高中数学人教A必修4课件：1.2.2 同角三角函数的基本关系
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人教版必修4第一章1.2.2同角三角函数的基本关系课件 (共17张PPT)
3.化简、求值、证明，是三角变换的三个基本问 题，具有一定的技巧性，需要加强训练，不断总 结、提高.
变式 已知 sincos 12且为第二象限
25
求cos sin
化简问题 练习1.
化简 : 1si2n440.
练习2. 化 简 1cos 1cos 1cos 1cos
( 3 )
2
证明问题
例2. 求证 1 cso ： i n s1 cso i n s.
点评 P20 5 作业P22 13
小结
探究 sin ： ,cos,ta n之间有何关
设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
y
(1)siny;
P(x,y)
x
MO
A(1,0)
(2)cosx;
(3)tanxyx0;
同角三角函数的基本关系
平方关系: si2 nco 2s1
商数关系:
tan sin (k,kZ)
cos
2
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
例2（1）化简：1s-in21s0in10c ocso1s010
(2)已s知 in2co,s计算
sin2co2s的值
你有什么体会?
课堂小结
同一个角 的正弦、余弦的平方和等于1，
商等于角 的正切.
练习：判断下列式子是否成立？
1 .s2 i3n 0 c2 o 4s 5 1
2 .s2 i3 n 0 c2 o 3s 0 1
3 .s2 i6n 0 c2 o 6s 0 1
4. sin2 2Z.x.x.K co22s 1
变式 已知 sincos 12且为第二象限
25
求cos sin
化简问题 练习1.
化简 : 1si2n440.
练习2. 化 简 1cos 1cos 1cos 1cos
( 3 )
2
证明问题
例2. 求证 1 cso ： i n s1 cso i n s.
点评 P20 5 作业P22 13
小结
探究 sin ： ,cos,ta n之间有何关
设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
y
(1)siny;
P(x,y)
x
MO
A(1,0)
(2)cosx;
(3)tanxyx0;
同角三角函数的基本关系
平方关系: si2 nco 2s1
商数关系:
tan sin (k,kZ)
cos
2
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
例2（1）化简：1s-in21s0in10c ocso1s010
(2)已s知 in2co,s计算
sin2co2s的值
你有什么体会?
课堂小结
同一个角 的正弦、余弦的平方和等于1，
商等于角 的正切.
练习：判断下列式子是否成立？
1 .s2 i3n 0 c2 o 4s 5 1
2 .s2 i3 n 0 c2 o 3s 0 1
3 .s2 i6n 0 c2 o 6s 0 1
4. sin2 2Z.x.x.K co22s 1
高一数学人教A版必修4课件：1.2.2 同角三角函数的基本关系
第一章 三角函数§1.2 任意角的三函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系明目标 知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺04明目标、知重点1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系： .(2)商数关系：sin 2α＋cos 2α＝1填要点·记疑点1－cos2α1－sin2αcos αtan α探要点·究所然情境导学大家都听过一句话：南美洲亚马逊河雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风.这就是著名的“蝴蝶效应”，他本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化.两个似乎毫不相干的事物，却有着这样的联系.那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？这就是本节课所研究的问题.sin αcos αtan αsin 2α＋cos 2α30°探究点一 同角三角函数的基本关系式思考1 写出下列角的三角函数值，观察他们之间的关系，猜想之间的联系？你能发现什么一般规律？你能否用代数式表示这两个规律？145°60°150°111111111tan 30°tan 45°tan 60°tan 150°正切1思考2 如何利用任意角的三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式？同角三角函数的基本关系式对任意角α都成立吗？答 设点P(x，y)为α终边上任意一点，P与O不重合.P到原点的距离为r＝探究点二 三角函数式的求值思考 已知某角的一个三角函数值，再利用sin2α＋cos2α＝1求它的其余三角函数值时，要注意角所在的象限，恰当选取开方后根号前面的正负号，一般有以下三种情况：类型1：如果已知三角函数值，且角的象限已知，那么只有一组解.类型2：如果已知三角函数值，但没有指定角在哪个象限，那么由已知三角函数值的正负确定角可能在的象限，然后求解，这种情况一般有两组解.类型3：如果所给的三角函数值是由字母给出的，且没有确定角在哪个象限，那么就需要进行讨论.例如：已知cos α＝m，且|m|<1，求sin α，tan α.答 ∵cos α＝m，且|m|<1，当α终边在y轴上时，sin α＝±1，tan α不存在.如果α是第三象限角，那么cos α<0.反思与感悟 同角三角函数的基本关系揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意这个角所在的象限，由此来决定所求的是一解还是两解，同时应体会方程思想的应用.又sin2α＋cos2α＝1，②又α是第三象限角，探究点三 三角函数式的化简三角函数式的化简是将三角函数式尽量化为最简单的形式，其基本要求：尽量减少角的种数，尽量减少三角函数的种数，尽量化为同角且同名的三角函数等.三角函数式的化简实质上是一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则.它不仅要求熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式.同时，这类问题还具有较强的综合性，对其他非三角知识的运用也具有较高的要求，因此在平常学习时要注意经验的积累.反思与感悟 解答此类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系.化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解.跟踪训练2 已知tan α＝3，则1(2)sin2α－3sin αcos α＋1＝ .1探究点四 三角恒等式的证明证明三角恒等式就是通过转化和消去等式两边差异来促成统一的过程，证明的方法在形式上显得较为灵活，常用的有以下几种：①直接法：从等式的一边开始直接化为等式的另一边，常从比较复杂、繁杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性；②综合法：由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想；∴原等式成立.方法二 ∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－sin2α.∴cos2α＝(1－sin α)·(1＋sin α).∴原等式成立.∵左边＝右边，∴原等式成立.反思与感悟 证明三角恒等式的实质是清除等式两端的差异，有目的地进行化简.证明三角恒等式的基本原则：由繁到简.常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证.常用技巧：切化弦、整体代换.∴原式成立.∴左边＝右边，原式成立.当堂测·查疑缺 1234cos 40°－sin 40°解 ∵α是第三象限角，∴sin α<0，由三角函数线可知－1<cos α<0.∴原等式成立.呈重点、现规律2.已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择.一般是先选用平方关系，再用商数关系.在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象写公式.3.在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值.4.在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.5.在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用的技巧有：①“1”的代换；②减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；③多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；④对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解.。
高中数学必修四人教版1.2.2同角三角函数的基本关系10ppt课件
2．已知 tan α ＝2，求下列各式的值． 3sin α －2cos α (1) ； 2sin α ＋cos α 2sin2α ＋sin α cos α ＋cos2α (2) . 2 2 4sin α －3cos α
[例 2]
1 已知 0＜α＜π ， sin α ＋cos α ＝ ， 求 tan α 的值． 5
1 3．已知 sin α －cos α ＝ ，则 sin α cos α ＝________. 2
1 1 解析：由 sin α－cos α＝ ，得 1－2sin αcos α＝ ， 2 4 3 ∴sin αcos α＝ . 8
3 答案： 8
4．本例中，把“0＜α ＜π ”改为“α 是三角形的一个内角” ， 试判断三角形的形状．
新知初探
若角 α 的终边与单位圆交于点 P(x，y)，根据三角函数的定 y cos 义知 y＝sin ，x＝ ， ＝ tan x .
问题：能否根据x、y的关系得到sin α，cos α，tan α的关系？
提示：可以，由 x2＋y2＝1，得 cos2 α＋sin2 α＝1. sin α y 由x＝tan α，得 ＝tan α. cos α
新知呈现
同角三角函数的基本关系式
基本关系 平方关系 关系式 语言叙述 同一个角 α 的正弦、余弦 的 平方和
sin α tan α＝ cos α
sin2α＋cos2α＝1
等于 1
商数关系
同一个角 α 的正弦、余弦
商 等于角 α 的正切 的
[小问题·大思维] 1．同角三角函数基本关系式对任意角α都成立吗？
4 1．若 sin α ＝－ ，求 cos α ，tan α 的值． 5 4 解：∵sin α＝－ ＜0，且 sin α≠－1. 5
高中数学 第一章 三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系课件2 新人教A版必修4.ppt
5
55
5
5
3.已知cos α= 1 ，且α是第四象限角，则sin α=（ ）
2
A . 1
B .3 C .3 D . 1
2
2
2
2
【解析】选C.因为α是第四象限角，所以sin α＜0，
所以 sin 1cos21(1)23.
22
6
4.化简：s i n =_______.
tan
【解析】
sin tan
10
10 10
方法二：(cosα+2sinα)2= cos24sincos4sin2
sin2cos2
1 4 ta n 4 ta n 2 1 4 3 4 3 2 4 9
由已知条件得
分子分母同除以cos2α可得关于tanα的方程.
(cos2sin)2 sin2cos2
5，
12
【解析】方法一：因为cosα+2sinα= 5 ， 所以cosα=-2sinα 5 ， 又因为sin2α+cos2α=1，所以sin2α+(-2sinα- )2=5 1， 整理得5sin2α+4 s5 inα+4=0，( si5 nα+2)2=0，
sin sin
cos.
答案：cos θ cos
7
5.已知tan φ=- 2 ，φ∈( ，π)，则sin φ=_____.
2
sin 2 cos 2 1，
【解析】由已知得
sin cos
所以
2，
sin2(sin)2 1， 2
所以sin2φ= 2 ，由φ∈( ， π)得sin φ＞0，
3
2
限决定的，不可凭空想象.
11
高中数学必修四 第1章 三角函数课件 1.2.2 同角三角函数的基本关系
互动探究 探究点1 同角三角函数的基本关系式对任意角α都成立吗？
提示 同角三角函数的基本关系式成立的条件是使式子两边都
有意义．所以sin2α＋cos2α＝1对于任意角α∈R都成立，而
sin cos
αα＝tan
α并不是对任意角α∈R都成立，这时α≠kπ＋π2，k∈
Z.
探究点2 在利用平方关系求sin α或cos α时，其正负号应怎样确 定？
＝tan
tan2αsin2α α－sin αtan
αsin
α＝tatnanαα－sisninαα＝左边，
∴原等式成立．
[规律方法] (1)证明三角恒等式的实质：清除等式两端的差异， 有目的的化简． (2)证明三角恒等式的基本原则：由繁到简． (3)常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【活学活用2】 化简：
1－2sinα2cosα2＋ 1＋2sinα2cosα20<α<π2.
解 原式＝
cosα2－sinα22＋
cosα2＋sinα22
＝cosα2－sinα2＋cosα2＋sinα2.
∵α∈0，π2，∴α2∈0，π4.
利用tan α＝csoins αα和sin2α＋cos2α＝1向等号左边式子进行转化；
也可利用tan
α＝
sin cos
α α
将等号左、右两边式子进行切化弦，结
合sin2α＋cos2α＝1达到两边式子相等的目的．
证明
∵右边＝ tan
tan2α－sin2α α－sin αtan αsin
α
＝tantaαn2－α－sintaαn2tαacnoαs2sαin α＝tantαan－2αsi1n－αctaons2ααsin α
高中数学必修四人教版1.2.2同角三角函数的基本关系16ppt课件
跟踪训练 1．(邵阳二中2010年期中)已知cos α＝
3 ，且α是第四象限角，求 sin α，tan 5
α的值．
3 16 2 2 解析： ∵cos α＝ ，∴sin α＝1－cos α＝ ， 5 25 4 又∵α 是第四象限角，∴sin α＝－ ， 5 sin α 4 ∴tan α＝ ＝－ . cos α 3
基础梳理 同角三角函数的基本关系 1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：________＝1； (2)商的关系：tan α＝________.
2．同角三角函数基本关系的不同变式
sin2α＝________，cos2α＝________，sin α＝________. 1．(1)sin2α＋cos2α (2)
1＋tan x 3．已知 ＝－3，则 tan x＝________. 1－tan x
1＋tan x 解析：∵ ＝－3，∴1＋tan x＝－3＋3tan x， 1－tan x 解得 tan x＝2. 答案：2
4．已知sin α＝
4 ，并且α是第二象限角，求cos α，tan α的值． 5
4 解析：∵sin α＝ ，且 sin2α＋cos2α＝1， 5 16 9 2 2 ∴cos α＝1－sin α＝1－ ＝ ， 25 25 3 又∵α 是第二象限角，∴cos α＝－ ， 5 sin α 4 ∴tan α＝ ＝－ . cos α 3
解析：(1)显然 cos α≠0，将已知等式左边的分子、分母 同除以 cos α 得 sin α－3cos α tan α－3 tan α－3 1 ＝ ，即 ＝－ ， 11 3sin α＋5cos α 3tan α＋5 3tan α＋5 解得 tan α＝2； (2)∵tan α＝2，cos α≠0，将式子的分子、分母同除以 cos α 得 3sin α－cos α 3tan α－1 3×2－1 5 ＝ ＝ ＝ ； 2sin α＋3cos α 2tan α＋3 2×2＋3 7 (3)∵tan α＝2，cos α≠0，将式子变形后的分子、分母同 除以 cos2α 得 sin2α－2cos2α tan2α－2 22－2 2 原式＝ ＝ ＝ ＝ . sin2α＋cos2α tan2α＋1 22＋1 5
人教版2017高中数学(必修四)1.2.2 同角三角函数的基本关系 PPT课件
已知角α的某一种三角函数值,求角α的其余三角函数值时,要 注意公式的合理选择,一般是先选用平方关系,再用商数关系. 另外也要注意“1”的代换，如“1＝sin2α＋cos2α”．本例(1)没 有指出α是第几象限的角，则必须由sin α的值推断出α所在
的象限，再分类求解．
4 1．已知 tan α＝ ，且 α 是第三象限角，求 sin α，cos α 的值． 3 sin α 4 4 解：由 tan α＝ ＝ ，得 sin α＝ cos α.① 3 cos α 3 又 sin2α＋ cos2α＝ 1，② 16 2 9 2 2 由①②得 cos α＋ cos α＝ 1，即 cos α＝ . 9 25 ∵ α 在第三象限， 3 4 4 ∴ cos α＝－ ， sin α＝ cos α＝－ . 5 3 5
7 15 2．已知 sin α＝ ， cos α＝ ，则 tan α 等于( D ) 8 8 7 A. 8 15 C. 7 15 B. 8 7 D. 15 15
12 3． α 是第四象限角， cos α＝ ，则 sin α 等于( B ) 13 5 A. 13 5 C. 12 5 B．－ 13 5 D．－ 12
1．判断：(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)对任意角 α， sin2 3α＋cos2 3α＝ 1 都成立．( √ ) α sin 2 α (2)对任意角 α， ＝ tan 都成立． ( × ) 2 α cos 2 (3)对任意的角 α， β 有 sin2α＋ cos2β＝1.( × ) (4)sin2α 与 sin α2 所表达的意义相同．( × )
[解 ] (1)因为 sin α＜ 0， sin α≠－ 1， 所以 α 是第三或第四象限角． 由 sin2α＋ cos2α＝ 1，得 3 2 16 2 2 cos α＝ 1－ sin α＝1－(－ ) ＝ . 5 25
2021版高中数学人教A必修4课件：1.2.2 同角三角函数的基本关系
Z 知识梳理 HISHI SHULI
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
-10-
M 1.2.2 同角三角函数的 基本关系
目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
-4-
M 1.2.2 同角三角函数的 基本关系
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Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
三角函数式的化简与证明方法 剖析:三角函数式的化简是将三角函数式化为最简单的形式,其
基本要求是,尽量减少角的种数,尽量减少三角函数的种数,尽量化 为同角且同名的三角函数等.三角函数式的化简实质上是一种不指 定答案的恒等变形,体现了由繁到简的最基本的数学解题原则.它 不仅要求熟悉和灵活运用所学的三角公式,而且还需要熟悉和灵活 运用这些公式的等价形式,同时这类问题还具有较强的综合性,对 其他非三角知识的运用也具有较高的要求.三角函数恒等式的证明 是一种指定答案的恒等变形,与三角函数式的化简相比要简单一些.
-16-
M 1.2.2 同角三角函数的 基本关系
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Z 知识梳理 HISHI SHULI
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
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M 1.2.2 同角三角函数的 基本关系
目标导航
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Z 知识梳理 HISHI SHULI
人教A版高中数学必修4课件：1-2-2同角三角函数的基本关系
预习篇01
新知导学
同角三角函数基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系： tanα＝csoinsαα ，其中α≠kπ＋π2(k∈Z)．
1．同角三角函数基本关系中，角α是否是任意角？ 答：平方关系中的角α是任意角，商数关系中的角α并 非任意角，α≠kπ＋2π，k∈Z.
(2)sin2α是(sinα)2的简写，不能写成sinα2.
(3)在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意 义，如式子tan90°＝csoins9900°°不成立．
(4)注意公式变形的灵活应用． (5)在应用平方关系式求sinα或cosα时，其正负号是由角 α所在的象限决定的．当角所在象限不明确时，要进行分类 讨论．
【例3】 已知sinθ＋cosθ＝15，θ∈(0，π)，求： (1)tanθ；(2)sinθ－cosθ. 【分析】 利用平方关系构造方程，再根据θ的取 值范围求得sinθ和cosθ的值，进而求得结果．
【解】 方法一：(1)由sinθ＋cosθ＝15， 得cosθ＝15－sinθ. 又sin2θ＋cos2θ＝1，代入得sin2θ＋(15－sinθ)2＝1， 整理得sin2θ－15sinθ－1225＝0， 即(sinθ＋35)(sinθ－45)＝0，
第一章
三角函数
1.2 任意角的三角函数
1．2.2 同角三角函数的基本关系
预习篇
提高篇
课堂篇
巩固篇
课时作业
学习目标
1.记住并能推导同角三角函数基本关系式. 2.能够利用同角三角函数基本关系式进行求值、化简 和证明.
重点难点
重点：同角三角函数关系式的应用； 难点：同角三角函数关系式的推导及应用.
＝sin2α＋s4insi2nαα＋cocsoαs＋2α 4cos2α＝tan2αta＋n24αt＋an1α＋4
高一数学必修4课件：1-2-2同角三角函数的基本关系
5 (2011～2012· 琼海高一检测)已知sinθ＝ 13 ，求cosθ，tanθ 的值． [分析] 首先由正弦值判断角θ所在象限，再据此利用同
角三角函数的基本关系分别求解cosθ，tanθ的值．
第一章
1.2.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[解析]
5 ∵sinθ＝ >0，∴θ是第一或第二象限角．当θ为 13
第一章
1.2.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
自主预习 认真阅读教材P18－20回答下列问题． 同角三角函数的基本关系 (1)关系式： ①平方关系：sin2α＋cos2α＝1. sinα π ②商关系：cosα＝ tanα (α≠kπ＋2，k∈Z)． (2)文字叙述：同一个角α的正弦、余弦的 平方和 等于1， 商等于角α的 正切 ．
第一章 1.2.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
7 15 已知sinα＝8，cosα＝ 8 ，则tanα等于( 7 A.8 15 C. 7
[答案] D
)
15 B. 8 7 D.15 15
第一章
1.2.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
sin22013° ＋cos22013° ＝________.
第一章 1.2.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[解析]
sinα 1 (1)tanα＝cosα＝－2，∴cosα＝－2sinα
又sin2α＋cos2α＝1，∴sin2θ＋4sin2α＝1 1 5 ∴sin α＝5，∴sinα＝± 5
2
2 5 当α为第二象限角时，cosα＝－ 5 ， 5 sinα＋2cosα＝－ ， 5
[答案] A
高中数学人教A版必修四课件 1.2.2同角三角函数的基本关系
cos 1 1 , 2 t an
sin
cos
t an .
理论迁移
例1
求证： 4 2 2 2 sin sin cos cos 1.
3 例2 已知 sin ,求 5
cos ， tan 的值.
.
若α
3 4 是第三象限角，则 cos 5 ，tan 4
思考1：如图，设α 是一个任意角，它 的终边与单位圆交于点P，那么，正弦 线MP和余弦线OM的长度有什么内在联 系？由此能得到什么结论？
y
MP OM 1
2 2
P
1
sin cos 1
2 2
M
O
x
思考2：上述关系反映了角α 的正弦和 余弦之间的内在联系，根据等式的特点， 将它称为平方关系.那么当角α 的终边 在坐标轴上时，上述关系成立吗？
M O T
x
AT=tanα .
3.对于一个任意角α ，sinα ，cosα ， tanα 是三个不同的三角函数，从联系 的观点来看，三者之间应存在一定的内 在联系，我们希望找出这种同角三角函 数之间的基本关系，实现正弦、余弦、 正切函数的互相转化，为进一步解决三 角恒等变形问题提供理论依据．
知识探究（一）：基本关系
cos )
2
1
2 sin cos ,
(sin
cos sin
cos )
2
1
1
2 sin cos ,
sin cos cos 1 sin .
1
sin , Biblioteka cossin 思考2：对于商数关系 cos tan 可作
哪些变形？
sin
cos
t an ,
sin
cos
t an .
理论迁移
例1
求证： 4 2 2 2 sin sin cos cos 1.
3 例2 已知 sin ,求 5
cos ， tan 的值.
.
若α
3 4 是第三象限角，则 cos 5 ，tan 4
思考1：如图，设α 是一个任意角，它 的终边与单位圆交于点P，那么，正弦 线MP和余弦线OM的长度有什么内在联 系？由此能得到什么结论？
y
MP OM 1
2 2
P
1
sin cos 1
2 2
M
O
x
思考2：上述关系反映了角α 的正弦和 余弦之间的内在联系，根据等式的特点， 将它称为平方关系.那么当角α 的终边 在坐标轴上时，上述关系成立吗？
M O T
x
AT=tanα .
3.对于一个任意角α ，sinα ，cosα ， tanα 是三个不同的三角函数，从联系 的观点来看，三者之间应存在一定的内 在联系，我们希望找出这种同角三角函 数之间的基本关系，实现正弦、余弦、 正切函数的互相转化，为进一步解决三 角恒等变形问题提供理论依据．
知识探究（一）：基本关系
cos )
2
1
2 sin cos ,
(sin
cos sin
cos )
2
1
1
2 sin cos ,
sin cos cos 1 sin .
1
sin , Biblioteka cossin 思考2：对于商数关系 cos tan 可作
哪些变形？
sin
cos
t an ,
人教版高中数学必修四1.2.2同角三角函数的基本关系优质课件
cos2 a =
1,
1 + tan2 a
sin2 a
=
tan2 a 1 + tan2 a
.
思考4：若已知sinα 的值，如何求cosα 和tanα 的值？
cos a = ? 1 sin2 a , tan sin .
cos
思考5：若已知tanα 的值，如何求sinα 和cosα 的值？
cos a = ?
sin2 cos2 1
y P
P Ox
思考3：设角α 的终边与单位圆交于点
P（x，y），根据三角函数定义，有
s由in此可 得y s，icnoαs，coxsα，t，antanxyα(x
0) ， 满足什
么关系？
sin tan cos
思考4：上述关系称为商数关系，那么商 数关系成立的条件是多么？
cos
4 ，tan
5
3.
4
例3 已知tanα =2，求下列各式的值.
（1） sin
a
1 ×cos
a
；（2）1 -
1+ 1 sin a 1 + sin a
5 2
例4 已知 sin q + cos q = 1，
2
求 sin4 q + cos4 q 的值.
小结作业 1.同角三角函数的两个基本关系是对同一个 角而言的，由此可以派生出许多变形公式， 应用中具有灵活、多变的特点.
1.2 任意角的三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系
问题提出
1.任意角的正弦、余弦、正切函数分别
是如何定义的？
sin y cos x tan y (x 0)
人教A版高中数学必修四1.2.2 同角三角函数基本关系课件
25 5
tan sin 4 5 4 cos 5 3 3
当 是第二象限角时，cos 0
cos 9 3
25 5
tan sin 4 ( 5) 4 cos 5 3 3
变式2、已知tan 3，求sin,cos的值
解：tan sin
{ cos
sin 3
sin 2 3
5
解： 由sin2 cos2 1得
cos 1 sin2 1 ( 4 )2 3
5
5
因 为是 第 二 象 限 角,cos 0,所 以
cos 3
5
tan sin ( 4) ( 5) 4 cos 5 3 3
变式1、已知 sin 4 ，求 cos , tan 的值
4
2
42
类型二：化简三角函数试
例4、化简
sin cos tan 1
解：原式
sin sin
cos
1
cos
sin sin
cos cos
cos
cos
解题思想：
统一消元的 思想,常用化简 方法“切化 弦”。
例5 化简 1-sin2800 解：原式 cos2 800 cos800 cos800
探究新知 y
1、探究同角正弦、余弦之间的关系 cos,sin P
问题⑴当角的终边不在坐标轴上时正弦、余弦 之间的关系是什么？（如图）
MO
x
MP 2 OM 2 OP 2
y2 x2 1
图2
s in 2 cos2 1
问题⑵ 当角的终边在坐标轴上时,关系式是否还成立？
当角 的终边在 x轴上时, sin 2 cos 2 0 1 1 y 当角 的终边在 轴上时, sin 2 cos 2 1 0 1
tan sin 4 5 4 cos 5 3 3
当 是第二象限角时，cos 0
cos 9 3
25 5
tan sin 4 ( 5) 4 cos 5 3 3
变式2、已知tan 3，求sin,cos的值
解：tan sin
{ cos
sin 3
sin 2 3
5
解： 由sin2 cos2 1得
cos 1 sin2 1 ( 4 )2 3
5
5
因 为是 第 二 象 限 角,cos 0,所 以
cos 3
5
tan sin ( 4) ( 5) 4 cos 5 3 3
变式1、已知 sin 4 ，求 cos , tan 的值
4
2
42
类型二：化简三角函数试
例4、化简
sin cos tan 1
解：原式
sin sin
cos
1
cos
sin sin
cos cos
cos
cos
解题思想：
统一消元的 思想,常用化简 方法“切化 弦”。
例5 化简 1-sin2800 解：原式 cos2 800 cos800 cos800
探究新知 y
1、探究同角正弦、余弦之间的关系 cos,sin P
问题⑴当角的终边不在坐标轴上时正弦、余弦 之间的关系是什么？（如图）
MO
x
MP 2 OM 2 OP 2
y2 x2 1
图2
s in 2 cos2 1
问题⑵ 当角的终边在坐标轴上时,关系式是否还成立？
当角 的终边在 x轴上时, sin 2 cos 2 0 1 1 y 当角 的终边在 轴上时, sin 2 cos 2 1 0 1
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题型五
证法二:
sin������ 1+cos������ − sin������ 1-cos������
题型三
证明三角恒等式
【例3】 求证:2(1-sin α)(1+cos α)=(1-sin α+cos α)2. 证法一:左边=2-2sin α+2cos α-2sin αcos α =1+sin2α+cos2α-2sin αcos α+2(cos α-sin α) =1+2(cos α-sin α)+(cos α-sin α)2 =(1-sin α+cos α)2=右边. 证法二:左边=2-2sin α+2cos α-2sin αcos α, 右边=1+sin2α+cos2α-2sin α+2cos α-2sin αcos α=2-2sin α+2cos α2sin αcos α. 故左边=右边. 证法三:令1-sin α=x,cos α=y, 则(x-1)2+y2=1,即x2+y2=2x. 故左边=2x(1+y)=2x+2xy=x2+y2+2xy=(x+y)2=右边.
sin������ cos������
1-cos2 ������ = =
15 17 8 -17
115 ; 8
=
=−
若 α 是第三象限角 , 则 sin α= − 1-cos2 ������ =
15 − , tan ������ 17
=
sin������ 15 = . cos������ 8
反思已知cos α(或sin α)求tan α时,先利用平方关系求出sin α(或 cos α),再利用商关系求出tan α.注意在求sin α(或cos α)时,往往需分 类讨论α所在的象限.
sin2 ������ + cos2 ������ = 1
得sin α 和 cos α 的值 .
-10-
1.2.2 同角三角函数的 基本关系
题型一 题型二 题型三
M 目标导航
题型四
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
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HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
1-sin2 ������ = sin2 ������
tan ������
cos2 ������ sin������ = · sin2 ������ cos������
=
sin������ -cos������ · cos������ sin������
= −1.
(2)证法一 :sin2α+cos2α=1⇒1- cos2α=sin2α ⇒(1-cos α)(1+cos α)=sin αsin α ⇒
-6-
1.2.2 同角三角函数的 基本关系
题型一 题型二 题型三
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题型四
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D典例透析
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题型五
题型一 已知 cos α(或 sin α),求 tan α 和 sin α(cos α)
-8-
1.2.2 同角三角函数的 基本关系
题型一 题型二 题型三
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题型四
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题型五
【变式训练 1】 若 sin α=− , 求 cos ������, tan ������的值 . 解 :∵sin α= − < 0,
-9-
1.2.2 同角三角函数的 基本关系
题型一 题型二 题型三
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题型五
题型二
已知 tan α,求 sin α 和 cos α
【例 2】 已知 tan α=3,求 sin α 和 cos α 的值 . 分析 :利用平方关系和商关系 ,列方程组解得 sin α 和 cos α 的值 . sin2 ������ + cos2 ������ = 1, 解 :由题意 ,得 sin������ = 3, 解得
sin������ x=1, cos������
= tan x;
-2-
1.2.2 同角三角函数的 基本关系
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D典例透析
IANLI TOUXI
同角三角函数的基本关系 (1)关系式: ①平方关系:sin2α+ cos2α=1.
-5-
1.2.2 同角三角函数的 基本关系
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D典例透析
IANLI TOUXI
证明三角恒等式就是通过转化和消去等式两边的差异来促成统 一的过程,证明的方法在形式上显得较为灵活.常用的有以下几种: (1)直接法:从等式的一边开始直接化为等式的另一边,常从比较 复杂的一边开始化简到另一边,其依据是相等关系的传递性. (2)综合法:由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要 证明的等式,其依据是等价转化的思想. (3)中间量法:证明等式左右两边都等于同一个式子,其依据是等 于同一个量的两个量相等,即“若a=c,b=c,则a=b”,它可由等量关系 的传递性推出. (4)分析法:即从结论出发,逐步推向已知条件,其证明过程的书写 格式为“要证明……,只需……”,只要所需的条件都已经具备,则结 论就成立.
【例 1】 已知 cos α= −
8 , 求 sin ������ , tan ������的值 . 17
分析:先利用平方关系求出 sin α 的值 ,再利用商的关系求出 tan α 的值.在求 sin α 的值时,先由余弦值为负确定角 α 的终边在第二或 第三象限 ,再分象限讨论 .
-7-
1.2.2 同角三角函数的 基本关系
题型五
【变式训练 2】 已知 tan α= 求 sin ������, cos ������的值 . 解 :由 tan α= ∴
16 cos2������ 9 4 , 得sin 3
4 , 且������是第三象限角 , 3
α=
4 cos α. 3 9 . 25
∵sin2α+ cos2α=1,
+ cos2������ = 1, 即cos2α= 又 α 是第三象限角 ,∴cos
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D典例透析
IANLI TOUXI
【做一做 1】 已知 sin α= , cos ������ =
7 15 8 8 15 7 15 C. D. 7 15
7 8
15 , 则 tan ������等于 ( 8
)
A. B.
答案 :D 【做一做 2】 sin22 016° + cos22 016° = 答案 :1 .
3 α= − , sin 5
������ =
4 4 cos α=− . 3 5
-11-
1.2.2 同角三角函数的 基本关系
题型一 题型二 题型三
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D典例透析
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题型五
sin������ ;1 ± tan������ 3 3 7 7
②商关系 : cos������ = tan ������ ������ ≠ ������π + 2 ,������∈Z .
π
2sin αcos
-3-
1.2.2 同角三角函数的 基本关系
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1.2.2 同角三角函数的基本关系
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1.2.2 同角三角函数的 基本关系
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D典例透析
IANLI TOUXI
1.理解同角三角函数的基本关系式 :sin x+ cos
2
2
掌握这两个基本关系的推导 . 2.会用以上两个基本关系进行化简、求值和证明 .
sin������
(2)文字叙述:同一个角 α 的正弦、余弦的平方和等于 1,商等于 角 α 的正切. 名师点拨 1.对于同角三角函数的基本关系的理解 ,应注意两个 π π π π 方面 :一是 “角相同 ”,如 与 , 4������与4α,5β+ 与 5β+ 都是同一个角; 二是对 “任意 ”一个角 (使得函数有意义的前提下)关系式都成立 . 2.根据问题的需要 ,应注意同角三角函数基本关系式的变形和 逆用 .如基本关系式有如下的变形形式 :sin2α=1- cos2α,cos2α=1sin2α,1=sin2α+cos2α;sin α=tan α· cos α,cos α= α=(sin α±cos α)2.