2019版一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第二章第三节函数的奇偶性与周期性 Word版含解析

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2019版一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第三章第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式

课时规范练 A 组基础对点练1．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝12，－π2<α<0，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3的值是( ) A.12 B.23 C ．－12D ．1解析：由已知得cos α＝12，sin α＝－32，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12. 答案：C2．计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为( )A ．－12B.12C.32D ．－32解析：sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin 70°sin 20°cos 310°＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.答案：B3．若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝( )A.17 B.16 C.57D.56解析：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13＋tan β1－13tan β＝12，解得tan β＝17.答案：A4．(2018·西安质量检测)sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( ) A ．1B.12C.32 D ．－12解析：sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°cos 15°＋(－cos 45°)·sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12.答案：B5．(2018·江西新余三校联考)已知cos ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝－78，则sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的值为( ) A.14 B.78 C ．±14D ．±78解析：因为cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝78，所以有sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝12⎣⎡⎦⎤1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝12⎝⎛⎭⎫1－78＝116，从而求得sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的值为±14，故选C. 答案：C6．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝( ) A ．－233B ．±233C ．－1D ．±1解析：∵cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，∴cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos x ＋cos x cos π3＋sin x sin π3＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝3×⎝⎛⎭⎫－33＝－1. 答案：C7．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13B.13 C ．－23D.23解析：依题意得cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝⎝⎛⎭⎫cos αcos π4＋sin αsin π42＝12(cos α＋sin α)2＝12(1＋sin 2α)＝23. 答案：D8．已知sin 2α＝23，则cos 2(α＋π4)＝( )A.16B.13C.12D.23解析：cos(α＋π4)＝22cos α－22sin α，所以cos 2(α＋π4)＝12(cos α－sin α)2＝12(1－2sin αcos α)＝12(1－sin 2α)＝16. 答案：A9．若sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14，则cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝( ) A ．－78B ．－14C.14D.78解析：cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫23π－2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫23π－2α＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π3－α＝－⎣⎡⎦⎤1－2×⎝⎛⎭⎫142＝－78.答案：A10．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( ) A.43 B.34 C ．－34D ．－43解析：两边平方，再同时除以cos 2α，得3tan 2α－8tan α－3＝0，解得tan α＝3或tan α＝－13，代入tan 2α＝2tan α1－tan 2α，得到tan 2α＝－34.答案：C11．若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( )A.15B.14C.13D.12解析：∵tan θ＋1tan θ＝1＋tan 2θtan θ＝4，∴4tan θ＝1＋tan 2 θ，∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝2tan θ4tan θ＝12. 答案：D12．cos 2π8－sin 2π8＝________.解析：由二倍角公式，得cos 2 π8－sin 2π8＝cos(2×π8)＝22.答案：2213．已知 tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．解析：tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17＋21－27＝3.答案：314．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－22sin 2x 的最小正周期是__________．解析：∵f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x )＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.答案：π15．已知sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是__________．解析：∵sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＋sin α＝435， ∴sin π3cos α＋cos π3sin α＋sin α＝435，∴32sin α＋32cos α＝435，即32sin α＋12cos α＝45，故sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝sin αcos 7π6＋cos αsin 7π6 ＝－⎝⎛⎭⎫32sin α＋12cos α＝－45.答案：－45B 组能力提升练1．(2018·肇庆模拟)已知sin α＝35且α为第二象限角，则tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝( )A ．－195B ．－519C ．－3117D ．－1731解析：由题意得cos α＝－45，则sin 2α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝725.∴tan 2α＝－247，∴tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝tan 2α＋tanπ41－tan 2αtan π4＝－247＋11－⎝⎛⎭⎫－247×1＝－1731. 答案：D2．(2018·吉林大学附中检测)若α∈(π2，π)，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A ．－356 B ．－16C ．－3518D ．－1718解析：∵3cos 2α＝sin(π4－α)，∴3(cos 2α－sin 2α)＝22(sin α－cos α)，易知sin α≠cos α，故cosα＋sin α＝－26，1＋sin 2α＝118，sin 2α＝－1718，故选D. 答案：D3．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋3·tan αtan β＝3，则α，β的大小关系是( ) A ．α<π4<βB ．β<π4<αC.π4<α<β D.π4<β<α 解析：∵α为锐角，sin α－cos α＝16，∴α>π4.又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，∴α＋β＝π3，又α>π4，∴β<π4<α. 答案：B4．在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( ) A.π4 B.π3 C.π2D.3π4解析：由题意知，sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又 tan β·tan C ＝1－2，所以tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C1－tan B tan C ＝－1.由已知，有tan A ＝－tan(B ＋C )，则tan A ＝1，所以A ＝π4.答案：A5．(2018·安徽十校联考)已知α为锐角，且7sin α＝2cos 2α，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝( ) A.1＋358B.1＋538C.1－358D.1－538解析：由7sin α＝2cos 2α得7sin α＝2(1－2sin 2α)，即4sin 2α＋7sin α－2＝0，∴sin α＝－2(舍去)或sin α＝14，∵α为锐角，∴cos α＝154，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝14×12＋154×32＝1＋358，故选A. 答案：A6．(2018·贵阳监测)已知sin(π6－α)＝13，则cos[2(π3＋α)]的值是( )A.79 B.13 C ．－13D ．－79解析：∵sin(π6－α)＝13，∴cos(π3－2α)＝cos[2(π6－α)]＝1－2sin 2(π6－α)＝79，∴cos[2(π3＋α)]＝cos(2π3＋2α)＝cos[π－(π3－2α)]＝－cos(π3－2α)＝－79.答案：D7．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝7210，cos 2α＝725，则sin α＝( ) A.45B ．－45C.35 D ．－35解析：由sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝7210得sin α－cos α＝75， ① 由cos 2α＝725得cos 2α－sin 2α＝725，所以(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)＝725， ② 由①②可得cos α＋sin α＝－15，③由①③可得sin α＝35.答案：C8．已知sin(π6－α)＝cos(π6＋α)，则cos 2α＝( )A ．1B ．－1 C.12D ．0解析：∵sin(π6－α)＝cos(π6＋α)，∴12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α，即(12－32)sin α＝－(12－32)cos α，∴tan α＝sin αcos α＝－1，∴cos 2α＝cos 2 α－sin 2α＝cos 2 α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝0. 答案：D9．(2018·石家庄模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12，f ′(x )是f (x )的导函数，则函数y ＝2f (x )＋f ′(x )的一个单调递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤π12，7π12 B.⎣⎡⎦⎤－5π12，π12 C.⎣⎡⎦⎤－π3，2π3 D.⎣⎡⎦⎤－π6，5π6 解析：由题意，得f ′(x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12，所以y ＝2f (x )＋f ′(x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12＋π4＝22·sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z)，所以函数y ＝2f (x )＋f ′(x )的一个单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π12，7π12，故选A. 答案：A10．若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫α－3π10＋π2sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝sin αcos αcos π5＋sin π5sin αcos αcos π5－sin π5＝2·sinπ5cos π5cos π5＋sinπ52·sin π5cos π5cos π5－sinπ5＝3sin π5sin π5＝3，故选C. 答案：C11．若tan α＝3，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值为( ) A ．－210B.210C.5210D.7210解析：sin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝35，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22sin 2α＋22cos 2α＝22×⎣⎡⎦⎤35＋⎝⎛⎭⎫－45＝－210. 答案：A12．已知1＋sin θ＋cos θ1＋sin θ－cos θ＝12，则tan θ＝( )A.43B.34 C ．－34D ．－43解析：因为1＋sin θ＋cos θ1＋sin θ－cos θ＝2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ22sin θ2cos θ2＋2sin 2θ2＝2cos θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ22sin θ2⎝⎛⎭⎫cos θ2＋sin θ2＝1tan θ2＝12，所以tan θ2＝2，于是tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2＝－43.答案：D13．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3 ＝__________.解析：∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)·(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23>0， ∴2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin 2α＝1－cos 22α＝53， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α＝12×23－32×53＝2－156. 答案：2－15614．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则α＋β＝__________. 解析：由题意得tan α＋ tan β＝－33<0，tan α·tan β＝4>0，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，且tan α<0，tan β<0，又α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，故α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－2π3. 答案：－2π315．(2018·邢台摸底考试)已知tan(3π－α)＝－12，tan(β－α)＝－13，则tan β＝________.解析：依题意得tan α＝12，tan β＝tan [(β－α)＋α]＝tan (β－α)＋tan α1－tan (β－α)·tan α＝17.答案：1716．(2018·吉林东北师大附中联考)已知0<θ<π，tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝17，那么sin θ＋cos θ＝________. 解析：由tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝tan θ＋11－tan θ＝17，解得tan θ＝－34，即sin θcos θ＝－34，∴cos θ＝－43sin θ， ∴sin 2θ＋cos 2θ＝sin 2θ＋169sin 2θ＝259sin 2θ＝1，∵0<θ<π，∴sin θ＝35，∴cos θ＝－45，∴sin θ＋cos θ＝－15.答案：－15。

2019版一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第二章第四节指数函数含解析

课时规范练 A 组基础对点练1．设a ＝log 37、b ＝21.1、c ＝0.83.1、则( ) A ．b ＜a ＜c B ．c ＜a ＜b C ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b解析：因为2＞a ＝log 37＞1、b ＝21.1＞2、c ＝0.83.1＜1、所以c ＜a ＜b . 答案：B2．设a ＝0. 60.6、b ＝0.61.5、c ＝1.50.6、则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a解析：由指数函数y ＝0.6x 在(0、＋∞)上单调递减、可知0.61.5<0.60.6、由幂函数y ＝x 0.6在(0、＋∞)上单调递增、可知0.60.6<1.50.6、所以b <a <c 、故选C. 答案：C 3．设a >0、将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂的形式、其结果是( )A ．a 12B ．a 56C ．a 76D ．a 32解析：a 2a ·3a 2＝a 2a ·a23＝a 2a53＝a 2a56＝a526-＝a 76.故选C.答案：C4．设x >0、且10、∴b >1、∵b x <a x 、∴⎝⎛⎭⎫a b x >1、∵x >0、∴ab >1⇒a >b 、∴10、且a ≠1)满足f (1)＝19、则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞、2]B ．[2、＋∞)C ．[－2、＋∞)D ．(－∞、－2] 解析：由f (1)＝19得a 2＝19、又a >0、所以a ＝13、因此f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|. 因为g (x )＝|2x －4|在[2、＋∞)上单调递增、所以f (x )的单调递减区间是[2、＋∞)．答案：B6．已知函数f (x )＝a x 、其中a >0、且a ≠1、如果以P (x 1、f (x 1))、Q (x 2、f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上、那么f (x 1)·f (x 2)等于( ) A ．1 B ．a C ．2D ．a 2解析：∵以P (x 1、f (x 1))、Q (x 2、f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上、 ∴x 1＋x 2＝0. 又∵f (x )＝a x 、 ∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝a 12x x ＋＝a 0＝1、故选A.答案：A7．已知a ＝⎝⎛⎭⎫3525、b ＝⎝⎛⎭⎫2535、c ＝⎝⎛⎭⎫2525、则( ) A ．a 25、∴b <c . 又∵y ＝x 25在(0、＋∞)上为增函数、35>25、∴a >c 、∴b <c <a 、故选D. 答案：D8．(2018·茂名模拟)已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如图所示、则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是( )解析：由函数f (x )的图象可知、－11、则g (x )＝a x ＋b 为增函数、当x ＝0时、g (0)＝1＋b >0、故选C. 答案：C9．已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为{x |x ＜－1或x ＞12}、则f (10x )＞0的解集为( )A ．{x |x ＜－1或x ＞－lg 2}B ．{x |－1＜x ＜－lg 2}C ．{x |x ＞－lg 2}D ．{x |x ＜－lg 2}解析：因为一元二次不等式f (x )＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜－1或x ＞12、所以可设f (x )＝a (x ＋1)·⎝⎛⎭⎫x －12(a ＜0)、由f (10x )＞0可得(10x ＋1)·⎝⎛⎭⎫10x －12＜0、即10x ＜12、x ＜－lg 2、故选D. 答案：D10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x ，x ≥02－x ，x ＜0(a ∈R)、若f [f (－1)]＝1、则a ＝( )A.14 B.12 C ．1D ．2解析：因为－1＜0、所以f (－1)＝2－(－1)＝2、又2＞0、所以f [f (－1)]＝f (2)＝a ·22＝1、解得a＝14. 答案：A11．(2018·哈尔滨模拟)函数f (x )＝e 2x ＋1e x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称解析：f (x )＝e 2x ＋1e x ＝e x ＋1e x 、∵f (－x )＝e －x ＋1e －x ＝e x ＋1e x ＝f (x )、∴f (x )是偶函数、∴函数f (x )的图象关于y 轴对称．答案：D12．(2018·北京丰台模拟)已知奇函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ＞0，g (x )，x <0.如果f (x )＝a x (a ＞0、且a ≠1)对应的图象如图所示、那么g (x )＝( )A.⎝⎛⎭⎫12－x B ．－⎝⎛⎭⎫12xC ．2－xD ．－2x解析：由题图知f (1)＝12、∴a ＝12、f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 、由题意得g (x )＝－f (－x )＝－⎝⎛⎭⎫12－x ＝－2x 、故选D. 答案：D13．关于x 的方程⎝⎛⎭⎫32x ＝2＋3a 5－a 有负数根、则实数a 的取值范围为________．解析：由题意、得x ＜0、所以0＜⎝⎛⎭⎫32x ＜1、从而0＜2＋3a 5－a ＜1、解得－23＜a ＜34.答案：⎝⎛⎭⎫－23，34 14．已知0≤x ≤2、则y ＝412x -－3·2x ＋5的最大值为________．解析：令t ＝2x 、∵0≤x ≤2、∴1≤t ≤4、又y ＝22x －1－3·2x ＋5、∴y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12、∵1≤t ≤4、∴t ＝1时、y max ＝52.答案：5215．不等式2x 2－x ＜4的解集为________．解析：不等式2x 2－x ＜4可转化为2x 2－x ＜22、利用指数函数y ＝2x 的性质可得、x 2－x ＜2、解得－1＜x ＜2、故所求解集为{x |－1＜x ＜2}．答案：{x |－1＜x ＜2}16．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数、且当x ≥0时、f (x )＝－14x ＋12x 、则此函数的值域为________．解析：设t ＝12x 、当x ≥0时、2x ≥1、∴0＜t ≤1、f (t )＝－t 2＋t ＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14、∴0≤f (t )≤14、故当x ≥0时、f (x )∈⎣⎡⎦⎤0，14.∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数、∴当x ≤0时、f (x )∈⎣⎡⎦⎤－14，0.故函数的值域为⎣⎡⎦⎤－14，14. 答案：⎣⎡⎦⎤－14，14B 组能力提升练1．设函数f (x )定义在实数集上、它的图象关于直线x ＝1对称、且当x ≥1时、f (x )＝3x －1、则有( )A ．f ⎝⎛⎭⎫13＜f ⎝⎛⎭⎫32＜f ⎝⎛⎭⎫23B ．f ⎝⎛⎭⎫23＜f ⎝⎛⎭⎫32＜f ⎝⎛⎭⎫13C ．f ⎝⎛⎭⎫32＜f ⎝⎛⎭⎫13＜f ⎝⎛⎭⎫32D ．f ⎝⎛⎭⎫32＜f ⎝⎛⎭⎫23＜f ⎝⎛⎭⎫13解析：∵函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称、∴f (x )＝f (2－x )、∴f ⎝⎛⎭⎫13＝f ⎝⎛⎭⎫2－13＝f ⎝⎛⎭⎫53、f ⎝⎛⎭⎫23＝f ⎝⎛⎭⎫2－23＝f ⎝⎛⎭⎫43、又∵x ≥1时、f (x )＝3x －1为单调递增函数、且43＜32＜53、∴f ⎝⎛⎭⎫43＜f ⎝⎛⎭⎫32＜f ⎝⎛⎭⎫53、即f ⎝⎛⎭⎫23＜f ⎝⎛⎭⎫32＜f ⎝⎛⎭⎫13.选B. 答案：B2．已知实数a 、b 满足等式2 017a ＝2 018b 、下列五个关系式：①01、则有a >b >0；若t ＝1、则有a ＝b ＝0；若0<t <1、则有a 0、且a ≠1)的图象可能是( )解析：函数y ＝a x －1a 是由函数y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得到、A 项显然错误；当a >1时、0<1a <1、平移距离小于1、所以B 项错误；当0<a <1时、1a >1、平移距离大于1、所以C 项错误、故选D. 答案：D4．(2018·日照模拟)若x ∈(2,4)、a ＝22x 、b ＝(2x )2、c ＝22x、则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．b >a >c解析：∵b ＝(2x )2＝22x、∴要比较a 、b 、c 的大小、只要比较当x ∈(2,4)时x 2,2x,2x 的大小即可．用特殊值法、取x ＝3、容易知x 2>2x >2x 、则a >c >b . 答案：B5．(2018·许昌四校联考)已知a ＞0、且a ≠1、f (x )＝x 2－a x .当x ∈(－1,1)时、均有f (x )＜12、则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，12∪[2、＋∞) B.⎣⎡⎭⎫12，1∪(1,2] C.⎝⎛⎦⎤0，14∪[4、＋∞) D.⎣⎡⎭⎫14，1∪(1,4]解析：当x ∈(－1,1)时、均有f (x )＜12、即a x ＞x 2－12在(－1,1)上恒成立、令g (x )＝a x 、m (x )＝x 2－12、当0＜a ＜1时、g (1)≥m (1)、即a ≥1－12＝12、此时12≤a ＜1；当a ＞1时、g (－1)≥m (1)、即a －1≥1－12＝12、此时1＜a ≤2.综上、12≤a ＜1或1＜a ≤2.故选B.答案：B6．(2018·菏泽模拟)若函数f (x )＝1＋2x ＋12x ＋1＋sin x 在区间[－k 、k ](k ＞0)上的值域为[m 、n ]、则m ＋n 的值是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．4解析：∵f (x )＝1＋2·2x2x ＋1＋sin x＝1＋2·2x ＋1－12x ＋1＋sin x＝2＋1－22x ＋1＋sin x＝2＋2x －12x ＋1＋sin x .记g (x )＝2x －12x ＋1＋sin x 、则f (x )＝g (x )＋2、易知g (x )为奇函数、则g (x )在[－k 、k ]上的最大值与最小值互为相反数、∴m ＋n ＝4. 答案：D7．若x log 52≥－1、则函数f (x )＝4x －2x ＋1－3的最小值为( )A ．－4B ．－3C ．－1D ．0解析：∵x log 52≥－1、∴2x ≥15、则f (x )＝4x －2x ＋1－3＝(2x )2－2×2x －3＝(2x －1)2－4.当2x ＝1时、f (x )取得最小值－4. 答案：A8．函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x ≥0，－x ，x <0，则a ＝2是f (a )＝4成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为a ＝2、所以f (a )＝22＝4、即a ＝2⇒f (a )＝4；反之、若f (a )＝4、则2a ＝4、a ＝2或－a ＝4、a ＝－16、因此f (a )＝4⇒a ＝2或者a ＝－16、故a ＝2是f (a )＝4的充分不必要条件、选A. 答案：A9．已知实数a 、b 满足12＞⎝⎛⎭⎫12a ＞⎝⎛⎭⎫22b ＞14、则( )A ．b ＜2b －aB ．b ＞2b －aC ．a ＜b －aD ．a ＞b －a解析：由12＞⎝⎛⎭⎫12a、得a ＞1；由⎝⎛⎭⎫12a ＞⎝⎛⎭⎫22b 、得⎝⎛⎭⎫222a ＞⎝⎛⎭⎫22b 、进而2a ＜b ；由⎝⎛⎭⎫22b ＞14、得⎝⎛⎭⎫22b ＞⎝⎛⎭⎫224、进而b ＜4. ∴1＜a ＜2,2＜b ＜4. 取a ＝32、b ＝72、得b －a ＝72－32＝2、有a ＞b －a 、排除C ； b ＞2b －a 、排除A ；取a ＝1110、b ＝3910、得b －a ＝3910－1110＝145、有a ＜b －a 、排除D.故选B. 答案：B10．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫2x －12x ·x 13、m 、n 为实数、则下列结论中正确的是( ) A ．若－3≤m ＜n 、则f (m )＜f (n ) B ．若m ＜n ≤0、则f (m )＜f (n ) C ．若f (m )＜f (n )、则m 2＜n 2 D ．若f (m )＜f (n )、则m 3＜n 3解析：∵f (x )的定义域为R 、其定义域关于原点对称、f (－x )＝⎝⎛⎭⎫2－x －12－x ·(－x )13＝⎝⎛⎭⎫2x －12x ·x 13＝f (x )、∴函数f (x )是一个偶函数、又x ＞0时、2x －12x 与x 13是增函数、且函数值为正、∴函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫2x －12x ·x 13在(0、＋∞)上是一个增函数、由偶函数的性质知、函数f (x )在(－∞、0)上是一个减函数、此类函数的规律是：自变量离原点越近、函数值越小、即自变量的绝对值越小、函数值就越小、反之也成立．对于选项A 、无法判断m 、n 离原点的远近、故A 错误；对于选项B 、|m |＞|n |、∴f (m )＞f (n )、故B 错误；对于选项C 、由f (m )＜f (n )、一定可得出m 2＜n 2、故C 是正确的；对于选项D 、由f (m )＜f (n )、可得出|m |＜|n |、但不能得出m 3＜n 3、故D 错误．综上可知、选C. 答案：C11．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)有唯一零点、则a ＝( )A ．－12B.13C.12D ．1解析：由f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)、得f (2－x )＝(2－x )2－2(2－x )＋a [e 2－x －1＋e－(2－x )＋1]＝x 2－4x ＋4－4＋2x ＋a (e 1－x ＋e x －1)＝x 2－2x＋a (e x －1＋e－x ＋1)、所以f (2－x )＝f (x )、即x ＝1为f (x )图象的对称轴．由题意、f (x )有唯一零点、所以f (x )的零点只能为x ＝1、即f (1)＝12－2×1＋a (e 1－1＋e －1＋1)＝0、解得a ＝12.故选C.答案：C12．若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R)满足f (1＋x )＝f (1－x )、且f (x )在[m 、＋∞)上单调递增、则实数m 的最小值等于________．解析：因为f (1＋x )＝f (1－x )、所以函数f (x )关于直线x ＝1对称、所以a ＝1、所以函数f (x )＝2|x －1|的图象如图所示、因为函数f (x )在[m 、＋∞)上单调递增、所以m ≥1、所以实数m 的最小值为1.答案：113．(2018·眉山模拟)已知定义在R 上的函数g (x )＝2x ＋2－x ＋|x |、则满足g (2x －1)＜g (3)的x的取值范围是________．解析：∵g (x )＝2x ＋2－x ＋|x |、∴g (－x )＝2x ＋2－x ＋|－x |,2x ＋2－x ＋|x |＝g (x )、则函数g (x )为偶函数、当x ≥0时、g (x )＝2x ＋2－x ＋x 、则g ′(x )＝(2x －2－x )·ln 2＋1＞0、则函数g (x )在[0、＋∞)上为增函数、而不等式g (2x －1)＜g (3)等价于g (|2x －1|)＜g (3)、∴|2x －1|＜3、即－3＜2x －1＜3、解得－1＜x ＜2、即x 的取值范围是(－1,2)．答案：(－1,2)14．(2018·信阳质检)若不等式(m 2－m )2x －⎝⎛⎭⎫12x ＜1对一切x ∈(－∞、－1]恒成立、则实数m 的取值范围是________．解析：(m 2－m )2x －⎝⎛⎭⎫12x ＜1可变形为m 2－m ＜⎝⎛⎭⎫12x ＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12x 2、设t ＝⎝⎛⎭⎫12x 、则原条件等价于不等式m 2－m ＜t ＋t 2在t ≥2时恒成立、显然t ＋t 2在t ≥2时的最小值为6、所以m 2－m ＜6、解得－2＜m ＜3. 答案：(－2,3)15．(2018·皖南八校联考)对于给定的函数f (x )＝a x －a －x (x ∈R 、a ＞0、a ≠1)、下面给出五个命题、其中真命题是______．(只需写出所有真命题的编号) ①函数f (x )的图象关于原点对称； ②函数f (x )在R 上不具有单调性； ③函数f (|x |)的图象关于y 轴对称； ④当0＜a ＜1时、函数f (|x |)的最大值是0； ⑤当a ＞1时、函数f (|x |)的最大值是0.解析：∵f (－x )＝－f (x )、∴f (x )为奇函数、f (x )的图象关于原点对称、①真；当a ＞1时、f (x )在R 上为增函数、②假；y ＝f (|x |)是偶函数、其图象关于y 轴对称、③真；当0＜a ＜1时、y ＝f (|x |)在(－∞、0)上为增函数、在[0、＋∞)上为减函数、∴当x ＝0时、y ＝f (|x |)的最大值为0、④真；当a ＞1时、f (x )在(－∞、0)上为减函数、在[0、＋∞)上为增函数、∴当x ＝0时、y ＝f (x )的最小值为0、⑤假、综上、真命题是①③④.答案：①③④。

【配套K12】2019版一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第二章第一节函数及其表示 Word版

课时规范练 A 组基础对点练1．函数y ＝lg (x ＋1)x －2的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,2)∪(2，＋∞)D ．[－1,2)∪(2，＋∞)解析：由题意知，要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x －2≠0x ＋1＞0，即－1＜x ＜2或x ＞2，所以函数的定义域为(－1,2)∪(2，＋∞)．故选C. 答案：C 2．函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( )A ．(0,2)B ．(0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：由题意可知x 满足log 2x －1＞0，即log 2x ＞log 22，根据对数函数的性质得x ＞2，即函数f (x )的定义域是(2，＋∞)．答案：C3．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x ＜0，则f (f (－2))＝( )A ．－1 B.14 C.12D.32解析：∵f (－2)＝2－2＝14，∴f (f (－2))＝f ⎝⎛⎭⎫14＝1－14＝12，故选C. 答案：C4．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x (x ≤0)，log 3x (x ＞0)，则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫19＝( ) A ．－2 B ．－3 C ．9D ．－9解析：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x (x ≤0)，log 3x (x ＞0)，∴f ⎝⎛⎭⎫19＝log 319＝－2，∴f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫19＝f (－2)＝⎝⎛⎭⎫13－2＝9.故选C.答案：C5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ＞0，π，x ＝0，π2＋1，x ＜0，则f (f (f (－1)))的值等于( )A ．π2－1B ．π2＋1C ．πD ．0解析：由函数的解析式可得f (f (f (－1)))＝f (f (π2＋1))＝f (0)＝π.故选C. 答案：C6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝4，则b ＝( ) A ．1 B.78 C.34D.12解析：f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝f ⎝⎛⎭⎫3×56－b ＝f ⎝⎛⎭⎫52－b .当52－b <1，即b >32时，3×⎝⎛⎭⎫52－b －b ＝4，解得b ＝78(舍)．当52－b ≥1，即b ≤32时，252b -＝4，解得b ＝12.故选D. 答案：D7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：由题意知f (1)＝21＝2.∵f (a )＋f (1)＝0， ∴f (a )＋2＝0.①当a ＞0时，f (a )＝2a,2a ＋2＝0无解； ②当a ≤0时，f (a )＝a ＋1，∴a ＋1＋2＝0， ∴a ＝－3. 答案：A8．函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为( ) A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1]解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0x ＋3＞0，所以－3＜x ≤0.答案：A9．已知函数f (x )＝2x ＋1(1≤x ≤3)，则( ) A ．f (x －1)＝2x ＋2(0≤x ≤2) B ．f (x －1)＝2x －1(2≤x ≤4) C ．f (x －1)＝2x －2(0≤x ≤2) D ．f (x －1)＝－2x ＋1(2≤x ≤4)解析：因为f (x )＝2x ＋1，所以f (x －1)＝2x －1.因为函数f (x )的定义域为[1,3]，所以1≤x －1≤3，即2≤x ≤4，故f (x －1)＝2x －1(2≤x ≤4)．答案：B10．设x ∈R ，则f (x )与g (x )表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x 2，g (x )＝x 2 B ．f (x )＝(x )2x ，g (x )＝x(x )2C ．f (x )＝1，g (x )＝(x －1)0D ．f (x )＝x 2－9x ＋3，g (x )＝x －3解析：对于A ，f (x )＝x 2(x ∈R)，与g (x )＝x 2＝|x |(x ∈R)的对应关系不同，所以不是同一函数；对于B ，f (x )＝(x )2x ＝1(x ＞0)，与g (x )＝x(x )2＝1(x ＞0)的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数；对于C ，f (x )＝1(x ∈R)，与g (x )＝(x －1)0＝1(x ≠1)的定义域不同，所以不是同一函数；对于D ，f (x )＝x 2－9x ＋3＝x －3(x ≠－3)，与g (x )＝x －3(x ∈R)的定义域不同，所以不是同一函数．故选B. 答案：B11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x －1，x >0，f (2－x )，x ≤0，则f (0)＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．3解析：f (0)＝f (2－0)＝f (2)＝log 22－1＝0. 答案：B12．已知实数a <0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2a ，x <1，－x ，x ≥1，若f (1－a )≥f (1＋a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．[－2，－1]C ．[－1,0)D ．(－∞，0)解析：当a <0时，1－a >1,1＋a <1，所以f (1－a )＝－(1－a )＝a －1，f (1＋a )＝(1＋a )2＋2a ＝a 2＋4a ＋1，由f (1－a )≥f (1＋a )得a 2＋3a ＋2≤0，解得－2≤a ≤－1，所以a ∈[－2，－1]．故选B. 答案：B13．若函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则函数g (x )的表达式为________．解析：令x ＋2＝t ，则x ＝t －2.因为f (x )＝2x ＋3，所以g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3，所以g (t )＝2(t －2)＋3＝2t －1.故函数g (x )的表达式为g (x )＝2x －1. 答案：g (x )＝2x －114．(2018·唐山一中测试)已知函数f (x )＝ax 5－bx ＋|x |－1，若f (－2)＝2，则f (2)＝________. 解析：因为f (－2)＝2，所以－32a ＋2b ＋2－1＝2，即32a －2b ＝－1，则f (2)＝32a －2b ＋2－1＝0. 答案：015．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ＋1，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14的值是__________．解析：由题意可得f ⎝⎛⎭⎫14＝log 214＝－2， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14＝f (－2)＝3－2＋1＝109. 答案：10916．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 13，x ≥8，2e x －8，x <8，则使得f (x )≤3成立的x 的取值范围是__________．解析：当x ≥8时，x 13≤3，x ≤27，即8≤x ≤27；当x <8时，2e x －8≤3恒成立．综上，x ∈(－∞，27]．答案：(－∞，27]B 组能力提升练1．(2018·郑州教学质量监测)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2 016]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是( ) A ．[－1,2 015] B ．[－1,1)∪(1,2 015] C ．[0,2 016]D ．[－1,1)∪(1,2 016]解析：要使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2 016，解得－1≤x ≤2 015，故函数f (x ＋1)的定义域为[－1,2 015]，所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2 015x －1≠0，故函数g (x )的定义域为[－1,1)∪(1,2 015]．答案：B2．(2018·大同质检)已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝x ＋2，则f (x )＝( ) A ．x ＋1 B ．2x －1 C ．－x ＋1D ．x ＋1或－x －1解析：设f (x )＝kx ＋b ，则由f [f (x )]＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2，∴k 2＝1，kb ＋b ＝2.解得k ＝1，b ＝1，则f (x )＝x ＋1.故选A. 答案：A3．(2018·天津模拟)设函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1＋x ，则f (x )的表达式为( )A.21＋x B.21＋x 2 C.1－x 21＋x 2D.1－x 1＋x解析：令1－x 1＋x ＝t ，则x ＝1－t 1＋t ，代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1＋x ，得f (t )＝1＋1－t 1＋t ＝21＋t ，故选A. 答案：A4．(2018·郑州质检)设函数f ：R →R 满足f (0)＝1，且对任意 x ，y ∈R 都有f (xy ＋1)＝f (x )f (y )－f (y )－x ＋2，则f (2 017)＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 017D ．2 018解析：令x ＝y ＝0，则f (1)＝f (0)f (0)－f (0)＋2＝1×1－1＋2＝2；令y ＝0，则f (1)＝f (x )f (0)－f (0)－x ＋2，将f (0)＝1，f (1)＝2代入，可得f (x )＝1＋x ，所以f (2 017)＝2 018.故选D.答案：D5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x －4)，x >2e x，－2≤x ≤2f (－x )，x <－2，则f (－2 017)＝( )A ．1B ．e C.1eD ．e 2解析：由已知可得，当x >2时，f (x )＝f (x －4)，故其周期为4，f (－2 017)＝f (2 017)＝f (2 016＋1)＝f (1)＝e. 答案：B6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 3(x 2－1)，x ≥2，则不等式f (x )>2的解集为( ) A ．(－2,4)B ．(－4，－2)∪(－1,2)C ．(1,2)∪(10，＋∞)D ．(10，＋∞)解析：令2e x －1>2(x <2)，解得1<x <2；令log 3(x 2－1)>2(x ≥2)，解得x >10，故选C. 答案：C7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ＋2)，x ＜2，⎝⎛⎭⎫13x ，x ≥2，则f (－1＋log 35)的值为( )A.115 B.53 C ．15D.23解析：∵－1＋log 35＜2，∴f (－1＋log 35)＝f (－1＋log 35＋2)＝f (1＋log 35)＝f (log 315)＝⎝⎛⎭⎫133log 15＝115，故选A. 答案：A8．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x2－1，x ≥0，1x ，x <0，若f (f (a ))＝－12，则实数a ＝( )A ． 4B ．－2C ．4或－12D ．4或－2答案：C9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <1x 3＋x ，x ≥1，则f (f (x ))<2的解集为( )A ．(1－ln 2，＋∞)B ．(－∞，1－ln 2)C ．(1－ln 2,1)D ．(1,1＋ln 2)解析：因为当x ≥1时，f (x )＝x 3＋x ≥2，当x <1时，f (x )＝2e x －1<2，所以f (f (x ))<2等价于f (x )<1，即2e x －1<1，解得x <1－ln 2，所以f (f (x ))<2的解集为(－∞，1－ln 2)，故选B. 答案：B10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln (1＋x )＋x 2，x ≥0－x ln (1－x )＋x 2，x <0，若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[－1,1]解析：若x >0，则－x <0，f (－x )＝x ln(1＋x )＋x 2＝f (x )，同理可得x <0时，f (－x )＝f (x )，且x ＝0时，f (0)＝f (0)，所以f (x )为偶函数．当x ≥0时，易知f (x )＝x ln(1＋x )＋x 2为增函数，所以不等式f (－a )＋f (a )≤2f (1)等价于2f (a )≤2f (1)，即f (a )≤f (1)，亦即f (|a |)≤f (1)，则|a |≤1，解得－1≤a ≤1，故选D. 答案：D11．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为( )A ．－32B ．－34C ．－32或－34D.32或－34解析：当a >0时，1－a <1,1＋a >1.由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a <0时，1－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34，所以a 的值为－34，故选B. 答案：B12．给出定义：若m －12＜x ≤m ＋12(其中m 为整数)，则m 叫作离实数x 最近的整数，记作{x }，即{x }＝m .现给出下列关于函数f (x )＝|x －{x }|的四个命题： ①f ⎝⎛⎭⎫－12＝12； ②f (3.4)＝－0.4； ③f ⎝⎛⎭⎫－14＝f ⎝⎛⎭⎫14； ④y ＝f (x )的定义域为R ，值域是⎣⎡⎦⎤－12，12. 其中真命题的序号是( ) A ．①② B ．①③ C ．②④D ．③④解析：①∵－1－12＜－12≤－1＋12，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12＝－1， ∴f ⎝⎛⎭⎫－12＝⎪⎪⎪⎪－12－⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12＝⎪⎪⎪⎪－12＋1＝12，∴①正确． ②∵3－12＜3.4≤3＋12，∴{3,4}＝3，∴f (3.4)＝|3.4－{3.4}|＝|3.4－3|＝0.4， ∴②错误．③∵0－12＜－14≤0＋12，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫－14＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫－14＝⎪⎪⎪⎪－14－0＝14.∵0－12＜14≤0＋12，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫14＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫14＝⎪⎪⎪⎪14－0＝14， ∴f ⎝⎛⎭⎫－14＝f ⎝⎛⎭⎫14， ∴③正确．④y ＝f (x )的定义域为R ，值域是⎣⎡⎦⎤0，12，∴④错误．故选B. 答案：B13．若函数f (2x )的定义域是[－1,1]，则函数f (2x －1)＋f (2x ＋1)的定义域是________．解析：因为函数f (2x )的定义域是[－1,1]，所以－2≤2x ≤2，所以函数f (x )的定义域为[－2,2]，所以f (2x －1)＋f (2x ＋1)的定义域应满足的条件为－2≤2x －1≤2且－2≤2x ＋1≤2，即－12≤x ≤32且－32≤x ≤12，所以－12≤x ≤12，所以函数f (2x －1)＋f (2x ＋1)的定义域是⎣⎡⎦⎤－12，12. 答案：⎣⎡⎦⎤－12，1214．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1， x ≤0，－(x －1)2， x ＞0，则不等式f (x )≥－1的解集是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－(x －1)2≥－1，解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2，即－4≤x ≤2，即不等式的解集为[－4,2]．答案：[－4,2]15．已知函数f (x )的定义域为实数集R ，∀x ∈R ，f (x －90)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，－x ，x ≤0，则f (10)－f (－100)的值为__________．解析：令t ＝x －90，得x ＝t ＋90，则f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (t ＋90)，t >－90，－(t ＋90)，t ≤－90，f (10)＝lg 100＝2，f (－100)＝－(－100＋90)＝10，所以f (10)－f (－100)＝－8. 答案：－816．(2018·郑州质检)若函数f (x )满足：∀a ，b ∈R ，都有3f ⎝⎛⎭⎫a ＋2b 3＝f (a )＋2f (b )，且f (1)＝1，f (4)＝7，则f (2 017)＝__________. 解析：由已知得f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋2b 3＝f (a )＋2f (b )3. 取f (x )＝kx ＋m ，易验证f (x )＝kx ＋m 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 3＝f (a )＋2f (b )3.由f (1)＝1，f (4)＝7得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋m ＝14k ＋m ＝7，由此解得k ＝2，m ＝－1，故f (x )＝2x －1，f (2 017)＝2×2017－1＝4 033. 答案：4 033。

高考数学一轮复习讲解与练习 2.4函数的奇偶性与周期性理新人教A版.pdf

[备考方向要明了] 考什么怎么考1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性． 3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.1.高考对函数奇偶性的考查有两个方面：一是函数奇偶性概念的应用，一般为求参数或求值，如2012年上海T9等，属于容易题；二是综合考查函数的性质(单调性、奇偶性等)，如2012年陕西T2，福建T7等．2.高考对函数周期性的考查，题型主要以选择题或填空的形式出现，常涉及函数求值问题，且与函数的单调性、奇偶性相结合命题，如2012年山东T8等. [归纳·知识整合] 1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称 [探究]　1.奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？它是函数具有奇偶性的什么条件？提示：定义域关于原点对称，必要不充分条件． 2．若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，是否有f(0)＝0？如果是偶函数呢？提示：如果f(x)是奇函数时，f(0)＝－f(0)，则f(0)＝0；如果f(x)是偶函数时，f(0)不一定为0，如f(x)＝x2＋1. 3．是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？若有，有多少个？提示：存在，如f(x)＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集，这样的函数有无穷多个． 2．周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 4.若T为y＝f(x)的一个周期，那么nT(nZ)是函数f(x)的周期吗？提示：不一定．由周期函数的定义知，函数的周期是非零常数，当nZ且n≠0时，nT是f(x)的一个周期． [自测·牛刀小试] 1．(教材习题改编)下列函数是奇函数的有( ) f(x)＝2x4＋3x2；　f(x)＝x3－2x； f(x)＝；f(x)＝x3＋1. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析：选B　首先确定这四个函数的定义域都关于原点对称，然后由奇函数的定义逐个判断可知，为奇函数． 2．(2013·郑州模拟)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ) A．f(x)＋|g(x)|是偶函数 B．f(x)－|g(x)|是奇函数 C．|f(x)|＋g(x)是偶函数 D．|f(x)|－g(x)是奇函数解析：选A　函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．令F(x)＝f(x)＋|g(x)|， F(－x)＝f(－x)＋|g(－x)| ＝f(x)＋|－g(x)|＝f(x)＋|g(x)|＝F(x)．故F(x)为偶函数．即f(x)＋|g(x)|是偶函数． 3．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f＝( ) A．－ B．－ C. D. 解析：选A　f(x)是周期为2的奇函数， f＝－f＝－f ＝－f＝－2××＝－. 4．(2012·重庆高考)若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________. 解析：f(x)＝x2＋(a－4)x－4a为二次函数，其图象的对称轴为x＝－，因为偶函数的图象关于y轴对称，所以－＝0，解得a＝4. 答案：4 5．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x(0，＋∞)时，f(x)＝lg x，则满足f(x)>0的x的取值范围是________．解析：当x(0，＋∞)时，f(x)＝lg x，当x(0,1)时，f(x)0. 又函数f(x)为奇函数，当x(－1,0)时，f(x)>0；当x(－∞，－1)时， f(x)0的x的取值范围是(－1,0)(1，＋∞)．答案：(－1,0)(1，＋∞) 判断函数的奇偶性 [例1]　判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝(x＋1) . [自主解答]　(1)由得x＝－或x＝. 函数f(x)的定义域为{－，}．又对任意的x{－，}，－x{－，}，且f(－x)＝－f(x)＝f(x)＝0. f(x)既是奇函数，又是偶函数． (2) ∴－2≤x≤2且x≠0. 函数f(x)的定义域关于原点对称．又x＋3>0， f(x)＝＝. 又f(－x)＝， f(－x)＝－f(x)．f(x)为奇函数． (3)由得－10－1<x0时，f(x)＝x2＋x，则当x0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；当x0时，－x<0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数． (3)由得定义域为(－1,0)(0,1)，关于原点对称， f(x)＝＝－. f(－x)＝－＝－＝f(x)， f(x)为偶函数. 函数奇偶性的应用 [例2]　(1)(2012·上海高考)已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________. (2)(2012·新课标全国卷)设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________. [自主解答]　(1)令H(x)＝f(x)＋x2，则H(1)＋H(－1)＝f(－1)＋1＋f(1)＋1＝0，则f(－1)＝－3，故g(－1)＝f(－1)＋2＝－1. (2)将函数化简，利用函数的奇偶性求解． f(x)＝＝1＋，设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)，因此g(x)是奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，则M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min ＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2. [答案]　(1)－1　(2)2 ——————————————————— 与函数奇偶性有关的问题及解决方法 (1)已知函数的奇偶性，求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)已知函数的奇偶性求解析式将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式． ?3?已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值,常常利用待定系数法：利用f?x?±f?－x?＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解.?4?应用奇偶性画图象和判断单调性,利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性. 2．(1)设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝( ) A．－3 B．－1 C．1 D．3 (2)已知函数f(x)在区间[－5,5]上是奇函数，在区间[0,5]上是单调函数，且f(3)<f(1)，则( ) A．f(－1)f(－1) C．f(－1)f(－5) 解析：(1)选A　因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得 b＝－1.所以当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3. (2)选A　函数f(x)在区间[0,5]上是单调函数，又3>1，且f(3)<f(1)，故此函数在区间[0,5]上是减函数．由已知条件及奇函数性质，知函数f(x)在区间[－5,5]上是减函数．选项A中，－3f(－1)．选项B中，0>－1，故f(0)f(1)，选项D中f(－3)<f(－5). 函数的周期性及其应用 [例3]　(1)(2012·山东高考)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝( ) A．335 B．338 C．1 678 D．2 012 (2)(2012·江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝其中a，bR.若f＝f，则a＋3b的值为________． [自主解答]　(1)由f(x＋6)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为6，所以f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，所以在一个周期内有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2012)＝f(1)＋f(2)＋335×1＝1＋2＋335＝338. (2)因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f＝f，且f(－1)＝f(1)，故f＝f，从而＝－a＋1，即3a＋2b＝－2. 由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝，即b＝－2a. 由得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10. [答案]　(1)B　(2)－10 ——————————————————— 函数周期性的判定与应用 (1)判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题． (2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(kZ且k≠0)也是函数的周期． 3．(1)(2013·济宁模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且是以2为周期的周期函数．若当x[0,1)时，f(x)＝2x－1，则f的值为( ) A．－ B．－5 C．－ D．－6 (2)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x＋1)＝－f(x)，若f(x)在[－1,0]上是减函数，那么f(x)在[1,3]上是( ) A．增函数 B．减函数 C．先增后减的函数 D．先减后增的函数解析：(1)选C　－3<log6<－2，－1<log6＋2<0，即－1<log0时，x2＝|cos πx|而使问题得以简单解决． 2．解决本题的关键有以下几点 (1)正确识别函数f(x)的性质； (2)注意到x＝0是函数h(x)的一个零点，此处极易被忽视； (3)正确画出函数的图象，将零点问题转化为函数图象的交点问题． 1．(2013·衡阳六校联考)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，且当x[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2 011)＋f(2 012)＝( ) A．1＋log23 B．－1＋log23 C．－1 D．1 解析：选C　f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数， f(－2 011)＝f(2 011)．当x≥0时，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，则f(x)是以4为周期的函数．注意到2 011＝4×502＋3,2 012＝4×503， f(2 011)＝f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－log2(1＋1)＝－1，f(2 012)＝f(0)＝log21＝0. f(－2 011)＋f(2 012)＝－1. 2．(2013·朝阳模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xR，都有f(x＋2)＝f(x)．当0≤x≤1时，f(x)＝x2.若直线y＝x＋a与函数y＝f(x)的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是( ) A．0 B．0或－ C．－或－ D．0或－解析：选D　f(x＋2)＝f(x)，T＝2. 又0≤x≤1时，f(x)＝x2，可画出函数y＝f(x)在一个周期内的图象如图．显然a＝0时，y＝x与y＝x2在[0,2]内恰有两个不同的公共点．另当直线y＝x＋a与y＝x2(0≤x≤1)相切时也恰有两个不同公共点，由题意知y′＝(x2)′＝2x＝1，x＝. A，又A点在y＝x＋a上，a＝－，综上可知a＝0或－. 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．(2012·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A．y＝x＋1 B．y＝－x3 C．y＝ D．y＝x|x| 解析：选D　由函数的奇偶性排除A，由函数的单调性排除B、C，由y＝x|x|的图象可知当x≥0时此函数为增函数，又该函数为奇函数． 2．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)＝( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选A　由题意，f(x)是以4为周期的奇函数，则f(4)＝f(4＋0)＝f(0)＝0，f(8)＝f(4＋4)＝f(4)＝0. 3．设偶函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝0，则不等式>0的解集为( ) A．(－2,0)(2，＋∞) B．(－∞，－2)(0,2) C．(－∞，－2)(2，＋∞) D．(－2,0)(0,2) 解析：选B　f(x)为偶函数，＝>0， xf(x)>0，或又f(－2)＝f(2)＝0，f(x)在(0，＋∞)上为减函数，x∈(0,2)或x(－∞，－2)． 4．已知函数f(x)＝则该函数是( ) A．偶函数，且单调递增 B．偶函数，且单调递减 C．奇函数，且单调递增 D．奇函数，且单调递减解析：选C　当x>0时，－x<0，f(－x)＋f(x)＝(2－x－1)＋(1－2－x)＝0；当x0，f(－x)＋f(x)＝(1－2x)＋(2x－1)＝0，易知f(0)＝0.因此，对任意xR，均有＋f(x)＝0，即函数f(x)是奇函数．当x>0时，函数f(x)是增函数，因此函数f(x)单调递增． 5．(2013·广州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( ) A．f(－25)<f(11)<f(80) B．f(80)<f(11)<f(－25) C．f(11)<f(80)<f(－25) D．f(－25)<f(80)<f(11) 解析：选D　由函数f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是增函数可以推知f(x)在[－2,2]上递增，又f(x－4)＝－f(x)f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，故函数f(x)以8为周期，f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(3－4)＝f(1)，f(80)＝f(0)，故f(－25)<f(80)0在[－1,3]上的解集为( ) A．(1,3) B．(－1,1) C．(－1,0)(1,3) D．(－1,0)(0,1) 解析：选C　f(x)的图象如图．当x(－1,0)时，由xf(x)>0得x(－1,0)；当x(0,1)时，由xf(x)0得x(1,3)．故x(－1,0)(1,3)．二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________. 解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝. 又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0. 答案：　0 8．若偶函数y＝f(x)为R上的周期为6的周期函数，且满足f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，则f(－6)等于________．解析：y＝f(x)为偶函数，且f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)， f(x)＝x2＋(1－a)x－a,1－a＝0. a＝1.f(x)＝(x＋1)(x－1)(－3≤x≤3)． f(－6)＝f(－6＋6)＝f(0)＝－1. 答案：－1 9．(2013·徐州模拟)设函数f(x)是定义在R上周期为3的奇函数，若f(1)<1，f(2)＝，则a的取值范围是________．解析：f(x)是奇函数，f(1)＝－f(－1)－1.又f(x)的周期为3，f(－1)＝f(2)＝>－1.即>0，解得a>0或a<－1. 答案：(－∞，－1)(0，＋∞) 三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．函数y＝f(x)(x≠0)是奇函数，且当x(0，＋∞)时是增函数，若f(1)＝0，求不等式f(x<0的解集．解：y＝f(x)是奇函数，f(－1)＝－f(1)＝0. 又y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数， y＝f(x)在(－∞，0)上是增函数，若f(x<0＝f(1)，即0<x<1，解得<x<或<x<0. f(x<0＝f(－1)， ∴x<－1，解得x. ∴原不等式的解集是x<x<或<x<0. 11．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数aR)． (1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由； (2)若函数f(x)在x[2，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝0时，f(x)＝x2对任意x(－∞，0)(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)．故f(x)为偶函数；当a≠0时，f(x)＝x2＋(x≠0，常数aR)，取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0； f(－1)－f(1)＝－2a≠0，即f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)．故函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． (2)设2≤x1<x2， f(x1)－f(x2)＝x＋－x－＝ [x1x2(x1＋x2)－a]，要使函数f(x)在x[2，＋∞)上为增函数，必须f(x1)－f(x2)<0恒成立， x1－x20，即x1x2(x1＋x2)>a恒成立．又x1＋x2>4，x1x2>4，x1x2(x1＋x2)>16. a的取值范围是(－∞，16]． 12．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x. (1)求f(π)的值； (2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积； (3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调增(或减)区间．解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)得， f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)．故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．又0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则－1≤x≤0时f(x)＝x，则f(x)的图象如图所示．当－4≤x≤4时，设f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4SOAB＝4×＝4. (3)函数f(x)的单调递增区间为[4k－1,4k＋1](kZ)，单调递减区间为[4k＋1,4k＋3](kZ)． 1．若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则 A．f(x)与g(x)均为偶函数 B．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数 C．f(x)与g(x)均为奇函数 D．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数解析：选D　f(x)＝3x＋3－x，g(x)＝3x－3－x， f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)． f(x)为偶函数，g(x)为奇函数． 2．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)等于( ) A．ex－e－x B.(ex＋e－x)C.(e－x－ex)D.(ex－e－x) 解析：选D　f(x)为偶函数，g(x)为奇函数， f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)． f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e－x. 又f(x)＋g(x)＝ex， g(x)＝. 3．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( ) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：选B　f(x)是最小正周期为2的周期函数，且0≤x<2时， f(x)＝x3－x＝x(x－1)(x＋1)，当0≤x<2时，f(x)＝0有两个根，即x1＝0，x2＝1. 由周期函数的性质知，当2≤x0，回答下列问题． (1)判断f(x)在(－1,1)上的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数f(x)在(0,1)上的单调性，并说明理由； (3)若f＝，试求f－f－f的值．解：(1)令x＝y＝0f(0)＝0，令y＝－x，则f(x)＋f(－x)＝0f(－x)＝－f(x)f(x)在(－1,1)上是奇函数． (2)设0<x1<x2<1，则f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f，而x1－x2<0,0<x1x2<10，故－1<0，即当0<x1<x2f(x2)， f(x)在(0,1)上单调递减． (3)由于f－f ＝f＋f ＝f＝f. 同理，f－f＝f， f－f＝f， f－f－f ＝2f＝2×＝1. 。

2019版一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第二章第二节函数的单调性与最值

课时规范练 A 组基础对点练1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：当x ＞0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．故选C. 答案：C2．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝e －xB ．y ＝x 3C ．y ＝ln xD ．y ＝|x |解析：因为对数函数y ＝ln x 的定义域不是R ，故首先排除选项C ；因为指数函数y ＝e －x ，即y ＝⎝⎛⎭⎫1e x，在定义域内单调递减，故排除选项A ；对于函数y ＝|x |，当x ∈(－∞，0)时，函数变为y ＝－x ，在其定义域内单调递减，因此排除选项D ；而函数y ＝x 3在定义域R 上为增函数．故选B. 答案：B3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝lg|x |解析：A 中y ＝1x 是奇函数，A 不正确；B 中y ＝e －x ＝⎝⎛⎭⎫1e x 是非奇非偶函数，B 不正确；C 中y ＝－x 2＋1是偶函数且在(0，＋∞)上是单调递减的，C 正确；D 中y ＝lg|x |在(0，＋∞)上是增函数，D 不正确．故选C. 答案：C4．设f (x )＝x －sin x ，则f (x )( )A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数解析：∵f (－x )＝－x －sin(－x )＝－(x －sin x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．又f ′(x )＝1－cos x ≥0， ∴f (x )单调递增，选B. 答案：B5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ＞0，cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)解析：因为f (π)＝π2＋1，f (－π)＝－1，所以f (－π)≠f (π)，所以函数f (x )不是偶函数，排除A ；因为函数f (x )在(－2π，－π)上单调递减，排除B ；函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )不是周期函数，排除C ；因为x ＞0时，f (x )＞1，x ≤0时，－1≤f (x )≤1，所以函数f (x )的值域为[－1，＋∞)，故选D. 答案：D6．(2018·天津模拟)若函数f (x )满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”，则f (x )的解析式可以是( ) A ．f (x )＝(x －1)2 B ．f (x )＝e x C ．f (x )＝1xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：根据条件知，f (x )在(0，＋∞)上单调递减．对于A ，f (x )＝(x －1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除A ；对于B ，f (x )＝e x 在(0，＋∞)上单调递增，排除B ；对于C ，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，C 正确；对于D ，f (x )＝ln(x ＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除D. 答案：C7．设a ＞0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若函数f (x )＝a x 在R 上为减函数，则有0＜a ＜1；若函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上为增函数，则有2－a ＞0，即a ＜2，所以“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件，选A. 答案：A8．(2018·福州模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x <0a x ，x ≥0，(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B.⎣⎡⎭⎫13，1 C.⎝⎛⎦⎤0，13 D.⎝⎛⎦⎤0，23 解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧0<a <13a ≥1，∴13≤a <1.答案：B9．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2 C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1)解析：A 项，y ＝x ＋1为(－1，＋∞)上的增函数，故在(0，＋∞)上递增；B 项，y ＝(x －1)2在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增；C 项，y ＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x为R 上的减函数；D 项，y ＝log 0.5(x ＋1)为(－1，＋∞)上的减函数．故选A. 答案：A10．已知f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )单调递减，设a ＝－21.2，b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8，c ＝2log 5 2，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( ) A ．f (c )<f (b )<f (a ) B ．f (c )<f (a )<f (b ) C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (a )>f (b )解析：依题意，注意到21.2>20.8＝⎝⎛⎭⎫12－0.8>20＝1＝log 55>log 54＝2log 52>0，又函数f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，于是有f (21.2)<f (20.8)<f (2log 52)，由函数f (x )是偶函数得f (a )＝f (21.2)，因此f (a )<f (b )<f (c )，选C. 答案：C11．(2018·长沙统考)已知函数f (x )＝x 12，则( )A ．∃x 0∈R ，f (x 0)<0B ．∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≥0C ．∃x 1，x 2∈[0，＋∞)，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0D ．∀x 1∈[0，＋∞)，∃x 2∈[0，＋∞)，f (x 1)>f (x 2)解析：幂函数f (x )＝x 12的值域为[0，＋∞)，且在定义域上单调递增，故A 错误，B 正确，C错误，D 选项中当x 1＝0时，结论不成立，选B. 答案：B12．对于函数f (x )，在使f (x )≥M 成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值叫作函数f (x )的下确界．现已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝－3x 2＋2，则f (x )的下确界为( ) A ．2 B ．1 C ．0D ．－1解析：函数f (x )在R 上的部分图象如图所示，易得下确界为－1.故选D.答案：D13．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x ＜1的值域为________．解析：当x ≥1时，log 12x ≤0，当x ＜1时，0＜2x ＜2，故值域为(0,2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)．答案：(－∞，2)14．(2018·江西赣中南五校联考)函数f (x )＝x ＋2x －1的值域为________．解析：由2x －1≥0可得x ≥12，∴函数的定义域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞，又函数f (x )＝x ＋2x －1在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增， ∴当x ＝12时，函数取最小值f ⎝⎛⎭⎫12＝12， ∴函数f (x )的值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 答案：⎣⎡⎭⎫12，＋∞15．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.解析：由f (x )＝⎩⎨⎧－2x －a ，x ＜－a22x ＋a ，x ≥－a2，可得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫－a2，＋∞，故3＝－a2，解得a ＝－6.答案：－616．已知函数f (x )＝x ＋ax (x ≠0，a ∈R)，若函数f (x )在(－∞，－2]上单调递增，则实数a 的取值范围是__________．解析：设x 1<x 2≤－2，则Δy ＝f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a x 1－x 2－ax 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－a x 1x 2 ＝(x 1－x 2)(x 1x 2－a )x 1x 2.因为x 1－x 2<0，x 1x 2>0，所以要使Δy ＝(x 1－x 2)(x 1x 2－a )x 1x 2<0恒成立，只需使x 1x 2－a >0恒成立，即a <x 1x 2恒成立．因为x 1<x 2≤－2，所以x 1x 2>4，所以a ≤4，故函数f (x )在(－∞，－2]上单调递增时，实数a 的取值范围是(－∞，4]．答案：(－∞，4]B 组能力提升练1．已知f (x )是定义域为(－1,1)的奇函数，而且f (x )是减函数，如果f (m －2)＋f (2m －3)>0，那么实数m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫1，53 B.⎝⎛⎭⎫－∞，53 C ．(1,3)D.⎝⎛⎭⎫53，＋∞解析：∵f (x )是定义域为(－1,1)的奇函数，∴－1<x <1，f (－x )＝－f (x )．∵f (m －2)＋f (2m －3)>0可转化为f (m －2)>－f (2m －3)，∴f (m －2)>f (－2m ＋3)， ∵f (x )是减函数，∴m －2<－2m ＋3， ∵⎩⎪⎨⎪⎧－1<m －2<1，－1<2m －3<1，m －2<－2m ＋3，∴1<m <53.故选A. 答案：A2．(2018·陕西西安一中模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (x ＋1)，x ＞0，若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C ．(－1,2) D ．(－2,1)解析：∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，∴函数的图象是一条连续的曲线．∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)＞f (x )等价于2－x 2＞x ，即x 2＋x －2＜0，解得－2＜x ＜1.故选D. 答案：D3．若f (x )＝e x －a e －x 为奇函数，则f (x －1)＜e －1e 的解集为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，1)C ．(2，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：因为f (x )＝e x －a e －x 为奇函数，所以f (0)＝1－a ＝0，即a ＝1，则f (x )＝e x －e －x 在R 上单调递增，且f (1)＝e －1e .则由f (x －1)＜e －1e ，得f (x －1)＜f (1)，即x －1＜1，解得x ＜2，所以不等式f (x －1)＜e －1e 的解集为(－∞，2)．故选A.答案：A4．若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B.⎣⎡⎭⎫1，32 C ．[1,2)D.⎣⎡⎭⎫32，2解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以k －1≥0，即k ≥1.令f ′(x )＝4x 2－12x ＝0，解得x＝12⎝⎛⎭⎫x ＝－12舍.因为函数f (x )在区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，所以k －1＜12＜k ＋1，得－12＜k ＜32.综上得1≤k ＜32. 答案：B5．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2] B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎦⎤12，2D ．(0,2]解析：由已知条件得f (－x )＝f (x )，则f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)⇒f (log 2a )＋f (－log 2a )≤2f (1)⇒f (log 2a )≤f (1)，又f (log 2a )＝f (|log 2a |)且f (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴|log 2a |≤1⇒－1≤log 2a ≤1，解得12≤a ≤2，选C.答案：C6．设函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，则( ) A ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是增函数 B ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是减函数 C ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是增函数 D ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是减函数解析：因为函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12，则(m －1)ln 3＝0，即m ＝1，则f (x )＝ln(1＋x )＋ln(1－x )＝ln(1－x 2)，在(0,1)上，当x 增大时，1－x 2减小，ln(1－x 2)减小，即f (x )在(0,1)上是减函数，故选B. 答案：B7．已知函数f (x )＝lg(a x －b x )＋x 中，常数a ，b 满足a ＞1＞b ＞0，且a ＝b ＋1，那么f (x )＞1的解集为( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1,10)D ．(10，＋∞)解析：由a x －b x ＞0，即⎝⎛⎭⎫a b x＞1，解得x ＞0，所以函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为a ＞1＞b ＞0，所以y ＝a x 单调递增，y ＝－b x 单调递增，所以t ＝a x －b x 单调递增．又y ＝lg t 单调递增，所以f (x )＝lg(a x －b x )＋x 为增函数．而f (1)＝lg(a －b )＋1＝lg 1＋1＝1，所以x ＞1时f (x )＞1，故f (x )＞1的解集为(1，＋∞)．故选B. 答案：B8．已知函数f (x )是定义在R 上的单调递增函数，且满足对任意的实数x 都有f (f (x )－3x )＝4，则f (x )＋f (－x )的最小值等于( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．12解析：由f (x )的单调性知存在唯一实数K 使f (K )＝4，即f (x )＝3x ＋K ，令x ＝K 得f (K )＝3K ＋K ＝4，所以K ＝1，从而f (x )＝3x ＋1，即f (x )＋f (－x )＝3x ＋13x ＋2≥23x ·13x ＋2＝4，当且仅当x ＝0时取等号．故选B. 答案：B9．“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：充分性：当a <0时，f (x )＝|(ax －1)·x |＝－ax 2＋x 为图象开口向上的二次函数，且图象的对称轴为直线x ＝12a ⎝⎛⎭⎫12a <0，故f (x )在(0，＋∞)上为增函数；当a ＝0时，f (x )＝x ，为增函数．必要性：f (0)＝0，当a ≠0时，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝0，若f (x )在(0，＋∞)上为增函数，则1a<0，即a <0.f (x )＝x 时，f (x )为增函数，此时a ＝0.综上，a ≤0为f (x )在(0，＋∞)上为增函数的充分必要条件．答案：C10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －1)x ＋4－2a ，x <11＋log 2x ，x ≥1.若f (x )的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(－∞，2]C ．(0,2]D ．[2，＋∞)解析：依题意，当x ≥1时，f (x )＝1＋log 2x 单调递增，f (x )＝1＋log 2x 在区间[1，＋∞)上的值域是[1，＋∞)．因此，要使函数f (x )的值域是R ，则需函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ⊇(－∞，1)．①当a －1<0，即a <1时，函数f (x )在(－∞，1)上单调递减，函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝(－a ＋3，＋∞)，显然此时不能满足M ⊇(－∞，1)，因此a <1不满足题意；②当a －1＝0，即a ＝1时，f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝{2}，此时不能满足M ⊇(－∞，1)，因此a ＝1不满足题意；③当a －1>0，即a >1时，函数f (x )在(－∞，1)上单调递增，函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝(－∞，－a ＋3)，由M ⊇(－∞，1)得⎩⎨⎧a >13－a ≥1，解得1<a ≤2.综上所述，满足题意的实数a 的取值范围是(1,2]，选A. 答案：A11．(2018·重庆模拟)若函数f (x )在[a ，b ]上的值域为⎣⎡⎦⎤a 2，b 2，则称函数f (x )为“和谐函数”．给出下列4个函数：①g (x )＝x －1＋14；②p (x )＝1x ；③q (x )＝ln x ；④h (x )＝x 2.其中“和谐函数”的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：由题意知，若f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，需满足f (a )＝a 2，f (b )＝b2，若f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，需满足f (b )＝a 2，f (a )＝b2.①g (x )＝x －1＋14在[1，＋∞)上为增函数，则g (a )＝a 2，g (b )＝b 2，即a ，b 是函数g (x )＝x2的两个根，即x －1＋14＝x2，则x －1＝－14＋x2，作出函数y ＝x －1和y ＝－14＋x2的图象如图：则这两个函数的图象有两个交点，满足条件．②p (x )＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数，则p (b )＝a 2，p (a )＝b2，即⎩⎨⎧1a ＝b 21b ＝a2，即ab ＝2，当a ＝12，b ＝4时，满足条件．③q (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，则q (a )＝a 2，q (b )＝b 2，即a ，b 是函数q (x )＝x2的两个根，即ln x ＝x 2，作出y ＝ln x 和y ＝x2的图象如图：则这两个函数的图象没有交点，不满足条件．④当x ≥0时，h (x )＝x 2为增函数，则h (a )＝a 2，h (b )＝b 2，即a ，b 是函数h (x )＝x2的两个根，作出y ＝x 2和y ＝x2的图象如图：则这两个函数的图象有两个交点，满足条件．故选C. 答案：C12．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋4x ，x >0，－x 2－2x ，x ≤0的值域为__________．解析：当x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋4x ＝x ＋4x－2，由基本不等式可得x ＋4x ≥2x ·4x ＝4(当且仅当x ＝4x，即x ＝2时等号成立)，所以f (x )＝x ＋4x－2≥4－2＝2，即函数f (x )的取值范围为[2，＋∞)；当x ≤0时，f (x )＝－x 2－2x ＝－(x ＋1)2＋1，因为当x ＝－1时，f (x )取得最大值1，所以函数f (x )的取值范围为(－∞，1]．综上，函数f (x )的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ≤1，x ＋6x －6，x ＞1，则f (f (－2))＝__________，f (x )的最小值是__________．解析：因为f (－2)＝4，f (4)＝－12，所以f (f (－2))＝－12；x ≤1时，f (x )min ＝0，x ＞1时，f (x )min ＝26－6，又26－6＜0，所以f (x )min ＝26－6.答案：－1226－6 14．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．解析：因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减．又f (2|a －1|)＞f (－2)，f (－2)＝f (2)，故－2＜2|a －1|＜2，则|a －1|＜12，所以12＜a ＜32. 答案：⎝⎛⎭⎫12，3215．(2018·北京模拟)已知函数f (x )＝x x 2＋1，关于f (x )的性质，有下列四个结论： ①f (x )的定义域是(－∞，＋∞)；②f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，12； ③f (x )是奇函数；④f (x )是区间(0,2)上的增函数．其中正确结论的个数是________．解析：对于①，∵函数f (x )＝x x 2＋1，∴f (x )的定义域是(－∞，＋∞)，故①正确；对于②，当x ≠0时，f (x )＝1x ＋1x，若x ＞0，则0＜f (x )≤12，若x ＜0，则－12≤f (x )＜0；当x ＝0时，f (x )＝0，故f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，12，故②正确；对于③，f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，故③正确；对于④，f ′(x )＝1－x 2(x 2＋1)2，令f ′(x )＞0，解得－1＜x ＜1，令f ′(x )＜0，解得x ＞1或x ＜－1， ∴f (x )在区间(0,2)上先增后减，故④错误．综上可知，正确结论的个数是3.答案：3。

《创新设计》数学一轮(文科)人教B配套精品课件第2章第3讲函数的奇偶性与周期性

第3讲函数的奇偶性与周期性〔夯基释疑]，训练2J:训练3 ]判断正误(在括号内打“厂或“ X ”)(1)函数y=W, x£(0, +8)是偶函数.(龔)(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点.(X)(3)若函数丁=冷+“)是偶函数，则函数丿=冷)关于直线兀=4对称.(“)(4)函数/仗)在定义域上满>g/(x+tt) = —/(x),贝!|/*(兀)是/RJ 期为2«(«>0)的周期函数.(✓)【例1】判断下列函数的奇偶性厂先判断函数的定义域是否关于原点对称=xlg(x+^/x2+l) ；=(1 一兀)寸—x2+2x+l (兀＞0)、寸4—疋x2+2r-l (x＜0) ；(4)/(X)=I X+3I-3*解(1)・・・心+＞氐1》0,・••函数心)的定义域为R,关于原点对称, 又~x)=(—-v)lg(—兀+7 (—x) ?+l)=—xlg(^x2+l —x) =xlg(^/x2+l +x) =f(x).即/m•°・/3)是偶函数.【例1】判断下列函数的奇偶性厂先判断函数的定义域是否关于原点对称=xlg(x+^/x2 3+l) ；=(1 一兀)寸—x2+2x+l (兀>0)、寸4—疋x2+2r-l (x<0) ；(4)/(X)=I X+3I-3*2 当且仅当—^0时函数有意义，・・・一lWxVl,由于定义域关辛原点不对称，.••函数/仗)是非奇非偶函数.3 函数的定义域为{xlxHO},关于原点对称，当无＞0时，_xV0, /(—x)=x2—2x—1 = —/(x), 当无V0时，一兀＞0, /(—兀)=—x2—2x+l = -f(x). •\A_x)=—/W，即函数是奇函数.=xlg(x+^/x 2+l) ；=(1 一兀)寸 —x 2+2x+l (兀>0)、寸4—疋x 2+2r-l (x<0) ；(4)/(X)= I X +3I-3*•••函数的定义域关于原点对称.•••/（_兀）=一/3），即函数是奇函数.【例1】判断下列函数的奇偶性厂先判断函数的定义域是否关于原点对称f4-x 2^0, Lr+3IH3=>—2三兀£2且兀工0,、/4—兀2 、/4—兀2 x+3—3 x ，又/（_兀）= 寸4—(―兀)2—X规律方法判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件:黠义蠶瑞聽点是函数具有奇偶性的必要不充分（2）判断£3）与/（一兀）是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算=0（奇函数）或/仗）一/（一兀）=0（偶函数））是否成立・中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式（f（x）+/（-x）【训练1】⑴(2015•郑州质量预测)下列函数中，既是偶函数又在区间(1, 2)上单调递增的是()2X-2~X2-xA・ j=log2lxl B. j=cos 2x C・y=——D. y=(2)(2014-日照模拟)函数/(x)=log2(x+Vr3 2+l)(x G R)与g(x)=lg lx—21分别为______________ 和_________ 函数(填“奇”"偶”“既奇又偶”或“非奇非偶”).【训练1】⑴(2015•郑州质量预测)下列函数中，既是偶函数又在区间(1, 2)上单调递增的是()2X-2~X2-xA・ j=log2lxl B. j=cos 2x C・y=——D. y=解析⑴对于A,函数尸呃2氐1是偶函数且在区间(1, 2)上是增函数；对于B,函=cos 2x在区间(1, 2)上不是增函数；(2)(2014-日照模拟)函数/(x)=log2(x+Vr2+l)(x G R)与g(x)=lg lx—21分别为______________ 和_________ 函数(填“奇”"偶”“既奇又偶”或“非奇非偶”).【训练1】⑴(2015•郑州质量预测)下列函数中，既是偶函数又在区间(1, 2)上单调递增的是()2X-2~X2-xA・ j=log2lxl B. j=cos 2x C・y=——D. y=(2)(2014-日照模拟)函数/(x)=log2(x+Vr2+l)(x G R)与g(x)=lg lx—21分别为______________ 和_________ 函数(填“奇”"偶”“既奇又偶”或“非奇非偶”).【例2］⑴(2014•安徽卷)若函数/(x)(xGR)是周期为4的奇函数,x(l—x), OWxWl,且在［0, 2］上的解析式为/(兀)=. ——则/ (晋)+/ (?)= ------------ •(2)已知/(兀)是定义在R上的偶函数,且/(兀+2) = -f(x)，当2 0 W 3 时，/(x)=x,则/(105.5)= ___________ •【例2］⑴(2014•安徽卷)若函数/(x)(xGR)是周期为4的奇函数,x (1—x) , OWxWl ，且在[0, 2]上的解析式为f(x)=\ •sm 7ix, 1V XW2,则 X?)+(2)已知/U)是定义在R上的偶函数，且/(兀+2)=—/(对,当2WxW3 时，f(x)=x f则f(105.5)=・【训练2] （2014-长春一模）已知函数/（兀）是定义在R上的奇函数，且是以2为周期的周期函数.若当xe[0, 1）^, f（x）=2x-l,贝!| 广（1。

【配套K12】2019版一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第二章第七节函数图象 Word版含解

课时规范练 A 组基础对点练1．如图的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限内的图象．已知n 分别取±2，±12四个值，与曲线C 1，C 2，C 3，C 4相应的n 依次为( )A ．2，12，－12，－2B ．2，12，－2，－12C ．－12，－2,2，12D ．－2，－12，12，2解析：C 1，C 2对应的n 为正数，且C 1的n 应大于1；当x ＝2时，C 4对应的值小，应为－2. 答案：A2.如图，在不规则图形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把四边形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分面积为y ，则y 关于x 的大致图象为( )解析：直线l 在AD 圆弧段时，面积y 的变化率逐渐增大，l 在DC 段时，y 随x 的变化率不变；l 在CB 段时，y 随x 的变化率逐渐变小，故选D. 答案：D3．函数y ＝xa x|x |(0＜a ＜1)的图象的大致形状是( )解析：函数定义域为{x |x ∈R ，x ≠0}，且y ＝xax|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ＞0，－a x，x ＜0.当x ＞0时，函数是一个指数函数，其底数0＜a ＜1，所以函数递减；当x ＜0时，函数递增，所以应选D. 答案：D4．函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x －1x 的图象是( )解析：自变量x 满足x －1x ＝x 2－1x＞0，当x ＞0时可得x ＞1，当x ＜0时可得－1＜x ＜0，即函数f (x )的定义域是(－1,0)∪(1，＋∞)，据此排除选项A 、D 中的图象．当x ＞1时，函数x －1x 单调递增，故f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x －1x 单调递增．答案：B5.(2018·武昌调研)已知函数f (x )的部分图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( ) A ．f (x )＝2－x 22xB ．f (x )＝cos xx 2C ．f (x )＝－cos 2xxD ．f (x )＝cos xx解析：A 中，当x →＋∞时，f (x )→－∞，与题图不符，故不成立；B 为偶函数，与题图不符，故不成立；C 中，当x →0＋时，f (x )<0，与题图不符，故不成立．选D. 答案：D6．函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( ) A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e－x ＋1D ．e－x －1解析：与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的图象对应的函数为y ＝e －x ，将函数y ＝e －x 的图象向左平移1个单位长度即得y ＝f (x )的图象，∴f (x )＝e －(x ＋1)＝e －x －1，故选D. 答案：D7．函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象的交点个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0解析：在同一直角坐标系下画出函数f (x )＝2ln x 与函数g (x )＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1的图象，如图所示．∵f (2)＝2ln 2＞g (2)＝1，∴f (x )与g (x )的图象的交点个数为2.故选B. 答案：B8．如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1＜x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1＜x ≤1}D ．{x |－1＜x ≤2}解析：作出函数y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图所示：其中函数f (x )与y ＝log 2(x ＋1)的图象的交点为D (1,1)，结合图象可知f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}，故选C. 答案：C 9．若函数y ＝2－x ＋1＋m 的图象不经过第一象限，则m 的取值范围是________．解析：由y ＝2－x ＋1＋m ，得y ＝⎝⎛⎫12x －1＋m ；函数y ＝⎝⎛⎫12x －1的图象如所示，则要使其图象不经过第一象限，则m ≤－2. 答案：(－∞，－2]10.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ≤0，log c ⎝⎛⎭⎫x ＋19，x ＞0的图象如图所示，则a ＋b ＋c ＝________.解析：由图象可求得直线的方程为y ＝2x ＋2.又函数y ＝log c ⎝⎛⎭⎫x ＋19的图象过点(0,2)，将其坐标代入可得c ＝13，所以a ＋b ＋c ＝2＋2＋13＝133. 答案：13311．(2018·枣庄一中模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，如果函数g (x )＝f (x )－m (m ∈R)恰有4个零点，则m 的取值范围是________．解析：f (x )的图象如图所示，g (x )＝0即f (x )＝m ， y ＝m 与y ＝f (x )有四个交点，故m 的取值范围为(－1,0)．答案：(－1,0)12．若函数f (x )＝⎩⎨⎧ 1x，x ＜0，⎝⎛⎭⎫13x，x ≥0，则不等式－13≤f (x )≤13的解集为__________．解析：函数f (x )＝⎩⎨⎧1x ，x <0，⎝⎛⎭⎫13x，x ≥0和函数g (x )＝±13的图象如图所示．当x <0时，是区间(－∞，－3]，当x ≥0时，是区间[1，＋∞)，故不等式－13≤f (x )≤13的解集为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．答案：(－∞，－3]∪[1，＋∞)B 组能力提升练1．(2018·临沂模拟)已知a 是常数，函数f (x )＝13x 3＋12·(1－a )x 2－ax ＋2的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数g (x )＝|a x －2|的图象可能是( )解析：∵f (x )＝13x 3＋12(1－a )x 2－ax ＋2，∴f ′(x )＝x 2＋(1－a )x －a ，由函数y ＝f ′(x )的图象可知－1－a2＞0，∴a ＞1，则函数g (x )＝|a x －2|的图象是由函数y ＝a x 的图象向下平移2个单位，然后将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方得到的，故选D. 答案：D2．函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0，d ＞0B ．a ＞0，b ＜0，c ＜0，d ＞0C ．a ＜0，b ＜0，c ＞0，d ＞0D ．a ＞0，b ＞0，c ＞0，d ＜0解析：∵函数f (x )的图象在y 轴上的截距为正值，∴d ＞0.∵f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，且函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，x 1)上单调递增，(x 1，x 2)上单调递减，(x 2，＋∞)上单调递增，∴f ′(x )＜0的解集为(x 1，x 2)，∴a ＞0，又x 1，x 2均为正数，∴c 3a ＞0，－2b3a ＞0，可得c ＞0，b＜0. 答案：A3．函数y ＝ln|x |－x 2的图象大致为( )解析：令f (x )＝ln|x |－x 2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (－x )＝ln|x |－x 2＝f (x )，故函数y ＝ln|x |－x 2为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B ，D ；当x >0时，y ＝ln x －x 2，则y ′＝1x －2x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，22时，y ′＝1x －2x >0，y ＝ln x －x 2单调递增，排除C.选A. 答案：A4．已知函数f (x )＝－2x 2＋1，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >02x ，x ≤0，则函数y ＝|f (x )|－g (x )的零点的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：函数y ＝|f (x )|－g (x )的零点的个数，即|f (x )|－g (x )＝0的根的个数，可得|f (x )|＝g (x )，画出函数|f (x )|，g (x )的图象如图所示，观察函数的图象，则它们的交点为4个，即函数y ＝|f (x )|－g (x )的零点个数为4，选C.答案：C5．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A -BCD 中，AB ⊥平面BCD ，且BD ⊥CD ，AB ＝BD ＝CD ，点P 在棱AC 上运动，设CP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f (x )，则f (x )的图象大致是( )解析：如图，作PQ ⊥BC 于Q ，作QR ⊥BD 于R ，连接PR ，则由鳖臑的定义知PQ ∥AB ，QR ∥CD .设AB ＝BD ＝CD ＝1，则CP AC ＝x 3＝PQ 1，即PQ ＝x3，又QR 1＝BQ BC ＝APAC ＝3－x 3，所以QR ＝3－x 3，所以PR ＝PQ 2＋QR 2＝⎝⎛⎭⎫x 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－x 32＝332x 2－23x ＋3，所以f (x )＝362x 2－23x ＋3＝66⎝⎛⎭⎫x －322＋34，故选A.答案：A6．若关于x 的不等式4a x －1＜3x －4(a ＞0，且a ≠1)对于任意的x ＞2恒成立，则a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎦⎤0，12 C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：不等式4a x －1＜3x －4等价于a x －1＜34x －1.令f (x )＝a x －1，g (x )＝34x －1，当a ＞1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图1所示，由图知不满足条件；当0＜a ＜1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图2所示，则f (2)≤g (2)，即a 2－1≤34×2－1，即a ≤12，所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12，故选B.答案：B7．已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}，H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B ＝( ) A ．a 2－2a －16 B ．a 2＋2a －16 C ．－16D ．16解析：f (x )＝g (x )，即x 2－2(a ＋2)x ＋a 2＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8，即x 2－2ax ＋a 2－4＝0，解得x ＝a ＋2或x ＝a －2.f (x )与g (x )的图象如图.由图及H 1(x )的定义知H 1(x )的最小值是f (a ＋2)， H 2(x )的最大值为g (a －2)，A －B ＝f (a ＋2)－g (a －2)＝(a ＋2)2－2(a ＋2)2＋a 2＋(a －2)2－2(a －2)·(a －2)＋a 2－8＝－16. 答案：C8．若函数f (x )＝(2－m )xx 2＋m 的图象如图所示，则m 的取值范围为( )A ．(－∞，－ 1)B ．(－1,2)C ．(0,2)D ．[1,2)解析：根据题图可知，函数图象过原点，即f (0)＝0，所以m ≠0.当x ＞0时，f (x )＞0，所以2－m ＞0，即m ＜2.函数f (x )在[－1,1]上是单调递增的，所以f ′(x )≥0在[－1,1]上恒成立，则f ′(x )＝(2－m )(x 2＋m )－2x (2－m )x (x 2＋m )2＝(m －2)(x 2－m )(x 2＋m )2≥0， ∵m －2＜0，(x 2＋m )2＞0，∴只需x 2－m ≤0在[－1,1]上恒成立即可，∴m ≥(x 2)max ， ∴m ≥1.综上所述：1≤m ＜2，故选D. 答案：D9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1， x ≤0，x 12， x ＞0.若f (x 0)＞1，则x 0的取值范围是________．解析：在同一直角坐标系中，作出函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝1，它们相交于(－1,1)和(1,1)两点，由f (x 0)＞1，得x 0＜－1或x 0＞1.答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)10．定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg|x |，x ≠0，1， x ＝0，关于x 的方程y ＝c (c 为常数)恰有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝________.解析：函数f (x )的图象如图，方程f (x )＝c 有三个根，即y ＝f (x )与y ＝c 的图象有三个交点，易知c ＝1，且一根为0，由lg|x |＝1知另两根为－10和10， ∴x 1＋x 2＋x 3＝0.答案：011．(2018·咸阳模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．解析：方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点．结合下面函数图象可知a ＞1.答案：(1，＋∞)12．(2018·湖北百所重点学校联考)设函数f (x )对任意实数x 满足f (x )＝－f (x ＋1)，且当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，若关于x 的方程f (x )＝kx 有3个不同的实数根，则k 的取值范围是__________．解析：因f (x )＝－f (x ＋1)，故f (x ＋2)＝f (x )，即函数f (x )是周期为2的周期函数，画出函数y ＝f (x )，x ∈[0,1]的图象，再借助函数满足的条件f (x )＝－f (x ＋1)及周期性，画出函数y ＝f (x )的图象如图，易知仅当直线y ＝kx 位于l 1与l 2之间(不包括l 1、l 2)或与l 3重合时满足题意，对y ＝x (1－x )求导得y ′＝1－2x ，y ′|x ＝0＝1，∴l 2的斜率为1.以下求l 3的斜率：当1≤x ≤2时，易得f (x )＝－f (x －1)＝－(x －1)[1－(x －1)]＝x 2－3x ＋2，令x 2－3x ＋2－kx ＝0，得x 2－(3＋k )x ＋2＝0，令Δ＝(3＋k )2－8＝0，解得k ＝－3±22，由此易知l 3的斜率为－3＋2 2.同理，由2≤x ≤3时，f (x )＝－x 2＋5x －6，可得l 1的斜率为5－2 6.综上，5－26<k <1或k ＝－3＋2 2，故应填(5－26，1)∪{－3＋22}．小初高试卷教案类答案：(5－26，1)∪{－3＋22} K12小学初中高中。

人教A版2019高考文科数学创新思维练习(58份含答案)【DOC范文整理】

人教A版2019高考文科数学创新思维练习（58份含答案）课时规范练A组基础对点练．直线y＝bax＋3与双曲线x2a2－y2b2＝1的交点个数是A．1B．2c．1或2D．0解析：因为直线y＝bax＋3与双曲线的渐近线y＝bax 平行，所以它与双曲线只有1个交点．答案：A．抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，A⊥l，垂足为，则△AF的面积是A．4B．33c．43D．8解析：∵y2＝4x，∴F，l：x＝－1，过焦点F且斜率为3的直线l1：y＝3，与y2＝4x联立，解得x＝3或x＝13，故A，∴A＝4，∴S△AF＝12×4×23＝43.故选c.答案：c．已知直线l：y＝2x＋3被椭圆c：x2a2＋y2b2＝1截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆c截得的弦长一定为7的有①y＝2x－3；②y＝2x＋1；③y＝－2x－3；④y＝－2x＋3.A．1条B．2条c．3条D．4条解析：直线y＝2x－3与直线l关于原点对称，直线y ＝－2x－3与直线l关于x轴对称，直线y＝－2x＋3与直线l关于y轴对称，故有3条直线被椭圆c截得的弦长一定为7.答案：c．过点P作直线l与圆o：x2＋y2＝1交于A、B两点，o为坐标原点，设∠AoB＝θ，且θ∈0，π2，当△AoB的面积为34时，直线l的斜率为A.33B．±33c.3D．±3解析：∵△AoB的面积为34，∴12×1×1×sinθ＝34，∴sinθ＝32.∵θ∈0，π2，∴θ＝π3，∴圆心到直线l的距离为32.设直线l的方程为y＝，即x－y＋3＝0，∴32＝|3|1＋2，∴＝±33.答案：B．已知过定点的直线与抛物线x2＝y相交于不同的A，B 两点，则＝________.解析：设过定点的直线的方程为y＝，代入抛物线方程x2＝y得x2－x＋＝0，故x1＋x2＝，x1x2＝，因此＝x1x2－＋1＝1.答案：1．已知双曲线x2a2－y2b2＝1的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2＝2py的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|＝c，则双曲线的渐近线方程为______________．解析：抛物线x2＝2py的准线方程为y＝－p2，与双曲线的方程联立得x2＝a2，根据已知得a2＝c2①.由|AF|＝c，得p24＋a2＝c2②.由①②可得a2＝b2，即a＝b，所以所求双曲线的渐近线方程是y＝±x.答案：y＝±x．过双曲线x2－y22＝1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若使得|AB|＝λ的直线l恰有3条，则λ＝________.解析：∵使得|AB|＝λ的直线l恰有3条．∴根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直．此时A，B的横坐标为3，代入双曲线方程，可得y＝±2，故|AB|＝4.∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，∴过双曲线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4，综上可知|AB|＝4时，有三条直线满足题意．∴λ＝4.答案：4．设椭圆E的方程为x2a2＋y2b2＝1，点o为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，点在线段AB上，满足|B|＝2|A|，直线o的斜率为510.求E的离心率e；设点c的坐标为，N为线段Ac的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为72，求E的方程．解析：由题设条件知，点的坐标为23a，13b，又o＝510，从而b2a＝510，进而得a＝5b，c＝a2－b2＝2b，故e＝ca＝255.由题设条件和的计算结果可得，直线AB的方程为x5b ＋yb＝1，点N的坐标为52b，－12b.设点N关于直线AB的对称点S的坐标为x1，72，则线段NS的中点T的坐标为54b＋x12，－14b＋74.又点T在直线AB上，且NS·AB＝－1，从而有5b4＋x125b＋－14b＋74b＝1，72＋12bx1－52b ＝5，解得b＝3.所以a＝35，故椭圆E的方程为x245＋y29＝1.已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆过点P，且它的离心率e＝12.求椭圆的标准方程；与圆2＋y2＝1相切的直线l：y＝x＋t交椭圆于，N两点，若椭圆上一点c满足o→＋oN→＝λoc→，求实数λ的取值范围．解析：设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1，由已知得：4a2＋3b2＝1，ca＝12，c2＝a2－b2，解得a2＝8b2＝6，所以椭圆的标准方程为x28＋y26＝1.因为直线l：y＝x＋t与圆2＋y2＝1相切，所以|t＋|1＋2＝1⇒2＝1－t2t，把y＝x＋t代入x28＋y26＝1并整理得：x2＋8tx＋＝0，设，N，则有x1＋x2＝－8t3＋42，y1＋y2＝x1＋t＋x2＋t＝＋2t＝6t3＋42，因为λoc→＝，所以c－8t3＋42λ，6t3＋42λ，又因为点c在椭圆上，所以，2t23＋422λ2＋6t23＋422λ2＝1⇒λ2＝2t23＋42＝21t22＋1t2＋1，因为t2>0，所以1t22＋1t2＋1>1，所以02，又y202，所以20，∴b>－14.设，N，则x1＋x2＝－1，y1＋y22＝－x1＋x22＋b＝12＋b，由－12，12＋b在直线y＝x＋3上，即12＋b＝－12＋3，解得b＝2，联立得y＝－x＋2，y＝x2，解得x1＝－2，y1＝4，x2＝1，y2＝1.答案：，．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B 两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________.解析：抛物线y2＝4x的准线为x＝－1，焦点为F，设A，B．由抛物线的定义可知|AF|＝x1＋1＝3，所以x1＝2，所以y1＝±22，由抛物线关于x轴对称，假设A，由A，F，B三点共线可知直线AB的方程为y－0＝22，代入抛物线方程消去y得2x2－5x＋2＝0，求得x＝2或12，所以x2＝12，故|BF|＝32.答案：32．定义：在平面内，点P到曲线Γ上的点的距离的最小值称为点P到曲线Γ的距离．在平面直角坐标系xoy中，已知圆：2＋y2＝12及点A，动点P到圆的距离与到点A的距离相等，记P点的轨迹为曲线.求曲线的方程；过原点的直线l与曲线交于不同的两点c，D，点E在曲线上，且cE⊥cD，直线DE与x轴交于点F，设直线DE、cF 的斜率分别为1、2，求12.解析：由题意知：点P在圆内且不为圆心，易知|PA|＋|P|＝23>22＝|A|，所以P点的轨迹为以A、为焦点的椭圆，设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，则2a＝23，2c＝22⇒a＝3，c＝2.所以b2＝1，故曲线的方程为x23＋y2＝1.设c，E，则D，则直线cD的斜率为cD＝y1x1，又cE⊥cD，所以直线cE的斜率是cE＝－x1y1，记－x1y1＝，设直线cE的方程为y＝x＋，由题意知≠0，≠0，由y＝x＋，x23＋y2＝1得x2＋6x＋32－3＝0，∴x1＋x2＝－61＋32，∴y1＋y2＝＋2＝21＋32，由题意知x1≠x2，∴1＝DE＝y2＋y1x2＋x1＝－13＝y13x1，∴直线DE的方程为y＋y1＝y13x1，令y＝0，得x＝2x1，即F．可得2＝－y1x1.∴12＝－13.．已知点A，B是抛物线y2＝4x上相异两点，且满足x1＋x2＝2.若AB的中垂线经过点P，求直线AB的方程；若AB的中垂线交x轴于点，求△AB的面积的最大值及此时直线AB的方程．解析：当AB垂直于x轴时，显然不符合题意，所以可设直线AB的方程为y＝x＋b，代入方程y2＝4x，得：2x2＋x＋b2＝0，∴x1＋x2＝4－2b2＝2，得b＝2－，∴直线AB的方程为y＝＋2，∵AB中点的横坐标为1，∴AB中点的坐标为1，2，∴AB的中垂线方程为y＝－1＋2＝－1x＋3.∵AB的中垂线经过点P，故3＝2，得＝32，∴直线AB的方程为y＝32x－16.由可知AB的中垂线方程为y＝－1x＋3，∴点的坐标为，∵直线AB的方程为2x－y＋2－2＝0，∴到直线AB的距离d＝|32＋2－2|4＋2＝22＋1||，由2x－y＋2－2＝0，y2＝4x得24y2－y＋2－2＝0，y1＋y2＝4，y1·y2＝8－422，|AB|＝1＋12|y1－y2|＝41＋22－12.∴S△AB＝41＋121－12，设1－12＝t，则0<t<1，S＝4t＝－4t3＋8t，S′＝－12t2＋8，由S′＝0，得t＝63，即＝±3时，Sax＝1669，此时直线AB的方程为3x±3y－1＝0.。

高考理科数学(人教版)一轮复习讲义：第二章第三节函数的奇偶性与周期性 Word版含答案

第三节函数的奇偶性与周期性1．函数的奇偶性(1)周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．并不是所有周期函数都有最小正周期，如f(x)＝5.[熟记常用结论]1．奇偶性的5个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．2．周期性的4个常用结论设函数y＝f(x)，x∈R，a>0.(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；(3)若f(x＋a)＝1f(x)，则函数的周期为2a；(4)若f(x＋a)＝－1f(x)，则函数的周期为2a.3．对称性的3个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a 对称；(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．()(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．()(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．()(4)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．()(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√二、选填题1．下列函数中为偶函数的是()A．y＝x2sin x B．y＝x2cos xC．y＝|ln x| D．y＝2－x解析：选B A中函数为奇函数，B中函数为偶函数，C与D中函数均为非奇非偶函数，故选B.2．下列函数为奇函数的是()A．y＝x B．y＝e xC．y＝|x| D．y＝e x－e－x解析：选D A、B选项中的函数为非奇非偶函数；C选项中的函数为偶函数；D选项中的函数为奇函数，故选D.3．若y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y＝f(x)图象上的是()A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(a))C．(－a，－f(－a)) D．(a，f(－a))解析：选B因为(a，f(a))是函数y＝f(x)图象上的点，且y＝f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，所以点(－a，f(－a))，即(－a，－f(a))一定在y＝f(x)的图象上．4．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________．解析：∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.答案：135．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________. 解析：∵f (x )是定义在R 上的周期为2的函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫2－12＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝－1＋2＝1. 答案：1判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x >0，x 2＋2x －1，x ＜0；(3)f (x )＝4－x 2x 2；(4)f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)(a >0且a ≠1)．解：(1)因为f (x )有意义，则满足1－x1＋x ≥0，所以－1＜x ≤1，所以f (x )的定义域不关于原点对称，所以f (x )为非奇非偶函数． (2)法一：定义法当x >0时，f (x )＝－x 2＋2x ＋1，－x ＜0，f (－x )＝(－x )2＋2(－x )－1＝x 2－2x －1＝－f (x )；当x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x －1，－x >0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＋1＝－x 2－2x ＋1＝－f (x )．所以f (x )为奇函数．法二：图象法作出函数f (x )的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f (x )为奇函数．(3)因为⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，x 2≠0，所以－2≤x ≤2且x ≠0，所以定义域关于原点对称．又f (－x )＝4－(－x )2(－x )2＝4－x 2x 2，所以f (－x )＝f (x )．故函数f (x )为偶函数． (4)函数的定义域为R ，因为f (－x )＋f (x )＝log a [－x ＋(－x )2＋1]＋log a (x ＋x 2＋1) ＝log a (x 2＋1－x )＋log a (x 2＋1＋x ) ＝log a [(x 2＋1－x )(x 2＋1＋x )] ＝log a (x 2＋1－x 2)＝log a 1＝0.即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．[名师微点]判断函数奇偶性的3种常用方法 (1)定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f (－x )＝±f (x )或其等价形式f (－x )±f (x )＝0是否成立．(2)图象法：(3)性质法：设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．[提醒] 分段函数奇偶性的判断，要分别从x >0或x ＜0来寻找等式f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．(1)(2019·广州调研)已知函数f (x )＝2x2x －1＋a 为奇函数，则实数a ＝________.(2)函数f (x )在R 上为奇函数，且x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝________. (3)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 017)＋f (2 019)的值为________．[解析] (1)易知f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2－x2－x －1＋a ＝－2x 2x －1－a ，所以2a ＝－2x 2x －1－2－x2－x －1＝－2x 2x －1－11－2x＝－1，所以a ＝－12.(2)∵f (x )为奇函数，x >0时，f (x )＝x ＋1， ∴当x ＜0时，－x >0，f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)＝x －1，即x ＜0时，f (x )＝x －1.(3)由题意得，g (－x )＝f (－x －1)，∵f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数， ∴g (－x )＝－g (x )，f (－x )＝f (x )， ∴f (x －1)＝－f (x ＋1)，即f (x －1)＋f (x ＋1)＝0.∴f (2 017)＋f (2 019)＝f (2 018－1)＋f (2 018＋1)＝0. [答案] (1)－12(2)x －1 (3)0[解题技法]与函数奇偶性有关的问题及解题策略(1)求函数的值：利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解．(2)求函数解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．(3)求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称的前提下，利用f (x )为奇函数⇔f (－x )＝－f (x )，f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (－x )，列式求解，也可利用特殊值法求解．对于在x ＝0处有定义的奇函数f (x )，可考虑列等式f (0)＝0求解．[过关训练]1．设f (x )－x 2＝g (x )，x ∈R ，若函数f (x )为偶函数，则g (x )的解析式可以为( )A ．g (x )＝x 3B ．g (x )＝cos xC ．g (x )＝1＋xD ．g (x )＝x e x解析：选B 因为f (x )＝x 2＋g (x )，且函数f (x )为偶函数，所以有(－x )2＋g (－x )＝x 2＋g (x )，即g (－x )＝g (x )，所以g (x )为偶函数，由选项可知，只有选项B 中的函数为偶函数，故选B.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )，x ＜0，g (x )＋1，x >0，若f (x )是奇函数，则g (3)的值是( )A ．1B ．3C ．－3D ．－1解析：选C ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )，x ＜0，g (x )＋1，x >0，f (x )是奇函数，∴f (－3)＝－f (3)，∴log 2(1＋3)＝－(g (3)＋1)，则g (3)＝－3.故选C.3．若关于x 的函数f (x )＝2tx 2＋2t sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋x 2x 2＋cos x (t ≠0)的最大值为a ，最小值为b ，且a＋b ＝2，则t ＝________.解析：f (x )＝2tx 2＋2t sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋x 2x 2＋cos x ＝t ＋t sin x ＋x2x 2＋cos x ，设g (x )＝t sin x ＋x 2x 2＋cos x，则g (x )为奇函数，g (x )max ＝a －t ，g (x )min ＝b －t .∵g (x )max ＋g (x )min ＝0，∴a ＋b －2t ＝0，即2－2t ＝0，解得t ＝1.答案：1(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2(1－x )，0≤x ≤1，x －1，1＜x ≤2，如果对任意的n ∈N *，定义f n (x )＝，那么f 2 019(2)的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)设定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝________.[解析] (1)∵f 1(2)＝f (2)＝1，f 2(2)＝f (1)＝0，f 3(2)＝f (0)＝2， ∴f n (2)的值具有周期性，且周期为3， ∴f 2 019(2)＝f 3×673(2)＝f 3(2)＝2，故选C.(2)∵f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数f (x )的周期T ＝2， ∵当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2， ∴f (0)＝0，f (1)＝1，∴f (0)＝f (2)＝f (4)＝…＝f (2 018)＝0， f (1)＝f (3)＝f (5)＝…＝f (2 019)＝1. 故f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝1 010. [答案] (1)C (2)1 010[解题技法]函数周期性有关问题的求解策略(1)求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期． (2)周期函数的图象具有周期性，如果发现一个函数的图象具有两个对称性(注意：对称中心在平行于x 轴的直线上，对称轴平行于y 轴)，那么这个函数一定具有周期性．[口诀记忆]函数周期三类型：一类直接定义求；二类图象题中有，图象重复是破口；三类图见两对称，隐藏周期别疏忽.[过关训练]1．[口诀第2句]已知函数f (x )的定义域为R ，当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (6)等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．0D ．2解析：选D 当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，即周期为1，则f (6)＝f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3－1]＝2.2．[口诀第3、4句]已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B 当0≤x ＜2时，令f (x )＝x 3－x ＝x (x 2－1)＝0，所以y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标分别为x 1＝0，x 2＝1.当2≤x ＜4时，0≤x －2＜2，又f (x )的最小正周期为2，所以f (x －2)＝f (x )，所以f(x)＝(x－2)(x－1)(x－3)，所以当2≤x＜4时，y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3.同理可得，当4≤x＜6时，y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x5＝4，x6＝5.当x7＝6时，也符合要求．综上可知，共有7个交点．3．[口诀第5、6句]已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则下列不等式正确的是()A．f(log27)＜f(－5)＜f(6)B．f(log27)＜f(6)＜f(－5)C．f(－5)＜f(log27)＜f(6)D．f(－5)＜f(6)＜f(log27)解析：选C因为奇函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(1＋x)＝f(1－x)，f(－x)＝－f(x)，所以f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(－5)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，f(6)＝f(2)＝f(0)＝0.于是，结合题意可画出函数f(x)在[－2,4]上的大致图象，如图所示．又2＜log27＜3，所以结合图象可知－1＜f(log27)＜0，故f(－5)＜f(log27)＜f(6)，故选C.考法(一)单调性与奇偶性综合[例1](2018·石家庄质检)已知f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)单调递增，f(1)＝0，若f(x －1)>0，则x的取值范围为()A．{x|0＜x＜1或x>2}B．{x|x＜0或x>2}C．{x|x＜0或x>3} D．{x|x＜－1或x>1}[解析]因为函数f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝0，又函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以可作出函数f(x)的示意图，如图，则不等式f(x－1)>0可转化为－1＜x－1＜0或x－1>1，解得0＜x＜1或x>2，故选A.[答案] A考法(二)奇偶性与周期性综合[例2](2019·赣州月考)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为()A．(－∞，－3) B．(3，＋∞)C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)[解析]∵f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)是定义在R上的以3为周期的函数，∴f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又∵函数f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，∴f(7)＝f(2)>1，∴a>1，即a∈(1，＋∞)．故选D.[答案] D考法(三)单调性、奇偶性与周期性结合[例3](2019·达州模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且在[－1,0]上单调递减，设a＝f(－2.8)，b＝f(－1.6)，c＝f(0.5)，则a，b，c的大小关系是() A．a>b>c B．c>a>bC．b>c>a D．a>c>b[解析]∵偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，∴函数的周期为2.∴a＝f(－2.8)＝f(－0.8)，b ＝f(－1.6)＝f(0.4)＝f(－0.4)，c＝f(0.5)＝f(－0.5)．∵－0.8＜－0.5＜－0.4，且函数f(x)在[－1,0]上单调递减，∴a>c>b，故选D.[答案] D[规律探求][过关训练]1．(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A．－50B．0C．2 D．50解析：选C∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数得f(0)＝0.又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋1)＝－f(x)，若f(x)在[－1,0]上单调递减，则f(x)在[1,3]上是()A．增函数B．减函数C．先增后减的函数D．先减后增的函数解析：选D根据题意，∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴函数f(x)的周期是2.又∵f(x)在定义域R上是偶函数，在[－1,0]上是减函数，∴函数f(x)在[0,1]上是增函数，∴函数f(x)在[1,2]上是减函数，在[2,3]上是增函数，∴f(x)在[1,3]上是先减后增的函数，故选D.3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a －1|)＞f(－2)，则a的取值范围是________．解析：∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(－2)＝f(2)，∴f(2|a－1|)＞f(2)，∴2|a－1|＜2＝21 2，∴|a－1|＜12，即－12＜a－1＜12，即12＜a＜32.1 2，3 2答案：⎝⎛⎭⎫。

2019版一轮创新思维文数：第二章第三节函数的奇偶性与周期性

考点一
考点二
考点三
函数奇偶性、周期性应用|模型突破角度1 求函数解析式 [例3] (1)函数f(x)在R上为奇函数，且x＞0时，f(x)＝ x ＋ 1，则当x＜0时，f(x)＝________.
解析答案
考点一
考点二
考点三
∵f(x)为奇函数，x＞0时，f(x)＝ x＋1， ∴当x＜0时，－x＞0， f(x)＝－f(－x)＝－( －x＋1)， ∴f(x)＝－－x－1. [答案] －－x－1
解析
考点一
考点二
考点三
[模型解法]
抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用
奇偶性得出关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式．其关键
点为：
(1)设元，在所求区间上设x；
(2)代入，－x在已知区间上，并将－x代替x，代入已知解析
式得f(－x)的表达式；
(3)转化，利用奇偶性f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝x))得所求区
解析答案
考点一
考点二
考点三
3．(2015·高考全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋ a＋x2 )为偶函数，则a＝_____1_____.
由题意得f(x)＝xln(x＋ a＋x2 )＝f(－x)＝－xln( a＋x2 － x)，所以 a＋x2＋x＝ a＋1x2－x，解得a＝1.
解析答案
1.
解析答案
考点一
考点二
考点三
2．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是
__y_＝__－__2_x_－__1____．
由题意可得当x>0时，f(x)＝ln x－3x，则f′(x)＝1x－3，f′(1) ＝－2，则在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即 y＝－2x－1.

2018-2019学年高中新创新一轮复习文数课件：第二章第

(3)－1
[方法技巧]
利用奇偶性解题的类型及方法 (1)求解析式：利用奇偶性将待求值转化到方程问题上，进而得解． (2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足 f(－x)＝－f(x)或偶函数满足 f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含 0，可以根据 f(0)＝0 列式求解，若不能确定则不可用此法．
01
抓牢双基·自学区
完成情况
[基本知识]
1．函数的奇偶性
奇函数偶函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 定义都有 f(－x)＝－f(x) ，那都有 f(－x)＝f(x) ，那么么函数f(x)就叫做奇函数图象特征关于原点对称函数f(x)就叫做偶函数关于 y轴对称
2.函数奇偶性的常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (3)在公共定义域内有：奇± 奇→奇，偶± 偶→偶，奇×奇 →偶，偶×偶→偶，奇×偶→奇．
2．填空题 (1)函数f(x)在R 上为奇函数，且x>0时，f(x)＝ x<0时，f(x)＝________. x ＋1，则当
解析：∵f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＝ x ＋1，∴当x<0时，即－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－( ( －x＋1)＝－－x－1.
答案：－－x－1
－x ＋1)，即x<0时，f(x)＝－
4－x2 (4)f(x)＝ . |x＋3|－3
[解]
(1)∵ x2＋1>|x|≥0，∴函数 f(x)的定义域为 R ，关于原

人教版A版2019版一轮创新思维文数练习：第二章第六节幂函数、二次函数

课时规范练 A 组基础对点练1．已知命题p ：存在n ∈R ，使得f (x )＝nx22n n＋是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增；命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2>3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2<3x ”．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．綈p ∧qC ．p ∧綈qD ．綈p ∧綈q解析：当n ＝1时，f (x )＝x 3为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故p 是真命题，则綈p 是假命题；“∃x 0∈R ，x 20＋2>3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2≤3x ”，故q 是假命题，綈q 是真命题．所以p ∧q ，綈p ∧q ，綈p ∧綈q 均为假命题，p ∧綈q 为真命题，选C. 答案：C2．已知幂函数f (x )＝x n，n ∈{－2，－1,1,3}的图象关于y 轴对称，则下列选项正确的是( )A ．f (－2)>f (1)B ．f (－2)<f (1)C ．f (2)＝f (1)D ．f (－2)>f (－1)解析：由于幂函数f (x )＝x n 的图象关于y 轴对称，可知f (x )＝x n为偶函数，所以n ＝－2，即f (x )＝x －2，则有f (－2)＝f (2)＝14，f (－1)＝f (1)＝1，所以f (－2)<f (－1)，故选B.答案：B3．已知0<m <n <1，且1<a a nB ．b m <a nC ．m b>n aD ．m b<n a解析：∵f (x )＝x a(a >1)在(0，＋∞)上为单调递增函数，且0<m <n <1，∴m a<n a，又∵g (x )＝m x (0<m <1)在R 上为单调递减函数，且1<a <b ，∴m b <m a. 综上，m b <n a，故选D. 答案：D4．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象是( )解析：∵a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0， ∴a ＞0，c ＜0，∴y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，且与y 轴的交点(0，c )在负半轴上．选D.答案：D5．设函数f (x )＝x 2－x ＋a (a ＞0)．若f (m )＜0，则f (m －1)的值为( ) A ．正数 B ．负数 C ．非负数D ．正数、负数和零都有可能解析：函数f (x )＝x 2－x ＋a 图象的对称轴为直线x ＝12，图象开口向上，且f (0)＝f (1)＝a ＞0.所以当f (m )＜0时，必有0＜m ＜1，而－1＜m －1＜0，所以f (m －1)＞0.答案：A6．已知函数f (x )＝x 2－m是定义在区间[－3－m ，m 2－m ]上的奇函数，则下列成立的是( )A ．f (m )＜f (0)B ．f (m )＝f (0)C ．f (m )＞f (0)D ．f (m )与f (0)大小不确定解析：因为函数f (x )是奇函数，所以－3－m ＋m 2－m ＝0，解得m ＝3或－1.当m ＝3时，函数f (x )＝x －1，定义域不是[－6,6]，不合题意；当m ＝－1时，函数f (x )＝x 3在定义域[－2,2]上单调递增，又m ＜0，所以f (m )＜f (0)．答案：A7．(2018·资阳模拟)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋4在区间[0，m ](m ＞0)上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是( ) A ．[1,2] B ．(0,1] C ．(0,2]D ．[1，＋∞)解析：作出函数的图象如图所示，从图中可以看出当1≤m ≤2时，函数f (x )＝x 2－2x ＋4在区间[0，m ](m ＞0)上的最大值为4，最小值为3.故选A.答案：A8．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x >0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )解析：因为a >0，所以f (x )＝x a在(0，＋∞)上为增函数，故A 错．在B 中，由f (x )的图象知a >1，由g (x )的图象知0<a <1，矛盾，故B 错．在C 中，由f (x )的图象知0<a <1，由g (x )的图象知a >1，矛盾，故C 错．在D 中，由f (x )的图象知0<a <1，由g (x )的图象知0<a <1，相符，故选D. 答案：D 9.－aa ＋(－6≤a ≤3)的最大值为( )A ．9 B.92 C ．3D.322解析：易知函数y ＝(3－a )(a ＋6)的两个零点是3，－6，其图象的对称轴为a ＝－32，y ＝(3－a )(a ＋6)的最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫922，则－a＋a 的最大值为92，选B. 答案：B10．已知g (x )是R 上的奇函数，当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g x ，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(1,2)D ．(－2,1)解析：设x >0，则－x <0，所以g (x )＝－g (－x )＝ln(1＋x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，＋x ，x >0，并且函数f (x )是R 上的单调递增函数，所以当f (2－x 2)>f (x )时，满足2－x 2>x ，解得－2<x <1，故选D. 答案：D11．已知y ＝f (x )是奇函数，且满足f (x ＋2)＋3f (－x )＝0，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x 2－2x ，则当x ∈[－4，－2]时，f (x )的最小值为( ) A ．－1 B ．－13C ．－19D.19解析：设x ∈[－4，－2]，则x ＋4∈[0,2]．∵y ＝f (x )是奇函数，∴由f (x ＋2)＋3f (－x )＝0，可得f (x ＋2)＝－3f (－x )＝3f (x )，∴f (x ＋4)＝3f (x ＋2)，故有f (x )＝13f (x ＋2)＝f x ＋9.故f (x )＝19f (x ＋4)＝19[(x ＋4)2－2(x ＋4)]＝19[x 2＋6x ＋8]＝x ＋2－19.∴当x ＝－3时，函数f (x )取得最小值为－19.故选C.答案：C12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤4成立的x 的取值范围是________．解析：f (x )的图象如图所示，要使f (x )≤4，只需x 13≤4，∴x ≤64. 答案：(－∞，64]13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0，若f (3－a 2)<f (2a )，则实数a 的取值范围是__________．解析：如图，画出f (x )的图象，由图象易得f (x )在R 上单调递减，∵f (3－a 2)<f (2a )，∴3－a 2>2a ，解得－3<a <1. 答案：(－3,1)14．已知函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，那么f (2)的取值范围是__________．解析：函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，所以其对称轴x ＝a －12或与直线x ＝12重合或位于直线x ＝12的左侧，即应有a －12≤12，解得a ≤2，∴f (2)＝4－(a －1)×2＋5≥7，即f (2)≥7. 答案：[7，＋∞) 15．若x ＞1，xa －1＜1，则a 的取值范围是________．解析：因为x ＞1，x a －1＜1，所以a －1＜0，解得a ＜1.答案：a ＜1B 组能力提升练1．若幂函数f (x )＝mx α的图象经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12，则它在点A 处的切线方程是( )A ．2x －y ＝0B ．2x ＋y ＝0C ．4x －4y ＋1＝0D ．4x ＋4y ＋1＝0解析：因为f (x )＝mx α为幂函数，所以m ＝1，因为函数f (x )的图象经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫14α＝12，解得α＝12，所以f (x )＝x 12，f ′(x )＝12x，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1，所以所求切线的方程是y －12＝x －14，即4x －4y ＋1＝0，故选C.答案：C2．(2018·衡阳模拟)已知a 为正实数，函数f (x )＝x 2－2x ＋a ，且对任意的x ∈[0，a ]，都有f (x )∈[－a ，a ]，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1,2) B ．[1,2] C ．(0，＋∞)D ．(0,2]解析：当0<a <1时，f (0)＝a ，f (a )≥－a ，即a 2－2a ＋a ≥－a ，因此0<a <1；当a ≥1时，f (0)＝a ，f (1)≥－a ，f (a )≤a ，即1－2＋a ≥－a ，a 2－2a ＋a ≤a ，因此1≤a ≤2.综上，实数a 的取值范围为0<a ≤2.故选D. 答案：D3．下面四个图象中有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R)的导函数y ＝f ′(x )的图象，则f (－1)等于( )A.13B ．－13C.53D ．－13或53解析：∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1，∴f ′(x )的图象开口向上．根据导函数图象分析，若图象不过原点，则a ＝0，f (－1)＝53；若图象过原点，则a 2－1＝0，又对称轴x ＝－a ＞0，∴a ＝－1，∴f (－1)＝－13.答案：D4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x >a ，x 2＋6x ＋3，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－1,3) B ．[－3，－1] C ．[－3,3) D ．[－1,1)解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x >a ，x 2＋6x ＋3，x ≤a ，所以g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x >a ，x 2＋4x ＋3，x ≤a .又g (x )有三个不同的零点，则方程3－x ＝0，x >a 有一个解，解得x ＝3，所以a <3，方程x 2＋4x ＋3＝0，x ≤a 有两个不同的解，解得x ＝－1或x ＝－3，又因为x ≤a ，所以a ≥－1.故a 的取值范围为[－1,3)．答案：A5．(2018·江西九江地区七校联考)幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·x 268m m －＋在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( ) A ．1或3 B ．1 C ．3D ．2解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m ＋4＝1，m 2－6m ＋8>0，解得m ＝1.故选B.答案：B6．(2018·安阳模拟)下列选项正确的是( ) A ．0.20.2>0.30.2B ．213-<313-C ．0.8－0.1>1.250.2D ．1.70.3>0.93.1解析：A 中，∵函数y ＝x 0.2在(0，＋∞)上为增函数，0.2<0.3，∴0.20.2<0.30.2； B 中，∵函数y ＝x13-在(0，＋∞)上为减函数，∴213->313-；C 中，∵0.8－1＝1.25，y ＝1.25x在R 上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2；D 中，1.70.3>1,0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1.故选D. 答案：D7．(2018·湖北四校联考)已知二次函数f (x )＝ax 2－bx ＋c ，f ′(0)<0，且f (x )∈[0，＋∞)，则f －f的最大值为( )A ．－3B ．－2C ．－52D ．－32解析：由题意得f ′(x )＝2ax －b ，因为f ′(0)<0，所以b >0.由f (x )∈[0，＋∞)得⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝b 2－4ac ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >04acb2≥1，所以c >0，a ＋cb >0，f －f＝－⎝⎛⎭⎪⎫1＋a ＋cb ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c b 2＝a 2＋c 2＋2ac b 2≥4ac b 2≥1，所以a ＋c b ≥1，当且仅当a ＝c ＝b 2时，等号成立，所以f －f＝－⎝⎛⎭⎪⎫1＋a ＋cb ≤－2. 答案：B8．函数f (x )＝(m 2－m －1)x 9541m m －－是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f x 1－f x 2x 1－x 2＞0，若a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，ab ＜0，则f (a )＋f (b )的值( )A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断解析：∵f (x )＝(m 2－m －1)x9541m m －－是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，指数4×29－25－1＝2 015＞0，满足题意．当m ＝－1时，指数4×(－1)9－(－1)5－1＝－4＜0，不满足题意． ∴f (x )＝x2 015.∴幂函数f (x )＝x 2 015是定义域R 上的奇函数，且是增函数．又∵a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，∴a ＞－b ，又ab ＜0，不妨设b ＜0，则a ＞－b ＞0，∴f (a )＞f (－b )＞0，又f (－b )＝－f (b )，∴f (a )＞－f (b )，∴f (a )＋f (b )＞0.故选A. 答案：A9．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R)的定义域和值域分别为A ，B ，若集合{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }对应的平面区域是正方形区域，则实数a ，b ，c 满足( )A ．|a |＝4B ．a ＝－4且b 2＋16c ＞0 C ．a ＜0且b 2＋4ac ≤0 D ．以上说法都不对解析：由题意可知a ＜0，且ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝b 2－4ac ＞0.设y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴相交于两点(x 1,0)，(x 2,0)，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a，f (x )的定义域为[x 1，x 2]， ∴|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a 2－4c a＝b 2－4ac －a . 由题意可知4ac －b 24a ＝b 2－4ac－a，解得a ＝－4. ∴实数a ，b ，c 满足a ＝－4，b 2＋16c ＞0，故选B. 答案：B10．(2018·安徽皖北联考)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上的最大值为2，则a 的值为( ) A ．2 B ．－1或－3 C ．2或－3D ．－1或2解析：函数f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1图象的对称轴为x ＝a ，且开口向下，分三种情况讨论如下：①当a ≤0时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上是减函数，∴f (x )max ＝f (0)＝1－a ，由1－a ＝2，得a ＝－1.②当0<a ≤1时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0，a ]上是增函数，在(a,1]上是减函数，∴f (x )max ＝f (a )＝－a 2＋2a 2＋1－a ＝a 2－a ＋1，由a 2－a ＋1＝2，解得a ＝1＋52或a ＝1－52，∵0<a ≤1，∴两个值都不满足，舍去． ③当a >1时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上是增函数，∴f (x )max ＝f (1)＝－1＋2a ＋1－a ＝2，∴a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2. 答案：D11．对二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( ) A ．－1是f (x )的零点 B ．1是f (x )的极值点 C ．3是f (x )的极值D ．点(2,8)在曲线y ＝f (x )上解析：由已知得，f ′(x )＝2ax ＋b ，则f (x )只有一个极值点，若A 、B 正确，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，2a ＋b ＝0，解得b ＝－2a ，c ＝－3a ，则f (x )＝ax 2－2ax －3a .由于a 为非零整数，所以f (1)＝－4a ≠3，则C 错．而f (2)＝－3a ≠8，则D 也错，与题意不符，故A 、B 中有一个错误，C 、D 都正确．若A 、C 、D 正确，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0， ①4a ＋2b ＋c ＝8， ②4ac －b 24a ＝3， ③由①②得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝83－a ，c ＝83－2a ，代入③中并整理得9a 2－4a ＋649＝0，又a 为非零整数，则9a 2－4a 为整数，故方程9a 2－4a ＋649＝0无整数解，故A 错．若B 、C 、D 正确，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，a ＋b ＋c ＝3，4a ＋2b ＋c ＝8，解得a ＝5，b ＝－10，c ＝8，则f (x )＝5x 2－10x ＋8，此时f (－1)＝23≠0，符合题意．故选A. 答案：A12．已知幂函数f (x )＝x223m m －－＋ (m ∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数，则f (2)的值为__________．解析：因为幂函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调增函数，所以－m 2－2m ＋3>0，解得－3<m <1.因为m ∈Z ，所以m ＝－2或－1或0.因为幂函数f (x )为偶函数，所以－m 2－2m ＋3是偶数．当m ＝－2时，－m 2－2m ＋3＝3，不符合，舍去；当m ＝－1时，－m 2－2m ＋3＝4；当m ＝0时，－m 2－2m ＋3＝3，不符合，舍去．所以f (x )＝x 4，故f (2)＝24＝16. 答案：1613．若方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，则b －2a －1的取值范围是__________．解析：令f (x )＝x 2＋ax ＋2b ，∵方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ，f ，f∴⎩⎪⎨⎪⎧b >0，a ＋2b <－1，a ＋b >－2.根据约束条件作出可行域，可知14<b －2a －1<1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 14．在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x(x ＞0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为________．解析：设P ⎝⎛⎭⎪⎫x ，1x ，x ＞0，则|PA |2＝(x －a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－a 2＝x 2＋1x2－2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋2a 2－2.令t ＝x ＋1x，则由x ＞0，得t ≥2.所以|PA |2＝t 2－2at ＋2a 2－2＝(t －a )2＋a 2－2，由|PA |取得最小值得⎩⎨⎧a ≤222－4a ＋2a 2－2＝22或⎩⎨⎧a ＞2a 2－2＝22，解得a ＝－1或a ＝10. 答案：－1，1015．对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a ＞b .设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－x ，x ≤0，－x 2＋x ，x ＞0的图象如图所示．11设y ＝m 与y ＝f (x )图象交点的横坐标从小到大分别为x 1、x 2、x 3. 由y ＝－x 2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，得顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.当y ＝14时，代入y ＝2x 2－x ，得14＝2x 2－x ，解得x ＝1－34(舍去正值)，∴x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34，0. 又∵y ＝－x 2＋x 图象的对称轴为x ＝12，∴x 2＋x 3＝1，又x 2，x 3＞0，∴0＜x 2x 3＜⎝ ⎛⎭⎪⎫x2＋x 322＝14. 又∵0＜－x 1<3－14，∴0＜－x 1x 2x 3＜3－116，∴1－316＜x 1x 2x 3＜0.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－316，0。

教育最新K122019版一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第二章第二节函数的单调性与最值 Word版含解析-

课时规范练 A 组基础对点练1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：当x ＞0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．故选C. 答案：C2．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝e －xB ．y ＝x 3C ．y ＝ln xD ．y ＝|x |解析：因为对数函数y ＝ln x 的定义域不是R ，故首先排除选项C ；因为指数函数y ＝e －x ，即y ＝⎝⎛⎭⎫1e x，在定义域内单调递减，故排除选项A ；对于函数y ＝|x |，当x ∈(－∞，0)时，函数变为y ＝－x ，在其定义域内单调递减，因此排除选项D ；而函数y ＝x 3在定义域R 上为增函数．故选B. 答案：B3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝lg|x |解析：A 中y ＝1x 是奇函数，A 不正确；B 中y ＝e －x ＝⎝⎛⎭⎫1e x 是非奇非偶函数，B 不正确；C 中y ＝－x 2＋1是偶函数且在(0，＋∞)上是单调递减的，C 正确；D 中y ＝lg|x |在(0，＋∞)上是增函数，D 不正确．故选C. 答案：C4．设f (x )＝x －sin x ，则f (x )( )A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数解析：∵f (－x )＝－x －sin(－x )＝－(x －sin x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．又f ′(x )＝1－cos x ≥0， ∴f (x )单调递增，选B. 答案：B5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ＞0，cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)解析：因为f (π)＝π2＋1，f (－π)＝－1，所以f (－π)≠f (π)，所以函数f (x )不是偶函数，排除A ；因为函数f (x )在(－2π，－π)上单调递减，排除B ；函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )不是周期函数，排除C ；因为x ＞0时，f (x )＞1，x ≤0时，－1≤f (x )≤1，所以函数f (x )的值域为[－1，＋∞)，故选D. 答案：D6．(2018·天津模拟)若函数f (x )满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”，则f (x )的解析式可以是( ) A ．f (x )＝(x －1)2 B ．f (x )＝e x C ．f (x )＝1xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：根据条件知，f (x )在(0，＋∞)上单调递减．对于A ，f (x )＝(x －1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除A ；对于B ，f (x )＝e x 在(0，＋∞)上单调递增，排除B ；对于C ，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，C 正确；对于D ，f (x )＝ln(x ＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除D. 答案：C7．设a ＞0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若函数f (x )＝a x 在R 上为减函数，则有0＜a ＜1；若函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上为增函数，则有2－a ＞0，即a ＜2，所以“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件，选A. 答案：A8．(2018·福州模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x <0a x ，x ≥0，(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B.⎣⎡⎭⎫13，1 C.⎝⎛⎦⎤0，13 D.⎝⎛⎦⎤0，23 解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧0<a <13a ≥1，∴13≤a <1.答案：B9．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2 C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1)解析：A 项，y ＝x ＋1为(－1，＋∞)上的增函数，故在(0，＋∞)上递增；B 项，y ＝(x －1)2在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增；C 项，y ＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x为R 上的减函数；D 项，y ＝log 0.5(x ＋1)为(－1，＋∞)上的减函数．故选A. 答案：A10．已知f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )单调递减，设a ＝－21.2，b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8，c ＝2log 5 2，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( ) A ．f (c )<f (b )<f (a ) B ．f (c )<f (a )<f (b ) C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (a )>f (b )解析：依题意，注意到21.2>20.8＝⎝⎛⎭⎫12－0.8>20＝1＝log 55>log 54＝2log 52>0，又函数f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，于是有f (21.2)<f (20.8)<f (2log 52)，由函数f (x )是偶函数得f (a )＝f (21.2)，因此f (a )<f (b )<f (c )，选C. 答案：C11．(2018·长沙统考)已知函数f (x )＝x 12，则( )A ．∃x 0∈R ，f (x 0)<0B ．∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≥0C ．∃x 1，x 2∈[0，＋∞)，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0D ．∀x 1∈[0，＋∞)，∃x 2∈[0，＋∞)，f (x 1)>f (x 2)解析：幂函数f (x )＝x 12的值域为[0，＋∞)，且在定义域上单调递增，故A 错误，B 正确，C错误，D 选项中当x 1＝0时，结论不成立，选B. 答案：B12．对于函数f (x )，在使f (x )≥M 成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值叫作函数f (x )的下确界．现已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝－3x 2＋2，则f (x )的下确界为( ) A ．2 B ．1 C ．0D ．－1解析：函数f (x )在R 上的部分图象如图所示，易得下确界为－1.故选D.答案：D13．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x ＜1的值域为________．解析：当x ≥1时，log 12x ≤0，当x ＜1时，0＜2x ＜2，故值域为(0,2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)．答案：(－∞，2)14．(2018·江西赣中南五校联考)函数f (x )＝x ＋2x －1的值域为________．解析：由2x －1≥0可得x ≥12，∴函数的定义域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞，又函数f (x )＝x ＋2x －1在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增， ∴当x ＝12时，函数取最小值f ⎝⎛⎭⎫12＝12， ∴函数f (x )的值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 答案：⎣⎡⎭⎫12，＋∞15．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.解析：由f (x )＝⎩⎨⎧－2x －a ，x ＜－a22x ＋a ，x ≥－a2，可得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫－a2，＋∞，故3＝－a2，解得a ＝－6.答案：－616．已知函数f (x )＝x ＋ax (x ≠0，a ∈R)，若函数f (x )在(－∞，－2]上单调递增，则实数a 的取值范围是__________．解析：设x 1<x 2≤－2，则Δy ＝f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a x 1－x 2－ax 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－a x 1x 2 ＝(x 1－x 2)(x 1x 2－a )x 1x 2.因为x 1－x 2<0，x 1x 2>0，所以要使Δy ＝(x 1－x 2)(x 1x 2－a )x 1x 2<0恒成立，只需使x 1x 2－a >0恒成立，即a <x 1x 2恒成立．因为x 1<x 2≤－2，所以x 1x 2>4，所以a ≤4，故函数f (x )在(－∞，－2]上单调递增时，实数a 的取值范围是(－∞，4]．答案：(－∞，4]B 组能力提升练1．已知f (x )是定义域为(－1,1)的奇函数，而且f (x )是减函数，如果f (m －2)＋f (2m －3)>0，那么实数m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫1，53 B.⎝⎛⎭⎫－∞，53C ．(1,3)D.⎝⎛⎭⎫53，＋∞ 解析：∵f (x )是定义域为(－1,1)的奇函数， ∴－1<x <1，f (－x )＝－f (x )．∵f (m －2)＋f (2m －3)>0可转化为f (m －2)>－f (2m －3)，∴f (m －2)>f (－2m ＋3)， ∵f (x )是减函数，∴m －2<－2m ＋3， ∵⎩⎪⎨⎪⎧－1<m －2<1，－1<2m －3<1，m －2<－2m ＋3，∴1<m <53.故选A. 答案：A2．(2018·陕西西安一中模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (x ＋1)，x ＞0，若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C ．(－1,2) D ．(－2,1)解析：∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，∴函数的图象是一条连续的曲线．∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)＞f (x )等价于2－x 2＞x ，即x 2＋x －2＜0，解得－2＜x ＜1.故选D. 答案：D3．若f (x )＝e x －a e －x 为奇函数，则f (x －1)＜e －1e 的解集为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，1)C ．(2，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：因为f (x )＝e x －a e －x 为奇函数，所以f (0)＝1－a ＝0，即a ＝1，则f (x )＝e x －e －x 在R 上单调递增，且f (1)＝e －1e .则由f (x －1)＜e －1e，得f (x －1)＜f (1)，即x －1＜1，解得x ＜2，所以不等式f (x －1)＜e －1e 的解集为(－∞，2)．故选A.答案：A4．若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B.⎣⎡⎭⎫1，32 C ．[1,2)D.⎣⎡⎭⎫32，2解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以k －1≥0，即k ≥1.令f ′(x )＝4x 2－12x ＝0，解得x＝12⎝⎛⎭⎫x ＝－12舍.因为函数f (x )在区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，所以k －1＜12＜k ＋1，得－12＜k ＜32.综上得1≤k ＜32. 答案：B5．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2] B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎦⎤12，2D ．(0,2]解析：由已知条件得f (－x )＝f (x )，则f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)⇒f (log 2a )＋f (－log 2a )≤2f (1)⇒f (log 2a )≤f (1)，又f (log 2a )＝f (|log 2a |)且f (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴|log 2a |≤1⇒－1≤log 2a ≤1，解得12≤a ≤2，选C.答案：C6．设函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，则( ) A ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是增函数 B ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是减函数 C ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是增函数 D ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是减函数解析：因为函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12，则(m －1)ln 3＝0，即m ＝1，则f (x )＝ln(1＋x )＋ln(1－x )＝ln(1－x 2)，在(0,1)上，当x 增大时，1－x 2减小，ln(1－x 2)减小，即f (x )在(0,1)上是减函数，故选B. 答案：B7．已知函数f (x )＝lg(a x －b x )＋x 中，常数a ，b 满足a ＞1＞b ＞0，且a ＝b ＋1，那么f (x )＞1的解集为( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(1,10)D ．(10，＋∞)解析：由a x －b x ＞0，即⎝⎛⎭⎫a b x＞1，解得x ＞0，所以函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为a ＞1＞b ＞0，所以y ＝a x 单调递增，y ＝－b x 单调递增，所以t ＝a x －b x 单调递增．又y ＝lg t 单调递增，所以f (x )＝lg(a x －b x )＋x 为增函数．而f (1)＝lg(a －b )＋1＝lg 1＋1＝1，所以x ＞1时f (x )＞1，故f (x )＞1的解集为(1，＋∞)．故选B. 答案：B8．已知函数f (x )是定义在R 上的单调递增函数，且满足对任意的实数x 都有f (f (x )－3x )＝4，则f (x )＋f (－x )的最小值等于( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．12解析：由f (x )的单调性知存在唯一实数K 使f (K )＝4，即f (x )＝3x ＋K ，令x ＝K 得f (K )＝3K ＋K ＝4，所以K ＝1，从而f (x )＝3x ＋1，即f (x )＋f (－x )＝3x ＋13x ＋2≥23x ·13x ＋2＝4，当且仅当x ＝0时取等号．故选B. 答案：B9．“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：充分性：当a <0时，f (x )＝|(ax －1)·x |＝－ax 2＋x 为图象开口向上的二次函数，且图象的对称轴为直线x ＝12a ⎝⎛⎭⎫12a <0，故f (x )在(0，＋∞)上为增函数；当a ＝0时，f (x )＝x ，为增函数．必要性：f (0)＝0，当a ≠0时，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝0，若f (x )在(0，＋∞)上为增函数，则1a<0，即a <0.f (x )＝x 时，f (x )为增函数，此时a ＝0.综上，a ≤0为f (x )在(0，＋∞)上为增函数的充分必要条件．答案：C10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －1)x ＋4－2a ，x <11＋log 2x ，x ≥1.若f (x )的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(－∞，2]C ．(0,2]D ．[2，＋∞)解析：依题意，当x ≥1时，f (x )＝1＋log 2x 单调递增，f (x )＝1＋log 2x 在区间[1，＋∞)上的值域是[1，＋∞)．因此，要使函数f (x )的值域是R ，则需函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ⊇(－∞，1)．①当a －1<0，即a <1时，函数f (x )在(－∞，1)上单调递减，函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝(－a ＋3，＋∞)，显然此时不能满足M ⊇(－∞，1)，因此a <1不满足题意；②当a －1＝0，即a ＝1时，f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝{2}，此时不能满足M ⊇(－∞，1)，因此a ＝1不满足题意；③当a －1>0，即a >1时，函数f (x )在(－∞，1)上单调递增，函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝(－∞，－a ＋3)，由M ⊇(－∞，1)得⎩⎨⎧a >13－a ≥1，解得1<a ≤2.综上所述，满足题意的实数a 的取值范围是(1,2]，选A. 答案：A11．(2018·重庆模拟)若函数f (x )在[a ，b ]上的值域为⎣⎡⎦⎤a 2，b 2，则称函数f (x )为“和谐函数”．给出下列4个函数：①g (x )＝x －1＋14；②p (x )＝1x ；③q (x )＝ln x ；④h (x )＝x 2.其中“和谐函数”的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：由题意知，若f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，需满足f (a )＝a 2，f (b )＝b2，若f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，需满足f (b )＝a 2，f (a )＝b2.①g (x )＝x －1＋14在[1，＋∞)上为增函数，则g (a )＝a 2，g (b )＝b 2，即a ，b 是函数g (x )＝x2的两个根，即x －1＋14＝x2，则x －1＝－14＋x2，作出函数y ＝x －1和y ＝－14＋x2的图象如图：则这两个函数的图象有两个交点，满足条件．②p (x )＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数，则p (b )＝a 2，p (a )＝b2，即⎩⎨⎧1a ＝b 21b ＝a2，即ab ＝2，当a ＝12，b ＝4时，满足条件．③q (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，则q (a )＝a 2，q (b )＝b 2，即a ，b 是函数q (x )＝x2的两个根，即ln x ＝x 2，作出y ＝ln x 和y ＝x2的图象如图：则这两个函数的图象没有交点，不满足条件．④当x ≥0时，h (x )＝x 2为增函数，则h (a )＝a 2，h (b )＝b 2，即a ，b 是函数h (x )＝x2的两个根，作出y ＝x 2和y ＝x2的图象如图：则这两个函数的图象有两个交点，满足条件．故选C. 答案：C12．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋4x ，x >0，－x 2－2x ，x ≤0的值域为__________．解析：当x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋4x ＝x ＋4x－2，由基本不等式可得x ＋4x ≥2x ·4x ＝4(当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时等号成立)，所以f (x )＝x ＋4x－2≥4－2＝2，即函数f (x )的取值范围为[2，＋∞)；当x ≤0时，f (x )＝－x 2－2x ＝－(x ＋1)2＋1，因为当x ＝－1时，f (x )取得最大值1，所以函数f (x )的取值范围为(－∞，1]．综上，函数f (x )的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ≤1，x ＋6x －6，x ＞1，则f (f (－2))＝__________，f (x )的最小值是__________．解析：因为f (－2)＝4，f (4)＝－12，所以f (f (－2))＝－12；x ≤1时，f (x )min ＝0，x ＞1时，f (x )min ＝26－6，又26－6＜0，所以f (x )min ＝26－6.答案：－1226－6 14．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．解析：因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减．又f (2|a －1|)＞f (－2)，f (－2)＝f (2)，故－2＜2|a －1|＜2，则|a －1|＜12，所以12＜a ＜32. 答案：⎝⎛⎭⎫12，3215．(2018·北京模拟)已知函数f (x )＝x x 2＋1，关于f (x )的性质，有下列四个结论： ①f (x )的定义域是(－∞，＋∞)；②f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，12；③f (x )是奇函数；④f (x )是区间(0,2)上的增函数．其中正确结论的个数是________．解析：对于①，∵函数f (x )＝x x 2＋1，∴f (x )的定义域是(－∞，＋∞)，故①正确；对于②，当x ≠0时，f (x )＝1x ＋1x ，若x ＞0，则0＜f (x )≤12，若x ＜0，则－12≤f (x )＜0；当x ＝0时，f (x )＝0，故f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，12，故②正确；对于③，f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，故③正确；对于④，f ′(x )＝1－x 2(x 2＋1)2，令f ′(x )＞0，解得－1＜x ＜1，令f ′(x )＜0，解得x ＞1或x ＜－1， ∴f (x )在区间(0,2)上先增后减，故④错误．综上可知，正确结论的个数是3.答案：3。

【精品】人教版A版2019版一轮创新思维文科数学练习：第三章第三节三角函数的图象与性质

课时规范练A 组基础对点练1．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期T ＝2π2＝π，且为奇函数，其图象关于原点对称，故A 正确；y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，其图象关于y 轴对称，故B 不正确；C ，D 均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故C ，D 不正确．答案：A2．已知函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23，1 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫16，13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫16，23 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧π2ω≥π2，3ωπ＝k π，即⎩⎪⎨⎪⎧0<ω≤1，ω＝k 3，其中k ∈Z ，则ω＝13，ω＝23或ω＝1，即ω的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23，1.答案：A3．(2018·西安八校联考)若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，∴ω＝6k ＋2(k ∈Z)，∴ωmin ＝2，故选B. 答案：B4．(2018·长春调研)函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2图象的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝π4B ．x ＝π3C ． x ＝π2D ．x ＝π解析：f (x )＝(sin x ＋cos x )2＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos x ＝1＋sin 2x ，将各选项代入验证可知，当x ＝π4时，f (x )取得最值，故选A.答案：A5．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)D ⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z) 解析：由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z)，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)．答案：B6．函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，因为sin x ∈[－1,1]，所以当sin x ＝1时，f (x )取得最大值，且f (x )max ＝5. 答案：B7．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π，k ∈ZB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋512π，k π＋1112π，k ∈ZC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋23π，k ∈Z 解析：y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，令π2＋2k π≤2x －π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得k π＋512π≤x ≤k π＋1112π，k ∈Z.答案：B8．函数y ＝(sin x ＋cos x )2－1是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数解析：y ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x －1＝sin 2x ，故选C. 答案：C9．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6等于( ) A ．2或0 B ．－2或2 C ．0D ．－2或0解析：因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，所以该函数图象关于直线x ＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.答案：B10．已知命题p ：函数f (x )＝sin x cos x 的最小正周期为π；命题q ：函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2的图象关于原点对称．则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∨q C ．綈pD ．(綈p )∨q解析：函数f (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x ，其最小正周期为T ＝2π2＝π，故命题p 为真命题；函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ，其图象关于y 轴对称，故命题q 为假命题，所以p ∨q 为真命题．答案：B11.(2018·长沙模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为π12和7π12，图象在y 轴上的截距为3，给出下列四个结论：①f (x )的最小正周期为π；②f (x )的最大值为2；③f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1；④f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6为奇函数．其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：由图知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π12＝π，则ω＝2，由2×π12＋φ＝π2，得φ＝π3.由f (0)＝3，得A sin π3＝3，即A ＝2.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝2cos π3＝1，f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝2sin 2x 为奇函数．所以四个结论都正确．答案：D12．已知x ∈(0，π]，关于x 的方程2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝a 有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围为__________．解析：令y 1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈(0，π]，y 2＝a ，作出y 1的图象如图所示．若2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝a 在(0，π]上有两个不同的实数解，则y 1与y 2应有两个不同的交点，所以3<a <2. 答案：(3，2)13．若函数f (x )＝sin(x ＋φ)＋cos(x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2为偶函数，则φ＝__________.解析：由题意可知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋φ＋π4⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2为偶函数，所以φ＋π4＝π2＋k π(k ∈Z)．又由|φ|<π2，得φ＝π4.答案：π414．当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x ＜2π)取得最大值时，x ＝________.解析：由已知条件可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，又由0≤x ＜2π得－π3≤x －π3＜5π3，当x －π3＝π2时y 取得最大值，此时x ＝5π6. 答案：5π6B 组能力提升练1．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π2内的图象是( )解析：y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2tan x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，2sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，对比选项，可知选D. 答案：D2．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－2，则f (x )的一个单调递增区间可以是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π8，9π8C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，π8 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8 解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－2，∴－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1.∴π4＋φ＝π2＋2k π，又∵|φ|<π，∴φ＝π4，∴f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.由2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z.当k ＝0时，得π8≤x ≤5π8.即f (x )的一个单调递增区间可以是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8.答案：D3．若函数y ＝tan ωx (ω∈N *)的图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．6D ．9解析：因为正切函数f (x )＝tan x 图象的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z)，且函数y ＝tanωx (ω∈N *)的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，所以πω6＝k π2(k ∈Z)，因此ω＝3k (k ∈Z)．因为ω∈N *，所以当k ＝1时，ω取得最小值3，故选B. 答案：B4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象与直线y ＝b (00，ω>0)的图象可知f (x )在区间[6k －3,6k ]，k ∈Z 上是单调递减的，故选B. 答案：B5．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0,0)成中心对称，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0＝( )A.5π12 B.π4 C.π3D.π6解析：由题意得T 2＝π2，T ＝π，则ω＝2.由2x 0＋π6＝k π(k ∈Z)，得x 0＝k π2－π12(k ∈Z)，又x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以x 0＝5π12. 答案：A6．下列函数中最小正周期为π且图象关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 解析：由函数的最小正周期为π，可排除C.由函数图象关于直线x ＝π3对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，对于A ，因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3＋π3＝sin π＝0，所以选项A不正确．对于B ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝sin π2＝1，所以选项B 正确，故选B.答案：B7．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R)，则f (x )( ) A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是减函数 B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数 C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π4上是增函数 D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6上是减函数解析：由f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3可知，f (x )的最小正周期为π.由k π≤x ＋π3≤π2＋k π(k∈Z)，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z)，即f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z)上单调递增；由π2＋k π≤x ＋π3≤π＋k π(k ∈Z)，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z)，即f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z)上单调递减．将各选项逐项代入验证，可知B 正确．答案：B8．若函数f (x )同时具有以下两个性质：①f (x )是偶函数；②对任意实数x ，都有f ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝cos xB ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π2D ．f (x )＝cos 6x解析：由题意可得，函数f (x )是偶函数，且它的图象关于直线x ＝π4对称．因为f (x )＝cos x 是偶函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝22，不是最值，故不满足图象关于直线x ＝π4对称，故排除A.因为函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 是奇函数，不满足条件①，故排除B.因为函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π2＝cos 4x 是偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－1，是最小值，故满足图象关于直线x ＝π4对称，故C 满足条件．因为函数f (x )＝cos 6x 是偶函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，不是最值，故不满足图象关于直线x ＝π4对称，故排除D.答案：C9．已知f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2图象相邻对称轴间的距离为π2，f (0)＝12，则g (x )＝2cos(ωx ＋φ)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－ 3B ．－2C ．－1D ．1解析：由题意得函数f (x )的最小正周期为π，则ω＝2，由f (0)＝12，可得φ＝π6，所以g (x )＝2cos(ωx ＋φ)即为g (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，76π，得－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤32，则g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－2.答案：B10．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3解析：由题图可知A ＝2，T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，则T ＝π，所以ω＝2，则y ＝2sin(2x ＋φ)，因为题图经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝2，所以2π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝2k π－π6，k ∈Z ，当k ＝0时，φ＝－π6，所以y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，故选A. 答案：A11．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是__________．解析：由2x ＋π4＝k π(k ∈Z)得，x ＝k π2－π8(k ∈Z)．∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z.答案：⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z12．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为__________．解析：由f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6知，f (x )有对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π知f (x )有对称轴x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋23π＝712π.记f (x )的最小正周期为T ，则12T ≥π2－π6，即T ≥23π.故712π－π3＝π4＝T4，解得T ＝π. 答案：π13．函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的值域为________．解析：函数变为y ＝1－sin 2x ＋sin x . 设t ＝sin x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |≤π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22.函数变为f (t )＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，∴当t ＝12，即sin x ＝12，x ＝π6时，y max ＝54；当t ＝－22，即x ＝－π4时，y min ＝1－22. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，54 14．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是__________．解析：由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3。

【精品】人教版A版2019版一轮创新思维文科数学练习：第三章第三节三角函数的图象与性质

《创新设计》高考数学人教A版(理)一轮复习：第二篇第3讲函数的奇偶性与周期性

第 3 讲函数的奇偶性与周期性A 级基础操练 (时间： 30 分钟满分： 55 分)一、选择题 (每题 5 分，共 20 分 )1．f(x)是定义在 R 上的奇函数，且知足 f(x ＋2)＝f(x)，又当 x ∈(0,1)时， f(x)＝ 2x－ 1，则 f(log 126)等于()．A ．－ 5B ．－6C ．－ 5D ．－ 16 21分析f(log 26)＝－ f(log 26)＝－ f(log 26－2)．3 3 1∵log 26－2＝log 22∈(0,1) ，∴ f log 22 ＝2，∴f(log 1 126) ＝－ 2.答案 D2．(2011 ·安徽 )设 f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≤ 0 时， f(x)＝2x 2－x ，则f(1)等于()．A ．－ 3B ．－1C ．1D ．3分析∵f(x)是定义在R 上的奇函数，且x ≤0 时，f(x)＝2x 2－x ，∴f(1)＝－ f(－21)＝－ 2×(－1) ＋(－1)＝－ 3.3．定义在 R 上的函数 f(x)知足 f(x)＝f(x ＋2)，当 x ∈[3,5] 时， f(x)＝2－|x －4|，则以下不等式必定建立的是()．A ．f cos2π 3 >f sin2π3B ． f(sin 1)<f(cos 1)C ．f sinπ 6 <f cosπ6D ．f(cos 2)>f(sin 2)分析当 x ∈ [－1,1]时， x ＋4∈[3,5]，由 f(x)＝f(x ＋2)＝ f(x ＋4)＝ 2－ |x ＋ 4－ 4| ＝2－|x|，2π明显当 x ∈[ －1,0]时， f(x)为增函数；当 x ∈[0,1] 时， f(x)为减函数， cos 3 ＝－1 2π 3 1 1 1 3 2π 2π2，sin 3 ＝ 2 >2，又 f －2 ＝f 2 >f 2 ，所以 f cos 3 >f sin3 .答案 A－x，x ≥0，．·连云港一模 ) 已知函数 f(x) 1－2()．＝则该函数是4 (20132 x－1，x<0，A ．偶函数，且单一递加B ．偶函数，且单一递减C ．奇函数，且单一递加D ．奇函数，且单一递减分析当 x>0 时， f(－ x)＝2－x －1＝－ f(x)；当 x<0 时， f(－x)＝1－2－ (－ x)＝ 1－2x＝－ f(x)．当 x ＝0 时，f(0)＝ 0，故 f(x)为奇函数，且 f(x)＝1－2－x在[0，＋∞)上为增函数， f(x)＝2x －1 在 (－∞ ，0)上为增函数，又 x ≥0 时 1－ 2－x ≥0，x<0时 2x－1<0，故 f(x)为 R 上的增函数．答案 C二、填空题 (每题 5 分，共 10 分 )5．(2011 ·浙江 )若函数 f(x)＝x 2－|x ＋ a|为偶函数，则实数 a ＝________.分析由题意知，函数 f(x)＝ x 2－ |x ＋a|为偶函数，则 f(1)＝ f(－ 1)，∴ 1－|1＋a|＝1－|－ 1＋ a|，∴ a ＝0.答案6．(2012 ·上海 )已知 y ＝ f(x)＋ x 2是奇函数，且 f(1)＝1.若 g(x)＝f(x)＋ 2，则 g(－ 1)＝ ________.分析由于 y ＝f(x)＋ x 2 是奇函数，且 x ＝1 时， y ＝ 2，所以当 x ＝－ 1 时， y ＝－2，即 f(－1)＋(－1)2＝－ 2，得 f(－1)＝－ 3，所以 g(－1)＝f(－ 1)＋2＝－ 1.答案－1三、解答题 (共 25 分 )7．(12 分 )已知 f(x)是定义在f(xy)＝yf(x)＋ xf(y)．R 上的不恒为零的函数，且对随意x ，y ，f(x)都知足(1)求 f(1)，f(－1)的值；(2)判断函数f(x)的奇偶性．解 (1)由于对定义域内随意 x ，y ，f(x)知足 f(xy)＝yf(x)＋xf(y)，所以令 x ＝y＝1，得 f(1)＝0，令 x＝ y＝－ 1，得 f(－ 1)＝0.(2)令 y＝－ 1，有 f(－x)＝－ f(x)＋ xf(－1)，代入 f(－ 1)＝0 得 f(－ x)＝－ f(x)，所以 f(x)是 (－∞，＋∞ )上的奇函数．8．(13 分)设定义在 [－ 2,2]上的偶函数f(x)在区间 [ － 2,0]上单一递减，若 f(1－m)<f(m)，务实数 m 的取值范围．解由偶函数性质知f(x) 在[0,2] 上单一递加，且f(1－ m)＝f(|1－ m|)，f(m)＝f(|m|)，－2≤1－m≤2，所以 f(1－ m)<f(m)等价于－2≤m≤2，|1－m|<|m|.1解得：2<m≤ 2.1所以实数 m 的取值范围是2，2 .B 级能力打破(时间：30 分钟满分： 45 分)一、选择题 (每题 5 分，共 10 分 )()．1．函数 f(x)的定义域为R，若 f(x＋1)与 f(x－1)都是奇函数，则A ．f(x)是偶函数B． f(x)是奇函数C．f(x)＝f(x＋2)D． f(x＋3)是奇函数分析由已知条件，得f(－ x＋ 1)＝－ f(x＋1)，f(－x－1)＝－ f(x－ 1)．由 f(－x ＋1)＝－ f(x＋ 1)，得 f(－x＋ 2)＝－ f(x)；由 f(－x－1)＝－ f(x－ 1)，得 f(－ x－ 2)＝－ f(x)．则 f(－x＋2)＝ f(－x－2)，即 f(x＋ 2)＝f(x－ 2)，由此可得 f(x＋ 4)＝f(x)，即函数 f(x)是以 4 为周期的周期函数，所以 f(x＋3)＝f(x－1)，即函数 f(x＋ 3) 也是奇函数．答案D．·福建设函数1，x为有理数，D(x)＝则以下结论错误的选项是()．2 (2012)0，x为无理数，A ．D(x)的值域为 {0,1}B． D(x)是偶函数C．D(x)不是周期函数D．D(x)不是单一函数分析明显 D(x)不但一，且D(x)的值域为 {0,1} ，所以选项 A 、D 正确．若 x是无理数，－ x， x＋ 1 是无理数；若 x 是有理数，－ x， x＋1 也是有理数．∴D(－ x)＝D(x)， D(x＋1)＝D(x)．则 D(x)是偶函数， D(x)为周期函数， B 正确，C错误．答案 C二、填空题 (每题 5 分，共 10 分 )3．f(x)＝2x＋ sin x 为定义在 (－ 1,1)上的函数，则不等式f(1－a)＋ f(1－ 2a)<0 的解集是 ________.分析f(x)在(－1,1)上是增函数，且 f(x)为奇函数．于是原不等式为f(1－ a)<f(2a －1<1－a<1，－1)等价于－ 1<2a－ 1<1，1－a<2a－1.2解得3<a<1.2答案3，14．若定义域为R的奇函数 f(x)知足 f(1＋x)＝－ f(x)，则以下结论：① f(x)的图象对于点1， 0对称；②f(x)的图象对于直线x＝1对称；③f(x)是周期函数，且 2 22是它的一个周期；④f(x)在区间 (－ 1,1)上是单一函数．此中全部正确的序是________．分析由函数为奇函数且知足 f(1＋x)＝－ f(x)，得 f(x＋2)＝f(x)，又 f 1＋ x－1 2＝－ f x－1，f1＋ x ＝f1－x ，所以②③正确．222答案②③三、解答题 (共 25 分 )2a5．(12 分 )已知函数 f(x)＝ x＋x(x≠0，常数 a∈R)．(1)议论函数 f(x)的奇偶性，并说明原因；(2)若函数 f(x)在 x∈[2，＋∞ )上为增函数．务实数 a 的取值范围．解 (1)函数 f(x)的定义域为 {x|x≠0} ，当a＝ 0 时， f(x)＝x2， (x≠0)明显为偶函数；当 a ≠0 时， f(1)＝ 1＋ a ， f(－ 1)＝1－a ，所以 f(1)≠f(－1)，且 f(－1)≠－ f(1)，所以函数 f(x)＝ x 2＋ax 既不是奇函数，也不是偶函数．a 2x 3－a(2) f ′(x)＝2x － x 2＝ x 2 ，当 a ≤ 0 时， f ′(x)>0，则 f(x)在[2，＋∞ )上是增函数，当 a>0 时，由 f ′(x)＝ 2x 3－ ax 2 >0，解得 x>3 a，＋∞ )上是增函数，，由 f(x)在[223 a可知≤2.解得 0<a ≤16.2综上可知实数 a 的取值范围是 (－∞， 16]．6．(13 分 )已知函数 f(x)的定义域为 R ，且知足 f(x ＋ 2)＝－ f(x)．(1)求证： f(x)是周期函数；1 1(2)若 f(x)为奇函数，且当 0≤ x ≤1 时， f(x)＝2x ，求使 f(x)＝－ 2在[0,2 014]上的全部 x 的个数．(1)证明∵ f(x ＋2)＝－ f(x)，∴ f (x ＋4)＝－ f(x ＋2)＝－ [ －f(x)] ＝f(x)，∴ f (x)是以 4 为周期的周期函数．1(2)解当 0≤ x ≤ 1 时， f(x)＝2x ，设－ 1≤ x ≤0，则 0≤－ x ≤1，11∴ f (－x)＝ 2(－x)＝－ 2x.∵ f (x)是奇函数，∴ f(－x)＝－ f(x)，∴－ f(x)＝－1，即f(x)＝12x2x.1故 f(x)＝ 2x(－ 1≤ x ≤ 1)．又设 1<x<3，则－ 1<x － 2<1，1∴f(x－2)＝2(x－2)．又∵ f(x)是以 4 为周期的周期函数1∴f(x－2)＝f(x＋2)＝－ f(x)，∴－ f(x)＝2(x－ 2)，1∴f(x)＝－2(x－ 2)(1<x<3)．12x，－ 1≤x≤1，∴f(x)＝1－2 x－ 2 ，1<x<3.1由 f(x)＝－2，解得 x＝－ 1.∵f(x)是以 4 为周期的周期函数，1∴f(x)＝－2的全部 x＝ 4n－1(n∈Z)．1 2 015令 0≤ 4n－1≤2 014，则4≤ n≤ 4 .又∵ n∈Z，∴ 1≤n≤503(n∈Z )，1∴在 [0,2 014]上共有 503 个 x 使 f(x)＝－2.特别提示：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各样电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.。

[推荐学习]2019版一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第二章第五节对数函数 Word版含解析

课时规范练 A 组基础对点练1．函数y ＝1log 2(x －2)的定义域是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)解析：要使函数有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，log 2(x －2)≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，x －2≠1，解得x ＞2且x ≠3.故选C. 答案：C2．设a ＝⎝⎛⎭⎫1213，b ＝log 132，c ＝log 123，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞c ＞aD ．c ＞a ＞b解析：∵b ＝－log 32∈(－1,0)，c ＝－log 23＜－1，a ＝⎝⎛⎭⎫1213＞0，∴a ＞b ＞c ，选A. 答案：A3．(2016·高考全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝lg x C ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：函数y ＝10lg x 的定义域为(0，＋∞)，又当x >0时，y ＝10lg x ＝x ，故函数的值域为(0，＋∞)．只有D 选项符合．答案：D4．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ∈(－∞，1)，log 2x ，x ∈[1，＋∞)的值域为( )A ．(0,3)B ．[0,3]C ．(－∞，3]D ．[0，＋∞)解析：当x ＜1时，0＜3x ＜3；当x ≥1时，log 2x ≥log 21＝0，所以函数的值域为[0，＋∞)．答案：D5．(2018·焦作模拟)若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )解析：若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则a ＞1，故函数y ＝log a |x |的大致图象如图所示．故选B. 答案：B6.已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( ) A ．a ＞1，c ＞1 B ．a ＞1,0＜c ＜1 C ．0＜a ＜1，c ＞1 D ．0＜a ＜1,0＜c ＜1解析：由对数函数的性质得0<a <1，因为函数y ＝log a (x ＋c )的图象在c >0时是由函数y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位得到的，所以根据题中图象可知0<c <1. 答案：D7．(2018·吉安模拟)如果log 12x ＜log 12y ＜0，那么( )A ．y ＜x ＜1B ．x ＜y ＜1C ．1＜x ＜yD ．1＜y ＜x解析：因为y ＝log 12x 在(0，＋∞)上为减函数，所以x ＞y ＞1.答案：D8．函数y ＝x 2ln|x ||x |的图象大致是( )解析：易知函数y ＝x 2ln |x ||x |是偶函数，可排除B ，当x >0时，y ＝x ln x ，y ′＝ln x ＋1，令y ′>0，得x >e －1，所以当x >0时，函数在(e －1，＋∞)上单调递增，结合图象可知D 正确，故选D. 答案：D9．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，若实数a 满足f (2log 3a )>f (－2)，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，3) B ．(0，3) C ．(3，＋∞)D ．(1，3)解析：本题主要考查函数的奇偶性及单调性．∵f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，∴f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减．根据函数的对称性，可得f (－2)＝f (2)，∴f (2log 3a )>f (2)．∵2log 3a >0，f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，∴0<2log 3a <2⇒log 3a <12⇒0<a <3，故选B.答案：B10．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数，若a ＝f (20.3)，b ＝f (log 124)，c ＝f (log 25)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b解析：函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数， ∴f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∵b ＝f (log 124)＝f (－2)＝f (2)，又1<20.3<2<log 25，∴c >b >a .故选B. 答案：B11．已知b ＞0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d ＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝adD ．d ＝a ＋c解析：由已知得5a ＝b,10c ＝b ，∴5a ＝10c ，∵5d ＝10，∴5dc ＝10c ，则5dc ＝5a ，∴dc ＝a ，故选B. 答案：B12．已知函数f (x )＝ln(1＋4x 2－2x )＋3，则f (lg 2)＋f ⎝⎛⎭⎫lg 12＝( ) A ．0 B ．－3 C ．3D ．6解析：由函数解析式，得f (x )－3＝ln(1＋4x 2－2x )，所以f (－x )－3＝ln(1＋4x 2＋2x )＝ln11＋4x 2－2x＝－ln(1＋4x 2－2x )＝－[f (x )－3]，所以函数f (x )－3为奇函数，则f (x )＋f (－x )＝6，于是f (lg 2)＋f ⎝⎛⎭⎫lg 12＝f (lg 2)＋f (－lg 2)＝6.故选D. 答案：D13．已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________. 解析：∵4a ＝2，∴a ＝12，又lg x ＝a ，x ＝10a ＝10.答案：1014．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝log 2x －1，则f ⎝⎛⎭⎫－22＝________. 解析：因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫－22＝－f ⎝⎛⎭⎫22＝－⎝⎛⎭⎫log 222－1＝32. 答案：3215．函数f (x )＝log 2(－x 2＋22)的值域为________．解析：由题意知0＜－x 2＋22≤22＝232，结合对数函数图象(图略)，知f (x )∈⎝⎛⎦⎤－∞，32，故答案为⎝⎛⎦⎤－∞，32. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，32 16．若log 2a 1＋a 21＋a ＜0，则a 的取值范围是________．解析：当2a ＞1时，∵log 2a 1＋a 21＋a ＜0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a ＜1.∵1＋a ＞0，∴1＋a 2＜1＋a ， ∴a 2－a ＜0，∴0＜a ＜1，∴12＜a ＜1.当0＜2a ＜1时，∵log 2a 1＋a 21＋a ＜0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a＞1. ∵1＋a ＞0，∴1＋a 2＞1＋a .∴a 2－a ＞0，∴a ＜0或a ＞1，此时不合题意．综上所述，a ∈⎝⎛⎭⎫12，1. 答案：⎝⎛⎭⎫12，1B 组能力提升练1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ，x ≥4f (x ＋1)，x ＜4，则f (1＋log 25)的值为( )A.14 B.⎝⎛⎭⎫1221log 5＋ C.12D.120解析：∵2＜log 25＜3，∴3＜1＋log 25＜4，则4＜2＋log 25＜5，f (1＋log 25)＝f (1＋1＋log 25)＝f (2＋log 25)＝⎝⎛⎭⎫1222log 5＋＝14×⎝⎛⎭⎫122log 5＝14×15＝120，故选D. 答案：D2．(2018·四川双流中学模拟)已知a ＝log 29－log 23，b ＝1＋log 27，c ＝12＋log 213，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a解析：a ＝log 29－log 23＝log 233，b ＝1＋log 27＝log 227，c ＝12＋log 213＝log 226，因为函数y ＝log 2x 是增函数，且27＞33＞26，所以b ＞a ＞c ，故选B. 答案：B3．设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )＜0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：∵f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，∴对定义域内的x 值，有f (0)＝0，由此可得a ＝－1，∴f (x )＝lg 1＋x1－x，根据对数函数单调性，由f (x )＜0，得0＜1＋x1－x ＜1，∴x ∈(－1,0)．答案：A4．已知a ，b ＞0，且a ≠1，b ≠1.若log a b ＞1，则( ) A ．(a －1)(b －1)＜0 B ．(a －1)(a －b )＞0 C ．(b －1)(b －a )＜0D ．(b －1)(b －a )＞0解析：根据题意，log a b ＞1⇔log a b －log a a ＞0⇔log a ba＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜a ＜10＜ba ＜1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1b a ＞1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜a ＜10＜b ＜a 或⎝ ⎛ a ＞1b ＞a .当⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜a ＜10＜b ＜a 时，0＜b ＜a ＜1，∴b －1＜0，b －a ＜0；当⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1b ＞a时，b ＞a ＞1，∴b －1＞0，b －a ＞0. ∴(b －1)(b －a )＞0.故选D. 答案：D5．已知函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，若对于任意的实数x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (2 014)＋f (－2 015)＋f (2 016)的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．1解析：∵当x ≥0时，f (x ＋2)＝f (x )，∴f (2 014)＝f (2 016)＝f (0)＝log 21＝0，∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (－2 015)＝－f (2 015)＝－f (1)＝－1.∴f (2 014)＋f (－2 015)＋f (2 016)＝0－1＋0＝－1.故选A. 答案：A6．设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( )A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数解析：由题意可得，函数f (x )的定义域为(－1,1)，且f (x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1，易知y ＝21－x －1在(0,1)上为增函数，故f (x )在(0,1)上为增函数，又f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数，选A. 答案：A7．已知f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，若f (lg x )＞f (2)，则x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫1100，1 B.⎝⎛⎭⎫0，1100∪(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫1100，100 D ．(0,1)∪(100，＋∞)解析：不等式可化为⎩⎨⎧lg x ≥0lg x ＜2或⎩⎪⎨⎪⎧lg x ＜0－lg x ＜2，解得1≤x ＜100或1100＜x ＜1.∴1100＜x ＜100.故选C. 答案：C8．已知函数f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是( )A ．[23，＋∞)B ．(23，＋∞)C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：由f (x )＝|log 12x |，m <n ，f (m )＝f (n )可知，log 12m ＝－log 12n >0，从而0<m ＝1n<1，m ＋3n ＝m ＋3m (0<m <1)，若直接利用基本不等式，则m ＋3m ≥23(当且仅当m ＝3m ＝3时取得最小值，但这与0<m <1矛盾)，利用函数g (x )＝x ＋3x 的单调性(定义或导数)判断当0<x <1时g (x )单调递减，故g (x )>g (1)＝4，可知选D. 答案：D9．已知函数y ＝f (x )(x ∈D )，若存在常数c ，对于∀x 1∈D ，存在唯一x 2∈D ，使得f (x 1)＋f (x 2)2＝c ，则称函数f (x )在D 上的均值为c .若f (x )＝lg x ，x ∈[10,100]，则函数f (x )在[10,100]上的均值为( )A ．10 B.34 C.710D.32解析：因为f (x )＝lg x (10≤x ≤100)，则f (x 1)＋f (x 2)2＝lg x 1x 22等于常数c ，即x 1x 2为定值，又f (x )＝lg x (10≤x ≤100)是增函数，所以取x 1＝10时，必有x 2＝100，从而c 为定值32.选D.答案：D10．已知函数f (x )＝(e x －e －x )x ，f (log 5x )＋f (log 15x )≤2f (1)，则x 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤15，1 B ．[1,5] C.⎣⎡⎦⎤15，5D.⎝⎛⎦⎤－∞，15∪[5，＋∞) 解析：∵f (x )＝(e x －e －x )x ，∴f (－x )＝－x (e －x －e x )＝(e x －e －x )x ＝f (x )(x ∈R)，∴函数f (x )是偶函数． ∵f ′(x )＝(e x －e －x )＋x (e x ＋e －x )>0在(0，＋∞)上恒成立． ∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∵f (log 5x )＋f (log 15x )≤2f (1)，∴2f (log 5x )≤2f (1)，即f (log 5x )≤f (1)， ∴|log 5x |≤1，∴15≤x ≤5.故选C.答案：C11．设方程log 2x －⎝⎛⎭⎫12x＝0与log 14x －⎝⎛⎭⎫14x ＝0的根分别为x 1，x 2，则( ) A ．0＜x 1x 2＜1 B ．x 1x 2＝1 C ．1＜x 1x 2＜2D ．x 1x 2≥2解析：方程log 2x －⎝⎛⎭⎫12x＝0与log 14x －⎝⎛⎭⎫14x ＝0的根分别为x 1，x 2，所以log 2x 1＝⎝⎛⎭⎫12x 1，log 14x 2＝⎝⎛⎭⎫14x 2，可得x 2＝12，令f (x )＝log 2x －⎝⎛⎭⎫12x ，则f (2)f (1)＜0，所以1＜x 1＜2，所以12＜x 1x 2＜1，即0＜x 1x 2＜1.故选A. 答案：A12．(2017·江西红色七校模拟)已知函数f (x )＝ln e x e －x，若f ⎝⎛⎭⎫e 2 013＋f ⎝⎛⎭⎫2e 2 013＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 012e 2 013＝503(a ＋b )，则a 2＋b 2的最小值为( ) A ．6 B ．8 C ．9D ．12解析：∵f (x )＋f (e －x )＝ln e xe －x ＋ln e (e －x )x ＝ln e 2＝2，∴503(a ＋b )＝f ⎝⎛⎭⎫e 2 013＋f ⎝⎛⎭⎫2e 2 013＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 012e 2 013＝12⎣⎡f ⎝⎛⎭⎫e 2 013＋f ⎝⎛⎭⎫2 012e 2 013＋f ⎝⎛⎭⎫2e 2 013＋f ⎝⎛⎭⎫2 011e 2 013＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 012e 2 013＋f⎦⎤⎝⎛⎭⎫e 2 013＝12×(2×2 012)＝2 012， ∴a ＋b ＝4，∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝422＝8，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．∴a 2＋b 2的最小值为8. 答案：B13．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a x ， x ＞2，－x 2＋2x －2， x ≤2(a ＞0，且a ≠1)的值域是(－∞，－1]，则实数a 的取值范围是________．解析：x ≤2时，f (x )＝－x 2＋2x －2＝－(x －1)2－1， f (x )在(－∞，1)上递增，在(1,2]上递减，∴f (x )在(－∞，2]上的最大值是－1，又f (x )的值域是(－∞，－1]，∴当x ＞2时， log a x ≤－1，故0＜a ＜1，且log a 2≤－1， ∴12≤a ＜1. 答案：⎣⎡⎭⎫12，114．(2018·湘潭模拟)已知函数f (x )＝ln x 1－x ，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是________．解析：由题意可知ln a 1－a ＋ln b1－b＝0，即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b1－b＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14，又0<a <b <1，∴0<a <12，故0<－⎝⎛⎭⎫a －122＋14<14. 答案：⎝⎛⎭⎫0，14 15．已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a ＞0，且a ≠1)，若f (x )＞1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：当a ＞1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由于f (x )＞1恒成立，所以f (x )min ＝log a (8－2a )＞1，故1＜a ＜83.当0＜a ＜1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是增函数，由于f (x )＞1恒成立，所以f (x )min ＝log a (8－a )＞1，且8－2a ＞0，∴a ＞4，且a ＜4，故这样的a 不存在． ∴1<a <83.答案：⎝⎛⎭⎫1，83 16．若函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋5)(a ＞0，且a ≠1)满足对任意的x 1，x 2，当x 1＜x 2≤a2时，f (x 2)－f (x 1)＜0，则实数a 的取值范围为________．解析：当x 1＜x 2≤a 2时，f (x 2)－f (x 1)＜0，即函数在区间(－∞，a2]上为减函数，设g (x )＝x 2－ax＋5，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1g ⎝⎛⎭⎫a 2＞0，解得1＜a ＜2 5.答案：(1,25)。

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课时规范练 A 组基础对点练1．下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝|sin x | C ．y ＝cos xD ．y ＝e x －e －x解析：因为函数y ＝x 的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以函数y ＝x 为非奇非偶函数，排除A ；因为y ＝|sin x |为偶函数，所以排除B ；因为y ＝cos x 为偶函数，所以排除C ；因为y ＝f (x )＝e x －e －x ，f (－x )＝e －x －e x ＝－(e x －e －x )＝－f (x )，所以函数y ＝e x －e －x 为奇函数，故选D. 答案：D2．下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x |D ．y ＝2－x解析：A 选项，记f (x )＝x 2sin x ，定义域为R ，f (－x )＝(－x )2sin(－x )＝－x 2sin x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数；B 选项，记f (x )＝x 2cos x ，定义域为R ，f (－x )＝(－x )2cos(－x )＝x 2cos x ＝f (x )，故f (x )为偶函数；C 选项，函数y ＝|ln x |的定义域为(0，＋∞)，不关于原点对称，故为非奇非偶函数；D 选项，记f (x )＝2－x ，定义域为R ，f (－x )＝2－(－x )＝2x ＝1f (x )，故f (x )为非奇非偶函数，选B. 答案：B3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝1＋x 2 B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝x ＋e x解析：选项A 中的函数是偶函数；选项B 中的函数是奇函数；选项C 中的函数是偶函数；只有选项D 中的函数既不是奇函数也不是偶函数．答案：D4．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝ln x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝sin xD ．y ＝cos x解析：A 项中的函数是非奇非偶函数；B 项中的函数是偶函数但不存在零点；C 项中的函数是奇函数；D 项中的函数既是偶函数又存在零点．答案：D5．定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：由奇函数的概念可知，y ＝x 3，y ＝2sin x 是奇函数．答案：C6．下列函数为偶函数的是( ) A ．f (x )＝x －1 B ．f (x )＝x 2＋x C ．f (x )＝2x －2－xD ．f (x )＝4x ＋4－x答案：D7．设f (x )＝x ＋sin x (x ∈R)，则下列说法错误的是( ) A ．f (x )是奇函数 B ．f (x )在R 上单调递增 C ．f (x )的值域为RD ．f (x )是周期函数解析：因为f (－x )＝－x ＋sin(－x )＝－(x ＋sin x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，故A 正确；因为f ′(x )＝1＋cos x ≥0，所以函数f (x )在R 上单调递增，故B 正确；因为f (x )在R 上单调递增，所以f (x )的值域为R ，故C 正确；f (x )不是周期函数，故选D. 答案：D8．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝|x |－1C ．y ＝lg xD ．y ＝⎝⎛⎭⎫12ln|x |解析：A 项，y ＝1x 是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，故A 错误；易知B 正确；C 项，y＝lg x 是非奇非偶函数，故C 错误；D 项，y ＝⎝⎛⎭⎫12ln|x |是递减的．答案：B9．f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 3＋ln(1＋x )，则当x ＜0时，f (x )＝( ) A ．－x 3－ln(1－x ) B ．x 3＋ln(1－x ) C ．x 3－ln(1－x )D ．－x 3＋ln(1－x )解析：当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝(－x )3＋ln(1－x )，∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x ＜0时，f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )3＋ln(1－x )]＝x 3－ln(1－x )．答案：C10．已知定义在R 上的函数f (x )满足：y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，且当x ≥0时，恒有f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0,2)时，f (x )＝e x －1，则(2 018)＋f (－2 017)＝( ) A ．1－e B ．e －1 C ．－1－eD ．e ＋1解析：∵y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，∴y ＝f (x )的图象关于原点对称，∴f (－x )＝－f (x )，又当x ≥0时，f (x ＋2)＝f (x )，∴f (2 018)＋f (－2 017)＝f (0)－f (1)＝0－(e －1)＝1－e ，故选A. 答案：A11．x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数f (x )＝x －[x ]在R 上为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．增函数D ．周期函数解析：函数f (x )＝x －[x ]在R 上的图象如下图：选D. 答案：D12．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈[－2,0]时，f (x )＝－2x ，则f (1)＋f (4)等于( ) A.32 B ．－32C ．－1D ．1解析：由f (x ＋4)＝f (x )知f (x )是周期为4的周期函数，又f (x )是定义在R 上的偶函数，故f (4)＝f (0)＝－1，f (1)＝f (－1)，又－1∈[－2,0]，所以f (－1)＝－2－1＝－12，所以f (1)＝－12，f (1)＋f (4)＝－32，选B.答案：B13．函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 3为奇函数，则a ＝________.解析：由题意知，g (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，∴a ＝－1. 答案：－114．设函数f (x )＝(x ＋1)2＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.解析：f (x )＝x 2＋1＋2x ＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1，令g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (x )为奇函数，有g (x )max＋g (x )min ＝0，故M ＋m ＝2. 答案：215．已知函数f (x )是周期为2的奇函数，当x ∈(0,1]时，f (x )＝lg(x ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫2 0165＋lg 18＝__________.解析：由函数f (x )是周期为2的奇函数得f ⎝⎛⎭⎫2 0165＝f ⎝⎛⎭⎫65＝f ⎝⎛⎭⎫－45＝－f ⎝⎛⎭⎫45＝－lg 95＝lg 59，故f ⎝⎛⎭⎫2 0165＋lg 18＝lg 59＋lg 18＝lg 10＝1. 答案：116．已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，则不等式f (x －2)≥0的解集是__________．解析：由已知可得x －2≥1或x －2≤－1，解得x ≥3或x ≤1，∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)B 组能力提升练1．下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝x 3＋3x 2B ．y ＝e x ＋e －x2C ．y ＝x sin xD ．y ＝log 23－x3＋x解析：依题意，对于选项A ，注意到当x ＝－1时，y ＝2；当x ＝1时，y ＝4，因此函数y ＝x 3＋3x 2不是奇函数．对于选项B ，注意到当x ＝0时，y ＝1≠0，因此函数y ＝e x ＋e－x 2不是奇函数．对于选项C ，注意到当x ＝－π2时，y ＝π2；当x ＝π2时，y ＝π2，因此函数y ＝x sin x 不是奇函数．对于选项D ，由3－x 3＋x ＞0得－3＜x ＜3，即函数y ＝log 23－x3＋x的定义域是(－3,3)，该数集是关于原点对称的集合，且log 23－(－x )3＋(－x )＋log 23－x 3＋x＝log 21＝0，即log 23－(－x )3＋(－x )＝－log 23－x 3＋x ，因此函数y ＝log 23－x3＋x 是奇函数．综上所述，选D.答案：D2．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝( ) A ．2 B ．－2 C ．－98D ．98解析：因为f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期T ＝4，又f (x )在R 上是奇函数，所以f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2. 答案：B3．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)满足f (x )≤f (a )对x ∈R 恒成立，则函数( ) A ．f (x －a )一定为奇函数 B ．f (x －a )一定为偶函数 C ．f (x ＋a )一定为奇函数 D ．f (x ＋a )一定为偶函数解析：由条件可知f (a )＝1，即x ＝a 是f (x )图象的一条对称轴．又y ＝f (x ＋a )的图象是由y ＝f (x )的图象向左平移a 个单位得到的，所以y ＝f (x ＋a )的图象关于x ＝0对称，即y ＝f (x ＋a )为偶函数．故选D. 答案：D4．奇函数f (x )的定义域为R.若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0D ．1解析：由f (x ＋2)是偶函数可得f (－x ＋2)＝f (x ＋2)，又由f (x )是奇函数得f (－x ＋2)＝－f (x －2)，所以f (x ＋2)＝－f (x －2)，f (x ＋4)＝－f (x )，f (x ＋8)＝f (x )，故f (x )是以8为周期的周期函数，所以f (9)＝f (8＋1)＝f (1)＝1，又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (8)＝f (0)＝0，∴f (8)＋f (9)＝1. 答案：D5．已知函数f (x )＝a sin x ＋b 3x ＋4，若f (lg 3)＝3，则f ⎝⎛⎭⎫lg 13＝( ) A.13 B ．－13C ．5D ．8解析：由f (lg 3)＝a sin(lg 3)＋b 3lg 3＋4＝3得a sin(lg 3)＋b 3lg 3＝－1，而f ⎝⎛⎭⎫lg 13＝f (－lg 3)＝－a sin(lg 3)－b 3lg 3＋4＝－[a sin(lg 3)＋b 3lg 3]＋4＝1＋4＝5.故选C. 答案：C6．若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈R ，有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)＋1，则下列说法一定正确的是( ) A ．f (x )－1为奇函数 B ．f (x )－1为偶函数 C ．f (x )＋1为奇函数D ．f (x )＋1为偶函数解析：∵对任意x 1，x 2∈R 有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)＋1，∴令x 1＝x 2＝0，得f (0)＝－1.令x 1＝x ，x 2＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )＋1.∴f (x )＋1＝－f (－x )－1＝－[f (－x )＋1]，∴f (x )＋1为奇函数．故选C. 答案：C7．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23解析：法一：偶函数满足f (x )＝f (|x |)，根据这个结论，有f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13⇔f (|2x －1|)＜f ⎝⎛⎭⎫13，进而转化为不等式|2x －1|＜13，解这个不等式即得x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，23.故选A.法二：设2x －1＝t ，若f (t )在[0，＋∞)上单调递增，则f (x )在(－∞，0)上单调递减，如图， ∴f (t )＜f ⎝⎛⎭⎫13，有－13＜t ＜13，即－13＜2x －1＜13， ∴13＜x ＜23，故选A. 答案：A8．已知定义在R 上的奇函数满足f (x ＋4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( ) A ．f (－25)＜f (11)＜f (80) B ．f (80)＜f (11)＜f (－25) C ．f (11)＜f (80)＜f (－25) D ．f (－25)＜f (80)＜f (11) 解析：∵f (x ＋4)＝－f (x )， ∴f (x ＋8)＝－f (x ＋4)， ∴f (x ＋8)＝f (x )， ∴f (x )的周期为8，∴f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)＝f (－1＋4)＝－f (－1)＝f (1)，又∵奇函数f (x )在区间[0,2]上是增函数， ∴f (x )在区间[－2,2]上是增函数， ∴f (－25)＜f (80)＜f (11)，故选D. 答案：D9．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式x [f (x )－f (－x )]＜0的解集为( ) A ．{x |－1＜x ＜0，或x ＞1} B ．{x |x ＜－1，或0＜x ＜1} C ．{x |x ＜－1，或x ＞1} D ．{x |－1＜x ＜0，或0＜x ＜1}解析：∵奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，f (－x )＝－f (x )，x [f (x )－f (－x )]＜0，∴xf (x )＜0，又f (1)＝0，∴f(－1)＝0，从而有函数f(x)的图象如图所示：则有不等式x[f(x)－f(－x)]＜0的解集为{x|－1＜x＜0或0＜x＜1}，选D.答案：D10．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x ＜3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 017)等于()A．336 B．337C．1 678 D．2 018解析：∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6，当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x＜3时，f(x)＝x.∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，由周期可得f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝f(7)＋f(8)＋…＋f(12)＝…＝f(2 011)＋f(2 012)＋…＋f(2 016)＝1，而f(2 017)＝f(6×336＋1)＝f(1)＝1，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝336×1＋1＝337.故选B.答案：B11．对任意的实数x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，且f(0)＝2，则f(2 015)＋f(2 016)＝()A．0 B．2C．3 D．4解析：y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，则函数y＝f(x)的图象关于x＝0对称，即函数f(x)是偶函数，令x＝－1，则f(－1＋2)－f(－1)＝2f(1)，即f(1)－f(1)＝2f(1)＝0，即f(1)＝0，则f(x＋2)－f(x)＝2f(1)＝0，即f (x ＋2)＝f (x )，则函数的周期是2，又f (0)＝2，则f (2 015)＋f (2 016)＝f (1)＋f (0)＝0＋2＝2.故选B. 答案：B12．(2017·潍坊模拟)设函数y ＝f (x )(x ∈R)为偶函数，且∀x ∈R ，满足f ⎝⎛⎭⎫x －32＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12，当x ∈[2,3]时，f (x )＝x ，则当x ∈[－2,0]时，f (x )＝( ) A ．|x ＋4| B ．|2－x | C ．2＋|x ＋1|D ．3－|x ＋1|解析：∵∀x ∈R ，满足f ⎝⎛⎭⎫x －32＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12， ∴∀x ∈R ，满足f ⎝⎛⎭⎫x ＋32－32＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＋12，即f (x )＝f (x ＋2)，若x ∈[0,1]，则x ＋2∈[2,3]， f (x )＝f (x ＋2)＝x ＋2，若x ∈[－1,0]，则－x ∈[0,1]， ∵函数y ＝f (x )(x ∈R)为偶函数， ∴f (－x )＝－x ＋2＝f (x )，即f (x )＝－x ＋2，x ∈[－1,0]；若x ∈[－2，－1]，则x ＋2∈[0,1]，则f (x )＝f (x ＋2)＝x ＋2＋2＝x ＋4， x ∈[－2，－1]．综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，－2≤x ＜－1，－x ＋2，－1≤x ≤0，故选D.答案：D13．(2018·保定调研)已知函数f (x )为R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)，若f (a )＝－2，则实数a ＝________.解析：x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－14的最小值为0，所以f (a )＝－2时，a ＜0，因为f (x )为R 上的奇函数，当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝－x (－x ＋1)＝x 2－x ＝－f (x )，所以x ＜0时，f (x )＝－x 2＋x ，则f (a )＝－a 2＋a ＝－2，所以a ＝－1. 答案：－114．偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________.解析：因为f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (x )＝f (4－x )，f (－x )＝f (4＋x )，又f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝f (4＋x )，则f (－1)＝f (4－1)＝f (3)＝3. 答案：315．函数f (x )＝e x ＋3x (x ∈R)可表示为奇函数h (x )与偶函数g (x )的和，则g (0)＝________. 解析：由题意可知h (x )＋g (x )＝e x ＋3x ①，用－x 代替x 得h (－x )＋g (－x )＝e －x －3x ，因为h (x )为奇函数，g (x )为偶函数，所以－h (x )＋g (x )＝e －x －3x ②. 由(①＋②)÷2得g (x )＝e x ＋e －x 2，所以g (0)＝e 0＋e 02＝1.答案：116．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R.若f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，则f (5a )的值是________．解析：由题意可得f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12＋a ，f ⎝⎛⎭⎫92＝f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪25－12＝110，则－12＋a ＝110，a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.答案：－25。

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