全国版2019版高考数学一轮复习第6章不等式第2讲一元二次不等式及其解法增分练
2019年高考数学一轮总复习第六章不等式、推理与证明6.2一元二次不等式及其解法课时跟踪检测理
[基 础 达 标]1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( )A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[1,2)D ．(1,2]解析：A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}， 由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}， 所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}． 答案：D2．不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )解析：由根与系数的关系得1a ＝－2＋1，－c a＝－2，得a ＝－1，c ＝－2，∴f (x )＝－x2－x ＋2(经检验知满足题意)，∴f (－x )＝－x 2＋x ＋2，其图象开口向下，顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，94.答案：B3．(2018届昆明模拟)不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2)∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5]解析：x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.答案：A 4．不等式2x ＋1<1的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－1,1)解析：∵2x ＋1<1，∴2x ＋1－1<0，即1－x x ＋1<0，该不等式可化为(x ＋1)(x －1)>0，∴x <－1或x >1.答案：A5．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的值的集合是( ) A ．{a |0<a <4} B ．{a |0≤a <4} C ．{a |0<a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4}解析：集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅， 等价于ax 2－ax ＋1<0无解．当a ＝0时，原不等式可化为1<0，满足条件； 当a ≠0时，由ax 2－ax ＋1<0无解，得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a ≤0，解得0<a ≤4， 综上可知，0≤a ≤4. 答案：D6．若关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根大于－2且小于0，另一个根大于1且小于3，则( )A ．a <2B ．a >－12C ．－22<a <0D ．－12<a <0解析：设f (x )＝3x 2－5x ＋a ，则由题意有⎩⎪⎨⎪⎧f －2 >0，f 0 <0，f 1 <0，f 3 >0，即⎩⎪⎨⎪⎧22＋a >0，a <0，－2＋a <0，12＋a >0.解得－12<a <0.故选D. 答案：D7．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3解析：解法一：不等式可化为ax ≥－x 2－1，由于x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，所以a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x . 因为f (x )＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是减函数，所以⎝⎛⎭⎪⎫－x －1x max ＝－52.所以a ≥－52. 解法二：令f (x )＝x 2＋ax ＋1，对称轴为x ＝－a2.①⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≤0，f 0 ≥0⇒a ≥0.(如图1)②⎩⎪⎨⎪⎧ 0<－a 2<12，f －a2 ≥0⇒－1<a <0.(如图2)③⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≥12，f 12 ≥0⇒－52≤a ≤－1.(如图3)综上①②③，a ≥－52.故选C.答案：C8．已知对于任意的a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)C ．(1,2)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：记g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，a ∈[－1,1]，依题意，只需⎩⎪⎨⎪⎧g 1 >0，g －1 >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2>0，x 2－5x ＋6>0⇒x <1或x >3，故选B.答案：B9．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集， ∴Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16.∴a >4或a <－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)10．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝________.解析：因为关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(－2a,4a )， 又x 2－2ax －8a 2<0(a >0)解集为(x 1，x 2)， 则x 1＝－2a ，x 2＝4a ， 由x 2－x 1＝6a ＝15，得a ＝52.答案：5211．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． 解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3， ∴原不等式可化为a 2－6a －3<0， 解得3－23<a <3＋2 3.∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3， 等价于⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a 6－a3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.12．(1)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥2恒成立，求a 的取值范围；(2)对于满足|a |≤2的所有实数a ，求使不等式x 2＋ax ＋1>2x ＋a 成立的x 的取值范围． 解：(1)解法一：令f (x )在[－2,2]上的最小值为g (a )． 当－a2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥2，所以a ≤53，与a >4矛盾，所以a 不存在．当－2≤－a2≤2，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 24－a ＋3≥2， －22－2≤a ≤22－2， 所以－4≤a ≤22－2.当－a2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥2，所以a ≥－5，所以－5≤a <－4. 综上所述－5≤a ≤22－2.解法二：在x ∈[－2,2]时，f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥2恒成立⇔a (x －1)≥－x 2－1恒成立，当x ＝1时，a ∈R ；当1<x ≤2时，a ≥－x 2－1x －1；当－2≤x <1时，a ≤－x 2－1x －1.接下来通过恒成立问题的等价转化，变成最值问题即可求解．(2)原不等式转化为(x －1)a ＋x 2－2x ＋1>0，设g (a )＝(x －1)a ＋x 2－2x ＋1，则g (a )在[－2,2]上恒大于0，故有⎩⎪⎨⎪⎧g －2 >0，g 2 >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0，x 2－1>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >3或x <1，x >1或x <－1.所以x <－1或x >3.[能 力 提 升]1．已知a ＝(1，x )，b ＝(x 2＋x ，－x )，m 为实数，求使m (a·b )2－(m ＋1)a·b ＋1<0成立的x 的范围．解：因为a·b ＝x 2＋x －x 2＝x ，所以m (a·b )2－(m ＋1)a·b ＋1<0⇔mx 2－(m ＋1)x ＋1<0. ①当m ＝0时，不等式等价于x >1；②当m ≠0时，不等式等价于m ⎝⎛⎭⎪⎫x －1m (x －1)<0.a ．m <0时，不等式等价于x >1或x <1m； b ．0<m <1时，不等式等价于1<x <1m；c ．m ＝1时，不等式等价于x ∈∅；d ．m >1时，不等式等价于1m<x <1.综上所述，原不等式成立的x 的范围为2．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围； (2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 解：(1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ， ∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立， 当a ＝0时，1≥0恒成立． 当a ≠0时，需满足题意，则需⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝ 2a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0,1]．(2)f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a x ＋1 2＋1－a ， 由题意及(1)可知0<a ≤1， ∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ， 由题意得，1－a ＝22， ∴a ＝12，∴不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34<0.解得－12<x <32，∴不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.。
高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明第二节一元二次不等式及其解法课件文
所以f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2， f(x)＞0恒成立，即b2－b－2＞0恒成立，
解得b＜－1或b＞2．∴b的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)
角度三：形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围
3．对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值 恒大于零，求x的取值范围．
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
13是ax2＋bx＋2＝0的两根，
则a＝－12，b＝－2．
所以a＋b＝－14．
答案：－14
1．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时 的情形．
2．当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意 区别．
3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．
[小题纠偏]
解：要使 f(x)＜－m＋5 在[1,3]上恒成立，则 mx2－mx＋m－6 ＜0，即 mx－122＋34m－6＜0 在 x∈[1,3]上恒成立． 因为 x2－x＋1＝x－122＋34＞0，又因为 m(x2－x＋1)－6＜0，所 以 m＜x2－6x＋1． 因为函数 y＝x2－6x＋1＝x－1262＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需 m＜67即可．因为 m≠0，所以 m 的取值范围是(－∞，0)∪0，67．
高考数学总复习 基础知识 第六章 第二节一元二次不等式及其解法 理
高考数学总复习基础知识第六章第二节一元二次不等式及其解法理1、会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型、2、通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系、3、会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图、知识梳理一、一元二次不等式的概念1、我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式、2、使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的解集、二、二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2＝有两相等实根x1＝x2＝－没有实根一元二次不等式的解集ax2＋bx＋c>0 (a>0){x|x<x1或x>x2}(x1＜x2)Rax2＋bx＋c<0(a>0){x|x1<x<x2}(x1＜x2)∅∅三、求解一元二次不等式的程序框图四、一元二次不等式的解法一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集的确定受a的符号和b2－4ac的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，求得不等式的解集、若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为ax2＋bx＋c＞0(或＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根x1，x2(x1<x2)，此时Δ＝b2－4ac>0，则可根据“大于取两边，小于夹中间”求得解集、五、高次不等式与分式不等式的解法1、高次不等式的解法：先将最高次项的系数化为正数，然后分解因式，将相应方程的所有根画在数轴上，采取“数轴标根”法(或称穿针引线法)得出不等式的解集、数轴标根法的操作过程：(1)把不等式变形为一边是一次因式的积，另一边是0的形式；(2)各因式中x的系数全部变为1，约去偶次因式；(3)把各个根从小到大依次排好标出，从数轴最左端向右端依次取根判断，并“引线”；(4)严格检查因式的根(特别是约去的偶次因式的根)是否在解集内、2、分式不等式的解法：将分式不等式转化为整式不等式，通过“穿针引线”法得出不等式的解集、>0(<0)可转化为f(x)g(x)>0(<0)；≥0(≤0)可以转化为,基础自测1、不等式x2>x的解集是()A、B、C、D、∪解析：由x2>x得x(x－1)>0，所以解集为∪、故选D、答案：D2、(xx青海质检)不等式x2－4>3|x|的解集是()A、(－∞，－4)∪(4，＋∞)B、(－∞，－1)∪(4，＋∞)C、(－∞，－4)∪(1，＋∞)D、(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：因为|x|2－3|x|－4>0，所以(|x|－4)(|x|＋1)>0，所以|x|>4，得x>4或x<－4，故选A、答案：A3、不等式>1的解集是________________、解析：∵>1⇒－1>0⇒>0，∴x＋2<0⇒x<－2、答案：4、(xx江西卷改编)若全集U＝{x∈R|x2≤4}，则集合A＝{x∈R||x＋1|≤1}的补集∁UA为__________、解析：因为全集U ＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，所以∁UA＝{x∈R|0<x≤2}、答案：{x|0<x≤2}1、(xx安徽卷)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为()A、{x|x<－1或x>－lg2}B、{x|－1<x<－lg2}C、{x|x>－lg2}D、{x|x<－lg2}解析：由已知条件知不等式f(x)＞0的解集为x，所以－1＜10x＜，但10x＞0，所以有0＜10x＜，解得x＜lg ＝－lg2、答案：D2、(xx重庆卷)不等式≤0的解集为()A、B、C、∪D、∪解析：≤0⇒⇒－<x≤1、故选A、答案：A1、(xx韶关二模)已知全集U＝R，且A＝{x||x－1|＞2}，B＝{x|x2－6x＋8＜0}，则∁UA∩B等于()A、(2,3)B、[2,3]C、(2,3]D、(－2,3]解析：A＝{x|x＞3或x＜－1}，∁UA＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，所以(∁UA)∩B＝(2,3]，故选C、答案：C2、已知函数f(x)＝若f(6－a2)>f(5a)，则实数a的取值范围是________、解析：∵f(x)为定义在R上的单调递增函数，∴6－a2>5a，即a2＋5a－6<0，解得－6<a<1、答案：(－6,1)。
高考数学一轮复习第6章 第2节 一元二次不等式及其解法
3.会解一元二次不等式， 参数的范围问题也是热点．
对给定的一元二次不等 2.从考查形式看，以选择题、填空
式，会设计求解的程序框 题为主，有时也穿插于解答题中
图.
考查，属于中档题.
单击此处编辑母版文本样式
第二级
• 第三级
– 第四级
ax2＋bx＋c<0(a>0)
»第五级
ax2＋bx＋c>0(a>0)
【典例剖析】
(1)(2013·南充模拟)已知不等式 x2－2x－3<0 的解集
为 A，不等式 x2＋x－6<0 的解集为 B，不等式 x2＋ax＋b<0 的解
集为 A∩B，则 a＋b 等于
A．－3
B．1
C．－1
D．3
(2)解下列不等式：
①－3x2－2x＋8≥0；②x＋2≥3x.
题号 (1) (2)
C．{x|x<－2»或第五x>级3}
D．{x|x>3}
单击此处编辑母版文本样式
第二级
解析：• 第由三题级意知 2,4 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的解，且 a<0. ∴b＝－6–a第，四c＝级8a. ∴不等式 cx»2＋第b五x＋级a<0 即为 8ax2－6ax＋a<0，
∴8x2－6x一元二次方程根与系数的关
系解题． ①按一元二次不等式的解法步骤求解； ②移项、通分、转化为一元二次不等式求解.
(1)解析：由题意知 A＝{x|－1<x<3}， B＝{x|－1<x<2}， ∴A∩B＝{x|－1<x<2}， ∴方程 x2＋ax＋b＝0 的两根为－1,2. ∴－ －11＋ ×22＝ ＝－b. a， ∴ab＝ ＝－ －12， ， ∴a＋b＝－3.
高考数学一轮复习 第六章 不等式 6.2 一元二次不等式及其解法课件
12/8/2021
第十八页，共三十九页。
当2a<－1，即－2<a<0 时，解得2a≤x≤－1. 综上所述，当 a＝0 时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当－2<a<0 时，不等式的解集为x2a≤x≤－1
；
当 a＝－2 时，不等式的解集为{－1}；
பைடு நூலகம்
当 a<－2 时，不等式的解集为x－1≤x≤2a
.
1．思考辨析 判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)a>b⇔ac2>bc2.( × )
(2)若方程 ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实数根，则不等式 ax2＋bx＋c>0
的解集为 R.( × )
(3)不等式 ax2＋bx＋c≤0 在 R 上恒成立的条件是 a<0 且 Δ＝b2－
4ac≤0.( × )
12/8/2021
第二十二页，共三十九页。
2．求不等式 12x2－ax>a2(a∈R)的解集． 解：原不等式可化为 12x2－ax－a2>0， 即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0， 解得 x1＝－a4，x2＝a3. 当 a>0 时，不等式的解集为 －∞，－a4∪a3，＋∞； 当 a＝0 时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当 a<0 时，不等式的解集为 12/8/202－1 ∞，a3∪－a4，＋∞.
解析：当 k＝0 时，不等式 kx2－6kx＋k＋8≥0 化为 8≥0，其 对任意的 x∈R 恒成立；当 k<0 时，不等式 kx2－6kx＋k＋8≥0 不 能恒成立；当 k>0 时，要使不等式 kx2－6kx＋k＋8≥0 对任意的 x ∈R 恒成立，对于方程 kx2－6kx＋k＋8＝0，需 Δ＝36k2－4(k2＋ 8k)≤0，得 0<k≤1.综上，实数 k 的取值范围是[0,1]，故选 A．
全国版2019版高考数学一轮复习第6章不等式第2讲一元二次不等式及其解法课件201805092225
不等式
第 2讲
一元二次不等式及其解法
板块一 知识梳理· 自主学习
[必备知识] 考点 1 一元二次不等式的解法 1．将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数 大于 零的不等式 ax2＋bx＋c>0(a>0)或 ax2＋bx＋c<0(a>0)． 2．计算相应的 判别式 ． 3．当 Δ≥0 时，求出相应的一元二次方程的根． 4． 利用二次函数的图象与 x 轴的 交点 确定一元二次 不等式的解集．
(2)原不等式化为 (ax－1)(x－1)<0. ①当 a＝0 时，其解为 x>1； 1 ②当 0<a<1 时，其解为 1<x&;x<1； a ④当 a＝1 时，无解； ⑤当 a<0 x>1.
1 时， 不等式化为x－ 其解为 (x－ 1)>0， a
1 x< 或 a
综上所述 a＝0 时，不等式解集为{x|x>1}； 0<a<1 a>1 a<0
1 时，不等式解集为x1<x< a
；
1 | <x<1； x 时，不等式解集为 a 1 x < 或 x >1 时，不等式解集为 x a
解析
a－ 2<0， ∵ ∴－2<a<2，另 a＝2 时，原式化 Δ<0，
为－4<0，不等式恒成立，∴－2<a≤2.故选 B.
板块二 典例探究· 考向突破
考向 例 1 (1)0<x2－x－2≤4；
一元二次不等式的解法
解下列关于 x 的不等式：
(2)ax2－(a＋1)x＋1<0.
2019届高考文数一轮复习课件：第6章 第2讲 一元二次不等式及其解法
(1)已知不等式 x2－2x－3＜0 的解集为 A， 不等式 x2＋x－6
＜0 的解集为 B，不等式 x2＋ax＋b＜0 的解集为 A∩B，则 a＋b 等于 ( ) A．－3 C．－1 B．1 D．3
[解析] 由题意得，A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜}， ∴A∩B＝{x|－1＜x＜2}，由根与系数的关系可知，a＝－1， b＝－2，则 a＋b＝－3，故选 A.
2
2k<0， 3 则必有 解得－3<k<0. 2 Δ＝k －4×2k×－8<0，
[答案] D
2．设 a 为常数，对于∀x∈R，ax2＋ax＋1>0，则 a 的取值范围 是( ) A．(0,4) C．(0，＋∞) B．[0,4) D．(－∞，4)
[解析] 对于∀x∈R，ax2＋ax＋1>0，
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
)
(4)× (5)√
x－1 2．不等式 <0 的解集为( x＋2 A．(1，＋∞) C．(－2,1)
) B．(－∞，－2) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
[解析] 原不等式化为(x－1)(x＋2)<0，解得－2<x<1，故原不等 式的解集为(－2,1)． [答案] C
12 3 mx－2 ＋4m－6<0
在 x∈[1,3]上恒成立．
有以下两种方法：
法一：令
12 3 g(x)＝m x－2 ＋4m－6，x∈[1,3]．
当 m＞0 时，g(x)在[1,3]上是增函数， 所以 g(x)max＝g(3)⇒7m－6＜0， 6 6 所以 m＜7，所以 0＜m＜7； 当 m＝0 时，－6＜0 恒成立； 当 m＜0 时，g(x)在[1,3]上是减函数， 所以 g(x)max＝g(1)⇒m－6＜0，所以 m＜6，所以 m＜0. 综上所述，m
2019版高考一轮总复习数学(理科)课件：第六章 不等式、推理与证明 第二节 一元二次不等式及其解法
1．解一元二次不等式的步骤：(1)使一端为 0 且把二次项系数化 为正数； (2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别 式法；(3)写出不等式的解集． 2．解含参数的一元二次不等式的步骤： (1)二次项系数若含有参数应讨论是等于 0， 小于 0， 还是大于 0， 然后将不等式转化为二次项系数为正的形式． (2)判断方程的根的个数，讨论判别式 Δ 与 0 的关系． (3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论 两根的大小关系，从而确定解集形式．
a a2 a2 a 1 ③若 0≤－ < ，即－1<a≤0 时，则应有 f－2＝ － ＋1＝1 2 2 2 4
a2 － ≥0 恒成立，故－1<a≤0. 4 5 5 综上可知 a≥－ ，故 a 的最小值为－ . 2 2 答案：(1)B 5 (2)－ 2
1．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地， 知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数． 2．对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相应的二次 函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴上方， 恒小于 0 就是相应的二 次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方． 另外常转化为求二次 函数的最值或用分离参数法求最值．
某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为 10 万元/辆， 出 厂价为 12 万元/辆，年销售量为 10 000 辆．本年度为适应市场需求， 计划提高产品质量， 适度增加投入成本． 若每辆车投入成本增加的比 例为 x(0<x<1)，则出厂价相应地提高比例为 0.75x，同时预计年销售 量增加的比例为 0.6x， 已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系 式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的 比例 x 应在什么范围内？
【名师A计划】(全国通用)高考数学一轮复习 第六章 不等式 第二节 一元二次不等式及其解法课件 理
.
2
4.-2 【解析】由题意可知 m<0,且-1,2 是方程 mx2+2x+4=0 的两根,则-1+2=- , ������ 解得 m=-2. 5.若一元二次不等式 ax2+bx+c>0 的解集为(x1,x2)(x1· x2<0),则不等式 cx2-bx+a<0 的解集为 .
������ ������ 5. 【解析】由题意可知������ < 0, ������1+������2= − ������ , ������ 1·������ 2= ������ < 0, 所以������ ������ 2 ������ 0, 所求不等式的解集在两根之间, 又所求不等式等价于 ������ ������ − ������ ������ + 1 > 1 1 - ������ ,- ������ 2 1
1.三个二次(一元二次不等式、二次函数、一元二次方程)之间的关系
判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数 y=ax2+bx+c(a>0) 的图象
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0)的根
有两个不等实根 有两相等实根 b x1,x2 x1=x2=2a
没有实数根 R ⌀
不等式 ax2+bx+c>0(a>0)的 {x|x<x1 或 x>x2} 解集 不等式 ax2+bx+c<0(a>0)的 {x|x1<x<x2} ⌀ 解集
������-������ (3) ≥0⇔ ������-������
4.常用的数学方法与思想
高考数学一轮复习 第六章 第二节 一元二次不等式及其
第二节 一元二次不等式及其解法高频考点考点一 一元二次不等式的解法1．一元二次不等式的解法是高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，难度适中，属中档题．2．高考对一元二次不等式解法的考查常有以下几个命题角度： (1)直接考查一元二次不等式的解法；(2)与函数的奇偶性等相结合，考查一元二次不等式的解法； (3)已知一元二次不等式的解集求参数．[例1] (1)(2013·广东高考)不等式x 2＋x －2<0的解集为______________．(2)(2013·江苏高考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________________．(3)(2013·重庆高考)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( )A.52B.72C.154D.152[自主解答] (1)由x 2＋x －2<0，得(x －1)(x ＋2)<0，∴－2<x <1，即不等式x 2＋x －2<0的解集为{x |－2<x <1}．(2)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0，又当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝x 2＋4x .又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－x 2－4x (x <0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ，0，－x 2－4x ，x >0，x ＝0，x <0.①当x >0时，由f (x )>x ，得x 2－4x >x ，解得x >5；②当x ＝0时，f (x )>x 无解；③当x <0时，由f (x )>x ，得－x 2－4x >x ，解得－5<x <0.综上得不等式f (x )>x 的解集用区间表示为(－5,0)∪(5，＋∞)．(3)法一：∵不等式x 2－2ax －8a 2<0的解集为(x 1，x 2)，∴x 1，x 2是方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根．由韦达定理知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2，∴x 2－x 1＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝2a2－4－8a2＝15，又∵a >0，∴a ＝52.法二：由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，∵a >0，∴不等式x 2－2ax －8a 2<0的解集为(－2a,4a )，又∵不等式x 2－2ax －8a 2<0的解集为(x 1，x 2)， ∴x 1＝－2a ，x 2＝4a .∵x 2－x 1＝15，∴4a －(－2a )＝15，解得a ＝52.[答案] (1){x |－2<x <1} (2)(－5,0)∪(5，＋∞) (3)A一元二次不等式的解法问题的常见类型及解题策略(1)直接求解一元二次不等式．①对于常系数一元二次不等式，可以用因式分解法或判别式法求解；②对于含参数的不等式，首先需将二次项系数化为正数，若二次项系数不能确定，则需讨论它的符号，然后判断相应的方程有无实根，最后讨论根的大小，即可求出不等式的解集．(2)与函数的奇偶性相结合的一元二次不等式的解法．先借助函数的奇偶性确定函数的解析式，然后求解，或直接根据函数的性质求解．(3)已知一元二次不等式的解集求参数．根据根与系数的关系求解． 1．已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，即Δ＝(－a )2－8a <0，∴0<a <8，即a 的取值范围是(0,8)．答案：(0,8)2．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析：∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝0，∴b －a 24＝0，∴f (x )＝x 2＋ax ＋a 24＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22.又∵f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，∴m ，m ＋6是方程x 2＋ax ＋a 24－c ＝0的两根．由一元二次方程根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋6＝－a ，m m ＋6＝a 24－c ，解得c ＝9.答案：93．解关于x 的不等式：x 2－(3＋a )x ＋3a >0.解：∵x 2－(3＋a )x ＋3a >0，∴(x －3)(x －a )>0.①当a <3时，x <a 或x >3，不等式的解集为{x |x <a 或x >3}；②当a ＝3时，不等式为(x －3)2>0，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠3}； ③当a >3时，x <3或x >a ，不等式的解集为{x |x <3或x >a }．考点二 一元二次不等式的恒成立问题[例2] 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．[自主解答] (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，显然－1<0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0.所以m 的取值范围为(－4,0]．(2)要使f (x )<－m ＋5在[1,3]上恒成立，只需mx 2－mx ＋m <6恒成立(x ∈[1,3])，又因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，所以m <6x 2－x ＋1.令y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，因为t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上是增函数，所以y ＝6x 2－x ＋1在[1,3]上是减函数．因此函数的最小值y min ＝67.所以，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67. 【互动探究】在本例条件下，求使f (x )<0，且|m |≤1恒成立的x 的取值范围．解：将不等式f (x )<0整理成关于m 的不等式为(x 2－x )m －1<0.令g (m )＝(x 2－x )m －1，m ∈[－1,1]．则⎩⎪⎨⎪⎧ g －1<0，g 1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x －1<0，x 2－x －1<0，解得1－52<x <1＋52，即x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，1＋52.【方法规律】不等式恒成立问题的求解方法(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数求最值．已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．解：法一：f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a .①当a ∈(－∞，－1)时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3. 要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ， 即2a ＋3≥a ，解得－3≤a ＜－1；②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，由2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1.综上所述，所求a 的取值范围为[－3,1]．法二：令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，a <－1，g －1≥0.解得－3≤a≤1.故a的取值范围是[－3,1]．考点三一元二次不等式的实际应用[例3] 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件．现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品每件销售价每提高1元，销售量就要减少10件，则他将销售价每件定为多少元时，才能使得每天所获的利润最大？销售价每件定为多少元时，才能保证每天所获的利润在300元以上？[自主解答] 设每件提高x元(0≤x≤10)，则每件获利润(2＋x)元，每天可销售(100－10x)件，又设每天获的利润为y元，由题意有y＝(2＋x)(100－10x)＝－10x2＋80x＋200.当x＝4时，y取得最大值360.∴当售价定为每件14元时，每天所获利润最大，为360元．要使每天所获的利润在300元以上，则有－10x2＋80x＋200>300，即x2－8x＋10<0，解得4－6<x<4＋ 6.故每件定价在(4－6)元到(4＋6)元之间[不含(4－6)元和(4＋6)元]时，才能保证每天所获的利润在300元以上．【方法规律】求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义．(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．某农贸公司按每担200元收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．(1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．解：(1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元．依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝150a(100＋2x)·(10－x)(0<x<10)．(2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元)．依题意得150a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，化简得x2＋40x－84≤0，解得－42≤x≤2.又∵0<x<10，∴0<x≤2.即x的取值范围为(0,2]．———————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————1个过程——一元二次不等式的求解过程解一元二次不等式的一般过程是：一看(看二次项系数的符号)，二算(计算判别式，判断方程根的情况)，三写(写出不等式的解集)．2种思想——分类讨论和转化思想(1)分类讨论的思想：含有参数的一元二次不等式一般需要分类讨论．在判断方程根的情况时，判别式是分类的标准；需要表示不等式的解集时，根的大小是分类的标准．(2)转化思想：不等式在指定范围的恒成立问题，一般转化为求函数的最值或值域问题．3个注意点——解含参数不等式应注意的问题(1)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数为零的情况．(2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．(3)不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．。
高考数学一轮总复习(知识梳理+聚焦考向+能力提升)6.2 一元二次不等式及其解法课件 理
当 1－k≤a<1 时，d′(a)>0，d(a)单调递增；
当 1<a≤1＋k 时，d′(a)<0，d(a)单调递减．
第二十一页，共33页。
C 聚焦考向透考析向 三 二次函数与二次不等式综合(zōnghé)问题
例题(lìtí)精编
(2013·高考安徽卷)设函数f(x)＝ax－(1 ＋a2)x2，其中a＞0，区间I＝{x|f(x)＞ 0}． (1)求I的长度(注：区间(α，β)的长度 定义(dìngyì)为β－α)； (2)给定常数k∈(0，1)，当1－k≤a≤1＋ k时，求I长度的最小值．
(2)给定常数k∈(0，1)，当1－k≤a≤1 ＋k时，求I长度的最小值．
第十九页，共33页。
C 聚焦考向透析 考 向 三 二次函数与二次不等式综合(zōnghé)问题
例题(lìtí)精编
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
(2013·高考安徽卷)设函数f(x)＝ax－(1＋ a2)x2，其中(qízhōng)a＞0，区间I＝{x|f(x) ＞0}．
首页 尾页 上页 下页
第二页，共33页。
考纲 点击
1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．
2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次 函数、一元二次方程的关系．
3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式， 会设计求解的程序框图．
考纲点击
基础知识梳理
聚焦考向透析 学科能力提升
第三页，共33页。
(3)一元二次不等式恒成立的条件 ①ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是： a＞0且b2－4ac＜0(x∈R)． ②ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是：a＜0且b2－4ac＜0(x∈R)．
高考数学一轮复习 第6章 不等式 第2讲 一元二次不等式及其解法课件
(2)若关于 x 的不等式 ax2－x＋2a<0 的解集为∅，则实数 a 的取值范围是______ _42_，__＋__∞___ _____．
解析 依题意可知，问题等价于 ax2－x＋2a≥0 恒成 立，
当 a＝0 时，－x≥0 不恒成立； 当 a≠0 时，要使 ax2－x＋2a≥0 恒成立， 即 f(x)＝ax2－x＋2a 的图象不在 x 轴的下方，
12/11/2021
触类旁通 解决一元二次不等式恒成立问题的方法
(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相 应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴上方，恒 小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法 求最值．
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数， 一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就 是参数．
12/11/2021
考点 2 三个二次之间的关系
判别式
Δ＝b2－
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
4ac
二次函数
y＝ax2＋bx
＋c (a>0)
的图象
12/11/2021
一元二次方程 有 两相异 ax2＋bx＋c＝0 实根 x1，x2
(a>0)的根 (x1<x2)
有 两相等 实根 x1＝x2＝－2ba
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集
12/11/2021
本例中(1)变为：若 f(x)<0 对于 m∈[1,2]恒成 立，求实数 x 的取值范围．
解 设 g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其图象是直 线，当 m∈[1,2]时，图象为一条线段，
2019年《·高考总复习》数学：第六章 第2讲 一元二次不等式及其解法
3
(续表)
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
一元二次方程ax2＋ bx＋c＝0的根
有两相异实根x1,2＝
－b± b2－4ac _____2_a________
ax2＋bx＋c>0 解集 ax2＋bx＋c<0解集
{x|x<x1或x>x2} {x|x1<x<x2}
Δ＝0 有两相同实根
x1,2＝－2ba
xx≠－2ba
(2)若对于任意实数b，函数f(x)＝ax2＋bx－b总有两个相 异的不动点，求实数a的取值范围.
2019年8月10日
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身体健康，学业有成，金 榜题名！
24
解：(1)因为ff－ 1＝3＝ 1，－3， 所以a9＋ a－b－ 3bb－＝b1＝，－3， 所以ab＝ ＝13， .
2019年8月10日
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身体健康，学业有成，金 榜题名！
9
解析：因为 x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2＞0，x＋8 可能是正 数、负数或零，所以由 x＋8＜2(x2＋2x＋3)可得x2＋x＋2x8＋3＜2. 所以与不等式x2＋x＋2x8＋3＜2 解集相同的是 x＋8＜2(x2＋2x＋3). 故选 B.
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身体健康，学业有成，金 榜题名！
11
(4)不等式1x<1 的解为____________. 解析：1x<1⇔1x－1<0⇔1－x x<0⇔x－x 1>0，解得 x<0 或 x>1.
答案：x<0或x>1
【规律方法】解一元二次不等式的一般步骤是：①化为标 准形式，即不等式的右边为零，左边的二次项系数为正；②确 定判别式Δ的符号；③若Δ≥0，则求出该不等式对应的一元二 次方程的根；若Δ＜0，则对应的一元二次方程无根；④结合二 次函数的图象得出不等式的解集.特别地，若一元二次不等式的 左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第2讲 一元二次不等式及其解法板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．[2018·潍坊模拟]函数f (x )＝1－x 2＋4x －的定义域是( )A ．(－∞，1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－∞，2)∪(2，＋∞)D ．(1,2)∪(2,3)答案 D解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x －3>0，－x 2＋4x －3≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，x ≠2，故函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,3)．2．关于x 的不等式x 2＋px －2<0的解集是(q,1)，则p ＋q 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 答案 B解析 依题意得q,1是方程x 2＋px －2＝0的两根，q ＋1＝－p ，即p ＋q ＝－1.选B. 3．[2018·郑州模拟]已知关于x 的不等式ax －1x ＋1>0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则a 的值为( )A ．－1 B.12 C ．1 D ．2答案 D解析 由题意可得a ≠0且不等式等价于a (x ＋1)( x － ⎭⎪⎫1a>0，由解集的特点可得a >0且1a ＝12，故a ＝2.故选D. 4．[2018·福建模拟]若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4) B ．[0,4) C ．(0,4] D ．[0,4] 答案 D解析 由题意知a ＝0时，满足条件．a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0<a ≤4，所以实数a 的取值范围是[0,4]．5．[2018·梧州模拟]不等式2x ＋1<1的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1,1) 答案 A 解析 ∵2x ＋1<1，∴2x ＋1－1<0，即1－xx ＋1<0，该不等式可化为(x ＋1)(x －1)>0，∴x <－1或x >1.6．不等式(2x －1)(1－|x |)<0成立的充要条件是( ) A ．x >1或x <12B ．x >1或－1<x <12C ．－1<x <12D ．x <－1或x >12答案 B解析 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0，1－|x |<0或⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<0，1－|x |>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x >12，x >1或x <－1或⎩⎪⎨⎪⎧x <12，－1<x <1.∴x >1或－1<x <12.故选B.7．[2018·重庆模拟]关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( )A.52B.72C.154D.152 答案 A解析 由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2.故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝52.故选A.8．[2018·青岛模拟]不等式2x 2－3|x |－35>0的解集为________． 答案 {x |x <－5或x >5}解析 2x 2－3|x |－35>0⇔2|x |2－3|x |－35>0⇔(|x |－5)(2|x |＋7)>0⇔|x |>5或|x |<－72(舍)⇔x >5或x <－5. 9．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为________．答案 (－2,3)解析 依题意知，⎩⎪⎨⎪⎧－13＋12＝－2a，－13×12＝ca ，∴解得a ＝－12，c ＝2，∴不等式－cx 2＋2x －a >0，即为－2x 2＋2x ＋12>0，即x 2－x －6<0，解得－2<x <3.所以不等式的解集为(－2,3)．10．对于任意a ∈[－1,1]，f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于0，那么x 取值范围是________．答案 (－∞，1)∪(3，＋∞)解析 令g (a )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，由题意得g (－1)>0且g (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0，解得x <1或x >3.[B 级 知能提升]1．[2018·保定模拟]若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1C ．(1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－235答案 A解析 由Δ＝a 2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解，只需满足f (5)>0，即a >－235.2．[2018·辽宁模拟]若不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0]答案 D解析 当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38<0，解得－3<k <0.综上，满足不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．3．[2018·西安质检]在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc .若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________．答案 32解析 原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1， 即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立，x 2－x －1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤32.4．[2018·池州模拟]已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R. (1)求a 的取值范围； (2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 解 (1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ， ∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立， 当a ＝0时，1≥0恒成立． 当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a2－4a ≤0，解得0<a ≤1，综上，a 的取值范围是[0,1]． (2)∵f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝ax ＋2＋1－a ，∵a >0，∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ， 由题意，得1－a ＝22，∴a ＝12. ∴x 2－x －⎝ ⎛⎭⎪⎫122－12<0，即(2x ＋1)(2x －3)<0，－12<x <32.故不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.5．已知函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0.当x ∈(－3,2)时，f (x )>0.(1)求f (x )在[0,1]内的值域；(2)若ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R ，求实数c 的取值范围．解 (1)因为当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0，当x ∈(－3,2)时，f (x )>0，所以－3,2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根，可得⎩⎪⎨⎪⎧－3＋2＝－b －8a，－3×2＝－a －aba，所以a ＝－3，b ＝5，f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋18.75，函数图象关于x ＝－12对称，且抛物线开口向下，所以在区间[0,1]上f (x )为减函数，所以函数的最大值为f (0)＝18，最小值为f (1)＝12，故f (x )在[0,1]内的值域为[12,18]．(2)由(1)知，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0化为－3x 2＋5x ＋c ≤0，因为二次函数y ＝－3x 2＋5x＋c 的图象开口向下，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3<0，Δ＝b 2－4ac ≤0，即25＋12c ≤0⇒c ≤－2512，所以实数c 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－2512.。