高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第九章平面解析几何第9课时抛物线

合集下载

2020版高考数学一轮复习第九章平面解析几何9

§9.7抛物线最新考纲考情考向分析1.掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质.2.会解决直线与抛物线的位置关系的问题.抛物线的方程、几何性质或与抛物线相关的综合问题是命题的热点.题型既有小巧灵活的选择、填空题，又有综合性较强的解答题.1.抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程与几何性质概念方法微思考1.若抛物线定义中定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是什么图形？提示过点F 且与l 垂直的直线.2.直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？提示直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.(×)(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，准线方程是x ＝－a 4.(×)(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.(×)(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .(√)(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .(√)题组二教材改编2.[P69例4]过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于()A.9B.8C.7D.6答案B解析抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.3.[P73A 组T3]若抛物线y 2＝4x 的准线为l ，P 是抛物线上任意一点，则P 到准线l 的距离与P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值是()A.2B.135C.145D.3答案A解析由抛物线定义可知点P 到准线l 的距离等于点P 到焦点F 的距离，由抛物线y 2＝4x 及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离.∴点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即|3＋7|32＋42＝2.故选A.4.[P72T1]已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为____________________.答案y2＝－8x或x2＝－y解析设抛物线方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝my(m≠0).将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.题组三易错自纠5.设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A.4B.6C.8D.12答案B解析如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点，过点P作PA⊥y轴，垂足是A，延长PA交直线l于点B，则|AB|＝2.由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|＝4＋2＝6，所以点P到焦点的距离|PF|＝|PB|＝6.故选B.6.已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()A.y2＝±22xB.y2＝±2xC.y2＝±4xD.y2＝±42x答案D解析由已知可知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0).设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则p2＝2，所以p＝22，所以抛物线方程为y2＝±42x.故选D.7.设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是__________.答案[－1，1]解析Q(－2，0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，符合题意，当k≠0时，由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k≤1且k≠0，综上，k的取值范围是[－1，1].题型一抛物线的定义和标准方程命题点1定义及应用例1设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________.答案4解析如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.引申探究1.若将本例中的B点坐标改为(3，4)，试求|PB|＋|PF|的最小值.解由题意可知点B(3，4)在抛物线的外部.∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1，0)，∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝42＋22＝25，即|PB|＋|PF|的最小值为2 5.2.若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值.解由题意知，抛物线的焦点为F(1，0).点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为|1＋5|12＋－12＝32，所以d1＋d2的最小值为32－1.命题点2求标准方程例2设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的标准方程为()A.y2＝4x或y2＝8xB.y2＝2x或y2＝8xC.y2＝4x或y2＝16xD.y2＝2x或y2＝16x答案C解析由题意知，x＝－p2，则由抛物线的定义知，x M＝5－p2，设以MF＝254，又因为圆过点(0，2)，所以y M＝4，又因为点M在C上，所以16＝2p＝2或p＝8，所以抛物线C的标准方程为y2＝4x或y2＝16x，故选C.思维升华(1)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径.(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.跟踪训练1(1)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________.答案5解析如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知，点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为[1－－1]2＋0－12＝ 5.(2)如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的标准方程为()A.y 2＝32xB.y 2＝9xC.y 2＝92xD.y 2＝3x答案D解析分别过点A ，B 作AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，且垂足分别为A 1，B 1，由已知条件|BC |＝2|BF |，得|BC |＝2|BB 1|，所以∠BCB 1＝30°.又|AA 1|＝|AF |＝3，所以|AC |＝2|AA 1|＝6，所以|CF |＝|AC |－|AF |＝6－3＝3，所以F 为线段AC 的中点.故点F 到准线的距离为p ＝12|AA 1|＝32，故抛物线的标准方程为y 2＝3x .题型二抛物线的几何性质例3(1)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于P ，Q 两点，且P ，Q 两点在准线上的射影分别为M ，N 两点，则S △MFN 等于()A.83p 2 B.233p 2C.433p 2D.833p 2答案B解析不妨设P 在第一象限，过Q 作QR ⊥PM ，垂足为R ，设准线与x 轴的交点为E ，∵直线PQ 的斜率为3，∴直线PQ 的倾斜角为60°.由抛物线焦点弦的性质可得|PQ |＝|PF |＋|QF |＝p1－cos60°＋p 1＋cos60°＝2p sin 260°＝83p .在Rt△PRQ 中，sin∠RPQ ＝|QR ||PQ |，∴|QR |＝|PQ |·sin∠RPQ ＝83p ×32＝433p ，由题意可知|MN |＝|QR |＝433，∴S △MNF ＝12|MN |·|FE |＝12×433p ×p ＝233p 2.故选B.(2)过点P (－2，0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且|PA |＝12|AB |，则点A到抛物线C 的焦点的距离为()A.53B.75C.97D.2答案A解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为点D ，E .∵|PA |＝12|AB |，x 1＋2＝x 2＋2，y 1＝y 2，21＝4x 1，22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53.思维升华在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.跟踪训练2(1)已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为()A.18B.24C.36D.48答案C解析以抛物线的顶点为原点，水平方向为x 轴，竖直方向为y 轴，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为y 2＝2px (p x ＝p2代入y 2＝2px ，可得y 2＝p 2，|AB |＝12，即2p ＝12，所以p ＝6.因为点P 在准线上，所以点P 到AB 的距离为p ＝6，所以△PAB 的面积为12×6×12＝36.(2)(2015·浙江)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是()A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF|＋1|AF|＋1D.|BF|2＋1|AF|2＋1答案A解析由图形可知，△BCF与△ACF有公共的顶点F，且A，B，C三点共线，则△BCF与△ACF的面积之比就等于|BC||AC|.由抛物线方程知焦点F(1，0)，作准线l，则l的方程为x＝－1.∵点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与y 轴分别交于点N，M.由抛物线定义，得|BM|＝|BF|－1，|AN|＝|AF|－1.在△CAN中，BM∥AN，∴|BC||AC|＝|BM||AN|＝|BF|－1|AF|－1.题型三直线与抛物线例4设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B 两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3.(1)求抛物线的标准方程；(2)设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点.连接QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PR恰与抛物线相切时，求直线m的方程.解(1)设抛物线的方程是x2＝2py(p>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义可知y1＋y2＋p＝8，又AB的中点到x轴的距离为3，∴y1＋y2＝6，∴p＝2，∴抛物线的标准方程是x2＝4y.(2)由题意知，直线m的斜率存在，设直线m：y＝kx＋6(k≠0)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，＝kx＋6，2＝4y，消去y得x2－4kx－24＝0，3＋x4＝4k，3·x4＝－24.(*)易知抛物线在点P3y －x 234＝x 32(x －x 3)，令y ＝－1，得x ＝x 23－42x 3，∴又Q ，F ，R 三点共线，∴k QF ＝k FR ，又F (0，1)，∴x 244－1x 4＝－1－1x 23－42x 3，即(x 23－4)(x 24－4)＋16x 3x 4＝0，整理得(x 3x 4)2－4[(x 3＋x 4)2－2x 3x 4]＋16＋16x 3x 4＝0，将(*)式代入上式得k 2＝14，∴k ＝±12，∴直线m 的方程为y ＝±12x ＋6.思维升华(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.(4)设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则①x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.②弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2α(α为弦AB 的倾斜角).③以弦AB 为直径的圆与准线相切.④通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦.跟踪训练3已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)和定点M (0，1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线交点为N .(1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；(2)若△ABN 面积的最小值为4，求抛物线C 的方程.解(1)可设AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将AB 的方程代入抛物线C ，得x 2－2pkx －2p ＝0，Δ＝4p 2k 2＋8p >0，显然方程有两不等实根，则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .①由x 2＝2py 得y ′＝xp，则A ，B 处的切线斜率乘积为x 1x 2p 2＝－2p＝－1，则有p ＝2.(2)设切线AN 为y ＝x 1px ＋b ，又切点A 在抛物线y ＝x 22p上，∴y 1＝x 212p ，∴b ＝x 212p －x 21p ＝－x 212p ，∴y AN ＝x 1p x －x 212p .同理y BN ＝x 2p x －x 222p.又∵N 在y AN 和y BN 上，＝x 1p x －x 212p，＝x 2p x －x 222p，解得∴N (pk ，－1).|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 24p 2k 2＋8p ，点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k 2，S △ABN ＝12·|AB |·d ＝p pk 2＋23≥22p ，∴22p ＝4，∴p ＝2，故抛物线C 的方程为x 2＝4y .直线与圆锥曲线问题的求解策略例(15分)已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q .(1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R，2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.规范解答解(1)∵抛物线C ：x 2＝1my ，∴它的焦点为分](2)∵|RF |＝y R ＋14m，∴2＋14m ＝3，得m ＝14.[4分]＝mx 2，x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2－2x －2＝0(m >0)，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)＝8m ＋4>0恒成立，方程必有两个不等实根.[7分]设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 221＋x 2＝2m，1·x 2＝－2m.(*)∵P 是线段AB 的中点，∴即y分]得QA →1－1m ，mx 21QB →2－1m ，mx 22若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →·QB →＝0，122122分]结合(*)式化简得－4m 2－6m ＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，∵m >0，∴m ＝2.∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形.[15分]解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；第三步：根据题目要求列出关于x 1x 2，x 1＋x 2(或y 1y 2，y 1＋y 2)的关系式，求得结果；第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况.1.(2018·浙江省名校联考)抛物线y ＝18x 2的焦点坐标为()A.(2，0)B.(0，2)解析抛物线的标准方程为x 2＝8y ，则其焦点坐标为(0，2)，故选B.2.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点A ∈l ，线段AF 交抛物线C 于点B ，若FA →＝3FB →，则|AF →|等于()A.3B.4C.6D.7答案B解析由已知B 为AF 的三等分点，作BH ⊥l 于H ，如图，则|BH |＝23|FK |＝43，∴|BF →|＝|BH →|＝43，∴|AF →|＝3|BF →|＝4，故选B.3.抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，过点F 作斜率为33的直线l 与抛物线在y 轴右侧的部分相交于点A ，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为H ，则△AHF 的面积是()A.4B.33C.43D.8答案C解析由抛物线的定义可得|AF |＝|AH |，∵AF 的斜率为33，∴AF 的倾斜角为30°，∵AH垂直于准线，∴∠FAH ＝60°，故△AHF为等边三角形.设m >0，过F 作FM ⊥AH 于M ，则在△FAM中，|AM |＝12|AF |，∴m 24－1＝m ＝23，故等边三角形AHF 的边长|AH |＝4，∴△AHF 的面积是12×4×4sin60°＝4 3.故选C.4.抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p 等于()A.2B.4C.6D.8解析∵△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，∴△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6.又∵圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p2，∴p 2＋p4＝6，∴p ＝8.故选D.5.过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值等于()A.13B.23C.34D.43答案A解析记抛物线y 2＝2px 的准线为l ′，如图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，AC ⊥BB 1，垂足分别是A 1，B 1，C ，则cos∠ABB 1＝|BC ||AB |＝|BB 1|－|AA 1||AF |＋|BF |＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |，即cos60°＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |＝12，由此得|AF ||BF |＝13.6.(2018·浙江省杭州市四校联考)直线l 交抛物线y 2＝4x 于A ，B 两点，C (－1，2)，若抛物线的焦点F 恰好为△ABC 的重心，则直线AB 的方程是()A.2x －y －3＝0B.2x －y －5＝0C.2x －y －5＝0或2x ＋y －3＝0D.2x ＋y －3＝0答案D 解析方法一由题意知，抛物线的焦点F (1，0).设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝－2，线段AB 的中点坐标为(2，－1).设直线AB 的方程为t (y ＋1)＝x －2，与抛物线方程联立，消去x 并整理得y 2－4ty －4(t ＋2)＝0，所以y 1＋y 2＝4t ＝－2，t ＝－12，则直线AB 的方程为－12(y ＋1)＝x －2，即2x ＋y －3＝0，故选D.方法二由题意知，抛物线的焦点F (1，0).设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝－2，线段AB 的中点坐标为(2，－1)，所以x 1≠x 2.又A ，B 在抛物线上，所以y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－2，则直线AB 的方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0，故选D.7.动点P 到点A (0，2)的距离比它到直线l ：y ＝－4的距离小2，则动点P 的轨迹方程为____________.答案x 2＝8y解析∵动点P 到点A (0，2)的距离比它到直线l ：y ＝－4的距离小2，∴动点P 到点A (0，2)的距离与它到直线y ＝－2的距离相等.根据抛物线的定义可得点P 的轨迹为以A (0，2)为焦点，以直线y ＝－2为准线的抛物线，其标准方程为x 2＝8y .8.(2018·浙江省名校协作体联考)已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，M 是抛物线C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若FM →＝12MN →，则|FN |＝________.答案5解析如图，过点M ，N 分别向抛物线y 2＝4x 的准线x ＝－1作垂线段MA ，NB ，其中MA 交y 轴于点C ，因为抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，所以|OF |＝1，因为FM →＝12MN →，所以|MC |＝23|OF |＝23，所以|MA |＝53，由抛物线的定义可得|MF |＝53，所以|MN |＝103，所以|FN |＝5.9.(2018·湖州模拟)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，|AF |·|FB |＝8，则p ＝______.答案2解析方法一由题意知，直线方程为y ＝x －p 2，得x ＝y ＋p2代入抛物线方程，得y 2＝2y 2－2py －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2＝－p 2，|AF |·|FB |＝2|y 1|·2|y 2|＝2|y 1y 2|＝2p 2＝8，得p ＝2.方法二由题意可知，1|FA |＋1|FB |＝2p ，得|FA |＋|FB |＝2p |FA |·|FB |＝16p ，即|AB |＝2p sin 245°＝16p，得p ＝2.10.如图，已知抛物线C ：x 2＝2y ，F 是其焦点，AB 是抛物线C 上的一条弦.若点A 的坐标为(－2，2)，点B 在第一象限上，且|BF |＝2|AF |，则直线AB 的斜率为________，△ABF 的外接圆的标准方程为____________.答案12＝12516解析因为|BF |＝2|AF |，所以y B ＋12＝2×Ay B ＝92，代入抛物线的方程得点BAB 的斜率k AB ＝92－23－－2＝12，直线AF 的斜率k AF ＝2－12－2－0＝－34，直线BF 的斜率k BF ＝92－123－0＝43，则k AF ·k BF ＝－1，直线AF 与直线BF 相互垂直，即△ABF 为直角三角形，则△ABF＝554，所以外接圆的标准方程为＝12516.11.(2018·浙江七彩阳光联盟联考)已知F 是抛物线C ：x 2＝4y 的焦点，点P 是不在抛物线上的一个动点，过点P 向抛物线C 作两条切线l 1，l 2，切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).(1)如果点P 在直线y ＝－1上，求1|AF |＋1|BF |的值；(2)若点P 在以F 为圆心，半径为4的圆上，求|AF |·|BF |的值.解(1)因为抛物线C 的方程为y ＝x 24所以y ′＝x2，所以切线PA 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即x 12x －y －y 1＝0，①同理切线PB 的方程为x 22x －y －y 2＝0，②设P (x 0，y 0)，则由①②得x 1x 0－2y 1－2y 0＝0及x 2x 0－2y 2－2y 0＝0，所以直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0.由于点P 是直线y ＝－1上的一个动点，所以y 0＝－1，即直线AB 的方程为x 0x －2y ＋2＝0，因此它过抛物线的焦点F (0，1).当x 0＝0时，AB 的方程为y ＝1，此时|AF |＝|BF |＝2，所以1|AF |＋1|BF |＝1；当x 0≠0时，把直线AB 的方程代入抛物线C 的方程，得y 2－(x 20＋2)y ＋1＝0，从而有y1y2＝1，y1＋y2＝x20＋2，所以1|AF|＋1|BF|＝1y1＋1＋1y2＋1＝y1＋y2＋2y1y2＋y1＋y2＋1综上可知，1|AF|＋1|BF|＝1.(2)由(1)知，切线PA的方程为y＝x12x－x214，切线PB的方程为y＝x22x－x224，联立得点设直线AB的方程为y＝kx＋m，代入抛物线C：x2＝4y，得x2－4kx－4m＝0，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m，所以点P的坐标为(2k，－m)，所以|PF|＝4k2＋m＋12＝4，即(m ＋1)2＝16－4k2，从而|AF|·|BF|＝(y1＋1)·(y2＋1)＝(kx1＋m＋1)(kx2＋m＋1)＝k2x1x2＋k(m ＋1)(x1＋x2)＋(m＋1)2＝－4mk2＋4k2(m＋1)＋16－4k2＝16.12.如图，过抛物线M：y＝x2上一点A(点A不与原点O重合)作抛物线M的切线AB交y轴于点B，点C是抛物线M上异于点A的点，设G为△ABC的重心(三条中线的交点)，直线CG 交y轴于点D.(1)设A(x0，x20)(x0≠0)，求直线AB的方程；(2)求|OB||OD|的值.解(1)因为y′＝2x，所以直线AB的斜率k＝＝2x0，所以直线AB的方程为y－x20＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－x20.(2)由题意及(1)得，点B的纵坐标y B＝－x20，所以AB设C(x1，y1)，G(x2，y2)，直线CG的方程为x＝my＋1 2 x0.＝my ＋12x 0，＝x 2，得m 2y 2＋(mx 0－1)y ＋14x 20＝0.因为G 为△ABC 的重心，所以y 1＝3y 2.由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝4y 2＝1－mx 0m2，y 1y 2＝3y 22＝x 204m2.所以1－mx 0216m 4＝x 2012m 2，解得mx 0＝－3±2 3.所以点D 的纵坐标y D ＝－x 02m ＝x 206±43，故|OB ||OD |＝|y By D |＝43±6.13.如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为()A.5B.6C.163D.203答案C 解析方法一如图所示，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l ，交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，解得y 1＝23，所以A (3，23)，又F (1，0)，所以直线AF 的斜率k ＝233－1＝3，所以直线AF 的方程为y ＝3(x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x ，得3x 2－10x ＋3＝0，所以x 1＋x 2＝103，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.故选C.方法二如图所示，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l ，交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，又x 1x 2＝p 24＝1，所以x 2＝13，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.故选C.方法三如图所示，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l ，交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163.故选C.14.如图所示，抛物线y ＝14x 2，AB 为过焦点F 的弦，过A ，B 分别作抛物线的切线，两切线交于点M ，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，M (x M ，y M )，则①若AB 的斜率为1，则|AB |＝4；②|AB |min ＝2；③y M ＝－1；④若AB 的斜率为1，则x M ＝1；⑤x A ·x B ＝－4.以上结论正确的个数是()A.1B.2C.3D.4答案B解析由题意得，焦点F (0，1)，对于①，l AB 的方程为y ＝x ＋1，与抛物线的方程联立，＝x＋1，＝14x2，消去x，得y2－6y＋1＝0，所以y A＋y B＝6，则|AB|＝y A＋y B＋p＝8，则①错误；对于②，|AB|min＝2p＝4，则②错误；因为y′＝x2，则l AM：y－y A＝x A2(x－x A)，即y＝12x A x－x2A4，l BM：y－y B＝x B2(x－x B)，即y＝12x B x－x2B4，联立l AM与l BM＝12x A x－x2A4，＝12x B x－x2B4，解得设l AB的方程为y＝kx＋1，与抛物线的方程联立，＝kx＋1，＝14x2，消去y，得x2－4kx－4＝0，所以x A＋x B＝4k，x A·x B＝－4，所以y M＝－1，③和⑤均正确；对于④，当AB的斜率为1时，x M＝2，则④错误，故选B.15.(2019·浙江省镇海中学模拟)已知抛物线y2＝4x，焦点记为F，过点F作直线l交抛物线于A，B两点，则|AF|－2|BF|的最小值为________.答案22－2解析当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，代入y2＝4x可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1·x2＝1.由抛物线的定义可得|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，所以|AF |－2|BF |＝x 1＋1－2x 2＋1＝x 1＋1x 2＋1－2x 2＋1＝x 1＋x 2x 2＋1＝1＋x 22x 2＋x 22＝11＋x 2－1x 22＋1.令x 2－1＝t (t >0)，则x 2＝t ＋1，所以|AF |－2|BF |＝11＋tt 2＋2t ＋2＝11＋12＋t ＋2t ≥11＋12＋22＝21＋23＋22＝21＋2＝22－2(当且仅当t ＝2时等号成立)；当直线l 的斜率不存在时，易得|AF |－2|BF |＝1.综上，|AF |－2|BF |的最小值为22－2.16.设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，求r 的取值范围.解如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x0，y 0)，21＝4x 1，22＝4x 2，两式相减得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2).当l 的斜率k 不存在时，符合条件的直线l 必有两条.当k 存在时，x 1≠x 2，则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2，又y 1＋y 2＝2y 0，所以y 0k ＝2.由CM ⊥AB ，得k ·y 0－0x 0－5＝－1，即y 0k ＝5－x 0，因此2＝5－x 0，x 0＝3，即M 必在直线x ＝3上.将x ＝3代入y 2＝4x ，得y2＝12，则有－23<y0<23，因为点M在圆上，所以(x0－5)2＋y20＝r2，故r2＝y20＋4<12＋4＝16.又y20＋4>4(为保证有4条，在k存在时，y0≠0)，所以4<r2<16，即2<r<4.。

高中数学考点-抛物线

9．8抛物线1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉______)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的________，直线l 叫做抛物线的________． 2．抛物线的标准方程及几何性质标准方程 y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p ＞0)x 2＝－2py (p ＞0)图形性质焦点 ① ②⎝⎛⎭⎫－p2，0 ③ ④⎝⎛⎭⎫0，－p 2 准线 ⑤x ＝－p2⑥ ⑦y ＝－p2⑧ 范围 ⑨x ≥0， y ∈R⑩⑪⑫y ≤0， x ∈R对称轴 ⑬⑭y 轴顶点 ⑮原点O (0，0)离心率 ⑯开口⑰⑱向左⑲向上⑳自查自纠1．l 焦点准线2．①⎝⎛⎭⎫p 2，0 ③⎝⎛⎭⎫0，p 2 ⑥x ＝p 2 ⑧y ＝p 2⑩x ≤0，y ∈R ○11y ≥0，x ∈R ○13x 轴 ○16e ＝1 ○17向右 ○20向下抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫18，0B.⎝⎛⎭⎫12，0 C.⎝⎛⎭⎫0，18 D.⎝⎛⎭⎫0，12 解：由抛物线的标准方程为x 2＝12y ，可知p 2＝18，所以焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，18.故选C. A (2，1)为抛物线x 2＝2py (p >0)上一点，则A 到该抛物线的焦点F 的距离为( ) A.32 B.2＋12 C ．2 D.2＋1解：把A (2，1)代入抛物线方程得2＝2p ，得p ＝1，所以A 到焦点的距离为1＋12＝32，则|AF |＝32，故选A.设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．[－2，2] C ．[－1，1] D ．[－4，4]解：由已知得Q (－2，0)，由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0，解得－1≤k ≤1.故选C. 已知直线l 过拋物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，且|AB |＝12，P 为C 的准线上的一点，则△ABP 的面积为________．解：设抛物线的焦点到准线的距离为p ，则由题意有2p ＝12，即p ＝6，则△ABP 的面积为12×12×6＝36.故填36.(2016·浙江)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是____________．解：由题意可知焦点F 的坐标为(1，0)，则准线方程为x ＝－1，设M (x M ，y M )，则x M ＋1＝10，所以x M ＝9，即M 到y 轴的距离是9.故填9.类型一抛物线的定义及标准方程(1)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( ) A ．x 2＝833y B ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y 解：因为x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为2，所以c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，所以b 2a 2＝3，ba＝ 3.x 2＝2py (p >0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，p 2，x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，即y ＝±3x .由题意得p 21＋（3）2＝2，所以p ＝8.故C 2的方程为x 2＝16y .故选D.(2)已知椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，点P 的坐标为(3，2)．若点M 为该抛物线上的动点，则|MP |＋|MF |的最小值为________．解：因为椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点F 为(1，0)，所以p2＝1，解得p ＝2，所以抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，如图所示，过M 作抛物线的准线l 的垂线MA ，垂足为A ，由抛物线的定义有|MA |＝|MF |，所以|MP |＋|MF |＝|MP |＋|MA |，显然当P ，M ，A 三点共线时，|MP |＋|MF |取得最小值．因为点P 的坐标为(3，2)，所以|MP |＋|MF |的最小值为3－(－1)＝4.故填4.【点拨】(1)求抛物线的标准方程，若开口未知，则要先判断开口，以便设方程；(2)求最值问题，则常借助抛物线定义及平面几何中三角形两边和大于第三边或两点直线段最短等性质．(1)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点(0，2)，则C 的方程为( ) A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x解：因为以MF 为直径的圆过点(0，2)，所以点M 在第一象限．由|MF |＝x M ＋p2＝5得M ⎝⎛⎭⎫5－p 2，2p ⎝⎛⎭⎫5－p 2，从而以MF 为直径的圆的圆心N 的坐标为⎝⎛⎭⎫52，122p ⎝⎛⎭⎫5－p 2. 因为点N 的横坐标恰好等于圆的半径，所以圆与y 轴切于点(0，2)，从而2＝122p ⎝⎛⎭⎫5－p2，即p 2－10p ＋16＝0，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .故选C.(2)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1，1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为________．解：如图，易知抛物线的焦点为F (1，0)，准线是x ＝－1，由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到F 的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P ，使点P 到点A (－1，1)的距离与点P 到F (1，0)的距离之和最小，显然，连接AF 与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为[1－（－1）]2＋（0－1）2＝ 5.故填 5.类型二抛物线焦点弦的性质如图，AB 为过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，点A ，B 在抛物线准线上的射影分别为A 1，B 1，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．求证：(1)||AB ＝x 1＋x 2＋p ；(2)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切；(4)1||AF ＋1||BF ＝2p. 证明：(1)由抛物线的定义知||AB ＝||AF ＋||BF ＝||AA 1＋||BB 1＝x 1＋x 2＋p .(2)当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为x ＝p 2，x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－2px 1·2px 2＝－p 2；当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2，联立抛物线方程，消x 得y 2－2pk y －p 2＝0，所以y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝y 212p ·y 222p＝p 24.(3)设AB 的中点为M ，M 到准线的距离为d ，则d ＝||AA 1＋||BB 12＝||AF ＋||BF 2＝||AB 2，所以以AB 为直径的圆与准线相切．(4)当直线AB 的斜率不存在时，1|AF |＋1|BF |＝1|AA 1|＋1|BB 1|＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝1p ＋1p ＝2p；当直线AB 的斜率存在时，因为x 1＋x 2＝⎝⎛⎭⎫y 1k ＋p 2＋⎝⎛⎭⎫y 2k ＋p 2＝y 1＋y 2k ＋p ＝2p k 2＋p ，x 1x 2＝p 24，所以1||AF ＋1||BF ＝1||AA 1＋1||BB 1＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2（x 1＋x 2）＋p 24＝2pk 2＋2p p 2＋p 2k2＝2p. 【点拨】本题小结了抛物线的焦点弦的有关性质，当抛物线的坐标方程形式发生变化时，性质(3)、(4)不变，性质(1)、(2)略有变化，如对于抛物线x 2＝2py ，性质(1)应为|AB |＝y 1＋y 2＋p ，性质(2)应为x 1x 2＝－p 2，y 1y 2＝p 24，其余情况可自行推导．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解：(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p2，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4. 由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0，即x 2－5x ＋4＝0，则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4，42)．设C (x 3，y 3)，则OC →＝(x 3，y 3)＝OA →＋λOB →＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(4λ＋1，42λ－22)．又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.1．抛物线的定义、标准方程和性质是解决有关抛物线问题的基础，应当熟练掌握．2．求抛物线的标准方程的常用方法是待定系数法或轨迹法．若抛物线的开口不确定，为避免多种情况分类求解的麻烦，可以设抛物线方程为y 2＝mx 或x 2＝ny (m ≠0，n ≠0)．若m ＞0，开口向右；若m ＜0，开口向左．m 有两解时，则抛物线的标准方程有两个．对n ＞0与n ＜0，有类似的讨论．3．抛物线的离心率e ＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题时，要看到焦点想准线(看到准线想焦点)，优先考虑利用抛物线的定义，将其转化为点到准线的距离，这样往往可以使问题简单化．4．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 5．抛物线的几个常用结论(1)抛物线上的点P (x 0，y 0)与焦点F 之间的线段长度(一般叫做抛物线的焦半径)记作r ＝||PF .①y 2＝2px (p ＞0)，r ＝x 0＋p2；②y 2＝－2px (p ＞0)，r ＝－x 0＋p2；③x 2＝2py (p ＞0)，r ＝y 0＋p2；④x 2＝－2py (p ＞0)，r ＝－y 0＋p2.(2)若AB 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点弦，A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，||AB ＝l .则：①x 1x 2＝p 24；②y 1y 2＝－p 2；③弦长l ＝x 1＋x 2＋p ，因x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ，故当x 1＝x 2时，l 取得最小值，最小值为2p ，此时弦AB 垂直于x 轴，所以抛物线的焦点弦中通径最短(垂直于抛物线对称轴的焦点弦叫做抛物线的通径)．1．(2016·河北唐山一模)已知抛物线的焦点F (a ，0)(a <0)，则抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝2ax B ．y 2＝4ax C ．y 2＝－2ax D ．y 2＝－4ax解：由题意可令抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)，由－p2＝a 可知p ＝－2a ，则抛物线的标准方程为y 2＝4ax .故选B.2．(2016·东北三省三校一联)点M (1，1)到抛物线y ＝ax 2准线的距离为2，则a 的值为( ) A.14 B ．－112 C.14或－112 D ．－14或112解：抛物线y ＝ax 2的准线方程为y ＝－14a ，依题意有⎪⎪⎪⎪1＋14a ＝2，解得a ＝14或a ＝－112.故选C. 3．(2016·全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx (k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2 解：因为y 2＝4x ，所以F (1，0)．又因为曲线y ＝kx (k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，所以P (1，2)．将点P (1，2)的坐标代入y ＝kx(k >0)，得k ＝2.故选D.4．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12解：因为抛物线y 2＝8x 的焦点为(2，0)，所以椭圆中c ＝2，又c a ＝12，所以a ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12，从而椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.因为抛物线y 2＝8x 的准线为x ＝－2，所以x A ＝x B ＝－2，将x A ＝－2代入椭圆方程可得|y A |＝3，由图象的对称性可知|AB |＝2|y A |＝6.故选B.5．(2016·运城期末)已知抛物线x 2＝ay 与直线y ＝2x －2相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为3，则此抛物线的方程为( )A ．x 2＝32y B ．x 2＝6yC ．x 2＝－3yD ．x 2＝3y 解：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，y ＝2x －2消去y 得x 2－2ax ＋2a ＝0，所以x 1＋x 22＝2a 2＝3，即a ＝3，因此所求的抛物线的方程为x 2＝3y .故选D.6．(2016·甘肃模拟)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值等于( )A.13B.23C.34D.43解：记抛物线y 2＝2px 的准线为l ′，如图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，AC ⊥BB 1，垂足分别是A 1，B 1，C.则有cos∠ABB 1＝||BC ||AB ＝|BB 1|－|AA 1||AF |＋|BF |＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |，即cos60°＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |＝12，由此得||AF ||BF ＝13.故选A.7．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2m ，水面宽4m ，当水下降1m 后，水面宽为________．解：建立如图所示的直角坐标系，设拱桥抛物线的方程为x 2＝－2py ，因为拱顶离水面2m ，水面宽4m ，所以22＝－2p ·(－2)，得p ＝1.所以抛物线方程为x 2＝－2y ，水面下降1m ，则y ＝－3，代入抛物线方程，得x 2＝－2×(－3)，x ＝±6，这时水面宽为26m.故填26m.8．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝________．解：焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫34，0，方法一：直线AB 的斜率为33，所以直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34，即y ＝33x －34，代入y 2＝3x ，得13x 2－72x ＋316＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12.方法二：由抛物线焦点弦的性质可得|AB |＝2p sin 2θ＝3sin 230°＝12.故填12.9．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |，求C 的方程．解：设Q (x 0，4)，代入y 2＝2px 得x 0＝8p ，所以|PQ |＝8p ，所以|QF |＝x 0＋p 2＝8p ＋p2.又因为|QF |＝54|PQ |，所以8p ＋p 2＝54·8p ，解得p ＝2(舍去负值)．所以C 的方程为y 2＝4x .10．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M . (1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标．解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，于是4＋p2＝5，所以p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x . (2)由(1)知点A 的坐标是(4，4)，由题意得B (0，4)，M (0，2)．又因为F (1，0)，所以k F A ＝43.因为MN ⊥F A ，所以k MN ＝－34.所以F A 的方程为y ＝43(x －1)，MN 的方程为y ＝－34x ＋2，联立⎩⎨⎧y ＝43（x －1），y ＝－34x ＋2，解方程组得x ＝85，y ＝45，所以点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45.11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过点C (－2，0)的直线l 交抛物线于A 、B 两点，坐标原点为O ，OA →·OB →＝12. (1)求抛物线的方程；(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程．解：(1)设直线l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则x 1x 2＝y 21y 224p 2＝4.因为OA →·OB →＝12，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12，所以p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .(2)(*)化为y 2－4my ＋8＝0，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8.设AB 的中点为M (x M ，y M )，则|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4，① 又|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝（1＋m 2）（16m 2－32），② 由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2，解得m 2＝3，m ＝± 3.所以直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0.(2016·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．解：由题知F ⎝⎛⎭⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝⎛⎭⎫a 22，a ，B ⎝⎛⎭⎫b 22，b ，P ⎝⎛⎭⎫－12，a ，Q ⎝⎛⎭⎫－12，b ，R ⎝⎛⎭⎫－12，a ＋b 2.记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a＝－aba ＝－b ＝k 2.所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1，0)，则S △ABF ＝12|b －a |·|FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题设可得|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1. 设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)．而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合．所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1．。

高考数学总复习(人教A版,理科)配套课件第九章平面解析几何 9.2

数学
R A（理）
§9.2 两直线的位置关系
第九章平面解析几何
基础知识·自主学习
要点梳理
1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行对于两条不重合的直线 l1、 l2，其斜率分别为 k1、 k2，则有 l1∥ l2 ⇔ k1＝k2 .特别地，当直线 l1、 l2 的斜率都不存在时， l1 与 l2
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾理清教材
3.三种距离公式 (1)点 A(x1， y1)、 B(x2， y2)间的距离： 2 2 x － x ＋ y － y 2 1 2 1 |AB|＝ . (2)点 P(x0， y0)到直线 l： Ax＋By＋ C＝0 的距离： d＝
|Ax0＋By0＋C| A2＋B2
①
②
由①②联立，解得 a＝2，b＝2.
(1)l1⊥ l2，且 l1 过点 (－ 3，－ 1)； (2)∵l2 的斜率存在，l1∥l2，
∴直线 l1 的斜率存在， a k1＝k2，即＝1－a. b
相等，且 l1∥l2，
③
又∵坐标原点到这两条直线的距离
题型分类·深度剖析
题型一两条直线的平行与垂直
思维启迪解析思维升华
a，b 的值.
即 b＝0.
(1)l1⊥l2，且 l1 过点(－3，－1)；又∵l1 过点(－3，－1)，
4 (2)l1∥l2，且坐标原点到这两 ∴－3a＋4＝0，即 a＝3(矛盾). ∴此种情况不存在，∴k2≠0.
条直线的距离相等 .
即 k1，k2 都存在， a ∵k2＝1－a，k1＝，l1⊥l2， b
2 ∴a＝2，b＝－2 或 a＝，b＝2. 3
题型分类·深度剖析
题型一两条直线的平行与垂直

高考数学总复习课件第9章平面解析几何

∴△AOC 是以∠C 为直角的等腰直角三角形，易得 C 点坐北
师
标为( 3， 3)．将( 3， 3)代入①式得 b2＝4，
大版
∴椭圆
M
的方程为x2 12
＋y42＝1.
第9章教师备课平台
高考数学总复习
(2)当直线 l 的斜率 k＝0 时，直线 l 的方程为 y＝t，则满足题意的 t 的取值范围为－2<t<2. 当直线 l 的斜率 k≠0 时，设直线 l 的方程为 y＝kx＋t.
师大
版
故对其不容忽视．
第9章教师备课平台
高考数学总复习
[例 6] (2012·枣庄模拟)已知 A、B、C 是椭圆 M：xa22＋yb22＝
1(a>b>0)上的三点，其中点 A 的坐标为(2 3，0)，BC 过椭圆 M
的中心，且A→C·B→C＝0，|B→C|＝2|A→C|(如图所示)．
北师
大
(1)求椭圆 M 的方程；
x2＋y2＝2502，直线 l 的方程为 y＝－x＋300，
由yx＝2＋－y2x＝＋2350002 得 x2－300x＋550×25＝0，
第9章教师备课平台
高考数学总复习
由于 Δ＝3002－4×550×25＝100×(900－550)>0，
因此，A 城将受影响．
北
圆心 A 到直线 l 的距离为 150 2，又圆半径为 250，得弦长
小值．
[解析] 令 y－3x＝b，则 y＝3x＋b，原问题转化为在椭圆1x62
北师大版
＋2y52 ＝1 上找一点，使过该点的直线斜率为 3，且在 y 轴上有最
大截距或最小截距．当直线 y＝3x＋b 与椭圆1x62 ＋2y52 ＝1 相切时，

高考数学一轮复习第九章平面解析几何9

高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.2 两条直线的位置关系考试要求 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．知识梳理1．两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况． (1)两条直线平行对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，且b 1≠b 2.对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)两条直线垂直对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 2．三种距离公式 (1)两点间的距离公式①条件：点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)． ②结论：|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.③特例：点P (x ，y )到原点O (0,0)的距离|OP |＝x 2＋y 2(2)点到直线的距离点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. (3)两条平行直线间的距离两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.常用结论 1．直线系方程(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )． (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋n ＝0(n ∈R )．(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.2．五种常用对称关系(1)点(x ，y )关于原点(0,0)的对称点为(－x ，－y )．(2)点(x ，y )关于x 轴的对称点为(x ，－y )，关于y 轴的对称点为(－x ，y )．(3)点(x ，y )关于直线y ＝x 的对称点为(y ，x )，关于直线y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )． (4)点(x ，y )关于直线x ＝a 的对称点为(2a －x ，y )，关于直线y ＝b 的对称点为(x ,2b －y )． (5)点(x ，y )关于点(a ，b )的对称点为(2a －x ,2b －y )．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( × ) (2)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．( × ) (3)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k 2.( × )(4)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离．( √ ) 教材改编题1．点A (2,5)到直线l ：x －2y ＋3＝0的距离为( ) A ．2 5B.55C. 5D.255答案 C解析点A (2,5)到直线l ：x －2y ＋3＝0的距离为d ＝|2－10＋3|1＋4＝ 5.2．直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m 等于( ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3 D ．－2或－3答案 C解析直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2(m ≠0)，故m＝2或－3.3．直线l 1：2x ＋y －1＝0和l 2：x －2y ＋7＝0的交点的坐标为________．答案 (－1,3)解析解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －1＝0，x －2y ＋7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，所以两条直线交点的坐标为(－1,3).题型一两条直线的平行与垂直例1 (1)(2022·汉中模拟)已知直线l 1：ax ＋(a ＋2)y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋2＝0(a ∈R )，则“e a ＝1e ”是“l 1∥l 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析当l 1∥l 2时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＋2＝0，2a －1≠0，解得a ＝－1或a ＝2. 而由e a ＝1e，解得a ＝－1，所以“e a ＝1e”是“l 1∥l 2”的充分不必要条件．(2)(2022·长春模拟)已知直线l 经过点(1，－1)，且与直线2x －y －5＝0垂直，则直线l 的方程为( )A ．2x ＋y －1＝0B ．x －2y －3＝0C ．x ＋2y ＋1＝0D ．2x －y －3＝0答案 C解析 ∵直线l 与直线2x －y －5＝0垂直， ∴设直线l 的方程为x ＋2y ＋c ＝0， ∵直线l 经过点(1，－1)， ∴1－2＋c ＝0，即c ＝1. 直线l 的方程为x ＋2y ＋1＝0.教师备选1．“m ＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A 解析由l 1⊥l 2，得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0， ∴m ＝3或m ＝－2，∴“m ＝3”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件．2．已知三条直线2x －3y ＋1＝0,4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23，43 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，－23D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23答案 D解析由题意得直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0或4x ＋3y ＋5＝0平行，或者直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点．当直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0或4x ＋3y ＋5＝0平行时，m ＝23或m ＝－43；当直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点时，m ＝－23.所以实数m 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23.思维升华判断两条直线位置关系的注意点 (1)斜率不存在的特殊情况．(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．跟踪训练1 (1)(2022·洛阳模拟)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC 的顶点A (2,0)，B (1,2)，且AC ＝BC ，则△ABC 的欧拉线的方程为( )A ．x －2y －4＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．4x ＋2y ＋1＝0D ．2x －4y ＋1＝0答案 D解析由题设，可得k AB ＝2－01－2＝－2，且AB 的中点为⎝⎛⎭⎫32，1，∴AB 垂直平分线的斜率k ＝－1k AB ＝12，故AB 的垂直平分线方程为 y ＝12⎝⎛⎭⎫x －32＋1＝x 2＋14， ∵AC ＝BC ，则△ABC 的外心、重心、垂心都在AB 的垂直平分线上， ∴△ABC 的欧拉线的方程为2x －4y ＋1＝0.(2)已知两直线l 1：x ＋y sin α＋1＝0和l 2：2x sin α＋y ＋1＝0.若l 1∥l 2，则α＝________. 答案 k π±π4，k ∈Z解析由A 1B 2－A 2B 1＝0，得1－2sin 2α＝0，所以sin α＝±22.又A 1C 2－A 2C 1≠0，所以1－2sin α≠0，即sin α≠12.所以α＝k π±π4，k ∈Z .故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.题型二两直线的交点与距离问题例2 (1)两条平行直线2x －y ＋3＝0和ax ＋3y －4＝0间的距离为d ，则a ，d 的值分别为( ) A ．a ＝6，d ＝63 B ．a ＝－6，d ＝53 C ．a ＝6，d ＝53D ．a ＝－6，d ＝63答案 B解析由题知2×3＝－a ，解得a ＝－6，又－6x ＋3y －4＝0可化为2x －y ＋43＝0，∴d ＝⎪⎪⎪⎪3－435＝53. (2)已知直线经过点(1,2)，并且与点(2,3)和(0，－5)的距离相等，则此直线的方程为________________．答案 4x －y －2＝0或x ＝1解析若所求直线的斜率存在，则可设其方程为 y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0，由题设有|2k －3－k ＋2|1＋k 2＝|0＋5－k ＋2|1＋k 2，即|k －1|＝|7－k |，解得k ＝4. 此时直线方程为4x －y －2＝0.若所求直线的斜率不存在，则直线方程为x ＝1，满足题设条件．故所求直线的方程为4x －y －2＝0或x ＝1. 教师备选1．经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________．答案 4x ＋3y －6＝0解析由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P (0,2)．因为l ⊥l 3，所以直线l 的斜率k ＝－43，所以直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.2．直线l 1经过点(3,0)，直线l 2经过点(0,4)，且l 1∥l 2，d 表示l 1和l 2之间的距离，则d 的取值范围是________．答案 (0,5]解析当直线l 1，l 2都与过(3,0)，(0,4)两点的直线垂直时， d max ＝32＋42＝5；当直线l 1和l 2都经过(3,0)，(0,4)两点时，两条直线重合．所以0<d ≤5.思维升华利用距离公式应注意的点(1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |. (2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x ，y 的系数化为相等．跟踪训练2 (1)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( ) A.95 B.185 C.2910 D.295 答案 C解析因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910.(2)点(0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)距离的最大值为( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 答案 B解析由y ＝k (x ＋1)可知直线过定点P (－1,0)，设A (0，－1)，当直线y ＝k (x ＋1)与AP 垂直时，点A 到直线y ＝k (x ＋1)的距离最大，即为|AP |＝ 2. 题型三对称问题命题点1 点关于点中心对称例3 过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________．答案 x ＋4y －4＝0解析设l 1与l 的交点为A (a ,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a ,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 命题点2 点关于直线对称例4 若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________. 答案345解析由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的垂直平分线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的垂直平分线，于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345.命题点3 线关于线对称例5 直线2x －4y －1＝0关于x ＋y ＝0对称的直线方程为( ) A ．4x －2y －1＝0 B ．4x －2y ＋1＝0 C ．4x ＋2y ＋1＝0 D ．4x ＋2y －1＝0答案 A解析设直线2x －4y －1＝0上一点P (x 0，y 0)关于直线x ＋y ＝0对称的点的坐标为P ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0x －x 0＝1，x ＋x 02＋y ＋y 02＝0，整理可得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－y ，y 0＝－x ，∴－2y ＋4x －1＝0，即直线2x －4y －1＝0关于x ＋y ＝0对称的直线方程为4x －2y －1＝0. 教师备选1.在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点．光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P (如图所示)．若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 的长度为( )A ．2B ．1 C.83 D.43答案 D解析以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知B (4,0)，C (0,4)，A (0,0)，则直线BC 的方程为x ＋y －4＝0.设P (t ,0)(0<t <4)，可得点P 关于直线BC 的对称点P 1的坐标为(4,4－t )，点P 关于y 轴的对称点P 2的坐标为(－t ,0)，根据反射定律可知直线P 1P 2就是光线RQ 所在的直线，由P 1，P 2两点的坐标可得直线P 1P 2的方程为y ＝4－t 4＋t ·(x ＋t )．设△ABC 的重心为G ，易知G ⎝⎛⎭⎫43，43.因为重心G ⎝⎛⎭⎫43，43在光线RQ 上，所以43＝4－t 4＋t ·⎝⎛⎭⎫43＋t ，得t ＝43(t ＝0舍去)，即|AP |＝43.2．已知三角形的一个顶点A (4，－1)，它的两条角平分线所在的直线方程分别为l 1：x －y －1＝0和l 2：x －1＝0，则BC 边所在直线的方程为________．答案 2x －y ＋3＝0解析易得A 不在l 1和l 2上，因此l 1，l 2为∠B ，∠C 的平分线，所以点A 关于l 1，l 2的对称点在BC 边所在的直线上，设点A 关于l 1的对称点为A 1(x 1，y 1)，点A 关于l 2的对称点为A 2(x 2，y 2)．则⎩⎪⎨⎪⎧4＋x 12－y 1－12－1＝0，y 1＋1x 1－4·1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3，所以A 1(0,3)，又易得点A 关于l 2的对称点A 2的坐标为(－2，－1)，所以BC 边所在直线的方程为y －3－1－3＝x －0－2－0，即2x －y ＋3＝0.思维升华对称问题的求解策略(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题．跟踪训练3 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A 的对称直线l ′的方程．解 (1)设A ′(x ，y )，由已知条件得 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设对称点M ′(a ，b )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. (3)方法一在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如P (1,1)，Q (4,3)，则P ，Q 关于点A (－1，－2)的对称点P ′，Q ′均在直线l ′上，易得P ′(－3，－5)，Q ′(－6，－7)，再由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0. 方法二 ∵l ∥l ′，∴设l ′的方程为2x －3y ＋C ＝0(C ≠1)． ∵点A (－1，－2)到两直线l ，l ′的距离相等， ∴由点到直线的距离公式，得|－2＋6＋C |22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32，解得C ＝－9，∴l ′的方程为2x －3y －9＝0.课时精练1．过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0 D ．x －2y ＋5＝0答案 A解析由题意可设所求直线方程为x －2y ＋m ＝0，将A (2,3)代入上式得2－2×3＋m ＝0，即m ＝4，所以所求直线方程为x －2y ＋4＝0.2．过直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点，且过原点的直线的方程为( ) A ．19x －9y ＝0 B ．9x ＋19y ＝0 C ．19x －3y ＝0 D ．3x ＋19y ＝0答案 D解析方法一解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0，可得直线l 1和l 2的交点坐标为⎝⎛⎭⎫－197，37，又所求直线过原点，所以所求的直线方程为y ＝－319x ，即3x ＋19y ＝0.方法二根据题意可设所求的直线方程为x －3y ＋4＋λ(2x ＋y ＋5)＝0，因为此直线过原点，所以4＋5λ＝0，解得λ＝－45，所以所求直线的方程为x －3y ＋4－45(2x ＋y ＋5)＝0，即3x ＋19y＝0.3．(2022·漳州质检)已知a 2－3a ＋2＝0，则直线l 1：ax ＋(3－a )y －a ＝0和直线l 2：(6－2a )x ＋(3a －5)y －4＋a ＝0的位置关系为( ) A ．垂直或平行 B ．垂直或相交 C ．平行或相交 D ．垂直或重合答案 D解析因为a 2－3a ＋2＝0，所以a ＝1或a ＝2. 当a ＝1时，l 1：x ＋2y －1＝0，l 2：4x －2y －3＝0， k 1＝－12，k 2＝2，所以k 1·k 2＝－1 ，则两直线垂直；当a ＝2时，l 1：2x ＋y －2＝0，l 2：2x ＋y －2＝0，则两直线重合． 4．点P (2,5)关于x ＋y ＋1＝0对称的点的坐标为( ) A ．(6,3) B ．(3，－6) C ．(－6，－3) D ．(－6,3) 答案 C解析设点P (2,5)关于x ＋y ＋1＝0的对称点为Q (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －5a －2·－1＝－1，a ＋22＋b ＋52＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝－3，即P (2,5)关于x ＋y ＋1＝0对称的点的坐标为(－6，－3)．5．已知直线l 1：ax ＋2y ＋1＝0与直线l 2：(3－a )x －y ＋a ＝0，若l 1∥l 2，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．6D ．1或2 答案 C解析 ∵直线l 1：ax ＋2y ＋1＝0与直线l 2：(3－a )x －y ＋a ＝0的斜率都存在，且l 1∥l 2， ∴k 1＝k 2，即－a2＝3－a ，解得a ＝6.6．已知直线l ：x －2y ＋8＝0和两点A (2,0)，B (－2，－4)，若直线l 上存在点P 使得|P A |＋|PB |最小，则点P 的坐标为( ) A ．(－2，－3) B ．(－2,3) C ．(2,3) D ．(－2,2)答案 B解析根据题意画出大致图象，如图．设点A 关于直线x －2y ＋8＝0的对称点为A 1(m ，n )．则有⎩⎪⎨⎪⎧n －0m －2·12＝－1，m ＋22－2·n ＋02＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝8.故A 1(－2,8)．此时直线A 1B 的方程为x ＝－2.所以当点P 是直线A 1B 与直线x －2y ＋8＝0的交点时，|P A |＋|PB |最小，将x ＝－2代入x －2y ＋8＝0，得y ＝3，故点P 的坐标为(－2,3)．7．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A ．3 2B ．2 2C ．3 3D ．4 2答案 A 解析 ∵l 1∥l 2，∴AB 的中点M 的轨迹是平行于l 1，l 2的直线，且到l 1，l 2的距离相等，易求得M 所在直线的方程为x ＋y －6＝0.∴中点M 到原点的最小距离为原点到直线x ＋y －6＝0的距离，即62＝3 2. 8．(2022·苏州模拟)已知直线l 1：ax －y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，a ∈R ，以下结论不正确的是( )A ．不论a 为何值时，l 1与l 2都互相垂直B ．当a 变化时，l 1与l 2分别经过定点A (0,1)和B (－1,0)C ．不论a 为何值，l 1与l 2都关于直线x ＋y ＝0对称D ．如果l 1与l 2交于点M ，O 为坐标原点，则|MO |的最大值是 2 答案 C解析对于A ，a ×1＋(－1)×a ＝0恒成立，l 1与l 2互相垂直恒成立，故A 正确；对于B ，直线l 1：ax －y ＋1＝0，当a 变化时，x ＝0，y ＝1恒成立，所以l 1恒过定点A (0,1)；l 2：x ＋ay ＋1＝0，当a 变化时，x ＝－1，y ＝0恒成立，所以l 2恒过定点B (－1,0)，故B 正确；对于C ，在l 1上任取点()x ，ax ＋1，其关于直线x ＋y ＝0对称的点的坐标为()－ax －1，－x ，代入l 2：x ＋ay ＋1＝0，则左边不恒等于0，故C 不正确；对于D ，联立⎩⎪⎨⎪⎧ax －y ＋1＝0，x ＋ay ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a －1a 2＋1，y ＝－a ＋1a 2＋1，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －1a 2＋1，－a ＋1a 2＋1，所以|MO |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －1a 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋1a 2＋12＝2a 2＋1≤2，所以|MO |的最大值是2，故D 正确．9．(2022·邯郸模拟)直线l 1：x ＋ay －2＝0(a ∈R )与直线l 2：y ＝34x －1平行，则a ＝________，l 1与l 2的距离为________．答案－43 25解析由题可知直线l 1的斜率为－1a (a ≠0)，直线l 2的斜率为34，所以－1a ＝34，解得a ＝－43，则直线l 1：x －43y －2＝0，即3x －4y －6＝0，直线l 2：y ＝34x －1，即3x －4y －4＝0，所以它们之间的距离为d ＝|－6＋4|32＋－42＝25. 10．直线3x －4y ＋5＝0关于直线x ＝1对称的直线的方程为________．答案 3x ＋4y －11＝0解析直线3x －4y ＋5＝0与x ＝1的交点坐标为(1,2)，又直线3x －4y ＋5＝0的斜率为34，所以关于直线x ＝1对称的直线的斜率为－34，故所求直线的方程为y －2＝－34(x －1)，即3x ＋4y －11＝0.11．已知直线l 1：ax ＋y ＋3a －4＝0，则原点O 到l 1的距离的最大值是________．答案 5解析直线l 1：ax ＋y ＋3a －4＝0等价于a (x ＋3)＋y －4＝0，则直线过定点A (－3,4)，当原点到l 1的距离最大时，满足OA ⊥l 1，此时原点到l 1的距离的最大值为 |OA |＝－32＋42＝5.12．已知l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1与l 2之间的距离最大时，直线l 1的方程是____________．答案 x ＋2y －3＝0解析当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2之间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.13．(2022·南通调研)在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线y ＝x ＋1x (x >0)上，则点P 到直线3x －4y －2＝0的距离的最小值为( ) A.45 B ．1 C.65 D.75 答案 C解析设点P (x 0，y 0)， y ＝f (x )＝x ＋1x(x >0)，则f ′(x 0)＝1－1x 20，点P 与直线3x －4y －2＝0的最小距离，即为f (x )在点P 处的切线的斜率等于直线3x －4y －2＝0的斜率时的情况，即满足1－1x 20＝34，解得x 0＝2，所以y 0＝2＋12＝52，所以点P ⎝⎛⎭⎫2，52，所以点P 到直线3x －4y －2＝0的距离的最小值为d ＝⎪⎪⎪⎪2×3－4×52－242＋32＝65.14．若两条平行直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与l 2：2x ＋ny －6＝0之间的距离是25，则直线l 1关于直线l 2对称的直线方程为( ) A ．x －2y －13＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．x －2y ＋4＝0 D ．x －2y －6＝0答案 A解析因为直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与l 2：2x ＋ny －6＝0平行，所以n ＝－2×2＝－4，又两条平行直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与l 2：2x ＋ny －6＝0之间的距离是25，所以|2m ＋6|4＋16＝25，解得m ＝7，即直线l 1：x －2y ＋7＝0，l 2：x －2y －3＝0，设直线l 1关于直线l 2对称的直线方程为x －2y ＋c ＝0，则|－3－7|5＝|－3－c |5，解得c ＝－13，故所求直线方程为x －2y －13＝0.15．定义点P (x 0，y 0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0(a 2＋b 2≠0)的有向距离为d ＝ax 0＋by 0＋c a 2＋b 2.已知点P 1，P 2到直线l 的有向距离分别是d 1，d 2.以下命题正确的是( ) A ．若d 1＝d 2＝1，则直线P 1P 2与直线l 平行 B ．若d 1＝1，d 2＝－1，则直线P 1P 2与直线l 垂直 C ．若d 1＋d 2＝0，则直线P 1P 2与直线l 垂直 D ．若d 1·d 2≤0，则直线P 1P 2与直线l 相交答案 A解析设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，对于A ，若d 1＝d 2＝1，则ax 1＋by 1＋c ＝ax 2＋by 2＋c ＝a 2＋b 2，直线P 1P 2与直线l 平行，正确；对于B ，点P 1，P 2在直线l 的两侧且到直线l 的距离相等，直线P 1P 2不一定与l 垂直，错误；对于C ，若d 1＝d 2＝0，满足d 1＋d 2＝0，即ax 1＋by 1＋c ＝ax 2＋by 2＋c ＝0，则点P 1，P 2都在直线l 上，所以此时直线P 1P 2与直线l 重合，错误；对于D ，若d 1·d 2≤0，即(ax 1＋by 1＋c )(ax 2＋by 2＋c )≤0，所以点P 1，P 2分别位于直线l 的两侧或在直线l 上，所以直线P 1P 2与直线l 相交或重合，错误．16．(2022·武汉调研)台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律．如图，有一张长方形球台ABCD ，AB ＝2AD ，现从角落A 沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C 的球袋中，则tan α的值为( )A.16或12B.12或1C.16或32 D ．1或32答案 C解析如图1，作A 关于DC 的对称点为E ，D 关于AB 的对称点为G ，C 关于AB 的对称点为F ，连接GF ，EF ，由题可得tan α＝EG GF ＝3AD 2AD ＝32.图1 图2 如图2，作A 关于BC 的对称点为G ，B 关于AD 的对称点为F ，C 关于AD 的对称点为E ，连接EF ，EG ，由题可得tan α＝EF GF ＝AD6AD ＝16.综上，tan α的值为16或32.。

高考数学一轮总复习第九章平面解析几何指点迷津九课件

= 1,
(1 -2 )
2
+ ( - )=0,所以有 kOM·kAB=- 2 .同理可证双曲线的结论.
1 2
2
推论 1:椭圆 2
+
2
=1(a>b>0)上一点
M
与过椭圆中心的弦的两端点所连的两
2

2
线段的斜率之积为定值- 2 .

2
推论 2:双曲线 2
−
2
=1(a>0,b>0)上一点
sin
2
1
1
(4)|| + || = 为定值(点 F 是抛物线的焦点).
过抛物线焦点的直线与抛物线的位置关系是高考命题的切入点,如果掌握
以上结论,在解题时可迅速打开思路.
例2.过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点.若|AF|=2|BF|,
则|AB|等于(
A.4
9
B. 2
2

2
之积为定值 2 .
证明:如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M(xM,yM),
由点 A,B 在椭圆上,得
2
即 2
12
2
22
2
12
+ 2

22
+ 2
= 1,
2 ( 1 - 2 )
2 (1 -2 )
两式相减得 2
+
=0,
2
)
C.5
D.6
答案 B
一般解法易知直线l的斜率存在,设为k,则其方程为y=k(x-1),k≠0.
= (-1),
由 2
得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0.

2022数学第九章解析几何9

第九章解析几何9。

1直线的倾斜角、斜率与直线的方程必备知识预案自诊知识梳理1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准,x轴与直线l的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为.（2）直线的倾斜角α的取值范围为。

2.直线的斜率（1）定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k=tan α，倾斜角是90°的直线没有斜率。

(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1），P2(x2,y2)（x1≠x2）的直线的斜率公.式为k=y2-y1x2-x13。

直线方程的五种形式考点自诊1。

判断下列结论是否正确，正确的画“√”,错误的画“×”.（1）直线的倾斜角越大，其斜率越大.（）(2）过点M(a，b），N（b,a）(a≠b)的直线的倾斜角是45°.（）（3）若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α。

（）(4)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y—y1）（x2—x1）=（x—x1）(y2-y1)表示。

(）（5)直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离.() 2。

直线2x·sin 210°—y-2=0的倾斜角是()A 。

45° B.135° C 。

30 D.150°3.如图所示，在同一直角坐标系中能正确表示直线y=ax 与y=x+a 的是( )4。

(2020山东德州高三诊测)过直线l ：y=x 上的点P (2，2）作直线m ，若直线l ，m 与x 轴围成的三角形的面积为2，则直线m 的方程为。

5.(2020云南丽江高三月考）经过点(4，1），且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程为 .关键能力学案突破考点直线的倾斜角与斜率【例1】(1)直线x-√3y+1=0的斜率为（ )A 。

√3B 。

2019高三数学(文)一轮复习课件：第九章平面解析几何 9-9

3 p 12，结合图象可得 O 到直线 AB 的距离 d＝2sin30° ＝8，所以△ 1 9 OAB 的面积 S＝2|AB|· d＝4.
9 [答案] 4
考点突破提能力
研一研练一练考点通关
考点一直线与抛物线的位置关系——偶考点已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F(1,0)，抛物线 E：x2＝2py 的焦点为 M. (1)若过点 M 的直线 l 的方程； (2)若直线 MF 与抛物线 C 交于 A， B 两点，求△OAB 的面积．
3．非焦点弦性质已知直线 l 与抛物线 y2＝2px(p>0)交于 A、B 两点，若 OA⊥ OB，则直线 l 过定点(2p,0)，反之亦成立．
[小题速练] 1．过点(0,1)作直线，使它与抛物线 y2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( A．1 条 ) B．2 条 C．3 条 D．4 条
[解析] 由 y2＝2x，得 p＝1，画出图形．设抛物线准线为 l，作 AA1⊥l，BB1⊥l，CC1⊥l |AA1|＋|BB1| A1、 B1、 C1 分别为垂足，则由梯形中位线有|CC1|＝ 2 |AF|＋|BF| |AB| 1 3 ＝＝ 2 ＝2，又|CC1|＝xC＋2＝2.∴xC＝2，选 C. 2
1 x ＝ 1 3，解得 2 3 2 3 y1＝－舍去， 3 3 由 A 在 x 轴上方，知 A(3,2
x2＝3， y2＝2 3－2
3舍去. → A F ＝(－2，
1 2 3 3)，B ，－，则 3 3
→ → → 2 3 2 －2 3)，F B ＝－，－，因为 A F ＝mFB，所以 m＝3. 3 3
[解析] 画出图形可知 y 轴是 y2＝4x 的一条切线，与 y2＝4x 仅有一个公共点，设 y＝kx＋1，与 y2＝4x 联立，得 k2x2＋(2k－4)x ＋1＝0，当 k＝0 时，y＝1 与 y2＝4x 只有一个交点．当 k≠0 时，由 Δ＝(2k－4)2－4k2＝0 得 k＝1，k＝1 时直线和抛物线只有一个交点，故选 C.

高考数学复习第九章平面解析几何9

答案解析
27/69
思维升华
(1)求过两直线交点直线方程方法: 求过两直线交点直线方程，先解方程组求出两直线交点坐标，再结合其它条件写出直线方程. (2)利用距离公式应注意: ①点P(x0，y0)到直线x＝a距离d＝|x0－a|，到直线y＝b距离d＝|y0－b|；②两平行线间距离公式要把两直线方程中x， y系数化为相等.
答案解析
直线AB方程为x＋y＝4, 点P(2,0)关于直线AB对称点为D(4,2), 关于y轴对称点为C(－2,0). 则光线经过旅程为CD＝ 62＋22＝2 10.
36/69
命题点3 直线关于直线对称问题例5 (·泰州模拟)已知直线l: 2x－3y＋1＝0，求直线m: 3x－2y－6＝0关于直线l对称直线m′方程.
a＋m b＋n
A·
2
＋B· 2
＋C＝0.
②直线关于直线对称可转化为点关于直线对称问题来处理.
39/69
跟踪训练3 已知直线l: 3x－y＋3＝0，求: (1)点P(4,5)关于l对称点；
解答
40/69
(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称直线方程；
解答
用③④分别代换x－y－2＝0中x, y,
得关于l对称直线方程为
思想方法指导规范解答
因为所求直线与3x＋4y＋1＝0平行, 所以, 可设该直线方程为3x＋4y ＋c＝0(c≠1).
44/69
二、垂直直线系因为直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直充要条件为A1A2 ＋B1B2＝0.所以, 当两直线垂直时, 它们一次项系数有必要关系.能够考虑用直线系方程求解. 典例2 求经过A(2,1), 且与直线2x＋y－10＝0垂直直线l方程.

(旧教材适用)2023高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第9讲抛物线(二)课件

(3)直线 l 与抛物线相 □03 离：k≠0，Δ<0.
抛物线焦点弦的几个常用结论设 AB 是过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则： (1)x1x2＝p42，y1y2＝－p2； (2)若 A 在第一象限，B 在第四象限，则|AF|＝x1＋p2＝1－pcosα，|BF|＝x2 ＋p2＝1＋pcosα，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝si2np2α(α 为弦 AB 的倾斜角)；
则|MN|＝12(|AC|＋|BD|) ＝12(|AF|＋|BF|)＝12|AB|. ∴以 AB 为直径的圆与抛物线准线相切．
(1)解决焦点弦问题时，要注意以下几点： ①设抛物线 y2＝2px(p>0)上的点为(x1，y1)，(x2，y2)； ②因为(x1，y1)，(x2，y2)在抛物线 y2＝2px(p>0)上，故满足 y21＝2px1，y22＝ 2px2； ③利用 y21y22＝4p2x1x2 可以整体得到 y1y2 或 x1x2. (2)利用抛物线的定义把过焦点的弦分成两个焦半径，然后转化为到准线的距离，再求解．
第9讲抛物线(二)
1
PART ONE
基础知识整合
直线与抛物线的位置关系
已知直线 l：y＝kx＋m，抛物线 y2＝2px(p>0)，联立yy2＝＝k2xp＋x，m，得 k2x2
＋2(mk－p)x＋m2＝0. (1)直线 l 与抛物线相
□01 切：k≠0，Δ＝0；
(2)直线 l 与抛物线相 □02 交：k≠0，Δ>0 或 k＝0；
2．(2021·四川名校联考)过抛物线 C：x2＝4y 的焦点 F 的直线 l 交 C 于 A， B 两点，点 A 处的切线与 x，y 轴分别交于 M，N 两点．若△MON 的面积为 12，则解|A析F|＝由__题_2_可__知__，. 直线 l 的斜率存在，且过抛物线 C：x2＝4y 的焦点 F，与其交于 A，B 两点，设 Aa，14a2.又 y＝14x2，所以 y′＝2x，所以点 A 处的切线方程为 y－14a2＝a2(x－a)．令 x＝0，可得 y＝－14a2，即 N0，－14a2；令 y＝0，可得 x＝a2，即 Ma2，0.因为△MON 的面积为12，所以12×－41a2×a2＝ 12，解得 a2＝4，所以|AF|＝14a2＋1＝2.

【最高考系列】(14年3月新版)高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第九章平面解析几何第9课时抛

第九章平面解析几何第9课时抛物线第十章 ⎝ ⎛⎭⎪⎫对应学生用书（文）134～136页（理）140～142页1. 已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是________．答案：x 2＝－12y解析：∵ p2＝3，∴ p ＝6，∴ x 2＝－12y.2. 抛物线y 2＝－8x 的准线方程是________．答案：x ＝2解析：∵ 2p ＝8，∴ p ＝4，故所求准线方程为x ＝2.3. 抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值是________．答案：－18解析：抛物线的标准方程为x 2＝1a y.则a ＜0且2＝－14a ，得a ＝－18.4. (选修11P 44习题2改编)抛物线y 2＝4x 上一点M 到焦点的距离为3，则点M 的横坐标x ＝________．答案：2解析：∵ 2p ＝4，∴ p ＝2，准线方程x ＝－1.由抛物线定义可知，点M 到准线的距离为3，则x ＋1＝3，即x ＝2.5. 已知斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax(a ＞0)的焦点F ，且与y 轴相交于点A ，若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为________．答案：y 2＝8x解析：依题意得，OF ＝a 4，又直线l 的斜率为2，可知AO ＝2OF ＝a2，△AOF 的面积等于12·AO ·OF ＝a216＝4，则a 2＝64.又a ＞0，所以a ＝8，该抛物线的方程是y 2＝8x. 1. 抛物线的定义平面内到一个定点F 和一条定直线l(F 不在l 上)距离相等_的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2. 抛物线的标准方程和几何性质(如下表所示)题型1求抛物线的基本量例1抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是________．答案：4解析：由y2＝2px＝8x知p＝4，又焦点到准线的距离就是p，所以焦点到准线的距离为4.备选变式（教师专享）抛物线y 2＝－8x 的准线方程是________．答案：x ＝2解析：∵2p ＝8，∴p ＝4，准线方程为x ＝2. 题型2 求抛物线的方程例2 (选修11P 44习题5改编)已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线2x －y －4＝0上，求抛物线的标准方程．解：直线2x －y －4＝0与x 轴的交点是(2，0)，与y 轴的交点是(0，－4)．由于抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，则①若抛物线焦点在x 轴上，则抛物线的标准方程是y 2＝8x ；②若抛物线焦点在y 轴上，则抛物线的标准方程是x 2＝－16y ；故所求抛物线方程为y 2＝8x 或x 2＝－16y.变式训练已知Rt △AOB 的三个顶点都在抛物线y 2＝2px 上，其中直角顶点O 为原点，OA 所在直线的方程为y ＝3x ，△AOB 的面积为63，求该抛物线的方程．解：∵ OA ⊥OB ，且OA 所在直线的方程为y ＝3x ，OB 所在直线的方程为y ＝－33x ，由⎩⎨⎧y 2＝2px ，y ＝3x ，得A 点坐标为⎝⎛⎭⎫2p 3，23p 3，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝－33x ，得B 点坐标为(6p ，－23p)，∴ OA ＝43|p|，OB ＝43|p|，又S △OAB ＝833p 2＝63，∴ p ＝±32.∴ 该抛物线的方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x. 题型3 抛物线的几何性质探究例3 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A(2，2)，其焦点F 在x 轴上．(1) 求抛物线C 的标准方程；(2) 求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程；(3) 设过点M(m ，0)(m>0)的直线交抛物线C 于D 、E 两点，ME ＝2DM ，记D 和E 两点间的距离为f(m)，求f(m)关于m 的表达式．解：(1)由题意，可设抛物线C 的标准方程为y 2＝2px.因为点A(2，2)在抛物线C 上，所以p ＝1.因此抛物线C 的标准方程为y 2＝2x.(2)由(1)可得焦点F 的坐标是⎝⎛⎭⎫12，0，又直线OA 的斜率为22＝1，故与直线OA 垂直的直线的斜率为－1，因此所求直线的方程是x ＋y －12＝0.(3)(解法1)设点D 和E 的坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，直线DE 的方程是y ＝k(x －m)，k ≠0.将x ＝y k ＋m 代入y 2＝2x ，有ky 2－2y －2km ＝0，解得y 1，2＝1±1＋2mk 2k.由ME ＝2DM 知1＋1＋2mk 2＝2(1＋2mk 2－1)，化简得k 2＝4m.因此DE 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2(y 1－y 2)2＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 24（1＋2mk 2）k 2＝94(m 2＋4m)，所以f(m)＝32m 2＋4m(m>0)．(解法2)设D ⎝⎛⎭⎫s 22，s ，E ⎝⎛⎭⎫t 22，t .由点M(m ，0)及ME →＝2DM →，得12t 2－m ＝2⎝⎛⎭⎫m －s 22，t －0＝2(0－s)．因此t ＝－2s ，m ＝s 2.所以f(m)＝DE ＝⎝⎛⎭⎫2s 2－s 222＋（－2s －s ）2＝32m 2＋4m(m>0)．备选变式（教师专享）抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－2，该抛物线上的每个点到准线x ＝－2的距离都与到定点N 的距离相等，圆N 是以N 为圆心，同时与直线l 1：y ＝x 和l 2：y ＝－x 相切的圆，(1) 求定点N 的坐标；(2) 是否存在一条直线l 同时满足下列条件：① l 分别与直线l 1和l 2交于A 、B 两点，且AB 中点为E(4，1)； ② l 被圆N 截得的弦长为2.解：(1) 因为抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－2.所以p ＝4，根据抛物线的定义可知点N 是抛物线的焦点，所以定点N 的坐标为(2，0)．(2) 假设存在直线l 满足两个条件，显然l 斜率存在，设l 的方程为y －1＝k(x －4)，k ≠±1.以N 为圆心，同时与直线l 1：y ＝x 和l 2：y ＝－x 相切的圆N 的半径为 2.因为l 被圆N 截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1, 即d ＝|2k －1|1＋k 2＝1，解得k ＝0或43，当k＝0时，显然不合AB 中点为E(4，1)的条件，矛盾，当k ＝43时，l 的方程为4x －3y －13＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －13＝0y ＝x ，解得点A 的坐标为(13，13)；由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －13＝0y ＝－x ，解得点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫137，－137.显然AB 中点不是E(4，1)，矛盾，所以不存在满足条件的直线l.1. 抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是________．答案：43解析：设抛物线y ＝－x 2上一点为(m ，－m 2)，该点到直线4x ＋3y －8＝0的距离为|4m －3m 2－8|5，当m ＝23时，取得最小值43.2. 已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________．答案：x 2＝16y解析：∵ 双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，∴ ca ＝a 2＋b 2a＝2，∴ b＝3a ，∴ 双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0，∴ 抛物线C 2：x 2＝2py(p ＞0)的焦点⎝⎛⎭⎫0，p 2到双曲线的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪3×0±p 22＝2，∴ p ＝8.∴ 所求的抛物线方程为x 2＝16y.3. 已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M(2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则OM ＝________．答案：23解析：依题意，设抛物线方程是y 2＝2px(p>0)，则有2＋p2＝3，得p ＝2，故抛物线方程是y 2＝4x ，点M 的坐标是(2，±22)，OM ＝22＋8＝2 3.4. 已知抛物线D 的顶点是椭圆C ：x 216＋y 215＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．(1) 求抛物线D 的方程；(2) 过椭圆C 右顶点A 的直线l 交抛物线D 于M 、N 两点． ① 若直线l 的斜率为1，求MN 的长；② 是否存在垂直于x 轴的直线m 被以MA 为直径的圆E 所截得的弦长为定值？如果存在，求出m 的方程；如果不存在，说明理由．解：(1) 由题意，可设抛物线方程为y 2＝2px(p>0)．由a 2－b 2＝4－3＝1，得c ＝1，∴ 抛物线的焦点为(1，0)，∴ p ＝2.∴ 抛物线D 的方程为y 2＝4x. (2) 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．① 直线l 的方程为y ＝x －4，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －4，y 2＝4x ，整理得x 2－12x ＋16＝0，即M(6－25，2－25)，N(6＋25，2＋25)，∴ MN ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝410.② 设存在直线m ：x ＝a 满足题意，则圆心E ⎝⎛⎭⎫x 1＋42，y 12，过E 作直线x ＝a 的垂线，垂足为E′，设直线m 与圆E 的一个交点为G.可得|E ′G|2＝|EG|2－|EE′|2，即|E′G|2＝|EA|2－|EE ′|2＝（x 1－4）2＋y 214－⎝⎛⎭⎫x 1＋42－a 2＝14y 21＋（x 1－4）2－（x 1＋4）24＋a(x 1＋4)－a 2＝x 1－4x 1＋a(x 1＋4)－a 2＝(a －3)x 1＋4a －a 2.当a ＝3时，|E ′G|2＝3，此时直线m 被以AM 为直径的圆E 所截得的弦长恒为定值23，因此存在直线m ：x ＝3满足题意．5. 如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py(p>0)上．(1) 求抛物线E 的方程；(2) 设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q.证明：以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．解：(1) 依题意，OB ＝83，∠BOy ＝30°.设B(x ，y)，则x ＝OBsin30°＝43，y ＝OBcos30°＝12.因为点B(43，12)在x 2＝2py 上，所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2.故抛物线E 的方程为x 2＝4y.(2) 由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x.设P(x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q 为⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1. 设M(0，y 1)，令MP →·MQ →＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立．由于MP →＝(x 0，y 0－y 1)，MQ →＝⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1－y 1，由MP →·MQ →＝0，得x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0，即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.(*)由于(*)式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0，解得y 1＝1.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M(0，1)．1. (文)已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是________．答案：相切解析：设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线为l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，则|AA 1|＝|AF|，|BB 1|＝|BF|，于是M 到l 的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF|＋|BF|)＝12|AB|＝半径，故相切． (理)下图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽________ m.答案：26解析：设抛物线的方程为x 2＝－2py ，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p ＝1，所以x 2＝－2y.当y ＝－3时，x 2＝6，即x ＝±6，所以水面宽为2 6.2. (文)已知抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点为F ，P 、Q 是抛物线上的两个点，若△PQF 是边长为2的正三角形，则p 的值是________．答案：2±3解析：依题意得F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设P ⎝⎛⎭⎫y 212p ，y 1，Q ⎝⎛⎭⎫y 222p ，y 2(y 1≠y 2)．由抛物线定义及PF ＝QF ，得y 212p ＋p 2＝y 222p ＋p 2，所以y 21＝y 22，所以y 1＝－y 2.又PQ ＝2，因此|y 1|＝|y 2|＝1，点P ⎝⎛⎭⎫12p ，1.又点P 位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得PF ＝12p ＋p2＝2，由此解得p ＝2±3. (理)拋物线顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知拋物线与双曲线的一个交点为⎝⎛⎭⎫32，6，求拋物线与双曲线方程．解：由题设知，拋物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p ＝2c ，设拋物线方程为y 2＝4c·x.∵拋物线过点⎝⎛⎭⎫32，6，∴6＝4c·32.∴c ＝1，故拋物线方程为y 2＝4x.又双曲线x 2a 2－y 2b2＝1过点⎝⎛⎭⎫32，6，∴94a 2－6b 2＝1.又a 2＋b 2＝c 2＝1，∴94a 2－61－a 2＝1.∴a 2＝14或a 2＝9(舍)．∴b 2＝34，故双曲线方程为4x 2－4y23＝1. 3. (文)如图，过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C.若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为________．答案：y 2＝3x解析：由抛物线定义，|BF|等于B 到准线的距离．由|BC|＝2|BF|，得∠BCM ＝30°.又|AF|＝3，从而A ⎝⎛⎭⎫p 2＋32，332.由A 在抛物线上，代入抛物线方程y 2＝2px ，解得p ＝32.(理)如图所示，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1⊥l 2，点N ∈l 1，以A 、B 为端点的曲线段C 上任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，|AM|＝17，|AN|＝3，且|NB|＝6，建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程．解：以直线l 1为x 轴，线段MN 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段．其中A 、B 分别为曲线段C 的端点．设曲线段C 的方程为y 2＝2px(p ＞0)(x A ≤x ≤x B ，y ＞0)，其中x A 、x B 为A 、B 的横坐标，p ＝|MN|，∴M ⎝⎛⎭⎫－p2，0、 N ⎝⎛⎭⎫p 2，0.由|AM|＝17，|AN|＝3，得⎝⎛⎭⎫x A ＋p 22＋2px A ＝17，①⎝⎛⎭⎫x A －p 22＋2px A ＝9.②联立①②，解得x A ＝4p ，代入①式，并由p ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，x A ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，x A ＝2.∵△AMN 为锐角三角形，∴p2＞x A .∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，x A ＝1.由点B 在曲线段C 上，得x B ＝|BN|－p 2＝4.综上，曲线C 的方程为y 2＝8x(1≤x ≤4，y>0)．4. (文)求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程． (1) 过点(－3，2)；(2) 焦点在直线x －2y －4＝0上．解：(1) 设所求抛物线的方程为y 2＝－2px 或x 2＝2py(p ＞0)．∵过点(－3，2)，∴4＝－2p(－3)或9＝2p·2.∴p ＝23或p ＝94.∴所求抛物线的方程为y 2＝－43x 或x 2＝92y ，前者的准线方程是x ＝13，后者的准线方程是y ＝－98.(2) 令x ＝0得y ＝－2，令y ＝0得x ＝4，∴抛物线的焦点为(4，0)或(0，－2)．当焦点为(4，0)时，p 2＝4，∴p ＝8，此时抛物线的方程为y 2＝16x ；焦点为(0，－2)时，p2＝2，∴p＝4，此时抛物线的方程为x 2＝－8y.∴所求抛物线的方程为y 2＝16x 或x 2＝－8y ，对应的准线方程分别是x ＝－4，y ＝2.(理)已知定点F(0，1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C. (1) 求动点C 的轨迹方程；(2) 过点F 的直线l 2交轨迹于两点P 、Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．解：(1) 由题设点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离， ∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线． ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y.(2) 由题意直线l 2的方程为y ＝kx ＋1，与抛物线方程联立消去y ，得x 2－4kx －4＝0.记P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.由直线PQ 的斜率k ≠0，易得点R 的坐标为⎝⎛⎭⎫－2k ，－1， RP →·RQ →＝⎝⎛⎭⎫x 1＋2k ，y 1＋1·⎝⎛⎭⎫x 2＋2k ，y 2＋1 ＝⎝⎛⎭⎫x 1＋2k ⎝⎛⎭⎫x 2＋2k ＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝⎛⎭⎫2k ＋2k (x 1＋x 2)＋4k 2＋4 ＝－4(1＋k 2)＋4k ⎝⎛⎭⎫2k ＋2k ＋4k 2＋4＝4⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2＋8. ∵k 2＋1k 2≥2，当且仅当k 2＝1时取到等号．∴RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →的最小值为16.1. 涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解．2. 求抛物线的方程一般是利用待定系数法，即求p ，但要注意判断标准方程的形式．3. 研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用．请使用课时训练（B）第9课时（见活页）.[备课札记]。

高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第九章平面解析几

第九章平面解析几何第10课时直线与圆锥曲线的综合应用(1)⎝⎛⎭⎪⎪⎫对应学生用书（文）137～140页（理）143～146页考情分析考点新知会利用方程(组)研究直线与圆锥曲线的位置关系，解决有关交点弦、弦长、中点及直线与圆锥曲线的有关问题．会利用方程(组)研究直线与圆锥曲线的位置关系，解决有关弦长及直线与圆锥曲线的有关问题.1. 直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是________．答案：相交解析：由于直线y ＝kx －k ＋1＝k(x －1)＋1过定点(1，1)，而(1，1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．2. 椭圆x 225＋y 29＝1的两焦点为F 1、F 2，一直线过F 1交椭圆于P 、Q ，则△PQF 2的周长为________．答案：20 解析：△PQF 2的周长＝4a ＝20.3. 已知双曲线方程是x 2－y 22＝1，过定点P(2，1)作直线交双曲线于P 1、P 2两点，并使P(2，1)为P 1P 2的中点，则此直线方程是____________．答案：4x －y －7＝0解析：设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则由x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1，得k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝2（x 2＋x 1）y 2＋y 1＝2×42＝4，从而所求方程为4x －y －7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x 2－56x ＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件．4. 若斜率为22的直线l 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)有两个不同的交点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为________．答案：22解析：由题意易知两交点的横坐标为－c 、c ，纵坐标分别为－b 2a 、b 2a ，所以由b 2a －⎝⎛⎭⎫－b 2ac －（－c ）＝22得2b 2＝2ac ＝2(a 2－c 2)，即2e 2＋2e －2＝0，解得e ＝22或e ＝－2(负根舍去)． 5. 已知双曲线E 的中心为原点，F(3，0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且AB 的中点为N(－12，－15)，则E 的方程为____________．答案：x 24－y 25＝1解析：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2（x 1＋x 2）a 2（y 1＋y 2）＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2，又AB的斜率是－15－0－12－3＝1，所以将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线的标准方程是x 24－y 25＝1.1. 直线与圆锥曲线的位置关系判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y(或x)得关于变量x(或y)的方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)．若a ≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有：Δ>0直线与圆锥曲线相交； Δ＝0直线与圆锥曲线相切； Δ<0直线与圆锥曲线相离．若a ＝0且b ≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 2. 圆锥曲线的弦长问题设直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则弦长AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|或1＋1k2|y 1－y 2|.[备课札记]题型1 如何研究直线与圆锥曲线中的分线段成比例的问题例1 已知曲线E ：ax 2＋by 2＝1(a>0，b>0)，经过点M ⎝⎛⎭⎫33，0的直线l 与曲线E 交于点A 、B ，且MB →＝－2MA →.(1) 若点B 的坐标为(0，2)，求曲线E 的方程； (2) 若a ＝b ＝1，求直线AB 的方程．解：(1) 设A(x 0，y 0)，由已知B(0，2)，M(33，0)，所以MB →＝⎝⎛⎭⎫－33，2，MA →＝(x 0－33，y 0)．由于MB →＝－2MA →，所以(－33，2)＝－2(x 0－33，y 0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝32，y 0＝－1，即A(32，－1)，将A 、B 点的坐标代入曲线E 的方程，得⎩⎨⎧a·⎝⎛⎭⎫322＋b·（－1）2＝1，a ·02＋b·22＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝14，所以曲线E 的方程为x 2＋y 24＝1. (2) 当a ＝b ＝1时，曲线E 为圆x 2＋y 2＝1，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．又MB →＝－2MA →，所以⎝⎛⎭⎫x 2－33，y 2＝－2(x 1－33，y 1)，即有⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＋x 2＝3，2y 1＋y 2＝0，x 21＋y 21＝1 ①，x 22＋y 22＝1 ②，由①×4－②，得(2x 1＋x 2)(2x 1－x 2)＝3，所以2x 1－x 2＝3，解得x 1＝32，x 2＝0.由x 1＝32，得y 1＝±12.当A ⎝⎛⎭⎫32，－12时，B(0，－1)，此时k AB ＝－3，直线AB 的方程为y ＝－3x ＋1；当A ⎝⎛⎭⎫32，12时，B(0，1)，此时k AB ＝3，直线AB 的方程为y ＝3x －1.备选变式（教师专享）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，与过右焦点F 且斜率为k(k>0)的直线相交于A 、B 两点．若AF →＝3FB →，则k ＝________．答案：2 解析：定点F 分线段AB 成比例，从而分别可以得出A 、B 两点横坐标之间关系式、纵坐标之间关系式，再把A 、B 点的坐标代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，四个方程联立方程组，解出根，得出A 、B 两点的坐标，进而求出直线AB 的方程．由已知e ＝c a ＝1－b 2a 2＝32，所以a ＝2b ，所以a ＝23c ，b ＝c3.椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1变为34x 2＋3y 2＝c 2.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，又AF →＝3FB →，所以(c －x 1，－y 1)＝3(x 2－c ，y 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧c －x 1＝3（x 2－c ），－y 1＝3y 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋3x 2＝4c ，y 1＋3y 2＝0，34x 21 ＋ 3y 21 ＝ c 2，① 34x 22＋ 3y 22 ＝ c 2，② ①－9×②，得34(x 1＋3x 2)(x 1－3x 2)＋3(y 1＋3y 2)(y 1－3y 2)＝－8c 2，所以34×4c(x 1－3x 2)＝－8c 2，所以 x 1－3x 2＝－83c ，所以x 1＝23c ，x 2＝109c.从而y 1＝－23c ，y 2＝29c ，所以A ⎝⎛⎭⎫23c ，－23c ，B ⎝⎛⎭⎫109c ，29c ，故k ＝ 2.题型2 有关垂直的问题例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆x 24＋y 22＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连结AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k.(1) 若直线PA 平分线段MN ，求k 的值； (2) 当k ＝2时，求点P 到直线AB 的距离d ； (3) 对任意k>0，求证：PA ⊥PB.(1) 解：由题设知，a ＝2，b ＝2，故M(－2，0)，N(0，－2)，所以线段MN 中点的坐标为⎝⎛⎭⎫－1，－22.由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点．又直线PA 过坐标原点，所以k ＝－22－1＝22.(2) 解：将直线PA 的方程y ＝2x 代入椭圆方程x 24＋y 22＝1，解得x ＝±23，因此P ⎝⎛⎭⎫23，43，A ⎝⎛⎭⎫－23，－43.于是C ⎝⎛⎭⎫23，0，直线AC 的斜率为0＋4323＋23＝1，故直线AB 的方程为x －y －23＝0.因此，d ＝⎪⎪⎪⎪23－43－2312＋12＝223.(3) 证明：设P(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0，x 1≠x 2，A(－x 1，－y 1)，C(x 1，0)，设直线PA 、PB 、AB 的斜率分别为k 、k 1、k 2.因为C 在直线AB 上，所以k 2＝0－（－y 1）x 1－（－x 1）＝y 12x 1＝k2.从而k 1k ＋1＝2k 1k 2＋1＝2·y 2－y 1x 2－x 1·y 2－（－y 1）x 2－（－x 1）＋1＝2y 22－2y 21x 22－x 21＋1＝（2y 22＋x 22）－（2y 21＋x 21）x 22－x 21＝4－4x 22－x 21＝0. 因此k 1k ＝－1，所以PA ⊥PB.备选变式（教师专享）如图，F 是中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆C 的右焦点，直线l ：x ＝4是椭圆C 的右准线，F 到直线l 的距离等于3.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 点P 是椭圆C 上动点，PM ⊥l ，垂足为M.是否存在点P ，使得△FPM 为等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1) 设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知，得⎩⎨⎧a 2c ＝4，a2c－c ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1.∴b＝ 3.所以椭圆C 的方程为x 24 ＋ y 23＝1.(2) 由PF PM ＝e ＝12，得PF ＝12PM.∴PF ≠PM.①若PF ＝FM ，则PF ＋FM ＝PM ，与“三角形两边之和大于第三边”矛盾，∴PF 不可能与PM 相等．②若FM ＝PM ，设P(x ，y)(x ≠±2)，则M(4，y)．∴32＋y 2＝4－x ，∴9＋y 2＝16－8x ＋x 2.又由x 24＋y 23＝1，得y 2＝3－34x 2.∴9＋3－34x 2＝16－8x ＋x 2，∴74x 2－8x ＋4＝0.∴7x 2－32x ＋16＝0.∴x ＝47或x ＝4. ∵x ∈(－2，2)，∴x ＝47.∴P ⎝⎛⎭⎫47，±3157.综上，存在点P ⎝⎛⎭⎫47，±3157，使得△PFM 为等腰三角形．题型3 直线与圆锥曲线例3 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 29＋y 25＝1的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F.设过点T(t ，m)的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，其中m>0，y 1>0，y 2<0.(1) 设动点P 满足PF 2－PB 2＝4，求点P 的轨迹；(2) 设x 1＝2，x 2＝13，求点T 的坐标；(3) 设t ＝9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)． (1) 解：设点P(x ，y)，则F(2，0)、B(3，0)、A(－3，0)．由PF 2－PB 2＝4，得(x －2)2＋y 2－[(x －3)2＋y 2]＝4，化简得x ＝92，故所求点P 的轨迹为直线x ＝92.(2) 解：将x 1＝2，x 2＝13分别代入椭圆方程，以及y 1>0，y 2<0得M ⎝⎛⎭⎫2，53、N ⎝⎛⎭⎫13，－209.直线MTA 的方程为y －053－0＝x ＋32＋3，即y ＝13x ＋1.直线NTB 的方程为y －0－209－0＝x －313－3，即y ＝56x－52.联立方程组，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝103，所以点T 的坐标为⎝⎛⎭⎫7，103. (3) 证明：点T 的坐标为(9，m)，直线MTA 的方程为y －0m －0＝x ＋39＋3，即y ＝m12(x ＋3)．直线NTB 的方程为y －0m －0＝x －39－3，即y ＝m6(x －3)．分别与椭圆x 29＋y 25＝1联立方程组，同时考虑到x 1≠－3，x 2≠3，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3（80－m 2）80＋m 2，40m 80＋m 2、N(3（m 2－20）20＋m 2，－20m 20＋m 2)． (证法1)当x 1≠x 2时，直线MN 的方程为y ＋20m20＋m 240m 80＋m 2＋20m 20＋m 2＝x －3（m 2－20）20＋m 23（80－m 2）80＋m 2－3（m 2－20）20＋m 2，令y ＝0，解得x ＝1，此时必过点D(1，0)；当x 1＝x 2时，直线MN 的方程为x ＝1，与x 轴交点为D(1，0)，所以直线MN 必过x 轴上的一定点D(1，0)．(证法2)若x 1＝x 2，则由240－3m 280＋m 2＝3m 2－6020＋m 2及m>0，得m ＝210，此时直线MN 的方程为x ＝1，过点D(1，0)．若x 1≠x 2，则m ≠210. 直线MD 的斜率k MD ＝40m 80＋m 2240－3m 280＋m 2－1＝10m40－m 2，直线ND 的斜率k ND ＝－20m20＋m 23m 2－6020＋m 2－1＝10m40－m 2，得k MD ＝k ND ，所以直线MN 过D 点．因此，直线MN 必过x 轴上的点D(1，0)．变式训练已知椭圆C：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为22.直线y ＝k(x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 当△AMN 的面积为103时，求k 的值．解：(1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k(x 1－1)，y 2＝k(x 2－1)， x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，所以MN ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝2（1＋k 2）（4＋6k 2）1＋2k 2.又因为点A(2，0)到直线y ＝k(x －1)的距离d ＝|k|1＋k2，所以△AMN 的面积为S ＝12MN ·d＝|k|4＋6k 21＋2k 2.由|k|4＋6k 21＋2k 2＝103，解得k ＝±1.【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分16分)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于3，过右焦点F 2的直线l 交双曲线于A 、B 两点，F 1为左焦点．(1) 求双曲线的方程；(2) 若△F 1AB 的面积等于62，求直线l 的方程．学生错解：解：(2) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，F(2，0)，直线l ：y ＝k(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），x 2－y 23＝1，消元得(k 2－3)x 2－4k 2x ＋4k 2＋3＝0，x 1＋x 2＝4k 2k 2－3，x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3，y 1－y 2＝k(x 1－x 2)，△F 1AB 的面积S ＝c|y 1－y 2|＝2|k|·|x 1－x 2|＝2|k|（4k 2）2－4（k 2－3）（4k 2＋3）|k 2－3|＝2|k|·6k 2＋1|k 2－3|＝63k 4＋8k 2－9＝0k 2＝1k ＝±1，所以直线l 的方程为y ＝±(x －2)．审题引导： (1) 直线与双曲线相交问题时的处理方法；(2) △F1AB面积的表示．规范解答：解：(1) 依题意，b ＝3，c a＝2a＝1，c＝2，(4分)∴双曲线的方程为x2－y23＝1.(6分)(2) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F2(2，0)，直线l：y＝k(x－2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y＝k（x－2），x2－y23＝1，消元得(k2－3)x 2－4k2x＋4k2＋3＝0，(8分)k≠±3时，x1＋x2＝4k2k2－3，x1x2＝4k2＋3k2－3，y1－y2＝k(x1－x2)，(10分) △F1AB的面积S＝c|y1－y2|＝2|k|·|x1－x2|＝2|k|·（4k2）2－4（k2－3）（4k2＋3）|k2－3|＝2|k|·k2＋1|k2－3|＝63k4＋8k2－9＝0k2＝1k＝±1，(14分)所以直线l的方程为y＝±(x－2)．(16分)错因分析：解本题时容易忽略二次项系数不为零，即k≠±3这一条件．1. 设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．答案：[－1，1]解析：易知抛物线y2＝8x的准线x＝－2与x轴的交点为Q(－2，0)，于是，可设过点Q(－2，0)的直线l的方程为y＝k(x＋2)(由题可知k是存在的)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y2＝8x，y＝k（x＋2）k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0.其判别式为Δ＝(4k2－8)2－16k4＝－64k2＋64≥0，可解得－1≤k≤1.2. 如图，过抛物线C：y2＝4x上一点P(1，－2)作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点A(x，y1)，B(x2，y2)．(1) 求y1＋y2的值；(2) 若y1≥0，y2≥0，求△PAB面积的最大值．解：(1) 因为A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线C：y2＝4x上，所以A⎝⎛⎭⎫y214，y1，B⎝⎛⎭⎫y224，y2，k PA＝y1＋2y214－1＝4（y1＋2）y21－4＝4y1－2，同理k PB＝4y2－2，依题意有k PA＝－k PB，因为4y1－2＝－4y2－2，所以y1＋y2＝4.(2) 由(1)知k AB＝y2－y1y224－y214＝1，设AB的方程为y－y1＝x－y214，即x－y＋y1－y214＝0，P到AB 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪3＋y 1－y 2142，AB ＝2·⎪⎪⎪⎪y 214－y 224＝2|y 1－y 2|＝22|2－y 1|，所以S △PAB ＝12×⎪⎪⎪⎪3＋y 1－y 2142×22|2－y 1|＝14|y 21－4y 1－12||y 1－2|＝14|(y 1－2)2－16|·|y 1－2|，令y 1－2＝t ，由y 1＋y 2＝4，y 1≥0，y 2≥0，可知－2≤t ≤2.S △PAB ＝14|t 3－16t|，因为S △PAB ＝14|t 3－16t|为偶函数，只考虑0≤t ≤2的情况，记f(t)＝|t 3－16t|＝16t －t 3，f ′(t)＝16－3t 2>0，故f(t)在[0，2]是单调增函数，故f(t)的最大值为f(2)＝24，故S △PAB 的最大值为6.3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝16，点F(1，0)，E 是圆C 上的一个动点，EF 的垂直平分线PQ 与CE 交于点B ，与EF 交于点D.(1) 求点B 的轨迹方程；(2) 当点D 位于y 轴的正半轴上时，求直线PQ 的方程；(3) 若G 是圆C 上的另一个动点，且满足FG ⊥FE ，记线段EG 的中点为M ，试判断线段OM 的长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．解：(1) 连结BF ，由已知BF ＝BE ，所以BC ＋BF ＝BC ＋BE ＝CE ＝4，所以点B 的轨迹是以C 、F 为焦点，长轴为4的椭圆，所以B 点的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2) 当点D 位于y 轴的正半轴上时，因为D 是线段EF 的中点，O 为线段CF 的中点，所以CE ∥OD ，且CE ＝2OD ，所以E 、D 的坐标分别为(－1，4)和(0，2)．因为PQ 是线段EF 的垂直平分线，所以直线PQ 的方程为y ＝12x ＋2，即直线PQ 的方程为x －2y ＋4＝0.(3) 设点E 、G 的坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，则点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，因为点E 、G 均在圆C 上，且FG ⊥FE ，所以(x 1＋1)2＋y 21＝16，① (x 2＋1)2＋y 22＝16，②(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝0，③所以x 21＋y 21＝15－2x 1，x 22＋y 22＝15－2x 2，x 1x 2＋y 1y 2＝x 1＋x 2－1.所以MO 2＝14[(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2]＝14·[(x 21＋y 21)＋(x 22＋y 22)＋2(x 1x 2＋y 1y 2)]＝14[15－2x 1＋15－2x 2＋2(x 1＋x 2－1)]＝7，即M 点到坐标原点O 的距离为定值，且定值为7.4. 给定椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)，称圆心在原点O 、半径是a 2＋b 2的圆为椭圆C 的“准圆”．已知椭圆C 的一个焦点为F(2，0)，其短轴的一个端点到点F 的距离为 3.(1) 求椭圆C 和其“准圆”的方程；(2) 若点A 是椭圆C 的“准圆”与x 轴正半轴的交点，B 、D 是椭圆C 上的两相异点，且BD ⊥x 轴，求AB →·AD →的取值范围；(3) 在椭圆C 的“准圆”上任取一点P ，过点P 作直线l 1，l 2，使得l 1，l 2与椭圆C 都只有一个交点，试判断l 1，l 2是否垂直？并说明理由．解：(1) 由题意知c ＝2，且a ＝b 2＋c 2＝3，可得b ＝1，故椭圆C 的方程为x 23＋y2＝1，其“准圆”方程为x 2＋y 2＝4.(2) 由题意，可设B(m ，n)，D(m ，－n)(－3<m<3)，则有m 23＋n 2＝1，又A 点坐标为(2，0)，故AB →＝(m －2，n)，AD →＝(m －2，－n)，故AB →·AD →＝(m －2)2－n 2＝m 2－4m ＋4－⎝⎛⎭⎫1－m 23＝43m 2－4m ＋3＝43⎝⎛⎭⎫m －322，又－3<m<3，故43⎝⎛⎭⎫m －322∈[0，7＋43]，所以AB →·AD →的取值范围是[0，7＋43)．(3) 设P(s ，t)，则s 2＋t 2＝4.当s ＝±3时，t ＝±1，则l 1，l 2其中之一斜率不存在，另一斜率为0，显然有l 1⊥l 2.当s ≠±3时，设过P(s ，t)且与椭圆有一个公共点的直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y －t ＝k(x －s)，代入椭圆C 方程可得x 2＋3[kx ＋(t －ks)]2＝3，即(3k 2＋1)x 2＋6k(t －ks)x ＋3(t －ks)2－3＝0，由Δ＝36k 2(t －ks)2－4(3k 2＋1)[3(t －ks)2－3]＝0，可得(3－s 2)k 2＋2stk ＋1－t 2＝0，其中3－s 2＝0，设l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则k 1，k 2是上述方程的两个根，故k 1k 2＝1－t 23－s 2＝1－（4－s 2）3－s 2＝－1，即l 1⊥l 2.综上可知，对于椭圆C 上的任意点P ，都有l 1⊥l 2.5. 如图，已知椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1，A 、B 是四条直线x ＝±2，y ＝±1所围成的矩形的两个顶点．(1) 设P 是椭圆C 上任意一点，若OP →＝mOA →＋nOB →，求证：动点Q(m ，n)在定圆上运动，并求出定圆的方程；(2) 若M 、N 是椭圆C 上两个动点，且直线OM 、ON 的斜率之积等于直线OA 、OB 的斜率之积，试探求△OMN 的面积是否为定值，并说明理由．(1) 证明：易知A(2，1)，B(－2，1)．设P(x 0，y 0)，则x 204＋y 20＝1.由OP →＝mOA →＋nOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2（m －n ），y 0＝m ＋n ，所以4（m －n ）24＋(m ＋n)2＝1，即m 2＋n 2＝12，故点Q(m ，n)在定圆x 2＋y 2＝12上．(2) 解：(解法1)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2＝－14，平方得x 21x 22＝16y 21y 22＝(4－x 21)(4－x 22)，即x 21＋x 22＝4.因为直线MN 的方程为(y 1－y 2)x －(x 1－x 2)y ＋x 1y 2－x 2y 1＝0，所以O 到直线MN 的距离为d ＝|x 1y 2－x 2y 1|（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2，所以△OMN 的面积S ＝12MN ·d ＝12|x 1y 2－x 2y 1|＝12x 21y 22＋x 22y 21－2x 1x 2y 1y 2＝12x 21⎝⎛⎭⎫1－x 224＋x 22⎝⎛⎭⎫1－x 214＋12x 21x 22＝12x 21＋x 22＝1，故△OMN 的面积为定值1.(解法2)设OM 的方程为y ＝kx(k>0)，则ON 的方程为y ＝－14kx(k>0)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 2＋4y 2＝4，解得 M ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋4k 2，2k 1＋4k 2.同理可得N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4k 1＋4k 2，－11＋4k 2. 因为点N 到直线OM 的距离为d ＝1＋4k 21＋k 2，OM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋4k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 1＋4k 22＝21＋k 21＋4k 2，所以△OMN 的面积S ＝12d ·OM ＝12·1＋4k 21＋k 2·21＋k 21＋4k 2＝1，故△OMN 的面积为定值．1. 若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点分成7∶3的两段，则此双曲线的离心率为________．答案：53解析：依题意得，c ＋b 2＝77＋3×2c ，即b ＝45c(其中c 是双曲线的半焦距)，a ＝c 2－b 2＝35c ，则c a ＝53，因此该双曲线的离心率等于53.2. 如图，设E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦点为F 1与F 2，且P ∈E ，∠F 1PF 2＝2θ.求证：△PF 1F 2的面积S ＝b 2tan θ.证明：设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则S ＝12r 1r 2sin2θ.又|F 1F 2|＝2c ，由余弦定理有(2c)2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos2θ＝(r 1＋r 2)2－2r 1r 2－2r 1r 2cos2θ＝(2a)2－2r 1r 2(1＋cos2θ)，于是2r 1r 2(1＋cos2θ)＝4a 2－4c 2＝4b 2.所以r 1r 2＝2b 21＋cos2θ.这样即有S ＝12·2b 21＋cos2θsin2θ＝b 22sinθcosθ2cos 2θ＝b 2tan θ.3. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，短轴的一个端点为M(0，1)，直线l ：y＝kx －13与椭圆相交于不同的两点A 、B.(1) 若AB ＝4269，求k 的值；(2) 求证：不论k 取何值，以AB 为直径的圆恒过点M.(1) 解：由题意知c a ＝22，b ＝1.由a 2＝b 2＋c 2可得c ＝b ＝1，a ＝2，∴ 椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.由⎩⎨⎧y ＝kx －13，x22＋y 2＝1得(2k 2＋1)x 2－43kx －169＝0.Δ＝169k 2－4(2k 2＋1)×⎝⎛⎭⎫－169＝16k 2＋649＞0恒成立，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 3（2k 2＋1），x 1x 2＝－169（2k 2＋1）. ∴ AB ＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝4（1＋k 2）（9k 2＋4）3（2k 2＋1）＝4269，化简得23k 4－13k 2－10＝0，即(k 2－1)(23k 2＋10)＝0，解得k ＝±1. (2) 证明：∵ MA →＝(x 1，y 1－1)，MB →＝(x 2，y 2－1)，∴ MA →·MB →＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)＝(1＋k 2)x 1x 2－43·k(x 1＋x 2)＋169＝－16（1＋k 2）9（2k 2＋1）－16k 29（2k 2＋1）＋169＝0.∴ 不论k 取何值，以AB 为直径的圆恒过点M.4. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为35，且过点P ⎝⎛⎭⎫4，125，A 为上顶点，F 为右焦点．点Q(0，t)是线段OA(除端点外)上的一个动点，过Q 作平行于x 轴的直线交直线AP 于点M ，以QM 为直径的圆的圆心为N. (1) 求椭圆方程；(2) 若圆N 与x 轴相切，求圆N 的方程；(3) 设点R 为圆N 上的动点，点R 到直线PF 的最大距离为d ，求d 的取值范围．解：(1) ∵ e ＝35 不妨设c ＝3k ，a ＝5k ，则b ＝4k ，其中k>0，故椭圆方程为x 225k 2＋y 216k 2＝1(a>b>0)，∵ P ⎝⎛⎭⎫4，125在椭圆上，∴ 4225k 2＋⎝⎛⎭⎫125216k 2＝1解得k ＝1，∴ 椭圆方程为x 225＋y 216＝1.(2) k AP ＝125－44＝－25 , 则直线AP 的方程为y ＝－25x ＋4，令y ＝t ()0<t<4，则x ＝5（4－t ）2 ∴ M ⎝ ⎛⎭⎪⎫5（4－t ）2，t .∵ Q(0，t)∴ N ⎝ ⎛⎭⎪⎫5（4－t ）4，t ， ∵ 圆N 与x 轴相切，∴ 5（4－t ）4＝t ，由题意M 为第一象限的点，则5（4－t ）4＝t ，解得t ＝209.∴ N ⎝⎛⎭⎫209，209，圆N 的方程为⎝⎛⎭⎫x －2092＋⎝⎛⎭⎫y －2092＝40081.(3) F(3，0)，k PF ＝125，∴ 直线PF 的方程为y ＝125(x －3)即12x －5y －36＝0，∴ 点N 到直线PF 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪15（4－t ）－5t －3613＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪24－20t 13＝413||6－5t ，∴ d ＝413||6－5t ＋54(4－t)，∵ 0<t<4，∴ 当0<t ≤65时，d ＝413(6－5t)＋54(4－t)＝356－145t 52，此时72≤d<8913，当65<t<4时，d ＝413(5t －6)＋54(4－t)＝164＋15t 52，此时72<d<5613， ∴ 综上， d 的取值范围为⎣⎡⎭⎫72，8913.1. 直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题．解题中要充分重视根与系数的关系和判别式的应用．2. 当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．请使用课时训练(A)第10课时(见活页)．[备课札记]。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第九章平面解析几何第9课时抛物线考情分析考点新知建立并掌握抛物线的标准方程，能根据已知条件求抛物线的标准方程；掌握抛物线的简单几何性质，能运用抛物线的几何性质处理一些简单的实际问题．① 了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，了解它们的简单几何性质. ② 掌握抛物线的简单应用.1. 已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是________．答案：x 2＝－12y解析：∵ p 2＝3，∴ p ＝6，∴ x 2＝－12y.2. 抛物线y 2＝－8x 的准线方程是________．答案：x ＝2解析：∵ 2p＝8，∴ p ＝4，故所求准线方程为x ＝2.3. 抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值是________．答案：－18解析：抛物线的标准方程为x 2＝1a y.则a ＜0且2＝－14a ，得a ＝－18.4. (选修11P 44习题2改编)抛物线y 2＝4x 上一点M 到焦点的距离为3，则点M 的横坐标x ＝________．答案：2解析：∵ 2p＝4，∴ p ＝2，准线方程x ＝－1.由抛物线定义可知，点M 到准线的距离为3，则x ＋1＝3，即x ＝2.5. 已知斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax(a ＞0)的焦点F ，且与y 轴相交于点A ，若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为________．答案：y 2＝8x解析：依题意得，OF ＝a 4，又直线l 的斜率为2，可知AO ＝2OF ＝a2，△AOF 的面积等于12·AO ·OF ＝a 216＝4，则a 2＝64.又a ＞0，所以a ＝8，该抛物线的方程是y 2＝8x.1. 抛物线的定义平面内到一个定点F 和一条定直线l(F 不在l 上)距离相等_的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2. 抛物线的标准方程和几何性质(如下表所示)标准方程y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) 图形性质范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R准线方程x＝－p2x＝p2焦点⎝⎛⎭⎪⎫p2，0⎝⎛⎭⎪⎫－p2，0对称轴关于x轴对称顶点(0，0)离心率e＝1标准方程x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)图形性质范围y≥0，x∈R y≤0，x∈R准线方程y＝－p2y＝p2焦点⎝⎛⎭⎪⎫0，p2⎝⎛⎭⎪⎫0，－p2对称轴关于y轴对称顶点(0，0)离心率e＝1题型1 求抛物线的基本量例1 抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是________．答案：4解析：由y2＝2px＝8x知p＝4，又焦点到准线的距离就是p，所以焦点到准线的距离为4.备选变式（教师专享）抛物线y 2＝－8x 的准线方程是________．答案：x ＝2解析：∵2p＝8，∴p ＝4，准线方程为x ＝2. 题型2 求抛物线的方程例2 (选修11P 44习题5改编)已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线2x －y －4＝0上，求抛物线的标准方程．解：直线2x －y －4＝0与x 轴的交点是(2，0)，与y 轴的交点是(0，－4)．由于抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，则①若抛物线焦点在x 轴上，则抛物线的标准方程是y2＝8x ；②若抛物线焦点在y 轴上，则抛物线的标准方程是x 2＝－16y ；故所求抛物线方程为y 2＝8x 或x 2＝－16y.变式训练已知Rt△AOB 的三个顶点都在抛物线y 2＝2px 上，其中直角顶点O 为原点，OA 所在直线的方程为y ＝3x ，△AOB 的面积为63，求该抛物线的方程．解：∵ OA⊥OB，且OA 所在直线的方程为y ＝3x ，OB 所在直线的方程为y ＝－33x ，由⎩⎨⎧y 2＝2px ，y ＝3x ，得A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 3，23p 3，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝－33x ，得B 点坐标为(6p ，－23p)，∴ OA ＝43|p|，OB ＝43|p|，又S △OAB ＝833p 2＝63，∴ p ＝±32.∴ 该抛物线的方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x. 题型3 抛物线的几何性质探究例3 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A(2，2)，其焦点F 在x 轴上．(1) 求抛物线C 的标准方程；(2) 求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程；(3) 设过点M(m ，0)(m>0)的直线交抛物线C 于D 、E 两点，ME ＝2DM ，记D 和E 两点间的距离为f(m)，求f(m)关于m 的表达式．解：(1)由题意，可设抛物线C 的标准方程为y 2＝2px.因为点A(2，2)在抛物线C 上，所以p ＝1.因此抛物线C 的标准方程为y 2＝2x.(2)由(1)可得焦点F 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，又直线OA 的斜率为22＝1，故与直线OA 垂直的直线的斜率为－1，因此所求直线的方程是x ＋y －12＝0.(3)(解法1)设点D 和E 的坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，直线DE 的方程是y ＝k(x －m)，k ≠0.将x ＝y k ＋m 代入y 2＝2x ，有ky 2－2y －2km ＝0，解得y 1，2＝1±1＋2mk 2k.由ME ＝2DM 知1＋1＋2mk 2＝2(1＋2mk 2－1)，化简得k 2＝4m.因此DE 2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2(y 1－y 2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 24（1＋2mk 2）k 2＝94(m 2＋4m)，所以f(m)＝32m 2＋4m(m>0)．(解法2)设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫s 22，s ，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22，t . 由点M(m ，0)及ME →＝2DM →，得12t 2－m ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫m －s 22，t －0＝2(0－s)．因此t ＝－2s ，m ＝s 2.所以f(m)＝DE ＝⎝⎛⎭⎪⎫2s 2－s 222＋（－2s －s ）2＝32m 2＋4m(m>0)．备选变式（教师专享）抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－2，该抛物线上的每个点到准线x ＝－2的距离都与到定点N 的距离相等，圆N 是以N 为圆心，同时与直线l 1：y ＝x 和l 2：y ＝－x 相切的圆，(1) 求定点N 的坐标；(2) 是否存在一条直线l 同时满足下列条件：① l 分别与直线l 1和l 2交于A 、B 两点，且AB 中点为E(4，1)； ② l 被圆N 截得的弦长为2.解：(1) 因为抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－2.所以p ＝4，根据抛物线的定义可知点N 是抛物线的焦点，所以定点N 的坐标为(2，0)．(2) 假设存在直线l 满足两个条件，显然l 斜率存在，设l 的方程为y －1＝k(x －4)，k ≠±1.以N 为圆心，同时与直线l 1：y ＝x 和l 2：y ＝－x 相切的圆N 的半径为 2.因为l被圆N 截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1, 即d ＝|2k －1|1＋k 2＝1，解得k ＝0或43，当k ＝0时，显然不合AB 中点为E(4，1)的条件，矛盾，当k ＝43时，l 的方程为4x －3y －13＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －13＝0y ＝x ，解得点A 的坐标为(13，13)；由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －13＝0y ＝－x ，解得点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫137，－137.显然AB 中点不是E(4，1)，矛盾，所以不存在满足条件的直线l.1. 抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是________．答案：43解析：设抛物线y ＝－x 2上一点为(m ，－m 2)，该点到直线4x ＋3y －8＝0的距离为|4m －3m 2－8|5，当m ＝23时，取得最小值43.2. 已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________．答案：x 2＝16y解析：∵ 双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，∴ c a ＝a 2＋b2a＝2，∴ b＝3a ，∴ 双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0，∴ 抛物线C 2：x 2＝2py(p ＞0)的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2到双曲线的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪3×0±p 22＝2，∴ p ＝8.∴ 所求的抛物线方程为x 2＝16y.3. 已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M(2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则OM ＝________．答案：2 3解析：依题意，设抛物线方程是y 2＝2px(p>0)，则有2＋p 2＝3，得p ＝2，故抛物线方程是y 2＝4x ，点M 的坐标是(2，±22)，OM ＝22＋8＝2 3.4. 已知抛物线D 的顶点是椭圆C ：x 216＋y215＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．(1) 求抛物线D 的方程；(2) 过椭圆C 右顶点A 的直线l 交抛物线D 于M 、N 两点． ① 若直线l 的斜率为1，求MN 的长；② 是否存在垂直于x 轴的直线m 被以MA 为直径的圆E 所截得的弦长为定值？如果存在，求出m 的方程；如果不存在，说明理由．解：(1) 由题意，可设抛物线方程为y 2＝2px(p>0)．由a 2－b 2＝4－3＝1，得c ＝1，∴ 抛物线的焦点为(1，0)，∴ p ＝2.∴ 抛物线D 的方程为y 2＝4x. (2) 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．① 直线l 的方程为y ＝x －4，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －4，y 2＝4x ，整理得x 2－12x ＋16＝0，即M(6－25，2－25)，N(6＋25，2＋25)，∴ MN ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝410.② 设存在直线m ：x ＝a 满足题意，则圆心E ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋42，y 12，过E 作直线x ＝a 的垂线，垂足为E′，设直线m 与圆E 的一个交点为G.可得|E ′G|2＝|EG|2－|EE′|2，即|E′G|2＝|EA|2－|EE ′|2＝（x 1－4）2＋y 214－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋42－a 2＝14y 21＋（x 1－4）2－（x 1＋4）24＋a(x 1＋4)－a 2＝x 1－4x 1＋a(x 1＋4)－a 2＝(a －3)x 1＋4a －a 2.当a ＝3时，|E ′G|2＝3，此时直线m 被以AM 为直径的圆E 所截得的弦长恒为定值23，因此存在直线m ：x ＝3满足题意．5. 如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py(p>0)上．(1) 求抛物线E 的方程；(2) 设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q.证明：以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．解：(1) 依题意，OB ＝83，∠BOy ＝30°.设B(x ，y)，则x ＝OBsin30°＝43，y ＝OBcos30°＝12.因为点B(43，12)在x 2＝2py 上，所以(43)2＝2p×12，解得p ＝2.故抛物线E 的方程为x 2＝4y.(2) 由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x.设P(x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1.设M(0，y 1)，令MP →·MQ →＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立．由于MP →＝(x 0，y 0－y 1)，MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1－y 1，由MP →·MQ →＝0，得x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0，即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.(*)由于(*)式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0，解得y 1＝1.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M(0，1)．1. (文)已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是________．答案：相切解析：设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线为l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，则|AA 1|＝|AF|，|BB 1|＝|BF|，于是M 到l 的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF|＋|BF|)＝12|AB|＝半径，故相切． (理)下图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽________ m.答案：2 6解析：设抛物线的方程为x 2＝－2py ，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p ＝1，所以x 2＝－2y.当y ＝－3时，x 2＝6，即x ＝±6，所以水面宽为2 6.2. (文)已知抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点为F ，P 、Q 是抛物线上的两个点，若△PQF 是边长为2的正三角形，则p 的值是________．答案：2± 3解析：依题意得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212p ，y 1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222p ，y 2(y 1≠y 2)．由抛物线定义及PF ＝QF ，得y 212p ＋p 2＝y 222p ＋p 2，所以y 21＝y 22，所以y 1＝－y 2.又PQ ＝2，因此|y 1|＝|y 2|＝1，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12p ，1.又点P 位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得PF ＝12p ＋p2＝2，由此解得p ＝2± 3.(理)拋物线顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知拋物线与双曲线的一个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，求拋物线与双曲线方程．解：由题设知，拋物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p＝2c ，设拋物线方程为y 2＝4c·x.∵拋物线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，∴6＝4c·32.∴c ＝1，故拋物线方程为y 2＝4x.又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，∴94a 2－6b2＝1.又a 2＋b 2＝c 2＝1，∴94a 2－61－a 2＝1.∴a 2＝14或a 2＝9(舍)．∴b 2＝34，故双曲线方程为4x 2－4y 23＝1. 3. (文)如图，过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C.若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为________．答案：y 2＝3x解析：由抛物线定义，|BF|等于B 到准线的距离．由|BC|＝2|BF|，得∠BCM＝30°.又|AF|＝3，从而A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋32，332.由A 在抛物线上，代入抛物线方程y 2＝2px ，解得p ＝32.(理)如图所示，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1⊥l 2，点N∈l 1，以A 、B 为端点的曲线段C 上任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，|AM|＝17，|AN|＝3，且|NB|＝6，建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程．解：以直线l 1为x 轴，线段MN 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段．其中A 、B 分别为曲线段C 的端点．设曲线段C 的方程为y 2＝2px(p ＞0)(x A ≤x ≤x B ，y ＞0)，其中x A 、x B 为A 、B 的横坐标，p ＝|MN|，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0、 N ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0.由|AM|＝17，|AN|＝3，得⎝⎛⎭⎪⎫x A ＋p 22＋2px A ＝17，①⎝⎛⎭⎪⎫x A －p 22＋2px A＝9.② 联立①②，解得x A ＝4p ，代入①式，并由p ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，x A ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，x A ＝2.∵△AMN 为锐角三角形，∴p2＞x A .∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，x A ＝1.由点B 在曲线段C 上，得x B ＝|BN|－p 2＝4.综上，曲线C 的方程为y 2＝8x(1≤x≤4，y>0)．4. (文)求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程． (1) 过点(－3，2)；(2) 焦点在直线x －2y －4＝0上．解：(1) 设所求抛物线的方程为y 2＝－2px 或x 2＝2py(p ＞0)．∵过点(－3，2)，∴4＝－2p(－3)或9＝2p·2.∴p＝23或p ＝94.∴所求抛物线的方程为y 2＝－43x 或x 2＝92y ，前者的准线方程是x ＝13，后者的准线方程是y ＝－98.(2) 令x ＝0得y ＝－2，令y ＝0得x ＝4，∴抛物线的焦点为(4，0)或(0，－2)．当焦点为(4，0)时，p 2＝4，∴p ＝8，此时抛物线的方程为y 2＝16x ；焦点为(0，－2)时，p 2＝2，∴p ＝4，此时抛物线的方程为x 2＝－8y.∴所求抛物线的方程为y 2＝16x 或x 2＝－8y ，对应的准线方程分别是x ＝－4，y ＝2.(理)已知定点F(0，1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C.(1) 求动点C 的轨迹方程；(2) 过点F 的直线l 2交轨迹于两点P 、Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．解：(1) 由题设点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离， ∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线．∴所求轨迹的方程为x 2＝4y.(2) 由题意直线l 2的方程为y ＝kx ＋1，与抛物线方程联立消去y ，得x 2－4kx －4＝0.记P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.由直线PQ 的斜率k≠0，易得点R 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，－1， RP →·RQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2k ，y 1＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2k ，y 2＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2k ＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2k (x 1＋x 2)＋4k 2＋4＝－4(1＋k 2)＋4k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2k ＋4k 2＋4＝4⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2＋8.∵k 2＋1k 2≥2，当且仅当k 2＝1时取到等号．∴RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →的最小值为16.1. 涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解．2. 求抛物线的方程一般是利用待定系数法，即求p ，但要注意判断标准方程的形式．3. 研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用．请使用课时训练（B ）第9课时（见活页）.[备课札记]。