汉台中学2016届高三第十二次月考数学(理)试题

汉台中学2016届高三第十二次月考数学（理）试题
（满分150分，时间120分钟）
命题 曾正乾 校对 韩昕彤
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 已知集合M={}
1<x x ，N={}12>x
x
，则M N=（ ）
A. φ
B. {}0<x x
C. {}1x 0x <<
D. {}
1<x x 2. 已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a+i 与2-bi 互为共轭复数，则（a+bi ）2=（ ） A. 3-4i B. 3+4i C. 5-4i D. 5+4i 3. 已知5
3
2cos =⎪⎭⎫
⎝
⎛+
πα，22παπ<<-，则α2sin 的值等于（ ）
A.
2512 B. 2512- C. 2524 D. 25
24
- 4. 定义运算a ⊗b 为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则⎪⎭
⎫ ⎝⎛⊗⎪⎭⎫ ⎝
⎛
45tan 235cos
2ππ的值为（ ）
A. 4
B. 3
C. 2
D. -1
5. 若x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤++≥+≥+-0
2020
2y x y y x ，则11-+x y 的取值范围为（ ）
A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-5131，
B. ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-1,31 C. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛
-∞-，，51
31 D. [)∞+⋃⎥⎦⎤
⎝⎛
-∞-，，131
6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的各个面的面积中，最小的值为（ ）
A. 52
B. 8
C. 54
D. 28
7. 为给我校2016届高三的学生高考加油，学校精心准备了一台文艺节目，其中3个合唱、两个舞蹈和一个小品节目，在排节目演出顺序时要求同类节目不相邻，则不同排法有（ ） A. 72种 B. 120种 C. 144种 D. 168种
8. 函数()()0sin >+=ϕϕωx y 的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与X 轴的交点，若5
5
cos -=∠APB ，则ω的值为（ ） A.
4π B. 3π C. 2
π
D. π
9. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ， 不得分的概率为c ，（a ，
b ，
c ∈（0,1）），已知他投篮一次得分的数学期望是2， 则b
a 31
2+的最小值为（ ） A. 332 B. 328 C. 314 D. 3
16
10. 双曲线
()0,012
2
2
2>>=-b a b
y
a x 的渐近线与抛物线12
+=
x
y 相切，
则该双曲线的离心率为（ ）
A. 3
B. 2
C.
5 D. 6
11. 若方程⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=212
3
x x 的根为
x
，且
x
所在区间是（a ，b ）()1,,=-∈a b Z b a ，则
a+b=（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5 12. 数学家黎曼曾经定义过一个“奇怪”的函数（黎曼函数）
：
()⎪⎩
⎪⎨⎧>=为无理数时，当）为整数且互质，
时（为有理数当x p q p q x p x f 00,p
,1
，例如()()02==πf f ，
()51531066.0=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=f f f ，()1122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-f f ，()1100=⎪⎭
⎫ ⎝⎛=f f ，
()4
1
4775.1=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-f f ，等。

则下列四个选项中，对黎曼函数的性质描述中，错误的是
（ ）
A. ()x f 不是周期函数
B. 在任何连续的闭区间上都不具有单调性
C. ()x f 的值域为区间[]1,0的子集
D.()x f 是偶函数，不是奇函数 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 若随机变量X □N
()σμ2
， ，且P )5(>x =P （X<﹣1)=0.2，P （2<X<5）=________.
14. 已知向量、满足（2+）·（-）= -6，
=1
=2，则与的夹角为_______. 15. 若等比数列
{}
a n
的首项为3
2
，且a 4=()dx x ⎰+4121，则公比q 等于_______.
16. 已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一个球面上，若该棱柱的体积为3，AB=2，AC=1，60BAC =∠°，则此球的表面积等于_______. 三、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤 17. （本小题满分12分）在等差数列
{}a n
中，a 1
=3，其前n 项和为S n
，等比数列{}b n
的
各项均为正数，
b
1
=1，公比为q （q ≠1），且1222=+S b ，S
q 2
2
=
.
（Ⅰ）求
a
n
与
b n
；
（Ⅱ）证明
3
211131S S S n 2
1<+++≤ . 18. （本小题满分12分）如图，四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 和侧面BCC 1B 1都是矩形，E 是CD 的中点，D 1E ⊥CD ，AB=2BC=2. （Ⅰ）求证：D 1E ⊥底面ABCD ；
（Ⅱ）若平面BCC 1B 1与平面BED 1的夹角为
3
π
，求线段D 1E 的长.
19. （本小题满分12分）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图. （Ⅰ）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；
（Ⅱ）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1-50名和951-1000名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？
（Ⅲ）在（Ⅱ）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1-50的学生人数为x ，求x 的分布列和数学期望. 附:
(
)
()()()()
d b c a d c b a bc ad n ++++=
-2
2
K
20. （本小题满分20分）以椭圆C ：
()012
2
2
2>>=+b a b
y
a x 的中心O 为圆心，
b a
2
2
+为
半径的圆称为该椭圆的“准圆”.设椭圆C 的左顶点为P ，左焦点为F ，上顶点为Q ，且满足
2PQ =，S S OFQ
OPQ 26
∆∆=
.
（Ⅰ）求椭圆C 及其“准圆”的方程；
（Ⅱ）若椭圆C 的“准圆”的一条弦ED （不与坐标轴垂直）与椭圆C 交于M 、N 两点，当
0=∙时，试问弦ED 的长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
21. （本小题满分12分）已知向量()k x m e x
+=
ln ,，()()x f n ,1=，m ∥n （k 为常数，e
是自然对数的底数），曲线()x f y =在点()()11f ，处的切线与y 轴垂直，()()x f x x e x
'F =.
（Ⅰ）求k 的值及()x F 的单调区间； （Ⅱ）已知函数()ax
x g x
22
+-=（a 为正实数），若对于任意[]1,02∈x ，总存在()+∞∈,01x ，使得()()x x F g
1
2
<，求实数a 的取值范围.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22. （本小题满分10分）选修4-1； 几何证明选讲.
如图，过圆E 外一点A 作一条直线与圆E 交B ，C 两点，且AB=3
1
AC ，作直线AF 与圆E 相切于点F ，连接EF 交BC 与点D ，已知圆E 的半径为2，30EBC =∠.
（Ⅰ）求AF 的长. （Ⅱ）求证：AD=3ED.
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程.
在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+-=t
y t
x sin 23cos 25，（t 为参数），在以原点O
为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为
24cos -=⎪⎭⎫
⎝
⎛+
πθρ，A ，B 两点的极坐标分别为A ⎪⎭
⎫
⎝⎛22π，，B ()π，2.
（Ⅰ）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （Ⅱ）点P 是圆C 上任一点，求PAB ∆面积的最小值. 24. （本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲. 已知函数()2-=x x f .
（Ⅰ）解不等式:()()421<+++x f x f ；
（Ⅱ）已知a>2，求证：()()2,>+∈∀x af ax f R x 恒成立.。