4,5]．3．(2015·河南洛阳模拟)若不等式(a －a 2)·(x 2＋1)＋x ≤0对一切x ∈(0,2]恒成立，则a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1－32 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32 解析：选C.∵x ∈(0,2]，∴a 2－a ≥x x 2＋1＝1x ＋1x .要使a 2－a ≥1x ＋1x在x ∈(0,2]时恒成立，则a 2－a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1x max ，由基本不等式得x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时，等号成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1x max ＝12.故a 2－a ≥12，解得a ≤1－32或a ≥1＋32，故选C. 4．由命题“存在x ∈R ，使x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求得m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a 的值是__________．解析：∵存在x ∈R ，使x 2＋2x ＋m ≤0是假命题，∴任意x ∈R ，使x 2＋2x ＋m >0是真命题．∴Δ＝4－4m <0，解得m >1，故a 的值是1.答案：15．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )＞x 的解集用区间表示为________．解析：设x ＜0，则－x ＞0，于是f (－x )＝(－x )2－4(－x )＝x 2＋4x ，由于f (x )是R 上的奇函数，所以－f (x )＝x 2＋4x ，即f (x )＝－x 2－4x ，且f (0)＝0，于是f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x ＜0.当x ＞0时，由x 2－4x ＞x 得x ＞5；当x ＜0时，由－x 2－4x ＞x 得－5＜x ＜0，故不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)． 答案：(－5,0)∪(5，＋∞) 6．对任意x ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，求a 的取值范围． 解析：函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的对称轴为x ＝－a －42＝4－a 2.①当4－a 2<－1，即a >6时， f (x )的值恒大于零等价于f (－1)＝1＋(a －4)×(－1)＋4－2a >0，解得a <3，故有a ∈∅；②当－1≤4－a 2≤1，即2≤a ≤6时， 只要f ⎝⎛⎭⎪⎫4－a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 22＋(a －4)×4－a 2＋4－2a >0， 即a 2<0，故有a ∈∅；③当4－a 2>1，即a <2时， 只要f (1)＝1＋(a －4)＋4－2a >0，即a <1，故有a <1.综上可知，当a <1时，对任意x ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零．。
高考数学总复习 第六章 第二节一元二次不等式及其解法课时精练试题 文(含解析)
第二节 一元二次不等式及其解法题号 1 2 3 4 5 6 7 答案1．(2012·南昌调研)不等式1x≤1的解集是( )A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(－∞，0)∪[1，＋∞)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：1x ≤1⇔1－1x ＝x －1x≥0，解得x <0或x ≥1.故选C.答案：C2．(2013·湖北卷)已知全集为R ，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤1，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}，则A ∩∁R B ( )A ．{x |x ≤0}B ．{x |0≤x ＜2}C ．{x |0≤x ＜2或x ＞4}D ．{x |0＜x ≤2或x ≥4}解析：A ＝[0，＋∞)，B ＝[2,4]，∴A ∩∁R B ＝[0,2)∪(4，＋∞)．故选C. 答案：C3．(2012·青岛模拟)关于x 的方程x 2＋(a 2－1)x ＋a －2＝0的一根比1小且另一根比1大的充要条件是( )A ．－1＜a ＜1B ．a ＜－1或a ＞1C ．－2＜a ＜1D ．a ＜－2或a ＞1解析：设f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋a －2，由题意知f (1)＜0，∴1＋a 2－1＋a －2＜0.∴a 2＋a －2＜0.∴－2＜a ＜1.故选C. 答案：C4．(2012·天津六校联考)已知集合M ＝{x |log 2x ≤1}，N ＝{x |x 2－2x ≤0}，则“a ∈M ”是“a ∈N ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为M ＝{x |0<x ≤2}，N ＝{x |0≤x ≤2}，由a ∈M 可推得a ∈N ，但由a ∈N 推不出a ∈M .故选A.答案：A5．(2013·常州质检)已知(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集是R ，则实数a 的取值范围是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ＜－35或a ＞1B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪－35＜a ＜1 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪－35＜a ≤1或a ＝－1 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪－35＜a ≤1解析：①当a ＝1时，原不等式化为－1<0，恒成立， 故a ＝1符合题意．②当a ＝－1时，原不等式化为2x －1<0，不恒成立， ∴a ＝－1不合题意．③当a 2－1≠0时，依题意有 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＜0，Δ＝a －12＋4a 2－1＜0. 解得－35<a <1.综合①②③可知，a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪－35<a ≤1. 答案：D6．设二次函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，满足f (x ＋3)＝f (3－x )，则使f (x )＞c －8的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(4，＋∞)D ．(－∞，2)∪(4，＋∞)解析：∵f (x ＋3)＝f (3－x )， ∴x ＝3是y ＝f (x )的对称轴，∴－b2＝3，解得b ＝－6，∴f (x )＝x 2－6x ＋c ，∴f (x )＞c －8，即x 2－6x ＋8＞0， 解得x ＜2或x ＞4.故选D. 答案：D7．(2013·云南昆明一中月考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，x 2－2x －2，x ＜1，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪[1，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[1，＋∞)解析：f (x 0)>1⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 0≥1，2x 0＋1＞1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＜1，x 20－2x 0－2＞1.⇔x 0≥1或x 0<－1.答案：B8．(2013·潮州二模)已知不等式|x －2|＞1的解集与不等式x 2＋ax ＋b ＞0的解集相同，则a ＋b 的值为________．解析：不等式|x －2|＞1，得x －2＞1或x －2＜－1，即x ＜1或x ＞3，∴不等式x 2＋ax ＋b ＞0的解集为{x |x ＜1或x ＞3}，则方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根为1,3， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋3＝－a ，1×3＝b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝3， ∴a ＋b ＝－4＋3＝－1. 答案：－19．(2013·南京师大附中月考)不等式(x ＋2)x 2－9≤0的解集为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≤0，x 2－9≥0或x2－9＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，x ≤－3或x ≥3或x ＝±3，即x ≤－3或x ＝3.答案：(－∞，－3]∪{3}10．(2013·四川卷)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．解析：令x <0，则－x >0，∵x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，∴f (－x )＝(－x )2－4(－x )＝x2＋4x ，又f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴x <0时，f (x )＝x 2＋4x ，故有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0，x 2＋4x ，x ＜0.再求f (x )<5的解，由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2－4x ＜5，得0≤x ＜5；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，x 2＋4x ＜5，得－5<x <0，即f (x )<5的解为(－5,5)．由于f (x )向左平移两个单位即得f (x ＋2)，故f (x ＋2)<5的解集为{x |－7<x <3}．答案：{x |－7<x <3}11．(2013·珠海一模)设集合A ＝{x |x 2＜4}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1＜4x ＋3. (1)求集合A ∩B ；(2)若不等式2x 2＋ax ＋b ＜0的解集为B ，求a ，b 的值．解析：(1)A ＝{x |x 2＜4}＝{x |－2＜x ＜2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1＜4x ＋3＝{x |－3＜x ＜1}， ∴A ∩B ＝{x |－2＜x ＜1}；(2)由题意及(1)知－3,1是方程2x 2＋ax ＋b ＝0的两根．∴⎩⎪⎨⎪⎧－a2＝－3＋1＝－2，b 2＝－3×1＝－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－6.12．已知f (x )是R 上的单调函数，且对a ∈R ，有f (－a )＋f (a )＝0恒成立，若f (－3)＝2.(1)试判断f (x )在R 上的单调性，并说明理由；(2)解关于x 的不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －x x ＋f (m )<0，其中m ∈R 且m >0.解析：(1)f (x )为R 上的减函数．理由如下： ∵对a ∈R ，有f (－a )＋f (a )＝0恒成立， ∴f (x )是R 上的奇函数． ∴f (0)＝0.∵f (x )是R 上的单调函数，f (0)＜f (－3)＝2， ∴f (x )为R 上的减函数．(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －x x ＋f (m )＜0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －x x ＜－f (m )＝f (－m )， 结合(1)得m －xx＞－m ， 整理得1－m x －mx＜0.当m ＞1时，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞0或x ＜m1－m ； 当m ＝1时，{}x |x ＞0；当0＜m ＜1时，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0＜x ＜m1－m .。
高考数学 第六章 第二节 一元二次不等式及其解法课时
【全程复习方略】（山东专用）2014版高考数学 第六章 第二节 一元二次不等式及其解法课时提升作业 理 新人教A 版一、选择题1.已知集合A={x|x(x-a)<0}，且1∈A,2∉A ，则实数a 的取值范围是( )(A)1≤a ≤ (B)1<a<2(C)1<a ≤2 (D)1≤a<22.(2013·聊城模拟)不等式2x 2-x-1＞0解集是( )()()()()1A (,1)2B (1,)C (,1)(2,)1D (,)(1,)2-+∞-∞+∞-∞-+∞U U3.(2013·临沂模拟)函数f(x)2x 23x x =---的定义域是( ) (A){x|2≤x ≤3} (B){x|2≤x<3}(C){x|0<x<3} (D){x|x>3}4.在R 上定义运算*：a*b=ab+2a+b ，则满足x*(x-2)<0的实数x 的取值范围为( )(A)(0，2) (B)(-2，1)(C)(-∞，-2)∪(1,+∞) (D)(-1,2)5.如果一个钝角三角形的边长是三个连续自然数，那么最长边的长度为( )(A)3 (B)4 (C)6 (D)76.已知函数y=f(x)的图象如图，则不等式f(3x-x 2)<0的解集为( )(A){x|1<x<2} (B){x|0<x<3}(C){x|x<1或x>2} (D){x|x<0或x>3}7.(2013·广州模拟)“不等式x 2-x+m>0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )(A)m>14 (B)0<m<1(C)m>0 (D)m>18.(2013·石家庄模拟)已知函数f(x)=()3x ,x 0,ln x 1,x 0,⎧≤⎪⎨+>⎪⎩若f(2-x 2)>f(x),则实数x 的取值范围是( )(A)(-∞，-1)∪(2,+∞)(B)(-∞,-2)∪(1,+∞)(C)(-1,2)(D)(-2,1)9.(2013·厦门模拟)对于实数x，当n≤x<n+1(n∈Z)时，规定［x］=n，则不等式4［x］2-36［x］+45<0的解集为( )(A){x|2≤x<8} (B){x|2<x≤8}(C){x|2≤x≤8} (D){x|2<x<8}10.(能力挑战题)已知不等式xy≤ax2+2y2，若对任意x∈［1,2］及y∈［2,3］，该不等式恒成立，则实数a的范围是( )(A)-359≤a≤-1 (B)-3≤a≤-1(C)a≥-3 (D)a≥-1二、填空题11.若关于x的不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集分别为［-1,+∞)，则实数a,b的值分别为________.12.(2012·天津高考)已知集合A={x∈R||x+2|<3},B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且A∩B=(-1,n)，则m=________,n=________.13.某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________.14.已知x,x0,f(x)x,x0,≥⎧=⎨-<⎩则不等式x+x·f(x)≤2的解集是________.三、解答题15.(能力挑战题)某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家ISP公司可供选择.公司A每小时收费1.5元；公司B在用户每次上网的第1小时内收费1.7元,第2小时内收费1.6元,以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时,按17小时计算).假设该同学一次上网时间总是小于17小时,那么该同学如何选择ISP公司较省钱？答案解析1.【解析】选C.依题意得1(1a)02(2a)0⨯-<⎧⎨⨯-≥⎩，，解得1<a≤2，故选C.2.【解析】选D.原不等式同解于(2x+1)(x-1)＞0，∴x＞1或1 x.2-＜即不等式的解集为(-∞,12-)∪(1,+∞).3.【解析】选B.要使函数有意义，应有2x 20,3x x 0,-≥⎧⎨->⎩即x 2,0x 3,≥⎧⎨<<⎩所以2≤x<3， 即函数定义域为{x|2≤x<3}.4.【解析】选B.由定义可知x*(x-2)=x(x-2)+2x+x-2=x 2+x-2，因此不等式x*(x-2)<0即x 2+x-2<0，解得-2<x<1.5.【思路点拨】设出三边的长度，然后由余弦定理，使其最长边所对的角的余弦值小于0即可得到边长的取值范围，再结合边长是自然数得到解.【解析】选 B.设三角形的三边长分别为n-1,n,n+1(n>1)，则n+1对的角θ为钝角，由余弦定理得222(n 1)n (n 1)cos ,2n (n 1)-+-+θ=-g g 所以(n-1)2+n 2<(n+1)2，解得0<n<4，所以n=2,3.当n=2时，三边长为1，2，3,1+2=3,不符合题意.当n=3时，三边长为2,3,4，符合题意.故最长边的长度为4.6.【解析】选A.由图象可知，当x>2时，f(x)<0，所以由f(3x-x 2)<0，得3x-x 2>2，解得1<x<2，即解集为{x|1<x<2}.7.【解析】选C.当不等式x 2-x+m>0在R 上恒成立时，有Δ=(-1)2-4m<0,解得1m 4>.因此当不等式x 2-x+m ＞0在R 上恒成立时，必有m>0，但当m>0时，不一定推出不等式在R 上恒成立，故所求必要不充分条件是m>0.8.【解析】选D.画出函数f(x)的大致图象如图，由图形易知f(x)在R 上为单调递增函数，因此由f(2-x 2)>f(x)可知2-x 2>x,即x 2+x-2<0,解得-2<x<1,即实数x 的取值范围是(-2，1).9.【思路点拨】先利用换元法将不等式化为一元二次不等式，求得［x ］的范围，再结合［x ］的含义得出x 的范围.【解析】选A.令t=［x ］，则不等式化为4t 2-36t+45<0，解得315t 22<<，而t=［x ］，所以315x 22<<［］，由［x ］的定义可知x 的取值范围是2≤x<8，即不等式解集为{x|2≤x<8}. 10.【思路点拨】将参数a 分离到不等式的一边，然后求不等式另一边的最大值，令y t x =，通过换元，转化为二次函数在闭区间上的最值问题.【解析】选D.由xy ≤ax 2+2y 2可得2y y a 2()x x ≥-，令y t x=，g(t)=-2t 2+t,由于 x ∈［1,2］,y ∈［2,3］，所以t ∈［1,3］，于是g(t)=-2t 2+t=-2(t-14)2+18，因此g(t)的最大值为g(1)=-1，故要使不等式恒成立，实数a 的范围是a ≥-1.【方法技巧】换元法的妙用本题中涉及三个变量，但通过分离变量，将不等式的一边化为只含有x,y 两个变量的式子，然后通过换元法求出该式的最值，从而得到参数a 的取值范围.其中换元法起到了关键作用，一般地，形如a ［f(x)］2+bf(x)+c 的式子，不论f(x)的具体形式如何，都可采用换元法，将其转化为二次函数、二次不等式或二次方程加以解决，但需注意的是换元后一定要注意新元的取值范围.【变式备选】若不等式a ·4x -2x +1>0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是_______.【解析】不等式可变形为x x x x 2111a ()()424->=-， 令(12)x =t ，则t>0， 且y=(12)x -(14)x =t-t 2=-(t-12)2+14，因此当t=12时，y 取最大值14， 故实数a 的取值范围是a>14. 答案:a>14 11.【解析】依题意知，原不等式必为一元一次不等式，所以a=0，从而不等式变为bx-1≤0，于是应有b 011b<⎧⎪⎨=-⎪⎩，，所以b=-1. 答案:0,-112.【解析】由已知可解得A={x ∈R|-5<x<1}，而A ∩B=(-1,n)，所以必有B={x ∈R|m<x<2}，由数轴可得m=-1,n=1.答案:-1 113.【思路点拨】把一月份至十月份的销售额相加求和，列出不等式，求解.【解析】七月份：500(1+x%)，八月份：500(1+x%)2.所以一月份至十月份的销售总额为：3 860+500+2［500(1+x%)+500(1+x%)2］≥7 000，解得1+x%≤-2.2(舍)或1+x%≥1.2,所以x min =20.答案:2014.【解析】原不等式等价于2x 0,x x 2≥⎧⎨+≤⎩或2x 0,x x 2⎧⎨-≤⎩＜解得0≤x ≤1或x<0，即不等式解集为(-∞,1］.答案:(-∞,1］15.【解析】假设一次上网x(x ＜17)小时,则公司A 收取的费用为1.5x 元,公司B 收取的费用为1.7+(1.7-0.1)+(1.7-0.2)+…+［1.7-(x-1)×0.1］ =x(35x)20- (元). 由x(35x)20-＞1.5x(0＜x ＜17), 整理得x 2-5x ＜0,解得0＜x ＜5,故当0<x<5时，A 公司收费低于B 公司收费，当x=5时,A ，B 两公司收费相等，当5<x<17时，B 公司收费低，所以当一次上网时间在5小时以内时,选择公司A的费用少；为5小时时，选择公司A与公司B费用一样多；超过5小时小于17小时,选择公司B的费用少.。
高考数学第一轮总复习 6.2 一元二次不等式及其解法课时提升作业 文(含模拟题,解析)新人教A版
高考数学第一轮总复习 6.2 一元二次不等式及其解法课时提升作业文（含模拟题，解析）新人教A版(45分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.一元二次不等式x2-5x-24<0的解集为( )A.(-∞,-3)B.(8,+∞)C.(-3,8)D.(-∞,-3)∪(8,+∞)2.(2014·宜昌模拟)函数f(x)=-的定义域是( )A.{x|2≤x≤3}B.{x|2≤x<3}C.{x|0<x<3}D.{x|x>3}3.(2014·黄石模拟)在R上定义运算⊗:x⊗y=x(1-y).若不等式(x-a)⊗(x+a)<1对任意实数x成立,则( )A.-1<a<1B.0<a<2C.-<a<D.-<a<4.(2014·天门模拟)已知函数f(x)=则不等式f(x)≥x2的解集为( )A.[-1,1]B.[-2,2]C.[-2,1]D.[-1,2]5.(2014·仙桃模拟)若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-4,1),则不等式b(x2-1)+a(x+3)+c>0的解集为( ) A.B.(-∞,-1)∪C.(-1,4)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)6.(2014·武昌模拟)若“0<x<1”是“(x-a)[x-(a+2)]≤0”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是( )A.[-1,0]B.(-1,0)C.(-∞,0]∪[1,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,+∞)7.(2014·武汉模拟)已知f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),且f(x)<c的解集为(m,m+5),则c的值为( )A.25B.C.D.8.已知函数f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3.若有f(a)=g(b),则b的取值范围为( )A.[2-,2+]B.(2-,2+)C.[1,3]D.(1,3)二、填空题(每小题5分,共20分)9.若关于x的不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集为[-1,+∞),则实数a,b的值分别为.10.(2014·大同模拟)已知函数f(x)=-x2+2x+b2-b+1(b∈R),若当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围是.11.(2014·绍兴模拟)若函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切x>0,y>0满足f(xy)=f(x)+f(y),则不等式f(x+6)+f(x)<2f(4)的解集是.12.(能力挑战题)已知不等式xy≤ax2+2y2,若对任意x∈[1,2]及y∈[2,3],该不等式恒成立,则实数a的范围是.三、解答题(13题12分,14～15题各14分)13.(2014·福州模拟)汽车在行驶中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素.在一个限速为40km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相撞了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m,乙车的刹车距离略超过10m.又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系:s甲=0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2.问:甲、乙两车有无超速现象?14.(2014·咸宁模拟)设不等式>0的解集为集合A,关于x的不等式x2+(2a-3)x+a2-3a+2<0的解集为集合B.(1)若B⊆A,求实数a的取值范围.(2)若A∩B=∅,求实数a的取值范围.15.(能力挑战题)已知抛物线y=(m-1)x2+(m-2)x-1(x∈R).(1)当m为何值时,抛物线与x轴有两个交点?(2)若关于x的方程(m-1)x2+(m-2)x-1=0的两个不等实根的倒数平方和不大于2,求m的取值范围.答案解析1.【解析】选C.由x2-5x-24<0,得(x-8)(x+3)<0.即-3<x<8.2.【思路点拨】将条件用不等式组列出,解不等式组可求解.【解析】选B.要使函数有意义,应有即所以2≤x<3,即函数的定义域为{x|2≤x<3}.3.【解析】选C.(x-a)⊗(x+a)<1对任意实数x成立,即(x-a)(1-x-a)<1对任意实数x成立.所以x2-x-a2+a+1>0恒成立,所以Δ=1-4(-a2+a+1)<0,所以-<a<.4.【解析】选A.当x>0时,f(x)≥x2就为-x+2≥x2,解得0<x≤1;当x≤0时,f(x)≥x2就为x+2≥x2,解得-1≤x≤0,故不等式f(x)≥x2的解集为-1≤x≤1,即5.【思路点拨】利用不等式解集确定a的符号及a与b,c的关系,代入所求不等式可解.【解析】选A.由不等式ax2+bx+c>0的解集为(-4,1)知a<0,-4和1是方程ax2+bx+c=0的两根,所以-4+1=-,-4×1=,即b=3a,c=-4a.故所求解的不等式即为3a(x2-1)+a(x+3)-4a>0,即3x2+x-4<0,解得-<x<1,故选A.6.【解析】选A.因为(x-a)[x-(a+2)]≤0的解集为[a,a+2],由题意得(0,1)[a,a+2],所以解得a∈[-1,0].7.【解析】选D.因为f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),所以Δ=0,即a2-4b=0.又f(x)<c的解集为(m,m+5),所以m,m+5是对应方程f(x)=c的两个不同的根,所以x2+ax+b-c=0,所以根据根与系数之间的关系得又|x2-x1|=,所以|m+5-m|=.即5==.所以c=.8.【思路点拨】由f(a)=g(b)可知b的取值应使g(b)在f(x)的值域中,即求f(x)值域后令g(b)∈f(x)的值域即可.【解析】选B.函数f(x)的值域是(-1,+∞),要使得f(a)=g(b),必须使得-b2+4b-3>-1.即b2-4b+2<0,解得2-<b<2+.【误区警示】本题搞不清题意,弄不清a,b是何意义,从而不知如何下手,导致误解.9.【思路点拨】分析不等式的解集可确定a的取值而后利用a的值再转化求解.【解析】依题意知,原不等式必为一元一次不等式,所以a=0,从而不等式变为bx-1≤0,于是应有所以b=-1.10.【思路点拨】结合二次函数图象的开口方向及对称轴分析可解.【解析】由f(x)=-x2+2x+b2-b+1知二次函数开口向下,对称轴为x=1,所以f(x)在[-1,1]上单调递增,故只要f(-1)=-1-2+b2-b+1>0,即b2-b-2>0,得b<-1或b>2.答案:(-∞,-1)∪(2,+∞)11.【解析】由已知,得f(x+6)+f(x)=f(x(x+6)),2f(4)=f(16).所以f(x(x+6))<f(16).由题意,得解得0<x<2.答案:{x|0<x<2}12.【思路点拨】将参数a分离到不等式的一边,然后求不等式另一边的最大值,令t=,通过换元,转化为二次函数在闭区间上的最值问题.【解析】由xy≤ax2+2y2可得a≥-2,令t=,g(t)=-2t2+t,由于x∈[1,2],y∈[2,3],所以t∈[1,3],于是g(t)=-2t2+t=-2+,因此g(t)的最大值为g(1)=-1,故要使不等式恒成立,实数a的范围是a≥-1.答案:a≥-1【方法技巧】换元法的妙用本题中涉及三个变量,但通过分离变量,将不等式的一边化为只含有x,y两个变量的式子,然后通过换元法求出该式的最值,从而得到参数a的取值范围.其中换元法起到了关键作用,一般地,形如a[f(x)]2+bf(x)+c的式子,不论f(x)的具体形式如何,都可采用换元法,将其转化为二次函数、二次不等式或二次方程加以解决,但需注意的是换元后一定要注意新元的取值范围.【加固训练】若不等式a·4x-2x+1>0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是.【解析】不等式可变形为a>=-,令=t,则t>0,且y=-=t-t2=-+,因此当t=时,y取最大值,故实数a的取值范围是a>.答案:a>13.【思路点拨】由甲、乙两车的实际刹车距离建立关于甲、乙两车车速的不等式,求出两车的实际车速然后判断是否超速.【解析】由题意知,对于甲车,有0.1x+0.01x2>12,即x2+10x-1200>0,解得x>30或x<-40(不符合实际意义,舍去).这表明甲车的车速超过30km/h.但根据题意刹车距离略超过12m,由此估计甲车车速不会超过限速40km/h.对于乙车,有0.05x+0.005x2>10,即x2+10x-2000>0,解得x>40或x<-50(不符合实际意义,舍去).这表明乙车的车速超过40km/h,超过规定限速.【方法技巧】构建不等式模型解决实际问题不等式的应用问题常常以函数为背景,多是解决实际生活、生产中的最优化问题等,解题时,要仔细审题,认清题目的条件以及要解决的问题,理清题目中各量之间的关系,建立恰当的不等式模型进行求解.【加固训练】某产品生产厂家根据已往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律:每生产产品x(百台),其总成本为G(x)万元,其中固定成本为2万元,并且每生产100台的生产成本为1万元(总成本=固定成本+生产成本),销售收入R(x)满足R(x)=假定该产品销售平衡,那么根据上述统计规律:(1)要使工厂有盈利,产品数量x应控制在什么范围?(2)工厂生产多少台产品时盈利最大?求此时每台产品的售价为多少?【解析】(1)设厂家纯收入为y万元,由题意G(x)=x+2,所以y=R(x)-G(x)=令y>0得或解得1<x<8.2,故当1<x<8.2时工厂有盈利.(2)当0≤x≤5时,y=-0.4x2+3.2x-2.8=-0.4(x-4)2+3.6,所以当x=4时,ymax=3.6;当x>5时,y<8.2-5=3.2,所以当生产400台产品时盈利最大,此时R(4)=-0.4×42+4.2×4-0.8=9.6,故每台产品的售价为=240(元).14.【解析】由题意>0⇔(x-2)(x-4)<0,解得A={x|2<x<4},集合B={x|(x+a-2)(x+a-1)<0}={x|1-a<x<2-a}.(1)若B⊆A,则解得-2≤a≤-1,即a∈[-2,-1].(2)若A∩B=∅,则2-a≤2或1-a≥4,解得a∈(-∞,-3]∪[0,+∞).15.【解析】(1)根据题意,m≠1且Δ>0,即Δ=(m-2)2-4(m-1)(-1)>0,得m2>0,所以m≠1且m≠0.(2)在m≠0且m≠1的条件下,因为+==m-2,所以+=-=(m-2)2+2(m-1)≤2.得m2-2m≤0,所以0≤m≤2.所以m的取值范围是{m|0<m<1或1<m≤2}.。
高考数学一轮复习第六篇不等式第2节一元二次不等式及其解法训练理新人教版
第2节一元二次不等式及其解法1.(2017·河北一模)不等式2x2-x-3>0的解集为( B )(A){x|-1<x<} (B){x|x>或x<-1}(C){x|-<x<1} (D){x|x>1或x<-}解析:不等式2x2-x-3>0因式分解为(x+1)(2x-3)>0,解得x>或x<-1.所以不等式2x2-x-3>0的解集为{x|x>或x<-1}.故选B.2.已知不等式ax2-5x+b>0的解集为{x|-3<x<2},则a+b为( A )(A)25 (B)35 (C)-25 (D)-35解析:因为ax2-5x+b>0的解集为{x|-3<x<2},所以ax2-5x+b=0的根为-3,2,即-3+2=,-3×2=,解得a=-5,b=30,所以a+b=-5+30=25.故选A.3.不等式≤x-2的解集是( B )(A)(-∞,0]∪(2,4] (B)[0,2)∪[4,+∞)(C)[2,4) (D)(-∞,2]∪(4,+∞)解析:①当x-2>0即x>2时,原不等式等价于(x-2)2≥4,解得x≥4.②当x-2<0即x<2时,原不等式等价于(x-2)2≤4,解得0≤x<2.故选B.4.已知产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3 000+20x-0.1x2, x∈(0,240).若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( C )(A)100台 (B)120台 (C)150台 (D)180台解析:由题设,产量x台时,总售价为25x;欲使生产者不亏本时,必须满足总售价大于等于总成本,即25x≥3 000+20x-0.1x2,即0.1x2+5x-3 000≥0,x2+50x-30 000≥0,解之得x≥150或x≤-200(舍去).故欲使生产者不亏本,最低产量是150台.故选C.5.已知关于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立,则k的取值范围是( A )(A)[0,1] (B)(0,1](C)(-∞,0)∪(1,+∞) (D)(-∞,0]∪[1,+∞)解析:当k=0时,不等式kx2-6kx+k+8≥0化为8≥0恒成立,当k<0时,不等式kx2-6kx+k+8≥0不能恒成立,当k>0时,要使不等式kx2-6kx+k+8≥0恒成立,需Δ=36k2-4(k2+8k)≤0,解得0≤k≤1,故选A.6.若关于x的不等式2x2-8x-4-a>0在1<x<4内有解,则实数a的取值范围是( A )(A)(-∞,-4) (B)(-4,+∞)(C)(-12,+∞) (D)(-∞,-12)解析:原不等式2x2-8x-4-a>0化为a<2x2-8x-4,只需a小于y=2x2-8x-4在1<x<4内的最大值即可,因为y=2x2-8x-4在1<x<4内的最大值是-4.则有a<-4.故选A.·闵行区一模)若关于x的不等式>0(a,b∈R)的解集为(-∞,1)∪(4,+∞),则a+b= .解析:>0⇔(x-a)(x-b)>0的解集为(-∞,1)∪(4,+∞),则a=1,b=4或a=4,b=1,则a+b=5,答案:58.若关于x的不等式x2-2x+3≤a2-2a-1在R上的解集是∅,则实数a的取值范围是.解析:原不等式即x2-2x-a2+2a+4≤0,在R上解集为∅,所以Δ=4-4(-a2+2a+4)<0,即a2-2a-3<0,解得-1<a<3.答案:(-1,3)能力提升(时间:15分钟)9.关于x的不等式ax2+bx+2>0的解集为(-1,2),则关于x的不等式bx2-ax-2>0的解集为( B )(A)(-2,1) (B)(-∞,-2)∪(1,+∞)(C)(-∞,-1)∪(2,+∞) (D)(-1,2)解析:因为关于x的不等式ax2+bx+2>0的解集为(-1,2),所以-1,2是ax2+bx+2=0(a<0)的两根所以,所以a=-1,b=1所以不等式bx2-ax-2>0为x2+x-2>0,所以x<-2或x>1故选B.10.若不等式(a-a2)(x2+1)+x≤0对一切x∈(0,2]恒成立,则a的取值范围是( C )(A)(-∞,](B)[,+∞)(C)(-∞,]∪[,+∞](D)[,]解析:因为x∈(0,2],所以a2-a≥=,要使a2-a≥在x∈(0,2]时恒成立,则a2-a≥()max,由基本不等式得x+≥2,当且仅当x=1时,等号成立,即()max=,故a2-a≥,解得a≤或a≥.故选C.11.已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m,m+6),则实数c的值为.解析:因为f(x)的值域为[0,+∞),所以Δ=0,即a2=4b,所以由x2+ax+-c<0的解集为(m,m+6),易得m,m+6是方程x2+ax+-c=0的两根,由一元二次方程根与系数的关系得解得c=9.答案:912.若关于x的不等式x2+x-()n≥0对任意n∈N*在x∈(-∞,λ]上恒成立,则实数λ的取值范围是.解析:由题意得x2+x≥()=,解得x≥或x≤-1.又x∈(-∞,λ],所以λ的取值范围是(-∞,-1].答案:(-∞,-1]13.已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+6.(1)解关于a的不等式f(1)>0;(2)若不等式f(x)>b的解集为(-1,3),求实数a,b的值.解:(1)由题意知f(1)=-3+a(6-a)+6=-a2+6a+3>0,即a2-6a-3<0,解得3-2<a<3+2.所以不等式的解集为{a|3-2<a<3+2}.(2)因为f(x)>b的解集为(-1,3),所以方程-3x2+a(6-a)x+6-b=0的两根为-1,3,所以解得14.解关于x的不等式ax2+(a-1)x-1<0.解:(1)a=0时,原不等式可化为x+1>0,即x>-1,此时原不等式的解集为{x|x>-1}.(2)a≠0时,Δ=(a-1)2+4a=(1+a)2≥0,方程ax2+(a-1)x-1=0可化为(ax-1)(x+1)=0,所以x=-1或x=;①当a>0时, >-1,所以原不等式可化为(x-)(x+1)<0,所以其解集为{x|-1<x<}.②当-1<a<0时, <-1,且原不等式可化为(x-)(x+1)>0,所以其解集为{x|x<或x>-1};③当a=-1时, =-1,且原不等式可化为(x+1)2>0,其解集为{x|x≠-1};④当a<-1时, >-1,且原不等式可化为(x-)(x+1)>0,所以其解集为{x|x<-1或x>}.综上,a=0时,不等式的解集为{x|x>-1};a>0时,不等式的解集为{x|-1<x<};-1<a<0时,不等式的解集为{x|x<或x>-1};a=-1时,不等式的解集为{x|x≠-1};a<-1时,不等式的解集为{x|x<-1或x>}.。
优化探究高考数学一轮复习 第六章 第二节 一元二次不
【优化探究】2017届高考数学一轮复习 第六章 第二节 一元二次不等式及其解法课时作业 理 新人教A 版A 组 考点能力演练1．关于x 的不等式x 2＋px －2<0的解集是(q,1)，则p ＋q 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：依题意得q,1是方程x 2＋px －2＝0的两根，q ＋1＝－p ，即p ＋q ＝－1，选B. 答案：B2．(2016·郑州模拟)已知不等式ax 2－5x ＋b >0的解集为{x |－3<x <2}，则不等式bx 2－5x ＋a >0的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －13<x <12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <－13或x >12 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－12或x >13 解析：本题考查一元二次不等式与一元二次方程之间的关系．由题意得方程ax 2－5x ＋b ＝0的两根分别为－3,2，于是⎩⎪⎨⎪⎧－3＋2＝－－5a，－3×2＝ba，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝30，于是不等式bx 2－5x＋a >0即为30x 2－5x －5>0，即(3x ＋1)(2x －1)>0⇒x <－13或x >12.答案：C3．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3>0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4]，则有( )A ．a ＝3，b ＝4B ．a ＝3，b ＝－4C ．a ＝－3，b ＝4D ．a ＝－3，b ＝－4解析：由题意得集合A ＝{x |x <－1或x >3}，又A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4]，所以集合B 为{x |－1≤x ≤4}，由一元二次不等式与一元二次方程的关系，可得a ＝－3，b ＝－4.易知A ＝{x |x <－1或x >3}，又A ∩B ＝(3,4]，可得4为方程x 2＋ax ＋b ＝0的一个根，则有16＋4a ＋b ＝0，经验证可知选项D 正确．答案：D4．(2015·重庆二诊)已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2，对于系数a ，b ，c 有如下结论：①a >0；②b >0；③c >0；④a ＋b ＋c >0；⑤a －b ＋c >0，其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：因为不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2，则相对应的二次函数f (x )＝ax 2＋bx＋c 的图象开口向下，所以a <0,2和－12是方程ax 2＋bc ＋c ＝0的两个根，则有c a ＝－1<0，－b a ＝32>0，故b >0，c >0，且f (1)＝a ＋b ＋c >0，f (－1)＝a －b ＋c <0，故选C. 答案：C5．(2015·皖南八校联考)不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5]解析：x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.答案：A6．(2016·福州质检)已知关于x 的不等式ax －1x ＋1<0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，则a ＝________.解析：由不等式可得a ≠0，且不等式等价于a (x ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫x －1a <0，由解集特点可得a <0，且1a ＝－12，所以a ＝－2. 答案：－27．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为________．解析：根据定义可知，x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2<0，解得－2<x <1，所以实数x 的取值范围为(－2,1)．答案：(－2,1)8．对于任意a ∈[－1,1]，f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于0，那么x 取值范围是________．解析：令g (a )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，由题意知g (－1)>0且g (1)>0，解得x <1或x >3.答案：(－∞，1)∪(3，＋∞) 9．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋b . (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>0的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． 解：(1)∵f (1)>0，∴－3＋a (6－a )＋b >0. 即a 2－6a ＋3－b <0.Δ＝(－6)2－4(3－b )＝24＋4b .①当Δ≤0，即b ≤－6时，原不等式的解集为∅. ②当Δ>0，即b >－6时，方程a 2－6a ＋3－b ＝0有两根a 1＝3－6＋b ，a 2＝3＋6＋b ，∴不等式的解集为(3－6＋b ，3＋6＋b )． 综上所述：当b ≤－6时，原不等式的解集为∅；当b >－6时，原不等式的解集为(3－6＋b ，3＋6＋b )． (2)由f (x )>0，得－3x 2＋a (6－a )x ＋b >0， 即3x 2－a (6－a )x －b <0. ∵它的解集为(－1,3)，∴－1与3是方程3x 2－a (6－a )x －b ＝0的两根．∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a 6－a3，－1×3＝－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3－3，b ＝9或⎩⎨⎧a ＝3＋3，b ＝9.10．(2015·攀枝花二模)已知函数f (x )＝x ＋b1＋x2为奇函数．(1)证明：函数f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数； (2)解关于x 的不等式f (1＋2x 2)＋f (－x 2＋2x －4)>0.解：(1)证明：∵函数f (x )＝x ＋b1＋x2为定义在R 上的奇函数，f (0)＝0，即b ＝0，∴f (x )＝xx 2＋1(经检验满足题意)，∴f ′(x )＝x 2＋1－x ·2x x 2＋12＝1－x2x 2＋12.当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数．(2)由f (1＋2x 2)＋f (－x 2＋2x －4)>0，得f (1＋2x 2)>－f (－x 2＋2x －4)． ∵f (x )是奇函数，∴f (1＋2x 2)>f (x 2－2x ＋4)． 又∵1＋2x 2>1，x 2－2x ＋4＝(x －1)2＋3>1， 且f (x )在(1，＋∞)上为减函数，∴1＋2x 2<x 2－2x ＋4，即x 2＋2x －3<0，解得－3<x <1.∴不等式f (1＋2x 2)＋f (－x 2＋2x －4)>0的解集为{x |－3<x <1}．B 组 高考题型专练1．(2013·高考大纲全国卷)不等式|x 2－2|<2的解集是( ) A ．(－1,1) B ．(－2,2) C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－2,0)∪(0,2)解析：由|x 2－2|<2得－2<x 2－2<2，即0<x 2<4，所以－2<x <0或0<x <2. 答案：D2．(2013·高考重庆卷)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( )A.52 B.72 C.154D.152解析：由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2，故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝52.答案：A3．(2013·高考安徽卷)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2}解析：因为一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >12，所以可设f (x )＝a (x ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(a <0)，由f (10x )>0可得(10x ＋1)·⎝⎛⎭⎪⎫10x －12<0，即10x <12，x <－lg 2.答案：D4．(2015·高考江苏卷)不等式2x 2－x <4的解集为________．解析：不等式2x 2－x <4⇒x 2－x <2⇒－1<x <2，故原不等式的解集为(－1,2)． 答案：(－1,2)5．(2013·高考重庆卷)设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________．解析：由题意，要使8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，需Δ＝64sin 2α－32cos 2α≤0，化简得cos 2α≥12.又0≤α≤π，∴0≤2α≤π3或5π3≤2α≤2π，解得0≤α≤π6或5π6≤α≤π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π。
高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 6-2 一元二次不等式及其解法练习 文-人教版高三全册
6-2 一元二次不等式及其解法练习 文[A 组·基础达标练]1．[2016·某某四校联考]设全集为R ，集合A ＝{x ∈R |x 2<4}，B ＝{x |－1<x ≤4}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．(－1,2)B ．(－2，－1)C ．(－2，－1]D ．(－2,2)答案 C解析 由x 2<4，得－2<x <2，所以A ＝{x |－2<x <2}．∁R B ＝{x |x ≤－1或x >4}，所以A ∩(∁R B )＝{x |－2<x ≤－1}，故选C.2．[2015·某某三模]x <2是x 2－3x ＋2<0成立的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由x 2－3x ＋2<0解得1<x <2，再根据已知条件易知选A.3．[2015·某某模拟]不等式1－x 2＋x≥0的解集为( ) A ．[－2,1] B ．(－2,1]C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－∞，－2]∪(1，＋∞)答案 B解析 由1－x 2＋x≥0得(x －1)(x ＋2)≤0，且x ≠－2，得 －2<x ≤1，故选B.4．[2016·皖南八校联考]不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值X 围为( )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞) D．[－2,5]答案 A解析 由x ∈R ，x 2－2x ＋5≥a 2－3a 恒成立，先求出y ＝x 2－2x ＋5的最小值，当x ＝1时，y min ＝4，所以a 2－3a ≤4⇔a 2－3a －4≤0，解得－1≤a ≤4，故选A.5．[2015·某某二模]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]答案 A解析 当x ≤0时，x ＋2≥x 2，∴－1≤x ≤0，①当x >0时，－x ＋2≥x 2，∴0<x ≤1.②由①②得，原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}．故选A.6．[2016·某某五校联考]已知一元二次不等式f (x )≤0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤12或x ≥3，则f (e x )>0的解集为( )A ．{x |x <－ln 2或x >ln 3}B ．{x |ln 2<x <ln 3}C ．{x |x <ln 3}D ．{x |－ln 2<x <ln 3}答案 D解析 f (x )>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12<x <3， 由f (e x )>0得12<e x <3， 解得ln 12<x <ln 3， 即－ln 2<x <ln 3.故选D.7．[2016·某某质检]不等式 x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值X 围是________．答案 (－∞，－4)∪(4，＋∞)解析 Δ＝a 2－4×4＝a 2－16>0，解得a <－4或a >4. 8．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为________．答案 (－2,3)解析 依题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ －13＋12＝－2a ，－13×12＝c a ，解得：a ＝－12，c ＝2∴不等式－cx 2＋2x －a >0，即为－2x 2＋2x ＋12>0即x 2－x －6<0解得－2<x <3，所以不等式的解集为(－2,3)．9．不等式(x －1) x 2－x －2≥0的解集为________．答案 {x |x ≥2或x ＝－1}解析 原不等式可化为(x －1)x 2－x －2>0或(x －1)·x 2－x －2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －1>0，x 2－x －2>0或⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝0，x 2－x －2≥0或x 2－x －2＝0， 解得x >2或x ∈∅或x ＝2或x ＝－1，综上可知，原不等式的解集为{x |x ≥2或x ＝－1}．10．[2015·某某一模]已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>0的解集为(1,2)，若f (x )的最大值小于1，则a 的取值X 围是________．答案 (－4,0)解析 由题意知a <0，且方程f (x )＝0的两根为1,2，f (x )＝a (x －1)(x －2)＝ax 2－3ax ＋2a ，∴[f (x )]max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－a 4<1， ∴a >－4，故－4<a <0.[B 组·能力提升练]1．[2016·某某质监]若关于x 的不等式4ax －1<3x －4(a >0，且a ≠1)对于任意的x >2恒成立，则a 的取值X 围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C ．[2，＋∞) D．(2，＋∞)答案 B解析 不等式4a x －1<3x －4等价于a x －1<34x －1.令f (x )＝a x －1，g (x )＝34x －1，当a >1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图1所示，由图知不满足条件；当0<a <1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图2所示，由题意知，f (2)≤g (2)，即a2－1≤34×2－1，即a ≤12，所以a 的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，故选B.2．[2016·某某六校联考]若不等式tt 2＋9≤a ≤t ＋2t 2在t ∈(0,2]上恒成立，则a 的取值X围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，22 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，413D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤213，1 答案 D解析 t t 2＋9＝1t ＋9t ，而y ＝t ＋9t 在(0,2]上单调递减，故t ＋9t ≥2＋92＝132，t t 2＋9＝1t ＋9t ≤213(当且仅当t ＝2时等号成立)，因为1t ≥12，所以t ＋2t 2＝1t ＋2t 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋142－18≥1(当且仅当t ＝2时等号成立)，故a 的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤213，1. 3．[2015·某某期末]若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，求a 的取值X 围是________．答案 [－4,3]解析 原不等式可化为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1，当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求，当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3，综上，－4≤a ≤3.4．[2013·某某高考]设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos2α≥0对任意x ∈R 恒成立，则α的取值X 围是________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤56π，π 解析 由题意知，(8sin α)2－4×8·cos2α≤0， ∴2sin 2α－cos2α≤0， ∴2sin 2α－(1－2sin 2α)≤0， ∴4sin 2α－1≤0，∴sin 2α≤14， 又0≤α≤π，∴0≤sin α≤12. ∴0≤α≤π6或5π6≤α≤π. 5．已知函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0.当x ∈(－3,2)时，f (x )>0.(1)求f (x )在[0,1]内的值域；(2)若ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R ，某某数c 的取值X 围．解 (1)因为当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0，当x ∈(－3,2)时，f (x )>0，所以－3,2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根， 所以可得⎩⎪⎨⎪⎧ －3＋2＝－b －8a ，－3×2＝－a －ab a ，所以a ＝－3，b ＝5，所以f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋18.75， 函数图象关于x ＝－0.5对称，且抛物线开口向下，所以在区间[0,1]上f (x )为减函数，所以函数的最大值为f (0)＝18，最小值为f (1)＝12，故f (x )在[0,1]内的值域为[12,18]．(2)由(1)知，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0化为－3x 2＋5x ＋c ≤0，因为二次函数y ＝－3x 2＋5x ＋c 的图象开口向下，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3<0，Δ＝b 2－4ac ≤0，即25＋12c ≤0⇒c ≤－2512， 所以实数c 的取值X 围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－2512.。
雄关漫道系列高考数学一轮总复习 6.2一元二次不等式及其解法课时作业 文(含解析)新人教版-新人教版
课时作业33 一元二次不等式及其解法一、选择题1．(2014·某某四区二模)不等式x －1x＞2的解集为( ) A ．{x |x ＜－1或x ＞0} B ．{x |x ＜－1} C ．{x |x ＞－1} D ．{x |－1＜x ＜0} 解析：由x －1x ＞2可得x ＋1x＜0，所以解集为{x |－1＜x ＜0}．故选D. 答案：D2．(2014·皖北协作区联考)不等式log 2(－x 2＋x ＋2)＞1的解集为( ) A ．(－2,0) B ．(－1,1) C ．(0,1) D ．(1,2)解析：要使原式有意义需满足：－x 2＋x ＋2＞0，解得－1＜x ＜2. 原式可化为log 2(－x 2＋x ＋2)＞log 22.∵函数y ＝log 2x 在[0，＋∞)是单调递增函数， ∴－x 2＋x ＋2＞2，∴0＜x ＜1.∵－1＜x ＜2，∴不等式的解集为(0,1)． 答案：C3．(2014·某某八校联合调研)已知关于x 的不等式x ＋1x ＋a＜2的解集为P .若1∉P ，则实数a 的取值X 围为( )A ．(－∞，0]∪[1，＋∞) B．[－1,0] C ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) D．(－1,0]解析：1∉P 有两种情形，一种是1＋11＋a ≥2，另一种是x ＝1使分母为0，即1＋a ＝0，解得－1≤a ≤0.答案：B4．(2014·某某质检)不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值X 围是( )A ．[－4,4]B ．(－4,4)C ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)D ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)解析：不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，只 需Δ＝a 2－16＞0，∴a ＜－4或a ＞4，故选D.答案：D5．(2014·某某模拟)已知f (x )＝ax 2－x －c ，不等式f (x )＞0的解集为{x |－2＜x ＜1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )A BC D解析：由根与系数的关系知1a ＝－2＋1，－c a＝－2，得a ＝－1，c ＝－2.f (－x )＝－x 2＋x ＋2的图象开口向下，顶点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫12，94. 答案：B6．(2014·某某模拟)已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是( )A ．13B ．18C ．21D ．26解析：设f (x )＝x 2－6x ＋a ，其图象开口向上，对称轴是x ＝3的抛物线，如图所示．若关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则⎩⎪⎨⎪⎧f 2≤0，f 1＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧22－6×2＋a ≤0，12－6×1＋a ＞0，解得5＜a ≤8，又a ∈Z ，a ＝6,7,8.则所有符合条件的a 的值之和是6＋7＋8＝21. 答案：C 二、填空题7．(2015·某某期末)若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值X 围是__________．解析：原不等式即(x －a )(x －1)≤0，当a ＜1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a ＜1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a ＞1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，1＜a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.答案：[－4,3]8．(2014·某某一模)已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )＞0的解集为(1,2)，若f (x )的最大值小于1，则a 的取值X 围是__________．解析：由题意知a ＜0，可设f (x )＝a (x －1)(x －2)＝ax 2－3ax ＋2a ，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－a4＜1，∴a ＞－4，故－4＜a ＜0. 答案：(－4,0)9．(2014·某某模拟)已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝9，ab ＋bc ＋ca ＝24，则b 的取值X 围是__________．解析：将c ＝9－a －b 代入ab ＋ac ＋bc ＝24，并化简，构造关于a 的一元二次方程．a2＋a (b －9)＋b 2－9b ＋24＝0，该方程有解，则Δ＝(b －9)2－4(b 2－9b ＋24)≥0，解得1≤b ≤5.答案：[1,5]三、解答题10．(2014·某某质检)已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值X 围．解析：方法一：f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a .①当a ∈(－∞，－1)时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ， 解得－3≤a ＜－1；②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2， 由2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1.综上所述，所求a 的取值X 围是[－3,1]． 方法二：令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知， 得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，a ＜－1，g －1≥0.解得－3≤a ≤1.所求a 的取值X 围是[－3,1]．11．(2015·某某期末)解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )． 解析：原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0. ①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1.②当a ＞0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a或x ≤－1.③当a ＜0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a ＞－1时，即a ＜－2时，解得－1≤x ≤2a；当2a ＝－1时，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a＜－1，即a ＞－2，解得2a≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a ＞0时，不等式的解集为{x |x ≥2a，或x ≤－1}；当－2＜a ＜0时，不等式的解集为{x |2a≤x ≤－1}；当a ＝－2时，不等式的解集为{x |x ＝－1}；当a ＜－2时，不等式的解集为{x |－1≤x ≤2a}．12．(2014·某某模拟)某公司按现有能力，每月收入为70万元，公司分析部门测算，若不进行改革，因竞争加剧收入将逐月减少，分析测算得从2014年开始第一个月收入将减少3万元，以后逐月多减少2万元，如果进行改革，即投入技术改造300万元，且2014年后每月再投入1万元进行员工培训，且测算得自2014年后第一个月起累计收入T n 与时间n (以月为单位)的关系为T n ＝an ＋b ，且2014年第一个月时收入将为90万元，第二个月时累计收入为170万元，问2014年后经过几个月，该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入．解析：2014年改革后经过n 个月的纯收入为(T n －300－n )万元，公司若不进行改革，由题设知2014年后因竞争加剧收入将逐月减少．分析测算得2014年第一个月收入将减少3万元，以后逐月多减少2万元．所以不改革，第一个月：70－3－2×(1－1)，第二个月：70－3－2(2－1)， 第三个月：70－3－2(3－1)，… 第n 个月：70－3－2(n －1)， 所以不改革时的纯收入为：70n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤3n ＋n n －12·2万元，由题设知⎩⎪⎨⎪⎧90＝a ＋b ，170＝2a ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝80，b ＝10，由题意建立不等式：80n ＋10－300－n ＞70n －3n －(n －1)n ， 整理，得n 2＋11n －290＞0，得n ＞12.4， 因为n ∈N ，故取n ＝13.答：经过13个月改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入．。
高三数学一轮复习 6.2一元二次不等式精讲精练 新人教
第2课 一元二次不等式【考点导读】1. 会解一元二次不等式，了解一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系和转化。
2. 能运用一元二次不等式解决综合性较强的问题. 【基础练习】 1.解不等式：（1）23440x x -++> （2）213022x x ++> （3）()()21322x x x x +->-- （4）2232142-<---<-x x解：（1）原不等式化为23440x x --<，解集为223x -<<（2）原不等式化为2230x x ++>，解集为R （3）原不等式化为210x x ++<，解集为∅（4）由22222134210132224,,1322250222x x x x x x x x x x ⎧++<⎪⎧+->⎪⎪<++<⎨⎨+-<⎪⎩⎪++>⎪⎩得得 得2121,6161x x x ⎧>-<--⎪⎨--<<-⎪⎩或(61,21)(21,61)x ∴∈------U点拨：解一元二次不等式要注意二次项系数的符号、对应方程∆的判断、以及对应方程两根大小的比较. 2. 函数)1(log 221-=x y 的定义域为 )(2,11,2⎡⎤--⎣⎦U3..二次函数y=ax 2+bx+c (x ∈R )的部分对应值如下表：则不等式ax 2+bx+c>0的解集是),3()2,(+∞--∞Y4.若不等式02>++c bx x 的解集是}13{-<>x x x 或，则b =__-2____ c =__-3____. 【范例导析】 例.解关于ｘ的不等式)1(12)1(≠>--a x x ax -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y6-4-6-6-46分析：本题可以转化为含参的一元二次不等式，要注意分类讨论.解:原不等式等价于02)2()1(>----x a x a ∵1≠a ∴等价于：()02121>-⎪⎭⎫⎝⎛----x a a x a （*）a>１时，（*）式等价于212----x a a x >0∵11112--=--a a a <１∴x <12--a a 或x >２ a<１时，（*）式等价于212----x a a x <0由２－12--a a ＝1-a a 知： 当0<a<１时，12--a a >２，∴２<x <12--a a ；当a<0时，12--a a <２，∴12--a a <x <２；当a ＝0时，当12--a a ＝２，∴x ∈φ综上所述可知：当a<0时，原不等式的解集为（12--a a ，2）；当a ＝0时，原不等式的解集为φ；当0<a<１时，原不等式的解集为（2，12--a a ）；当a>１时，原不等式的解集为（－∞，12--a a ）∪（2，＋∞）。
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0.1 x1＋ 0.01 x21＞ 12， 由 题 意 列 出 不 等 式 组 0.05 x2＋ 0.005 x22＞ 10，
分别求解，得
x1＜－ 40或x1＞ 30， x2＜－ 50或x2＞ 40.
由于 x＞ 0，从而可得 x 甲＞ 30 km/h ， x 乙＞ 40 km/h. 经比较知，乙车
超过限速，应负主要责任． 【答案】 乙 三、解答题 10．解关于 x 的不等式 x2－( a＋ a2) x＋a3＜ 0( a∈R) ． 【解】 原不等式可化为 ( x－ a)( x－ a2) ＜ 0， (1) 当 a＝ a2 即 a＝0 或 a＝ 1 时，原不等式变为 x2＜ 0 或 ( x－1) 2＜ 0，解集为 ?；
课时提升练 ( 三十二 ) 一元二次不等式及其解法
一、选择题 1．不等式 f ( x) ＝ ax2－ x－ c＞0 的解集为 { x| － 2＜x＜ 1} ，则函数 y＝ f ( － x) 的图象为图 中的 ( )
1
c
【解析】 由根与系数的关系得 a＝－ 2＋ 1＝－ 1，－a＝－ 2，∴ a＝－ 1，c＝－ 2，∴ f ( x)
【答案】 2 8．设关于 x 的不等式 x2－x＜ 2nx( n∈ N*) 的解集中整数的个数为
an，数列 { an} 的前 n 项
和为 Sn，则 S100＝ ________. 【解析】 由不等式 x2－ x＜ 2nx( n∈ N*) 得其解集为 (0,2 n＋ 1) ，其中整数解有
2n 个，
100 2＋200
则－ 3＜ x＜ 0. (2) 当 x≥０时， x2－ 4x＋ 6＞ 3? ( x－1)( x－ 3) ＞ 0， 解之得， x＞ 3 或 0≤ x＜ 1.
由 (1)(2) 知， f ( x) ＞ 3 的解集为 ( － 3,1) ∪ (3 ，＋∞ ) ． 【答案】 A
二、填空题 7．若关于 x 的不等式 ax2－6x＋ a2＜ 0 的解集是 (1 ， m) ，则 m＝ ________. 【解析】 根据不等式与方程之间的关系知 1 为方程 ax2－ 6x＋ a2＝ 0 的一个根，即 a2 ＋a－ 6＝ 0，解得 a＝ 2 或 a＝－ 3，当 a＝ 2 时，不等式 ax2－ 6x＋ a2＜0 的解集是 (1,2) ，符 合要求；当 a＝－ 3 时，不等式 ax2－ 6x＋ a2＜ 0 的解集是 ( －∞，－ 3) ∪ (1 ，＋∞ ) ，不符合 要求，舍去．故 m＝2.
＝－ x2－ x＋ 2，
∴ f ( －x) ＝－ x2＋x＋ 2，故 f ( － x) 的图象开口向下，顶点为
19
， 24
， B 选项适合．
【答案】 B
x x＋ 2 >0，
2．不等式组
的解集为 (
)
| x|<1
A． { x| － 2<x<－1} C． { x|0< x<1}
x x＋ 2 >0， 【解析】 由
即 an＝ 2n，∴ S100＝
2
＝ 10 100.
【答案】 10 100
9．汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们
称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速
40 km/h
以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发
中的整数应为 2、 3、 4，则 4＜a≤5；当 a＜1 时，解集为 a＜x＜ 1，则－ 3≤ a＜－ 2，故 a
∈[ － 3，－ 2) ∪ (4,5] ．
【答案】 D
5．不等式 x2－ 2x＋5≥ a2－ 3a 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围为 (
)
A． [ －1,4]
B． ( －∞，－ 20＜a＜ 1 时，解集为 { x| a2＜ x＜ a} ； (3) 当 a2＞ a 即 a＜0 或 a＞1 时，解集为 { x| a＜x＜ a2} ； 综上， 当 a＝0 或 a＝ 1 时，原不等式的解集为 ?； 当 0＜a＜ 1 时，原不等式的解集为 { x| a2＜ x＜ a} ； 当 a＜0 或 a＞ 1 时，原不等式的解集为 { x| a＜ x＜ a2} ． 11．设函数 f ( x) ＝ mx2－ mx－ 1. (1) 若对于一切实数 x， f ( x)<0 恒成立，求 m的取值范围； (2) 若对于 x∈ [1,3] ， f ( x)< － m＋5 恒成立，求 m的取值范围． 【解】 (1) 要使 mx2－ mx－1<0 恒成立， 若 m＝0，显然－ 1<0； 若 m≠0，
6．设函数 f ( x) ＝
则不等式 f ( x) ＞ 3 的解集是 ( )
x＋ 6， x＜ 0，
A． ( －3,1) ∪ (3 ，＋∞） C． ( －1,1) ∪ (3 ，＋∞） 【解析】 (1) 当 x＜ 0 时， f ( x) ＝ x＋ 6＞ 3，
B． ( －3,1) ∪ (2 ，＋∞） D． ( －∞，－ 3) ∪ (1,3)
f
(10
x
)
＞
0
的解集
为(
)
A． { x| x＜－ 1 或 x＞ lg 2}
B． { x| － 1＜ x＜lg 2}
C． { x| x＞－ lg 2}
D． { x| x＜－ lg 2}
1 【解析】 由题意知，一元二次不等式 f ( x) ＞ 0 的解集为 x －1＜ x＜ 2 .
而
f
(10 x)
＞ 0，∴－
C． ( －∞，－ 1) ∪ [4 ，＋∞）
D． [ －2,5] 【解析】 因为 x2－ 2x＋ 5＝( x－ 1) 2＋ 4 的最小值为 4，所以要使 x2－2x＋5≥ a2－3a 对 任意实数 x 恒成立，只需 a2－ 3a≤4，解得－ 1≤ a≤4，故选 A.
【答案】 A
x2－ 4x＋ 6， x≥0，
1
＜
10x
＜
1 ，解得
x＜lg
1 ，
2
2
即 x＜－ lg 2.
【答案】 D 4．关于 x 的不等式 x2－( a＋ 1) x＋a＜ 0 的解集中，恰有 3 个整数，则 a 的取值范围是
()
A． (4,5)
B． ( －3，－ 2) ∪(4,5)
C． (4,5]
D． [ －3，－ 2) ∪(4,5]
【解析】 原不等式可化为 ( x－ 1)( x－ a) ＜ 0，当 a＞ 1 时，解集为 1＜ x＜ a，此时解集
后现场测得甲车的刹车距离略超过 12 m，乙车的刹车距离略超过 10 m，又如甲、乙两种车 型的刹车距离 s(m) 与车速 x(km/h) 之间有如下关系： s 甲 ＝ 0.1 x＋ 0.01 x2， s 乙＝ 0.05 x＋ 0.005 x2. 则超速行驶应负主要责任的是 ________．
【解析 】
| x|<1 ，
B.{ x| －1<x<0} D． { x| x>1}
x>0或 x<－ 2， 得
－1<x<1， 所以 0<x<1， 所以原不等式组的解集为 { x|0< x<1} ， 故选 C. 【答案】 C
1 3．已知一元二次不等式 f ( x) ＜ 0 的解集为 x x＜－ 1或 x＞ 2
，则