2018年高考数学二轮专题复习选择填空提速专练(八)

选择填空提速专练（八）一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合P ＝{x ∈R||x |<2}，Q ＝{x ∈R|－1≤x ≤3}，则P ∩Q ＝( ) A ．[－1,2) B ．(－2,2) C ．(－2,3]D ．[－1,3]解析：选A 由题意得集合P ＝(－2,2)，Q ＝[－1,3]，所以P ∩Q ＝[－1,2)，故选A. 2．已知直线l 1：ax ＋(a ＋2)y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋2＝0，则“l 1∥l 2”是“a ＝－1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由l 1∥l 2，可得a ·a ＝(a ＋2)·1，解得a ＝2或a ＝－1，所以“l 1∥l 2”是“a ＝－1”的必要不充分条件，故选B.3．在△ABC 中，cos A ＝35，cos B ＝45，则sin(A －B )＝( )A ．－725B.725C ．－925D.925解析：选B 因为A ，B 为三角形的内角，所以A ，B ∈(0，π)，则sin A ＝1－cos 2A ＝45，sin B ＝1－cos 2B ＝35，则sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝45×45－35×35＝725，故选B.4．向量a ，b 的夹角是60°，|a |＝2，|b |＝1，则|2a －b |＝( ) A ．13 B.13 C.7D ．7解析：选 B 依题意，|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝16－4＋1＝13，故|2a －b |＝13，故选B.5．(2017·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]解析：选B 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当直线z ＝x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值2，当直线z ＝x －y 过点B (0,3)时，z 取得最小值－3，所以z ＝x －y 的取值范围是[－3,2]．6．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A ，B ，双曲线左顶点为M ，若∠AMB ＝120°，则该双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．3D ．2解析：选D 由题可知OA ⊥FA ，∠AMO ＝60°，OM ＝OA ＝a ，所以△AMO 为等边三角形，∠AFO＝30°，在Rt △OAF 中，OF ＝c ，所以该双曲线的离心率e ＝c a ＝OF OA ＝1sin 30°＝2，故选D.7．已知函数f (x )＝ln x ＋(x －b )2(b ∈R)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上存在单调递增区间，则实数b 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，32 B.()－∞，3 C.()－∞，2D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，94解析：选D 由题意得f ′(x )＝1x ＋2(x －b )＝1x ＋2x －2b ，因为函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上存在单调递增区间，所以f ′(x )＝1x ＋2x －2b >0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上有解，所以b <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋x max ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，由函数的性质易得当x ＝2时，12x ＋x 取得最大值，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋x max ＝12×2＋2＝94，所以b 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，94，故选D.8．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的概率是( )A.310B.35C.25D.15解析：选B 依题意，基本事件总数为A 55，要使3位女生中有且只有两位女生相邻，需先将两位女生捆绑，然后排两位男生，最后将捆绑的两位女生与剩下的一位女生去插空，共有(C 23A 22)·A 22·A 23种排法，所以所求概率P ＝23A2222·A 23A55＝35，故选B. 9．记min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x <y .设f (x )＝min{x 2，x 3}，则( )A ．存在t >0，|f (t )＋f (－t )|>f (t )－f (－t )B ．存在t >0，|f (t )－f (－t )|>f (t )－f (－t )C ．存在t >0，|f (1＋t )＋f (1－t )|>f (1＋t )＋f (1－t )D ．存在t >0，|f (1＋t )－f (1－t )|>f (1＋t )－f (1－t )解析：选C 由x 2－x 3＝x 2(1－x )≤0得x ≥1，所以f (x )＝min{x 2，x 3}＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥1，x 3，x <1.当t >1时，|f (t )＋f (－t )|＝|t 2＋(－t )3|＝t 3－t 2，|f (t )－f (－t )|＝|t 2－(－t )3|＝t 3＋t 2，f (t )－f (－t )＝t 2－(－t )3＝t 3＋t 2，所以|f (t )＋f (－t )|<f (t )－f (－t )，|f (t )－f (－t )|＝f (t )－f (－t )；当0<t <1时，|f (t )＋f (－t )|＝|t 3＋(－t )3|＝0，|f (t )－f (－t )|＝|t 3－(－t )3|＝2t 3，f (t )－f (－t )＝t 3－(－t )3＝2t 3，所以|f (t )＋f (－t )|<f (t )－f (－t )，|f (t )－f (－t )|＝f (t )－f (－t ); 当t ＝1时，|f (1)＋f (－1)|＝0，|f (1)－f (－1)|＝2，f (1)－f (－1)＝2，所以|f (t )＋f (－t )|<f (t )－f (－t )，|f (t )－f (－t )|＝f (t )－f (－t )．综上所述，A ，B 错误．当t >0时，设g (t )＝f (1＋t )＋f (1－t )＝(1＋t )2＋(1－t )3＝－t 3＋4t 2－t ＋2，则g ′(t )＝－3t 2＋8t －1，令－3t 2＋8t －1＝0得t ＝4±133，所以函数g (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋133，＋∞上单调递减，所以存在t 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋133，＋∞使得g (t 0)<0成立，所以存在t 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋133，＋∞，使得|f (1＋t 0)＋f (1－t 0)|≥0>f (1＋t 0)＋f (1－t 0)，C 正确；当t >0时，设h (t )＝f (1＋t )－f (1－t )＝(1＋t )2－(1－t )3＝t 3－2t 2＋5t ，则h ′(t )＝3t 2－4t ＋5＝3⎝⎛⎭⎪⎫t －232＋113>0，所以函数h (t )在(0，＋∞)上单调递增，所以h (t )>h (0)＝0，所以|f (1＋t )－f (1－t )|＝f (1＋t )－f (1－t )，D 错误．综上所述，故选C.10．已知f (x )是定义在R 上的函数，若方程f (f (x ))＝x 有且仅有一个实数根，则f (x )的解析式可能是( )A ．f (x )＝|2x －1|B ．f (x )＝e xC ．f (x )＝x 2＋x ＋1D ．f (x )＝sin x解析：选D 对于A ，由f (f (x ))＝x ，即|2|2x －1|－1|＝x ，可得x ＝1或13或15或35，故A 错误；对于B ，由(e x －x )′＝e x －1，得y ＝e x－x 在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，所以(e x －x )min ＝1>0，即e x >x 恒成立，所以f (f (x ))＝ee x >e x>x ，即f (f (x ))＝x 无解，故B 错误；对于C ，f (x )＝x 2＋x ＋1，f (f (x ))＝(x 2＋x ＋1)2＋x 2＋x ＋1＋1＝x ，即(x 2＋x ＋1)2＋x 2＋2＝0，无实数根，故C 错误；对于D ，令y ＝sin x －x ，则y ′＝cos x －1≤0，则y ＝sin x －x 在R 上单调递减，当x ＝0时，y ＝0，所以当x ∈(0，＋∞)时，sin x <x ，sin(sin x )<sin x <x ，当x ∈(－∞，0)时，sin x >x ，sin(sin x )>sin x >x ，则sin(sin x )－x 在R 上单调递减，且sin(sin0)＝0，故f (f (x ))＝x 有且仅有一个实数根，故选D.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在题中横线上)11．已知复数z ＝1－3i(其中i 是虚数单位)，满足z －2＋az ＝0，则|z ＋a |＝________. 解析：由题意得z －＝1＋3i ，所以z －2＋az ＝－2＋23i ＋a －a 3i ＝(a －2)－(a －2)3i ＝0，所以a ＝2，则|z ＋a |＝|1－3i ＋2|＝32＋32＝2 3.答案：2 312．如果函数f (x )＝x 2sin x ＋a 的图象过点(π，1)且f (t )＝2，那么a ＝________；f (－t )＝________.解析：因为函数f (x )＝x 2sin x ＋a 的图象过点(π，1)，所以f (π)＝π2sin π＋a ＝1，解得a ＝1，所以f (x )＝x 2sin x ＋1.设g (x )＝x 2sin x ，则易得函数g (x )为奇函数，又因为f (t )＝g (t )＋1＝2，所以g (t )＝1，g (－t )＝－g (t )＝－1，则f (－t )＝g (－t )＋1＝－1＋1＝0.答案：1 013．已知等差数列{a n }，等比数列{b n }的前n 项和分别为S n ，T n (n ∈N *)．若S n ＝32n 2＋12n ，b 1＝a 1，b 2＝a 3，则a n ＝________，T n ＝________.解析：由题意得a 1＝S 1＝32×12＋12×1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32n 2＋12n －32(n －1)2－12(n－1)＝3n －1，当n ＝1时也成立，所以a n ＝3n －1(n ∈N *)，所以b 1＝a 1＝2，b 2＝a 3＝8，所以等比数列{b n }的公比为4，则T n ＝－4n1－4＝23(4n －1)(n ∈N *)． 答案：3n －1 23(4n－1)14．一个几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图为全等的矩形，俯视图为正方形，则该几何体的表面积为________；体积为________．解析：由三视图知，该几何体为长、宽、高分别为2,2,3的长方体挖去同底等高的正四棱锥后所得．因为四棱锥的侧棱长为32＋22＝11，所以四棱锥的侧面高为112－12＝10，所以该几何体的表面积S ＝22＋4×2×3＋4×12×2×10＝28＋410，体积V ＝22×3－13×22×3＝8.答案：28＋410 8 15．若(1－2x )2 017＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 017x2 017，则各项系数之和为________，a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017的值为________．解析：令x ＝1，则各项系数之和为(1－2×1)2 017＝－1.令x ＝0得a 0＝(1－2×0)2 017＝1，令x ＝12得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017＝⎝⎛⎭⎪⎫1－2×12 2 017＝0，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 017a 2 017＝－a 0＝－1.答案：－1 －116．已知正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋3y ＝42，则xy ＋5x ＋4y 的最小值为________． 解析：因为x ，y 为正实数，所以由xy ＋2x ＋3y ＝42得y ＝42－2xx ＋3>0，所以0<x <21，则xy＋5x ＋4y ＝x－2x x ＋3＋5x ＋－2x x ＋3＝3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3＋16x ＋3＋31≥3×2 x ＋16x ＋3＋31＝55，当且仅当x ＋3＝16x ＋3，即x ＝1时等号成立，所以xy ＋5x ＋4y 的最小值为55. 答案：5517．如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，将△ABD 沿对角线BD 向上翻折，若翻折过程中AC 长度在⎣⎢⎡⎦⎥⎤102，132内变化，则点A 所形成的运动轨迹的长度为________．解析：如图①，过点A 作AO ⊥BD ，垂足为点O ，过点C 作直线AO 的垂线，垂足为点E ，则易得AO ＝OE ＝32，CE ＝1.在图②中，由旋转的性质易得点A 在以点O 为圆心，AO 为半径的圆上运动，且BD 垂直于圆O 所在的平面，又因为CE ∥BD ，所以CE 垂直于圆O 所在的平面，设当A 运动到点A 1处时，CA 1＝132，当A 运动到点A 2处时，CA 2＝102，则有CE ⊥EA 1，CE ⊥EA 2，则易得EA 1＝32，EA 2＝62，则易得△OEA 2是以O 为顶点的等腰直角三角形，在△OEA 1中，由余弦定理易得cos ∠EOA 1＝－12，所以∠EOA 1＝120°，所以∠A 1OA 2＝30°，所以点A 所形成的轨迹为半径为OA ＝32，圆心角为∠A 1OA 2＝30°的圆弧，所以轨迹的长度为30°180°×π×32＝312π.答案：3 12π。