初中几何辅助线技巧大全
初中几何辅助线大全(很详细哦)
初中几何辅助线—克胜秘籍等腰三角形1、作底边上的高,构成两个全等的直角三角形,这就是用得最多的一种方法;2、作一腰上的高;3 、过底边的一个端点作底边的垂线,与另一腰的延长线相交,构成直角三角形。
梯形1、垂直于平行边2、垂直于下底,延长上底作一腰的平行线3、平行于两条斜边4、作两条垂直于下底的垂线5、延长两条斜边做成一个三角形菱形1、连接两对角2、做高平行四边形1、垂直于平行边2、作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形3、做高——形内形外都要注意矩形1、对角线2、作垂线很简单。
无论什么题目,第一位应该考虑到题目要求,比如AB=AC+BD、、、、这类的就就是想办法作出另一条AB等长的线段,再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。
还有一些关于平方的考虑勾股,A字形等。
三角形图中有角平分线,可向两边作垂线(垂线段相等)。
也可将图对折瞧,对称以后关系现。
角平分线平行线,等腰三角形来添。
角平分线加垂线,三线合一试试瞧。
线段垂直平分线,常向两端把线连。
要证线段倍与半,延长缩短可试验。
三角形中两中点,连接则成中位线。
三角形中有中线,延长中线等中线。
解几何题时如何画辅助线?①见中点引中位线,见中线延长一倍在几何题中,如果给出中点或中线,可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。
②在比例线段证明中,常作平行线。
作平行线时往往就是保留结论中的一个比,然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。
③对于梯形问题,常用的添加辅助线的方法有1、过上底的两端点向下底作垂线2、过上底的一个端点作一腰的平行线3、过上底的一个端点作一对角线的平行线4、过一腰的中点作另一腰的平行线5、过上底一端点与一腰中点的直线与下底的延长线相交6、作梯形的中位线7、延长两腰使之相交四边形平行四边形出现,对称中心等分点。
梯形里面作高线,平移一腰试试瞧。
平行移动对角线,补成三角形常见。
证相似,比线段,添线平行成习惯。
等积式子比例换,寻找线段很关键。
初中几何辅助线大全及口诀
作辅助线的方法一：中点、中位线，延线，平行线。
如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。
二：垂线、分角线，翻转全等连。
如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。
其对称轴往往是垂线或角的平分线。
三：边边若相等，旋转做实验。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。
其对称中心，因题而异，有时没有中心。
故可分“有心”和“无心”旋转两种。
四:造角、平、相似，和、差、积、商见。
如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。
在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。
故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。
”托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）五：两圆若相交，连心公共弦。
如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。
六：两圆相切、离，连心，公切线。
如条件中出现两圆相切（外切，内切），或相离（内含、外离），那么，辅助线往往是连心线或内外公切线。
七：切线连直径，直角与半圆。
如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反，条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。
即切线与直径互为辅助线。
如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反，条件中有半圆，那么在直径上找圆周角——直角为辅助线。
即直角与半圆互为辅助线。
八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。
如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。
初中几何辅助线技巧
初中几何辅助线技巧
一、画圆
1、通过一点和半径弧线
(1)以其中一个点O为圆心，使用一个圆规将点O的坐标锁定，之后以笔触拉出半径的弧线来作圆。
(2)通过拉出2条切线，使圆的圆心两边都有正确的半径。
2、通过三点画圆
(1)首先准备三个点A、B、C，遵循“连AB及BC的中点与圆的圆心重合”的原则，先将A、B、C三点连线，找出AB和BC两条线段的中点，这两个中点就是圆的圆心O了。
(2)圆心O锁定后，再分别用圆规拉出离圆心O有正确半径的弧线。
二、画直线
1、用规则
(1)使用直尺保持直线的整洁程度，把两个点的坐标连起来，使用反射法实现直线两端的平行。
(2)用圆规拉出两点的中点，再以这个中点连接两点的坐标，画成一条直线。
(3)使用两点式的方法，输入两个点的横纵坐标，然后根据y=kx+b的方程式，连接两个点的坐标，得到一条直线。
2、使用辅助线
(1)画等边三角形，两个点通过等边三角形垂线来画出一条直线。
(2)画正方形，两个点通过正方形的对角线画出一条直线。
(3)圆内外六种角，两个点通过圆内外六种角画出一条直线。
三、画角
1、用圆规
(1)将圆规放置在锐角处，拉出一条线，此线段的角度就是锐角的角度了。
(2)如果需要画出钝角。
完整)初中数学几何辅助线技巧
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几何常见辅助线口诀
三角形
在三角形中，可以使用角平分线来构造垂线，也可以将图形对折以后进行对称，从而得到更多的关系。
同时，角平分线还可以和平行线一起使用，来构造等腰三角形。
另外，在线段问题中，垂直平分线常常被用来将线段连接起来，而线段和差的问题可以通过延长或缩短线段来解决。
四边形
在处理平行四边形时，可以使用对称中心和等分点来进行计算。
对于梯形问题，可以将其转换为三角形或平行四边形，然后利用已有的知识来解决。
如果出现腰中点，可以连接中位线来解决问题。
如果以上方法都无法奏效，可以尝试使用全等来解决问题。
在证明相似时，可以使用比例和平行线的关系来辅助证明。
圆形
在圆形问题中，可以利用半径和弦长来计算弦心距。
如果出现切线，可以使用勾股定理来计算其长度。
要想证明一条线段是切线，需要利用半径垂线进行辨别。
在处理弧的问题时，需要记住垂径定理和圆周角的性质。
如果要作出内接或外接圆，需要将各边的中垂线或角平分线连起来。
如果遇到相交圆，需要注意作出公共弦。
最后，如果要证明等角关系，可以使用角平分线来构造辅助线。
由角平分线想到的辅助线
在使用角平分线时，可以通过截取构造全等来解决问题。
也可以在角分线上的点向两边作垂线，来构造全等三角形。
同时，三线合一也可以用来构造等腰三角形。
最后，在处理角平分线和平行线问题时，可以使用线段的加减和移动来解决问题。
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三角形中作辅助线的常用方法举例一、延长已知边构造三角形：例如：如图7-1：已知AC＝BD，AD⊥AC于A，BC⊥BD于B，求证：AD＝BC分析：欲证AD＝BC，先证分别含有AD，BC的三角形全等，有几种方案：△ADC与△BCD，△AOD与△BOC，△ABD与△BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。
E 证明：分别延长DA，CB，它们的延长交于E点，∵AD⊥ACBC⊥BD（已知）∴∠CAE＝∠DBE＝90°（垂直的定义）在△DBE与△CAE中A BO EE()公共角∵DBECAE()已证D CBDAC(已知)图71∴△DBE≌△CAE（AAS）∴ED＝ECEB＝EA（全等三角形对应边相等）∴ED－EA＝EC－EB即：AD＝BC。
（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。
）二、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。
三、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。
例如：如图9-1：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长于E。
求证：BD＝2CEF分析：要证BD＝2CE，想到要构造线段2CE，同时AE1B 12DC 图91CE与∠ABC的平分线垂直，想到要将其延长。
证明：分别延长B A，CE交于点F。
∵BE⊥CF（已知）∴∠BEF＝∠BEC＝90°（垂直的定义）在△BEF与△BEC中，12(已知)∵BEBE(公共边)BEFBEC()已证1C F（全等三角形对应边相等）∴△BEF≌△BEC（ASA）∴CE=FE=2∵∠BAC=90°BE⊥CF（已知）∴∠BAC＝∠CAF＝90°∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90°∴∠BDA＝∠BFC在△ABD与△ACF中BACCAF(已证)BDABFC()已证AB＝AC(已知)∴△ABD≌△ACF（AAS）∴BD＝CF（全等三角形对应边相等）∴BD＝2CE四、取线段中点构造全等三有形。
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三角形中作辅助线的常用方法举例一、延长边构造三角形：分析：欲证 AD ＝BC ，先证分别含有AD ，BC 的三角形全等，有几种方案：△ADC 与△BCD ，△AOD 与△BOC ，△ABD 与△BAC ，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。
证明：分别延长DA ，CB ，它们的延长交于E 点， ∵AD ⊥AC BC ⊥BD 〔〕∴∠CAE ＝∠DBE ＝90° 〔垂直的定义〕 在△DBE 与△CAE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠)()()(已知已证公共角AC BD CAE DBE E E∴△DBE ≌△CAE 〔AAS 〕∴ED ＝EC EB ＝EA 〔全等三角形对应边相等〕 ∴ED －EA ＝EC －EB 即：AD ＝BC 。
〔当条件缺乏时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。
〕二 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。
三、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。
分析：要证BD ＝2CE ，想到要构造线段2CE ，同时CEAE FABCDE17-图O与∠ABC 的平分线垂直，想到要将其延长。
证明：分别延长BA ，CE 交于点F 。
∵BE ⊥CF 〔〕∴∠BEF ＝∠BEC ＝90° 〔垂直的定义〕在△BEF 与△BEC 中，∵ ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠)()()(21已证公共边已知BEC BEF BE BE ∴△BEF ≌△BEC 〔ASA 〕∴CE=FE=21CF 〔全等三角形对应边相等〕 ∵∠BAC=90° BE ⊥CF 〔〕∴∠BAC ＝∠CAF ＝90° ∠1＋∠BDA ＝90°∠1＋∠BFC ＝90° ∴∠BDA ＝∠BFC在△ABD 与△ACF 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠∠=∠)()()(已知＝已证已证AC AB BFC BDA CAF BAC∴△ABD ≌△ACF 〔AAS 〕∴BD ＝CF 〔全等三角形对应边相等〕 ∴BD ＝2CE四、取线段中点构造全等三有形。
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三角形中作辅助线的常用方法举例一、延长已知边构造三角形：分析：欲证 AD ＝BC,先证分别含有AD,BC 的三角形全等,有几种方案：△ADC 与△BCD,△AOD 与△BOC,△ABD 与△BAC,但根据现有条件,均无法证全等,差角的相等,因此可设法作出新的角,且让此角作为两个三角形的公共角;证明：分别延长DA,CB,它们的延长交于E 点, ∵AD ⊥AC BC ⊥BD 已知∴∠CAE ＝∠DBE ＝90° 垂直的定义 在△DBE 与△CAE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠)()()(已知已证公共角AC BD CAE DBE E E∴△DBE ≌△CAE AAS∴ED ＝EC EB ＝EA 全等三角形对应边相等 ∴ED －EA ＝EC －EB 即：AD ＝BC;当条件不足时,可通过添加辅助线得出新的条件,为证题创造条件;二 、连接四边形的对角线,把四边形的问题转化成为三角形来解决; 三、有和角平分线垂直的线段时,通常把这条线段延长;ABCDE17-图O分析：要证BD ＝2CE,想到要构造线段2CE,同时CE 与∠ABC 的平分线垂直,想到要将其延长; 证明：分别延长BA,CE 交于点F; ∵BE ⊥CF 已知∴∠BEF ＝∠BEC ＝90° 垂直的定义在△BEF 与△BEC 中,∵ ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠)()()(21已证公共边已知BEC BEF BE BE ∴△BEF ≌△BECASA ∴CE=FE=21CF 全等三角形对应边相等 ∵∠BAC=90° BE ⊥CF 已知∴∠BAC ＝∠CAF ＝90° ∠1＋∠BDA ＝90°∠1＋∠BFC ＝90° ∴∠BDA ＝∠BFC在△ABD 与△ACF 中∴△ABD ≌△ACF AAS ∴BD ＝CF 全等三角形对应边相等 ∴BD ＝2CE四、取线段中点构造全等三有形;分析：由AB ＝DC,∠A ＝∠D,想到如取AD 的中点N,连接NB,NC,再由SAS 公理有19-图DCBA E F12△ABN ≌△DCN,故BN ＝CN,∠ABN ＝∠DCN;下面只需证∠NBC ＝∠NCB,再取BC 的中点M,连接MN,则由SSS 公理有△NBM ≌△NCM,所以∠NBC ＝∠NCB;问题得证;证明：取AD,BC 的中点N 、M,连接NB,NM,NC;则AN=DN,BM=CM,在△ABN 和△DCN 中 ∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()()(已知已知辅助线的作法DC AB D A DN AN ∴△ABN ≌△DCN SAS∴∠ABN ＝∠DCN NB ＝NC 全等三角形对应边、角相等在△NBM 与△NCM 中∵⎪⎩⎪⎨⎧)()()(公共边＝辅助线的作法＝已证＝NM NM CM BM NC NB∴△NMB ≌△NCM,SSS ∴∠NBC ＝∠NCB 全等三角形对应角相等∴∠NBC ＋∠ABN ＝∠NCB ＋∠DCN 即∠ABC ＝∠DCB;巧求三角形中线段的比值例1. 如图1,在△ABC 中,BD ：DC ＝1：3,AE ：ED ＝2：3,求AF ：FC;解：过点D 作DG 如图2,BC ＝CD,AF ＝FC,求EF ：FD解：过点C 作CG如图3,BD ：DC ＝1：3,AE ：EB ＝2：3,求AF ：FD;111-图DCBAM N解：过点B 作BG如图4,BD ：DC ＝1：3,AF ＝FD,求EF ：FC;解：过点D 作DG如图5,BD ＝DC,AE ：ED ＝1：5,求AF ：FB;2. 如图6,AD ：DB ＝1：3,AE ：EC ＝3：1,求BF ：FC;答案：1、1：10； 2. 9：1二 由角平分线想到的辅助线图中有角平分线,可向两边作垂线;也可将图对折看,对称以后关系现;角平分线平行线,等腰三角形来添;角平分线加垂线,三线合一试试看;角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等;对于有角平分线的辅助线的作法,一般有两种;①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线,构造对称图形如作法是在一侧的长边上截取短边;通常情况下,出现了直角或是垂直等条件时,一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形;至于选取哪种方法,要结合题目图形和已知条件;与角有关的辅助线一、截取构全等例1． 如图1-2,AB 21证：BD=2CE;分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线,可延长此垂线与另外一边相交,近而构造出等腰三角形;图1-3ABCDE 图1-4A BC DE图2-1ABCD E F图2-2ABCDE 图2-3P AB CM ND F 图示3-1AB CDH E例3．已知：如图3-3在△ABC 中,AD 、AE 分别∠BAC 的内、外角平分线,过顶点B 作BFAD,交AD 的延长线于F,连结FC 并延长交AE 于M;求证：AM=ME;分析：由AD 、AE 是∠BAC 内外角平分线,可得EA ⊥AF,从而有BF 212121∠∠21图,△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,AE 是过A 的一条直线,且B,C 在AE 的异侧, BD ⊥AE 于D,CE ⊥AE 于E;求证：BD=DE+CE四 由中点想到的辅助线三角形中两中点,连接则成中位线;三角形中有中线,延长中线等中线;一、由中点应想到利用三角形的中位线例2．如图3,在四边形ABCD 中,AB=CD,E 、F 分别是BC 、AD 的中点,BA 、CD 的延长线分别交EF 的延长线G 、H;求证：∠BGE=∠CHE;证明：连结BD,并取BD 的中点为M,连结ME 、MF, ∵ME 是ΔBCD 的中位线, ∴MECD,∴∠MEF=∠CHE,∵MF 是ΔABD 的中位线, ∴MFAB,∴∠MFE=∠BGE,∵AB=CD,∴ME=MF,∴∠MEF=∠MFE, 从而∠BGE=∠CHE;二、由中线应想到延长中线例3．图4,已知ΔABC 中,AB=5,AC=3,连BC 上的中线AD=2,求BC 的长; 解：延长AD 到E,使DE=AD,则AE=2AD=2×2=4; 在ΔACD 和ΔEBD 中,D AE C BD C BAMBD C AE D CB A图3-3DBEF N ACM图3-4nEBADCM FDCB AE D FCB A ∵AD=ED,∠ADC=∠EDB,CD=BD, ∴ΔACD≌ΔEBD ,∴AC=BE, 从而BE=AC=3;在ΔABE 中,因AE 2+BE 2=42+32=25=AB 2,故∠E=90°, ∴BD===,故BC=2BD=2;例4．如图5,已知ΔABC 中,AD 是∠BAC 的平分线,AD 又是BC 边上的中线;求证：ΔABC 是等腰三角形;证明：延长AD 到E,使DE=AD; 仿例3可证： ΔBED≌ΔCAD , 故EB=AC,∠E=∠2, 又∠1=∠2, ∴∠1=∠E,∴AB=EB,从而AB=AC,即ΔABC 是等腰三角形;三、直角三角形斜边中线的性质例5．如图6,已知梯形ABCD 中,AB 2：如图,△ABC 中,E 、F 分别在AB 、AC 上,DE ⊥DF,D 是中点,试比较BE+CF 与EF 的大小.3：如图,△ABC 中,BD=DC=AC,E 是DC 的中点,求证：AD 平分∠BAE.中考应用例题：以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆,90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE,M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．1如图① 当ABC ∆为直角三角形时,AM 与DE 的位置关系是 , 线段AM 与DE 的数量关系是 ；DMCEA BB ECD AA BDC E FAD CBA2将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ0<θ<90后,如图②所示,1问中得到的两个结论是否发生改变并说明理由．二、截长补短1.如图,ABC ∆中,AB=2AC,AD 平分BAC ∠,且AD=BD,求证：CD ⊥AC 2：如图,AC ∥BD,EA,EB 分别平分∠CAB,∠DBA,CD 过点E,求证;AB ＝AC+BD 3：如图,已知在ABC 内,60BAC ∠=分别在BC,CA 上,并且AP,BQ 分别是BAC ∠,ABC ∠线;求证：BQ+AQ=AB+BP4：如图,在四边形ABCD 中,BC ＞BA,AD 平分ABC ∠,求证：0180=∠+∠C A5三、借助角平分线造全等1：如图,已知在△ABC 中,∠B=60°,△ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O,求证：OE=OD2：06郑州市中考题如图,△ABC 中,AD 平分∠且平分BC,DE ⊥AB 于E,DF ⊥AC 于F. 1说明BE=CF AB=a ,AC=b ,求AE 、BE 的长.3.如图①,OP 是∠MON 的平分线,请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形;请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题：1如图②,在△ABC 中,∠ACB 是直角,∠B =60°,AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线,AD 、CE 相交于点F ;请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；E DGFCBAAFEDCBA2如图③,在△ABC 中,如果∠ACB 不是直角,而1中的其它条件不变,请问,你在1中所得结论是否仍然成立若成立,请证明；若不成立,请说明理由;四、旋转1：正方形ABCD 中,E 为BC 上的一点,F 为C D 上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF 的度数.2：D 为等腰Rt ABC ∆斜边AB 的中点,DM ⊥DN,DM,DN 分别交BC,CA 于点E,F;（1） 当MDN ∠绕点D 转动时,求证（2）若AB=2,求四边形DECF 的面积;3.如图,ABC ∆是边长为3的等边三角形,BDC∆是等腰三角形,且0120BDC ∠=,以D 为顶点做一个060使其两边分别交AB 于点M,交AC 于点N,连接MN,则AMN ∆4．已知四边形ABCD 中,AB AD ⊥,BC CD ⊥,AB BC =,120ABC =∠,60MBN =∠,MBN ∠绕B 点旋转,它的两边分别交AD DC ，或它们的延长线于E F ，．当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF =时如图1,易证AE CF EF +=．当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF ≠时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立若成立,请给予证明；若不成立,线段AE CF ，,EF 又有怎样的数量关系请写出你的猜想,不需证明．5.以AB 为一边作正方形ABCD,使P 、D 两点落在直线AB 的两侧.1,求AB 及PD 的长;2且其它条件不变时,求PD 的最大值,及相应∠APB 的大小.第23题图OP AMN EB C D F ACEF BD图① 图② 图③图1 图2 图36.在等边ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N,D 为ABC 外一点,且︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC. 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时,BM 、NC 、MN 之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．图1 图2 图3I 如图1,当点M 、N 边AB 、AC 上,且DM=DN 时,BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ； 此时=LQ； II 如图2,点M 、N 边AB 、AC 上,且当DM ≠DN 时,猜想I 问的两个结论还成立吗写出你的猜想并加以证明；III 如图3,当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时, 若AN=x ,则Q= 用x 、L 表示．梯形中的辅助线1、平移一腰：例1. 如图所示,在直角梯形ABCD 中,∠A ＝90°,AB ∥DC,AD ＝15,AB ＝16,BC ＝17. 求CD 的长.解：过点D 作DE ∥BC 交AB 于点E. 又AB ∥CD,所以四边形BCDE 是平行四边形. 所以DE ＝BC ＝17,CD ＝BE. 在R t △DAE 中,由勾股定理,得 AE 2＝DE 2－AD 2,即AE 2＝172－152＝64. 所以AE ＝8.所以BE ＝AB －AE ＝16－8＝8. 即CD ＝8.例2如图,梯形ABCD 的上底AB=3,下底CD=8,腰AD=4,求另一腰BC 的取值范围; 解：过点B作B M)(2121CH BG BC GH EF --==512=⨯=BE ED BD DH ABDCEH A BCDABCDE6251252DH BC)(AD ABCD =⨯=⨯+=∴梯形S 25252522222100)25()25(AE CE AC ==+=+DCEACD ABD S S S ∆∆∆==DBEABCDS S ∆=梯形2222DH AC DH DE EH -=-=9121522=-=1612202222=-=-=DH BD BH )(15012)169(21212cm DH BE S DBE =⨯+⨯=⋅=∆如图所示,四边形ABCD 中,AD 不平行于BC,AC ＝BD,AD ＝BC. 判断四边形ABCD 的形状,并证明你的结论.解：四边形ABCD 是等腰梯形.证明：延长AD 、BC 相交于点E,如图所示. ∵AC ＝BD,AD ＝BC,AB ＝BA, ∴△DAB ≌△CBA. ∴∠DAB ＝∠CBA.∴EA ＝EB.又AD ＝BC,∴DE ＝CE,∠EDC ＝∠ECD.而∠E ＋∠EAB ＋∠EBA ＝∠E ＋∠EDC ＋∠ECD ＝180°, ∴∠EDC ＝∠EAB,∴DC ∥AB. 又AD 不平行于BC,∴四边形ABCD 是等腰梯形.三、作对角线即通过作对角线,使梯形转化为三角形; 例9如图6,在直角梯形ABCD中,ADcmBE AE 33==2342)(cmAE BC AD S ABCD=⨯+=梯形21AD OE 21=)(21AD BC EF -=A BCD ABCDEABCDE FBG EF 21=AD BC CG BC BG -=-=)(21AD BC -=如图所示,已知等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠B ＝60°,AD ＝2,BC ＝8,则此等腰梯形的周长为A. 19B. 20C. 21D. 228. 如图所示,梯形ABCD 中,AD ∥BC,1若E 是AB 的中点,且AD ＋BC ＝CD,则DE 与CE 有何位置关系2E 是∠ADC 与∠BCD 的角平分线的交点,则DE 与CE 有何位置关系 A B DC E FAB CD EF MN．圆中作辅助线的常用方法：例题1：如图2,在圆O 中,B 为的中点,BD 为AB 的延长线,∠OAB=500,求∠CBD 的度数; 解：如图,连结OB 、OC 的圆O 的半径,已知∠OAB=500∵B 是弧AC 的中点∴弧AB=弧BC∴AB==BC又∵OA=OB=OC∴△AOB ≌△BOC 图2∴∠OBC=∠ABO=500∵∠ABO+∠OBC+∠CBD=1800∴∠CBD=1800 - 500- 500∴∠CBD=800答:∠CBD 的度数是800.例题2:如图3,在圆O 中,弦AB 、CD 相交于点P,求证：∠APD的度数=21弧AD+弧BC 的度数; 证明：连接AC,则∠DPA=∠C+∠A∴∠C 的度数=21弧AD 的度数 ∠A 的度数=21弧BC 的度数 ∴∠APD=21弧AD+弧BC 的度数; 图3 一、造直角三角形法1.构成Rt △,常连接半径例1. 过⊙O 内一点M ,最长弦AB = 26cm,最短弦CD = 10cm ,求AM 长;2.遇有直径,常作直径上的圆周角例2. AB 是⊙O 的直径,AC 切⊙O 于A,CB 交⊙O 于D,过D 作⊙O 的切线,交AC 于E.求证:CE = AE;3.遇有切线,常作过切点的半径例3 .割线AB 交⊙O 于C 、D,且AC=BD,AE 切⊙O 于E,BF 切⊙O 于F.求证:∠OAE = ∠OBF;4.遇有公切线,常构造Rt △斜边长为圆心距,一直角边为两半径的差,另一直角边为公切线长例4 .小 ⊙O 1与大⊙O 2外切于点A,外公切线BC 、DE 分别和⊙O 1、⊙O 2切于点B 、C和D 、E,并相交于P,∠P = 60°;求证：⊙O 1与⊙O 2的半径之比为1：3；5．正多边形相关计算常构造Rt △例5.⊙O 的半径为6,求其内接正方形ABCD 与内接正六边形AEFCGH 的公共部分的面积.二、欲用垂径定理常作弦的垂线段例6. AB 是⊙O 的直径,CD 是弦,AE ⊥CD 于E,BF ⊥CD 于F.1求证:EC = DF; 2若AE = 2,CD=BF=6,求⊙O 的面积;三、转换割线与弦相交的角,常构成圆的内接四边形例7. AB 是⊙O 直径,弦CD ⊥AB,M 是AC 上一点,AM 延长线交DC 延长线于F. 求证: ∠F = ∠ACM;四、切线的综合运用 1．已知过圆上的点,常_________________例8.如图, 已知：⊙O 1与⊙O 2外切于P,AC 是过P 点的割线交⊙O 1于A,交⊙O 2于C,过点O 1的直线AB ⊥BC 于B.求证： BC 与⊙O 2相切. 六、开放性题目 例17．已知：如图,以ABC △的边AB 为直径的O 交边AC 于点D ,且过点D 的切线DE 平分边BC ．1BC 与O 是否相切请说明理由；2当ABC △满足什么条件时,以点O ,B,E ,D 明理由．第23题。
初中辅助线102种方法
初中辅助线102种方法初中数学中，辅助线是解题的重要方法之一、通过合理地引入辅助线，能够简化问题，帮助学生更好地理解和解决数学问题。
下面是一些常见的辅助线方法，总结了102种用辅助线解题的方法。
一、平行四边形和三角形（12种方法）1、分许由对角线2、分许由平行边3、形状做法4、补全四边形5、平行线判定6、直角判定7、等腰判定8、矩形判定9、菱形判定10、全等判定11、相似判定12、中点延长线二、倍数关系（6种方法）1、倍数关系长方形2、被圆分割成n个三角形3、被弦分割成n个扇形4、内切正多边形5、圆切割三角形6、两个相似图形三、角的平分线和垂线（8种方法）1、垂直外角2、垂直内角3、垂直交角4、等角判定5、三角形内角和6、两侧和等于第三侧7、外角和等于第四角的补角8、两个相似三角形四、四边形（8种方法）1、等角判定2、平行线判定3、等腰判定4、全等判定5、相似判定6、斜线等分线段7、低线两边相等8、对角线平分四边形五、边和边平行关系（6种方法）1、等角判定2、平行线判断3、合同判定4、全等判定5、相似判定6、横截线段相等六、圆和直线关系（14种方法）1、相切公切线2、点在圆上3、相交的弦等分圆4、是否平行5、是否垂直6、是否相似7、是否全等8、是否合同9、切线垂直半径10、相似三角形11、距离公式12、两个平行线13、切线与弦的垂直关系14、切线两点之间的线段相等七、平行线关系（12种方法）1、内部角和2、外部角和3、迭代序列4、两个相似形状5、形状判定6、三个平行关系7、三角形内角和8、三角形外角和9、三角形相似10、勾股定理11、水平线距离12、角平分线八、相似三角形（10种方法）1、内切椭圆2、相似判定3、垂直交角4、对称判定5、角平分判定6、高线比例关系7、内角和定理8、充分条件9、相似比例关系10、线段比例关系九、勾股定理（10种方法）1、勾股定理判定2、勾股定理特殊情况3、勾股定理特点4、勾股定理形式类比5、勾股定理直角判断6、勾股定理相似关系7、勾股定理扇形等分8、勾股定理四边形判定9、勾股定理和比例关系10、勾股定理和角平分线十、全等三角形（8种方法）1、全等三角形定理2、全等三角形的性质3、等腰三角形4、直角三角形5、相似三角形6、全等三角形的斜线相等7、全等三角形的线段比例关系8、全等三角形的勾股定理十一、正多边形（6种方法）1、内切圆2、相似判定3、垂直交角4、直径5、内角和定理6、线段比例以上就是102种初中数学中常用的辅助线方法。
初中必须掌握的几何辅助线技巧
初中必须掌握的几何辅助线技巧初中阶段，学习几何学是数学学科的一个重要组成部分。
在学习几何学时，掌握几何辅助线技巧是非常关键的。
几何辅助线技巧可以帮助学生更好地理解和应用几何学的概念和定理。
下面将介绍初中必须掌握的几何辅助线技巧，供参考。
1.垂直辅助线：对于一个已知线段或角的垂直平分线，可以通过画一个与之垂直的辅助线将其分成两等分。
2.平行辅助线：对于一条已知直线上的点，可以通过平行辅助线的方法，画出与已知直线平行的直线。
3.底角等分线：对于一个已知三角形的底边，可以通过画一条从顶点到底边中点的辅助线，将底角等分为两个相等的角。
4.中位线：对于一个已知三角形，可以通过画一条连接两个顶点的中位线来找到三角形的第三个顶点。
5.延长线：对于已知线段或角，可以通过延长线的方法，将其延长至达到所需目的。
6.弦线：对于一个已知圆，可以通过在圆内画一个弦线来找到圆心所在的位置。
7.三角形内切圆：对于一个已知三角形，可以通过三边的角平分线的交点来找到一个内切圆。
8.直角三角形的高线：对于一个已知直角三角形，可以通过高线的方法，找到三角形的高线。
9.可能轨迹：通过连续改变一个量的取值，绘制出图形。
找出构成图形的关系，得到图形的特点。
10.相似图形属性：通过相似图形的性质，推导出两个相似图形的对应边、对应角的比例关系。
11.形状特征辅助线：通过画一些特定形状的辅助线，如矩形的对角线、平行四边形的对角线等，可以帮助我们找出图形的特征。
12.角角平行线：对于一对已知的角，可以通过角角平行线的方法，来判断两条直线是否平行。
13.内角和公式：对于一个已知多边形，可以通过内角和公式来计算多边形的内角和。
14.对称辅助线：对于一个已知图形，可以通过对称辅助线的方法来找出图形的对称中心或对称轴。
15.圆心角和弧度：对于一个已知圆，可以通过圆心角和弧度的概念来计算圆心角的度数或弧的长度。
以上就是初中必须掌握的几何辅助线技巧，每一种技巧都有其特定的应用领域。
初中几何辅助线技巧秘籍
初中几何辅助线技巧大全初中几何常见辅助线口诀人说几何很困难，难点就在辅助线。
辅助线，如何添？把握定理和概念。
还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。
图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
四边形平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形问题巧转换，变为△和口。
平移腰，移对角，两腰延长作出高。
如果出现腰中点，细心连上中位线。
上述方法不奏效，过腰中点全等造。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
注意点辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。
解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
分析综合方法选，困难再多也会减虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
由角平分线想到的辅助线口诀:图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
与角有关的辅助线（—）、截取构全等几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规律去尝试。
初中几何15中添加辅助线的方法
初中几何15中添加辅助线的方法在初中几何中，辅助线是解题时常常会使用的一种方法。
辅助线能够帮助我们理清思路，找到问题的关键，从而更容易解决问题。
在这里，我将介绍15种常见的添加辅助线的方法。
1.平行线辅助法：在平行的直线上添加一条辅助线，以便能够利用平行线的性质解题。
2.垂直线辅助法：在垂直的直线上添加一条辅助线，以便能够利用垂直线的性质解题。
3.切线辅助法：在圆和直线的切点处添加一条切线作为辅助线，以便能够利用切线的性质解题。
4.相等辅助法：在等长的线段上添加相等辅助线，以便能够利用线段相等的性质解题。
5.相似辅助法：在相似的图形中添加相似辅助线，以便能够利用相似图形的性质解题。
6.对称辅助法：在对称的图形中添加对称辅助线，以便能够利用对称图形的性质解题。
7.中垂线辅助法：在三角形的顶点处添加中垂线作为辅助线，以便能够利用中垂线的性质解题。
8.重心辅助法：在三角形的顶点处添加重心作为辅助线，以便能够利用重心的性质解题。
9.垂心辅助法：在三角形的顶点处添加垂心作为辅助线，以便能够利用垂心的性质解题。
10.外心辅助法：在三角形的顶点处添加外心作为辅助线，以便能够利用外心的性质解题。
11.内心辅助法：在三角形的顶点处添加内心作为辅助线，以便能够利用内心的性质解题。
12.中位线辅助法：在三角形的边上添加中位线作为辅助线，以便能够利用中位线的性质解题。
13.角平分线辅助法：在角的两边上添加角平分线作为辅助线，以便能够利用角平分线的性质解题。
14.高线辅助法：在三角形的一个顶点上添加高线作为辅助线，以便能够利用高线的性质解题。
15.弦辅助法：在圆上添加弦作为辅助线，以便能够利用弦的性质解题。
这些辅助线添加的方法，有助于我们在初中几何中更好地理解和解决问题。
当我们遇到几何问题时，可以灵活运用这些辅助线的方法，寻找问题的关键点，从而更轻松地解题。
通过多练习和实践，我们可以在初中几何中熟练地运用这些方法，从而提高解题的效率和准确性。
初中几何辅助线大全及口诀
初中几何辅助线大全及口诀
初中几何辅助线大全及口诀可以帮助同学们在解题时更高效地添加辅助线，解决几何问题。
下面是一些常见的辅助线和口诀:
一、常见辅助线:
1. 过中点作中位线;
2. 见中线延长一倍;
3. 见中点，引中位线;
4. 遇比例线段，常作平行线;
5. 梯形问题，常作垂线;
6. 遇切线问题，常连结过切点的半径;
7. 遇弦的问题，常作弦心距。
二、常见定理:
1. 三角形内角和定理;
2. 平行线的性质定理;
3. 中位线定理;
4. 命题等价性定理;
5. 相似三角形判定定理;
6. 直角三角形判定定理。
三、口诀:
1. 直角三角形直角边平方等于斜边平方加直角边平方;
2. 三角形两边之和大于第三边;
3. 三角形三边长度比等于斜边夹角角度比;
4. 梯形问题，常作垂线;
5. 遇切线问题，常连结过切点的半径;
6. 遇弦的问题，常作弦心距。
这些辅助线和口诀可以帮助同学们更好地解决几何问题，提高解题效率。
同时，辅助线添加的技巧也需要同学们在实际解题中不断练习和总结，才能更好地掌握和应用。
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初中几何辅助线技巧大全一初中几何常见辅助线口诀人说几何很困难，难点就在辅助线。
辅助线，如何添？把握定理和概念。
还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。
三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
四边形平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形问题巧转换，变为△和□。
平移腰，移对角，两腰延长作出高。
如果出现腰中点，细心连上中位线。
上述方法不奏效，过腰中点全等造。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
圆形半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
要作等角添个圆，证明题目少困难。
注意点辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。
解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
二 由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
与角有关的辅助线（一）、截取构全等几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规律去尝试。
下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。
如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
例1． 如图1-2，AB//CD ，BE 平分∠BCD ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD 。
图1-1BDBC分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。
但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。
简证：在此题中可在长线段BC 上截取BF=AB ，再证明CF=CD ，从而达到证明的目的。
这里面用到了角平分线来构造全等三角形。
另外一个全等自已证明。
此题的证明也可以延长BE 与CD 的延长线交于一点来证明。
自已试一试。
例2． 已知：如图1-3，AB=2AC ，∠BAD=∠CAD ，DA=DB ，求证DC ⊥AC 分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。
构造的方法还是截取线段相等。
其它问题自已证明。
例3． 已知：如图1-4，在△ABC 中，∠C=2∠B,AD 平分∠BAC ，求证：AB-AC=CD分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。
用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。
试试看可否把短的延长来证明呢？练习 1．已知在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠B=2∠C ，求证：AB+BD=AC2．已知：在△ABC 中，∠CAB=2∠B ，AE 平分∠CAB 交BC 于E ，AB=2AC ，求证：AE=2CEABC图1-4ABC3． 已知：在△ABC 中，AB>AC,AD 为∠BAC 的平分线，M 为AD 上任一点。
求证：BM-CM>AB-AC4．已知：D 是△ABC 的∠BAC 的外角的平分线AD 上的任一点，连接DB 、DC 。
求证：BD+CD>AB+AC 。
（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。
例1． 如图2-1，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC 。
求证：∠ADC+∠B=180分析：可由C 向∠BAD 的两边作垂线。
近而证∠ADC 与∠B 之和为平角。
例2． 如图2-2，在△ABC 中，∠A=90 ，AB=AC ，∠ABD=∠CBD 。
求证：BC=AB+AD分析：过D 作DE ⊥BC 于E ，则AD=DE=CE ，则构造出全等三角形，从而得证。
此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。
例3． 已知如图2-3，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P 。
求证：∠BAC 的平分线也经过点P 。
分析：连接AP ，证AP 平分∠BAC 即可，也就是证P 到AB 、AC 的距离相等。
练习：1．如图2-4∠AOP=∠BOP=15 ，PC//OA ，PD ⊥O A ，如果PC=4，则PD=（ ）图2-1B图2-2BC图2-3ABCAA 4B 3C 2D 12．已知在△ABC 中，∠C=90 ，AD 平分∠CAB ，CD=1.5,DB=2.5.求AC 。
3．已知：如图2-5, ∠BAC=∠CAD,AB>AD ，CE ⊥AB ，AE=21（AB+AD ）.求证：∠D+∠B=180 。
4.已知：如图2-6,在正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BC上的点，∠FAE=∠DAE 。
求证：AF=AD+CF 。
5．已知：如图2-7，在Rt △ABC 中，∠ACB=90 ,CD ⊥AB ，垂足为D ，AE 平分∠CAB 交CD 于F ，过F 作FH//AB 交BC 于H 。
求证CF=BH 。
（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。
（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。
例1． 已知：如图3-1，∠BAD=∠DAC ，AB>AC,CD ⊥AD 于D ，H 是BC 中点。
求证：DH=21（AB-AC ） 分析：延长CD 交AB 于点E ，则可得全等三角形。
问题可证。
例2． 已知：如图3-2，AB=AC ，∠BAC=90 ，AD 为∠A BC 的平分线，CE ⊥BE.求证：BD=2CE 。
ABD图2-6ECD图2-7DBAB分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。
例3．已知：如图3-3在△ABC 中，AD 、AE 分别∠BAC 的内、外角平分线，过顶点B 作BFAD ，交AD 的延长线于F ，连结FC 并延长交AE 于M 。
求证：AM=ME 。
分析：由AD 、AE 是∠BAC 内外角平分线，可得EA ⊥AF ，从而有BF//AE ，所以想到利用比例线段证相等。
例4． 已知：如图3-4，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AD=AB ，CM ⊥AD 交AD 延长线于M 。
求证：AM=21（AB+AC ） 分析：题设中给出了角平分线AD ，自然想到以AD 为轴作对称变换，作△ABD 关于AD 的对称△AED ，然后只需证DM=21EC ，另外由求证的结果AM=21（AB+AC ），即2AM=AB+AC ，也可尝试作△ACM 关于CM 的对称△FCM ，然后只需证DF=C F 即可。
练习： 1．已知：在△ABC 中，AB=5，AC=3，D 是BC 中点，AE 是∠BAC 的平分线，且CE ⊥AE 于E ，连接DE ，求DE 。
2．已知BE 、BF 分别是△ABC 的∠ABC 的内角与外角的平分线，AF ⊥BF于F ，AE ⊥BE 于E ，连接EF 分别交AB 、AC 于M 、N ，求证MN=21BC （四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。
或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。
如图4-1和图4-2所示。
E图4-2图4-1ABCBI G例4 如图，AB>AC, ∠1=∠2，求证：AB －AC>BD －CD 。
例5 如图，BC>BA ，BD 平分∠ABC ，且AD=CD ，求证：∠A+∠C=180。
例6 如图，AB ∥CD ，AE 、DE 分别平分∠BAD 各∠ADE ，求证：AD=AB+CD 。
练习：1. 已知，如图，∠C=2∠A ，AC=2BC 。
求证：△ABC 是直角三角形。
1 2ACDBBDCAABECD2．已知：如图，AB=2AC ，∠1=∠2，DA=DB ，求证：DC ⊥AC3．已知CE 、AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD4．已知：如图在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 是∠ABC 的平分线，求证：BC=AB+AD三 由线段和差想到的辅助线口诀：线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。
遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：CABABCDAEBD ABDC1 21、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。
对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。
一、 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：例1、 已知如图1-1：D 、E 为△ABC 内两点,求证:AB+AC>BD+DE+CE. 证明：（法一）将DE 两边延长分别交AB 、AC 于M 、N ， 在△AMN 中，AM+AN>MD+DE+NE;（1） 在△BDM 中，MB+MD>BD ；（2） 在△CEN 中，CN+NE>CE ；（3） 由（1）+（2）+（3）得：AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE ∴AB+AC>BD+DE+EC （法二：图1-2）延长BD 交AC 于F ，廷长CE 交BF 于G ，在△ABF 和△GFC 和△GDE 中有：AB+AF>BD+DG+GF （三角形两边之和大于第三边） (1)GF+FC>GE+CE （同上）（2） DG+GE>DE （同上）（3） 由（1）+（2）+（3）得：AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE ∴AB+AC>BD+DE+EC 。