第二章 4.1导数的加法与减法法则最新衡水中学自用精品教学与导学设计
4.1导数的加法与减法法则-北师大版选修2-2教案
4.1 导数的加法与减法法则-北师大版选修2-2教案一、知识要点本节课主要讲解的是导数的加法与减法法则。
通过本节课的学习，我们将会了解以下知识要点：1.导数的加法法则；2.导数的减法法则；3.导数的混合运算；4.导数与函数图象的关系。
二、教学流程2.1 导数的加法法则1.前置知识：求导法则（加法法则）；2.通过例题，讲解导数的加法法则；3.练习题。
2.2 导数的减法法则1.前置知识：求导法则（减法法则）；2.通过例题，讲解导数的减法法则；3.练习题。
2.3 导数的混合运算1.前置知识：求导法则（加减法则）；2.通过例题，讲解导数的混合运算；3.练习题。
2.4 导数与函数图象的关系1.前置知识：求导法则（导数定义）；2.通过例题，讲解导数与函数图象的关系；3.练习题。
三、教学重点1.掌握导数的加法法则和减法法则；2.熟练掌握导数的混合运算；3.理解导数与函数图象的关系。
四、教学难点1.理解导数与函数图象的关系。
五、教学方法本节课可以采用讲授法、练习法等多种教学方法来进行讲解和练习。
六、教学建议1.提前准备好教材和教具；2.注意学生的听力和阅读理解能力，注重引导和解答；3.课后可以布置课外作业和参考题。
七、教学评价1.学生的听课态度；2.学生的学习理解程度；3.课堂练习和课后作业完成情况。
八、教学反思1.教学效果是否达到预期；2.学生学习需要哪些方面的支持和指导；3.明确下一步的教学目标和计划。
第二章 变化率与导数章末复习课最新衡水中学自用精品教学与导学设计
题型一 导数定义的应用函数f (x )在点x ＝x 0处的导数是f (x )在x 0点附近的平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx；当Δx 趋于0时的极限，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx，这是数学上的“逼近思想”. 例1 求函数f (x )＝2x 2＋5在x ＝1点处的导数．解 方法一 Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx＝2(1＋Δx )2＋5－(2×12＋5)Δx＝4＋2Δx ， ∴f ′(1)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0(4＋2Δx )＝4. 方法二 (先求f ′(x )，再求f ′(1))Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝2(x ＋Δx )2＋5－(2x 2＋5)Δx＝4x ＋2Δx ，∴f ′(x )＝lim Δx →0(4x ＋2Δx )＝4x .∴f ′(1)＝4. 反思与感悟 求函数f (x )在一点处的导数有两种方法：直接利用定义；先求函数f (x )的导函数f ′(x )，再代入求函数一点处的导数．跟踪训练1 求函数f (x )＝1x ＋1在x ＝2处的导数． 解 Δy ＝f (2＋Δx )－f (2) ＝12＋Δx ＋1－12＋1Δx ＝－19＋3Δx， ∴f ′(2)＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎫－19＋3Δx ＝－19. 题型二 导数与曲线的切线利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q (x 1，y 1)，由y 0－y 1x 0－x 1＝f ′(x 1)和y 1＝f (x 1)求出x 1，y 1的值，转化为第一种类型． 例2 已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程．解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x. 当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x(x >0)， 因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.跟踪训练2 已知函数f (x )＝ax 2＋2ln(2－x )(a ∈R )，设曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线为l ，若l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，求a 的值． 解 依题意有：f (1)＝a ，f ′(x )＝2ax ＋2x －2(x <2)， ∴l 的方程为2(a －1)x －y ＋2－a ＝0，∵l 与圆相切，∴|2－a |4(a －1)2＋1＝12⇒a ＝118， ∴a 的值为118.。
4.1导数的加法与减法法则-北师大版选修1-1教案
4.1 导数的加法与减法法则-北师大版选修1-1教案教学目标1.了解导数的加法与减法法则的概念及其表达式。
2.掌握导数的加法与减法法则的证明方法。
3.练习应用导数的加法与减法法则解决实际问题。
4.培养学生的逻辑思维能力和实际运用导数解决问题的能力。
教学重点1.导数的加法与减法法则的表达式和证明方法。
2.导数的加法与减法法则的应用。
教学难点1.导数的加法与减法法则的推导过程。
2.实际问题的转化为导数的加法与减法法则公式解决。
教学过程一、引入1.引导学生回想单调性的学习，详细回顾单调性概念的定义及相关性质。
2.引导学生从正变负，负变正两个方面来理解单调性。
3.引导学生思考，如果知道一个函数的单调性，能否得到该函数的一些性质（例如极值，零点等）。
二、讲解1.导数的概念与定义，乘积法则和商法则。
2.导数的加法与减法法则的概念和表达式。
3.导数的加法与减法法则的证明过程。
三、练习1.根据导数的加法与减法法则计算函数f(x) = 3x²+2x-1在点x=2时的导数值。
2.已知函数y = x³，求y’。
3.计算函数y = sinx+cosx的导数值。
4.已知函数y = x⁴ - x³ + 2x，求它在x = 1处的切线方程。
5.已知函数y = 2x³ + 3x² - 5x + 1，在x = -2处的切线方程是y = -18x -7，试问它在哪个点的切线与y轴平行？四、实际应用1.根据导数的加法与减法法则推导速度关系式，知道两物体的速度关系式后求解它们的速度差。
2.根据导数的加法与减法法则推导函数值增长速度的公式，求解函数在不同点的速度。
五、拓展1.探索导数的其他运算法则。
2.导数的应用领域。
课后作业1.总结导数的加法与减法法则的概念及其表达式和证明过程。
2.完成课本上的练习题，加深对导数加法与减法法则的掌握和应用。
3.自行找出两个体的运动速度关系式，并用导数的加法与减法法则解出它们的速度差。
高中数学导数加减问题教案
高中数学导数加减问题教案
一、教学目标：
1.了解导数的概念，掌握导数的基本定义和性质；
2.学会利用导数的定义和性质计算函数的导数；
3.掌握导数的加减法规则，能够解决带有加减号的导数计算问题。
二、教学内容：
1.导数的概念和基本定义；
2.导数的性质和计算方法；
3.导数的加减法规则。
三、教学重点与难点：
1.导数的概念和基本定义；
2.导数的加减法规则的掌握。
四、教学过程：
1.导入引导：通过一个实际问题引入导数的概念，让学生了解导数在数学中的重要性。
2.导数的定义和性质讲解：先介绍导数的定义和性质，让学生了解导数的意义和特点。
3.导数的计算方法：通过几个例题演示，让学生掌握导数的计算方法。
4.导数的加减法规则介绍：讲解导数的加减法规则，引导学生掌握导数的加减运算技巧。
5.练习与讲解：设计一些带有加减号的导数计算练习题，让学生熟练掌握导数的加减法规则。
6.作业布置：布置相关的作业，巩固学生对导数加减法规则的理解和掌握。
五、教学反思：
通过本节课的教学，学生应该能够理解导数的概念和基本定义，掌握导数的加减法规则，提高数学解题的能力和技巧。
同时，教师应该注意引导学生灵活运用导数的加减法规则，解决实际问题中的导数计算。
高中数学导数加减法教案
高中数学导数加减法教案目标：通过本节课的学习，学生能够掌握导数的加减法规则，能够熟练应用导数加减法解决实际问题。
一、导数的加减法规则1. 如果函数 f(x) 和 g(x) 都可导，则它们的和的导数为 (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)。
2. 如果函数 f(x) 和 g(x) 都可导，则它们的差的导数为 (f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)。
二、导数加减法例题讲解1. 计算函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 5 和 g(x) = 3x^2 - x + 7 的和函数 h(x) = f(x) + g(x) 的导数。
解：先求 f'(x) 和 g'(x)：f'(x) = 4x + 3g'(x) = 6x - 1因此，h'(x) = f'(x) + g'(x) = (4x + 3) + (6x - 1) = 10x + 2。
2. 计算函数 f(x) = x^3 + 2x^2 - 4 和 g(x) = 2x^3 - x 的差函数 h(x) = f(x) - g(x) 的导数。
解：先求 f'(x) 和 g'(x)：f'(x) = 3x^2 + 4xg'(x) = 6x^2 - 1因此，h'(x) = f'(x) - g'(x) = (3x^2 + 4x) - (6x^2 - 1) = -3x^2 + 4x + 1。
三、练习题1. 计算函数 f(x) = x^4 + 2x^3 - 3x 和 g(x) = 3x^4 - 5x^2 的和函数的导数。
2. 计算函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x 和 g(x) = x^3 + 2x - 3 的差函数的导数。
四、作业完成练习题，并尝试应用导数加减法解决其他实际问题。
最新导数的加减法法则教案资料精品课件
第十三页，共17页。
巩固练习
分析(fēnxī)：
本题中，要求过已知点的切线方程，应求出切线 的斜率，而前面学习了导数的几何意义，导数即是切
线的斜率，所以只要求出函数在 x 1处的导数，即
可写出切线方程。
第十四页，共17页。
解答
解： 设 f (x) x3和g ( x) 1 ，
x
由函数差的求导法则 f(x ) g (x )f(x ) g (x )
2. 函数 f(x)a45a2x2x6的导数是_______
3. 求曲线 yx3x1在点(1,3) 处的切线方程。
结束
第十页，共17页。
分析(fēnxī)：
直接考查(kǎochá)导数加减法的计算法则，基础题型 需要熟悉运算法则：两函数和（差）的导数等于这 两个函数导数的和（差）。
第十一页，共17页。
所以(suǒyǐ)
同理
第四页，共17页。
概括(gàikuò)
两个函数和（差）的导数(dǎo shù)，等于这两个函数导 数的和（差），即
f(x ) g (x )f(x ) g (x ) f(x ) g (x )f(x ) g (x )
第五页，共17页。
例1 求下列(xiàliè)函数的导数：
（1） yx2 2x （2） y xlnx
例2
第七页，共17页。
动手做一做
1. 求曲线 ycosx在 x 处的切线斜率和方
程。
6
2. 若曲线 f(x)x4x在 P 处的切线平行于直 线 y 3x ，求 P 点坐标。
提示：导数等于切线(qiēxiàn)斜率时，可求得P的坐标
3. 已知 yax33x22，它在 x1处的切
线斜率是 4 ，求 a 值。
北师版高中数学选择性必修第二册精品课件 第二章 4.1 导数的加法与减法法则
).
A.y'=ln x-cos x
B.y'=ex-cos x
C.y'=ex+cos x
D.y'=ex-sin x
答案:B
1
1
1
3.函数 y= + 2 − 3 的导数为
.
1
1
1 -1 -2 -3
解析:∵y= + 2 − 3=x +x -x ,∴y'=(x-1)'+(x-2)'-(x-3)'=-x-2-2x-3+3x-4.
以此类推,可得fn(x)=fn+4(x),
π
π
π
π
π
∵f1(x)+f2(x)+f3(x)+f4(x)=0,∴f1
+f2
+…+f2 022
=f1
+f2
=0.
2
2
2
2
2
答案:0
随堂练习
1.已知f(x)=x2+m,则f'(x)=(
A.2x
B.2x+m
).
C.2x+1 D.x2+m
答案:A
2.函数y=ex-sin x的导数为(
答案:y'=-x-2-2x-3+3x-4
4.若f(x)=ex+ln x,则f'(x)=
1
答案:e +
x
.
5.已知函数f(x)=x+ +b(x≠0),其中a,b∈R.若曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的
切线方程为y=3x+1,求函数f(x)的解析式.
导数的四则运算法则PPT学习教案
第22页/共45页
(2)方法一：y′＝xx－ ＋11′＝x－1′x＋1x＋－1x2－1x＋1′ ＝x＋1x＋－1x2－1＝x＋212 方法二：∵y＝xx＋－11＝x＋x＋1－1 2＝1－x＋2 1， ∴y′＝1－x＋2 1′＝－x＋2 1′＝－2′x＋1x＋－122x＋1′ ＝x＋212.
(4)若f(x)＝cos x，则f′(x)＝
；
第7页/共45页
1 cos2x
(5)若f(x)＝tan x，－则sin12fx′(x)＝
axln a
；
ex
(6)若f(x)＝cot x，x则ln1 af′(x)＝ 1 x
(7)若f(x)＝ax，第8则页/共4f5′页(x)＝
导数的运算法则 f′(x)±g′(x)
又 y′＝2ax＋b，曲线过点 P(2，－1)的切线的斜率为 4a＋b
＝1.
曲线过点(2，－1)，所以有 4a＋2b＋c＝－1.
a＋b＋c＝1， 联立4a＋b＝1，
4a＋2b＋c＝－1，
a＝3， 解之，得b＝－11，
c＝9，
所以 a、b、c 的值分别为 3、－11、9.
第35页/共45页
1．可导函数的和、差、积、商的可导性
第13页/共45页
(2)方法一：∵y＝2·x－2＋3·x－3， ∴y′＝(2x－2＋3x－3)′ ＝(2x－2)′＋(3x－3)′ ＝－4x－3－9x－4＝－x34＋－x49＝－x43－x94. 方法二：y′＝x22＋x33′＝x22′＋x33′ ＝2′x2－x4x2′·2＋3′·x3－x6x3′·3＝－x43－x94.
41导数加法和减法法则.doc
§ 4. 1导数的加法与减法法则姓名___________________一、学习目标：1.了解两个函数的和、差的求导公式；2.会运用上述公式，求含有和、差综合运算的函数的导数；3.能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。
二、学习过程(%1)复习【自主及时完成】：1・设函数=/(x),当自变量X从必变到孟时，函数值从/(兀())变到f(x}),函数值y关于X的平均变化率为0 二 /(兀1)—/(兀0)二 /(兀0 + 心)一/(兀0)Ax x x -x0Ar当岳趋于必，即趋于0时，如果平均变化率趋于一个 ___________________ (这个值称为：当筑趋于必时，平均变化率的极限)，那么这个值就是函数y = /(X)在点必的_____________________ 。
在数学上，称瞬时变化率为函数y = /(x)在点師的 _______________ ,通常用符号广(兀。
)或/|_0表示，记作/z(x0)= ____________________________ o2.导数(函数的瞬时变化率)的几何意义：函数y=fix)在x=x0处的导数等于在该点( _________________ , _________ )处的切线的斜率k,即广(兀o)= _____________________________ o3・函数y=/U)在点兀°处切线的方程是________________________________________________ .(1)求曲线在P点处的切线方程的基本步骤：①求出确定P 点的坐标(x(),/(x0))；②求出函数在点忑处的变化率(函数在x= X R处的导数)/z(x0) = lim = k ,得到曲线在点u AVT O Ar(勺,/(勺))的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.4.导函数【自主完成】一般地，如果一个函数/U)在区间S，〃)上的每一点兀处都有导数，导数值记为_____________ :f (x)=lim _______________ ,则f(X)是关于X的函数，称f (工)为/U)的导函数，通常也简称为导数.5・求导公式常数函数的导数：①若f(x)=C f则f (x)= __________ :幕函数的导数：②若/U)=X"(XWN+),则/‘(x)= ___________ ；三角函数的导数：③若f(x)=sinx,则f (x)= __________ ；④若f(x)=cosx f则f (x)= ___________ ;指数函数的导数：⑤若f(x)=a x t则f (x)= _______________ («>0)；⑥若/(x)=e\则f (x)= ___________ ；对数函数的导数：⑦若f(x) = log«x ,贝U f (x) = __________________________ (<z>0 ,且aHl)；⑧若/(x)=lnx,则f (x)= _________ ・(%1)自主解答课本42页“实例分析”：求函数y=f(x)=x4-%2导函数。
导数的运算法则教案
导数的运算法则教案公开课教案：导数的四则运算法则第一小节：导数的加法与减法法则教学目标：1.知识与技能：了解函数的和、差的导数公式的推导；掌握两个函数的和、差、积、商的求导法则；能正确运用两个函数的和差积商的求导法则和已有的导数公式求某些简单函数的导数。
2.过程与方法：利用学生已掌握的导数的定义，得出一个简单的两个函数的和的导数，从而提出问题，引入课题，通过学生的猜想、尝试，探究出函数的和、差、积、商的求导法则，使学生加深对求导法则的理解。
3.情感与价值观：通过学生的主动参与，师生、生生的合作交流，提高学生的研究兴趣，激发其求知欲，培养探索精神。
教学重点：掌握函数的和、差、积、商的求导法则。
教学难点：学生对积和商的求导法则的理解和运用。
教学方法：本节在教学中可运用尝试探索、类比联想、变式练等方法进行。
教学过程：1.复基本求导公式：1) c' = 0 (c为常数)；2) (x^α)' = αx^(α-1) (α为常数）；3) (ax)' = axlna(a非且a≠1)；4) (log_a x)' = 1/(xlna) (a非且a≠1)；5) (e^x)' = e^x；6) (lnx)' = 1/x；7) (sinx)' = cosx；8) (cosx)' = -sinx.复引入：让学生回顾学过的知识，有利于本节课的顺利进行。
2.回顾导数的定义：f'(x) = lim(Δy/Δx) (Δx→0)3.学生尝试，利用导数定义求f(x) = x + x^2 的导数。
4.猜想：(f(x)+g(x))' = f'(x) + g'(x)问题：对于上面的猜想，即(f(x)+g(x))' = f'(x) + g'(x)，教师提出问题，学生思考回答。
让学生自己动手证明，教师检查写的过程。
同样可得(f(x)-g(x))' = f'(x) - g'(x)概念形成：教师给予确认，让学生自己证明。
高二导数的加法与减法法则学案学生版.doc
吴起高级中学“三案合一”高二数学导学案（学生版）编号47 编写人高洁审核人_____________________ 执教人—学习日期 ___________班级 _____ 小组_______ 姓名__________ 完成等级_______ 学案检查人—学习内容与程序我的收获与疑惑课题：导数的加法与减法法则学习目标：1.了解导数的加、减法则的推导.2、理解导数的加、减法则并能运用学习重点：理解导数的加、减法则并能运用.学习难点：导数加法与减法法则的推导.学法指导：应用导数的加减运算法则和已学过的常用函数的导数公式可迅速解决一类简单函数的求导问题，要透彻理解函数求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内在联系及其规律.学习过程：一、自主学习★1、实例分析：求函数^ =/（%） = % +x 2的导函数。
★★2、抽象概括两个函数和（差）的导数计算法则：二、合作探究★1、求下列函数的导数：(1) y =x 2 + 2X(2) y = V^-lnx★★2、求曲线v =x3--在店(1, 0)处的切线方程。
三、拓展延伸★★已知抛物线y=aH+bx+c过点(1, 1),且在点(2, —1) 处与直线y—3相切，求a、b、c的值.作业检测：★ 1、若对任意x£R, f' (x) =3#, y( — l) =1,则/V)= .★★2、求下列函数的导数：(1) y =x2 + 2x(2) y =3X -x31 1 丄(2) y =x 2 +lnx (4) y =e x --------- x 3★★★3、求曲线在v =x -■在点（1, 0）处的切线方程★★★典型习题:求垂直于直线2T-6y+l = 0并且与曲线y=/+ 3# — 5相切的直线方程.。
新教材高中数学第二章导数的加法与减法法则：导数的乘法与除法法则pptx课件北师大版选择性必修第二册
导数的乘法与除法法则
目录索引
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
1.掌握导数的四则运算法则.
课标要求 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数四则运算法则
求简单函数的导数.
基础落实·必备知识全过关
知识点 导数的四则运算法则
积形式的求导变为和差形式求导更为简洁.
变式训练2求下列函数的导数.
2 +1
(1)y= 2 ;(2)y=xsin
+3
2
x.
cos
(2 +1)'(2 +3)-(2 +1)(2 +3)' 2(2 +3)-2(2 +1)
解 (1)y'=
(2)y'=(xsin
(2 +3)2
2
x)'-(cos)'=x'sin
=sin x+xcos
2sin
x- 2 .
cos
=
x+x(sin
(2 +3)2
2'cos-2(cos)'
x)'- cos2
=
4
(2 +3)2
.
探究点三
求导法则的综合应用
角度1.求导法则的逆向应用
【例3】 设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等的实根,且f'(x)=2x+1.
(2)y'=(x2-log
3
x)'=(x2)'-(log
1
3x)'= 2x-ln3.
北师大版选修1《导数的加法与减法法则》教案及教学反思
北师大版选修1《导数的加法与减法法则》教案及教学反思一、教学目标1.理解导数与函数的概念；2.掌握导数的加法和减法法则；3.能够应用导数的加法和减法法则解决相关问题。
二、教学内容1. 复习本节课的内容是导数的加法和减法法则，属于高一数学选修1的内容。
在进行本节课的学习之前，需要先复习前面所学的导数基本概念、导数的定义及其计算方法等。
2. 导数的加法法则处可导，导数的加法法则是指：若函数f(x)和g(x)都在一点x则它们的和函数(f+g)(x)在x处也可导，并且有(f+g)′(x0)=f′(x0)+g′(x0)在讲解导数的加法法则的时候，我们可以先通过几个例子，让学生感性理解这个法则。
例如：例1.求函数f(x)=x2和g(x)=2x在x=1处的导数。
解：由导数的加法法则可知，(f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x)因此，(x2+2x)′=2x+2=4所以f(x)=x2和g(x)=2x在x=1处的导数为4。
3. 导数的减法法则处可导，导数的减法法则是指：若函数f(x)和g(x)都在一点x处也可导，并且有则它们的差函数(f−g)(x)在x(f−g)′(x0)=f′(x0)−g′(x0)同样地，我们也可以通过几个例子，让学生感性理解这个法则。
例如：例2.求函数ℎ(x)=x2−2x和i(x)=2x−1在x=1处的导数。
解：由导数的减法法则可知，(ℎ(x)−i(x))′=ℎ′(x)−i′(x)因此，(x2−2x)−(2x−1)′=(2x−2)−(2)=0所以ℎ(x)=x2−2x和i(x)=2x−1在x=1处的导数为0。
4. 课堂练习为了让学生更好地掌握导数的加法和减法法则，我们需要在课堂上进行相关的练习。
这些练习可以是教师布置的作业，也可以是课堂上解题的演示。
例如：练习1.求函数$f(x)=\\sqrt{x}+2$和$g(x)=\\frac{1}{x}$在x=4处的导数。
练习2.求函数ℎ(x)=x3+2x−1和i(x)=3x2−2x+1的公切线方程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4．1 导数的加法与减法法则
明目标、知重点
1．理解导数的加减法法则．
2．运用导数公式和导数的加法、减法法则求一些函数的导数．
导数的加法与减法法则
两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)，即[f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )，
[f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x )．
[情境导学]
前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．对于由四则运算符号连接的两个或两个以上基本初等函数的导数如何求，正是本节要研究的问题．
探究点一 导数的加法与减法法则
思考1 怎样求函数y ＝f (x )＝x ＋x 2的导函数，可得出什么结论？
答 根据导数定义
Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )
＝(x ＋Δx )＋(x ＋Δx )2－(x ＋x 2)
＝Δx ＋2x ·Δx ＋(Δx )2.
∴Δy Δx
＝1＋2x ＋Δx ， ∴lim Δx →0Δy Δx
＝1＋2x ， 即f ′(x )＝1＋2x .结论：(x ＋x 2)′＝x ′＋(x 2)′.
思考2 将思考1的结论推广，可得到导数的加法、减法法则，请你写出来． 答 [f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )，
[f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x )．
例1 求下列函数的导数．
(1)y ＝x 3＋x 2＋x ；(2)y ＝2x ＋x .
解 (1)y ′＝(x 3＋x 2＋x )′＝(x 3)′＋(x 2)′＋(x )′
＝3x 2＋2x ＋1.
(2)y ′＝(2x ＋x )′＝(2x )′＋(x )′＝2x ln2＋1
2x . 反思与感悟 利数导数的加法与减法法则，将两个函数的和差的导数转化为两个函数的导数的和差．
跟踪训练1 已知f (x )＝tan x ＋sin x ，求f ′⎝⎛⎭⎫π3.
解 f ′(x )＝(tan x )′＋(sin x )′＝
1cos 2x
＋cos x ， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π3＝4＋12＝92
. 探究点二 导数的应用
例2 已知函数f (x )＝x 3＋x ，求函数在点(2,10)处的切线方程．
解 f ′(x )＝(x 3＋x )′＝(x 3)′＋(x )′＝3x 2＋1.
∴f ′(2)＝3×22＋1＝13.
∴所求切线的斜率是13.
∴切线方程为y －10＝13(x －2)，即13x －y －16＝0.
∴所求切线的方程是13x －y －16＝0.
反思与感悟 导数的几何意义是曲线的切线的斜率，对于较复杂函数的求导，可利用导数公式和运算法则．
跟踪训练2 已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，求曲线y ＝f (x )在x ＝π4
处的切线方程． 解 ∵f ′(x )＝(sin x ＋cos x )′
＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x ，
∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝cos π4－sin π4
＝0. ∴曲线y ＝f (x )在x ＝π4
处的切线斜率为0. 又f ⎝⎛⎭⎫π4＝2，∴所求切线方程为y ＝ 2.
1．函数f (x )＝sin x ＋x 的导数是( )
A ．f ′(x )＝cos x ＋1
B ．f ′(x )＝cos x －1
C ．f ′(x )＝－cos x ＋1
D ．f ′(x )＝－cos x ＋x 答案 A
2．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( )。