解一元二次方程的公共根问题的常见失误
一元二次方程的解法易错点剖析
一元二次方程易错题剖析一、 在确定一元二次方程时，容易忽视二次项系数a0 题目1关于X 的方程(k 2-1)x 「心+ x + k =0是一元二次方程，求 错解：T k 2-2k -1=2即 k 2- 2k -3=0k i = 3, k 2 = — 1.错因：方程ax 2+ bx + c =0 ( a 0)为一元二次方程，这里强调 —1时，使k 2 - 1 = 0,原方程是一元一次方程. 正解：2k -2k —仁 2, 2…k = 3.k 2-1 0,二、 在使用一元二次方程根的判别式时，容易忽视二次项系数题目2关于X 的一元二次方程(m + 1)x 2+ 2、、3mx + 3m -2=0有实根, 错解：T 方程有实根，二 > 0, 即(2.3m)2-4(m + 1)(3m -2) >0,• • —4m+8》0,. • m W 2.错因：因为题中说明是一元二次方程，则还应满足 m + 1 0,正解：• m W 2,且 m — 1.三、 忽视根的判别式和二次项的系数 a应满足的条件题目3已知关于X 的方程x 2- mx - n = 0的两根之积比两根之和的 根的平方和为22,求m , n 的值.k 的值.a 0.当 k 2 =a求m 的取值范围.2倍小f ，并且两错解：设两根分别为X1 , X2，则x1+ x2= m , x1x2= - n .1由题意，得2(X1+X 2)—X1X尸2, X 2+X；=22. m != 7,解得 27 或 ni = —亍错因：因为方程有两根，说明根的判断式> 0,即m 2+ 4n >0,但m = 7和n =—27不满足，应舍去•又这里二次项系数a = 1是已知的，解题时可不考虑。
2正解：当m = 7, n = —27时，=72- 427V 0,不合题意，舍去；2 2 当 m = — 3, n =匹时， =(—3)2 + 4 逻>0,2 2 13 ..m = 一 3, n =.2四、忽视两未知数的值中有一个是增根的情况 题目4 a 为何值时，方程 亠+注=空也只有一个实数根.x +1X X(X + 1)错解：原方程化为2X 2— 2X + (1— a) = 0.此方程有两个相等的实数根时，分式方程只有一个实根， . =(—2)2— 4 2(1 — a)=0 ,. 1…a= —.2错因：当方程2X 2—2X +(1— a) = 0的两实根中有一个是原方程的增根，另一根是原 方程的根时，命题也成立. 正解：把 X = 0代入 2X 2—2X + (1— a)= 0，得 a = l ; 把 X = — 1 代入 2X 2— 2X + (1— a)=0，得 a = 5.二当a 1=寸,a 2 = 1, a 3 = 5时，原分式方程只有一个实数根.五、讨论不定次数的方程的解时，只考虑 是二次方程时的情况，忽视是一次方 程时的情况.2m + n =-,2m 2+2 n =22,m 2=—313题目5已知关于x的方程(k-1)x2+ 2kx+ k= 0有实根，求k的取值范围.0 k 1错解：当k 12U，即k J 2时，方程有实根，(2k)2-4k(k -1) 0, 4k2-4k2+4k 0••• k > 0且k 1时，方程有实根.错因：只考虑了方程是一元二次方程时方程有根的情况.本题并没有说明方程有“二次”和“两根”的条件，允许它是一次方程.正解：当k — 1 = Q即k = 1时，方程化为2x+1=0，二x =-丄.2•••当k >0时，方程有实根.六、不理解一元二次方程的定义题目6方程(m—1)x m+1+ 2m>—3= 0是关于x的一元二次方程，求m的值.错解：由题意可得m+ 1 = 2，二m=± 1.错因：一元二次方程满足的条件是：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程.方程经整理可转化为一般形式：ax2+ bx+ c= 0(a^ 0).本题在解题过程中忽略了一元二次方程系数不为零的条件.正解：由题意可得，m+ 1 = 2，且m—1工0，• m=± 1且1，• m的值是一1.七、二次三项式的配方与一元二次方程的配方的知识混淆题目7用配方法求2x2- 12x + 14的最小值.错解：2x2- 12x + 14 = x2- 6x + 9-2= (x —3)2-2.•••当x= 3时，原多项式的最小值是一2.错因：一元二次方程配方时，二次项系数化为1,方程两边同时除以二次项系数，而二次三项式的配方不能除以二次项系数，而应提取二次项系数.要注意等式与代数式变形的区别.正解：2x2—12x + 14 = 2( x2-6x + 7) = 2(x2—6x+ 9-2) = 2( x —3)2-4. •••当x= 3时，原多项式的最小值是-4.八、解方程中错误使用等式的性质题目8解方程x2= 6x.错解: x = 6x，解这个方程，得x= 6.错因：本题想利用等式的性质进行求解，但方程两边不能同除以值为零的代数式.正解：x2= 6x,x2—6x= 0, x(x —6) = 0,• X i= 0, X2 = 6.九、题目9关于x的方程「2x—4—x + k= 1,有一个增根为4,求k的值.1. 对增根概念理解不准确错解1:把x= 4代入原方程，得-2X 4—4—4+ k= 1,解得k= — 3. 错因：本解法错误在于对增根概念理解不准确，既然是增根，代到原方程中去，等式不应该成立.实际上解法中把4当作原方程的根，而没有当作增根来处理.2. 忽略题中的隐含条件错解2:将原方程化为整式方程，得4( x + k) = (x —5—k)2. (*) 把x= 4代入整式方程(*)，得4(4 + k) = (4 — 5 —k)2.解之，得k1= —3, k2= 5.答：k的值为一3或5.错因：本解法已经考虑到增根的定义.增根是在将无理方程化为整式方程时产生的，所以题目中的增根x = 4肯定是在解整式方程(*)时产生的.将x=4代入整式方程(*)，等式应该成立.求出k i=- 3, k2 = 5,但本解法忽略了对k值的验证. 将无理方程化为整式方程时，可能产生增根，也可能不产生增根，因此还必须将求得的k值和x= 4代到原无理方程中去验证.正解：(1)将k i = - 3, x=4代入原无理方程，左边=-'2X 4-4 - 4-3= 1,右边 =1 .左边=右边.•••当k=- 3时，x=4是适合原方程的根(不是增根).(2)将k2 = 5，x= 4代入原无理方程，左边=-1，右边=1,左边工右边.•••当k= 5时，x= 4是原方程的增根.综上所述，原方程有一个增根为4时，k的值为5.十、忽略前提，乱套公式题目10解方程：X2+3X=4.错解：因为△=32-4 X 1 x 4=-7 v 0,所以方程无解.错因：用公式法解一元二次方程，必须先把方程化为一般形式a x2+b x+c=0(a 工0).如果同学们没有理解这一点，胡乱地套用公式，解方程时就会造成错误.正解：方程可化为X2+3X-4=0.△=32-4 X 1 X(-4 ) =25 >0.x=42即X1 = 1, X2=-4.十一、误用性质，导致丢根题目11方程(X-5 ) ( X-6)= X-5的解是( )A. X=5B. X=5或X=6C. X=7D. X=5或X=7错解：选C.将方程的两边同时除以x-5得x-6=1,解得x =7.错因：在解一元二次方程时，不能在方程的两边同时除以含有未知数的代数式，否则就会产生漏根的现象，导致解题出错.正解：选D.移项得(x-5 ) (x-6)-( x-5)=0，因式分解得(x-5 ) (x-7)=0,解得x1=5，x2 =7.十二、考虑不周，顾此失彼题目12 若关于x 的一元二次方程(m+1) x2- x+m2-m-2=0 的常数项为0，则m 的值为( )A. m=-1B.m=2C.m=-1 或m=2D.m=1 或m=-2错解：据题意可得m2-m-2=0，解得m i=-1, m2 =2，所以选C.错因：错解中根据题中条件构造关于m的方程m2-m-2=0，以达到求m的值的目的，这样思考并没有错，错就错在忽略了一元二次方程的一般形式a x2+b x+c=0 中必须有a工0这一条件.正解：据题意可得m2-m-2=0,解得m1=-1, m2=2.又因为m+倍0,故m^-1 ,所以m=2故选B.十三、一知半解，配方不当题目13 解方程：x2-6 x-6=0.错解：移项，得x2-6 x =6，故(x-3 ) 2=0解得x1=x2 =3.错因：运用配方法解一元二次方程时，同学们最容易犯的错误是方程等号一边加上了一次项系数一半的平方，而另一边却忘了加或者加错. 所以用配方法解一元二次方程时，要正确理解配方法的实质及解题的步骤，避免配方不当产生错误.正解：移项，得X2-6X=6,所以X2-6X +9=6+9,即(X 3)2= 15,解得X<|=3+』15,X2 =3- .15.十四、概念不清，导致错误题目14下列方程中，一元二次方程为2 2 2 1 2 V3⑴4X 3X；⑵(X 2)3X 1 0；⑶ 3X 4X E 0；⑷ x20 ；(5) •、厂 2 ；(6)6X(X 5) 6X2 .错解：多找了⑵或(6)或少找了⑶或⑷错因：多找了(2)或(6)是因为没将方程整理，少找(3)是将它看作是分式方程，少找了(4)是因为方程没有一次项，常数项过于简单.判断一方程是否为一元二次方程，首先看它是否为整式方程，若是整式方程，再进行整理，整理之后再看它是否符合定义的另两个特点.正解：是方程(1),(3),(4)十五、忽略二次项系数a z0导致字母系数取值范围扩大题目15.如果关于X的一元二次方程(m 2)X23X m2 4 0有一个解是0,求0的勺值.错解：将X= 0代入方程中，得(m 2) 02 3 0 m2 4 0 ,m2 4 m 2> ・错因：由一元二次方程的定义知m 2 0，而上述解题过程恰恰忽略了这一点，正解：将X 0代入方程中，得2m 4,m 2又因为m 2 0，所以m 2.十六、忽略一元二次方程的“元”和“次”都是对合并同类项之后而言的，导致错解题目16.关于x的方程mx? 3x x mx 2 是- -元二次方程的条件是什么错解：由一元二次方程的定义知m 0.错因：一元二次方程的“元”和“次”都是对合并同类项之后而言的.而上述解题过程恰恰忽略了这一点，整理得(m 1)x2 (3 m)x 2 0 ,m 1 0, m 1正解：关于x的方程mx2 3x x2 mx 2是一兀二次方程的条件为m 1 .十七、忽略一元二次方程有实根条件0导致错解题目17.已知捲，X2是方程x2 (k 2)x k2 3k 5 0的两实根，求捲2 X22的最大值. 错解：由根与系数的关系得2x-i x2 k 2 x! x2 k 3k 5所以当k 5时，xj X22有最大值19.错因：当k 5时，原方程变为x2 7x 15 0，此时△< 0,方程无实根. 错因是忽略了0这一重要前提.正解：由于方程有两实根，故0,2即(k 2) 4(k23k 5) 0,解得—4W k<-电.3所以当k 4时，为2 X22有最大值18.十八、未挖掘题目中的隐含条件导致错解题目18.若(x2 y2 1)(x2 y2 3) 5,则x2 y2= ________________ .错解：(x2 y2)2 2(x2 y2) 8 0(x2 y2 4)(x2 y2 2) 0解得x2 y2=4或x2 y2=-2错因：忽视了x2 y2的非负性，所以应舍去X2 y2=-2.正解：4题目19、已知方程ax2 3x 5 0有两个实数根，求a的取值范围.错解：v已知方程有两个实数根，/. △> 0,即32 4 a ( 5) 0,a>——.20所以C的取值范围是大于或等于- 2的实数.20错因：因已知方程有两个实数根，这个方程必须是一元二次方程，解答过程忽略了二次项系数a不为0的条件。
一元二次函数易错题解析
一元二次函数易错题解析一、标题解析《一元二次函数易错题解析》这个标题主要是针对一元二次函数相关题目中常见错误进行解析，旨在帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
二、易错点分析1. 忽视函数定义域：在一元二次函数的表达式中，必须保证二次项系数不为零，否则函数将无法定义。
例如，表达式x²-2x+3必须保证x不为0，否则会出现定义域错误。
2. 忽视图像性质：一元二次函数的图像是抛物线，具有对称性、开口方向、顶点坐标等性质。
在解题过程中，需要充分考虑这些性质，才能正确解题。
3. 忽视隐含条件：一元二次函数表达式中，常常隐含着一些条件，如判别式Δ>0或Δ=0或Δ<0的情况，需要充分考虑这些条件才能避免错误。
4. 混淆概念：一元二次函数与一元一次函数、反比例函数等其他函数容易混淆，导致解题错误。
三、易错题解析【例题1】（易错题）已知一元二次函数f(x) = x²-2x+3在区间[2,3]上的最大值是M，最小值是m，求M+m的值。
【错解】由题意得，一元二次函数f(x)的图像为开口向上的抛物线，对称轴为x=1，顶点坐标为(1,2)。
当x=2时，f(x)取最小值m=3；当x=3时，f(x)取最大值M=6。
所以M+m=9。
【解析】上述解法忽视了函数的定义域，导致在求最小值时误将区间端点值代入表达式。
正确解法如下：【解答】由题意得，一元二次函数f(x)的定义域为R。
Δ=(-2)²-4×1×3=-8<0，所以一元二次函数f(x)的图像与x轴无交点。
因此M+m=f(x)在区间[2,3]上的最大值M+最小值m=f(2)+f(3)=5+6=11。
【例题2】（易错题）已知一元二次函数f(x) = x²-4x+5在区间[3,4]上的最大值是M，求M的值。
【错解】由题意得，一元二次函数f(x)的图像为开口向上的抛物线，对称轴为x=2。
当x=4时，f(x)取最大值M。
一元二次方程根的判别及根与系数的关系易错点剖析
根与系数关系的应用错例示例一元二次方程中根与系数的关系为：如果ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1 · x 2＝ca．此结论成立的条件是“原方程存在两个根x 1和x 2”.一、例1 判断正误：方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根之和为－ba．( )错解：对．正解：错误．因不知方程是否有根.二、例2 若方程x 2＋(m 2 - l)x ＋l ＋m ＝0的两根互为相反数，则m 的值 为( )(A)l 或一1； (B)l ； (C)－l ； (D)0. 错解：选A ．正解：选C ．因当m ＝l 时，原方程无实根.三、例3 下列方程中，两根之和为13的方程是( )(A)3x 2－x ＋2＝0； (B)3x 2＋x ＋2＝0； (C)x 2－13x ＋3＝0； (D)6x 2 -2x 一1＝0．错解：选A 或C ．正解：选D ．因方程A ，C 均无实根．四、例4 已知关于x 的方程x 2－(2m ＋1)x ＋ (m ＋l)2＝0的两个实数根的平方和为7，求m 的值．错解：设方程两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝2m ＋l ，x 1·x 2＝(m ＋1)2．∵x 12＋x 22＝7，∴(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝7，(2m ＋l) 2 －2(m ＋l)2＝7．即2m 2＝8，m ＝±2．正解：设方程两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝2m ＋l ，x 1·x 2＝(m ＋1)2．∵x 12＋x 22＝7，∴(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝7，(2m ＋l)，2 －2(m ＋l)2＝7．即2m 2＝8，m ＝±2．当m ＝2时，原方程b 2-4ac ＜0，∴m ＝－2．五、例5 已知方程x 2 ＋ 2(m -l)x ＋3m 2－11＝0，问m 为何实数时，方程有两个根x 1、x 2，且x 1x 2＋x 2x 1＝－1．错解：由根与系数的关系有x I ＋x 2＝－2(m －1) ，x 1·x 2＝3m 2－11，∵x 1x 2＋x 2x 1＝－1，∴x 12＋x 22x 1x 2＝－1，∴(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2＝－1，∴[－2(m －1)]2－2(3m 2－11)3m 2－11＝－1，即 m 2－8m ＋15＝0，∴m 1＝3，m 2＝5．正解：由根与系数关系有x 1＋x 2＝－2(m －1) ，x 1·x 2＝3m 2－11，∵x 1x 2＋x 2x 1＝－1，∴x 12＋x 22x 1x 2＝－1，∴(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2＝－1，∴[－2(m －1)]2－2(3m 2－11)3m 2－11＝－1，即 m 2－8m ＋15＝0，∴m 1＝3，m 2＝5．因m ＝3或5时，方程b 2-4ac ＜0，∴不存在m 使x 1x 2＋x 2x 1＝－1成立．六、忽视方程中的隐含条件例6 已知关于x 的方程(k －1)x 2＋3＝0有实数根，求k 的取值范围．错解： ∵方程有实数根，∴b 2－4ac ＝2－4(k －1)×3≥0，解得k ≤65． ∵k －1≠0，解得k ≠1．∴k 的取值范围是k ≤65且k ≠1．错解分析：一元二次方程的解题中考虑b 2－4ac ≥0及k －1≠0是必要的，但本题忽视了两点：一是方程可能是一元一次方程，也可能是一元二次方程，题中未明确是一元二次方程，因此应有k －1＝0；二是忽视了隐含条件2k ≥0．七、不能正确使用根的判别式例7不解方程，判断方程根的情况：4x2－3x＋1＝2．错解：∵a＝4，b＝－3，c＝1，∴b2－4ac＝(－3)2－4×4×1＝9－16＝－7＜0．∴原方程没有实数根．错解分析：使用根的判别式时，必须先将方程整理成ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式．正解：整理，得4x2－3x－1＝0，∵a＝4，b＝－3，c＝－1，∴b2－4ac＝(－3)2－4×4×(－1)＝9＋16＝25＞0．∴原方程有两个不相等的实数根．一元二次方程错解示例一、例1a为何值时，方程a2x2＋(2a－1)x＋1＝0有两个实数根？错解：∵ 方程有两个实数根∴ △≥0，即(2a－1)2－4a2≥0，．解得a≤14错解分析：当a＝0时，原方程为一元一次方程－x＋1=0，它只有一个实数根，不合题意．且a≠0．正确的答案应为a≤14二、例2已知a、b满足a2－2a－1＝0，b2－2b－1＝0，则a b＝．b a错解：由题设可知a、b是方程x2－2x－1＝0的两根，∴a ＋b ＝2，ab ＝－1，∴a b b a +＝22a b ab +＝2()2a b ab ab +-＝421+-＝－6．错解分析：在a ≠b 时，a 、b 是方程x 2－2x －1＝0的两根；在a ＝b 时，ab b a+＝1+1＝2．故本题的正确答案应是－6或2．三、例3 已知α、β是方程x 2＋5x ＋3＝0的两个实数根，则的值为 ．错解：设A ＝，两边平方得A 2＝α2·βα＋2αβ＋β2·αβ＝4αβ，∴A ＝αβ＝3，∴所求式的值为错解分析：由题意可知．α＋β＝－5，αβ＝3，由此可知α＜0，β＜0，因此0．所以正确的结论应为－ 四、例4 已知关于x 的方程x 2－(2m －1)x ＋(m －3)2＝0的两个实数根的平方和为25，求m 的值．错解：设两根为x 1、x 2，则x 1＋x 2＝2m －1，x 1x 2＝(m －3)2，∵x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2 x 1x 2＝(2m －1)2－2(m －3)2＝25，化简得m 2＋4m －21＝0，解得m 的值为3或－7．错解分析：当m ＝－7时，原方程为x 2＋15x ＋100＝0，此时，△＝152－400＜0，原方程无实数根，故m ＝－7应舍去，本题正确答案应为m ＝3．五、例5 已知x ＝－1是关于x k =的一个根，求以2k 和k ＋1为根的一元二次方程．错解：把x ＝－1=k ，解得k 1＝2，k 2＝－1．当k＝2时，2k＝4，k＋1＝3，以4、3为根的方程是y2－7y＋12＝0；当k＝－1时，2k＝－2，k＋1＝0，以－2、0为根的方程是y2＋2y＝0．错解分析：=k成立，显然k＝－1应舍去．故本题的答案只有一个，y2－7y＋12＝0．六、例6 x1、x2是关于x的方程x2－(2m－1)x＋(m2＋2m－4)＝0的两个实数根，求x12＋x22的最小值．错解：由已知得x1＋x2＝2m－1，x1x2＝m2＋2m－4，∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2 x1x2＝(2m－1)2－2(m2＋2m－4)＝2m2－8m＋9＝2(m－2)2＋1．∴当m＝2时，x12＋x22的最小值是1．错解分析：解法中忽略了“方程有实数根”这一条件．当m＝2时，原方程为x2－3x＋4＝0，方程没有实数根．正确的解法还必须求出m的取值范围．∵原方程有两个实数根，∴△＝(2m－1)2－4(m2＋2m－4)≥0，即－12m＋17≥0，∴m≤1712．∴当m=1712时，x12＋x22的最小值是12172．七、例7 已知x1、x2是方程2x2－2kx＋12k(k＋4)＝0的两个实数根，且满足等式 (x1－1)(x2－1)＝109100，求k的值．错解： (x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝14k(k＋4)－k＋1＝14k2＋1，由已知条件得14k2＋1＝109100，k2＝36100，k＝±35．错解分析：∵x1、x2是方程的两个实数根，∴△≥0．即4k2－4k(k＋4)≥0，化简得k≤0．故正确的答案应是k＝－3．5与根的判别式有关的常见错解示例一、忽略二次项系数不为零例1已知关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0有实数根，求m的取值范围．错解：∵ 方程有实数根，∴△＝(－4)2－4×m×4≥0，解得m≤1．错解分析：一元二次方程mx2－4x＋4＝0有实数根的条件是：（1）二次项系数m≠0；（2）△≥0．错解只考虑了（2），而忽视了（1），即忽视了二次项系数不为零这一条件．故正确结果是：m≤1且m≠0．值得说明的是，若题中没有条件“一元二次”四个字，则前面的解法是正确的．这是为什么？请大家思考.二、忽略根的判别式例2已知关于x的一元二次方程x2－2(m－2)x＋m2＝0．问是否存在实数m，使方程的两个实数根的平方和等于56？若存在，求出m的值,若不存在，请说明理由．错解：设方程的两个实数根为x1,x2，则x1＋x2＝2(m－2)，x1x2＝m 2．∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4(m －2)2－2m 2＝2m 2－16m ＋16．若x 12＋x 22＝56，则有m 2－8m －20＝0． 解得m 1＝10,m 2＝－2．故符合题意的实数m 存在，它的值为10或－2．错解分析：当m ＝10时，原方程x 2－16x ＋100＝0，判别式△＝(－16)2－4×100＜0，故方程无实数根．因此，m ＝10应舍去．错误原因是忽视两根的判别式大于等于0这一条件．本题正确答案应为m ＝－2．三、忽略题设条件例3 当m 是什么整数时，关于x 的方程mx 2－4x ＋4＝0①与x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0②的解都是整数？错解：由已知，得12222=16-16m 0,=(-4m)-4(4m -4m-5)0,∆≥⎧⎨∆≥⎩解得－54≤m ≤1．因此，满足条件的整数m 为－1，0，1．错解分析： 当m ＝－1时，方程①的解不是整数；当m ＝0时，方程①不是一元二次方程，方程②的解不是整数；当m ＝1时，两个方程的解都为整数，方程①的解是x 1＝x 2＝2，方程②的解是x 1＝－1，x 2＝5．显然，m ＝－1与m ＝0不合题意，应舍去．忽视了m 的取值应使所给两个方程的“解都是整数”这个重要的题设条件，正确答案为m ＝1．四、忽视隐含条件例4 已知关于x 的一元二次方程(1－2k )x 2－x －1＝0有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．错解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴ △＝(－)2＋4(1－2k )＞0， 解得k ＜2．∵ 1－2k ≠0，即k ≠12，∴ k 的取值范围是k ＜2且k ≠12．错解分析：这里忽视了一次项系数－须有意义，即k ＋1≥0这个隐含条件．正解：由题设可得2(4(12)0,10,120.⎧∆=-+->⎪+≥⎨⎪-≠⎩k k k 解得－1≤k ＜2且k ≠12．因此，k 的取值范围是－1≤k ＜2且k ≠12．五、忽略“方程有实根”的含义，导致字母系数取值范围缩小例5.已知关于x 的方程22(1)10kx k x k -++-=，当k 为何值时，方程有实数根？ 错解：因为方程有实数根，所以Δ≥0，即[]22(1)4(1)0k k k -+--≥，解得k ≥－31.又因为0k ≠， 所以k ≥－31且0k ≠.错解分析：“方程有实根”在此题中应理解为：方程有一个实数根或有二个实数根，故此题应分一元一次方程与一元二次方程两种情况讨论:（1）当k ＝0时，原方程为一元一次方程-2x=1，其实根为x=12-，故k 可取0.（2）当k≠0时，原方程为一元二次方程，须满足Δ≥0，即k ≥－31且0k ≠，1. 综合（1）（2）知：k≥－3。
一元二次方程易错点
一元二次方程易错点
一元二次方程易错点主要有：
1. 未正确识别方程的形式：有时候题目给出的方程可能不是标
准的一元二次方程形式，容易误以为是其他类型的方程。
因此，要注
意检查方程中是否有二次项、一次项和常数项，确保正确识别方程类型。
2. 错误地标记未知数：在解一元二次方程时，常常用字母表示
未知数，如通常用x表示。
然而，在一些情况下，可能会错误地将其
他字母或符号当作未知数。
因此，应该仔细检查并确保正确标记未知数。
3. 求平方根时忽略正负号：在解一元二次方程时，通常需要使
用平方根。
但容易忽略平方根的正负号，导致忽略了可能存在的另一
个解。
解决这个问题的方法是在解方程时考虑两个解，一个是取正平
方根，另一个是取负平方根。
4. 运算错误导致计算结果出错：在解一元二次方程时，可能会
有繁琐的运算过程，容易出现计算错误。
例如，错误地计算平方项、
未正确对齐等。
为避免这些错误，应该仔细地进行每一步的运算、检
查计算过程和结果。
5. 未检查解是否符合题目条件：解一元二次方程后，得到的解
有时候需要符合题目中给出的条件。
如果未仔细检查解是否满足条件，可能会得到不正确的结果。
因此，在解完方程后，应该将解代入原方
程中检查是否成立。
以上就是一元二次方程易错点的一些常见问题，注意避免这些错误，能够提高解题的准确性。
一元二次方程易错剖析
一元二次方程易错剖析山东 王文涛在学习一元二次方程时，不少同学由于概念不清，理解不透等原因而陷入解题的误区.现将常见错误加以剖析，以帮助同学们走出解题的误区，提高解题能力.一、用公式法时，将方程中系数弄错例1 解方程：ｘ２－４ｘ＝８．错解：由ａ＝１，ｂ＝－４，ｃ＝８，得Δ＝ｂ２－４ａｃ＝（－４）２－４×８＝－１６＜０，所以原方程无解．剖析：错解错在没有将方程化为一般形式，而将常数项c 弄错，导致错误的结果（详细解答过程请同学们自己完成，你一定能行的！正解：ｘ１＝２＋２3，ｘ２＝２－２3）．点评：用公式法解一元二次方程时，要先将方程化为一般形式，再确定ａ，ｂ，ｃ的值（有负号的不要漏掉），最后代入公式求解．二、违背等式性质，导致漏根例2 一元二次方程ｘ（ｘ＋３）＝ｘ＋３的解是 ．错解：方程两边除以ｘ＋３，得ｘ＝１．剖析：错解错在将两边直接约去了ｘ＋３，忽视了ｘ＋３可能等于零的情况.本题应将ｘ＋３移项后，用因式分解法求解（详细解答过程请同学们自己完成，你一定可以的！正解：ｘ１＝１，ｘ２＝－３）．点评：若方程两边有公因式，只有当公因式不为零时，才能约去公因式，否则就违背等式的性质，会造成方程漏根．三、忽视二次项系数不为0的条件例3 关于ｘ的一元二次方程（ａ＋１）ｘ２＋ｘ＋ａ２－１＝０的一个根为０，则ａ＝ ．错解：将ｘ＝０代入方程，得ａ２－１＝０，解得ａ＝±１．剖析：因为方程为一元二次方程，所以二次项系数ａ＋１≠０，即ａ≠－１．错解忽视了二次项系数不为零，故正确答案应为ａ＝１．点评：在解此类问题时，要注意一元二次方程的二次项系数不为零这一条件．例4 当k 取什么值时，关于x 的方程（k －1）x 2＋2kx ＋k ＋3=0有两个不相等的实数根？ 错解：因为方程有两个不相等的实数根，所以Δ＝b 2－4ac=（2k ）2－4×（k －1）×（k ＋3）=－8k ＋12＞0，解得k<23. 剖析：错解在于没有注意二次项系数k-1≠0的隐含条件.因为方程有两个不相等的实数根，所以Δ＝b 2－4ac=（2k ）2－4×（k －1）×（k ＋3）=－8k ＋12＞0，解得k ＜23.又k-1≠0，即k ≠1.所以k ＜23且k ≠1时，方程有两个不相等的实数根. 点评：根的判别式使用的前提条件是一元二次方程，在解题时，须牢记二次项系数不为零的条件．。
一元二次方程中的常见错误
一元二次方程中的常见错误一、定义理解错误例题：错误分析：一元二次方程的定义中，“最高次数是二次”这个条件中实际包含了二次项系数不等于0，如果二次项系数为0，那么二次项也将不存在，也就不会有“最高次数是二次”，所以，我们在解答中务必要注意，二次项系数不为0这个隐含条件。
此题的解答中，当k=2时，二次项系数k-2=0,所以k=2应舍去。
故k=-2.二、应用直接开平方法时的错误例题：若(a+b-2)²=25，求a²+b²的值.错误分析：我们知道，a²、b²都是非负数，而两个非负数的和仍然是非负数，所以a²+b²=-3是错误的。
三、应用配方法中的错误例题：用配方法解方程：2x²-8x-10=0.错误分析：配方法的关键是“当二次项系数是1时，将方程两边同时加上一次项系数的一半的平方”，此题二次项系数不为1，要先化为1.四、应用公式法中的错误例题：用公式法解方程：3x²-7x=2.错误分析：用公式法解一元二次方程时，首先要将方程化为一般形式，以便确定a、b、c。
此题还未化为一般形式，就确定a、b、c的值。
所以导致错误。
五、应用等式性质时的错误例题：解方程：5(2x-1)²=x(2x-1).错误分析：此题是应用等式的性质来解方程。
但忽略了等式性质中的条件，等式的两边同时除以同一个“不为0的数”，等式不变。
所以，此题如果应用等式的性质来解，应分两种情况：(1)若2x-1=0,则得x=1/2,(2)若2x-1≠0，两边除以2x-1得，5(2x-1)=x,解得x=5/9.这样才不会漏解。
六、应用“根与系数的关系”时的错误已知x1,x2是关于x的一元二次方程x²+(2k+1)x+k²+1=0的两个不同的实数根，且x1+x2=-x1x2.求k值.错误分析：此题当k=0时，△＜0，而△＜0时方程不会有两个根。
一元二次方程常犯的4种错误
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一元二次方程常犯的4种错误（1）忽视定义的严谨性例1、 一元二次方程kx 2+2x-1=0有实数根，则k 的取值范围为_____错解：k ≥-1分析：一元二次方程有实数根，则△≥0，解得k ≥-1，根据一元二次方程的定义，同学们容易忽视二次项系数不为0，所以k ≠0。
所以正确答案：k ≥-1且k ≠0（2）忽略方程的分类讨论例2、方程0122=-+x kx 有实根，则k 的取值范围是______。
A ， k ≥1B ， k ≥-1C ， k ≥-1且k ≠0D ， k ≤-1错解：C本题没有指明，方程是一元一次方程，还是一元二次方程，所以解的情况需要分类讨论，当方程是一元二次方程式时，△≥0且k ≠0，结论是答案C ， k ≥-1且k ≠0，；当方程是一元一次方程式时，k=0，方程有实数根12，所以正确答案选B （3）忽略隐含的根的判别式的情况 例3、已知方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0，其两个根的平方和比两根的积大21，求m 的值．错解： 设已知方程的两根为x 1、x 2，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2(m －2)，x 1x 2＝m 2＋4 依题意，得即 (x 1＋x 2)2－3x 1x 2＝21∴[－2(m －2)]2－3(m 2＋4)＝21解这个方程，得m 1＝17，m 2＝－1．（以上解法忽略了“方程有两实数根”的条件，正确解法还需检验m 的取值对判别式的影响，所以正确解法如下：）又∵方程有两个实数根，∴△＝[2(m －2)]2－4×1×(m 2＋4)≥0 解得m ≤0∴m ＝17不合题意，舍去．∴m ＝－1．（4）忽略隐含的根的取值范围例4、例3、在Rt △ABC ，∠C ＝90°，斜边c ＝5，两直角边的长a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋2m －2＝0两个根，求m 的值．错解：∵ a 、b 是方程 x 2－x ＋2m －2＝0 的两个根，∴ a ＋b ＝m ，ab ＝2m －2．在Rt △ABC 中，由勾股定理得a 2＋b 2＝c 2．而a 2＋b 2＝（a ＋b ）2－2ab ，c ＝5，∴ （a ＋b ）2－2ab ＝52．即 m 2－2（2m －2）＝25．解关于m 的方程，得m 1＝7，m 2＝－3．以上解法忽略了“边b 和a 的非负性”，正确解法还需检验k 的取值对根的正负性的影响。
第07讲 一元二次方程(易错点梳理+微练习)(解析版)
第07讲一元二次方程易错点梳理易错点梳理易错点01忽略一元二次方程中0 a 这一条件在解与一元二次方程定义有关的问题时，一定要注意一元二次方程的二次项系数不等于0这一条件。
易错点02利用因式分解法解一元二次方程时出错（1）对因式分解法的基本思想理解不清，没有将方程化为两个一次因式相乘的形式；（2）在利用因式分解法解一元二次方程时忽略另一边要化成0；（3）产生丢根的现象，主要是因为在解方程时，出现方程两边不属于同解变形，解题时要注意方程两边不能同时除以一个含有未知数的项。
易错点03利用公式法解方程时未将方程化为一般形式在运用公式法解方程时，一定要先将方程化为一般形式，从而正确的确定c b a ,,，然后再代入公式。
易错点04根的判别式运用错误运用根的判别式判断一元二次方程的根的情况时，必须先把方程化为一般形式，正确的确定c b a ,,。
易错点05列方程解应用题时找错等量关系列方程解应用题的关键是找对等量关系，根据等量关系列方程。
例题分析考向01一元二次方程的有关概念例题1：（2021·山东聊城·中考真题）关于x 的方程x 2＋4kx ＋2k 2＝4的一个解是﹣2，则k 值为（）A ．2或4B ．0或4C ．﹣2或0D ．﹣2或2【答案】B例题2：（2021·贵州遵义·中考真题）在解一元二次方程x 2+px +q ＝0时，小红看错了常数项q ，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P ，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（）A ．x 2+2x ﹣3＝0B ．x 2+2x ﹣20＝0C ．x 2﹣2x ﹣20＝0D ．x 2﹣2x ﹣3＝0【答案】B【思路分析】分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案.【解析】解： 小红看错了常数项q ，得到方程的两个根是﹣3，1，所以此时方程为：()()310,x x +-=即：2230,x x +-= 小明看错了一次项系数P ，得到方程的两个根是5，﹣4，所以此时方程为：()()540,x x -+=即：2200,x x --=从而正确的方程是：22200,x x +-=故选：.B 【点拨】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根构建方程的方法是解题的关键.考向02一元二次方程的解法例题3：（2013·浙江丽水·中考真题）一元二次方程()2x 616+=可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x 64+=，则另一个一元一次方程是（）A ．x 64-=-B ．x 64-=C ．x 64+=D ．x 64+=-【答案】D【解析】将()2x 616+=两边开平方，得x 64+=±，则则另一个一元一次方程是x 64+=-．故选D ．例题4：（2021·内蒙古赤峰·中考真题）一元二次方程2820x x --=，配方后可形为（）A ．()2418x -=B ．()2414x -=C ．()2864x -=D ．()241x -=【答案】A【思路分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程作边写成完全平方形式即可【解析】解：2820x x --=x 2-8x =2，【点拨】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x +m ）2=n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．考向03一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例题5：（2021·广西河池·中考真题）关于x 的一元二次方程220x mx m +--=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．实数根的个数由m 的值确定【答案】A【思路分析】先确定a 、b 、c 的值，计算24b ac -的值进行判断即可求解．【解析】解：由题意可知：a =1，b =m ，c =-m -2，∴()()2222=4=41248244b ac m m m m m ∆--⨯⨯--=++=++≥，∴方程有两个不相等实数根．故选A.【点拨】本题考查一元二次方程根的判别式，是常见考点，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根，熟记判别式并灵活应用是解题关键．例题6：（2021·山东济宁·中考真题）已知m ，n 是一元二次方程220210x x +-=的两个实数根，则代数式22m m n ++的值等于（）A ．2019B ．2020C ．2021D ．2022【答案】B 【思路分析】根据一元二次方程根的定义得到22021m m +=，则22=2021+m m n m n +++，再利用根与系数的关系得到1m n +=-，然后利用整体代入的方法计算．【解析】解：∵m 是一元二次方程220210x x +-=的实数根，∴220210m m +-=，∴22021m m +=，∴2222021m m n m m m n m n ++=+++=++，∵m 、n 是一元二次方程220210x x +-=的两个实数根，故选：B ．【点拨】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两根时，12b x x a +=-，12c x x a=．也考查了一元二次方程的解．考向04列一元二次方程解应用题例题7：（2021·山东滨州·中考真题）某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．（1）求该商品每次降价的百分率；（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？【答案】（1）10%；（2）6件【思路分析】（1）根据某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同，可设每次降价的百分率为x ，从而可以列出方程60（1-x ）2=48.6，然后求解即可；（2）根据题意和（1）中的结果，可以列出相应的不等式，然后即可求得第一次降价出售的件数的取值范围，再根据件数为整数，即可得到第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价．【解析】解：（1）设该商品每次降价的百分率为x ，60（1-x ）2=48.6，解得x 1=0.1，x 2=1.9（舍去），答：该商品每次降价的百分率是10%；（2）设第一次降价售出a 件，则第二次降价售出（20-a ）件，由题意可得，[60（1-10%）-40]a +（48.6-40）×（20-a ）≥200，解得a ≥5527，∵a 为整数，∴a 的最小值是6，答：第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价．【点拨】本题考查一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系和不等关系，列出相应的方程和不等式，第一问是典型的的下降率问题，是中考常考题型．【答案】5【思路分析】根据日历上数字规律得出，圈出的四个数最大数与最小数的差值为8，设最小数为x ，则最大数为+8x ，结合已知，利用最大数与最小数的乘积为65列出方程求解即可．【解析】解：设这个最小数为x ．根据题意，得()865x x +=．解得15=x ，213x =-（不符合题意，舍去）．答：这个最小数为5．【点拨】此题主要考察了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握日历的特征，根据已知得出的最大数与最小数的差值是解题的关键．微练习一、单选题1．（2021·福建·厦门一中三模）对于一元二次方程20ax bx c ++=()0a ≠，下列说法：①若0a b c ++=，则240b ac -≥；②若方程20ax c +=有两个不相等的实根，则方程20ax bx c ++=()0a ≠必有两个不相等的实根；③若c 是方程20ax bx c ++=的一个根，则一定有10ac b ++=成立；④若0x 是一元二次方程20ax bx c ++=的根，则()22042b ac ax b -=+．其中正确的有（）【分析】解：①若a +b +c =0，则x =1是方程ax 2+bx +c =0的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：Δ=b 2-4ac ≥0，故①正确；②方程ax 2+c =0有两个不相等的实根，∴Δ=0-4ac ＞0，∴-4ac ＞0则方程ax 2+bx +c =0的判别式Δ=b 2-4ac ＞0，∴方程ax 2+bx +c =0必有两个不相等的实根，故②正确；③∵c 是方程ax 2+bx +c =0的一个根，则ac 2+bc +c =0，∴c （ac +b +1）=0，若c =0，等式仍然成立，但ac +b +1=0不一定成立，故③不正确；④若x 0是一元二次方程ax 2+bx +c =0的根，则由求根公式可得：x 0，∴2ax 0+b ∴b 2-4ac =（2ax 0+b ）2，故④正确．故正确的有①②④，故选：C．2．（2021·黑龙江牡丹江·模拟预测）关于x 的一元二次方程()22395m x m x x -+=+化为一般形式后不含一次项，则m 的值为（）A．0B．±3C．3D．－3【答案】D 【分析】解：∵()22395m x m x x -+=+，∴()()223950m x m x -+--=，由题意得：m －3≠0且m 2－9＝0，A．1B．2C．3D．4【答案】D 【分析】解方程2540x x -+=,分解因式，得()()140x x --=121,4x x ==将1x =代入24ax bx c ++=，得4a b c ++=．故选D.4．（2021·河南涧西·三模）定义()224a b a a b =+-+★，例如()2373372428=+⨯-+=★，若方程0x m =★的一个根是1-，则此方程的另一个根是（）A．2-B．3-C．4-D．5-【答案】C【分析】解：∵2(2)4x m x m x =+-+★∴2(2)4=0x m x +-+∵方程2(2)4=0x m x +-+的一个根是1-，设另一个根为t ，则有：14t -⨯=解得，4t =-，故选：C5．（2021·广东·惠州一中一模）若m ，n 为方程2310x x --=的两根，则m n +的值为（）A．1B．1-C．3-D．3【答案】D【分析】解：m ，n 为方程2310x x --=的两根，3m n ∴+=．故选D．6．（2021·广东·西南中学三模）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．2x 2﹣4x +3＝0B．x 2+4x ﹣1＝0C．x 2﹣2x ＝0D．3x 2＝5x ﹣2【答案】A【分析】解：A 、Δ＝（﹣4）2﹣4×2×3＝﹣4＜0，则方程没有的实数根，所以A 选项符合题意；B 、Δ＝42﹣4×1×（﹣1）＝20＞0，则方程两个不相等的实数根，所以B 选项不符合题意；C 、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以C 选项不符合题意；D 、Δ＝（﹣5）2﹣4×3×2＝1＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以D 选项不符合题意．故选：A．【答案】D【分析】解：由题意得，当抛物线与y 轴有1个交点，与x 轴只有1个交点时，则22424(2)0b ac a ∆=-=--=解得12a =-3a ∴=当图象过原点并和x 轴有2个交点时，则0=a −22a ∴=故选：D．8．（2021·广东·珠海市紫荆中学三模）直线y x a =+经过第一、三、四象限，则关于x 的方程220x x a ++=实数解的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．以上都有可能【答案】C【分析】解： 直线y x a =+经过第一、三、四象限，∴a ＜0，∴△2240a =->，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C．9．（2021·四川省宜宾市第二中学校一模）受新冠影响，某股份有限公司在2020年3月份销售口罩的核心材料熔喷无纺布的收入为2.88万元，而在1月份的销售收入仅为2万元，那么该股份有限公司在2020年第一季度的销售收入月增长率为（）A．0.2%B．－2.2%C．20%D．220%【答案】C【分析】解：设第一季度的销售收入月增长率为x ，由题意得2（1+x ）2＝2.88，解得：x 1＝20%，x 2＝-2.2（不合实际舍去）．答：第一季度的销售收入月增长率为20%．故选C．A．2181x x ++=B．()2181x +=C．()21181x x +++=D．()()211181x x ++++=【答案】B 【分析】设每人每轮平均感染x 人，由题意得，x （x +1）+x +1=81，即()2181x +=．故答案为：()2181x +=．11．（2021·黑龙江佳木斯·三模）商场购进一批衬衣，进货单价为30元，按40元出售时，每天能售出500件．若每件涨价1元，则每天销售量就减少10件．为了尽快出手这批衬衣，而且还能每天获取8000元的利润，其售价应该定为（）A．50元B．60元C．70元D．50元或70元【答案】A【分析】解：设售价定为x 元时，每天赚取利润8000元，由已知得：()()3050010408000x x 轾---=臌，整理得：212035000x x -+=，解得：150x =或270x =∵尽量减少库存，∴50x =，故选：A．12．（2021·河北桥东·二模）若x 比()1x -与()1x +的积小1，则关于x 的值，下列说法正确的是（）A．不存在这样x 的值B．有两个相等的x 的值C．有两个不相等的x 的值D．无法确定【答案】C【分析】解：由题意，得()()111x x x +--=，2即12x =，21x =-，故选C．二、填空题13．（2021·湖南师大附中博才实验中学二模）已知1x =是一元二次方程20x x c ++=的解，则c 的值是___________．【答案】-2【分析】解：把x =1代入方程x 2+x +c =0，可得1+1+c =0，解得c =-2．故答案是：-2．14．（2021·广东·江门市第二中学二模）设a 为一元二次方程22520210x x +-=的一个实数根，则26152a a ++=______．【答案】6065【分析】解：∵a 为一元二次方程22520210x x +-=的一个实数根，∴22520210a a +-=，∴2252021a a +=，∴26152a a ++()23252a a =++320212=⨯+6065=故答案为：6065．15．（2021·内蒙古包头·三模）已知a 是方程260x x +-=的解，求22341121a a a a a -⎛⎫-+÷= ⎪+++⎝⎭_____________．【答案】2【分析】解：22341121a a a a a -⎛⎫-+÷ ⎪+++⎝⎭=()()()222231111a a a a a a +-⎛⎫--÷ ⎪+++⎝⎭=()()()2214122a a a a a +-⨯++-∵a 是方程260x x +-=的解，∴260+-=a a ，∴()()230a a -+=，解得：a =2或a =-3，∵a ≠2，∴当a =-3时，原式=-（-3）-1=2，故答案为：2．16．（2021·内蒙古·呼和浩特市回民区教育局教科研室二模）方程x 2＝x 的解为___．【答案】0x =或【分析】2x x =，20x x -=，()10x x -=，0x =或1x =；故答案是：0x =或1x =．17．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）小丽在解一个三次方程x 3－2x ＋1＝0时，发现有如下提示：观察方程可以发现有一个根为1，所以原方程可以转化为(x －1)(x 2＋bx ＋c )＝0．根据这个提示，请你写出这个方程的所有的解______．【答案】12-或1【分析】解：∵(x －1)(x 2＋bx ＋c )＝0，∴()()321=0x b x c b x c +-+--，又由题意得：()()33221=1x x x b x c b x c -++-+--，∴1021b c b c -=⎧⎪-=-⎨⎪-=⎩解得：11b c =⎧⎨=-⎩∴由求根公式得：x =则原方程所有的解为：1，故答案为：12-或1．18．（2021·江苏·苏州市立达中学校二模）若关于x 的一元二次方程2(2)20mx m x +++=的根都是整数，则整数m 的最大值是________．【答案】2【分析】把原方程利用因式分解法分解因式可得：(2)(1)0mx x ++=，∴20mx +=或10x +=，解得：2x m=-或1x =-，∵方程两个实数根都是整数且整数0m ≠，∴m 为1,2±±．∴最大值为2.故答案为：2．三、解答题19．（2021·广东·深圳市宝安中学（集团）模拟预测）解下列方程．（1）()2233x x -=-．（2）22530x x -+=．【答案】（1）x 1=3，x 2=72（2）x 1=32，x 2=1．【分析】（1）()2233x x -=-．()()22330x x ---=()()32310x x ---=⎡⎤⎣⎦()()3270x x --=∴x -3=0或2x -7=0解得x 1=3，x 2=7∴2x -3=0或x -1=0解得x 1=32，x 2=1．20．（2021·陕西·西安益新中学模拟预测）解方程：2x (x ﹣3)+x =3【答案】x 1=3，x 2=﹣12【分析】解：移项，得2x （x -3）+（x -3）=0，提公因式，得（x -3）（2x +1）=0，解得x 1=3，x 2=-12．21．（2021·广东·铁一中学二模）解方程：()2131x x -=+【答案】1x =-或4x =【分析】∵()2131x x -=+∴2340x x --=∴()()140x x +-=∴1x =-或4x =．22．（2021·浙江·杭州市丰潭中学二模）已知代数式5x 2﹣2x ，请按照下列要求分别求值：（1）当x ＝1时，代数式的值．（2）当5x 2﹣2x ＝0时，求x 的值．【答案】（1）3；（2）0或25．【分析】解：（1）当x ＝1时，5x 2﹣2x ＝5﹣2＝3；（2）5x 2﹣2x ＝0，分解因式得：x （5x ﹣2）＝0，可得x ＝0或5x ﹣2＝0，解得：x ＝0或x ＝25．23．（2021·广东·珠海市文园中学三模）已知关于x 的一元二次方程2(21)210k x x -++=有实数根．（1）求k 的取值范围；【分析】解：（1）∵2(21)210k x x -++=有实数根，∴240b ac ∆=-≥；∴()44210k --≥，解得：1k ≤，∵210k -≠，∴12k ≠，∴k 的取值范围为1k ≤且12k ≠；（2）把12k =-代入2(21)210k x x -++=，得22210x x -++=，移项得：2221x x -+=-，系数化为1得：212x x -=，配方得：21324x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得：122x -=±，∴1x =2x =．24．（2021·重庆实验外国语学校三模）永川黄瓜山，林场万亩、环境优美，山势雄伟、地貌奇特，现已成为全国面积最大的南方早熟梨基地，品种以黄花梨为主，还有黄冠、圆黄、红梨、鄂梨2号等．永川梨香甜，脆嫩，皮薄，多汁．2020年，永川梨入选第一批全国名特优新农产品名录．（1）某水果经销商第一批购进黄花梨5000千克，黄冠梨2000千克，黄冠梨每千克的进价比黄花梨的进价每千克多2元，经销商所花费的费用不超过60000元，求黄花梨每千克进价最多为多少元？（2）在第（1）问最高进价的基础上，随着梨大量成熟，该水果经销商第二批购进的黄花梨的数量比第一批的数量增加了2a %，第二批购进的黄冠梨的数量不变，黄花梨的进价减少了12a %，黄冠梨的进价减少了2a %，第二批购进梨的总成本与第一批购进梨的总成本相同，求a 的值．【答案】（1）8元；(2)50【分析】解：（1）设黄花梨的进价每千克x 元，黄冠梨每千克的进价为（x +2）元，所以5000x+2000（x +2）≤60000，（2）由（1）得：15000(12%)8(1%)200010(12%)600002a a a +⨯-+⨯-=，解得：a =50，（0a =舍去）答：a 得值为50.25．（2021·辽宁·建昌县教师进修学校二模）某儿童玩具店销售一种玩具，每个进价为60元，现以每个100元销售，每天可售出20个，为了迎接六一儿童节，店长决定采取适当的降价措施，经市场调查发现：若每个玩具每降价1元，则每天多售出2个．设该玩具的销售单价为x （元），日销售量为y （个）．（1）求y 与x 之间的函数关系式．（2）为了增加盈利，减少库存，且日销售利润要达到1200元，销售单价应定为多少元？（3）若销售单价不低于成本价，每个获利不高于成本价的30%，将该玩具的销售单价定为多少元时，玩具店每天销售该玩具获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）2220y x =-+；（2）销售单价应定为80元；（3）销售单价定为78元时，玩具店每天销售该玩具获得的利润最大，最大利润是1152元【分析】解：（1）根据题意，得：202(100)y x =+-，即2220y x =-+，∴y 与x 之间的函数关系式为2220y x =-+；（2）(60)(2220)1200x x --+=，217072000x x -+=，解，得180x =，290x =（不合题意，舍去），答：销售单价应定为80元；（3）设日销售利润为w 元，根据题意，得(60)(2220)w x x =--+2234013200x x =-+-22(85)1250x =--+，∵2a =-＜0，∴抛物线开口向下，w 有最大值，由已知606030%78+⨯=，∴60≤x ≤78，答：销售单价定为78元时，玩具店每天销售该玩具获得的利润最大，最大利润是1152元．。
初中数学专题复习解一元二次方程时一些常见的失误分析(含解答)
解一元二次方程时一些常见的失误分析摘要:一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中代数中占重要地位，因此,让学生正确掌握一元二次方程的有关知识是非常必要的。
本文通过我在多年数学教学过程中对学生的作业、观察、分析，发现了解一元二次方程时学生易出现失误的九个方面问题，分别举例分析说明，以便教学时提示学生正确解题。
关键词：方程失误分析一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中代数中占有重要的地位，一元二次方程是中考的必考内容，是重点问题，是历年来全国各地中考的热点，也是今后学习各类方程以及不等式、函数等知识的基础。
下面我对一元二次方程经常在作业或考试中常被忽视的问题作一些分析。
一、忽视方程是一元二次方程而造成失误例1、解方程：5x2=4x4误解：方程两边同时除以x，得x＝5分析：误解的根本原因是，忽视了方程同解原理2的条件，方程两边同除以的x也可能为零，因而导致失误。
或者说这是一个一元二次方程它有两个根，正确的解法是：5x24－4x=0 x(5x－4)=0 x1=0 x2=5例2、关于x的方程（m－1）x2－2（m－3）x＋m＋2＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围。
误解：∵原方程有两个不相等的实数根∴Δ＞0即Δ＝［－2（m－3）］2－4（m－1）（m＋2）＝－28m＋4411－28m＋44＞0m＜7∴ m ＜711时，原方程有两个实数根 分析：本题忽视二次项系数不能为零 m －1≠0 m ≠1 正确的是：∴当m ＜711且m ≠1时，原方程有两个不相等的实数根 说明：在解一元二次方程时，若方程是一元二次方程，那么它有两个实数根，并且二次项系数不能为零。
二、误以为方程是一元二次方程而造成失误例3、m 为何值时，关于x 的方程（m －4）x 2－（2m －1）x ＋m=0有实数根。
误解：∵方程有实数根 ∴Δ≥0且m ≠4Δ＝[－（2m －1）]2－4（m －4）m ＝4m 2－4m ＋1－4m 2＋16m ＝12m ＋1 12m ＋1≥0且m ≠4，m ≥－121且m －4≠0 正确的解法是：Δ≥0 即：m ≥－121 分析：造成错误的原因是把方程误以为一元二次方程。
解一元二次方程问题时的常见错误剖析
= 0 的两根 , x1 + x2 = k, ①
2
∴ x1 x2 = 5 ( k - 5 ) , ②
2 x1 + x2 = 7. ③
x1 = 7 - k, x2 = 2 k - 7.
k≤
2
① ②
9 . 16 9 且 k ≠ 0时原方程有两个实数根 . 16
① - ②得 : ( k - 1 ) x0 - k + 1 = 0,
( k - 1 ) x0 - ( k - 1 ) = 0, ( k - 1 ) ( x0 - 1 ) = 0.
∴k ≤
∴k = 1 或 x0 = 1. 当 k = 1 时 , 把 k = 1 代入原方程得 :
例 5 关于 x 的方程 : kx - 3 x + 4 = 0 有 实数根 , 求 k 的取值范围 . Δ = ( - 3 ) 2 - 4 ×4 k ≥ 0, 错解 ∵
9 ∴k ≤ . 16
2
题意得 :
x0 + kx0 - 1 = 0, x + x0 + ( k - 2 ) = 0.
2 0 2
错解 设 x1 , x2 是方程 2 y + ( m - 2m 15 ) y + m = 0 的两个实数根 , 则有 :
2
2
x1 + x2 = 0, ∴m
2
由 ①和 ③可知 :
- 2m - 15
2
= 0.
∴由 ②得 : ( 7 - k ) ( 2 k - 7 ) = 5 ( k - 5 ) . 解得 : k = 2 或 k = 6. Δ” 经检验“ 均大于 0. ∴k = 2 或 6. 剖析 两根异号的条件是 : ac < 0, 而当
解一元二次方程的常见失误
解一元二次方程的常见失误有关一元二次方程的公共根问题的一般解法是：设公共根为a ，则a 同时满足两个一元二次方程；用加减消元法消去2a 的项，求出公共根或公共根的有关表达式；把公共根代人原方程中的任何一个方程就可以求出字母系数的值或字母系数的关系式．但许多同学在具体的解题过程中常常会出现如下一些失误：一、对字母系数不加讨论而造成失误例1 当k 取何值时，方程032=-+kx x 和方程032=-+k x x 有公共根？并求出公共根．错解 设两个方程的公共根为a ，则有032=-+ka a ，032=-+k a a ．两式相减，并整理得到 )1(3)1(--=-k a k ， （*）∴3-=a ．当3-=a 时，代入其中的任何一个方程求得2=k ．∴当3-=a 时，方程公共根为－3．剖析 由于在解（*）时，未对是01=-k 的情况加以考虑，从而漏掉了1=k ．事实上，当1=k 时，两个方程同为032=-+x x ，它们的解为2131±-=x ，表示此时方程有两个公共根，也符合有公共根的要求．因此正确的结论为：当2=k 时，3-=a ；当1=k 时，2131±-=a ． 二、对解出的字母系数和公共根的关系分不清而造成失误例2 已知关于x 的—元二次方程052=++-m mx x 和方程0715)18(2=+++-m x m x 只有一个公共根，求m 及公共根．错解 设两个方程的公共根为a ，则有052=++-m ma a ，0715)18(2=+++-m a m a ．两式相减并整理得到：)17(2)17(+=+m a m ，即0)2)(17(=-+a m ．∴2,21=-=a m ． 因此21-=m ，公共根2=a ． 剖析 造成失误的原因是没有搞清楚71-=m 和2=a 是不能同时成立的．事实上，当71-=m 时，方程为0734712=++x x ，此方程由于△<0无解，因此无公共根可言．而当2=a 时代入其中的任一个方程解得m = 9．所以正确的结论是：当m = 9时，公共根为2=a ．三、对结论不检验而造成失误例3 k 取何正整数时，方程012)2(2=++-x k x 和方程030)13(22=++-x k x 有一整数公共根．错解 设方程的公共根为a ，则有012)2(2=++-a k a ， ①030)13(22=++-a k a ． ②①× 2－②得到 6)3(=-a k ．∵a 为整数根，∴)3(-k 必为6的约数．∴13±=-k ，±2，±3，±6．解之得到：=k －3，0，1，2，4，5，6，9．又∵k 为大于零的整数．∴=k 1，2，4，5，6，9．剖析 本结论看似符合要求，但经检验当=k 1，2，4时方程无解，当然就不符合要求，当9=k 时，方程虽然有根，但不是整数根，因此只有=k 5、6时符合要求．。
一元二次方程中常见的错误分析
一元二次方程中常见的错误分析在复习一元二次方程时，学生出现以下失误，主要原因是对知识点掌握不扎实；应用不熟练。
1、 利用方程的解时忽略二次项系数不为零的条件已知一元二次方程0437122=-+++-m m mx x m ）（有一个根为零，求m 的值.错解：∵方程0437122=-+++-m m mx x m ）（有一个根为零∴m 2+3m -4=0 即（m +4）（m -1）=0 ∴m 1=-4，m 2=1错误原因：忽略m -1≠0，因为一元二次方程的二次项系数不能为零。
正确解法：∵方程0437122=-+++-m m mx x m ）（有一个根为零∴m 2+3m -4=0 即（m +4）（m -1）=0 ∴m 1=-4，m 2=1 又∵m -1≠0 ∴m =42、利用根与系数的关系时，忽略一元二次方程根存在的条件。
已知关于x 的一元二次方程()2120x m x m --++=． （1）若方程有两个相等的实数根，求m 的值；（2）若方程的两实数根之积等于292m m -+在解（2）时，学生错误的解为：解：因为X 1、X 2是一元二次方程()2120x m x m --++=的两根， 所以X 1X 2=m +2又方程的两实根之积292m m -+所以m +2=292m m -+解得：M 1=10 M 2=026错误分析：出错的原因没有对取得的m 值带入b 2-4ac 检验。
当m 值为0时，b 2-4ac ﹤0.以上这些错误，一说学生就明白，但是学生往往忽略这一点，我认为在复习过程，老师如果在审题及从题目考察知识点引导学生复习这部分内容，学生就能养成审题严密，考虑问题全面的能力。
学生在数学学习中犯错误，是由于重新构建数学知识过程中发生了偏差，它本身体现了数学学习的过程。
有道是失败是成功之母，学生在数学学习中犯错误并对错误加以认识和反思，恰恰是学生获得和巩固数学知识的重要途径。
因此，教师不仅不必担心，还要充分利用学生典型错误改善教学。
一元二次方程错解分析
一元二次方程错解分析一元二次方程问题是初中代数之重点，也是中考之热点.许多同学在解题时由于受思维定势的影响，往往会对题目中的隐含条件重视不够，因而出现错解.下面举例说明，希望引起同学们注意.一、忽视方程解的定义例1 若关于x 的方程240x x c -+=有一个根是2，则c 的值是 . 错解 有的同学一看到一元二次方程有一个根，就想到0∆=，于是， 224(4)411640b ac c c -=--⨯⨯=-=，解得4c =.剖析 这种错误是由于审题不仔细造成的.解此题的依据是方程解的定义，解题方法是将2x =直接代入，求得未知字母的值. 22420c -⨯+=，解得4c =-.二、忽视将一元二次方程化成一般形式例2 用公式法解方程: 226x x -+=.错解 ∵2,1,6a b c ==-=∴24b ac ∆=-2(1)426=--⨯⨯ 14847=-=- 0<.∴此方程没有实数根.剖析 错解中没有将方程化成一般形式，造成系数中常数项c 的错误.应该先移项得到 2260x x --=则2,1,6a b c ==-=-.∴24b ac ∆=-2(1)42(6)=--⨯⨯-14849=+=.根据公式法有，2b x a-=(1)917224--±==⨯ ∴1232,2x x ==-. 三、忽视一元二次方程的解的个数例3 一元二次方程(1)x x x -=的解是 .错解(1)方程两边同除以x ，得10x -=，即1x =.(2)方程两边同除以x ，得11x -=，即2x =.剖析错解(1)中，方程两边同除以因式x 时，误认为既然右边没有了未知数，即右边为0.而错解(2)中，方程两边同除以因式x ，忽视了因式0x =的情况，不属于同解变形，违背了等式的性质，造成漏解.因为方程(1)x x x -=是一元二次方程，因此若有解，则有两个解.正确解法应该先将方程变形为(1)0x x x --=，则(11)0x x --=，即120,2x x ==.四、忽视一元二次方程的二次项系数例4已知关于x 的方程22(2)(21)10m x m x -+++=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( ) (A)34m >(B)34m ≥ (C)34m >且2m ≠ (D)34m ≥且2m ≠ 错解24b ac ∆=-22(21)4(2)m m =+--224414(44)m m m m =++--+0> 解得34m >∴当34m >时，方程有两个不相等的实数根. 剖析 注意已知条件中的关键词是，方程有两个不相等的实数根，显然此方程必为一元二次方程，所以二次项系数2(2)0m -≠即2m ≠.因此错解中漏掉了2m ≠.正确答案为34m >且2m ≠. 五、忽视对题中关键词的理解例5 已知关于x 的方程2(5)410a x x ---=有解，那么a 的取值范围是( )(A)1a ≥ (B)1a >且5a ≠(C)1a ≥且5a ≠ (D)5a ≠错解 由于方程为一元二次方程，故5a ≠，且24b ac ∆=-2(4)4(5)(1)a =--⨯-⨯-0≥.得1a ≥且5a ≠.剖析 错解中忽视了关键词“关于x 的方程”，这里并未指明方程的类型.事实上，此方程2(5)410a x x ---=有两种可能:若方程为一元二次方程，则“有解”与“有两个实数根”是等同的，则1a ≥且5a ≠; 若方程为一元一次方程，则5a =，解得14x =-，即5a =也符合题意. 所以本题的正确答案是1a ≥. 例6 已知关于x 的一元二次方程28(1)70x m x m +++-=有两个负数根，那么实数m 的取值范围是 .错解 ∵一元二次方程有两个负数根，∴24b ac ∆=-2(1)48(7)m m =+-⨯⨯-2(15)0m =-≤，即15m ≥.剖析 错解中忽视了关键词“两个负数根”的条件.事实上，一元二次方程有两个负数根需要满足以下条件:(1)24b ac ∆=-2(1)48(7)m m =+-⨯⨯-2(15)0m =-≤，(2)12108m x x ++=-<; (3 )12708m x x -=>g . ∴7m ≥. 六、忽略判别式24b ac ∆=-存在的条件例7 已知1x ，2x 是关于x 的一元二次方程22(21)10x m x m ++++=的两个实数根.当221215x x +=时，求m 的值. 错解 由根与系数的关系，得12(21)x x m +=-+，2121x x m =+.∵222121212()2x x x x x x +=+-22[(21)]2(1)m m =-+-+2241m m =+-又221215x x +=， ∴224115m m +-=∴14m =-，22m =.剖析 一元二次方程的根与系数的关系是以判别式240b ac -≥为前提，才能确保一元二次方程有两个实数根.错解中忽略了原方程有两根的条件0∆≥，未将求出的m 的值代入判别式中检验而造成错误.因为当4m =-时，方程为27170x x -+=，此时， 2(7)4171∆=--⨯⨯190=-<，方程无实数根，不符合题意.故只有一个解2m =.七、忽视题中隐含条件例8 已知22222()()60a b a b +-+-=，则22a b +的值为_.错解2222(3)(2)0a b a b +-++=，2230a b +-=，或2220a b ++=，即223a b +=，或2-.剖析 此题大部分学生都会用整体的思想进行因式分解来解一元二次方程，但忽略了220a b +≥是非负数，故而出错.正确答案是223a b +=.通过以上几例错解剖析，提醒同学们在运用一元二次方程有关基本知识、基本技能和基本解题思路解题的同时，要注意挖掘题目中的隐含条件，并对所解答案进行分析，并判断其合理性.要学会反思，同时要注重分类讨论思想在解题中的合理运用.。
一元二次方程的常见错误解法教案
一元二次方程的常见错误解法教案。
一、错误解法一：因式分解错误1、常见错误：将x²+5x-14的分解式写成(x+7)(x-2)，而将x²+5x+6的分解式错误地写成了(x+2)(x+3)。
2、解决办法：学生首先要理解一元二次方程的根的概念，明确根与因式分解之间的联系。
要掌握因式分解的方法，熟记常见公式和技巧。
3、练习：将x²+6x+8和x²+6x+9分别因式分解为(x+m)(x+n)的形式，并求出m和n的值。
二、错误解法二：开平方错误1、常见错误：出现将负数开平方的情况，例如将√-2x-4写成了2√-x-2。
2、解决办法：学生首先要掌握平方根的基本定义和性质，明确在实数范围内平方根的取值。
同时，要学会化简复杂的平方根式，化缩根为整数或分数。
3、练习：化简下列各式，并指出其平方根的大致值：√12，√1800，√0.4。
三、错误解法三：反演问题1、常见错误：将一元二次方程的求根过程反过来，直接将已知的根带入一元二次方程的表达式，并得出错误的答案。
2、解决办法：学生必须深入理解一元二次方程的解题方法，而不仅仅是记住公式和技巧。
必要时，需要创新性地运用已有的知识和技能，将其应用到新问题的探索中。
3、练习：给定x²-6x+9=0和2x²-7x+3=0的两个根a和b，试求出下列各式的准确值：a+b，a²+b²，(a+b)²，a³+b³。
四、错误解法四：代入法误解题目1、常见错误：在代入法解题时，没有正确穷理题目的限制条件，从而得出与题目要求不符的结论。
2、解决办法：学生必须逐步提高对题目的敏感度和理解力，注意对题目中的各种约束条件进行分析，掌握判断代入答案是否合理的技巧。
3、练习：解方程：2(3x+2)+3(x-1)=x(x+1)，写出该方程的求解步骤，并检验在所求解中是否满足x≠-1？五、错误解法五：未保留精度1、常见错误：在计算过程中，未能保留足够的有效数字，导致最终答案出现较大的误差。
一元二次方程有关问题常见错例剖析
一元二次方程有关问题常见错例剖析摘要:本文通过举例列举了一元二次方程有关问题常见错例及原因剖析.关键词: 忽视"0"≠a ,忽视"0"≥∆,忽视"0"≥∆与"0"≠a .一元二次方程是初中代数的一个极为重要的内容.笔者通过十多年的教学发现，同学们在解有关一元二次方程的问题时，常常容易忽视方程)0(02≠=++a c bx ax 的“a ”与“∆”.错误有以下几种情况：一、已知方程有两个实数根，解题时忽视"0"≠a . 例1 关于x 的方程01)12(22=+-+x k x k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围.错解 根据题意，得04)12(22>--=∆k k解得41<k 41<∴k 当时，方程有两个不相等的实数根.剖析 此解法的错误比较典型，错误的原因在于对一元二次方程的概念理解不透，忽视了运用根的判别式时方程必须是一元二次方程，即必有二次项系数02≠k .因此，正确的答案是41<k 且0≠k .二、利用根与系数的关系解题时，忽视"0"≥∆例2 已知方程设关于x 的方程02)12(22=-+++k k x 的两个实数根的平方和为11，求k 的值.错解 设所给方程的根为1x 、2x ，则2),12(22121-=+-=+k x x k x x1542)2(2)]12([2)(222212212221++=--+-=-+=+k k k k x x x x x x ∴1115422=++k k3,121-==∴k k .剖析：关于x 的二次方程的两个实根的平方和为11，首先要保证它有实根为前提，所以，此解忽视了判别式Δ≥0这一隐含条件.本题中，当1=k 时，0>∆；而当3-=k 时，0<∆原方程无实数根.故取1=k .三、利用根与系数的关系解题时，忽视"0"≥∆与"0"≠a . 例3 关于x 的方程01)12(22=+-+x k x k 的两实数根互为倒数,求k 的值.错解 1x 与2x 互为倒数,∴121=x x .即112=k∴ 1±=k所以所求的k 的值为: 1±=k剖析 方程有两实数根,就说明了这个方程是一元二次方程即二次项系数02≠k ,且它的判别式0≥∆.正确的解法为：解 根据题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≥--=∆≠1104)12(0221222k x x k k k解得 1-=k以上数例告诉我们：凡是遇到一元二次方程的实数根有关的问题时，都应考虑一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的二次项系数"0"≠a 及方程有实数根的条件0≥∆.。
“一元二次方程”常见错解原因分析及教学建议
“一元二次方程”常见错解原因分析及教学建议作者：柴国栋来源：《广西教育·A版义务教育》 2015年第10期□甘肃省平凉市庄浪县水洛中学柴国栋【关键词】《一元二次方程》常见错解原因分析教学建议【中图分类号】G 【文献标识码】A【文章编号】0450-9889（2015）10A-0084-02《一元二次方程》是初中数学教学中十分重要的内容，也是重要的考点。
但我们经常发现在学习相关知识时，有些学生由于对一元二次方程概念所隐含的条件和实质没有充分认识、理解和把握，导致思维出现偏差，理解错误，进而在运用它来解决实际问题时常会出现一些错误。
现从一元二次方程概念的理解掌握以及解一元二次方程出现的常见错误，并对导致错误的原因进行分析，以期帮助学生提高对相关知识的认识和理解，培养其思维的严谨性、逻辑性和敏捷性，提升其解决实际问题的能力。
从定义上看，一元二次方程必须满足三个基本要点，即“一元”“二次”“整式”，但是在这个定义中其实隐含了一个非常重要的前提——“经过去分母、去括号、合并同类项等一系列化简、整理后”，再充分体现出“一元”“二次”“整式”的三个基本要求，这是我们判断是否为一元二次方程的根本依据，必须予以足够重视。
一、一元二次方程及相关概念理解中常见的错误（一）不能准确认识和理解一元二次方程概念，导致错误出现例1.判断下列方程中，是一元二次方程的是____________.错解：答案中多了⑤⑦⑧，或少了②⑥．错因分析：显然⑦⑧都不符合题意，⑤似是而非，同样⑥似非而是，应注意“整理后”这一前提，再判断是否为一元二次方程，也有部分学生认为②无意义，不是一元二次方程，这又混淆了一元二次方程的概念和方程有无实根的概念。
导致出现错误的根本原因是概念理解不全面、不准确，尤其是忽略了“一个前提”重要限制。
正解：②③⑥。
（二）对含有字母系数的一元二次方程，切不可忽视二次项系数不能为零的限制例2.若（m-3）x｜m-1｜-2mx-1=0是关于x的一元二次方程，求m的值错解：由题意可得｜m-1｜=2，∴m1=-1，m2=3即m的值为-1和3.错因分析：忽视了一元二次方程概念中，强调未知数的最高次数是2这一要求，事实上当m=3时，已知方程的最高次数是1，显然不是一元二次方程。
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解一元二次方程的公共根问题的常见失误
有关一元二次方程的公共根问题的一般解法是：设公共根为a ，则a 同时满足两个一元二次方程；用加减消元法消去2a 的项，求出公共根或公共根的有关表达式；把公共根代人原方程中的任何一个方程就可以求出字母系数的值或字母系数的关系式．但许多同学在具体的解题过程中常常会出现如下一些失误：
一、对字母系数不加讨论而造成失误
例1 当k 取何值时，方程032=-+kx x 和方程032=-+k x x 有公共根？并求出公共根．
错解 设两个方程的公共根为a ，则有032=-+ka a ，032=-+k a a ．两式相减，并整理得到 )1(3)1(--=-k a k ， （*）
∴3-=a ．
当3-=a 时，代入其中的任何一个方程求得2=k ．
∴当3-=a 时，方程公共根为－3．
剖析 由于在解（*）时，未对是01=-k 的情况加以考虑，从而漏掉了1=k ．事实上，当1=k 时，两个方程同为032=-+x x ，它们的解为2
131±-=x ，表示此时方程有两个公共根，也符合有公共根的要求．因此正确的结论为：当2=k 时，3-=a ；当1=k 时，2
131±-=a ． 二、对解出的字母系数和公共根的关系分不清而造成失误
例2 已知关于x 的—元二次方程052=++-m mx x 和方程0715)18(2=+++-m x m x 只有一个公共根，求m 及公共根．
错解 设两个方程的公共根为a ，则有
052=++-m ma a ，0715)18(2
=+++-m a m a ．
两式相减并整理得到：
)17(2)17(+=+m a m ，即0)2)(17(=-+a m ．
∴2,2
1=-
=a m ． 因此21-=m ，公共根2=a ． 剖析 造成失误的原因是没有搞清楚7
1-=m 和2=a 是不能同时成立的．事实上，当71-=m 时，方程为07
34712=++x x ，此方程由于△<0无解，因此无公共根可言．而当2=a 时代入其中的任一个方程解得m = 9．所以正确的结论是：当m = 9时，公共根为2=a ．
三、对结论不检验而造成失误
例3 k 取何正整数时，方程012)2(2=++-x k x 和方程030)13(22=++-x k x 有一整数公共根．
错解 设方程的公共根为a ，则有
012)2(2=++-a k a ， ①
030)13(22=++-a k a ． ②
①× 2－②得到 6)3(=-a k ．
∵a 为整数根，∴)3(-k 必为6的约数．
∴13±=-k ，±2，±3，±6．
解之得到：=k －3，0，1，2，4，5，6，9．
又∵k 为大于零的整数．∴=k 1，2，4，5，6，9．
剖析 本结论看似符合要求，但经检验当=k 1，2，4时方程无解，当然就不符合要求，当9=k 时，方程虽然有根，但不是整数根，因此只有=k 5、6时符合要求．。