圆的解题技巧与方法总结及练习

圆的解题技巧总结

一、垂径定理的应用

1、求半径

例1.高速公路的隧道和桥梁最多．图1是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（ ）

（A ）5 （B ）7 （C ）37

5

（D ）37

7

2、求弦长

例2.工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图2所示，则这个小孔的直径AB ＿＿＿＿mm ．

3、求弦心距

例3.如图4，圆O 的半径为5，弦8AB =，OC AB ⊥于C ，则OC 的长等于 ．

4、求拱高（弓形高）

例4.兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图5所示，已知AB =16m ，半径 OA =10m ，高度CD 为_____m ．

5、求角度

例5.如图6，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠AOC =60º，则∠B = ． 6、探究线段的最小值

图3

B

A

8mm

图2

图1

B 图

6 A 图5

例6.如图，⊙O 的半径OA =10cm ，弦AB =16cm ，P 为AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距离为 cm ．

二、与圆有关的多解题

在解有关圆的问题时，常常会因忽视图形的几种可能性而漏解． 1、点与圆的位置关系不唯一

例1.若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b （a ＞b ），则此圆的半径为（ ）。

2、弦与弦的位置关系不唯一

例2.⊙O 的半径为5cm ，弦AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 与CD 之间的距离是（ ）。 （A ）7cm （B ）8cm （C ）7cm 或1cm （D1cm 例3．如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，AB=2，AC=，在图中画出弦AD ，使AD 等于1，并

求出∠CAD 的度数。

3、点在直径上的位置不唯一

例4．已知⊙O 的直径AB=10cm ，弦CD ⊥AB 于点M 。若OM ：OA=3：5，则弦AC 的长为多少？

4、弦所对圆周角的不唯一

例5．圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角为（ ）。 （A ）30°或60°（B ）60°（C ）150°（D ）30°或150° 5、圆与圆的位置关系不唯一

例6．如果两圆相切，两圆的圆心距为8cm ，圆A 的半径为3cm ，则圆B 的半径是（ ）。 （A ）5cm （B ）11cm （C ）3cm （D ）11cm 或5cm 6、相交圆圆心与公共弦的位置关系不唯一

图7

例7．已知相交两圆的半径分别为5cm和4cm，公共弦长6cm，则这两个圆的圆心距为。

分析：两圆圆心可能在公共弦的同侧，也可能在公共弦的异侧。

三、巧证切线

判断直线是否是圆的切线，主要有两条途径：

1．圆心到直线的距离等于半径

当题中没有明确直线与圆是否相交时，可先过圆心作直线的垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径．例1如图，P是∠AOB的角平分线OC上一点，PD⊥OA于点D，以点P为圆心，PD为半径画⊙P，试说明OB是⊙P的切线．

2．证明直线经过圆的半径的外端，并且垂直于这条半径

当已知直线与圆有交点时，连结交点和圆心（即半径），然后证明这条半径与直线垂直即可．

例2 如图，已知AB为⊙O的直径，直线BC与⊙0相切于点B，过A作AD∥OC交⊙0于点D，连结CD.

(1)求证：CD是⊙0的切线；

(2)若AD=2，直径AB=6，求线段BC的长．

四、“圆中辅助线”作法探究

弦与弦心距，密切相连系.直径对直角，圆心作半径.已知有两圆，常画连心线. 遇到相交圆，连接公共弦.

遇到相切圆，作条公切线.“有点连圆心，无点作垂线.”切线证明法，规律记心间.

1、根据垂径定理及其推论，过圆心作弦的垂线（作弦心距）.

例1 半径为5的圆中，求两条长为8和6的平行弦之间的距离.

2、连结圆上的有关点，根据同圆（或等圆）中，圆周角、圆心角、弦、弧之间的转换关系，解决问题.

例2 已知:在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC,△ABD的外接圆交BC于E.

求证:AD=EC.

3、当题目中有直径这一条件时，常利用“直径所对的圆周角是直角”添加辅助线.

例3 已知:在Rt△ABC中∠ABC=90º,以AB为直径作☉O交AC于D，

DE切☉O于D且交BC于E. 求证:BE=EC.

4、作过切点的半径（或直径）.当题中有切线时，常连结过切点的半径或直径，利用切线与它垂直的特点.有时也作过切点的弦，沟通弦切角与圆心角、圆周角之间的联系.

例4 已知:在Rt△ABC中,∠C=90º,BC是☉O的直径，AB交☉O于D，DE切☉O于D，交AC于E. 求证：OE∥BA.

5、当题中有两圆相切时，首先考虑的是过切点作两圆的公切线，由此沟通弦切角与圆周角之间的联系.有时也作两圆的连心线，利用切点在连心线上沟通圆心距与两圆半径之间的联系.

例5 已知:两圆外切于点P,一条割线分别交两圆于A、B、C、D四点.

求证:∠APD+∠BPC=180º.

例6 已知：两圆内切于点P,大圆的弦AD 交小圆于B 、C 两点. 求证:∠APB=∠CPD.

6、两圆相交时，作两圆的公共弦，以两圆的公共弦作为“桥梁”沟通两圆的圆周角和其他角之间的联系. 例7 已知:☉O 1与☉O 2相交于A 、B 两点,E 为☉O 1上的一点,EF 切☉O 1于点E,EA 、EB 的延长线交☉O 2于C 、D 两点. 求证:EF ∥CD.

7、代数、几何的综合题型.

例8 如图,在Rt △AOC 中，直角边OA 在X 轴负半轴上，OC 在Y 轴正半轴上，点F 在AO 上,以点F 为圆心的圆与Y 轴、AC 边相切，切点分别为O 、D,☉F 与X 轴的另一个交点为E.若tanA=34 ,☉F 的半径为3

2 .

（1）、求过A 、C 两点的一次函数解析式；

（2）、求过E 、D 、O 三点的二次函数解析式； （3）、证明（2）中抛物线的顶点在直线AC 上.