第十一章 组合变形
04-11007拉伸(压缩)与弯曲的组合变形(2)
A
60°
D FAy FAxA
C
B
8kN
30°
C
B
FC
z
MA 0,
FC sin 30 2.5 8 4 0 FC 25.6 kN
Fx 0, FAx FC cos 30 22.2kN
Fy 0, FAy 8 FC sin 30 0
FAy 4.8 kN
例：三角形托架受力如图所示,杆AB为16号工字钢，A=26.1cm2 ，Wz=141cm3， 已知钢的［σ］＝100MPa。试（1）画AB杆内力图；（2）校核AB杆的强度。
2103 61.2103 3.07 MPa 0.1 0.15 0.1 0.152
例：三角形托架受力如图所示,杆AB为16号工字钢，A=26.1cm2 ，Wz=141cm3， 已知钢的［σ］＝100MPa。试（1）画AB杆内力图；（2）校核AB杆的强度。
2.5m
8kN
1.5m
解：1. 对AB进行受力分析
A
Bb
l
组合变形。 内力图如图所示
2kN FN
危险截面为固定端A截面
1.2 kNm M
FN=2kN M 1 1.2 1.2kNm
max
F2
例：矩形截面悬臂梁受力如图所示，已 z 知l=1.2m，b=100mm，h=150mm，
h
F1 F1=2kN，F2=1kN。试求梁横截面上的最
A
Bb
大拉应力和最大压应力及位置。
l
解续： FN=2kN
M 1.2kNm
max
最大拉应力发生在固定端A截面上边缘
tmax
FN A
Mmax Wz
FN 6mMax bh bh2
2 103
工程力学第十一章 组合变形
土建工程中的混凝土或砖、石偏心受压柱，往往不 允许横截面上出现拉应力。这就是要求偏心压力只能作 用在横截面形心附近的截面核心内。
要使偏心压力作用下杆件横截面上不出现拉应力， 那么中性轴就不能与横截面相交，一般情况下充其量只能 与横截面的周边相切，而在截面的凹入部分则是与周边外 接。截面核心的边界正是利用中性轴与周边相切和外接时 偏心压力作用点的位置来确定的。
解：拉扭组合:
7kNm T
50kN FN
安全
例11-8 直径为d的实心圆轴，
·B
P 若m=Pd，指出危险点的位置， 并写出相当应力 。
x
m
解：偏拉与扭转组合
z
C P P 例11-9 图示折角CAB，ABC段直径
d=60mm，L=90mm，P=6kN，[σ]＝
BA
60MPa，试用第三强度理论校核轴 x AB的强度。
例11-6 图示圆轴.已知,F=8kN,Me=3kNm,［σ］=100MPa, 试用第三强度理论求轴的最小直径.
解：(1) 内力分析
4kNm M
3kNm T
(2)应力分析
例11-7 直径为d=0.1m的圆杆受力如图，T=7kNm，P=50kN， []=100MPa，试按第三强度理论校核此杆的强度。
至于发生弯曲与压缩组合变形的杆件，轴向压力 引起的附加弯矩与横向力产生的弯矩为同向，故只有 杆的弯曲刚度相当大（大刚度杆）且在线弹性范围内 工作时才可应用叠加原理。
A M
F FN
+ ql2/8
+
B
+
=
C 10kN
A 1.6m
1.6m
10kN
1.2m
例11-3 两根无缝钢管焊接 而成的折杆。钢管外径 D=140mm，壁厚t=10mm。求 危险截面上的最大拉应力和 B 最大压应力。
组合变形
M y 187 N m
T 1020 N m
合弯矩：
2 M M y M z2 4402 187 2
478N m
第四强度理论：
W
r4
1 W
M 2 0.75T 2
603 109
32
21.2110 6 m3
危险截面: B 截面
T 21.7 N m M 26.7 N m
第三强度理论：
r3
W
1 W
M 2 T 2
T图
21.7 N m
353 109
32
2
4.2110 6 m3
2
r3
8.18MPa
26.7 21.7 4.21106
第四强度理论：
式中: T
r4
危险截面上的扭矩 危险截面上的合弯矩
M
M
实心轴 W
2 2 My Mz
D3
32 D3 空心轴 W 1 4 32
,
例题 8-5 45钢的传动轴AB的直径为35mm，许用应力为 85MPa。电动机功率P = 2.2kW,由带轮C 传入。带轮C转速为 966r/min,带轮的直径为 D = 132mm，带拉力为F+F’ = 600N。齿轮E的 d 节圆直径为： 1 50mm 。
Fz Fz F sin 240 F sin 300 257 N
二、作出轴的弯矩图 和扭矩图
T图
21.7 N m
My 图
7.43N m 20.4 N m 11.4 N m 24.1N m
Mz 图
材料力学 第11章 组合变形习题集
横截面m-m上任一点C(y，z)处由 弯矩Mz和My引起的正应力分别为
M z y M cos y M y z M sin z
Iz
Iz
Iy
Iy
38
C点的正应力
' ''
M
cos
Iz
y
sin
Iy
z
悬臂梁固定端截面A的弯矩Mz和My 均达到最大值，故该截
面是危险截面。设yo、zo为中性轴上任一点的坐标，并令σ
算 圆轴表面上与轴线成30°方位上的正应变。
32
解: (1)由内力图知，所有截面均为危险截面，危险点为靠近
轴表面的各点，应力状态如图。计算危险点的主应力。轴力
引起的正应力
FN 4F
A πd 2
扭矩引起的切应力
T M 8F
Wp Wp 5πd 2
危险点处的主应力为
1
2
(
)2
( )2
它在y、z两轴上的截距分别为
y* z* h / 2
该截面惯性半径的平方为
iy2
Iy A
h2 12
iz2
Iz A
b2 12
28
中性轴①对应的核心边界上点1的坐标为
ey1
iz2 y*
0
ez1
iy2 z*
h 6
按上述方法可求得与它们对应的截面核
心边界上的点2、3、4，其坐标依次为：
ey2
b 6
ez2 0
车臂的直径d。
18
解：两个缆车臂各承担缆车重量的一半，如 图。则缆车臂竖直段轴力为FN=W/2=3kN 弯矩为M=Wb/2=540N·m 危险截面发生在缆车臂竖直段左侧，由强度条件
动荷载、疲劳破坏
3 应力分析
y
z
b
a
绘出危险截面C上的正应力与切应力如左图示，由图知圆周边缘上的a,b两点有最大应力组合，故a,b两点为危险点，其值为
a
b
a,b两点处单元体的应力状态如图示为平面应力状态，其主应力为
4 强度计算
（因机轴一般为塑性材料，故用第三，四强度理论）
A式
B式
注：如果材料的抗拉压能力不同，则须分别对拉压强度进行计算
解决工程问题
校核强度
设计截面尺寸
确定许可载荷
第十一章 组合变形
θ+β=900 →→挠度 ω 作用面垂直于中性轴，不在外力作用面 。
Fz
01
------斜弯曲的特点
z
03
设β为挠度 ω 作用面与 y 轴的夹角则
ωy
02
斜弯曲梁的挠度计算 y Fy ωz ω
杆任一横截面上任一点的正应力为
y
z
A
B
D
E
z
y
A
B
D
E
z
y
A
B
D
E
A
B
E
D
中性轴
y
z
+
_
+
+
+
+
+
_
_
_
_
_
_
横截面上任一点H(y,z)处的正应力
引进惯性半径
3、中性轴的位置
第十一章 组合变形
最大正应力及强度条件
例1：最大起吊重量F1=80KN的起重机，安装在混凝土基础上。起重机支架的轴线通过基础的中心。起重机自重F3=180KN（不包含吊重F1和平衡锤重F2在内），其作用线通过基础底面的轴oy，且偏心距e=0.6m。已知矩形基础的截面宽b=3m. 求：1）基础的截面高h应为多少才能 使基础上不产生拉应力； 2）在所选的h值下，基础底面上的 最大压应力（已知混凝土 的容重 为22KN/m³).
第十一章 弯曲问题的进一步研究与组合变形
M z ,max Wz M y ,max Wy
19.3 103 5.18 103 6 402 10 48.3 106
155 106 Pa 155MPa
故此梁满足正应力强度条件
讨论：若F力的作用线与y轴重合，即＝0，则梁的最大正应力为 M max 20 103 6 max 49.8 10 Pa 49.8MPa 远小于155MPa 6 Wz 402 10
对称轴
FA
问题：当梁不具有纵向对称平面，或梁虽具有纵向对称平面，但 外力的作用面与该纵向对称平面间有一夹角，则该梁发生什么变 形呢？
F
F F
z
C
F
C
z
C
z
y
y
y
斜弯曲
斜弯曲
平面弯曲与扭转
工程中的许多受力构件往往同时发生两种或两种以上的基本变形， e 称为组合变形。 F
Me
F
（轴向压缩 和弯曲） 偏心压缩
a
z
C
wz
wy b
y
z
z
C
a
F
w
y
F
y
F
讨论： （1）若梁的截面是正方形，由于Iy=Iz，所以b =，故梁不会 发生斜弯曲，而发生平面弯曲。正多边形也是如此。 （2）若梁的截面是圆形，由于Iy=Iz，所以b =，故梁不会发 生斜弯曲，而发生平面弯曲。
例11-2 外力F通过截面形心，且与y方向的 夹角＝15°，材料许用应力[170MPa, 试校核此梁的强度。 解： 梁跨中截面上的弯矩最 2m 大，故为危险截面，该截面 上的弯矩值为 M Fl 1 20 4 20kN.m
例11-1 悬臂梁的横截面分别采用如图所示三种截面，在自由 端受集中力F作用，F力均通过这些截面的形心C。试指出这三 种截面梁各产生何种变形形式。
工程力学材料力学答案-第十一章
11-6 图示悬臂梁，横截面为矩形，承受载荷F 1与F 2作用，且F 1=2F 2=5 kN ，试计算梁内的最大弯曲正应力，及该应力所在截面上K 点处的弯曲正应力。
解：(1) 画梁的弯矩图(2) 最大弯矩（位于固定端）：max 7.5 M kN =(3) 计算应力： 最大应力：K 点的应力：11-7 图示梁，由No22槽钢制成，弯矩M =80 N.m ，并位于纵向对称面（即x-y 平面）内。
试求梁内的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。
解：(1) 查表得截面的几何性质：4020.3 79 176 z y mm b mm I cm ===(2) 最大弯曲拉应力（发生在下边缘点处）()30max880(7920.3)10 2.67 17610x M b y MPa I σ-+-⋅-⨯-⨯===⨯6max max max227.510176 408066ZM M MPa bh W σ⨯====⨯6max max 337.51030132 ********K ZM y M y MPa bh I σ⋅⋅⨯⨯====⨯x M1zM M z(3) 最大弯曲压应力（发生在上边缘点处）30max88020.3100.92 17610x M y MPa I σ---⋅⨯⨯===⨯ 11-8 图示简支梁，由No28工字钢制成，在集度为q 的均布载荷作用下，测得横截面C 底边的纵向正应变ε=3.0×10-4，试计算梁内的最大弯曲正应力，已知钢的弹性模量E =200 Gpa ，a =1 m 。
解：(1) 求支反力31 44A B R qa R qa ==(2) 画内力图(3) 由胡克定律求得截面C 下边缘点的拉应力为：49max 3.010******* C E MPa σε+-=⋅=⨯⨯⨯=也可以表达为：2max4C C z zqa MW W σ+== (4) 梁内的最大弯曲正应力：2maxmax max 993267.5 8C zz qa M MPa W W σσ+====qxxF SM11-14 图示槽形截面悬臂梁，F =10 kN ，M e =70 kNm ，许用拉应力[σ+]=35 MPa ，许用压应力[σ-]=120 MPa ，试校核梁的强度。
梁的组合变形
第十一章 组合变形11.1 组合变形的概念11.1.1 组合变形图11-1在以前各章节中分别讨论了杆件拉伸〔压缩〕、剪切、扭转和弯曲等根本变形。
但工程实际中构造的某些构件往往同时承受几种根本变形。
例如，图11-1)(a 表示小型压力机的框架。
为分析框架立柱的变形，将外力向立柱的轴线简化，如图11-1)(b ，可见立柱承受了由F 引起的拉伸和由Fa M e 引起的弯曲。
这类由两种或两种以上根本变形组合的情况，称为组合变形。
11.1.2 叠加原理在组合变形中的应用图11-2在材料服从虎克定律且变形很小的前提下，杆件上虽然同时存在着几种根本变形，但每一种根本变形都是各自独立、互不影响的。
即任一根本变形都不会改变另一种变形所引起的应力和变形。
于是，分别计算每一种根本变形各自引起的应力和变形，然后求出这些应力和变形的总和，便是杆件在原载荷作用下的应力和变形，这就是叠加原理在组合变形中的应用。
上述叠加原理的成立，除材料必须服从虎克定律外，小变形的限制也是必要的。
现以压缩与弯曲的组合变形来说明这一问题。
当弯曲变形很小，可以忽略不计时，图(a，弯矩可以按杆件变形前的位置来计算。
这时轴向力P和横向载荷q的影响11-2)是各自独立的，叠加原理可以使用。
反之，假设杆件的抗弯刚度较小，弯矩应按杆件(b，那么轴向压力P除引起轴力外，还将产生弯矩Pv，变形后的位置计算，图11-2)而挠度v又受P及q的共同影响。
显然，压力P及横向载荷q的作用并不是各自独立的。
在这种情况下，尽管杆件仍然是线弹性的，但叠加原理也不能成立。
11.1.3 组合变形的几种常见方式1.斜弯曲2.拉伸或压缩与弯曲的组合3.扭转和弯曲的组合11.2 斜弯曲11.2.1 斜弯曲的概念由第7章知，仅当作用于构件上的横向力的作用线通过弯曲中心，且垂直于截面的一根形心主惯性轴时，构件才发生平面弯曲。
在工程实际中，作用在杆件上的横向力虽然通过弯曲中心，但有时并不垂直于截面的形心主轴。
组合变形
第10章组合变形§10-1 组合变形的概念1.组合变形的概念组合变形：构件往往会发生两种或两种以上的基本变形的这类变形。
在前面各章分别讨论了杆件在拉(压)、剪切、扭转和弯曲基本变形时的应力和强度计算。
工程实际中，杆件在荷载作用下所发生的变形，经常是两种或两种以上基本变形的组合，这种变形称为组合变形。
例如图10．1(a)所示屋架檩条的变形，是由y/z两个方向的平面弯曲变形组成的斜弯曲；如图10．1(b)所示厂房柱，在偏心力F作用下，会发生压缩和弯曲的组合变形；如图10．1(c)所示的卷扬机轴在力F作用下，则发生弯曲和扭转的组合变行。
2．组合变形的分析方法及计算原理处理组合变形问题的方法：1.将构件的组合变形分解为基本变形；2.计算构件在每一种基本变形情况下的应力；3.将同一点的应力叠加起来，便可得到构件在组合变形情况下的应力。
叠加原理是解决组合变形计算的基本原理叠加原理应用条件：即在材料服从胡克定律，构件产生小变形，所求力学量定荷载的一次函数的情况下，计算组合变形时可以将几种变形分别单独计算，然后再叠加，即得组合变形杆件的内力、应力和变形。
计算原理：（1）圣维南原理以静力等效力系代替构件原有的荷载，为此，要求构件为细长杆，且所求应力的截面远离外力作用点；（2）叠加原理 按各基本变形计算后进行叠加，为此，要求构件处于线弹性范围内，且变形很小，可按构件的原始形状的尺寸进行计算。
在小变形和线弹性条件下，杆件上各种力的作用彼此独立，互不影响，即杆上同时有几种力作用时，一种力对杆的作用效果（变形或应力），不影响另一种力对杆的作用效果（或影响很小可以忽略）。
因此组合变形下杆件内的应力，可视为几种基本变形下杆件内应力的叠加。
本章中组合变形下杆件的应力计算，将以各基本变形的应力及叠加法为基础。
叠加法的主要步骤：a 、将组合变形按照各基本变形的条件，分解为几种基本变形，简称分解。
b 、利用基本变形的应力计算公式，分别计算各点处的正应力和切应力。
材料力学：第11章：组合变形
2
≤[σ]
2
M + 0.75T W
3
≤[σ]
πd
32
例：图示悬臂梁的横截面为等边三角形， 图示悬臂梁的横截面为等边三角形， C为形心，梁上作用有均布载荷ｑ，其作用方 为形心，梁上作用有均布载荷ｑ，其作用方 为形心 ｑ， 向及位置如图所示，该梁变形有四种答案： 向及位置如图所示，该梁变形有四种答案： A）平面弯曲； （√ ）平面弯曲； （C）纯弯曲； ）纯弯曲； （B）斜弯曲； ）斜弯曲； （D）弯扭结合。 ）弯扭结合。
Mz y My σ′=− =− sin ϕ Iz Iz
σ ′′ = −
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
My z Iy
Mz =− cos ϕ Iy
Py
Mz
Pz
My
y z σ = σ ′ + σ ′′ = − M sin ϕ + cos ϕ I Iy z
下面确定中性轴的位置： 下面确定中性轴的位置： 设中性轴上某一点的坐标为 y0 、 z0，则
α
ϕ
中性轴
ϕ
中性轴
二、位移计算 斜弯曲概念 为了计算梁在斜弯曲时的挠度， 为了计算梁在斜弯曲时的挠度，仍应用叠加法
fy = Py l
3
3EI Z
Pl3 = sin ϕ 3EI Z
Pl3 Pz l 3 fz = = cosϕ 3EI y 3EI y
ϕ
f =
2 fy
+f
2 z
tg β =
fy fz
=
Iy Iz
tg ϕ
tg β = tgα
α
β =α
ϕ
中性轴 总挠度f与中 总挠度 与中 性轴垂直
建筑力学14-组合变形
全部受压，截面应力分布如图11.7(a)所示。
② 当 6e/h =1，即e= h/6 时，σmax为零。
截面全部受压，而边缘m-m上的正应力恰好为零，
截面应力分布如图11.7(b)所示。
③ 当 6e/h >1，即e> h/6 时，σmax为拉应力。截面
部分受拉，部分受压，应力分布如图11.7(c)所示。
的轴向压力P和一个力偶矩m=Pe的力偶，如图11.5(b)
所示。
横截面m-n上的内力为轴力N和弯矩Mz，其值为
N=P Mz=Pe
图11.5
(2) 应力计算
对于该横截面上任一点K(图11.6)，由 轴力N所引起的正应力为
σ′=- N/A
由弯矩Mz所引起的正应力为
σ″=- Mzy/Iz
【例11.1】跨度l=4m的吊车梁，用32a号工字钢制成，材料为A3钢， 许用应力［σ］=160MPa。作用在梁上的集中力P=30kN，其作用 线与横截面铅垂对称轴的夹角φ=15°，如图11.3所示。试校核吊 车梁的强度。
【解】(1) 荷载分解
将荷载P沿梁横截面的y、z轴分解
Py=Pcosφ=30cos15°kN=29kN
11.3 偏心压缩（拉伸）
11.3.1 单向偏心压缩（拉伸）
图11.5(a)所示的柱子，荷载P的作用线与柱的轴线
不重合，称为偏心力，其作用线与柱轴线间的距离e称
为偏心距。偏心力P通过截面一根形心主轴时，称为单
向偏心受压。
(1) 荷载简化和内力计算
将偏心力P向截面形心平移，得到一个通过柱轴线
代入上式，得
第11章 组合变形
c ,max
(2)若 [ t ] [ c ] [ ] ,
则
FN M max [ c ] A Wz
25
max Max { t ,max , c ,max } [ ]
[例11-3-1] 最大吊重为 P=20kN的简易吊车，如图所 示，AB为工字A3钢梁，许用应力[σ]＝100MPa，试选 T Y Ty A 择工字梁型号。 XA D
= +
Fz
z
叠加原理
x
y
Fy
z
在线弹性范围
小变形条件下
x y
8
二、内力分析
m m x L
xy平面弯曲
y z
Mz
z
x x
Fy
m y
z
m Fz m x L
xz平面弯曲
y
z
x
My
x
m y
9
二、内力分析
m A m x L m A L 危险截面：杆件根部A截面
10
z x y
FL
弯矩：Mz Fy x
xy平面弯矩图
M
A
A
A
=
B
压弯组合 B 轴向拉压
+
B 平面弯曲
32
F F1
内力分析
M
F
A
A
M A
A
B 轴向拉压
B FN(轴力)
B 平面弯曲
B
33) M(弯矩
应力分析
FN
z
M
z
y
FN ( y, z) A
y
z
y
+
z
y
M σ(y, z) y Iz
材料力学
y max
Mmax y I
2.9Fp 1000 15
304
170
64
Fp 155.4 N 即Fp的容许值为155.4N
解题指导：
如果采用max=（M1*y/I)+(M2*y/I)计算， 是错误的。因为M1所引起的最大正应力在a 点， M2所引起的最大正应力在b点。显然不 能将两个不同点处的正应力相加作为该截面 上的最大正应力。
4
d3
4 32
d 3
32
MT Wp
m
d3
3 16
d 3
16
r3
2 4 2
4 32
d 3
2
4
3 16
d 3
2
160
d 3
100MPa
d 80mm
取 d 80mm
解题指导：
弯扭组合变形的最大特点是：其危险点属于二 向受力状态，危险点上的正应力并不在其横截面 上，因而必须应用强度理论进行强度计算。
11.3 直径为d的等截面折杆，位于水平面内，杆的
A端承受垂直向下的荷载Fp力作用，已知[]。试求： （1）指出危险截面的位置；
（2）求危险截面上的最大弯曲正应力max和 最大扭转剪应力τmax；
（3）用第三强度理论求许可荷载[Fp]
a
B
C
A
Fp
a
解： （1）固定端C截面为危险截面
（2）内力图
xy
r3
2 x
第十一章组合变形CombinedDeformation
R
x
x
P
P y
z My
zMz
Py
My
二、应力分析：
x z Mz P y
P
MZ
My
My
xP
P A
xMz
Mz y Iz
xMy
Myz Iy
x
P A
Mz y Iz
Myz Iy
三、中性轴方程
x
P A
M z y0 Iz
M y z0 Iy
0
对于偏心拉压问 题
P PyP y0 PzP z0
max 162.8106
x 36.8mm
例 圆杆直径为d = 0.1m,T = 7kNm, P = 50kN [ ]=100MPa,按第三强度理论校核强度
解：拉扭组合,危险点应力状态如图
T P
A T
A
P
P A
4 50
0.12
103
6.37MPa
T Wn
Mz y M y sinj
Iz
Iz
合应力
M( z cosj y sinj )
Iy
Iz
m
x
z
x
m Pz
Py
y
LP
Pz
zj
Py LP
y
（3）中性轴方程 M ( z0 cosj y0 sinj ) 0
中性轴
Iy
Iz
tg y0 Iz ctgj
Pz P cosj
2.分别研究两个平面弯曲
材料力学电子教案
《材料力学电子教案》的运行环境 材料力学电子教案》
1. 硬件环境 ① 主机为586或更高档配置的微机； 主机为586或更高档配置的微机 或更高档配置的微机； ② 内存不低于128MB，建议256MB; 内存不低于128MB，建议256MB; ③ 硬盘有500MB以上的可用空间； 硬盘有500MB以上的可用空间 以上的可用空间； ④ Windows 2000(Windows XP）支持的彩色显示器和鼠标； XP）支持的彩色显示器和鼠标； ⑤ 光驱、声卡、音箱等多媒体配置。 光驱、声卡、音箱等多媒体配置。 2. 软件环境 ① 中文Windows 2000（Windows XP)、Office 2003版本； 中文Windows 2000（ XP)、 2003版本 版本； ② 彩色显示不低于16位真彩色； 彩色显示不低于16位真彩色 位真彩色； ③ 公式编辑器版本3.0或以上； 公式编辑器版本3.0或以上 或以上； ④ Flash版本不低于5.0版本。 Flash版本不低于 版本 版本不低于5.0版本。
第十一章组合变形(讲稿)
第十一章组合变形一、教学目标1、掌握组合变形的概念。
2、掌握斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的概念和区分、危险截面和危险点的确定、应力计算、强度计算、变形计算、中性轴的确定等。
3、正确区分斜弯曲和平面弯曲。
4、了解截面核心的概念、常见截面的截面核心计算。
二、教学内容1、讲解组合变形的概念及组合变形的一般计算方法：叠加法。
2、举例介绍斜弯曲和平面弯曲的区别。
3、讲解斜弯曲的应力计算、中性轴位置的确定、危险点的确立、强度计算、变形计算。
4、讲解弯曲和扭转组合变形内力计算，确定危险截面和危险点，强度计算。
5、讲解拉伸(压缩)和弯曲组合变形的危险截面和危险点分析、强度计算。
6、讲解偏心拉伸(压缩)组合变形的危险截面和危险点分析、应力计算、强度计算。
7、简单介绍截面核心的概念和计算。
三、重点难点重点：斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的应力和强度计算。
难点：1、解决组合变形问题最关键的一步是将组合变形分解为两种或两种以上的基本变形：斜弯曲——分解为两个形心主惯性平面内的平面弯曲；弯曲和扭转组合变形——分解为平面弯曲和扭转；拉伸（压缩）和弯曲组合变形——分解为轴向拉伸（压缩）和平面弯曲（因剪力较小通常忽略不计）；偏心拉伸（压缩）组合变形——单向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和一个平面弯曲，双向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和两个形心主惯性平面内的平面弯曲。
2、组合变形的强度计算，可归纳为两类：⑴危险点为单向应力状态：斜弯曲、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）组合变形的强度计算时只需求出危险点的最大正应力并与材料的许用正应力比较即可；⑵危险点为复杂应力状态：弯扭组合变形的强度计算时，危险点处于复杂应力状态，必须考虑强度理论。
四、教学方式采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。
五、计划学时5学时六、讲课提纲(一)斜弯曲引言：*何谓平面弯曲？梁的弯曲平面与外力作用平面相重合的这种弯曲称为平面弯曲（或者说：梁的挠曲线是形心主惯性平面内的一条平面曲线）**平面弯曲与斜弯曲的比较(a) (b) (c)项目平面弯曲斜弯曲受力特点p F 平面与过y 轴(形心主惯性轴)的纵平面重合 p F 平面过形心(这里也是弯心)但不与过y 轴的纵平面重合。
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Mz y My sin Iz Iz
My z Iy
Mz cos Iy
Py
直分布载荷q=0.8kN/m;［σ］=80MPa。试用第
三强度理论校核其强度。
值的几倍？
解：(1)
Pa t N M P 4 2 a a A W c a 2 2 6 8P 2 a 4P 2 a
2
例：图示偏心受压杆。试求该
杆中不出现拉应力时的最大偏心 距。 解： N P, M Pe
N M P Pe t 2 0 A W bh hb 6 b e 6
YA 4 kN
任意横截面x上的内力:
N X A 3kN Q YA 4 kN M ( x ) YA x 4 x
1 1截面上危险截面，其上：N 3 kN，M 8 kN m
. N M 3 10 3 8 10 3 811 MPa 2 3 d d c A W 819 . 4 32
2 2
3
M 0.75T W
2
2
圆截面杆弯扭组合变形时的相当应力：
r3 r4
W
M T W
2 2
2
[ ]
2
M 0.75T W
3
[ ]
d
32
例：图示悬臂梁的横截面为等边三角形，
C为形心，梁上作用有均布载荷ｑ，其作用方 向及位置如图所示，该梁变形有四种答案： （√ A）平面弯曲； （B）斜弯曲；
Ph Pb P 22 2 2 bh bh hb 7P 6 6 bh 5P bh
例：求图示杆在P=100kN作用下的σt数值，
并指明所在位置。
解：(1) 最大拉应力发生在后背面上各点处
100 10 5000 t 20MPa 6 2 100 200 10 0.2 01 . 6
Mz
Pz
My
y z M sin cos I Iy z
11.3 拉伸(压缩)与弯曲的组合变形
例：一折杆由两根圆杆焊接而成，已知圆
杆直径d=100mm，试求圆杆的最大拉应力σt和
最大压应力 σc 。
解： X A 3 kN
2 0
r 3 1 3 2 4 2
M T W
2 2
T M 4 W Wt
2
2
32 M , W
W
d3
, Wt
d3
16 T Wt
r4
1 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 2
的变形对其它载荷作用的影响可忽略不计。 实验表明，在小变形情况下，这个原理 是足够精确的。因此，可先分别计算每一种基 本变形情况下的应力和变形，然后采用叠加原 理计算所有载荷对弹性体系所引起的总应力和
总变形。
11.2 斜弯曲
一、应力计算
Py P sin Pz P cos
Py P sin Pz P cos
例：偏心拉伸杆， 弹性模量为E，尺寸 、受力如图所示。求 ：
（1）最大拉应力 和最大压应力的位置 和数值；
（2）AB长度的改 变量。
Ph Pb 解：(1) N P, M y , Mz 2 2 最大拉应力发生在AB线上各点 最大压应力发生在CD线上各点 t N M y Mz c A Wy Wz
第11章 组合变形
11.1 组合变形的概念 前面几章研究了构件的基本变形： 轴向拉（压）、扭转、平面弯曲。
由两种或两种以上基本变形组合的情况称
为组合变形。
所有由基本变形组合产生的杆件内力称为
复合抗力。
在复合抗力的计算中，通常都是由力作用 的独立性原理出发的。在线弹性范围内，可以
假设作用在体系上的诸载荷中的任一个所引起
（C）纯弯曲；
（D）弯扭结合。
例：图示Z形截面杆，在自由端作用一集中
力P，该杆的变形设有四种答案： （A）平面弯曲变形； （ B）斜弯曲变形； √ （C）弯扭组合变形； （D）压弯组合变形。
例：具有切槽的正方形木杆，
受力如图。求：
（1）m-m截面上的最大拉应
力σt 和最大压应力σc；
（2）此σt是截面削弱前的σt
t
N A M W
M W
偏心拉伸或压缩：
N P A cd
My Wy
Pa d c2 6
Mz Pb Wz cd2 6
任意横截面上的内力： N P , M y Pa , M z Pb
N M y z Mz y P Pa z P b y A Iy Iz c d d c3 c d 3 12 12
c
Pa Pb N M y Mz P 2 2 A W W c d dc cd y z t 6 6
11.4 扭转与弯曲的组合变形
Байду номын сангаас
A截面为危险截面：
M Pl T Pa
k1
2
M W T Wt
1
k2
2 2 3 2
3
例：空心圆轴的外径D=200mm，内径d=160mm
。在端部有集中力P =60kN ，作用点为切于圆周 的A点。[σ]=80MPa，试用第三强度理论校核轴 的强度。
直径为20mm的圆截面水平直角折杆，受
垂直力P=0.2kN，已知［σ］=170MPa。试用
第三强度理论确定ａ的许可值。
圆截面水平直角折杆，直径d=60mm，垂