2019-2020年高三数学二轮复习冲刺提分作业第三篇多维特色练大题标准练中档解答题三理

2019-2020年高三数学二轮复习冲刺提分作业第三篇多维特色练大题标
准练中档解答题三理
1.已知等比数列{a n}的前n项和为S n,且6S n=3n+1+a(n∈N*).
(1)求a的值及数列{a n}的通项公式;
(2)若b n=(3n+1)log3(·a n+1),求数列的前n项和T n.
2.已知向量a=(2cos x,sin x),b=(cos x,2cos x),函数f(x)=a·b+m(m∈R),且当x∈
时,f(x)的最小值为2.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)先将函数y=f(x)的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩小到原来的,再把所得的图象向右平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求方程g(x)=4在区间上所有根之和.
3.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,D为AB的中点,E,F分别是棱BC,CC1上的一点,=λ,=μ.
(1)若A1B∥平面AEF,求证:-=1;
(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°,求二面角D-A1C-A的大小.
4.张老师开车上班,有路线①与路线②两条路线可供选择.
路线①:沿途有A,B两处独立运行的交通信号灯,且两处遇到绿灯的概率依次为,,若A处遇红灯或黄灯,则导致延误时间2分钟;若B处遇红灯或黄灯,则导致延误时间3分钟;若两处都遇绿灯,则全程所花时间为20分钟.
路线②:沿途有a,b两处独立运行的交通信号灯,且两处遇到绿灯的概率依次为,,若a处遇红灯或黄灯,则导致延误时间8分钟;若b处遇红灯或黄灯,则导致延误时间5分钟;若两处都遇绿灯,则全程所花时间为15分钟.
(1)若张老师选择路线①,求他20分钟能到校的概率;
(2)为使张老师日常上班途中所花时间较少,你建议张老师选择哪条路线?并说明理由.
5.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴的正半轴重合.曲线
C1:(t为参数),曲线C2的极坐标方程为ρ=ρcos 2θ+8cos θ.
(1)将曲线C1,C2分别化为普通方程、直角坐标方程,并说明表示什么曲线;
(2)设F(1,0),曲线C1与曲线C2相交于不同的两点A,B,求|AF|+|BF|的值.
6.已知函数f(x)=|x+2|-|x-a|,a∈R.
(1)当a=3时,解不等式f(x)>3;
(2)当x∈(-∞,-2)时,f(x)<0恒成立,求实数a的取值范围.
答案精解精析
1.解析(1)∵6S n=3n+1+a(n∈N*),
∴当n=1时,6S1=6a1=9+a,
当n≥2时,6S n-1=3n+a,∴6a n=6(S n-S n-1)=2·3n,即a n=3n-1,
∵{a n}是等比数列,∴a1=1,则9+a=6,得a=-3,
∴数列{a n}的通项公式为a n=3n-1(n∈N*).
(2)由(1)得b n=(3n+1)log3(·a n+1)=(3n-2)(3n+1),
∴T n=++…+=++…+
=
=.
2.解析f(x)=2cos2x+2sin x·cos x+m=cos 2x+sin 2x+m+1=2sin 2x+cos 2x+m+1=2sin+m+1.
因为当x∈时,2x+∈,所以当x=时,f(x)取得最小值-1+m+1=2,所以m=2,所以f(x)=2sin+3.
(1)令2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)将f(x)的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩小到原来的,得函数图象对应的解析式为
y=2sin+3,再把图象向右平移个单位,得函数图象对应的解析式为g(x)=2sin+3.
由g(x)=4,得sin=,则4x-=2kπ+或2kπ+(k∈Z),即x=+或+(k∈Z).
因为x∈,所以x=或,
故所求所有根之和为+=.
3.解析(1)证明:记A1C与AF的交点为M,连接EM,如图.
因为平面A1BC∩平面AEF=EM,且A1B⊂平面A1BC,
若A1B∥平面AEF,则A1B∥EM,所以=.
又AA1∥CC1,所以=,故==,
则=,整理得-=1.
(2)因为△ABC是正三角形,D为AB的中点,所以CD⊥AB.
又三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以CD⊥AA1,因此CD⊥平面A1ABB1,
于是∠CA1D是直线A1C与平面A1ABB1所成的角.
由题设知∠CA1D=45°,△ABC的边长为2,所以A1D=CD=.
在Rt△AA1D中,AA1===.
以A为坐标原点,AC,AA1所在直线分别为y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则
D,A1(0,0,),C(0,2,0),A(0,0,0),所以=,=(0,2,-).
易知平面AA1C的一个法向量为m=(1,0,0).
设平面DA1C的法向量n=(x,y,z),
则
即
取z=,得x=,y=1,所以n=(,1,)是平面DA1C的一个法向量.
从而cos<m,n>==,故<m,n>=45°,
所以二面角D-A1C-A的大小为45°.
4.解析(1)走路线①,20分钟能到校意味着张老师在A,B两处均遇到绿灯,记该事件发生的概率
为P,则P=×=.
(2)设选择路线①的延误时间为随机变量ξ,则ξ的所有可能取值为0,2,3,5.
则P(ξ=0)=×=,P(ξ=2)=×=,
P(ξ=3)=×=,P(ξ=5)=×=.
ξ的数学期望E(ξ)=0×+2×+3×+5×=2.
设选择路线②的延误时间为随机变量η,则η的所有可能取值为0,8,5,13.
则P(η=0)=×=,P(η=8)=×=,
P(η=5)=×=,P(η=13)=×=.
η的数学期望E(η)=0×+8×+5×+13×=5.
因此选择路线①平均所花时间为20+2=22分钟,选择路线②平均所花时间为15+5=20分钟,
所以为使张老师日常上班途中所花时间较少,建议张老师选择路线②.
5.解析(1)将曲线C1的方程化为普通方程得y=-x+1,C1表示一条直线.
曲线C2的方程可变形为ρ2sin2θ=4ρcos θ,化为直角坐标方程可得y2=4x,曲线C2表示顶点在原点,焦点为(1,0)的抛物线.
(2)由消去y,可得x2-6x+1=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6.
易知F(1,0)为曲线C2的焦点,
所以|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=x1+x2+2=8.
6.解析(1)当a=3时,f(x)>3,即|x+2|-|x-3|>3,
等价于或或
解得x∈⌀或2<x<3或x≥3.
所以原不等式的解集为{x|x>2}.
(2)当x<-2时,f(x)=-2-x-|x-a|,
f(x)<0可化为|x-a|>-2-x,则x-a>-2-x或x-a<2+x,
整理得a<2x+2或a>-2,只需a<(2x+2)min或a>-2,
当x∈(-∞,-2)时,(2x+2)min不存在,所以a>-2.
所以a的取值范围是(-2,+∞).。