2014-2015年浙江省台州市三门县城关中学八年级上学期期中数学试卷和答案

2014-2015学年浙江省台州市三门县城关中学八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列图形中具有不稳定性的是（）A．长方形B．等腰三角形C．直角三角形D．锐角三角形3．（3分）小芳有两根长度为4cm和9cm的木条，他想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择的木条的长度只能是（）A．5 cm B．3 cmC．17 cm D．12 cm4．（3分）在直角坐标系中，点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（﹣1，2）B．（2，﹣1）C．（﹣1，﹣2）D．（1，﹣2）5．（3分）如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，则△ABD 的面积是（）A．2 B．5 C．10 D．206．（3分）如图，AB∥DC，AB=DC，要使∠A=∠C，直接利用三角形全等的判定方法是（）A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS7．（3分）小明在镜子里看到自己的像在用右手拿着梳子向左梳头，那么他实际是（）A．用右手向左梳头 B．用左手向右梳头C．用右手向右梳头 D．用左手向左梳头8．（3分）若n边形恰好有n条对角线，则n为（）A．4 B．5 C．6 D．79．（3分）如图，△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，当∠A的位置及大小变化时，线段EF和BE+CF的大小关系（）A．EF＞BE+CF B．EF=BE+CF C．EF＜BE+CF D．不能确定10．（3分）如图，△ABC的中线BE与CD交于点G，连结DE，下列结论不正确的是（）A．点G叫做△ABC的重心B．S△ADC=2S△BDEC．S△BDG=S△CEG D．S△ABC=3S△ADE二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）一个外角和与内角和相等的多边形是．12．（3分）如图，如果直线m是多边形ABCDE的对称轴，其中∠A=130°，∠B=110°．那么∠BCD的度数等于度．13．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，这样的点P共有个．14．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，DE是AB的中垂线，△BCE的周长为14，BC=6，则AB的长为．15．（3分）已知△ABC的三边长a、b、c，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的结果是．16．（3分）如图是用黑白两种颜色的正六边形地砖，按规律拼成的若干个图案，按此规律请你写出：第5个图案中有白色地砖块；第n块图案中有白色地砖块．三、解答题（本题有8小题，第17～18题每题4分，第19～21题每题6分，第22，23题每题8分，第24题10分，共52分）17．（4分）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图）（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；（2）在DE上画出点Q，使△QAC的周长最小．18．（4分）已知等腰三角形底角的度数是顶角度数的三倍少15°，求这个等腰三角形顶角的度数．19．（6分）如图，已知∠ACB=∠ADB=90°，AC=AD，E在AB上，连接CE、DE （1）请你找出与点E有关的所有全等的三角形．（2）选择（1）中的一对全等三角形加以证明．20．（6分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=30°，求∠DAE的度数．21．（6分）如图所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．求证：BF=2CF．22．（8分）如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC．CF平分∠DCE．求证：（1）△ACD≌△BEC；（2）CF⊥DE．23．（8分）如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠B n A n C 的平分线A n B n+1折叠，点B n与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称∠BAC是△ABC的好角．小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情况．情形一：如图2，沿等腰三角形△ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿△ABC的∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下的部分沿∠B1A1C 的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．探究发现：（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？．（填“是”或“不是”）（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n 次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为．应用提升：（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°，60°，105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角，请你完成，如果一个三角形的最小角是18°，试直接写出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．24．（10分）学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题：如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60度．（1）请你完成这道思考题；（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上”改为“点M，N 分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？…请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①；②；③．并对②，③的判断，选择一个给出证明．2014-2015学年浙江省台州市三门县城关中学八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，故A符合题意；B、不是轴对称图形，故B不符合题意；C、不是轴对称图形，故C不符合题意；D、不是轴对称图形，故D不符合题意．故选：A．2．（3分）下列图形中具有不稳定性的是（）A．长方形B．等腰三角形C．直角三角形D．锐角三角形【解答】解：等腰三角形，直角三角形，锐角三角形都具有稳定性，长方形不具有稳定性．故选：A．3．（3分）小芳有两根长度为4cm和9cm的木条，他想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择的木条的长度只能是（）A．5 cm B．3 cmC．17 cm D．12 cm【解答】解：设木条的长度为lcm，则9﹣4＜l＜9+4，即5＜l＜13．故选：D．4．（3分）在直角坐标系中，点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（﹣1，2）B．（2，﹣1）C．（﹣1，﹣2）D．（1，﹣2）【解答】解：点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为：（1，﹣2）．故选：D．5．（3分）如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，则△ABD 的面积是（）A．2 B．5 C．10 D．20【解答】解：过D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，∴DC⊥AC，∵AD平分∠BAC，CD=2，∴CD=DE=2，∴S=×AB×DE=×5×2=5，△ABD故选：B．6．（3分）如图，AB∥DC，AB=DC，要使∠A=∠C，直接利用三角形全等的判定方法是（）A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS【解答】解：∵AB∥∥DC，∴∠ABD=∠CDB，在△ABD和△CDB中∵，∴△ABD≌△CDB（SAS），∴∠A=∠C．故选：B．7．（3分）小明在镜子里看到自己的像在用右手拿着梳子向左梳头，那么他实际是（）A．用右手向左梳头 B．用左手向右梳头C．用右手向右梳头 D．用左手向左梳头【解答】解：根据镜面对称的性质，当你面对镜子的时候，右手拿着梳子向左梳头，对于镜子中的像来说是左手拿着梳子，向右梳头．故选：B．8．（3分）若n边形恰好有n条对角线，则n为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：依题意有=n，n（n﹣5）=0，解得n=0（不合题意舍去）或n=5．故选：B．9．（3分）如图，△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，当∠A的位置及大小变化时，线段EF和BE+CF的大小关系（）A．EF＞BE+CF B．EF=BE+CF C．EF＜BE+CF D．不能确定【解答】解：由BD平分∠ABC得，∠EBD=∠ABC，∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC=2∠EBD，∠AEF=∠EBD+∠EDB，∴∠EBD=∠EDB，∴△BED是等腰三角形，∴ED=BE，同理可得，DF=FC，（△CFD是等腰三角形）∴EF=ED+EF=BE+FC，∴EF=BE+CF．故选：B．10．（3分）如图，△ABC的中线BE与CD交于点G，连结DE，下列结论不正确的是（）A．点G叫做△ABC的重心B．S△ADC=2S△BDEC．S△BDG=S△CEG D．S△ABC=3S△ADE【解答】解：∵△ABC的中线BE与CD交于点G，∴G是△ABC的重心，故（A）正确；∵△ABC的中线BE与CD交于点G，=S△ADC=S△ABC，S△BDE=S△ABE，∴S△ABE=2S△BDE，故（B）正确；∴S△ADC∵△ABC的中线BE与CD交于点G，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=BC，=S△BCE，∴S△BCD∴S=S△CEG，故（C）正确；△BDG∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，=4S△ADE，故（D）错误；∴S△ABC故选：D．二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）一个外角和与内角和相等的多边形是四边形．【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意得（n﹣2）•180°=360°，解得n=4．故答案是：四边形．12．（3分）如图，如果直线m是多边形ABCDE的对称轴，其中∠A=130°，∠B=110°．那么∠BCD的度数等于60度．【解答】解：把AE与直线m的交点记作F，∵在四边形ABCF中，∠A=130°，∠B=110°，且直线m是多边形的对称轴；∴∠BCD=2∠BCF=2×（360°﹣130°﹣110°﹣90°）=60°．故填60°．13．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，这样的点P共有6个．【解答】解：如图，①AB的垂直平分线交AC一点P 1（PA=PB），交直线BC于点P2；②以A为圆心，AB为半径画圆，交AC有二点P3，P4，交BC有一点P2，（此时AB=AP）；③以B为圆心，BA为半径画圆，交BC有二点P5，P2，交AC有一点P6（此时BP=BA）．故符合条件的点有6个．故答案为：6．14．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，DE是AB的中垂线，△BCE的周长为14，BC=6，则AB的长为8．【解答】解：∵DE是AB的中垂线∴AE=BE，∵△BCE的周长为14∴BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=14∵BC=6∴AC=8∴AB=AC=8．故填8．15．（3分）已知△ABC的三边长a、b、c，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的结果是2（b﹣c）．【解答】解：∵△ABC的三边长分别是a、b、c，∴a+b＞c，b﹣a＜c，∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，∴|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|=a+b﹣c﹣（﹣b+a+c）=a+b﹣c+b﹣a﹣c=2（b﹣c）；故答案为：2（b﹣c）16．（3分）如图是用黑白两种颜色的正六边形地砖，按规律拼成的若干个图案，按此规律请你写出：第5个图案中有白色地砖22块；第n块图案中有白色地砖4n+2块．【解答】解：第一个图形中有6块白色地砖；第二个图形中有6+4=10块白色地砖；第三个图形中有6+2×4=14块白色地砖；第4个图形中有6+3×4=18块白色地砖；第5个图形中有6+4×4=22块白色地砖；…第n个图形中有6+（n﹣1）×4=4n+2块白色地砖．故答案为：22，4n+2．故答案为：18，4n+2．三、解答题（本题有8小题，第17～18题每题4分，第19～21题每题6分，第22，23题每题8分，第24题10分，共52分）17．（4分）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图）（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；（2）在DE上画出点Q，使△QAC的周长最小．【解答】解：（1）所作图形如图所示：（2）如图所示：利用轴对称图形的性质可得点C关于直线DE的对称点C1，连接AC1，交直线DE于点Q，点Q即为所求，此时△QAC的周长最小．18．（4分）已知等腰三角形底角的度数是顶角度数的三倍少15°，求这个等腰三角形顶角的度数．【解答】解：设顶角为x度，则底角为（3x﹣15）°，则：3x﹣15+3x﹣15+x=180，解得：x=30，所以这个等腰三角形顶角的度数是30°．19．（6分）如图，已知∠ACB=∠ADB=90°，AC=AD，E在AB上，连接CE、DE （1）请你找出与点E有关的所有全等的三角形．（2）选择（1）中的一对全等三角形加以证明．【解答】（1）△ACE≌△ADE，△BCE≌△BDE；（2）在RT△ABC和RT△ABD中，，∴△ABC≌△ABD（HL），∴∠CAB=∠DAB，在△ACE和△ADE中，，∴△ACE≌△ADE（SAS）．20．（6分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=30°，求∠DAE的度数．【解答】解：在△ABC中∠BAC=180﹣∠B﹣∠C=80°，又∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=40°，在直角△ACD中，∠DAC=90﹣∠C=60°，∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAC=20°．21．（6分）如图所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．求证：BF=2CF．【解答】证明：连接AF，（1分）∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C==30°，（1分）∵AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，∴CF=AF（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），∴∠FAC=∠C=30°（等边对等角），（2分）∴∠BAF=∠BAC﹣∠FAC=120°﹣30°=90°，（1分）在Rt△ABF中，∠B=30°，∴BF=2AF（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），（1分）∴BF=2CF（等量代换）．22．（8分）如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC．CF平分∠DCE．求证：（1）△ACD≌△BEC；（2）CF⊥DE．【解答】证明：（1）∵AD∥BE，∴∠A=∠B，在△ACD和△BEC中∴△ACD≌△BEC（SAS），（2）∵△ACD≌△BEC，∴CD=CE，又∵CF平分∠DCE，∴CF⊥DE．23．（8分）如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠B n A n C 的平分线A n B n+1折叠，点B n与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称∠BAC是△ABC的好角．小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情况．情形一：如图2，沿等腰三角形△ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿△ABC的∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下的部分沿∠B1A1C 的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．探究发现：（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？是．（填“是”或“不是”）（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系∠B=3∠C．根据以上内容猜想：若经过n 次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C．应用提升：（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°，60°，105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角，请你完成，如果一个三角形的最小角是18°，试直接写出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．【解答】解：（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角；理由如下：小丽展示的情形二中，∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，∴∠B=∠AA1B1；又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，∴∠A1B1C=∠C；∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C（外角定理），∴∠B=2∠C；故答案是：是；（2）∠B=3∠C；在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C 的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则∠BAC是△ABC的好角．证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1B1C=∠A1A2B2，∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1﹣∠A1B1C=∠BAC+2∠B﹣2C=180°，根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠B=3∠C；由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C；故答案为：∠B=3∠C；∠B=n∠C（3）由（2）知，∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，因为最小角是18°是△ABC的好角，根据好角定义，则可设另两角分别为18m°，18mn°（其中m、n都是正整数）．由题意，得18m+18mn+18=180，所以m（n+1）=9．因为m、n都是正整数，所以m与n+1是9的整数因子，因此有：m=1，n+1=9；m=3，n+1=3；所以m=1，n=8；m=3，n=2；所以18m=18°，18mn=144°；18m=54°，18mn=108°．所以该三角形的另外两个角的度数分别为：18°，144°；54°，108°；24．（10分）学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题：如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60度．（1）请你完成这道思考题；（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上”改为“点M，N 分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？…请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①是；②是；③否．并对②，③的判断，选择一个给出证明．【解答】（1）证明：在△ABM和△BCN中，，∴△ABM≌△BCN（SAS），∴∠BAM=∠CBN，∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°．（2）①是；②是；③否．②的证明：如图，在△ACM和△BAN中，，∴△ACM≌△BAN（SAS），∴∠AMC=∠BNA，∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°﹣60°=120°，∴∠BQM=60°．③的证明：如图，在Rt△ABM和Rt△BCN中，，∴Rt△ABM≌Rt△BCN（SAS），∴∠AMB=∠BNC．又∵∠NBM+∠BNC=90°，∴∠QBM+∠QMB=90°，∴∠BQM=90°，即∠BQM≠60°．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。