河南省2019年中考数学二轮模块复习《与圆有关的位置关系》练习解析
2019《3年中考2年模拟》河南中考数学二轮重点难点：21_第一节 圆的有关性质
命题探究
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︵ ︵ 2-2 (2018北京)如图,点A,B,C,D在☉O上, = CB CD,∠CAD=30°,∠
ACD=50°,则∠ADB=
70 °.
命题探究
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答案 解析
70
︵ ︵ ∵ = CB CD ,∴∠BAC=∠CAD=30°.又∵∠BDC=∠BAC=
30°,∠ACD=50°,∴∠ADB=180°-30°-30°-50°=70°.
︵
︵
︵
1 3
∴∠BAC= ∠BOC=30°.
∴∠DAC=∠BAC=30°. 在Rt△ADC中,CD=2 3,
1 2
命题探究
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3. ∴AC=2CD=4
在Rt△ACB中,BC2+AC2=AB2,
2 1 3 即(4 ) + AB =AB2, 2
2
∴AB=8,∴☉O的半径为4.故选D.
命题探究
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3-2 (2018江苏扬州)如图,已知☉O的半径为2,△ABC内接于 ☉O,∠ACB=135°,则AB=
2 2
.
命题探究
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答案 解析
2 2
︵ 在优弧 AB 上取点D,连接AD、BD、OA、OB(如图),
∵☉O的半径为2,△ABC内接于☉O, ∠ACB=135°, ∴∠ADB=45°,∴∠AOB=90°, 又∵OA=OB=2,∴AB= OA2 OB2 =2 2 .
考点研读
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考点二
垂径定理及推论
考点研读
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温馨提示
(1)垂径定理及其推论可以总结为以下内容:如图,
︵
︵
︵
︵
BD ;③AE=BE;④AB⊥ AD = BC ;② AC = 在下面的五个结论中:①
与圆有关的位置关系(解析版)2019数学全国中考真题
2019全国中考数学真题知识点34与圆有关的位置关系（解析版）一、选择题9．（2019·福建）如图，PA 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，点C 在⊙O 上， 且∠ACB ＝55°，则∠APB 等于（ ）A ．55°B ．70°C ．110°D ．125°【答案】B【解析】连接OA 、OB ，∵PA 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°，∵∠ACB ＝55°，∴∠AOB ＝2∠ACB ＝110°，∴∠APB ＝360° －110°－90°－90°＝70°．【知识点】圆周角定理；切线的性质；四边形内角和；11. （2019·泸州）如图，等腰△ABC 的内切圆⊙O 与AB ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，且AB ＝AC ＝5，BC ＝6，则DE 的长是（ ）A ．3√1010B ．3√105C ．3√55D ．6√55【答案】D【解析】连接OA 、OE 、OB ，OB 交DE 于H ，如图，∵等腰△ABC 的内切圆⊙O 与AB ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，∴OA 平分∠BAC ，OE ⊥BC ，OD ⊥AB ，BE ＝BD ，PP (第9题)∵AB ＝AC ，∴AO ⊥BC ，∴点A 、O 、E 共线，即AE ⊥BC ，∴BE ＝CE ＝3，在Rt △ABE 中，AE =√52−32=4，∵BD ＝BE ＝3，∴AD ＝2，设⊙O 的半径为r ，则OD ＝OE ＝r ，AO ＝4﹣r ，在Rt △AOD 中，r 2+22＝（4﹣r ）2，解得r =32，在Rt △BOE 中，OB =√32+(32)2=3√52，∵BE ＝BD ，OE ＝OD ，∴OB 垂直平分DE ，∴DH ＝EH ，OB ⊥DE ，∵12HE •OB =12OE •BE ，∴HE =OE⋅BE OB =3×32362=3√55，∴DE ＝2EH =6√55．故选：D ．5．（2019·苏州）如图，AB 为⊙O 的切线．切点为A ，连接AO ，BO ，BO 与⊙O 交于点C ，延长BO 与⊙O 交于点D ，连接AD 若∠ABO =36°，则∠ADC 的度数为（ ）A ．54 °B ．36°C ．32 °D ．27°（第5题）【答案】D 【解析】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质．∵AB 为⊙O 的切线，∴∠OAB =90°，∵∠ABO =36°，∴∠AOB =90°-∠ABO =54°，∵OA =OD ，∴∠ADC =∠OAD ，∵∠AOB =∠ADC +∠OAD ，∴∠ADC=∠AOB =27°，故选D ．1. （2019·无锡）如图，P A 是⊙O 的切线，切点为A ，PO 的延长线交⊙O于点B ，若∠P =40°，则∠B 的度数为 （ ）A.20°B.25°C.40°D.50°OA B【答案】B【解析】∵P A 是⊙O 的切线，切点为A ，∴OA ⊥AP ，∴∠OAP =90°，∵∠APB =40°，∴∠AOP =50°，∵OA =OB ，∴∠B =∠OAB =∠AOP =25°．故选B ．2.（2019·自贡）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C 、F 分别是直线x=-5和x 轴上的动点，CF=10，点D 是线段CF 的中点，连接AD 交y 轴于点E ，当△ABE 的面积取得最小值时，tan ∠BAD 的值是（ ）A .817 B. 717 C.49 D.59【答案】B.【解析】∵A （8，0），B （0，8），∠AOB =900，∴△AOB 是等腰直角三角形，∴AB =8√2，∠OBA =450，取D （-5，0），当C 、F 分别在直线x =-5和x 轴上运动时，∵线段DH 是Rt △CFD 斜边上中线，∴DH =12CF =10，故D 在以H 为圆心,半径为5的圆上运动，当AD 与圆H 相切时，△ABE 的面积最小.在Rt △ADH 中，AH =OH +OA =13,∴AD =√AH 2−AD 2=12.∵∠AOE =∠ADH =900，∠EAO =∠HAD ，∴△AOE ∽△ADH ，∴OEAO =DHAD ，即OE8=512，∴OE =103，∴BE =OB -OE =143.∵S △ABE =12BE ·OA =12AB ·EG ，∴EG=BE·OAAB =143×88√2=7√23.在Rt△BGE中，∠EBG=450，∴BG=EG=7√23，∴AG=AB-BG=17√23.在Rt△AEG中，tan∠BAD=EGAG =717.故选B.3. (2019·台州)如图,等边三角形ABC的边长为8,以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB,AC相切,则 O的半径为( )A. B.3 C.4 D.4-【答案】A【解析】∵ O与AB,AC相切,∴OD⊥AB,OE⊥AC,又∵OD＝OE,∴∠DAO＝∠EAO,又∵AB＝AC,∴BO＝CO,∴∠DAO＝30°,BO＝4,∴OD＝OAtan∠DAO又∵在Rt△AOB中,AO=,∴OD＝故选A.4.（2019·重庆B卷）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，若∠C＝40°则∠B 的度数为（ ）A.60°B.50°C.40°D.30°【答案】Ｂ【解析】圆的切线垂直于经过切点的半径，因为AC 是⊙O 的切线，A 为切点，所以∠BAC ＝90°，根据三角形内角和定理，若∠C ＝40°则∠B 的度数为50°. 故选Ｂ．5. （2019·重庆A 卷）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 与⊙O 交于点D ，连结OD ．若∠C ＝50°，则∠AOD 的度数为 （ ）A ．40°B ．50°C ．80°D ．100°【答案】C【解析】∵AC 是⊙O 的切线，∴AC ⊥AB ．∵∠C ＝50°，∴∠B ＝90°－∠C ＝40°．∵OB ＝OD ，∴∠B ＝∠ODB ＝40°．∴∠AOD ＝∠B ＋∠ODB ＝80°．故选C ．二、填空题1.（2019·岳阳）如图，AB 为⊙O 的直径，点P 为AB 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线PE ，切点为M ，过A 、B 两点分别作PE 的垂线AC 、BD ，垂足分别为C 、D ，连接AM ，则下列结论正确的是_____．（写出所有正确结论的序号）①AM 平分∠CAB ；②AM 2=AC ·AB ；③若AB =4，∠APE =30°，则BM 的长为3； ④若AC =3，BD =1，则有CM =DM．A【答案】①②④【解析】连接OM，BM∵PE是⊙O的切线，∴OM⊥PE．∵AC⊥PE，∴AC∥OM．∴∠CAM＝∠AMO．∵OA＝OM，∴∠AMO＝∠MAO．∴∠CAM=∠MAO．∴AM平分∠CAB．选项①正确；∵AB为直径，∴∠AMB=90º=∠ACM．∵∠CAM=∠MAO，∴△AMC∽△ABM．∴AC AM AM AB=．∴AM2=AC·AB．选项②正确；∵∠P=30°，∴∠MOP=60°．∵AB=4，∴半径r=2．∴60221803BMlππ⨯==．选项③错误；∵BD∥OM∥AC，OA=OB，∴CM=MD．∵∠CAM ＋∠AMC =90°，∠AMC ＋∠BMD =90°，∴∠CAM ＝∠BMD ．∵∠ACM =∠BDM =90°，∴△ACM ∽△MDB ． ∴AC CM DM BD=． ∴CM ·DM =3×1=3．∴CM =DM．选项④正确；综上所述，结论正确的有①②④．2. （2019·无锡）如图，在△ABC 中，AC ∶BC ∶AB =5∶12∶13，O 在△ABC 内自由移动，若O 的半径为1，且圆心O 在△ABC 内所能到达的区域的面积为103，则△ABC 的周长为__________.【答案】25【解析】如图，圆心O 在△ABC 内所能到达的区域是△O 1O 2O 3，∵△O 1O 2O 3三边向外扩大1得到△ACB ，∴它的三边之比也是5∶12∶13， ∵△O 1O 2O 3的面积=103，∴O 1O 2=53，O 2O 3=4，O 1O 3=133，连接AO 1 与CO 2，并延长相交于I ，过I 作ID ⊥AC 于D ，交O 1O 2于E ，过I 作IG ⊥BC 于G 交O 3O 2于F ，则I 是Rt △ABC与Rt △O 1O 2O 3的公共内心，四边形IEO 2F 四边形IDCG 都是正方形，∴IE =IF = 1223122313O O O O O O O O O O ⨯++ =23，ED =1，∴ID =IE +ED =53，设△ACB 的三边分别为5m 、12m 、13m ，则有ID =AC BC AC BC AB ⨯++=2m =53，解得m =56，△ABC 的周长=30m =25.4. （2019·眉山）如图，在Rt △AOB 中，OA =OB=O 的半径为2，点P 是AB边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则线段PQ 长的最小值为．【答案】【解析】连接OQ ，如图所示，∵PQ 是⊙O 的切线，∴OQ ⊥PQ ，根据勾股定理知：PQ 2=OP 2-OQ 2，∴当PO ⊥AB 时，线段PQ 最短，∵在Rt △AOB 中，OA=OB=，∴S △AOB =12OA•OB=12AB •OP ，即OP=OA OB AB•=4，∴PQ= ．故答案为：5. (2019·宁波)如图,Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AC ＝12 ,点D 在边BC 上,CD ＝5,BD ＝13.点P 是线段AD 上一动点,当半径为6的P 与△ABC 的一边相切时,AP 的长为________.【答案】132或【解析】半径为6的P 与△ABC 的一边相切,可能与AC,BC,AB 相切,故分类讨论: ①当P 与AC 相切时,点P 到AC 的距离为6,但点P 在线段AD 上运动,距离最大在点D 处取到,为5,故这种情况不存在; ②当P 与AC 相切时,点P 到BC 的距离为6,如图PE ＝6,PE ⊥AC,∴PE 为△ACD 的中位线,点P 为AD 中点,∴AP ＝113=22AD ;③当P 与AB 相切时,点P 到AB 的距离为6,即PF ＝6,PF ⊥AB,过点D 作DG ⊥AB 于点G,∴△APF ∽△ADG ∽△ABC,∴PF AC AP AB=,其中,PF ＝6,AC ＝12,AB ,∴AP ＝综上所述,AP 的长为132或6.7.8.9.10.三、解答题23．（2019·衡阳）如图，点A 、B 、C 在半径为8的⊙O 上，过点B 作BD ∥AC ，交OA 延长线于点D ，连接BC ，且∠BCA ＝∠OAC ＝30°．（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）求图中阴影部分的面积．解：（1）证明：连接OB 交AC 于E ，由∠BCA ＝30°，∴∠AOB ＝60°．在∆AOE 中，∵∠OAC ＝30°，∴∠OEA ＝90°，所以OB ⊥AC ．∵BD ∥AC ，∴OB ⊥BD ．又B 在圆上，∴BD 为⊙O 的切线；（2）由半径为8，所以OA =OB =8．在∆AOC 中，∠OAC ＝∠OCA ＝30°，∠COA ＝120°，∴AC ＝．由∠BCA ＝∠OAC ＝30°，∴OA ∥BC ，而BD ∥AC ，∴四边形ABCD 是平行四边形.∴BD ＝∴∆OBD 的面积为12×8×，扇形OAB 的面积为16×π×82＝323π，∴阴影部分的面积为323π． 24．（2019·淮安）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 交于点F ，弦AD 平分∠BAC ，DE ⊥AC ，垂足为E.(1)试判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)若⊙O 的半径为2，∠BAC=60°，求线段EF 的长.第24题图【解题过程】（1）直线DE 与⊙O 相切.理由如下：第24题答图1如图所示，连接OD ，则OA=OD ，∴∠ODA=∠BAD.∵弦AD 平分∠BAC ，∴∠FAD=∠BAD.∴∠FAD=∠ODA ，∴OD ∥AF.又∵DE ⊥AC ，∴DE ⊥OD ，∴直线DE 与⊙O 相切.（2）连接BD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°.第24题答图1∵AD 平分∠BAC，∠BAC=60°， ∴∠FAD=∠BAD=30°，∠B=60°， ∴∠DFE=∠B=60°. ∵⊙O 的半径为2， ∴AB=4，∴3223430cos =⨯=︒⋅=AB AD ， ∴3213230sin =⨯=︒⋅=AB DE ， ∴13360tan ==︒=DE EF .22．（2019·常德，22题，7分）如图6，⊙O 与△ABC 的AC 边相切于点C ，与AB 、BC 边分别交于点D 、E ，DE ∥OA ，CE 是⊙O 的直径． （1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若BD ＝4，CE ＝6，求AC 的长．【解题过程】证明：（1）连接OD ，∵DE ∥OA ，∴∠AOC ＝∠OED ，∠AOD ＝∠ODE ，∵OD ＝OE ，∴∠OED ＝∠ODE ，∴∠AOC ＝∠AOD ，又∵OA ＝OA ，OD ＝OC ，∴△AOC ≌△AOD （SAS ），∴∠ADO ＝∠ACO ．∵CE 是⊙O 的直径，AC 为⊙O 的切线，∴OC ⊥AC ，∴∠ OCA ＝90°，∴∠ADO ＝＝90°，∴OD ⊥AB ， ∵OD 为⊙O 的半径，∴AB 是⊙O 的切线．图6CB（2）∵CE ＝6，∴OD ＝OC ＝3，∵∠BDO ＝90°，∴222BO BD OD =+，∵BD ＝4，∴OB＝5， ∴BC ＝8，∵∠BDO ＝∠ OCA ＝90°，∠B ＝∠B ，∴△BDO ∽△BCA ，∴BD OD BC AC =，∴438AC=，∴AC ＝6． 21．（2019·武汉）已知AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是⊙O 的两条切线，DC 与⊙O 相切于点E ，分别交AM 、BN于D 、C 两点（1） 如图1，求证：AB 2＝4AD ·BC（2） 如图2，连接OE 并延长交AM 于点F ，连接CF ．若∠ADE ＝2∠OFC ，AD ＝1，求图中阴影部分的面积图1 图2【解题过程】 证明：（1）如图1，连接OD ，OC ，OE ． ∵AD ，BC ，CD 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AD ，OB ⊥BC ，OE ⊥CD ，AD ＝ED ，BC ＝EC ，∠ODE ＝12∠ADC ，∠OCE ＝12∠BCD ∴AD //BC ，∴∠ODE ＋∠OCE ＝12（∠ADC ＋∠BCD ）＝90°， ∵∠ODE ＋∠DOE ＝90°，∴∠DOE ＝∠OCE ． 又∵∠OED ＝∠CEO ＝90°， ∴△ODE ∽△COE ．∴OE ECED OE =，OE 2＝ED ·EC ∴4OE 2＝4AD ·BC ，∴AB 2＝4AD ·BC （2）解：如图2，由（1）知∠ADE ＝∠BOE ，∵∠ADE ＝2∠OFC ，∠BOE ＝∠2COF ， ∴∠COF ＝∠OFC ，∴△COF 等腰三角形。
考点20 与圆有关的位置关系及计算(精讲)(解析版)
考点20.与圆有关的位置关系及计算（精讲）【命题趋势】与圆相关的位置关系也是各地中考数学中的必考考点之一，主要内容包括点、直线与圆的位置关系、切线的性质和判定、三角形的内切圆和外接圆三块，在解答题中想必还会考查切线的性质和判定，和直角三角形结合的求线段长的问题和三角函数结合的求角度的问题等知识点综合，考查形式多样，多以动点、动图的形式给出，难度较大。
关键是掌握基础知识、基本方法，力争拿到全分。
【知识清单】1：点、直线与圆的位置关系类（☆☆）1）点和圆的位置关系：已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：图1图2(1)d<r⇔点在⊙O内，如图1；(2)d=r⇔点在⊙O上，如图2；(3)d>r⇔点在⊙O外，如图3．解题技巧：掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系。
2）直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下：图1图2图3(1)d>r⇔相离，如图1；(2)d=r⇔相切，如图2；(3)d<r⇔相交，如图3。
2：切线的性质与判定（☆☆☆）1）切线的性质：（1）切线与圆只有一个公共点；（2）切线到圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于经过切点的半径。
解题技巧：利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题。
2）切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）；（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线（数量关系法）；（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（判定定理法）。
切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径。
3）切线长定理定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
2019届中考数学复习专题演练：5-3~与圆有关的位置关系(1)(含答案)
2019届中考数学复习专题演练：5-3~与圆有关的位置关系（1）（含答案）一、选择题1．(改编题)如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 是切点，点C是劣弧AB ︵上的一个动点，若∠P ＝40°，则∠ACB 的度数是( ) A ．80° B ．110° C ．120° D ．140° 解析 连结OA ，OB ，根据切线的性质得∠OAP ＝∠OBP ＝90°，所以∠AOB ＝180°－40°＝140°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得∠ACB ＝12(360°－140°)＝110°，故选B.答案 B2．(原创题)如图所示，直线CD 与以线段AB 为直径的圆相切与点D ，并交BA 的延长线于点C ，且AB ＝2，AD ＝1，P 点在切线CD 上移动．当∠APB 的度数最大时，则∠ABP 的度数为( ) A ．15° B ．30° C ．60° D ．90° 解析 连结BD ，∵直线CD 与以线段AB 为直径的圆相切于点D ，∴∠ADB ＝90°.当∠APB 的度数最大时，则P 和D 重合，∴∠APB ＝90°.∵AB ＝2，AD ＝1，∴sin ∠ABP ＝AD AB ＝12，∴∠ABP ＝30°，∴当∠APB 的度数最大时，∠ABP 的度数为30°.故选B.答案 B3．(原创题)如图，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA ，CB 分别相交于点P ，Q ，则线段PQ 长度的最小值是( )A ．4.8B ．4.75C ．5D ．4 2 解析 过C 作CD ⊥AB 于D ，设圆心为O ，作OE ⊥AB 于E ，连结OC .在△ABC 中，∵AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，∴AC 2＋BC 2＝82＋62＝102＝AB 2，∴∠ACB ＝90°.∴PQ 是直径．∵S △ABC ＝12AB ·CD ＝12AC ·BC ， ∴CD ＝AC ·BC AB ＝8×610＝4.8. ∵OC ＋OE ≥CD ，∴当以CD 为直径时，圆的直径最小，即PQ 最小，最小值为4.8.故选A. 答案 A二、填空题4．(改编题)如图，AB 是⊙O 的直径，O 是圆心，BC 与⊙O 相切于B点，CO 交⊙O 于点D ，且BC ＝8，CD ＝4，那么⊙O 的半径是________．解析 ∵BC 是切线，∴∠OBC ＝90°.设半径为x ，则OB ＝x ，OC＝x ＋4，由勾股定理得x 2＋82＝(x ＋4)2，解得x ＝6.∴⊙O 的半径是6.答案 6参考答案5．(原创题)如图，△ABC 内接于⊙O ，AB是直径，⊙O 的切线PC 交BA 的延长线于点P ，OF ∥BC 交AC 于点E ，交PC 于点F ，连结AF .(1)判断AF 与⊙O 的位置关系并说明理由；(2)若AC ＝24，AF ＝15，求⊙O 的半径．解 (1)AF 是⊙O 的切线．证明：连结OC ，∵AB 是⊙O 直径，∴∠BCA ＝90°.∵OF ∥BC ，∴∠AEO ＝90°，∴OF ⊥AC .∵OC ＝OA ，∴∠COF ＝∠AOF ，又OF ＝OF ，∴△OCF ≌△OAF .∴∠OAF ＝∠OCF ＝90°，∴FA ⊥O A.∴AF 是⊙O 的切线．(2)∵OF ⊥AC ，OA ＝OC ，∴AE ＝12AC . ∵AC ＝24，∴AE ＝12.∵FA ⊥OA ，∴OF ＝AF 2＋OA 2.∵FA ⊥OA ，OF ⊥AC ，S △OAF ＝12AF ·OA ＝12OF ·EA ， ∴AF ·OA ＝OF ·EA ，即15·OA ＝152＋OA 2·12，两边平方得225OA 2＝144(152＋OA 2)．解得OA ＝20.。
2019中考数学试题分类汇编 考点29 与园有关的位置关系(含解析)
2019中考数学试题分类汇编：考点29 与园有关的位置关系一．选择题（共9小题）1．（2019•宜宾）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（）A． B．C．34 D．10【分析】设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN，则MN、PM的长度是定值，利用三角形的三边关系可得出NP的最小值，再利用PF2+PG2=2PN2+2FN2即可求出结论．【解答】解：设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值．∵DE=4，四边形DEFG为矩形，∴GF=DE，MN=EF，∴MP=FN=DE=2，∴NP=MN﹣MP=EF﹣MP=1，∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10．故选：D．2．（2019•泰安）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（）A．3 B．4 C．6 D．8【分析】由Rt△APB中AB=2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P 位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得．【解答】解：∵PA⊥PB，∴∠APB=90°，∵AO=BO，∴AB=2PO，若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，则OQ=3、MQ=4，∴OM=5，又∵MP′=2，∴OP′=3，∴AB=2OP′=6，故选：C．3．（2019•滨州）已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=25°，则劣弧的长为（）A．B．C．D．【分析】根据圆周角定理和弧长公式解答即可．【解答】解：如图：连接AO，CO，∵∠ABC=25°，∴∠AOC=50°，∴劣弧的长=，故选：C．4．（2019•自贡）如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A=60°，连接OB、OC，则边BC的长为（）A．B．C．D．【分析】延长BO交圆于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°；又BD=2R，根据锐角三角函数的定义得BC=R．【解答】解：延长BO交⊙O于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°，∴∠CBD=30°，∵BD=2R，∴DC=R，∴BC=R，故选：D．5．（2019•湘西州）已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定【分析】根据圆心到直线的距离5等于圆的半径5，则直线和圆相切．【解答】解：∵圆心到直线的距离5cm=5cm，∴直线和圆相切．故选：B．6．（2019•徐州）⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2，O1O2=3，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（）A．内含 B．内切 C．相交 D．外切【分析】根据两圆圆心距与半径之间的数量关系判断⊙O1与⊙O2的位置关系．【解答】解：∵⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2，O1O2=3，则5﹣2=3，∴⊙O1和⊙O2内切．故选：B．7．（2019•台湾）如图，两圆外切于P点，且通过P点的公切线为L，过P点作两直线，两直线与两圆的交点为A、B、C、D，其位置如图所示，若AP=10，CP=9，则下列角度关系何者正确？（）A．∠PBD＞∠PAC B．∠PBD＜∠PAC C．∠PBD＞∠PDB D．∠PBD＜∠PDB【分析】根据大边对大角，平行线的判定和性质即可判断；【解答】解：如图，∵直线l是公切线∴∠1=∠B，∠2=∠A，∵∠1=∠2，∴∠A=∠B，∴AC∥BD，∴∠C=∠D，∵PA=10，PC=9，∴PA＞PC，∴∠C＞∠A，∴∠D＞∠B．故选：D．8．（2019•内江）已知⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2=4cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（）A．外高 B．外切 C．相交 D．内切【分析】由⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2为4cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．【解答】解：∵⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2为4cm，又∵2+3=5，3﹣2=1，1＜4＜5，∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相交．故选：C．9．（2019•上海）如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（）A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜7【分析】作半径AD，根据直角三角形30度角的性质得：OA=4，再确认⊙B与⊙A相切时，OB的长，可得结论．【解答】解：设⊙A与直线OP相切时切点为D，连接AD，∴AD⊥OP，∵∠O=30°，AD=2，∴OA=4，当⊙B与⊙A相内切时，设切点为C，如图1，∵BC=3，∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5；当⊙A与⊙B相外切时，设切点为E，如图2，∴OB=OA+AB=4+2+3=9，∴半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是：5＜OB＜9，故选：A．二．填空题（共7小题）10．（2019•临沂）如图．在△ABC中，∠A=60°，BC=5cm．能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是cm．【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据圆的相关知识即可求得△ABC外接圆的直径，本题得以解决．【解答】解：设圆的圆心为点O，能够将△ABC完全覆盖的最小圆是△ABC的外接圆，∵在△ABC中，∠A=60°，BC=5cm，∴∠BOC=120°，作OD⊥BC于点D，则∠ODB=90°，∠BOD=60°，∴BD=，∠OBD=30°，∴OB=，得OB=，∴2OB=，即△ABC外接圆的直径是cm，故答案为：．11．（2019•内江）已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28=4+10b，则△ABC的外接圆半径= ．【分析】根据题目中的式子可以求得a、b、c的值，从而可以求得△ABC的外接圆半径的长．【解答】解：∵a+b2+|c﹣6|+28=4+10b，∴（a﹣1﹣4+4）+（b2﹣10b+25）+|c﹣6|=0，∴（﹣2）2+（b﹣5）2+|c﹣6|=0，∴，b﹣5=0，c﹣6=0，解得，a=5，b=5，c=6，∴AC=BC=5，AB=6，作CD⊥AB于点D，则AD=3，CD=4，设△ABC的外接圆的半径为r，则OC=r，OD=4﹣r，OA=r，∴32+（4﹣r）2=r2，解得，r=，故答案为：．12．（2019•黄冈）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB=60°，弦AD平分∠CAB，若AD=6，则AC=2．【分析】连接BD．在Rt△ADB中，求出AB，再在Rt△ACB中求出AC即可解决问题；【解答】解：连接BD．∵AB是直径，∴∠C=∠D=90°，∵∠CAB=60°，AD平分∠CAB，∴∠DAB=30°，∴AB=AD÷cos30°=4，∴AC=AB•cos60°=2，故答案为2．13．（2019•新疆）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为2，则图中阴影部的面积是．【分析】根据等边三角形性质及圆周角定理可得扇形对应的圆心角度数，再根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，根据圆周角定理可得∠AOB=2∠C=120°，∴阴影部分的面积是=π，故答案为：14．（2019•扬州）如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，则AB= 2．【分析】根据圆内接四边形对角互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长．【解答】解：连接AD、AE、OA、OB，∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，∴∠ADB=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB=2，∴AB=2，故答案为：2．15．（2019•泰安）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BC=4，则⊙O的直径为4．【分析】连接OB，OC，依据△BOC是等腰直角三角形，即可得到BO=CO=BC•cos45°=2，进而得出⊙O的直径为4．【解答】解：如图，连接OB，OC，∵∠A=45°，∴∠BOC=90°，∴△BOC是等腰直角三角形，又∵BC=4，∴BO=CO=BC•cos45°=2，∴⊙O的直径为4，故答案为：4．16．（2019•大庆）已知直线y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为m＜．【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．【解答】解：把点（12，﹣5）代入直线y=kx得，﹣5=12k，∴k=﹣；由y=﹣x平移平移m（m＞0）个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为y=﹣x+m（m＞0），设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，（如下图所示）当x=0时，y=m；当y=0时，x=m，∴A（m，0），B（0，m），即OA=m，OB=m；在Rt△OAB中，AB=，过点O作OD⊥AB于D，∵S△ABO=OD•AB=OA•OB，∴OD•=×，∵m＞0，解得OD=，由直线与圆的位置关系可知＜6，解得m＜．故答案为：m＜．~三．解答题（共4小题）17．（2019•福建）如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB．（1）求证：BG∥CD；（2）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB=DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．【分析】（1）根据等边对等角得：∠PCB=∠PBC，由四点共圆的性质得：∠BAD+∠BCD=180°，从而得：∠BFD=∠PCB=∠PBC，根据平行线的判定得：BC∥DF，可得∠ABC=90°，AC是⊙O的直径，从而得：∠ADC=∠AGB=90°，根据同位角相等可得结论；（2）先证明四边形BCDH是平行四边形，得BC=DH，根据特殊的三角函数值得：∠ACB=60°，∠BAC=30°，所以DH=AC，分两种情况：①当点O在DE的左侧时，如图2，作辅助线，构建直角三角形，由同弧所对的圆周角相等和互余的性质得：∠AMD=∠ABD，则∠ADM=∠BDE，并由DH=OD，可得结论；②当点O在DE的右侧时，如图3，同理作辅助线，同理有∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，得结论．【解答】（1）证明：如图1，∵PC=PB，∴∠PCB=∠PBC，∵四边形ABCD内接于圆，∴∠BAD+∠BCD=180°，∵∠BCD+∠PCB=180°，∴∠BAD=∠PCB，~ ∵∠BAD=∠BFD，∴∠BFD=∠PCB=∠PBC，∴BC∥DF，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠ABC=90°，∴AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∵BG⊥AD，∴∠AGB=90°，∴∠ADC=∠AGB，∴BG∥CD；（2）由（1）得：BC∥DF，BG∥CD，∴四边形BCDH是平行四边形，∴BC=DH，在Rt△ABC中，∵AB=DH，∴tan∠ACB==，∴∠ACB=60°，∠BAC=30°，∴∠ADB=60°，BC=AC，∴DH=AC，①当点O在DE的左侧时，如图2，作直径DM，连接AM、OH，则∠DAM=90°，∴∠AMD+∠ADM=90°∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴∠BDE+∠ABD=90°，∵∠AMD=∠ABD，∴∠ADM=∠BDE，∵DH=AC，∴DH=OD，∴∠DOH=∠OHD=80°，∴∠ODH=20°∵∠AOB=60°，∴∠ADM+∠BDE=40°，∴∠BDE=∠ADM=20°，②当点O在DE的右侧时，如图3，作直径DN，连接BN，由①得：∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，∴∠BDE=∠BDN+∠ODH=40°，综上所述，∠BDE的度数为20°或40°．18．（2019•温州）如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在BD上．（1）求证：AE=AB．（2）若∠CAB=90°，cos∠ADB=，BE=2，求BC的长．【分析】（1）由折叠得出∠AED=∠ACD、AE=AC，结合∠ABD=∠AED知∠ABD=∠ACD，从而得出AB=AC，据此得证；（2）作AH⊥BE，由AB=AE且BE=2知BH=EH=1，根据∠ABE=∠AEB=∠ADB知cos∠ABE=cos∠ADB==，据此得AC=AB=3，利用勾股定理可得答案．【解答】解：（1）由折叠的性质可知，△ADE≌△ADC，∴∠AED=∠ACD，AE=AC，∵∠ABD=∠AED，∴∠ABD=∠ACD，∴AB=AC，∴AE=AB；（2）如图，过A作AH⊥BE于点H，∵AB=AE，BE=2，∴BH=EH=1，∵∠ABE=∠AEB=∠ADB，cos∠ADB=，∴cos∠ABE=cos∠ADB=，∴=．∴AC=AB=3，∵∠BAC=90°，AC=AB，∴BC=3．19．（2019•天门）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求MF的长．【分析】（1）连接OC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再根据斜边上的中线性质得MC=MG=ME，所以∠G=∠1，接着证明∠1+∠2=90°，从而得到∠OCM=90°，然后根据直线与圆的位置关系的判断方法可判断CM为⊙O的切线；（2）先证明∠G=∠A，再证明∠EMC=∠4，则可判定△EFC∽△ECM，利用相似比先计算出CE，再计算出EF，然后计算ME﹣EF即可．【解答】解：（1）CM与⊙O相切．理由如下：连接OC，如图，∵GD⊥AO于点D，∴∠G+∠GBD=90°，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵M点为GE的中点，∴MC=MG=ME，∴∠G=∠1，∵OB=OC，∴∠B=∠2，∴∠1+∠2=90°，∴∠OCM=90°，~∴OC ⊥CM ， ∴CM 为⊙O 的切线；（2）∵∠1+∠3+∠4=90°，∠5+∠3+∠4=90°， ∴∠1=∠5，而∠1=∠G ，∠5=∠A ， ∴∠G=∠A ， ∵∠4=2∠A ， ∴∠4=2∠G ，而∠EMC=∠G+∠1=2∠G ， ∴∠EMC=∠4， 而∠FEC=∠CEM ， ∴△EFC ∽△ECM ，∴==，即==，∴CE=4，EF=，∴MF=ME ﹣EF=6﹣=．20．（2019•泰州）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，∠ABC 的平分线交⊙O 于点D ，DE ⊥BC 于点E ． （1）试判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）过点D 作DF ⊥AB 于点F ，若BE=3，DF=3，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）直接利用角平分线的定义结合平行线的判定与性质得出∠DEB=∠EDO=90°，进而得出答案；~ （2）利用勾股定理结合扇形面积求法分别分析得出答案．【解答】解：（1）DE与⊙O相切，理由：连接DO，∵DO=BO，∴∠ODB=∠OBD，∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，∴∠EBD=∠DBO，∴∠EBD=∠BDO，∴DO∥BE，∵DE⊥BC，∴∠DEB=∠EDO=90°，∴DE与⊙O相切；（2）∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BE，DF⊥AB，∴DE=DF=3，∵BE=3，∴BD==6，∵sin∠DBF==，∴∠DBA=30°，∴∠DOF=60°，∴sin60°===，∴DO=2，则FO=，故图中阴影部分的面积为：﹣××3=2π﹣．~。
中考数学复习《与圆有关的位置关系》专题训练含答案
中考复习专题训练与圆有关的位置关系一、选择题1.⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为4cm，圆心距O1O2=3cm，这两圆的位置关系是( )A. 相交B. 内切C. 外切D. 内含2.⊙O的半径为4，线段OP=4，则点P与⊙O的位置关系是（）A. 点P在⊙O外B. 点P在⊙O内C. 点P在⊙O上D. 不能确定3.两圆外离，作它们的两条内公切线，四个切点构成的四边形是（）A. 矩形B. 等腰梯形C. 矩形或等腰梯形D. 菱形4. 已知线段AB=7cm，现以点A为圆心，2cm为半径画⊙A；再以点B为圆心，3cm为半径画⊙B，则⊙A 和⊙B的位置关系（）A. 内含B. 相交C. 外切D. 外离5.下列四个命题中，真命题是( )A. 相等的圆心角所对的两条弦相等；B. 圆既是中心对称图形也是轴对称图形；C. 平分弦的直径一定垂直于这条弦；D. 相切两圆的圆心距等于这两圆的半径之和.6.在△ABC中，cosB=，∠C=45°，AB=8，以点B为圆心4为半径的⊙B与以点C为圆心的⊙C相离，则⊙C的半径不可能为（）A. 15B. 5C. 6D. 77. 如图，已知⊙O的半径为4，点D是直径AB延长线上一点，DC切⊙O于点C，连接AC，若∠CAB=30°，则BD的长为（）A. 4B. 8C. 4D. 28.下列说法正确的是（）A. 任意三点可以确定一个圆B. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分该弦所对的弧C. 同一平面内，点P到⊙O上一点的最小距离为2，最大距离为8，则该圆的半径为5D. 同一平面内，点P到圆心O的距离为5，且圆的半径为10，则过点P且长度为整数的弦共有5条9.如图，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上一点，PT切⊙O于T，若PT=6，PB=2，则⊙O的直径为（）A. 8B. 10C. 16D. 1810.如图，在等腰三角形△ABC中，O为底边BC的中点，以O为圆心作半圆与AB，AC相切，切点分别为D，E．过半圆上一点F作半圆的切线，分别交AB，AC于M，N．那么的值等于（）A. B. C. D. 111.如图，⊙O的半径为2，点O到直线L的距离为3，点O是直线L上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（）A. B. C. 3 D. 512.已知如图，PA、PB切⊙O于A、B，MN切⊙O于C，交PB于N；若PA=7.5cm，则△PMN的周长是（）A. 7.5cmB. 10cmC. 15cmD. 12.5cm二、填空题13.已知⊙P在直角坐标平面内，它的半径是5，圆心P（﹣3，4），则坐标原点O与⊙P的位置关系是________14.已知点P在半径为5的⊙O外，如果设OP=x，那么x的取值范围是________．15.如图，已知扇形AOB的半径为6，圆心角为90°，E是半径OA上一点，F是上一点．将扇形AOB沿EF对折，使得折叠后的圆弧恰好与半径OB相切于点G．若OE=4，则O到折痕EF的距离为________．16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC≠BC，点M是边AC上的动点．过点M作MN∥AB交BC于N，现将△MNC沿MN折叠，得到△MNP．若点P在AB上．则以MN为直径的圆与直线AB的位置关系是________．17.如图，在⊙O中，OB为半径，AB是⊙O的切线，OA与⊙O相交于点C，∠A=30°，OA=8，则阴影部分的面积是________．18. 如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC，关于下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是∠ACQ的外心，其中正确结论是________ （只需填写序号）．19.如图，AE、AD、BC分别切⊙O于E、D、F，若AD=20，则△ABC的周长为 ________20.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4 ．若动点D在线段AC上（不与点A、C重合），过点D作DE⊥AC交AB边于点E．点A关于点D的对称点为点F，以FC为半径作⊙C，当DE=________时，⊙C与直线AB相切．21.如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=45°，则图中阴影部分的面积为________．三、解答题22.如图，已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB＝30°．（1）求∠APB的度数；（2）当OA＝3时，求AP的长．23.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E．已知AB=8，边BC 比AD大6．（1）求边AD、BC的长；（2）在直径AB上是否存在一动点P，使以A、D、P为顶点的三角形与△BCP相似？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．24.在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．（Ⅰ）如图①，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=32°，求∠P的大小；（Ⅱ）如图②，D为优弧ADC上一点，且DO的延长线经过AC的中点E，连接DC与AB相交于点P，若∠CAB=16°，求∠DPA的大小．25.解答题（1）如图1，已知⊙O的半径是4，△ABC内接于⊙O，AC=4 ．①求∠ABC的度数；②已知AP是⊙O的切线，且AP=4，连接PC．判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）如图2，已知▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O内，延长BC交⊙O于点E，连接DE．求证：DE=DC．参考答案一、选择题B C C D B D C D C B B C二、填空题13.点O在⊙P上14.x＞515.216.相交17.8 ﹣π18.②③19.4020.或21.4﹣π三、解答题22.解：（1）∵在△ABO中，OA=OB，∠OAB=30°，∴∠AOB=180°-2×30°=120°，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，∴在四边形OAPB中，∠APB=360°-120°-90°-90°=60°．（2）如图，连接OP；∵PA、PB是⊙O的切线，∴PO平分∠APB，即∠APO=∠APB=30°，又∵在Rt△OAP中，OA=3，∠APO=30°，∴AP=.23.解：（1）方法1：过D作DF⊥BC于F，在Rt△DFC中，DF=AB=8，FC=BC﹣AD=6，∴DC2=62+82=100，即DC=10．设AD=x，则DE=AD=x，EC=BC=x+6，∴x+（x+6）=10．∴x=2．∴AD=2，BC=2+6=8．方法2：连OD、OE、OC，由切线长定理可知∠DOC=90°，AD=DE，CB=CE，设AD=x，则BC=x+6，由射影定理可得：OE2=DE•EC．即：x（x+6）=16，解得x1=2，x2=﹣8，（舍去）∴AD=2，BC=2+6=8．（2）存在符合条件的P点．设AP=y，则BP=8﹣y，△ADP与△BCP相似，有两种情况：①△ADP∽△BCP时，有即∴y=；②△ADP∽△BPC时，有即∴y=4．故存在符合条件的点P，此时AP=或4．24.解：（Ⅰ）连接OC，如图①，∵PC为切线，∴OC⊥PC，∴∠OCP=90°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠CAB=32°，∴∠POC=∠OCA+∠CAB=64°，∴∠P=90°﹣∠POC=90°﹣64°=26°；（Ⅱ）如图②，∵点E为AC的中点，∴OD⊥AC，∴∠OEA=90°，∴∠AOD=∠CAB+∠OEA=16°+90°=106°，∴∠C= ∠AOD=53°，∴∠DPA=∠BAC+∠C=16°+53°=69°25.（1）解：①连结OA、OC，如图1，∵OA=OC=4，AC=4 ，∴OA2+OC2=AC2，∴△OCA为等腰直角三角形，∠AOC=90°，∴∠ABC= ∠AOC=45°；②直线PC与⊙O相切．理由如下：∵AP是⊙O的切线，∴∠OAP=90°，而∠AOC=90°，∴AP∥OC，而AP=OC=4，∴四边形APCO为平行四边形，∵∠AOC=90°，∴四边形AOCP为矩形，∴∠PCO=90°，∴PC⊥OC，∴PC为⊙O的切线（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠B+∠A=180°，∠DCE=∠B，∵∠E+∠A=180°，∴∠E=∠B，∴∠DCE=∠E，∴DC=DE．。
2019《3年中考2年模拟》河南中考数学二轮重点难点：第一节 圆的有关性质
第一节圆的有关性质A组基础题组一、选择题1.(2017四川泸州)如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,若AB=8,AE=1,则弦CD的长是()A. B.2 C.6 D.82.(2018四川南充)如图,BC是☉O的直径,A是☉O上的一点,∠OAC=32°,则∠B 的度数是()A.58°B.60°C.64°D.68°3.(2017河南南阳一模)如图,A,B,C三点都在☉O上,∠ACB=30°,AB=2,则☉O 的半径为()A.4B.2C.D.24.(2017甘肃兰州)如图,在☉O中,=,点D在☉O上,∠CDB=25°,则∠AOB=()A.45°B.50°C.55°D.60°5.(2018河南专项检测)如图,四边形ABCD内接于☉O,F是上一点,且=,连接CF并延长交AD的延长线于点E,连接AC,若∠ABC=105°,∠BAC=25°,则∠E 的度数为()A.45°B.50°C.35°D.60°6.(2016河南中招标准模拟(三))如图,点A、B、C、D在☉O上,O点在∠D的内部,四边形OABC为平行四边形,则∠OAD+∠OCD=()A.60°B.50°C.45°D.30°7.(2016陕西)如图,☉O的半径为4,△ABC是☉O的内接三角形,连接OB、OC.若∠BAC与∠BOC互补,则弦BC的长为()A.3B.4C.5D.6二、填空题8.(2018湖北黄冈)如图,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,∠CAB=60°,弦AD 平分∠CAB,若AD=6,则AC=.9.(2017北京)如图,AB为☉O的直径,C,D为☉O上的点,=.若∠CAB=40°,则∠CAD=°.10.(2018海南)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标是(20,0),点B的坐标是(16,0),点C、D在以OA为直径的半圆M上,且四边形OCDB是平行四边形,则点C的坐标为.三、解答题11.(2017河南濮阳二模)如图,已知△ABC内接于☉O,AB是直径,OD⊥BC于点D,延长DO交☉O于F,连接OC,AF.(1)求证:△COD≌△BOD;(2)填空:①当∠1=时,四边形OCAF是菱形;②当∠1=时,AB=2OD.12.(2017河南检测(六))如图,AB是☉O的直径,D,E为☉O上位于AB异侧的两点,连接BD并延长至点C,使得CD=BD,连接AC,交☉O于点F,连接AE,DE,DF. (1)证明:∠E=∠C;(2)若∠E=55°,求∠BDF的度数;(3)设DE交AB于点G,若DF=4,cos B=,E是的中点,求EG·ED的值.B组提升题组一、选择题1.(2017山东潍坊)如图,四边形ABCD为☉O的内接四边形,延长AB与DC相交于点G,AO⊥CD,垂足为E,连接BD,∠GBC=50°,则∠DBC的度数为()A.50°B.60°C.80°D.85°2.(2018河南学业水平考试模拟)如图,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的点,且OC∥BD,AD分别与BC,OC相交于点E,F,则下列结论:①AD⊥BD;②∠AOC=∠AEC;③BC平分∠ABD;④AF=DF;⑤BD=2OF;⑥△CEF≌△BED,其中一定成立的是()A.②④⑤⑥B.①③⑤⑥C.②③④⑥D.①③④⑤3.(2017河南鹤壁一模)如图,点C是☉O上一点,☉O的半径为2,D、E分别是弦AC、BC上的动点,且OD=OE=,则AB的最大值是()A.2B.2C.2D.4二、填空题4.(2018四川宜宾)如图,AB是半圆的直径,AC是一条弦,D是的中点,DE⊥AB 于点E且DE交AC于点F,DB交AC于点G,若=,则=.三、解答题5.(2017河南平顶山二模)如图,已知ED为☉O的直径且ED=4,点A(不与E、D重合)为☉O上一个动点,线段AB经过点E,且EA=EB,F为☉O上一点,∠FEB=90°,BF的延长线交AD的延长线于点C.(1)求证:△EFB≌△ADE;(2)当点A在☉O上移动时,直接回答四边形FCDE的最大面积为多少.答案精解精析A组基础题组一、选择题1.B如图,连接OC.∵AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,AB=8,∴∠CEO=90°,CD=2CE,OC=OA=AB=4.∵AE=1,∴OE=OA-AE=4-1=3.CE=-=-=.∴CD=2.故选B.2.A∵OA=OC,∠OAC=32°,∴∠C=∠OAC=32°,∵BC是☉O的直径,∴∠B=90°-32°=58°.故选A.3.B过A作直径AD.则∠ABD=90°,∠D=∠ACB=30°.又∵AB=2∴AD=2AB=4∴OA=AD=2.故选B.4.B连接OC,∵∠CDB=25°,∴∠COB=50°,又=,∴∠AOB=∠COB=50°,故选B.5.B∵四边形ABCD内接于☉O,∠ABC=105°,∴∠ADC=180°-∠ABC=75°,∵=,∠BAC=25°,∴∠DCE=∠BAC=25°,∴∠E=∠ADC-∠DCE=75°-25°=50°.故选B.6.A连接OD,∵OD=OA=OC,∴∠OAD=∠ODA,∠OCD=∠ODC,∴∠OAD+∠OCD=∠ODA+∠ODC=∠ADC. ∵四边形OABC是平行四边形,∴∠B=∠AOC=2∠ADC.又∵∠B+∠ADC=180°,∴∠ADC=60°,∴∠OAD+∠OCD=60°.7.B∵∠BOC+∠CAB=180°,∠BOC=2∠CAB, ∴∠BOC=120°,作OD⊥BC交BC于点D,∴BC=2BD.∵OB=OC,∴∠OBD=∠OCD=-=30°,∴BD=OBcos 30°=2,∴BC=2BD=4,故选B.二、填空题8.答案2解析连接BD.∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=∠ADB=90°.∵∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB,∴∠ABC=∠DAB=∠CAB=30°,∴在Rt△ABC和Rt△ABD中,BD=AC=AB,AB2=BD2+AD2,即AB2=+62,解得AB=4.∴AC=AB=×4=2.9.答案25解析连接BC,BD,∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠ABC=90°-∠CAB=90°-40°=50°.∵=,∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=25°,∴∠CAD=∠CBD=25°.10.答案(2,6)解析∵四边形OCDB是平行四边形,B(16,0).∴OA∥CD,CD=OB=16.过点M作MF⊥CD于点F,则CF=CD=8.过点C作CE⊥OA于点E,∵A(20,0),∴OE=OM-ME=OM-CF=10-8=2,连接MC,则MC=OA=10,∴在Rt△CMF中,MF=-=6,∴点C的坐标为(2,6).三、解答题11.解析(1)证明:∵OD⊥BC,∴∠CDO=∠ODB=90°.又OC=OB,OD=OD,∴△COD≌△BOD(HL).(2)①当∠1=30°时,四边形OCAF是菱形.详解:∵AB是直径,∴∠BCA=90°,又∠1=30°,∴∠CAB=60°,而OC=OA,∴△OAC是等边三角形,∴OA=OC=CA,又∵D,O分别是BC,BA的中点,∴DO∥CA,∴∠CAB=∠AOF=60°,又OA=OF.∴△OAF是等边三角形,∴AF=OA=OF,∴OC=CA=AF=OF,∴四边形OCAF是菱形.②当∠1=45°时,AB=2OD.详解:∵∠1=45°,OD⊥BC于点D,∴△BOD是等腰直角三角形,∴OB=OD,∴AB=2OB=2OD.12.解析(1)证明:连接AD,∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,即AD⊥BC.∵CD=BD,∴AD垂直平分BC.∴AB=AC.∴∠B=∠C.又∵∠B=∠E,∴∠E=∠C.(2)∵四边形AEDF是☉O的内接四边形,∴∠AFD=180°-∠E,又∵∠CFD=180°-∠AFD,∴∠CFD=∠E=55°,又∵∠E=∠C=55°,∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°.(3)连接OE,∵∠CFD=∠AED=∠C,∴FD=CD=BD=4,在Rt△ABD中,cos B=,BD=4,∴AB=6,∵E是的中点,AB是☉O的直径,∴∠AOE=90°,∵AO=OE=3,∴AE=3.∵E是的中点,∴∠ADE=∠EAB.∴△AEG∽△DEA.∴=.即EG·ED=AE2=18.B组提升题组一、选择题1.C由圆内接四边形的性质,得∠ADC+∠ABC=180°,又∠ABC+∠GBC=180°,∴∠ADC=∠GBC=50°,又∵AO⊥CD,∴∠DAE=40°.延长AE交☉O于点F.由垂径定理,得=,∴∠DBC=2∠DAF=80°.2.D∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,∴AD⊥BD.故①成立.由已知条件推不出∠AOC=∠AEC,故②不成立.∵OC∥BD,∴∠OCB=∠DBC,∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC,∴∠OBC=∠DBC,∴BC平分∠ABD.故③成立.∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,∴AD⊥BD,∵OC∥BD,∴∠AFO=90°,∵点O为圆心,∴AF=DF.故④成立.∵点O为AB的中点,∴OF是△ABD的中位线,∴BD=2OF.故⑤成立.由已知条件推不出△CEF≌△BED,故⑥不成立.故选D.3.A连接OA、OB、OC.由题意可知,当OD,OE分别垂直于AC,BC时,AB最长.此时,AC=2AD,BC=2BE,∠ACO=∠BCO=30°.∴∠BCA=60°,在Rt△ADO中,由勾股定理得,AD=-=-=, ∴AC=2AD=2.同理可得BC=2.∴△ABC为等边三角形.∴AB=BC=AC=2.故选A.二、填空题4.答案解析连接AD,BC.∵AB是半圆的直径,,∴∠ADB=90°,又DE⊥AB,∴∠ADE=∠ABD.∵D是的中点,∴∠DAC=∠ABD,∴∠ADE=∠DAC,∴FA=FD.∵∠ADE=∠DBC,∠ADE+∠EDB=90°,∠DBC+∠CGB=90°,∴∠EDB=∠CGB,又∠DGF=∠CGB,∴∠EDB=∠DGF,FG=FD,∴FA=FG.由=,设EF=3k,AE=4k,则AF=DF=FG=5k,DE=8k,在Rt△ADE中,AD==4k,∵AB是直径,∴∠ADG=∠GCB=90°,∵∠AGD=∠CGB,∴cos∠CGB=cos∠AGD,∴=,在Rt△ADG中,DG=-=2k,∴==.三、解答题5.解析(1)证明:连接FA.∵∠FEB=90°,∴EF⊥AB,AF是☉O的直径.∵BE=AE,∴BF=AF. ∵AF=DE.∴BF=ED.在Rt△EFB与Rt△ADE中,∴Rt△EFB≌Rt△ADE(HL).(2)四边形FCDE的最大面积为8.。
2019《3年中考2年模拟》河南中考数学二轮重点难点：23_第三节 圆的相关计算
直角
360 n
,半径Rn(OA)、边心 三角形.
(2)S= lr(S:正多边形的面积,l:正多边形的周长,r:正多边形的边心 距).
(n 2) 180 ,每个外角为 360 . (3)正n边形的每个内角为 n
1 2
n
考点研读
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考点二
圆和扇形的相关计算
名师点拨
根据扇形的面积公式和弧长公式,可知
∵∠BAC=50°,AO=CO=3, ∴∠ACO=50°,∴∠AOC=180°-∠ACO-∠BAC=80°,
AC 的长为 ∴劣弧
︵
80 3 4 = . 3 180
故选D.
随堂检测
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4.如图,已知圆锥侧面展开图的面积为65π cm2,弧长为10π cm,则 圆锥的母线长是 ( D )
S阴影= S 2 圆
1
S阴影=S扇形AOB-S△AOB
S阴影=S圆-(S扇形AOB-S△AOB)
考点研读
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2.常用方法 (1)等积转化法:通过等面积转化,将不规则阴影部分的面积转化 为规则图形的面积来计算.如图1,图2,图3.
图1 若DO∥AB,则 S阴影=S△DAB+S弓形AB =S△AOB+S弓形AB
图形,若不能直接计算,可考虑转化为三角形求解.
命题探究
栏目索引
命题探究
命题点一 命题点二 圆中弧长的计算 阴影面积的计算
命题探究
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命题点一
圆中弧长的计算
例1 (2018湖北黄石)如图,AB是☉O的直径,点D为☉O上一点,且
BD 的长为( D ) ∠ABD=30°,BO=4,则
︵
A. π
A.5 cm C.12 cm B.10 cm D.13 cm
专题27 与圆有关的位置关系-2019年中考数学考点总动员系列(解析版)
2019年中考数学备考之黄金考点聚焦考点二十七：与圆有关的位置关系聚焦考点☆温习理解一、点和圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d<r⇔点P在⊙O内；d=r⇔点P在⊙O上；d>r⇔点P在⊙O外。
二、直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：直线l与⊙O相交＜====＞ d<r；直线l与⊙O相切＜====＞ d=r；直线l与⊙O相离＜====＞ d>r；切线的判定和性质：（1）、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（2）、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
如右图中，OD垂直于切线。
切线长定理：（1）、切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
（2）、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
（3）、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）圆内接四边形对角互补。
(4)、三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
如图圆O是△A＇B＇C＇的内切圆。
三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。
三、圆和圆的位置关系1、圆和圆的位置关系如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。
如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。
如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。
2、圆心距两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。
3、圆和圆位置关系的性质与判定设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么两圆外离⇔d>R+r两圆外切⇔d=R+r两圆相交⇔R-r<d<R+r （R ≥r ） 两圆内切⇔d=R-r （R>r ） 两圆内含⇔d<R-r （R>r ） 4、两圆相切、相交的重要性质如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
河南中考数学考点突破 22_第二节 与圆有关的位置关系
①若∠BAD=45°,AB=2 2 ,则△CDG的面积为 2 ;
②当∠GCD的度数为 30° 时,四边形EFCD是菱形.
解析 (1)证明:∵AB=AD,FB=FC, ∴∠B=∠D,∠B=∠BCF,∴∠D=∠BCF, ∴CF∥AD, ∵CG⊥AD,∴CG⊥CF, ∴GC是☉F的切线.
∴ EG = FG ,即EG2=AG·FG.
AG EG
设FG=x,则AG=3+x,∴22=x(3+x),解得x=1或x=-4(舍去),∴FG=1. 在Rt△EFG中,由勾股定理得EF= GE2 FG
如图,AB是☉O的弦,D为半径OA的中点,过D作CD⊥OA交弦AB于 点E,交☉O于点F,且CE=CB. (1)求证:BC是☉O的切线; (2)连接AF,BF,求∠ABF的度数.
1.定义:直线和圆只有一个公共点,这时我们说这条直线和圆相切,
这条直线叫做圆的切线,这个点叫做切点. 2.判定与性质
切线的 判定
1.和圆有⑤ 一个 公共点的直线是圆的切线
2.如果圆心到一条直线的距离等于圆的⑥ 半径 ,那么这条直线是 圆的切线
3.经过半径的外端并且⑦ 垂直 于这条半径的直线是圆的切线(判 定定理)
命题点二 圆的切线的判定及其综合应用
例2 (2018河南许昌一模)如图,AB为☉O的直径,AB=AC,BC交☉ O于点D,DE⊥AC于E. (1)求证:DE为☉O的切线; (2)连接BE交☉O于F,连接AF并延长交ED于G.若GE=2,AF=3,求 EF的长.
思路导引 (1)
(2)
解析 (1)证明:连接OD,如图,
性质定理
圆的切线⑧ 垂直 于过切点的半径
推论
1.经过圆心且垂直于切线的直线必过⑨ 切点
河南版中考数学第二节 与圆有关的位置关系
第二节与圆有关的位置关系A组基础题组一、选择题1.(2018湖北宜昌)如图,直线AB是☉O的切线,C为切点,OD∥AB交☉O于点D,点E在☉O上,连接OC,EC,ED,则∠CED的度数为()A.30°B.35°C.40°D.45°2.(2018湖南湘西州)已知☉O的半径为5 cm,圆心O到直线l的距离为5 cm,则直线l与☉O的位置关系为()A.相交B.相切C.相离D.无法确定3.(2018广东深圳)一把直尺,含60°角的直角三角板和光盘如图摆放,A为60°角与直尺的交点,AB=3,则光盘的直径是()A.3B.3C.6D.64.(2018四川宜宾)在△ABC中,若O为BC边的中点,则必有:AB2+AC2=2AO2+2BO2成立.依据以上结论,解决如下问题:如图,在矩形DEFG 中,已知DE=4,EF=3,点P在以DE为直径的半圆上运动,则PF2+PG2的最小值为()A. B. C.34 D.10二、填空题5.(2017浙江杭州)如图,AT切☉O于点A,AB是☉O的直径.若∠ABT=40°,则∠ATB=.6.(2016黑龙江哈尔滨)如图,AB为☉O的直径,直线l与☉O相切于点C,AD⊥l,垂足为D,AD交☉O于点E,连接OC、BE.若AE=6,OA=5,则线段DC的长为.7.(2017江苏徐州)如图,AB与☉O相切于点B,线段OA与弦BC垂直,垂足为D,AB=BC=2,则∠AOB=.三、解答题8.(2017河南安阳一模)如图,AB为☉O的直径,C,D为☉O上不同于A,B的两点,∠ABD=2∠BAC,过点C作CE⊥DB交DB的延长线于点E,直线AB与CE相交于点F.(1)求证:CF为☉O的切线;(2)填空:当∠CAB的度数为时,四边形ACFD是菱形.9.(2018河南商丘一模)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的☉O与AC边交于点D,过点D作☉O的切线交BC于点E,连接OE.(1)证明:OE∥AD;(2)①当∠BAC=,四边形ODEB是正方形;②当∠BAC=时,AD=3DE.B组提升题组一、选择题1.(2017河南信阳二模)如图,AB是☉O的直径,☉O交BC于D,其中D为BC的中点,DE⊥AC于E,连接AD,则下列结论:①AD⊥BC;②∠EDA=∠B;③OA=AC;④DE是☉O的切线.正确的个数是()A.1B.2C.3D.4二、填空题2.(2018河南学业水平考试模拟)如图,AB是☉O的直径,弦BC=2 cm,F是弦BC的中点,∠ABC=60°.若动点E以2 cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A的方向运动,设运动时间为t(s)(0≤t<3),连接EF,当△BEF是直角三角形时,t(s)的值为.三、解答题3.(2017河南新乡二模)如图,☉O是△ABC的外接圆,AB为直径,∠BAC的平分线交☉O于点D.过点D的直线分别交AB,AC的延长线于点E,F.AF⊥EF.(1)求证:EF是☉O的切线;(2)小强同学通过探究发现:AF+CF=2AO,请你帮助小强同学证明这一结论.4.(2018河南开封一模)如图,△ABC内接于☉O,且AB为☉O的直径,OD⊥AB,与AC交于点E,与过点C的☉O的切线交于点D.(1)若AC=6,BC=3,求OE的长;(2)试判断∠A与∠CDE的数量关系,并说明理由.5.(2016广东深圳)☉O的半径为2,CD为弦,AB为直径,CD,AB交于M,沿CD翻折,使A与O重合,延长OA至P,使AP=OA,连接CP.(1)求CD的长;(2)求证:CP与☉O相切;(3)G为弧ADB的中点,Q为PC延长线上一点,连接QG交AB于点E,交☉O于F,在Q点运动过程中,GE·GF的值是不是定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.答案精解精析A组基础题组一、选择题1.D∵直线AB是☉O的切线,C为切点,∴∠OCB=90°,∵OD∥AB,∴∠COD=90°,∴∠CED=∠COD=45°.故选D.2.B∵圆心到直线的距离等于☉O的半径,∴直线l与☉O相切.故选B.3.D设光盘切直角三角形斜边于点C,连接OC、OB、OA(如图).∵∠DAC=60°,∴∠BAC=120°.又∵AB、AC为圆O的切线,∴AC=AB,∠BAO=∠CAO=60°,在Rt△AOB中,∵AB=3,∴tan∠BAO=,∴OB=AB×tan 60°=3,∴光盘的直径为6.故答案为D.4.D设点M为DE的中点,点N为FG的中点,连接MN交半圆于点P,此时PN取最小值.∵DE=4,四边形DEFG为矩形,∴GF=DE,MN=EF,∴MP=FN=DE=2,∴NP=MN-MP=EF-MP=1,∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10.故选D.二、填空题5.答案50°解析∵AT与☉O相切,AB是☉O的直径,∴AT⊥AB,即∠BAT=90°,∵在Rt△ABT中,∠ABT=40°,∴∠ATB=90°-40°=50°.6.答案 4解析设OC与BE相交于点F,∵AB是☉O的直径,∴∠AEB=90°,∵AO=5,∴AB=10.在Rt△AEB中,AE=6,∴BE=-=8.∵直线l是☉O的切线,∴OC⊥CD,又∵AD⊥CD,AE⊥EB,∴OF为△ABE的中位线,四边形CDEF为矩形,∴DC=EF=BE=4.7.答案60°解析∵OA⊥BC,BC=2,∴根据垂径定理,得BD=BC=1.在Rt△ABD中,sin∠A==.∴∠A=30°.∵AB与☉O相切于点B,∴∠ABO=90°.∴在Rt△OAB中,∠AOB=60°.三、解答题8.解析(1)证明:如图,连接OC.∵∠ABD=2∠BAC,∠BOC=2∠BAC,∴∠ABD=∠BOC.∴OC∥DE.∵CE⊥DB,∴OC⊥CF.又∵OC为☉O的半径,∴CF为☉O的切线.(2)30°.9.解析(1)证明:连接OD.∵DE是☉O的切线,∴OD⊥DE.在Rt△ODE和Rt△OBE中,,,∴Rt△ODE≌Rt△OBE(HL),∴∠BOE=∠DOB.∵OA=OD,∴∠A=∠DOB,∴∠BOE=∠A.∴OE∥AD.(2)①45°;②30°.详解:①当四边形ODEB是正方形时,BO=BE,∴∠BOE=45°,∵OE∥AD,∴∠BAC=45°.②当∠BAC=30°时,AD=3DE.证明如下:过点O作OF⊥AD于F.由垂径定理可知,AF=DF=AD,∵∠BAC=30°,∴∠ODF=∠DOE=30°,∴OD==AD,OD==DE,∴AD=3DE.B组提升题组一、选择题1.D∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,即AD⊥BC,①正确; 连接OD,∵D为BC的中点,∴BD=DC,∵OA=OB,∴DO∥AC,∵DE⊥AC,∴OD⊥DE,∵OD是☉O的半径,∴DE是☉O的切线,∴④正确;∵DE是☉O的切线,∴∠ODE=90°,∴∠ODA+∠EDA=90°,又∵∠ADB=∠ADO+∠ODB=90°,∴∠EDA=∠ODB,∵OD=OB,∴∠B=∠ODB,∴∠EDA=∠B,∴②正确;∵D为BC的中点,AD⊥BC,∴AC=AB,∵OA=OB=AB,∴OA=AC,∴③正确.故选D.二、填空题2.答案1,,解析∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,在Rt△ABC中,BC=2 cm,∠ABC=60°,∴AB=2BC=4 cm.①当∠BFE=90°时,记E的位置为D1,Rt△BFE中,∠ABC=60°,则BE=2BF=2 cm, ∴此时AE=AB-BE=2 cm,即点E运动的距离为2 cm,∴t==1(s);②当∠BEF=90°时,用同样的方法可求得BE=0.5 cm,记E的位置为D2,此时AE=AB-BE=3.5 cm.即点E运动的距离是3.5 cm.∴点E运动的时间为=(s);③当点E从点B回到点D2的过程中,E运动的距离为2×(4-3.5)=1 cm.∴点E运动的时间为+=(s).综上所述,当t=1或或时,△BEF是直角三角形.三、解答题3.证明(1)连接OD.∵OA=OD,∴∠BAD=∠ADO.又∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC.∴∠DAC=∠ADO.∴AF∥OD.∵AF⊥EF,∴OD⊥EF.∴EF是☉O的切线.(2)过点D作DM⊥AE于点M,连接BD,CD.∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAF.∴弧BD=弧CD.∴BD=CD.又∵AF⊥EF,DM⊥AE,∴DM=DF,∠AFD=∠AMD=∠EMD=90°.∴Rt△CDF≌Rt△BDM(HL),∴CF=BM.∵DM=DF,AD=AD,∴Rt△ADF≌Rt△ADM(HL),∴AF=AM,∴AF+CF=AM+BM=2AO.即AF+CF=2AO.4.解析(1)∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,在Rt△ABC中,由勾股定理得AB==3,∴OA=AB=,∵OD⊥AB,∴∠AOE=∠ACB=90°,又∵∠A=∠A,∴△AOE∽△ACB,∴=,即=.解得OE=.(2)∠CDE=2∠A,理由如下:连接OC,如图所示,∵OA=OC,∴∠1=∠A,∵CD是☉O的切线,∴OC⊥CD,∴∠OCD=90°,∴∠2+∠CDE=90°,∵OD⊥AB,∴∠2+∠3=90°,∴∠3=∠CDE,∵∠3=∠A+∠1=2∠A,∴∠CDE=2∠A.5.解析(1)由题意可知AO⊥CD,AM=OM=1. 连接OC,在Rt△OMC中,CM=-=.∵AO为半径且AO⊥CD,∴CM=DM=CD,∴CD=2CM=2.(2)证明:在Rt△PCM中,PC2=PM2+CM2=12.在△POC中,PO2=16,OC2=4.∴PC2+OC2=PO2,∴△OPC为直角三角形,且∠OCP=90°,∴CP与☉O相切.(3)GE·GF的值为定值.连接GO,延长GO交☉O于点H,连接FH.∵G为直径对应的弧ADB的中点,∴GH⊥AB且GH为直径,所以∠HFG=90°.∵∠EGO=∠HGE,∠GOE=∠GFH,∴△GOE∽△GFH,∴=.即GE·GF=GH·GO=4×2=8.。
河南省中考试题研究课件 第六章第二节 与圆有关的位
切线的性 质与判定
的切线长. *切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切 线，它们的切线长 13 _相__等__，这一点和圆心
的连线平分两条切线的夹角（2011版新课标
选学内容）
内切圆的定义：与三角形各边都相切 的圆叫做三角形的内切圆 三角形内心定义：内切圆的圆心是三 三角形的内切圆 角形三条角平分线的交点，叫做三角 形的内心 性质：三角形的内心到三角形三边距 离 14 _相__等__
外接圆的定义：经过三角形的三个顶 点可以作一个圆，这个圆叫做三角形 的外接圆 三角形外心定义：外接圆的圆心是三 三角形的外接圆 角形三条边垂直平分线的交点，叫做 三角形的外心 性质：三角形的外心到三角形三个顶 点的距离 15 _相__等__
重难点突破
切线的性质及其有关计算（高频）
例（2015 重庆A卷）如图，AB是⊙O直径，点C在
∴∠ADB=90°-40°=50°．
故选 B
(1)在根据切线的性质求角度的问题时一般是先连 接圆心与切点，然后通过圆周角定理和推论，或者两 三角形的性质将所求角与已知角进行等量代换，因此 需要掌握圆周角定理和推论还有三角形性质，尤其是 一些特殊的角，如直径所对的圆周角等于90°，和圆 的半径相等的弦所对的圆心角等于60°等；
点在圆外 d①_＞__r，如点A 点在圆上 d②_=__r，如点B 点在圆内 d③_＜__r，如点C
位置关系 相离
相切
相交
直线与圆的位 置关系（设圆 d与r的关系 d>r d④ = r d⑤ < r
的半径为r,圆
心到直线的距
交点的个数
没有公共 点
离为d)
有且只 有一个 公共点
有两个公 共点
示意图
∵AD⊥CD,∴∠ADC=90°,
2019《3年中考2年模拟》河南中考数学二轮重点难点：22_第二节 与圆有关的位置关系
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(2)图中无90°角时,利用等腰三角形性质:通过证明切线为所在等 腰三角形的中线或角平分线,再根据等腰三角形“三线合一”的 性质得证.
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一、选择题
1.若☉O的半径R为5 cm,点A到圆心O的距离为4 cm,则点A与☉O 的位置关系是 ( C ) A.点A在圆外 C.点A在圆内 答案 C B.点A在圆上 D.不能确定
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解析
(1)证明:连接OC.
∵CE是☉O的切线,∴OC⊥CE. ∴∠FCO+∠ECF=90°. ∵DO⊥AB,∴∠B+∠BFO=90°. ∵∠CFE=∠BFO,∴∠B+∠CFE=90°. ∵OC=OB,∴∠FCO=∠B. ∴∠ECF=∠CFE,∴CE=EF. (2)①30°;②22.5°.
EG AG
FG EG
设FG=x,则AG=3+x,∴22=x(3+x),解得x=1或x=-4(舍去),∴FG=1.
在Rt△EFG中,由勾股定理得EF= 3. 22 12 = GE 2 FG 2 =
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2-1 (2018河南信阳一模)
如图,AB是☉O的弦,D为半径OA的中点,过D作CD⊥OA交弦AB于
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命题点二
圆的切线的判定及其综合应用
例2 (2018河南许昌一模)如图,AB为☉O的直径,AB=AC,BC交☉
O于点D,DE⊥AC于E. (1)求证:DE为☉O的切线;
(2)连接BE交☉O于F,连接AF并延长交ED于G.若GE=2,AF=3,求
EF的长.
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思路导引 (1)
河南省2019年中考数学总复习 第六章 圆真题帮
第一节圆的基本性质1.［2013河南,7］涉及考点：垂径定理、切线的性质、圆周角定理的推论如图，CD是☉O的直径,弦AB⊥CD于点G，直线EF与☉O相切于点D,则下列结论中不一定正确的是（)A。
AG=BGB.AB∥EFC.AD∥BCD。
∠ABC=∠ADC2.［2011河南，10]涉及考点:圆周角定理的推论、切线的性质如图,CB切☉O于点B，CA交☉O于点D,且AB为☉O的直径,点E是上异于点A，D的一点。
若∠C=40°,则∠E的度数为.（第2题）(第3题）3.［2010河南,11］涉及考点:圆周角定理、切线的性质如图，AB切☉O于点A,BO交☉O于点C，点D是上异于点C,A的一点，若∠ABO=32°，则∠ADC的度数是。
第二节与圆有关的位置关系1.［2012河南，8］涉及考点：切线的性质、圆周角定理及其推论、平行线的判定如图,已知AB是☉O的直径，AD切☉O于点A，=。
则下列结论中不一定正确的是（) A。
BA⊥DA B.OC∥AEC.∠COE=2∠CAE D。
OD⊥AC2。
［2009河南,11]涉及考点:切线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质、等边三角形的性质如图,AB是半圆O的直径,延长AB到点P,使BP=AB,PC切半圆O于点C，点D是上和点C不重合的一点，则∠D的度数为.3。
［2017河南，18]涉及考点:切线的性质、圆周角定理的推论、平行线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理如图，在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交AC边于点D,过点C作CF∥AB，与过点B的切线交于点F,连接BD。
（1）求证：BD=BF；（2）若AB=10，CD=4，求BC的长.4。
［2014河南，17］涉及考点：切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定、菱形的判定、正方形的判定如图,CD是☉O的直径，且CD=2 cm,点P为CD的延长线上一点，过点P作☉O的切线PA，PB,切点分别为点A,B.（1)连接AC,若∠APO=30°,试证明△ACP是等腰三角形;（2）填空:①当DP= cm时，四边形AOBD是菱形；②当DP= cm时,四边形AOBP是正方形.第三节与圆有关的计算1。
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河南省2019年中考数学二轮模块复习《与圆有关的位置关系》练习解析与圆有关的位置关系在近7年河北中考中每年设置1—2道题，题型包括选择题，填空题，解答题。
本节常考的知识点有（1）直线与圆的位置关系；（2）切线的判定和性质例题精讲一、选择题1.（2016湘西中考）⊙O的半径为5㎝，点A到圆心O的距离OA=3㎝，则点A与圆O的位置关系为（）A.点A在圆上B.点A在圆内C.点A在圆外D.无法确定【答案】B【解析】点到圆心的距离小于圆的半径，所以点A在圆的内部，故选B.2. （河北中考）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（）A. 8≤AB≤10B. 8＜AB≤10C. 4≤AB≤5D. 4＜AB≤5【答案】A【解析】如图，作OE⊥AB交圆O于E，过点E作CD∥AB，交圆O于C，D. 连接OC,则三角形OCE为直角三角形,且OC=5，OE=3，由勾股定理求得CE=4.所以CD=8，根据题意可知AB的取值范围是8≤AB ≤10，故选择A.针对性训练1. 如图，在⊙O 中，AB 为直径，BC 为弦，CD 为切线，连接OC ．若∠BCD ＝50°，则∠AOC 的度数为（ ） A ．40° B ．50°C ．80°D ．100°2. 如图，∠O ＝30°，C 为OB 上一点，且OC ＝6，以点C 为圆心,半径为3的圆与OA 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相交C ．相切 D. 以上三种情况均有可能AB ＝4. 如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若直线PA 与⊙O 相切于点A ，则∠PAB 等于（ ） A.30° B.35° C.45° D.60°BACDOD5.如图，AB 是⊙O 的弦，AO 的延长线交过点B 的⊙O 的切线于点C ，若∠ABO =20°，则∠C 的度数是（ ） A ．70°B ．50°C ．45°D ．20°【答案】1—5CCAAB 二、填空题 例题精讲1. （乐山中考）如图，已知直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，P 是以(0,1)C 为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA 、PB .则PAB ∆面积的最大值是__212【解析】如图，平移AB 使其与⊙C 相切于P ，此时P 点距离AB 最远，连接AC ，连接PC 交AB 于点H. ∵PC 经过⊙C 的圆心，MN ∥AB ，∴PH ⊥AB.∵直线y=34x ﹣3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，∴点A 的坐标为（4，0），点B 的坐标为（0，﹣3），则AB=5.∵S △ABC =12BCAO=12ABCH ，∴CH=165，∴PH=1+165=215，∴△P AB 面积的最大值是×5×215=212.2. （河北中考）如图，PA 和PB 是⊙O 的切线，点A 和B 是切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠P ＝40°，则∠ACB 的大小是_70°____【解析】如图，连接OB .因为PA 和PB 是⊙O 的切线，点A 和B 是切点，所以90OAP OBP ∠=∠=︒，根据四边形内角和为360︒且40P ∠=︒得140AOB ∠=︒，从而得40COB ∠=︒，故18040702ACB ︒-︒∠==︒.故选C .P针对性训练1. 如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，若∠C=65°，则∠P 的度数为___2.如图，BC 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的切线，切点为D ，AD 与BC 的延长线交于点A ，∠C=30°，给出下面四个结论：①AD=DC ；②AB=BD ；③AB=21BC ；④BD=CD ， 其中正确的个数为（ ）3. 已知⊙P 的半径为2，圆心在函数8y x=-的图象上运动，当⊙P 与坐标轴相切于点D 时，则符合条件的点D 的个数为 （ 4 ） 答案1-3，分别为50°，3，4 应用题 例题精讲1.. （盐城中考）如图，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，∠CBA ＝50°，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，点E 在边AC 上，且满足ED ＝EA ．（1）求∠DOA的度数；（2）求证：直线ED与⊙O相切．E解：（1）∵∠CBA＝50°，∴∠DOA＝2∠DBA＝100°；证法1：如图，连接OE，在△EAO和△EDO中，∵AO＝DO，EA＝ED，EO＝EO，∴△EAO≌△EDO，∴∠EDO＝∠EAO＝90°，∴直线ED与⊙O相切．EC证法2：如图，连接AD，∵AO＝DO，∴∠OAD＝∠ODA；∵EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA，∠ODA＋∠EDA＝∠OAD＋∠EAD，即∠EDO＝∠EAO＝90°，∴直线ED与⊙O相切．E2.(宁夏族回族自治区中考)如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，PBA C∠=∠．(1)求证：PB 是O ⊙的切线；(2)连接OP ，若OP BC ∥，且OP ＝8，O ⊙的半径为BC 的长．证明：(1)如图，连接OB ，∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠CBO + ∠OBA ＝90°．∵OC ＝OB ， ∴∠C ＝∠CBO ． ∵PBA C ∠=∠， ∴PBA CBO ∠=∠． ∴PBA ∠+ ∠OBA ＝90°，即PBO ∠＝90°． ∴PB 是O ⊙的切线．解：(2) ∵ OP BC ∥, BC ⊥AB ， ∴OP ⊥AB ，∠C ＝AOP ∠， ∵OA ＝OB ， ∴AOP ∠＝BOP ∠． ∴C ∠＝BOP ∠． ∴Rt △ABC ∽Rt △PBO ， ∴AC BCOP OB=．∵O ⊙的半径为 ∴AC ＝OB ＝22824BC=， ∴B C ＝2．针对性训练1. 如图，AB 是⊙O 的直径，点D 是AE ︵上一点，且∠BDE =∠CBE ，BD 与AE 交于点F ． （1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若BD 平分∠ABE ，求证：DE 2=DFDB ；（3）在（2）的条件下，延长ED ，BA 交于点P ，若PA =AO ，DE =2，求PD 的长和⊙O 的半径．2. 如图，☉O 是△ABC 的外接圆，圆心O 在AB 上，且∠B =2∠A ， M 是OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N ，交BC 的延长线于点E ，直线CF 交EN 于点F ，EF =FC . (1)求证：CF 是☉O 的切线.(2)设☉O 的半径为2，且AC =CE ，求AM 的长.答案1.证明：（1）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB =90°，∴∠EAB +∠EBA =90°．∵∠EDB =∠EAB ，∠BDE =∠CBE ，∴∠EAB =∠CBE ，∴∠ABE +∠CBE =90°，∴CB ⊥AB ． ∵AB 是⊙O 的直径，∴BC 是⊙O 的切线；证明：（2）∵BD 平分∠ABE ，∴∠ABD =∠DBE ，AD ︵=DE ︵，∴∠DEA =∠DBE ．∵∠EDB =∠BDE ，∴△DEF ∽△DBE ，∴DEDFDB DE =，∴DE 2=DFDB ． 解：（3）如图，连接DA 、DO ，∵OD =OB ，∴∠ODB =∠OBD ，∵∠EBD =∠OBD ，∴∠EBD =∠ODB ，∴OD ∥BE ，∴PBPO PE PD =．∵PA =AO ，∴PA =AO =OB ，∴32=PB PO ，∴32=PE PD ，∴32=+DE PD PD ．∵DE =2，∴PD =4． ∵∠PDA +∠ADE =180°，∠ABE +∠ADE =180°，∴∠PDA =∠ABE ，∵OD ∥BE ，∴∠AOD =∠ABE ，∴∠PDA =∠AOD ，∵∠P =∠P ，∴△PDA ∽△POD ，∴PDPAPO PD =． 设OA =x ，∴PA =x ，PO =2x ，∴424xx =，∴2x 2=16，解得x =22，∴⊙O 的半径OA =22．2..(1)如图，连接OC .⊙O 是△ABC 的外接圆，圆心O 在AB 上， ∴AB 是⊙O 的直径.90=∠∴ACB .又A B ∠=∠2 ,o o A B 30,60=∠=∠∴.AB EM ⊥ ， 90=∠∴EMB .在EMB Rt ∆中， 60=∠B ,30E ∴∠=.又FC EF = ，30ECF E ∴∠=∠=.90=∠ECA ， 60=∠∴FCA .OC OA = ， 30=∠=∠∴A OCA .90FCO FCA ACO ∴∠=∠+∠=.OC 是⊙O 的半径，是FC ∴⊙O 的切线.（2）在Rt △ABC 中，90304ACB ,A ,AB ∠=∠==.3223430cos =⨯=⋅=∴ AB AC ，221430in =⨯=︒⋅=s AB BC .CE AC = ，32=∴CE .322+=+=∴CE BC BE .在Rt △BEM 中，90,30BME E ∠=∠=，3121)322(in30+=⨯+=︒⋅=∴s BE BM . 33314-=+-=-=∴)(BM AB AM .。