2019届广州市高三年级调研考试数学
广东省广州市2019届高三第一学期调研考试(一模)文科数学试题(解析版)
如需
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位
置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作 答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
可得答案．
【详解】由已有中 2015 年 1 月至 2017 年 12 月期间月接待游客量 ( 单位：万人 ) 的数据可得：
年接待游客量呈上升趋势，所以年接待游客量逐年增加，故
A 正确；
每一年的接待量八月份的最大，故 B 正确；
折线图中没有具体数据，中位数无法计算，故
C 错误；
各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳，故 D 正确 .
则该阳马的外接球的直径为
.
球体积为：
.
故选 A.
【点睛】本题主要考查了几何的外接球问题，常用的解法即为将几何体放入长方体内，即补体的思想，考查了学生
的空间想象能力，属于中档题 .
6.已知
的边 上有一点 满足
，则 可表示为 ( )
A.
B.
C.
D.
【答案】 D 【解析】 【分析】 由
，结合题中条件即可得解 .
2019 届广州市高三期末调研测试
文科数学 2018 ． 12
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 的相应位置填涂考生号。
2B铅笔在答题卡
2．作答选择题时，选出每小题答案后， 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
2019年广州市高三年级调研测试(理科数学)答案
高考数学精品复习资料2019.5广州市高三年级调研测试 理科数学试题答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．一．选择题二．填空题13．10 14．4 15．4 16．11π三、解答题17．（1）解法1：由已知，得cos cos 2cos a B b A c A +=．由正弦定理，得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=，…………………………………………1分 即sin()2sin cos A B C A +=．…………………………………………………………………………2分 因为sin()sin()sin A B C C π+=-=，…………………………………………………………………3分 所以sin 2sin cos C C A =．………………………………………………………………………………4分 因为sin 0C ≠，所以1cos 2A =．………………………………………………………………………5分 因为0A <<π，所以3A π=．…………………………………………………………………………6分 解法2：由已知根据余弦定理，得()222222222a c b b c a a c b ac bc+-+-⨯=-⨯．……………………1分 即222b c a bc +-=．……………………………………………………………………………………3分所以2221cos 22b c a A bc +-==．…………………………………………………………………………5分因为0A <<π， 所以3A π=．…………………………………………………………………………6分（2）解法1：由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得224bc b c +=+，………………………………………………………………………………………7分即2()34b c bc +=+．……………………………………………………………………………………8分因为22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，………………………………………………………………………………………9分所以223()()44b c b c +≤++． 即4b c +≤（当且仅当2b c == 时等号成立）．……………………………………………………11分 所以6a b c ++≤．故△ABC 周长a b c ++的最大值为6．………………………………………………………………12分 解法2：因为2sin sin sin a b c R A B C ===，且2a =，3A π=，所以b B =，c C =．…………………………………………………………………8分所以)2sin sin a b c B C ++=++22sin sin 33B B ⎡π⎤⎛⎫=++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦………………………9分 24sin 6B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．……………………………………………………………………10分因为203B π<<，所以当3B π=时，a b c ++取得最大值6． 故△ABC 周长a b c ++的最大值为6．………………………………………………………………12分18．（1）证明：连接 BD ，交 AC 于点O ，设PC 中点为F ， 连接OF ，EF ．因为O ，F 分别为AC ，PC 的中点， 所以OF PA ，且12OF PA =， 因为DE PA ，且12DE PA =，所以OFDE ，且OF DE =．………………………………………………………………………1分所以四边形OFED 为平行四边形，所以OD EF ，即BD EF ．………………………………2分因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥．因为ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥． 因为PA AC A =，所以BD ⊥平面PAC ．…………………………………………………………4分 因为BDEF ，所以EF ⊥平面PAC ．………………………………………………………………5分因为FE ⊂平面PCE ，所以平面PAC ⊥平面PCE ． ………………………………………………6分 （2）解法1：因为直线 PC 与平面ABCD 所成角为o45，所以 45=∠PCA ，所以2AC PA ==．………………………………………………………………7分 所以AC AB =，故△ABC 为等边三角形． 设BC 的中点为M ，连接AM ，则AM BC ⊥．以A 为原点，AM ，AD ，AP 分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系xyz A -（如图）．则()20,0，P ，()01,3，C ，()12,0，E ，()02,0，D ， ()21,3-=，PC ，()11,3，-=CE ，()10,0，=DE ．…………………………9分设平面PCE 的法向量为{}111,,x y z n =，则0,0,PC CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n即11111120,0.y z y z +-=++=⎪⎩ 11,y =令则11 2.x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以)=n ．……………………………………………………………10分设平面CDE 的法向量为()222,,x y z =m ，则0,0,DE CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m即22220,0.z y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩令21,x =则220.y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以()=m ．…………11分设二面角D CE P --的大小为θ，由于θ为钝角，所以cos cos ,θ⋅=-=-==⋅n m n m n m．所以二面角D CE P --的余弦值为46-．…………………………………………………………12分 解法2：因为直线PC 与平面ABCD 所成角为45，且⊥PA 平面ABCD ，所以45PCA ∠=，所以2==AC PA ．………………………………………………………………7分 因为2AB BC ==，所以∆ABC 为等边三角形． 因为⊥PA 平面ABCD ，由（1）知//PA OF ， 所以⊥OF 平面ABCD ．因为⊂OB 平面ABCD ，⊂OC 平面ABCD ，所以⊥OF OB 且⊥OF OC ． 在菱形ABCD 中，⊥OB OC ．以点O 为原点，OB ，OC ，OF 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系-O xyz （如图）．则(0,0,0),(0,1,2),(0,1,0),((-O P C D E ，则(0,2,2),(3,1,1),(3,1,0)=-=--=--CP CE CD ．……………………………………………9分 设平面PCE 的法向量为111(,,)x y z =n ，则0,0,CP CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即11111220,0.y z y z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 令11=y ，则111,1.y z =⎧⎨=⎩，则法向量()0,1,1=n ．……………10分设平面CDE 的法向量为222(,,)x y z =m ，则0,0,CE CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即222220,0.y z y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩ 令21=x ，则220.y z⎧=⎪⎨=⎪⎩则法向量()1,=m ．………………………………………………11分设二面角--P CE D 的大小为θ，由于θ为钝角，则cos cos ,4θ⋅=-=-==-⋅n m n m n m．所以二面角--P CE D 的余弦值为4-．…………………………………………………………12分19．解：（1）由已知数据可得24568344455,455x y ++++++++====．……………………1分因为51()()(3)(1)000316ii i xx y y =--=-⨯-++++⨯=∑，………………………………………2分，52310)1()3()(22222512=+++-+-=-∑=i ix x………………………………………………3分==．…………………………………………………4分z OyxPACBDE所以相关系数()()0.95ni ix x y yr--===≈∑．………………5分因为0.75r>，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系．…………………………………………6分（2）记商家周总利润为Y元，由条件可知至少需安装1台，最多安装3台光照控制仪．①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元．………………………………………………………7分②安装2台光照控制仪的情形：当X >70时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润Y=3000-1000=2000元，当30<X≤70时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润Y=2×3000=6000元，故Y的分布列为所以20000.260000.85200EY=⨯+⨯=元．………………………………………………………9分③安装3台光照控制仪的情形：当X >70时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润Y=1×3000-2×1000=1000元，当50≤X≤70时，有2台光照控制仪运行，此时周总利润Y=2×3000-1×1000=5000元，当30<X≤70时，3台光照控制仪都运行，周总利润Y=3×3000=9000元，故Y的分布列为所以10000.250000.790000.14600EY=⨯+⨯+⨯=元．………………………………………11分综上可知，为使商家周总利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪．…………………………12分20．解：（1）因为椭圆C的离心率为12，所以12ca=，即2a c=．……………………………………1分又222+a b c=，得22=3b c，即2234b a=，所以椭圆C的方程为2222134y xa a+=．把点⎛⎝⎭代人C中，解得24a=．………………………………………………………………2分所以椭圆C的方程为22143y x+=．……………………………………………………………………3分（2）解法1：设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为+2y kx =，由222,1,34y kx x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩得()2234120k x kx ++=．…………………………………………………………4分设(),A A A x y ， (),B B B x y ，则有0A x =，21234B kx k -=+，…………………………………………5分所以226834B k y k -+=+．所以2221268,3434k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭……………………………………………………………………………6分因为MO MA =，所以M 在线段OA 的中垂线上，所以1M y =，因为2M My kx =+，所以1M x k =-，即1,1M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭．………………………………7分 设(,0)H H x ，又直线HM 垂直l ，所以1MH k k =-，即111H k x k=---．…………………………8分所以1H x k k =-，即1,0H k k ⎛⎫-⎪⎝⎭．……………………………………………………………………9分 又()10,1F ，所以21221249,3434k k F B k k ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭，11,1F H k k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 因为110F B F H ⋅=，所以2221249034341k k k k k k --⎛⎫⋅-= ⎪+⎝⎭-+，………………………………………10分 解得283k =．……………………………………………………………………………………………11分 所以直线l的方程为2y x =+．………………………………………………………………12分解法2：设直线l 的斜率为k ，则直线l 方程+2y kx =，由222,1,34y kx x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩得()2234120k x kx ++=，…………………………………………………………4分设(),A A A x y ，(),B B B x y ，则有0A x =，21234B kx k -=+．…………………………………………5分所以226834B k y k -+=+． 所以21221249,3434k k F B k k ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭，()1,1H F H x =-．…………………………………………………6分因为110F B F H ⋅=，所以21234H kx k -⋅+2249034k k --=+，解得29412H k x k -=．………………………7分 因为MO MA =，所以()22222M M M M x y x y +=+-，解得1M y =．………………………………8分所以直线MH 的方程为219412k y x k k ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭．………………………………………………………9分联立22,194,12y kx k y x k k =+⎛⎫-=--⎧ ⎪⎝⎭⎪⎨⎪⎩ 解得()22920121M k y k +=+．……………………………………………10分 由()229201121M k y k+==+，解得283k =．………………………………………………………………11分 所以直线l的方程为23y x =±+．………………………………………………………………12分21．解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞．当2b =时，()2ln f x a x x =+，所以()222a x af x x x x+'=+=．………………………………1分① 当0a >时，()0f x '>，所以()f x 在()0,+∞上单调递增，…………………………………2分取10e ax -=，则211e 1e 0a af --⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，…………………………………………………………3分（或：因为00x <<01e x <时，所以()200001ln ln ln 0ef x a x x a x a a a =+<+<+=．）因为()11f =，所以()()010f x f <，此时函数()f x 有一个零点．………………………………4分 ②当0a <时，令()0f x '=，解得x =当0x <<()0f x '<，所以()f x在⎛ ⎝上单调递减；当x >()0f x '>，所以()f x 在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增．要使函数()f x 有一个零点，则ln 02af a ==即2e a =-．………………………5分综上所述，若函数()f x 恰有一个零点，则2e a =-或0a >．………………………………………6分 （2）因为对任意121,,e ex x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()()12e 2f x f x -≤-成立，因为()()()()12max min f x f x f x f x -≤-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()()max min e 2f x f x -≤-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．…………………………………………………………………7分 因为0a b +=，则a b =-．所以()ln bf x b x x =-+，所以()()11bb b x b f x bx x x---'=+=． 当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,e 上单调递增，()()min 11f x f ==⎡⎤⎣⎦，………………8分 因为1ee bf b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与()e e bf b =-+，所以()()max 1max ,e e f x f f ⎧⎫⎛⎫=⎡⎤⎨⎬ ⎪⎣⎦⎝⎭⎩⎭．……………9分设()()1e e e2e bbg b f f b -⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭()0b >，则()e e220bbg b -'=+->=．所以()g b 在()0,+∞上单调递增，故()()00g b g >=，所以()1e e f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭．从而()max f x =⎡⎤⎣⎦()e e bf b =-+．………………………………………………………………………10分 所以e 1e 2b b -+-≤-即e e 10bb --+≤，设()=e e 1bb b ϕ--+()0b >，则()=e 1bb ϕ'-．当0b >时，()0b ϕ'>，所以()b ϕ在()0,+∞上单调递增．又()10ϕ=，所以e e 10bb --+≤，即为()()1b ϕϕ≤，解得1b ≤．……………………………11分因为0b >，所以b 的取值范围为(]0,1．………………………………………………………………12分22．解：（1）因为曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），因为2.x x y y '=⎧⎨'=⎩，，则曲线2C 的参数方程2cos 2sin .x y αα'=⎧⎨'=⎩，．………………………………………………2分所以2C 的普通方程为224x y ''+=．……………………………………………………………………3分 所以2C 为圆心在原点，半径为2的圆．…………………………………………………………………4分 所以2C 的极坐标方程为24ρ=，即2ρ=．…………………………………………………………5分 （2）解法1：直线l 的普通方程为100x y --=．…………………………………………………………6分曲线2C 上的点M 到直线l的距离+)10|d απ-==．…………8分 当cos +=14απ⎛⎫⎪⎝⎭即()=24k k αππ-∈Z 时，d2-．……………9分 当cos +=14απ⎛⎫- ⎪⎝⎭即()3=24k k απ+π∈Z 时，d+10分 解法2：直线l 的普通方程为100x y --=．…………………………………………………………6分 因为圆2C 的半径为2，且圆心到直线l 的距离252|1000|=--=d ，…………………………7分因为225>，所以圆2C 与直线l 相离．………………………………………………………………8分 所以圆2C 上的点M 到直线l 的距离最大值为225+=+r d ，最小值为225-=-r d ．…10分23．解：（1）当1=a 时，()|1|=+f x x ．…………………………………………………………………1分①当1x ≤-时，原不等式可化为122x x --≤--，解得1≤-x ．…………………………………2分 ②当112x -<<-时，原不等式可化为122+≤--x x ，解得1≤-x ，此时原不等式无解．……3分 ③当12x ≥-时，原不等式可化为12+≤x x ，解得1≥x ．…………………………………………4分 综上可知，原不等式的解集为{1x x ≤-或}1≥x ．…………………………………………………5分（2）解法1：①当3a ≤时，()3,3,23,3,3,.a x g x x a x a a x a -≤-⎧⎪=----<<-⎨⎪-≥-⎩……………………………………6分所以函数()g x 的值域[]3,3A a a =--，因为[2,1]-⊆A ，所以3231a a -≤-⎧⎨-≥⎩，，解得1a ≤．………………………………………………………7分②当3a >时，()3,,23,3,3, 3.a x a g x x a a x a x -≤-⎧⎪=++-<<-⎨⎪-≥-⎩…………………………………………………8分所以函数()g x 的值域[]3,3A a a =--， 因为[2,1]-⊆A ，所以3231a a -≤-⎧⎨-≥⎩，，解得5a ≥．………………………………………………………9分综上可知，a 的取值范围是(][),15,-∞+∞．………………………………………………………10分解法2：因为|+||+3|x a x -≤()+(+3)3x a x a -=-，……………………………………………7分 所以()g x =()|+3||+||+3|[|3|,|3|]-=-∈---f x x x a x a a ．所以函数()g x 的值域[|3|,|3|]A a a =---．…………………………………………………………8分因为[2,1]-⊆A ，所以|3|2|3|1a a --≤-⎧⎨-≥⎩，，解得1a ≤或5a ≥．所以a 的取值范围是(][),15,-∞+∞．………………………………………………………………10分。
2019届广州市高三年级调研测试(文数)
2019届广州市高三年级调研测试数 学（文科）本试卷共5页，23小题， 满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.写在本试卷上无效.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 设集合{}2(1)1P x x =-<，{}11Q x x =-<<，则集合=Q PA ．)2,1(-B ．)0,1(-C ．)2,1(D ．)1,0(2． 若复数z 满足()1i 12i z +=+，则z =A ．2B ．32C ．2D ．123． 下列函数中,既是奇函数,又在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上单调递增的是A ．x y xsin 2-= B ．xxy ⎪⎭⎫⎝⎛-=212 C ．x x y -=sin D ．cos y x x =-4． 某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2015年1月至2017年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误．．的是 A ．年接待游客量逐年增加B ．各年的月接待游客量高峰期在8月C ．2015年1月至12月月接待游客量的中位数为30万人D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳5． 《九章算术》中将底面为长方形,且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”,现有一阳马,其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上,则该球的体积为A ．π6B ．368πC ．π68D ．π246． 已知ABC ∆的边BC 上有一点D 满足DC BD 4= ,则AD 可表示为A ．AC AB AD 4341+=B ．AC AB AD 4143+=C ．5154+=D ．5451+=7． 已知双曲线C 的中心为坐标原点,离心率为3，点(P 在C 上，则C 的方程为A ．22142x y -= B ．221714x y -= C ．22124x y -= D ．221147y x -= 8． 由)616sin(2π-=x y 的图象向左平移3π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，所得图象对应的函数解析式为A ．)613sin(2π-=x yB ．)613sin(2π+=x y C ．)1213sin(2π-=x y D ．)6112sin(2π-=x y9． 3a = 是直线230ax y a ++= 和31)(7x a y a +-=- 平行的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件10．若实数x ，y 满足(1)(25)002,x y x y x --+-≥⎧⎨≤≤⎩，则2z x y =-的取值范围是A. [5,3]-B. [5,1]-C. [1,3]D. [5,5]-11．在已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222sin sin sin sin sin cos cos A B C A Bc a B b A+-=+．若4a b += ,则c 的取值范围为 A. ()0,4 B. [2,4) C. [1,4) D. (2,4] 12．已知椭圆Γ：22221y x a b+=()0a b >>的长轴是短轴的2倍,过右焦点F 且斜率为()0k k >的直线与Γ相交于,A B 两点，若FB AF 3=，则k =A ．1B ．2CD 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知132a = ，则2log (2)a = ________． 14．设θ为第二象限角,若214tan =⎪⎭⎫⎝⎛+πθ ，则cos θ=________．15．圆锥底面半径为1，高为，点P 是底面圆周上一点,则一动点从点P 出发,绕圆锥侧面一圈之后回到点P ,则绕行的最短距离是________．16．已知过点(),0A a 作曲线:xC y x e =⋅的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知37a =,()12222n n a a a n -=+-≥. (1)证明：数列{1}n a +为等比数列；(2)求数列{}n a 的通项公式，并判断,,n n n a S 是否成等差数列?某蔬果经销商销售某种蔬果，售价为每公斤25元，成本为每公斤15元，销售宗旨是当天进货当天销售. 如果当天卖不出去，未售出的全部降价以每公斤10元处理完，根据以往的销售情况，得到如图所示的频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图计算该种蔬果日需求量的平均数x (同一组中的数据用该组区间中点值代表)； (2)该经销商某天购进了250公斤这种蔬果，假设当天的需求量为x 公斤()0500x ≤≤，利润为y 元. 求y 关于x 的函数关系式，并结合频率分布直方图估计利润y 不小于1750元的概率.19．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，EF //AB ，2AB =，1 , 3 , 60, BC EF AE DE BAD G ===∠=︒为BC 的中点.(1)求证:FG //平面BED ； (2)求证:BD ⊥平面AED ； (3)求点F 到平面BED 的距离.20. (本题满分12分)已知动圆C 过定点()1,0F ，且与定直线1x =-相切. (1)求动圆圆心C 的轨迹E 的方程:(2)过点()2,0M -的任一条直线l 与轨迹E 交于不同的两点,P Q ，试探究在x 轴上是否存在定点N (异于点M )，使得QNM PNM π∠+∠=？若存在，求点N 的坐标；若不存在，说明理由.已知函数()(ln )x f a x x xe x =++. (1) 若a e =-，求()f x 的单调区间；(2)当0a <时，记()f x 的最小值为m ，求证：1m ≤（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为θθρsin 2cos 32+=，直线()1:,6l R πθρ=∈直线()2:3l R πθρ=∈．以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．(1)求直线12,l l 的直角坐标方程以及曲线C 的参数方程;(2)已知直线1l 与曲线C 交于,O A 两点，直线2l 与曲线C 交于,O B 两点，求AOB ∆的面积．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数1()||3f x x a =-()a R ∈ ． （1）当2a =时，解不等式1()13x f x -+≥； （2）设不等式1()3x f x x -+≤的解集为M ，若M ⊆⎥⎦⎤⎢⎣⎡2131，，求实数a 的取值范围．数学（文科）参考答案评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．43 14． 15． 16．()(),40,-∞-+∞三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17． 解：（1）证明：∵37a =，3232a a =-，∴23a =, ……………………………………1分∴121n n a a -=+， ……………………………………2分 ∴11a =， ……………………………………3分111122211n n n n a a a a ---++==++()2n ≥， ……………………………………5分∴{}1n a +是首项为112a +=，公比为2的等比数列． …………………………………………6分 （2）解：由（1）知，12n n a +=， ……………………………………7分 ∴21n n a =-， ……………………………………8分∴()12122212n n n S n n +-=-=---， ……………………………………9分∴()()12222210n nn n n S a n n ++-=+----=， ……………………10分∴2n n n S a +=. ……………………11分 即n ，n a ，n S 成等差数列． ……………………12分18．解：（1）500.00101001500.00201002500.00301003500.0025100x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯4500.0015100+⨯⨯ …………………………2分 265=. ……………………………3分 故该种蔬果日需求量的平均数为265公斤. …………………………4分 （2）当日需求量不低于250公斤时，利润=()2515250=2500y ⨯－元, ………………5分当日需求量低于250公斤时，利润2515250=()()5=151250x y x x ---⨯-元 , ………6分所以151250,0250,2500,250500.x x y x -≤<⎧=⎨≤≤⎩ …………………………8分由1750y ≥得，200500x ≤≤, ……………………………9分 所以(1750)P y ≥＝(200500)P x ≤≤ ……………………………10分=0.0030100+0.0025100+0.0015100⨯⨯⨯ =0.7. …………………………11分故估计利润y 不小于1750元的概率为0.7 . ……………………………12分19． 解：（1）证明：取BD 的中点O ，连接OE ，OG在BCD ∆中，因为G 是BC 的中点，所以OGDC 且112OG DC ==，……………1分 因为EFAB ，AB DC ，1EF =， 所以EF OG 且EF OG =，……………………2分 所以四边形OGFE 是平行四边形，所以FG OE ， ………………………3分又FG ⊄平面BED ，OE ⊂平面BED ， 所以FG平面BED ． ……………………………4分（2）证明：在ABD ∆中，1AD =，2AB =，60BAD ∠=，由余弦定理得BD == …………………………5分 因为222314BD AD AB +=+==，所以BD AD ⊥. …………………………6分 因为平面AED ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ,平面AED 平面ABCD AD =， 所以BD ⊥平面AED . ……………………………7分（3）解法1：由（1）FG平面BED ，所以点F 到平面BED 的距离等于点G 到平面BED 的距离， ……………………8分 设点G 到平面BED 的距离为h ，过E 作EM DA ⊥，交DA 的延长线于M ，OG FEDCB AHGFEDCBA则EM ⊥平面ABG ，所以EM 是三棱锥E ABG -的高． ……………………9分 由余弦定理可得2cos 3ADE ∠=，所以sin ADE ∠=,sin EM DE ADE =⋅∠=. ………………………………10分124DBG S DB BG ∆=⋅=122BDE S BD DE ∆=⋅=. 因为G BDE E DBG V V --=，…………………………11分 即1133BDE DBG S h S EM ∆∆⋅=⋅，解得h =. 所以点F 到平面BED 的距离为65． ………………………………12分 解法2：因为EFAB ，且12EF AB =, 所以点F 到平面BED 的距离等于点A 到平面BED 的距离的12， ……………8分 由（2）BD ⊥平面AED .因为BD ⊂平面BED ，所以平面BED ⊥平面AED ．过点A 作AH DE ⊥于点H ，又因为平面BED 平面AED ED =，故⊥AH 平面BED .所以AH 为点A 到平面BED 的距离．…………………9分 在ADE ∆中，6,3,1===AE DE AD ， 由余弦定理可得2cos 3ADE ∠=所以sin 3ADE ∠=， …………………10分因此35sin =∠⋅=ADE AD AH ， …………………………………………………11分 所以点F 到平面BED 的距离为65． …………………………………………………12分20．（1）解法1：依题意动圆圆心C 到定点(1,0)F 的距离，与到定直线1x =-的距离相等，…1分 由抛物线的定义，可得动圆圆心C 的轨迹是以(1,0)F 为焦点，1x =-为准线的抛物线， ……2分其中2p =．∴动圆圆心C 的轨迹E 的方程为24y x =． ……………………………3分解法2：设动圆圆心C (),x y1x =+. …………………………2分化简得：24y x =，即为动圆圆心C 的轨迹E 的方程． …………………………3分 （2）解：假设存在点()0,0N x 满足题设条件．由QNM PNM π∠+∠=可知，直线PN 与QN 的斜率互为相反数，即0PN QN k k += ① ……4分 直线PQ 的斜率必存在且不为0，设:2PQ x my =-, ………………………………5分由242y x x my ⎧=⎨=-⎩得2480y my -+=． …………………………………6分 由()24480m ∆=--⨯>,得m >或m < ……………………………………7分设1122(,),(,)P x y Q x y ，则12124,8y y m y y +==． ……………………………………………8分 由①式得121020PN QN y y k k x x x x +=+--()()()()12021010200y x x y x x x x x x -+-==--,()()1202100y x x y x x ∴-+-=,即()12210120y x y x x y y +-+=．消去12,x x ，得()22122101211044y y y y x y y +-+=, ………………………………………………9分 ()()1212012104y y y y x y y +-+=, ………………………………………………………10分 120,y y +≠012124x y y ∴==, ………………………………………………………11分∴存在点()2,0N 使得QNM PNM π∠+∠=． ………………………………………………12分21．（1）解：当a e =-时， ()(ln )xf x xe e x x =-+，()f x 的定义域是(0,)+∞ ……1分()()11'()1(1)x x x f x x e e xe e x x +⎛⎫=+-+=- ⎪⎝⎭， …………………………………2分当01x <<时，'()0f x <；当1x >时，'()0f x >． …………………………………3分所以函数()f x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞． …………………………4分 （2）证明：由（1）得()f x 的定义域是(0,)+∞，1'()()xx f x xe a x+=+， 令()xg x xe a =+，则'()(1)0xg x x e =+>，()g x 在(0,)+∞上单调递增，……………………5分 因为0a <,所以(0)0g a =<，()0ag a aea a a --=-+>-+=，故存在()00,x a ∈-，使得000()0xg x x e a =+=． ………………………………………6分当0(0,)x x ∈时，()0g x <，1'()()0xx f x xe a x+=+<，()f x 单调递减； 当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >，1'()()0xx f x xe a x+=+>，()f x 单调递增； 故0x x =时，()f x 取得最小值，即()()00000ln xm f x x e a x x ==++, ………………………8分由000xx e a +=得()()0000ln ln xx m x e a x ea a a =+=-+-， ……………………………9分令0x a =->，()ln h x x x x =-，则()()'11ln ln h x x x =-+=-，当(0,1)x ∈时，()'ln 0h x x =->，()ln h x x x x =-单调递增， ……………………………10分 当(1,)x ∈+∞时，()'ln 0h x x =-<，()ln h x x x x =-单调递减，……………………………11分 故1x =，即1a =-时，()ln h x x x x =-取最大值1，故1m ≤． ……………………12分22．解：（1） 依题意，直线1l的直角坐标方程为y x =，2l的直角坐标方程为y ． ……………………………………………………………2分由2sin ρθθ+得2cos 2sin ρθρθ+，因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==， …………………………………………………3分所以22((1)4x y +-=， …………………………………………………………………4分所以曲线C的参数方程为2cos 12sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）．………………………………5分（2）联立62sin πθρθθ⎧=⎪⎨⎪+⎩得14OA ρ==， ……………………………………6分同理，2OB ρ== ……………………………………………………………………7分又6AOB π∠=， ………………………………………………………………………………8分所以111sin 4222AOBS OA OB AOB ∆=∠=⨯⨯= …………………………9分 即AOB ∆的面积为 ……………………………………………………………10分11 23．解：（1）当2a =时，原不等式可化为3123x x -+-≥， …………………………1分 ①当13x ≤时，1323x x -+-≥，解得0x ≤，所以0x ≤； ……………………………2分 ②当123x <<时，3123x x -+-≥，解得1x ≥，所以12x ≤<； ……………………3分 ③当2x ≥时，3123x x -+-≥，解得32x ≥，所以2x ≥． ……………………………4分 综上所述，当2a =时，不等式的解集为{}|01x x x ≤≥或． ………………………………5分 （2）不等式()13x f x x -+≤可化为313x x a x -+-≤， 依题意不等式313x x a x -+-≤在11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，……………………………………6分 所以313x x a x -+-≤，即1x a -≤，即11a x a -≤≤+， ……………………………8分 所以113112a a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得1423a -≤≤， 故所求实数a 的取值范围是14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． ………………………………………………………10分。
2019届广州市高三期末调研测试数学
)
6
1
C． y 2sin(3 x
)
12
1
D． y 2sin(12 x
)
6
9． a 是直线 ax y a 和 x ( a ) y a 平行的
3 ，点 P 2 2, 2 在 C 上，则 C 的方程为
x2
A．
4
y2 1
2
x2 y2
B．
1
7 14
x2
C．
2
y2 1
4
y 2 x2
D．
1
14 7
1
8．由 y 2sin(6 x
) 的图象向左平移
个单位， 再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的
6
3
2倍 后， 所得图象对应的函数解析式为
1
A ． y 2sin(3 x
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的．
2
1．设集合 P x x 1 1 ， Q x 1 x 1 ，则 P Q
A ． 1,2
B ． 1,0
C． 1,2
D． 0,1
5.《 九章算术》 中将底面为长方形， 且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为 其
“阳马” . 现有一阳马，
正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为
A． 6
86
B．
3
C． 8 6
D． 24
6．已知 ABC 错误！未找到引用源。 的边 错误！未找到引用源。 BC 上有一点 错误！未找到引用
2019年广州市高三年级调研测试(理科数学)试题
高考数学精品复习资料2019.5秘密 ★ 启用前 试卷类型： A广州市高三年级调研测试理科数学20xx ．12 本试卷共5页，23小题， 满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2．作答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
写在本试卷上无效。
3．第Ⅱ卷必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}1,0,1,2,3A =-，{}230B x x x =->，则AB =A ．{}1-B ．{}1,0-C ．{}1,3-D ．{}1,0,3-2．若复数z 满足()12i 1i z +=-，则z =A ．25B ．35C．5D3．在等差数列{}n a 中，已知22a =，前7项和756S =，则公差d =A ．2B ．3C ．2-D ．3-4．已知变量x ，y 满足202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，，，则2z x y =+的最大值为A ．0B ．4C ．5D ．65．912x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为A ．212-B ．92-C ．92D ．2126．在如图的程序框图中，()i f x '为()i f x 的导函数，若0()sin f x x =，则输出的结果是 A ．sin x -B ．cos xC ．sin xD ．cos x -7．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为1CC 的中点，点N 为线段1DD 上靠近1D 的三等分点，平面BMN 交1AA 于点Q ，则AQ 的长为 A ．23B ．12C ．16D ．138．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为A ．ln 2B ．1C ．1ln 2-D ．1ln 2+9．某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2名，乙大学2名，丙大学1名，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有 A ．36种B ．24种C ．22种D ．20种10()0ϕϕ>个单位，所得图象对应的函数恰为奇函数，则ϕ的最小值为 A ．6πB ．12πC ．4π D ．3π 11．在直角坐标系xOy 中，设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，P 为双曲线C 的右支上一点，且△OPF 为正三角形，则双曲线C 的离心率为 AB．3C．1+ D．2+12．对于定义域为R 的函数()f x ，若满足① ()00f =；② 当x ∈R ，且0x ≠时，都有()0xf x '>；③ 当120x x <<，且12x x =时，都有()()12f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”．现给出四个函数：()32132f x x x =-+；()2e 1x f x x =--；()()3ln 1,0,0;2,x x f x x x ⎧-+≤⎪= ⎨>⎪⎩ ()411,0,2120,0.x x x f x x ⎛⎫+≠ ⎪-⎝⎭=⎧⎪=⎨⎪⎩则其中是“偏对称函数”的函数个数为 A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知向量(),2x x =-a ，()3,4=b ，若ab ，则向量a 的模为________．14．在各项都为正数的等比数列{}n a 中，若201822a =，则2017201912a a +的最小值为________． 15．过抛物线C ：22(0)y px p => 的焦点F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点．若6AF =，3BF =，则p 的值为________．16．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2a =，cos (2)cos a B c b A =-． （1）求角A 的大小；（2）求△ABC 周长的最大值．18.（本小题满分12分）EDBCA P如图，已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形，PA ⊥底面ABCD ，ED PA ，且22PA ED ==．（1）证明：平面PAC ⊥平面PCE ；（2）若直线 PC 与平面ABCD 所成的角为o45，求二面角D CE P --的余弦值．19.（本小题满分12分）某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y （百斤）与使用某种液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图．（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请计算相关系数r 并加以说明（精确到0．01）．（若75.0||>r ，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：周光照量X （单位：小时） 3050X << 5070X ≤≤ 70X >光照控制仪最多可运行台数321若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．以过去50周的周光照量的频率作为周光照量发生的概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？附：相关系数公式∑∑∑===----=ni in i ini iiy y x x y y x x r 12121)()())((，参考数据55.03.0≈，95.09.0≈．20.（本小题满分12分）如图，在直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221y x a b+=()0a b >>的上焦点x y （百斤）54386542（千克）O为1F ，椭圆C 的离心率为12，且过点1,3⎛ ⎝⎭． （1）求椭圆C 的方程；（2）设过椭圆C 的上顶点A 的直线l 与椭圆C 交于点B （B 不在y 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与x 轴交于点H ，若110F B F H •=，且MO MA =，求直线l 的方程． 21.（本小题满分12分）已知函数()ln bf x a x x=+()0a ≠．（1）当2b =时，若函数()f x 恰有一个零点，求实数a 的取值范围；（2）当0a b +=，0b >时，对任意121,,e e x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()()12e 2f x f x -≤-成立，求实数b 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩，（α为参数），将曲线1C 经过伸缩变换2x x y y'=⎧⎨'=⎩，后得到曲线2C ．在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos sin 100ρθρθ--=．（1）说明曲线2C 是哪一种曲线，并将曲线2C 的方程化为极坐标方程；（2）已知点M 是曲线2C 上的任意一点，求点M 到直线l 的距离的最大值和最小值． 23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()||f x x a =+． （1）当1=a 时，求不等式()211f x x ≤+-的解集；（2）若函数()()3g x f x x =-+的值域为A ，且[]2,1A -⊆，求a 的取值范围．。
广东省广州市2019届高三年级调研考试数学(文科)试题
广东省广州市2019届高三年级调研考试数学（文科）试题 文 科 数 学一、 选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题只有一项是符合题目要求的．1．方程22150,50x px x x q -+=-+= 且{}3MN =，则:p q 的值为（ ）A ．13 B ．23 C ．1 D ．432． “0a =”是“复数a bi +(,)a b R ∈是纯虚数”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．不充分不必要条件3．已知数列{a n }中，a 1=67，a n +1=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤≤121122102n n n n a a a a ，则a 2012等于( ) A ． 37 B ． 47 C ． 57 D ． 674．设10.23121log 3,(),23a b c ===，则（ ）A ． c b a <<B ． a b c <<C ． b a c <<D ． c a b <<5．如图，一个正三棱柱的左（侧）视图是边长为3的正方形，则它的外接球的表面积等于( )A ．8πB ．253π C ．9π D ．283π 6．函数2()2cos 3sin 2f x x x =-（x ∈R ）的最小正周期和最大值分别为( )A ． 2π 3B ．2π 1C ．π 3D ．π 17．已知点P 是以F 1 、F 2为左、右焦点的双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左支上一点，且满足120PF PF ⋅=，，则此双曲线的离心率为( ) A ．3 B ．13C ． 5D ．13 8．定义在R 上的函数()y f x =，满足(3)()f x f x -=，3()'()02x f x -<，若x 1<x 2，且x 1+x 2>3，则有( )A ． 12()()f x f x <B ． 12()()f x f x >C ． 12()()f x f x =D ．不确定9.函数()f x 的导函数为/()f x ,若/(1)()0x f x +⋅>,则下列结论中正确的一项为（ ）,1().1().1().1()A x f x B x f x C x f x D x f x =-=-=-=-一定是函数的极大值点一定是函数的极小值点不是函数的极值点不一定是函数的极值点10．已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能是（ ）二、 填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．11． 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20-80 mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款．据《法制晚报》报道，年8月15日至8 月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图是对这28800人酒后驾车血 液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为．12． 执行右边的框图，则输出的s 是13．与圆C:222210x y x y +--+=相切的直线与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B且2OA >，2OB >，则三角形AOB 面积的最小值为 ．选做题（考生只能两题中选作一题）14．(坐标系与参数方程选做题) 极坐标系中，曲线4sin ρθ=-和cos 1ρθ=相交于点,A B ，则AB ＝ ；15．（几何证明选讲选做题）如图所示，圆O 的直径AB ＝6，C 为圆周上一点，BC ＝3，过C 作圆的切线l ，则点A 到直线l 的距离AD 为 ．BCDE OEC 1B 1A 1C BA三、 解答题：本大题共6个小题．共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知(sin cos ,3cos ),(cos sin ,2sin )m x x x n x x x ωωωωωω=+=-，且0ω>，设()f x m n =⋅，()f x 的图象相邻两对称轴之间的距离等于2π．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）在△ABC 中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，4b c +=，1f A =（），求△ABC 面积的最大值．17．（本小题满分12分）甲、乙、丙三台机床各自独立的加工同一种零件，已知甲、乙、丙三台机床加工的零件是一等品的概率分别为0．7、0．6、0．8，乙、丙两台机床加工的零件数相等，甲机床加工的零件数是乙机床加工的零件数的二倍．（1）从甲、乙、丙加工的零件中各取一件检验，求至少有一件一等品的概率；（2）将三台机床加工的零件混合到一起，从中任意的抽取一件检验，求它是一等品的概率；（3）将三台机床加工的零件混合到一起，从中任意的抽取4件检验，其中一等品的个数记为X ，求EX ．18．（本小题满分14分） 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ， 已知11,2,BC BB ==（1）求证：1C B ABC ⊥平面；（2）试在棱1CC （不包含端点1,)C C 上确定一点E 的位置,使得1EA EB ⊥；19．（本小题满分14分）已知函数ln(1)()x f x x+=． （1）确定()y f x = 在（0，+∞） 上的单调性；（2）设3()()h x x f x x ax =⋅--在（0，2）上有极值，求a 的取值范围．20．（本小题满分14分）如图，已知抛物线C 的顶点在原点, 焦点为F (0, 1)． (Ⅰ) 求抛物线C 的方程;(Ⅱ) 在抛物线C 上是否存在点P , 使得过点P 的直线交C 于另一点Q , 满足PF ⊥QF , 且PQ 与 C 在点P 处的切线垂直? 若存在, 求出点P 的 坐标; 若不存在, 请说明理由．21．（本小题满分14分） 设数列{}n a ,{}n b 满足：a 1=4，a 2=52 ,12n n n a b a ++=, 12n n n n n a b b a b +=+．（1）用n a 表示1n a + ；并证明：n N +∀∈, a n >2 ;（2）证明：2ln2n n a a ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是等比数列； （3）设S n 是数列{}n a 的前n 项和，当n ≥2时，S n 与42()3n + 是否有确定的大小关系？若有，加以证明；若没有，请说明理由xyPOQF届高三年级调研考试试题文 科 数 学答案一、1．D 2．A 3．A 4．A 5．B 6．C 7．D 8．B 9 A 10D二、 11．638-12．132 13． 322+14．在平面直角坐标系中，曲线4sin ρθ=-和cos 1ρθ=分别表示圆()2224x y ++=和直线1x =，易知AB ＝23．15． C 为圆周上一点，AB 是直径，所以AC ⊥BC ，而BC ＝3，AB ＝6，得∠BAC ＝30°,进而得∠B ＝60°，所以∠DCA ＝60°，又∠ADC ＝90°，得∠DAC ＝30°，09sin 369sin 602AD AC DCA ∴=⋅∠=-⋅=． 三、16．解：（Ⅰ）22()cos sin 23sin cos cos 23sin 2f x x x x x x x ωωωωωω=-+=+=2sin(2)6x πω+ …………………4分依题意：22ππω=，∴1()2sin(2)6f x x πω=∴=+，．…………………6分 （Ⅱ）∵1f A =（），∴1sin(2)62A π+=， 又132666A πππ<+<，∴52,66A ππ+= 3A π=． …………………8分 4b c +=2133sin ()32442ABC b c S bc A bc ∆+∴==≤=…………………10分 当且仅当2b c ==等号成立，所以ABC S ∆面积最大值为3……………12分 17．解:（1） 设从甲、乙、丙三台机床加工的零件中任取一件是一等品为事件A,B,C ，则 P （A ）=0．7, P （B ）=0．6, P （C ）=0．8从甲、乙、丙加工的零件中各取一件检验，至少有一件一等品的概率为1P =1-P(A)P(B)P(C)=1-0．3×0．4×0．2=0．976 4分（2） 将三台机床加工的零件混合到一起，从中任意的抽取一件检验，它是一等品的概率为 P 2=20.70.60.80.74⨯++= 8分（3） P （X=4）=04C ×0．74=0．2401， P （X=3）=14C ×0．3×0．73=0．4116P （X=2）=24C ×0．32×0．72=0．2646, P （X=1）=34C ×0．33×0．7=0．0756 P （X=0）=44C ×0．34=0．0081X 4 3 21 0 P 0．2401 0．4116 0．2646 0．07560．0081因为X~B （4，0．7），所以EX=4×0．7=2．8 12分 18． 证（1）因为AB ⊥侧面11BB C C ，故1AB BC ⊥ 在1BC C 中，1111,2,3BC CC BB BCC π===∠=由余弦定理有2211112cos 1422cos33BC BC CC BC CC BCC π=+-⋅⋅⋅∠ =+-⨯⨯= 故有222111BC BC CC C B BC += ∴⊥而BC AB B = 且,AB BC ⊂平面ABC∴1C B ABC ⊥平面……………… 4分（2）由11,,,,EA EB AB EB AB AE A AB AE ABE ⊥⊥=⊂平面从而1B E ABE ⊥平面 且BE ABE ⊂平面 故1BE B E ⊥ 不妨设 CE x =，则12C E x =-，则221BE x x =+- 又1123B C C π∠= 则22157B E x x =-+ 在1Rt BEB 中有 225714x x x x -++-+= 从而12x x ==或（舍去） 故E 为1CC 的中点时，1EA EB ⊥……………… 8分19．解：（1）由已知函数求导得2ln(1)1'()xx x f x x -++= 2分设()ln(1)1xg x x x =-++，则2211'()0(1)1(1)x g x x x x -=-=<+++ 4分 ∴g (x )在(0,+∞)上递减，()(0)0g x g <= ,∴'()0f x < ,因此()f x 在（0，+∞）上单调递减 6分（2）由3()()h x f x x ax =--可得， 221(331)'()1311x ax ax h x ax x x -++=--=++ 8分若a ≥0,任给x ∈（0，+∞），1101x -<+，230ax -<，∴'()h x ＜0， ∴()h x 在（0，2）上单调递减，则()f x 在（0，2）无极值 10分若a <0，3()()h x x f x x ax =⋅--）在（0，2）上有极值的充要条件是2()331x ax ax ϕ=++ 在（0，2）上有零点 12分∴(0)(2)0ϕϕ⋅<，解得118a <- 综上，a 的取值范围是（-∞，118-） 14分20． (Ⅰ) 解: 设抛物线C 的方程是x 2 = ay ,则14=a, 即a = 4．故所求抛物线C 的方程为x 2= 4y ． 5分(Ⅱ) 解: 设P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2), 则抛物线C 在点P 处的切线方程是：112y x x y -=, 直线PQ 的方程是：1122y x x y ++-=． 将上式代入抛物线C 的方程, 得：0)2(48112=+-+y x x x ,故 x 1+x 2 =18x -, x 1x 2 =－8－4y 1 ,所以 x 2=18x -－x 1 , y 2=14y +y 1+4 ．而FP ＝(x 1, y 1－1), FQ ＝(x 2 , y 2－1) ,FP ⋅FQ ＝x 1 x 2＋(y 1－1) (y 2－1)＝x 1 x 2＋y 1 y 2－(y 1＋y 2)＋1＝－4(2+y 1)+ y 1(14y +y 1+4)－(14y +2y 1+4)+1＝21y －2y 1 －14y －7＝(21y ＋2y 1＋1)－4(11y +y 1+2)＝(y 1＋1)2－121)1(4y y +＝1211)1)(4(y y y +-＝0,故 y 1＝4, 此时, 点P 的坐标是(±4,4) ． 经检验, 符合题意． 所以, 满足条件的点P 存在, 其坐标为P (±4,4)． 14分21．（1）由已知得a 1=4，a 2=52,所以11b = 故11114n n n n a b a b a b ++====; 由已知：0n a >，12a >，22a >，4n n b a =∴122n n na a a +=+,由均值不等式得12n a +> 4分故n N +∀∈ ，2n a > 5分（2）2112222n n n n a a a a ++⎛⎫++= ⎪--⎝⎭，21(2)22n n n a a a +++=,21(2)22n n na a a +--= 所以1122ln2ln 22n n n n a a a a ++++=--，所以2ln 2n n a a ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是等比数列 8分（3）由（2）可知1122ln (ln 3)2ln 32n n n n a a --+=⨯=-∴11223131n n n a --+=- 当n ≥2时，()11221221031n n n n a a a -+--=≤-- 10分 ∴()3212210a a -<- , ()4312210a a -<- ,…，()112210n n a a --<-相加得：[]121112(2)2(2)10n n S a a n S a n -----<--- 12分∵14a =,252a =,∴106520(2)42(2)n n n S n S a n ---<---- ∴()1122253125182229993931n n n S n n n --+<+-<+-=+- 故n ≥2时，423n S n ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭14分 解二：1111222231242212313131n n n n n a ----+⎛⎫=⨯=+=+ ⎪---⎝⎭ 设()()12212224414333n n n n n C C ----==<，（n ≥2） 10分 211121111124444n n n n n C C C C ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<<<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴当n ≥2时，11224n n a -⎛⎫<+ ⎪⎝⎭12分21121111142(1)2444111442221142182212343n n n n n S a a a n n n n ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++<+-++++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫- ⎪⎝⎭=++⨯-⎛⎫=++-<+⎪⎝⎭14分。
2019届广州市高三调研测试理科数学(解析版)
1
1
切线，故 t 1，所以 a t t
t 1 (t 1) 2 ，
t 1
t 1
t 1
t 1
1
4
作出函数 y (t 1) 2 的图象如图所示，由图可知，
t 1
2
1 当 a 0 或 a 4 时，直线 y a 与函数 y (t 1) 2 的图象
t 1
5
5
有两个交点．
2
4
2ab
2ab 2
2 因为 0 C ，所以 C ． ……………………………………………………6 分
3
(2) 因为 A ，所以 B ．
6
6
……………………………………………………7 分
2 所以△ABC 为等腰三角形，且顶角 C ．
3
1 因为 S△ABC 2 ab sin C
3 a2 4 4
4
(a0 a2 a4 )2 (a1 a3 )2 (a0 a1 a2 a3 a4 )(a0 a1 a2 a3 a4 ) (2 2)(2 2) 24 16 ．
数学(理科)试题 A 第 4 页 共 16 页
2x y ≤ 0,
x 3y 5≥ 0,
x
y
1 1
15．已知实数 x , y 满足 x 0,
6
8
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知向量 a, b 的夹角为 45 ，且 a 1, b 2 ，则 a b ____________．
13．答案：1
2
解析： a b
a b
2
a
2
2 2a b b
a
2
2
a
b
cos 45
2019届广东省广州市高三12月调研测试数学(理)试卷(PDF版)
个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍得到 3
1 y sin 3x 的图象，则 f ( x) 6
A． sin
1 3 x 6 2
B． sin 6 x
1 6
C． sin
1 3 x 3 2
cos 2 B cos 2 C sin 2 A sin A sin B .
（1）求角 C 的大小； （2）若 A
6
， ABC 的面积为 4 3 ， M 为 BC 的中点，求 AM ．
18．（本小题满分 12 分） 某企业对设备进行升级改造， 现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了 100 件产品作为样本， 检测一 项质量指标值，若该项质量指标值落在 [20, 40) 内的产品视为合格品，否则为不合格品．图 1 是设备改造 前样本的频率分布直方图， 表 1 是设备改造后样本的频 数分布表．
………………………………………………………………9 分
在 MAC 中， AC 4, CM 2, C
2 ， 3 1 28 ． ………11 分 2
所以 AM AC CM 2 AC CM cos C 16 4 2 2 4
A．1 B． A． 2 x y 3 0 B． x 2 y 1 0 C． x 2 y 3 0
2
D． 2 x y 1 0
5．已知实数 a 2ln 2 ， b 2 2ln 2 ， c ln 2 ，则 a, b, c 的大小关系是 A． c b a B． c a b C． b a c D． a c b
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．
2019年广东省广州市高三年级调研测试(文数)试卷及答案
7 8 994 4 6 4 7 3高考数学精品复习资料2019.5广州市20xx 届高三年级调研测试数学（文 科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：锥体体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数4y x =-的定义域是A ．(),4-∞B ．(],4-∞C ．()4,+∞D ．[)4,+∞ 2．命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是A ．若12≥x ，则11-≤≥x x ，或 B ．若11<<-x ，则12<x C ．若11-<>x x ，或，则12>x D ．若11-≤≥x x ，或，则12≥x 3．如图1是某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为 A ． 85，84B ． 84，85C ． 86，84D ． 84，864．设1i z =-（i 是虚数单位），则复数22i z+的虚部是 A ．i - B ．1- C ．i D ．1 5．若集合,A B 满足{}|3A x x =∈<Z ，B ⊆N ，则AB 不可能．．．是 A ．{0,1,2} B ． {1,2} C ． {1}- D ．∅6．若实数x ，y 满足不等式组220,10,220,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则x y +的最大值为A ．4B ．5C ．6D ．7 7．执行如图2的程序框图，如果输入的N 的值是6，那么输出的p 的值是A ．15B ．105C ．120D ．7208．某几何体的三视图（如图3所示）均为边长为2的等腰直角三角 形，则该几何体的表面积是 A ．442+ B ．42 C ．42+ D ．842+9．若点(1,0)A 和点(4,0)B 到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条10．函数()sin f x x x =+在区间[)0,+∞内A ．没有零点B ．有且仅有1个零点C ．有且仅有2个零点D ．有且仅有3个零点二．填空题： 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）图1是否开始 1,1==p k p p k =⋅?k N <输出p图22k k =+输入N结束图3正视图侧视图俯视图11．若向量()1,2=m ，(),1x =n 满足⊥m n ，则||=n __________． 12．在等比数列{}n a 中，若1323a a a =⋅，则4a = ．13．在边长为2的正方形ABCD 内部任取一点M ，则满足90>∠AMB 的概率为_______． （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图4，AC 为⊙O 的直径，OB AC ⊥，弦BN 交AC 于点M ．若3OC =，1OM =，则MN 的长为 ．15．（坐标系与参数方程选讲选做题）若点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，θ∈R ）上，则y x 的取值范围是 ．三．解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3cos 23A C +=． （1）求cosB 的值；（2）若3a =，22b =，求c 的值．17．（本小题满分12分）某单位N 名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们 的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组 [40,45)，第5组[45,50]，得到的频率分布直方图如图5所示．下表是年龄的频率分布表． 区间 [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50] 人数25 ab（1）求正整数a ，b ，N 的值；（2）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3ABCOM N图4图5组的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率． 18．（本小题满分14分）如图6，在三棱锥P ABC -中，PA AC ⊥，PC BC ⊥，M 为PB 的中点，D 为AB 的中点，且△AMB 为正三角形．（1）求证：⊥BC 平面PAC ；（2）若4BC =，10PB =，求点B 到平面DCM 的距离．19．（本小题共14分）设数列{}n a 满足321212222n n a a a a n -++++=，*n ∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()111nn n n a b a a +=--，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20．（本小题满分14分）在圆422=+y x 上任取一点P ，设点P 在x 轴上的正投影为点D ．当点P 在圆上运动时，动点M 满足MD PD 2=，动点M 形成的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）已知点()0,1E ，若B A ,是曲线C 上的两个动点，且满足EB EA ⊥，求BA EA ⋅的取值范围． 21．（本小题满分14分）MCBPA图6D已知函数()()2ln 2f x x ax a x =-+-．（1）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值； （2）求函数()f x 在区间2[,]a a 上的最大值．参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二．填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．11．5 12．3 13．8π14．1 15．33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦三．解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 解：（1）在△ABC中，A B ++=π．………………………………………………………………1分 所以co 22A CBπ+-= (2)分3sin23B ==．………………………………………………………………………3分所以题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 B D A D C D B A C B2cos 12sin 2BB =- ……………………………………………………………………………5分13=．………………………………………………………………………………………7分（2）因为3a =，22b =，1cos 3B =， 由余弦定理222c o s b a c a c=+-，………………………………………………………………9分得2210c c -+=．……………………………………………………………………………………11分 解得1c =． (12)分17．（本小题满分12分） 解：（1）由频率分布直方图可知，[25,30)与[30,35)两组的人数相同，所以25a =人．………………………………………………………………………………………1分且0.08251000.02b =⨯=人．……………………………………………………………………………2分总人数252500.025N ==⨯人．………………………………………………………………………3分（2）因为第1，2，3组共有25+25+100=150人，利用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为： 第1组的人数为2561150⨯=，…………………………………………………………………………4分 第2组的人数为2561150⨯=，…………………………………………………………………………5分 第3组的人数为10064150⨯=，………………………………………………………………………6分所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人．……………………………………………………7分 （3）由（2）可设第1组的1人为A ，第2组的1人为B ，第3组的4人分别为1234,,,C C C C ，则从6人中抽取2人的所有可能结果为： (,)A B ，1(,)A C ，2(,)A C ，3(,)A C ，4(,)A C ，1(,)B C ，2(,)B C ，3(,)B C ，4(,)B C ，12(,)C C ，13(,)C C ，14(,)C C ，23(,)C C ，24(,)C C ，34(,)C C ，共有15种．……………………………9分其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：1(,)A C ，2(,)A C ，3(,)A C ，4(,)A C ，1(,)B C ，2(,)B C ，3(,)B C ，4(,)B C ，共有8种．………………………………………………………11分所以恰有1人年龄在第3组的概率为815．…………………………………………………………12分18．（本小题满分14分） （1）证明：在正A M B∆中，D 是AB 的中点，所以MD AB ⊥．……………………………………1分因为M 是PB 的中点，D 是AB 的中点，所以//MD PA ，故P A A B⊥．……………………2分 又PA AC ⊥，AB AC A =，,AB AC ⊂平面ABC ，所以PA ⊥平面ABC ．…………………………………4分 因为⊂BC 平面ABC ，所以PA BC ⊥．……………5分 又,,,PC BC PAPC P PA PC ⊥=⊂平面PAC ，所以⊥BC 平面PAC ．………………………………7分 （2）解法1：设点B 到平面DCM 的距离为h ，………8分因为10PB =，M 是PB 的中点，所以5MB =． 因为A M ∆为正三角形，所以5AB MB ==．……………………………………………………9分因为4,BC BC AC =⊥，所以3AC =． 所以11422BCS S ∆∆==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=．…………………………………10分MCBPAD因为23525522=⎪⎭⎫⎝⎛-=MD ，由（1）知//MD PA ，所以DC MD ⊥． 在ABC ∆中，1522CD AB ==， 所以8325252352121=⨯⨯=⨯⨯=∆CD MD S MCD ．…………………………………………11分因为M B BC M V V --=， (12)分所以h S MD S MCD BCD ⋅=⋅∆∆3131， 即153125333238h ⨯⨯=⨯⨯．……………………………………………………………………13分所以512=h ． 故点B到平面D C的距离为512．………………………………………………………………14分 解法2：过点B 作直线CD 的垂线，交CD 的延长线于点H ，…………………………………………8分由（1）知，PA ⊥平面ABC ，//MD PA ， 所以MD ⊥平面ABC ．因为BH ⊂平面ABC ，所以MD BH ⊥．因为CD MD D =，所以BH ⊥平面DCM ．所以BH 为点B 到平面DCM 的距离．………………9分因为10PB =，M 是PB 的中点，所以5MB =． 因为AMB ∆为正三角形，所以5AB MB ==．……10分因为D 为AB 的中点，所以52CD BD ==．以下给出两种求BH 的方法：方法1：在△BCD 中，过点D 作BC 的垂线，垂足为点E ，M CBP AHD E则1322DE AC ==．…………………………………………………………………………………11分因为1122CD BH BC DE ⨯⨯=⨯⨯，………………………………………………………………12分所以34122552BC DEBH CD⨯⨯===．方法2：在Rt△BHD中，222254BH DH BD +==． ①…………………………11分 在Rt △BHC 中，因为4BC =，所以222BH CH BC +=，即225162BH DH ⎛⎫++= ⎪⎝⎭．②…………………………………12分由①，②解得125BH =． 故点B 到平面D C的距离为512．………………………………………………………………14分 19．（本小题满分14分） 解：（1）因为321212222n n a a a a n -++++=，*n ∈N ， ① 所以当1=n 时，12a =．……………………………………………………………………………1分当2≥n 时，()31212221222n n a a a a n --++++=-，② …………………………………2分 ①－②得，122nn a -=．…………………………………………………………………………………4分 所以2n n a =． (5)分因为12a =，适合上式， 所以2n n a =()*n ∈N ． (6)分（2）由（1）得2nn a =．所以()()111n n n n a b a a +=--()()122nnn +=--…………………………………………………8分1112121n n +=---．…………………………………………………………………………10分所以12n n S b b b =+++1111111113377152121n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭………………………………12分11121n +=--．………………………………………………………………………………14分 20．（本小题满分14分） （1）解法1：由MD PD 2=知点M为线段PD 的中点．……………………………………………1分设点M的坐标是(,x y ，则点P的坐标是(),2x y ．……………………………………………2分因为点P 在圆422=+y x 上， 所以()2224x y +=． (3)分所以曲线C的方程为1422=+y x ．…………………………………………………………………4分解法2：设点M 的坐标是(,)x y ，点P 的坐标是()00,y x ， 由MD PD 2=得，x x =0，y y 20=．……………………………………………………………1分因为点P ()00,y x 在圆422=+y x 上， 所以42020=+y x ． ①………………………2分把x x =0，y y 20=代入方程①，得4422=+y x ．……………………………………………3分所以曲线C 的方程为1422=+y x ．…………………………………………………………………4分 （2）解：因为EB EA ⊥，所以0=⋅EB EA ．…………………………………………………………5分所以()2EA EB EA EA BA EA =-⋅=⋅．……………………………………………………………7分设点()11,A x y ，则221114x y +=，即221114x y =-．………………………………………………8分 所以()222221111112114x EA BA EA x y x x ⋅==-+=-++- 221113342224433x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-+=-+．……………………………………………………………10分因为点()11,A x y 在曲线C 上，所以122x -≤≤．………………………………………………11分所以21234293433x ⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭．……………………………………………………………………13分所以BA EA ⋅的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡932，．………………………………………………………………14分21．（本小题满分14分）解：（1）因为2()ln (2)f x x ax a x =-+-，所以函数()f x 的定义域为(0,)+∞．………………………………………………………………1分 且1()2(2)f x ax a x'=-+-．………………………………………………………………………2分 因为()f x 在1x =处取得极值，所以()()11220f a a '=-+-=．解得1a =-．…………………………………………………………………………………………3分 当1a =-时，1(21)(1)()23x x f x x x x--'=+-=， 当102x <<时，()0f x '>；当112x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>． 所以1x =是函数()y f x =的极小值点． 故1a =-．……………………………………………………………………………………………4分（2）因为2a a <，所以01a <<．…………………………………………………………………………………………5分 由（1）知(21)(1)()x ax f x x-+'=-． 因为(0,)x ∈+∞，所以10ax +>． 当102x <<时，()0f x '>；当12x >时，()0f x '<． 所以函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．………………………………7分 ①当102a <≤时，()f x 在2[,]a a 上单调递增，所以[]32max ()()ln 2f x f a a a a a ==-+-． (9)分 ②当21,21.2a a ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩即1222a <<时，()f x 在21,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以[]ma 12()ln 21ln 22424a a a f x f -⎛⎫==--+=-- ⎪⎝⎭．……………………………………11分 ③当212a ≤，即212a ≤<时，()f x 在2[,]a a 上单调递减， 所以[]2ma ()f x ==．…………………………………………………13分 综上所述： 当102a <≤时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是32ln 2a a a a -+-； 当1222a <<时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是1ln 24a --； 当212a ≤<时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是5322ln 2a a a a -+-．…………………14分。
2019届广州市高三年级调研测试(文科数学)试题(含评分标准)
2019 届广州市高三年级调研测试文科数学2018．12本试卷共 5 页，23 小题，满分 150 分。
考试用时 120 分钟。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1. 设集合2{|(1)1},{|11}P x x Q x x =-<=-<<，则P Q ⋂=( )A.(1,2)-B. (1,0)-C. (1,2)D. (0,1)2. 若复数z 满足(1)12i z i +=+，则||z =（ ）B.32D.123. 下列函数中，既是奇函数，又在2π（0，）上单调递增的是（ ）A.2sin xy x =- B.12()2xxy =- C.sin y x x =-D.cos y x x =-4. 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2015 年 1 月至 2017 年 12 月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误．．的是（ ） A. 年接待游客量逐年增加B. 各年的月接待游客量高峰期在 8 月C. 2015 年 1 月至 12 月月接待游客量的中位数为 30 万人D. 各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳5. 《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”. 现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为( )C.D.C.D.24π6. 已知ABC ∆的边BC 上有一点满足4BD DC =，则AD 可表示为（ ）A.1344AD AB AC =+B. 3144AD AB AC =+C. 4155AD AB AC =+D., 1455AD AB AC =+7. 已知双曲线C P 在C 上，则C 的方程为（ ）A.22142x y -=B.221714x y -=C.22124x y -=D.221147y y -= 8. 由2sin(6)6y x π=-的图象向左平移3π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，所得图象对应的函数解析式为（ ）A.2sin(3)6y x π-＝ B.2sin(3)6y x π=+C.2sin(3)12y x π=-D.2sin(12)6y x π=-9. 3a =是直线230ax y a ++=和3(1)7x a y a +-=-平行的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10. 若实数,x y 满足不等式组(1)(25)002x y x y x --+-≥⎧⎨≤≤⎩，则2z x y =-的取值范围是（ ）A.[5,3]-B.[5,1]-C.[1,3]D.[5,5]- 11.已知ABC ∆的内角,,A B C的对边分别是,,a b c，且若222sin sin sin sin sin cos cos A B C A Bc a B b A+-=+，4a b +=，则c 的取值范围为（ ）A.(0,4)B.[24)，C.[1,4)D.(2,4]12. 已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的长轴是短轴的2倍，过右焦点F 且斜率为(0)k k >的直线与Γ相交于A ，B 两点。
2019届广州市高三年级调研考试数学
试卷类型： A2019届广州市高三年级调研测试理科数学本试卷共5页，23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则集合A．B．C．D．2．若复数(是虚数单位)为纯虚数，则实数的值为A． B． C． D．3．已知为等差数列，其前项和为，若，则公差等于A．1 B． C．2 D．34．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为A． B． C． D．5．已知实数，，，则的大小关系是A． B． C． D．6．下列命题中，真命题的是A．B．C．的充要条件是D．若，且，则中至少有一个大于17．由的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到的图象，则A． B． C． D．8. 已知甲袋中有1个黄球和1个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球．现随机地从甲袋中取出1个球放入乙袋中, 再从乙袋中随机取出1个球, 则从乙袋中取出的球是红球的概率为A． B． C． D．9．已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，且轴，则双曲线的离心率为A． B． C． D．10. 已知等比数列的前项和为，若，，则数列的前项和为A． B． C． D．11．如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为A．6 B．7 C． D．12．已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值范围是A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量的夹角为，且，则____________．14．已知，则= ．15．已知实数, 满足则的最小值为____________．16．已知在四面体中，，则该四面体的体积的最大值为___________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）在中，角，，所对的边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若，的面积为，为的中点，求．18．（本小题满分12分）某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品．图1是设备改造前样本的频率分布直方图，表1是设备改造后样本的频数分布表．表1：设备改造后样本的频数分布表质量指标值频数2184814162（1）请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均值;（2）企业将不合格品全部销毁后，并对合格品进行等级细分，质量指标值落在内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在或内的定为二等品，每件售价180元；其它的合格品定为三等品，每件售价120元．根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为（单位：元），求的分布列和数学期望．19. （本小题满分12分）如图，多面体中，四边形为矩形，二面角为，，，，．（1）求证：平面；（2）在线段上求一点，使锐二面角的余弦值为．20．（本题满分12分）已知椭圆的离心率为，点在上．（1）求椭圆的方程；（2）设分别是椭圆的左, 右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，求的内切圆的半径的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数R.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求实数的取值范围．（二）选考题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题做答, 如果多做, 则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程为，直线，直线．以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系．（1）求直线的直角坐标方程以及曲线的参数方程；（2）若直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，求的面积．23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数．（1）当时，解不等式；（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围．2019届广州市高三年级调研测试理科数学试题参考答案及评分标准评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题不给中间分．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．题号123456789101112答案A C C D B D B B A D B A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．1 14．16 15． 16．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：(1) 由，得．……………………………………………2分由正弦定理，得，即，…………………………3分所以．………………………………………………5分因为，所以． (6)分(2)因为，所以． (7)分所以为等腰三角形，且顶角．因为，......................................................8分所以． (9)分在中，，所以．.........11分解得． (12)分18．解：（1）根据图1可知，设备改造前样本的频数分布表如下质量指标值频数41640121810．……………………………………………………………………………1分样本的质量指标平均值为．……………………………………………2分根据样本质量指标平均值估计总体质量指标平均值为．………………………3分（2）根据样本频率分布估计总体分布，样本中一、二、三等品的频率分别为，，，故从所有产品中随机抽一件，是一、二、三等品的概率分别为，，． (4)分随机变量的取值为：240，300，360，420，480． (5)分，，，，，…………………………………………………………………10分所以随机变量的分布列为：240300360420480…………………………………………………………………11分所以． (12)分19．解：（1）因为四边形为矩形，所以.因为平面，平面，所以平面．........................................................................1分同理平面．.....................................................................2分又因为，所以平面平面．..............................3分因为平面，所以平面． (4)分（2）法一：因为，所以是二面角的平面角，即．………………5分因为，所以平面.因为平面,所以平面平面.作于点，则平面. ………………6分由, 得，．以为原点，平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，……7分设，，则，设平面的法向量为，则由得，取得平面的一个法向量为，……………………………8分又平面的一个法向量为，……………………………………9分所以，…………………………10分所以，解得或（舍去），……………………………………………11分此时，得.即所求线段上的点满足．…………………………………………12分法二：作于点，作的延长线于点，连结．因为，所以平面，……………………………………………………………5分为二面角的平面角，．……………………6分所以．因为，所以平面，．…7分因为，所以平面．……8分所以，为二面角的平面角．……………………9分在中，，所以．又因为，所以，．…………10分作于，则，，设，则，即，…………………11分解得，即所求线段上的点满足．………………………12分20．解：（1）依题意有解得………………………………3分故椭圆的方程为．………………………………………………………4分（2）设，设的内切圆半径为，的周长为，所以． (5)分解法一：根据题意知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，………………6分由，得………………………………………7分，，由韦达定理得，……………………………………8分，………10分令，则，．令，则当时，，单调递增，，，……………………………………………………11分即当时，的最大值为3，此时．故当直线的方程为时，内切圆半径的最大值为． (12)分解法二：当直线轴时，. (6)分当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，由，得. …………………………………7分，由韦达定理得，………………………………………8分. ……………………………10分令，则，,.综上，当直线的方程为时，的最大值为3，内切圆半径的最大值为．……………………………12分21．解：(1) 的定义域为，. ………………………………………1分(i)当时，恒成立，时，，在上单调递增；时，，在上单调递减；……………………2分(ii) 当时，由得，（舍去），①当，即时，恒成立，在上单调递增； (3)分②当，即时，或时，恒成立，在，单调递增；时，恒成立，在上单调递减；……………4分③当即时，或时，恒成立，在单调递增；时，恒成立，在上单调递减；……………5分综上，当时，单调递增区间为，单调递减区间为；当时，单调递增区间为，无单调递减区间；当时，单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，单调递增区间为，单调递减区间为．…………………………………………………6分(2)由(1)知，当时，单调递增区间为，单调递减区间为，又因为，…………………………………7分取，令，，则在成立，故单调递增，，，（注：此处若写“当时，”也给分）所以有两个零点等价于，得，所以．……………………………………………………………8分当时，，只有一个零点，不符合题意；当时，在单调递增，至多只有一个零点，不符合题意； (9)分当且时，有两个极值，，，记，…………………………………10分，令，则.当时，，在单调递增；当时，，在单调递减．故，在单调递增．时，，故．……………………11分又，由(1)知，至多只有一个零点，不符合题意．综上，实数的取值范围为. ……………………………………12分（二）选考题：共10分．请在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．解：(1) 依题意，直线的直角坐标方程为，的直角坐标方程为．…………………………………………………2分由得，因为，.............................................3分所以，...............................................................4分所以曲线的参数方程为（为参数）．........................5分（2）联立得，.................................6分同理，．.....................................................................7分又，.................................................................................8分所以，.....................9分即的面积为．.....................................................................10分23．解：（1）当时，原不等式可化为， (1)分①当时，，解得，所以；…………………………2分②当时，，解得，所以；…………………3分③当时，，解得，所以．…………………………4分综上所述，当时，不等式的解集为． (5)分（2）不等式可化为，依题意不等式在上恒成立，……………………………6分所以，即，即，…………………………8分所以，解得，故所求实数的取值范围是． (10)分。
2019届广州市高三年级调研测试(理科数学)试题(2021年整理)
2019届广州市高三年级调研测试(理科数学)试题(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019届广州市高三年级调研测试(理科数学)试题(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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秘密 ★ 启用前 试卷类型: A2019届广州市高三年级调研测试理科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}|02M x x =≤<，{}2|230N x x x =--<，则集合M N =A ．{}|02x x ≤<B ．{}|03x x ≤<C ．{}|12x x -<<D ．{}|01x x ≤<2．若复数i 1ia z +=-(i 是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为 A ．2- B ．1- C ．1 D ．23．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若336,12a S ==，则公差d 等于A ．1B ．53C ．2D ．3 4．若点(1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为A ．230x y +-=B ．210x y -+=C ．230x y +-=D ．210x y --=5．已知实数ln 22a =，22ln 2b =+，()2ln 2c =，则,,a b c 的大小关系是A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a c b <<6．下列命题中，真命题的是A ．00,0x x R e ∃∈≤B ．2,2x x R x ∀∈>C ．0a b +=的充要条件是1a b=- D ．若,x y R ∈,且2x y +>，则,x y 中至少有一个大于1 7．由()y f x =的图象向左平移3π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到1sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,则()f x = A ．31sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B ．1sin 66x π⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．31sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D ．1sin 63x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 8. 已知甲袋中有1个黄球和1个红球,乙袋中有2个黄球和2个红球．现随机地从甲袋中 取出1个球放入乙袋中, 再从乙袋中随机取出1个球, 则从乙袋中取出的球是红球的概率为A ．13B ．12C ．59D ．299．已知抛物线()220y px p =>与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴,则双曲线的离心率为A 21B 31C 51D 22+10。
2019届广州市高三年级调研测试(文数)
2019届广州市高三年级调研测试数 学（文科）本试卷共5页，23小题， 满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.写在本试卷上无效.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 设集合{}2(1)1P x x =-<，{}11Q x x =-<<，则集合=Q PA ．)2,1(-B ．)0,1(-C ．)2,1(D ．)1,0(2． 若复数z 满足()1i 12i z +=+，则z =A ．2B ．32C ．2D ．123． 下列函数中,既是奇函数,又在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上单调递增的是A ．x y xsin 2-= B ．xxy ⎪⎭⎫⎝⎛-=212 C ．x x y -=sin D ．cos y x x =-4． 某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2015年1月至2017年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误．．的是 A ．年接待游客量逐年增加B ．各年的月接待游客量高峰期在8月C ．2015年1月至12月月接待游客量的中位数为30万人D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳5． 《九章算术》中将底面为长方形,且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”,现有一阳马,其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上,则该球的体积为A ．π6B ．368πC ．π68D ．π246． 已知ABC ∆的边BC 上有一点D 满足DC BD 4= ,则AD 可表示为A ．AC AB AD 4341+=B ．AC AB AD 4143+=C ．5154+=D ．5451+=7． 已知双曲线C 的中心为坐标原点,离心率为3，点(P 在C 上，则C 的方程为A ．22142x y -= B ．221714x y -= C ．22124x y -= D ．221147y x -= 8． 由)616sin(2π-=x y 的图象向左平移3π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，所得图象对应的函数解析式为A ．)613sin(2π-=x yB ．)613sin(2π+=x y C ．)1213sin(2π-=x y D ．)6112sin(2π-=x y9． 3a = 是直线230ax y a ++= 和31)(7x a y a +-=- 平行的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件10．若实数x ，y 满足(1)(25)002,x y x y x --+-≥⎧⎨≤≤⎩，则2z x y =-的取值范围是A. [5,3]-B. [5,1]-C. [1,3]D. [5,5]-11．在已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222sin sin sin sin sin cos cos A B C A Bc a B b A+-=+．若4a b += ,则c 的取值范围为 A. ()0,4 B. [2,4) C. [1,4) D. (2,4] 12．已知椭圆Γ：22221y x a b+=()0a b >>的长轴是短轴的2倍,过右焦点F 且斜率为()0k k >的直线与Γ相交于,A B 两点，若FB AF 3=，则k =A ．1B ．2CD 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知132a = ，则2log (2)a = ________． 14．设θ为第二象限角,若214tan =⎪⎭⎫⎝⎛+πθ ，则cos θ=________．15．圆锥底面半径为1，高为，点P 是底面圆周上一点,则一动点从点P 出发,绕圆锥侧面一圈之后回到点P ,则绕行的最短距离是________．16．已知过点(),0A a 作曲线:xC y x e =⋅的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知37a =,()12222n n a a a n -=+-≥. (1)证明：数列{1}n a +为等比数列；(2)求数列{}n a 的通项公式，并判断,,n n n a S 是否成等差数列?某蔬果经销商销售某种蔬果，售价为每公斤25元，成本为每公斤15元，销售宗旨是当天进货当天销售. 如果当天卖不出去，未售出的全部降价以每公斤10元处理完，根据以往的销售情况，得到如图所示的频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图计算该种蔬果日需求量的平均数x (同一组中的数据用该组区间中点值代表)； (2)该经销商某天购进了250公斤这种蔬果，假设当天的需求量为x 公斤()0500x ≤≤，利润为y 元. 求y 关于x 的函数关系式，并结合频率分布直方图估计利润y 不小于1750元的概率.19．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，EF //AB ，2AB =，1 , 3 , 60, BC EF AE DE BAD G ===∠=︒为BC 的中点.(1)求证:FG //平面BED ； (2)求证:BD ⊥平面AED ； (3)求点F 到平面BED 的距离.20. (本题满分12分)已知动圆C 过定点()1,0F ，且与定直线1x =-相切. (1)求动圆圆心C 的轨迹E 的方程:(2)过点()2,0M -的任一条直线l 与轨迹E 交于不同的两点,P Q ，试探究在x 轴上是否存在定点N (异于点M )，使得QNM PNM π∠+∠=？若存在，求点N 的坐标；若不存在，说明理由.已知函数()(ln )x f a x x xe x =++. (1) 若a e =-，求()f x 的单调区间；(2)当0a <时，记()f x 的最小值为m ，求证：1m ≤（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为θθρsin 2cos 32+=，直线()1:,6l R πθρ=∈直线()2:3l R πθρ=∈．以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．(1)求直线12,l l 的直角坐标方程以及曲线C 的参数方程;(2)已知直线1l 与曲线C 交于,O A 两点，直线2l 与曲线C 交于,O B 两点，求AOB ∆的面积．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数1()||3f x x a =-()a R ∈ ． （1）当2a =时，解不等式1()13x f x -+≥； （2）设不等式1()3x f x x -+≤的解集为M ，若M ⊆⎥⎦⎤⎢⎣⎡2131，，求实数a 的取值范围．数学（文科）参考答案评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．43 14． 15． 16．()(),40,-∞-+∞ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17． 解：（1）证明：∵37a =，3232a a =-，∴23a =, ……………………………………1分∴121n n a a -=+， ……………………………………2分 ∴11a =， ……………………………………3分111122211n n n n a a a a ---++==++()2n ≥， ……………………………………5分∴{}1n a +是首项为112a +=，公比为2的等比数列． …………………………………………6分 （2）解：由（1）知，12n n a +=， ……………………………………7分 ∴21n n a =-， ……………………………………8分∴()12122212n n n S n n +-=-=---， ……………………………………9分∴()()12222210n nn n n S a n n ++-=+----=， ……………………10分∴2n n n S a +=. ……………………11分 即n ，n a ，n S 成等差数列． ……………………12分18．解：（1）500.00101001500.00201002500.00301003500.0025100x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯4500.0015100+⨯⨯ …………………………2分 265=. ……………………………3分 故该种蔬果日需求量的平均数为265公斤. …………………………4分 （2）当日需求量不低于250公斤时，利润=()2515250=2500y ⨯－元, ………………5分当日需求量低于250公斤时，利润2515250=()()5=151250x y x x ---⨯-元 , ………6分所以151250,0250,2500,250500.x x y x -≤<⎧=⎨≤≤⎩ …………………………8分由1750y ≥得，200500x ≤≤, ……………………………9分 所以(1750)P y ≥＝(200500)P x ≤≤ ……………………………10分=0.0030100+0.0025100+0.0015100⨯⨯⨯ =0.7. …………………………11分故估计利润y 不小于1750元的概率为0.7 . ……………………………12分19． 解：（1）证明：取BD 的中点O ，连接OE ，OG在BCD ∆中，因为G 是BC 的中点，所以OG DC 且112OG DC ==，……………1分 因为EF AB ，AB DC ，1EF =，所以EF OG 且EF OG =，……………………2分 所以四边形OGFE 是平行四边形，所以FG OE ， ………………………3分又FG ⊄平面BED ，OE ⊂平面BED ，所以FG 平面BED ． ……………………………4分（2）证明：在ABD ∆中，1AD =，2AB =，60BAD ∠=，由余弦定理得BD == …………………………5分 因为222314BD AD AB +=+==，所以BD AD ⊥. …………………………6分 因为平面AED ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ,平面AED 平面ABCD AD =， 所以BD ⊥平面AED . ……………………………7分（3）解法1：由（1）FG 平面BED ，所以点F 到平面BED 的距离等于点G 到平面BED 的距离， ……………………8分 设点G 到平面BED 的距离为h ，过E 作EM DA ⊥，交DA 的延长线于M ，OG FEDCB AHGFEDCBA则EM ⊥平面ABG ，所以EM 是三棱锥E ABG -的高． ……………………9分 由余弦定理可得2cos 3ADE ∠=，所以sin ADE ∠=,sin EM DE ADE =⋅∠=. ………………………………10分124DBG S DB BG ∆=⋅=122BDE S BD DE ∆=⋅=. 因为G BDE E DBG V V --=，…………………………11分 即1133BDE DBG S h S EM ∆∆⋅=⋅，解得h =. 所以点F 到平面BED 的距离为65． ………………………………12分 解法2：因为EF AB ，且12EF AB =, 所以点F 到平面BED 的距离等于点A 到平面BED 的距离的12， ……………8分 由（2）BD ⊥平面AED .因为BD ⊂平面BED ，所以平面BED ⊥平面AED ．过点A 作AH DE ⊥于点H ，又因为平面BED 平面AED ED =，故⊥AH 平面BED .所以AH 为点A 到平面BED 的距离．…………………9分 在ADE ∆中，6,3,1===AE DE AD ， 由余弦定理可得2cos 3ADE ∠=所以sin 3ADE ∠=， …………………10分因此35sin =∠⋅=ADE AD AH ， …………………………………………………11分 所以点F 到平面BED 的距离为65． …………………………………………………12分20．（1）解法1：依题意动圆圆心C 到定点(1,0)F 的距离，与到定直线1x =-的距离相等，…1分 由抛物线的定义，可得动圆圆心C 的轨迹是以(1,0)F 为焦点，1x =-为准线的抛物线， ……2分其中2p =．∴动圆圆心C 的轨迹E 的方程为24y x =． ……………………………3分解法2：设动圆圆心C (),x y1x =+. …………………………2分化简得：24y x =，即为动圆圆心C 的轨迹E 的方程． …………………………3分 （2）解：假设存在点()0,0N x 满足题设条件．由QNM PNM π∠+∠=可知，直线PN 与QN 的斜率互为相反数，即0PN QN k k += ① ……4分 直线PQ 的斜率必存在且不为0，设:2PQ x my =-, ………………………………5分由242y x x my ⎧=⎨=-⎩得2480y my -+=． …………………………………6分 由()24480m ∆=--⨯>,得m >或m < ……………………………………7分设1122(,),(,)P x y Q x y ，则12124,8y y m y y +==． ……………………………………………8分 由①式得121020PN QN y y k k x x x x +=+--()()()()12021010200y x x y x x x x x x -+-==--,()()1202100y x x y x x ∴-+-=,即()12210120y x y x x y y +-+=．消去12,x x ，得()22122101211044y y y y x y y +-+=, ………………………………………………9分 ()()1212012104y y y y x y y +-+=, ………………………………………………………10分 120,y y +≠ 012124x y y ∴==, ………………………………………………………11分∴存在点()2,0N 使得QNM PNM π∠+∠=． ………………………………………………12分21．（1）解：当a e =-时， ()(ln )xf x xe e x x =-+，()f x 的定义域是(0,)+∞ ……1分()()11'()1(1)x x x f x x e e xe e x x +⎛⎫=+-+=- ⎪⎝⎭， …………………………………2分当01x <<时，'()0f x <；当1x >时，'()0f x >． …………………………………3分所以函数()f x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞． …………………………4分 （2）证明：由（1）得()f x 的定义域是(0,)+∞，1'()()xx f x xe a x+=+， 令()xg x xe a =+，则'()(1)0xg x x e =+>，()g x 在(0,)+∞上单调递增，……………………5分 因为0a <,所以(0)0g a =<，()0ag a aea a a --=-+>-+=，故存在()00,x a ∈-，使得000()0xg x x e a =+=． ………………………………………6分当0(0,)x x ∈时，()0g x <，1'()()0xx f x xe a x+=+<，()f x 单调递减； 当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >，1'()()0xx f x xe a x+=+>，()f x 单调递增； 故0x x =时，()f x 取得最小值，即()()00000ln xm f x x e a x x ==++, ………………………8分由000xx e a +=得()()0000ln ln xx m x e a x ea a a =+=-+-， ……………………………9分令0x a =->，()ln h x x x x =-，则()()'11ln ln h x x x =-+=-，当(0,1)x ∈时，()'ln 0h x x =->，()ln h x x x x =-单调递增， ……………………………10分 当(1,)x ∈+∞时，()'ln 0h x x =-<，()ln h x x x x =-单调递减，……………………………11分 故1x =，即1a =-时，()ln h x x x x =-取最大值1，故1m ≤． ……………………12分22．解：（1） 依题意，直线1l的直角坐标方程为y x =，2l的直角坐标方程为y ． ……………………………………………………………2分由2sin ρθθ+得2cos 2sin ρθρθ+，因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==， …………………………………………………3分所以22((1)4x y +-=， …………………………………………………………………4分所以曲线C的参数方程为2cos 12sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）．………………………………5分（2）联立62sin πθρθθ⎧=⎪⎨⎪+⎩得14OA ρ==， ……………………………………6分同理，2OB ρ== ……………………………………………………………………7分又6AOB π∠=， ………………………………………………………………………………8分所以111sin 4222AOBS OA OB AOB ∆=∠=⨯⨯= …………………………9分 即AOB ∆的面积为 ……………………………………………………………10分11 23．解：（1）当2a =时，原不等式可化为3123x x -+-≥， …………………………1分 ①当13x ≤时，1323x x -+-≥，解得0x ≤，所以0x ≤； ……………………………2分 ②当123x <<时，3123x x -+-≥，解得1x ≥，所以12x ≤<； ……………………3分 ③当2x ≥时，3123x x -+-≥，解得32x ≥，所以2x ≥． ……………………………4分 综上所述，当2a =时，不等式的解集为{}|01x x x ≤≥或． ………………………………5分 （2）不等式()13x f x x -+≤可化为313x x a x -+-≤， 依题意不等式313x x a x -+-≤在11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，……………………………………6分 所以313x x a x -+-≤，即1x a -≤，即11a x a -≤≤+， ……………………………8分 所以113112a a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得1423a -≤≤， 故所求实数a 的取值范围是14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． ………………………………………………………10分。
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试卷类型： A2019届广州市高三年级调研测试理科数学2018.12 本试卷共5页，23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则集合A．B．C．D．2．若复数(是虚数单位)为纯虚数，则实数的值为A．B．C．D．3．已知为等差数列，其前项和为，若，则公差等于A．1 B．C．2 D．34．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为A．B．C．D．5．已知实数，，，则的大小关系是A．B．C．D．6．下列命题中，真命题的是A．B．C ．的充要条件是D ．若，且，则中至少有一个大于17．由的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到的图象，则A．B．C．D．8. 已知甲袋中有1个黄球和1个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球．现随机地从甲袋中取出1个球放入乙袋中, 再从乙袋中随机取出1个球, 则从乙袋中取出的球是红球的概率为A．B．C．D．9．已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，且轴，则双曲线的离心率为A．B．C．D．10. 已知等比数列的前项和为，若，，则数列的前项和为A．B．C．D．11．如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为A．6 B．7 C．D．12．已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值范围是A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量的夹角为，且，则____________．14．已知，则= ．15．已知实数, 满足则的最小值为____________．16．已知在四面体中，，则该四面体的体积的最大值为___________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）在中，角，，所对的边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若，的面积为，为的中点，求．18．（本小题满分12分）某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品．图1是设备改造前样本的频率分布直方图，表1是设备改造后样本的频数分布表．表1：设备改造后样本的频数分布表（1）请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均值;（2）企业将不合格品全部销毁后，并对合格品进行等级细分，质量指标值落在内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在或内的定为二等品，每件售价180元；其它的合格品定为三等品，每件售价120元．根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为（单位：元），求的分布列和数学期望．19. （本小题满分12分）如图，多面体中，四边形为矩形，二面角为，，，，．（1）求证：平面；（2）在线段上求一点，使锐二面角的余弦值为．20．（本题满分12分）已知椭圆的离心率为，点在上．（1）求椭圆的方程；（2）设分别是椭圆的左, 右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，求的内切圆的半径的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数R.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求实数的取值范围．（二）选考题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题做答, 如果多做, 则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程为，直线，直线．以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系．（1）求直线的直角坐标方程以及曲线的参数方程；（2）若直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，求的面积．23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数．（1）当时，解不等式；（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围．2019届广州市高三年级调研测试理科数学试题参考答案及评分标准评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题不给中间分．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．1 14．16 15．16．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：(1) 由，得．……………………………………………2分由正弦定理，得，即，…………………………3分所以．………………………………………………5分因为，所以．……………………………………………………6分(2)因为，所以．……………………………………………………7分所以为等腰三角形，且顶角．因为，………………………………………………8分所以．………………………………………………………………9分在中，，所以．………11分解得．…………………………………………………………………………12分18．解：（1）根据图1可知，设备改造前样本的频数分布表如下．……………………………………………………………………………1分样本的质量指标平均值为．……………………………………………2分根据样本质量指标平均值估计总体质量指标平均值为．………………………3分（2）根据样本频率分布估计总体分布，样本中一、二、三等品的频率分别为，，，故从所有产品中随机抽一件，是一、二、三等品的概率分别为，，．…………4分随机变量的取值为：240，300，360，420，480．………………………………………5分，，，，，…………………………………………………………………10分所以随机变量的分布列为：…………………………………………………………………11分所以．………………12分19．解：（1）因为四边形为矩形，所以.因为平面，平面，所以平面．........................................................................1分同理平面．.....................................................................2分又因为，所以平面平面．..............................3分因为平面，所以平面． (4)分（2）法一：因为，所以是二面角的平面角，即．………………5分因为，所以平面.因为平面,所以平面平面.作于点，则平面. ………………6分由, 得，．以为原点，平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，……7分设，，则，设平面的法向量为，则由得，取得平面的一个法向量为，……………………………8分又平面的一个法向量为，……………………………………9分所以，…………………………10分所以，解得或（舍去），……………………………………………11分此时，得.即所求线段上的点满足．…………………………………………12分法二：作于点，作的延长线于点，连结．因为，所以平面，……………………………………………………………5分为二面角的平面角，．……………………6分所以．因为，所以平面，．…7分因为，所以平面．……8分所以，为二面角的平面角．……………………9分在中，，所以．又因为，所以，．…………10分作于，则，，设，则，即，…………………11分解得，即所求线段上的点满足．………………………12分20．解：（1）依题意有解得………………………………3分故椭圆的方程为．………………………………………………………4分（2）设，设的内切圆半径为，的周长为，所以．……………………………………………………………5分解法一：根据题意知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，………………6分由，得………………………………………7分，，由韦达定理得，……………………………………8分，………10分令，则，．令，则当时，，单调递增，，，……………………………………………………11分即当时，的最大值为3，此时．故当直线的方程为时，内切圆半径的最大值为．………………12分解法二：当直线轴时，. .……………………6分当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，由，得. …………………………………7分，由韦达定理得，………………………………………8分. ……………………………10分令，则，,.综上，当直线的方程为时，的最大值为3，内切圆半径的最大值为．……………………………12分21．解：(1) 的定义域为，. ………………………………………1分(i)当时，恒成立，时，，在上单调递增；时，，在上单调递减；……………………2分(ii) 当时，由得，（舍去），①当，即时，恒成立，在上单调递增；……3分②当，即时，或时，恒成立，在，单调递增；时，恒成立，在上单调递减；……………4分③当即时，或时，恒成立，在单调递增；时，恒成立，在上单调递减；……………5分综上，当时，单调递增区间为，单调递减区间为；当时，单调递增区间为，无单调递减区间；当时，单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，单调递增区间为，单调递减区间为．…………………………………………………6分(2)由(1)知，当时，单调递增区间为，单调递减区间为，又因为，…………………………………7分取，令，，则在成立，故单调递增，，，（注：此处若写“当时，”也给分）所以有两个零点等价于，得，所以．……………………………………………………………8分当时，，只有一个零点，不符合题意；当时，在单调递增，至多只有一个零点，不符合题意； (9)分当且时，有两个极值，，，记，…………………………………10分，令，则.当时，，在单调递增；当时，，在单调递减．故，在单调递增．时，，故．……………………11分又，由(1)知，至多只有一个零点，不符合题意．综上，实数的取值范围为. ……………………………………12分（二）选考题：共10分．请在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．解：(1) 依题意，直线的直角坐标方程为，的直角坐标方程为．…………………………………………………2分由得，因为，………………………………………3分所以，………………………………………………………4分所以曲线的参数方程为（为参数）．……………………5分（2）联立得，……………………………6分同理，．……………………………………………………………7分又，………………………………………………………………………8分所以，…………………9分即的面积为．……………………………………………………………10分23．解：（1）当时，原不等式可化为，……………………1分①当时，，解得，所以；…………………………2分②当时，，解得，所以；…………………3分③当时，，解得，所以．…………………………4分综上所述，当时，不等式的解集为．…………………………5分（2）不等式可化为，依题意不等式在上恒成立，……………………………6分所以，即，即，…………………………8分所以，解得，故所求实数的取值范围是．………………………………10分。