镇赉三中高二年级数学竞赛试题

镇赉三中高二年级数学竞赛试题（理科）
时间120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷 （选择题部分）
一．选择题：（每个小题只有一个正确答案，每小题6分，共72分） 1、下列命题中是真命题的是 （ ）
①“若22y x +≠0，则x ，y 不全为零”的否命题 ； ②“对顶角相等”的逆命题；③“若m>0，则2
x ＋x －m=0有实根”的逆否命题； ④“若x －12
3是
有理数，则x 是无理数”的逆否命题；
A 、①②③④
B 、①③④
C 、②③④
D 、①④
2、抛物线2
4y x =的焦点到双曲线2
2
13
y
x -=的渐近线的距离是（ ）
A ．12
B ．
C ．1
D 3、已知条件
:12
p x +>，条件2
:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4、已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>)则C 的渐近线方程
为（ ）
A ．1
4y x =±
B ．1
3y x =±
C ．1
2
y x =±
D ．y x =±
5．已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交
于,A B 两点,若0=⋅,则k =（ ）
A ．12
B ．
2
C D ．2
6、已知椭圆C ：22
194
x y +
=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN +=（ ） A ． 54 B. 6 C. 25 D. 12
7．如图,21,F F 是椭圆14
:22
1=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是
1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是（ ）
A ．2
B ．3
C ．
2
3
D ．
2
6 8．已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆
于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为（ ）
A ．2214536x y +
= B ．2213627x y += C ．2212718x y += D ．221189
x y +=
9、P 是双曲线22
x y 1916
－＝的右支上一点，M 、N 分别是圆（x ＋5）2＋y 2＝4和
（x －5）2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ ）. A. 6 B.7 C.8 D.9
(第6题图)
10.双曲线122
22=-b
y a x （a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1和F 2,若P 为其上一点，
且
=,则双曲线离心率的取值范围为( ). A.(1,3)
B.(]1,3
C.(3,+∞)
D.[
)
3,+∞
11．设P ，Q 分别为圆()262
2
=-+y x 和椭圆110
22
=+y x 上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是（ ） A ．25 B ．
+
C ．7+
D ．6
12、设a ，b 是关于t 的方程2t cos θ+tsin θ=0的两个不等实根，则过A （a ，
2
a ），B （
b ，2
b ）两点的直线与双曲线1sin cos 2
2
22=-θ
θy x 的公共点的个数为
第Ⅱ卷 （非选择题部分）
二．填空题：（每小题6分，共24分）
13．设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,且4
CBA π
∠=,若AB=4,BC =则Γ
的两个焦点之间的距离为________
14.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准
线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为
则p = ______.
15. 在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则
这个最小值为_________.
16.椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22
221x y a b
-=，1C 与2C 的
离心率之积为
2
，则2C 的渐近线方程为__________. 三.解答题：（共4个小题，写出必要的解题步骤）
17. （本小题12分）
已知椭圆C ：22425922=+y x ，两个焦点分别为F 1和F 2，直线02043:=-+y x l 。

（1）求椭圆上任意一点p 到直线l 的最大距离。

（2）椭圆C 与双曲线
116
92
2=-y x 有4个交点，求其中的一个交点p 与椭圆焦点F1、F2所围成的三角形的面积。

18、（本小题14分）
设:p 实数x 满足03422<+-a ax x ，其中0≠a ；:q 32≤<x 。

（1）若1=a ，且q p ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围。

19．（本小题满分14分）
已知一条曲线上的每个点M 到A （1,0）的距离减去它到y 轴的距离差 都是1．
（1）求曲线的方程;
（2）讨论直线y=kx+1 （k ∈R ）与曲线的公共点个数．
20、（本小题14分）
已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2,0），右顶点为)0,3(。

（1） 求双曲线C 的方程；
（2） 若直线l ：2+=kx y 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且
2>⋅（其中O 为原点）
，求k 的取值范围。

19．解：（1）设点M （x,y ）是曲线上任意一点,则
2
2)1(y x +--|x |=1，
化简得:y 2=2x+2|x|
所求曲线的方程．C 1：当x ≥0时， y 2=4x ；C 2：当x<0时，y=0． （2）直线y=kx+1过定点（0,1），
y=kx+1，与y 2=4x 联列：ky 2-4y+4=0, ∆=16-16k
当k=0时,直线与C 1有一个公共点,而与C 2没有公共点,共1个公共点; 当k=1时, ∆=0，直线与C 1和C 2各一个公共点,共2个公共点;
当0<k<1时，∆>0,直线与C 1有2个公共点，和C 2一个交点,共3个公共点; 当k<0时，∆>0,直线与C 1有两个公共点，和C 2没有公共点,共2个公共点; 当k>1时, ∆<0,直线与C 1没有公共点，和C 2有1个公共点,共1个公共点; 所以:当k=0,或k>1时,直线与曲线有1个公共点; 当k=1,或k<0时,直线与曲线有2个公共点; 当0<k<1时,直线与曲线有3个公共点．
20．解：（Ⅰ）设双曲线方程为22
221x y a b
-= ).0,0(>>b a
由已知得.1,2,2,32222==+==b b a c a 得再由故双曲线C 的方程为
.13
22
=-y x （Ⅱ）将得代入13
222
=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l
与双曲线交于不同的两点得2
222
130,
)36(13)36(1)0.k k k ⎧-≠⎪⎨∆=+-=->⎪⎩
即.13
1
22
<≠
k k 且 ① 设),(),,(B B A A y x B y x A ，则
22
9
,,22,1313A B A B A B A B x x x x OA OB x x y y k k
-+=
=⋅>+>--由得
而2((1)()2A B A B A B A B A B A B x x y y x x kx kx k x x x x +=+=+++
2
2
22
2937
(1)2.131331
k k k k k -+=+++=--- 于是2222
37392,0,3131
k k k k +-+>>--即解此不等式得.331
2<<k ②
由①、②得
.1312<<k 故k 的取值范围为(1,-⋃ 8、（本小题12分）
已知椭圆C 的两个焦点分别为1(1 0)F -，、2(1 0)F ，,短轴的两个端点分别为
12 B B 、；
(1)若112F B B ∆为等边三角形,求椭圆C 的方程;
(2)若椭圆C 的短轴长为2,过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点,且11F P FQ ⊥,求直线l 的方程.
镇赉三中高二年级数学竞赛试题 答题卡（理科）。