圆的解题技巧与方法总结及练习
关于圆的题型归纳和解题技巧
关于圆的题型归纳和解题技巧
一、题型归纳
1、求圆的半径和面积：
有时会给出圆的弦或者其他部分的参数，通过这些参数可以求出圆的半径和面积；有时可以使用圆的性质，如圆的内接三角形、外接三角形等，来求出圆的半径和面积；有时候还可以使用极坐标系来求解；
2、求圆的直径和周长：
一般来说周长=直径×π，可以利用这个公式求圆的周长；有时可以利用圆的性质，如圆的内接三角形、外接三角形等，来求圆的直径；也可以利用极坐标系来求解；
3、求圆心角：
有时给出的是圆的扇形的面积或者弧长，可以通过求出这个面积或者弧长对应的角度来求出圆心角；有时也给出的是圆弧上一点与圆心的连线，可以利用此线段及其他线段的角度来求出圆心角；
4、求圆的外接矩形或者其他图形：
有时给出的是圆的面积和某种图形的面积，可以计算出圆外接图形的面积，从而求出圆的外接矩形；有时也可以使用圆的性质，如圆的内接三角形、外接三角形等，来求出圆的外接矩形或者其他图形。
二、解题技巧
1、多用圆的性质：
圆的性质是圆的重要组成部分，其中有很多性质都可以用来帮助
解答圆的问题，如圆的内接三角形、外接三角形等；
2、注意圆的关键参数：
在回答圆的问题时，要特别注意特殊参数，如半径、直径等，它们可以使用其他参数来求出；
3、利用极坐标系：
极坐标系是求解圆的一种重要方法，它可以帮助我们简化复杂的问题，使得计算更简单、更快捷；
4、利用其他图形的特殊参数：
有些圆的题目可以利用其他图形的特殊参数来求解，例如外接矩形的长和宽，或者外接三角形的边长等。
圆的最值问题解题技巧
圆的最值问题在数学中是一个非常重要且常见的问题。
解决这类问题需要掌握一些技巧和方法。
本文将介绍一些解决圆的最值问题的技巧，并提供一些实例以便更好地理解这些技巧。
一、理解圆的基本概念在解决圆的最值问题之前，我们首先要对圆的基本概念有一个清晰的理解。
圆是由平面上距离一个固定点距离相等的所有点组成的集合。
圆心是这个固定点，半径是连接圆心与圆上任意一点的线段的长度。
二、圆的最值问题的分类圆的最值问题可以分为两类：圆的周长最值问题和圆的面积最值问题。
1. 圆的周长最值问题圆的周长是围绕圆的边界走一圈所经过的路径长度。
当半径给定时，圆的周长最大值出现在圆的直径上，最小值出现在圆的半径为零的点上。
2. 圆的面积最值问题圆的面积是圆内部的区域的大小。
当圆的半径给定时，圆的面积最大值出现在半径最大的圆上，最小值出现在半径为零的点上。
三、解决圆的最值问题的技巧解决圆的最值问题需要使用一些数学工具和技巧。
下面列举一些常用的技巧：1. 构造函数对于圆的最值问题，可以通过构造一个函数来描述圆的特性。
例如，对于圆的周长最值问题，可以构造一个函数表示周长与半径之间的关系。
通过求导或者应用相关的数学方法，可以找到函数的最值点。
2. 应用不等式在解决圆的最值问题时，可以应用一些不等式来限制变量的取值范围。
例如，当半径为正数时，圆的面积大于等于零。
通过应用这个不等式，可以得到一些限制条件，帮助解决最值问题。
3. 应用几何性质圆的最值问题可以利用圆的几何性质进行求解。
例如，圆的周长与直径之间有一个定理，即周长等于直径乘以π。
通过应用这个几何性质，可以得到一些等式或者关系，帮助求解最值问题。
四、实例分析为了更好地理解解决圆的最值问题的技巧，以下提供两个实例进行分析。
实例1：求半径为r的圆的面积的最大值。
解析：根据圆的面积公式，可以得到圆的面积A等于π乘以半径的平方。
因此，问题可以转化为求函数A=πr^2的最大值。
通过求导，可以得到函数A'=2πr。
关于圆的题型归纳和解题技巧
关于圆的题型归纳和解题技巧
一、关于圆形的题型归纳
1. 圆的概念：一种特殊的平面图形，具有圆心、半径和圆周的性质，由起点和终点构成的曲线，其形状和位置完全由圆心和半径控制。
2. 圆的性质：圆的面积等于圆的半径的平方乘以π，即S=πr2；圆的周长等于圆的半径乘以2π，即C=2πr。
3. 圆的分类：根据圆的形状可分为完全圆形，半圆形，四分圆形，椭圆形等。
4. 关于圆的极角：圆的极角为起点和终点之间的夹角；对任意一点在圆上，该点到圆心的距离称为该点的弦长，而连接该点和圆心的射线称为该点的极角，极角单位为度（°）。
5. 关于圆的直径、弦、弧、圆心角：直径是圆的最长的一条线段，其中任意两点到圆心的距离相等；弦是圆的一部分，由圆的两个端点和圆心连接而成的线段；弧是圆的一部分，由圆的两个端点和圆周连接而成的曲线；圆心角是两个弦的夹角，其角度值等于圆周长除以圆的直径所得到的结果。
二、解题技巧
1. 关于圆的题目一般都是关于坐标图形的，因此，解题的步骤就应当是确定坐标，然后根据坐标去求圆的性质，比如求圆心、半径、圆周等。
2. 在求解圆的性质时，可以利用两点定理、勾股定理等几何知
识，先求出圆上的点与点之间的距离，然后求出圆的半径，再根据圆的性质求其他的信息。
3. 在处理相关问题时，要掌握好圆的各项性质，不要忘记极角、直径、弦以及圆心角的概念，以免出现误解圆的基本性质，从而出现差错。
4. 针对求圆面积或圆周长的题目，要熟悉圆的性质，圆面积为πr2，圆周长为2πr，因此，只要计算出圆的半径，就可以得出答案。
利用圆的数学知识解决问题
利用圆的数学知识解决问题利用圆的数学知识可以解决许多与圆相关的问题，包括几何问题、三角学问题和应用问题等。
以下是一些常见的圆相关问题的解决方法示例：1.圆的周长和面积计算：圆的周长可以通过直径或半径来计算，使用周长公式C = 2πr 或C = πd，其中 r 为半径，d 为直径。
圆的面积可以使用面积公式A = πr² 计算。
2.弧长和扇形面积计算：如果知道圆的半径和弧度，则可以计算出弧长和相应的扇形面积。
弧长公式为S = rθ，其中 r 为半径，θ 为弧度。
扇形面积公式为A = 0.5r²θ，其中 r 为半径，θ 为弧度。
3.利用圆的相似性解决几何问题：当两个或多个圆几何相似时，可以利用相似三角形的属性来解决问题。
例如，通过比较相似几何形状的半径、弦长、弧长等，可以求解未知量。
4.角与弧的关系和计算：圆上的弦与其所对应的圆心角有一定的关系。
通过圆心角的角度计算，可以得到弦的长度、弧长和扇形面积等信息。
5.圆的内切和外接问题：圆内接于一个正多边形，可以通过正多边形的边长计算圆的半径。
圆外接于一个正多边形，可以通过正多边形的边长计算圆的直径。
6.圆与直线的交点和切线问题：根据圆的性质，可以计算圆与直线的交点数量和位置。
对于切线问题，可以利用切线与半径的垂直性和割线定理来求解。
7.圆与三角函数的关系：圆的单位圆定义是一个半径为1的圆，与三角函数的正弦、余弦和正切等有紧密的关联。
通过单位圆的角度，可以计算三角函数的值。
这些是一些利用圆的数学知识解决问题的示例，但并不限于此。
圆在数学中广泛应用，而解决特定问题可能需要应用多个圆相关概念和定理。
因此，理解圆的性质和运用适当的数学工具，结合实际问题，可以更好地解决与圆相关的数学问题。
圆的解题技巧总结
圆的解题技巧总结一、垂径定理的应用给出的圆形纸片如图所示，如果在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB,垂足为P,再将纸片沿着直径CD对折，我们很容易发现A B两点重合，即有结论AP=BP弧AC= 弧BC.其实这个结论就是“垂径定理”，准确地叙述为：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.垂径定理是“圆”这一章最早出现的重要定理，它说明的是圆的直径与弦及弦所对的弧之间的垂直或平分的对应关系，是解决圆内线段、弧、角的相等关系及直线间垂直关系的重要依据，同时，也为我们进行圆的有关计算与作图提供了方法与依据.例1某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面.(1)请你补全这个输水管道的圆形截面；(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm水面最深地方的高度为4cm,求这个圆形截面的半径.例2如图，PQ=3以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P,正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q,贝U AB=?例3 如图，已知OO 中，直径MN=10正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM 0P以及00上，并且/ POM=4°，贝U AB的长为多少?例4图为小自行车内胎的一部分，如何将它平均分给两个小朋发做玩具?二、与圆有关的多解题几何题目一般比较灵活，若画图片面，考虑不周，很容易漏解，造成解题错误，在解有关圆的问题时，常常会因忽视图形的几种可能性而漏解.1.忽视点的可能位置.例5 △ ABC是半径为2的圆的内接三角形，若BC=2/3cm,贝卩/A的度数为 __________________2.忽视点与圆的位置关系.例6 点P到O0的最短距离为2 cm，最长距离为6 cm,则O 0的半径是__________________3•忽视平行弦与圆心的不同位置关系.例7 已知四边形ABCD是O0的内接梯形，AB// CD AB=8 cm, CD=6 cm O0的半径是5 cm ,则梯形的面积是_________ .4.忽略两圆相切的不同位置关系例8 点P在O0外，0P=13 cm PA切O 0于点A, PA=12 cm ,以P为圆心作O P与O0 相切，贝UOP 的半径是______________________ .例9 若O O与O0 2相交，公共弦长为24 cm, O O与O0 2的半径分别为13 cm和15 cm, 则圆心距0102的长为_________________ .三、巧证切线切线是圆中重要的知识点，而判断直线为圆的切线是中考的重要考点. 判断直线是否是圆的切线，主要有两条途径：1•圆心到直线的距离等于半径当题中没有明确直线与圆是否相交时, 可先过圆心作直线的垂线，然后证明圆心到直线的距离等于半径.例10 如图，P是/AOB的角平分线0C上一点，PDLOA于点D,以点P为圆心，PD为半径画O P,试说明0B是OP的切线.A2•证明直线经过圆的半径的外端，并且垂直于这条半径当已知直线与圆有交点时，连结交点和圆心（即半径），然后证明这条半径与直线垂直即可.例11 如图，已知AB为OO的直径，直线BC与O0相切于点B,过A作AD// 0C交O0 于点D,连结CD.⑴求证：CD是O0的切线；⑵若AD=2直径AB=6,求线段BC的长.四、结论巧用，妙解题例12 已知：如图，OO 为Rt△ ABC的内切圆，D E、F分别为AB AC BC边上的切点，求证：s ABC = AD BD .该结论可叙述为：“直角三角形的面积等于其内切圆与斜边相切的切点分斜边所成两条线段的乘积.”运用它，可较简便地解决一些与直角三角形内切圆有关的问题，举例如下：例13如图，O0为Rt△ ABC的内切圆，切点D分斜边AB为两段，其中AD= 10, BD= 3,求AC和BC的长.例14 如图，△ ABC 中/A 与/B 互余,且它们的角平分线相交于点 0，又0吐AC OFL BQ垂足分别为 E 、F , AC=10 BC = 13.求AE- BF 的值.五、点击圆锥的侧面展开图圆锥的侧面展开图是中考中的热点内容：解决此类问题的关键是明确圆锥的侧面展开图中各元素与圆锥各元素之间的关系：圆锥的侧面展开图是扇形，而扇形的半径是圆锥的母线，弧长是圆锥的底面周长. 例15若一个圆锥的母线长是它的底面半径长的展开图的圆心角是（）A . 180° B . 90° C例16圆锥的侧面展开图是一个半圆面，则这个圆锥的母线长与底面半径长的比是（）A.2:1 B.2 n :1 C . 、2 : 1 D . .. 3 : 1 例17如图，小红要制作一个高 4 cm,底面直径是若不计接缝，不计损耗，则她所需纸板的面积是 （）A. 15 n cm? B . 6 JT3兀 cm i C . 12 cm 例18下图是小芳学习时使用的圆锥形台灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面 积为__________ cmf .（不考虑接缝等因素，计算结果用 n 表示）BIn6 cm 的圆锥形小漏斗, 2 D . 30 cm六、例谈三角形内切圆问题三角形的内切圆是与三角形都相切的圆， 它的圆心是三角形三条角平分线的交点， 它到 三角形三边的距离相等， 它与顶点的连线平分内角•应用内心的性质，结合切线的性质、切线长的性质可以解决很多问题，现举例说明， 评注：圆锥的侧面积，需要熟练掌握其计算公式，理解圆锥的侧面积等于其剪开后扇形的面积. 例19 如图，有一块四边形形状的铁皮 ABCD BC=CD,AB= 2AD,/ ABC =Z ADB=90 .⑴求/C 的度数；(2)以C 为圆心，CB 为半径作圆弧 BD 得一扇形CBD 剪下该扇形并 用它围成一圆锥的侧面，若已知 BC = a ,求该圆锥的底面半径； ⑶ 在剩下的材料中，能否剪下一块整圆做该圆锥的底面？并说明理由.a例20 如图，△ ABC中，内切圆O I和边BC CA AB分别相切于点D E、F. 求证：(1) . FDE =90 —丄• A -2 ，A⑵BIC M例21如果△ ABC的三边长分别为a、b、c,它的内切圆O I半径为r，那么△ ABC勺面积为（）.A. (a b c)r B 12( a b C)rC. 2 (a b c) r D3 丄(a b - c) r 4七、阴影部分面积的求值技巧求阴影部分面积，通常是根据图形的特点，将其分解、转化为规则图形求解•但在转化过程中又有许多方法•本文精选几个题，介绍几种常用方法.1.直接法当已知图形为熟知的基本图形时，先求出适合该图形的面积计算公式中某些线段、角的大小，然后直接代入公式进行计算.例22 如图，在矩形ABCD中, AB=1, AD= 3，以BC的中点E为圆心的与AD相切于点P,则图中阴影部分的面积为（）A. - B . 3-. C . D .—3 4 4 32.和差法当图形比较复杂时，我们可以把阴影部分的面积转化为若干个熟悉的图形的面积的和或差来计算.例23 如图，AB和AC是O0的切线，B C为切点，/ BAC=60 ,O0的半径为1,则阴影部分的面积是（）A.出一2二B . C . 2 3飞D.厶3-二3.割补法把不规则的图形割补成规则图形，然后求面积.例24 如图，正方形ABCD勺顶点A是正方形EFGH勺中心，EF=6 cm则图中的阴影部分的面积为_________________ .4.等积变形法把所求阴影部分的图形进行适当的等积变形，即可找出与它面积相等的特殊图形，从而求出阴影部分面积.例25如图，C D两点是半圆周上的三等分点，圆的半径为R,求阴影部分的面积.A O B5.平移法把图形做适当的平移，然后再计算面积.例26 如图，CD是半圆0的直径，半圆0的弦AB与半圆0相切，点0在CD上，且AB//CD AB= 4,则阴影部分的面积是（结果保留n ）.6. 整体法 例27如图，正方形的边长为 a ，分别以对角顶点为圆心， 边长为半径画弧， 则图中阴&聚零为整法例29如图所示，将半径为2 cm 的O0分割成十个区域，其中弦AB CD 关于点0对称, EF 、GH 关于点0对称，连结PM 则图中阴影部分的面积是 ______________________________ (结果用n 表示).H八、圆中辅助线大集合圆是初中重点内容， 是中考必考内容•关于圆的大部分题目常需作辅助线来求解•现对圆中辅助线的作法归纳总结如下： 1、有关弦的问题，常做其弦心距，构造直角三角形例30 如图，矩形 ABCD 与圆心在 AB 上的OO 交于点 G B F 、E , GB=8cm, AG= 1 cm,DE= 2 cm ，贝U EF= _____ cm.2、有关直径问题，常做直径所对的圆周角例31 如图，在△ ABC 中，/ C=90，以 BC 上一点0为圆心，以 OB 为半径的圆交 AB 于点M 交BC 于点N.⑴求证：AB BM =BC BN(2)如果CM 是O0的切线，N 为OC 的中点，当 AC = 3时，求 AB 的值.AB3、直线与圆相切的问题，常连结过切点的半径，得到垂直关系；或选圆周角，找出等 角关系 影部分的面积是 ()A. -la 2 —ra 2 B .2(a 2 -1 二 a 2) 24 4 C. 「a 21 2 .a D 2 .a - 1 2 a 2 27. 折叠法如图，半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于点0,其直径CD EF 均和x 轴垂直，以0为顶点的两条抛物线分别经过点 C E 和点D F ，则图中阴影部分的面积是 ______________例28 E例32如图，AB AC分别是O0的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交O0 于点E,交AB于点H,交AC于点F,过点C的切线交ED的延长线于P.⑴若PC= PF,求证：AB丄ED⑵点D在劣弧的什么位置时，才能使A D= DE- DF,为什么?4、两圆相切，常做过切点的公切线或连心线，充分利用连心线必过切点等定理例33 如图，O0 2与半圆O内切于点C,与半圆的直径AB切于D,若AB=6 O0 2的半径为1,则/ ABC 的度数为__________________________ .C、数学思想方法与中考能力要求数学思想和方法是数学的血液和精髓，是解决数学问题的有力武器，是数学的灵魂.因此，我们领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，是提高数学思维水平，提高数学能力，运用数学知识解决实际问题的有力保证，因此，我们在学习中必须重视数学思想在解题中的应用.一、数形结合思想.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合.通过对图形的认识，数形结合的转化，可培养同学们思维的灵活性、形象性，使问题化难为易，化抽象为具体.例1 MN是半圆直径，点A是的一个三等分点，点B是的中点，P是直径MN上的一动点，O0的半径是1，求AP+BP的最小值.二、转化思想转化思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换，使之转化，进而得到解决的一种方程，转化思想，能化繁为简，化难为易，化未知为已知.例2 如图，以00的直径BC为一边作等边△ ABC AB AC交O0于D E两点，试说明BD=DE=EC在同圆或等圆中，经常利用圆心角、圆周角、弧、弦等量的转化，说明其他量.所谓分类思想，就是当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论•分类必须遵循一定的原则：（1）每一次分类要按照同一标准进行；（2）不重、不漏、最简.例3 O0的直径AB=2 cm,过点A的两条弦AC= 2 cm, AD= 3 cm,求/ CAD所夹的圆内部分的面积.在圆中有许多分类讨论的题目希望同学们做题时，要全面、缜密，杜绝“会而不对, 对而不全”的现象.四、方程思想通过对问题的观察、分析、判断，将问题化归为方程问题，利用方程的性质和实际问题与方程的互相转化达到解决问题的目的.例4 如图，AB是O0的直径，点P在BA的延长线上，弦CDLAB垂足为E,且PC是OO 的切线，若OE:EA=1:2, PA= 6,求O0的半径.五、函数思想例5 (2005 •梅州市)如图，Rt△ ABC 中，/ ACB=90 , AC=4, BA=5,点P是AC上的动点(P不与A、C重合)，设PC= x,点P到AB的距离为y.(1)求y与x的函数关系式；(2)试讨论以P为圆心，半径为x的圆与AB所在直线的位置关系，并指出相应的x的取值范围.例6 (2006 •烟台)如图，从O 0外一点A作O0的切线AB AC,切点分别为B、C,且O0直径BD= 6,连结CD AO.(1)求证：CD// AO(2)设CD=x AO=y,求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)若AO+C B 11,求AB 的长.。
天津中考数学圆的题的解题技巧
解题技巧一：掌握圆的基本概念1. 圆的定义：平面上与一个定点的距离等于r的全部点的集合，这个定点叫做圆心，距离r叫做半径。
2. 圆的元素：圆心、半径、直径、弧、弦、切线、切点等。
3. 圆的公式：圆的周长C=2πr,圆的面积S=πr²。
4. 圆的相关定理：相交弦定理、相交弧定理等。
解题技巧二：掌握圆的性质1. 圆的性质：相等弧对应的圆周角相等，相等弦对应的圆周角相等，等腰三角形的高与底的积等于弦的二倍等。
2. 圆的判定方法：判定两个角是否为圆周角的方法有：是否在同一个圆内；是否相等；是否有公共点。
判定两条线段是否是圆的切线的条件是：两条直线是否有公共点；是否存在一个等于半径长的线段。
3. 圆的位似性质：圆内接四边形的三对角顶点角之和为360°，圆外接四边形的对角之和为360°。
解题技巧三：掌握圆的作图方法1. 画圆的基本步骤：确定圆心、半径；用圆规或者圆规尺作出圆心；用圆规或者定长圆弧尺作出半径。
2. 圆的相关作图方法：圆的切线、圆的切点、平行于已知直线的直线上某点到圆的切点等。
解题技巧四：掌握圆的相关计算方法1. 计算圆的周长和面积2. 计算圆的相关角度3. 计算圆内接四边形或者外接四边形的顶点位置、角度等。
总结：天津中考数学中关于圆的题目难度适中，主要考核考生对圆的基本概念和性质的掌握程度，以及对圆的相关计算和作图方法的应用能力。
考生在备考过程中需加强对圆的定义、性质、公式的记忆和理解，掌握圆的相关计算和作图方法，并通过大量的练习题来提高解题能力。
通过巩固基础知识、强化实际应用能力，考生们一定能够在中考数学中圆的题目中取得好成绩。
解题技巧五：解题方法与实例分析在解答天津中考数学中关于圆的题目时，考生可以采用以下方法进行解题：1. 圆的基本概念题目当遇到关于圆的基本概念的题目时，首先需要理清题目中圆的定义、元素以及相关公式和定理，然后根据所给定的条件，应用数学知识进行分析和推理，得出结论。
初三数学圆的解题技巧
初三数学圆的解题技巧圆，这个看似简单的图形，其实在数学的世界里，能让人乐此不疲。
初三的数学里，圆的题目总是充满了各种各样的考验，但只要掌握了几个关键技巧，你会发现解题其实没那么难。
今天咱们就来聊聊这些技巧，让你轻松应对圆的难题！1. 圆的基本概念1.1 圆的定义首先，咱们得知道什么是圆。
圆是由一个点（圆心）到圆上所有点的距离都相等的图形。
这个距离就是半径。
听起来简单吧？但这可是解圆题的基础哦。
1.2 圆的元素圆的基本元素有圆心、半径、直径、弦、切线。
圆心就是圆的中心点，半径是圆心到圆上任何一点的距离，直径则是穿过圆心的最长的线段，弦是圆内任意两点之间的线段，而切线则是与圆相切的直线。
这些概念都得熟记于心哦！2. 圆的常见问题与技巧2.1 弦的性质圆里的弦有个很重要的性质：在圆内，两条弦的长度如果相等，它们到圆心的距离也相等。
这就像两个“好朋友”，总是保持一样的距离。
利用这一点，可以帮助你解决很多涉及弦的题目。
2.2 圆心角与弦的关系圆心角就是圆心到圆上两点的夹角。
圆心角的一半就是弧所对的弦所夹的角，也就是所说的“圆周角”。
换句话说，圆心角越大，对应的弦也越长。
掌握这一点，你就能轻松搞定那些需要计算角度的题目。
2.3 切线与圆的关系切线和圆的关系特别简单：切线与圆在切点处垂直。
就是说，切线的斜率和圆的半径在切点处正好是“直的”。
这个性质常常用来求解与切线相关的题目，比如找切点或者切线的长度。
3. 解题策略3.1 画图“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。
”解题时，画图是非常重要的一步。
画图不仅能帮助你理清思路，还能让你更好地理解题目中的条件和要求。
别怕麻烦，拿起铅笔动手画吧！3.2 应用公式圆的题目中，有几个公式是必备的，比如圆的周长公式(C = 2pi r)和圆的面积公式(A = pi r^2)。
这些公式的运用可以帮你快速解答涉及周长和面积的问题。
3.3 综合运用有些题目需要综合运用多个知识点，比如既要用到弦的性质，又要考虑圆心角和弧的关系。
九年级数学圆解题技巧
九年级数学圆解题技巧
九年级数学圆部分是初中数学的一个重要内容，掌握解题技巧对于提高解题速度和正确率非常重要。
以下是一些常见的圆解题技巧：
1. 确定圆的性质：首先需要了解圆的基本性质，如圆周角定理、垂径定理等。
这些性质是解决圆问题的关键。
2. 利用半径、直径和弦之间的关系：在解题过程中，要善于利用半径、直径和弦之间的关系，如弦心距定理、切割线定理等。
3. 作辅助线：在解题过程中，有时需要作辅助线来帮助解决问题。
作辅助线的方法有很多，需要根据具体问题进行分析。
4. 利用相似三角形：在解决与圆有关的问题时，有时需要利用相似三角形来解决问题。
这时需要找到相似三角形，并利用相似比来求解。
5. 数形结合：在解决与圆有关的问题时，数形结合是一种常用的方法。
通过将问题转化为图形，可以更直观地理解问题，从而更快地找到解决方案。
6. 多做练习：要提高解决圆问题的能力，多做练习是必不可少的。
通过不断的练习，可以加深对圆的理解，掌握更多的解题技巧。
总之，解决圆问题需要掌握一定的技巧和方法，同时还需要多做练习，加深对圆的理解。
只有这样，才能更好地解决与圆有关的问题。
初三数学圆答题技巧
初三数学圆答题技巧
一、初三数学圆题型分类
1.基础题型：包括圆的性质、圆与直线的关系、圆与圆的关系等。
2.复合题型：涉及圆与三角函数、解析几何、概率与统计等知识的综合运用。
3.创新题型：如动态问题、几何构造、最值问题等。
二、答题技巧详解
1.审题要细：抓住题干中的关键信息，如圆的半径、圆心坐标等。
2.画图辅助：对于复杂题目，可以借助画图工具，将问题直观化。
3.公式运用：熟练掌握圆的相关公式，如圆的周长、面积、弧长等。
4.数学方法：灵活运用三角函数、解析几何等知识解题。
5.化简运算：在进行计算时，尽量化简复杂表达式，提高解题效率。
三、应对策略与实战演练
1.强化基础：通过练习基础题型，巩固圆的相关知识。
2.综合训练：多做复合题型，提高知识运用能力和解题技巧。
3.分析总结：在做题后，及时总结经验教训，查找自己的不足。
4.创新思维：尝试解答创新题型，拓宽解题思路。
5.考试策略：在考试中，先解答自己熟悉的题目，最后处理难题。
通过以上分析，我们可以看出，掌握初三数学圆答题技巧，需要在基础知识、解题方法和应试策略等方面下功夫。
圆几何题目解题技巧
圆几何题目解题技巧
1. 哎呀，遇到圆几何题目不要慌！要仔细观察图形啊！比如看到一个圆里有几条线交叉，那不是就像一团乱麻等你去理顺嘛！这时候就得找关键信息啦。
2. 嘿，解题时要善于利用已知条件呀！就像搭积木，一块一块堆起来，你看那个给的角度，不就像给了你个提示让你往那个方向走嘛！比如已知一个圆心角，那能求出好多东西呢！
3. 哇塞，别忘了那些定理啊！圆的定理就像是秘密武器！就好比圆周角定理，多好用啊，一用一个准！比如知道个弧所对的圆周角，马上就能找到圆心角啦！
4. 呀，要学会转化问题呀！把难的变成简单的，这多妙啊！就像走迷宫，找个简单的入口进去。
比如要求弧长，先把半径和圆心角搞定不就好啦！
5. 哈哈，多画画辅助线呀！这就像给题目开了扇窗，一下子就亮堂啦！有的时候一条线就能让你豁然开朗呢！例如连接圆心和某个点，说不定就有新发现！
6. 哟，记得多角度思考问题呀！别在一棵树上吊死！想想不同的方法，就像找钥匙，多试几把说不定就开了！比如可以从角度入手，也可以从线段入手嘛！
7. 唉，可别死脑筋呀！灵活一点！就跟跳舞似的，要跟着节奏来。
像那种看似复杂的图形，换个角度也许就简单了呢！
8. 总之，解决圆几何题目就是一场有趣的挑战！要细心、要动脑、要勇敢尝试！只要你掌握了这些技巧，还怕什么难题呢！。
初三圆的解题技巧和方法
初三圆的解题技巧和方法
初三圆的解题技巧和方法可以从以下几个方面来总结：
1.熟练掌握基本概念和性质：对于圆的基本概念和性质要熟练掌
握，比如圆的半径、直径、弧、弦等概念，以及圆的一些重要性质，如圆心角与弧的关系、垂径定理等。
2.熟记公式定理：圆中有许多重要的公式定理，比如切割线定
理、切线长定理、相交弦定理等，这些定理在解题中有着重要的应用。
3.学会画图和识图：圆的问题往往与图形密切相关，因此要学会
画图和识图。
在解题时，要根据题目描述的情境，画出相应的图形，以便更好地解决问题。
4.掌握解题思路：对于圆的题目，要掌握一些基本的解题思路。
比如对于一个与圆相关的证明题，可以通过分析题目中的条件和结论，结合已知的定理和性质，逐步推导出证明的思路；对于一个求解问题，可以通过分析题目中的条件和要求，结合已知的公式定理，找到求解的突破口。
5.多做练习：要想提高圆的解题能力，多做练习是关键。
可以通
过大量的练习来加深对圆的基本概念、性质、公式定理的理解和掌握，提高解题的速度和准确性。
6.善于总结和反思：在做题过程中，要善于总结和反思。
对于做
错的题目，要分析原因，找出自己的薄弱点，以便更好地提
高；对于做对的题目，也要总结思路和方法，以便以后遇到类似的问题可以更快地解决。
总之，要想提高圆的解题能力，需要从多个方面入手，不断加强基本概念和性质的理解和掌握，多做练习并善于总结和反思。
关于圆的题型归纳和解题技巧
关于圆的题型归纳和解题技巧
一、关于圆的题型归纳
1、求圆的周长、面积；
2、求圆的弦长、切线长；
3、求圆的外接矩形面积；
4、求圆的内接正三角形面积；
5、求圆的内切正三角形面积；
6、求扇形的面积；
7、求弧长、圆心角；
8、求圆的关系题；
9、求圆的判断题；
10、求圆外一点与圆的关系；
11、求外切圆与内切圆；
12、求圆的标准方程；
13、求圆的对称性；
14、求圆的有关数据推导；
15、求圆的分析绘图；
16、求圆的位置关系；
17、求圆的等价关系；
18、求圆的数字抽象；
二、关于圆的解题技巧
1、对圆的判断题，可以用圆心、半径、圆周等参数来判断；
2、圆内外的点是成对称的，可利用对称性解题；
3、求外切圆与内切圆时，可以找到相同的弦长、半径最大值最小值；
4、求弧长时，可以用圆心角的正弦余弦公式，通过求出弧长和半径的比值来计算出弧长；
5、求扇形的面积，可以用圆心角的正弦余弦公式求出扇形的三角形面积，再乘上圆心角的度数；
6、求两圆之间的关系时，可以用其半径大小比较，进行判断；
7、圆的位置关系一般利用同心圆或相切圆的方式来进行求解；
8、求圆的数字抽象时，要根据题目中提到的圆的参数，抽取出通用的圆的方程；
9、求圆的等价关系，可以用圆的标准方程，结合圆的圆心和半径，进行求解；
10、求圆的参数关系时，可以根据圆的标准方程来求出圆的参数和面积等；
11、圆的分析绘图时，要把握好图形的特征，找出圆的圆心，半径，角度等关系；
12、求圆的有关数据的推导时，可以用圆的标准方程，结合圆的圆心和半径等求解。
与圆有关的计算和证明解题技巧
与圆有关的计算和证明解题技巧
与圆有关的计算和证明是数学中一个重要的部分，它涉及到许多基本的数学概念和技巧。
以下是一些与圆有关的计算和证明的解题技巧：
1. 确定圆心和半径：在解决与圆有关的问题时，首先需要确定圆心和半径。
圆心是圆的中心点，而半径是从圆心到圆周的距离。
知道这些信息可以帮助你找到圆的方程，或者解决与圆有关的问题。
2. 使用圆的性质：了解并利用圆的性质是解决与圆有关问题的关键。
例如，圆的对称性、切线的性质、弦的性质等。
3. 利用勾股定理：勾股定理是一个非常重要的数学定理，它可以帮助你解决与圆有关的问题。
特别是当涉及到弦、切线、半径等时，勾股定理是非常有用的。
4. 使用圆的方程：圆的方程是解决与圆有关问题的另一个重要工具。
通过圆的方程，你可以找到圆心和半径，或者找到与圆有关的特定点的坐标。
5. 利用三角函数：在解决与圆有关的问题时，三角函数是非常有用的工具。
例如，当涉及到角度、弧长等时，三角函数可以帮助你找到解决方案。
6. 利用几何推理：几何推理是解决与圆有关问题的另一个重要技巧。
通过观察和推理，你可以找到解决问题的方法。
7. 练习和反思：最后，要提高解决与圆有关问题的能力，你需要不断地练习和反思。
通过练习，你可以熟悉各种问题类型和解题技巧，而反思则可以帮助你发现自己的弱点并加以改进。
希望这些技巧能帮助你更好地理解和解决与圆有关的问题！。
关于圆的题型归纳和解题技巧
关于圆的题型归纳和解题技巧
一、圆的题型归纳
1. 直线与圆的位置关系：直线与圆可以相切、相交、外切、内切。
2. 圆的性质：取点到圆心的距离相等；圆两点到圆心的连线，长度相等，角度相等；圆周上的点，到圆心两条连线的比值相等。
3. 圆心角：圆心角及其扇形的面积，与圆上两点的距离有关。
4. 关于圆的全等：两个半径相等的圆，它们的圆心角两端的线段的角度也相等；重心相等的圆，它们的圆心角也是相等的。
5. 关于圆的切线：圆上的点到圆心连线，为切线；圆上两点连线为切线；任一点到圆心的连线与任一点到圆上另外一点的连线的夹角为切线。
二、解题技巧
1. 图形分析法：根据题意绘制出合理的几何图形，对圆形的部分应尽量详细地描绘出来，综合分析各个部分的相互关系，以此判断圆形的计算结果。
2. 数字分析法：根据数据来分析圆形的特性，比如圆的半径是给定的，那么可以根据圆的性质和圆心角来推算其他参数的值；又如圆心角的角度是已知的，则可以推算出其它参数的值。
3. 结论法：圆周上的点，所到圆心的连线的比值都是相同的；圆心角的扇形面积和它的的圆心角的角度有关。
这些基本性质可以在解题中灵活地运用，通过比较不同扇形的面积来判断其可行的解，从
而推断出解题的具体值。
中考圆的综合题解题技巧
中考圆的综合题解题技巧
中考圆的综合题是中考数学中的重点难点之一，需要掌握一定的解题技巧。
以下是关于中考圆的综合题解题技巧的详细讲解：
1. 熟练掌握圆的基本性质
在解题前，要熟练掌握圆的基本性质，如圆心角、圆周角、弧长公式、弦长公式等。
这些基本性质是解题的基础，只有熟练掌握了这些知识点，才能更好地解决综合题。
2. 确定已知条件和求解目标
在解题时，首先要明确已知条件和求解目标，根据题目给出的条件，确定需要求解的未知量。
然后，可以根据已知条件和求解目标，将题目转化为不同形式的方程或几何关系。
3. 运用平面几何图形绘制技巧
在解决综合题时，可以通过平面几何图形的绘制来帮助自己更好地理解题目。
可以根据题目给出的条件，画出对应的图形，从而更好地确定几何关系，进而解决问题。
4. 运用代数方法解题
在解决综合题时，还可以运用代数方法，通过列方程求解未知量。
在列方程时，需要根据题目的要求，选择适当的未知量，并根据已知条件列出方程。
通过解方程求解未知量，从而得到答案。
5. 综合运用多种方法
在解决综合题时，还可以综合运用多种方法，如平面几何图形绘制、代数方法、解方程、等比例等。
通过综合运用多种方法，可以更好地解决复杂的综合题。
综上所述，中考圆的综合题需要掌握一定的解题技巧，包括熟练掌握圆的基本性质、确定已知条件和求解目标、运用平面几何图形绘制技巧、运用代数方法解题以及综合运用多种方法等。
只有掌握了这些技巧，才能更好地解决中考圆的综合题。
圆的解题技巧总结
切割线定理：圆的切线上任 意一点到圆心的距离等于该 点到切点的线段与切线垂直 的线段长度的乘积
圆心坐标为(h, k)， 半径为r
方程为(xh)^2+(yk)^2=r^2
圆的标准方程是描 述圆最常用的方程 形式，包含了圆心 坐标和半径的信息
通过圆的标准方程 可以求解出圆的半 径和圆心坐标
圆的一般方程 为：x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0
圆的外切多边形：各边到圆心的距离相等，且等于半径
圆的内接多边形：各边到圆心的距离相等，且等于半径
外切多边形和内接多边形的性质：外切多边形的周长等于圆的周长，内接多边形的面积等于 圆的面积
解题技巧：利用外切多边形和内接多边形的性质，可以解决与圆相关的几何问题
圆的面积计算公式为：S=πr²，其 中r为圆的半径
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01.
02.
03.
04.
05.
圆上三点确定一个圆 圆内接四边形对角互补 圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于所对弧的圆心角的一半 直径所对的圆周角是直角
圆周角定理：圆周角等于同弧所对的圆心角的一半。 推论1：直径所对的圆周角等于直角。 推论2：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 推论3：同弧或等弧所对的圆周角相等，并且等于该弧所对圆心角的一半。
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半。
推论1：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
推论2：两个弦切角相等，如果它们所夹的弧相等。
推论3：如果弦切角等于一个给定的角度，那么它所夹的弧所对的圆心角也等于这个角度 的两倍。
相交弦定理：圆的两条相交 弦的长度之积等于两弦之间 的弦心距的乘积
圆的方程的求解技巧
圆的方程的求解技巧圆是平面几何中的一种基本图形，其特点是由平面上所有与一个点的距离相等的点组成。
圆的方程是表示圆的数学式子，在解题过程中，我们需要掌握一些技巧。
下面将介绍几种常见的圆的方程求解技巧。
1. 根据圆心和半径求解：圆心是圆心坐标为（a，b），半径为r的圆方程可表示为（x-a）² + (y-b)² = r²。
这种情况下，我们已知圆心和半径，直接代入方程即可求解圆的方程。
2. 根据圆上的点求解：如果已知圆上的一点A，其坐标为（x₁，y₁），且已知圆的半径为r，可以通过将点A的坐标带入圆的方程中得到另一个方程，然后与圆的方程联立求解。
例题：已知圆心为（2，3），过点（1，5）的圆的方程。
解答：假设圆的方程为（x-a）² + (y-b)² = r²，已知圆心为（2，3），则方程变为（x-2）² + (y-3)² = r²。
由于点（1，5）在圆上，可代入方程（1-2）² + (5-3)² = r²，即1 + 4 = r²，所以r²=5。
将r²带入方程中，得到（x-2）² + (y-3)² = 5，即为所求的方程。
3. 根据与x轴或y轴的交点求解：如果已知圆与x轴或y轴相交于两点，可以通过坐标轴上的交点来确定圆的方程。
例题：已知圆与x轴和y轴相交于点（4，0）和（0，3）的圆的方程。
解答：设圆心为（a，b），圆的方程为（x-a）²+ (y-b)² = r²。
过点（4，0）的圆的方程为（4-a）²+ (0-b)²= r²，即16 - 8a + a² + b² = r²。
----（1）过点（0，3）的圆的方程为（0-a）²+ (3-b)²= r²，即9 - 6b + b² + a² = r²。
中考圆的常见题型总结
中考圆的常见题型总结中考圆的常见题型总结圆是中考数学中的一个重要概念，掌握圆的性质和相关题型能有效提高数学成绩。
下面将对中考圆的常见题型进行总结。
常见题型一：圆的基本性质题1. 求圆的面积和周长：圆的面积公式为：S = πr²圆的周长公式为：C = 2πr2. 求圆心角的度数：圆心角所对的弧与圆周所对的角相等，所以可以用圆心角的度数去表示弧的度数。
常见题型二：圆的位置关系题1. 判断关系：a. 外切圆和内切圆的位置关系：两个相切的圆，内切圆的圆心在外切圆的圆心的同一直线上。
b. 相交关系：两个相交的圆在两个交点的位置关系，可以根据边长和半径等关系进行求解。
c. 同圆关系：两个同圆的圆是重合的，即它们的半径相等。
d. 不交相离：两个完全不相交的圆，它们的位置关系为不交相离。
2. 判断位置：判断一个点在圆的内部、外部还是圆上，可以通过求这个点到圆心的距离是否等于圆的半径来判断。
常见题型三：弧和扇形的性质题1. 弧段公式：已知圆的半径和弧长，可以用弧长公式计算圆心角的度数。
2. 扇形面积公式：已知扇形中心角的度数和半径，可以用扇形面积公式计算扇形的面积：S = (θ/360°)πr²常见题型四：切线和切点的性质题1. 切线的定义：切线是与圆只有一个交点的直线。
2. 切点的性质：切点与切线垂直，切点到圆心的距离等于半径。
常见题型五：菱形和正方形的圆内接问题1. 菱形的性质：菱形的四个角都是直角，因此可以通过对角线的性质判断是否为菱形。
2. 正方形的性质：正方形是一种特殊的菱形，它的四条边相等且四个角都是直角。
常见题型六：圆锥、圆台和球的性质题1. 圆锥的性质：圆锥是一个底面是圆而侧面是圆锥曲线的立体。
求圆锥的体积公式为：V = (1/3)πr²h求圆锥的侧面积公式为：S = πrl2. 圆台的性质：圆台是一个底面是圆而顶面平行于底面的立体。
求圆台的体积公式为：V = (1/3)π(R² + r² + Rr)h求圆台的侧面积公式为：S = π(R + r)l3. 球的性质：求球的体积公式为：V = (4/3)πr³求球的表面积公式为：S = 4πr²以上是中考圆的常见题型总结，通过对这些题目的分析和解答，可以有效提高对圆的理解和掌握，并且能够在中考数学中灵活运用。
圆的证明题解题技巧
圆的证明题解题技巧圆的证明题解题技巧一、前置知识在学习圆的证明之前，需要掌握以下基础知识：1. 直线的性质：平行、垂直、夹角等概念及其性质。
2. 三角形的性质：内角和为180度、等腰三角形、直角三角形等概念及其性质。
3. 相似三角形：比例关系、相似定理等概念及其应用。
4. 同余三角形：对应边、对应角相等的三角形。
5. 利用构造方法求解几何问题：如作垂线、作中线、作平分线等方法。
二、圆的定义与性质圆是由平面上所有到定点距离相等的点组成的图形。
其中，定点称为圆心，到圆心距离称为半径。
圆上任意两点间的距离称为弧长，弧长所对应的圆心角称为弧度。
1. 圆心角与弧度关系当一个圆心角所对应的弧长恰好为半径时，这个圆心角称为一弧度。
因此，一周360度对应着2π弧度。
2. 圆内接四边形如果一个四边形的四个顶点都在同一圆上，那么这个四边形就是圆内接四边形。
圆内接四边形的两组对角线互相垂直且交点在圆心。
3. 圆的切线与切点如果一条直线与圆相切，那么这条直线称为圆的切线。
与切点相对应的半径垂直于切线。
三、常见证明题型及技巧1. 证明两条直线相交于圆上如果已知两条直线AB、CD分别与一个圆相交于点A、B、C、D，我们需要证明这两条直线相交于圆上。
技巧：连接AC和BD，利用三角形性质和同余三角形定理可以证明AC和BD垂直且交于O（圆心）。
2. 证明一个三角形为等腰三角形如果已知一个三角形ABC中AB=AC，我们需要证明这个三角形是等腰三角形。
技巧：以A为圆心作一个以AB为半径的圆，并延长BC至与该圆相交于D。
连接AD并证明AD垂直BC即可得出结论。
3. 证明一个四边形为菱形如果已知一个四边形ABCD中AB=BC=CD=DA，我们需要证明这个四边形是菱形。
技巧：以A为圆心作一个以AB为半径的圆，并分别延长AD、BC至与该圆相交于E、F。
连接AE、BF并证明AE和BF垂直且交于O（圆心）即可得出结论。
4. 证明一个四边形为矩形如果已知一个四边形ABCD中AB=CD且BC=DA，我们需要证明这个四边形是矩形。
六年级上圆知识梳理解题技巧
六年级上圆知识梳理解题技巧在六年级上册的数学学习中，圆这一板块的知识是非常重要的。
圆的相关知识不仅在数学学科中有着广泛的应用，还能为我们解决许多实际生活中的问题提供帮助。
接下来，就让我们一起梳理一下六年级上册圆的知识，并探讨一些解题技巧。
一、圆的基本概念1、圆心圆心是圆的中心，通常用字母“O”表示。
它决定了圆的位置。
2、半径连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，通常用字母“r”表示。
半径决定了圆的大小。
3、直径通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，通常用字母“d”表示。
直径是圆内最长的线段，且直径等于半径的 2 倍，即 d ＝ 2r 。
4、圆周率圆的周长与直径的比值叫做圆周率，通常用希腊字母“π”表示。
π是一个无限不循环小数，约等于31415926……在实际计算中，我们通常取 314 进行近似计算。
二、圆的周长1、圆的周长公式圆的周长 C ＝πd 或 C ＝2πr 。
2、解题技巧在计算圆的周长时，要先确定已知条件是圆的直径还是半径。
如果已知直径，就用 C ＝πd 计算；如果已知半径，就用 C ＝2πr 计算。
例如：一个圆的直径是 8 厘米，求它的周长。
解法：C ＝πd ＝ 314×8 ＝ 2512（厘米）三、圆的面积1、圆的面积公式圆的面积 S ＝πr² 。
2、解题技巧在计算圆的面积时，关键是要先求出半径。
如果已知直径，要先除以 2 得到半径。
例如：一个圆的半径是 5 分米，求它的面积。
解法：S ＝πr² ＝ 314×5²＝ 785（平方分米）四、圆环的面积1、圆环的面积公式圆环的面积＝外圆面积内圆面积，即 S ＝π（R² r²），其中 R 是外圆半径，r 是内圆半径。
2、解题技巧在计算圆环的面积时，要分别求出外圆和内圆的半径，然后代入公式计算。
例如：一个圆环，外圆半径是 6 厘米，内圆半径是 4 厘米，求圆环的面积。
解法：外圆面积＝ 314×6²＝ 11304（平方厘米）内圆面积＝ 314×4²＝ 5024（平方厘米）圆环面积＝ 11304 5024 ＝ 628（平方厘米）五、与圆有关的组合图形的面积1、解题思路对于与圆有关的组合图形的面积计算，通常需要将图形进行分割或补全，转化为我们熟悉的图形，如圆、三角形、长方形、正方形等，然后分别计算它们的面积，最后相加或相减得到组合图形的面积。
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圆的解题技巧总结一、垂径定理的应用1、求半径例1.高速公路的隧道和桥梁最多．图1是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（ ）（A ）5 （B ）7 （C ）375（D ）3772、求弦长例2.工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图2所示，则这个小孔的直径AB ＿＿＿＿mm ．3、求弦心距例3.如图4，圆O 的半径为5，弦8AB =，OC AB ⊥于C ，则OC 的长等于 ．4、求拱高（弓形高）例4.兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图5所示，已知AB =16m ，半径 OA =10m ，高度CD 为_____m ．5、求角度例5.如图6，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠AOC =60º，则∠B = ． 6、探究线段的最小值图3BA8mm图2图1B 图6 A 图5例6.如图，⊙O 的半径OA =10cm ，弦AB =16cm ，P 为AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距离为 cm ．二、与圆有关的多解题在解有关圆的问题时，常常会因忽视图形的几种可能性而漏解． 1、点与圆的位置关系不唯一例1.若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b （a ＞b ），则此圆的半径为（ ）。
2、弦与弦的位置关系不唯一例2.⊙O 的半径为5cm ，弦AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 与CD 之间的距离是（ ）。
（A ）7cm （B ）8cm （C ）7cm 或1cm （D1cm 例3．如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，AB=2，AC=，在图中画出弦AD ，使AD 等于1，并求出∠CAD 的度数。
3、点在直径上的位置不唯一例4．已知⊙O 的直径AB=10cm ，弦CD ⊥AB 于点M 。
若OM ：OA=3：5，则弦AC 的长为多少？4、弦所对圆周角的不唯一例5．圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角为（ ）。
（A ）30°或60°（B ）60°（C ）150°（D ）30°或150° 5、圆与圆的位置关系不唯一例6．如果两圆相切，两圆的圆心距为8cm ，圆A 的半径为3cm ，则圆B 的半径是（ ）。
（A ）5cm （B ）11cm （C ）3cm （D ）11cm 或5cm 6、相交圆圆心与公共弦的位置关系不唯一图7例7．已知相交两圆的半径分别为5cm和4cm，公共弦长6cm，则这两个圆的圆心距为。
分析：两圆圆心可能在公共弦的同侧，也可能在公共弦的异侧。
三、巧证切线判断直线是否是圆的切线，主要有两条途径：1．圆心到直线的距离等于半径当题中没有明确直线与圆是否相交时，可先过圆心作直线的垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径．例1如图，P是∠AOB的角平分线OC上一点，PD⊥OA于点D，以点P为圆心，PD为半径画⊙P，试说明OB是⊙P的切线．2．证明直线经过圆的半径的外端，并且垂直于这条半径当已知直线与圆有交点时，连结交点和圆心（即半径），然后证明这条半径与直线垂直即可．例2 如图，已知AB为⊙O的直径，直线BC与⊙0相切于点B，过A作AD∥OC交⊙0于点D，连结CD.(1)求证：CD是⊙0的切线；(2)若AD=2，直径AB=6，求线段BC的长．四、“圆中辅助线”作法探究弦与弦心距，密切相连系.直径对直角，圆心作半径.已知有两圆，常画连心线. 遇到相交圆，连接公共弦.遇到相切圆，作条公切线.“有点连圆心，无点作垂线.”切线证明法，规律记心间.1、根据垂径定理及其推论，过圆心作弦的垂线（作弦心距）.例1 半径为5的圆中，求两条长为8和6的平行弦之间的距离.2、连结圆上的有关点，根据同圆（或等圆）中，圆周角、圆心角、弦、弧之间的转换关系，解决问题.例2 已知:在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC,△ABD的外接圆交BC于E.求证:AD=EC.3、当题目中有直径这一条件时，常利用“直径所对的圆周角是直角”添加辅助线.例3 已知:在Rt△ABC中∠ABC=90º,以AB为直径作☉O交AC于D，DE切☉O于D且交BC于E. 求证:BE=EC.4、作过切点的半径（或直径）.当题中有切线时，常连结过切点的半径或直径，利用切线与它垂直的特点.有时也作过切点的弦，沟通弦切角与圆心角、圆周角之间的联系.例4 已知:在Rt△ABC中,∠C=90º,BC是☉O的直径，AB交☉O于D，DE切☉O于D，交AC于E. 求证：OE∥BA.5、当题中有两圆相切时，首先考虑的是过切点作两圆的公切线，由此沟通弦切角与圆周角之间的联系.有时也作两圆的连心线，利用切点在连心线上沟通圆心距与两圆半径之间的联系.例5 已知:两圆外切于点P,一条割线分别交两圆于A、B、C、D四点.求证:∠APD+∠BPC=180º.例6 已知：两圆内切于点P,大圆的弦AD 交小圆于B 、C 两点. 求证:∠APB=∠CPD.6、两圆相交时，作两圆的公共弦，以两圆的公共弦作为“桥梁”沟通两圆的圆周角和其他角之间的联系. 例7 已知:☉O 1与☉O 2相交于A 、B 两点,E 为☉O 1上的一点,EF 切☉O 1于点E,EA 、EB 的延长线交☉O 2于C 、D 两点. 求证:EF ∥CD.7、代数、几何的综合题型.例8 如图,在Rt △AOC 中，直角边OA 在X 轴负半轴上，OC 在Y 轴正半轴上，点F 在AO 上,以点F 为圆心的圆与Y 轴、AC 边相切，切点分别为O 、D,☉F 与X 轴的另一个交点为E.若tanA=34 ,☉F 的半径为32 .（1）、求过A 、C 两点的一次函数解析式；（2）、求过E 、D 、O 三点的二次函数解析式； （3）、证明（2）中抛物线的顶点在直线AC 上.[练习]1．已知：P 是⊙O 外一点，PB ，PD 分别交⊙O 于A 、B 和C 、D ，且AB=CD.求证：PO 平分∠BPD ．2．如图，ΔABC 中，∠C=90°，圆O 分别与AC 、BC 相切于M 、N ，点O 在AB 上，如果AO=15㎝，BO=20㎝，求圆O 的半径.3．已知：□ABCD 的对角线AC 、BD 交于O 点，BC 切⊙O 于E 点.求证：AD 也和⊙O 相切.ABCDOE4．如图，A 是半径为1的圆O 外的一点，OA=2，AB 是圆O 的切线，B 是切点，弦BC ∥OA ，连结AC ，求阴影部分的面积.A5．如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AE ⊥CD ，垂足为E,BF ⊥CD ，垂足为F.求证：DE=CF.6．如图，O 2是⊙O 1 上的一点，以O 2为圆心，O 1O 2为半径作一个圆交⊙O 1 于C ，D ．直线O 1O 2分别交⊙O 1 于延长线和⊙O 1 ，⊙O 2于点A 与点B ．连结AC ，BC ．⑴求证：AC=BC ；⑵设⊙O 1 的半径为r ，求AC 的长．⑶连AD ，BD ，求证：四边形ADBC 是菱形；⑷当r=2时，求菱形ADBC 的面积．A CDO 1 O 2B . ....N7．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，连AC 交⊙O 于D ，过D 作⊙O 的切线EF ，交BC 于E 点.求证：OE //AC.8．已知：图a ，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ．求证：（1）DC 是⊙O 的切线，（2）过D 点作DE ⊥AB ，图b 所示，交AC 于P 点，请考察P 点在DE 的什么位置？并说明理由.B图aB图b五、与圆有关的计算 ◆考点链接1. 圆的周长为 ，1°的圆心角所对的弧长为 ，n°的圆心角所对的弧长为 .2. 圆的面积为 ，扇形面积公式：1°的圆心角所在的扇形面积为 ，（1）n°的圆心角所在的扇形面积为S= 2R π⨯；（2）弧长为L 的扇形面积是S 扇形=12RL ．3. 圆柱的侧面积公式：S=2rl π.（其中r 为 的半径，l 为 的高）4. 圆锥的侧面积公式：S=rl π.（其中r 为 的半径，l 为 的长） 明确圆锥的侧面展开图是扇形，而扇形的半径是圆锥的母线，弧长是圆锥的底面周长． 圆锥的侧面积等于其剪开后扇形的面积． ◆典例解析例1（黑龙江哈尔滨）圆锥的底面半径为8，母线长为9，则该圆锥的侧面积为（ ）． A ．36π B ．48π C ．72π D ．144π例2（新疆）如图，已知菱形ABCD 的边长为1.5cm ，B C ，两点在扇形AEF 的上，求的长度及扇形ABC 的面积．BCD AE F例3（湖北襄樊）如图，在Rt ABC △中，9042C AC BC ===∠°，，，分别以AC .BC 为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）◆中考演练 一、选择题1.（东营）将直径为60cm 的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的底面半径为 ( ) A ．10cm B ．30cm C ．40cm D ．300cm2.(陕西)若用半径为9，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是（ ）A ．1.5 B ．2 C ．3 D ．63.（广州）已知圆锥的底面半径为5cm ，侧面积为65πcm 2，设圆锥的母线与高的夹角为θ（如图所示），则sinθ的值为（ ）A.125B.135C.1310D.13124.（济南）在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型．如图所示，它的底面半径6cm OB =，高8cm OC =．则这个圆锥漏斗的侧面积是（ ）A ．230cm B ．230cm π C ．260cm π D ．2120cm 二、填空题1.450的扇形AOB 内部作一个正方形CDEF ，使点C 在OA 上，点D .E 在OB 上，点F 在弧AB 上，则阴影部分的面积为（结果保留π） .2.（长春）如图，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为 （结果保留π）．3.（浙江台州）如图，三角板ABC 中，︒=∠90ACB ，︒=∠30B ，6=BC ．三角板绕直角顶点C 逆时针旋转，当点A 的对应点'A 落在AB 边的起始位置上时即停止转动，则B 点转过的路径长为 ．B 'A 'C AB 第3题第2题图C AB4. (湖北黄冈) 矩形ABCD 的边AB =8，AD =6，现将矩形ABCD 放在直线l 上且沿着l 向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置1111A B C D 时（如图所示），则顶点A所经过的路线长是_________． 三、解答题（湖南衡阳）如图，圆心角都是90º的扇形OAB 与扇形OCD 叠放在一起，连结AC ，BD ． （1）求证：AC=BD ；（2）若图中阴影部分的面积是243cm π，OA=2cm ，求OC 的长．六、阴影部分面积的求值技巧 求阴影部分面积，通常是根据图形的特点，将其分解、转化为规则图形求解．但在转化过程中又有许多方法．1．直接法当已知图形为熟知的基本图形时，先求出适合该图形的面积计算公式中某些线段、角的大小，然后直接代入公式进行计算．例1 如图，在矩形ABCD 中，AB=1，AD=3，以BC 的中点E 为圆心的与AD 相切于点P ，则图中阴影部分的面积为( )A ．π32B ．π43C ．π43D ．3π 2．和差法当图形比较复杂时，我们可以把阴影部分的面积转化为若干个熟悉的图形的面积的和或差来计算． 例2 如图，AB 和AC 是⊙0的切线，B 、C 为切点，∠BAC=60°，⊙0的半径为1，则阴影部分的面积是( )A ．π323-B ．33π-C ．332π- D ．π-32例3 如图，正方形的边长为a ，分别以对角顶点为圆心，边长为半径画弧，则图中阴影部分的面积是( ) A ．224121a a π+-B ．)41(222a a π-C ．22.21a a π+-D ．2221a a π-3．割补法把不规则的图形割补成规则图形，然后求面积．例4如图所示，将半径为2 cm的⊙0分割成十个区域，其中弦AB、CD关于点0对称，EF、GH关于点0对称，连结PM，则图中阴影部分的面积是______（结果用π表示）．4．等积变形法把所求阴影部分的图形进行适当的等积变形，即可找出与它面积相等的特殊图形，从而求出阴影部分面积．例5如图，C、D两点是半圆周上的三等分点，圆的半径为R，求阴影部分的面积．5．平移法把图形做适当的平移，然后再计算面积．例6 如图，CD是半圆0的直径，半圆0的弦AB与半圆O' 相切，点O' 在CD上，且AB∥CD，AB＝4，则阴影部分的面积是（结果保留π）．6．折叠法例7如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于点0，其直径CD，EF均和x轴垂直，以0为顶点的两条抛物线分别经过点C、E和点D、F，则图中阴影部分的面积是______．七、数学思想方法与中考能力要求1、数形结合思想．数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合．通过对图形的认识，数形结合的转化，可使问题化难为易，化抽象为具体．例1 MN是半圆直径，点A是的一个三等分点，点B是的中点，P是直径MN上的一动点，⊙0的半径是1，求AP+BP的最小值．2、转化思想转化思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换，使之转化，进而得到解决的一种方程，转化思想，能化繁为简，化难为易，化未知为已知．例2 如图，以0⊙的直径BC为一边作等边△ABC，AB、AC交⊙0于D、E两点，试说明BD=DE=EC．在同圆或等圆中，经常利用圆心角、圆周角、弧、弦等量的转化，说明其他量．3、分类思想所谓分类思想，就是当被研究的问题包含多种可能情况时，不能一概而论，必须按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论．分类必须遵循一定的原则：(1)每一次分类要按照同一标准进行；(2)不重、不漏、最简.例3 ⊙0的直径AB=2 cm，过点A的两条弦AC=2cm，AD=3cm，求∠CAD所夹的圆内部分的面积．4、方程思想通过对问题的观察、分析、判断，将问题转化为方程问题予以解决．例4如图，AB是⊙0的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC是⊙O的切线，若OE:EA=1:2，PA＝6，求⊙0的半径．5、函数思想例5如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BA=5，点P是AC上的动点（P不与A、C重合），设PC ＝x，点P到AB的距离为y．(1)求y与x的函数关系式；(2)试讨论以P为圆心，半径为x的圆与AB所在直线的位置关系，并指出相应的x的取值范围．例6(烟台)如图，从⊙0外一点A作⊙0的切线AB、AC，切点分别为B、C，且⊙0直径BD＝6，连结CD、AO.(1)求证：CD∥AO；(2)设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)若AO+CD＝11，求AB的长．八、圆的基本解题思路：1、角度问题: a.通过弧来找角 b.等腰、全等、直角c.弦切角等于弦所对圆周角2、证明两弧相等或两弦相等：a、圆周角或圆心角相等b、两弦相等/两弧相等c、垂径定理，即弦心距相等3、求弦长：a.垂径定理 b.弦与直径构成的直角三角形c.弦与两半径构成的特殊三角形4、证明一条直线是圆的切线的方法： a.切点确定时，证明直线垂直于半径 b.切点不确定，证明圆心到直线的距离等于半径5、两圆相交： a.连接圆心与交点，利用弧的度数求解。