【小初高学习]2017年春中考数学总复习 第五单元 四边形 第21讲 矩形、菱形和正方形试题
2017人教版中考数学复习课件第一部分第五章四边形 第21讲 矩形、菱形、正方形
考点三
正方形的性质与判定
例 3 (2016· 威海 )如图，在△ ABC 和△ BCD 中， ∠ BAC＝∠ BCD＝ 90° ， AB＝ AC， CB＝ CD．延长 CA 至点 E， 使 AE＝ AC； 延长 CB 至点 F， 使 BF＝ BC． 连 接 AD， AF， DF， EF；延长 DB 交 EF 于点 N.
考点二
菱形的性质与判定
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例 2 (2016· 聊城 )如图， 在 Rt△ ABC 中，∠ B＝ 90° ，点 E 是 AC 的 中点 ， AC ＝ 2AB ， ∠ BAC 的平分线 AD 交 BC 于 点 D， 作 AF∥ BC， 连接 DE 并 延长交 AF 于点 F， 连接 FC． 求 证：四边形 ADCF 是菱形．
考点二 菱形的 定义
菱形的性质和判定 有一组 邻边相等 的平行四边形叫 做菱形
(1)菱形具有平行四边形所有的性质； (2)菱形的四条边 相等 ， 对角线互相 垂直 菱形的 性质 平分 ，并且每条对角线平分一组对角； (3)菱形既是轴对称图形，又是中心对称图 形． 两条对角线所在的直线是它的对称轴， 它的对称中心就是 对角线的交点 ； (4)菱形的面积等于对角线乘积的 一半
(1)求证： AD＝ AF； (2)求证： BD＝ EF； (3)试判断四边形 ABNE 的形状，并说明理由．
【点拨】 (1)要想证明 AD＝ AF，只需要根据条件 证 明 △ ABF≌△ ACD 即 可 ； (2) 首 先 根 据 (1) 中 △ ABF≌△ ACD 得出∠ FAB＝∠ DAC，然后结合已知 条件证明△ AEF≌△ ABD，即可得出结论；(3)根据有 三个角是直角的四边形是矩形，证明四边形 ABNE 是 矩形，再结合一组邻边 AE＝ AB，即可得出结论．
中考数学总复习 第五单元 四边形 第21课时 矩形、菱形、正方形数学课件
解: (2)证明:∵四边形 ABCD 是菱形,
BD 交于点 O,∠ABC∶∠BAD=1∶2,BE∥AC,CE∥BD.
∴∠BOC=90°.
(2)求证:四边形 OBEC 是矩形.
∵BE∥AC,CE∥BD,
∴∠OBE=∠BOC=∠OCE=90°,
∴四边形 OBEC 是矩形.
图 21-8
第十六页，共三十一页。
∴MN∥BC,∴∠CBN=∠MNB,∵∠PNB=3∠CBN,∴∠PNM=2∠CBN.
第十一页，共三十一页。
图21-6
高频考向探究
2.[2015·云南 22 题] 如图 21-6,在矩形 ABCD 中,AB=4,AD=6,M,N 分别是 AB,CD 的中点,P 是 AD 上的点,且
∠PNB=3∠CBN.
③若 AE=AF,则平行四边形 ABCD 是菱形;
图21-7
④若平行四边形 ABCD 是菱形,则 AE=AF,其中,结论正确的是
第十三页，共三十一页。
(只需填写正确结论的序号).
高频考向探究
[答案] ①③④
[解析] ①由等边三角形的性质得出∠EAF=60°,AE=AF,求出∠C=120°,由平行四边形的性质得出 AB∥CD,得出
1
1
2
2
④由菱形的性质得出 BC=CD,由面积相等得出 BC·AE= CD·AF,得出 AE=AF,④正确;即可得出结论.
[方法模型] 判定一个四边形是矩形或菱形时,一般先判定它是平行四边形.若要判定是矩形,则再通过找角或对角线
的关系进一步证明是矩形;若要判定是菱形,则进一步说明邻边相等或对角线互相垂直.
2
∴∠ABC+∠BAD=180°.
又∵∠ABC∶∠BAD=1∶2,
中考数学总复习 第一部分 教材同步复习 第五章 四边形 第21讲 矩形、菱形、正方形课件
相等、互相垂直平分→正方形 矩形中―点―四边→形菱形 补充菱形中―点―四边→形矩形 正方形中―点―四边→形正方形
12/9/2021
• 7．下列说法中，错误的是（D ） • A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 • B．两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 • C．四个角都相等的四边形是矩形 • D．邻边相等的菱形是正方形
124/9/2021
2．（2018·江西 10 题 3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AD＝3，将矩形 ABCD 绕 点 A 逆时针旋转，得到矩形 AEFG，点 B 的对应点 E 落在 CD 上，且 DE＝EF，则 AB 的长为__3___2___.
125/9/2021
命题点2 菱形的性质与判定（5年4考） 3．（2014·江西 13 题 3 分）如图，是将菱形 ABCD 以点 O 为中心按顺时针方向 分别旋转 90°，180°，270°后形成的图形．若∠BAD＝60°，AB＝2，则图中阴影部分 的面积为___1_2_－__4__3_________.
∠CGF＝90°－∠ECD． ∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD．∴∠DAF＝∠CGF. 又∵∠EGA＝∠CGF，∴∠DAF＝∠EGA．∴EA＝例2 （2018·乌鲁木齐）如图，在四边形 ABCD 中，∠BAC＝90°，E 是 BC 的 中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD 于点 F. （1）求证：四边形 AECD 是菱形； 思路点拨
在△ABE 和△ADF 中，B∠EB＝＝D∠FD，， ∠AEB＝∠AFD，
∴△AEB≌△AFD（ASA），∴AB
＝AD，∴□ABCD 是菱形．
1229/9/2021
（2）解：如答图，连接 BD 交 AC 于 O. ∵四边形 ABCD 是菱形，AC＝6，∴AC⊥BD，AO＝OC
中考数学总复习 第五单元 四边形 第21课时 多边形课件
高频考向探究
探究(tànjiū)二
正多边形的相关计算6年4考
例 2[2018·贵阳] 如图 21-3,点 M,N 分别是正五边形 ABCDE 的两
边 AB,BC 上的点,且 AM=BN,点 O 是正五边形的中心,则∠MON
的度数是
[答案] 72
[解析] 连接 OA,OB.∵OA=OB,∠OAM
=∠OBN,AM=BN,∴△ OAM≌△OBN,
高频考向探究
探究一 多边形的相关(xiāngguān)计算6年1考
例 1 [2018·宿迁] 若一个多边形的内角和是其外角和的 3 倍,则
这个多边形的边数是
.
[方法模型] 做有关多边形的题目时,关键是掌握多边形的边
数与内角和、外角和的关系,n(n≥3)边形的外角和是 360°,内
角和是(n-2)×180°,并且常与方程的思想相结合.
图21-2
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第十三页，共二十七页。
高频考向探究
4.在一个多边形中,一个内角相邻的外角与其他各内角的和
为 600°.
解:(1)设这个外角的度数是 x°,则
(5-2)×180-(180-x)+x=600,解得 x=120.
(1)如果这个多边形是五边形,请求出这个外角的度数.
(2)是否存在符合题意的其他多边形?如果存在,请求出边数
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[答案] 八
[解析] 设多边形的边数是 n,根据题意
得,(n-2)·180°=3×360°,解得 n=8,
∴这个多边形为八边形.
高频考向探究
明考向
1.[2016·河北 22 题] 已知 n 边形的内角和 θ=(n-2)×180°.
中考数学总复习 第五单元 四边形 第21课时 特殊平行四边形(考点突破)课件
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强化训练
考点二：矩形的性质(xìngzhì)和判定 例2（2018•玉林）如图，在▱ABCD中，DC＞AD，四个角的平分线AE，DE，BF，CF的交点 分别是E，F，过点E，F分别作DC与AB间的垂线MM'与NN'，在DC与AB上的垂足(chuízú)分 别是M，N与M′，N′，连接EF． （1）求证：四边形EFNM是矩形； （2）已知：AE=4，DE=3，DC=9，求EF的长．
No 平行四边形.。矩形的性质：矩形的对角线互相平分且相等。30°或150°
Image
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归纳 拓展 (guīnà)
注意以下要点：
(1)菱形(línɡ xínɡ)的对角线互相垂直且平分； (2)菱形的邻边相等； (3)菱形的对角线分别平分两组内角.
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强化训练
考点三:正方形的性质(xìngzhì)和判定
例5（2018•武汉）以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数(dùshu)是
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强化训练
考点(kǎo diǎn)二：矩形的性质和判定
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强化训练
考点二：矩形(jǔxíng)的性质和判定
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强化训练
考点二：矩形(jǔxíng)的性质和判定
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中考数学复习方案 第五单元 四边形 第21课时 多边形与平行四边形课件
(2)若α=60°,F为AC的中点,如图21-8②,求证:四边形BEDF是平行四边形.
图21-8
第二十二页，共三十七页。
(1)解:根据旋转的性质得,∠DCE=∠ACB=30°,
∠DEC=∠ABC=90°,CA=CD,
180°-∠
∴∠ADC=∠DAC=
2
=75°.
∵∠EDC=90°-∠ACD=60°,
第二十一页，共三十七页。
2
=36°.
考向二 平行四边形的性质(xìngzhì)及判定
例2[2019·福建]在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°.将△ABC绕点C顺时针旋转一个(yī ɡè)角
度α得到△DEC,点A,B的对应点分别为D,E.
(1)若点E恰好落在边AC上,如图21-8①,求∠ADE的大小;
[答案(dáàn)]
50°
四边形ABCD中,∠C=40°,过点D作AD的垂线,交 [解析]∵四边形ABCD是平行四边形,
AB于点E,交CB的延长线于点F,则∠BEF的度
∴DC∥AB,∴∠C=∠ABF.
数为
又∵∠C=40°,∴∠ABF=40°.
.
∵EF⊥AD,AD∥BF,∴EF⊥BF,
∴∠F=90°,∴∠BEF=90°-40°=50°.
BE,若▱ABCD的周,AD=BC.
(
∵平行四边形的周长(zhōu chánɡ)为28,
)
A.28
B.24
∴AB+AD=14.∵OE⊥BD, ∴OE是线段BD
C.21
D.14
的中垂线,∴BE=ED,
∴△ABE的周长
=AB+BE+AE=AB+AD=14.
[答案(dáàn)] 36
中考数学 教材知识梳理 第5单元 四边形 第22课时 矩形、菱形、正方形
平分且___相__等___
OB
(4)对角线平分一组对角
∠DAC＝∠CAB＝∠DCA＝ ∠ACB＝∠ADB＝∠BDC＝
∠ABD＝∠DBC＝45°
(5)正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有4条
对称轴
(二) 中考考点梳理
3．判定
文字描述
字母表示(参考上图)
(1)一组邻边相等且有一 若四边形ABCD是平行四边形，且
2．性质
文字描述 (1)菱形的四条边都
__相__等____
(2)菱形的对角相等
字母表示(参考上图) AB＝BC＝CD＝DA
∠DAB＝∠DCB，∠ADC ＝_∠__A__B_C__
(二) 中考考点梳理
续表：
文字描述
字母表示(参考上图)
(3)菱形的两条对角线互 相_垂__直__平__分__，且每条 对角线平分一组对角
④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件，
使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，
其中错误的是( B )
A．选①②
B．选②③
C．选①③
D．选②④
(三) 中考题型突破
2．(2016河北二模)如图，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝ 2 2 ，E，F分别为边AB，CD上的点，若四边形 AECF为正方形，则∠D的度数为( B ) A．30° B．45° C．60° D．75°
(三) 中考题型突破
5．(2016荆门模拟)已知：如图，在四边形ABCD中， AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE＝CF， DF∥BE，AC平分∠BAD. 求证：四边形ABCD为菱形．
(三) 中考题型突破
证明：∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF.
∵DF∥BE，∴∠BEF＝∠DFE，
中考数学总复习 第一篇 知识 方法 固基 第五单元 四边形 第21讲 矩形、菱形、正方形课件
2.应用菱形性质(xìngzhì)计算的一般思路:
因菱形的四条边相等,菱形对角线互相垂直,故常借助对角线垂直和勾股定
理来求线段长.也可以根据菱形既是轴对称图形,又是中心对称图形,结合
它的对称性得出的一些结论来计算.
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第二十三页，共三十九页。
考法1
判定其为矩形.
2.应用矩形性质计算的一般思路
(1)根据矩形的四个角都是直角,一条对角线将矩形分成两个直角三角形,
用勾股定理或三角函数求线段的长.
(2)矩形对角线相等且互相平分,矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角
形,在利用矩形性质进行相关的计算时,可利用面积法,建立等量关系.
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又B'D'=2,故设BC=x,
1
则 CD=x-2,EB'=BE=3x,
2
∴AE=AB-BE=3x-2.
由∠EB'C=∠B=90°,易证△CDB'∽△B'AE,
∴CD∶B'A=B'C∶B'E=3∶1,
-2
.
3
ห้องสมุดไป่ตู้
∴B'A=
在 Rt△B'AE 中,由勾股定理,得
-2
3
2
+
2
2
-2
3
=
2
1
,
3
整理,得x2-7x+10=0,解得x1=5,x2=2(不合(bùhé)题意,舍去),矩形纸片ABCD
第八页，共三十九页。
D
D. 41
)
S矩
命题(mìng
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第21讲 矩形、菱形和正方形
1．(2016·无锡)下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是( C ) A ．对角线相等 B ．对角线互相平分 C ．对角线互相垂直 D ．邻边互相垂直 2．(2015·重庆模拟)如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若∠ACB＝30°，AB ＝2，则BD 的长为( A ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
3．(2016·台湾)如图，有一▱ABCD 与一正方形CEFG ，其中E 点在AD 上．若∠ECD＝35°，∠AEF ＝15°，则∠B 的度数是( C )
A ．50°
B ．55°
C ．70°
D ．75°
4．(2016·绥化)如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，CE ∥BD ，DE ∥AC ，若AC ＝4，则四边形OCED 的周长为( B )
A ．4
B ．8
C ．10
D ．12
5．(2016·枣庄)如图，四边形ABCD 是菱形，AC ＝8，DB ＝6，DH ⊥AB 于H ，则DH 等于( A ) A.
245 B.12
5
C ．5
D ．4
6．(2015·日照)小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB ＝BC ；②∠ABC＝90°；③AC＝BD ；④A C⊥BD 中选两个作为补充条件，使▱ABCD 为正方形(如图)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是( B )
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．②④
7．(2016·龙东)如图，在▱ABCD 中，延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，连接EB ，EC ，DB.请你添加一个条件答案不唯一，如：CD ＝BE ，使四边形DBCE 是矩形．
8．(2016·西宁)如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BD 的中点，若EF ＝2，则菱形ABCD 的周长是16．
9．(2016·昆明)如图，E ，F ，G ，H 分别是矩形ABCD 各边的中点，AB ＝6，BC ＝8，则四边形EFGH 的面积是24．
10．(2016·青岛)如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为BC 上一点，CE ＝5，F 为DE 的中点．若△CEF 的周长为18，则OF 的长为3.5．
11．(2016·广州)如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，若AB ＝AO ，求∠ABD 的度数．
解：∵四边形ABCD 为矩形， ∴AO ＝BO. 又∵AB＝AO ， ∴AB ＝AO ＝BO.
∴△ABO 为等边三角形． ∴∠ABD ＝60°.
12．(2016·云南)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2，BE ∥AC ，CE ∥BD. (1)求tan ∠DBC 的值；
(2)求证：四边形OBEC 是矩形．
解：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ，∠DBC ＝1
2∠ABC.
∴∠ABC ＋∠BAD＝180°. 又∵∠ABC∶∠BAD＝1∶2， ∴∠ABC ＝60°.
∴∠DBC ＝1
2∠ABC＝30°.
∴tan ∠DBC ＝tan30°＝
33
. (2)证明：∵BE∥AC，CE ∥BD ， ∴四边形OBEC 是平行四边形． ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，即∠BOC＝90°. ∴四边形OBEC 是矩形．
13．(2016·贺州)如图，AC 是矩形ABCD 的对角线，过AC 的中点O 作EF⊥AC，交BC 于点E ，交AD 于点F ，连接AE ，CF.
(1)求证：四边形AECF 是菱形；
(2)若AB ＝3，∠DCF ＝30°，求四边形AECF 的面积．(结果保留根号)
解：(1)证明：∵点O 是AC 的中点，且EF⊥AC， ∴AF ＝CF ，AE ＝CE ，OA ＝OC.
∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC. ∴∠AFO ＝∠CEO. 在△AOF 和△COE 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧∠AFO＝∠CEO，∠AOF ＝∠COE，OA ＝OC ，
∴△AOF ≌△COE(AAS)．∴AF＝CE. ∴AF ＝CF ＝CE ＝AE. ∴四边形AECF 是菱形．
(2)∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝ 3.
在Rt △CDF 中，cos ∠DCF ＝CD
CF ，∠DCF ＝30°，
∴CF ＝
CD
cos30°
＝2.
∵四边形AECF 是菱形，∴CE ＝CF ＝2. ∴四边形AECF 的面积为EC·AB＝2 3.
14．(2016·菏泽)在▱ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，当▱ABCD 的面积最大时，下列结论正确的有( B ) ①AC ＝5；②∠A＋∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD.
A ．①②③
B ．①②④
C ．②③④
D ．①③④
15．(2016·淄博)如图，正方形ABCD 的边长为10，AG ＝CH ＝8，BG ＝DH ＝6，连接GH ，则线段GH 的长为( B ) A.
835 B ．2 2 C.14
5
D ．10－5 5
16．(2016·南京)如图，菱形ABCD 的面积为120 cm 2
，正方形AECF 的面积为50 cm 2
，则菱形的边长为13cm.
17．(2015·凉山)菱形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(2，0)，∠DOB ＝60°，点P 是对角线OC
上一个动点，E(0，－1)，当EP ＋BP 最短时，点P
18．(2016·株洲)如图，已知正方形ABCD 中，BC ＝3，点E 、F 分别是CB 、CD 延长线上的点，DF ＝BE ，连接A E 、AF 、ED ，过点A 作AH⊥ED 于H 点． (1)求证：△ADF≌△ABE；
(2)若BE ＝1，求tan ∠AED 的值．
解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD ＝AB ，∠ADC ＝∠ABC＝90°. ∴∠ADF ＝∠ABE＝90°. 在△ADF 与△ABE 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧AD ＝AB ，∠ADF ＝∠ABE，DF ＝BE ，
∴△ADF ≌△ABE(SAS)．
(2)在Rt △ABE 中，∵AB ＝BC ＝3，BE ＝1， ∴AE ＝10，ED ＝CD 2
＋CE 2
＝5.
∵S △AED ＝12AD·BA＝1
2ED·A H ，
∴12×3×3＝1
2×5·AH. 解得AH ＝1.8.
在Rt △AHE 中，∵AE ＝10，AH ＝1.8， ∴EH ＝2.6.
∴tan ∠AED ＝AH EH ＝1.82.6＝9
13.
19．(人教8下教材P67T1(3)变式)如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BF C 为( C )
A．45° B．55° C．60° D．75°。