协方差的平方小于等于方差之积的一种证明方法

协方差的平方小于等于方差之积——COV2(x,y)≤V(x)V(y)的一种证明方法

证明：构造实数k的二次函数f(k)

f(k)=∬[k(x−x̅)+(y−y̅)]2P(x,y)dxdy (1)

不等式f(k)≥0恒成立，即其解集为R.

(1)式化简得：f(k)=ak2+bk+c，其中

a=∬[(x−x̅)]2P(x,y)dxdy=∫[(x−x̅)]2P(x)dx=V(x)>0

b=2∬[(x−x̅)(y−y̅)]P(x,y)dxdy=2COV(x,y)

c=∬[(y−y̅)]2P(x,y)dxdy=∫[(y−y̅)]2P(y)dy=V(y)

∆=b2−4ac=[2COV(x,y)]2−4V(x)V(y)

当a>0时，不等式f(k)≥0解集为R，则其判别式Δ≤0.即

4COV2(x,y)−4V(x)V(y)≤0

⇒COV2(x,y)≤V(x)V(y)