D1_6行列式按行(列)展开
行列式按行(列)展开
当i≠j时,上式右端行列式中有两行对应元素相同, ≠ 时 上式右端行列式中有两行对应元素相同, 故行列式为零, 故行列式为零,即得
ai1 A j1 + ai 2 A j 2 + + ain A jn = 0(i ≠ j )
上述证法若按列进行, 上述证法若按列进行,即可得
a1i A1 j + a2i A2 j + + ani Anj = 0(i ≠ j )
j2
+ +a
jn
A
jn
a 11 a i1 = a j1 a n1
a 1n a in a jn a nn
在上式中把
a换成 a jk (k = 1, , n) ,可得 可得 ik
a 11 a i1 a 1n a in a in a nn
Байду номын сангаас
a i1 A j1 + a i2 A j2 + + a in A jn = a i1 a n1
行列式按行(列 展开 第四节 行列式按行 列)展开
一般说来, 一般说来,低阶行列式的计算要比高阶行列式的 计算要简便, 计算要简便,于是我们自然地考虑到用低阶的行列式 来表示高阶的行列式的问题.为此, 来表示高阶的行列式的问题.为此,先引入余子式和 代数余子式的概念. 代数余子式的概念. 定义 在n阶行列式 D = (a中,把元素 aij 阶行列式 所在的 ij ) 列划去, 第i行,第j列划去,剩下的元素按原来的相对位置形 行 列划去 成的n-1阶行列式叫做元素 aij 余子式,记作 M ij 称 成的 阶行列式叫做元素 的余子式, ; Aij = ( 1) i + j M ij 叫做元素 a的代数余子式. ij 例如 四阶行列式
行列式的展开法则
03. 行列式的展开法则 一、按一行(列)展开法则定义3.1 (,)i j 元素或(,)i j 位置的余子式ij M 、代数余子式(1)i j ij ij A M +=- 例3.1 3111112121313111112121313||ij a a M a M a M a A a A a A =-+=++. 定理3.1 1)按一行展开法则 1122||(1,2,,)A i i i i in in a A a A a A i n =+++= ； 2)按一列展开法则 1122||(1,2,,)A j j j j nj nj a A a A a A j n =+++= . 按第一行的展开公式就是n 阶行列式(2)n ≥的降阶定义. 例3.2 计算下列n 阶行列式1)xy x yyx； 2)111111121n n----； 3)121111n n na a xD a xa x---=-.解 1)按1c 展开得原式1111111(1)(1)n n n n n n n xA yA xxy y x y -+-+=+=+-=+-. 2)原式121(1)(12)2n n nn n c c c c n n n A c -++++++++=按展开. 3)法1 按1r 展开得()112112121223121211(,,,)(,,)(,,).()n n n n n n n n n n n n n n n D a a a a x D a a a x a x D a a a x a x a x a D a a --------=+=++==++++=法2 在n D 中，元素(21)i a i n ≤≤-的余子式为11111(1)11i n i i x x M x x x x-----==---.将n D 按1c 展开得11211211(1)ni n n n i i n n i D a M a x a x a x a +---==-=++++∑ .法3 1121212112121101,1,,210i i nn n n n n n na a x a r xr D i n n a x a x a a x a x a x a --------+-+=-+++-++++12121n n n n a x a x a x a ---=++++ . ()11111(1)(1)(1)1n n n n n A M ++-=-=--=法4 按n r 展开得111212121.n n n nn n n n n n n n n n D a A xA a xD a a x xD a x a x a x a ------=+=+=++==++++定理3.2 当i j ≠时， 11220i j i j in jn a A a A a A +++= ；11220i j i j ni nj a A a A a A +++= . 注 1122||A i j i j in jn ij a A a A a A +++= δ， 1122||A i j i j ni nj ij a A a A a A +++= δ，其中1,;0,ij i j i j=⎧=⎨≠⎩当当δ为克罗内克(Kronecker )符号.例3.3 1)二元(实)函数1,;(,)0,.x y f x y x y =⎧=⎨≠⎩当当 显然(,)xy f x y =δ.2)diag(1,1,,1)[]ij n n ⨯= δ.例3.4 设四阶行列式1212211220211234D =. 1)求代数余子式12A ； 2)求1121314123A A A A +++； 3)求41424344A A A A +++.行列式的完全展开定义、公理化定义、降阶定义可以互相推证. 以降阶定义为原始定义做理论推导时，可以引入仿克罗内克符号1,;0,.ij i j i j <⎧=⎨>⎩当当ρ 例3.5 1)若正整数i j ≠，则1.ij ji +=ρρ2)仿克罗内克符号有缺项定位功能. 在序列124567,,,,,a a a a a a 中，(17,3)i a i i ≤≤≠位于第3i i -ρ位. 在序列12467,,,,a a a a a中，(17,3,5)i a i i ≤≤≠位于第35i i i --ρρ位.3)仿克罗内克符号有描述逆序功能.s t j j 构成逆序01s t t s j j j j ⇔=⇔=ρρ，121()t sn j j s t nj j j ≤<≤=∑τρ.例3.6 n 阶范德蒙(Vandermonde )矩阵1[]i j n n a -⨯的行列式122131121(,,,)()()()(,,)().n n n j i i j nV a a a a a a a a a V a a a a ≤<≤=---=-∏例3.7 填空11112345_____49162582764125----=----.例3.8 设0abcd ≠，求证222211(,,,)11a a bcd b b acdV a b c d c c abd d d abc=-.例3.9 计算n 阶三对角行列式111n a b ab a b ab D a b aba b++=++ .二、按多行(列)展开法则定义3.2 矩阵A m n ⨯的k l ⨯子矩阵1212A k l i i i j j j ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 及其余子阵，k 阶子方阵、k 阶子式；n 阶方阵或其行列式中k 阶子式的n k -阶余子式M 、代数余子式1212()()(1)k k i i i j j j A M +++++++=- ，k 阶(顺序)主子阵、k 阶(顺序)主子式. 主子式的代数余子式就是余子式.例3.10 设55[]A ij a ⨯=.1)25135A ⎛⎫⎪⎝⎭是A 的一个23⨯子矩阵，13424A ⎛⎫⎪⎝⎭为其余子阵；2)1325A ⎛⎫⎪⎝⎭是A 的一个2阶子方阵，1325A ⎛⎫ ⎪⎝⎭是A 的一个2阶子式，245134A ⎛⎫⎪⎝⎭为对应余子式，而对应代数余子式为(13)(25)245245(1)134134A A +++⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；3)235235A ⎛⎫ ⎪⎝⎭是A 的一个3阶主子阵，235235A ⎛⎫⎪⎝⎭是A 的一个3阶主子式，其代数余子式就是余子式1414A ⎛⎫⎪⎝⎭，是A 的一个2阶主子式；4)A 共有五个顺序主子阵(式).定理3.3 按多行(列)展开法则——拉普拉斯(Laplace )定理1122C C ||A k k nnN A N A N A =+++ .例3.11 计算四阶行列式1234500112365112D -=--.例3.12 计算六阶行列式111000234000310161111101112411243161139D =---.例3.13 计算六阶行列式120000350000635475124583240064270034D -=-.例3.14 计算叉形行列式1)11211n n n nna b a b D c d c d =；2)112111nn n nna b a b D e c d c d +=.。
1-6行列式按行(列)展开
思考题
设n阶行列式 1 2 3 1 2 0 Dn = 1 0 3 n 0 0 1 0 0 n
求第一行各元素的代数余子式之和
A11 + A12 + + A1n .
26 2016/12/24
思考题解答
解 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成
a11 a i 1 A j 1 + + a in A jn ai1 = ai1 a n1 a1 n a in , a in
第i行 第 j行
相同
当 i ≠ j 时, a i 1 A j 1 + a i 2 A j 2 + + a in A jn = 0, ( i ≠ j )。
行列式的每个元素分别对 应着一个余子式和一个代 数余子式；
余子式和代数余子式要么 A44 = M 44 ( −1) M 44 = 相等，要么互为相反数。
4 2016/12/24
引理 一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素
除aij外都为零，那么这行列式等于aij与它的代数 余子式的乘积，即D＝ aij Aij 。
an2
a nn
2016/12/24
a11 a12 = ai1 0 a n1 a n 2
a1 n 0 a nn
a11 a12 + 0 ai 2 a n1 a n 2
a1 n 0 a nn
a11 a12 a1n + + 0 0 a in = a i 1 Ai 1 + a i 2 Ai 2 + + a in Ain (i = 1,2,, n ) a n1 a n 2 a nn
1-6 行列式按行列展开
2 2
0 cb c (c a ) b (b a )
2 2
0 d b d (d a ) b (b a )
2
＝ ( b a )( c a )( d a )( c b )( d b )
1 ( c bc b ) a ( c b )
a 12 a 22 a 32 a 42
2 3
a 13 a 23 a 33 a 43
M
23
a 11 M
23
a 12 a 32 a 42
a 14 a 34 a 44
a 31 a 41
A 23 1
M
.
a 11 D a 21 a 31 a 41
a 12 a 22 a 32 a 42
a 11 a 12 a 22 0 a 42 a 13 a 23 a 33 a 43 a 14 a 24 0 a 44
例如 D
a 21 0 a 41
a 11 1
3 3
a 12 a 22 a 42
a 14 a 24 . a 44
a 33 a 21 a 41
二、行列式按行（列）展开法则
，
设法把Dn降阶：从第n行开始，后行减去前行 的x1倍，有
Dn 1 0 0 0 x2
n2
1 x 2 x1 x 2 ( x 2 x1 ) ( x 2 x1 ) x3
n2
1 x 3 x1 x 3 ( x 3 x1 ) ( x 3 x1 )
1 x n x1 x n ( x n x1 )
0
0
d n 1 0
0 dn
0
线性代数第一章-第六节
a 11
a 12
D a i1
0
a n1 a n 2
a 11
+ ···+ 0
a n1
两a数1n之和a,1则 1 这个 a 12行列 式等于 a 1两 n 个行列式之和,即
a11
a 12
a1n
a 12
0 0 ai2
b1 c1 b 2 c 2
a nn
a n1 a n 2 a n1
依次替代 ai1 , ai2 , ···, ain ，可得
a11 a1n
ai1,1 ai1,n
b1 bn b1 Ai1 b2 Ai2 bn Ain .
ai1,1 ai1,1
an1 ann
类似地，用 b1 , b2 , ···, bn 替代 det(aij) 中旳 第 j 列，可得
或
ai1Aj1+ ai2Aj2 + ···+ ainAjn = 0 , i j ,
a1iA1j + a2iA2j + ···+ aniAnj = 0 , i j .
证明 把行列式 D = det( aij ) 按第 j 行展开，
有
a11 a1n
ai1 ain
a A j1 j1 a A j 2 j 2 a jn A jn
an1 ann
在上式中把 ajk 换成 aik ( k = 1, 2, ···, n )，可得
综合
定理 3 行列式等于它的任一行(列)的各元
素与其对应的代数余子式乘积之和,
或
D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin D=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj
行列式按行(列)展开
a a a a a a a a a
D
xa
xa
c1 c2 cn
[ x ( n 2)a ] 1 x a 1 a
1 a
xa
xa
20
r2 r1 r3 r1 rn r1
1 [ x ( n 2)a ]0 0 0
ak 1 ak 2 akn an 2 ann
右端的行列式含有两个相同的行，值为 0 。
11
综上，得公式
D, （当k i） ak 1 Ai 1 ak 2 Ai 2 akn Ain 0，（当k i） D, （当l j） a1l A1 j a2 l A2 j anl Anj 0，（当l j）
a11 a12 a1n ai 1 0 0
a11 0
a12 a1n ai 2
a11 a12 a1n 0 ain
0 0
an1 an 2 ann
an1 an 2 ann
3 11
7 17 8
按第二列展开
7 25 8 0 3 0 11 5 2
1 ( 1)
2 2
0 3
5 9
5 2
按第二行展开
5 ( 1)
2 3
7 25 3 11
5(77 75) 10
19
例2：
xa a a a
a xa a a 1
a a a a
a a a
( xi a , i 1,2,3,4)
（可以化为箭形行列式）
r2 r1 r3 r1 r3 r1 r4 r1
(完整版)行列式的计算技巧与方法总结,推荐文档
2、用降价法计算行列式（常用） 直接应用按行(列)展开法则计算行列式, 运算量较大, 尤其是高阶行列式. 因此, 计算 行列式时，一般可先用行列式的性质将行列式中某一行(列)化为仅含有一个非零元素, 再按 此行(列)展开,化为低一阶的行列式, 如此继续下去直到化为三阶或二阶行列式. 3、拉普拉斯定理（一般少用）
2 1 0 2 0 1
1 （3） 1
5
10 1 0 0 （第一、二两行相等） 27
2 1 1 （4） 4 2 2 0 （第二、三列相等）
7 3 3
1 例 4（1） 0
2
1 1 2
2 5 0 因为第三行是第一行的 2 倍. 22
1 4 10
2 8 35
（2）
0 因为第一列与第二列成比例,即第二列是第一列的 4
2
.
1 2 3 0 1 3 2 0
注: 一般来说下式是不成立的
a11 b11 a21 b21
a12 b12 a11 a22 b22 a21
a12 b11 a22 b21
b12 . b22
1 3 1 1 3 1
例 9（1） 1 4 1r2 r1 0 1 0 ,上式表示第一行乘以-1 后加第二行上去, 其值
建议收藏下3 载6 1本2 1文2 ，4 以便随时学习！
2 3 0 32 3 0 ,
51 2 512
再计算
124 12 4
124 122 102
D 3 2 3 0 3 0 7 8 27 0 7 8 54 0 7 4 54 0 3 4 54 3 162.
5 1 2 0 9 18 0 1 2 0 1 1 0 0 1
称 Aij 为元素 aij 的代数余子式.
引理（常用） 一个 n 阶行列式 D , 若其中第 i 行所有元素除 aij 外都为零，则该行列式
线性代数1.6行列式按行(列)展开
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某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即
$D = a_{i1}A_{ j1} + a_{i2}A_{ j2} + ldots + a_{in}A_{ jn} = 0$，其中 $i neq j$。
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即
$D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ldots + a_{in}A_{in}$ 或 $D = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + ldots + a_{nj}A_{nj}$。
行列式按行(列)展开的性质二
行列式中某一行（列）的所有元素都 乘以同一数 $k$，等于用数 $k$ 乘此 行列式。即：$D_1 = kD$。
行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式等于零。
行列式按行(列)展开的性质三
若行列式中某一行（列）的所有元素 都是两数之和，则这个行列式可以拆 分为两个行列式的和，这两个行列式 分别由这两组数构成。
01
02
行列式是一个数值，由方阵中所 有元素的代数和计算得出。
03
行列式具有交换性质，即交换行 列式中两行（列）的位置，行列 式的值变号。
04
行列式按行(列)展开的意义
行列式按行（列）展开是计算行列式的 一种重要方法，特别是当行列式的阶数 较高时，直接计算往往比较困难，而按 行（列）展开可以简化计算过程。
行列式按行展开的步骤
01
1. 选择要展开的行（或列）。
02 2. 划去该元素所在的行和列，得到余子式。
03
行列式展开定理
a1n ai 1n ai 1n ann 0
a1 j ai 1 j ai 1 j anj aij
0
＝(－1)i＋j aij Mnn ＝(－1)i＋j aij Mij ＝aijAij
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③最后
a11
a12 0 0 ai 2 an 2
a1n a11 a12 ai 2 an 2 a1n 0 ann
an1 jn1 ann an 1 jn1 ann M nn ann Ann
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jn1n jn1 )
j1 j2
jn1
a1 j1 a2 j2
②次证
a11
a12 0 an 2
a1 j aij anj
a1n 0 aij Aij ann
D 0 a n1
思路：
化归为情形①
i 行逐一向下交换经 n－i 次至末行
j 列逐一向右交换经 n－j 次至末列
机动
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a11 ai 11 D ( 1)n i n j ai 11 a n1
由①
a1 j 1 ai 1 j 1 ai 1 j 1 anj 1 0
a1 j 1 ai 1 j 1 ai 1 j 1 anj 1 0
1.3 行列式展开定理
• 余子式、代数余子式 • 行列式按行（列）展开定理 • Laplace 定理＊
机动
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复习
解:
1 1 1 1 1 4 例1.计算 D 2 4 6 1 2 4
1 0 2 1 1 1 0 0 1 5 4 5 1 5 14 5 2 3 r 3 0 2 0 3 3
1-6 行列式按行(列)展开
§6 行列式按行（列）展开对于三阶行列式来说，容易验证：333231232221131211a a a a a a a a a 3332232211a a a aa =3331232112a a a a a -2331222113a a a aa + 这样，三阶行列式的计算就归结为二阶行列式的计算。
我们现在要利用行列式的性质来证明：n （1>）阶行列式的计算总可以归结为较低阶的行列式的计算。
我们将要得到的结论，不但能进一步简化行列式的计算，而且也具有重要的理论地位。
首先引入余子式和代数余子式的概念。
定义 在n 阶行列式中，将元素ij a 所在的第i 行与第j 列划去后，余下的1-n 阶行列式称为元素ij a 的余子式，记作ij M . 若记ij ji ij M A +-=)1(，则称ij A 为元素ij a 的代数余子式。
例如，在三阶行列式333231232221131211a a a a a a a a a D = 中，元素23a 的余子式和代数余子式分别为 3231121123a a a a M =23233223)1(M M A -=-=+引理 一个n 阶行列式，若其中第i 行所有元素除ij a 外都是零，则该行列式等于ij a 与它的代数余子式ij A 的乘积，即ij ij A a D =证明 先证ij a 位于第1行第1列的情形，此时nnn n na a a a a a a D2122221110=1111M a =又由于11111111)1(M M A =-=+，于是1111A a D =.下证一般情形，此时nnnj n ijnj a a a a a a a D1111100= 为了利用前面的结果，将D 的行列作如下调换：先将D 的第i 行依次与第1-i 行、第2-i 行、…、第1行对调，这样，ij a 就调到原来j a 1的位置上，调换的次数为1-i ；再将第j 列依次与第1-j 列、第2-j 列、…、第1列对调，这样，ij a 就调到原来11a 的位置上，调换的次数为1-j . 总之，经过2-+j i 次调换，将ij a 调到左上角所得到的新行列式D D j i 21)1(-+-=，而元素ij a 在1D 中的余子式仍然是ij a 在D 中的余子式ij M . 由于ij a 位于1D 的左上角，于是利用前面的结果，应有ij ij M a D =1所以ij ij ij ij j i j i A a M a D D =-=-=++)1()1(1定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即in in i i i i A a A a A a D +++= 2211 （n i ,,2,1 =）或nj nj j j j j A a A a A a D +++= 2211 （n j ,,2,1 =）证明 由行列式的性质5可得nnn n in i i na a a a a a a a a D212111211000000+++++++++=nn n n i n a a a a a a a2111121100=nnn n i na a a a a a a2121121100+nnn n in n a a a a a a a211121100++ 于是由定理1得in in i i i i A a A a A a D +++= 2211 （n i ,,2,1 =）同样可按列证明得nj nj j j j j A a A a A a D +++= 2211 （n j ,,2,1 =）定理3称为行列式按行按列展开法则，利用这一法则并结合行列式的性质，可以简化行列式的计算。
行列式按一行(列)展开
a1n L 0 +L+ L ann
= ai 1 Ai 1 + ai 2 Ai 2 + L + ain Ain
§2.6 行列式按一行（列）展开 行列式按一行（
(i = 1,2,L, n )
例1.计算行列式 .
3 −5 D= 2 1
1 1 0 −5
−1 3 1 3
2 −4 −1 −3
解：
5 1 D = −11 1 0 0 −5 −5
k= k =1
n
或 D = a1 j A1 j + a2 j A2 j + L + anj Anj = ∑ akj Akj
k =1
n
j = 1,2,L , n
§2.6 行列式按一行（列）展开 行列式按一行（
证：
a11 a12 L L D = ai 1 + 0 + L + 0 0 + ai 2 + L + 0 L L a n1 an 2
由行列式的定义， 由行列式的定义，有
D=
=
∑j j jL
1 2
1 n −1
( −1)τ ( j1L jn ) a1 j1 a2 j2 L an−1, jn−1 anjn
( −1)τ ( j1L jn−1n ) a1 j1 a2 j2 L an−1, jn−1 ann ( −1)τ ( j1L jn−1 ) a1 j1 L an−1, jn−1
1 a1 = ( −1)
1+ n
1 a2
2 a2
L 1 L a n −1
2 L a n −1
(a1 − an )(a2 − an )L (an−1 − an )
计算机网络实验基础知识1-6 行列式按行(列)展开
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a11a22a33
a12a23a31
a13a21a32
a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
a11 a22a33 a23a32 a12 a23a31 a21a33 a13 a21a32 a22a31
关于代数余子式的重要性质
n
aki Akj
k 1
D ij
D ,当 i
0
,当
i
j, j;
n
aik Ajk
k 1
D ij
D ,当 i
0
,当
i
j, j;
其中
ij
1 ,当 i 0 ,当 i
j， j.
思考题
设n阶行列式 1 2 3n 1 2 0 0
Dn 1 0 3 0 1 0 0n
求第一行各元素的代数余子式之和
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a23 a33
在n 阶行列式中，把元素 a ij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做元素a ij 的余子式，记作 M ij .
记 Aij 1i j M ij， 叫做元素 a ij 的代数余子式．
A11 A12 A1n .
思考题解答
解 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成
11 11
1 A11 A12 A1n 1
2
0
0
3
0
0
n!1
j
n
2
1 j
行列式的性质及展开式
1
1
d2 d d 1
a
b abcd
c
d
11
1 a2 a
a
1 1 b2
1
1 c2
1
b
b 1
13
c
c
1
1 d2
1 d
d
11 1 a2 a
11 1 b2 b
1Leabharlann 1 c21 c11 d2
1 d
0.
一、余子式与代数余子式
例如
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
pkk
对 D2 作运算 ci kc j ,把 D2 化为下三角形行列式
q11 设为 D2
qn1
0 q11 qnn .
pnk
对 D 的前 k 行作运算 ri krj，再对后 n 列作运 算 ci kc j ,把 D 化为下三角形行列式
p11
0
D
pk1 c11
an1 L (ani kanj ) L anj L anj
二、应用举例
计算行列式常用方法：利用运算 ri krj把行列式 化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．
1 1 2 3 1 3
3 3 7 9 5 例１ D 2 0 4 2 1
3 5 7 14 6 4 4 10 10 2
bj1 bj2 L bjn M MMM
ai1 ai2 L ain M MMM
an1 an2 L ann
bn1 bn2 L bnn an1 an2 L ann
行列式的展开定理
证明
11
1
D3
r3
r2 ( x1 )
x1 0
x2 x22 x1 x2
x3 x32 x1 x3
11
1
r2 r1 ( x1 ) 0 x2 x1 x3 x1 0 x22 x1 x2 x32 x1 x3
§3 行列式的展开定理
x2 x1 x22 x1 x2
x3 x1 x32 x1 x3
一、余子式、代数余子式 二、行列式按一行（列）展开法则 三、克拉默法则
§3 行列式展开定理、克拉默法则
引例
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
行列式 D 等于它的任一行（列）的各元素与其 对应的代数余子式乘积之和，即
D ai1 Ai1 ai 2 Ai 2
i 1,2, ,n
或 D a1 j A1 j a2 j A2 j
j 1,2, ,n
n
ain Ain aik Aik
k 1
n
anj Anj akj Akj k 1
1 xn x1 xn2 x1 xn
xnn1 x1 xnn2
§3 行列式的展开定理
x2 x1 x2( x2 x1 )
x3 x1 x3( x3 x1 )
xn x1 xn( xn x1 )
x2n2 ( x2 x1 ) x3n2 ( x3 x1 )
xnn2( xn x1 )
11
1
3.推论
行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的 对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
ai1 Aj1 ai2 Aj2 ain Ajn 0, i j a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, i j
线代CH1--6.
证 先证 aij 位于第1行第 列的情形。 位于第 行第1列的情形。 行第 列的情形
a11 D= 0 ⋯ 0 , a21 a22 ⋯ a2n ⋮ ⋮ ⋮ an1 an2 ⋯ ann
这是例12中当 的特殊情况， 的结论， 这是例 中当 k =1的特殊情况，由例 的结论， 的特殊情况 由例12的结论 有
4
线性代数
第一章 行列式
例14. 计算
D=
3 −5 2 1
1 1 0 −5
−1 2 3 −4 1 3 −1 −3
5
1 −1
解
c1 − 2c3 −11 1 D c4 + c3 0 0 −5 −5
1 5 1 1 3 −1 3+3 = (−1) −11 1 −1 1 1 0 −5 −5 0 0 3
5 1 1 2 1+3 − 6 r2 + r1 − 6 2 0 = (−1) −5 −5 −5 −5 0
D = a11M11
又 从而
线性代数
A = (−1)1+1 M11 = M11 11
D = a11A 11
2
第一章 行列式
再证一般情况， 再证一般情况，此时
a11 ⋯ a1 j ⋯ a1n ⋮ ⋮ ⋮ D = 0 ⋯ aij ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ an1 ⋯ anj ⋯ ann
调换到第一行， 调换到第一列， 先将 aij调换到第一行， 调换次数为 i-1, 再将 aij 调换到第一列， 调换到第1行第 行第1列 调换次数为 j-1次， 即经 i+j-2 次调换 把 aij 调换到第 行第 列， 次 次调换, 得到行列式 D1= (−1)i+ j−2 D = (−1)i+ j D, 元素 aij 在 D1 中的余子式， 还 中的余子式， 是 aij 在 D 中的余子式 Mij . 由前面的结果知， 由前面的结果知，
范德蒙德行列式——简单明了
j. j
三、小结
1. 行列式按行(列)展开法则是把高阶行列式的计
算化为低阶行列式计算的重要工具.
n
n
2. aki Akj aik Ajk D ij
k 1
k 1
思考题
1 2 3n
1 2 0 0
设 n 阶行列式 Dn 1 0 3 0
1 0 0n
求第一行各元素的代数余子式之和: A11+A12+ ···+A1n .
ai1Aj1 + ai2Aj2 + ···+ ainAjn = 0, i j ; a1iA1j + a2iA2j + ···+ aniAnj = 0, i j .
证: 把行列式D = det(aij) 按第 j 行展开, 得
a11 a1n
ai1 ain
D a j1 Aj1 a jn Ajn
从而 D = a11A11, 即结论成立.
再证一般情形, 此时
a11 a1 j a1n
D 0 aij 0
an1 anj ann
把D的第 i 行依次与第 i –1行,第 i –2行, ···, 第1行
交换, 得
0 aij 0
D 1 i1 ai1,1 ai1, j ai1,n
有:
1 11
Dn ( x2 x1 )( x3 x1 )( xn x1 )
x2
x3 xn
n–1阶范德蒙德行列式
x2n2
x3n2
x
1-6行列式的展开与计算
i j
M
ij
为元素 aij的代数余子式.
例如四阶行列式
a 11 D a 21 a 31 a 41
a 12 a 22 a 32 a 42
a 13 a 23 a 33 a 43
a 14 a 24 a 34 a 44
中元素 a23的余子式
a 11 M
23
a 12 a 32 a 42
N 1 1 3 0 3
N的余子式为
M 2 3 0 1 2
N的代数余子式为
A ( 1 )
1 4 2 3
M
2 3
0 1
2
定理1.3.3 (拉普拉斯(Laplace)定理) 在 n 阶行列式 D 中任意选取k行（列） (1 k n-1) , 则由这 k个 行（列）中的一 切 k 阶子式 N1,N2,…,Nt与它们所对应的 代数余子式 A1,A2,…,At乘积之和等于D，即
1 x 0 a n2
0 1 0 a n3
a2
0
0
Dn
0 0 x 1 x a1
n 1
1 ( 1)
1 n
0 1 x 0
0 0 0
0 0 0 1 n 1
an
x 0 0
x
xD n 1 a n
由于对于n2,Dn=xDn-1+an都成立,从而
非按部就班运动--跳跃式展开
定义1.3.2 在n阶行列式D中,任取k行、 k列(1k n-1)，由这些行和列交叉处的元 素按照原来的相对位置所构成的k阶行列 式N，称为D的一个k阶子式.
在行列式D中去掉k阶子式N所在的行
线性代数自考知识点汇总
1.行列式的性质性质1性质2推论i 行列式行列式与它的转置行列式相等 D D T .互换行列式的两行（列），行列式变号.如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式.a ii a i2 a i3 a ii a i2 a i3如ka2i ka22 ka23 k a2i a22 a23a3i a32 a33 a3i a32 a33性质3 行列式的某一行推论2 如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零.ka kb kc若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和a ii a i2 a i3 a ii a i2 a i3 a ii a i2 a i3如a2i a2i a22 a22 a23 a23 a2i a22 a23 a2i a22 a23a3i a32 a33 a3i a32 a33 a3i a32 a33性质4把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行性质5值不变.例）对应的元素上去，行列式的a ii a i2 a i3如a2i a22 a23 a3i a32 a33a2ia3i ka ii2.余子式与代数余子式a ii a i2 a i3a22a32 ka i2a23a33 ka i3在n阶行列式中，把元素a j所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素a j的余子式, 记作M i i，A i(a ii a i2 a i3如a2ia22a23 a3i a32 a33 ,兀素a23的余子式为M 23i）i j M ij叫做元素a j的代数余子式.元素a23的代数余子式为A23 （ i）2 3M23 a ii a i2 a3i a32a ii a i2 a3i a323.行列式按行（列）展开法则定理1行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即4.行列式的计算an1 a n2 L a nnann a ii Kai,n 1ainaina21K a 2,n 1a2,n 1a2nM NNN Man1an1an2Kannn(n 1)(1)2ai n a 2,n i L a ni消元法：禾U 用行列式的性质, 降阶法：利用行列式的性质, （5） （6） 行列式的阶数求出行列式的值 . （7）加边法：行列式每行（列）所有元素的和相等，将各行（列）元素加到第一列（行） 式，进而求出行列式的值.从而求出行列式的值将行列式化成三角行列式， 化某行（列）只有一个非零元素，再按该行（列）展开，通过降低，再提出公因Dai 1 Ai 1ai2 Aii 1,2,L ,n; j a iiai2 ai3 a21a22 a23 a 31 a 32a332 L ain A in或 D a ij A ija2j A 2j L anj Anj1,2L n定理2 行列式任一行（列） 的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即ai1A j 1ai2Aj2L ain A jn 0,或 ai j A ij a2 j A2 jL anj Anj 0'ii 1,2,L , n;j1,2L n(1) 二阶行列式 (2) 三阶行列式 a iiai2ai3 a21a22 a23 a 31 a32a33对角行列式三角行列式a iiai2a22aii a 22a 33a iia21 M a22Mai1 a 22ai2a21ai2a 23a 31ai3a 2i a 322La iiai2 a22ai3a 22a 31aina2nM ai2a 2i a 33aii a 23a32n( m 1)2~1)311 a22L ann1 2L naii A iiai2 A 12ai3 Aiaa211. 1) 2) 常见矩阵 对角矩阵：主对角线以外的元素全为 单位矩阵： 主对角线上的元素全为 3) 上三角矩阵 :对角线以下的元素全为 4) :对角线以上的元素全为 5) 对称矩阵：设A 为n 阶方阵，若 A6) 反对称矩阵：设A 为n 阶方阵，若 7) 正交矩阵：设A 为n 阶方阵, 如果 2. 矩阵的加法、 (1)矩阵的加法 数乘、 乘法运算 矩阵0的方阵，称为对角矩阵•记作A •的对角矩阵，称为单位矩阵0的方阵•如0的方阵•如即a jaiia iia21M an1ajia12 a22a22Man2，则称 .记作E.a1na2nMannannA 为对称矩阵•A TA A A ，即aijE 或 A TA a ji ，则称A 为反对称矩阵•E ，则称A 为正交矩阵•注：① ② (2)数乘矩阵 只有同型矩阵才能进行加减运算; 矩阵相加减就是对应元素相加减 如 k a b c ka kb kcd e f kd ke kf 注：数乘矩阵就是数乘矩阵中的每个元素 (3)矩阵的乘法：设 A (a ij )m s ,B 其中 c j a i1 b 1 ja i2b 2 j L a is bsj 注：①左矩阵 的列数等于右矩阵 B ②左矩阵 的第i 行与右矩阵B (b j )s nsa k bkj(ik 1 的行数;规定 AB C ( c ij )m n ,1,2 L ,m, j 1,2 ,L ,n.)的第j 列对应元素乘积的和是矩阵乘积 C 的元素C ij • 的行数为乘积 C 的行数，右矩阵 B 的列数为乘积C 的列数• 如行矩阵乘列矩阵是一阶方阵(即一个数)，即③左矩阵bi1a iib iiai2b 21L ais bs1列矩阵乘行矩阵是 s 阶方阵， 即a11a11 b i1 a11b12 L a11b1s a 21 . . .bi s a 21bl1a 21 bl2La21b1s» b 12 LMMM Ma s1 as1bl1as1b12L ae s3.逆矩阵设n 阶方阵A 、B , 若 AB=E 或 BA=E ，则 A , 1 B 都可逆,b si , b 21 a 11 a12 L a 1s _ _M 且A 1B,B 1A.(1) 二阶方阵求逆, (2) 对角矩阵的逆 aianA s(4) a 2a ia 2，则 A1a 1a 2a 1 1分块对角阵的逆A 2a2A2a na nA sA 2 1ad beanA s 1b（两调一除法）aA s 1般矩阵求逆，初等行变换的方法:ERTA 14.方阵的行列式 由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式（各元素的位置不变）叫做方阵 的行列式•记作A 或det （A ）.5.矩阵的初等变换下面三种变换称为矩阵的初等行（列）变换:精选文库(1) 互换两行(列)；(2)数乘某行 6.初等矩阵单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵, 00都是初等矩阵.7.矩阵的秩矩阵A 的非零子式的最高阶数，称为矩阵 A 的秩.记作R (A )或r ( A ).求矩阵的秩的方法：(1)定义法：找出 A 中最高阶的非零子式，它的阶数即为A 的秩.8. 重要公式及结论(1)矩阵运算的公式及结论R(O) 0, R(A mn ) min { m, n },R( A T) R(A),R(kA)0 R(A )n, R A B R A R B(列)；(3)某行(列)的倍数加到另一行(列)称为初等矩阵(2)初等行变换法： A ERT行阶梯形矩阵,(A )=R (行阶梯形矩阵)=非零行的行数.(AB)C A k1 A k2AB kB A,(A(BC), A k 1 k2A BA k 1(A B) C A (B C),(A B)C AC A (A k1 )k2 k 1k 2B, EA AE A, BC, A)k A 0 (A B) A B(AB)k A k , A)B A( B) E kA TA, (A B)TA TB T,A T,AB TB TA TA TA TA,AB AA A A A EA,AB矩阵乘法不满足交换律，即一般地，矩阵乘法不满足消去律，即一般地若B 2B?A 22ABB 2.(2) 逆矩阵的公式及定理 A 1A,-A 1A 1A,A 可逆(3)矩阵秩的公式及结论AIM 0 A |B BA,ABM AB; AB=AC ，无 :AB=O ，则无 1ABA nA n,B=C ；只有当 A=O 或 B=O.1A 1,A T(即A 与单位矩阵E 等价)A.A 可逆时,B=C.A 1R(A),k精选文库R( AB ) W R( A ), R( AB ) < R( B ). 特别地，当 A 可逆时，R(AB)=R(B);当B 可逆时，R(AB)=R(A).A ETB A~ B R A R B 即等价矩阵的秩相等 或初等变换不改变矩阵的秩9. 矩阵方程性质：合同矩阵的秩相等向量空间若％ = ^,则称向量a 与卩成比例. 零向量O 是任一向量组的线性组合. 向量组中每一向量都可由该向量组线性表示.①齐次线性方程组k 1 1 k 2 2 L k m m 0有非零解.(1)设 A 为n 阶可逆矩阵，B 为nx m 矩阵，则矩阵方程AX=B 的解为X A1 * * * *B ；解法: ①求出A 1，再计算A1B ;(2)设 A 为n 阶可逆矩阵，B 为mx n 矩阵，则矩阵方程XA=B 的解为 X BA 1 ;解法: ①求出A 1，再计算BA 1；ECT10. 矩阵间的关系(1)等价矩阵：如果矩阵 A 经过有限次初等变换变成矩阵 即存在可逆矩阵 P , Q ,使得PAQ=B.性质：等价矩阵的秩相等. B ，那么称矩阵 A 与B 等价.(2)相似矩阵：如果存在可逆矩阵P ,使得P F AP B ，那么称A 与B 相似.性质：相似矩阵有相同的特征多项式, 相同的特征值，相同的行列式，相同的迹 (3)合同矩阵：如果存在可逆矩阵P ,使得P TAP B ，那么称A 与B 合同.1. 线性组合(1) (2)(3)2. 线性相关与线性无关 (1) (2) (3) (4) (5)向量组2,K , m 线性相关的充分必要条件是定义1如果在向量组T 中有r 个向量a] , a ，r a满足条件:⑴向量组a 1 , a，戸线性无关,1, 2 L, r ,线性相关.那么称向量a] , a?,,a 是向量组T 的一个极大无关组.定义 定义 结论 结论 2 3 1 2向量组的极大无关组中所含向量的个数，称为向量组的秩 .矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩。
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把D的第i行依次与第 i 1行, 第i 2行, 第1行对调, 0 aij 0
得 D 1
i 1
anj
ann
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a i 1 ,1 a i 1 , j a i 1 , n a n1
机动
再把D的第j列依次与第 j 1列, 第j 2列, 第1列 对调, 得
0
0
a i 1, j 1 a i 1,n 中的 a n , j 1 a nn
a11 a1 j a1n D 0 aij 0 中的余子式 M ij . an1 anj ann
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行列式的每个元素分别 对应着一个余子式和一 个代数余子式 .
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引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有 元素除 a ij外都为零，那末这行列式等于 a ij 与它的 代数余子式的乘积，即 D a ij A ． ij a11 a12 a13 a14 例如 D
a 21 0 a 41
x 3 ( x 3 x1 ) x n ( x n x1 ) n 2 n 2 x3 ( x 3 x1 ) x n ( x n x1 )
按第 1列展开，并把每列的公 因子 ( xi x1 ) 提出， 就有
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1 ( x 2 x1 )( x 3 x1 )( x n x1 ) x2
当 n 2 时（ 1 ）式成立．
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假设（ 1 ）对于 n 1 阶范德蒙德行列式成立 ，
Dn 1 0 0 0 1 x 2 x1 x 2 ( x 2 x1 ) n 2 x2 ( x 2 x1 ) 1 x 3 x1 1 x n x1
a11 ai1 a i 1 A j 1 a in A jn ai1 a n1 a1 n a in
当 i j 时,
, 相同 a in 第 j 行 a nn
第i 行
a i 1 A j 1 a i 2 A j 2 a in A jn 0,
a 22 0 a 42
a 23 a 33 a 43
a 24 0 a 44
3 3 1 a 33 a 21 a 22 a 24 .
a11
a12
a14
a 41
a 42
a 44
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证
当 aij 位于第一行第一列时, a11 0 0
D
a21
a22 a2 n
D ,当 i j , 2. aki Akj D ij k 1 0 ,当 i j; n D ,当 i j , aik A jk D ij k 1 0 ,当 i j;
a14 a 24 a 34 a44
a 21 D a 31 a41
A23 1
a11 M 23 a 31 a 41
a12 a 32 a 42
a14 a 34 a 44
M 23 M 23 .
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a11 D
a12
a13
a14 ,
a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42
aij 0 0 ij 于是有 ai 1, j ai 1, j 1 ai 1,n aij M ij , anj a n , j 1 ann
aij 0 0 故得 i j D 1 ai 1, j ai 1, j 1 ai 1,n 1i j aij M ij . anj an , j 1 ann
在 n 阶行列式中，把元素 a ij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1阶行列式叫做元素 a ij 的余子式，记作 M ij .
i j
记 Aij 1 M ij，叫做元素 a ij的代数余子式．
例如
a11
a12 a 22 a 32 a42
2 3
a13 a 23 a 33 a43
n 2 x2
1 x3
1 xn
n 2 n 2 x3 xn
n-1阶范德蒙德行列式
Dn ( x 2 x1 )( x 3 x1 )( x n x1 )
n i j 2
( xi x j )
n i j 1
( xi x j ).
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第一章
第六节 行列式按行(列)展开
一、余子式与代数余子式 二、行列式按行(列)展开 三、小结 思考题
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一、余子式与代数余子式
例如
a11
a12
a13 a23 a33
a21 a22 a31 a32
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
解2 左端为范德蒙德行列式，故方程左端
D ( x 3)( x 2)( 3 2)
由 ( x 3)( x 2) 0 解得
x 2 或 x 3.
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推论
行列式任一行（列）的元素与另一行（列）
的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
ai 1 Aj 1 ai 2 Aj 2 ain Ajn 0 , i j .
1 2
a21 a23 a24 M 12 a31 a33 a34 , a41 a43 a44
a43
a44
A12 1 M 12 M 12 . a11 a12 a13 M 44 a21 a22 a23 , A44 14 4 M 44 M 44 . a31 a32 a33
aij 0 0 i j 1 a i 1 , j a i 1 , j 1 a i 1 , n anj an , j 1 ann
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a ij ij 元素a ij 在行列式a i 1, j a nj 余子式仍然是 a ij 在
2 3 1 7 2 r2 2r1 10 0 7 2 10 2 6 6 r3 r1 0 6 6
20 42 12 1080.
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三、小结
1. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式
的计算化为低阶行列式计算的重要工具.
an1 an 2 ann
即有 D a11 M11 .
又 从而
11 A11 1 M11 M11 ,
D a11 A11 .
再证一般情形, 此时
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a11 a1 j a1n D 0 aij 0 an1 anj ann
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5 ( 1) 3 3 11 5
1 1 5 1 2
1 1 0 1 0
r2 r1
5 6
5 5 0
( 1)
1 3
6 2 8 2 40. 5 5 0 5
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例2.
证明范德蒙德(Vandermonde)行列式
i 1,2,, n
a1 n 0 0 a in a nn
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a11 ai1
a12 a1n 0 0
a11
a11
a12 a1n
0 ai 2 0 a n1 a n 2 a nn
同理 a1i A1 j a 2 i A2 j a ni Anj 0,
( i j ).
( i j ).
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关于代数余子式的重要性质
D ,当 i j , aki Akj D ij k 1 0 ,当 i j;
n
D ,当 i j , aik A jk D ij k 1 0 ,当 i j;
a n1 a n 2 a nn
a12 a1n 0
0 a in a i 1 Ai 1 a i 2 Ai 2 a in Ain
i 1,2,, n
a n1 a n 2 a nn
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例1.3 1 1 2 源自 1 3 4 D 2 0 1 1 1 5 3 3 5 1 1 1 c1 2c3 11 1 3 1 c4 c 3 0 0 1 0 5 5 3 0
3
1 2 0 2 3 3 5 2 1 0 5 0
1 7 计算行列式 D 0 2 0 5 3 1 2 0 2 3 3 5 2 1 0 5 0 1 7 D 0 2 0 2 2
0 4 1 4 0
解
0 4 1 4 0
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5 3 1 2 2 3 1 3 1 2 5 0 2 2 5 4 1 4 1 2 0 4 1 4 2 3 5 0 2 3 5