第八知识块 平面解析几何初步、圆锥曲线与方程(第6课时-第9课时) (4)

第9课时 曲线与方程一、填空题1．下面各对方程中，表示相同曲线的一对方程是________．①y ＝x 与y ＝x 2 ②(x －1)2＋(y ＋2)2＝0与(x －1)·(y ＋2)＝0 ③y ＝1x 与xy ＝1 ④y ＝lg x 2与y ＝2lg x 答案：③2．曲线f (x ，y )＝0关于直线x －y －3＝0对称的曲线方程为________．解析：在对称曲线上任选一点(x ，y )，关于x －y －3＝0的对称点为(y ＋3，x －3)在 f (x ，y )＝0上．故f (y ＋3，x －3)＝0. 答案：f (y ＋3，x －3)＝03．已知l 1是过原点O 且与向量a ＝(2，－λ)垂直的直线，l 2是过定点A (0,2)且与向量 b ＝⎝⎛⎭⎫－1，λ2平行的直线，则l 1与l 2交点P 的轨迹方程是________，轨迹是________． 解析：由题意，l 1可为过原点除x 轴的任意直线，l 2可为过A (0,2)除y 轴的任意直线，又l 1与l 2垂直，由平面几何性质知，交点P 的轨迹是以OA 为直径的圆除去原点O 的部分，故P 点轨迹方程为x 2＋(y －1)2＝1(y ≠0)．答案：x 2＋(y －1)2＝1(y ≠0) 以(0,1)为圆心、1为半径的圆(不包括原点)4． 已知两直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0的交点为P (2,3)，则过两点Q 1(a 1，b 1)，Q 2(a 2，b 2)的直线方程是____________．解析：P (2,3)在a 1x ＋b 1y ＋1＝0上，代入得2a 1＋3b 1＋1＝0.同理2a 2＋3b 2＋1＝0. 故(a 1，b 1)，(a 2，b 2)都在直线2x ＋3y ＋1＝0上，两点确定一条直线，故过Q 1，Q 2两点的直线方程为2x ＋3y ＋1＝0. 答案：2x ＋3y ＋1＝05．方程|x －1|＋|y －1|＝1表示的曲线所围成的图形的面积是________．解析：|x －1|＋|y －1|＝1可写成 ⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥1，x ＋y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≤1，x －y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y ≥1，y －x ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y ≤1，x ＋y ＝1.其图形如图所示．它是边长为2的正方形，其面积为2.答案：26. 已知△ABC 的两顶点A 、B 的坐标分别为A (0,0)、B (6,0)，顶点C 在曲线y ＝x 2＋3上运动，则△ABC 重心的轨迹方程为________________．解析：设G (x ，y )为所求轨迹上任一点，顶点C 的坐标为(x ′，y ′)，则由重心坐标公式，得⎩⎨⎧x ＝0＋6＋x ′3，y ＝0＋0＋y ′3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x －6，y ′＝3y .∵顶点C (x ′，y ′)在曲线y ＝x 2＋3上， ∴3y ＝(3x －6)2＋3，整理，得y ＝3(x －2)2＋1.故所求轨迹方程为y ＝3(x －2)2＋1. 答案：y ＝3(x －2)2＋17．设以P (2,2)为圆心的圆与椭圆x 2＋2y 2＝1交于A 、B 两点，则AB 中点M 的轨迹方程是________________．解析：如图所示，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 中点M (x 0，y 0)，则x 21＋2y 21＝1， x 22＋2y 22＝1，两式作差得k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2y 1＋y 2＝－x 02y 0. ∵PM ⊥AB ，∴k PM ·k AB ＝－1，即y 0－2x 0－2·⎝⎛⎭⎫－x 02y 0＝－1. ∴所求轨迹方程是xy ＋2x －4y ＝0(椭圆内部分)． 答案：xy ＋2x －4y ＝0(椭圆内部分) 二、解答题8．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P关于y 轴对称，O 为坐标原点，若求P 点的轨迹方程．解：∵∴P 分有向线段所成的比为2.∴由P (x ，y )可得B (0,3y )，A ⎝⎛⎭⎫3x 2，0.∴＝⎝⎛⎭⎫－32x ，3y .∵Q 与P 关于y 轴对称．∴Q (－x ，y )，且＝(－x ，y )．∴由＝1得3x 22＋3y 2＝1(x >0，y >0)为所求．9．(江苏姜堰、如皋、淮阴、前黄四校联考)已知动圆Q 与x 轴相切，且过点A (0,2)．(1)求动圆圆心Q 的轨迹M 方程；(2)设B 、C 为曲线M 上两点，P (2,2)，PB ⊥BC ，求点C 横坐标的取值范围．解：(1)设P (x ，y )为轨迹上任一点，则|y |＝x 2＋(y －2)2≠0，化简得y ＝14x 2＋1，∴y ＝14x 2＋1为所求方程．(2)设B ⎝⎛⎭⎫x 1，14x 21＋1，C ⎝⎛⎭⎫x 2，14x 22＋1，∵＝0，∴x 2＝－⎝⎛⎭⎫x 1＋16x 1＋2.∴x 2≥10或x 2≤－6为所求．10．(南京市调研)已知曲线E ：ax 2＋by 2＝1(a >0，b >0)．经过点M⎝⎛⎭⎫33，0的直线l 与曲线E 交于点A 、B ，且(1)若点B 的坐标为(0,2)，求曲线E 的方程；(2)若a ＝b ＝1，求直线AB 的方程． 解：(1)设A (x 0，y 0)，因为B (0,2)，M ⎝⎛⎭⎫33，0，故＝⎝⎛⎭⎫－33，2，＝⎝⎛⎭⎫x 0－33，y 0. 因为，所以⎝⎛⎭⎫－33，2＝－2⎝⎛⎭⎫x 0－33，y 0， 所以x 0＝32，y 0＝－1，即A ⎝⎛⎭⎫32，－1.因为A ，B 都在曲线E 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ·02＋b ·22＝1a ·⎝⎛⎭⎫322＋b ·(－1)2＝1，解得a ＝1，b ＝14. 所以曲线E 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)解法一：当a ＝b ＝1时，曲线E 的方程为圆：x 2＋y 2＝1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为所以⎝⎛⎭⎫x 2－33，y 2＝－2⎝⎛⎭⎫x 1－33，y 1，即⎩⎨⎧2x 1＋x 2＝3y 2＝－2y 1. 设线段AB 的中点为T ，则点T 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，即⎝ ⎛⎭⎪⎫3－x 12，－y 12. 所以＝⎝⎛⎭⎪⎫3－x 12，－y 12，＝(x 2－x 1，y 2－y 1)＝(3－3x 1，－3y 1)．因为OT ⊥AB ，所以＝0，即3－43x 1＋3x 21＋3y 21＝0.又因为x 21＋y 21＝1，所以x 1＝32，y 1＝±12. 当点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12时，对应的点B 的坐标为(0,1)， 此时直线AB 的斜率k ＝－3，所求直线AB 的方程为y ＝－3x ＋1；当点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，12时，对应的点B 的坐标为(0，－1)， 此时直线AB 的斜率k ＝3，所求直线AB 的方程为y ＝3x －1.解法二：当a ＝b ＝1时，曲线E 的方程为圆：x 2＋y 2＝1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 因为所以⎝⎛⎭⎫x 2－33，y 2＝－2⎝⎛⎭⎫x 1－33，y 1，即⎩⎨⎧2x 1＋x 2＝3y 2＝－2y 1.因为点A ，B 在圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝1， ①x 22＋y 22＝1， ②由①×4－②得(2x 1＋x 2)(2x 1－x 2)＝3.所以2x 1－x 2＝3，解得x 1＝32，x 2＝0. 由x 1＝32，得y 1＝±12.(以下同解法一) 解法三：如图所示，设AB 的中点为T ，由条件得TM ＝TA －MA ＝16AB ，OM ＝33.根据Rt △OTA 和Rt △OTM 得，⎩⎪⎨⎪⎧TM 2＋OT 2＝13TA 2＋OT 2＝1，即⎩⎨⎧136AB 2＋OT 2＝1314AB 2＋OT 2＝1，解得AB ＝3，OT ＝12.所以在Rt △OTM 中，tan ∠OMT ＝OTTM＝ 3. 所以k AB ＝－3或 3.所以所求直线AB 的方程为y ＝－3x ＋1或y ＝3x －1.1． 设动点P 在直线x ＝1上，O 为坐标原点，以OP 为直角边、点O 为直角顶点作等腰Rt △OPQ ，则动点Q 的轨迹是__________________．解析：设点Q 、P 的坐标分别为(x ，y )、(1，y 0)，由OQ ⊥OP ，得k OQ ·k OP ＝－1， 即y x ·y 01＝－1，y 0＝－xy. ① 又由|OQ |＝|OP |，得x 2＋y 2＝y 20＋1，即x 2＋y 2＝y 20＋1. ② 由①、②消去y 0，得点Q 的轨迹方程为y ＝1与y ＝－1. 答案：y ＝1或y ＝－12．已知抛物线y 2＝4px (p >0)，O 为顶点，A 、B 为抛物线上的两动点，且满足OA ⊥OB ，如果OM ⊥AB 于M 点，求点M 的轨迹方程．解：如图所示，设OA 的方程为y ＝kx (k ≠0)，点M 坐标为 (x ，y )(x ≠0)， 则OB 的方程为y ＝－1kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4px y ＝kx ，得A ⎝⎛⎭⎫4p k 2，4p k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4px y ＝－1k x ，得B (4k 2p ，－4kp )． ∴k AB ＝k 1－k 2，则k OM ＝－1－k 2k .∴AB 的方程为y ＝k 1－k 2x －4kp1－k 2，① OM 的方程为y ＝－1－k 2k x . ② 由①②消去k ，得点M 的轨迹方程是(x －2p )2＋y 2＝4p 2(x ≠0) 即点M 的轨迹是以(2p,0)为圆心，以2p 为半径的圆且除去原点(0,0)．。