高三数学1月月考试题
高三第一次月考(数学)试卷含答案
高三第一次月考（数学）（考试总分：150 分）一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分）1.（5分）1．若{}{}2|22,|log (1)M x x N x y x =-≤≤==-，则M N =（ ）A.{}|20x x -≤<B. ﹛x| -1<x<0﹜C.{}2,0-D.{}21|≤<x x 2.（5分）2.复数imi212+-=A+B i (m 、A 、B ∈R)，且A+B=0，则m 的值是 （ ） A. 32- B. 32 C.2 D.23.（5分）3．下列命题中，真命题是 ( )A ．,00≤∈∃x e R x B ．22,x R x x >∈∀C ．0=+b a 的充要条件是1-=baD ．1,1>>b a 是1>ab 的充分条件 4.（5分）4.函数212log 4f xx 的单调递增区间是（ ）A.（0，+∞）B. （-∞，0）C. （2，+∞）D. （-∞，-2）5.（5分）5.函数f(x)=-1x+log 2x 的一个零点落在下列哪个区间( ) A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)6.（5分）6.如果函数f(x)=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f(2+t)=f(2-t),那么( )A.f(2)＜f(1)＜f(4)B.f(1)＜f(2)＜f(4)C.f(2)＜f(4)＜f(1)D.f(4)＜f(2)＜f(1) 7.（5分）7．函数()3cos 2xxf x x⋅=的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8.（5分）8．曲线y ＝e x ＋1在x ＝1处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A.12e B ．e 2 C ．2e 2D ．94e 2 9.（5分）9.已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f(x ＋2)＝f(x)．当0≤x≤1时，2()f x x =.若直线y ＝x ＋a 与函数y ＝f(x)的图像在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是 （ ） A ．0 B ．0或－14 C ．－14或－12 D.0或－1210.（5分）10.若函数x x f xx2sin 3)(1212++=+-在区间[-k,k](k>0)上的值域为[m,n],则m+n 等于( )A.0B.2C.4D.611.（5分）11.已知函数f(x)在R 上满足f(x)=2f(2-x)-x 2+8x-8，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是 （ ）A.y=-2x+3B.y=xC. y=2x-1D.y=3x-212.（5分）12．设定义域为R 的函数2lg (>0)()-2(0)x x f x x x x ⎧=⎨-≤⎩ 则关于x 的函数1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为（ ）A ．3B ．7C ．5D ．6二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）13.（5分）13．函数24ln(1)x y x -=+的定义域为_______________14.（5分）14.函数y ＝log a (2x －3)＋8的图象恒过定点A ，且点A 在幂函数f(x)的图象上，则f （3）＝________.15.（5分）15.若函数1,0()1(),03x x xf x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 则不等式1|()|3f x ≥的解集为________16.（5分）16.已知定义域为R 的函数f (x )满足f (4)＝－3，且对任意x ∈R 总有)('x f <3，则不等式 f (x)<3x －15的解集为________．三、 解答题 （本题共计7小题，总分80分） 17.（12分）17．（本大题满分12分）设p ：函数y ＝log a (x ＋1)(a ＞0且a≠1)在(0，＋∞)上单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点.如果p∧q 为假，p∨q 为真，求实数a 的取值范围.18.（12分）18．（本大题满分12分）已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2.(1)求f (x )在区间[12，3]上的最大值和最小值；(2)若g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上是单调函数，求m 的取值范围．19.（12分）19.（本大题满分12分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x ，y 的含量(单位：毫克).下表是乙厂的5件产品的测量数据： 编号 1 2 3 4 5 x 169 178 166 175 180 y7580777081(1)已知甲厂生产的产品共98件，求乙厂生产的产品数量；(2)当产品中的微量元素x ，y 满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；(3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列.20.（12分）20. （本大题满分12分）设函数3()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-．（1）求a ，b ，c 的值；（2）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值．21.（12分）21. （本大题满分12分）已知函数f(x)＝ax －ln x ，a ∈R.(1)求函数f(x)的单调区间； (2)当x ∈(0，e]时，求g (x )＝e 2x －ln x 的最小值； (3)当x ∈(0，e]时，证明：e 2x －ln x －x x ln >52.22.（10分）22.（本大题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 213235 (t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ． (1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA|·|MB|的值．23.（10分）23. （本大题满分10分） 选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式|ax －1|＋|ax －a |≥1(a ＞0)． (1)当a ＝1时，求此不等式的解集；(2)若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围答案一、单选题（本题共计12小题，总分60分）1.（5分）D2.（5分）A3.（5分）D4.（5分）D5.（5分）B6.（5分）A7.（5分）D8.（5分）A9.（5分）B10.（5分）D11.（5分）C12.（5分）B二、填空题（本题共计4小题，总分20分）13.（5分）13.（-1,0）∪（0,2］14.（5分） 14. 2715.（5分） 15.［-3，1］16.（5分） 16.（4，+∞）三、解答题（本题共计7小题，总分80分）17.（12分）17.1/2≤a＜1或a＞5/218.（12分）18.（1）f(x)最大值为5，最小值为1；（2）m的取值范围为（-∞，2]∪[6，+∞)19.（12分）19.（1）35件；（2）35×2/5=14件；（3）由题意，ξ的取值有0,1,2，P(ξ=0)=3/10,P(ξ=1)=3/5,P(ξ=2)=1/10,分布列为(2)f(x)的最大值为18，最小值为-8221.（12分）21.（1）综上，a≤0时，f（x）的单调递减区间是（0，+∞），无单调增区间；a＞0时，f（x）的单调递减区间是（0,1/a），单调增区间是（1/a，+∞）;(2)g（x）最小值为3;(3)略22.（10分）22.（1）x2+y2=2x;(2)｜MA｜·｜MB｜=1823.（10分）23.(1)(-∞,1/2]∪[5/2.+∞); (2)[4,+∞)。
江苏省扬州中学2022-2023学年高三上学期1月月考(期末)数学试题 附答案
江苏省扬州中学2022-2023学年度1月月考试题 高三数学 2023.01试卷满分：150分， 考试时间：120分钟一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）1．已知复数3i z =（i 为虚数单位），则22z z-的共轭复数的模是（ ）A ．1B ．3C ．5D ．72．已知集合(){}{}ln 12,Z 3sin A x x B y y x =+<=∈=，则A B =（ ）A ．{}0,1,2,3B ．{}0,3C ．{}3D ．∅3．设123,,a a a ∈R ，则“123,,a a a 成等比数列”是“()()()2222212231223a a a a a a a a ++=+”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．某中学全体学生参加了数学竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，每组数据以组中值（组中值=(区间上限+区间下限)/2）计算），下列说法正确的是（ ）A ．直方图中x 的值为0.035B ．在被抽取的学生中，成绩在区间[)70,80的学生数为30人C ．估计全校学生的平均成绩为83分D ．估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为95分5．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且tan 32πcos 4αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）A ．13- B ．16 C ．13 D ．236.在平面直角坐标系xOv 中，M 为双曲线224x y -=右支上的一个动点，若点M 到直线20x y -+=的距离大于m 恒成立，则实数m 的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 2D. 227．如图是一个由三根细棒PA 、PB 、PC 组成的支架，三根细棒PA 、PB 、PC 两两所成的角都为60︒，一个半径为1的小球放在支架上，则球心O 到点P 的距离是（ ）A ．32 B ．2 C ．3 D ．28．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且()52f x +是偶函数，记()()g x f x '=，()1g x +也是偶函数，则()2022f '的值为（ ）A ．－2B ．－1C ．0D ．2二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.） 9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AA 的中点，则（ ） A ．11//A D 平面BEC B ．1AB ⊥平面BECC ．平面11AA B B ⊥平面BECD ．直线1DD 与平面BEC 所成角的余弦值为5510．已知函数()()2πsin 02f x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的一条对称轴为π3x =，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()104f =C ．()f x 在π2π,33⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．π6x f x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭11．已知数列{}n a 中，12a =，()21212n n a a +=++-，则关于数列{}n a 的说法正确的是（ ）A ．25a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．221n a n n =+- D ．数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和小于3412．已知函数()sin f x x =，()()0g x kx k =>，若()f x 与()g x 图象的公共点个数为n ，且这些公共点的横坐标从小到大依次为1x ，2x ，…，n x ，则下列说法正确的有（ ）A ．若1n =，则1k >B ．若3n =，则33321sin 2x x x =+ C ．若4n =，则1423x x x x +<+ D ．若22023k π=，则2024n =三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.）13．已知52212x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的各项系数和为243，则其展开式中含2x 项的系数为_____.14．已知()()2,1,3,a b a b a ==--⊥,则a 与b 的夹角为__________．15．已知()()12,0,,0F c F c -为椭圆2222:1x y C a b+=的两个焦点，P 为椭圆C 上一点（P 不在y轴上），12PF F △的重心为G ，内心为M ，且12//GM F F ，则椭圆C 的离心率为___________．16．对于函数()f x 和()g x ，设{|()0}x f x α∈=，{|()0}x g x β∈=，若存在α、β，使得||1αβ-<，则称()f x 与()g x 互为“零点相邻函数”.若函数1()e 2-=+-x f x x 与2()3g x x ax a =--+互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围为______.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.）17．已知数列{}n a 满足，12(1)nn n a a +=+⋅-.(1)若11a =，数列{}2n a 的通项公式； (2)若数列{}n a 为等比数列，求1a .18．记锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin tan cos cos A CB A C+=+．(1)求B ；(2)求()2a c ab -的取值范围．19．密室逃脱可以因不同的设计思路衍生出不同的主题，从古墓科考到蛮荒探险，从窃取密电到逃脱监笼，玩家可以选择自己喜好的主题场景在规定时间内完成任务，获取奖励．李华参加了一次密室逃脱游戏，他选择了其中一种模式，该游戏共有三关，分别记为A ，B ，C ，他们通过三关的概率依次为：211,,323．若其中某一关不通过，则游戏停止，游戏不通过．只有依次通过A ，B ，C 三道关卡才能顺利通关整个游戏，并拿到最终奖励．现已知参加一次游戏的报名费为150元，最终奖励为400元．为了吸引更多的玩家来挑战该游戏，商家推出了一项补救活动，可以在闯关前付费购买通关币．游戏中，若某关卡不通过，则自动使用一枚通关币通过该关卡进入下一关．购买一枚通关币需另付100元，游戏结束后，剩余的未使用的通关币半价回收．(1)若李华同学购买了一枚通关币，求他通过该游戏的概率． (2)若李华同学购买了两枚通关币，求他最终获得的收益期望值．（收益等于所得奖励减去报名费与购买通关币所需费用）．20．图1是直角梯形ABCD ，AB CD ，90D ∠=，2AB =，3DC =，3AD =，2CE ED =，以BE 为折痕将BCE 折起，使点C 到达1C 的位置，且16AC =，如图2. (1)求点D 到平面1BC E 的距离；(2)若113DP DC =，求二面角P BE A --的大小.21．已知点()1,2Q 是焦点为F 的抛物线C ：()220y px p =>上一点． (1)求抛物线C 的方程；(2)设点P 是该抛物线上一动点，点M ，N 是该抛物线准线上两个不同的点，且PMN 的内切圆方程为221x y +=，求PMN 面积的最小值．22．已知函数()ln f x x ax a =-+，其中R a ∈． (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()f x 在(]0,1上的最大值为0， ①求a 的取值范围；①若2()31f x kx ax ≤-+恒成立，求正整数k 的最小值．参考答案： 1．C 【详解】因为3i i z ==-，所以22212i 112i i z z -=+=+=+-，所以22z z -的共轭复数为12i -，12i 5-=，所以22z z-52．A 【详解】由()ln 12x +<，可得201e x <+<，则{}21e 1A x x =-<<-∣ 又{}{}Z 3sin 3,2,1,0,1,2,3B y y x =∈==---，所以{}0,1,2,3A B =.3．A 【详解】①若123,,a a a 成等比数列，则2213a a a =⋅，所以()()22221223a a a a ++()()22113133a a a a a a =+⋅⋅+()()113133a a a a a a ⎡⎤⎡⎤=++⎣⎦⎣⎦()21313a a a a =+()22132a a a =+()2132a a a ⎡⎤=+⎣⎦()21223a a a a =+；①若1230a a a ===,满足()()()2222212231223a a a a a a a a ++=+，但是不满足123,,a a a 成等比数列（因为等比数列中不能含有0）“123,,a a a 成等比数列”是“()()()2222212231223a a a a a a a a ++=+”的充分不必要条件， 4．D 【详解】对于A ：根据学生的成绩都在50分到100分之间的频率和为1，可得10⨯(0.005+0.01+0.015+x +0.040)=1，解得x =0.03，故A 错误；对于B ：在被抽取的学生中，成绩在区间[)70,80的学生数为10⨯0.015⨯400=60人， 故B 错误；对于C ：估计全校学生的平均成绩为55⨯0.05+65⨯0.1+75⨯0.15+85⨯0.3+95⨯0.4=84分； 故C 错误.对于D ：全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为0.29010950.4+⨯=分. 故D 正确.5．D 【详解】设π4αβ+=，π3π,44β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π4αβ=-，tan 32πcos 4αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 即πtan 3cos 23sin 22βββ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，sin 6sin cos cos ββββ=，sin 0β≠， 故21cos 6β=，22sin 2sin 2cos 212cos 23παβββ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭.6.B 【详解】由点M 到直线20x y -+=的距离大于m 恒成立，可得点M 到直线20x y -+=的最近距离大于m .因为双曲线的渐近线为y x =，则y x =与20x y -+=的距离222d ==即为最近距离，则2m ≤，即max 2m =.7．C 【详解】如图所示，连接,,AB AC BC ，作ABC 所在外接圆圆心1O ，连接1,AO AO ，设PA x =，由PA 、PB 、PC 两两所成的角都为60︒可得AB AC BC x ===，因为1O 为ABC 几何中心，所以132332333AO AB AB x =⋅⋅==，易知对1PAO △和POA ，1,90P P PO A PAO ∠=∠∠=∠=︒，所以1PAO POA △≌△，所以1PA PO AO AO =，即133xPOx =，解得3PO =.故选：C8．C 【详解】因为()52f x +是偶函数，所以(52)(52)f x f x -+=+ ，两边求导得5(52)5(52)f x f x ''--+=+ ，即(52)(52)f x f x ''--+=+，所以(52(52)g x g x +=--+），即()(4)g x g x =--+， 令2x = 可得(2)(2)g g =- ，即(2)0=g ， 因为()1g x +为偶函数，所以(1)(1)g x g x +=-+ ，即()(2)g x g x =-+ ， 所以(4)(2)g x g x --+=-+ ，即()(2)g x g x =-+ ，(4)(2)()g x g x g x ∴+=-+= ，所以4是函数()g x 的一个周期， 所以(2022)(2022)(50542)(2)0f g g g '==⨯+==, 9．ACD10．ABD 【详解】因为函数21cos(22)11()sin ()cos(22)222x f x x x ϕϕϕ-+=+==-++， 因为函数()()2πsin 02f x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的一条对称轴为3x π=，所以π22π,()3k k ϕ⨯+=∈Z ，解得：ππ,()23k k ϕ=-∈Z ， 又因为π02ϕ<<，所以π1,6k ϕ==，则1π1()cos(2)232f x x =-++，对于A ，函数()f x 的最小正周期πT =，故选项A 正确；对于B ，1111(0)2224f =-⨯+=，故选项B 正确；对于C ，因为π2π33x <<，所以π5ππ<2+33x <，因为函数cos y t =-在5π(π,)3上单调递减，故选项C 错误；对于D ，因为π11()cos 2622f x x -=-+，令π11()()cos 2622g x x f x x x =--=+-，当0x ≥时，11()cos 222g x x x =+-，则()1sin 20g x x ='-≥，所以()g x 在[0,)+∞上单调递增，则()(0)0g x g ≥=，也即π()6x f x ≥-，当0x <时，11()cos 222g x x x =-+-，则()1sin 20g x x ='--≤，所以()g x 在(,0)-∞上单调递减，则()(0)0g x g ≥=，也即π()6x f x -≥-，综上可知：6x f x π⎛⎫≥- ⎪⎝⎭恒成立，故选项D 正确，11．BCD 【详解】由)21212n n a a +=+-，得()21221n n a a ++=+1221n n a a +++，又12a =122a +所以{}2n a +是以2为首项，1为公差的等差数列，22(1)11n a n n ++-⨯=+，即221n a n n =+-， 所以27a =，故A 错误，C 正确；()212n a n =+-，所以{}n a 为递增数列，故B 正确；()211111112222n a n n n n n n ⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭， 所以数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为11111111111...232435112n n n n ⎛⎫-+-+-++-+- ⎪-++⎝⎭ 1111311131221242124n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+< ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 12．BCD 【详解】对于A ：当1k =时，令sin y x x =-，则cos 10y x =-≤，即函数sin y x x =-有且仅有一个零点为0，同理易知函数sin y x x =--有且仅有一个零点为0，即()f x 与()g x 也恰有一个公共点，故A 错误； 对于B ：当3n =时，如下图：易知在3x x =，且()3,2x ππ∈，()f x 与()g x 图象相切，由当(),2x ∈ππ时，()sin f x x =-，则()cos f x x '=-，()g x k '=，故333cos sin k x x kx =-⎧⎨-=⎩，从而33tan x x =，所以()222333332333333cos 1tan 1tan 112tan tan tan cos tan sin 2x x x x x x x x x x x +++=+===，故B 正确； 对于C ：当4n =时，如下图：则10x =，42x ππ<<，所以142x x π+<，又()f x 图象关于x π=对称，结合图象有32x x ππ->-，即有32142x x x x π+>>+，故C 正确；对于D ：当22023k π=时，由20232023()122f g ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()f x 与()g x 的图象在y 轴右侧的前1012个周期中，每个周期均有2个公共点，共有2024个公共点，故D 正确.13．80 14. π415.12【详解】设()()000,0P x y x ≠，由于G 是12PF F △的重心，由重心坐标公式可得00,33x y G ⎛⎫⎪⎝⎭，由于12//GM F F ，所以M 的纵坐标为03M y y =，由于M 是12PF F △的内心，所以12PF F △内切圆的半径为03y r =，由椭圆定义得12212,2PF PF a F F c +==， ()2121210120122111223PF F MF F MF P MPF y SSSSF F y F F PF F P =++⇒⋅=++， ()001222232y c y a c a c e =+⇒=⇒= 16．23a ≤<【详解】因为(1)0f =，且函数1()e 2-=+-x f x x 为单调递增函数，所以1为函数1()e 2-=+-x f x x 的唯一零点， 设函数2()3g x x ax a =--+的零点为b ，又因为函数1()e 2-=+-x f x x 与2()3g x x ax a =--+互为“零点相邻函数”， 所以|1|1b -<，解得02b <<，所以函数2()3g x x ax a =--+在(0,2)上有零点，所以(0)(2)0g g ⋅<或()2022Δ430a a a ⎧<<⎪⎨⎪=--+=⎩或()()()2022Δ4300020a a a g g ⎧<<⎪⎪⎪=--+>⎨⎪>⎪>⎪⎩， 即733a <<或2a =或23a <<，所以23a ≤<. 17．【详解】（1）由题意得()121nn n a a +-=⋅-，所以()()()22212122211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()()212212121211n n --=⋅-+⋅-++⨯-+211=-+=-.（2）设数列{}n a 的公比为q ，因为()121n n n a a +=+⋅-，所以212a a =-，322a a =+，两式相加得2311a a q a =⋅=，所以1q =±，当1q =时，2112a a a ==-不成立，所以1q =-，2112a a a =-=-，解得11a =.18．【详解】（1）因为sin sin tan cos cos A C B A C +=+，即sin sin sin cos cos cos B A CB A C+=+，所以sin cos sin cos cos sin cos sin B A B C B A B C +=+，即sin cos cos sin cos sin sin cos B A B A B C B C -=-，所以sin()sin()B A C B -=-，因为0πA <<，0πB <<，所以ππB A -<-<，同理得ππC B -<-<， 所以B A C B -=-或()()πB A C B -+-=±（不成立）， 所以2B A C =+，结合πA B C ++=得π3B =．（2）由余弦定理2221cos 22a c b B ac+-==得，222ac a c b =+-，所以222ac a c b -=-，则2222222()1a c a ac a c b c b b b b ---⎛⎫===- ⎪⎝⎭， 由正弦定理得，sin 23sin sin 3cC C bB ==， 因为π3B =，2π3A C +=，π02A <<，π02C <<，所以ππ62C <<，1sin 12C <<，所以32333c b ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，，2()2133a c a b -⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，． 19.【详解】（1）由题意可知：这一枚通关币的使用情况有四种： ①在第一关使用；①在第二关使用；①在第三关使用；①没有使用.而通过三关的概率依次为：211,,323，则李华通过该游戏的概率11121121221113233233233232P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．（2）购买两枚通关币的费用为200元，报名费为150元，则收益可能为：1400(150200100)150x =-+-=（未使用通关币过关）， 2400(15020050)100x =-+-=（使用1枚通关币且过关）， 3400(15020050）x =-+=（使用2枚通关币且过关）， 4(150200350）x =-+=-（使用2枚通关币且未过关），则12111(150)3239p x ==⨯⨯=2117(100)2918p x ==-=31111122127(50)32332332318p x ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=41121(350)3239p x =-=⨯⨯=则17()150100918E x =⨯+⨯13255035018997+⨯-⨯=. 所以他最终获得的收益期望值是3259元.20【详解】（1）解：如图所示： 连接AC ，交BE 于F ，因为90D ∠=，2AB =，3DC =，3AD =，2CE ED =，所以AE =2，又AB CD ，所以四边形ABCE 是菱形， 所以AC BE ⊥，在ACD 中，2223AC AD CD =+=，所以3AF CF ==，又16AC =，则2221AC AF CF =+， 所以1C F AF ⊥，又AF BE F ⋂=， 所以1C F ⊥平面ABED ，设点D 到平面1BC E 的距离为h ，因为1113233,13222C BE DBESS =⨯⨯==⨯⨯=，且11C DBE D C BE V V --=， 所以111133C BE DBE h S C F S ⨯⨯=⨯⨯，解得32h =；（2）由（1）建立如图所示空间直角坐标系：则()()()()133,,0,0,0,3,0,1,0,0,1,0,3,0,022D C B E A ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以()()3,1,0,0,2,0BA BE =-=-，因为113DP DC =，所以133,2,3133BP BD BD DP DC ⎛⎫=++=- ⎪ ⎪=⎝⎭， 设平面BEP 的一个法向量为(),,m x y z =， 则00m BE m BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20332033y x y z -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 令1x =，得()1,0,1m =-，易知平面BEA 的一个法向量为()0,0,1n =， 所以2cos ,2m n m n m n⋅==-⋅，则3,4m n π=， 易知二面角P BE A --的平面角是锐角， 所以二面角P BE A --的大小为4π. 21.【详解】（1）因为点()1,2Q 是抛物线C ：()220y px p =>上一点， 所以42p =，解得：2p =， 所以24y x =.（2）设点()00,P x y ，点()1,M m -，点()1,N n -，直线PM 方程为：()0011y my m x x --=++，化简得()()()()0000110y m x x y y m m x --++-++=．PMN 的内切圆方程为221x y +=，∴圆心()0,0到直线PM 的距离为1，即()()()002200111y m m x y m x -++=-++．故()()()()()()222220000001211y m x y m m y m x m x -++=-+-+++．易知01x >，上式化简得，()()20001210x m y m x -+-+=．同理有()()20001210x n y n x -+-+=，∴m ，n 是关于t 的方程()()20001210x t y t x -+-+=的两根．∴0021y m n x -+=-，()0011x mn x -+=-．∴()()()()222200200414411x y MN m n m n mnx x +=-=+-=+--．2004y x =，∴()20000220004116412(1)1(1)x x x x MN x x x ++-=+---点(00,P x y 到直线=1x -的距离为01d x =+，所以PMN 面积为()())()()()22200000022004114111212211xx x x x S MN d xx x +-++-=⋅=⨯+=-- 令()010x t t -=>，则()()22222444640161032tt t tS t t t t t++++==++++ 因为2222161628t t t t +≥⋅，4040101040t t t t+≥⋅=， 当且仅当2t =取等，所以840325S ≥++= 故PMN 面积的最小值为4522.【详解】（1）()'1f x a x =- ，若0a ≤ ，则有()'0f x ＞ ，()f x 单调递增；若0a ＞ ，()'11a x a f x a x x⎛⎫- ⎪⎝⎭=-= ，当10x a＜＜ 时，()'0f x ＞ ，()f x 单调递增， 当1x a ＞ 时，()'0f x ＜ ，()f x 单调递减；（2）①由（1）的讨论可知，当0a ≤ 时，()f x 单调递增，在(]0,1x ∈ ，()()max 10f x f == ，满足题意； 当11a≥ 时，在(]0,1x ∈ ，()()max 10f x f ==，满足题意； 当101a ＜＜ 时，即1a ＞，在(]0,1x ∈，()max 11ln 1ln 1f x f a a a a a ⎛⎫==-+=-- ⎪⎝⎭， 令()ln 1g x x x =-- ，则()'111x g x x x-=-= ，当1x ＞时，()'g x ＞0 ，()g x 单调递增， ()()10g x g ∴=＞ ，即ln 10a a --＞ ，不满足题意； 综上，a 的取值范围是1a ≤ ；①由题意，1k ≥ ，2ln 31x ax a kx ax -+≤-+ ，即()2ln 121kx x a x -+≥+ ，考虑直线()21y a x =+ 的极端情况a =1，则2ln 2kx x x ≥+ ，即2ln 2x x k x +≥ ，令()2ln 2x x h x x += ，()'3122ln x x h x x --= ，显然()122ln k x x x =-- 是减函数， 333222471033e e e k ⎛⎫== ，44302e e k = ，①存在唯一的0432e ex ⎛⎫∈ 使得()'00h x = ，当0x x ＞ 时，()'h x ＜0 ，当0x x ＜ 时，()'h x ＞0 ，00122ln 0x x --= ，()()002max 012x h x h x x +== ，()max 432e e h h x h ⎛⎫∴＜＜ ， 即()max 24h x ＜＜ ，故k 的最小值可能是3或4，验算23ln 20x x x --≥ ， 由于ln 1≤-x x ，223ln 2331x x x x x ∴--≥-+ ，23340∆=-⨯＜ ， 223ln 23310x x x x x ∴--≥-+＞ ，满足题意； 综上，a 的取值范围是1a ≤ ，k 的最小值是3.。
高三第一次月考试卷数学
考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知函数$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4$，则$f(1)$的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 42. 若$a > 0$，$b > 0$，则下列不等式中恒成立的是（）A. $a^2 + b^2 \geq 2ab$B. $a^3 + b^3 \geq 2ab(a + b)$C. $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$D. $a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca$3. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_5 = 50$，$S_8 = 80$，则$a_6 + a_7$的值为（）A. 15B. 20C. 25D. 304. 函数$y = \log_2(x + 1)$的图像与直线$y = x - 1$的交点个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 35. 在直角坐标系中，点$A(1, 2)$关于直线$x + y = 1$的对称点$B$的坐标是（）A. $(-2, -1)$B. $(-1, -2)$C. $(2, -1)$D. $(1, -2)$6. 已知复数$z = 3 + 4i$，则$|z|$的值为（）A. 5B. 7C. 9D. 127. 若等比数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公比为$q$，且$a_1 + a_2 + a_3 = 21$，$a_2 \cdot a_3 = 27$，则$q$的值为（）A. 3B. $\frac{3}{2}$C. $\frac{2}{3}$D. 18. 在$\triangle ABC$中，$a = 3$，$b = 4$，$c = 5$，则$\sin A$的值为（）A. $\frac{3}{5}$B. $\frac{4}{5}$C. $\frac{5}{3}$D.$\frac{5}{4}$9. 已知函数$f(x) = x^2 - 2x + 1$，则$f(x)$的对称轴方程是（）A. $x = 1$B. $x = -1$C. $y = 1$D. $y = -1$10. 若平面直角坐标系中，点$P(2, 3)$在直线$l$上，且直线$l$的方程为$y = kx + b$，则$k$的值为（）A. 2B. 3C. -2D. -3二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
高三月考数学试卷含解析
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$，则$f(x)$的对称中心为（）。
A. $(0, 4)$B. $(1, 2)$C. $(2, 0)$D. $(3, 1)$2. 在等差数列$\{a_n\}$中，$a_1 + a_5 = 10$，$a_3 + a_4 = 12$，则$a_1$的值为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 43. 已知圆$x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0$的半径为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 44. 函数$y = \log_2(x - 1)$的图象与直线$y = 3x - 1$的交点个数为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 45. 若复数$z = a + bi$（$a, b \in \mathbb{R}$）满足$|z - 3i| = |z + 2|$，则$z$在复平面内的轨迹是（）。
B. 圆C. 直线D. 双曲线6. 在三角形ABC中，$AB = 4$，$AC = 6$，$BC = 8$，则$\cos A$的值为（）。
A. $\frac{1}{4}$B. $\frac{1}{2}$C. $\frac{3}{4}$D. $\frac{5}{8}$7. 已知函数$f(x) = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$），若$f(-1) = 0$，$f(1) = 0$，则$f(0)$的值为（）。
A. $-a$B. $-b$C. $-c$D. $a$8. 若$|x - 1| + |x + 2| = 3$，则$x$的取值范围是（）。
A. $-2 \leq x \leq 1$B. $-2 < x < 1$C. $x \leq -2$ 或 $x \geq 1$D. $x > -2$ 且 $x < 1$9. 已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_n = 3n^2 - 2n$，则$a_5$的值为（）。
2023高三数学第一次月考试题
学校__________________班级__________________姓名__________________座位号__________________第 1 页 共 4 页第 2 页 共 4 页XX 中学2022-2023学年度第一学期高三数学月考试题考试范围：集合与常用逻辑用语；时间：120分钟；命题人：说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写答题卡上；2.回答选择题时，选出给每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效；3.考试结束后，将本试卷和带卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.若集合A={x ∈N|x ≤√2 023},a=π,则下列结论正确的是( )A.{a}⊆AB.a ⊆AC.{a}∈AD.a ∉A2.某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”,这句话的等价命题是( ) A.不拥有的人们会幸福 B.幸福的人们不都拥有 C.拥有的人们不幸福 D.不拥有的人们不幸福3.已知集合A={1,2,3},B={x|-1<x+1≤3,且x ∈Z},则A ∪B 等于( ) A.{1,2,3} B.{0,1,2,3} C.{-1,0,1,2,3} D.{-1,0,1,2}4.已知A={(x,y)|4x-y=0},B={(x,y)|y=x 2+4},则A ∩B 等于( ) A.{(8,2)} B.{(2,4)} C.{(2,8)} D.{(4,2)}5.已知集合A={x ∈N|x 2≤1},集合B={x ∈Z|-1≤x ≤3},则图中阴影部分表示的集合是( )A.[1,3]B.(1,3]C.{-1,2,3}D.{-1,0,2,3}6.命题“∀x ∈R,x 2-x+2 023>0”的否定是( )A.∃x 0∈R,x 02-x 0+2 023<0B.∃x 0∈R,x 02-x 0+2 023≤0C.∀x ∈R,x 2-x+2 023<0D.∀x ∈R,x 2-x+2 023≤07.已知集合A={1,2,3},B={-1,0,1,2},若M ⊆A,且M ⊆B,则M 的个数为( ) A.1 B.3 C.4 D.68.已知命题p:函数f(x)=2x -2-x 在R 上单调递增,命题q:函数g(x)= sin[2(x+π4)]为奇函数,则下列命题中真命题为( )A.p ∧qB.p ∧﹁qC.﹁p ∧﹁qD.﹁p ∨q 9.下列结论错误的是( )A.“x=1”是“x 2-x=0”的充分不必要条件B.已知命题p:∀x ∈R,x 2+1>0,则﹁p:∃x 0∈R,x 02+1≤0 C.若复合命题p ∧q 是假命题,则p,q 都是假命题D.命题“若x 2-x=0,则x=1”的逆否命题为“若x ≠1,则x 2-x ≠0”10.设全集U={1,2,3,4,5,6},且U 的子集可表示由0,1组成的6位字符串,如:{2,4}表示的是自左向右的第2个字符为1,第4个字符为1,其余字符均为0的6位字符串010100,并规定,空集表示的字符串为000000;对于任意两集合A,B,我们定义集合运算A-B={x|x ∈A,且x ∉B},A*B=(A-B)∪(B-A).若A={2,3,4,5},B={3,5,6},则A*B 表示的6位字符串是( ) A.101010 B.011001 C.010101 D.00011111.设m,n 为非零向量,则“m ·n>0”是“存在整数λ,使得m=λ n ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件12.记不等式组{x +y ≥6,2x -y ≥0表示的平面区域为D,命题p:∃(x,y)∈D,2x+y ≥9;命题q:∀(x,y)∈D,2x+y ≤12.给出了四个命题:①p ∨q;②﹁p ∨q;③p ∧﹁q;④﹁p ∧﹁q,这四个命题中,所有真命题的编号是( )A.①③B.①②C.②③D.③④第Ⅱ卷(非选择题共90分)二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若“∃x 0∈[-1,2],x 02-m>1”为假命题,则实数m 的最小值为 . 14.若集合A={x|8≤2-x2+2x+a≤12}中恰有唯一的元素,则实数a 的值为 .15.已知函数f(x)=ln(x 2+1),g(x)=(12)x -m,若对∀x 1∈[0,3],∃x 2∈[1,2],使得f(x 1)≥g(x 2),则实数m 的取值范围是 .16.下列命题真命题的序号是 . ①∃x 0∈R,sin x 0+cos x 0=√3; ②若p:xx -1<0,则﹁p:xx -1≥0; ③lg x>lg y 是√x >√y 的充要条件;④在△ABC 中,边a>b 是sin A>sin B 的充要条件;⑤“a=2”是“函数f(x)=|x-a|在区间[2,+∞)上为增函数”的充要条件.三、解答题（本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分10分)设全集U=R,集合A={x|-1≤x<3},B={x|2x-4≥x-2}.(1)求B及∁U(A∩B);(2)若集合C={x|2x+a>0},满足B∪C=C,求实数a的取值集合.18.(本小题满分12分)设非空集合S具有如下性质:①元素都是正整数;②若x∈S,则10- x∈S.(1)请你写出符合条件,且分别含有一个、二个、三个元素的集合S各一个;(2)是否存在恰有6个元素的集合S?若存在,写出所有的集合S;若不存在,请说明理由;(3)由(1)(2)的解答过程启发我们,可以得出哪些关于集合S的一般性结论?(要求至少写出两个结论)19.(本小题满分12分)设p:2≤x<4,q:实数x满足x2-2ax-3a2<0(a>0).(1)若a=1,且p,q都为真命题,求x的取值范围;(2)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.20.(本小题满分12分) 已知a≥12,y=-a2x2+ax+c,其中a,c均为实数.证明:对于任意的x∈{x|0≤x≤1},均有y≤1成立的充要条件是c≤34.21.(本小题满分12分)设t∈R,已知命题p:函数f(x)=x2-2tx+1有零点;命题q:∀x∈[1,+∞),1x-x≤4t2-1.(1)当t=1时,判断命题q的真假;(2)若p∨q为假命题,求t的取值范围.22.(本小题满分12分)已知不等式5x-3≥-1的解集为A,集合B={x|2ax2+(2-ab)x-b<0}.(1)求集合A;(2)当a>0,b=1时,求集合B;(3)是否存在实数a,b使得x∈A是x∈B的充分条件,若存在,求出实数a,b满足的条件;若不存在,请说明理由.第3 页共4 页第 4 页共4 页。
高三数学第一次月考试题(附答案)
高三数学第一次月考试题（注意:答案一律写在答题纸上）一、填空题 (本大题共12小题，每小题4分，共48分)1. 已知集合A ={x |x 2－p x ＋15=0}B ={x |x 2－5x ＋q =0}，如果A ∩B ={3}，那么p ＋q =2. 已知集合}2,1,1{-=M ，集合},|{2M x x y y N ∈==，则N M = 3. 设A 、B 、C 是三个集合，则“A ∩B=A ∩C ”是“B=C ”的 条件。
4. 已知f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f (－2)＝10，那么f (2)= 。
5. 设函数 f (x )在 (－∞,+∞)内有定义，下列函数(1) y =－|f (x )|; (2) y = x f (x 2); (3) y =－f (－x ); (4) y =f (x )－f (－x ) 中必为奇函数的有▁▁▁▁▁▁（要求填写正确答案的序号）。
6．⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)(x x x x f ，则方程()1(12)f x x x +=-的各个解之和为7．已知函数y ＝f (x )是奇函数，周期T ＝5，若f (－2)＝2a －1则f (7)＝ 8．函数 )0(12≤-=x x y 反函数是9．某班有50名学生，其中 15人选修A 课程，另外35人选修B 课程．从班级中任选两名学生,他们是选修不同课程的学生的概率是 (结果用分数表示)． 10．若不等式|2|6ax +<的解集为(－1，2)，则实数a = 。
11．当不等式61022≤++≤px x 恰有一个解时，实数p 的值是____。
12. 已知集合M ＝{x |1≤x ≤10，x ∈N }，对它的非空子集A ，将A 中每个元素k ，都乘以(－1)k再求和(如A={1，3，6}，可求得和为(－1)·1＋(－1)3·3＋(－1)6·6＝2，则对M 的所有非空子集，这些和的总和是 ． 二、选择题(本大题共4小题，共16分)13．若函数y ＝f (x ) (f (x )不恒为零)的图象与函数y ＝－f (x )的图象关于原点对称，则函数y ＝f (x ) （ ）（A ）是奇函数而不是偶函数 （B ）是偶函数而不是奇函数（C ）既是奇函数又是偶函数 （D ）既不是奇函数又不是偶函数设函数14．三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍然回到甲手中，则不同的传球方式有 ( ) （A ） 6种 （B ） 8种 （C ） 10种 （D ）16种 15、已知关于x 的方程：2x =x 2解的个数为 （ ） (A )1 (B )2 (C )3 (D ) 4 16. 设函数()f x 的定义域为R ，有下列三个命题：（1）若存在常数M ，使得对任意R ∈x ，有()f x M ≤，则M 是函数()f x 的最大值； （2）若存在R ∈0x ，使得对任意R ∈x ，且0x x ≠，有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数()f x 的最大值；（3）若存在R ∈0x ，使得对任意R ∈x ，有)()(0x f x f ≤，则)(0x f 是函数()f x 的最大值.。
高三数学第一次月考试卷试题
师大附中高三数学第一次月考试卷制卷人：打自企； 成别使； 而都那。
审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。
〔考试用时120分钟，满分是150分〕第一卷一、选择题〔此题一共12小题，每一小题5分，一共60分〕 1．设函数)25,2(,1)(则过点x x x f +=处的切线的斜率是 〔 〕A ．45 B ．43C ．2529D ．25212．以下四个函数中，在区间〔0，1〕上为增函数的是 〔 〕A ．x y 2log -=B ．x y sin =C ．xy )21(=D ．21-=xy3．βα,是两个不重合的平面，在以下条件中，可断定平面βα和平行的是 〔 〕A ．ββα//,//,,n m n m 且内两条直线是B ．βα,都垂直于平面γC ．α内不一共线三点到β的间隔 都相等D ．αββα//,//,,,,n m n m n m 且是两条异面直线⊂⊂4．假设0为平行四边形ABCD 的中心，122123,6,4e e e BC e AB -==则等于 〔 〕A ．AOB ．BOC ．COD ．DO5．在等比数列的值是则中2625161565,),0(,}{a a b a a a a a a a n +=+≠=+〔 〕A ．abB ．22abC ．ab 2D ．2a b 6．集合,8,|{**∈-∈=N x N x x M 且那么M 中只含二个元素的子集的个数为〔 〕A ．3B ．15C ．21D ．42 7．函数x x y 2cos 22sin -=的最大值是〔 〕A ．12-B ．12+C ．3D ．28．假设一个圆的圆心在抛物线x y 42=的焦点处，且此圆与直线01=++y x 相切，那么这个圆的方程是〔 〕A ．01222=--+x y x B ．01222=+++x y xC ．01222=+-+y y xD ．01222=+++y y x9．),2,2(0)(),,(0)(,)(),(22ba x gb a x f x g x f 的解集为的解集为奇函数>>那么不等式的解集是0)()(>x g x f〔 〕A ．)2,2(2b aB ．),(22a b --C ．),2()2,(22a b b a --⋃D ．)2,2(2b a ⋃),(22a b --10．某人制定了一项旅游方案，从7个旅游城中选择5个进展游览。
高三第一次月考试卷数学及答案
高三第一次月考试卷数学及答案一、选择题（共15题，每小题4分，共60分）1. 一幢大厦的边长为6米，高度为20米。
一个人从这座大厦的一侧往上望去，他的目视线与大厦顶端连线与大厦相交的角的大小为（）。
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°2. 若函数 f(x) 在区间 (-∞, a) 上是增函数，在区间(a, +∞) 上为减函数，则 a 的值为（）。
A. 0B. 1C. 2D. 33. 已知集合 A = {2, 4, 6, 8}，集合 B = {3, 6, 9, 12}，则A ∩ B 的元素个数为（）。
A. 0B. 1C. 2D. 34. 若等差数列 {a_n} 的前 5 项和为 15，且公差为 2，则 a_5 等于（）。
A. -1B. 0C. 1D. 25. 已知正整数 n 的个位数是 5，十位数是 3，百位数是 1，其千位数是（）。
A. 0B. 1C. 3D. 56. 设甲, 乙两车同时从 A, B 两地相向而行，两车相遇后又同时返回原地，已知甲车以每小时 60 公里的速度行驶，求相对速度小的车（乙车）的速度是几公里每小时。
7. 已知等比数列 {a_n} 的前 3 项分别是 1, 2, 4，若 a_4 = 16，则 a_5 = （）。
A. 16B. 20C. 24D. 328. 已知函数 f(x) 关于 y 轴对称，且图像经过点 (1, 1)，则函数图像在点 (-1, -1) 是否对称？（）A. 是B. 否9. 在直角坐标系中，已知点 A(-1, 3)、B(4, -2)，则 AB 的中点坐标为（）。
A. (0.5, 0.5)B. (1.5, 0.5)C. (1.5, 2.5)D. (2.5, 0.5)10. 设函数 f(x) = x^2 - 2x - 3，则过点 (1, -4) 的切线方程为（）。
A. y = -2x - 6B. y = 2x + 6C. y = 2x - 6D. y = -2x + 611. 已知向量 a = <2, -3>，向量 b = <6, -1>，则 |a + b| = （）。
天津市第一中学2022-2023学年高三上学期第一次月考数学试题(解析版)
2023届天津市第一中学高三上学期第一次月考数学试题一、单选题1．设全集R U =，集合{}{}22802345A x x x B =--<=∣，，，，，则()U A B =ð（ ） A ．{}2 B ．{}23，C ．{}45，D ．{}345，， 【答案】C【分析】解不等式后由补集与交集的概念求解 【详解】由题意得(2,4)A =-，则(){4,5}U A B ⋂=ð， 故选：C2．已知,a b ∈R ，则“2a b >>”是“22a b ->-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据不等式的性质以及充分不必要条件的判断，即可求解. 【详解】若2a b >>时，则20,20a b ->->,因此22=2a b b ->--， 若22a b ->-时，比如5,1a b ==，但不满足2a b >>， 因此“2a b >>”是“22a b ->-”的充分不必要条件. 故选：A 3．函数2sin ()||2xf x x =+的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据奇偶性及函数值的正负判断即可.【详解】因为2sin ()2xf x x =+，定义域为R 所以2sin()2sin ()()22x xf x f x x x --==-=--++所以()f x 为奇函数，且(0)0f =，排除CD 当()0,x π∈时，sin 0x >，即()0f x >，排除A 故选：B.4．已知函数()11e xm f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是偶函数，则m 的值是（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】A【分析】先求出函数的定义域，然后根据偶函数的定义取特殊值求解 【详解】函数的定义域为{}0x x ≠，因为函数()11e xm f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是偶函数， 所以(1)(1)f f -=，所以11111e 1e m m -⎛⎫⎛⎫-+=⨯+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， e 11e 11em m--=+--，所以(e 1)21e m -=-， 得2m =-， 故选：A5．已知函数()f x 是(),-∞+∞上的偶函数，且()()11f x f x -=+，当[]0,1x ∈时，()21x f x =-，则()()20212022f f +的值为（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．0【答案】A【分析】由偶函数可得()()f x f x -=，由()()11f x f x -=+可得对称性，再化简整理可得周期2T =，进而根据性质转换()()20212022f f +到[]0,1x ∈，再代入解析式求解即可.【详解】由题，因为偶函数，所以()()f x f x -=，又()()11f x f x -=+，所以()()()111f x f x f x -+=-=+,即()()2f x f x =+，所以()f x 是周期函数，2T =，故()()()()10202120221021211f f f f +=+=-+-= 故选：A6．已知函数()()||0.542π()2,log 3,log 5,cos 3x f x a f b f c f ⎛⎫==== ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】B【分析】直接由指数、对数的运算以及特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】0.52|log 3|log 3223a ===，4|log 5|log 22b ==2π1cos3222c ==a b c >>.故选：B ． 7．已知35a b =且211a b+=，则a 的值为（ ） A ．3log 15 B ．5log 15C ．3log 45D ．5log 45【答案】C【分析】令350a b k ==>，利用指对数互化，换底公式及对数的运算法则可得45k =，即得.【详解】令350a b k ==>， 则35log ,log a k b k ==，351111log 3,log 5log log k k a k b k ====，又211a b+=， ∴2log 3log 5log 451k k k +==，即45k =， ∴3log 45a =. 故选：C.8．设函数e e ()sin 2x x f x x --=+，不等式()e (ln 1)0xf a x f x x -+++≤对0x >恒成立，则实数a 的最大值为（ ） A ．e 1- B ．1C ．e 2-D ．0【答案】D【分析】先由定义证()f x 为奇函数，结合均值不等式可证()1cos 0f x x '≥+≥，得()f x 在R 上单调递增，故结合奇偶性与单调性，恒成立转化为e ln 1x a x x x ≤---对0x >恒成立．令()e ln 1x g x x x x =---，用导数法求()g x 最小值，即有()min a g x ≤.【详解】因为e e ()sin 2x xf x x ---=-，所以()()f x f x -=-，所以()f x 为R 上的奇函数．因为e e ()cos cos 1cos 02x x f x x x x -+'=+≥=+≥，所以()f x 在R 上单调递增．不等式()e (ln 1)0x f a x f x x -+++≤可转化为()(ln 1)e xf x x f x a ++≤-，所以ln 1e x x x x a ++≤-，即e ln 1x a x x x ≤---对0x >恒成立． 令()e ln 1x g x x x x =---，则ln ln ()e e ln 1e (ln )1x x x x g x x x x x +=---=-+-， 令()e 1x h x x =--，则()e 1x h x '=-．当0x >时，()0h x '>，()h x 在(0,)+∞上单调递增；当0x <时，()0h x '<，()h x 在(,0)-∞上单调递减．所以0min ()(0)e 010h x h ==--=，即()0h x ≥，所以()0g x ≥，且当ln 0x x +=时，()g x 取最小值0， 故0a ≤，即实数a 的最大值为0． 故选：D.【点睛】1.通常函数不等式恒成立问题涉及奇偶性与单调性可先进行转化； 2.含参不等式恒成立问题，一般通过构造函数解决.一般将参数分离出来，构造函数用导数法讨论不含参数部分的最值；或者包含参数一起构造函数，用导数法对参数分类讨论.当参数不能分离出来时，也可尝试将不等式左右变形成一致形式，即可将该形式构造成函数，通过导数法分析单调性，将问题等价成对应自变量的不等式.9．已知函数()()212f x x mx x =++∈R ，且()y f x =在[]0,2x ∈上的最大值为12，若函数()()2g x f x ax =-有四个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()0,1C ．1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】由()y f x =在[]0,2x ∈上的最大值为12，讨论可求出2m =-，从而()2122f x x x =-+，若()()2g x f x ax =-有4个零点，则函数()y f x =与2y ax =有4个交点，画出图象，结合图象求解即可【详解】若0m ≥，则函数()212f x x mx =++在[]0,2上单调递增， 所以()212f x x mx =++的最小值为12，不合题意，则0m <， 要使函数()212f x x mx =++在[]0,2x ∈上的最大值为12． 如果22m-≥，即4m ≤-，则()912222f m =+≤，解得522m -≤≤-，不合题意；若22m -<，即40m -<<，则2912,2211,242m m ⎧+≤⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩解得52,22,m m ⎧-≤≤-⎪⎨⎪≥-⎩即2m =-， 则()2122f x x x =-+． 如图所示，若()()2g x f x ax =-有4个零点，则函数()y f x =与2y ax =有4个交点，只有函数2y ax =的图象开口向上，即0a >．当2y ax =与(2y x =-122x -+）有一个交点时，方程221202ax x x +-+=有一个根，0∆=得1a =，此时函数()()2g x f x ax =-有二个不同的零点，要使函数()g x =()2f x ax -有四个不同的零点，2y ax =与2122y x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭有两个交点，则抛物线2y ax =的图象开口要比2y x =的图象开口大，可得1a <， 所以01a <<，即实数a 的取值范围为()0,1． 故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查二次函数的性质的应用，考查数形结合的思想，解题的关键是由已知条件求出m 的值，然后将问题转化为函数()y f x =与2y ax =有4个交点，画出函数图象，结合图象求解即可，属于较难题二、填空题 10．复数i2i=+_________. 【答案】12i 55+【分析】根据复数的除法运算直接求解.【详解】解：()()()i 2i i 12i 2i 2i 2i 55-==+++-. 故答案为:12i 55+.11．已知函数()f x 的导函数，满足()()321f x xf x '=+，则()1f 等于_______________.【答案】5-【分析】求导，令1x =，可解得()1f '，进而可得()1f .【详解】由()()321f x xf x '=+，得()()2213f x f x ''=+，令1x =，得()()1213f f ''=+，解得()13f '=-，所以()()()312112315f f '=+=⨯-+=-，故答案为：5-.12．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”.计算方法如下表：若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为___________. 【答案】320m 20立方米【分析】根据题设条件可得水费与水价的关系式，根据该关系式可求用水量. 【详解】设用水量为x 立方米，水价为y 元，则()3,01236612,1218729(18),18x x y x x x x ≤≤⎧⎪=+-<≤⎨⎪+->⎩，整理得到：3,012636,1218990,18x x y x x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩，当012x ≤≤时，036y ≤≤；1218x <≤时，3672y <≤；故某户居民本月交纳的水费为90元，则用水量大于18立方米， 令99090x -=，则20x =（立方米）， 故答案为：320m .13．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(2)()f x f x +=-，当[0x ∈，1)时，2()f x x =，则23()2f =_______． 【答案】14-【分析】根据题意，分析可得(4)(2)()f x f x f x +=-+=，则函数()f x 是周期为4的周期函数，由此可得231()()22f f =-，结合函数的解析式计算可得答案． 【详解】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(2)()f x f x +=-， 则(2)()()f x f x f x +=-=-，则有(4)(2)()f x f x f x +=-+=，则函数()f x 是周期为4的周期函数， 则23111()(12)()()2222f f f f =-+=-=-， 又由当[0x ∈，1)时，2()f x x =，则2111()()224f ==，则2311()()224f f =-=-，故答案为：14-．14．已知函数()212-,02=1+1,>02xx f x x x ≤⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⎪⎩，则不等式()313xf ->的解集为___________.【答案】()1,+∞【分析】分别在条件31>0x -，310x -≤下化简不等式，再求其解，由此可得不等式()31>3x f -的解集.【详解】当310x -≤时，即0x ≤时，()31131=22x x f ---⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以不等式()31>3xf -可化为3112>32x --⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以0x ≤且3111>2x --⎛⎫⎪⎝⎭，所以满足条件的x 不存在，即当0x ≤时，不等式无解，当31>0x -时，即>0x 时，()()2131=31+12xxf --，此时不等式()31>3x f -可化为()2131+1>32x-，得31>2x -或31<2x --，解得>1x ， 所以不等式()31>3xf -的解集为()1,+∞，故答案为：()1,+∞.15．已知正数,a b 满足1,a b c +=∈R ，则222312a c bc b abc ab++++的最小值为__________．【答案】2【分析】把1a b +=平方得到2221,0,0a ab b a b ++=>>，代入结论构造基本不等式，再分析计算可求出最小值.【详解】解：由1a b +=，得2221,0,0a ab b a b ++=>>， 则222312a c bc b abc ab++++ 222213221a a ab b c c b ab ⎛⎫++=++ ⎪+⎝⎭2214221a b c c b a ⎛⎫=+++ ⎪+⎝⎭221221c c ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭≥+()226212221c c =++-≥=+， 当且仅当4a bb a =，即2b a =，()226211c c =++，即()2213c +=时取“等号”，所以当212,,133a b c ==时，222312a c bc b abc ab++++的最小值为2．故答案为：2三、解答题16．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.(1)若cos A =cos(2)A C +的值；(2)若c =ABC a ，b 的值.【答案】(1)(2)2a =，3b =或3a =，2b =【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式求出C ，由同角三角函数的基本关系求出sin A ，即可求出sin 2A 、cos 2A ，最后利用两角和的余弦公式计算可得； （2）由面积公式及余弦定理得到方程组，解得即可.【详解】(1)解：因为2cos (cos cos )C a B b A c +=， 由正弦定理得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=， 即2cos sin()2cos sin sin C A B C C C +==， 因为(0,)C π∈，sin 0C >，所以1cos 2C =， 由C 为三角形内角得3C π=；由cos A =，则sin A =所以sin 22sin cos 2A A A ===， 261cos 22cos 121164A A =-=⨯-=-，()cos 2cos 2cos sin 2sin A C A C A C +=-=1142-⨯=(2)解：因为ABC 的面积1sin 2S ab C ==6ab =①， 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得227a b ab =+-，则2213a b +=②， 由①②解得2a =，3b =或3a =，2b =17．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 满足AD BC ∥，且12AB AD AA ===，BD DC ==(1)求证：BD ∥平面11B CD .(2)求直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值. (3)求二面角111B CD C --的正弦值. 【答案】(1)证明见解析(3)正弦值为1【分析】(1)由四棱柱的性质证明11//BD B D ，根据线面平行判定定理证明BD 平面11B CD ；(2)建立空间直角坐标系，求直线AB 的方向向量和平面11B CD 的法向量利用空间向量求解线面角；(3)求平面11C CD 的法向量，利用向量夹角公式求二面角111B CD C --的夹角的余弦值，再由同角关系求其正弦值.【详解】(1)在四棱柱1111ABCD A B C D -中，11BB DD ，11BB DD =，故四边形11BB D D 是平行四边形，所以11//BD B D ，因为BD ⊄平面11B CD ，11B D ⊂平面11B CD ， 所以BD ∥平面11B CD ；(2)因为1AA ⊥平面ABCD ，AB ，AD ⊂平面ABCD ， 所以1AA AB ⊥，1AA AD ⊥，因为2AB AD ==，BD =所以222AB AD BD +=，=ABD ADB ∠∠，所以AB AD ⊥，=45ADB ∠，因为AD BC ∥，所以=45DBC ∠，又BD CD ==所以BDC △为等腰直角三角形，所以=4BC ，因为AB ，AD ，1AA 两两垂直，以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，1AA 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,4,0C ，()12,0,2B ，()10,2,2D 所以()2,0,0AB =，()1=0,4,2B C -，()11=2,2,0B D - 设平面11B CD 的法向量为(),,n x y z =∴111=0=0n B C n B D ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，即42=02+2=0y z x y --⎧⎨⎩，令=1x ，则=1y ，=2z ，∴()1,1,2n =设直线AB 与平面11B CD 所成角为θ，∴2sin =cos ,==2?6AB n AB nAB n⋅θ⋅所以直线AB 与平面11B CD .(3)平面11B CD 的法向量为()1,1,2n =，因为1AA ⊥平面ABCD ，11//AA DD ，所以1DD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1DD BD ⊥，又B D D C ⊥，1=DD DC D ⋂，1,DD DC ⊂平面11CD C ，所以BD ⊥平面11CD C ，所以BD 为平面11CD C 的法向量，所以平面11CD C 的法向量为()=2,2,0m BD -= ∴cos ,==0m nm n m n⋅，∴sin ,1m n = 所以，二面角111B CD C --的正弦值为1.18．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当],(0x ∈-∞时，()93x xm f x -=-． (1)求()f x 在(0,)+∞上的解析式；(2)当[1,2]x ∈时，1()23x x f x a +⋅+…恒成立，求实数a 的取值范围；(3)关于x 的方程1()3160x f x n -++⋅+=在[2,1]--上有两个不相等的实根，求实数n 的取值范围．【答案】(1)()93x xf x =-+(2)15,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ (3)227,93⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【分析】(1)根据函数的奇偶性求出m 的值，进而求出函数的解析式即可；(2)利用分离参数法将原不等式转化为932()22x xa g x ⎛⎫⎛⎫≥--⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[]1,2上恒成立，结合函数的单调性求出()max g x 即可；(3)令[]33,9xt -=∈，将原方程转化为直线13y n =-与函数()16h t t t=+的图象有两个交点．利用数形结合的思想即可求解.【详解】(1)依题意得()010f m =-=，解得1m =， 经检验1m =，符合题意.当()0,x ∈+∞时，(),0x -∈-∞，则()93x xf x -=-，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()93x xf x f x =--=-+，即当()0,x ∈+∞时，()93x xf x =-+；(2)当[]1,2x ∈时，19323xxxx a +-+≤⋅+恒成立，即93222x xa ⎛⎫⎛⎫≥--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立．设()93222x xg x ⎛⎫⎛⎫=--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，易知()g x 在[]1,2上是减函数，()()max 1512g x g ==-，所以152a ≥-，即实数a 的取值范围为15,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭； (3)方程()13160x f x n -++⋅+=在[]2,1--上有两个不相等的实根， 即函数()()931316x xF x n --=+-⋅+在[]2,1--上有两个零点，令[]33,9xt -=∈，则关于t 的方程()231160t n t +-+=在[]3,9上有两个不相等的实根，由于2161613t n t t t+-==+，则直线13y n =-与()16h t t t=+的图象有两个交点．如图，因为()16h t t =+在[]3,4上单调递减，在[]4,9上单调递增， 且()48h =，()2533h =，()9799h =，所以258133n <-≤， 解得22793n -≤<-，即实数n 的取值范围为227,93⎡⎫--⎪⎢⎣⎭．19．设函数()222ln f x ax a x =--，()1eex g x x =-，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数． (1)讨论()f x 的单调性； (2)证明：当1x >时，()0g x >；(3)若不等式()()f x g x >在()1,x ∈+∞时恒成立，求a 的取值范围． 【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析 (3)1,4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）求导后分0a ≤与0a >两种情况讨论即可； （2）构造函数()1e-=-x s x x ，求导分析单调性与最值，证明当1x >时，1e x x ->即可；（3）结合（1）（2）讨论()(),f x g x 1的大小关系，构造函数()()()h x f x g x =-，求导放缩判断单调性，进而证明即可. 【详解】(1)()f x 定义域为()0,∞+，()241ax f x x-'=． 当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+内单调递减；当0a >时，由()0f x '=，得x =x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增．综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0,∞+内单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． (2)令()1e-=-x s x x ，则()1e 1x s x -=-．当1x >时，()0s x '>，()s x 单调递增，()()10s x s >=， 所以1e x x ->，从而()1110e x g x x -=->． (3)由（2）得，当1x >时，()0g x >．当0a ≤时，1x >时，()()()221ln 0f x a x x g x =--<<，不符合题意．当104a <<1=>，由（1）得，当x ⎛∈ ⎝⎭时，()()()10f x f g x <=<，不符合题意． 当14a ≥时，令()()()h x f x g x =-，1x >． ()211e 4e x h x ax x x '=-+-2111x x x x >-+-()222111110x x x x x ->-+-=>()h x 在区间()1,+∞上单调递增．又因为()10h =，所以当1x >时，()()()0h x f x g x =->，即()()f x g x >恒成立． 综上，1,4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题主要考查了求导分情况讨论函数单调性的问题，证明不等式与恒成立的问题，需要根据题意，结合极值点与区间端点的关系分情况讨论导函数的正负，求得函数的单调性，从而证明不等式的问题.属于难题.20．已知0a >，设函数()(2)ln ,()=-+'f x x a x x f x 是()f x 的导函数． (1)若2a =，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)若()f x 在区间(1,)+∞上存在两个不同的零点()1212,x x x x <， ①求实数a 范围； ②证明：()221(e)(2e)(3)12e---'<-x f x a a a x ．注，其中e 2.71828=⋅⋅⋅⋅⋅⋅是自然对数的底数． 【答案】(1)y x =(2)①>a【分析】(1)把1x =代入原函数与导函数得到切点及斜率，利用点斜式即可得切线方程； (2)①可设()()2ln ln f x xg x x a x x==+-，因为1x >，所以()g x 与()f x 零点相同，可根据()g x 的单调性与极值情况来确定a 的范围；②根据题意，巧设函数，利用放缩构造等思路结合导数，可分别求出22()x f x '与111x -的范围，然后相乘即可，详细过程见解析.【详解】(1)当2a =时，2()2(1)ln ,()2ln 3=-+=-+'f x x x x f x x x，所以(1)1,(1)1f k f '===．根据点斜式可得曲线()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为y x =．(2)①当1x >时，()0f x =等价于20ln +-=xx a x． 设()2ln =+-x g x x a x ，则22ln 1(ln 1)(2ln 1)()2ln ln '-+-=+=x x x g x x x．当1x <<()0,()g x g x '<单调递减；当x >()0,()'>g x g x 单调递增； 所以，当1x >时，min [()]==g x g a ， 因为()f x 在区间(1,)+∞上存在两个不同的零点12,x x ，所以min [()]0<g x，解得>a当>a1=∈-a ax a ，则1ln 11<-=-a a x x a ， 故()221201ln 111-=+->+-=>---a a a a a x a a a g x x a a x a a a ，又202ln 2⎛⎫=> ⎪⎝⎭a a g a ， 所以()f x在区间和2⎫⎪⎭a 上各有一个零点．综上所述：>a②设()()[(3)2](2)ln (2)(2)=--+-=-+---F x f x a x a x a x a x a ， 则2()2ln (2)2ln -=++=+'--x a aF x x a x a x x，它是[1,)+∞上的增函数． 又(1)0F '=，所以()0F x '≥，于是()F x 在[1,)+∞上递增．所以()(1)0F x F ≥=，即(2)ln (3)2-+≥-+-x a x x a x a ，当1x =时取等号． 因为11x >，所以()110(3)2=>-+-f x a x a ，解得11031<<--a x ．(1) 因为()2ln 3=-'+af x x x，所以()222222ln 3-'=+x f x x x a x ， 结合()()22222ln 0=-+=f x x a x x 知()()2222222222232222-=-+=---+-'-a x ax f x a x a x x a a x ．处理1：设函数()ln xh x x =，则2ln 1()ln -='x h x x， 所以当0x e <<时，()0,()h x h x '<递减，当x e >时，()0,()h x h x '>递增，所以()()ln =≥=xh x h e e x，所以2222ln -=≥x a x e x ．处理2：因为ln 1≤-x x ，所以ln 1⎛⎫≤- ⎪⎝⎭x xe e，即ln x x e ≤，当x e =时取等号，所以ln 022222-----⎛⎫=-+>-⋅+= ⎪⎝⎭a e a e a e a e a e f e e e ． 由①可知，()f x 在[)2,x +∞上单调递增，且()20f x =，所以22-≤a ex ，即22-≥a x e ． 因为22()2=--+a a g x t t 在[,)e ∞+上是减函数，且22-≥a x e ，且()()2222()(2)22()22--=-≤=--+='a a a e a e x f x g a x g e e e e．综上可知：()221()(2)(3) 12--'-<-x f x a e a e ax e．【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。
高三第一次月考数学试卷
高三第一次月考数学试卷一、选择题（每题5分，共60分）1.已知集合A={x∣x2−3x−4≤0}，则A的解集为：A. (−1,4]B. [−1,4]C. (−∞,−1]∪[4,+∞)D. [−4,3]2.复数z=1+i2i的共轭复数为：A. 1−iB. 1+iC. −1+iD. −1−i3.函数f(x)=log2(x2−2x−3)的定义域为：A. (−∞,−1)∪(3,+∞)B. (−1,3)C. [−1,3]D. (−∞,−1]∪[3,+∞)4.已知向量a=(1,2)，b=(3,−1)，则a⋅b=：A. 1B. -1C. 5D. -55.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是：A. y=x1B. y=x2−2xC. y=log21xD. y=2x6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，S3=−3，则a2+a4=：A. -4B. -2C. 0D. 27.下列命题中，正确的是：A. 若a>b，则ac2>bc2B. 若a>b，c>d，则a−d>b−cC. 若a>b，c>d，则ac>bdD. 若a>b，则a1<b18.已知函数f(x)=sin(2x+6π)，则f(6π)的值为：A. 21B. −21C. 23D. −239.已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线交于A，B两点，交准线l于D，若BF=3FA，则∣AB∣∣DF∣=：A. 21B. 31C. 32D. 4310.已知函数f(x)=ln(x+1)−x+1ax在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是：A. (−∞,1]B. [−1,+∞)C. (−∞,−1]D. [1,+∞)11.已知椭圆C:a2x2+b2y2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与椭圆C交于A，B两点，若∣BF2∣=2∣AF2∣，4cos∠AF1F2=10，则C的离心率为：A. 22B. 23C. 35D. 3612.已知函数f(x)={(3a−1)x+4a,log ax,x<1x≥1是(−∞,+∞)上的减函数，则实数a的取值范围是：A. (0,71]B. [71,31)C. (0,31]D. [31,1)二、填空题（每题5分，共20分）1.若x,y∈R，且xy=2，则x2+y2的最小值为 _______。
数学高三第一次月考试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，若f(x)的图像关于点(0,0)对称，则f(x)的对称中心是：A. (0,0)B. (0,1)C. (0,-1)D. (0,3)2. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若an = 2^n - 1，则Sn的通项公式是：A. Sn = 2^n - n - 1B. Sn = 2^n - nC. Sn = 2^n + n - 1D. Sn = 2^n + n3. 在直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点为Q，则点Q的坐标是：A. (2,3)B. (3,2)C. (-2,-3)D. (-3,-2)4. 已知等差数列{an}的公差为d，若a1 + a3 + a5 = 0，则a2 + a4 + a6的值为：A. 0B. dC. -dD. 2d5. 已知圆C的方程为x^2 + y^2 = 1，若圆C上存在两点A、B，使得OA = OB = 1，则∠AOB的度数为：A. 60°B. 90°C. 120°D. 180°6. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0），若f(x)的图像开口向上，且f(1)= 0，f(2) = 4，则a、b、c的值分别为：A. a=1，b=-3，c=2B. a=1，b=3，c=2C. a=-1，b=3，c=-2D. a=-1，b=-3，c=-27. 已知等比数列{an}的公比为q，若a1 = 2，a3 = 8，则q的值为：A. 2B. 4C. 8D. 168. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若an = n^2 + n，则Sn的值是：A. n(n+1)(n+2)/3B. n(n+1)^2/2C. n(n+1)(n+2)/2D. n(n+1)^2/39. 在直角坐标系中，若直线y = kx + b与圆x^2 + y^2 = 4相切，则k、b的值分别为：A. k=±2，b=0B. k=±2，b=±2C. k=±1，b=0D. k=±1，b=±110. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0），若f(x)的图像开口向下，且f(1) = 0，f(2) = -4，则a、b、c的值分别为：A. a=1，b=-3，c=2B. a=1，b=3，c=2C. a=-1，b=3，c=-2D. a=-1，b=-3，c=-2二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(x)的图像的顶点坐标是______。
江苏省常州高级中学2022-2023学年高三上学期1月月考数学试题
2022-2023学年 江苏常州市高级中学高三年级1月月考 数学试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合{}237A x x =+<∣，{}2B x x =∈>-N ∣，则A B =（ ） A ．{}0,1 B ．{}1 C ．{}0,1,2D ．{}1,22．已知i 为虚数单位，下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ） A ．(1)i i +B ．2(1)i i -C ．22(1)i i +D ．234i i i i +++3．已知圆锥SO 的底面半径为3，母线长为5.若球1O 在圆锥SO 内，则球1O 的体积的最大值为（ ） A ．92π B ．9π C ．323πD ．12π4．若函数2()sin(2)(02)f x x x ϕϕπ=+<<的图象关于原点对称，则ϕ=（ ） A ．4π B ．2π C ．πD ．32π 5．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，设c xa yb =+（其中x ，y ∈R ），若|c |＝3，则xy 的最大值（ ）A ．2BC ．3D ．6．曲线2ln y x x =-在1x =处的切线的倾斜角为α，则cos(2)2πα-的值为（ ） A ．45B ．45-C ．35D ．35-7．已知点P 是抛物线22x y =上的一点，在点P 处的切线恰好过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，则点P 到抛物线焦点的距离为（ ） A ．12B ．1C ．32D ．28．在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A 为“两次记录的数字之和为奇数”，事件B 为“第一次记录的数字为奇数”，事件C 为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ） A ．事件B 与事件C 是对立事件B ．事件A 与事件B 不是相互独立事件C ．()()()18P A P B P C ⋅⋅=D ．()18P ABC =二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9．关于一组样本数据的平均数、中位数、频率分布直方图和方差，下列说法正确的是（ ）A ．改变其中一个数据，平均数和中位数都会发生改变B ．频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等C ．若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”，则平均数小于中位数D ．样本数据的方差越小，说明样本数据的离散程度越小 10） A ．()2sin35cos 25cos35sin 25︒︒-︒︒B ．()2cos35cos5sin35sin5︒︒+︒︒C ．1tan151tan15+︒-︒D ．2tan 61tan6ππ-11．已知A （4，2），B （0，4），圆22:(4)(1)4C x y -+-=，P 为圆C 上的动点，下列结论正确的是（ ） A ．||||PB PA -的最大值为B ．PA PB ⋅的最小值为4- C ．x y +的最小值为5-D ．PBA ∠最大时，||PB =12．如图，点O 是正四面体PABC 底面ABC 的中心，过点O 且平行于平面PAB 的直线分别交AC ，BC 于点M ，N ，S 是棱PC 上的点，平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ，与棱PB 的延长线相交于点R ，则（ ）A ．若MN ∥平面PAB ，则AB RQ ∥B ．存在点S 与直线MN ，使()0PS PQ PR ⋅+= C ．存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQ D ．1113PQPRPSPA++=三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数()f x 是定义在R 上的增函数，且()()121f m f m +>-，则m 的取值范围是__________.14．已知抛物线的方程为22y ax =，且过点()1,4，则焦点坐标为______． 15．函数32()sin 3cos ,32f x x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的值域为_________.16．“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n 件.已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的78，第n 层的货物的价格为______，若这堆货物总价是7641128n⎛⎫- ⎪⎝⎭万元，则n 的值为______.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．对于数列{}n a ，若存在正整数M ，同时满足如下两个条件：①对任意n +∈N ，都有n a M ≤成立；②存在0n +∈N ，使得0n a M =．则称数列{}n a 为M B 数列． (1)若1n a n =-，112n n b -=，判断数列{}n a 和{}n b 是否为M B 数列，并说明理由；（5分） (2)若M B 数列{}n a 满足1a p =，()1sin 2n n a a n -=≥，求实数p 的取值集合．（5分）18．灵活就业的岗位主要集中在近些年兴起的主播、自媒体、配音，还有电竞、电商这些新兴产业上．只要有网络、有电脑，随时随地都可以办公．这些岗位出现的背后都离不开互联网的加速发展和短视频时代的大背景．甲、乙两人同时竞聘某公司的主播岗位，采取三局两胜制进行比赛，假设甲每局比赛获胜的概率为25，且每局比赛都分出了胜负．(1)求比赛结束时乙获胜的概率；（6分）(2)比赛结束时，记甲获胜的局数为随机变量X ，求随机变量X 的分布列．（6分）19．在①4sin cos a B A ，②222sin sin ()sin +=+b B c C b c A ，cos +=+b aA A a b．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出cos B 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．（7分） 问题：在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1cos 3C =，________．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．20．如图，空间几何体ADE BCF -中，四边形ABCD 是梯形，//AB CD ，四边形CDEF 是矩形，且平面ABCD ⊥平面,,2,4CDEF AD DC AB AD DE EF ⊥====，M是线段AE 上的动点.（1）试确定点M 的位置，使//AC 平面MDF ，并说明理由；（7分）（2）在（1）的条件下，平面MDF 将几何体ADE BCF -分成两部分，求空间几何体M DEF -与空间几何体ADM BCF -的体积的比值.（7分）21．已知圆()221:536C x y ++=，点()5,0C ，点M 是圆1C 上的动点，MC 的垂直平分线交直线1MC 于点.P（1）求点P 的轨迹方程2C ；（5分）（2）过点()4,0N 的直线l 交曲线2C 于,A B 两点，在x 轴上是否存在点G ，使得直线AG 和BG 的倾斜角互补，若存在，求出点G 的坐标，若不存在，请说明理由.（6分）22．设函数()=ln (1)e x f x x a x --，其中a ∈R ． (1)若=3a -，求()f x 的单调区间；（5分） (2)若10ea <<， （ⅰ）证明：()f x 恰有一个极值点；（5分）（ⅱ）设0x 为()f x 的极值点，若1x 为()f x 的零点，且10x x >，证明：013>2x x -．（6分）答案及解析：1．A【分析】化简集合,A B ，再结合交集运算求解即可【解析】由题意可得{}2A x x =<∣，则{}{}|220,1A B x x =∈-<<=N . 故选：A 2．C【分析】利用复数代数形式的乘法运算对选项进行逐一化简可得答案． 【解析】对于A ，(1)1i i i +=-不是纯虚数； 对于B ，()22122i i i -=-=是实数； 对于C ，22(1)2i i i +=-为纯虚数；对于D ，234110i i i i i i +++=--+=不是纯虚数. 故选：C.【注意】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3．A【分析】设圆锥SO 的轴截面为等腰△SAB ，则球1O 的体积最大时，球1O 的轴截面是△SAB 的内切圆，根据三角形面积公式和内切圆的性质求出半径，最后求出体积. 【解析】设圆锥SO 的轴截面为等腰△SAB ，则球1O 的体积最大时，球1O 的轴截面是△SAB 的内切圆，所以11()22SABS AB SO SA SB AB r =⋅=++⋅，解得：32r =，所以球1O 的体积的最大值为92π. 故选：A【注意】本题考查了求球体积最大问题，考查了球的几何性质，考查了数学运算能力. 4．C【分析】根据题意知函数为奇函数，化简可得sin(2)sin(2)x φx φ-+=--，据此可求出ϕ值. 【解析】因为函数2()sin(2)(02)f x x x ϕϕπ=+<<的图象关于原点对称，即()()f x f x -=-， 所以可得sin(2)sin(2)x φx φ-+=-+，即sin(2)sin(2)x φx φ-+=--，2φk πφ∴=-，即,k k Z ϕπ=∈， 02j p <<，j p \=.故选：C 5．C【分析】根据||3c =得到229x y xy ++=，再利用均值不等式计算得到答案。
新高考高三数学月考试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列函数中，在定义域内是奇函数的是（）A. y = x^2B. y = x^3C. y = x^4D. y = x^52. 若等差数列{an}的公差为d，首项为a1，且a1 + a2 + a3 + a4 = 12，a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 20，则d = （）A. 1B. 2C. 3D. 43. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0），若f(1) + f(2) = 0，则下列说法正确的是（）A. a = 0B. b = 0C. a + b = 0D. a - b = 04. 下列命题中，正确的是（）A. 对于任意的实数x，x^2 + 1 ≥ 0B. 对于任意的实数x，x^3 + 1 > 0C. 对于任意的实数x，x^4 + 1 > 0D. 对于任意的实数x，x^5 + 1 > 05. 若向量a = (2, -1)，向量b = (-1, 2)，则向量a·b的值为（）B. -3C. 0D. 16. 已知函数f(x) = ln(x + 1) + √(x - 1)，则f(x)的定义域是（）A. (-1, +∞)B. [0, +∞)C. [1, +∞)D. (-∞, 0)7. 若复数z满足|z - 2| = |z + 2|，则z的取值范围是（）A. z = 0B. z = -2C. z = 2D. z = 0或z = -28. 在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则sinC的值为（）A. √3/2B. √2/2C. 1D. 3/29. 已知等比数列{an}的公比为q，若a1 + a2 + a3 = 6，a2 + a3 + a4 = 12，则q = （）A. 2B. 3C. 410. 下列不等式中，恒成立的是（）A. x^2 + y^2 ≥ 2xyB. x^2 + y^2 ≤ 2xyC. x^2 + y^2 = 2xyD. x^2 + y^2 ≠ 2xy二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 若函数f(x) = (x - 1)^2 - 4，则f(2)的值为______。
高三数学第一次月考试卷(最终版)
高三数学第一次月考试卷（理）XX :班级:分数:试卷满分 150 分考试时间120 分钟一、选择题：本大题共8 小题，每小题 5 分，共 50 分 . 在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U R ，集合A{ x | 0 x2} ， B { x | x 1} ，那么集合AC U B 等于（）（ A ）{ x | 0 x 1} （ B ）{ x |0 x 1} （ C ）{ x |1 x 2}（ D ）{ x |1x 2}2．已知命题p ： x R ，| x1| 0 ，那么命题p 为（）（ A ）x R ，| x1| 0（ B ）x R ，| x1|0 （ C ）x R ，| x1|0（ D ）x R ，| x1|03．下列函数中，图象关于y 轴对称的是（）（ A ）y2x （ B ） y2x （ C ） yx 2（ D ） y log 2 x4．函数f ( x) x 2e x 的单调递减区间是（）（ A ）( 2,0) （B ）( , 2)，(0, ) （ C ）(0, 2)（D ）(,0) ， (2,)5．若函数f ( x)的图象在 a, b 上是不间断的， 且有f (a) f (b) 0，则函数 f (x)在 a,b 上（）（A ）一定没有零点（ B ）至少有一个零点 （C ）只有一个零点（ D ）零点情况不确定6. 在极坐标系中，过点(2, 3) 且平行于极轴的直线的极坐标方程是（）2A．sin = - 2B．cos = - 2C．sin = 2D．cos = 271 ”是“函数y x2bx 1 ( x [1, ))为增函数”的（）．“ b（ A ）充分但不必要条件（ B ）必要但不充分条件（ C）充要条件（ D）既不是充分条件也不是必要条件8．方程2x x 2 的解所在区间是（）A.（ 0，1）B.（1， 2）C.（ 2，3）D.（3，4）9.函数y xa x(0 a 1)的图象的大致形状是()x10. 已知定义在 R 上的函数y=f(x) 满足 f(x+2)= f(x)，当 -1<x ≤ 1时， f(x)=x3．若函数 g( x) f (x)log a x 恰有6个零点，则（）A.a= 5 或 a= 1B.a(0,1)[5, ) C. a[1,1] [5,7] D. a [1,1) [5,7) 557575二、填空题：本大题共8 小题，每小题 5 分，共 45 分. 把答案填在题中横线上 . 11．不等式12x 18的解集是 _________.212．函数y log 23x 2 的定义域为_________________________513. 若alog 2 3， b log3 2 ， c log4 6 ，则它们从小到大的顺序是____________14．抛物线yx 2 x 与x 轴所围成封闭图形的面积是 ___________.15. 如图，AC 为⊙O 的直径，OBAC ，弦 BN 交 AC 于 点 M ．若OC3 ，OM1，则 MN _____．Clg x, x 0, 1 ，则 x 0的值是16．已知函数f ( x)2 ,x 若 f (x 0 )x 0.17.曲线y1 x2e 2在点 4,e处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为BMOAN．_____________x 2t 2a, 18． .在平面直角坐标系下，已知曲线C 1 :t, （ t 为参数）和曲线yC 2 :x2cos , (为参数 ),若曲线C 1，C 2有公共点，则实数a 的y1 2sin取值X 围为____________.119．已知函数f (x)x 2 , 0 xc,其中 c 0 ．那么 f ( x) 的零点是_____；若 f (x)x 2 x, 2 x 0,的值域是 [1, 2] ，则c 的取值X 围是_____．4三、解答题：本大题共4 小题，共 55 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .20．（本小题满分 12 分）设 p:实数 x 满足x 24ax 3a 20 ,其中 a 0 ,命题 q : 实数x 满足x 2 x 6 0, 1, 且pq 为真，XX 数x 的取值X 围；x 2 2x8．求（ 1）若a0.（ 2）若 p 是 q 的充分不必要条件,XX 数a 的取值X 围．21．（本小题满分13 分）已知函数f ( x)x 33ax 1 在x1 处取得极值．（Ⅰ）XX 数a 的值；（Ⅱ）当 x [ 2,1] 时，求函数f ( x) 的值域.22.(本小题分）定义在（，）上的函数满足）140 f ( x): (1 f (2) 1;( 2) f ( xy) f ( x) f ( y), 其中 x, y为任意正实数，(3)任意正实数满足时，f ( y))恒成立x, yx y( x y)( f ( x)0根据上述条件求下列问题：（1）求 f (1), f (4)的值（）判断函数的单调性2 f (x)（）若f ( x 3) 2,试求的取值X围。
2023—2024学年黑龙江省高三上学期第一次月考考试数学试题(含答案)
2023-2024学年黑龙江省高三上册第一次月考考试数学试题．．．．．函数()2ln(f x x =--的单调递减区间为（）．(,1)-∞-B (1,1)-D7．若正数x ，y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是（）A ．2B ．3C ．4D ．58．已知定义在R 上的函数()f x ，其导函数()f x '满足：对任意x ∈R 都有()()f x f x '<，则下列各式恒成立的是（）A ．()()()()20181e 0,2018e 0f f f f <⋅<⋅B ．()()()()20181e 0,2018e 0f f f f >⋅>⋅C ．()()()()20181e 0,2018e 0f f f f >⋅<⋅D ．()()()()20181<e 0,2018e 0f f f f ⋅>⋅二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．如图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，则下列判断正确的是（）A ．()f x 在()4,3--上是减函数B ．()f x 在()1,2-上是减函数C ．3x =-时，()f x 有极小值D ．2x =时，()f x 有极小值10．对于定义在R 上的函数()f x ，下述结论正确的是（）A ．若()()11f x f x =+-，则()f x 的图象关于直线1x =对称B ．若()f x 是奇函数，则()1f x -的图象关于点()1,0A 对称C ．函数()1y f x =+与函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称D ．若函数()1f x -的图象关于直线1x =对称，则()f x 为偶函数16．已知定义在R 上的函数f ()()2log a f x x =+，则(2022f 四、解答题：本题共6小题，共由图象可知：函数12xy=与y∴函数()213 2xf x x=+-的零点个数为故答案为.214．2【分析】根据对数函数的性质求出函数过定点坐标，再代入直线方程，即可得到。
高三数学月考试卷答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，求f(x)的极值。
答案：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 3，令f'(x) = 0，解得x = ±1。
然后分别求二阶导数f''(x) = 6x，代入x = 1和x = -1，得到f''(1) = 6 > 0，f''(-1) = -6 < 0。
因此，f(x)在x = -1处取得极大值f(-1) = -2，在x = 1处取得极小值f(1) = -2。
2. 已知等差数列{an}的第一项a1 = 2，公差d = 3，求第10项an。
答案：由等差数列的通项公式an = a1 + (n - 1)d，代入a1 = 2，d = 3，n = 10，得到an = 2 + (10 - 1)×3 = 2 + 27 = 29。
3. 已知圆的方程为x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0，求圆心坐标。
答案：将圆的方程配方，得到(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4。
因此，圆心坐标为(2, 3)。
4. 已知函数g(x) = 2^x - 1，求g(x)的值域。
答案：由指数函数的性质可知，2^x > 0，所以2^x - 1 > -1。
因此，g(x)的值域为(-1, +∞)。
5. 已知三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a + b + c = 12，a^2 + b^2 = 52，求三角形ABC的面积。
答案：由余弦定理可知，c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC。
代入a^2 + b^2 = 52，得到c^2 = 52 - 2abcosC。
又因为a + b + c = 12，所以c = 12 - a - b。
将c代入上述方程，得到(12 - a - b)^2 = 52 - 2abcosC。
化简得cosC = (12 - a -b)^2 - 52 / 2ab。
2023届河北省衡水市第十三中学高三年级上册学期1月月考数学试题【含答案】
2023届河北省衡水市第十三中学高三上学期1月月考数学试题一、单选题1．设全集是实数集，已知集合，，则U R 2{|2}A x x x =>2{|log (1)0}B x x =-≤()U C A B = A ．B ．C ．D ．{|12}x x <<{|12}x x ≤<{|12}x x <≤{|12}x x ≤≤【答案】C 【详解】{}22{|02},{|02},U A x x x x x x C A x x ==∴=≤≤或()()2{|log 10}{|12},{|12}.U B x x x x C A B x x =-≤=<≤∴⋂=<≤本题选择C 选项.2．已知i 为虚数单位，则3(1)1i i i +⋅=-A ．–1B ．1C ．D ．–1i+1i+【答案】B【分析】先计算，然后再计算，最后可以计算出的结果.3i 3(1)i i +⋅3(1)1i i i +⋅-【详解】，故本题选B.3(1)(11)()1111i i i i i i i i +⋅+⋅-=+--==--【点睛】本题考查了复数的乘法运算法则、复数单位的幂运算，考查了除法运算，考查了数学运i 算能力.3．在下列给出的四个结论中，正确的结论是A ．已知函数在区间内有零点，则()f x (,)a b ()()0f a f b <B ．是与的等比中项639C ．若是不共线的向量，且，则∥12,e e 122,m e e =- 1236n e e =- m n D ．已知角终边经过点，则α(3,4)-4cos 5α=-【答案】C【分析】逐一判断每一个命题的真假得解.【详解】A. 已知函数在区间内有零点，不一定有，还有可能()f x (),a b ()()0f a f b <，所以该选项错误.()()0f a f b ＞B. 是与的等比中项是错误的，因为与的等比中项是C. 若是不共线的向量，且63939±12,e e ，所以，所以∥，所以该选项是正确的；D. 已知角终边经过122,m e e =- 1236n e e =- 3n m = m n α点，则，所以该选项是错误的.故答案为：C()3,4-3cos 5α=-【点睛】本题主要考查零点定理和等比中项，考查向量共线和任意角的三角函数，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4．为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（ ）0.5A ．B ．C ．D ．0.960.940.790.75【答案】B【分析】根据方差的计算公式求得正确答案.【详解】该地区中学生每天睡眠时间的平均数为：（小时），8001200988.412008001200800⨯+⨯=++该地区中学生每天睡眠时间的方差为：.()()228001200198.40.588.40.9412008001200800⎡⎤⎡⎤⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦++故选：B5．新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源（或使用常规的车用燃料、采用新型车载动力装置），综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术、新结构的汽车．新能源汽车包括混合动力电动汽车（HEV ）、纯电动汽车（BEV ，包括太阳能汽车）、燃料电池电动汽车（FCEV ）、其他新能源（如超级电容器、飞轮等高效储能器）汽车等．非常规的车用燃料指除汽油、柴油之外的燃料．下表是2021年我国某地区新能源汽车的前5个月销售量与月份的统计表：月份代码x 12345销售量y （万辆）0.50.611.41.5由上表可知其线性回归方程为，则的值是（ ）．A ．0.28B ．0.32C ．0.56ˆˆ0.16y bx =+ˆb D ．0.64【答案】A【分析】先计算，，再根据样本中心点适合方程解得的值即可.x y (),x y ˆˆ0.16y bx =+ˆb【详解】由表中数据可得，，1234535x ++++==0.50.61 1.4 1.515y ++++==将代入，即，解得．()3,1ˆˆ0.16y bx =+ˆ130.16b =⨯+ˆ0.28b =故选:A ．6．已知数列是公比为q 的等比数列，则“”是“”的{}n a 2564a a a <01q <<A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】先根据等比数列的性质，结合不等式，可以确定q 的取值范围，然后根据充分性、2564a a a <必要性的定义选出正确答案.【详解】.222356444411a a a a q a q a q q <⇒⋅⋅⋅<⇒<⇒<显然由不一定能推出，但由一定能推出，因此“”是“2564a a a <01q <<01q <<2564a a a <2564a a a <”的必要不充分条件，故本题选B.01q <<【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，利用等比数列的性质是解题的关键.7．一个袋中有m 个红球，n 个白球，p 个黑球（，），从中任取1个球（每球取15m n ≤<≤4p ≥到的机会均等），设表示取出的红球个数，表示取出的白球个数，则1ξ2ξA ．B ．()()()()1212,E E D D ξξξξ>>()()()()1212,E E D D ξξξξ><C ．D ．()()()()1212,E E D D ξξξξ<>()()()()1212,E E D D ξξξξ<<【答案】D【分析】列出随机变量和的分布列，分别计算出的值，结合1ξ2ξ()()()()1212,,,E E D D ξξξξ，可以判断出和大小关系，选出正确答案.15m n ≤<≤()()12,E E ξξ()()12,D D ξξ【详解】由题意可知：随机变量的分布列如下图所示：1ξ1ξ01Pn pm n p +++m m n p++所以有,1()01n p m mE m n p m n p m n p ξ+=⋅+⋅=++++++，2212()(0)(1)()m n p m m mn mpD m n p m n p m n p m n p m n p ξ++=-⋅+-⋅=++++++++++随机变量的分布列如下图所示：2ξ1ξ01Pm pm n p +++n m n p++，2()01m p n nE m n p m n p m n p ξ+=⋅+⋅=++++++，2212()(0)(1)()n m p n n mn npD m n p m n p m n p m n p m n p ξ++=-⋅+-⋅=++++++++++因为，所以，因此有，故本题选D.15m n ≤<≤mp np <()()()()1212,E E D D ξξξξ<<【点睛】本题考查了随机变量的分布列、数学期望和方差的计算，考查了数学运算能力.8．已知△ABC 中，．点P 为BC 边上的动点，则的最小值22BC BA BC =⋅=- ，()PC PA PB PC⋅++为（ ）A ．2B ．C ．D ．34-2-2512-【答案】D【分析】以BC 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得，设，()()1010B C -，，，()()0P a A x y ，，，运用向量的坐标表示，求得点A 的轨迹，进而得到关于a 的二次函数，可得最小值．【详解】以BC 的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得，设，()()1010B C -，，，()()0P a A x y ，，，由，2BA BC ⋅=-可得，即，()()120222x y x +⋅=+=-，，20x y =-≠，则()()()101100PC PA PB PC a x a a a y ⋅++=-⋅---+-++，，()()()()21312332a x a a a a a =--=---=--，21253612a ⎛⎫=--⎪⎝⎭当时，的最小值为．16a =()PC PA PB PC⋅++ 2512-故选D ．【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题．二、多选题9．已知分别为随机事件的对立事件，，则下列结论正确的是（ ）,A B ,A B ()()0,0P A P B >>A ．()()1P A P A +=B ．()()1P A B P A B +=∣∣C ．若互斥，则,A B ()()()P AB P A P B =D ．若独立，则,A B ()()P A B P A =∣【答案】ABD【分析】结合互斥事件、对立事件的定义，根据条件概率公式判断即可．【详解】选项A 中：由对立事件定义可知,选项正确；()()1P A P A +=A 选项中：， 选项B 正确；B ()()()()()1()()P AB P AB P B P A B P A B P B P B ++===选项C 中：A ，B 互斥，，,，故选项C 错误；()0P AB =()()0,0P A P B >>()()()P AB P A P B ≠选项D 中：A ，B 独立，则，则,故选项D 正确.()()()P AB P A P B =()()()()P AB P A B P A P B ==故选：.ABD 10．已知是的导函数，，则下列结论正确的是（ ）()f x '()f x ()()sin cos 0f x a x b x ab =-≠A ．将图象上所有的点向右平移个单位长度可得的图象()f x '2π()f xB ．与的图象关于直线对称()f x ()f x '34x π=C ．与有相同的最大值()()f x f x '+()()f x f x -'D ．当时，与都在区间上单调递增a b =()()f x f x '+()()f x f x -'0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】AC 【分析】首先求得的导函数，然后根据三角函数图像平移验证A 选项的正()f x ()cos sin f x a x b x'=+误，根据函数的对称性验证B 选项的正误，根据求三角函数的值域验证C 选项的正误，根据求解三角函数的单调性验证D 选项的正误.【详解】，.()()sin cos 0f x a x b x ab =-≠ ()cos sin f x a x b x'∴=+将的图像向右平移个单位得的图像，故A()f x '2π()cos sin sin cos 22y a x b x a x b x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭选项正确；已知的图像与的图像关于直线对称，()f x 32f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭34x π=，故B 选项错误；()333sin cos cos sin 222f x a x b x a x b x f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'-=---=-+≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中，最()()()()()sin cos f x f x a b x a b x x ϕ'+=++-=+tan a ba b ϕ-=+()()f x f x '∴+=，其中，最大()()()()()sin cos f x f x a b x a b x x θ'-=--+-tan a ba b θ+=-()()f x f x '∴-C 选项正确；当时，，，a b =()()2sin f x f x a x'+=()()2cos f x f x a x '-=-当时，在上单调递增，在上单调递增，0a >()()f x f x '+0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭()()f x f x -'0,2π⎛⎫⎪⎝⎭当时，在上单调递减，在上单调递减，a<0()()f x f x '+0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭()()f x f x -'0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭综上可知和在上单调性相同，但可能递增也可能递减，故D 选项()()f x f x '+()()f x f x -'0,2π⎛⎫⎪⎝⎭错误.故选：AC11．在矩形中，，将沿对角线进行翻折，点翻折至点，ABCD AB BC ==ADC △AC D D ¢连接，得到三棱锥，则在翻折过程中，下列结论正确的是（ ）D B 'D ABC '-A ．三棱锥的外接球表面积不变D ABC '-B ．三棱锥D ABC '-C ．异面直线与所成的角可能是AD 'BC 90D ．直线与平面所成角不可能是AD 'ABC 60【答案】AD【分析】当平面平面时，点到平面的距离最大，此时三棱锥体积最大，D AC '⊥ABC D ¢ABC 与平面所成角最大，利用等面积求得后，即可确定BD 的正误；取中点为,可AD 'ABC D E 'AC M 得，所以为棱锥的外接球球心，故球的表面积不变，可判断A AM MC D M BM '===M D ABC '-的正误；设异面直线与所成的角是，由线面垂直的判断和性质，可判断C 的正误.AD'BC 90【详解】对于A ，记中点为，如图所示AC M 和均为直角三角形,为中点,ADC ABC M AC ,AM MC D M BM ∴==='为棱锥的外接球球心，半径为M ∴D ABC '-AM =.22445S R πππ∴===三棱锥的表面积不变，，故A 正确；∴DABC '-对于B，画图如下：由题知,AB DC D C BC AD AD AC ======''=当平面平面时,三棱锥的体积最大,D AC '⊥ABC D ABC '-过点向AC 做垂线，垂足为E ，D ¢在中可得D A D C ''== ADE ' AD D C D E AC '''⋅===平面平面,D AC '⊥ABC 平面平面,D AC' ,ABC AC D E AC '=⊥是三棱锥的高,D E ∴'D ABC '-三棱锥的体积最大值为∴D ABC '-111332ABC S D E ⋅=⨯==' 故B 不正确；对于C ，若异面直线与所成的角是，AD 'BC 90则，又因为AD BC '⊥,AB BC ⊥,平面,平面,AB AD A ⋂'=AB ⊂ABD 'AD '⊂ABD '平面，则，在中，，BC ∴⊥ABD 'BC BD '⊥BCD ' D C BC =<'不成立，所以异面直线与所成的角不可能是，故C 不正确；AD 'BC 90对于D ，设与平面所成角为，点到平面距离为，则AD 'ABC θD ¢ABC d sin d AD θ'==当点到平面距离最大时，与平面所成角最大，∴D ¢ABC AD 'ABC 当平面平面时，点到平面距离最大，由B 知，D AC '⊥ABC D ¢ABC此时max d D E ='=即，D 正确.()max sin θ=<max 60θ∴<︒故选：AD.12．已知，则（ ）00e ln 10，，a ab ab b >>+-=A ．B ．1ln b a>1e a b>C ．D ．ln 1a b +<1ab <【答案】BCD【分析】对于A 选项，尝试找反例.对于B ，C 选项，构造函数帮助分析.()e xg x x =对于D 选项，设，再研究函数零点所在范围.e mb =()1e x m h x x m +=+-【详解】对于A 选项，当时，.1a =1010e l n e l n aab b b b +-=⇔+-=设，其中.()1e l n f x x x =+-0x >则，故在上单调递增.()10e f x x '=+>()f x ()0,∞+又，，则，使.()110e -f =>110e f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭11,e b ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()0f b =即存在，，使.1a =11,e b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭10e l n a ab b +-=但此时，.故A 错误.1101l n l n b a <=<=对于B 选项，1111110e l n e l n e l n a a a ab b a b a b b b b b+-=⇔+=⇔-=.设，其中.则.111l n e l n e ab a b b ⇔-=()e xg x x =0x >()()1e 0x g x x '=+>得在在上单调递增.()g x ()0,∞+注意到.()11111l n e l n e l n ab a g a g b b b b ⎛⎫-=⇔-=⎪⎝⎭则.又在上递增，()1110l n l ng a g a b b b ⎛⎫-=>⇒> ⎪⎝⎭e x y =R 则有.故B 正确.11l ne ee aa bb >⇒>对于C 选项，由B 选项可知，则由，1e a b >10e l n a ab b +-=有.故C 正确.10111e l n l n l n a ab b ab b a b b =+->⋅+-⇒+<对于D 选项，因，，00a b >>，10e l n aab b +-=则.设，其中.101e l n l n e a ab b b b =->⇒<⇒<e mb =1m <则.1010e l n ea a mab b a m ++-=⇔+-=设，其中.则，()1e x m h x x m +=+-()0,x ∈+∞()()10e x m h x x +'=+>得在上单调递增.()h x ()0,∞+（1）若，注意到，，则，使01m <<()()()11e 10h m m -=-->()010h m =-<()01,x m ∃∈-.即，()0h x =()01,a m ∈-则，设，则，()1e m ab m <-()()1e x p x x =-()e x p x x '=-得在上单调递减，则.()p x ()0,1()()()101e m abm p m p =-=<=（2）当，，注意到.0m =()e 1x h x x =-()()010110，e h h =-<=->则，此时.()0,1a ∈1ab a =<（3）当，注意到0m <()()()()1011e 10h m h m m -=--=--，则，又由（1）分析可知在上单调递增.()1,a m m ∈--()p x (),0∞-则.()()()101e m ab m p m p =-=<=综上，有.故D 正确.1ab <故选：BCD【点睛】关键点点睛：本题涉及双变量，构造函数，难度较大.对于A 选项，直接证明较为复杂，故尝试找反例.对于B ，C 选项，在与同时出现的题目中，常利用使出现相同结构.ln x e x l n l n e e x xx ==对于D 选项，将看作参数，并设简化运算.b e mb =三、填空题13．有甲、乙、丙三项任务，甲、乙各需1人承担，丙需2人承担且至少1人是男生，现有2男2女共4名学生承担这三项任务，不同的安排方法种数是______．（用具体数字作答）【答案】10【分析】由题意分两类，丙选择一名男生和一名女生或丙选择两名男子，根据分类计算原理即可求出.【详解】①丙选择一名男生和一名女生：.1112228C C A =②丙选择两名男子：.22222C A =所以不同的安排方法种数是：10种.故答案为：10.14．已知的展开式中的系数是20，则实数__________.()5(1)a x x ++4x =a 【答案】2【分析】根据二项展开式可得，则可得展()()()512233445555555(1)1C C C C C a x x a x x x x x x ++=++++++开式中的系数，列方程即可得实数的值.4x a 【详解】解：因为()()()512233445555555(1)1C C C C C a x x a x x x x x x ++=++++++则展开式中的系数是，求得.4x 4355C C 51020a a +=+=2a =故答案为：2.15．三棱锥中，平面，，，是边上的一个-P ABC PA ⊥ABC 23BAC π∠=3AP =AB =Q BC 动点，且直线与面所成角的最大值为，则该三棱锥外接球的表面积为__________．PQ ABC 3π【答案】57π【分析】根据题意画出图形，结合图形找出的外接圆圆心与三棱锥外接球的球心，ABC ∆-P ABC 求出外接球的半径，再计算它的表面积.【详解】由题意，三棱锥中，平面，直线与平面所成的角为，-P ABC PA ⊥ABC PQ ABC θ如图所示，则，且3sin PA PQ PQ θ==sin θ所以到min ()PQ =AQ A BC所以，因为中可得，即可得,AQ BC ⊥AB =Rt ABQ ∆6ABC π∠=6BC =取的外接圆圆心为，作，ABC ∆O '//OO PA '所以，解得062sin120r =r =O A '=取为的中点，所以，H PA 32OH O A PH '===由勾股定理得OP R ===所以三棱锥的外接球的表面积是.-P ABC 224457S R πππ==⨯=【点睛】本题考查了有关球的组合体问题，以及球的表面积的计算问题，解答时要认真审题，确定球的球心和半径，注意球的性质的合理运用是解答的关键，对于求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，根据勾股定理列出方程求解球的半径.着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用.16．双曲线的左，右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交双曲线于两22:4C x y -=12,F F 2F x ,A B 点，的内切圆圆心分别为，则的面积是_________．12121,,AF F BF F F AB123,,O O O 123O O O【答案】8【分析】根据题意可得轴，分别根据的边长利用等面积法求出内切12O O x ⊥12121,,AF F BF F F AB 圆各自的半径，然后即可求出的面积.123O O O 【详解】如图，因为圆分别是的内切圆，轴，所以12,O O 1212,AF F BF F AB x ⊥轴，因为双曲线，所以，，，12O O x ⊥22:4C x y -=2a =2b =c ==，将，得，即，1(F -2F x =224x y -=2y =±A，可以得，，再由双曲线的定义可知，2)B -2||2AF =2||2BF =116AF BF ==由和全等可得两内切圆的半径相等，是的角平分线，12AF F △12BF F △12F F 1AF B ∠所以内切圆的圆心在轴上，设圆的半径为，圆的半径为，1F AB 3O x 12,O O r 3O R 由等面积法可得，即121221211()22AF AF F F r AF F F ++⋅=⋅，11(62222r ⨯++⋅=⨯⨯2r =同理，即111211()22AF BF AB R AB F F ++⋅=⋅11(664)422R ⨯++⋅=⨯⨯解得，则的面积为R =123O O O1211()2)]4)22R r O O -⋅=⨯⨯，8=故答案为：8四、解答题17．已知等差数列的前项和为，且.{}n a n n S ()*6324,21n nS S a a n ==+∈N (1)求数列的通项公式；{}n a (2)设，求数列的前项和.12n n n b a -={}n b n n T 【答案】(1)21n a n =-(2)()2323n n T n =-⋅+【分析】（1）根据已知条件求得数列的首项和公差，从而求得.{}n a n a （2）利用错位相减求和法求得.n T 【详解】（1）设等差数列的公差为，d 依题意，，则()*6324,21n n S S a a n ==+∈N 2121aa =+所以，解得，所以.()111161543321a d a d a d a ⎧+=+⎨+=+⎩1a 1,d 2==21n a n =-（2），()112212n n n n b a n --==-⋅所以，()0111232212n n T n -=⨯+⨯++-⨯，()1221232212nn T n =⨯+⨯++-⨯ 两式相减得()231222212n nn T n -=++++--⨯ ，()()1412121212n n n -⨯-=+--⨯-()3223n n =-⋅-所以.()2323n n T n =-⋅+18．如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，D 是AA 1的中点，是边长为1的ACD ∆等边三角形.（1）求证：CD ⊥B 1D ；（2）若BCB —C 1D —B 1的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）6π【分析】（1）根据计算，利用勾股定理逆定理得;根据B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，得,1CD DC ⊥11CD B C ⊥最后根据线面垂直判断定理以及性质定理证明结果；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积求二面角大小.【详解】（1）因为是边长为1的等边三角形，ACD 所以11111121,1,3CD A D A C DA C C D π===∠=∴=22211112CC CC C D CD CD DC =∴=+∴⊥ 因为B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，平面AA 1C 1C ，所以CD ⊂11CD B C ⊥因为为平面B 1C 1D 内两相交直线，所以平面B 1C 1D111,DC B C CD ⊥因为平面B 1C 1D ,所以CD ⊥B 1D ；1B D ⊂（2）以D 为坐标原点，过平行直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，则1,,DC DC D BC ,,x yz 11(0,0,0),D C B B 设平面BC 1D 的一个法向量为，平面C 1DB 1的一个法向量为1(,,)n x y z =2111(,,)n x y z =由得令11100n DC n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00,0x y ⎧=⎪∴=⎨=⎪⎩1,z y =∴=1(0,n = 由得令212100n DC n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00,0x z ⎧=⎪∴===1,y =∴2(0,1,0)n =121212125cos ,,6||||n n n n n n n n π⋅∴<>===>=因为二面角B —C 1D —B 1为锐二面角，所以二面角B —C 1D —B 1为6π【点睛】本题考查线面垂直判定与性质定理、利用空间向量求二面角，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.19．世界卫生组织建议成人每周进行至5小时的中等强度运动.已知社区有的居民每周运2.5A 56%动总时间超过5小时，社区有的居民每周运动总时间超过5小时，社区有的居民每B 65%C 70%周运动总时间超过5小时，且三个社区的居民人数之比为.,,A B C 5:6:9(1)从这三个社区中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超过5小时的概率；(2)假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且.现从X ()25.5,X N σ~这三个社区中随机抽取3名居民，求至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率.【答案】(1)0.65(2)0.216【分析】（1）设三个社区的居民人数为，分别求出三个社区每周运动总时间超过5,,A B C 5,6,9a a a 小时的人数为，再由概率公式即可求出答案.（2）由正态分布的性质求出，再由独立事件的乘法公式即可得出答案.()560.3P X <<=【详解】（1）因为三个社区的居民人数之比为，,,A B C 5:6:9设三个社区的居民人数为，,,A B C 5,6,9a a a 所以社区每周运动总时间超过5小时的人数为：，A 556% 2.8a a ⋅=社区每周运动总时间超过5小时的人数为：，B 665% 3.9a a ⋅=社区每周运动总时间超过5小时的人数为：，C 970% 6.3a a ⋅=该居民每周运动总时间超过5小时的概率.1 2.8 3.9 6.30.65569a a aP a a a ++==++（2）因为这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且，X ()25.5,X N σ~所以，由（1）知，，()5.50.5P X >=()50.65P X >=所以，()5 5.50.650.50.15P X <<=-=因为随机变量服从正态分布，且关于对称，X 5.5X =所以，()()5625 5.50.3P X P X <<=<<=所以从这三个社区中随机抽取3名居民，求至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为：.()()()2323233C 0.30.7C 0.30.216P =+=20．2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划.强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立.若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，，，其中.121635m 01m <<（1）若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；35m =（2）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，则当该考生更希望通过甲大学的笔试时，求的范围.m 【答案】（1）考生报考甲、乙两所大学恰好通过一门科目的概率分别为，；383275（2）.11015m <<【分析】（1）利用相互独立事件乘法公式和互斥事件概率加法公式即可求解；（2）设该考生报考甲大学通过的科目数为，根据题意可知，，报考乙大学通过的科X 1~3,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭目数为，求得随机变量的概率分布，分别求出与的期望，比较即可得解.Y Y X Y 【详解】（1）设该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目为事件，A 则；()213113228P A C ⎛⎫⎛⎫=⋅=⎪ ⎪⎝⎭⋅⎭⎝该考生报考乙大学恰好通过一门笔试科目为事件，则.B ()215326432266551507525P B ⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯==⎪⎝⎭（2）设该考生报考甲大学通过的科目数为，X 根据题意可知，，则，1~3,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭()13322E X =⨯=报将乙大学通过的科目数为，随机变量的可能取值为：0，1，2，3.Y Y ，()()32551016mP Y m -==⨯-=，()()()02532551517711666351mP Y m m m -==⨯-+⨯-+⨯=，()()1125331421656565303mP Y m m m +==⨯-+⨯+⨯=，()5103316P mY m ==⨯=随机变量的分布列：Y Y0123P13m -17730m -31430m +10m ，()1177314230123330301030m m m m E Y m --+=⨯+⨯+⨯+⨯=+因为该考生更希望通过甲大学的笔试，∴，则，()()E Y E X <233302m +<所以的范围为：.m 01115m <<21．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，圆与轴相切，且圆心与抛2:2(0)C y px p =>F M y M 物线的焦点重合.C (1)求抛物线和圆的方程；C M (2)设为圆外一点，过点作圆的两条切线，分别交抛物线于两个不同的点()()000,2P x y x ≠M P M C和点.且，证明：点在一条定曲线上.()()1122,,,A x y B x y ()()3344,,,Q x y R x y 123416y y y y =P 【答案】(1)抛物线的方程为，圆的方程为C 24y x =M ()2211x y -+=(2)证明见解析【分析】（1）根据抛物线的焦点到准线的距离可得的值，即可得抛物线方程；根据圆的性质确F p 定圆心与半径，即可得圆的方程；M （2）根据直线与圆相切，切线与抛物线相交联立，结合韦达定理，即可得所满足的方程.00,x y 【详解】（1）解：由题设得，2p =所以抛物线的方程为.C 24y x =因此，抛物线的焦点为，即圆的圆心为()1,0F M ()1,0M 由圆与轴相切，所以圆半径为，M y M 1所以圆的方程为.M ()2211x y -+=（2）证明：由于，每条切线都与抛物线有两个不同的交点，则.()()000,2P x y x ≠00x ≠故设过点且与圆相切的切线方程为，即.P M ()00y y k x x -=-000kx y y kx -+-=，整理得①；1()()220000022110x x k y x k y ---+-=设直线的斜率分别为，则是方程①的两个实根，,PA PQ 12,k k 12,k k 12,k k 故，②，()()001200212y x k k x x -+=-()20120012y k k x x -⋅=-由得③，00204kx y y kx y x -+-=⎧⎨=⎩()200440ky y y kx -+-=因为点，()()1122,,,A x y B x y ()()3344,,,Q x y R x y 则④，⑤()0101214y k x y y k -=()0203424y k x y y k -=由②，④，⑤三式得：()()()2201200012010020123412121616y k k x y x k k y k x y k x y y y y k k k k ⎡⎤-++--⎣⎦==，()()()()002000201200002200201200211616216161612y x y x y y k k x y x x x x y k k x x ⎡⎤--⎢⎥⎡⎤-+-⎣⎦⎣⎦=+=+=--即，()()()()2220000000022111y x x y x x y x y---=--则，即，22222222220000000000002221y x y x y x x y y x y x --+=--+22001x y +=所以点在圆.P 221x y +=22．已知函数且.()2e ,0x f x a x a =->1a ≠(1)设，讨论的单调性；()()e f x g x xx=+()g x (2)若且存在三个零点.1a >()f x 123,,x x x 1）求实数的取值范围；a 2）设，求证：123x x x <<1233x x x ++>【答案】(1)答案见解析(2)1）；2)证明见解析1a <<【分析】(1)先求的导函数,再分类讨论即可.()g x (2)1)根据存在三个零点，转化为两个函数有三个交点,再根据最值可求.()f x 123,,x x x 2)根据三个零点所在区间，把要证明的式子分解为三个部分，分别求解后可得.【详解】（1）,,()()2e e e x x f x a x a g x x x xx x -=+=+=()()22ln 1ln xx x a a x a a x a g x x x ⋅-⋅-'==因为,定义域为20,0x a x >>()g x ()(),00,∞-+∞ 当时,,解,得,解,得1a >ln 0a >()0g x '>1ln x a >()0g x '<10,0ln x x a <<<当时,,解,得,解,得01a <<ln 0a <()0g x '>1ln x a <()0g x '<10,0ln x x a >>>综上, 当时, 增区间为,减区间为,1a >()g x 1,ln a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()g x ()1,0,0,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭当时, 增区间为,减区间为,01a <<()g x 1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()g x ()10+,0ln a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，，（2）1）因为且存在三个零点.()2e ,1x f x a x a =->()f x 123,,x x x 所以有3个根2=0e x a x -当时, ,0x <()()10e<00,,10f a f a -=->=-()ln 2e 0x a f x a x '=->在上是单调递增的,由零点存在定理,方程必有一个负根.()f x (),0∞-当,,即有两个根,0x >ln 12ln x a x =+12ln ln xa x +=令,可转化为与有两个交点()12ln x t x x +=ln y a =()12ln x t x x +=,()()22212ln 12ln x xt x x x -+-'==可得,,是单调递增的, 可得,,是单调递减的,(x ∈()0t x '>()t x )x ∈+∞()0t x '<()t x 其中,当,t =()0x t x >>()maxt x t =所以可得,0ln a <<即得1a <<2）因为且存在三个零点.()2e ,1x f x a x a =->()f x 123,,x x x 设，,易知其中 ,,123x x x <<312222123e e =,=,=e x x x a x a x a x 10x <230x x <<因为,所以,故可知;①1212,x x x x a a <<22221212<,,e e <x x x x 12<x x -120x x +>由1）可知与有两个交点,ln ,y a =()12ln xt x x +=23x x<,是单调递增的, ,,,所以②(x ∈()tx (2x ∈()2ln 0t x a =>0t =2x >23x x >>>若则3x≥23x x +>3x <<构造函数()()()h x t x t x=-x <<()212ln x h x x -'==设,()()()()2212ln 12ln m xx x x x ⎡⎤=--+-⎣⎦()()()()212ln 212ln m x x x x x⎡⎤'=-+-⎣⎦因为==又因为,()332,x x x x xx >>>>->③>因为()()()()()()212ln 212ln 22ln 1212ln x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤--+-=-+-⎣⎦⎣⎦又因为()11,22x x x x>><<所以()2ln 10,0;12ln0,0x x x x->>->>>即得④()()()22ln 1212ln 0x x x x ⎡⎤--+->⎣⎦由③④可知, ,在上单调递增,()0m x '>()m x x >()0m x m >=可知与同号()h x'=()mx ()h x '所以,()0h x '>在上单调递增.()hx ()h x h t t >=-=,,又由1)可知()()0t x t x ->()()33t x t x >()()23t x t x =所以,()()(232,t x t x x>∈(3x ∈,,是单调递增的,(x ∈()0t x '>()t x 所以⑤2323,x x x x >+>由①②⑤可知1233x x x ++>【点睛】本题考查利用导数证明不等式,解决问题的关键点是极值点偏移问题,证明的方法总结:先构造,再确定的单调性,()()()h x t x t x =-()h x结合特殊值得到再利用单调性可得.0h =()()0t x t x ->23x x +>。
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浙江省诸暨市2018届高三数学1月月考试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(请把选择题答案涂在答题卷上．．．．．．．．．．．．．) 1、集合{}1,2,3A =，若{}1,2A B =I ，{}1,2,3,4,5A B =U ，则集合B 中的元素个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52、已知向量)1,1(=，),2(x =，若+与-平行，则实数的值是 （ ） A ．2- B ．0 C ．1 D ．23、已知()n a f n =，则“函数()y f x =在[)1,+∞上单调递增”是“数列{}n a 是递增数列”的.A 充分而不必要条件.B 必要而不充分条件.C 充要条件.D 既不充分也不必要条件（ ）4、在622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（）A ．-240B ．-60C ．60D ．240 5、已知函数()()cos 02f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，4f x π⎛⎫+⎪⎝⎭是奇函数，则 （ ） A ．()f x 在,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 B ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 C ．()f x 在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增6、在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关。
”则下列说法错误的是 （ ）A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里.C ．此人第三天走的路程占全程的81D ．此人后三天共走了42里路 7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （ ）A ．16 B．8+ C ．12 D．4+8、若实数,x y 满足100(1),210x y x y a z x y y ax -+≥⎧⎪+≥>=-⎨⎪-+≥⎩的最大值是34，则a 的值是 （ ）5.2A .4B .2C .3D 9、已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则||4||DE AB +的最小值为 （ ）A ．36B ．40C ．2812+D ．2820+10、设E 、F 分别是正方形ABCD 中CD 、AB 边的中点，将ADC ∆沿对角线AC 对折，使得直线EF 与AC 异面，记直线EF 与平面ABC 所成角为α，与异面直线AC 所成角为β，则当21tan =β时，=αtan （ ）A.1653B.55C. 1751D.1957二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分。
(请把填．．．空题答案写在答题卷上．．．．．．．．．．) 11、已知i 为虚数单位，复数131iz i+=-，则复数z 的实部是___________；=||z ． 12、设双曲线22:14x C y -=的右焦点2F 坐标为，则2F 到渐近线的距离为． 13、设公差不为零的等差数列{}n a 满足：143,5a a =+是25a +和85a +的等比中项，则n a =，{}n a 的前n 项和n S =14、袋中有大小相同的3个红球，2个白球，1个黑球。
若不放回摸球，每次1球，摸取3次，则恰有2次红球的概率为；若有放回摸球，每次1球，摸取3次，则摸到红球次数X 的期望为．15、若实数y x ,满足45222=+-y xy x ，则y x +的取值范围是． 16、在A B C ∆中，2=AB ，1=AC ，7=BC ，O 为ABC ∆的外心，且AC AB AO μλ+=，则=λμ． 17、已知函数d cx bx x x f +++=232131)(在区间)2,0(内既有极大值又有极小值， 则)42(++b c c 的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共74分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.（本题14分）在ABC ∆中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且c a C b -=2cos 2． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求C A sin sin 的取值范围． （解答过程写在答题卷上！）19.（本题15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，2PA AB ==，过BD 作平面BDE 与直线PA 平行，交PC 于E .（1）求证：E 为PC 的中点；（2）求二面角A ED B --的余弦值. （解答过程写在答题卷上！）20.（本题15分）已知函数()2ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥。
（1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且41)(0<x f . （解答过程写在答题卷上！）21.（本题15分）已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,0)A ，(0,1)B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率．（Ⅱ）设P 为第三个象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值． （解答过程写在答题卷上！）22.（本题15分）定义数列如下：21=a ，*,121N n a a a n n n ∈+-=+求证：（Ⅰ）对于*N n ∈恒有n n a a >+1成立；（Ⅱ）（1）111111---=+n n n a a a ； （2）11112112017212017<+++<-a a a ． （解答过程写在答题卷上！）牌头中学2017-2018学年第一学期1月考试卷高三数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(请把选择题答案涂在答题卷上．．．．．．．．．．．．．) 1、集合{}1,2,3A =，若{}1,2A B =I ，{}1,2,3,4,5A B =U ，则集合B 中的元素个数为（ C ）A ．2B ．3C ．4D ．52、已知向量)1,1(=a ，),2(x b =，若+与-平行，则实数的值是 （ D ） A ．2- B ．0 C ．1 D ．23、已知()n a f n =，则“函数()y f x =在[)1,+∞上单调递增”是“数列{}n a 是递增数列”的.A 充分而不必要条件.B 必要而不充分条件.C 充要条件.D 既不充分也不必要条件（ A ） 4、在622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（ D）A ．-240B ．-60C ．60D ．240 5、已知函数()()cos 02f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，4f x π⎛⎫+⎪⎝⎭是奇函数，则 （ B ） A ．()f x 在,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 B ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 C ．()f x 在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增6、在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关。
”则下列说法错误的是 （ C ）A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里.C ．此人第三天走的路程占全程的81D ．此人后三天共走了42里路 7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （ B ）A ．16 B．8+ C ．12 D．4+8、若实数,x y 满足100(1),210x y x y a z x y y ax -+≥⎧⎪+≥>=-⎨⎪-+≥⎩的最大值是34，则a 的值是 （ D ）5.2A .4B .2C .3D 9、已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则||4||DE AB +的最小值为 （ A ） A ．36B ．40C ．2812+D ．2820+10、设E 、F 分别是正方形ABCD 中CD 、AB 边的中点，将ADC ∆沿对角线AC 对折，使得直线EF 与AC 异面，记直线EF 与平面ABC 所成角为α，与异面直线AC 所成角为β，则当21tan =β时，=αtan （ C ）A.1653 B.55 C. 1751 D.1957二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分。
(请把填．．．空题答案写在答题卷上．．．．．．．．．．) 11、已知i 为虚数单位，复数131iz i+=-，则复数z 的实部是_____1-______；=||z 5． 12、设双曲线22:14x C y -=的右焦点2F 坐标为)0,5(，则2F 到渐近线的距离为 1 ． 13、设公差不为零的等差数列{}n a 满足：143,5a a =+是25a +和85a +的等比中项，则n a =58-n ，{}n a 的前n 项和n S =n n -2414、袋中有大小相同的3个红球，2个白球，1个黑球。
若不放回摸球，每次1球，摸取3次，则恰有2次红球的概率为209；若有放回摸球，每次1球，摸取3次，则摸到红球次数X 的期望为23． 15、若实数y x ,满足45222=+-y xy x ，则y x +的取值范围是]22,22[-16、在A B C ∆中，2=AB ，1=AC ，7=BC ，O 为ABC ∆的外心，且μλ+=，则=λμ91017、已知函数d cx bx x x f +++=232131)(在区间)2,0(内既有极大值又有极小值， 则)42(++b c c 的取值范围是)1,0(三、解答题：本大题共5小题，共74分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.（本题14分）在ABC ∆中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且c a C b -=2cos 2． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求C A sin sin 的取值范围． （解答过程写在答题卷上！）解（Ⅰ）由余弦定理可得：c a abc b a b -=-+⋅222222，即ac b c a =-+222，∴212cos 222=-+=ac b c a B ，由),0(π∈B 得3π=B ． ………5分（Ⅱ）由3π=B 得，A C -=32π，………6分 ∴A A A A A C A 2sin 21cos sin 23)32sin(sin sin sin +=-=π41)62sin(21412cos 412sin 43+-=+-=πA A A ．………9分 ∵)32,0(π∈A ，∴)67,6(62πππ-∈-A ，………10分 ∴1)62sin(21≤-<-πA ，………11分∴C A sin sin 的取值范围为]43,0(．………12分19.（本题15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，2PA AB ==，过BD 作平面BDE 与直线PA 平行，交PC 于E .（1）求证：E 为PC 的中点；（2）求二面角A ED B --的余弦值. （解答过程写在答题卷上！） 19．解：（1）证明：连结AC ，设A C B D O =I ，连接OE ，则O 为AC 的中点，且面PAC I面BDE OE =，∵PA ∥平面BDE ，∴PA OE ∥，∴E 为PC 的中点. （2）∵PA OE ∥，∴OE ⊥底面ABCD ，∴OE AC ⊥. 又∵AC BD ⊥，OE BD O =I ，∴AC ⊥平面BED . 过点O 作ED 的垂线，交ED 于M ，连接AM .∵OM ED ⊥，∴AM ED ⊥，∴AMO ∠为所求的平面角.OD OE ED OM ⋅=⋅，∴OM =1OA =，∴AM =.∴cos 7OM AMO AM ∠==，∴二面角A ED B --的余弦值为7.20.（本题15分）已知函数()2ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥。