概率统计练习试卷一

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小学一年级概率与统计练习题

小学一年级概率与统计练习题

小学一年级概率与统计练习题一、选择题1. 小明从一副扑克牌中随机抽取一张牌,那么他抽到红心的概率是()。

A. 1/4B. 1/2C. 3/4D. 12. 在一桶装有20个红球和10个蓝球的桶中,小红随机抽取一个球,那么她抽到红球的概率是()。

A. 1/3B. 2/3C. 1/2D. 2/53. 小明投掷一枚硬币,正面朝上的概率是()。

A. 1/2B. 1/3C. 2/3D. 1/44. 小明家中有3个篮球、2个足球和4个乒乓球,如果小明随机选取一个球,那么他选到篮球的概率是()。

A. 1/9B. 1/2C. 3/9D. 1/35. 在一组骰子中,小红摇出的点数是奇数的概率是()。

A. 1/2B. 2/3C. 1/3D. 1/6二、填空题1. 一副牌中共有52张牌,其中黑桃的数量是__张。

2. 一组骰子有6个面,那么小明摇出的点数是质数的概率是__。

3. 小红有10个苹果,其中5个是红色的,小红随机选一个苹果,选到红色苹果的概率是__。

4. 一个篮子中有6个苹果和4个橘子,那么小明随机选一个水果,选到橘子的概率是__。

5. 卡片上有1、2、3、4、5这5个数,小红随机选一张卡片,选到的数为偶数的概率是__。

三、计算题1. 一组骰子有6个面,小明同时抛掷三个骰子,求出他抛出的点数之和为10的概率。

2. 一副扑克牌中有52张牌,其中红心和黑桃各有13张,方块和草花各有13张。

小红随机从扑克牌中抽取一张,求出她抽到黑桃或梅花的概率。

3. 一桶装有6个苹果和4个橘子,小明随机选两个水果,求出他选到2个苹果的概率。

4. 小明的书包里有3个相同的铅笔和4个相同的橡皮擦,小明随机从书包中取出两个物品,求出他取出两个橡皮擦的概率。

5. 小红有6件衣服,其中有2件红色的,小明随机从小红的衣柜中选一件衣服,结果发现选到红色衣服的概率为1/3,求出小红衣柜中共有多少件衣服。

以上是关于小学一年级概率与统计的练习题,希望对孩子们的数学学习有所帮助。

九年级数学概率统计练习题及答案

九年级数学概率统计练习题及答案

九年级数学概率统计练习题及答案一、选择题1. 下列各项中,属于概率的是:A. 李明抽到红球的可能性是10%B. 今天下雨的可能性是80%C. 买彩票中奖的可能性是1/1000000D. 扔一次骰子掷出的点数是4的可能性是1/62. 某班级有30个学生,其中有18个男生和12个女生。

从班级中随机选取一个学生,男生和女生被选到的概率相等。

那么,被选到的学生是男生的概率是多少?A. 2/3B. 1/3C. 3/5D. 1/23. 一副扑克牌中有52张牌,其中红心牌有13张。

从扑克牌中随机抽一张牌,抽到红心牌的概率是多少?A. 1/4B. 1/2C. 1/13D. 1/52二、填空题1. 从数字1、2、3、4、5中任意抽取一个数,抽到奇数的概率是_________。

2. 一组数据:10、12、14、16、18中,大于15的数的概率是_________。

3. 一枚硬币抛掷,正面向上的概率是_________。

三、计算题1. 某班级有40个学生,其中有18个男生和22个女生。

从班级中随机选取两个学生,分别计算:a) 选出的两个学生都是男生的概率是多少?b) 选出的两个学生一个是男生一个是女生的概率是多少?2. 一副扑克牌中有52张牌,其中黑色牌有26张。

从扑克牌中随机抽取两张牌,并将它们放回,再抽取一张牌。

计算:a) 三次抽取都是黑色牌的概率是多少?b) 三次抽取中至少有一张黑色牌的概率是多少?四、解答题1. 一组数据:5、7、9、11、13,从中随机抽取一个数。

计算抽取奇数的概率。

答案解析:一、选择题1. D2. A3. A二、填空题1. 3/52. 3/53. 1/2三、计算题1.a) 18/40 × 17/39 = 9/20 × 17/39 = 153/780b) 18/40 × 22/39 + 22/40 × 18/39 = 396/780 = 2/5 2.a) 26/52 × 26/52 × 26/52 = 27/64b) 1 - (26/52 × 26/52 × 26/52) = 37/64四、解答题1. 3/5通过以上习题,希望能够帮助同学们加深对数学概率统计的理解和掌握。

概率统计复习习题

概率统计复习习题

概率统计综合练习1 一个不透明的口袋内装有材质、重量、大小相同的7个小球,且每个小球的球面上要么只写有数字“08”,要么只写有文字“奥运”.假定每个小球每一次被取出的机会都相同,又知从中摸出2个球都写着“奥运”的概率是71。

现甲、乙两个小朋友做游戏,方法是:不放回从口袋中轮流摸取一个球,甲先取、乙后取,然后甲再取,直到两个小朋友中有1人取得写着文字“奥运”的球时游戏终止,每个球在每一次被取出的机会均相同. (1)求该口袋内装有写着数字“08”的球的个数; (2)求当游戏终止时总球次数不多于3的概率.2设每门高射炮命中飞机的概率为0.6,试求:(1)两门高射炮同时射击一发炮弹而命中飞机的概率;(2)若今有一飞机来犯,问需要多少门高射炮射击,才能以至少99%的概率命中它?3 已知8人组成的抢险小分队中有3名医务人员,将这8人分为A 、B 两组,每组4人. (1)求A 、B 两组中有一组恰有一名医务人员的概率; (2)求A 组中至少有两名医务人员的概率; (3)求A 组中医务人员人数 的分布列.4 甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球,已知甲袋中共有m 个球,乙袋中共有2m 个球,从甲袋中摸出1个球为红球的概率为25,从乙袋中摸出1个球为红球的概率为2P . (1)若m =10,求甲袋中红球的个数;(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后,从中摸出1个红球的概率是13,求2P 的值; (3)设2P =15,从甲、乙两袋中各自有放回地摸球,每次摸出1个球,并且从甲袋中摸1次,从乙袋中摸2次,求摸出的3个球中恰有2个红球的概率.5 某工厂为了保障安全生产,每月初组织工人参加一次技能测试。

甲、乙两名工人通过每次测试的概率分别是45和34.假设两人参加测试是否通过相互之间没有影响.(1)求甲连续3个月参加技能测试,至少有1次未通过的概率;(2)求甲、乙两人各连续3个月参加技能测试,甲恰好通过2次且乙恰好通过1次的概率;(3)工厂规定:工人连续2次没通过测试,则被撤销上岗资格.求乙恰好参加4次测试后,被撤销上岗资格的概率.6 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球,乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球.现从甲、乙两个盒内各任取2个球.(1)求取出的4个球均为黑球的概率;(2)求取出的4个球中恰有1个红球的概率;(3)设ξ为取出的4个球中红球的个数,求ξ的分布列.,,,四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名7甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D志愿者.(Ⅰ)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率;(Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率;(Ⅲ)设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数,求ξ的分布列.8 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5,购买乙种商品的概率为0.6,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的。

概率论与数理统计试卷(第一阶段)

概率论与数理统计试卷(第一阶段)

概率论与数理统计第一阶段12.0.18.0.28.0.58.0.D C B A错对..B A12、设A 、B 为两个事件,则()A B B A =- 。

错对..B A13、若A B ⊂,则()()B P A P ≥。

错对..B A15、若A 、B 、C 三个事件两两独立,则A 、B 、C相互独立。

错对..B A16错对..B A17、若A 、B 为任意两个事件,则()()()B P A P B A P -=-。

错对..B A18、若事件A 、B 互斥,则A 、B 对立。

错对..B A19、A 为不可能事件,则有()0=A P 。

27、一批产品100件,有80件正品,20件次品,其中甲厂生产的为60件,有50件正品,10件次品,余下的40件均由乙厂生产。

先从该批产品中任取一件,记=A “取出的产品是正品”,=B “取出的产品是由甲厂生产”,则()321________________==AB P ,()654________________==B A P ,()987______________==A B P 。

请从下列各项中选出你认为正确的项填入上述绿色横线上,并选择对应填入序列。

54.65.85.21.50.60.80.100.a h g f e d c b28、甲、乙、丙三人各射一次靶,记为“甲中靶”,为“乙中靶”,为“丙中靶”,则可用上述三个事件的运算分别表示下列各事件:“三人中恰好有一人中靶”: 1 ; “三人中至少有一人中靶”: 2 ;“三人中至少有两人中靶”: 3 ; “三人中。

考研数学一(概率统计)模拟试卷1(题后含答案及解析)

考研数学一(概率统计)模拟试卷1(题后含答案及解析)

考研数学一(概率统计)模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。

1.对任意两个事件A和B,若P(AB)=0,则( ).A.AB=B.C.P(A)P(B)=0D.P(A—B)=P(A)正确答案:D解析:选(D),因为P(A—B)=P(A)一P(AB).知识模块:概率统计部分2.在电炉上安装了4个温控器,其显示温度的误差是随机的.在使用过程中,只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0,电炉就断电,以E表示事件“电炉断电”,而T(1)≤T(2),≤T(3)≤T(4)为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值,则事件E等于( ).A.{T(1)≥t0}B.{T(2)≥t0)C.(T(3)≥t0)D.{T(4)≥t0}正确答案:C解析:{T(1)≥t0)表示四个温控器温度都不低于临界温度t0,而E发生只要两个温控器温度不低于临界温度t0,所以E={T(3)≥t0},选(C).知识模块:概率统计部分3.设A,B为任意两个不相容的事件且P(A)>0,P(B)>0,则下列结论正确的是( ).A.B.C.P(AB)=P(A)P(B)D.P(A-B)=P(A)正确答案:D解析:因为A,B不相容,所以P(AB)=0,又P(A-B)=P(A)-P(AB),所以P(A-B)=P(A),选(D).知识模块:概率统计部分4.设A,B为两个随机事件,其中00且P(B|A)=,下列结论正确的是( ).A.P(A|B)=B.P(A|B)≠C.P(AB)=P(A)P(B)D.P(AB)≠P(A)P(B)正确答案:C解析:知识模块:概率统计部分5.设0,则下列结论正确的是( ).A.事件A,B互斥B.事件A,B独立C.事件A,B不独立D.事件A,B对立正确答案:B解析:知识模块:概率统计部分6.设X和Y为相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为f1(x),f2(x),它们的分布函数分别为F1(x),F2(x),则( ).A.f1(x)+f2(x)为某一随机变量的密度函数B.f1(x)f2(x)为某一随机变量的密度函数C.F1(x)+F2(x)为某一随机变量的分布函数D.F1(x)F2(x)为某一随机变量的分布函数正确答案:D解析:可积函数f(x)为随机变量的密度函数,则f(x)≥0且,显然(A)不对,取两个服从均匀分布的连续型随机变量的密度函数验证,(B)显然不对,又函数F(x)为分布函数必须满足:(1)0≤F(x)≤1;(2)F(x)单调不减;(3)F(x)右连续;(4)F(-∞)=0,F(+∞)=1,显然选择(D).知识模块:概率统计部分7.设连续型随机变量X的密度函数为f(x),分布函数为F(x).如果随机变量X与一X分布函数相同,则( ).A.F(x)=F(一x)B.F(x)=一F(一x)C.f(x)=f(一x)D.f(x)=一f(一x)正确答案:C解析:知识模块:概率统计部分8.设随机变量X的密度函数为,则P{a 知识模块:概率统计部分9.设随机变量X~N(μ,σ2),则P(|X一μ|<2σ)( ).A.与μ及σ2都无关B.与μ有关,与σ2无关C.与μ无关,与σ2有关D.与μ及σ2都有关.正确答案:A解析:知识模块:概率统计部分10.设X~N(μ,42),Y~N(μ,52),令p=P(X≤μ一4),q=P(Y≥μ+5),则( ).A.p>qB.p<qC.p=qD.p,q的大小由μ的取值确定正确答案:C解析:知识模块:概率统计部分11.设随机变量X~N(μ,σ2),其分布函数为F(x),则对任意常数a,有( ).A.F(a+μ)+F(a一μ)=1B.F(μ+a)+F(μ一a)=1C.F(a)+F(一a)=1D.F(a一μ)+F(μ一a)=1正确答案:B解析:知识模块:概率统计部分12.设随机变量X~U[1,7],则方程x2+2Xx+9=0有实根的概率为( ).A.B.C.D.正确答案:C解析:知识模块:概率统计部分填空题13.设P(B)=0.5,P(A—B)=0.3,则P(A+B)=__________.正确答案:0.8解析:因为P(A—B)=P(A)一P(AB),所以P(A+B)=P(A—B)+P(B)=0.8.知识模块:概率统计部分14.设P(A)=0.6,P(B)=0.5,P(A—B)=0.4,则P(B—A)=_________,P(A+B)=__________.正确答案:0.9解析:因为P(A—B)=P(A)一P(AB),所以P(AB)=0.2,于是P(B—A)=P(B)一P(AB)=0.5—0.2=0.3,P(A+B)=P(A)+P(B)一P(AB)=0.6+0.5一0.2=0.9.知识模块:概率统计部分15.设事件A,B相互独立,P(A)=0.3,且,则P(B)=___________.正确答案:解析:知识模块:概率统计部分16.设A,B为两个随机事件,且P(A)=0.7,P(A—B)=0.3,则=_________.正确答案:0.6解析:由P(A—B)=P(A)一P(AB)=0.3及P(A)=0.7,得P(AB)=0.4,则=1一P(AB)=0.6.知识模块:概率统计部分17.设P(A)=0.4,且P(AB)=P(AB),则P(B)=____________.正确答案:0.6解析:因为P(AB)=P(A+B)=1一P(A+B),所以P(AB)=1一P(A+B)=1一P(A)一P(B)+P(AB),从而P(B)=1一P(A)=0.6.知识模块:概率统计部分18.设A,B为两个随机事件,则=_________.正确答案:0解析:知识模块:概率统计部分19.设P(A)=P(B)=P(C)=,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=,则A,B,C都不发生的概率为___________.正确答案:解析:A,B,C都不发生的概率为=1一P(A+B+C),而ABCAB且P(AB)=0,所以P(ABC)=0,于是P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)一P(AB)一P(AC)一P(BC)+P(ABC)=,故A,B,C都不发生的概率为.知识模块:概率统计部分20.设事件A,B,C两两独立,满足ABC=,P(A)=P(B)=P(C),且P(A+B+c)=,则P(A)=__________.正确答案:解析:由P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)一P(AB)一P(AC)一P(BC)+P(ABC)且ABC=,P(A)=P(B)=P(C),得知识模块:概率统计部分21.有16件产品,12个一等品,4个二等品.从中任取3个,至少有一个是一等品的概率为_________正确答案:解析:设A={抽取3个产品,其中至少有一个是一等品},.知识模块:概率统计部分22.设口袋中有10只红球和15只白球,每次取一个球,取后不放回,则第二次取得红球的概率为__________.正确答案:解析:设A1={第一次取红球),A2={第一次取白球),B={第二次取红球),知识模块:概率统计部分23.从n阶行列式的展开式中任取一项,此项不含a11的概率为,则n=_________.正确答案:9解析:n阶行列式有n!项,不含a11的项有(n一1)(n一1)!个,则=,则n=9.知识模块:概率统计部分24.设一次试验中,出现事件A的概率为P,则n次试验中A至少发生一次的概率为___________,A至多发生一次的概率为___________.正确答案:解析:知识模块:概率统计部分25.正确答案:解析:知识模块:概率统计部分26.正确答案:4解析:知识模块:概率统计部分27.设X~B(2,p),Y~B(3,p),且P(X≥1)=,则P(Y≥1)=_________.正确答案:解析:知识模块:概率统计部分28.设X~N(2,σ2),且P(2≤X≤4)=0.4,则P(X<0)=__________.正确答案:0.1解析:知识模块:概率统计部分29.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布,且P(X=0)=,则P(X≥1)=_________正确答案:1-e-2解析:知识模块:概率统计部分30.设随机变量X服从参数为λ的指数分布,且E[(X一1)(X+2)]=8,则λ=__________.正确答案:解析:知识模块:概率统计部分31.正确答案:2解析:知识模块:概率统计部分32.一工人同时独立制造三个零件,第k个零件不合格的概率为,以随机变量X表示三个零件中不合格的零件个数,则P(X=2)=__________.正确答案:解析:知识模块:概率统计部分33.正确答案:解析:Y的可能取值为2,3,6,知识模块:概率统计部分34.设随机变量X~N(0,1),且Y=9X2,则Y的密度函数为__________.正确答案:解析:知识模块:概率统计部分35.设随机变量X的概率密度函数为,则Y=2X的密度函数为fY(y)=_________正确答案:解析:知识模块:概率统计部分36.设离散型随机变量X的分布函数为则Y=X2+1的分布函数为_________.正确答案:解析:知识模块:概率统计部分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

概率与统计试卷一二、三

概率与统计试卷一二、三

试卷二班级 学号 姓名 成绩一、单项选择题(每小题3分,共18分)1、设B A ,为任意事件,下列命题正确的是 ( ) (A )若B A ,互不相容,则B A ,互不相容(B )若B A ,相容,则B A ,互不相容 (C )若B A ,相互独立,则B A ,相互独立(D )2、设B A ,为随机事件,且A B ⊂,则下列结论中肯定正确的是 ( ) (A ))()()(A P B P A B P -=- (B ))()(A P B A P =+ (C ))()(A P AB P = (D ))()|(B P A B P =3、设),(~),,(~2254μμN Y N X ,记)(),(5421+≥=-≤=μμY P P X P P ,则有( )(A )对任意实数μ,都有21P P = (B )对任意实数μ,都有21P P < (C )对任意实数μ,都有21P P > (D )只对μ的个别值才有21P P = 4、已知随机变量),(~p n B X ,42.)(=X E ,441.)(=X D ,则二项分布的参数为 ( ) (A )406.,==p n (B )4,0.6n p == (C )308.,==p n (D )1024.,==p n5、设12,,,n X X X 是取自正态总体),(20σN 的样本,则可以作为2σ的无偏估计量是 ( )(A )∑=n i i X n 11 (B )∑=-n i i X n 111 (C )∑=n i i X n 121 (D )∑=-n i i X n 1211 6、设μσμ),,(~2N X 已知,2σ未知,4321X X X X ,,,是X 的样本,则不是统计量的是 ( ) (A )43153X X X ++(B )∑=-41i i X )(μ(C )∑=-41i i X X )((D )∑=-4122i i X )(σ二、填空题(每小题3分,共18分)1、某射手射击命中率为0.6,重复独立射击3次,则恰好命中2次的概率为 ;2、某运动员投篮命中率是0.8,则在一次投篮时投中次数的概率分布为,分布函数为 ;3、设随机变量X 的分布函数200()/40212x F x x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩,则)(31≤≤X P = ;4、设),(Y X 在矩形区域:1020≤≤≤≤y x ,内服从均匀分布,则),(Y X 的联合概率密度函数为 ; 5、设随机变量X ,Y 相互独立,110===)(,)(,)(X D Y E X E , 则=-+)]([2Y X X E ;6、设随机变量n X X X ,,, 21独立同分布,2110σ==)(,)(X D X E ,令∑==ni i X n X 11∑=-=ni i X X Q 12)(,则=)(Q E ;三、解答题(1~4题,每小题10分,5、6题每小题12分,共64分)1、假设有两箱同种零件,第一箱内装有50件,其中10件一等品;第二箱装30件,其中18件一等品。

概率论与数理统计模拟试卷和答案

概率论与数理统计模拟试卷和答案

北京语言大学网络教育学院《概率论与数理统计》模拟试卷一注意:1.试卷保密,考生不得将试卷带出考场或撕页,否则成绩作废。

请监考老师负责监督。

2.请各位考生注意考试纪律,考试作弊全部成绩以零分计算。

3.本试卷满分100分,答题时间为90分钟。

4.本试卷分为试题卷和答题卷,所有答案必须答在答题卷上,答在试题卷上不给分。

一、【单项选择题】(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。

1、设A,B 是两个互不相容的事件,P (A )>0 ,P (B )>0,则( )一定成立。

[A] P (A)=1-P (B ) [B] P (A │B)=0 [C] P (A │B )=1[D] P (A B )=02、设A,B 是两个事件,P (A )>0 , P (B )>0 ,当下面条件( )成立时,A 与B 一定相互独立。

[A] P(A B )=P (A )P (B ) [B] P (AB )=P (A )P (B ) [C] P (A │B )=P (B )[D] P (A │B )=P(A )3、若A 、B 相互独立,则下列式子成立的为( )。

[A] )()()(B P A P B A P = [B] 0)(=AB P [C])()(A B P B A P = [D])()(B P B A P =4、下面的函数中,( )可以是离散型随机变量的概率函数。

[A] {}11(0,1,2)!e P k k k ξ-=== [B] {}12(1,2)!e P k k k ξ-=== [C] {}31(0,1,2)2k P k k ξ=== [D] {}41(1,2,3)2k P k k ξ===--- 5、设1()F x 与2()F x 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数,为了使12()()()F x aF x bF x =-是某一随机变量的分布函数,则下列个组中应取( )。

概率统计综合练习及答案

概率统计综合练习及答案

北京科技大学远程教育学院《概率统计》综合练习(一)参考答案随机事件及其概率一、填空1、A 、B 、C 是三个事件,用A 、B 、C 的运算表示A 、B 、C 中至少发生两个的事件 AC BC AB ,用文字叙述C AB C B A BC A 表示的事件 三个事件中恰好发生两个事件 。

2、A 是试验E 的一个事件,每次试验A 出现的概率为p=0.25,独立重复做试验E 四次, A 是否必定出现一次? 否3、A ⊆B ,P (A )=0.2,P (B )=0.6则 P (B -A ) = 0.4 ,P (A -B ) = 0 。

4、P (A )>0,P (B )>0,A 、B 相互独立与A 、B 互不相容能否同时成立? 否 。

5、事件A 、B 独立,则A 、B 独立 。

6、P (A ∪B ∪C )的计算公式为)()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P +---++ 。

7、每次试验A 出现的概率为p ,独立重复做n 次试验,在n 次试验中,A 出现次数k 的可能取值为 0,1,3,…,n ,A 出现k 次的概率为 kn k k n q p C - 。

二、 以A ,B ,C 分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。

试用A ,B ,C 表示 以下事件:(1)只订阅日报; (2)只订日报和晚报; (3)只订一种报; (4)正好订两种报; (5)至少订阅一种报; (6)不订阅任何报; (7)至多订阅一种报; (8)三种报纸都订阅; (9)三种报纸不全订阅。

解:(1)C B A ,(2)C AB ,(3)C B A C B A C B A ,(4)C B A BC A C AB , (5)C B A ,(6)C B A ,(7)C B A C B A C B A C B A ,(8)ABC , (9)C B A三、 从0,1,2,…,9中任意选出4个不同的数字,试求它们能组成一个4位偶 数的概率。

小学三年级概率与统计练习题

小学三年级概率与统计练习题

小学三年级概率与统计练习题一、选择题1. 以下哪一项不是概率的表示方法?A. 小数B. 百分数C. 分数D. 字母符号2. 甲班有24个学生,其中有8个女生,男生占总人数的几分之几?A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 3/43. 某班级学生中,29名同学会游泳,其中有15名男生,占全班学生总数的几分之几?A. 1/2B. 1/3C. 2/3D. 3/44. 在一副扑克牌中,黑色牌的数量是红色牌数量的2倍,若从中随机抽取一张牌,则抽到黑色牌的概率是多少?A. 1/4B. 1/3C. 2/5D. 1/25. 某班级有30个学生,其中15个是男生,抽到一个男生学生的概率是多少?A. 1/2B. 1/3C. 2/3D. 3/4二、填空题1. 用“A”、“B”、“C”、“D”四个字母组成三位数,一个字母只能使用一次,则可以组成多少个不同的三位数?答:_______个2. 同学们投掷了一枚骰子20次,投掷结果中出现6的次数为8次,出现6的概率是多少?答:_______3. 一架鸟在一根电线上停留,有50%的概率选择向左边飞去,有50%的概率选择向右边飞去。

如果一只鸟飞行5次,那么它全部向左边飞的可能性是多少?答:_______%三、解答题1. 黎明在箱子中装有30个红色球和20个蓝色球,她先从箱子中随机取出一个球,记录颜色后将球放回,然后再次随机取出一个球。

求以下概率:(1)两次取出的球都是红色球的概率;(2)第一次取出的是蓝色球,第二次取出的是红色球的概率。

2. 小明在一堆卡片中找出数字3的概率是1/5,若他连续随机取出3张卡片,则取出至少1张数字3的概率是多少?3. 某班级有40名学生,其中20名学生会游泳,15名学生会跳绳,有8名学生既会游泳又会跳绳。

如果从班级中随机选取一个学生,请你求这个学生会游泳或会跳绳的概率。

答案:一、选择题1. D2. B3. C4. A5. A二、填空题1. 24个2. 8/20=2/53. 1/2×1/2×1/2×1/2×1/2=1/32三、解答题1. (1)30/50×29/49=174/245(2)20/50×30/49=12/492. 不取到数字3的概率是4/5,连续取3次不取到数字3的概率是(4/5)×(4/5)×(4/5)=64/125,取出至少1张数字3的概率是1-64/125=61/125。

概率统计试题及答案

概率统计试题及答案

概率统计试题及答案在概率统计学中,试题和答案的准确性和清晰度非常重要。

下面将给出一系列关于概率统计的试题和详细的解答,以帮助读者更好地理解和应用概率统计的基本概念和技巧。

试题一:基础概率计算某餐厅有3个主菜,每个主菜又有4种不同的配菜。

如果顾客在选择主菜和配菜时是随机的,那么一个顾客会选择哪种搭配的概率是多少?解答一:根据概率统计的基本原理,计算顾客选择搭配的概率可以使用“事件数除以样本空间”的方法。

在这个问题中,总共有3个主菜和4种配菜,所以样本空间的大小为3 × 4 = 12。

而一个顾客选择一种特定的搭配可以有1种选择,因此事件数为1。

因此,顾客选择某种搭配的概率为1/12。

试题二:概率的加法规则某班级有25名男生和15名女生。

从中随机选择一名学生,那么选择一名男生或选择一名女生的概率分别是多少?解答二:根据概率统计的加法规则,选择一名男生或选择一名女生的概率可以通过计算每个事件的概率然后相加来得到。

在这个问题中,男生和女生分别属于两个互斥事件,因此可以直接相加。

男生的概率为25/40,女生的概率为15/40。

因此,选择一名男生或选择一名女生的概率为25/40 + 15/40 = 40/40 = 1。

试题三:条件概率计算某电子产品的退货率是0.05,而该产品是有瑕疵的情况下才会退货。

对于一台已经退货的产品,有0.02的概率是有瑕疵的。

那么一台被退货且有瑕疵的电子产品占所有退货产品的比例是多少?解答三:根据条件概率的定义,求一台被退货且有瑕疵的电子产品占所有退货产品比例的问题,可以用有瑕疵且被退货的产品数除以所有被退货的产品数来得到。

假设有1000台电子产品被退货,根据退货率的定义,有5%的产品会被退货,即退货的产品数为0.05 * 1000 = 50台。

而在这50台退货产品中,有2%有瑕疵,即有瑕疵且被退货的产品数为0.02 * 50 = 1台。

因此,一台被退货且有瑕疵的电子产品占所有退货产品的比例为1/50,即0.02。

小学一年级概率与统计练习题

小学一年级概率与统计练习题

小学一年级概率与统计练习题请按照以下格式进行练习题的编写:
一、选择题
1. 在下列数字中,属于偶数的是:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2. 从一副扑克牌中随机抽取一张牌,红心牌的概率是:
A. 1/4
B. 1/3
C. 1/2
D. 1/5
3. 小明有3个红色的糖果和2个蓝色的糖果,他从中随机抽取一个
糖果,红色糖果的概率是:
A. 2/3
B. 3/5
C. 1/2
D. 5/7
二、填空题
1. 抛掷一枚骰子,出现偶数的概率是______。

2. 从26个字母中随机抽取一个字母,抽到元音字母的概率是
______。

三、解答题
1. 小明有4张扑克牌,分别是红心A、黑桃A、方块2、梅花2,
请问抽到红心A的概率是多少?
2. 从一副扑克牌中同时抽取两张牌,抽到两张红心牌的概率是多少?
写作时要注意题目的难度和递进关系,按照从易到难的顺序编排题目。

每个题目后都要有四个选项,其中一个是正确答案。

填空题需要在空格中填写正确的数字。

解答题需要学生自己写出答案,并给出解题思路。

以上只是一部分题目的示例,您可以根据需要进一步扩充或修改题目。

希望对您有所帮助!。

概率论与数理统计试卷一、是非题C...

概率论与数理统计试卷一、是非题C...

概率论与数理统计试卷 一、是非题(共7分,每题1分)1.设A ,B ,C 为随机事件,则A 与C B A ⋃⋃是互不相容的. 2.)(x F 是正态随机变量的分布函数,则)(1)(x F x F -≠-. 3.若随机变量X 与Y 独立,它们取1与1-的概率均为5.0,则Y X =. 4.等边三角形域上二维均匀分布的边缘分布仍是均匀分布.5. 样本均值的平方2X 不是总体期望平方2μ的无偏估计. 6.在给定的置信度α-1下,被估参数的置信区间不一定惟一. 7.在参数的假设检验中,拒绝域的形式是根据备择假设1H 而确定的. 二、选择题(15分,每题3分)(1)设A B ⊂,则下面正确的等式是 。

(a))(1)(A P AB P -=; (b))()()(A P B P A B P -=-; (c))()|(B P A B P =; (d))()|(A P B A P =(2)离散型随机变量X 的概率分布为k A k X P λ==)(( ,2,1=k )的充要条件是 。

(a)1)1(-+=A λ且0>A ; (b)λ-=1A 且10<<λ; (c)11-=-λA 且1<λ; (d)0>A 且10<<λ.(3)设10个电子管的寿命i X (10~1=i )独立同分布,且A X D i =)((10~1=i ),则10个电子管的平均寿命Y 的方差=)(Y D .(a)A ; (b)A 1.0; (c)A 2.0; (d)A 10. (4)设),,,(21n X X X 为总体)1,0(~N X 的一个样本,X 为样本均值,2S 为样本方差,则有 。

(a))1,0(~N X ; (b))1,0(~N X n ;(c))1(~/-n t S X ; (d))1,1(~/)1(2221--∑=n F X X n ni i .(5)设),,,(21n X X X 为总体),(2σμN (μ已知)的一个样本,X 为样本均值,则在总体方差2σ的下列估计量中,为无偏估计量的是 。

概率统计练习1

概率统计练习1

概率论与数理统计练习(一)一、填空题1. A 、B 、C 是三个随机事件,且A 与B 相互独立,A 与C 互不相容。

已知P( A ) = 0.2,P( B ) = 0.6,P( B | C ) = 0.5,P( BC ) = 0.4。

请计算以下事件的概率:P(A )= , P( AB ) = , P( AC ) = ,P( C ) = ,P( A+B ) = , P( C | B ) = 。

2. 假设有某种彩票叫“10选2”,每周一期。

其规则是从1到10的10个自然数中不重复地任意选2个数组成一注,每注1元。

如果所选的2个数与本期出奖的结果(也是从1到10中不重复选出的2个自然数)完全相同,则中奖,奖额为40元。

则购买一注彩票能中奖的概率是 。

引进随机变量X ,如果买1注彩票中奖了则令X 等于1,否则令X 等于0,那么X 服从 分布,X 的数学期望等于 。

3. 已知某对夫妇有三个小孩,但不知道他们的具体性别。

设他们有Y 个儿子,如果生男孩的概率为0.5,则Y 服从 分布。

这对夫妇恰好有一个儿子的概率是 。

他们的孩子的男女性别比例最可能是 。

4. 假设东莞市公安机关每天接到的110报警电话次数可以用泊松(Poisson)分布)100(π来描述。

则东莞市公安机关在某一天没有接到一个110报警电话的概率为 。

东莞市公安机关平均每天接到的110报警电话次数为 次。

5. 指数分布又称为寿命分布,经常用来描述电子器件的寿命。

设某款电器的寿命(单位:小时)的密度函数为⎩⎨⎧>=-其它 ,00 ,001.0)(001.0t e t f t 则这种电器没有用到500小时就坏掉的概率为 ,这种电器的平均寿命为 小时。

6. 根据世界卫生组织的数据,全球新生婴儿的平均身长为50厘米,身长的标准差估计为2.5厘米。

设新生婴儿的身长服从正态分布,则全球范围内大约有 %新生婴儿身长超过53厘米,有 %新生婴儿身长不足48厘米,身长在49厘米到51厘米之间的新生婴儿大约占 %。

数的概率与统计练习题

数的概率与统计练习题

数的概率与统计练习题
以下是一份关于数的概率与统计的练习题:
题目一:选择题
1. 下面哪个不是随机事件?
A. 抛硬币结果是正面朝上
B. 从扑克牌中抽取一张A
C. 掷骰子结果为偶数
D. 爬山时碰到下雨
2. 一副标准扑克牌共有52张,其中红心牌有13张,那么从中随机抽取一张牌是红心牌的概率是多少?
A. 1/13
B. 1/26
C. 1/52
D. 13/52
3. 从一个装有8个红球和4个蓝球的袋子中随机取出一球,取出红球的概率是多少?
A. 1/12
B. 2/3
C. 2/12
D. 1/4
题目二:计算题
1. 小明家有三个抽屉,每个抽屉里有红球3个和蓝球2个。

小明先随机选择一个抽屉,然后从该抽屉中随机取球。

若小球为红色,求其来自第一个抽屉的概率。

2. 有一个含有8只白球和5只黑球的袋子,从袋子中依次取球不放回,取出3只,求:
a) 相同颜色的球至少有2只的概率;
b) 取出的3只球均为黑球的概率。

题目三:应用题
甲、乙、丙三位同学分别参加英语和数学两门科目的考试。

已知甲的英语成绩优秀,乙的数学成绩优秀,那么丙同学同时在英语和数学两门科目上优秀的概率是多少?
请将答案写在纸上,答案不唯一。

注意:本试卷是一份练习题,可以根据自己的实际情况适当调整题目。

以上题目仅供参考,不保证完全无误。

祝您学习进步!。

概率论与数理统计试题与答案

概率论与数理统计试题与答案

概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1)概率统计模拟题一一、填空题(本题满分 18分,每题3分)1、设P(A) 0.7,P(A B) 0.3,则P(AB)= ___________________________ 。

52、设随机变量X 〜B(2, p),Y 〜B(3, p),若p(X 1) ,则p(Y 1) _____93、设X 与Y 相互独立,DX 2, DY 1,贝U D(3X 4Y 5) _________________________ 。

4、设随机变量X的方差为2,则根据契比雪夫不等式有P{X -EX 2} _______________n5、设(X「X2, ,X n)为来自总体2(10)的样本,则统计量Y X i服从i 1_______________ 分布。

6、设正态总体N( , 2) , 2未知,贝U 的置信度为1 的置信区间的长度L __________________ 。

(按下侧分位数)二、选择题(本题满分 15分,每题3分)1、若A与自身独立,则( )(A) P(A) 0 ; (B) P(A) 1 ; (C) 0 P(A) 1 ; (D) P(A) 0或P(A) 12、下列数列中,是概率分布的是( )X 5 x2(A) p(x) ,x 0,1,2,3,4 ;(B) p(x) ,x 0,1,2,315 61 x 14 253、设X ~ B( n, p),则有( )(A) E(2X 1) 2np (B) D(2X 1) 4np (1 p)(C) E(2X 1) 4np 1 (D) D(2X 1) 4n p(1 p) 1本方差,则下列结果错误的是( )。

4、设随机变量X ~ N( , 2),则随着的增大,概率P X ()。

(A)单调增大 (B) 单调减小(C)保持不变(D) 增减不定5、设(X1,X2, ,X n)是来自总体X ~ N( , 2)的一个样本,X与S2分别为样本均值与样三、(本题满分12分) 试卷中有一道选择题,共有4个答案可供选择,其中只有1个答案是正确的。

概率统计练习题1

概率统计练习题1
21. 从装有 3 个白球,3 个黑球的甲箱中,随机地取出二个球,放入装有 4 个白球与 4 个黑 球的乙箱中,然后再从乙箱中取出一球,求此球为白球的概率。
22. 不同的两个小麦品种的种子混杂在一起,已知第一个品种的种子发芽率为 90%,第二 个品种的种子发芽率为 96%,并且已知第一个品种的种子比第二个品种的种子多一倍,求: (1)从中任取一粒种子,它能发芽的概率; (2)如果取到的一粒种子能发芽,那么它是第一个品种的概率是多少?
概率统计练习题
第1章
1. 一口袋装有 10 只球,其中 6 只是红球,4 只是白球,今随机地从中同时取出 2 只球,试 求取到二只球颜色相同的概率。
2. 一口袋装有 10 只球,其中 6 只是红球,4 只是白球,今随机地从中同时取出 2 只球,试 求:(1)2 只都是红球的概率;(2)一只是红球一只是白球的概率。
23. 某保险公司把被保险人分成三类:“好的”,“一般的”与“差的”,统计资料表明,对于 上述三种人而言,在一年内出问题的概率依次为 0.05,0.15,和 0.30,如果“好的”被保险 人占总的保险人数的 20%,“一般的”占 50%,“差的”占 30%,试问在固定的一年中出问 题的人在总保险人数中占多大的比例?如某人在这一年内未出问题,他是属于“好的”的概 率为多少?
3. 在 8 件产品中有 5 件是一级品和 3 件是二级品,现从中任取 2 件,求取得的 2 件中只有 一件是一级品的概率. 如果:(1)2 件产品是无放回的逐次抽取;(2)2 件产品是有放回的 逐次抽取。
4. 将 15 名新生平均分配到三个班级中去,新生中有三名是优秀生,问每一个班级各分配到 一名优秀生的概率是多少?
P( AC) 1 ,求 A,B,C 至少有一个发生的概率。 7

概率统计-习题及答案-(1)

概率统计-习题及答案-(1)

习题一1.1 写出下列随机试验的样本空间,并把指定的事件表示为样本点的集合:(1)随机试验:考察某个班级的某次数学考试的平均成绩(以百分制记分,只取整数); 设事件A 表示:平均得分在80分以上。

(2)随机试验:同时掷三颗骰子,记录三颗骰子点数之和;设事件A 表示:第一颗掷得5点;设事件B 表示:三颗骰子点数之和不超过8点。

(3)随机试验:一个口袋中有5只球,编号分别为1,2,3,4,5,从中取三个球; 设事件A 表示:取出的三个球中最小的号码为1。

(4)随机试验:某篮球运动员投篮练习,直至投中十次,考虑累计投篮的次数; 设事件A 表示:至多只要投50次。

(5)随机试验:将长度为1的线段任意分为三段,依次观察各段的长度。

1.2 在分别标有号码1~8的八张卡片中任抽一张。

(1)写出该随机试验的样本点和样本空间;(2)设事件A 为“抽得一张标号不大于4的卡片”,事件B 为“抽得一张标号为偶数的 卡片”,事件C 为“抽得一张标号能被3整除的卡片”。

试将下列事件表示为样本点的集合,并说明分别表示什么事件?(a )AB ; (b) B A +; (c) B ; (d) B A -; (e) BC ; (f) C B + 。

1.3 设A 、B 、C 是样本空间的事件,把下列事件用A 、B 、C 表示出来:(1)A 发生; (2)A 不发生,但B 、C 至少有一个发生;(3)三个事件恰有一个发生; (4)三个事件中至少有两个发生;(5)三个事件都不发生; (6)三个事件最多有一个发生;(7)三个事件不都发生。

1.4 设}10,,3,2,1{Λ=Ω,}5,3,2{=A ,}7,5,3{=B ,}7,4,3,1{=C ,求下列事件:(1)B A ; (2))(BC A 。

1.5 设A 、B 是随机事件,试证:B A AB A B B A +=-+-)()(。

1.6 在11张卡片上分别写上Probability 这11个字母,从中任意抽取7张,求其排列结果为ability 的概率。

zucc 概率统计模拟试卷(一)答案

zucc 概率统计模拟试卷(一)答案

} = ∫1 / 3 2(1 − x )dx = 4/9 ------------4 分
1
2、甲乙两电影院在竞争 1000 名观众,假设每位观众在选择时是随机的,且彼此相互独立, 问甲至少应设多少个座位,才能使观众因无座位而离去的概率小于 1% 。(10 分) 备用数据:
5 = 2.236,10 = 3.162,Φ (2.33) = 0.9901,Φ (1) = 0.8413,Φ (0.99 ) = 0.8389
+∞
E ( X ) = ∫ xe − x dx = 1
0
+∞
E ( X ) = ∫ x 2 e − x dx = 2
2 0
+∞
E (Y ) = ∫ 2 y 2 dy = 2 / 3
0
1
E (Y ) = ∫ 2 y 3 dy = 1 / 2 -----------------------------------3 分
第3页共5页
3、设 ( X , Y ) 的联合密度函数为 f ( x, y ) =
2 ye − x , 0 < x < ∞,0 < y < 1, 其它 0,
求(1) X 与 Y 的边缘概率密度函数; (2) X 与 Y 是否相互独立,请说明理由; (3)计算 E ( X + Y ), D (2 X − 3Y ) 。(12 分)
概率统计 A 》
;考试形式: 闭卷; 考试时间:2011年 1 月12日;
分钟 二 三 总 分
3 5
B.
2 15
C.
1 15
D. D )
1 3
2.若随机事件 A 和 B 互不相容,则下列式子中正确的是( A. A = B C. P ( A | B ) = P ( A)
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概率统计练习试卷一
一、简答题(共 5 题,每题6分,计 30 分)
1、已知).(),(,21)(,31)(,41)(B A P B P B A P A B P A P +===求 解:,21)()()(,31)()()(====
B P AB P B A P A P AB P A B P ,3
2
)()(=∴A P B P ,41)(=A P 61)(=∴B P
12
1
)(=
∴AB P 。

3
11216141)()()()(=-+=
-+=+∴AB P B P A P B A P 2、某人射击,中靶的概率是4
3
,如果射击直到中靶为止,射击次数为ξ,求ξ的分布律及)5(≥ξP . 解:1
)4
1(43}{-⋅=
=k k P ξ,⋅⋅⋅=.3,2,1k , 256
11}4{1}5{1}5{4321=
----=≤-=<-=≥p p p p P P P ξξξ 3、设a,b,c 三元件安置在如图所示的线路中,各元件发生故障与否相互独立,且发生故障的概率分别为0.1,0.3, 0.2,求该线路正常工作的概率. a b 解:
分别用事件C B A ,,表示元件c b a ,,正常,用D 表示线路正常
工作。

显然事件C B A ,,相互独立,且,9.0)(=A P ,7.0)(=B P ,8.0)(=C P 则
926
.08.07.09.08.07.09.0)()()()()()()()()()()(=⨯⨯-+⨯=-+=-+=+=C P B P A P C P B P A P ABC P C P AB P C AB P D P
4、某地区一年内发生洪水的概率为0.2,如果每年是否发生洪水是相互独立的.试求五年内至少有一
年发生洪水的概率.
解:用事件A 表示五年内至少有一年发生洪水,则A 表示五年内没有发洪水,有
67232.0)8.0(1)(1)(5=-=-=A P A P
5、设),(ηξ是二元随机变量,若,3
3
,34,4,1,4=====ξηρηηξξD E D E 求),123(--ηξE ).23(ηξ-D 解:31812123)123(=--=--=--ηξηξE E E
3
19
316893161294),cov(129)2()2,3cov(2)3()23(=
+-=+-=+-=+-=-ηξρηηξξηηξξηξξηD D D D D D D
二、解答题(共计70分)
6、(9分)设随机变量ξ服从]5,1[上的均匀分布,试求下列两种情况下)(b a P <<ξ的值. (1) a <1<b <5; (2)1<a <5<b .
解:由于随机变量ξ服从]5,1[上的均匀分布,故ξ的概率密度为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧≤≤=其他
,05
1,41)(x x ϕ
(1) a <1<b <5
41
41)()(1
-===<<⎰⎰
b dx dx x b a P b
a b ϕξ (2)1<a <5<b .
4
541)()(5a dx dx x b a P b
a a
-===<<⎰⎰
ϕξ 7、(9分)设随机变量ξ的密度函数为 ⎩⎨⎧>=-.0,
0)(其它,,x e x x ϕ
求2ξ的密度函数.
解:设)(2x F ξ为2ξ的分布函数,)(2x ξϕ为为2ξ的概率密度,则
⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧>≤=⎪
⎩⎪

⎧>≤≤-≤=≤=⎰-0
,
)(0
,00},
{0
,0}{)(22x dx x x x x x P x x P x F x x
ϕξξξ
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨
⎧>≤=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪
⎨⎧
>-+≤='=-0
,20
,00,2)()(0,0)()(22x x
e x x x x x x x F x x ϕϕϕξξ
8、(12分)某工厂有甲乙两个车间同时生产电视机,甲车间生产了180台电视机,其中有1%为不合
格电视机,乙车间生产了120台电视机,其中有2%为不合格电视机,现从生产出来的这300台电视机中任选一台,求:
(1) 选出的电视机是不合格电视机的概率;
(2) 已知选出的电视机是不合格电视机,它是由甲车间生产的概率. 解:(1)设B 表示300台电视机中任选一台,为不合格电视机,用21,A A 分别表示任选一台电视机是
甲、乙车间生产的,则21,A A 构成完备的事件组,且,4.0300
120
)(,6.0300180)(21====
A P A P 由全概率公式可得014.002.04.001.06.0)()()()()(2211=⨯+⨯=+=A
B P A P A B P A P B P (2)即求)(1B A P ,用贝叶斯公式可得
4286.0014
.0006
.0)
()
()()(111==
=
B P A B P A P B A P 9、(15分)已知随机变量ξ的密度函数为
()⎪⎩⎪⎨

<
<-
=
x x A x .,
022
,
cos 其它,
π
π
ϕ
求(1)常数A ; (2)分布函数)(x F ; (3).23⎪⎭

⎝⎛<<ξπP
解:(1)由概率密度的规范性可得
()12cos 2cos 20
22
====⎰⎰⎰-∞
+∞
-A dx x A xdx A x π
ππϕ
2
1
=
∴A (2)⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧≥
<
≤-+-<⎪
⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧≥=<
≤--<==⎰⎰-∞-2
,12
2
)1(sin 21
2,02,122,cos 2
1
2,0)()(2π
π
π
π
ππππϕπx x x x x x xdx x dx x x F x x
(3) 4321)123(211)3()2(23-
=+-=-=⎪⎭

⎝⎛<<πξπF F P 10、(15分)已知在有一级品2件,二级品5件,次品1件的口袋中,任取3件,用1ξ表示取到的一级
品数,2ξ表示取到的二级品数.
求(1)()21,ξξ的联合分布律;(2)()21,cov ξξ;(3)1ξ与2ξ是否独立?
解:(1) ())3,2,1,0,2,1,0(,,3
8
315221=====--j i C C C C j i P j
i j i
ξξ
(2)
()224
75815431415)(,cov 2
12121-=⨯-=
-=ξξξξξξE E E
(3)不独立。

11.设二维随机变量(X,Y )的联合概率密度为⎩⎨⎧>>=+-其它,00
,0,2),()(y x Ae y x f y x ,
求 : (1) A ; (2) 边缘密度函数()()y f x f Y X ,. 解:(1)由联合概率密度的规范性可得
1222),(0
)(0
====⎰⎰⎰⎰⎰⎰
+∞
-+∞
-+∞
+-+∞
+∞

-+∞

-A dy e dx e A dy e dx A dy y x f dx y x y x
2
1
=
∴A (2)
()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤===-∞
+--+∞
+∞

-⎰⎰
⎰0
,0
,00,0,
0),(),(0
x e
x x dy
e e x dy
y x f dy y x f x f x
y x X .
同理可得
()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>≤===-∞+--+∞
+∞∞
-⎰⎰
⎰0
,0
,00,0,
0),(),(00
y e
y y dx e e y dx
y x f dx y x f y f y
x y Y。

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