高中数学人教A版必修4习题：第三章三角恒等变换 3.2.2 含解析

第2课时三角恒等变换的应用
课时过关·能力提升
基础巩固
1函数y=cos2x
2−sin2x
2
的最小值等于()
A.-1
B.1
C.1
2
D.2
解析:∵y=cos2x
2−sin2x
2
=cos x,∴最小值为-1.
答案:A
2函数y=cos2(x+π
4)−sin2(x+π
4
)是()
A.周期为π的奇函数
B.周期为π的偶函数
C.周期为2π的奇函数
D.周期为2π的偶函数
解析:y=cos2(x+π
4)−sin2(x+π
4
)
=cos2(x+π
4
)=−sin2x,
则其为奇函数,周期T=2π
2
=π.
答案:A
3函数y=sinx
1+cosx
的最小正周期等于()
A.π
2
B.π
C.2π
D.3π
解析:y=2sin x2cos x2
2cos2x2
=tan x
2
,T=π1
2
=2π.
答案:C
4函数y=1
2
sin 2x+sin2x的值域是()
A.[-1
2,3 2 ]
B.[-3
2,1 2 ]
C.[-√2
2+1
2
,√2
2
+1
2
]
D.[-√2
2-1
2
,√2
2
-1
2
]
解析:∵y=1
2sin2x+sin2x=1
2
sin2x+1-cos2x
2
=1
2
+√2
2
sin(2x-π
4
),
∴值域为[1
2-√2
2
,1
2
+√2
2
].
答案:C
5已知函数f(x)=sin x+a cos x的图象的一条对称轴是x=5π
3
,则函数g(x)=asin x+ cos x的最大值是()
A.2√2
3B.2√3
3
C.4
3D.2√6
3
解析:由于函数f(x)的图象关于x=5π
3对称,则f(0)=f(10π
3
),
∴a=−√32−a 2,
∴a=−√33,
∴g (x )=−√33sin x+cos x =2√33sin (x +2π3
), ∴g (x )max =2√33.
答案:B 6函数y=2sin x+2cos x 的值域是 .
解析:y=2sin x+2cos x=2√2sin (x +π4
),则值域是[-2√2,2√2]. 答案:[-2√2,2√2]
7函数f (x )=√3sin x −cos x 的单调递增区间是 .
解析:f (x )=2(√32sinx -12cosx)=2sin (x -π6),
令−π2+2kπ≤x −π6≤π2+2kπ(k ∈Z ),
则−π3+2kπ≤x ≤2π3+2kπ(k ∈Z ).
即单调递增区间是[-π
3+2kπ,
2π3+2kπ](k ∈Z ). 答案:[-π3+2kπ,2π
3+2kπ](k ∈Z ) 8如图,圆心角为直角的扇形AOB ,半径OA=2,点C 是AB
⏜上任一点,且CE ⊥OA 于点E ,CF ⊥OB 于点F ,设∠AOC=x ,矩形OECF 的面积为f (x ).
求:(1)f(x)的解析式;
(2)矩形OECF面积的最大值.
解(1)∵f(x)=OE·EC=OC cos x·OC sin x
=4sin x cos x=2sin2x,
∴f(x)=2sin2x,x∈(0,π
2
).
(2)∵f(x)=2sin2x,x∈(0,π
2
),
∴0<2x<π.
∴当x=π
4
时,f(x)取得最大值2,
即矩形OECF面积的最大值为2.
9已知函数f(x)=2sin2x-co s(2x+π
2
).
(1)求f(π
8
)的值;
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.
解(1)f(x)=2sin2x-co s(2x+π
2
)
=2sin2x+sin2x=1-cos2x+sin2x
=√2sin(2x-π
4)+1,
所以f(π
8)=√2sin(π
4
-π
4
)+1=1.
(2)由(1)得f (x )=√2sin (2x -π4)+1,所以周期T =2π2=π,
令2k π−π2≤2x −π4≤2k π+π2,k ∈Z ,
解得k π−π8≤x ≤k π+3π8,k ∈Z , 故函数f (x )的单调递增区间为[kπ-π8,kπ+3π8](k ∈Z ). 能力提升
1设M={平面内的点(a ,b )},N={f (x )|f (x )=a cos 2x+b sin 2x },给出M 到N 的映射f :(a ,b )→f (x )=a cos 2x+b sin 2x ,则点(1,√3)的象f(x)的最小正周期为( )
A .π2B.π4C.πD.2π
解析:点(1,√3)的象f (x )=cos2x +√3sin 2x=2(
√32sin2x +12cos2x)=2sin (2x +π6),则f (x )的最小正周期为T =2π2=π.
答案:C
2已知函数f (x )=√3sin ωxcos ωx −cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π2,则ω=( )
A.1
B.2
C.3
D.4 解析:f (x )=√32sin 2ωx −
1+cos2ωx 2 =√32sin 2ωx −12cos 2ωx −12
=si n (2ωx -π6)−12,
则有2π2ω=π2,∴ω=2.。