2020年梅州市高三总复习质检(二)理科数学试卷答案
广东省梅州市2020届高三总复习质检试卷理科数学含答案(2020.06)
梅州市高三总复习质检试卷()2020.6理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的。
1．复数21iz i=-，则其共轭复数z = A ．-1-i B ．-1+i C ．1-i D ．1+i2．已知集合22{|1,},{|2},R M y y x x N x y x ==-==-∈则M N I = A ．B ．[)1,+∞C ．2⎡⎤-⎣⎦D ．)2,⎡-+∞⎣3．在ABC ∆中,,D BD DC E A =u u u r u u u r 是的中点，则EB =u u u r21.33A AB AC -u u u r u u u r B ．2133AB AC +u u ur u u u r 31.44C AB AC +u u u r u u u r D.3144AB AC -u u ur u u u r 4．以下四个命题：①若p q ∧为假命题，则p,q 均为假命题；②对于命题2000:,10,R p x x x ∈∃++<则⌝p 为：2,10;R x x x ++∀∉…； ③"2"a =是”函数()log a f x x =在区间()0,+∞上为增函数”的充分不必要条件; ④()()sin f x x ϕω=+为偶函数的充要条件是2πϕ=其中真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．45．2021年起，我省将实行“3+1+2”高考模式，某中学为了解本校学生的选考情况，随机调查了100位学生，其中选考化学或生物的学生共有70位，选考化学的学生共有40位，选考化学且选考生物的学生共有20位．若该校共有1500位学生，则该校选考生物的学生人数的估计值为A ．300B ．450C ．600D ．7506.322144x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式的常数项为 A ．120 B ．160 C ．200 D ．2407．已知在各项均不为零的等差数列72311{}220,n a a a a -+=中，数列{}n b 是等比数列， 且77,b a =则86b b ⋅等于 A ．2 B ．4 C ．8D ．168．某几何体的三视图如图示，已知其主视图的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为A ．2πB ．4πC ．16πD ．不存在9．若110,a b>>有下列四个不等式：()33l a b <；21log 3log 3;a b ++>②<④3322.a b ab +>则下列组合中全部正确的为 A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．②③10．已知直线1l ：2x-y+3=0和直线2l ：x=-1，抛物线24y x =上的点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是AB ．2 CD 11．祖暅是南北朝时代的伟大数学家，五世纪末提出几何体体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等，现在有四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为A ．①②B ．①③ .C ②④D ．①④12．在直角坐标系xOy 中，如果相异两点()(),,,A a b B a b --都在函数()y f x =的图象上，那么称A ，B为函数()f x 的一对关于原点成中心对称的点对(A ，B 与B ，A 为同一对).函数()6sin ,02log ,0x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩图象上关于原点成中心对称的点对有A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和为11,1,2,n n n S a S a +==则n S = ▲14．曲线()tan f x x =在点,14π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为 ▲ 15．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系kx by e +=（e 为自然对数的底数，k ，b 为常数)，若该食品在0C 的保鲜时间是384小时，在22℃的保鲜时间是24小时，则该食品在33C 的保鲜时间是 ▲16．已知双曲线C ：()22220,0x y l a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，P 是双曲线在第一象限上的点，直线PO 、PF 2分别交双曲线C 的左、右支于另一点M 、N ．若12||2||,PF PF =且260,N MF ︒=∠则双曲线C 的离心率为 ▲三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
广东省梅州市高三年级总复习(二模)理科数学试卷Word版含答案
梅州市高三总复习质检试卷（2018.5）理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.全集U R =，{}|01A x x =<<，{}2|40B x x x =->，则()U AB =ð（ ）A ．(0,4]B ．[]0,4C ．(0,1)D ．(,4]-∞2.在复平面内，复数z 满足(1)|1|z i +=，则z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.下列函数中，既是偶函数又在(0,1)上单调递增的是（ ）A ．cos y x =B ．y =C ．||2x y =D ．|lg |y x =4.若中心在原点，焦点在y ）A ．y x =±B ．12y x =±C ．y =D ．2y x =±5.公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接正多边形的边数无限增多时，正多边形的面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出n 1.732≈，sin150.258︒≈，sin 7.50.1305︒≈）（ ）A ．12B ．24C ．48D ．966.下列选项中，说法正确的是（ ）A ．若随机变量η满足(1)5E η-=，(1)5D η-=，则()5E η=-，()5D η=B ．向量(2,2)a m =，(,21)b m m =-共线的充要条件是0m =C ．命题“*n N ∀∈，13(2)2n n n ->+⋅”的否定是“0*n N ∃∈，00103(2)2n n n -<+⋅”D ．已知函数()f x 在区间[],a b 上的图象是连续的，则命题“若()()0f a f b ⋅<，则()f x 在区间(,)a b 内至少有一个零点”的逆命题为假命题7.若110a b>>，有下列四个不等式：①33a b <；②21log 3log 3a b ++>；④3322a b ab +>，则下列组合中全部正确的为（ ） A ．①②B ．①③C ．①④D ．②③8.甲、乙两人在同一天上午8时至10时随机到达养老院为老人服务，并且工作1小时后离开，则两人在养老院相遇的概率为（ ） A ．34B ．13C ．78D ．359.四棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．815πB ．8120πC ．1015πD ．10120π10.已知函数2()(2)sin(1)1f x x x x x =--++在[]1,3-上的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=（ ）A ．4B ．2C ．1D ．011.过正方体1111ABCD A BC D -的顶点A 作平面α，使棱AB ，AD ，1AA 所在直线与平面α所成的角都相等，则这样的平面可以作（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个12.已知函数1()(21)cos 2(sin cos )2f x a x x a x x =---+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1(,]3-∞B ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[0,)+∞D ．[1,)+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知角A ，B ，C 成等差数列，75A =︒，b =a 的长为 ．14.记不等式组10,330,10,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩所表示的平面区域为D ，若对任意00(,)x y D ∈，不等式0020x y c -+≤恒成立，则c 的取值范围是 ．15.某校开设10门课程供学生选修，其中A 、B 、C 三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是 ．（用数字作答） 16.已知抛物线C ：22(0)y px p =>，过抛物线焦点F 的弦的中点到准线的最小距离是4，设11(,)A x y ，22(,)B x y 是抛物线C上的两个动点，若12||4)2AB x x =++，则AFB ∠的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.若数列{}n a 的前n 项和22n n S a =-，*n N ∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若221log n n b a -=（*n N ∈），求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．18.某学校共有1500名学生，为调查该校学生每周使用手机上网时间的情况，采用分层抽样的方法，收集100名学生每周上网时间的样本数据（单位：小时）．根据这100个样本数据，得到学生每周上网时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[]0,2，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．（1）估计该校学生每周平均使用手机上网时间（每组数据以组中值为代表）； （2）估计该校学生每周使用手机上网时间超过4个小时的概率；（3）将每周使用手机上网时间在(4,12]内的定义为“长时间使用手机上网”；每周使用手机上网时间在(0,4]内的定义为“不长时间使用手机上网”．在样本数据中，有25名学生不近视．请完成每周使用手机上网的时间与近视程度的22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关”．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．19.如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形，//EF CD ，AD FC ⊥，点M 是棱FC 的中点，平面ADM 与棱FB 交于点N ．（1）求证：MN ⊥平面CDEF ；（2）当CD EA ⊥，2EF ED ==，4CD AD ==时，求直线DM 与平面ABEF 所成角的正弦值．20.已知以1(1,0)F -，2(1,0)F 为焦点的椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点3(1,)2-，点(2,0)D a ．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知不与x 轴平行且过点D 的直线与椭圆C 交于E ，F 两点，椭圆C 的左，右顶点分别为1A ，2A ，试探究直线1A E ，2A F 的交点是否在一条定直线上？若是，证明你的结论，并求出定直线的方程；若不是，说明理由．21.已知函数2()(ln 1)f x ax x x =--（a R ∈）恰有两个极值点1x ，2x ，且12x x <． （1）求实数a 的取值范围；（2）若不等式12ln ln 1x x λλ+>+恒成立，求实数λ的取值范围． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）已知圆C 与x 轴相交于A ，B 两点，直线l ：2y x =关于点(0,)M m 的对称直线为'l ，若'l 上存在点P 使得90APB ∠=︒，求m 的最大值． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1||2|f x x x =+--． （1）求不等式()1f x ≥的解集；（2）若不等式2()f x x x m ≥-+的解集非空，求m 的取值范围．。
2020年广东高三二模理科数学试卷(详解)
2020年广东高三二模理科数学试卷(详解)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.A. B.C.D.【答案】【解析】已知集合，，则（ ）．C ∵集合．集合，∴．故选．2.A.B.C.D.【答案】【解析】已知复数（为虚数单位，），若，则的取值范围为（ ）．A ，∴，又∵，则，∴ ．故选．3.《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测A.尺B.尺C.尺D.尺【答案】【解析】算，这九个节气的所有晷长之和为尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为尺，则立秋的晷长为（ ）．D不妨设夏至到寒露依次为，，，∴数列为为等差数列，由题可知，，∴，∵，则，∴，故立秋的晷长为尺．故选．4.A.B.C.D.【答案】【解析】在中，已知，，且边上的高为，则（ ）．B 在中，面积，∴，由余弦定理可知，，∴，由正弦定理，得．故选．5.A.B.C.D.一个底面半径为的圆锥，其内部有一个底面半径为的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为，则该圆锥的体积为（ ）．【答案】【解析】D作出该几何体的轴截面图如图，，，设内接圆柱的高为，由，得，∵，∴，即，得，∴该圆锥的体积为．故选．6.A. B.C.D.【答案】【解析】已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为（ ）．B根据题意，函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，则在上递减，又由，则，则函数的草图如图：若，则有，解可得，即不等式的解集为，故选．7.A.B.C.D.【答案】【解析】已知双曲线的右焦点为，过点分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为，．若，则该双曲线的离心率为（ ）．D 由得，又∵在四边形中，，且，则四边形为正方形，∴，即，∴双曲线渐近线方程为，∴，即，∴，∴离心率．故选．8.A.B.C. D.【答案】【解析】已知四边形中，，，，，在的延长线上，且，则（ ）．A ABDCE在中，由余弦定理可知，，∴，由可知，，∴，在中，由正弦定理可知，，得，∴．故选．9.A.B.C.D.【答案】【解析】的展开式中，的系数为（ ）．C把的展开式看成个因式的乘积形式，从中任意选个因式，这个因式取，再取个因式，这个因式都取，剩余个因式取，相乘即得含的项；故含项的系数为：．故选：．10.A.B.C.D.【答案】【解析】把函数的图象向右平移个单位长度，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，关于的说法有：①函数的图象关于点对称；②函数的图象的一条对称轴是；③函数在上的最小值为；④函数在上单调递增．则以上说法正确的个数是（ ）．C 把函数的图象向右平移个单位长度，可得的函数图象，由横坐标缩短到原来的可得．①中，∵，，则不是的对称中心，故①错误；②中，当时，，故是的对称轴，故②正确；③中，当时，，，∴，则在内的最小值为，故③正确；④∵函数的周期，又因为正弦函数不会在一个周期内为单调增函数，故④错误；故选．11.A. B. C. D.如图，在矩形中，已知，是的中点，将沿直线翻折成，连接．若当三棱锥的体积取得最大值时，三棱锥外接球的体积为，则（ ）．【答案】【解析】B 在矩形中，已知，是的中点，所以：为等腰直角三角形；斜边上的高为：；要想三棱锥的体积最大；需高最大，则当面时体积最大，此时三棱锥的高等于：，取的中点，过作下底面的垂线，此时三棱锥的外接球球心在上，∵三棱锥外接球的体积为，所以球半径，如图：，①，②即：，③，④联立③④可得．故选．12.A. B.C.D.【答案】【解析】已知函数，若函数有唯一零点，则的取值范围为（ ）．D 因为．令，则，所以当时，，即在上单调递增，又，所以，，当，，所以在上为增函数，在上为减函数，又，所以当，，当，对恒成立，即当时，，且当且仅当，，故当时，有唯一的零点；排除，当时，，令，可得，有无数解，所以，不成立，排除，故选．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.【答案】【解析】若，满足约束条件，则的最大值是 ．由不等式组可画出可行域如图，目标函数可化为，经平移可知直线过点时，在轴截距最大，由，得：，即，∴．故答案为：．14.【答案】【解析】已知，则 ．∵，∴，即，∴．故答案为：．15.【答案】【解析】从正方体的个面的对角线中，任取条组成对，则所成角是的有 对．根据题意，如图，在正方体中，与平面中一条对角线成的直线有，，，，，，，，共条直线，则包含在内的符合题意的对角线有对；又由正方体个面，每个面有条对角线，共有条对角线，则共有对面对角线所成角为，而其中有一半是重复的；则从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为的共有对，故答案为：．16.【答案】【解析】如图，直线过抛物线的焦点且交抛物线于，两点，直线与圆交于，两点，若，设直线的斜率为，则= ．∵，同理可得，∴．设，联立可得，∴，．∴，即，解．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17.（1）（2）（1）【答案】已知数列和满足，且，，设．求数列的通项公式．若是等比数列，且，求数列的前项和．．（2）（1）（2）【解析】．由，得，∴，∵，∴，∴是以为公差的等差数列．又∵，∴．设的公比为，则，∴由（）知，又，∴∴，①，②①②得：∴．．18.为了提高生产效益，某企业引进了一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在以内，规定质量指标值大于的产品为优质品，质量指标值在的产品为合格品．旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示．频率组距质量指标值质量指标值频数（1）（2）（3）（1）（2）（3）【答案】合计请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率．优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高．根据已知图表数据填写下面列联表（单位：件），并判断是否有的把握认为“产品质量高与新设备有关”．非优质品优质品合计新设备产品 旧设备产品合计附：，其中．用频率代替概率，从新设备所生产的产品中随机抽取件产品，其中优质品数为件，求的分布列及数学期望．，．非优质品优质品合计新设备产品旧设备产品合计有的把握认为产品质量高与新设备有关．的分布列为．（1）（2）（3）【解析】估计新设备所生产的产品的优质品率为：，估计旧设备所生产的产品的优质品率为：．非优质品优质品合计新设备产品旧设备产品合计由列联表可得，，∴有的把握认为产品质量高与新设备有关．的所有可能取值为，，，．∵由知新设备所生产的优质品率为，∴，，，．∴的分布列为∴的数学期望为．19.（1）（2）（1）【答案】如图，四棱锥中，四边形是菱形，，．是上一点，且．设．证明：平面．若，，求二面角的余弦值．证明见解析．（2）（1）（2）【解析】．∵四边形是菱形，∴是的中点，，∵，，∴平面，∵平面，∴，∵，是的中点，∴，∵平面，平面，，∴平面．由知平面，．∴，，两两互相垂直，∴以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示，，设四边形的边长为，，∵四边形是菱形，，∴和都是等边三角形，∴，∴，，，，∴，，，∵，∴，∴，即，∴，，设平面的法向量为，则，令，得，，∴，设平面的法向量为，则，令，得，，∴，设二面角的平面角为，结合图象可知，，∴二面角的余弦值为．20.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）【解析】已知椭圆：的焦点为，，是椭圆上一点．若椭圆的离心率为，且，的面积为．求椭圆的方程．已知是坐标原点，向量，过点的直线与椭圆交于，两点．若点满足，，求的最小值．．．依据题意得，所以，所以，（2）因为，故设，代入椭圆方程得，所以的面积为：，联立，解得，，所以椭圆的方程为：．由题意可知直线的斜率显然存在，故设直线的方程为：，联立，消去并整理得，所以，设，，所以，，因为，所以，当时，，当时，，，因为，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，且满足，所以，综上．21.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】已知函数（），其中为自然对数的底数．若函数的极小值为，求的值．若，证明：当时，成立．．证明见解析．函数的定义域为，，当时，对于恒成立，∴在上单调递减，∴在上无极值．当时，令，得．∴当时，，当时，．∴在上单调递减，在上单调递增．∴当时，，∴取得极小值，即．令（），则．∵，∴，∴在上单调递增．又∵，∴．∵，∴，∴，令（），∴．令（），∴，令，得，∴当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增．∴当时，取得极小值．又∵，，∴存在使得．∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．又∵，∴，∴当时，，即．令（），则对于恒成立．∴在上单调递增．∴，即当时，，∴当时，．∴当时，．∴当时，成立．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）【解析】在直角坐标系中，曲线的方程为，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求直线的直角坐标方程．已知是曲线上的一动点，过点作直线交直线于点，且直线与直线的夹角为，若的最大值为，求的值．．．由，（2）得，∴，∵，．∴直线的直角坐标方程为，即．依题意可知曲线的参数方程为：（为参数），设，则点到直线的距离为：，，∵，∴当时，，依题意得，∴的最大值为，即，∵，∴解得．选修4-5：不等式选讲23.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）【解析】已知函数．解不等式：．若，，均为正数，且，证明：．．证明见解析．，当时，，即，解得：；（2）当时，，满足题意；当时，，即，解得：．综上，不等式的解集为．由知，∴，∴，∴，∴，当且仅当时等号成立，∴．。
广东省梅州市2020届高三6月总复习质检(二)数学(理)试题答案(定稿)
由BC
2 3
, 得 SABC
1 2 2
2 sin C sin B
sin
A
……………………8 分
3 sin( 2 B)
3
3 3
1
.
sin B
2 2 tan B
……………………9 分
△ ABC 是锐角三角形,得 0 B ,0 2 B , 得 B . ……………………10 分
23
26
所以 ABM 面积 S 的最大值为 64 ． 25
方法二:
高中学习讲义
……………………12 分
S 32 25
25k 2 4 32 1 4k 2 25
25k 2 4 32 1 4k 2 25
9 4
( 1
1 4k
2
)2
25 4
( 1
1 4k
2
)
,
令0u
1 1 4k 2
1, g(u)
2
tan B 3 , 0 1 3.
3
tan B
……………………11 分
3 2
S ABC
2
3.
只要坚持 梦想终会实现
1
所以△ ABC 面积的取值范围是 ( 3 ,2 3). 2
高中学习讲义
……………………12 分
18.(12 分)
(1)证明: △ PAD 中,因为 B, C 分别是 PA, PD 的中点, PDA 90,
……………………10 分
只要坚持 梦想终会实现
3
01 2 18 2
P 3 15 15
高中学习讲义
……………………11 分
E 0 1 1 8 2 2 4 . 3 15 15 5
2020年广东省梅州市高考数学二模试卷(理科) (含答案解析)
2020年广东省梅州市高考数学二模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数2i1+i的共轭复数是()A. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i2.设集合M={y|y=x2−1,x∈R}，N={x|y=√3−x2,x∈R}，则M∩N等于()A. [−√3,√3]B. [−1,√3]C. {−2,1}D. {(−√2,1),(√2,1)}3.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EC⃗⃗⃗⃗⃗ =()A. −14AB⃗⃗⃗⃗⃗ −34AC⃗⃗⃗⃗⃗ B. 14AB⃗⃗⃗⃗⃗ −34AC⃗⃗⃗⃗⃗ C. 14AB⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC⃗⃗⃗⃗⃗ D. −14AB⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC⃗⃗⃗⃗⃗4.已知命题p：∀x∈R，x2−x+14≤0，命题q：∃x∈R，sinx+cosx=√2，则下列判断正确的是()A. p是真命题B. q是假命题C. ￢p是假命题D. ￢q是假命题5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A. 62%B. 56%C. 46%D. 42%6.(x−1x−1)4的展开式中，常数项为()A. −12B. −5C. −11D. 197.公差不为零的等差数列{a n}中，2a3−a 72+2a11=0，数列{b n}是等比数列，且b7=a7，则b6b8=()A. 2B. 4C. 8D. 168.若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的侧面积等于()A. 12πcm2B. 15πcm2C. 24πcm2D. 30πcm29.若1a <1b<0,则下列不等式：(1)a+b<a⋅b；(2)|a|>|b|；(3)a<b中，正确的不等式有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个10. 已知抛物线方程为y 2=4x ，直线l 的方程为x −y +4=0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，点P 到直线l 的距离为d 2，则d 1+d 2的最小值为( )A. 5√22B. 5√22+1C. 5√22−2D. 5√22−111. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等.”现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图②、图③、图④分别是圆锥、圆台、半球，则满足祖暅原理的两个几何体为( )A. ①②B. ①③C. ②④D. ①④12. 已知函数f(x)={e x ,x ≤0,lnx,x >0,g(x)=f(x)+x +a.若g(x)存在2个零点，则a 的取值范围是( )A. [–1,0)B. [0,+∞)C. [–1,+∞)D. [1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n =2−a n ，则S 5=______． 14. 曲线f(x)=xsin x 在点(π2,π2)处的切线方程是______ ．15. 某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y =e kx+b (e =2.718…为自然对数的底数，k 、b 为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是 小时． 16. 设F 1，F 2是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，A 是其右支上一点，连接AF 1交双曲线的左支于点B ，若|AB|=|AF 2|，且∠BAF 2=60°，则该双曲线的离心率为 ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且ca+b +sinAsinB+sinC =1；(1)求B ；(2)若b =√2，求a 2+c 2的取值范围．18.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的侧面A1ADD1是正方形．(1)证明：A1D⊥平面ABD1；(2)若AD=2，AB=4，求二面角B1−AD1−C的余弦值．19.某市《城市总体规划(2016−2035年)》提出到2035年实现“15分钟社区生活圈”全覆盖的目标，从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身4个方面构建“15分钟社区生活圈”指标体系，并依据“15分钟社区生活圈”指数高低将小区划分为：优质小区(指数为0.6～1)、良好小区(指数为0.4～0.6)、中等小区(指数为0.2～0.4)以及待改进小区(指数为0～0.2)4个等级．下面是三个小区4个方面指标的调查数据：注：每个小区“15分钟社区生活圈”指数T =w 1T 1+w 2T 2+w 3T 3+w 4T 4，其中w 1、w 2、w 3、w 4为该小区四个方面的权重，T 1、T 2、T 3、T 4为该小区四个方面的指标值(小区每一个方面的指标值为0～1之间的一个数值)．现有100个小区的“15分钟社区生活圈”指数数据，整理得到如下频数分布表：(Ⅰ)分别判断A 、B 、C 三个小区是否是优质小区，并说明理由；(Ⅱ)对这100个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样，抽取10个小区进行调查，若在抽取的10个小区中再随机地选取2个小区做深入调查，记这2个小区中为优质小区的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．20. 已知两动圆F 1：(x +√3)2+y 2=r 2和F 2：(x −√3)2+y 2=(4−r)2(0<r <4)，把它们的公共点的轨迹记为曲线C ，若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点A 、B 满足：MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0． (1)求曲线C 的方程；(2)证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标； (3)求△ABM 面积S 的最大值．21.已知函数f(x)=ax2+(a−2)x−lnx．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．22.以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为{x=5−√32ty=−√3+12t(t为参数)，圆C的极坐标方程为ρ=4cos(θ−π3)(1)求直线l和圆C的直角坐标方程；(2)若点P(x,y)在圆C上，求√3x−y的取值范围．23.设函数f(x)=|x+3|+|x−a|−10．(1)当a=1时，求不等式f(x)>0的解集；(2)如果对任意的x，不等式f(x)>0恒成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：2i1+i =2i(1−i)(1−i)(1+i)=1+i ， 其共轭复数为1−i ． 故选：C ．直接由复数代数形式的乘除运算化简复数2i1+i ，则其共轭复数可求． 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.答案：B解析：本题考查集合的交集的求法，属于基础题． 求出集合M ，集合N ，然后求解M ∩N 即可． 解：集合M ={y|y =x 2−1,x ∈R}={y|y ≥−1}， N ={x|y =√3−x 2,x ∈R}={x|−√3≤x ≤√3}， 所以M ∩N ={x|−1≤x ≤√3}， 故选B ．3.答案：D解析：本题考查向量的几何意义，属于一般题．运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量． 解：在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=34AC⃗⃗⃗⃗⃗ −14AB⃗⃗⃗⃗⃗ ．故选D．4.答案：D解析：解：∵x2−x+14=(x−12)2≥0，∴命题p：∀x∈R，x2−x+14≤0是假命题，∵sinx+cosx=√2sin(x+π4)，当x+π4=2kπ+π2,k∈Z时，sinx+cosx=√2，∴命题q：∃x∈R，sinx+cosx=√2是真命题．∴￢q是假命题．故选：D．由已知条件得命题p：∀x∈R，x2−x+14≤0是假命题，命题q：∃x∈R，sinx+cosx=√2是真命题．本题考查命题的真假判断，是基础题，解题时要认真审题，注意三角函数的合理运用．5.答案：C解析：本题考查了积事件的概率公式，属于基础题．由题意，记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A·B，从而求出P(A·B)即可．解：记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A·B，则P(A)=0.6，P(B)=0.82，P(A+B)=0.96，所以P(A·B)=P(A)+P(B)−P(A+B)=0.6+0.82−0.96=0.46，所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%．。
2020年广东省梅州市高考数学质检试卷2(5月份)(一模) (含答案解析)
2020年广东省梅州市高考数学质检试卷2（5月份）（一模）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x>−2}，B={x|x≤1}，则A∩B=()A. {x|x>−2}B. {x|−2<x≤1}C. {x|x≤−2}D. {x|x≤1}=4−3i，|z|=()2.已知复数z满足z⋅i3+4iA. 3B. 4C. 5D. 25(x>0)()3.函数f(x)=lnxxA. 在(0,+∞)上是减函数B. 在(0,+∞)上是减函数C. 在(0,e)上是增函数，在(e,+∞)上是减函数D. 在(0,e)上是减函数，在(e,+∞)上是增函数4.函数f(x)=e x−e−x的图象大致为()x2A. B.C. D.5.已知扇形OAB的面积为1，周长为4，则弦AB的长度为()C. 2sin1D. sin2A. 2B. 2sin16.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，正面向上的次数为X，则()A. X～B(5,1)B. X～B(0.5,5)C. X～B(2,0.5)D. X～B(5,0.5)7.已知向量a⃗=(x,−1)，b⃗ =(1,√3)，若a⃗⊥b⃗ ，则|a⃗|=()A. √2B. √3C. 2D. 48.执行如图所示的程序框图，程序所输出的结果是()A. 4B. 10C. 46D. 229.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=18−a7，S8=()A. 18B. 36C. 54D. 7210.已知抛物线y2=8x的焦点与椭圆x2a2+y2=1的一个焦点重合，则该椭圆的离心率为()A. √55B. 12C. 2√33D. 2√5511.若函数f(x)是偶函数，在[0,+∞)上是增函数，且f(−3)=0，则不等式f(x)<0的解集为()A. (−∞,−3)B. [0,3)C. (−3,3)D. (−3,0]12.如图，圆锥的底面直径AB=2，母线长VA=3，点C在母线VB上，且VC=1，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A到点C，则这只蚂蚁爬行的最短距离是()A. √13B. √7C. 4√33D. 3√32二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知f(x)=xln(x−1)，则曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程是____．14.设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S1，S3，S2成等差数列，则{a n}的公比q等于________．15.某项测试有6道试题，小明答对每道试题的概率都是13，则小明参加测试(做完全部题目)刚好答对2道试题的概率为______ ．16.设直线l与椭圆x216+y28=1相交于A，B两点，与圆(x−1)2+y2=r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是____________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且√3acosC=(2b−√3c)cosA，求角A的大小；18.如图，在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，平面APD⊥平面ABCD，PA=PD，E在AD上，且AB=BC=CD=DE=EA=2．(1)求证：平面PEC⊥平面PBD；(2)设直线PB与平面PEC所成的角为π，求平面APB与平面PEC所成的锐二面角的余弦值．6)，焦点F1(−√3,0)，F2(√3,0)，圆O的直19.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点(√3,12径为F1F2．(1)求椭圆C及圆O的方程；(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.直线l与椭圆C交于A，B两点，求△AOB的面积S的范围．20. 已知函数f(x)=lnx −ax(1)当a =−1时，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)在[1,e]上的最小值为32，求a 的值；(3)若f(x)<x 2在x ∈(1,+∞)上恒成立，求a 的取值范围．21. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，若12≤a n+1a n≤2(n ∈N ∗)，则称{a n }是“紧密数列”；(1)若a 1=1，a 2=32，a 3=x ，a 4=4，求x 的取值范围；(2)若{a n }为等差数列，首项a 1，公差d ，且0<d ≤a 1，判断{a n }是否为“紧密数列”； (3)设数列{a n }是公比为q 的等比数列，若数列{a n }与{S n }都是“紧密数列”，求q 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数).在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中，曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ的焦点F的极坐标为(1,π2)．(Ⅰ)求常数λ的值；(Ⅱ)设l与C交于A、B两点，且|AF|=3|FB|，求α的大小．23.已知a，b，c为正实数，且a+b+c=3，证明：c2a +a2b+b2c≥3．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={x|x>−2}，B={x|x≤1}，∴A∩B={x|−2<x≤1}．故选B．2.答案：D解析：【分析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题，把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】，解：由z=(4−3i)(3+4i)i=7−24i，∴z=24+7ii∴|z|=25，故选D．3.答案：C解析：【分析】本题考查利用导数研究函数单调性．先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间．【解答】解：f′(x)=1−lnx，(x>0)，x2令f′(x)>0，解得：0<x<e，令f′(x)<0，解得：x>e，∴函数f(x)在(0,e)递增，在(e,+∞)递减，故选：C．4.答案：B解析：【分析】本题考查函数图象的作法，属于中档题．根据函数的奇偶性以及对称性、单调性即可得结果．【解答】解：因为f(x)=e x−e−xx2，则f(−x)=e−x−e xx2=−f(x)，f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，所以f(x)为奇函数，图像关于原点对称，所以排除A答案；f(1)=e−1e>0，所以排除D;当x→+∞时，由于e x−e−x指数增长速度比x2要快，故而f(x)→+∞，排除C．故选B．5.答案：C解析：【分析】本题考查了弧长公式，扇形面积公式，圆心角公式，属于基础题．设圆的半径为r，弧长为l，则可得{12lr=1l+2r=4，再求扇形的圆心角，即可求弦AB的长．【解答】解：设圆的半径为r，弧长为l，则{12lr=1l+2r=4,∴l=2，r=1，∴圆心角为lr=2，过点O作OH⊥AB于H，则∠AOH=1(弧度)，，∴AB=2sin1．故选C．6.答案：D解析：【分析】本题考查了二项分布的概念，是基础题．利用二项分布的概念解题即可．【解答】解：将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，正面向上的次数为X，每次正面向上的概率都是0.5，∴X～B(5,0.5)．故选D．7.答案：C解析：解：根据题意，向量a⃗=(x,−1)，b⃗ =(1,√3)，若a⃗⊥b⃗ ，则有a⃗⋅b⃗ =x−√3=0，解可得x=√3，则a⃗=(√3,−1)，故|a⃗|=√3+1=2；故选：C．根据题意，由a⃗⊥b⃗ ，则有a⃗⋅b⃗ =x−√3=0，解可得x的值，即可得向量a⃗的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案．本题考查向量的坐标运算，关键是掌握向量垂直与向量的数量积之间的关系．8.答案：D解析：解：模拟程序的运行，可得i=1，s=1执行循环体，i=2，s=4不满足条件i>3，执行循环体，i=3，s=10不满足条件i>3，执行循环体，i=4，s=22此时，满足条件i>3，退出循环，输出s的值为22．故选：D．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.答案：D解析：解：由等差数列{a n}的性质可得：a1+a8=a2+a7．∴S8=8(a1+a8)2=4×18=72．故选：D．由等差数列{a n}的性质可得：a1+a8=a2+a7.再利用前n项和公式即可得出．本题考查了等差数列的性质、前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.答案：D解析：【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为(2,0)；故c=2，b=1，a=√5；故e=ca =2√55；故该椭圆的离心率为2√55；故选D．【分析】由题意，抛物线y2=8x的焦点为(2,0)，从而求离心率．本题考查了抛物线的定义及椭圆的定义，属于基础题．11.答案：C解析：不等式f(x)<0可变形为f(x)<f(−3)，函数f(x)是偶函数，有f(−x)=f(x)，即f(x)=f(|x|)，因此不等式f(x)<f(−3)又可变形为：f(|x|)<f(|−3|)=f(3)，又因为函数f(x)在[0,+∞)上是增函数，所以有|x|<3，即−3<x<3.故选C．12.答案：B解析：【分析】本题考查平面展开−最短路径问题，属于基础题．要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．【解答】解：由题意知，底面圆的直径为2，故底面周长等于2π，设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为α，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，2π=3α，，解得：α=2π3∴∠AVA’=2π，3，则∠1=π3过C作CF⊥VA，∵VC=1，，，∴FV=1，2∴CF2=CV2−VF2=3，4∵AV=3，FV=1，2∴AF=5，2在Rt△AFC中，利用勾股定理得：AC2=AF2+FC2=7，则AC=√7．故选B．13.答案：y=2x−4解析： 【分析】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线的方程的运用，考查运算能力，属于基础题． 求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线的方程． 【解答】解：f(x)=xln(x −1)的导数为f′(x)=ln(x −1)+xx−1，可得曲线y =f(x)在点(2,f(2))处的切线的斜率为k =ln1+2=2， 切点为(2,0)，则切线的方程为y −0=2(x −2)， 即为y =2x −4． 故答案为：y =2x −4．14.答案：−12解析： 【分析】本题考查等差数列中项的性质和等比数列的通项公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 由等差数列的中项性质可得2S 3=S 1+S 2，再由等比数列的通项公式解方程可得q ． 【解答】解：S 1，S 3，S 2成等差数列，可得2S 3=S 1+S 2， 即为2(a 1+a 2+a 3)=a 1+a 1+a 2，即有2a 1(1+q +q 2)=a 1(2+q)，化为2q 2+q =0， 解得q =−12(q =0舍去)． 故答案为−12．15.答案：240729解析：解：要求事件的概率为C 62⋅(13)2⋅(23)4=240729， 故答案为：240729．由条件利用n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，求得要求事件的概率．本题考查相互独立事件的概率乘法公式及n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，属于基础题．16.答案：(1,√7)解析：解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(x0,y0)，可得x1216+y128=1，x2216+y228=1，两式相减，(x1−x2)(x1+x2)16+(y1−y2)(y1+y2)8=0，整理得−2(y1+y2)(y1−y2)=(x1−x2)(x1+x2)，由x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，当l的斜率存在时，设为k，k=y1−y2x1−x2，可得2ky0=−x0，圆(x−1)2+y2=r2(r>0)的圆心为(1,0)，半径为r，因为直线与圆相切，所以y0x0−1=−1k，即ky0=1−x0，所以x0=2，即M的轨迹是直线x=2．将x=2代入椭圆方程，得y2=8(1−416)=6，∴−√6<y0<√6，∵M在圆上，∴(x0−1)2+y02=r2，∴r2=y02+1≤7，∵直线l恰有4条，∴y0≠0，∴1<r2<7，故1<r<√7时，直线l有2条；当直线l的斜率不存在时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，1<r<√7，故答案为：(1,√7).设A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(x0,y0)，运用点差法，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，以及直线和圆相切的条件，确定M的轨迹是直线x=2，代入椭圆方程，得y2=6，讨论直线l的斜率是否存在，即可得出结论．本题考查直线与椭圆的位置关系，以及直线和圆的相切的条件，注意运用点差法，以及直线的斜率公式和中点坐标公式，考查分类讨论思想和运算能力，属于中档题．17.答案：【解答】解：由正弦定理可得，√3sinAcosC=2sinBcosA−√3sinCcosA，从而可得√3sin (A +C )=2sinBcosA ，√3sinB =2sinBcosA ， 又B 为三角形的内角，所以sinB ≠0，于是cosA =√32，又A 为三角形的内角，因此，A =π6．解析：本题主要考查正弦定理，三角恒等变换，熟练掌握公式是解此题的关键． 根据已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式化简， 根据sinB ≠0即可求出cos A 的值，进而可求得角A 的大小．18.答案：(1)证明：连接BE ，在△PAD 中，PA =PD ，AE =ED ，∴PE ⊥AD.又平面APD ⊥平面ABCD ，平面APD ∩平面ABCD =AD ， ∴PE ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，故PE ⊥BD ， 在四边形ABCD 中，BC//DE ，且BC =DE ， ∴四边形BCDE 为平行四边形，又BC =CD ，∴四边形BCDE 为菱形，故BD ⊥CE ，又PE ∩EC =E ， ∴BD ⊥平面PEC ，又BD ⊂平面PBD ， ∴平面PEC ⊥平面PBD ．(2)解：取BC 的中点F ，连接EF ； 由(1)可知，△BCE 是一个正三角形， ∴EF ⊥BC ，又BC//AD ，∴EF ⊥AD ，又PE ⊥平面ABCD ，故以E 为坐标原点，分别以直线EF 、直线ED 、直线EP 为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设PE =t(t >0)，则D(0,2，0)，A(0,−2,0)，P(0,0，t)， F(√3,0，0)，B(√3,−1,0)， ∵BD ⊥平面PEC ，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,3，0)是平面PEC 的一个法向量，又PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,−1,−t)， ∴cos 〈PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉= PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4+t 2×2√3=√3√4+t 2，由已知可得sin π6=|cos 〈PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|=√32，得t =2√2(负值舍去)，故P(0,0，2√2)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,−1,−2√2)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1，0)，设平面APB 的法向量为n =(x,y ，z)，则由{n ·PB ⇀=0n ·AB ⇀=0可得{√3x −y −2√2z =0,√3x +y =0,取y =−√6，则x =√2，z =√3，故n =(√2,−√6,√3)为平面APB 的一个法向量， ∴cos 〈BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n 〉= BD ⇀·n|BD ⇀|·|n|=√62√3×√11=−2√2211，设平面APB 与平面PEC 所成的锐二面角为θ，则cos θ=|cos 〈BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n 〉|=2√2211．解析：本题考查了面面垂直的判定以及二面角的求解，属难题．(1)连接BE ，在△PAD 中，PA =PD ，AE =ED ，∴PE ⊥AD.又平面APD ⊥平面ABCD ，平面APD ∩平面ABCD =AD ，∴PE ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，故PE ⊥BD ，进而求得答案．(2)由(1)可知，△BCE 是一个正三角形，∴EF ⊥BC ，又BC//AD ，∴EF ⊥AD ，又PE ⊥平面ABCD ，故以E 为坐标原点，进而求得答案．19.答案：解：(1)因为点F 1(−√3,0)，F 2(√3,0)，圆O 的直径为F 1F 2，所以圆O 的圆心为坐标原点，半径为r =√3， 故圆O 方程为x 2+y 2=3．因为椭圆C 过点(√3,12)，设为P(√3,12)， 因为|PF 1|=72，|PF 2|=12，所以2a =|PF 1|+|PF 2|=72+12=4>2√3，即a =2， 又c =√3，故b =1． 因为椭圆焦点在x 轴上， 所以椭圆C 方程为x 24+y 2=1．(2)因为直线l 与圆O 相切，且切点在第一象限，所以直线l 的斜率k 存在且小于0， 设直线l 的方程为y =kx +m(k <0,m >0)， 圆心O 到直线的距离d =√k 2+1=r =√3， 化简得m 2=3k 2+3． 联立直线y =kx +m 与椭圆x 24+y 2=1，得：(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−4=0， 当Δ=16(4k 2+1−m 2)>0时，则4k 2+1−(3k 2+3)>0，解得k <−√2， 所以x 1+x 2=−8km4k 2+1，x 1x 2=4m 2−44k 2+1，所以AB =√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=√(1+k 2)⋅16(4k 2+1−m 2)(4k 2+1)2=4√(1+k 2)(k 2−2)4k 2+1所以S △AOB =12AB ⋅d =2√(1+k 2)(k2−2)4k +1⋅√3=2√3⋅√(1+k 2)(k 2−2)4k 2+1平方得S 2=12(1+k 2)(k 2−2)(4k 2+1)2，设x =14k 2+1，则k 2=14(1x −1)，0<x <19， 所以S 2=12x 2⋅[1+14(1x −1)][14(1x −1)−2] =34(1−6x −27x 2)=−814(x +19)2+1，故S 2∈(0,34)，即S ∈(0,√32)．所以△AOB 的面积S 取值范围是(0,√32)．解析：本题考查直线、椭圆与圆的结合问题，考查了圆锥曲线中的范围问题，涉及直线与圆相切，圆心到切线的距离，以及三角形的面积公式，属于较难题．(1)根据焦点得出c ，进而可得圆的半径以及圆的标准方程；根据椭圆过定点和椭圆的定义得椭圆的标准方程；(2)根据题意可知直线的斜率存在且小于0，设直线的斜截式方程y =kx +m(k <0,m >0)，根据直线与圆相切的位置关系可得m 与k 的关系；联立直线与椭圆方程，利用根的判别式得到k 的范围，利用韦达定理和弦长公式求得AB 的长，即可得S △AOB =12AB ⋅d ，化简整理，利用二次函数即可求得S 的范围．20.答案：解：(1)当a =−1时，f(x)=lnx +1x ，f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=x−1x 2，则当x ∈(0,1)时，f′(x)<0，x ∈(1,+∞)时，f′(x)>0， 即有f(x)的增区间为(1,+∞)，减区间为(0,1)； (2)由题可知f′(x)=x+a x 2，①若a ≥−1，则x +a ≥0，f(x)在[1,e]上为增函数， [f(x)]min =f(1)=−a =32，即为a =−32(舍去)；②若a ≤−e ，则x +a ≤0，f(x)在[1,e]上为减函数， [f(x)]min =f(e)=1−ae =32，a =−e2(舍去)； ③若−e <a <−1，令f′(x)=0，解得x =−a ， 当1<x <−a 时，f′(x)<0，f(x)在(1,−a)上为减函数； 当−a <x <e 时，f′(x)>0，f(x)在(−a,e)上为增函数． 即有[f(x)]min =f(−a)=ln(−a)+1=32，解得a =−√e ， 综上所述，a =−√e ；(3)f(x)<x 2，即lnx −ax <x 2， 又x >0，a >xlnx −x 3，令g(x)=xlnx −x 3，ℎ(x)=g′(x)=1+lnx −3x 2， ℎ′(x)=1x −6x =1−6x 2x，由x ∈(1,+∞)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(1,+∞)上是减函数， 则ℎ(x)<ℎ(1)=−2<0，即g′(x)<0， g(x)在(1,+∞)上递减，即有g(x)<g(1)=−1， 当a ≥−1时，f(x)<x 2在(1,+∞)上恒成立．解析：本题考查导数的运用：求单调区间、极值和最值，主要考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，运用参数分离和函数的单调性是解题的关键．(1)求出当a =−1时的f(x)解析式和导数，求得单调区间，注意函数的定义域；(2)求出导数，对a 讨论，①若a ≥−1，②若a ≤−e ，③若−e <a <−1，通过单调性求得最小值，解方程可得a 的值；(3)运用参数分离，可得a >xlnx −x 3，令g(x)=xlnx −x 3，求得g(x)的值域，即可得到a 的范围．21.答案：解：(1)由题意，12≤x32≤2且12≤4x≤2，∴2≤x ≤3，∴x 的取值范围是[2,3]；(2)由题意，a n =a 1+(n −1)d ，∴a n+1a n=a 1+nd a1+(n−1)d=1+1a 1d+n−1>1≥12， a n+1a n随着n 的增大而减小，所以当n =1时，a n+1a n取得最大值，∴a n+1a n≤2，∴{a n }是“紧密数列”；(3)由题意得，等比数列{a n }的公比q 当q ≠1时，所以a n =a 1qn−1，S n =a 1(1−q n )1−q，S n+1S n=1−q n+11−q n，因为数列{a n }与{S n }都是“紧密数列”，所以12≤q ≤2，12≤1−q n+11−q n≤2，解得12≤q ≤1，当q =1时，a n =a 1，S n =na 1，则a n+1a n=1，S n+1S n=1+1n ∈(1,32]，符合题意，∴q 的取值范围是[12,1]．解析：(1)由题意，12≤x32≤2且12≤4x ≤2，即可求出x 的取值范围；(2)由题意，a n =a 1+(n −1)d ，a n+1a n=a 1+nda1+(n−1)d=1+1a 1d+n−1>1≥12，根据“紧密数列”的定义即可证明结论；(3)先设公比是q 并判断出q ≠1，由等比数列的通项公式、前n 项和公式化简a n+1a n，S n+1S n，根据“紧密数列”的定义列出不等式组，再求出公比q 的取值范围．本题是新定义题，考查数列的a n 与S n 的关系式，等比数列的通项公式、前n 项和公式，解题的关键是正确理解新定义并会应用．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ，转换为：2ρ2cos 2θ=λρsinθ， 即：x 2=λ2y ，由于：曲线C 的焦点F 的极坐标为(1,π2)． 即：F(0,1)， 所以：λ8=1， 故：λ=8．(Ⅱ)把倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数)代入x 2=4y ． 得到：cos 2αt 2−4sinαt −4=0． 所以：t 1+t 2=4sinαcos 2α，t 1⋅t 2=−4cos 2α<0， 且|AF|=3|FB|， 故：t 1=6sinαcos 2α，t 2=−2sinαcos 2α，整理得−12sin 2αcos 4α=−4cos 2α，解得：tanα=±√33， 由于：0<α≤π， 故：α=π6或5π6．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用一元二次方程关系式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．23.答案：证：因为a ，b ，c 为正实数，所以由基本不等式，得c 2a +a ≥2c ，a 2b +b ≥2a ，b 2c +c ≥2b ，当且仅当a =b =c =1时取等号三式相加，得：c 2a +a 2b +b 2c≥a +b +c ．又a +b +c =3， 所以c 2a+a 2b+b 2c ≥3．解析：由基本不等式，得c2a +a≥2c，a2b+b≥2a，b2c+c≥2b，相加即可证明．本题考查了不等式的证明，关键是掌握基本不等式成立的条件，一正二定三相等，属于中档题。
2020年广东省梅州市高考数学二模试卷(二)(有答案解析)
A. -2-3i
B. 2-3i
C. 2+3i
D. -2+3i
3. 设角 α 的终边过点（2，3），则 tan（α- ）=（ ）
A.
B. -
C. 5
D. -5
4. 中国诗词大会的播出引发了全民的读书热,某小学语文 老师在班里开展了一次诗词默写比赛,班里 40 名学生得 分数据的茎叶图如图所示 若规定得分不小于 85 分的学 生得到“诗词达人”的称号,小于 85 分且不小于 70 分的 学生得到“诗词能手”的称号,其他学生得到“诗词爱 好者”的称号,根据该次比赛的成就按照称号的不同进 行分层抽样抽选 10 名学生,则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为( )
（iii）若随机变量 Z 服从正态分布 N（μ，σ2），则 P（μ-σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P （μ-2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974．
20. 已知过定点 N（1，0）的动圆 P 与圆 M：（x+1）2+y2=8 相内切． （1）求动圆圆心 P 的轨迹方程； （2）设动圆圆心 P 的轨迹为曲线 C，A，B 是曲线 C 上的两点，线段 AB 的垂直平
2016
2017
2018
年份编号 t
1
2
3
4
5
参与人数 y（百万
人）
0.5
0.6
1
1.4
1.7
（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模拟拟合参与人数 y（百万人）与
年份编号 t 之间的相关关系．请用最小二乘法求 y 关于 t 的线性回归方程： = t+ ，
并预测 2019 年双十一参与该商品促销活动的人数； （2）该购物平台调研部门对 2000 位拟参与 2019 年双十一该商品促销活动人员的 报价价格进行了一个抽样调查，得到如下的一份频数表：
广东省梅州市中学2020年高三数学理测试题含解析
广东省梅州市中学2020年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在平面直角坐标系xOy中，设.若不等式组，所表示平面区域的边界为三角形，则a的取值范围为（）A.(1,+∞)B.(0,1)C.(－∞,0)D. (－∞,1)∪(1,+∞)参考答案：A化简，得到，即表示直线的上面部分；化简，得到，即表示直线的上面部分。
又因为两直线交于(0,1)点，且与所包围区域为三角形，所以2. 若，则( ) A．B．C． D．参考答案：B3. 若两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别是S n和T n，已知，则=（）A．7 B．C．D．参考答案：D【考点】等差数列的性质．【分析】由已知，根据等差数列的性质，把转化为求解．【解答】解：．故选：D．4. 在中，若b=2，A=120°，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为A. B.2 C. D.4参考答案：B略5. 已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A∩B=（）A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}参考答案：A【考点】1E：交集及其运算．【分析】解一元二次不等式，求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：B={x|﹣2＜x＜1}，A={﹣2，﹣1，0，1，2}；∴A∩B={﹣1，0}．故选：A．6. 定义在R上的函数可导，且图像连续，当时的零点的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B7. 已知集合= （）A．B．C．D．{—2，0}参考答案：C略8. 如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）A．8πB．12πC．16πD．48π参考答案：B9. “等式sin（α+γ）=sin2β成立”是“α、β、γ成等差数列”的( )A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件参考答案：A考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：由正弦函数的图象及周期性：当sinα=sinβ时，α=β+2kπ或α+β=π+2kπ，k∈Z，而不是α=β．解答：解：若等式sin（α+γ）=sin2β成立，则α+γ=kπ+（﹣1）k?2β，此时α、β、γ不一定成等差数列，若α、β、γ成等差数列，则2β=α+γ，等式sin（α+γ）=sin2β成立，所以“等式sin（α+γ）=sin2β成立”是“α、β、γ成等差数列”的．必要而不充分条件．点评：本题考查充要条件的判断和三角函数的有关知识，属基本题．10. 设是等差数列，下列结论中正确的是（）．A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则参考答案：D项．∵，∴，的正负无法判断，正负无法判断，错误，项错误，∵，∴，正负无法判断，项错误，，项正确，∵，∴，．∴．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若等比数列满足，，则的前n项和________. 参考答案：略12. 若函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图所示，则ω=．参考答案：3【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数y=sin （ωx+φ）的部分图象求出周期T ，从而求出ω的值． 【解答】解：由函数y=sin （ωx+φ）（ω＞0）的部分图象知， =（x 0+）﹣x 0=，∴T=，即=，解得ω=3． 故答案为：3．【点评】本题主要考查了y=Asin （ωx+?）的图象与性质的应用问题，是基础题．13. 已知函数与的图象上存在关于y 轴对称的点，则a的前取值范围是参考答案：（0,）14. 在直角坐标系中,曲线的参数方程为（t 为参数），在极坐标系 （与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点,以轴正半轴为极轴）中，曲线的极坐标方程为,则与的两个交点之间的距离等于 .15. 设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的标准方程为 。
广东省梅州市高三数学总复习检测试题(二)理(梅州二模)新人教A版
一、选择题（40分）1、已知集合A＝{3，2a}，集合B＝{3，b，1－a}，A B＝{1}，则A B＝A、{0，1，3}B、{1，2，4}C、{0，1，2，3}D、{0，1，2，3,4}2、复数11zi=-（i为虚数单位）的共轭复数z是A、1－iB、1＋iC、1122i+D、1122i-3、为了研究一片大约一万株树木的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm），根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图，那么在这片树木中底部周长大于100cm的株树大约中A、3000B、6000C、7000D、80004、已知a＝（－3,2），b＝（－1,1），向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为A、－17B、17C、－16D、165、下列曲线中，离心率为6的是A、22124x y-=B、22142x y-=C、22146x y-=D、22164x y-=6、函数f（x）＝x｜x＋a｜＋b是奇函数的充要条件是A、a·b＝0B、a＋b＝0C、a2＋b2＝0D、a＝b7、一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球表面积为A、29πB、30πC、29 2πD、216π8、若m是一个给定的正整数，如果两个整数a、b用m除所得的余数相同，则称a与b对m校同余，记作例如：，则r可能为A、5B、4C、3D、2二、填空题（30分）（一）必做题（9－13题）9、函数12log 2x y =+的定义域是＿＿＿＿＿10、右边是一个算法的程序框图，当输入的值x 为5时，则其输出的结果是＿＿＿＿11、已知x ，y 满足2420x x y x y c ≥⎧⎪+≤⎨⎪-++≥⎩，且目标函数z ＝3x ＋y 的最小值为5，则c 的值为＿＿＿＿12、不等｜x ＋3｜－｜x －1｜≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为＿＿＿＿13、已知，则由函数f （x ）的图像与x 轴、直线x ＝e 所围成的封闭图形的面积为＿＿＿＿（二）选做题（14、15题）14、（坐标与参数方程选做题）在极坐标中，已知点P 为方程(cos sin )1ρθθ+=所表示的曲线上上一动点(2,)3Q π，则｜PQ ｜的最小值为＿＿＿15、（几何证明选讲选做题）如图，PA 切圆O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA 绕点O 逆时针旋转60°到OD ，则PD 的长为＿＿＿＿三、解答题（80分）16、（本小题满分12分）已知函数2()2cos 23sin cos f x x x x =+。
2020年广东省梅州市高考数学二模试卷(理科)(含答案解析)
2020年广东省梅州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数的共轭复数是A. B. C. D.2.已知集合，，则A. B. C. D.3.在中，是AD的中点，则A. B. C. D.4.以下四个命题：若为假命题，则p，q均为假命题；对于命题p：，，则为：，；“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件；为偶函数的充要条件是．其中真命题的个数是A. 1B. 2C. 3D. 45.2021年起，我省将实行“”高考模式，某中学为了解本校学生的选考情况，随机调查了100位学生，其中选考化学或生物的学生共有70位，选考化学的学生共有40位，选考化学且选考生物的学生共有20位．若该校共有1500位学生，则该校选考生物的学生人数的估计值为A. 300B. 450C. 600D. 7506.展开式的常数项为A. 120B. 160C. 200D. 2407.公差不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则A. 2B. 4C. 8D. 168.某几何体的三视图如图所示，已知其主视图的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为A.B.C.D. 不存在9.若，有下列四个不等式：；；；．则下列组合中全部正确的为A. B. C. D.10.已知直线：和直线：，抛物线上的点P到直线和直线的距离之和的最小值是A. B. 2 C. D.11.祖暅是南北朝时代的伟大数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图、图、图分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为A. B. C. D.12.在直角坐标系xOy中，如果相异两点，都在函数的图象上，那么称A，B为函数的一对关于原点成中心对称的点对B与B，A为同一对函数图象上关于原点成中心对称的点对有A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列的前n项和为，，，则______．14.曲线在点处的切线方程为______．15.某食品的保鲜时间单位：小时与储存温度单位：满足函数关系为自然对数的底数，k，b为常数，若该食品在的保鲜时间是384小时，在的保鲜时间是24小时，则该食品在的保鲜时间是______．16.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，分别交双曲线C左、右支于另一点M，N，若，且，则双曲线C的离心率为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知a，b，c分别为说角三个内角A，B，C的对边，满足．求A；若，求面积的取值范围．18.如图中，，，B、C分别是PA、PD的中点，将沿BC折起，连结PA、PD，得到多面体PABCD．证明：在多面体PABCD 中，；在多面体PABCD中，当时，求二面角的余弦值．19.某市城市总体规划年提出到2035年实现“15分钟社区生活圈”全覆盖的目标，从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身4个方面构建“15分钟社区生活圈”指标体系，并依据“15分钟社区生活圈”指数高低将小区划分为：优质小区指数为、良好小区指数为、中等小区指数为以及待改进小区指数为个等4小区A 小区B小区C小区指标值权重教育与文化医疗与养老交通与购物休闲与健身注：每个小区“15分钟社区生活圈”指数，其中，，，为该小区四个方面的权重，，，，为该小区四个方面的指标值小区每一个方面的指标值为之间的一个数值．现有100个小区的“15分钟社区生活圈”指数数据，整理得到如下频数分布表：分组频数1020303010Ⅱ对这100个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样，抽取10个小区进行调查，若在抽取的10个小区中再随机地选取2个小区做深入调查，记这2个小区中为优质小区的个数为，求的分布列及数学期望．20.已知两动圆和，把它们的公共点的轨迹记为曲线C，若曲线C与y轴的正半轴的交点为M，且曲线C上的相异两点A、B满足：．求曲线C的方程；证明直线AB恒经过一定点，并求此定点的坐标；求面积S的最大值．21.已知．当时，求证：；若有三个零点时，求a的范围．22.以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为为参数，圆C的极坐标方程为求直线l和圆C的直角坐标方程；Ⅱ若点在圆C上，求的取值范围．23.已知函数．求不等式的解集；若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：化简可得复数，复数z的共轭复数为：故选：B．化简复数，即可得其共轭复数．本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及共轭复数，属基础题．2.答案：B解析：解：集合，对于，，解得，，则．故选：B．由题意求出集合M与集合N，然后求出．本题考查集合的基本运算，函数的值域与函数的定义域的求法，考查集合的交集的求法．3.答案：D解析：解：在中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，．故选：D．运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量．本题考查向量的加减运算和向量中点表示，考查运算能力，属于基础题．4.答案：A解析：解：若为假命题，则命题p和q为一真一假和全部为假，故p，q均为假命题错误；对于命题p：，，则为：，；故错误．“”是“函数在区间上为增函数；当函数在区间上为增函数，则．故“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件；正确．为偶函数则，故错误．故选：A．直接利用命题的否定的应用，真值表的应用，三角函数关系式的恒等变换，指数函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：命题的否定的应用，真值表的应用，三角函数关系式的恒等变换，指数函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．5.答案：D解析：解：某中学为了解本校学生的选考情况，随机调查了100位学生，其中选考化学或生物的学生共有70位，选考化学的学生共有40位，选考化学且选考生物的学生共有20位．名学生中考生物的学生有：．该校共有1500位学生，则该校选考生物的学生人数的估计值为．故选：D．推导出100名学生中考生物的学生有：该校共有1500位学生，由此能求出该校选考生物的学生人数的估计值．本题考查该校选考生物的学生人数的估计值，考查等可能事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.答案：B解析：解：，的展开式中的通项公式为，，1，，6，，所以展开式的常数项为160．故选：B．先对进行变形，再利用二项式定理中的展开式的通项公式求得结果．本题主要考查对式子的合理变形及二项式定理中的通项公式的应用，属于基础题．7.答案：D解析：解：由等差数列的性质：得：，或，，，故选：D．由结合性质求得，再求得，由等比数列的性质求得．本题考查学生灵活运用等差数列的性质及等比数列的性质化简求值，是一道基础题．8.答案：D解析：解：由题意可知几何体是圆锥，设底面半径为r，，高为h，则，即，所以圆锥的侧面积为：，当且仅当时，侧面积取得最大值，但是，所以该几何体侧面积的没有最大值．故选：D．判断几何体是圆锥，利用主视图的周长为8，推出圆锥的底面半径与高的关系，然后求解几何体侧面积，推出最大值即可．本题考查三视图的应用，判断几何体的形状，以及几何体的侧面积的最值的求法，是中档题．9.答案：B解析：解：根据，取，，则不成立，故ACD不正确．故选：B．根据，取，，则可排除错误选项．本题考查了不等式的基本性质，取特殊值是解题的关键，属基础题．10.答案：A解析：解：如图所示，过点P作，，垂足分别为N，M．直线是抛物线的准线，．当且仅当三点M，P，F共线时动点P到直线和的距离值和取得最小值．最小值．故选：A．画出图形，过点P作，，垂足分别为N，由于直线是抛物线的准线，可得当且仅当三点M，P，F共线时动点P到直线和的距离值和取得最小值再利用点到直线的距离公式即可得出．本题考查了抛物线的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.答案：D解析：【分析】本题考查满足祖暅原理的两个几何体的判断，是基础题．解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．利用祖暅原理分析题设中的四个图形，能够得到在和中的两个几何体满足祖暅原理．【解答】设截面与底而的距离为h，则中截面内圆半径为h，则截面圆环的面积为中截面圆的半径为，则截面圆的面积为中截面画的半径为，则截面圆的面积为中截面圆的半径为，则截面的面积为，所以中截面的面积相等，故选D12.答案：C解析：解；根据题意，函数，当时，，设的图象与的图象关于原点对称，则，函数与在上交点的个数，就是函数的图象上关于原点成中心对称的点对的个数，作出函数与的图象；如图所示；它们有3个公共点，从而有3对关于原点对称的点；故选：C．根据题意，设的图象与的图象关于原点对称，结合的解析式求出的解析式，分析可得与在上交点的个数，就是函数的图象上关于原点成中心对称的点对的个数，进而作出函数与的图象；结合图象分析可得答案．本题考查函数的零点与方程的关系，注意数形结合思想的应用，属于基础题．13.答案：解析：解：数列的前n项和为，，，，可得，所以，数列是首项为1，公比为：的等比数列，则．故答案为：．利用数列的递推关系式，推出数列是等比数列，然后求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力．14.答案：解析：解：由，得，在点处的切线斜率，在点处的切线方程为．故答案为：．先对求导，然后求出切线的斜率，再求出切线方程即可．本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，属基础题．15.答案：6解析：解：食品的保鲜时间单位：小时与储存温度单位：满足函数关系为自然对数的底数，k，b为常数，若该食品在的保鲜时间是384小时，在的保鲜时间是24小时，可得：，，解得，，所以，该食品在的保鲜时间：小时．故答案为：6．利用已知条件求出函数的解析式，然后代入求解即可．本题考查函数的实际意义，函数的解析式的求法，对数运算法则的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．16.答案：解析：【分析】本题考查双曲线C的离心率，注意运用双曲线的定义和三角形的余弦定理，考查学生的计算能力，属于基础题．由题意，，，可得，，由，可得，由余弦定理可得，即可求出双曲线C的离心率．【解答】解：由题意可画下图：因为，由双曲线的定义可得，，得，，由对角线平分可得四边形为平行四边形，又，得，在三角形中，由余弦定理可得，即有，即，可得，即．故答案为：．17.答案：解：由已知及正弦定理得，，由余弦定理可得，又，可得．由已知及正弦定理得，，由，得，是锐角三角形，得，得，，，．面积的取值范围是．解析：由已知及正弦定理得，由余弦定理可得，结合范围，可求A的值．由已知及正弦定理得，，由，利用三角形的面积公式可求，结合是锐角三角形，可求范围，利用正切函数的图象和性质即可求解其取值范围．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，正切函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．18.答案：证明：中，因为B，C分别是PA，PD的中点，，所以，，分所以多面体PABCD中，，，，分平面分又平面PCD，分依题意可得，，直角中，得，又，所以，，分由知，，平面分以C为坐标原点，分别以CB，CD，CP为x，y，z轴，建立如图的坐标系．分则0，，1，，1，，0，，分得分设平面PAB，PAD的一个法向量分别是，则可取分可取分分所以二面角的余弦值为0．解析：先证明平面PCD，再利用线面垂直的性质即可得证；建立空间直角坐标系，求出平面PAB及平面PAD的法向量，利用向量的夹角公式即可得解．本题考查线面垂直的判定定理及性质定理的运用，考查利用空间向量求解二面角问题，考查运算求解能力及逻辑推理能力，属于中档题．19.答案：解：Ⅰ小区指数为：，小区不是优质小区．B 小区指数为：，小区是优质小区．C小区指数为：，小区不是优质小区．Ⅱ对这100个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样，抽取10个小区进行调查，抽到优质小区的个数为：个，抽到良好小区的个数为：个，抽到中等小区的个数为：个，抽到待改进小区的个数为：个，在抽取的10个小区中再随机地选取2个小区做深入调查，记这2个小区中为优质小区的个数为，则的可能取值为0，1，2，，，，的分布列为：01 2P数学期望．解析：Ⅰ分别求出A、B、C三个小区指数，由此能判断A，B，C三个小区是否是优质小区．Ⅱ对这100个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样，抽取10个小区进行调查，抽到优质小区的个数为4个，抽到良好小区的个数为3个，抽到中等小区的个数为2个，抽到待改进小区的个数为1个，在抽取的10个小区中再随机地选取2个小区做深入调查，记这2个小区中为优质小区的个数为，则的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．本题考查优质小区的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查学生的逻辑分析能力、运算求解能力，是中档题．20.答案：解：设两动圆的公共点为Q，则有．由椭圆的定义可知Q的轨迹为椭圆，，所以曲线C的方程是：．证明：由题意可知：，设，，当AB的斜率不存在时，易知满足条件的直线AB为：，过定点；当AB的斜率存在时，设直线AB：，联立方程组：，把代入有：，，，因为，所以有，，把代入整理：，有公因式继续化简得，或舍，综合斜率不存在的情况，直线AB恒过定点面积，由第小题的代入，整理得：，因N在椭圆内部，所以，可设，，，时取到最大值．所以面积S的最大值为．解析：设两动圆的公共点为Q，则有，运用椭圆的定义，即可得到a，c，b，进而得到Q的轨迹方程；，设，，根据直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，根据条件，运用向量的数量积的坐标表示，结合韦达定理和直线恒过定点的求法，即可得到定点；面积，代入韦达定理，化简整理，结合N在椭圆内，运用对勾函数的单调性，即可得到最大值．本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义、方程的运用，同时考查平面向量的数量积的坐标表示和直线恒过定点的求法，以及函数的单调性的运用，属于中档题和易错题．21.答案：解：证明：，令，则，则，导数，即在上单调递减，则，则成立，所以原命题成立．由有三个零点可得有三个零点，，当吋，恒成立，可得至多有一个零点，不符合題意；当时，恒成立，可得至多有一个零点，不符合題意；当时，记，得两个零点为，，不妨没，且，时，；时，；时，，观察可得，且，当时，；单调递增，所以有，即，时，，单调递减，时，，单调递减，由知，，且，所以在上有一个零点，由，且，所以在上有一个零点，综上可知，有三个零点，即，有三个零点，所求a的范围是解析：令，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性即可得到结论．构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，结合函数零点关系分别进行讨论即可．本题主要考查函数零点和方程的应用，构造函数求的导数，研究函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，在求解过程中多次使用构造函数法，有一定的难度．22.答案：解：Ⅰ直线l的参数方程为为参数，消去参数t，得直线l的直角坐标方程为，圆C的极坐标方程为，，，，，圆C的直角坐标方程为．Ⅱ点在圆C上，设，，的取值范围是．解析：Ⅰ直线l的参数方程消去参数t，能求出直线l的直角坐标方程；圆C的极坐标方程转化为，由，，，能求出圆C的直角坐标方程．Ⅱ设，则，由此能求出的取值范围．本题考查直线和圆直角坐标方程的求法，考查代数式的取值范围的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．23.答案：解：由，得，或或，或，不等式的解集为．若不等式对成立，即不等式对成立，即不等式对成立，，，，的取值范围为解析：根据，可得或或，然后解不等式组即可得到解集；不等式对任意恒成立，即不等式对成立，由绝对值三角不等式可得，从而得到，然后解不等式可得a的范围．本题考了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
广东省梅州市2020届高三总复习质检试卷理科数学(2020.06)附答案
梅州市高三总复习质检试卷()2020.6理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的。
1．复数21i z i =-，则其共轭复数z =A ．-1-iB ．-1+iC ．1-iD ．1+i2．已知集合22{|1,},{|2},R M y y x x N x y x ==-==-∈则M N I =A ．B ．[)1,+∞C ．2⎡-⎣D ．)2,⎡+∞⎣3．在ABC ∆中,,D BD DC E A =u u u r u u u r 是的中点，则EB =u u u r21.33A AB AC -u u u r u u u r B ．2133AB AC +uu u r u u u r31.44C AB AC +u u u r u u u r D.3144AB AC -uu u r u u u r4．以下四个命题：①若p q ∧为假命题，则p,q 均为假命题；②对于命题2000:,10,R p x x x ∈∃++<则⌝p 为：2,10;R x x x ++∀∉…；③"2"a =是”函数()log a f x x =在区间()0,+∞上为增函数”的充分不必要条件;④()()sin f x x ϕω=+为偶函数的充要条件是2πϕ=其中真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．45．2021年起，我省将实行“3+1+2”高考模式，某中学为了解本校学生的选考情况，随机调查了100位学生，其中选考化学或生物的学生共有70位，选考化学的学生共有40位，选考化学且选考生物的学生共有20位．若该校共有1500位学生，则该校选考生物的学生人数的估计值为A ．300B ．450C ．600D ．750 6.322144x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式的常数项为 A ．120 B ．160 C ．200 D ．2407．已知在各项均不为零的等差数列72311{}220,n a a a a -+=中，数列{}n b 是等比数列， 且77,b a =则86b b ⋅等于A ．2B ．4C ．8D ．168．某几何体的三视图如图示，已知其主视图的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为A ．2πB ．4πC ．16πD ．不存在9．若110,a b>>有下列四个不等式：()33l a b <；21log 3log 3;a b ++>②< ④3322.a b ab +>则下列组合中全部正确的为。
广东省梅州市2020年高考数学二模试卷(理科)B卷
广东省梅州市2020年高考数学二模试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2017高一上·中山月考) 设，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2018·淮南模拟) 已知（为虚数单位），则复数的虚部为（）A .B . 1C .D . 23. （2分） (2019高二上·湖南期中) 若命题“ ，”是真命题，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高二上·洛阳月考) 平面内有两定点及动点，设命题甲：“ 与的和是定值”，命题乙：“点的轨迹是以为焦点的椭圆”，那么命题甲是命题乙的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分） (2019高二上·烟台期中) “中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（）A . 134B . 135C . 136D . 1376. （2分）(2017·黑龙江模拟) 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的外接球的体积为（）A . πB . πC . πD . π7. （2分） (2018高一上·台州月考) 已知函数，若对任意，总存在，使得，则的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分）(2018·天津) 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为20，则输出的值为（）A . 1D . 49. （2分） (2017高二下·莆田期末) 曲线y=x•ex在x=1处切线的斜率等于（）A . 2eB . eC . 2D . 110. （2分）已知＝（－3，2，5），＝（1，x，－1），且⊥，则x的值为（）A . 3B . 4C . 5D . 611. （2分） (2017高二上·延安期末) 已知双曲线方程为x2﹣ =1，过点P（1，1）的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数共有（）A . 4条B . 3条C . 2条D . 1条12. （2分） (2019高一上·阜阳月考) 定义在上的奇函数满足：当时，，则函数的零点的个数是（）A .D .二、填空题： (共4题；共5分)13. （1分）(2017·蚌埠模拟) 过O点作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的射影，由区域内的点在直线l：λ（2x﹣3y﹣9）+μ（x+y﹣2）=0上的射影构成线段记为MN，则|MN|的长度的最大值为________．14. （1分）(2012·陕西理) （a+x）5展开式中x2的系数为10，则实数a的值为________．15. （2分）(2020·聊城模拟) 点分别为三棱柱的棱的中点，设的面积为，平面截三棱柱所得截面面积为，五棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则 ________， ________.16. （1分） (2019高二上·鄂州期中) 设数列满足，且（），则数列前2019项的和为________.三、解答题： (共7题；共65分)17. （10分） (2016高一下·周口期末) 已知 =（cosα，sinα）， =（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．（1）若| ﹣ |= ，求证：⊥ ；（2）设 =（0，1），若 + = ，求α，β的值．18. （10分） (2016高三上·苏州期中) 某公司对新招聘的员工张某进行综合能力测试，共设置了A，B，C三个测试项目．假定张某通过项目A的概率为，通过项目B，C的概率均为a（0＜a＜1），且这三个测试项目能否通过相互独立．（1）用随机变量X表示张某在测试中通过的项目个数，求X的概率分布和数学期望E（X）（用a表示）；（2）若张某通过一个项目的概率最大，求实数a的取值范围．19. （10分）(2020·龙岩模拟) 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，，，，，且平面平面ABCD．（1）求证：；（2）在线段PA上是否存在一点M，使二面角M-BC-D的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.20. （5分）(2017·黑龙江模拟) 已知抛物线G：y2=2px（p＞0），过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B 两点，线段AB的中点为M．（Ⅰ）当直线l的倾斜角为时，|AB|=16．求抛物线G的方程；（Ⅱ）对于（Ⅰ）问中的抛物线G，是否存在x轴上一定点N，使得|AB|﹣2|MN|为定值，若存在求出点N的坐标及定值，若不存在说明理由．21. （15分） (2017高三上·赣州期中) 已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=ax+b．（1）若函数h（x）=f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若直线g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx﹣图象的切线，求a+b的最小值；（3）当b=0时，若f（x）与g（x）的图象有两个交点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），求证：x1x2＞2e2 ．（取e为2.8，取ln2为0.7，取为1.4）22. （10分）(2017·西宁模拟) 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（α为参数），以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标轴方程为ρcos（θ﹣）=2 ．（1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；（2）设点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值及其对应的点P的直角坐标．23. （5分）(2017·荆州模拟) 已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|2x﹣3|+2．（Ⅰ）解不等式|g（x）|＜5；（Ⅱ）若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围参考答案一、选择题： (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题： (共4题；共5分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题： (共7题；共65分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、考点：解析：。
2020年6月广东省梅州市普通高中2020届高三毕业班总复习质检(二模)理科数学试题及答案
绝密★启用前广东省梅州市普通高中2020届高三毕业班下学期高考总复习质检(二模)数学(理)试题2020年6月一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的。
1．复数21i z i=-，则其共轭复数z = A ．-1-i B ．-1+i C ．1-i D ．1+i2．已知集合22{|1,},{|2},R M y y x x N x y x ==-==-∈则M N I =A ．B ．[)1,+∞C ．2⎡-⎣D ．)2,⎡-+∞⎣ 3．在ABC ∆中,,D BD DC E A =u u u r u u u r 是的中点,则EB =u u u r21.33A AB AC -u u u r u u u r B ．2133AB AC +u u u r u u u r 31.44C AB AC +u u u r u u u r D.3144AB AC -u u u r u u u r 4．以下四个命题：①若p q ∧为假命题,则p,q 均为假命题；②对于命题2000:,10,R p x x x ∈∃++<则⌝p 为：2,10;R x x x ++∀∉…； ③"2"a =是”函数()log a f x x =在区间()0,+∞上为增函数”的充分不必要条件; ④()()sin f x x ϕω=+为偶函数的充要条件是2πϕ=其中真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．45．2021年起,我省将实行“3+1+2”高考模式,某中学为了解本校学生的选考情况,随机调查了100位学生,其中选考化学或生物的学生共有70位,选考化学的学生共有40位,选考化学且选考生物的学生共有20位．若该校共有1500位学生,则该校选考生物的学生人数的估计值为A ．300B ．450C ．600D ．750 6.322144x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式的常数项为 A ．120 B ．160 C ．200 D ．2407．已知在各项均不为零的等差数列72311{}220,n a a a a -+=中，数列{}n b 是等比数列, 且77,b a =则86b b ⋅等于A ．2B ．4C ．8D ．168．某几何体的三视图如图示,已知其主视图的周长为8,则该几何体侧面积的最大值为A ．2πB ．4πC ．16πD ．不存在9．若110,a b >>有下列四个不等式：()33l a b <；21log 3log 3;a b ++>②b a b a <- ④3322.a b ab +>则下列组合中全部正确的为A ．①②B ．①③C ．①④D ．②③10．已知直线1l ：2x-y+3=0和直线2l ：x=-1,抛物线24y x =上的点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是A 5B ．2C 3.2D 11．祖暅是南北朝时代的伟大数学家,五世纪末提出几何体体积计算原理,即祖暅原理：“幂势既同,则积不容异”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任何一个平面所截,如果截面面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等,现在有四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体,图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球,则满足。
2020年6月11日广东省梅州市普通高中2020届高三毕业班总复习质检(二模)理科数学答案
时， ， 单调递减， 时, ， 单调递减，
由（1）知， ，且 ，所以 在 上有一个零点，……………10分
设
则
所以 也是 的零点.……………………11分
综上可知 有 三个零点.
即当 有三个零点时， 的范围是 .
……………………12分
22.(10分)
解：（1）由题意，直线 的参数方程为 （ 为参数），
绝密★启用前
广东省梅州市普通高中
2020届高三毕业班下学期总复习质检(二模)
数学(理)试题参考答案
2020年6月11日
一、题选择：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
C
D
A
D
B
D
D
B
A
D
C
二、填空题:每题5分，满分20分.
13. .14. .15.6. 16. .
建立如图的坐标系.……………………7分
则 ,……………………8分
得 ……………………9分
设平面 的一个法向量分别是 ,
则 可取 . ……………………10分
可取 . ……………………11分
. ……………………12分
所以二面角 的余弦值为0.
19.(12分)
解：（1） 小区的指数 ,
,所以 小区不是优质小区；……………………1分
方法三:
因 在椭圆内部,所以 ,可设 ,
,……………………11分
得
此时 , ．……………………12分
所以 面积 的最大值为 ．
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梅州市高三总复习质检试题（2020、6）理科数学参考答案与评分意见一、题选择：本大题共12个小题，每小题5分，共60分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ACDADBDBBADC二、填空题:每题5分，满分20分. 13.1)23(-n . 14. 0212=-+-πy x . 15. 6. 16.3.17.(12分)解:(1)由已知及正弦定理得, ,222bc c b a -+= ……………………2分由余弦定理可得.21cos =A ……………………4分 又.3,0ππ=∴<<A A ……………………6分 (2) 由已知及正弦定理得, ,sin sin 2B Cc = ……………………7分 由,32π=+C B 得A BC S ABC sin sin sin 2221⨯⨯=∆ ……………………8分 .tan 12323sin )32sin(3BB B ⨯+=-=π……………………9分 △ABC 是锐角三角形,得,2320,20πππ<-<<<B B 得.26ππ<<B ……………………10分.3tan 10,33tan <<∴>∴BB ……………………11分 .3223<<∴∆ABC S所以△ABC 面积的取值范围是).32,23(……………………12分 18.(12分)(1)证明: △PAD 中,因为C B ,分别是PD PA ,的中点,,90ο=∠PDA所以,90,//ο=∠=∠BCD BCP AD BC ……………………1分所以多面体PABCD 中, ,,CD BC PC BC ⊥⊥ ……………………2分⊥∴=⋂BC C CD PC ,平面PCD . ……………………3分⊂PD 平面PCD ,.PD BC ⊥∴ ……………………4分(2)依题意可得, ,1==CD PC 直角△ADC 中,得,5=AC 又,6=PA所以CA PC AC PC PA ⊥∴+=,222, ……………………5分 由(1)知, ⊥∴⊥PC PC BC ,平面.ABCD ……………………6分 以C 为坐标原点,分别以CP CD CB ,,为z y x ,,轴,建立如图的坐标系. ……………………7分 则)1,0,0(),0,1,0(),0,1,2(),0,0,1(P D A B , ……………………8分 得).1,1,0(),1,0,1(),1,1,2(-=-=-=……………………9分 设平面PAD PAB ,的一个法向量分别是),,(),,,(r q p z y x ==,则⎪⎩⎪⎨⎧=-=⋅=-+=⋅.0,02z x z y x PA m 可取)1,1,1(-=. ……………………10分 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=⋅=-+=⋅.0,02r q r q p 可取)1,1,0(=. ……………………11分 023110,cos =⋅+-=>=<. ……………………12分 所以二面角D PA B --的余弦值为0. 19.(12分)解：（1）A 小区的指数0.70.20.70.20.50.320.50.280.58T =⨯+⨯+⨯+⨯=，0.580.60<，所以A 小区不是优质小区； ……………………1分B 小区的指数0.90.20.60.20.70.320.60.280.692T =⨯+⨯+⨯+⨯=，0.6920.60>，所以B 小区是优质小区； ……………………2分C 小区的指数0.10.20.30.20.20.320.10.280.172T =⨯+⨯+⨯+⨯=，0.1720.60<，所以C 小区不是优质小区； ……………………4分（2）依题意，抽取10个小区中，共有优质小区3010104100+⨯=个， 其它小区1046-=个. ……………………6分 依题意ξ的所有可能取值为0、1、2. ……………………7分()262101510453C P C ξ====，()114621024814515C C P C ξ====，()242106224515C P C ξ====. ……………………10分则ξ的分布列为：……………………11分1824012315155E ξ=⨯+⨯+⨯= . ……………………12分20. (12分)解：（1）两动圆的公共点为P ，则有：||4||||2121F F PF PF >=+． 由椭圆的定义可知P 的轨迹为椭圆，2a =，c =， ……………………2分所以曲线C 的方程是：2214x y +=. ……………………4分（2）由题意可知：()0,1M ，设()11,A x y ，()22,B x y ， 当AB 的斜率存在时，设直线:AB y kx m =+，联立方程组：2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩①②，把②代入①得：()222148440k x kmx m +++-=， .0)14(16)1)(41(1664222222>+-=-+-=∆m k m k m k122814km x x k -+=+③，21224414m x x k -⋅=+④， ……………………5分因为0MA MB ⋅=u u u r u u u r，所以有()()1212110x x kx m kx m ⋅++-+-=， ……………………6分()()()()2212121110k x xk m x x m +⋅+-++-=，把③④代入整理：()()()2222244811101414m km k k m m k k --++-+-=++，化简得：()()1530m m -+=，35m =-或1m =（舍）. 当53-=m 时 ,0>∆ 成立. 此时直线AB 过点30,5N ⎛⎫- ⎪⎝⎭. ……………………7分当AB 的斜率不存在时，易知满足条件0MA MB ⋅=u u u r u u u r 的直线AB 为：0x =,过定点30,5N ⎛⎫- ⎪⎝⎭.综上，直线AB 恒过定点30,5N ⎛⎫- ⎪⎝⎭. ……………………8分 （3）ABM ∆面积1212AMN BMN S S S MN x x ∆∆=+=-= ……………9分 由第（2）小题的③④代入，整理得：3225S =， ……………………10分 方法一:222122)41(425850)425)(41(212532k k k k k k S ++-⨯++⨯='-425)41()7100(222+++-=k k k k . ……………………11分0>k 时,S S ,0<'在),0(+∞上递减,0<k 时,S S ,0<'在),0(+∞上递增, 0=k 时,S S ,0='有最大值.2564所以ABM ∆面积S 的最大值为6425． ……………………12分 方法二:)411(425)411(4925324142525324142525322222222kk k k k k S +++-⋅=++⋅=++⋅=,令,42549)(,1411022u u u g k u +-=≤+=< ……………………11分 1=u 时,)(u g 有最大值4.此时0=k 时,.2564=s 所以ABM ∆面积S 的最大值为6425． ……………………12分方法三:因N 在椭圆内部，所以k ∈R，可设2t ≥，23232(2)9494t S t t t t==≥++， ……………………11分 ,094)(,2,94)(2>-='≥+=tt g t t t t g得.225)2()]([min ==g t g 此时0k =,2564=s ． ……………………12分 所以ABM ∆面积S 的最大值为6425． 21.(12分)（1）证明：222ln 2222a a a a f a a ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭. ……………………1分令2a t =，()322ln 22a f t t g t t ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. ……………………2分()2222221'6160g t t t t t t t ⎛⎫=--=--< ⎪⎝⎭， ……………………3分 ()g t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()11112ln 442ln202244g t g ⎛⎫>=-+=--> ⎪⎝⎭.…………………4分所以原命题成立.（2）由()222ln a f x x ax x =-+222ln (0)a x ax x x =-+>有三个零点可得, ()ln (0)ah x x ax x x=-+>有三个零点.()22'(0)ax x ah x x x-+-=>. ……………………5分 ①0a ≤时，()'0h x >恒成立，可得()h x 至多有一个零点，不符合题意； ……………………6分②当12a ≥时，()'0h x ≤恒成立，可得()h x 至多有一个零点，不符合题意； …………………7分 ③当102a <<时，记()2(0)x ax x a x ϕ=-+->的两个零点为1x ，2x ，不妨设120x x <<，且121x x ⋅=. ……………………8分()10,x x ∈时，()'0h x <；()12,x x x ∈时，()'0h x >；()2,x x ∈+∞时,()'0h x <，观察可得()10h =，且121x x <<，当()12,x x x ∈时，()'0h x >,()h x 单调递增，所以有()()()121h x h h x <<，即()()120h x h x <<， ……………………9分()10,x x ∈时，()'0h x <，()h x 单调递减，()2,x x ∈+∞时,()'0h x <，()h x 单调递减，由（1）知，0h >，且()10h x <，所以()h x在1x ⎫⎪⎪⎭上有一个零点，……………10分 设,0ln )(),,2(00010=+-=∈x aax x x h x a x 则,0)(11ln )1(00000=-=+⋅-=x h ax x a x x h 所以01x 也是)(x h 的零点 . ……………………11分综上可知()ln (0)a h x x ax x x=-+>有0,01,1x x 三个零点. 即当()222222ln ln (0)a a f x x ax x ax x x x =-+=-+>有三个零点时，a 的范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. ……………………12分22.(10分)解：（1）由题意，直线l的参数方程为512x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 消去参数t ，得直线l的直角坐标方程为20x -=， ……………………2分 又由圆C 的极坐标方程为4cos 3πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即22cos sin ρρθθ=+，………………4分 又因为222x y ρ=+，cos x ρθ=，y =θρsin ，可得圆C 的直角坐标方程为()(2214x y -+=. ……………………5分（2）因为点(),P x y 在圆C上，可设()12cos 2sin P θθ+(θ是参数)， ………………7分22sin4sin3yπθθθ⎛⎫-==+⎪⎝⎭. ……………………9分因为2sin[1,1]3πθ⎛⎫+∈-⎪⎝⎭，y-的取值范围是[]4,4-. ……………………10分23.(10分)解：（1）|23||1|3x x+--≤Q,12313xx x≥⎧∴⎨+-+≤⎩或3122313xx x⎧-<<⎪⎨⎪++-≤⎩或322313xx x⎧≤-⎪⎨⎪--+-≤⎩. ……………………3分11xx≥⎧∴⎨≤-⎩或31213xx⎧-<<⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩或327xx⎧≤-⎪⎨⎪≥-⎩.173x∴-≤≤. ……………………5分即不等式()3f x≤的解集为1[7,]3-. ……………………6分（2）|,33|2)(-->xaxf即|,33|2|1||32|-->--+xaxx得.2|22||32|axx>-++……………………7分,5|2232||22||32|=+-+≥-++xxxxΘ……………………9分.25,52<<∴aa所以实数a的取值范围是).25,(-∞……………………10分。