2020高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算增分练

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【数学】2020届高考数学一轮复习：第一章集合与常用逻辑用语

第一章⎪⎪⎪集合与常用逻辑用语第一节集__合1．集合的相关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． (2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (4)五个特定的集合：集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN *或N ＋QR2．集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A 的元素都是集合B的元素∈A ⇒∈BA ⊆B 或B ⊇A真子集集合A 是集合B 的子集，且集合B 中至少有一个元素不属于AA ⊆B ，且存在0∈B ，0∉AA B 或B A 相等集合A ，B 的元素完全相同 A ⊆B ，B ⊆A A ＝B 空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集任意的，∉∅，∅⊆A ∅3．集合的基本运算表示运算文字语言符号语言图形语言记法交集属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合{|∈A ，且∈B }A ∩B并集属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合{|∈A ，或∈B }A ∪B补集全集U 中不属于集合A 的元素组成的集合{|∈U ，且∉A }∁U A4．集合问题中的几个基本结论 (1)集合A 是其本身的子集，即A ⊆A ；(2)子集关系的传递性，即A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C ；(3)A ∪A ＝A ∩A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∩∅＝∅，∁U U ＝∅，∁U ∅＝U . (4)A ∩B ＝A ⇒A ⊆B ，A ∪B ＝B ⇒A ⊆B . [小题体验]1．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{|0＜＜5，∈N }，则满足A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案：D2．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，则集合A ∪B 中元素的个数为________．答案：53．(2018·江苏高考)已知集合A ＝{0,1,2,8}，B ＝{－1,1,6,8}，那么A ∩B ＝________. 解析：A ∩B ＝{0,1,2,8}∩{－1,1,6,8}＝{1,8}．答案：{1,8}1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件．2．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．3．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身． 4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．[小题纠偏]1．(2019·浙江名校联考)已知∁R M ＝{|ln||＞1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝1x ，x ＞0，则M ∪N ＝( ) A ．(0，e] B ．[－e ，＋∞) C ．(－∞，－e]∪(0，＋∞)D ．[－e ，e]解析：选B 由ln||＞1得||＞e ，∴M ＝[－e ，e]．N ＝(0，＋∞)，∴M ∪N ＝[－e ，＋∞)．故选B.2．若集合A ＝{|－2≤≤5}，B ＝{|m ＋1≤≤2m －1}，且B ⊆A ，则由m 的可能取值组成的集合为________．解析：当m ＋1＞2m －1，即m ＜2时，B ＝∅，满足B ⊆A ；若B ≠∅，且满足B ⊆A ，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≥－3，m ≤3，所以2≤m ≤3.故m ＜2或2≤m ≤3，即所求集合为{m |m ≤3}．答案：{m |m ≤3}3．已知集合A ＝{0, ＋1，2－5}，若－4∈A ，则实数的值为________．解析：∵－4∈A ，∴＋1＝－4或2－5＝－4. ∴＝－5或＝1或＝4.若＝1，则A ＝{0, 2，－4}，满足条件；若＝4，则A ＝{0, 5，－4}，满足条件；若＝－5，则A ＝{0，－4,50}，满足条件．所以＝1或＝4或－5. 答案：1或4或－5考点一集合的基本概念(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．下列命题正确的有( ) ①很小的实数可以构成集合；②(易错题)集合{}y |y ＝x 2－1与集合{(，y )|y ＝2－1}是同一个集合； ③1，32，64，⎪⎪⎪⎪－12，0.5这些数组成的集合有5个元素； ④集合{(，y )|y ≤0，，y ∈R }是指第二和第四象限内的点集． A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：选A 由题意得，①不满足集合的确定性，故错误；②两个集合，一个是数集，一个是点集，故错误；③中⎪⎪⎪⎪－12＝0.5，出现了重复，不满足集合的互异性，故错误；④不仅仅表示的是第二、四象限的点，还可表示原点，故错误．综上，没有正确命题，故选A.2．已知a ＞0，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，4，b a ＝{a －b,0，a 2}，则a 2＋b 2的值为( )C ．6D ．8解析：选B 由已知得a ≠0，则ba ＝0，所以b ＝0，于是a 2＝4，即a ＝2或a ＝－2，因为a ＞0，所以a ＝2，故a 2＋b 2＝22＋02＝4.3．若集合A ＝{∈R |a 2－3＋2＝0}中只有一个元素，则a 等于( ) A.92 B.98 C ．0D ．0或98解析：选D 若集合A 中只有一个元素，则方程a 2－3＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，＝23，符合题意．当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98，所以a 的值为0或98.4．(易错题)(2019·江西重点中学协作体联考)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4} ，M ＝{|＝ab ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中的元素个数为________．解析：结合题意列表计算M 中所有可能的值如下：观察可得：M ＝{2,3,4,6,8,9,12}，据此可知M 中的元素个数为7. 答案：7[谨记通法]与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．考点二集合间的基本关系(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．已知集合M ＝{1,2,3,4}，则集合P ＝{|∈M 且2∉M }的子集有( )C ．3个D ．2个解析：选B 由题意，得P ＝{3,4}，所以集合P 的子集有22＝4个． 2．已知集合A ＝{|2＋－2＝0}，B ＝{|a ＝1}，若B ⊆A ，则a ＝( ) A ．－12或1B ．2或－1C ．－2或1或0D ．－12或1或0解析：选D 集合A ＝{|2＋－2＝0}＝{－2,1}．当＝－2时，－2a ＝1，解得a ＝－12；当＝1时，a ＝1；又因为B 是空集时也符合题意，这时a ＝0，故选D.[由题悟法]集合间基本关系的两种判定方法和一个关键[即时应用]1．集合{a ，b ，c ，d ，e }的真子集的个数为( ) A ．32 B ．31 C ．30D ．29解析：选B 因为集合有5个元素，所以其子集的个数为25＝32个，其真子集的个数为25－1＝31个．2．已知集合A ＝{|－1＜＜3}，B ＝{|－m ＜＜m }，若B ⊆A ，则m 的取值范围为________．解析：当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m ＞0时， ∵A ＝{|－1＜＜3}．当B ⊆A 时，在数轴上标出两集合，如图，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m ＜m .∴0＜m ≤1.综上所述m 的取值范围为(－∞，1]．答案：(－∞，1]考点三集合的基本运算(题点多变型考点——多角探明)[锁定考向]集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力．常见的命题角度有： (1)集合的运算；(2)利用集合运算求参数； (3)新定义集合问题．[题点全练]角度一：集合的运算1．(2018·北京高考)已知集合A ＝{|||＜2}，B ＝{－2,0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0,1} B ．{－1,0,1} C ．{－2,0,1,2}D ．{－1,0,1,2}解析：选A ∵A ＝{|||＜2}＝{|－2＜＜2}， B ＝{－2,0,1,2}， ∴A ∩B ＝{0,1}．故选A.2．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{|2－－2＞0}，则∁R A ＝( ) A ．{|－1＜＜2} B ．{|－1≤≤2} C ．{|＜－1}∪{|＞2}D ．{|≤－1}∪{|≥2}解析：选B ∵2－－2＞0，∴(－2)(＋1)＞0， ∴＞2或＜－1，即A ＝{|＞2或＜－1}．则∁R A ＝{|－1≤≤2}．故选B. 角度二：利用集合运算求参数3．(2019·浙江联盟校联考)已知集合P ＝{|－1＜＜1}，Q ＝{|0＜＜a }，若P ∪Q ＝{|－1＜＜2}，则实数a 的值为( )A ．1B ．2C ．12D ．32解析：选B 因为P ＝{|－1＜＜1}，Q ＝{|0＜＜a }，所以当a ≤1时，P ∪Q ＝{|－1＜＜1}，不符合题意；当a ＞1时，P ∪Q ＝{|－1＜＜a }，结合P ∪Q ＝{|－1＜＜2}，可得a ＝2.角度三：新定义集合问题4．如果集合A ，B ，同时满足A ∪B ＝{1,2,3,4}，A ∩B ＝{1}，A ≠{1}，B ≠{1}，就称有序集对(A ，B )为“好集对”．这里有序集对(A ，B )是指当A ≠B 时，(A ，B )和(B ，A )是不同的集对，那么“好集对” 一共有( )个( )A．5个B．6个C．7个D．8个解析：选B因为A∪B＝{1,2,3,4}，A∩B＝{1}，A≠{1}，B≠{1}，所以当A＝{1,2}时，B＝{1,3,4}；当A＝{1,3}时，B＝{1,2,4}；当A＝{1,4}时，B＝{1,2,3}；当A＝{1,2,3}时，B＝{1,4}；当A＝{1,2,4}时，B＝{1,3}；当A＝{1,3,4}时，B＝{1,2}．所以满足条件的“好集对”一共有6个，故选B.[通法在握]解集合运算问题4个技巧[演练冲关]1．(2019·浙江十校联盟适考)已知集合A＝{|1＜＜4}，B＝{∈|2－6＜0}，则(∁R A)∩B＝()A．{1,4} B．{4,5}C．{1,4,5} D．{2,3}解析：选C法一：由2－6＜0可得0＜＜6，所以B＝{1,2,3,4,5}，又∁R A＝{|≤1或≥4}，所以(∁R A)∩B＝{1,4,5}．法二：因为求的是(∁R A)∩B，故排除D，又1,5∈∁R A,1，5∈B，故选C.2．(2019·长沙模拟)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{|2－3＋a＝0，a∈A}，若A∩B≠∅，则a 的值为()A．1 B．2C．3 D．1或2解析：选B当a＝1时，2－3＋1＝0，无整数解，则A∩B＝∅；当a＝2时，B＝{1,2}，A∩B＝{1,2}≠∅；当a＝3时，B＝∅，A∩B＝∅.因此实数a＝2.3．(2019·杭州高三四校联考)设集合A＝{|(－3)(－a)＝0，a∈R}，B＝{|(－1)(－4)＝0}，则A∪B的子集个数最多为()A．2 B．4C．8 D．16解析：选D由题意可知，要使A∪B的子集个数最多，则需A∪B中的元素个数最多，此时a≠1，a≠3，且a≠4，即集合A＝{3，a}，B＝{1,4}，A∪B＝{1,3,4，a}，故A∪B的子集最多有24＝16个．4．如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合A B为阴影部分表示的集合．若，y∈R，A＝{|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝3，＞0}，则A B为()A．{|0＜＜2} B．{|1＜≤2}C．{|0≤≤1或≥2} D．{|0≤≤1或＞2}解析：选D因为A＝{|0≤≤2}，B＝{y|y＞1}，A∪B＝{|≥0}，A∩B＝{|1＜≤2}，所以A B＝∁A∪B(A∩B)＝{|0≤≤1或＞2}，故选D.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·浙江考前热身联考)已知集合M＝{|y＝2x－x2}，N＝{|－1＜＜1}，则M∪N ＝()A．[0,1)B．(－1,2)C．(－1,2] D．(－∞，0]∪(1，＋∞)解析：选C法一：易知M＝{|0≤≤2}，又N＝{|－1＜＜1}，所以M∪N＝(－1,2]．故选C.法二：取＝2，则2∈M，所以2∈M∪N，排除A、B；取＝3，则3∉M,3∉N，所以3∉M∪N，排除D，故选C.2．(2019·浙江三地联考)已知集合P＝{|||x＜2}，Q＝{|－1≤≤3}，则P∩Q＝()A．[－1,2) B．(－2,2)C．(－2,3] D．[－1,3]解析：选A由||＜2，可得－2＜＜2，所以P＝{|－2＜＜2}，所以P∩Q＝[－1,2)．3．(2018·嘉兴期末测试)已知集合P＝{|＜1}，Q＝{|＞0}，则()A．P⊆Q B．Q⊆PC．P⊆∁R Q D．∁R P⊆Q解析：选D由已知可得∁R P＝[1，＋∞)，所以∁R P⊆Q.故选D.4．(2018·浙江吴越联盟第二次联考)已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{2,4,6}，P＝M∩N，则P的子集有________个．解析：集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{2,4,6}，P＝M∩N＝{2,4}，则P的子集有∅，{2}，{4}，{2,4}，共4个.答案：45．已知集合A ＝{|≥3}，B ＝{|≥m }，且A ∪B ＝A ，则实数m 的取值范围是________．解析：因为集合A ＝{|≥3}，B ＝{|≥m }，且A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ，如图所示，所以m ≥3. 答案：[3，＋∞)二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·杭州七校联考)已知集合A ＝{|2＞1}，B ＝{|(2－1)(2－4)＝0}，则集合A ∩B 中的元素个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B A ＝{|＜－1或＞1}，B ＝{－2，－1,1,2}，A ∩B ＝{－2,2}，故选B. 2．(2019·浙江六校联考)已知集合U ＝{|y ＝3x }，A ＝{|y ＝log 9}，B ＝{y |y ＝－2}则A ∩(∁U B )＝()A ．∅B ．RC ．{|＞0}D ．{0}解析：选C 由题意得，U ＝R ，A ＝{|＞0}，因为y ＝－2＜0，所以B ＝{y |y ＜0}，所以∁U B ＝{|≥0}，故A ∩(∁U B )＝{|＞0}．故选C.3．(2019·永康模拟)设集合M ＝{|2－2－3≥0}，N ＝{|－3＜＜3}，则( ) A ．M ⊆N B ．N ⊆M C ．M ∪N ＝RD ．M ∩N ＝∅解析：选C 由2－2－3≥0，解得≥3或≤－1，所以M ＝{|≤－1或≥3}，所以M ∪N ＝R .4．(2019·宁波六校联考)已知集合A ＝{|2－3＜0}，B ＝{1，a }，且A ∩B 有4个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,1)∪(1,3)C ．(0,1)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：选B ∵A ∩B 有4个子集，∴A ∩B 中有2个不同的元素，∴a ∈A ，∴a 2－3a ＜0，解得0＜a ＜3且a ≠1，即实数a 的取值范围是(0,1)∪(1,3)，故选B.5．(2018·镇海中学期中)若集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪y ＝lg2－x x ，N ＝{|＜1}，则M ∪N ＝( ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(－∞，2)D ．(0，＋∞)解析：选C 集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪y ＝lg2－xx ＝{|0＜＜2}，N ＝{|＜1}．M ∪N ＝{|＜2}＝(－∞，2)．故选C.6．设集合A ＝{|2－－2≤0}，B ＝{|＜1，且∈}，则A ∩B ＝________.解析：依题意得A ＝{|(＋1)(－2)≤0}＝{|－1≤≤2}，因此A ∩B ＝{|－1≤＜1，∈}＝{－1,0}．答案：{－1,0}7．(2018·嘉兴二模)已知集合A ＝{|－1≤≤2}，B ＝{|2－4≤0}，则A ∪B ＝________，A ∩(∁RB )＝________.解析：因为B ＝{|2－4≤0}＝{|0≤≤4}，所以A ∪B ＝{|－1≤≤4}；因为∁R B ＝{|＜0或＞4}，所以A ∩(∁R B )＝{|－1≤＜0}．答案：{|－1≤≤4} {|－1≤＜0}8．设集合A ＝{(，y )|y ≥|－2|，≥0}，B ＝{(，y )|y ≤－＋b }，A ∩B ≠∅. (1)b 的取值范围是________；(2)若(，y )∈A ∩B ，且＋2y 的最大值为9，则b 的值是________．解析：由图可知，当y ＝－往右移动到阴影区域时，才满足条件，所以b ≥2；要使＝＋2y 取得最大值，则过点(0，b )，有0＋2b ＝9⇒b ＝92. 答案：(1)[2，＋∞) (2)929．已知集合A ＝{|4≤2≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________．解析：集合A ＝{|4≤2≤16}＝{|22≤2≤24}＝{|2≤≤4}＝[2,4]，因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]10．已知集合A ＝{|(＋2m )(－m ＋4)＜0}，其中m ∈R ，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1－x x ＋2＞0.(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围； (2)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：(1)集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 1－xx ＋2＞0＝{|－2＜＜1}．当A ＝∅时，m ＝43，不符合题意．当A ≠∅时，m ≠43.①当－2m ＜m －4，即m ＞43时，A ＝{|－2m ＜＜m －4}，又因为B ⊆A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞43，－2m ≤－2，m －4≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞43，m ≥1，m ≥5，所以m ≥5.②当－2m ＞m －4，即m ＜43时，A ＝{|m －4＜＜－2m }，又因为B ⊆A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＜43，－2m ≥1，m －4≤－2，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜43，m ≤－12，m ≤2，所以m ≤－12.综上所述，实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[5，＋∞)． (2)由(1)知，B ＝{|－2＜＜1}．当A ＝∅时，m ＝43，符合题意．当A ≠∅时，m ≠43.①当－2m ＜m －4，即m ＞43时，A ＝{|－2m ＜＜m －4}，又因为A ∩B ＝∅，所以－2m ≥1或者m －4≤－2，即m ≤－12或者m ≤2，所以43＜m ≤2.②当－2m ＞m －4，即m ＜43时，A ＝{|m －4＜＜－2m }，又因为A ∩B ＝∅，所以m －4≥1或者－2m ≤－2，即m ≥5或者m ≥1，所以1≤m ＜43.综上所述，实数m 的取值范围为[1,2]．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．对于复数a ，b ，c ，d ，若集合S ＝{a ，b ，c ，d }具有性质“对任意，y ∈S ，必有y ∈S ”，则当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b 2＝1，c 2＝b时，b ＋c ＋d 等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．i解析：选B ∵S ＝{a ，b ，c ，d }，由集合中元素的互异性可知当a ＝1时，b ＝－1，c 2＝－1，∴c ＝±i ，由“对任意，y ∈S ，必有y ∈S ”知±i ∈S ，∴c ＝i ，d ＝－i 或c ＝－i ，d＝i ，∴b ＋c ＋d ＝(－1)＋0＝－1.2．对于集合M ，N ，定义M －N ＝{|∈M ，且∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )，设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥－94，x ∈R ，B ＝{|＜0，∈R }，则A ⊕B ＝( )A.⎝⎛⎭⎫－94，0B.⎣⎡⎭⎫－94，0 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－94∪[0，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－94∪(0，＋∞) 解析：选C 依题意得A －B ＝{|≥0，∈R }，B －A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＜－94，x ∈R ，故A ⊕B ＝⎝⎛⎭⎫－∞，－94∪[0，＋∞)．故选C.3．已知函数f ()＝x －3－17－x的定义域为集合A ，且B ＝{∈|2＜＜10}，C ＝{∈R |＜a 或＞a ＋1}．(1)求：A 和(∁R A )∩B ；(2)若A ∪C ＝R ，求实数a 的取值范围．解：(1)要使函数f ()＝x －3－17－x，应满足－3≥0，且7－＞0，解得3≤＜7，则A ＝{|3≤＜7}，得到∁R A ＝{|＜3或≥7}，而B ＝{∈|2＜＜10}＝{3,4,5,6,7,8,9}，所以(∁R A )∩B ＝{7,8,9}．(2)C ＝{∈R |＜a 或＞a ＋1}，要使A ∪C ＝R ，则有a ≥3，且a ＋1＜7，解得3≤a ＜6. 故实数a 的取值范围为[3,6)．第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题概念使用语言、符号或者式子表达的，可以判断真假的陈述句特点(1)能判断真假；(2)陈述句分类真命题、假命题2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.3．充要条件若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p成立的对象的集合为A，q成立的对象的集合为B p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒/p A是B的真子集集合与充要条件p是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒p B是A的真子集p是q的充要条件p⇔q A＝B p是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/p A，B互不包含[小题体验]1．下列命题是真命题的是()A．若log2a＞0，则函数f()＝log a(a＞0，a≠1)在其定义域上是减函数B．命题“若y＝0，则＝0”的否命题C．“m＝3”是“直线(m＋3)＋my－2＝0与m－6y＋5＝0垂直”的充要条件D．命题“若cos ＝cos y，则＝y”的逆否命题答案：B2．(2019·温州高考适应性测试)已知α，β∈R，则“α＞β”是“cos α＞cos β”的() A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选Dα＞β⇒/ cos α＞cos β，如α＝π3，β＝π6，π3＞π6，而cosπ3＜cosπ6；cos α＞cos β⇒/ α＞β，如α＝π6，β＝π3，cosπ6＞cosπ3，而π6＜π3.故选D.3．设a，b是向量，则命题“若a＝－b，则|a|＝| b|”的逆否命题为：________.答案：若|a|≠|b|，则a≠－b1．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．易忽视A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/A)与A的充分不必要条件是B(B⇒A 且A⇒/B)两者的不同．[小题纠偏]1．(2019·杭州模拟)“＜0”是“ln(＋1)＜0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：B2．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题为：________________.解析：原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，结论：∠A，∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角”．答案：在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角考点一四种命题及其相互关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．命题“若a2＞b2，则a＞b”的否命题是()A．若a2＞b2，则a≤b B．若a2≤b2，则a≤bC．若a≤b，则a2＞b2D．若a≤b，则a2≤b2解析：选B根据命题的四种形式可知，命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”．该题中，p为a2＞b2，q为a＞b，故綈p为a2≤b2，綈q为a≤b.所以原命题的否命题为：若a2≤b2，则a≤b.2．命题“若2－3－4＝0，则＝4”的逆否命题及其真假性为()A．“若＝4，则2－3－4＝0”为真命题B．“若≠4，则2－3－4≠0”为真命题C．“若≠4，则2－3－4≠0”为假命题D．“若＝4，则2－3－4＝0”为假命题解析：选C根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为2－3－4＝0，所以＝4或－1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．3．给出以下四个命题：①“若＋y ＝0，则，y 互为相反数”的逆命题； ②(易错题)“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若q ≤－1，则2＋＋q ＝0有实根”的逆否命题； ④若ab 是正整数，则a ，b 都是正整数．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)解析：①命题“若＋y ＝0，则，y 互为相反数”的逆命题为“若，y 互为相反数，则＋y ＝0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab 是正整数，但a ，b 不一定都是正整数，例如a ＝－1，b ＝－3，故④为假命题．答案：①③[谨记通法]1．写一个命题的其他三种命题时的2个注意点 (1)对于不是“若p ，则q ”形式的命题，需先改写； (2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提． 2．命题真假的2种判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断． (2)利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断．考点二充分必要条件的判定(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2019·杭州高三四校联考)“a ＞－1”是“2＋a ＋14＞0(∈R )”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若2＋a ＋14＞0(∈R )，则a 2－1＜0，即－1＜a ＜1，所以“a ＞－1”是“2＋a ＋14＞0(∈R )”的必要不充分条件．故选A.2．(2019·杭州高三质检)设数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋2(n ∈N *)，则“＞2”是“数列{a n }为单调递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A法一：因为a n＝n＋2(n∈N*)，所以当＞2时，a n＋1－a n＝＞2，则数列{a n}为单调递增数列．若数列{a n}为单调递增数列，则a n＋1－a n＝＞0即可，所以“＞2”是“数列{a n}为单调递增数列”的充分不必要条件，故选A.法二：根据一次函数y＝＋b的单调性知，“数列{a n}为单调递增数列”的充要条件是“＞0”，所以“＞2”是“数列{a n}为单调递增数列”的充分不必要条件，故选A.[由题悟法]充要条件的3种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“y≠1”是“≠1或y≠1”的某种条件，即可转化为判断“＝1且y＝1”是“y＝1”的某种条件．[即时应用]1．设a＞0，b＞0，则“a2＋b2≥1”是“a＋b≥ab＋1”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B因为a＞0，b＞0，所以a＋b＞0，ab＋1＞0，故不等式a＋b≥ab＋1成立的充要条件是(ab＋1)2≤(a＋b)2，即a2＋b2≥a2b2＋1.显然，若a2＋b2≥a2b2＋1，则必有a2＋b2≥1，反之则不成立，所以a2＋b2≥1是a2＋b2≥a2b2＋1成立的必要不充分条件，即a2＋b2≥1是a＋b≥ab＋1成立的必要不充分条件．2．(2019·浙江期初联考)若a，b∈R，使|a|＋|b|＞4成立的一个充分不必要条件是() A．|a＋b|≥4 B．|a|≥4C．|a|≥2且|b|≥2 D．b＜－4解析：选D对选项A，若a＝b＝2，则|a|＋|b|＝2＋2≥4，不能推出|a|＋|b|＞4；对选项B，若a＝4≥4，b＝0，此时不能推出|a|＋|b|＞4；对选项C，若a＝2≥2，b＝2≥2，此时不能推出|a|＋|b|＞4；对选项D，由b＜－4可得|a|＋|b|＞4，但由|a|＋|b|＞4得不到b＜－4.故选D.3．(2019·宁波模拟)已知四边形ABCD为梯形，AB∥CD，l为空间一直线，则“l垂直于两腰AD，BC”是“l垂直于两底AB，DC”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A因为四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，所以腰AD，BC是交线，由直线与平面垂直的判定定理可知，当l垂直于两腰AD，BC时，l垂直于ABCD所在平面，所以l 垂直于两底AB ，CD ，所以是充分条件；当l 垂直于两底AB ，CD ，由于AB ∥CD ，所以l 不一定垂直于ABCD 所在平面，所以l 不一定垂直于两腰AD ，BC ，所以不是必要条件．所以是充分不必要条件．考点三充分必要条件的应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]若不等式x －m ＋1x －2m ＜0成立的一个充分不必要条件是13＜＜12，则实数m 的取值范围是______________．解析：令A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －m ＋1x －2m ＜0，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13＜x ＜12. 因为不等式x －m ＋1x －2m ＜0成立的充分不必要条件是13＜＜12，所以B ⊆A .①当m －1＜2m ，即m ＞－1时，A ＝{|m －1＜＜2m }．由B ⊆A 得⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≤13，2m ≥12，m ＞－1，解得14≤m ≤43；②当m －1＝2m ，即m ＝－1时，A ＝∅，不满足B ⊆A ； ③当m －1＞2m ，即m ＜－1时，A ＝{|2m ＜＜m －1}．由B ⊆A 得⎩⎪⎨⎪⎧2m ≤13，m －1≥12，m ＜－1，此时m 无解．综上，m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤14，43.答案：⎣⎡⎦⎤14，43[由题悟法]根据充要条件求参数的值或取值范围的关键点(1)先合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．[即时应用]1．(2019·杭州名校大联考)已知条件p ：|＋1|＞2，条件q ：＞a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－3，＋∞)D ．(－∞，－3]解析：选A 由|＋1|＞2，可得＞1或＜－3，所以綈p ：－3≤≤1；又綈q ：≤a .因为綈p 是綈q 的充分不必要条件，所以a ≥1.2．已知“命题p ：(－m )2＞3(－m )”是“命题q ：2＋3－4＜0”成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________________．解析：命题p ：＞m ＋3或＜m ，命题q ：－4＜＜1.因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以m ＋3≤－4或m ≥1，故m ≤－7或m ≥1.答案：(－∞，－7]∪[1，＋∞)一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．“(2－1)＝0”是“＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若(2－1)＝0，则＝12或＝0，即不一定是＝0；若＝0，则一定能推出(2－1)＝0.故“(2－1)＝0”是“＝0”的必要不充分条件．2．设a ，b ∈R ，则“a 3＞b 3且ab ＜0”是“1a ＞1b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由a 3＞b 3，知a ＞b ，由ab ＜0，知a ＞0＞b ，所以此时有1a ＞1b ，故充分性成立；当1a ＞1b 时，若a ，b 同号，则a ＜b ，若a ，b 异号，则a ＞b ，所以必要性不成立．故选A.3．设φ∈R ，则“φ＝0”是“f ()＝cos(＋φ)(∈R )为偶函数”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A若φ＝0，则f()＝cos 为偶函数；若f()＝cos(＋φ)(∈R)为偶函数，则φ＝π(∈)．故“φ＝0”是“f()＝cos(＋φ)(∈R)为偶函数”的充分不必要条件．4．命题p：“若2＜1，则＜1”的逆命题为q，则p与q的真假性为()A．p真q真B．p真q假C．p假q真D．p假q假解析：选B q：若＜1，则2＜1.∵p：2＜1，则－1＜＜1.∴p真，当＜1时，2＜1不一定成立，∴q假，故选B.5．若＞5是＞a的充分条件，则实数a的取值范围为()A．(5，＋∞) B．[5，＋∞)C．(－∞，5) D．(－∞，5]解析：选D由＞5是＞a的充分条件知，{|＞5}⊆{|＞a}，∴a≤5，故选D.二保高考，全练题型做到高考达标1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：选B依题意得，原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”．2．命题“对任意实数∈[1,2]，关于的不等式2－a≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是()A．a≥4 B．a≤4C．a≥3 D．a≤3解析：选C即由“对任意实数∈[1,2]，关于的不等式2－a≤0恒成立”可推出选项，但由选项推不出“对任意实数∈[1,2]，关于的不等式2－a≤0恒成立”．因为∈[1,2]，所以2∈[1,4]，2－a≤0恒成立，即2≤a，因此a≥4；反之亦然．故选C.3．有下列命题：①“若＋y＞0，则＞0且y＞0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m≥1，则m2－2(m＋1)＋m＋3＞0的解集是R”的逆命题；④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．其中正确的是()A．①②③B．②③④C ．①③④D ．①④解析：选C ①的逆命题为“若＞0且y ＞0，则＋y ＞0”为真，故否命题为真； ②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题； ③的逆命题为，若m 2－2(m ＋1)＋m ＋3＞0的解集为R ，则m ≥1. ∵当m ＝0时，解集不是R ，∴应有⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，Δ＜0，即m ＞1.∴③是真命题；④原命题为真，逆否命题也为真．4．(2019·浙江名校联考信息卷)已知直线l 的斜率为，倾斜角为θ，则“0＜θ≤π4”是“≤1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当0＜θ≤π4时，0＜≤1；反之，当≤1时，0≤θ≤π4或π2＜θ＜π.故“0＜θ≤π4”是“≤1”的充分不必要条件，故选A.5．命题“对任意∈[1,2)，2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( ) A ．a ≥4 B ．a ＞4 C ．a ≥1D ．a ＞1解析：选B 要使“对任意∈[1,2)，2－a ≤0”为真命题，只需要a ≥4，∴a ＞4是命题为真的充分不必要条件．6．命题“若a ＞b ，则ac 2＞bc 2(a ，b ∈R )”，否命题的真假性为________．解析：命题的否命题为“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”．若c ＝0，结论成立．若c ≠0，不等式ac 2≤bc 2也成立．故否命题为真命题．答案：真 7．下列命题：①“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的必要条件；②“|a |＞|b |”是“a 2＞b 2”的充要条件；③“a ＞b ”是“a ＋c ＞b ＋c ”的充要条件．其中是真命题的是________(填序号)．解析：①a ＞b ⇒/ a 2＞b 2，且a 2＞b 2⇒/ a ＞b ，故①不正确； ②a 2＞b 2⇔|a |＞|b |，故②正确；③a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c ，且a ＋c ＞b ＋c ⇒a ＞b ，故③正确．答案：②③8．已知α，β∈(0，π)，则“sin α＋sin β＜13”是“sin(α＋β)＜13”的________条件．解析：因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＜sin α＋sin β，所以若sin α＋sin β＜13，则有sin(α＋β)＜13，故充分性成立；当α＝β＝π2时，有sin(α＋β)＝sin π＝0＜13，而sin α＋sin β＝1＋1＝2，不满足sin α＋sin β＜13，故必要性不成立．所以“sin α＋sin β＜13”是“sin(α＋β)＜13”的充分不必要条件．答案：充分不必要 9．已知p ：实数m 满足m 2＋12a 2＜7am (a ＞0)，q ：方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆．若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．解析：由a ＞0，m 2－7am ＋12a 2＜0，得3a ＜m ＜4a ，即p ：3a ＜m ＜4a ，a ＞0.由方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，可得2－m ＞m －1＞0，解得1＜m ＜32，即q ：1＜m＜32.因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ＞1，4a ≤32或⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥1，4a ＜32，解得13≤a ≤38，所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，38.答案：⎣⎡⎦⎤13，3810．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{|＋m 2≥1}．若“∈A ”是“∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝2－32＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716， ∵∈⎣⎡⎦⎤34，2， ∴716≤y ≤2， ∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2. 由＋m 2≥1，得≥1－m 2， ∴B ＝{|≥1－m 2}．∵“∈A ”是“∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知p ：≥，q ：3x ＋1＜1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1]解析：选B 由3x ＋1＜1得，3x ＋1－1＝2－x x ＋1＜0，即(－2)(＋1)＞0，解得＜－1或＞2，由p 是q 的充分不必要条件知，＞2，故选B.2．在整数集中，被4除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为＝{4n ＋|n ∈}，＝0,1,2,3，则下列结论正确的为________(填序号)．①2 018∈[2]；②－1∈[3]；③＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]；④命题“整数a ，b 满足a ∈[1]，b ∈[2]，则a ＋b ∈[3]”的原命题与逆命题都正确；⑤“整数a ，b 属于同一类”的充要条件是“a －b ∈[0]”．解析：由“类”的定义＝{4n ＋|n ∈}，＝0,1,2,3，可知，只要整数m ＝4n ＋，n ∈，＝0,1,2,3，则m ∈，对于①中，2 018＝4×504＋2，所以2 018∈[2]，所以符合题意；对于②中，－1＝4×(－1)＋3，所以符合题意；对于③中，所有的整数按被4除所得的余数分为四类，即余数分别为0,1,2,3的整数，即四“类”[0]，[1]，[2]，[3]，所以＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]，所以符合题意；对于④中，原命题成立，但逆命题不成立，因为若a ＋b ∈[3]，不妨设a ＝0，b ＝3，则此时a ∉[1]且b ∉[2]，所以逆命题不成立，所以不符合题意；对于⑤中，因为“整数a ，b 属于同一类”，不妨设a ＝4m ＋，b ＝4n ＋，m ，n ∈，且＝0,1,2,3，则a －b ＝4(m －n )＋0，所以a －b ∈[0]；反之，不妨设a ＝4m ＋1，b ＝4n ＋2，m ，n ∈，1＝0,1,2,3，2＝0,1,2,3，则a －b ＝4(m －n )＋(1－2)，若a －b ∈[0]，则1－2＝0，即1＝2，所以整数a ，b 属于同一类，故“整数a ，b 属于同一类”的充要条件是“a －b ∈[0]”，所以符合题意．答案：①②③⑤3．已知全集U ＝R ，非空集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x －2x －(3a ＋1)＜0，B ＝{|(－a )(－a 2－2)＜0，命题p ：∈A ，命题q ：∈B .(1)当a ＝12时，若p 真q 假，求的取值范围； (2)若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝12时，A ＝{|2＜＜37}，B ＝{|12＜＜146}，因为p 真q 假．所以(∁U B )∩A ＝{|2＜≤12}，所以的取值范围为(2,12]．(2)若q 是p 的必要条件，即p ⇒q ，可知A ⊆B . 因为a 2＋2＞a ，所以B ＝{|a ＜＜a 2＋2}．当3a ＋1＞2，即a ＞13时，A ＝{|2＜＜3a ＋1}，应满足条件⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a 2＋2≥3a ＋1，解得13＜a ≤3－52；当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，不符合题意；当3a ＋1＜2，即a ＜13时，A ＝{|3a ＋1＜＜2}，应满足条件⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1，a 2＋2≥2解得－12≤a ＜13；综上所述，实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－12，13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13，3－52.命题点一集合及其运算1．(2018·浙江高考)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,3}，则∁U A ＝( ) A ．∅ B ．{1,3} C ．{2,4,5}D ．{1,2,3,4,5}解析：选C ∵U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,3}， ∴∁U A ＝{2,4,5}．2．(2018·天津高考)设全集为R ，集合A ＝{|0＜＜2}，B ＝{|≥1}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．{|0＜≤1} B ．{|0＜＜1} C ．{|1≤＜2}D ．{|0＜＜2}解析：选B ∵全集为R ，B ＝{|≥1}， ∴∁R B ＝{|＜1}． ∵集合A ＝{|0＜＜2}， ∴A ∩(∁R B )＝{|0＜＜1}．3．(2017·浙江高考)已知集合P ＝{|－1＜＜1}，Q ＝{|0＜＜2}，那么P ∪Q ＝( ) A ．(－1,2) B ．(0,1) C ．(－1,0)D ．(1,2)解析：选A 根据集合的并集的定义，得P ∪Q ＝(－1,2)．4．(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{|－1≥0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{1} C ．{1,2}D ．{0,1,2}解析：选C ∵A ＝{|－1≥0}＝{|≥1}，B ＝{0,1,2}，∴A ∩B ＝{1,2}．5．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(，y )|2＋y 2≤3，∈，y ∈}，则A 中元素的个数为( ) A ．9 B ．8 C ．5D ．4解析：选A 将满足2＋y 2≤3的整数，y 全部列举出，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.6．(2017·江苏高考)已知集合A ＝{1,2}，B ＝{a ，a 2＋3}．若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为________．解析：因为a 2＋3≥3，所以由A ∩B ＝{1}得a ＝1，即实数a 的值为1. 答案：1命题点二充要条件1．(2016·浙江高考)已知函数f ()＝2＋b ，则“b ＜0”是“f (f ())的最小值与f ()的最小值相等”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A∵f ()＝2＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋b 22－b 24，当＝－b 2时，f ()min ＝－b 24，又f (f ())＝(f ())2＋bf ()＝⎝⎛⎭⎫f (x )＋b 22－b 24，当f ()＝－b 2时，f (f ())min ＝－b 24，当－b 2≥－b 24时，f (f ())可以取到最小值－b24，即b 2－2b ≥0，解得b ≤0或b ≥2，故“b ＜0”是“f (f ())的最小值与f ()的最小值相等”的充分不必要条件．选A.2．(2017·浙江高考)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d ＞0⇔S 4＋S 6＞2S 5.3．(2015·浙江高考)设a ，b 是实数，则“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D 特值法：当a ＝10，b ＝－1时，a ＋b ＞0，ab ＜0，故a ＋b ＞0⇒/ ab ＞0；当a ＝－2，b ＝－1时，ab ＞0，但a ＋b ＜0，所以ab ＞0⇒/ a ＋b ＞0.故“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的既不充分也不必要条件．4．(2018·天津高考)设∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“3＜1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由⎪⎪⎪⎪x －12＜12，得0＜＜1，则0＜3＜1，即“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”⇒“3＜1”；由3＜1，得＜1，当≤0时，⎪⎪⎪⎪x －12≥12，即“3＜1”⇒ / “⎪⎪⎪⎪x －12＜12”．所以“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“3＜1”的充分而不必要条件． 5．(2017·天津高考)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 法一：由⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12，得0＜θ＜π6，故sin θ＜12.由sin θ＜12，得－7π6＋2π＜θ＜π6＋2π，∈，推不出“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”．故“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的充分而不必要条件．法二：⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12⇒0＜θ＜π6⇒sin θ＜12，而当sin θ＜12时，取θ＝－π6，⎪⎪⎪⎪－π6－π12＝π4＞π12. 故“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的充分而不必要条件． 6．(2018·北京高考)设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由|a －3b |＝|3a ＋b |，得(a －3b )2＝(3a ＋b )2，即a 2＋9b 2－6a ·b ＝9a 2＋b 2＋6a ·b . 又a ，b 均为单位向量，所以a 2＝b 2＝1，所以a ·b ＝0，能推出a ⊥b .由a ⊥b ，得|a －3b |＝10，|3a ＋b |＝10，能推出|a －3b |＝|3a ＋b |，所以“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的充分必要条件．命题点三四种命题及其关系1．(2015·山东高考)设m ∈R ，命题“若m ＞0，则方程2＋－m ＝0有实根”的逆否命题是( )A ．若方程2＋－m ＝0有实根，则m ＞0B ．若方程2＋－m ＝0有实根，则m ≤0C ．若方程2＋－m ＝0没有实根，则m ＞0D ．若方程2＋－m ＝0没有实根，则m ≤0解析：选D 根据逆否命题的定义，命题“若m ＞0，则方程2＋－m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程2＋－m ＝0没有实根，则m ≤0”．2．(2018·北京高考)能说明“若a ＞b ，则1a ＜1b ”为假命题的一组a ，b 的值依次为________．解析：只要保证a 为正b 为负即可满足要求．当a ＞0＞b 时，1a ＞0＞1b . 答案：1，－1(答案不唯一)3．(2017·北京高考)能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a ＋b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为________．解析：因为“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a ＋b ＞c ”是假命题，则它的否定“设存在实数a ，b ，c .若a ＞b ＞c ，则a ＋b ≤c ”是真命题．由于a ＞b ＞c ，所以a ＋b ＞2c ，又a ＋b ≤c ，所以c ＜0. 因此a ，b ，c 依次可取整数－1，－2，－3，满足a ＋b ≤c . 答案：－1，－2，－3(答案不唯一)。

高中数学高考第1讲集合的概念与运算

第一章集合与常用逻辑用语
20
(1)已知集合 A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件
A⊆C⊆B 的集合 C 的个数为
()
A．1
B．2
C．3
D．4
(2)已知集合 A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－m<x<m}，若 B⊆A，则 m 的取值范围为______．
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第一章集合与常用逻辑用语
24
2．已知集合 A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N*}，则集合 A 的真子集的个数为
()
A．7
B．8
C．15
D．16
解析：选 A．法一：A＝{x|－1≤x≤3，x∈N*}＝{1，2，3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，
{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共 7 个．
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第一章集合与常用逻辑用语
8
2．设集合 A＝{x|－2≤x≤2}，Z 为整数集，则集合 A∩Z 中元素的个数是 ( )
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：选 C．A 中包含的整数元素有－2，－1，0，1，2，共 5 个，所以 A∩Z 中的元
素个数为 5.
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第一章集合与常用逻辑用语
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第一章集合与常用逻辑用语
11
2．已知集合 A＝{x|(x－1)(x－3)<0}，B＝{x|2<x<4}，则 A∩B＝________，A∪B＝ ________，(∁RA)∪B＝________. 解析：由已知得 A＝{x|1<x<3}，B＝{x|2<x<4}，所以 A∩B＝{x|2<x<3}，A∪B＝{x|1<x<4}，(∁RA)∪B＝{x|x≤1 或 x>2}．答案：(2，3) (1，4) (－∞，1]∪(2，＋∞)

高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第1课

第1课集合的概念及运算1．集合的含义与表示①集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．②集合中元素与集合的关系意义符号表示a属于集合A a是集合A的元素a∈Aa不属于集合A a不是集合A的元素a∉A③集合的表示法：列举法、描述法、韦恩图．④常用数集的表示集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集表示N N*Z Q R2．集合间的基本关系①子集：若对∀x∈A，都有x∈B，则A⊆B．②真子集：若A⊆B，但∃x∈B，且x∉A，则AÜB．③相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B．④空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3.集合的基本运算4．集合A元素的个数为n则n-．①A的子集个数为2n．②A的真子集个数为215. 集合的运算及性质A B A A B =⇔⊆I ，A B A B A =⇔⊆U ．【例1】（2013延庆一模）已知集合{A =，{1,}B m =，A B A =U ，则m =（）A ．0或．0或3 C ．1．1或3【答案】B【解析】∵A B A =Y ，∴A B ⊆，∴3=m 或m m =．若3=m ，则}3,1{},3,3,1{==B A ，满足A B A =Y ．若m m =，解得0=m 或1=m ．若0=m ，则{1,3,0},{1,0}A B ==，满足A B A =Y ．若1=m ，}1,1{},1,3,1{==B A 显然不成立，综上：0=m 或3=m ．【变式】（2014黑龙江质检）设集合223|144x y A x ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭，2{}B y y x ==,则A B =I （）A ．[2,2]-B ．[0,2]C ．[0,4]D ．[0,8]【答案】B 【解析】∵2223|1|1444x y x A x x ⎧⎫⎧⎫=+==≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭{}{}2|4|22[2,2]x x x x =≤=-≤≤=- 2{}{0}[0,)B y y x y y ===≥=+∞，∴[0,2]A B =I ．【例2】(2013惠州调研）已知集合{1,1}A =-，{10}B x ax =+=，若B A ⊆，则实数a 的所有可能取值的集合为（）A ．{1}-B ．{1}C ．{1,1}-D ．{1,0,1}-【答案】D【解析】(1)若0a =时，得B =∅，满足B A ⊆；（2）若0a ≠时，得1B a ⎧⎫=-⎨⎬⎭⎩．B A ⊆，∴11a -=-或11a -=，解得1a =，或1a =-．故所求实数a 的值为0，或1，或1-．【变式】已知集合A ={|25}x x -<≤，}121|{-≤≤+=m x m x B 且A B A =U ，则实数m 的取值范围是（）A ．[2,3]B ．(2,3]C ．(,3]-∞D ．(2,)+∞【答案】C【解析】 ∵ A B A =U ，∴ B A ⊆．（1）当B =∅时，则121m m +>-，解得2m <．（2）当B ≠∅时，则12121512m m m m +≤-⎧⎪-≤ ⎨⎪+>-⎩，解得23m ≤≤． ∴实数m 的取值范围是3m ≤．【例3】（2013揭阳一模）已知集合2{|log (1)}A x y x ==+，集合1{|(),0}2x B y y x ==>，则A B =I （）A ．(1,)+∞B ．(1,1)-C ．(0,)+∞D ．(0,1)【答案】D【解析】∵{|1}(1,)A x x =>-=-+∞， {|01}(0,1)B y y =<<=，∴(0,1)A B =I ．【变式】（2013山东高考）已知集合A 、B 均为全集{1,2,3,4}U =的子集，且U (){4}A A B =U ð，{1,2}B =，则U ()A B =I ð（）A ．{3}B ．{4}C ．{3,4}D ．∅【答案】A【解析】∵U (){4}A B =U ð，∴4A ∉且4B ∉，∵{1,2}B =，∴3B ∉，3A ∈，∴{3}A =，或{1,3}A =，或{2,3}A =，或{1,2,3}A =，∴U {3,4}B =ð，U ()A B =I ð{3}．【例4】(2013珠海一模）设U 为全集，对集合X Y 、，定义运算“⊕”，满足U ()X Y X Y ⊕=U ð，则对于任意集合X Y Z 、、，()X Y Z ⊕⊕=（）A ．U ()()X Y Z U U ðB ．U ()()X Y Z I U ðC ．U U [()()]X Y Z U I 痧D ．U U ()()X Y Z U U 痧【答案】D【解析】()[()]()()U U U X Y Z X Y Z X Y Z ⊕⊕=⊕=U U U 痧?．【变式】设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合{,}P Q a b a P b Q +=+∈∈，若{0,2,5}P =，{1,2,6}Q =，则P Q +中元素的个数为（）A ．9B ．8C ．7D ．6 【答案】B 【解析】∵{,}P Q a b a P b Q +=+∈∈，{0,2,5}P =，{1,2,6}Q =，∴当0a =时，a b +的值为1,2,6；当2a =时，a b +的值为3,4,8；当5a =时，a b +的值为6,7,11，∴{1,2,3,4,6,7,8,11}P Q +=，∴P Q +中有8个元素．第1课集合的概念及运算的课后作业1．（2013福建高考）若集合}4,3,1{},3,2,1{==B A ，则B A I 的子集个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．16【答案】C【解析】∵{1,3}A B =I ，∴A B I 的子集为,{1},{3},{1,3}∅．2．（2014惠州调研）已知集合{1,2,3}M =，{14}N x Z x =∈<<,则（）A ．N M ⊆B ．N M =C ．}3,2{=N M ID ．)4,1(=N M Y【答案】C 【解析】{14}{2,3}N x Z x =∈<<=，故{2,3}M N =I ．3．（2013全国高考）设集合{}{}1,2,3,4,5,A B =={}|,,,M x x a b a A b B ==+∈∈则M 中的元素个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】{5,6,7,8}M =，M 有4个元素．4．(2014中山质检）设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{1,2,3,5}A =，{2,4,6}B =，则图中的阴影部分表示的集合为（）A ．{}2B ．{}4,6C ．{}1,3,5D ．{}4,6,7,8【答案】B 【解析】阴影部分表示U ()A B I ð，故选B ．5.(2013·惠州一模)若集合2450{|}A x x x =--= ，21{|}B x x == ，则A∩B＝( )A ．－1B ．{－1}C ．{－1,5}D ．{1，－1}【答案】B【解析】由集合A 中的方程2450x x --=，解得：5x = 或1x =-，所以集合,5{}1A =- ，由集合B 中的方程21x =，解得：1x = 或1x =-，所以集合,1{}1B =- ，则1{}A B =-I ．故选B.6. (2013·新课标全国卷Ⅰ)已知集合{}1,2,3,4A = ，2{|}B x x n n A ==∈，，则A B =I ( )A ．{1,4}B ．{2,3}C ．{9,16}D ．{1,2}【答案】A【解析】因为2x n n A =∈，，所以1,4,9,16x = .所以{}1,4,9,16B = ．所以{}1,4A B =I ，故选A.7．(2013·梅州二模)已知集合2{}3,A a = ，集合1{}0,,B b a =-，且A∩B＝{1}，则A∪B＝( )A ．{0,1,3}B ．{1,2,4}C ．{0,1,2,3}D ．{0,1,2,3,4}【答案】C【解析】因为2{}3,A a =，集合1{}0,,B b a =- ，且A∩B＝{1}，所以21a =，解得：1a = 或1a =- ，当1a = 时，1110a -=-= ，不合题意，舍去；当1a =- 时，(1112)a ---== ，此时1b =，所以{}3,1A = ，集合{}0,1,2B = ，则{}0,1,2,3A B U ＝．故选C.8．若全集U R ＝，集合{|}{|}10A x x x x =≥≤U ，则U A ＝ð ________.【答案】{x|0＜x<1}9．(2012·上海卷)若集合1{}0|2A x x =-> ，{|1}B x x =< ，则A∩B＝________.【答案】⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12＜x ＜1 【解析】解得集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＞12，集合B ＝{x|－1＜x ＜1}，求得A∩B＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12＜x ＜1. 10．(2013·河南调研)设全集22,3{,23}I a a +-＝，{|21|}A a =，＋，{}I 5A =ð，|2{}M x x log a == ，则集合M 的所有子集是________________．【答案】∅ 、{1}、{2}、{1,2}【解析】因为I ()I A A =U ð，所以2{}{2,3,232,5,|1|}a a a +-=＋，所以|a ＋1|＝3，且2235a a +-= ，解得4a =- 或2a = .所以{}22,241|2|,{}M log log -== ． 11．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 6x ＋1≥1，x∈R ，220{|}B x x x m =--< ，若{|}14A B x x -=<<I ，求实数m 的值．【解析】由6x ＋1＞1，得x －5x ＋1≤0，所以－1＜x≤5，即A ＝{x|－1＜x≤5}，又A∩B＝{x|－1＜x ＜4}，所以4是方程220x x m --= 的根，于是24240m -⨯-=，解得m ＝8.此时24{|}B x x =<<- ，符合题意，故实数m 的值为8.12．设全集I R =，已知集合2{|()}30M x x =+≤ ，2}6{|0N x x x =+-= ．(1)求I ()M N I ð；(2)记集合I ()A M N =I ð，已知集合{|}15,B x a x a a R =-≤≤-∈，若B∪A＝A ，求实数a 的取值范围．【解析】(1)∵2{|()30}{3}M x x =+=-≤ ，26{|}{32}0,N x x x =+-==-， ∴I |}3{M x x R x =∈≠-且ð ，{}I ()2M N ∴=I ð ．(2){}I 2()A M N =I ＝ð ，∵A B A U =，B A ∴⊆ ，∴B =∅ 或{}2B = ，当B =∅时，15a a ->- ，∴3a > ；当{}2B =时，1252a a -=⎧⎨-=⎩，解得3a =从而3a ≥，综上所述，所求a 的取值范围为[3,)+∞．。

2020版高考数学一轮总复习第一单元集合与常用逻辑用语课时1集合的概念与运算教案文(含解析)新人教A版

集合的概念与运算1．了解集合的含义、体会元素与集合的属于关系，了解空集、全集的意义．2．理解集合之间的包含与相等关系，能识别给定集合的子集．3．理解交集、并集、补集的概念，会求两个简单集合的交集与并集，会求给定子集的补集．知识梳理1．集合的含义与表示(1)一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合中的元素具有确定性、互异性和无序性三个特征．(2)如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A，如果a不是集合A 的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.(3)常见数集的记法(4)常用的集合表示法有：列举法、描述法和图示法.2．集合间的基本关系(1)如果集合A中任何一个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集，记作：A⊆B(或B⊇A) .(2)如果集合A⊆B，但存在x∈B，且x∉A，则称集合A是集合B的真子集，记作：A B(或B A) .(3)若A⊆B且B⊆A，则集合A与集合B中的元素是一样的，则称集合A与集合B相等．3．集合的基本运算(1)交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} .(2)并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} .(3)补集：集合A是集合U的子集，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U 中子集A的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A} .1．空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.2．若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，非空子集有2n－1 个，真子集有2n－1 个．3．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.热身练习1．已知集合A＝{x|x<2}，a＝3，则下列关系正确的是(D)A．a⊆A B．a∉AC．{a}∈A D．{a}⊆A由于3<2，所以a∈A，即{a}⊆A.2．(2018·达州模拟)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则(D)A．A∩B＝∅ B．∁A B＝BC．A B D．B AA＝{1,2,3}，B＝{2,3}，所以B⊆A，1∈A但1∉B，所以B A.3．(2017·天津卷)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{1,2,3,4}，则(A∪B)∩C＝(B) A．{2} B．{1,2,4}C．{1,2,4,6} D．{1,2,3,4,6}因为A∪B＝{1,2,6}∪{2,4}＝{1,2,4,6}，所以(A∪B)∩C＝{1,2,4,6}∩{1,2,3,4}＝{1,2,4}．4．(2018·石家庄二模)设集合A＝{x|－1<x≤2}，B＝{x|x<0}，则下列结论正确的是(C) A．A∪B＝{x|x<0} B．(∁R A)∩B＝{x|x<－1}C．A∩B＝{x|－1<x<0} D．A∪(∁R B)＝{x|x≥0}因为A＝{x|－1<x≤2}＝(－1,2]，B＝{x|x<0}＝(－∞，0)，所以A∪B＝(－∞，2]，A错误；(∁R A)∩B＝(－∞，－1]，B错误；A∩B＝(－1,0)，C正确；A∪(∁R B)＝(－1，＋∞)，D错误．5．(2018·湖南长郡中学联考)集合{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}的真子集的个数是(C) A．3 B．4C．7 D．8由{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}知，y≥0，所以－x2＋6≥0，又x∈N，所以x＝0,1,2.所以集合为{2,5,6}，其真子集的个数为23－1＝7.集合的基本概念(1)(经典真题)已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合A ∩B中元素的个数为A ．5B ．4C ．3D ．2(2)设a ，b ∈R ，集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2019＋b 2019＝__________.(1)求解本题，关键是理解集合A 的意义，将集合A 进行化简，可以采用特殊化的方法．A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }＝{2,5,8,11,14，…}，所以A 与B 的共同元素只有8,14两个，故选D.(2)考虑集合{a ，b a，1}中哪一个元素为0入手，利用集合中的元素的确定性和互异性进行分析．若a ＝0，则b a无意义，所以a ≠0，所以b a ＝0，从而b ＝0，所以{a ，b a，1}＝{a,0,1}．由{a,0,1}＝{a 2，a,0}，得a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1. 又根据集合中元素的互异性a ＝1应舍去，所以a ＝－1.故a2019＋b2019＝(－1)2019＝－1.(1)D (2)－1(1)用描述法表示集合，首先要搞清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，分清是数集、点集还是其他类型的集合．(2)解决含有参数的集合问题时，要注意集合中元素的特征，并注意用互异性进行检验． (3)分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．1．(1)若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a 等于(A) A ．4 B ．2C ．0D ．0或2(2)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为－32.(1)当a ＝0时，方程化为1＝0，无解，集合A 为空集，不符合题意；当a ≠0时，由Δ＝a 2－4a ＝0，解得a ＝4. (2)因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，若m ＋2＝3，解得m ＝1，此时A ＝{3,3}与集合中元素的互异性矛盾，所以m ＝1，不符合题意；若2m 2＋m ＝3，解得m ＝1(舍去)或m ＝－32.检验知m ＝－32满足题意．故所求m 的值为－32.集合间的基本关系已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，若集合B ＝{x |p ＋1≤x ≤2p －1}，且B ⊆A ，则实数p 的取值范围为________．欲求实数p 的取值范围，只需找出关于p 的不等式，可由已知条件，结合数轴找到．由x 2－3x －10≤0，解得－2≤x ≤5，所以A ＝{x |－2≤x ≤5}．B ⊆A ，则有①当B ≠∅时，利用数轴可知：⎩⎪⎨⎪⎧p ＋1≤2p －1，－2≤p ＋1，2p －1≤5，解得2≤p ≤3.②当B ＝∅时，有p ＋1>2p －1，即p <2. 综合①②得实数p 的取值范围是(－∞，3]．(－∞，3]解决有关集合的包含关系的问题时，要注意： (1)所给集合若能化简，则先化简； (2)充分利用数轴、韦恩图等辅助解题；(3)注意空集的特殊性，一般地，若B ⊆A ，则应分B ＝∅与B ≠∅两种情况进行讨论．2．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，若集合B ＝{x |p －6≤x ≤2p －1}，且A ∩B ＝A ，则实数p 的取值范围为 [3,4] .由例2知，A ＝{x |－2≤x ≤5}．A ∩B ＝A ，所以A ⊆B ，画出示意图(如下图)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2p －1>p －6，p －6≤－2，2p －1≥5，解得⎩⎪⎨⎪⎧p >－5，p ≤4，p ≥3.所以3≤p ≤4.故p 的取值范围为[3,4]．集合的基本运算(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}，则( )A ．A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <32 B ．A ∩B ＝∅C ．A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <32 D ．A ∪B ＝R(2)(2018·宝鸡二模)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合M ＝{2,3,5}，N ＝{4,5}，则集合{1,6}可以表示为( )A ．M ∩NB ．M ∪N C. ∁U (M ∪N ) D ．∁U (M ∩N )(1)首先化简集合A ，B ，再利用数轴得到A ∩B 和A ∪B .因为B ＝{x |3－2x >0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <32，A ＝{x |x <2}，所以A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <32，A ∪B ＝{x |x <2}．(2)画出韦恩图，如图，所以∁U (M ∪N )＝{1,6}，故选C.(1)A (2)C进行集合的运算时，要注意：①明确集合中元素的意义；②注意将所给集合化简，使之明确化；③注意数形结合，利用韦恩图、数轴等辅助解题．3．(1)(2018·天津卷)设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，C ＝{x ∈R |－1≤x <2}，则(A ∪B )∩C ＝(C) A ．{－1,1} B ．{0,1} C ．{－1,0,1} D ．{2,3,4} (2)(2018·广州一模)设集合A ＝{x |x ＋3x －1<0}，B ＝{x |x ≤－3}，则集合{x |x ≥1}＝(D) A ．A ∩B B ．A ∪BC ．(∁R A )∪(∁R B )D ．(∁R A )∩(∁R B )(1)因为A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，所以A ∪B ＝{－1,0,1,2,3,4}．又C ＝{x ∈R |－1≤x <2}，所以(A ∪B )∩C ＝{－1,0,1}，故选C. (2)因为A ＝{x |x ＋3x －1<0}＝{x |－3<x <1}，B ＝{x |x ≤－3}，所以∁R A ＝{x |x ≥1，或x ≤－3}，∁R B ＝{x |x >－3}．易知(∁R A )∩(∁R B )＝{x |x ≥1}，故选D.1．研究集合的有关问题，首先要理解集合的概念，其次要注意集合中元素的三个特征：确定性、无序性和互异性，尤其要注意集合中元素的互异性，当集合中的元素含有参数时，要根据互异性进行检验．2．处理集合问题时，首先要理解用描述法表示的集合的意义，关键是抓住集合的代表元素．首先看“{ | }”的左边元素的代表形式，然后看右边元素满足的性质，这是认清集合元素的关键．例如，{y |y ＝f (x )}是数集，表示函数y ＝f (x )的值域；{x |y ＝f (x )}是数集，表示函数y ＝f (x )的定义域；{(x ，y )|y ＝f (x )}是点集，表示函数y ＝f (x )图象上的点构成的集合．3．注意空集∅的特殊性，在解题时，若未能指明集合非空时，要考虑空集的可能性，如A B ，则有A ＝∅或A ≠∅两种可能，解题时常常遗漏对空集的讨论，这一点应引起重视．4．研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．解题时，首先要把集合进行化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，这实质是数形结合思想在集合中的具体应用．5．处理含参数的集合的包含关系及集合的运算时，端点值的取舍也是一个难点和重点，其解决办法是对端点值进行单独考虑．。

2020年高考文科数学专题一集合与常用逻辑用语含习题答案

2020年高考文科数学专题一集合与常用逻辑用语集合概念及其基本理论，是近代数学最基本的内容之一，集合的语言、思想、观点渗透于中学数学内容的各个分支．有关常用逻辑用语的常识与原理始终贯穿于数学的分析、推理与计算之中，学习关于逻辑的有关知识，可以使我们对数学的有关概念理解更透彻，表达更准确．关注本专题内容在其他各专题中的应用是学习这一专题内容时要注意的．§1－1 集合【知识要点】1．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．2．集合常用的两种表示方法：列举法和描述法，另外还有大写字母表示法，图示法(韦恩图)，一些数集也可以用区间的形式表示．3．两类不同的关系：(1)从属关系——元素与集合间的关系；(2)包含关系——两个集合间的关系(相等是包含关系的特殊情况)．4．集合的三种运算：交集、并集、补集．【复习要求】1．对于给定的集合能认识它表示什么集合．在中学常见的集合有两类：数集和点集．2．能正确区分和表示元素与集合，集合与集合两类不同的关系．3．掌握集合的交、并、补运算．能使用韦恩图表达集合的关系及运算．4．把集合作为工具正确地表示函数的定义域、值域、方程与不等式的解集等．【例题分析】例1 给出下列六个关系：(1)0∈N*(2)0∉{－1，1} (3)∅∈{0}(4)∅∉{0} (5){0}∈{0，1} (6){0}⊆{0}其中正确的关系是______．【答案】(2)(4)(6)【评析】1．熟悉集合的常用符号：不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；N表示自然数集；N＋或N*表示正整数集；Z表示整数集；Q表示有理数集；R表示实数集．2．明确元素与集合的关系及符号表示：如果a是集合A的元素，记作：a∈A；如果a 不是集合A的元素，记作：a∉A．3．明确集合与集合的关系及符号表示：如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集．记作：A⊆B或B⊇A．如果集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A，那么，集合A叫做集合B的真子集．A B或B A．4．子集的性质：①任何集合都是它本身的子集：A⊆A；②空集是任何集合的子集：∅⊆A；提示：空集是任何非空集合的真子集．③传递性：如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C；如果A B，B C，则A C．例2已知全集U＝{小于10的正整数}，其子集A，B满足条件(U A)∩(U B)＝{1，9}，A∩B＝{2}，B∩(U A)＝{4，6，8}．求集合A，B．【答案】A＝{2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．【解析】根据已知条件，得到如图1－1所示的韦恩图，图1－1于是，韦恩图中的阴影部分应填数字3，5，7．故A＝{2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．【评析】1、明确集合之间的运算对于两个给定的集合A、B，由既属于A又属于B的所有元素构成的集合叫做A、B的交集．记作：A∩B．对于两个给定的集合A、B，把它们所有的元素并在一起构成的集合叫做A、B的并集．记作：A∪B．如果集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合叫做A在U 中的补集．记作U A．2、集合的交、并、补运算事实上是较为复杂的“且”、“或”、“非”的逻辑关系运算，而韦恩图可以将这种复杂的逻辑关系直观化，是解决集合运算问题的一个很好的工具，要习惯使用它解决问题，要有意识的利用它解决问题．例3 设集合M ＝{x ｜－1≤x ＜2}，N ＝{x ｜x ＜a }．若M ∩N ＝∅，则实数a 的取值范围是______．【答案】(－∞，－1]．【评析】本题可以通过数轴进行分析，要特别注意当a 变化时是否能够取到区间端点的值．象韦恩图一样，数轴同样是解决集合运算问题的一个非常好的工具．例4 设a ，b ∈R ，集合},,0{},,1{b aba b a =+，则b －a ＝______．【答案】2【解析】因为},,0{},,1{b a b a b a =+，所以a ＋b ＝0或a ＝0(舍去，否则ab没有意义)，所以，a ＋b ＝0，ab＝－1，所以－1∈{1，a ＋b ，a }，a ＝－1，结合a ＋b ＝0，b ＝1，所以b －a ＝2．练习1－1一、选择题1．给出下列关系：①R ∈21；②2∉Q ；③｜－3｜∉N *；④Q ∈-|3|．其中正确命题的个数是( ) (A)1(B)2(C)3(D)42．下列各式中，A 与B 表示同一集合的是( ) (A)A ＝{(1，2)}，B ＝{(2，1)} (B)A ＝{1，2}，B ＝{2，1}(C )A ＝{0}，B ＝∅(D)A ＝{y ｜y ＝x 2＋1}，B ＝{x ｜y ＝x 2＋1}3．已知M ＝{(x ，y )｜x ＞0且y ＞0}，N ＝{(x ，y )｜xy ＞0}，则M ，N 的关系是( ) (A)M N(B)N M(C)M ＝N(D)M ∩N ＝∅4．已知全集U ＝N ，集合A ＝{x ｜x ＝2n ，n ∈N }，B ＝{x ｜x ＝4n ，n ∈N }，则下式中正确的关系是( ) (A)U ＝A ∪B (B)U ＝(U A )∪B(C)U ＝A ∪(U B )(D)U ＝(U A )∪(U B )二、填空题5．已知集合A＝{x｜x＜－1或2≤x＜3}，B＝{x｜－2≤x＜4}，则A∪B＝______．6．设M＝{1，2}，N＝{1，2，3}，P＝{c｜c＝a＋b，a∈M，b∈N}，则集合P中元素的个数为______．7．设全集U＝R，A＝{x｜x≤－3或x≥2}，B＝{x｜－1＜x＜5}，则(U A)∩B＝______. 8．设集合S＝{a0，a1，a2，a3}，在S上定义运算⊕为：a i⊕a j＝a k，其中k为i＋j被4除的余数，i，j＝0，1，2，3．则a2⊕a3＝______；满足关系式(x⊕x)⊕a2＝a0的x(x∈S)的个数为______．三、解答题9．设集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，C＝{2，3，4}，求(A∩B)∪C．10．设全集U＝{小于10的自然数}，集合A，B满足A∩B＝{2}，(U A)∩B＝{4，6，8}，(A)∩(U B)＝{1，9}，求集合A和B．U11．已知集合A＝{x｜－2≤x≤4}，B＝{x｜x＞a}，①A∩B≠∅，求实数a的取值范围；②A∩B≠A，求实数a的取值范围；③A∩B≠∅，且A∩B≠A，求实数a的取值范围．§1－2 常用逻辑用语【知识要点】1．命题是可以判断真假的语句．2．逻辑联结词有“或”“且”“非”．不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题．可以利用真值表判断复合命题的真假．3．命题的四种形式原命题：若p则q．逆命题：若q则p．否命题：若⌝p，则⌝q．逆否命题：若⌝q，则⌝p．注意区别“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念．原命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价关系．4．充要条件如果p⇒q，则p叫做q的充分条件，q叫做p的必要条件．如果p⇒q且q⇒p，即q⇔p则p叫做q的充要条件，同时，q也叫做p的充要条件．5．全称量词与存在量词【复习要求】1．理解命题的概念．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．2．了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．3．理解全称量词与存在量词的意义．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【例题分析】例 1 分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“⌝p”形式的复合命题，并判断它们的真假．(1)p：0∈N，q：1∉N；(2)p：平行四边形的对角线相等，q：平行四边形的对角线相互平分．【解析】(1)p∨q：0∈N，或1∉N；p∧q：0∈N，且1∉N；⌝p：0∉N．因为p真，q假，所以p∨q为真，p∧q为假，⌝p为假．(2)p∨q：平行四边形的对角线相等或相互平分．p∧q：平行四边形的对角线相等且相互平分．⌝p：存在平行四边形对角线不相等．因为p假，q真，所以p∨q为真，p∧q为假，⌝p为真．【评析】判断复合命题的真假可以借助真值表．例2 分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假．(1)若a2＋b2＝0，则ab＝0；(2)若A∩B＝A，则A B．【解析】(1)逆命题：若ab＝0，则a2＋b2＝0；是假命题．否命题：若a2＋b2≠0，则ab≠0；是假命题．逆否命题：若ab≠0，则a2＋b2≠0；是真命题．(2)逆命题：若A B，则A∩B＝A；是真命题．否命题：若A∩B≠A，则A不是B的真子集；是真命题．逆否命题：若A不是B的真子集，则A∩B≠A．是假命题．【评析】原命题与逆否命题互为逆否命题，同真同假；逆命题与逆否命题也是互为逆否命题．例3 指出下列语句中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．(1)p：(x－2)(x－3)＝0；q：x＝2；(2)p：a≥2；q：a≠0．【解析】由定义知，若p⇒q且q p，则p是q的充分不必要条件；若p q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q且q⇒p，p与q互为充要条件．于是可得(1)中p是q的必要不充分条件；q是p的充分不必要条件．(2)中p是q的充分不必要条件；q是p的必要不充分条件．【评析】判断充分条件和必要条件，首先要搞清楚哪个是条件哪个是结论，剩下的问题就是判断p与q之间谁能推出谁了．例4设集合M＝{x｜x＞2}，N＝{x｜x＜3}，那么“x∈M或x∈N”是“x∈M∩N”的( )(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)非充分条件也非必要条件【答案】B【解析】条件p：x∈M或x∈N，即为x∈R；条件q：x∈M∩N，即为{x∈R｜2＜x＜3}．又R{x∈R｜2＜x＜3}，且{x∈R｜2＜x＜3}⊆R，所以p是q的必要非充分条件，选B．【评析】当条件p和q以集合的形式表现时，可用下面的方法判断充分性与必要性：设满足条件p的元素构成集合A，满足条件q的元素构成集合B，若A⊆B且B A，则p是q 的充分非必要条件；若A B且B⊆A，则p是q的必要非充分条件；若A＝B，则p与q互为充要条件．例5命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )(A)不存在x∈R，x3－x2＋1≤0，(B)存在x∈R，x3－x2＋1≤0(C)存在x∈R，x3－x2＋1＞0(D)对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0【答案】C【分析】这是一个全称命题，它的否定是一个特称命题．其否定为“存在x∈R，x3－x2＋1＞0．”答：选C．【评析】注意全(特)称命题的否定是将全称量词改为存在量词(或将存在量词改为全称量词)，并把结论否定．练习1－2一、选择题1．下列四个命题中的真命题为( )(A)∃x∈Z，1＜4x＜3(B)∃x∈Z，3x－1＝0(C)∀x∈R，x2－1＝0(D)∀x∈R，x2＋2x＋2＞02．如果“p或q”与“非p”都是真命题，那么( )(A)q一定是真命题(B)q不一定是真命题(C)p不一定是假命题(D)p与q的真假相同3．已知a为正数，则“a＞b”是“b为负数”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件4．“A是B的子集”可以用下列数学语言表达：“若对任意的x∈A⇒x∈B，则称A⊆B”．那么“A 不是B 的子集”可用数学语言表达为( ) (A)若∀x ∈A 但x ∉B ，则称A 不是B 的子集 (B)若∃x ∈A 但x ∉B ，则称A 不是B 的子集 (C)若∃x ∉A 但x ∈B ，则称A 不是B 的子集 (D)若∀x ∉A 但x ∈B ，则称A 不是B 的子集二、填空题5．“⌝p 是真命题”是“p ∨q 是假命题的”__________________条件． 6．命题“若x ＜－1，则｜x ｜＞1”的逆否命题为_________． 7．已知集合A ，B 是全集U 的子集，则“A ⊆B ”是“U B⊆U A ”的______条件．8．设A 、B 为两个集合，下列四个命题： ①A B ⇔对任意x ∈A ，有x ∉B ②A B ⇔A ∩B ＝∅③AB ⇔AB④AB ⇔存在x ∈A ，使得x ∉B其中真命题的序号是______．(把符合要求的命题序号都填上) 三、解答题9．判断下列命题是全称命题还是特称命题并判断其真假： (1)指数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被2整除又能被5整除； (3)∃x ∈{x ｜x ∈Z }，log 2x ＞0； (4).041,2≥+-∈∀x x x R10．已知实数a ，b ∈R ．试写出命题：“a 2＋b 2＝0，则ab ＝0”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断四个命题的真假，说明判断的理由．习题11．命题“若x 是正数，则x ＝｜x ｜”的否命题是( ) (A)若x 是正数，则x ≠｜x ｜ (B)若x 不是正数，则x ＝｜x ｜ (C)若x 是负数，则x ≠｜x ｜(D)若x 不是正数，则x ≠｜x ｜2．若集合M 、N 、P 是全集U 的子集，则图中阴影部分表示的集合是( )(A)(M ∩N )∪P (B)(M ∩N )∩P (C)(M ∩N )∪(U P )(D)(M ∩N )∩(U P )3．“81=a ”是“对任意的正数12,≥+xa x x ”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件4．已知集合P ＝{1，4，9，16，25，…}，若定义运算“&”满足：“若a ∈P ，b ∈P ，则a &b ∈P ”，则运算“&”可以是( ) (A)加法(B)减法(C)乘法(D)除法5．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，那么下列选项中不一定．．．成立的是( ) (A)ab ＞ac (B)c (b －a )＜0 (C)cb 2＜ab 2 (D)ac (a －c )＜0二、填空题6．若全集U ＝{0，1，2，3}且U A ＝{2}，则集合A ＝______．7．命题“∃x ∈A ，但x ∉A ∪B ”的否定是____________．8．已知A ＝{－2，－1，0，1}，B ＝{y ｜y ＝｜x ｜，x ∈A }，则B ＝____________． 9．已知集合A ＝{x ｜x 2－3x ＋2＜0}，B ＝{x ｜x ＜a }，若A B ，则实数a 的取值范围是____________．10．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＞1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2； ④a 2＋b 2＞2；⑤ab ＞1，其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是______．(写出所有正确条件的序号)11．解不等式.21<x12．若0＜a ＜b 且a ＋b ＝1．(1)求b 的取值范围；(2)试判断b 与a 2＋b 2的大小．13．设a ≠b ，解关于x 的不等式：a 2x ＋b 2(1－x )≥[ax ＋b (1－x )]2．14．设数集A 满足条件：①A ⊆R ；②0∉A 且1∉A ；③若a ∈A ，则.11A a∈- (1)若2∈A ，则A 中至少有多少个元素； (2)证明：A 中不可能只有一个元素．专题01 集合与常用逻辑用语参考答案练习1－1一、选择题1．B 2．B 3．A 4．C提示：4．集合A表示非负偶数集，集合B表示能被4整除的自然数集，所以{正奇数}(U B)，从而U＝A∪(U B)．二、填空题5．{x｜x＜4} 6．4个7．{x｜－1＜x＜2} 8．a1；2个(x为a1或a3)．三、解答题9．(A∩B)∪C＝{1，2，3，4}10．分析：画如图所示的韦恩图：得A＝{0，2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．11．答：①a＜4；②a≥－2；③－2≤a＜4提示：画数轴分析，注意a可否取到“临界值”．练习1－2一、选择题1．D 2．A 3．B 4．B二、填空题5．必要不充分条件6．若｜x｜≤1，则x≥－1 7．充要条件8．④提示：8．因为A B，即对任意x∈A，有x∈B．根据逻辑知识知，A B，即为④．另外，也可以通过文氏图来判断．三、解答题9．答：(1)全称命题，真命题．(2)特称命题，真命题．(3)特称命题，真命题；(4)全称命题，真命题．10．略解：答：逆命题：若ab＝0，则a2＋b2＝0；是假命题；例如a＝0，b＝1否命题：若a2＋b2≠0，则ab≠0；是假命题；例如a＝0，b＝1逆否命题：若ab ≠0，则a 2＋b 2≠0；是真命题；因为若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，所以ab ＝0，即原命题是真命题，所以其逆否命题为真命题．习题1一、选择题1．D 2．D 3．A 4．C 5．C提示：5．A 正确．B 不正确．D ．正确．当b ≠0时，C 正确；当b ＝0时，C 不正确，∴C 不一定成立．二、填空题6．{0，1，3} 7．∀x ∈A ，x ∈A ∪B 8．{0，1，2} 9．{a ｜a ≥2} 10．③．提示：10、均可用举反例的方式说明①②④⑤不正确．对于③：若a 、b 均小于等于1．即，a ≤1，b ≤1，则a ＋b ≤2，与a ＋b ＞2矛盾，所以③正确．三、解答题11．解：不等式21<x 即,021,021<-<-x x x 所以012>-xx ，此不等式等价于x (2x －1)＞0，解得x ＜0或21>x ，所以，原不等式的解集为{x ｜x ＜0或21>x }． 12．解：(1)由a ＋b ＝1得a ＝1－b ，因为0＜a ＜b ，所以1－b ＞0且1－b ＜b ，所以.121<<b (2)a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝2b 2－3b ＋1＝⋅--81)43(22b 因为121<<b ，所以,081)43(22<--b 即a 2＋b 2＜b ．13．解：原不等式化为(a 2－b 2)x ＋b 2≥(a －b )2x 2＋2b (a －b )x ＋b 2，移项整理，得(a －b )2(x 2－x )≤0．因为a ≠b ，故(a －b )2＞0，所以x 2－x ≤0．故不等式的解集为{x ｜0≤x ≤1}．14．解：(1)若2∈A ，则.22111,21)1(11,1211A A A ∈=-∴∈=--∴∈-=- ∴A 中至少有－1，21，2三个元素． (2)假设A 中只有一个元素，设这个元素为a ，由已知A a∈-11，则a a -=11．即a 2－a ＋1＝0，此方程无解，这与A 中有一个元素a 矛盾，所以A 中不可能只有一个元素．。

2020届高考理科数学一轮复习讲义：第一章§1.1 集合的概念及运算_PDF压缩

结论．（２）由Ａ∩Ｂ＝｛１｝知１∈Ｂ，从而求得ｍ的值，进而求出集
合Ｂ．解析（１）解法一：由题意知，２∈Ｕ，２∉Ｎ，２∉Ｍ，
所以２∈∁ＵＭ，２∈∁ＵＮ，所以２∈（ ∁ＵＭ） ∩（ ∁ＵＮ）．而７∈Ｕ，７∉Ｍ，７∉Ｎ，所以７∈∁ＵＭ，７∈∁ＵＮ，所以７∈（ ∁ＵＭ） ∩（ ∁ＵＮ）．综上，易知｛２，７｝＝（ ∁ＵＭ） ∩（ ∁ＵＮ）．故选Ｂ．解法二：根据集合Ｕ，Ｍ，Ｎ的关系画出Ｖｅｎｎ图，如图所示，所以｛２，７｝＝（ ∁ＵＭ） ∩（ ∁ＵＮ）．故选Ｂ．
值范围为．
答案（－∞ ，９］
解析由Ａ⊆（Ａ∩Ｂ），得Ａ⊆Ｂ，则
（１）当Ａ＝ ⌀时，２ａ＋１＞３ａ－５，解得ａ＜６；
{２ａ＋１≤３ａ－５，
（２）当Ａ≠⌀时，２ａ＋１≥３，解得６≤ａ≤９．３ａ－５≤２２，
综上可知，使Ａ⊆（Ａ∩Ｂ）成立的实数ａ的取值范围为（－∞ ，９］．
４ｘ＋ｍ＝０｝．若Ａ∩Ｂ＝｛１｝，则Ｂ＝
（）
Ａ．｛１，－３｝Ｂ．｛１，０｝
Ｃ．｛１，３｝
Ｄ．｛１，５｝
解题导引
（１）思路一：对集合｛２，７｝中的元素逐一分析，从而确定
结论．思路二：根据集合Ｕ，Ｍ，Ｎ的关系画出Ｖｅｎｎ图，从而确定
｛ｘ｜０＜ｘ＜１｝，Ｂ＝｛ｘ｜ｘ２－ｃｘ＜０，ｃ＞０｝＝｛ｘ｜０＜ｘ＜ｃ｝．由Ａ⊆Ｂ，画出数
轴，如图所示，得ｃ≥１，故选Ｂ．
解法二：Ａ＝｛ｘ｜ｙ＝ｌｇ（ｘ－ｘ２）｝＝｛ｘ｜ｘ－ｘ２＞０｝＝｛ｘ｜０＜ｘ＜１｝，取

2020届高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念与运算教师用书(PDF,含解析)

５.常见数集及表示符号:
非负整数集名称
( 自然数集)
符号
Ｎ
正整数集Ｎ∗ 或Ｎ＋
整数集有理数集实数集
Ｚ
Ｑ
Ｒ
考点二集合间的基本关系
表示关系
相等集合间的子集基本真关系子
集
定义
集合Ａ与集合Ｂ中的所有元素都相同集合Ａ中任意一个元素均为集合Ｂ中的元素集合Ａ中任意一个元素均为集合Ｂ中的元素ꎬ且Ｂ中至少有一个元素Ａ中没有
意义性质
{ｘ｜ｘ ∈ Ａꎬ 或ｘ ∈Ｂ}
Ａ∪⌀ ＝Ａꎻ Ａ∪Ａ＝Ａꎻ Ａ∪Ｂ＝Ｂ∪Ａꎻ Ａ∪Ｂ＝Ａ⇔Ｂ⊆Ａ
{ｘ｜ｘ ∈ Ａꎬ 且ｘ ∈Ｂ}
Ａ∩⌀ ＝ ⌀ꎻ Ａ∩Ａ＝Ａꎻ Ａ∩Ｂ＝Ｂ∩Ａꎻ Ａ∩Ｂ＝Ａ⇔Ａ⊆Ｂ
{ｘ｜ｘ∈Ｕꎬ且ｘ∉Ａ}
Ａ∪(∁ＵＡ) ＝ＵꎻＡ∩( ∁ＵＡ) ＝ ⌀ꎻ∁Ｕ (∁ＵＡ)＝Ａꎻ ∁Ｕ(Ａ∪Ｂ) ＝ (∁ＵＡ) ∩ (∁ＵＢ)ꎻ ∁Ｕ ( Ａ ∩ Ｂ ) ＝ (∁ＵＡ)∪(∁ＵＢ)
对子集是不是空集进行分类讨论ꎬ做到不重不漏. 若集合元素是
可一一列举的ꎬ依据集合间的关系ꎬ转化为解方程( 组)ꎬ此时注
意集合中元素的互异性ꎻ若集合表示的是不等式的解集ꎬ常依据
数轴转化为不等式( 组) 求解ꎬ此时需注意端点值能否取到.
(２０１７江苏ꎬ１ꎬ５分) 已知集合Ａ＝ { １ꎬ２} ꎬＢ＝ { ａꎬａ２＋
易
充分、必要条件
充分、必要条件的判断
易
集合的运算
集合的交集运算
易
充分、必要条件
充分、必要条件的判断

2020版高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第1节集合教学案含解析理

第一节集合[考纲传真] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系：属于或不属于，分别记为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．(4)常见数集的记法2.A B或B A1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．A∩∁U A＝∅；A∪∁U A＝U；∁U(∁U A)＝A.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何集合都至少有两个子集．( )(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C.( )(3)若{x2，x}＝{－1,1}，则x＝－1. ( )(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C. ( )[解析](1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．(2)错误．集合A是函数y＝x2的定义域，即A＝(－∞，＋∞)；集合B是函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合C是抛物线y＝x2上的点集．因此A，B，C不相等．(3)正确．(4)错误．当A＝∅时，B，C可为任意集合．[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下列结论正确的是( )A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉AD[由题意知A＝{0,1,2,3}，由a＝22知，a∉A.]3．设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B＝( )A．{1,2,3,4} B．{1,2,3}C．{2,3,4} D．{1,3,4}A[A∪B＝{1,2,3,4}．]4．(2018·浙江高考)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，则∁U A＝( )A．∅B．{1,3}C．{2,4,5} D．{1,2,3,4,5}C [∵U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,3}， ∴∁U A ＝{2,4,5}．故选C.]5．若集合A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞3}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－2＜x ＜－1} B ．{x |－2＜x ＜3} C ．{x |－1＜x ＜1}D ．{x |1＜x ＜3}A [∵A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞3}， ∴A ∩B ＝{x |－2＜x ＜－1}．]1为( )A ．3B ．4C ．5D ．6B [因为集合M 中的元素x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，所以当b ＝4，a ＝1,2,3时，x ＝5,6,7. 当b ＝5，a ＝1,2,3时，x ＝6,7,8. 由集合元素的互异性，可知x ＝5,6,7,8. 即M ＝{5,6,7,8}，共有4个元素．]2．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B.98C ．0D ．0或98D [若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0得a ＝98，所以a 的取值为0或98.]3．已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019为()A ．1B ．0C ．－1D ．±1C [由已知得a ≠0，则ba＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.]4．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________. 1 [由A ∩B ＝{3}知a ＋2＝3或a 2＋4＝3. 解得a ＝1.]确定集合中的元素是什么，即集合是数集还是点集看这些元素满足什么限制条件根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，元素的互异性A ．B ⊆A B ．A ＝B C ．AB D ．B A(2)(2019·大庆模拟)集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Z ⎪⎪⎪x ＋1x －3≤0，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }，则集合B的子集个数为( )A ．5B ．8C ．3D ．2(3)已知集合A ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x ∈R |ax －1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的取值集合为________．(1)C (2)B (3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，12，0 [(1)A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，则AB ，故选C.(2)由x ＋1x －3≤0得－1≤x ＜3，则A ＝{－1,0,1,2}，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }＝{1,2,5}，其子集的个数为23＝8个．(3)A ＝{－3,2}，若a ＝0，则B ＝∅，满足B ⊆A ，若a ≠0，则B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，由B ⊆A 知，1a ＝－3或1a ＝2，故a ＝－13或a ＝12，因此a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，12，0.] 化简集合，从表达式中寻找两集合的关系用列举法或图示法等表示各个集合，从元素或图形中寻找关系2.根据集合间的关系求参数的方法已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合A A≠，应分(1)(2018·长沙模拟合条件的集合C的个数为( )A．1 B．2 C．4 D．8(2)已知集合A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________．(1)C(2)[2，＋∞)[(1)由A⊆C⊆B得C＝{0}或{0，－1}或{0,1}或{0，－1,1}，故选C.(2)A＝{x|0≤x≤2}，要使A⊆B，则a≥2.]►考法1【例2】(1)(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝( ) A．{0} B．{1}C．{1,2} D．{0,1,2}(2)(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则∁R A＝( )A．{x|－1＜x＜2} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}(3)(2019·桂林模拟)已知集合M＝{x|－1＜x＜3}，N＝{－1,1}，则下列关系正确的是( )A．M∪N＝{－1,1,3} B．M∪N＝{x|－1≤x＜3}C．M∩N＝{－1} D．M∩N＝{x|－1＜x＜1}(1)C(2)B(3)B[(1)由题意知，A＝{x|x≥1}，则A∩B＝{1,2}．(2)法一：A＝{x|(x－2)(x＋1)＞0}＝{x|x＜－1或x＞2}，所以∁R A＝{x|－1≤x≤2}，故选B.法二：因为A＝{x|x2－x－2＞0}，所以∁R A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B.(3)M∪N＝{x|－1≤x＜3}，M∩N＝{1}，故选B.]►考法2 利用集合的运算求参数【例3】(1)设集合A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是( )A．－1＜a≤2 B．a＞2C．a≥－1 D．a＞－1(2)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为( )A．0 B．1 C．2 D．4(3)(2019·厦门模拟)已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x2－3x＋2＜0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是( )A．a≤1 B．a＜1C．a≥2 D．a＞2(1)D(2)D(3)C[(1)由A∩B≠∅知，集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示：易知a＞－1，故选D.(2)由题意可知{a，a2}＝{4,16}，所以a＝4，故选D.(3)B＝{x|1＜x＜2}，由A∩B＝B知B⊆A，则a≥2，故选C.]看元素组成，问题的前提.看集合能否化简，集合能化简的先化简，再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于求解要借助集合元素连续时用数轴表示，并注意端点值的取舍则A∪B＝( )A．(－1,0) B．(0,1)C．(－1,3) D．(1,3)(2)(2019·西安模拟)设集合A＝{x|x2－3x＋2≥0}，B＝{x|x≤2，x∈Z}，则(∁R A)∩B＝( )A．{1} B．{2} C．{1,2} D．∅(3)(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B ＝( )A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}(4)(2019·长沙模拟)已知集合A＝{1,3,9,27}，B＝{y|y＝log3x，x∈A}，则A∩B＝( )A．{1,3} B．{1,3,9}C．{3,9,27} D．{1,3,9,27)(1)C(2)D(3)C(4)A[(1)A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜3}，所以A∪B＝{x|－1＜x＜3}，故选C.(2)A＝{x|x≤1或x≥2}，则∁R A＝{x|1＜x＜2}．又集合B＝{x|x≤2，x∈Z}，所以(∁R A)∩B＝∅，故选D.(3)∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m ＝0，即m ＝3.∴B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．故选C.(4)因为A ＝{1,3,9,27}，B ＝{y |y ＝log 3x ，x ∈A }＝{0,1,2,3}，所以A ∩B ＝{1,3}．]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{0,2}，B ＝{－2，－1,0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0,2} B ．{1,2}C ．{0}D ．{－2，－1,0,1,2}A [由题意知A ∩B ＝{0,2}．]2．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4A [由x 2＋y 2≤3知，－3≤x ≤3，－3≤y ≤ 3.又x ∈Z ，y ∈Z ，所以x ∈{－1,0,1}，y ∈{－1，0,1}，所以A 中元素的个数为9，故选A.]3．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}，则( )A ．A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜32 B ．A ∩B ＝∅ C ．A ∪B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜32 D ．A ∪B ＝RA [因为B ＝{x |3－2x ＞0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜32，A ＝{x |x ＜2}，所以A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜32，A ∪B ＝{x |x ＜2}．故选A.]4．(2015·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2D [分析集合A 中元素的特点，然后找出集合B 中满足集合A 中条件的元素个数即可．集合A 中元素满足x ＝3n ＋2，n ∈N ，即被3除余2，而集合B 中满足这一要求的元素只有8和14.故选D.]自我感悟：______________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________。

2020版高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算讲义理(含解析)

第1讲集合的概念与运算[考纲解读] 1.了解集合的含义．体会元素与集合的关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述具体问题．2.理解集合间的相等与包含关系，会求集合的子集，了解全集与空集的含义．(重点)3.在理解集合间的交、并、补的含义的基础上，会求两个集合的并集与交集，会求给定子集的补集．(重点、难点)4.能使用Venn图表达集合间的基本关系及基本运算．[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的热点．预测2020年高考会以考查集合交、并、补的运算为主，结合不等式的解法，求函数的定义域、值域等简单综合命题，试题难度不大，以选择题形式呈现.1．集合与元素02互异性、□03无序性．(1)集合中元素的三个特征：□01确定性、□07∉表示．(2)元素与集合的关系有□04属于或□05不属于两种，用符号□06∈或□09描述法、□10图示法．(3)集合的表示法：□08列举法、□(4)常见数集的记法2．集合间的基本关系3．集合的基本运算4．集合的运算性质(1)并集的性质：A ∪∅＝A ；A ∪A ＝A ；A ∪B ＝B ∪A ；A ∪B ＝A ⇔□01B ⊆A . (2)交集的性质：A ∩∅＝∅；A ∩A ＝A ；A ∩B ＝B ∩A ；A ∩B ＝A ⇔□02A ⊆B . (3)补集的性质：A ∪(∁U A )＝□03U ；A ∩(∁U A )＝□04∅；∁U (∁U A )＝□05A ；∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁UB )；∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )．(4)若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集个数为□062n 个，非空子集个数为□072n －1个，真子集有□082n －1个，非空真子集的个数为□092n －2个．1．概念辨析(1)若1∈{x ，x 2}，则x ＝±1.( )(2){x |y ＝x 2}＝{y |y ＝x 2}＝{(x ，y )|y ＝x 2}．( ) (3){x |x ≥2}＝{t |t ≥2}．( )(4)对于任意两个集合A ，B ，总有(A ∩B )⊆A ，A ⊆(A ∪B )．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2．小题热身(1)若集合A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{x |x <－1或x >3}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－2<x <－1} B ．{x |－2<x <3} C ．{x |－1<x <1} D ．{x |1<x <3}答案 A解析 A ∩B ＝{x |－2<x <－1}．(2)设全集U ＝{x |x ∈N *，x <6}，集合A ＝{1,3}，B ＝{3,5}，则∁U (A ∪B )等于( ) A ．{1,4} B ．{1,5} C ．{2,5} D ．{2,4} 答案 D解析 ∵U ＝{1,2,3,4,5}，A ∪B ＝{1,3,5}，∴∁U (A ∪B )＝{2,4}． (3)已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，若B ⊆A ，则m ＝________. 答案 0或3解析 ∵A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，B ⊆A ， ∴m ＝3或m ＝m ，∴m ＝3或0或1，经检验m ＝0或3.(4)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫8x ，y ，B ＝{0，x 2}，且A ＝B ，则集合A 的子集为________．答案 ∅，{0}，{4}，{0,4}解析由题意得8x＝x 2，y ＝0，解得x ＝2，所以A ＝{0,4}，其子集为∅，{0}，{4}，{0,4}．题型一集合的基本概念1．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a 等于( ) A.92 B.98 C ．0 D ．0或98 答案 D解析当a ＝0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，符合题意；当a ≠0时，Δ＝(－3)2－4×a ×2＝0，解得a ＝98，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，符合题意．综上知a ＝0或98.2．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4 答案 A解析 ∵x 2＋y 2≤3，∴x 2≤3，∵x ∈Z ，∴x ＝－1,0,1，当x ＝－1时，y ＝－1,0,1；当x ＝0时，y ＝－1,0,1；当x ＝1时，y ＝－1,0,1，所以A 中元素共有9个，故选A.3．若集合A ＝{a －3,2a －1，a 2－4}，且－3∈A ，则实数a ＝________. 答案 0或1解析因为－3∈A ，所以a －3＝－3或2a －1＝－3或a 2－4＝－3，解得a ＝0或a ＝－1或a ＝1.当a ＝0时，A ＝{－3，－1，－4}，符合题意；当a ＝－1时，2a －1＝a 2－4＝－3，不满足集合中元素的互异性，故舍去；当a ＝1时，A ＝{－2,1，－3}，符合题意．综上知a ＝0或1.1．用描述法表示集合的两个关键点(1)搞清楚集合中的代表元素是什么．如举例说明1,3是数，举例说明2是有序数对(或平面内的点)．(2)看这些元素满足什么限制条件．如举例说明1，关于x 的方程只有一个实根．举例说明2，x ，y 是整数且满足x 2＋y 2≤3.2．两个易错点(1)忽视集合中元素的互异性．如举例说明3，求出a 值后应注意检验． (2)忽视分类讨论．如举例说明1，要分a ＝0与a ≠0两种情况讨论．1．设集合A ＝{0,1,2,3}，B ＝{x |－x ∈A,1－x ∉A }，则集合B 中元素的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析若x ∈B ，则－x ∈A ，所以x 只可能取0，－1，－2，－3.逐一检验可知B ＝{－3}，只有1个元素．2．已知集合A ＝{x |x ＝3k －1，k ∈Z }，则下列表示正确的是( )A ．－1∉AB ．－11∈AC ．3k 2－1∈A D ．－34∉A答案 C解析令k ＝0得x ＝－1，故－1∈A ；令－11＝3k －1，解得k ＝－103∉Z ，故－11∉A ；令－34＝3k －1，解得k ＝－11∈Z ，故－34∈A ；对于3k 2－1，因为k ∈Z 时，k 2∈Z ，所以3k 2－1∈A .所以C 项正确．题型二集合间的基本关系1．已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2018＋b 2018为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．±1 答案 A解析 ∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1＝{a 2，a ＋b,0}，∴a ≠0.∴b ＝0，a 2＝1，又∵a ≠1，∴a ＝－1，∴a2018＋b2018＝1.2．已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π4＋π4，k ∈Z，集合N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π8－π4，k ∈Z，则( )A ．M NB ．N MC ．M ＝ND ．以上都不对答案 A 解析 ∵k π4＋π4＝k ＋8π，k ∈Z ，k π8－π4＝k －28π，k ∈Z ， ∴任取x ∈M ，有x ∈N ，且π8∈N ，但π8∉M ，∴MN .3．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．答案 (－∞，3]解析因为B ⊆A ，所以①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2. ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3.条件探究1 举例说明3中的集合B 改为“B ＝{x |m ≤x ≤m ＋1}”，其余不变，该如何求解？解 B ＝{x |m ≤x ≤m ＋1}≠∅，为使B ⊆A ，m 须满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－2，m ＋1≤5，解得－2≤m ≤4.条件探究2 举例说明3中的集合A 改为“A ＝{x |x <－2或x >5}”，如何求解？解因为B ⊆A ，所以①当B ＝∅时，即2m －1<m ＋1时，m <2，符合题意．②当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1<－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m >4或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m <－12，即m >4.综上可知，实数m 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．1．判断集合间关系的三种方法2．根据集合间的关系求参数的策略 (1)注意对集合是否为空集进行分类讨论因为∅⊆A 对任意集合A 都成立．如举例说明3中2m －1<m ＋1时，B ＝∅，B ⊆A 也成立． (2)借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．(3)注意检验区间端点值，如举例说明3，若将两个集合改为A ＝{x |－2<x ≤5}，B ＝{x |m＋1≤x <2m －1}，若B ≠∅，为使B ⊆A ，m 须满足⎩⎪⎨⎪⎧2m －1>m ＋1，m ＋1>－2，2m －1≤5.1．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则( ) A ．B ⊆A B ．A ＝B C ．A B D ．B A 答案 C解析由题意得A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，∴AB .2．已知集合A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{x |x ≤a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥2 B．a >2 C ．a <0 D ．a ≤0 答案 A解析 ∵A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |x ≤a }，∴为使A ⊆B ，a 须满足a ≥2.3．满足A ⊆{0,1,2,3,4,5}的集合A 的个数为________．答案 7解析集合A 除含元素0,1,2外，还至少含有3,4,5中的一个元素，所以集合A 的个数等于{3,4,5}的非空子集的个数，即为23－1＝7.题型三集合的基本运算角度1 集合的并、交、补运算1．(2018·天津高考)设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，C ＝{x ∈R |－1≤x <2}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{－1,1}B ．{0,1}C ．{－1,0,1}D ．{2,3,4}答案 C解析因为集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，A ∪B ＝{－1,0,1,2,3,4}，所以(A ∪B )∩C ＝{－1,0,1}．2．(2018·皖北协作区联考)已知集合A ＝{y |y ＝x 2－1}，B ＝{x |y ＝lg (x －2x 2)}，则∁R (A ∩B )＝( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 B ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 D解析因为A ＝{y |y ＝x 2－1}＝[0，＋∞)，B ＝{x |y ＝lg (x －2x 2)}＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以∁R (A ∩B )＝(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.角度2 知集合的运算结果求参数3．设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}，若(∁U A )∩B ＝∅，则m ＝________.答案 1或2解析 A ＝{－2，－1}，由(∁U A )∩B ＝∅，得B ⊆A .x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0可化为(x ＋1)(x ＋m )＝0，当m ＝1时，B ＝{－1}，符合题意；当m ≠1时，B ＝{－1，－m }，为使B ⊆A 成立，须有－m ＝－2，即m ＝2. 综上知m ＝1或2.1．求集合交集、并集或补集的步骤2．知集合的运算结果求参数问题的两个关键点(1)分析运算结果并进行恰当转换．如举例说明3中，由(∁U A)∩B＝∅，知B⊆A.(2)化简集合为求参数创造有利条件．如举例说明3中，A＝{－2，－1}．当m＝1时，B＝{－1}；当m≠1时，B＝{－1，－m}．1．已知全集U＝R，集合M＝{x|(x－1)(x＋3)<0}，N＝{x||x|≤1}，则阴影部分(如图)表示的集合是( )A．[－1,1)B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞)D．(－3，－1)答案 D解析由题意可知，M＝(－3,1)，N＝[－1,1]，所以阴影部分表示的集合为M∩(∁U N)＝(－3，－1)．2．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁R A＝( )A．{x|－1<x<2} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1}∪{x|x>2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}答案 B解析解不等式x2－x－2>0得x<－1或x>2，所以A＝{x|x<－1或x>2}，所以∁R A＝{x|－1≤x≤2}，故选B.3．(2019·辽宁五校模拟)已知集合P＝{x|x2－2x－8>0}，Q＝{x|x≥a}，P∪Q＝R，则a 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B ．(4，＋∞)C ．(－∞，－2]D ．(－∞，4]答案 C解析集合P ＝{x |x 2－2x －8>0}＝{x |x <－2或x >4}，Q ＝{x |x ≥a }，若P ∪Q ＝R ，则a ≤－2，即a 的取值范围是(－∞，－2]．题型四集合的新定义问题已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，若对于任意实数对(x 1，y 1)∈M ，都存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪y ＝1x； ②M ＝{(x ，y )|y ＝log 2x }； ③M ＝{(x ，y )|y ＝e x－2}； ④M ＝{(x ，y )|y ＝sin x ＋1}．其中是“垂直对点集”的序号是( ) A ．①④ B ．②③ C ．③④ D ．②④ 答案 C解析记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由x 1x 2＋y 1y 2＝0得OA ⊥OB .对于①，对任意A ∈M ，不存在B ∈M ，使得OA ⊥OB .对于②，当A 为(1,0)时，不存在B ∈M 满足题意．对于③④，对任意A ∈M ，过原点O 可作直线OB ⊥OA ，它们都与函数y ＝e x－2及y ＝sin x ＋1的图象相交，即③④满足题意．与集合相关的新定义问题的解题思路(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在．(2)把握“新”性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．(3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算．如果集合A 满足：若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x,0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝________.答案 {0,6}解析由题意可知－2x ＝x 2＋x ，所以x ＝0或x ＝－3.而当x ＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x＝－3时，A＝{－6,0,6}，所以A∩B＝{0,6}．11。

2020高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语章末总结分层演练文-精装版

教学资料范本2020高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语章末总结分层演练文-精装版编辑：__________________时间：__________________【精选】20xx最新高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语章末总结分层演练文章末总结知识点考纲展示集合❶集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．❷集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．❸集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.命题及其关系、充分条件与必要条件❶理解命题的概念．❷了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．❸理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词❶了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．❷理解全称量词和存在量词的意义．❸能正确地对含有一个量词的命题进行否定.一、点在纲上，源在本里考点考题考源集合的概念与运算(20xx·高考全国卷Ⅱ，T1，5分)设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝( )A．{1，2，3，4}B．{1，2，3} C．{2，3，4}D．{1，3，4}必修1 P8例4(20xx·高考全国卷Ⅲ，T1，5分)已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，则A∩B中元素的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4必修1 P11练习T1(20xx·高考全国卷Ⅰ，T1，5分)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则( )A．A∩B＝{x|x<0}B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x>1}D．A∩B＝∅必修1 P83B组T1(20xx·高考全国卷Ⅱ，T2，5分)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝( )A．{1，－3}B．{1，0} C．{1，3}D．{1，5}必修1 P11练习T2(20xx·高考全国卷Ⅰ，T1，5分)设集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝( )A．{1，3}B．{3，5} C．{5，7}D．{1，7} 必修1 P12A组T6(20xx·高考全国卷Ⅱ，T2，5分)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}，则A∪B＝( )A．{1} B．{1，2} C．{0，1，2，3}D．{－1，0，1，2，3} 必修1 P8例5含有一个量词命题的否定(20xx·高考全国卷Ⅰ，T3，5分)设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则p为( )A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n选修11 P27A组T3(1)二、根置教材，考在变中一、选择题1．(必修1 P11练习T4改编)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，5，7}，则(∁UA)∩B＝( ) A．{1，3，5，6，7} B．{1，3，7}C．{5} D．{3，5，7}解析：选B.(∁UA)∩B＝{1，3，6，7}∩{1，3，5，7}＝{1，3，7}．2．(必修1 P12A组T3(3)改编)设A＝{x∈Z|－3<2x－1≤3}，B ＝{x|3x≥4－2x}，则A∩B＝( )A．{1，2} B．{2}C．D．{0，1}解析：选A.A＝{x∈Z|－1<x≤2}＝{0，1，2}，B＝，所以A∩B ＝{1，2}．3．(必修1 P8例5改编)设集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，则( )A．A∩B＝{x|－1<x<3}B．A∪B＝{x|1<x<2}C．(∁RA)∩B＝{x|2≤x<3}D．A⊆B解析：选C.因为A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，所以A∩B＝{x|1<x<2}，A∪B＝{x|－1<x<3}．(∁RA)∩B＝{x|x≤－1或x≥2}∩{x|1<x<3}＝{x|2≤x＜3}．A 与B无包含关系．故选C.4．(必修1 P11练习T2改编)设A＝{x|x2－4x－5<0}，B＝{x|x2<4}，则A∪B＝( )A．(－1，2) B．(－2，5)C．(2，5) D．(－2，－1)解析：选B.A＝{x|－1<x<5}，B ＝{x|－2<x<2}，所以A∪B＝{x|－2<x<5}．5．(必修1 P83B 组T1改编)设集合A ＝{y|y ＝log2(|sin x|＋1)，x ∈R}，B ＝{y|y ＝2cos x ，x ∈R}，则A ∩B ＝( )A ．[0，2]B ．[1，2]C ．[0，1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1解析：选D.因为|sin x|＋1∈[1，2]，所以A ＝{y|y ＝log2(|sin x|＋1)，x∈R}＝{y|0≤y≤1}，又cos x∈[－1，1]，所以B ＝{y|y ＝2cos x ，x∈R}＝，所以A∩B＝[0，1]∩＝.6．(选修11 P12练习T2(2)改编)已知条件p ：x －3>0，条件q ：(x －3)(x －4)≥0，则( )A ．p 是q 的充分条件B ．p 是﹁q 的必要条件C ．p 是﹁q 的充分条件D ．p 是q 的必要条件解析：选B.将条件p 、q 转化为用集合表示：p ：A ＝{x|x －3>0}＝{x|x>3}．﹁p ：B ＝{x|x －3≤0}＝{x|x≤3}．q ：C ＝{x|(x －3)(x －4)≥0}＝{x|x ≤3或x ≥4}．﹁q ：D ＝{x|(x －3)(x －4)＜0}＝{x|3<x<4}．显然，A 不是C 的子集，故A 错；D ⊆A ，即p 是﹁q 的必要条件，故B 正确，C 错；C 不是A 的子集，故D 错，所以选B.二、填空题7．(必修1 P7练习T2(6)改编)已知集合A ＝{x|x2－2x －3<0}，B ＝{x|－m<x<m}．若B ⊆A ，则m 的范围为________．解析：当m≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A. 当m>0时，因为A ＝{x|x2－2x －3<0} ＝{x|－1<x<3}．当B ⊆A 时，用数轴表示有所以所以0<m≤1.综上所述，m 的范围为m≤1. 答案：m≤18．(选修11 P25探究(3)改编)命题p ：∀x ∈R ，x2＋1>0的否定是________．解析：根据全称命题的否定形式．p：∀x∈R，x2＋1>0的否定是﹁p：∃x0∈R，x＋1≤0.答案：∃x0∈R，x＋1≤0。

北师版高考总复习一轮文科数学精品课件第1章集合与常用逻辑用语第1节集合的概念与运算

)
B.[8,+∞)
C.(16,+∞) D.[16,+∞)
(2)(2022山东济南二模)已知集合A={1,2},B={2,4},C={z|z=xy,x∈A,y∈B},
则C中元素的个数为(
A.1
B.2
C.3
D.4
)
答案:(1)C (2)C
解析:(1)因为集合A中至少有3个元素,所以log2k>4,所以k>24=16,故选C.
A.{2,4}
B.{2,4,6}
C.{2,4,6,8}
D.{2,4,6,8,10}
(3)(2022北京,1)已知全集U={x|-3<x<3},集合A={x|-2<x≤1},则∁UA=(
A.(-2,1]
B.(-3,-2)∪[1,3)
C.[-2,1)
D.(-3,-2]∪(1,3)
)
)
答案:(1)A (2)A
则m的取值范围为(
)
A.(-6,+∞)
B.[-6,+∞)
C.(-∞,-6)
D.(-∞,-6]
答案:(1)C (2)A
解析:(1)由题意知A={y|-2≤y≤2},要满足B⫋A,即B⫋[-2,2],结合选项可知B=[-
1,1].故选C.
(2)因为 A={x|3≤x≤4},B= >

2

,A⊆B,所以- <3,解得
C.-2
)
D.-4
(3)(2022江苏南京第一中学三模)非空集合A={x∈N|0<x<3},B={y∈N|y2my+1<0,m∈R},A∩B=A∪B,则实数m的取值范围为(
A.

2020版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语教案(含解析)

2020版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语§1.1集合的概念及运算最新考纲1.通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系.2.能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.4.在具体情境中，了解全集与空集的含义.5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.7.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法2.集合间的基本关系A B(或B A)3.集合的基本运算概念方法微思考1．若一个集合A有n个元素，则集合A有几个子集，几个真子集．提示2n,2n－1.2．从A∩B＝A，A∪B＝A可以得到集合A，B有什么关系？提示A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集．( ×)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( ×)(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.( ×)(4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( √)(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( ×)题组二教材改编2．若集合A＝{x∈N|x≤2020}，a＝22，则下列结论正确的是( )A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉A答案 D3．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为________．答案 2解析集合A 表示以(0,0)为圆心，1为半径的单位圆上的点，集合B 表示直线y ＝x 上的点，圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝x 相交于两点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，则A ∩B 中有两个元素．题组三易错自纠4．已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m 等于( ) A ．0或 3 B ．0或3 C ．1或 3 D ．1或3或0答案 B解析 A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，故B ⊆A ，所以m ＝3或m ＝m ，即m ＝3或m ＝0或m ＝1，其中m ＝1不符合题意，所以m ＝0或m ＝3，故选B.5．已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2<x <4}，则(∁R A )∪B ＝______________. 答案 {x |x ≤1或x >2}解析由已知可得集合A ＝{x |1<x <3}，又因为B ＝{x |2<x <4}，∁R A ＝{x |x ≤1或x ≥3}，所以(∁R A )∪B ＝{x |x ≤1或x >2}．6．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－4x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________. 答案 0或2解析若a ＝0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，符合题意；若a ≠0，则由题意得Δ＝16－8a ＝0，解得a ＝2. 综上，a 的值为0或2.题型一集合的含义1．已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{(x ，y )|x ≥y ，x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1B ．3C ．6D ．9 答案 C解析当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝0或y ＝1；当x ＝2时，y ＝0,1,2.故集合B ＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)}，即集合B 中有6个元素．2．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈Z ，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5答案 C 解析因为32－x∈Z ，所以2－x 的取值有－3，－1,1,3，又因为x ∈Z ，所以x 的值分别为5,3,1，－1，故集合A 中的元素个数为4.3．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．答案－32解析由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－32，当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，故m ＝－32.思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．(2)如果是根据已知列方程求参数值，一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性．题型二集合间的基本关系例1 (1)集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝n2＋1，n ∈Z， N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝m ＋12，m ∈Z，则两集合M ，N 的关系为( ) A ．M ∩N ＝∅ B ．M ＝N C ．M ⊆N D ．N ⊆M答案 D解析由题意，对于集合M ，当n 为偶数时，设n ＝2k (k ∈Z )，则x ＝k ＋1(k ∈Z )，当n 为奇数时，设n ＝2k ＋1(k ∈Z )，则x ＝k ＋1＋12(k ∈Z )，∴N ⊆M ，故选D.(2)已知集合A ＝{x |x 2－2019x ＋2019<0}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________________________________________________________________________．答案 [2019，＋∞)解析由x 2－2019x ＋2019<0，解得1<x <2019，故A ＝{x |1<x <2019}．又B ＝{x |x <a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≥2019. 引申探究本例(2)中，若将集合B 改为{x |x ≥a }，其他条件不变，则实数a 的取值范围是____________．答案 (－∞，1]解析 A ＝{x |1<x <2019}，B ＝{x |x ≥a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≤1.思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．跟踪训练1 (1)已知集合A ＝{y |0≤y <a ，y ∈N }，B ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈N }，若A B ，则满足条件的正整数a 所构成集合的子集的个数为________．答案 8解析 B ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈N }＝{x |－1≤x ≤3，x ∈N }＝{0,1,2,3}，当a 分别取1,2,3时，所得集合A 分别为{0}，{0,1}，{0,1,2}，均满足A B ，当a ＝4时，A ＝{0,1,2,3}，不满足AB ，同理，当a ≥5时均不满足A B .所以满足条件的正整数a 所构成的集合为{1,2,3}，其子集有8个．(2)已知集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－m <x <m }．若B ⊆A ，则m 的取值范围为__________．答案 (－∞，1]解析当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m >0时，因为A ＝{x |－1<x <3}，B ⊆A ，所以在数轴上标出两集合，如图，所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，－m ≥－1，所以0<m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]．题型三集合的基本运算命题点1 集合的运算例2 (1)(2019·全国Ⅰ)已知集合A ＝{}x |x 2－x －2>0，则∁R A 等于( )A ．{x |－1<x <2}B ．{x |－1≤x ≤2}C ．{x |x <－1}∪{x |x >2}D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2} 答案 B解析 ∵x 2－x －2>0，∴(x －2)(x ＋1)>0，∴x >2或x <－1，即A ＝{x |x >2或x <－1}．在数轴上表示出集合A ，如图所示．由图可得∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}．故选B.(2)(2019·海南联考)已知集合A ＝{x |3x 2＋x －2≤0}，B ＝{x |log 2(2x －1)≤0}，则A ∩B 等于( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤23 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 23≤x ≤1 C.{}x | －1≤x ≤1 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x ≤23 答案 D解析由题意得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，23，B ＝⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，∴A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x ≤23，故选D. 命题点2 利用集合的运算求参数例3 (1)(2019·惠州模拟)已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |x 2－3x ＋2<0}，若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <1 B ．a ≤1 C ．a >2 D ．a ≥2答案 D解析集合B ＝{x |x 2－3x ＋2<0}＝{x |1<x <2}，由A ∩B ＝B 可得B ⊆A ，作出数轴如图．可知a ≥2.(2)设集合A ＝{－1,0,1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a －1，a ＋1a ，A ∩B ＝{0}，则实数a 的值为________．答案 1解析 0∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫a －1，a ＋1a ，由a ＋1a≠0，则a －1＝0，则实数a 的值为1.经检验，当a ＝1时满足题意．(3)设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是______．答案 (－∞，－1]∪{1} 解析因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ，因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)>0，－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}，并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意； ③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪{1}．思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．跟踪训练2 (1)(2019·烟台模拟)已知集合A ＝{x |x 2＋x －2≤0}，B ＝{x |y ＝log 2x ，x ∈R }，则A ∩B 等于( ) A ．∅ B ．[1，＋∞) C ．(0,2] D ．(0,1]答案 D解析由集合A ＝{x |x 2＋x －2≤0}＝{x |－2≤x ≤1}，B ＝{x |y ＝log 2x ，x ∈R }＝{x |x >0}，所以A ∩B ＝{x |0<x ≤1}＝(0,1]，故选D.(2)已知集合A ＝{x |x 2－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为( ) A ．[－1,2) B ．[－1,3] C ．[2，＋∞) D ．[－1，＋∞)答案 D解析由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0，即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}．又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2； ②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上，m 的取值范围为[－1，＋∞)．题型四集合的新定义问题例4(1)(2019·沈阳模拟)已知集合A ＝{x ∈N |x 2－2x －3≤0}，B ＝{1,3}，定义集合A ，B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中的所有元素数字之和为( ) A ．15B ．16C ．20D ．21 答案 D解析由x 2－2x －3≤0，得(x ＋1)(x －3)≤0，得A ＝{0,1，2,3}．因为A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，所以A *B 中的元素有：0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A *B ＝{1,2,3,4,5,6}，所以A *B 中的所有元素数字之和为21.(2)设数集M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪m ≤x ≤m ＋34，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪n －13≤x ≤n，且M ，N 都是集合U ＝{x |0≤x ≤1}的子集，定义b －a 为集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，则集合M ∩N 的长度的最小值为________．答案112解析在数轴上表示出集合M 与N (图略)，可知当m ＝0且n ＝1或n －13＝0且m ＋34＝1时，M ∩N 的“长度”最小．当m ＝0且n ＝1时，M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23≤x ≤34，长度为34－23＝112；当n ＝13且m ＝14时，M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪14≤x ≤13，长度为13－14＝112.综上，M ∩N 的长度的最小值为112.思维升华解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中．(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．跟踪训练3 用C (A )表示非空集合A 中元素的个数，定义A *B ＝⎩⎪⎨⎪⎧C (A )－C (B )，C (A )≥C (B )，C (B )－C (A )，C (A )<C (B ).若A ＝{1,2}，B ＝{x |(x 2＋ax )(x 2＋ax ＋2)＝0}，且A *B ＝1，设实数a 的所有可能取值组成的集合是S ，则C (S )＝________. 答案 3解析因为C (A )＝2，A *B ＝1，所以C (B )＝1或C (B )＝3.由x 2＋ax ＝0，得x 1＝0，x 2＝－a .关于x 的方程x 2＋ax ＋2＝0，当Δ＝0，即a ＝±22时，易知C (B )＝3，符合题意；当Δ>0，即a <－22或a >22时，易知0，－a 均不是方程x 2＋ax ＋2＝0的根，故C (B )＝4，不符合题意；当Δ<0，即－22<a <22时，方程x 2＋ax ＋2＝0无实数解，当a ＝0时，B ＝{0}，C (B )＝1，符合题意，当－22<a <0或0<a <22时，C (B )＝2，不符合题意．综上，S ＝{0，－22，22}，故C (S )＝3.1．已知集合A ＝{y |y ＝|x |－1，x ∈R }，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( ) A ．－3∈A B ．3∉B C ．A ∩B ＝B D ．A ∪B ＝B答案 C解析由题意知A ＝{y |y ≥－1}，因此A ∩B ＝{x |x ≥2}＝B ，故选C.2．设集合M ＝{－1,1}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1x<2，则下列结论中正确的是( ) A ．N M B ．M N C ．N ∩M ＝∅ D ．M ∪N ＝R答案 B解析由题意得，集合N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1x <2＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <0或x >12，所以M N .故选B.3．设集合A ＝{x ∈Z |x 2－3x －4<0}，B ＝{x |2x≥4}，则A ∩B 等于( ) A ．[2,4)B ．{2,4}C ．{3}D ．{2,3}答案 D解析由x 2－3x －4<0，得－1<x <4，因为x ∈Z ，所以A ＝{0,1,2,3}，由2x≥4，得x ≥2，即B ＝{x |x ≥2}，所以A ∩B ＝{2,3}．4．(2019·全国Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( ) A ．9B ．8C ．5D ．4 答案 A解析将满足x 2＋y 2≤3的整数x ，y 全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.5.(2019·济南模拟)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x －1≤0}，集合B ＝{x |x 2－x －6<0}，则右图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x <3}B ．{x |－3<x ≤1}C ．{x |x <2}D ．{x |－2<x ≤1}答案 D解析由题意可得A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |－2<x <3}， ∴A ∩B ＝{x |－2<x ≤1}，故选D.6．(2019·潍坊模拟)设集合A ＝N ，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪xx －3≤0，则A ∩B 等于( ) A ．[0,3) B ．{1,2} C ．{0,1,2} D ．{0,1,2,3}答案 C解析由集合A ＝N 和B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪xx －3≤0＝{x |0≤x <3}，所以A ∩B ＝{0,1,2}，故选C. 7．(2017·全国Ⅱ)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B 等于( ) A ．{1，－3}B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5} 答案 C解析 ∵A ∩B ＝{1}，∴1∈B .∴1－4＋m ＝0，即m ＝3. ∴B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．故选C.8．已知集合A ＝{x |－1<x <0}，B ＝{x |x ≤a }，若A ⊆B ，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0]B ．[0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)答案 B解析用数轴表示集合A ，B (如图)，由A ⊆B ，得a ≥0.9．(2019·郑州模拟)已知集合P ＝{x |y ＝－x 2＋x ＋2，x ∈N }，Q ＝{x |ln x <1}，则P ∩Q ＝________. 答案 {1,2}解析由－x 2＋x ＋2≥0，得－1≤x ≤2，因为x ∈N ，所以P ＝{0,1,2}．因为ln x <1，所以0<x <e ，所以Q ＝(0，e)，则P ∩Q ＝{1,2}．10．若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2≥0}，B ＝{x |log 3(2－x )≤1}，则A ∩(∁U B )＝________________. 答案 {x |x <－1或x ≥2}解析集合A ＝{x |x 2－x －2≥0}＝{x |x ≤－1或x ≥2}， ∵log 3(2－x )≤1＝log 33，∴0<2－x ≤3， ∴－1≤x <2，∴B ＝{x |－1≤x <2}， ∴∁U B ＝{x |x <－1或x ≥2}， ∴A ∩(∁U B )＝{x |x <－1或x ≥2}．11．设集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，若A ∩B ＝{－1,2}，则a 的值为________．答案－2或1解析 ∵集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，A ∩B ＝{－1,2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝－1，a 2－2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝2，a 2－2＝－1，解得a ＝－2或a ＝1.经检验，a ＝－2和a ＝1均满足题意．12．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是________．答案 [1，＋∞)解析由题意知，A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )．由A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.13．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝______，n ＝________. 答案－1 1解析 A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}，由A ∩B ＝(－1，n )，可知m <1，则B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.14．设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．答案 6解析依题意可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数．故这样的集合共有6个．15．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪x 24＋y 22＝1，B ＝{(x ，y )|y ＝kx ＋m ，k ∈R ，m ∈R }，若对任意实数k ，A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是____________．答案 [－2，2]解析由已知，无论k 取何值，椭圆x 24＋y 22＝1和直线y ＝kx ＋m 均有交点，故点(0，m )在椭圆x 24＋y 22＝1上或在其内部，∴m 2≤2，∴－2≤m ≤ 2. 16．已知A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪y ＝log 36－xx －2，B ＝{x |x 2－2x ＋1－a 2≤0}(a >0)，若A ∪B ＝B ，则实数a的取值范围是______．答案 [5，＋∞)解析由6－xx －2>0可得(x －2)(x －6)<0，∴2<x <6，∴A ＝(2,6)．又x 2－2x ＋1－a 2≤0可化为[x －(1－a )][x －(1＋a )]≤0. 又a >0，∴B ＝[1－a,1＋a ]．由A ∪B ＝B ，得A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2≥1－a ，6≤1＋a ，∴a ≥5.∴实数a的取值范围是[5，＋∞)．2020版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语§1.2充要条件、全称量词与存在量词最新考纲1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.2.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．充分条件、必要条件与充要条件的概念2.全称量词和存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定概念方法微思考若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q 的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．提示若A B，则p是q的充分不必要条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A B，则p是q的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( √)(2)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个等价命题．( √)(3)全称命题一定含有全称量词．( ×)(4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．( √)题组二教材改编2．命题“正方形都是矩形”的否定是___________________________．答案存在一个正方形，这个正方形不是矩形3．“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的______条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案充分不必要题组三易错自纠4．(2019·郑州质检)命题“∃x0∈R，x20－x0－1>0”的否定是( )A．∀x∈R，x2－x－1≤0B．∀x∈R，x2－x－1>0C．∃x0∈R，x20－x0－1≤0D．∃x0∈R，x20－x0－1≥0答案 A5．已知p：x>a是q：2<x<3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，2]解析由已知，可得{x|2<x<3}{x|x>a}，∴a≤2.6．若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．答案 1解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，∴y max ＝tan π4＝1.依题意知，m ≥y max ，即m ≥1.∴m 的最小值为1.题型一充分、必要条件的判定例1 (1)已知α，β均为第一象限角，那么“α>β”是“sin α>sin β”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 D解析取α＝7π3，β＝π3，α>β成立，而sin α＝sin β，sin α>sin β不成立．∴充分性不成立；取α＝π3，β＝13π6，sin α>sin β，但α<β，必要性不成立．故“α>β”是“sin α>sin β”的既不充分也不必要条件．(2)已知条件p ：x >1或x <－3，条件q ：5x －6>x 2，则q 是p 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析由5x －6>x 2，得2<x <3，即q ：2<x <3. 所以q ⇒p ，p ⇏q ，所以q 是p 的充分不必要条件，故选A. 思维升华充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题．跟踪训练1 (1)(2019·福建省莆田一中月考)王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的( ) A ．充要条件 B ．既不充分也不必要条件 C ．充分不必要条件 D ．必要不充分条件答案 D解析非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件． (2)(2019·济南模拟)若集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x >b ，b ∈R }，则A ⊆B 的一个充分不必要条件是( ) A ．b ≥2 B ．1<b ≤2 C ．b ≤1 D ．b <1答案 D解析 ∵A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x >b ，b ∈R }，∴A ⊆B 的充要条件是b ≤1，∴b <1是A ⊆B 的充分不必要条件，故选D.题型二含有一个量词的命题命题点1 全称命题、特称命题的真假例2 (1)(2019·沈阳模拟)下列四个命题中真命题是( ) A ．∀n ∈R ，n 2≥nB ．∃n 0∈R ，∀m ∈R ，m ·n 0＝mC ．∀n ∈R ，∃m 0∈R ，m 20<n D ．∀n ∈R ，n 2<n 答案 B解析对于选项A ，令n ＝12，即可验证其不正确；对于选项C ，D ，可令n ＝－1加以验证，均不正确，故选B.(2)下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R,2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x 0∈R ，lg x 0<1 D ．∃x 0∈R ，tan x 0＝2答案 B解析当x ∈N *时，x －1∈N ，可得(x －1)2≥0，当且仅当x ＝1时取等号，故B 不正确；易知A ，C ，D 正确，故选B.命题点2 含一个量词的命题的否定例3 (1)已知命题p ：“∃x 0∈R ，0e x－x 0－1≤0”，则綈p 为( ) A ．∃x 0∈R ，0e x－x 0－1≥0e x－x0－1>0B．∃x0∈R，0C．∀x∈R，e x－x－1>0D．∀x∈R，e x－x－1≥0答案 C解析根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p为“∀x∈R，e x－x－1>0”，故选C.(2)(2019·福州质检)已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则綈p是( ) A．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0B．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0C．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0D．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0答案 C解析已知全称命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)≥0，则綈p：∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0，故选C.思维升华(1)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p(x0)成立．(2)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；②对原命题的结论进行否定．跟踪训练2 (1)(2019·东北三校联考)下列命题中是假命题的是( )A．∃x0∈R，log2x0＝0 B．∃x0∈R，cos x0＝1C．∀x∈R，x2>0 D．∀x∈R,2x>0答案 C解析因为log21＝0，cos0＝1，所以选项A，B均为真命题，02＝0，选项C为假命题，2x>0，选项D为真命题，故选C.3x＋1)≤0，则( )(2)已知命题p：∃x0∈R，log2(0A．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0B．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0C．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0D．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0答案 B解析因为3x>0，所以3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，所以p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x ＋1)>0.故选B.题型三充分、必要条件的应用例4已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围．解由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}．由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2， ∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]．引申探究若本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．解若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，方程组无解，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．思维升华充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练3 (1)若“x >2m 2－3”是“－1<x <4”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是__________．答案 [－1,1]解析依题意，可得(－1,4)(2m 2－3，＋∞)，所以2m 2－3≤－1，解得－1≤m ≤1.(2)设n ∈N *，则一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 答案 3或4解析由Δ＝16－4n ≥0，得n ≤4，又n ∈N *，则n ＝1,2,3,4. 当n ＝1,2时，方程没有整数根；当n ＝3时，方程有整数根1,3，当n ＝4时，方程有整数根2.综上可知，n ＝3或4. 题型四命题中参数的取值范围例5已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ 解析当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.引申探究本例中，若将“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是________________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.思维升华对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．跟踪训练4(1)已知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是______________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞ 解析由“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x 2－5x ＋152a >0对任意实数x 恒成立．设f (x )＝x 2－5x ＋152a ，则其图象恒在x 轴的上方．故Δ＝25－4×152a <0，解得a >56，即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞.(2)已知c >0，且c ≠1，设命题p ：函数y ＝c x为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c恒成立．如果p 和q 有且只有一个是真命题，则c 的取值范围为________________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪(1，＋∞)解析由命题p 为真知，0<c <1，由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤52，要使x ＋1x >1c 恒成立，需1c <2，即c >12，当p 真q 假时，c 的取值范围是0<c ≤12；当p 假q 真时，c 的取值范围是c >1.综上可知，c 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪(1，＋∞)．利用充要条件求参数范围逻辑推理是从事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养．逻辑推理的主要形式是演绎推理，它是得到数学结论、证明数学命题的主要方式，也是数学交流、表达的基本思维品质．例已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，q 是p 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为__________．答案 [9，＋∞)解析 ∵q 是p 的必要不充分条件．即p 是q 的充分不必要条件，由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．∴q 对应的集合为{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}．设M ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}．又由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10， ∴p 对应的集合为{x |－2≤x ≤10}．设N ＝{x |－2≤x ≤10}．由p 是q 的充分不必要条件知，NM ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，解得m ≥9.∴实数m 的取值范围为[9，＋∞)．素养提升例题中得到实数m 的范围的过程就是利用已知条件进行推理论证的过程，数学表达严谨清晰．1．以下四个命题中既是特称命题又是真命题的是( ) A ．锐角三角形有一个内角是钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，1x>2答案 B解析 A 中锐角三角形的内角都是锐角，所以A 是假命题；B 中当x ＝0时，x 2＝0，满足x 2≤0，所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C 是假命题；D 中对于任意一个负数x ，都有1x <0，不满足1x>2，所以D 是假命题．2．命题“∀x ∈R ，∃n 0∈N *，使得n 0≤x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n 0∈N *，使得n 0>x 2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n >x 2C ．∃x 0∈R ，∃n 0∈N *，使得n 0>x 20 D ．∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n >x 20 答案 D解析 ∀改写为∃，∃改写为∀，n ≤x 2的否定是n >x 2，则该命题的否定形式为“∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n >x 20”．故选D.3．(2019·西安模拟)设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析由(a －b )a 2<0可知a 2≠0，则一定有a －b <0，即a <b ；但a <b 即a －b <0时，有可能a ＝0，所以(a －b )a 2<0不一定成立，故“(a －b )a 2<0”是“a <b ”的充分不必要条件，故选A.4．(2019·石家庄模拟)“log 2(2x －3)<1”是“4x>8”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析由log 2(2x －3)<1⇒0<2x －3<2⇒32<x <52，4x >8⇒2x >3⇒x >32，所以“log 2(2x －3)<1”是“4x>8”的充分不必要条件，故选A.5．(2019·天津河西区模拟)设a ∈R ，则“a ＝3”是“直线ax ＋2y ＋3a ＝0和直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析若直线ax ＋2y ＋3a ＝0和直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行，则⎩⎪⎨⎪⎧a (a －1)－6＝0，a (7－a )－9a ≠0，即a ＝3，即“a ＝3”是“直线ax ＋2y ＋3a ＝0和直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行”的充要条件．6．下列命题中，真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，0e x≤0 B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab＝－1 D ．“a >1，b >1”是“ab >1”的充分条件答案 D解析因为y ＝e x>0，x ∈R 恒成立，所以A 不正确；因为当x ＝－5时，2－5<(－5)2，所以B 不正确；“a b＝－1”是“a ＋b ＝0”的充分不必要条件，C 不正确；当a >1，b >1时，显然ab >1，D 正确．7．已知p ：x ≥k ，q ：(x ＋1)(2－x )<0，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．[1，＋∞) D ．(－∞，－1]答案 B解析由q ：(x ＋1)(2－x )<0，得x <－1或x >2，又p 是q 的充分不必要条件，所以k >2，即实数k 的取值范围是(2，＋∞)，故选B.8．若∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 20－λx 0＋1<0成立是假命题，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，22]B ．(22，3] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，92 D ．{3}答案 A解析因为∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 20－λx 0＋1<0成立是假命题，所以∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，2x 2－λx＋1≥0恒成立是真命题，即∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，λ≤2x ＋1x 恒成立是真命题，令f (x )＝2x ＋1x ，则f ′(x )＝2－1x 2，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，22时，f ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤22，2时，f ′(x )>0，所以f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝22，则λ≤2 2.9．已知f (x )是R 上的奇函数，则“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的__________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案充分不必要解析 ∵函数f (x )是奇函数，∴若x 1＋x 2＝0，则x 1＝－x 2，则f (x 1)＝f (－x 2)＝－f (x 2)，即f (x 1)＋f (x 2)＝0成立，即充分性成立；若f (x )＝0，满足f (x )是奇函数，当x 1＝x 2＝2时，满足f (x 1)＝f (x 2)＝0，此时满足f (x 1)＋f (x 2)＝0，但x 1＋x 2＝4≠0，即必要性不成立．故“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的充分不必要条件．10．若命题“对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，则k 的取值范围是________________．答案 (－4,0]解析 “对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，当k ＝0时，则有－1<0；当k ≠0时，则有k <0且Δ＝(－k )2－4×k ×(－1)＝k 2＋4k <0，解得－4<k <0，综上所述，实数k 的取值范围是(－4,0]．11．已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．答案 (－1,3)解析原命题的否定为∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12>0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a －1)2－4×2×12<0，则－2<a －1<2，即－1<a <3.12．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<2x<8，x ∈R，B ＝{x |－1<x <m ＋1，m ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是____________．答案 (2，＋∞)解析因为A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<2x<8，x ∈R＝{x |－1<x <3}，x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，所以A B ，所以m ＋1>3，即m >2.13．已知α，β∈(0，π)，则“sin α＋sin β<13”是“sin(α＋β)<13”的______________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案充分不必要解析因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β<sin α＋sin β，所以若sin α＋sin β<13，则有sin(α＋β)<13，故充分性成立；当α＝β＝π2时，有sin(α＋β)＝sin π＝0<13，而sin α＋sin β＝1＋1＝2，不满足sin α＋sin β<13，故必要性不成立．所以“sin α＋sin β<13”是“sin(α＋β)<13”的充分不必要条件．14．(2019·山东济南一中月考)已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则m的取值范围是____________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43 解析解不等式|x －m |<1，得m －1<x <m ＋1.由题意可得⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12(m －1，m ＋1)，故⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤13，m ＋1≥12且等号不同时成立，解得－12≤m ≤43.15．已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∀x 2∈[2,3]，f (x 1)≥g (x 2)恒成立，则实数a 的取值范围是______________．答案 (－∞，－3]解析由题意知f (x )min ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1≥g (x )max (x ∈[2,3])，因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上为减函数，g (x )在[2,3]上为增函数，所以f (x )min ＝f (1)＝5，g (x )max ＝g (3)＝8＋a ，所以5≥8＋a ，即a ≤－3.16．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，0≤x ≤2，B ＝{x |x ＋m 2≥2}，p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－54∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞解析由y ＝x 2－32x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716，0≤x ≤2，得716≤y ≤2，∴A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，2.又由题意知A ⊆B ， ∴2－m 2≤716，∴m 2≥2516.∴m ≥54或m ≤－54.。

(天津专用)2020届高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念及运算教师用书(PDF,含解析)

{ } ３} ꎬＢ＝ｘ２３ｘ－＋ｘ１≤０ ꎬ则Ａ∩Ｂ＝ .
( ] ２－１
答案
－１ꎬ－１２
{ 解析Ａ＝ { ｘ｜｜２ｘ－１｜ <３} ＝ { ｘ｜－１<ｘ<２} ꎬＢ＝ｘ２３ｘ－＋ｘ１≤
} { } ( ] ０
＝ｘ
ｘ>３
或
ｘ≤－
１２
ꎬ则Ａ∩Ｂ＝
对子集是不是空集进行分类讨论ꎬ做到不重不漏. 若集合元素是
可一一列举的ꎬ依据集合间的关系ꎬ转化为解方程( 组)ꎬ此时注
意集合中元素的互异性ꎻ若集合表示的是不等式的解集ꎬ常依据
数轴转化为不等式( 组) 求解ꎬ此时需注意端点值能否取到.
(２０１８天津耀华中学月考ꎬ９) 已知集合Ａ＝ { ｘ｜ｘ２－ｘ <
综上ꎬｍ＝１或ｍ＝２.
二、集合运算问题的求解策略
解决集合运算问题需注意以下三点:
( １) 看元素组成ꎬ集合是由元素组成的ꎬ从研究集合中元素
的构成入手是解决集合运算问题的前提.
( ２) 看集合能否化简ꎬ集合能化简的先化简ꎬ再研究其关系
并进行运算ꎬ可使问题简单明了ꎬ易于求解.
０} ꎬＢ＝ { ｘ｜ｘ<ａ} ꎬ若Ａ∩Ｂ＝Ａꎬ则实数ａ的取值范围是 ( )
Ａ.( －∞ ꎬ１] Ｂ.( －∞ ꎬ１) Ｃ.[１ꎬ＋∞ ) Ｄ.(１ꎬ＋∞ )
解析由ｘ２－ｘ<０ꎬ解得０<ｘ<１ꎬ∴ Ａ＝ (０ꎬ１) .
∵ Ａ∩Ｂ＝Ａꎬ∴ Ａ⊆Ｂ.∴ ａ≥１.
∴ 实数ａ的取值范围是[１ꎬ＋∞ ).
( 自然数集)
符号
Ｎ

部编版2020高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念及运算练习理

§1.1集合的概念及运算命题探究考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.集合的含义与表示①了解集合的含义、元素与集合的属于关系;②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题了解2017课标全国Ⅱ,2;2016四川,1选择题★★★2.集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;②在具体情境中,了解全集与空集的含义理解2015重庆,1;2013江苏,4选择题★★☆3.集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;②理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;③能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系及运算理解2017课标全Ⅰ,1;2016课标全Ⅰ,1;2014课标Ⅰ,1选择题★★★分析解读 1.理解、掌握集合的表示方法,能够判断元素与集合、集合与集合之间的关系.2.能够正确处理含有字母的讨论问题,掌握集合的交、并、补运算和性质.3.要求具备数形结合的思想意识,会借助Venn图、数轴等工具解决集合运算问题.4.命题以集合的运算为主,其中基本知识和基本技能是高考的热点.5.本节在高考中分值为5分左右,属于中低档题.五年高考考点一集合的含义与表示1.(2017课标全国Ⅱ,2,5分)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=( )A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}答案 C2.(2016四川,1,5分)设集合A={x|-2≤x≤2},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是( )A.3B.4C.5D.6答案 C3.(2013山东,2,5分)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( )A.1B.3C.5D.9答案 C4.(2017江苏,1,5分)已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数a的值为.答案 1考点二集合间的基本关系1.(2015重庆,1,5分)已知集合A={1,2,3},B={2,3},则( )A.A=BB.A∩B=⌀C.A⫋BD.B⫋A答案 D2.(2013江苏,4,5分)集合{-1,0,1}共有个子集.答案8考点三集合的基本运算1.(2017课标全国Ⅰ,1,5分)已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则( )A.A∩B={x|x<0}B.A∪B=RC.A∪B={x|x>1}D.A∩B=⌀答案 A2.(2017课标全国Ⅲ,1,5分)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为( )A.3B.2C.1D.0答案 B3.(2017天津,1,5分)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|-1≤x≤5},则(A∪B)∩C=()A.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,6}D.{x∈R|-1≤x≤5}答案 B4.(2017山东,1,5分)设集合M={x||x-1|<1},N={x|x<2},则M∩N=（）A.(-1,1)B.(-1,2)C.(0,2)D.(1,2)答案 C5.(2016课标全国Ⅱ,2,5分)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B=()A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}答案 C6.(2016天津,1,5分)已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},则A∩B=()A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}答案 D7.(2014课标Ⅰ,1,5分)已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则A∩B=()A.[-2,-1]B.[-1,2)C.[-1,1]D.[1,2)答案 A教师用书专用(8—24)8.(2017北京,1,5分)若集合A={x|-2<x<1},B={x|x<-1或x>3},则A∩B=()A.{x|-2<x<-1}B.{x|-2<x<3}C.{x|-1<x<1}D.{x|1<x<3}答案 A9.(2017浙江,1,5分)已知集合P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<2},则P∪Q=()A.(-1,2)B.(0,1)C.(-1,0)D.(1,2)答案 A10.(2017山东,1,5分)设函数y=的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B=()A.(1,2)B.(1,2]C.(-2,1)D.[-2,1)答案 D11.(2016课标全国Ⅲ,1,5分)设集合S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},则S∩T=()A.[2,3]B.(-∞,2]∪[3,+∞)C.[3,+∞)D.(0,2]∪[3,+∞)答案 D12.(2016北京,1,5分)已知集合A={x||x|<2},B={-1,0,1,2,3},则A∩B=()A.{0,1}B.{0,1,2}C.{-1,0,1}D.{-1,0,1,2}答案 C13.(2016浙江,1,5分)已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(∁R Q)=( )A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.(-∞,-2]∪[1,+∞)答案 B14.(2016山东,2,5分)设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},则A∪B=()A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,+∞)D.(0,+∞)答案 C15.(2015课标Ⅱ,1,5分)已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B=()A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{0,1,2}答案 A16.(2015天津,1,5分)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合B={1,3,4,6,7},则集合A∩∁U B=( )A.{2,5}B.{3,6}C.{2,5,6}D.{2,3,5,6,8}答案 A17.(2015福建,1,5分)若集合A={i,i2,i3,i4}(i是虚数单位),B={1,-1},则A∩B等于( )A.{-1}B.{1}C.{1,-1}D.⌀答案 C18.(2015四川,1,5分)设集合A={x|(x+1)(x-2)<0},集合B={x|1<x<3},则A∪B=()A.{x|-1<x<3}B.{x|-1<x<1}C.{x|1<x<2}D.{x|2<x<3}答案 A19.(2015广东,1,5分)若集合M={x|(x+4)(x+1)=0},N={x|(x-4)(x-1)=0},则M∩N=()A.{1,4}B.{-1,-4}C.{0}D.⌀答案 D20.(2014课标Ⅱ,1,5分)设集合M={0,1,2},N={x|x2-3x+2≤0},则M∩N=()A.{1}B.{2}C.{0,1}D.{1,2}答案 D21.(2014辽宁,1,5分)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=()A.{x|x≥0}B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<x<1}答案 D22.(2014浙江,1,5分)设全集U={x∈N|x≥2},集合A={x∈N|x2≥5},则∁U A=( )A.⌀B.{2}C.{5}D.{2,5}答案 B23.(2015江苏,1,5分)已知集合A={1,2,3},B={2,4,5},则集合A∪B中元素的个数为.答案 524.(2016江苏,1,5分)已知集合A={-1,2,3,6},B={x|-2<x<3},则A∩B=.答案{-1,2}三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一集合的含义与表示1.(2018广东茂名化州二模,1)设集合A={-1,0,1},B={x|x>0,x∈A},则B=( )A.{-1,0}B.{-1}C.{0,1}D.{1}答案 D2.(2017河北冀州第二次阶段考试,1)若集合A={x|x2-7x<0,x∈N*},则集合B=中元素的个数为( )A.1B.2C.3D.4答案 D考点二集合间的基本关系3.(2018四川成都龙泉一中月考,2)已知集合A=,B={x|ax+1=0},且B⊆A,则a的取值组成的集合为( )A.{-3,2}B.{-3,0,2}C.{3,-2}D.{3,0,-2}答案 D4.(2017河南南阳、信阳等六市一模,1)已知集合A={(x,y)|y-=0},B={(x,y)|x2+y2=1},C=A∩B,则C的子集的个数是( )A.0B.1C.2D.4答案 C考点三集合的基本运算5.(2018豫南豫北第二次联考,1)已知集合A={y|y=2x},B={x|y=},则A∩B=()A.{y|y>1}B.{y|y≥1}C.{y|y>0}D.{y|y≥0}答案 B6.(2018江西重点中学第一次联考,1)已知集合M=,则∁R M=( )A.{x|-1<x<1}B.{x|-1<x≤1}C.{x|x<-1或x≥1}D.{x|x≤-1或x≥1}答案 C7.(2017广东惠州第三次调研,1)已知全集U=R,集合A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥2},则图中阴影部分所表示的集合为( )A.{0,1,2}B.{0,1}C.{1,2}D.{1}答案 D8.(2017河南濮阳第二次检测,13)已知集合A={-1,a},B={3a,b},若A∪B={-1,0,1},则a= .答案0B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:35分时间:20分钟)一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2018广东茂名化州二模,1)若集合A={0,1},B={y|y=2x,x∈A},则(∁R A)∩B=()A.{0}B.{2}C.{2,4}D.{0,1,2}答案 B2.(2018吉林榆树第一高级中学第三次模拟,1)设全集U={1,3,5,6,9},A={3,6,9},则图中阴影部分表示的集合是( )A.{1,3,5}B.{1,5,6}C.{6,9}D.{1,5}答案 D3.(2018四川南充一诊,2)已知集合A={(x,y)|y=f(x)},B={(x,y)|x=1},则A∩B中的元素有( )A.1个B.1个或2个C.至多1个D.可能2个以上答案 C4.(2017湖南永州二模,2)已知集合P={x|-1≤x≤1},M={a},若P∩M=⌀,则a的取值范围是( )A.(-∞,-1]B.[1,+∞)C.[-1,1]D.(-∞,-1)∪(1,+∞)答案 D5.(2017河北唐山摸底,1)已知集合A⊆{1,2,3,4,5},且A∩{1,2,3}={1,2},则满足条件的集合A的个数为( )A.2B.4C.8D.16答案 B6.(2016江西南昌十所省重点中学二模,2)设集合A=,B={x|y=ln(x2-3x)},则A∩B中元素的个数是( )A.1B.2C.3D.4答案 A二、填空题(共5分)7.(2017江西九江地区七校联考,14)设A,B是非空集合,定义A⊗B={x|x∈A∪B且x∉A∩B},已知M={y|y=-x2+2x,0<x<2},N={y|y=2x-1,x>0},则M⊗N= .答案∪(1,+∞)C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 与集合元素有关问题的解题方略1.(2016湖南衡阳八中一模,1)已知集合A={0,1},B={z|z=x+y,x∈A,y∈A},则集合B的子集个数为( )A.3B.4C.7D.8答案 D方法2 集合间的基本关系的解题方法2.(2017河北衡水中学七调,1)已知集合A={x|log2x<1},B={x|0<x<c},若A∪B=B,则c的取值范围是( )A.(0,1]B.[1,+∞)C.(0,2]D.[2,+∞)答案 D3.(2018河北衡水中学模拟,13)已知含有三个实数的集合既可表示成,又可表示成{a2,a+b,0},则a2 017+b2 017等于.答案-1方法3 集合的基本运算的解题方法4.(2017安徽淮北第二次模拟,2)已知全集U=R,集合M={x|x+2a≥0},N={x|log2(x-1)<1},若集合M∩(∁U N)={x|x=1或x≥3},那么a的取值为( )A.a=B.a≤C.a=-D.a≥答案 C5.(人教A必1,一,1-1A,7,变式)设全集U={x∈N|x≤8},集合A={1,3,7},B={2,3,8},则(∁U A)∩(∁U B)=( )A.{1,2,7,8}B.{4,5,6}C.{0,4,5,6}D.{0,3,4,5,6}答案 C方法4 求解集合新定义问题的技巧6.(2018陕西西安长安质检,2)若x∈A,且∈A,则称A是伙伴关系集合,集合M=的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )A.31B.7C.3D.1答案 B7.(2017湖北武昌一模,1)设A,B是两个非空集合,定义集合A-B={x|x∈A,且x∉B}.若A={x∈N|0≤x≤5},B={x|x2-7x+10<0},则A-B=( )A.{0,1}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{0,1,2,5}答案 D。

高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算增分练

第1讲集合的概念与运算板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标]1．[2017·全国卷Ⅱ]设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B ＝( )A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}答案 C解析∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m＝0，即m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.2．若集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，则( )A．M＝N B．M⊆NC．N⊆M D．M∩N＝∅答案 C解析M＝{x||x|≤1}＝[－1,1]，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}＝[0,1]，所以N⊆M.故选C.3．[2017·山东高考]设函数y＝4－x2的定义域为A，函数y＝ln (1－x)的定义域为B，则A∩B＝( )A．(1,2) B．(1,2]C．(－2,1) D．[－2,1)答案 D解析∵4－x2≥0，∴－2≤x≤2，∴A＝[－2,2]．∵1－x＞0，∴x＜1，∴B＝(－∞，1)，∴A∩B＝[－2,1)．故选D.4．已知集合A＝{x|x2≥4}，B＝{m}．若A∪B＝A，则m的取值范围是( )A．(－∞，－2) B．[2，＋∞)C．[－2,2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)答案 D解析因为A∪B＝A，所以B⊆A，即m∈A，得m2≥4，解得m≥2或m≤－2.故选D.5．[2017·全国卷Ⅲ]已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( )A．3 B．2C．1 D．0答案 B解析集合A表示以原点O为圆心，半径为1的圆上的所有点的集合，集合B表示直线y＝x上的所有点的集合．由图形可知，直线与圆有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.故选B.6．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B 的集合C的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 D解析集合B ＝{1,2,3,4}，有4个元素，集合A ＝{1,2}，则集合C 的个数问题可转化为{3,4}的子集个数问题，即22＝4.7.[2018·陕西模拟]设全集U ＝R ，集合A ＝{|x ∈Z x3－x≥0}，B ＝{x ∈Z |x 2≤9}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{1,2}B ．{0,1,2}C ．{x |0≤x <3}D ．{x |0≤x ≤3}答案 B解析题图中阴影部分表示的是A ∩B ，因为A ＝{|x ∈Z x x －3≤0}＝{|x ∈Z ⎩⎪⎨⎪⎧x x －，x －3≠0}＝{x ∈Z |0≤x <3}＝{0,1,2}，B ＝{x ∈Z |－3≤x ≤3}＝{－3，－2，－1，0,1,2,3}，所以A ∩B ＝{0,1,2}．故选B.8．设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是________．答案 (－1，＋∞)解析因为A ∩B ≠∅，所以集合A ，B 有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a >－1.9．[2018·郑州模拟]已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪x －mx －2<0，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.答案－1 1解析 A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}，由A ∩B ＝(－1，n )，可知m <1，则B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.10．设m ，n ∈R ，集合{1，m ，m ＋n }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，n ，n m ，则m －n ＝________. 答案－2解析 ∵{1，m ，m ＋n }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，n ，n m 且m ≠0，∴m ＋n ＝0, 即m ＝－n ，于是n m＝－1.∴由两集合相等，得m ＝－1，n ＝1，∴m －n ＝－2.[B 级知能提升]1．已知集合A ＝{|y y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ∈R }，B ＝{－2，－1,1,2}，则下列结论正确的是( )A ．A ∩B ＝{－2，－1} B ．(∁R A )∪B ＝(－∞，0)C ．A ∪B ＝(0，＋∞)D ．(∁R A )∩B ＝{－2，－1}答案 D解析因为A ＝(0，＋∞)，所以A ∩B ＝{1,2}，(∁R A )∪B ＝{y |y ≤0或y ＝1,2}，A ∪B ＝{y |y >0或y ＝－1，－2}，(∁R A )∩B ＝{－1，－2}．所以D 正确．2．[2018·湖南模拟]设常数a ∈R ，集合A ＝{x |(x －1)(x －a )≥0}，B ＝{x |x ≥a －1}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 B解析集合A 讨论后利用数轴可知⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a －1≤1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a －1≤a .解得1≤a ≤2或a ≤1，即a ≤2.故选B.3．已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(1≤a 1<a 2<…<a n ，n ≥2)具有性质P ：对任意的i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a i a j 与a ja i两数中至少有一个属于A ，则称集合A 为“权集”，则( )A ．{1,3,4}为“权集”B ．{1,2,3,6}为“权集”C ．“权集”中元素可以有0D ．“权集”中一定有元素1答案 B解析由于3×4与43均不属于数集{1,3,4}，故A 不正确；由于1×2,1×3,1×6,2×3，62，63，11，22，33，66都属于数集{1,2,3,6}，故B 正确；由“权集”的定义可知a ja i 需有意义，故不能有0，同时不一定有1，故C ，D 错误．4．已知集合A ＝{x ∈R |x 2－ax ＋b ＝0}，B ＝{x ∈R |x 2＋cx ＋15＝0}，A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3,5}．(1)求实数a ，b ，c 的值；(2)设集合P ＝{x ∈R |ax 2＋bx ＋c ≤7}，求集合P ∩Z .解 (1)因为A ∩B ＝{3}，所以3∈B ，所以32＋3c ＋15＝0，c ＝－8，所以B ＝{x ∈R |x2－8x ＋15＝0}＝{3,5}．又因为A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3,5}，所以A ＝{3}，所以方程x 2－ax ＋b ＝0有两个相等的实数根都是3，所以a ＝6，b ＝9，所以a ＝6，b ＝9，c ＝－8.(2)不等式ax 2＋bx ＋c ≤7即6x 2＋9x －8≤7，所以2x 2＋3x －5≤0，所以－52≤x ≤1，所以P ＝{|x －52≤x ≤1}，所以P ∩Z ＝{|x －52≤x ≤1}∩Z ＝{－2，－1,0,1}．5．[2018·南宁段考]已知集合P ＝{x |a ＋1≤x ≤2a ＋1}，Q ＝{x |x 2－3x ≤10}． (1)若a ＝3，求(∁R P )∩Q ；(2)若P ∪Q ＝Q ，求实数a 的取值范围．解 (1)因为a ＝3，所以P ＝{x |4≤x ≤7}， ∁R P ＝{x |x <4或x >7}．又Q ＝{x |x 2－3x －10≤0}＝{x |－2≤x ≤5}，所以(∁R P )∩Q ＝{x |x <4或x >7}∩{x |－2≤x ≤5}＝{x |－2≤x ＜4}．(2)当P ≠∅时，由P ∪Q ＝Q 得P ⊆Q ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥－2，2a ＋1≤5，2a ＋1≥a ＋1，解得0≤a ≤2；当P ＝∅，即2a ＋1<a ＋1时，有P ⊆Q ，得a <0. 综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]．。

2020高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算学案

【2019最新】精选高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算学案板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 集合与元素1．集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．2．元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．3．集合的表示法：列举法、描述法、图示法．4．常见数集的记法A B或B A∅⊆A∅B(B≠∅)[必会结论]1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．A∩(∁UA)＝∅；A∪(∁UA)＝U；∁U(∁UA)＝A.[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)集合{x|y＝}与集合{y|y＝}是同一个集合．( )(2)已知集合A＝{x|mx＝1}，B＝{1,2}，且A⊆B，则实数m＝1 或m＝.( )(3)M＝{x|x≤1}，N＝{x|x>ρ}，要使M∩N＝∅，则ρ所满足的条件是ρ≥1.()(4)若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中有4个元素．( )(5)若5∈{1，m＋2，m2＋4}，则m的取值集合为{1，－1,3}．( )答案(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2．[2017·北京高考]若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝( )B．{x|－2＜x＜3}A．{x|－2＜x＜－1}D．{x|1＜x＜3}C．{x|－1＜x＜1}答案A解析∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，∴A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．故选A. 3．[课本改编]已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|0<x≤4}，则A∪B＝( )B．(0,3]A．[－1,4]D．[－1,0]∪(1,4]C．(－1,0]∪(1,4]答案A 解析A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，故A∪B＝[－1,4]．选A.4．[2017·全国卷Ⅰ]已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则( )B．A∪B＝RA．A∩B＝{x|x<0}C．A∪B＝{x|x>1}D．A∩B＝∅答案A解析∵B＝{x|3x＜1}，∴B＝{x|x＜0}．又A＝{x|x＜1}，∴A∩B＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＜1}．故选A. 5．[2018·重庆模拟]已知集合A＝{x∈N|πx<16}，B＝{x|x2－5x＋4<0}，则A∩(∁RB)的真子集的个数为( )B．3A．1C．4D．7答案B解析因为A＝{x∈N|πx<16}＝{0,1,2}，B＝{x|x2－5x＋4<0}＝{x|1<x<4}，故∁RB＝{x|x≤1或x≥4}，故A∩(∁RB)＝{0,1}，故A∩(∁RB)的真子集的个数为3.故选B.板块二典例探究·考向突破考向集合的基本概念例1 (1)[2017·郑州模拟]已知集合A＝{x|y＝，x∈Z}，B＝{p－q|p∈A，q∈A}，则集合B中元素的个数为( )B．3A．1D．7C．5答案C解析由题意知A＝{－1,0,1}，当p＝－1，q＝－1，0,1时，p－q＝0，－1，－2；当p＝0，q＝－1,0,1时，p－q＝1,0，－1；当p＝1，q＝－1,0,1时，p－q＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知，集合B中的元素为－2，－1，0,1,2，共计5个，选C.(2)已知集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3，a－2，a2＋1}，若A∩B＝{－3}，则a＝________.答案－1解析由A∩B＝{－3}知，－3∈B.又a2＋1≥1，故只有a－3，a－2可能等于－3.①当a－3＝－3时，a＝0，此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－2,1}，A∩B＝{1，－3}．故a＝0舍去．②当a－2＝－3时，a＝－1，此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，满足A∩B＝{－3}，故a＝－1.触类旁通解决集合概念问题的一般思路(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．本例(1)集合B中的代表元素为实数p－q.(2)要深刻理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾．【变式训练1】(1)[2018·昆明模拟]若集合A＝{x|x2－9x<0，x∈N*}，B＝∈N*，y∈N*，则A∩B 中元素的个数为________．答案 3解析解不等式x2－9x<0可得0<x<9，所以A ＝{x|0<x<9，x∈N*}＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，又∈N*，y∈N*，所以y 可以为1,2,4，所以B ＝{1,2,4}，所以A∩B＝B ，A∩B 中元素的个数为3.(2)已知集合A ＝{m ＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m 的值为________．答案－32解析因为3∈A，所以m ＋2＝3或2m2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m2＋m ＝3时，解得m ＝－或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－时，m ＋2＝≠3符合题意．所以m ＝－.考向集合间的基本关系例 2 已知集合A ＝{x|x<－3或x>7}，B ＝{x|x<2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．答案 (－∞，－1]解析由题意知2m －1≤－3，m≤－1，∴m 的取值范围是(－∞，－1]．本例中的B 改为B ＝{x|m ＋1≤x≤2m－1}，其余不变，该如何求解？解当B ＝∅时，有m ＋1>2m －1，则m<2.当B≠∅时，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m－1，m ＋1>7，解得m>6.综上可知m 的取值范围是(－∞，2)∪(6，＋∞)．本例中的A 改为A ＝{x|－3≤x≤7}，B 改为B ＝{x|m ＋1≤x≤2m－1}，又该如何求解？解当B＝∅时，满足B⊆A，此时有m＋1>2m－1，即m<2；当B≠∅时，要使B⊆A，则有解得2≤m≤4.综上可知m的取值范围是(－∞，4]．触类旁通根据两集合的关系求参数的方法(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．【变式训练2】设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．(1)若a＝，试判定集合A与B的关系；(2)若BA，求实数a组成的集合C.解(1)由x2－8x＋15＝0，得x＝3或x＝5，∴A＝{3,5}．若a＝，由ax－1＝0，得x－1＝0，即x＝5.∴B＝{5}．∴BA.(2)∵A＝{3,5}，又BA，故若B＝∅，则方程ax－1＝0无解，有a＝0；若B≠∅，则a≠0，由ax－1＝0，得x＝.∴＝3或＝5，即a＝或a＝.故C＝.考向集合的基本运算度命题角集合的交集及运算1例 3 [2017·山东高考]设集合M＝{x||x－1|<1}，N＝{x|x<2}，则M∩N＝( )A．(－1,1)B．(－1,2)D．(1,2)C．(0,2)答案C解析∵M＝{x|0<x<2}，N＝{x|x<2}，∴M∩N＝{x|0<x<2}∩{x|x<2}＝{x|0<x<2}．故选C.命题角度集合的并集及运算2例 4 [2018·武汉模拟]设全集U＝R，集合A＝{x|2x－x2>0}，B＝{y|y＝ex＋1}，则A∪B等于( )B．{x|1<x<2}A．{x|x<2}D．{x|x>0}C．{x|x>1}答案D解析由2x－x2>0得0<x<2，故A＝{x|0<x<2}，由y＝ex＋1得y>1，故B＝{y|y>1}，所以A∪B＝{x|x>0}．故选D.命题角度3集合的补集及运算例 5 [2016·浙江高考]已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁RQ)＝( )A．[2,3]B．(－2,3]C．[1,2)D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)答案B解析∵Q＝(－∞，－2]∪[2，＋∞)，∴∁RQ＝(－2,2)，∴P∪(∁RQ)＝(－2,3]．故选B.命题角度抽象集合的运算4例 6 [2018·唐山统一测试]若全集U＝R，集合A＝≤0，B＝{x|2x<1}，则下图中阴影部分表示的集合是( )B．{x|－1≤x<0}A．{x|2<x<3}C．{x|0≤x<6}D．{x|1≤x≤6}答案C 解析A＝{x|－1≤x<6}，B＝{x|x<0}，A∩(∁UB)＝{x|0≤x<6}．选C项．触类旁通集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．核心规律解决集合问题，要正确理解有关集合的含义，认清集合元素的属性；再依据元素的不同属性，采用不同的方法对集合进行化简求解，一般的规律为：(1)若给定的集合是不等式的解集，用数轴来解；(2)若给定的集合是点集，用数形结合法求解；(3)若给定的集合是抽象集合，用Venn图求解．满分策略1.元素的属性：描述法表示集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)是正确求解集合问题的先决条件．2.元素的互异性：在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．3.空集的特殊性：在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，要先考虑∅是否成立，以防漏解.板块三启智培优·破译高考创新交汇系列1——集合中的创新性问题[2018·吉林模拟]设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，且U的子集可表示由0,1组成的6位字符串，如：{2,4}表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.(1)若M＝{2,3,6}，则∁UM表示的6位字符串为________；(2)已知A＝{1,3}，B⊆U，若集合A∪B表示的字符串为101001，则满足条件的集合B的个数是________．解题视点考查新定义问题，关键是正确理解题目中的新定义，利用集合间的关系及运算解决问题．解析(1)由已知得，∁UM＝{1,4,5}，则∁UM表示的6位字符串为100110.(2)由题意可知A∪B＝{1,3,6}，而A＝{1,3}，B⊆U，则B可能为{6}，{1,6}，{3,6}，{1,3,6}，故满足条件的集合B的个数是4.答案(1)100110 (2)4答题启示解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：1紧扣新定义.首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；2用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质.跟踪训练设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么k是A的一个“孤立元”，给定A＝{1,2,3,4,5}，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有( )B．11个A．10个D．13个C．12个答案D 解析“孤立元”是1的集合：{1}，{1,3,4}，{1,4,5}，{1,3,4,5}．“孤立元”是2的集合：{2}，{2,4,5}．“孤立元”是3的集合：{3}．“孤立元”是4的集合：{4}，{1,2,4}．“孤立元”是5的集合：{5}，{1,2,5}，{2,3,5}，{1,2,3,5}．共有13个．故选D.板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标]1．[2017·全国卷Ⅱ]设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝( )B．{1,0}A．{1，－3}C．{1,3}D．{1,5}答案C解析∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m＝0，即m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.2．若集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，则( )B．M⊆NA．M＝ND．M∩N＝∅C．N⊆M答案C解析M＝{x||x|≤1}＝[－1,1]，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}＝[0,1]，所以N⊆M.故选C. 3．[2017·山东高考]设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln (1－x)的定义域为B，则A∩B＝( )A．(1,2)B．(1,2]D．[－2,1)C．(－2,1)答案D解析∵4－x2≥0，∴－2≤x≤2，∴A＝[－2,2]．∵1－x＞0，∴x＜1，∴B＝(－∞，1)，∴A∩B＝[－2,1)．故选D.4．已知集合A＝{x|x2≥4}，B＝{m}．若A∪B＝A，则m的取值范围是( )B．[2，＋∞)A．(－∞，－2)D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C．[－2,2]答案D解析因为A∪B＝A，所以B⊆A，即m∈A，得m2≥4，解得m≥2或m≤－2.故选D. 5．[2017·全国卷Ⅲ]已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( )B．2A．3D．0C．1答案B解析集合A表示以原点O为圆心，半径为1的圆上的所有点的集合，集合B表示直线y＝x上的所有点的集合．由图形可知，直线与圆有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.故选B. 6．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )B．2A．1D．4C．3答案D解析集合B＝{1,2,3,4}，有4个元素，集合A＝{1,2}，则集合C的个数问题可转化为{3,4}的子集个数问题，即22＝4.7.[2018·陕西模拟]设全集U＝R，集合A＝≥0}，B＝{x∈Z|x2≤9}，则图中阴影部分表示的集合为( )B．{0,1,2}A．{1,2}D．{x|0≤x≤3}C．{x|0≤x<3}答案B解析题图中阴影部分表示的是A∩B，因为A＝≤0}＝}＝{x∈Z|0≤x<3}＝{0,1,2}，B＝{x∈Z|－3≤x≤3}＝{－3，－2，－1，0,1,2,3}，所以A∩B＝{0,1,2}．故选B. 8．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是________．答案(－1，＋∞)解析因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a>－1. 9．[2018·郑州模拟]已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.答案－1 1解析A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5<x<1}，由A∩B＝(－1，n)，可知m<1，则B＝{x|m<x<2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.10．设m，n∈R，集合{1，m，m＋n}＝，则m－n＝________.答案－2解析∵{1，m，m＋n}＝且m≠0，∴m＋n＝0, 即m＝－n，于是＝－1.∴由两集合相等，得m＝－1，n＝1，∴m－n＝－2.[B级知能提升]1．已知集合A＝y＝x，x∈R}，B＝{－2，－1,1,2}，则下列结论正确的是( )A．A∩B＝{－2，－1}B．(∁RA)∪B＝(－∞，0)D．(∁RA)∩B＝{－2，－1}C．A∪B＝(0，＋∞)答案 D解析因为A ＝(0，＋∞)，所以A∩B＝{1,2}，(∁RA)∪B＝{y|y≤0或y ＝1,2}，A∪B＝{y|y>0或y ＝－1，－2}，(∁RA)∩B＝{－1，－2}．所以D 正确．2．[2018·湖南模拟]设常数a∈R，集合A ＝{x|(x －1)(x －a)≥0}，B ＝{x|x≥a－1}，若A∪B＝R ，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞) 答案 B解析集合A 讨论后利用数轴可知或⎩⎪⎨⎪⎧a≤1，a －1≤a. 解得1≤a≤2或a≤1，即a≤2.故选B.3．已知数集A ＝{a1，a2，…，an }(1≤a1<a2<…<an，n≥2)具有性质P ：对任意的i ，j(1≤i≤j≤n)，aiaj 与两数中至少有一个属于A ，则称集合A 为“权集”，则( )A ．{1,3,4}为“权集”B ．{1,2,3,6}为“权集”C ．“权集”中元素可以有0D ．“权集”中一定有元素1 答案 B解析由于3×4与均不属于数集{1,3,4}，故A 不正确；由于1×2,1×3,1×6,2×3，，，，，，都属于数集{1,2,3,6}，故B 正确；由“权集”的定义可知需有意义，故不能有0，同时不一定有1，故C ，D 错误．4．已知集合A ＝{x∈R|x2－ax ＋b ＝0}，B ＝{x∈R|x2＋cx ＋15＝0}，A∩B＝{3}，A∪B＝{3,5}．(1)求实数a ，b ，c 的值；(2)设集合P ＝{x∈R|ax2＋bx ＋c≤7}，求集合P∩Z.解 (1)因为A∩B＝{3}，所以3∈B，所以32＋3c ＋15＝0，c ＝－8，所以B ＝{x∈R|x2－8x ＋15＝0}＝{3,5}．又因为A∩B＝{3}，A∪B＝{3,5}，所以A ＝{3}，所以方程x2－ax ＋b ＝0有两个相等的实数根都是3，所以a ＝6，b ＝9，所以a ＝6，b ＝9，c ＝－8.(2)不等式ax2＋bx ＋c≤7即6x2＋9x －8≤7，所以2x2＋3x －5≤0，所以－≤x≤1，所以P ＝－≤x≤1}，所以P∩Z＝－≤x≤1}∩Z＝{－2，－1,0,1}．5．[2018·南宁段考]已知集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|x2－3x≤10}．(1)若a＝3，求(∁RP)∩Q；(2)若P∪Q＝Q，求实数a的取值范围．解(1)因为a＝3，所以P＝{x|4≤x≤7}，∁RP＝{x|x<4或x>7}．又Q＝{x|x2－3x－10≤0}＝{x|－2≤x≤5}，所以(∁RP)∩Q＝{x|x<4或x>7}∩{x|－2≤x≤5}＝{x|－2≤x＜4}．(2)当P≠∅时，由P∪Q＝Q得P⊆Q，所以解得0≤a≤2；当P＝∅，即2a＋1<a＋1时，有P⊆Q，得a<0.综上，实数a的取值范围是(－∞，2]．。

2020版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语 1 第1讲集合的概念与运算刷好题练能力文

第1讲集合的概念与运算1．(2019·常州调研测试)设集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝________ .解析：由A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，2，3}，可知A∩B＝{0，1}．答案：{0，1}2．(2019·江苏省名校高三入学摸底卷)已知全集U＝{x∈N|(x＋1)(x－5)≤0}，集合A ＝{1，3，4}，则∁U A＝________．解析：全集U＝{0，1，2，3，4，5}，则∁U A＝{0，2，5}．答案：{0，2，5}3．设集合I＝{x|－3<x<3，x∈Z}，A＝{1，2}，B＝{－2，－1，2}，则A∩(∁I B)＝________．解析：因为集合I＝{x|－3<x<3，x∈Z}＝{－2，－1，0，1，2}，A＝{1，2}，B＝{－2，－1，2}，所以∁I B＝{0，1}，则A∩(∁I B)＝{1}．答案：{1}4．(2019·南通市高三第一次调研测试)设集合A＝{1，3}，B＝{a＋2，5}，A∩B＝{3}，则A∪B＝________．解析：由集合A＝{1，3}，B＝{a＋2，5}，A∩B＝{3}，可得a＋2＝3，得a＝1，即B ＝{3，5}，则A∪B＝{1，3，5}．答案：{1，3，5}5．(2019·苏州地区七校模拟)已知集合A＝{x|x＝x2－2，x∈R}，B＝{1，m}，若A⊆B，则m的值为________．解析：根据集合A，由x＝x2－2可得，x＝2，故m＝2.答案：26．(2019·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(一))已知集合A＝{－2，－1，0，1}，B＝{x|3x>1}，则A∩(∁R B)的真子集的个数为________．解析：因为∁R B＝{x|3x≤1}＝{x|x≤0}，所以A∩(∁R B)＝{－2，－1，0}，所以A∩(∁R B)的真子集的个数为23－1＝7.答案：77．(2019·盐城模拟)设全集U＝N*，集合A＝{2，3，6，8，9}，集合B＝{x|x>3，x∈N*}，则图中阴影部分所表示的集合是________．解析：A ∩B ＝{6，8，9}，所以图中阴影部分所表示的集合是{2，3}．答案：{2，3}8．设y ＝x 2＋ax ＋b ，A ＝{x |y ＝x }＝{a }，M ＝{(a ，b )}，则M ＝________. 解析：由A ＝{a }得x 2＋ax ＋b ＝x 的两个根为x 1＝x 2＝a ，即x 2＋(a －1)x ＋b ＝0的两个根x 1＝x 2＝a ，所以x 1＋x 2＝1－a ＝2a ，得a ＝13，x 1x 2＝b ＝19，所以M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫13，19.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫13，199．已知集合A ＝{(0，1)，(1，1)，(－1，2)}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z }，则A ∩B ＝________．解析：A 、B 都表示点集，A ∩B 即是由A 中在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．答案：{(0，1)，(－1，2)}10．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}．若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围是________．解析：因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32；②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1.综上，a 的取值范围是(－∞，－1]．答案：(－∞，－1] 11．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |xx －1≥0，x ∈R ，N ＝{y |y ＝3x 2＋1，x ∈R }，则M ∩N ＝________．解析：由xx －1≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠1，x （x －1）≥0，所以x >1或x ≤0，所以M ＝{x |x >1或x ≤0}，N ＝{y |y ≥1}，则M ∩N ＝{x |x >1}．答案：{x |x >1}12．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B的集合C 的个数为________．解析：用列举法表示集合A ，B ，根据集合关系求出集合C 的个数．由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，所以A ＝{1，2}．由题意知B ＝{1，2，3，4}，所以满足条件的C 可为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．答案：413．已知集合A ＝{x |1＜x ＜3}，B ＝{x |2m ＜x ＜1－m }，若A ∩B ＝∅，则实数m 的取值范围是________．解析：因为A ∩B ＝∅，①若当2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若当2m ＜1－m ，即m ＜13时，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，2m ≥3，解得0≤m ＜13或∅，即0≤m ＜13.综上，实数m 的取值范围是[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)14．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝a }，B ＝{(x ，y )|y ＝b x＋1，b >0，b ≠1}，若集合A ∩B 只有一个真子集，则实数a 的取值范围是________．解析：由于集合B 中的元素是指数函数y ＝b x的图象向上平移一个单位长度后得到的函数图象上的所有点，要使集合A ∩B 只有一个真子集，那么y ＝b x＋1(b >0，b ≠1)与y ＝a 的图象只能有一个交点，所以实数a 的取值范围是(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)1．设[x ]表示不大于x 的最大整数，集合A ＝{x |x 2－2[x ]＝3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |18<2x <8，则A ∩B＝________．解析：不等式18<2x<8的解为－3<x <3，所以B ＝(－3，3)．若x ∈A ∩B ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2[x ]＝3－3<x <3，所以[x ]只可能取值－3，－2，－1，0，1，2. 若[x ]≤－2，则x 2＝3＋2[x ]<0，没有实数解；若[x ]＝－1，则x 2＝1，得x ＝－1；若[x ]＝0，则x 2＝3，没有符合条件的解；若[x ]＝1，则x 2＝5，没有符合条件的解；若[x ]＝2，则x 2＝7，有一个符合条件的解，x ＝7. 因此，A ∩B ＝{}－1，7. 答案：{}－1，72．在实数集R 上定义运算*：x *y ＝x ·(1－y )．若关于x 的不等式x *(x －a )＞0的解集是集合{x |－1≤x ≤1}的子集，则实数a 的取值范围是________．解析：依题意可得x (1－x ＋a )＞0.因为其解集为{x |－1≤x ≤1}的子集，所以当a ≠－1时，0＜1＋a ≤1或－1≤1＋a ＜0，即－1＜a ≤0或－2≤a ＜－1.当a ＝－1时，x (1－x ＋a )＞0的解集为空集，符合题意．所以－2≤a ≤0.答案：[－2，0]3．已知集合A ＝{x |3≤3x≤27}，B ＝{x |log 2x ＞1}． (1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知集合C ＝{x |1＜x ＜a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值集合．解：(1)因为3≤3x≤27，即31≤3x ≤33，所以1≤x ≤3，所以A ＝{x |1≤x ≤3}，因为log 2x >1，即log 2x >log 22，所以x >2，所以B ＝{x |x >2}，所以A ∩B ＝{x |2<x ≤3}． ∁R B ＝{x |x ≤2}，所以(∁R B )∪A ＝{x |x ≤3}． (2)由(1)知A ＝{x |1≤x ≤3}，若C ⊆A ，当C 为空集时，a ≤1.当C 为非空集合时，可得1<a ≤3. 综上所述a ≤3.4．(2019·苏州月考)已知集合A ＝{x |1＜x ＜3}，集合B ＝{x |2m ＜x ＜1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}，则A ∪B ＝{x |－2<x <3}．(2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＞2m ，2m ≤1，1－m ≥3，解得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]．(3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若2m ＜1－m ，即m ＜13时，需⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，2m ≥3，得0≤m ＜13.综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)． 5．已知集合A ＝{x |x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)＜0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －2ax －（a 2＋1）＜0. (1)当a ＝2时，求A ∩B ；(2)当B ⊆A 时，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，A ＝{x |x 2－9x ＋14＜0}＝{x |2＜x ＜7}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －4x －5＜0＝{x |4＜x＜5}，所以A ∩B ＝{x |4＜x ＜5}．(2)A ＝{x |(x －2)(x －3a －1)＜0}，当2＝3a ＋1，即a ＝13时，A ＝∅，B ≠∅，不满足条件，舍去．当2＜3a ＋1，即a ＞13时，A ＝{x |2＜x ＜3a ＋1}．因为2a ≤a 2＋1，当a ＝1时，B ＝∅，B ⊆A ，满足条件；当a ≠1时，B ＝{x |2a ＜x ＜a 2＋1}．因为B ⊆A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2≤2a ，a 2＋1≤3a ＋1，解得1＜a ≤3.当2＞3a ＋1，即a ＜13时，A ＝{x |3a ＋1＜x ＜2}．因为B ⊆A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋1≤2a ，a 2＋1≤2，解得a ＝－1.综上，a 的取值范围为{a |1≤a ≤3或a ＝－1}．6．已知集合A ＝{y |y 2－(a 2＋a ＋1)y ＋a (a 2＋1)>0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝12x 2－x ＋52，0≤x ≤3.(1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围；(2)当a 取使不等式x 2＋1≥ax 恒成立的a 的最小值时，求(∁R A )∩B . 解：A ＝{y |y <a 或y >a 2＋1}，B ＝{y |2≤y ≤4}．(1)当A ∩B ＝∅时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1≥4，a ≤2，所以3≤a ≤2或a ≤－ 3.(2)由x 2＋1≥ax ，得x 2－ax ＋1≥0，依题意Δ＝a 2－4≤0，所以－2≤a ≤2.所以a 的最小值为－2. 当a ＝－2时，A ＝{y |y <－2或y >5}．所以∁R A ＝{y |－2≤y ≤5}，所以(∁R A )∩B ＝{y |2≤y ≤4}．。

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【2019最新】精选高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第1
讲集合的概念与运算增分练
板块四模拟演练·提能增分
[A级基础达标]
1．[2017·全国卷Ⅱ]设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，
则B＝( )
B．{1,0}
A．{1，－3}
D．{1,5}
C．{1,3}
答案C
解析∵A∩B＝{1}，∴1∈B.
∴1－4＋m＝0，即m＝3.
∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.
2．若集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，则( )
B．M⊆N
A．M＝N
D．M∩N＝∅
C．N⊆M
答案C
解析M＝{x||x|≤1}＝[－1,1]，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}＝[0,1]，所以N⊆M.故
选C. 3．[2017·山东高考]设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln (1－x)的定义域为B，
则A∩B＝( )
B．(1,2]
A．(1,2)
D．[－2,1)
C．(－2,1)
答案D
解析∵4－x2≥0，∴－2≤x≤2，∴A＝[－2,2]．
∵1－x＞0，∴x＜1，∴B＝(－∞，1)，∴A∩B＝[－2,1)．
故选D.
4．已知集合A＝{x|x2≥4}，B＝{m}．若A∪B＝A，则m的取值范围是( )
B．[2，＋∞)
A．(－∞，－2)
C．[－2,2]
D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
答案D
解析因为A∪B＝A，所以B⊆A，即m∈A，得m2≥4，解得m≥2或m≤－2.故选
D. 5．[2017·全国卷Ⅲ]已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则
A∩B中元素的个数为( )
B．2
A．3
D．0
C．1
答案B
解析集合A表示以原点O为圆心，半径为1的圆上的所有点的集合，集合B表
示直线y＝x上的所有点的集合．由图形可知，直线与圆有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.故选B. 6．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件
A⊆C⊆B的集合C的个数为( )
B．2
A．1
D．4
C．3
答案D
解析集合B＝{1,2,3,4}，有4个元素，集合A＝{1,2}，则集合C的个数问题可
转化为{3,4}的子集个数问题，即22＝4.
7.[2018·陕西模拟]设全集U＝R，集合A＝≥0}，B＝{x∈Z|x2≤9}，则图中阴影
部分表示的集合为( )
B．{0,1,2}
A．{1,2}
D．{x|0≤x≤3}
C．{x|0≤x<3}
答案B
解析题图中阴影部分表示的是A∩B，因为A＝≤0}＝}＝{x∈Z|0≤x<3}＝{0,1,2}，B＝{x∈Z|－3≤x≤3}＝{－3，－2，－1，0,1,2,3}，所以A∩B＝{0,1,2}．故
选B. 8．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是
________．
答案(－1，＋∞)
解析因为A∩B≠∅，所以集合A ，B 有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a>
－1.
9．[2018·郑州模拟]已知集合A ＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B ＝，且A∩B＝(－1，
n)，则m ＝________，n ＝________.
答案－1 1
解析 A ＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5<x<1}，
由A∩B＝(－1，n)，可知m<1，
则B ＝{x|m<x<2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.
10．设m ，n∈R，集合{1，m ，m ＋n}＝，则m －n ＝________.
答案－2
解析 ∵{1，m ，m ＋n}＝且m≠0，
∴m ＋n ＝0, 即m ＝－n ，于是＝－1.
∴由两集合相等，得m ＝－1，n ＝1，∴m －n ＝－2.
[B 级知能提升]
1．已知集合A ＝y ＝x ，x∈R}，B ＝{－2，－1,1,2}，则下列结论正确的是( )
A ．A∩B＝{－2，－1}
B ．(∁RA)∪B＝(－∞，0)
C ．A∪B＝(0，＋∞)
D ．(∁RA)∩B＝{－2，－1} 答案 D
解析因为A ＝(0，＋∞)，所以A∩B＝{1,2}，(∁RA)∪B＝{y|y≤0或y ＝1,2}，
A∪B＝{y|y>0或y ＝－1，－2}，(∁RA)∩B＝{－1，－2}．所以D 正确．
2．[2018·湖南模拟]设常数a∈R，集合A ＝{x|(x －1)(x －a)≥0}，B ＝{x|x≥a
－1}，若A∪B＝R ，则a 的取值范围为( )
A ．(－∞，2)
B ．(－∞，2]
C ．(2，＋∞)
D ．[2，＋∞) 答案 B
解析集合A 讨论后利用数轴可知或⎩⎪⎨⎪⎧
a≤1，a －1≤a. 解得1≤a≤2或a≤1，即a≤2.故选B.
3．已知数集A ＝{a1，a2，…，an}(1≤a1<a2<…<an，n≥2)具有性质P ：对任意
的i ，j(1≤i≤j≤n)，aiaj 与两数中至少有一个属于A ，则称集合A 为“权集”，则
( )
B．{1,2,3,6}为“权集”
A．{1,3,4}为“权集”
D．“权集”中一定有元素1
C．“权集”中元素可以有0
答案B
解析由于3×4与均不属于数集{1,3,4}，故A不正确；由于
1×2,1×3,1×6,2×3，，，，，，都属于数集{1,2,3,6}，故B正确；由“权集”的定义可
知需有意义，故不能有0，同时不一定有1，故C，D错误．4．已知集合A＝{x∈R|x2－ax＋b＝0}，B＝{x∈R|x2＋cx＋15＝0}，A∩B＝{3}，
A∪B＝{3,5}．
(1)求实数a，b，c的值；
(2)设集合P＝{x∈R|ax2＋bx＋c≤7}，求集合P∩Z.
解(1)因为A∩B＝{3}，所以3∈B，所以32＋3c＋15＝0，c＝－8，所以B＝
{x∈R|x2－8x＋15＝0}＝{3,5}．又因为A∩B＝{3}，A∪B＝{3,5}，所以A＝{3}，所以方程x2－ax＋b＝0有两个相等的实数根都是3，所以a＝6，b＝9，所以a＝6，b＝9，c＝－8.
(2)不等式ax2＋bx＋c≤7即6x2＋9x－8≤7，
所以2x2＋3x－5≤0，
所以－≤x≤1，
所以P＝－≤x≤1}，
所以P∩Z＝－≤x≤1}∩Z＝{－2，－1,0,1}．5．[2018·南宁段考]已知集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|x2－3x≤10}．
(1)若a＝3，求(∁RP)∩Q；
(2)若P∪Q＝Q，求实数a的取值范围．
解(1)因为a＝3，所以P＝{x|4≤x≤7}，
∁RP＝{x|x<4或x>7}．
又Q＝{x|x2－3x－10≤0}＝{x|－2≤x≤5}，所以(∁R P)∩Q＝{x|x<4或
x>7}∩{x|－2≤x≤5}＝{x|－2≤x＜4}．
(2)当P≠∅时，由P∪Q＝Q得P⊆Q，
所以解得0≤a≤2；
当P＝∅，即2a＋1<a＋1时，有P⊆Q，得a<0.
综上，实数a的取值范围是(－∞，2]．。