2016-2017年浙江省杭州市七校联考高二上学期期中数学试卷及参考答案
浙江省杭州市高二上学期期中数学试题(解析版)
一、单选题1．直线 ）2y x =-+A ．2B ．C ．D ． 1212-2-【答案】D【分析】根据斜截式方程，可得答案.【详解】由方程，2y x =-2-故选：D.2．圆心为，半径的圆的标准方程为（ ）()1,2-3r =A ．B ． ()()22129x y -++=()()22129x y ++-=C ．D ． ()()22123x y -++=()()22123x y ++-=【答案】B【分析】根据圆的标准方程的形式，由题中条件，可直接得出结果.【详解】根据题意，圆心为，半径()1,2-3r =圆的标准方程为；()()22129x y ++-=故选：B ． 3．已知向量，则（ ）()()2,1,3,1,1,2a b =-=- 2a b +=A ．B ．C ．D ()4,1,1-()5,1,4-【答案】B【分析】根据向量加减法运算的坐标表示即可得到结果【详解】 2(2,1,3)(2,2,4)(4,1,1)a b +=-+-=- 故选：B.4．点是椭圆上的动点，则到椭圆两个焦点的距离之和为（ ） P 22125x y +=PA ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据椭圆的定义求得正确答案.【详解】椭圆的焦点在轴上，， 22125x y +=y 25,a a ==所以到椭圆两个焦点的距离之和为P 2a =故选：C5．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，.则直线与直线111ABC A B C -122CA CC CB ===1BC 夹角的余弦值为（ ）1ABA B C D ． 35【答案】A【分析】由空间向量求解，【详解】由题图知，A 点的坐标为，B 点的坐标为，点的坐标为，点的()2,0,0()0,0,11B ()0,2,11C 坐标为.()0,2,0所以，.()10,2,1BC =- ()1=2,2,1AB -所以 cos θ==故选：A6．直线被圆所截得的弦长为（ ）:3410l x y +-=22:2440C x y x y +---=A ．B ．4C ．D ．【答案】C【分析】利用圆的一般方程得出圆心坐标和半径，再结合点到直线的距离公式与勾股定理即可求解.【详解】由题意知，圆心，圆C 的半径为3， ()1,2C故C 到，:3410l x y +-=2故所求弦长为．=故选：C7．已知椭圆，F 是椭圆的左焦点，P 是椭圆上一点，若椭圆内一点A (1,1)，则22143x y +=的最小值为（ ）PA PF +A ．3BCD121【答案】A【分析】由椭圆定义把转化为到右焦点的距离，然后由平面上到两定点的距离之差最小的性PF P 质可得.【详解】设椭圆的右焦点为，，， 2F (1,0)21AF =22||||||4||4||||PA PF PA PF PA PF +=+-=+-又，，2||||PA PF -≤2||AF 222||||||||AF PA PF AF --≤≤当三点共线时取等号，的最小值为3（取最小值时是射线与椭圆的交2P A F ，，||||PA PF +P 2F A 点），故选：A.8．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC 的顶点分别为，，，()1,3A ()2,4B ()3,2C 则△ABC 的欧拉线方程为（ ）A ．B ． 50x y +-=50x y ++=C ．D ． 10x y -+=270x y +-=【答案】A【分析】求出重心坐标，求出AB 边上高和AC 边上高所在直线方程，联立两直线可得垂心坐标，即可求出欧拉线方程.【详解】由题可知，△ABC 的重心为，()2,3G 可得直线AB 的斜率为，则AB 边上高所在的直线斜率为，则方程为， 34112-=-1-5y x =-+直线AC 的斜率为，则AC 边上高所在的直线斜率为2，则方程为， 321132-=--2y x =联立方程可得△ABC 的垂心为， 52y y xx =-+=⎧⎨⎩510,33H ⎛⎫ ⎪⎝⎭则直线GH 斜率为，则可得直线GH 方程为， 10331523-=--()32y x -=--故△ABC 的欧拉线方程为.50x y +-=故选：A.二、多选题9．如图正四棱柱，则下列向量相等的是（ ）1111ABCD A B C D -A ．与B ．与 DO BO AC DB C ．与D ．与AD 11B C u u u u r 1A B u u u r 1D C 【答案】CD 【分析】根据相等向量的定义，结合正四棱柱的结构特征依次判断选项即可.【详解】由正四棱柱可知，A ：，但与方向相反，故A 不符题意；DO BO = DO BO B ：，但与方向不同，故B 不符题意；AC DB = AC DB C ：，且与方向相同，故C 符题意；11AD B C = AD 11B C u u u u r D ：，且与方向相同，故D 符题意. 11A B D C = 1A B u u u r 1D C 故选：CD.10．已知直线，，则（ ）1:(1)20l a x ay +++=2:(1)10l ax a y +--=A ．恒过点B ．若，则 1l (2,2)-12l l //212a =C ．若，则D ．当时，不经过第三象限12l l ⊥21a =01a ≤≤2l 【答案】BD【分析】对于A ，由直接求解即可；对于BC ，根据，时系数系数()2a x y x +=--12l l //12l l ⊥,,A B C 间的关系解决即可；对于D ，分类讨论即可.【详解】对于选项A ：直线的方程可化为：， 1l ()2a x y x +=--令得：， 020x y x +=⎧⎨--=⎩22x y =-⎧⎨=⎩所以直线恒过点，1l (2,2)-故选项A 错误，对于选项B ：若时，显然不平行，0a =12:2,:1l x l y =-=若时，显然不平行，1a =12:220,:1l x y l x ++==所以若，则， 12l l //11a a a a +-=--且， 211a a-≠-解得， 212a =故选项B 正确，对于选项C ：若，则，12l l ⊥(1)(1)0a a a a ++-=解得，0a =故选项C 错误，对于选项D ：若直线不经过第三象限，2l 当时，直线，符合题意，1a =2:1l x =当时，则，解得， 1a ≠01101a a a ⎧-≤⎪⎪-⎨⎪>⎪-⎩01a <…综上，，故选项D 正确，01a ≤≤故选：BD.11．设圆的圆心为， 为圆外一点，过作圆的两条切线，切点分22:2220x y x y +---=C ()5,1P P C 别为 ，则（ ）,A B A ．B ．四点共圆C ．D ．直线的方程为：PA PB ==,,,P A C B 60APB ∠=o AB 2x =【答案】ABCD【分析】首先将圆的方程配成标准式，即可求出圆心坐标与半径，再利用勾股定理求出切线上，利用锐角三角函数的性质求出、的横坐标，即可判断CD ；依题意可得到CPB ∠,A B ()3,1D ,,,P A C B 四点的距离相等，即可判断B ；【详解】解：因为，即，则圆心，半径22:2220C x y x y +---=()()22114x y -+-=()1,1C 2r =，故A 正确；在中，4==Rt BCP △，，所以，即，所以，4PC =2BC =1sin 2CPB ∠=30CPB ∠=︒260APB CPB ∠=∠=︒，所以点的横坐标为，所以直线的方程为，故C 、D 正确；60BCP ACP ∠=∠=︒,A B 2AB 2x =如图直线与圆相交于点，显然，故四点共圆，故B PC C ()3,1D 2DC DB DP AD ====,,,P A C B 正确；故选：ABCD12．设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于两点，则（ ） 22193x y +=F (0y m m =<<,A B A ．为定值AF BF +B ．的周长的取值范围是ABF △[]6,12C ．当时，为直角三角形 m =ABF △D ．当时，1m =ABF △【答案】ACD【分析】对选项进行逐一判断.由椭圆的定义判断A ；由为定值以及的范围判断||||AF BF +||AB B ；求出坐标，由数量积公式得出，得出为直角三角形判断C ；求出坐,A B ·0AF BF = ABF △,A B 标，由面积公式得出的面积判断D.ABF △【详解】设椭圆的左焦点为，则F '||||AF BF '=所以为定值，A 正确；||||||||6AF BF AF AF '+=+=的周长为，因为为定值6，ABF △||||||AB AF BF ++||||AF BF +所以的范围是，所以的周长的范围是，B 错误；||AB (0,6)ABF △(6,12)将， y =(A B又因为，∴ F 20AF BF ⋅=+= 所以为直角三角形，C 正确；ABF △将与椭圆方程联立，解得，，所以D 正确. 1y =(A B 112ABF S =⨯=A 故选：ACD三、填空题13．设椭圆标准方程为，则该椭圆的离心率为______． 2212516x y +=【答案】## 350.6【分析】求出、的值，即可求得椭圆的离心率.a c【详解】在椭圆中，，，则，2212516x y +=5a =4b =3c ==因此，该椭圆的离心率为. 35c e a ==故答案为：. 3514．在平面直角坐标系中，过圆：上任一点作圆：xOy 1C 22()(4)1x k y k -++-=P 2C 的一条切线，切点为，则当取最小值时，______．22(1)1x y ++=Q PQ k =【答案】 32【解析】首先画出相应的图形，根据切线的性质，得到对应的垂直关系，利用勾股定理得到线段之间的关系，从而将问题转化，再应用圆上的点到定点的距离的最小值在什么位置取得，从而求得结果.【详解】由方程可得圆C 1,C 2的圆心坐标分别为,,半径都是1.(),4k k -+()1,0-如图，因为PQ 为切线，所以，2PQ C Q ⊥由勾股定理，得，要使最小，则需最小，PQ =PQ 2PC 显然当点P 为与的交点时，最小，12C C 1C 2PC 此时，，所以当最小时，就最小，2121PC C C =-12C C 2PC1C C ==当时，最小，得到最小，32k =12C C PQ 故答案是：. 32【点睛】该题考查的是有关直线与圆的位置关系，切线长的求法，勾股定理，两点间距离公式，二次函数的最值，以及数形结合的思想.15．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的()1,0B -()0,0O 3x y +=最短总路程是______.【答案】5【分析】利用点关于直线的对称点结合两点间的距离公式即可求解.【详解】解：如图所示，作点关于直线的对称点，连接交直线与点O 3x y +=()00,A x y AB C由题知，点满足：()00,A x y ，解得：，，即点 0000322010x y y x ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩03x =03y =()3,3A 因为OC BC AC BC AB +=+=所以“将军饮马”的最短总路程为5AB ==故答案为：.516．如图，在四棱台中，，，，则ABCD A B C D -''''6AA '=90BAD ∠=︒60BAA DAA ''∠=∠=︒的最小值为___________．()(),R AC xAB y AD x y '-+∈【答案】【分析】先由平面向量的基本定理推得所求为四棱台的高，再结合图形利用线面ABCD A B C D -''''垂直的判定定理证得面，由此依次在，中求得，，最后在AD ⊥A MN 'Rt A AN 'A Rt AMN A A N 'MN 中求得，即为所求.Rt A MN 'A A M '【详解】设，由平面向量基本定理与，可得点(),R AP xAB y AD x y =+∈ (),R AP xAB y AD x y =+∈ 为平面内任一点，P ABCD 故， ()AC xAB y AD AC AP PC '''-+=-= 显然，当平面时，为四棱台的高的长度，取得最小值， PC '⊥ABCD PC ' ABCD A B C D -''''由于过点作高不好解答，不妨过作平面，则也为四棱台C 'A 'A M '⊥ABCD A M 'ABCD A B C D -''''的高，其长度即为所求.再作于，连结，如图，MN AD ⊥N ,A N AM '因为平面，平面，所以，A M '⊥ABCD AD ⊂ABCD A M AD '⊥又，面，所以面，MN AD ⊥,A M MN M A M MN ''⋂=⊂、A MN 'AD ⊥A MN '因为面，所以，A N '⊂A MN 'AD A N '⊥所以在中，，，可得，Rt A AN 'A 60DAA '∠=︒6AA '=sin 606A N AA ''=︒==， 1cos 60632AN AA '=︒=⨯=又由，所以为的平分线（注：此处也可过作的垂线，垂足60BAA DAA ''∠=∠=︒AM BAD ∠M AB 为，同理可得，从而得到证得），Q 3AQ =Rt Rt AMN AMQ ≅A A 所以在中，，故， Rt AMN A 1452MAN BAD ∠=∠=︒3MN AN ==所以在中，Rt A MN 'A A M '===所以四棱台的高为，故的最小值为ABCD A B C D -''''()AC xAB y AD '-+故答案为：.【点睛】本题综合了空间向量，立体几何及三角形知识，难度较大，关键点在于先利用向量基本定理将要求向量的模转化为棱台的高，过作出高，再结合线面垂直的判定以及解三角形的知识加以A '求解即可.四、解答题17．已知两直线l 1：x +8y +7=0和l 2：2x +y –1=0．（1）求l 1与l 2交点坐标；（2）求过l 1与l 2交点且与直线x +y +1=0平行的直线方程．【答案】（1）（1，–1）；（2）x +y =0．【分析】（1）两直线方程联立，可求出交点坐标；（2）所求直线的斜率与x +y +1=0的斜率相同，可设直线方程为 x +y +c =0，将（1）中求出的交点代入即可．【详解】（1）联立两条直线的方程可得：，解得，870210x y x y ++=⎧⎨+-=⎩11x y =⎧⎨=-⎩所以l 1与l 2交点坐标是（1，–1）．（2）设与直线x +y +1=0平行的直线l 方程为x +y +c =0， 因为直线l 过l 1与l 2交点（1，–1）， 所以c =0，所以直线l 的方程为x +y =0．【点睛】本题考查了两直线的交点问题，及平行线间的关系，属于基础题．18．已知向量，.()2,1,2a =- ()1,4,1b =r(1)求的值；2a b - (2)求向量与夹角的余弦值.2a b + a b -【答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量的坐标运算及向量模的坐标表示求解； （2）根据向量夹角的坐标表示计算即可得解.【详解】（1）∵，， ()2,1,2a =- ()1,4,1b =r∴，， ()24,2,4a =-r()23,6,3a b -=-r r ∴；2a =r （2）设与的夹角为，则， 2a b + a b -θ()()2cos 2a b a b a b a bθ+-=+⋅-r r r rrr r r ，，，()24,7,4a b +=r r29a b+=r r ()1,5,1a b -=-r r a b -= ∴cosθ===∴向量与夹角的余弦值为2a b + a b - 19．如图，在正四棱柱中，已知，，E ，F 分别为，1111ABCD A B C D -2AB AD ==15AA =1DD 1BB 上的点，且．11DE B F ==(1)求证：平面ACF ： BE ⊥(2)求点B 到平面ACF 的距离． 【答案】(1)证明见详解. (2). 43【分析】（1）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系通过证明D DA x DC y 1DD z 与平面的一个法向量重合来证明平面.BEACF BE ⊥ACF （2）利用点面距离公式即可计算出点到平面的距离.B ACF 【详解】（1）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如下图D DA x DC y 1DDz 所示：则,()()()()()2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,1,2,2,4A B C E F 设面的一个法向量为，， ACF ()=,,n x y z ()()=2,2,0,0,2,4AC AF -=可得，即，不妨令则, 00n AC n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 220240x y y z -+=⎧⎨+=⎩1z =()=2,2,1n BE --= 平面.BE ∴⊥ACF（2），则点到平面的距离为.()=0,2,0ABB ACF 43AB n n⋅= 20．已知椭圆：过点，长轴长为C 22221(0)x y a b a b+=>>(2,(1)求椭圆的标准方程；C (2)过点作直线与椭圆交于，两点，当为线段中点时，求直线的方程. (1,1)P l C A B P AB l 【答案】(1)22184x y +=(2)230x y +-=【分析】（1）椭圆基本量计算. （2）点差法求斜率即可.【详解】（1）因为椭圆的长轴长为，得C 2a =a =又椭圆过点，C (2,所以，得.24218b +=24b =所以椭圆的标准方程为:.C 22184x y +=（2）直线的斜率不存在时，过点，直线的方程为： l (1,1)P l 1x =此时线段中点为，不合题意.AB ()1,0所以直线的斜率必存在，设其为，，，l k ()11,A x y ()22,B x y 因为为的中点，则，所以，P AB 12121212x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩121222x x y y +=⎧⎨+=⎩将、坐标代入椭圆的标准方程为得，， A B C 22184x y +=22112222184184x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得：，整理得：， 22221212084x x y y --+=12121212()()()()084x x x x y y y y -+-++=所以，， 12121212()()()()84x x x x y y y y -+-+=-1212()2()284x x y y -⨯-⨯=-所以. 12124182y y k x x --===--所以直线的方程为，即.AB 11(1)2y x -=--230x y +-=因为点在椭圆内部，所以直线必与椭圆相交于两点，此直线即为所求. P l 21．已知圆C 的圆心坐标为C （3，0），且该圆经过点A （0，4）．(1)求圆C 的标准方程；(2)直线n 交圆C 于的M ，N 两点（点M ，N 异于A 点），若直线AM ，AN 的斜率之积为2，求证：直线n 过一个定点，并求出该定点坐标． 【答案】(1)； 22(3)25x y -+=(2)证明见解析；定点. (6,12)--【分析】（1）设圆的标准为，求出即得解；222(3)x y r -+=r （2）直线n 斜率不存在时，不存在；直线n 斜率存在时，设直线n ：，，，y kx t =+1(M x 1)kx t +，，求出直线的方程为即得解.2(N x 2)kx t +26t y x t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭【详解】（1）解：设圆的标准为，把代入得， 222(3)x y r -+=(0,4)A =5r 故圆的标准方程为．22(3)25x y -+=（2）证明：当直线n 斜率不存在时，设，，(,)M a b (),N a b -直线，的斜率之积为2，，AM AN (0,4)A ，即， ∴442,0b b a a a---⋅=≠22162,0b a a =-≠点在圆上，(,)M a b ，()22325a b ∴-+=联立，，舍去， ()2222162325b a a b ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩04a b ==±⎧⎨⎩当直线n 斜率存在时，设直线n ：，，，，， y kx t =+1(M x 1)kx t +2(N x 2)kx t +① ()()()()22121212124422440AM AN kx t kx t k k k x x k t x x t x x +-+-⋅=⋅=⇒-+-++-=联立方程， ()()()22222126160325y kx t k x kt x t x y =+⎧⎪⇒++-+-=⎨-+=⎪⎩，，()122261kt x x k --∴+=+2122161t x x k -=+代入①，得，()()()()()()2222216426410k t kt k kt t k --+--++-+=化简得或， 26tk =+4t =若，则直线过，与题设矛盾， 舍.4t =n ()0,4直线n 的方程为：，所以且∴26t y x t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(+1)20,+1=066x x t x y +-=∴20x y -=所以. 6,12x y =-=-所以过定点．(6,12)--22．如图，C 是以为直径的圆O 上异于A ，B 的点，平面平面为正三角形，AB PAC ⊥,ABC PAC A E ，F 分别是上的动点.,PC PB(1)求证：；BC AE ⊥(2)若E ，F 分别是的中点且异面直线与与平面,PC PB AF BC AEF 的交线为直线l ，点Q 为直线l 上动点，求直线与平面所成角的取值范围.ABC PQ AEF 【答案】(1)证明见解析 (2) 0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明平面，即可证明.BC ⊥PAC BC AE ⊥（2）由已知结合线面平行的判定定理知平面，结合线面平行的性质定理知，建//BC AEF //BC l 立空间直角坐标系，设，求出平面的一个法向量，利用空间向量求线面角即可得解. (2,,0)Q t AEF 【详解】（1）证明：因为C 是以为直径的圆O 上异于A ，B 的点，所以， AB BC AC ⊥又平面平面，且平面平面平面， PAC ⊥ABC PAC ,ABC AC BC =⊂ABC 所以平面平面. BC ⊥,PAC AE ⊂PAC 所以BC AE ⊥（2）由E ，F 分别是的中点，连结，所以，由（1）知， ,PC PB ,AE EF BC EF ∥BC AE ⊥所以，所以在中，就是异面直线与所成的角. EF AE ⊥Rt AFE A AFE ∠AF BC 因为异面直线与AFBC 所以tan ∠=AFE AE EF =又平面平面，EF ⊂,⊄AEF BC AEF 所以平面，又平面，平面平面， //BC AEF BC ⊂ABC ⋂EFA =ABCl 所以BC l ∥所以在平面中，过点A 作的平行线即为直线l .ABC BC以C 为坐标原点，所在直线分别为x 轴，y 轴，过C 且垂直于平面的直线为z 轴，建,CA CB ABC立空间直角坐标系，设.2AC =因为为正三角形所以 PAC △AE =2EF =由已知E ，F 分别是的中点，所以,PC PB24BC EF ==则，所以，(2,0,0),(0,4,0),A BP 11,22⎛⎛⎝⎝E F 所以，3,(0,2,0)2⎛=-= ⎝E AF E 因为，所以可设，平面的一个法向量为，BC l ∥(2,,0)Q t AEF (,,)m x yz =则，取，得， 30220x AE m EF m y ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅==⎩z=m =又，则. (1,,= PQ t 1|cos ,0,2⎛⎤〈〉 ⎝⎦ PQ m设直线与平面所成角为，则. PQ AEF θ1sin 0,2⎛⎤=⎝⎦θ所以直线与平面所成角的取值范围为.PQ AEF 0,6π⎛⎤⎥⎝⎦。
2016-2017学年浙江省杭州地区(含周边)重点中学高二上学期期中考试数学(详细答案版)
2016-2017学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高二上学期期中考试数学一、选择题：共8题1．直线的倾斜角是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查直线的倾斜角与斜率.由题意得,即直线的倾斜角.选B.2．已知，那么下列不等式成立的是A. B.a+c<b+c C. D.【答案】D【解析】本题主要考查不等式的性质.解答本题时要注意利用不等式的性质，结合特殊值法进行排除.因为，则不妨设，则A中不成立；B中设，则不成立；C中不成立，D中成立，故选D. 【备注】统计历年的高考试题可以看出，不等式的性质是高考的一个考查方向，属于容易题，处于选择题的前3题.3．设是等差数列的前项和，若，则A.5B.7C.9D.11【答案】A【解析】本题考查等差数列的性质与求和.因为为等差数列,所以=,即;所以=.选A.【备注】等差数列中，.4．如图水平放置的一个平面图形的直观图是边长为的正方形，则原图形的周长是A. B. C. D.【答案】A【解析】本题考查直观图.还原出平面图形,如图平行四边形所示;其中,,所以;所以原图形的周长==8.选A.5．为不重合的平面，为不重合的直线，则下列命题正确的是A.若，，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则【答案】C【解析】本题考查直线与平面的位置关系.对A,若，，，则不一定成立,排除A；对B,若，，，则不一定成立,排除B；对D,若，，，则不一定成立.排除D.选C.6．设一个球的表面积为S1,它的内接正方体的表面积为S2,则的值等于A. B. C. D.【答案】D【解析】设球的半径为R,其内接正方体的棱长为a,则易知R2=a2,即a=R,则==,选D.7．中，角所对的边分别为，已知且.若角为锐角，则的取值范围是A. B.C. D.【答案】D【解析】本题考查正弦定理,基本不等式.,由正弦定理得;而,即,所以,排除A,B,C.选D.8．四棱锥中，为正三角形，底面边长为1的正方形，平面平面，为底面内一动点，当时，点在底面正方形内(包括边界)的轨迹为A.一个点B.线段C.圆D.圆弧【答案】A【解析】本题考查空间向量的应用.由题意得:以的中点为坐标原点建立空间直角坐标系,,,令(,),所以,;而,即,即,整理得;而,,所以,,即,即点在底面正方形内(包括边界)的轨迹为一个点.选A.二、填空题：共7题9．已知直线：与：相交于点，若，则，此时点的坐标为 .【答案】，【解析】本题考查两直线垂直.因为直线与垂直,所以,解得;联立方程,解得,即点的坐标为.10．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为，它的表面积为 .【答案】，【解析】本题考查三视图,空间几何体的表面积与体积.还原出空间几何体,如图三棱锥所示,其中底面;=,所以三棱锥的体积;表面积=.11．如图，在长方体中，，，点在棱上移动，则直线与所成角的大小是，若，则直线与平面所成的角为 .【答案】，【解析】本题考查线面垂直,线面角.在长方体中，，所以,,而,所以面，而平面，∴；即直线与所成角的大小是; 若，则为的中点;取的中点,连接、,取的中点,连接;则面,此时为直线与平面所成的角；在直角三角形中,,,所以,所以,即直线与平面所成的角为.12．已知圆：，则圆的半径为，过点的直线中，被圆截得弦长最长的直线方程为 .【答案】，【解析】本题考查直线与圆的位置关系.圆:,其圆心，半径为；当过圆心时,弦长最长,此时直线的斜率,所以直线方程为,即过点的直线中，被圆截得弦长最长的直线方程为.13．设实数满足约束条件，则的取值范围为 .【答案】【解析】本题考查线性规划问题.画出可行域,如图三角形所示,,;而表示过点的直线的斜率;=,=;即，所以的取值范围为.14．已知圆的方程为，点的坐标为，设分别是直线：和圆上的动点，则的最小值为 .【答案】【解析】本题考查直线与圆的位置关系.由题意得,半径;点关于直线：的对称点,则;所以==,即的最小值为.15．已知关于的不等式的解集为，且，则的最小值是 .【答案】【解析】本题考查一元二次不等式,基本不等式.因为的解集为，所以,即,且;所以===(当且仅当时等号成立);即的最小值是.三、解答题：共4题16．在中，角的对边分别为，已知，其中为锐角.(1)求角的大小；(2)若，，求边的长.【答案】(1)由得，∵为锐角，∴，可得，∴.(2)由已知及余弦定理得，∴.【解析】本题考查二倍角公式,余弦定理.(1)由得，得，∴.(2)由余弦定理得.17．已知数列的前项和为，且.又数列满足.(1)求数列、的通项公式；(2)若，求使得不等式恒成立的实数的取值范围. 【答案】(1)由可得，∵，∴，∴，∴，即.∴数列是首项为，公比为4的等比数列，∴.又==，∴.(2)==；由恒成立，即恒成立设，∴当时，数列单调递减，当时，数列单调递增；即，∴数列最大项为；∴.【解析】本题考查等比数列,数列求和.(1)由得.∴数列是等比数列，∴，∴.(2)裂项相消得=；求得恒成立，∴.18．如图，在四棱锥中，底面，，，，，是的中点.(1)证明；(2)证明底面；(3)求二面角的正弦值的大小.【答案】(1)证明：在四棱锥中，∵底面，平面，∴∵，，∴平面，而平面，∴.(2)证明：由，，可得∵是的中点，∴，由(1)知，且，∴平面，而平面，∴∵底面，在底面内的射影是，，∴又∵，综上得底面.(3)过点作，垂足为，连结.由(2)知平面，在平面内的射影是，∴∴是二面角的平面角.由已知得，设，可得，，，，在中，∵，∴，则.在中，.【解析】本题考查线面垂直,线面角.(1)∵底面，∴∵，∴平面，∴.(2)证得，所以底面.(3)∴是二面角的平面角.在中，求得.19．已知圆：及圆内一点，过任作一条弦(1)求面积的最大值及取得最大值时直线的方程；(2)若点在轴上，且使得为的一条内角平分线，求点的坐标.【答案】(1)设，则，当时，，此时到的距离为，，∴，直线的方程为.(2)当直线斜率不存在时，始终平分当直线斜率存在时，设直线：，设，由得：设，，则，.∵，∴，∴，∴，∴，∴，，∴.【解析】本题考查直线与圆的位置关系,三角形的面积公式(1)，∴，直线为.(2)联立方程,套用根与系数的关系得，.∵，∴，求得，∴.。
浙江省杭州市七校联考高二数学上学期期中试卷(含解析)
2015-2016学年浙江省杭州市七校联考高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．数列的一个通项公式可能是（）A．（﹣1）n B．（﹣1）n C．（﹣1）n﹣1D．（﹣1）2．已知a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（）A．﹣a＞﹣b B．a+c＜b+c C．（﹣a）2＞（﹣b）2D．3．已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，A=30°，B=45°，a=7，则边长b 为（）A．B．C．D．4．已知数列{a n}，其通项公式a n=3n﹣18，则其前n项和S n取最小值时n的值为（）A．4 B．5或6 C．6 D．55．在等比数列{a n}中，a1=2，a n+1=3a n，则其前n项和为S n的值为（）A．3n﹣1 B．1﹣3n C．D．6．已知等比数列{a n}的各项均为正数，公比0＜q＜1，设，，则a3、a9、P与Q的大小关系是（）A．a3＞P＞Q＞a9B．a3＞Q＞P＞a9C．a9＞P＞a3＞Q D．P＞Q＞a3＞a97．在△ABC中，若b=asinC，c=acosB，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形8．不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣2，2]9．在数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=ln（1+），则a n=（）A．1+n+lnn B．1+nlnn C．1+（n﹣1）lnn D．1+lnn10．若a，b，c＞0，且，则2a+b+c的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若a2+c2﹣b2=ac，则角B的值是．12．数列{a n}的前n项和为，则a4+a5+a6= ．13．若x，y∈R，且，则z=x+2y的最大值等于．14．设数列{a n}、{b n}都是等差数列，且a1=15，b1=35，a2+b2=60，则a36+b36= ．15．已知x＞0，y＞0，且=1，则4x+y的最小值为．16．已知f（x）=|2x﹣1|+x+3，若f（x）≥5，则x的取值范围是．17．已知数列{a n}的首项a1=1，且对每个n∈N*，a n，a n+1是方程x2+2nx+b n=0的两根，则b10= ．三、解答题：（共42分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18．已知{a n}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12（1）求{a n}通项公式；（2）记{a n}的前n项和为S n，若a1，a k+1，S k+3成等比数列，求正整数k的值．19．在△ABC中，（角A，B，C的对应边分别为a，b，c），且．（1）求角B的大小；（2）若△ABC的面积是，且a+c=5，求b．20．已知函数f（x）=x2﹣2x﹣8，g（x）=2x2﹣4x﹣16，（1）求不等式g（x）＜0的解集；（2）若对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，求实数m的取值范围．21．在数列{a n}中，a1=，且3a n+1=a n+2．（1）设b n=a n﹣1，证明：数列{b n}是等比数列，并求出{a n}的通项公项；（2）设，数列的前n项和为T n，是否存在最小的正整数m，使得对于任意的n∈N*，均有T n＜成立，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．2015-2016学年浙江省杭州市七校联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．数列的一个通项公式可能是（）A．（﹣1）n B．（﹣1）n C．（﹣1）n﹣1D．（﹣1）【考点】数列的概念及简单表示法．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据已知中数列各项的符号是一个摆动数列，我们可以用（﹣1）n﹣1来控制各项的符号，再由各项绝对值为一等比数列，由此可得数列的通项公式．【解答】解：由已知中数列，…可得数列各项的绝对值是一个以为首项，以公比的等比数列又∵数列所有的奇数项为正，偶数项为负故可用（﹣1）n﹣1来控制各项的符号，故数列，…的一个通项公式为（﹣1）n﹣1故选D【点评】本题考查的知识点是等比数列的通项公式，其中根据已知数列的前几项分析各项的共同特点是解答本题的关键．2．已知a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（）A．﹣a＞﹣b B．a+c＜b+c C．（﹣a）2＞（﹣b）2D．【考点】不等式的基本性质．【专题】计算题．【分析】由条件求得﹣a＜﹣b＜0，从而得到（﹣a）2＞（﹣b）2，从而得到结论．【解答】解：∵a＞b＞0，∴﹣a＜﹣b＜0，∴（﹣a）2＞（﹣b）2，故选C．【点评】本题主要考查不等式的基本性质的应用，属于基础题．3．已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，A=30°，B=45°，a=7，则边长b 为（）A．B．C．D．【考点】正弦定理的应用．【专题】方程思想；综合法；解三角形．【分析】使用正弦定理即可列出方程解出．【解答】解：由正弦定理=得，解得b=7．故选C．【点评】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．4．已知数列{a n}，其通项公式a n=3n﹣18，则其前n项和S n取最小值时n的值为（）A．4 B．5或6 C．6 D．5【考点】数列的函数特性．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由a n=3n﹣18≤0，解得n．即可得出．【解答】解：由a n=3n﹣18≤0，解得n≤6．∴其前n项和S n取最小值时n的值为5，或6．故选：B．【点评】本题考查了数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．在等比数列{a n}中，a1=2，a n+1=3a n，则其前n项和为S n的值为（）A．3n﹣1 B．1﹣3n C．D．【考点】等比数列的前n项和．【专题】综合法；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的定义及其前n项和公式即可得出．【解答】解：由等比数列{a n}中，a1=2，a n+1=3a n，可知：公比为3．∴S n==3n﹣1．故选：A．【点评】本题考查了等比数列的定义及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．已知等比数列{a n}的各项均为正数，公比0＜q＜1，设，，则a3、a9、P与Q的大小关系是（）A．a3＞P＞Q＞a9B．a3＞Q＞P＞a9C．a9＞P＞a3＞Q D．P＞Q＞a3＞a9【考点】等比数列的性质．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】等比数列{a n}的各项均为正数，公比0＜q＜1，，可得=＜=P，又各项均为正数，公比0＜q＜1，可得a9＜P＜a3，a9＜Q＜a3．即可得出．【解答】解：等比数列{a n}的各项均为正数，公比0＜q＜1，，则=＜=P，又各项均为正数，公比0＜q＜1，∴a9＜＜a3，则a9＜=＜a3．∴a9＜Q＜P＜a3．故选：A．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其单调性、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．在△ABC中，若b=asinC，c=acosB，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【考点】三角形的形状判断．【专题】解三角形．【分析】由条件利用正弦定理可得 sinA=1，可得A=．再由sinC=sinB，利用正弦定理可得c=b，可得△ABC的形状为等腰直角三角形．【解答】解：在△ABC中，∵b=asinC，c=acosB，故由正弦定理可得 sinB=sinAsinC，sinC=sinAsinB，∴sinB=sinAsinAsinB，∴sinA=1，∴A=．∴sinC=sinAsinB 即 sinC=sinB，∴由正弦定理可得c=b，故△AB C的形状为等腰直角三角形，故选：C．【点评】本题主要考查正弦定理的应用，判断三角型的形状，属于基础题．8．不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣2，2]【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由于二次项系数含有参数，故需分a﹣2=0与a﹣2≠0两类讨论，特别是后者：对于（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，有求出a的范围，再把结果并在一起．【解答】解：当a=2时，原不等式即为﹣4＜0，恒成立，即a=2满足条件；当a≠2时，要使不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，必须解得，﹣2＜a＜2．综上所述，a的取值范围是﹣2＜a≤2，故选D．【点评】本题考查二次函数的性质，易错点在于忽略a﹣2=0这种情况而导致错误，属于中档题．9．在数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=ln（1+），则a n=（）A．1+n+lnn B．1+nlnn C．1+（n﹣1）lnn D．1+lnn【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用累加求和公式a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1及其对数的运算性质即可得出．【解答】解：∵数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=ln（1+），∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=…++1=+1=lnn+1．故选D．【点评】熟练掌握累加求和公式a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1及其对数的运算性质是解题的关键．10．若a，b，c＞0，且，则2a+b+c的最小值为（）A．B．C．D．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】整体思想；分析法；不等式的解法及应用．【分析】由题意知a（a+b+c）+bc=（a+c）（a+b）=4+2，所以2a+b+c=（a+b）+（a+c）≥2=2=2+2，即可求出2a+b+c的最小值．【解答】解：a（a+b+c）+bc=a（a+b）+ac+bc=a（a+b）+c（a+b）=（a+c）（a+b）=4+2．2a+b+c=（a+b）+（a+c）≥2=2=2+2，所以，2a+b+c的最小值为2+2．故选：B．【点评】本题考查不等式的基本性质和应用：求最值，解题时注意变形，运用因式分解和整体思想，属于中档题．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若a2+c2﹣b2=ac，则角B的值是．【考点】余弦定理．【专题】计算题．【分析】直接利用余弦定理求出B的余弦值，推出B的值即可．【解答】解：在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若a2+c2﹣b2=ac，由余弦定理可知cosB==，因为B是三角形内角，所以B=．故答案为：．【点评】本题考查余弦定理的应用，基本知识的考查．12．数列{a n}的前n项和为，则a4+a5+a6= 33 ．【考点】等差数列的前n项和．【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】利用a4+a5+a6=S6﹣S3．即可得出．【解答】解：当n≥2时，a4+a5+a6=S6﹣S3=72﹣42=33．故答案为：33．【点评】本题考查了数列前n项和公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．若x，y∈R，且，则z=x+2y的最大值等于9 ．【考点】简单线性规划．【专题】作图题；转化思想；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（3，3），化目标函数z=x+2y为，由图可知，当直线过B时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3+2×3=9．故答案为：9．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．设数列{a n}、{b n}都是等差数列，且a1=15，b1=35，a2+b2=60，则a36+b36= 400 ．【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由题意可得数列{a n+b n}为等差数列，且公差为10，则a36+b36可求．【解答】解：∵数列{a n}，{b n}都是等差数列，∴数列{a n+b n}为等差数列，又a1=15，b1=35，∴a1+b1=50，而a2+b2=60，故数列{a n+b n}的公差为10，∴a36+b36=50+35×10=400．故答案为：400．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，属基础题．15．已知x＞0，y＞0，且=1，则4x+y的最小值为21 ．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】整体思想；分析法；不等式的解法及应用．【分析】运用乘1法，可得由4x+y=4（x+1）+y﹣4=[4（x+1）+y]•（）﹣4，化简整理再由基本不等式即可得到最小值．【解答】解：由4x+y=4（x+1）+y﹣4=[4（x+1）+y]•1﹣4=[4（x+1）+y]•（）﹣4=13++﹣4≥9+2=21．当且仅当x=，y=15取得最小值21．故答案为：21．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意乘1法和满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题．16．已知f（x）=|2x﹣1|+x+3，若f（x）≥5，则x的取值范围是{x|x≥1，或x≤﹣1} ．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由题意可得2﹣x≤0 ①，或②，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：f（x）≥5，即|2x﹣1|≥2﹣x，∴2﹣x≤0 ①，或②，解①求得x≥2，解②求得1≤x＜2 或x≤﹣1．综上可得，不等式的解集为{x|x≥1，或x≤﹣1}，故答案为：{x|x≥1，或x≤﹣1}．【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于基础题．17．已知数列{a n}的首项a1=1，且对每个n∈N*，a n，a n+1是方程x2+2nx+b n=0的两根，则b10= 189 ．【考点】数列递推式．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】a n，a n+1是方程x2+2nx+b n=0的两根，可得a n+a n+1=﹣2n，a n•a n+1=b n．于是a n+2﹣a n=﹣2．因此数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为﹣2，首项分别为1，﹣3．即可得出．【解答】解：∵a n，a n+1是方程x2+2nx+b n=0的两根，∴a n+a n+1=﹣2n，a n•a n+1=b n．∴a n+2﹣a n=﹣2．∴数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为﹣2，首项分别为1，﹣3．∴a2k﹣1=1﹣2（n﹣1）=3﹣2n，a2k=﹣3﹣2（k﹣1）=﹣1﹣2k，∴b10=a10a11=（﹣1﹣20）×（3﹣12）=189．故答案为：189．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、递推关系的应用、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：（共42分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18．已知{a n}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12（1）求{a n}通项公式；（2）记{a n}的前n项和为S n，若a1，a k+1，S k+3成等比数列，求正整数k的值．【考点】等差数列与等比数列的综合．【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差等于d，则由题意可得，解得 a1=2，d=2，从而得到{a n}的通项公式；（2）由（1）可得 {a n}的前n项和为S n ==n（n+1），再由a k+12=a1S k+3 ，求得正整数k的值．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差等于d，则由题意可得，解得a1=2，d=2，∴{a n}的通项公式a n =2+2（n﹣1）=2n；（2）由（1）可得 {a n}的前n项和为S n==n（n+1），∵a1，a k+1，S k+3成等比数列，∴a k+12=a1S k+3，∴4（k+1）2 =2（k+3）（k+4），解得k=5或k=﹣2（舍去），故k=5．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等差数列的通项公式和求和公式的运用，属于中档题．19．在△ABC中，（角A，B，C的对应边分别为a，b，c），且．（1）求角B的大小；（2）若△ABC的面积是，且a+c=5，求b．【考点】解三角形．【专题】计算题；整体思想；分析法；解三角形．【分析】（1）将变形为=，结合正弦定理可得出tanB=，从而解出B；（2）由S△ABC==可得ac=3，结合a+c=5，即可解出a，c，然后利用余弦定理求出b．【解答】解：（1）∵，∴=，又∵=，∴cosB=sinB，∴tanB=，∵0＜B＜π，∴B=．（2）∵S△ABC===，∴ac=3∴a2+c2=（a+c）2﹣2ac=19，∴b2=a2+c2﹣2ac•cosB=16，∴b=4．【点评】本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，是必须掌握的题型．20．已知函数f（x）=x2﹣2x﹣8，g（x）=2x2﹣4x﹣16，（1）求不等式g（x）＜0的解集；（2）若对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，求实数m的取值范围．【考点】一元二次不等式的解法；函数恒成立问题．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）直接因式分解后求解不等式的解集；（2）把函数f（x）的解析式代入f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15，分离变量m后利用基本不等式求解m的取值范围．【解答】解：由g（x）=2x2﹣4x﹣16＜0，得x2﹣2x﹣8＜0，即（x+2）（x﹣4）＜0，解得﹣2＜x＜4．所以不等式g（x）＜0的解集为{x|﹣2＜x＜4}；（2）因为f（x）=x2﹣2x﹣8，当x＞2时，f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，则x2﹣2x﹣8≥（m+2）x﹣m﹣15成立，即x2﹣4x+7≥m（x﹣1）．所以对一切x＞2，均有不等式成立．而（当x=3时等号成立）．所以实数m的取值范围是（﹣∞，2]．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了数学转化思想方法，训练了利用基本不等式求函数的最值，是基础题．21．在数列{a n}中，a1=，且3a n+1=a n+2．（1）设b n=a n﹣1，证明：数列{b n}是等比数列，并求出{a n}的通项公项；（2）设，数列的前n项和为T n，是否存在最小的正整数m，使得对于任意的n∈N*，均有T n＜成立，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．【考点】数列与不等式的综合．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】（1）由题意可得3（a n+1﹣1）=（a n﹣1），从而可得b1=， =，从而证明；从而求得a n=•+1；（2）化简=log3=log33﹣2n=﹣2n，从而可得=（﹣），从而利用裂项求和法求解．【解答】解：（1）∵3a n+1=a n+2，∴3（a n+1﹣1）=（a n﹣1），又∵b1=a1﹣1=﹣1=，∴ ==，故数列{b n}是以为首项，为公比的等比数列；∴b n=a n﹣1=•，∴a n=•+1；（2）=log3=log33﹣2n=﹣2n，∴==•=（﹣），∴T n= [（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣）] =（1+﹣﹣）=﹣（+）＜，故m≥3，故m=3．【点评】本题考查了等比数列的证明及裂项求和法的应用．。
2016-2017年浙江省杭州地区(含周边)重点中学高二上学期期中数学试卷及参考答案
2016-2017学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）直线x﹣y﹣1=0的倾斜角是（）A．B．C．D．2．（4分）已知a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（）A．﹣a＞﹣b B．a+c＜b+c C．（﹣a）2＞（﹣b）2D．3．（4分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5 B．7 C．9 D．104．（4分）如图水平放置的一个平面图形的直观图是边长为1cm的正方形，则原图形的周长是（）A．8cm B．6cm C．D．5．（4分）设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥αB．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥αC．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αD．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β6．（4分）设一个球的表面积为S1，它的内接正方体的表面积为S2，则的值等于（）A．B．C．D．7．（4分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA+sinC=psinB 且．若角B为锐角，则p的取值范围是（）A．B．C．D．8．（4分）四棱锥P﹣ABCD中，△PCD为正三角形，底面边长为1的正方形，平面PCD⊥平面ABCD，M为底面内一动点，当时，点M在底面正方形内（包括边界）的轨迹为（）A．一个点B．线段C．圆D．圆弧二、填空题（本大题共7个小题，第9～12小题每空3分，第13～15小题每空4分，满分36分，将答案填在答题纸上）9．（6分）已知直线l1：x+ay﹣4=0与l2：（a﹣2）x+y﹣1=0相交于点P，若l1⊥l2，则a=．10．（6分）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为，它的表面积为．11．（6分）如上图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小是，若D1E⊥EC，则直线A1D 与平面D1DE所成的角为．12．（6分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y=0，则圆C的半径为，过点（2，1）的直线中，被圆C截得弦长最长的直线方程为．13．（4分）设实数a，b满足约束条件，则的取值范围为．14．（4分）已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5及点B（0，2），设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，则||+||的最小值为．15．（4分）已知关于x的不等式ax2+2x+b＞0（a≠0）的解集为，且a＞b，则的最小值是．三、解答题（本大题共4小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2C=cosC，其中C为锐角．（1）求角C的大小；（2）a=1，b=4，求边c的长．17．（12分）已知数列{a n}的前项n和为S n，且3S n=4a n﹣4．又数列{b n}满足b n=log2a1+log2a2+…+log2a n．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）若，求使得不等式恒成立的实数k的取值范围．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明CD⊥AE；（2）证明PD⊥平面ABE；（3）求二面角A﹣PD﹣C的正切值．19．（14分）已知圆O：x2+y2=16及圆内一点F（﹣3，0），过F任作一条弦AB．（1）求△AOB面积的最大值及取得最大值时直线AB的方程；（2）若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平方线，求点M的坐标．2016-2017学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）直线x﹣y﹣1=0的倾斜角是（）A．B．C．D．【解答】解：直线x﹣y﹣1=0的斜率为k=1设直线的倾斜角为α，∴tanα=1∵α∈[0，π]∴α=．故选：B．2．（4分）已知a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（）A．﹣a＞﹣b B．a+c＜b+c C．（﹣a）2＞（﹣b）2D．【解答】解：∵a＞b＞0，∴﹣a＜﹣b＜0，∴（﹣a）2＞（﹣b）2，故选：C．3．（4分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5 B．7 C．9 D．10【解答】解：由等差数列{a n}的性质，及a1+a3+a5=3，∴3a3=3，∴a3=1，∴S5==5a3=5．故选：A．4．（4分）如图水平放置的一个平面图形的直观图是边长为1cm的正方形，则原图形的周长是（）A．8cm B．6cm C．D．【解答】解：由斜二测画法的规则知与x′轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在y′轴上，可求得其长度为cm，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2cm，其原来的图形如图所示，则原图形的周长是：8cm故选：A．5．（4分）设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥αB．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥αC．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αD．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β【解答】解：对于A，α⊥β，α∩β=m时，若n⊥m，n⊂α，则n⊥β，但题目中无条件n⊂α，故A也不一定成立；对于B，由线面垂直的判定，一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则线面垂直，而选项B中，只有m⊥n，则n⊥α，显然不成立；对于C，n⊥α，n⊥β，则α∥β，又m⊥β，则m⊥α，结论成立；对于D，同由面面平行的判定，一个面经过另一个面的垂线，仅有m⊥n，不能得到m⊥β或n⊥α，故不正确．故选：C．6．（4分）设一个球的表面积为S1，它的内接正方体的表面积为S2，则的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：设正方体的棱长为：1，所以正方体的表面积为：S2=6；正方体的体对角线的长为：，就是球的直径，所以球的表面积为：S1==3π．所以==．故选：D．7．（4分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA+sinC=psinB 且．若角B为锐角，则p的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：已知等式sinA+sinC=psinB（p＞0），利用正弦定理化简得：a+c=pb ＞2，把ac=b2代入得：a+c=pb＞b，即p＞1，∵B为锐角，∴0＜cosB＜1，即0＜=﹣2＜1，∵﹣2=﹣3=2p2﹣3，∴0＜2p2﹣3＜1，解得：＜p＜，综上，p的取值范围为＜p＜，故选：D．8．（4分）四棱锥P﹣ABCD中，△PCD为正三角形，底面边长为1的正方形，平面PCD⊥平面ABCD，M为底面内一动点，当时，点M在底面正方形内（包括边界）的轨迹为（）A．一个点B．线段C．圆D．圆弧【解答】解：由题意，建立如图所示的坐标系，A（1，﹣，0），P（0，0，），设M（x，y，0）∵，∴（x﹣1）2+（y+）2=2（x2+y2+），∴x2+y2+2x﹣y+=0，表示圆．故选：C．二、填空题（本大题共7个小题，第9～12小题每空3分，第13～15小题每空4分，满分36分，将答案填在答题纸上）9．（6分）已知直线l1：x+ay﹣4=0与l2：（a﹣2）x+y﹣1=0相交于点P，若l1⊥l2，则a=1．【解答】解：∵直线l1：x+ay﹣4=0与l2：（a﹣2）x+y﹣1=0相交于点P，l1⊥l2，∴a﹣2+a=0，∴a=1，故答案为：1．10．（6分）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为，它的表面积为．【解答】解：由已知中的三视图，可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其直观图如下图所示：其底面ABC的面积为：×2×2=2，高VA=1，故三棱锥的体积V=，AB=AC==，故侧面VAB和VAC的面积均为：=，侧面VBC的高VD==，故侧面VBC的面积为：×=，故三棱锥的表面积为：；故答案为：，11．（6分）如上图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小是90°，若D1E⊥EC，则直线A1D 与平面D1DE所成的角为30°．【解答】解：∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB 上移动，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），D1（0，0，1），A（1，0，0），A1（1，0，1），C（0，2，0），设E（1，t，0），0≤t≤2，则=（1，t，﹣1），=（﹣1，0，﹣1），∴•=﹣1+0+1=0，∴直线D1E与A1D所成角的大小是90°．∵=（1，t，﹣1），=（﹣1，2﹣t，0），D1E⊥EC，∴•=﹣1+t（2﹣t）+0=0，解得t=1，∴AE=1．平面D1DE的法向量为=（﹣1，1，0），cos＜，＞==﹣，∴直线A1D与平面D1DE所成的角为30°．故答案为90°，30°．12．（6分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y=0，则圆C的半径为，过点（2，1）的直线中，被圆C截得弦长最长的直线方程为3x﹣y﹣5=0．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x+4y=0，可化为（x﹣1）2+（y+2）2=5，∴圆心C（1，﹣2），圆C的半径为．过点（2，1）的直线中，被圆C截得弦长最长的直线方程为y﹣1=（x﹣2），即3x﹣y﹣5=0．过答案为，3x﹣y﹣5=0．13．（4分）设实数a，b满足约束条件，则的取值范围为．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）：z=的几何意义为阴影部分的动点（a，b）到定点P（﹣2，﹣2）连线的斜率的取值范围．由图象可知当点位于B时，直线的斜率最大，当点位于A时，直线的斜率最小，由，解得B（，），∴BP的斜率k==，由可得A（1，1）OP的斜率k==1，∴﹣3≤z≤．故答案为：．14．（4分）已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5及点B（0，2），设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，则||+||的最小值为2．【解答】解：由于点B（0，2）关于直线x+y+2=0的对称点为B′（﹣4，﹣2），则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，又B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|﹣r=3﹣=2，故答案为：2．15．（4分）已知关于x的不等式ax2+2x+b＞0（a≠0）的解集为，且a＞b，则的最小值是2．【解答】解：关于x的不等式ax2+2x+b＞0（a≠0）的解集为，∴，即ab=1且a＞0；又a＞b，∴a﹣b＞0；∴==（a﹣b）+≥2=2，当且仅当a﹣b=，即a﹣b=时“=”成立；∴的最小值是．故答案为：2．三、解答题（本大题共4小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2C=cosC，其中C为锐角．（1）求角C的大小；（2）a=1，b=4，求边c的长．【解答】解：（1）在△ABC中，由sin2C=cosC，可得：2sinCcosC=cosC，因为C为锐角，所以cosC≠0，可得sinC=，可得角C的大小为．（2）由a=1，b=4，根据余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcos=13，可得边c的长为．17．（12分）已知数列{a n}的前项n和为S n，且3S n=4a n﹣4．又数列{b n}满足b n=log2a1+log2a2+…+log2a n．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）若，求使得不等式恒成立的实数k的取值范围．【解答】解：（1）由3S n=4a n﹣4可得a1=4，∵3S n=4a n﹣4，∴3S n﹣1=4a n﹣1﹣4，∴3S n﹣3S n﹣1=4a n﹣4﹣（4a n﹣1﹣4），∴3a n=4a n﹣4a n﹣1，即．∴数列{a n}是首项为a1=4，公比为4的等比数列，∴．又b n=log2a1+log2a2+…+log2a n=2+4+…+2（n﹣1）+2n=n（n+1），∴b n=n（n+1）．（2）=1﹣+﹣+…+﹣=，不等式恒成立，即k≥恒成立，设d n=，则d n+1﹣d n=，∴当n≥2时，数列{d n}单调递减，当1≤n＜2时，数列{d n}单调递增；即d1＜d2＞d3＞d4＞…，∴数列最大项为，∴．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明CD⊥AE；（2）证明PD⊥平面ABE；（3）求二面角A﹣PD﹣C的正切值．【解答】（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，又AC⊥CD，AC∩PA=A，∴CD⊥平面PAC，又AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE；（2）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD∴PA⊥AB，又AD⊥AB，AD∩PA=A∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD∴AB⊥PD，由PA=AB=BC，∠ABC=60°，则△ABC是正三角形．∴AC=AB∴PA=PC∵E是PC中点∴AE⊥PC由（1）知AE⊥CD，又CD∩PC=C∴AE⊥平面PCD∴AE⊥PD，又AB⊥PD，AB∩AE=A∴PD⊥平面ABE；（3）解：过E点作EM⊥PD于M点，连结AM，由（2）知AE⊥平面PCD，则AE⊥PD，则PD⊥平面AEM，∴AM⊥PD，则∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角．设AC=a，AD==，PA=A，PD==a，AM===，在Rt△AEM中，AE=a，EM===a，则tan∠AME===．19．（14分）已知圆O：x2+y2=16及圆内一点F（﹣3，0），过F任作一条弦AB．（1）求△AOB面积的最大值及取得最大值时直线AB的方程；（2）若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平方线，求点M的坐标．【解答】解：（1）设∠AOB=θ，则，=8，此时O到AB的距离为，，当时，S△AOBmax∴S=8，直线AB的方程为．△AOBmax（2）当直线AB斜率不存在时，MF始终平分∠AMB．当直线AB斜率存在时，设直线AB：y=k（x+3），（k≠0），设M（m，0），由得：（1+k2）x2+6k2x+（9k2﹣16）=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．∵∠BMF=∠AMF，∴k BM+k AM=0，，∴（x1+3）（x2﹣m）+（x2+3）（x1﹣m）=0，∴2x1x2+（3﹣m）（x1+x2）﹣6m=0，∴，∴﹣32﹣6m=0，，∴．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
浙江省杭州市高二上学期期中数学试卷(理科)
浙江省杭州市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）下列四种说法中，正确的个数有（）①命题“∀x∈R，均有x2﹣3x﹣2≥0”的否定是：“∃x0∈R，使得”；②∃m∈R，使是幂函数，且在（0，+∞）上是单调递增；③不过原点（0，0）的直线方程都可以表示成；④回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为=1.23x+0.08．A . 3个B . 2个C . 1个D . 0个2. （2分） (2016高二上·临川期中) 与向量 =（12，5）平行的单位向量为（）A .B .C . 或D . 或3. （2分）“m=-1”是“直线mx+(2m-1)y+2=0和直线3x+my+3=0垂直”的（）A . 必要而不充分条件B . 充分而不必要条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）已知F1 ， F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，点P是C1与C2的公共点，若椭圆C1的离心率e1= ，∠F1PF2= ，则双曲线C2的离心率e2的值为（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高二上·鹤岗期中) 已知椭圆的一个焦点为F（1，0），离心率e= ，则椭圆的标准方程为（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高二上·哈尔滨月考) 以双曲线(a>0，b>0)的左焦点F为圆心，作半径为b 的圆F，则圆F与双曲线的渐近线（）A . 相交B . 相离C . 相切D . 不确定7. （2分） (2019高二上·双流期中) 已知命题：p：函数y=x2-x-1有两个不同的零点：命题q：函数y=cosx 的图象关于直线x= 对称．在下列四个命题中，真命题是（）A .B .C .D .8. （2分）过抛物线的焦点且与直线平行的直线方程是（）A .B .C .D .9. （2分）已知是两个互相垂直的单位向量，且，则对任意的正实数，的最小值是（）A . 2B .C . 4D .10. （2分） (2016高二上·天心期中) 椭圆mx2+ny2=1与直线x+y﹣1=0相交于A，B两点，过AB中点M与坐标原点的直线的斜率为，则的值为（）A .B .C . 1D . 211. （2分）(2017·重庆模拟) 若抛物线x2=12y上一点（x0 ， y0）到焦点的距离是该点到x轴距离的4倍，则y0的值为（）A . 1B .C . 2D .12. （2分）(2017·合肥模拟) 若中心在原点，焦点在y轴上的双曲线离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（）A . y=±xB .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·赤峰期末) 已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和的距离之和的最小值是________.14. （1分） (2016高一上·无锡期末) 如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，• =4，• =﹣1，则• 的值是________．15. （1分） (2019·台州模拟) 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与圆相切于点，且直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为________．16. （1分） (2018高三上·湖南月考) 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线交椭圆于、两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2017高二下·新余期末) 设命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足 2＜x≤3．（1）若a=1，有p且q为真，求实数x的取值范围．（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18. （5分） (2017高二下·孝感期中) 证明：a2+b2+c2=ab+bc+ca的充要条件是△ABC为等边三角形．这里a，b，c是△ABC的三条边．19. （15分） (2019高一下·中山月考) 已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，．（1）求圆的圆心坐标；（2）求线段的中点的轨迹的方程；（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．20. （10分） (2017高二上·河北期末) 如图四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2，BC=4 ，PA=2，点M在线段PD上．（1）求证：AB⊥PC．（2）若二面角M﹣AC﹣D的大小为45°，求BM与平面PAC所成的角的正弦值．21. （10分） (2015高三上·天津期末) 已知椭圆C的中心在原点，焦点F1 ， F2在轴上，焦距为2，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）若P是椭圆C上第一象限内的点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，半径为．求：（i）点P的坐标；（ii）直线PI的方程．22. （10分）(2020·重庆模拟) 已知椭圆，点，直线与椭圆C交于不同的两点M ， N.（1）当时，求的面积；（2）设直线PM与椭圆C的另一个交点为Q，当M为线段PQ的中点时，求k的值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1、答案：略2-1、3-1、4-1、5、答案：略6-1、7-1、8、答案：略9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
浙江省杭州市高二上学期期中数学试卷
浙江省杭州市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2016高二上·菏泽期中) a，b∈R，下列命题正确的是（）A . 若a＞b，则a2＞b2B . 若a＞|b|，则a2＞b2C . 若|a|＞b，则a2＞b2D . 若|a|≠b，则a2≠b22. （2分） (2018高一下·六安期末) 已知数列是公差不为0的等差数列，且，，为等比数列的连续三项，则的值为（）A .B . 4C . 2D .3. （2分）(2020·宣城模拟) 设Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则等于（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高三上·景德镇月考) 若变量满足约束条件，则的最小值为（）A . 1B .C .D .5. （2分）(2018·长春模拟) 已知△ 的内角的对边分别为，若，，则△ 面积的最大值是（）A .B .C .D .6. （2分） (2015高三上·广州期末) 等比数列{an}中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x ﹣a8），则f′（0）=（）A . 26B . 29C . 212D . 2157. （2分） (2019高二下·杭州期末) 设实数，满足不等式组则的最小值是（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高二上·开鲁期中) 数列{an}的前n项和Sn=2n2+n，那么它的通项公式是（）A . an=2n﹣1B . an=2n+1C . an=4n﹣1D . an=4n+19. （2分）设， ,,,,则M与N、P与Q的大小关系为（）A . ,B . ,C . ,D . ,10. （2分） (2020高一下·北京期中) 函数的零点的个数为（）A . 1B . 3C . 2D . 4二、填空题 (共5题；共6分)11. （1分） (2019高二上·石门月考) 已知是等比数列的前项和，，则等于________.12. （1分） (2018高二上·阜阳月考) 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．13. （1分）(2017·蚌埠模拟) 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆半径为1，且= ，则△ABC面积的最大值为________．14. （1分） (2017高一下·滨海期末) 已知关于x的不等式x2﹣（m+1）x+m＜0的解集为A，若集合A中恰好有4个整数，则实数m的取值范围是________．15. （2分） (2016高二上·湖州期末) 设不等式组表示的平面区域为M，则M的面积是________，目标函数z=x+y的最大值是________．三、解答题（ (共4题；共35分)16. （10分） (2019高二上·大庆月考) 已知：实数满足，其中；：实数满足．（1）若，且，均正确，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．17. （10分） (2016高一下·攀枝花期中) 在△ABC中，边a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足bcosC=（3a﹣c）cosB．（1）求cosB；（2）若• =4，b=4 ，求边a，c的值．18. （10分） (2019高一下·杭州期中) 已知数列中，，，为等差数列的前项和.（1）求数列的通项公式及的最大值；（2）求 .19. （5分） (2019高一下·宁波期末) 设等差数列的前项和为，且 .（I）求数列的通项公式；（II）设为数列的前项和，求 .四、附加题 (共3题；共13分)20. （2分） (2019高一上·浙江期中) 已知函数的部分图象如图所示，则的值是（）A . -1B . 1C . -5D . 521. （1分） (2017高三上·石景山期末) 已知△ABC中，AB= ，BC=1，sinC= cosC，则△ABC的面积为________．22. （10分） (2019高二上·水富期中) 设数列的前项和为，已知对任意 N*，都有.（1）求通项公式；（2）记数列的前项和，证明： .参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题（ (共4题；共35分) 16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、四、附加题 (共3题；共13分) 20-1、21-1、22-1、22-2、。
2016-2017学年高二上学期期中考试数学试题Word版含答案
北仑中学2016学年第一学期高二年级期中考试数学试卷（除高二4班以外的其它所有班级） 命题：贺幼龙 审题：莫芬利一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的.答案请填在答题卷的表格中.1．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是 （ ▲ ）第1题图2．若将圆锥的高扩大到原来的2倍，底面半径缩短到原来的12，则圆锥的体积 （ ▲ ）A ．扩大到原来的2倍B ．缩小到原来的一半C ．不变D ．缩小到原来的163．若,m n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则以下命题正确的是 （ ▲ ） A ．若α//m ，α⊂n ，则n m // B ．若m =βα ，n m ⊥，则α⊥nC ．若α//m ，α//n ，则n m //D ．若α//m ，β⊂m ，n =βα ，则n m //第4题图 第5题图4．如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是 （ ▲ ）A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BDC ．AC 1⊥平面CB 1D 1 D ．异面直线AD 与CB 1所成的角为60°A BC D5．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ▲ ） A ．82π- B ．8π- C ．82π- D ．84π-6．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是 （ ▲ ）A ．2＋2 B.1＋22 C.2＋22D ．1＋ 27．下列四个命题中正确的命题有 （ ▲ ） ①过空间任何一点P 可以作无数条直线与已知的异面直线b a ,都相交； ②三个平面两两相交，有三条交线，则此三条交线或交于一点，或互相平行；③直线a α⊥平面，直线b β⊥平面，则直线b a ,所成角与平面βα,所成角相等或互补； ④αβ⊥平面平面，,,m n m n αβ⊂⊂⊥，则β⊥m 或α⊥n .A.1个B.2个C.3个D.4个8．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,点A 在平面α内，点E 是底面ABCD 的中心.若1C E ⊥平面α，则1C AB ∆在平面α内的射影的面积为 （ ▲ ）ABCD第8题图 第11题图 第12题图二、填空题:本大题共7小题，前4题每空3分，后3题每空4分，共36分.将正确答案填在答题卷的横线上.9．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,则其表面积为 ▲ ，其内切球的体积为 ▲ . 10．将一个边长分别是2 cm 和3 cm ，两邻边夹角为60°的平行四边形绕其3 cm 边上的高所在直线旋转一周形成的简单几何体是 ▲ ，其体积为 ▲ cm 3.11．如图，P 是正方形ABCD 外一点，且PA ABCD ⊥平面，则此几何体的5个面中互相垂直的面有 ▲ 对;若PA AB =，则直线PC 与平面PAB 所成角的正切值为 ▲ .1C 1A 1D 1B CDABαE12．一个几何体的三视图及部分数据如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该几何体体积为 ▲ ，表面积为 ▲ .第13题图 第15题图13．如图，已知正三棱锥A —BCD 侧面的顶角为45°，侧棱长为a ，动点E 在侧棱AC 上运动，则线段BE 、ED 长度和的最小值为 ▲ .14,a b ,则a,b 所满足的等量关系式是 ▲ .15．如图，已知平面⊥α平面β，、A B 是平面α与β的交线上的两个定点，β⊂DA ，β⊂CB ，且6,8,4,,===⊥⊥AB BC AD CB DA αα，在平面α上有一个动点P ，使得BPC APD ∠=∠，则PAB ∆的面积的最大值为 ▲ ．三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16．（本题满分14的正四棱锥P －ABCD 中，侧棱与底面所成角的大小为60°． (1)求侧棱的长度；(2)求正四棱锥P －ABCD 的外接球的表面积.第16题图 第17题图17.（本题满分15分）如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝AA 1=1,∠ABC＝PDCBABCDAE90°. 点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点. (1)求三棱锥B -AFC 的体积； (2)求异面直线EF 和BC 1所成的角.18．（本题满分15分）如图1，平面四边形 ABCD 关于直线AC 对称，2=CD ,60,90,A C ︒︒∠=∠=把ABD ∆沿BD 折 起(如图2)使二面角C BD A --的余弦值 为33.对于图2 (1)求AC 的长;(2)证明：⊥AC 平面BCD ;(3)求直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值.第18题图19．（本题满分15分）如图，两矩形ABCD ，ABEF 所在平面互相垂直，DE 与平面ABCD 及平面ABEF 所成角分别为0030,45，N M ,分别为DB DE 、的中点，且1=MN . (1)求证：⊥MN 平面ABCD ； (2)求二面角B DE A --的正弦值.第19题图 第20题图20．（本题满分15分）如图，矩形ABCD 所在的半平面和直角梯形CDEF 所在的半平面 成60的二面角，.45,6,23,2,,// =∠===⊥CFE CF EF AD DE CD CF DE (1)求证：BF ∥平面ADE ；A CDB图1CABD图2FACB ED(2)试问在线段CF 上是否存在一点G ，使锐二面角D EG B --的余弦值为41.若存在，请求出CG 的值；若不存在，请说明理由.北仑中学2016学年第一学期高二年级期中考试数学参考答案（除高二4班以外的其它所有班级）一.选择题二.填空题9._____6______ ___6π____ 10.__圆台_____ ___3319π__ 11.______5_____ ____22___ 12.___ 31____ ____32+__13. 14. 822=+b a15. 12三.解答题16.(本题满分14分) （1）2 （2）316π17. (本题满分15分)PDCBA（1）1/12（2）318.(本题满分15分)解：（Ⅰ）取的中点，连接，由，得：就是二面角的平面角，在中，（Ⅱ）由，，又平面（Ⅲ）方法一：由（Ⅰ）知平面平面∴平面平面平面平面，作交于，则平面，就是与平面所成的角方法二：设点到平面的距离为，∵于是与平面所成角的正弦为．19. (本题满分15分)（1）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，且平面ABCD∩平面ABEF=AB，EB ⊥AB，∴EB⊥平面ABCD，又MN∥EB，∴MN⊥面ABCD．（2）解：过B作BO⊥AE于O点，过O作OH⊥DE于H，连BH，∵AD⊥平面ABEF，BO面ABEF，∴BO⊥平面ADE，∴OH为BH在平面ADE内的射影，∴BH⊥DE，即∠BHO为所求二面角的平面角，在Rt△ABE中，BO=，在Rt△DBE中，由BH·DE=DB·OE得BH=，∴sin∠BHO= .MOGFACBEDHOH20. (本题满分15分)证明：（1）∵在矩形ABCD 中BC ∥AD ， AD ⊂平面ADE BC ⊄平面ADE ， ∴BC ∥平面ADE ， 同理CF ∥平面ADE ， 又∵BC∩CF=C ， ∴平面BCF ∥平面ADE ， 而BF ⊂平面BCF ， ∴BF ∥平面ADE ． （2）∵CD ⊥AD ，CD ⊥DE∴∠ADE 即为二面角A-CD-F 的平面角， ∴∠ADE=60° 又∵AD∩DE=D ， ∴CD ⊥平面ADE ， 又∵CD ⊂平面CDEF ∴平面CDEF ⊥平面ADE ，作AO ⊥DE 于O ，则AO ⊥平面CDEF ．过O 作EH OH ⊥于H,连接BH,易得BHO ∠是锐二面角D EG B --的平面角 因为3=BO ，易求得55=OH 取CF 中点M,易知OHG ∆与EMG ∆相似，设x OG =（x>0），则EGEMOG OH =，即2)2(9355x x -+=，解得21=x 或2213-=x （舍）因此存在符合题意的点G,使得CG=23.。
浙江省杭州市七校联考高二数学上学期期中试卷(含解析)
2015-2016学年浙江省杭州市七校联考高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．数列的一个通项公式可能是（）A．（﹣1）n B．（﹣1）n C．（﹣1）n﹣1D．（﹣1）2．已知a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（）A．﹣a＞﹣b B．a+c＜b+c C．（﹣a）2＞（﹣b）2D．3．已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，A=30°，B=45°，a=7，则边长b 为（）A． B．C． D．4．已知数列{a n}，其通项公式a n=3n﹣18，则其前n项和S n取最小值时n的值为（）A．4 B．5或6 C．6 D．55．在等比数列{a n}中，a1=2，a n+1=3a n，则其前n项和为S n的值为（）A．3n﹣1 B．1﹣3n C．D．6．已知等比数列{a n}的各项均为正数，公比0＜q＜1，设，，则a3、a9、P与Q的大小关系是（）A．a3＞P＞Q＞a9B．a3＞Q＞P＞a9C．a9＞P＞a3＞Q D．P＞Q＞a3＞a97．在△ABC中，若b=asinC，c=acosB，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形8．不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣2，2]9．在数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=ln（1+），则a n=（）A．1+n+lnn B．1+nlnn C．1+（n﹣1）lnn D．1+lnn10．若a，b，c＞0，且，则2a+b+c的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若a2+c2﹣b2=ac，则角B的值是．12．数列{a n}的前n项和为，则a4+a5+a6= ．13．若x，y∈R，且，则z=x+2y的最大值等于．14．设数列{a n}、{b n}都是等差数列，且a1=15，b1=35，a2+b2=60，则a36+b36= ．15．已知x＞0，y＞0，且=1，则4x+y的最小值为．16．已知f（x）=|2x﹣1|+x+3，若f（x）≥5，则x的取值范围是．17．已知数列{a n}的首项a1=1，且对每个n∈N*，a n，a n+1是方程x2+2nx+b n=0的两根，则b10= ．三、解答题：（共42分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18．已知{a n}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12（1）求{a n}通项公式；（2）记{a n}的前n项和为S n，若a1，a k+1，S k+3成等比数列，求正整数k的值．19．在△ABC中，（角A，B，C的对应边分别为a，b，c），且．（1）求角B的大小；（2）若△ABC的面积是，且a+c=5，求b．20．已知函数f（x）=x2﹣2x﹣8，g（x）=2x2﹣4x﹣16，（1）求不等式g（x）＜0的解集；（2）若对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，求实数m的取值范围．21．在数列{a n}中，a1=，且3a n+1=a n+2．（1）设b n=a n﹣1，证明：数列{b n}是等比数列，并求出{a n}的通项公项；（2）设，数列的前n项和为T n，是否存在最小的正整数m，使得对于任意的n∈N*，均有T n＜成立，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．2015-2016学年浙江省杭州市七校联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．数列的一个通项公式可能是（）A．（﹣1）n B．（﹣1）n C．（﹣1）n﹣1D．（﹣1）【考点】数列的概念及简单表示法．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据已知中数列各项的符号是一个摆动数列，我们可以用（﹣1）n﹣1来控制各项的符号，再由各项绝对值为一等比数列，由此可得数列的通项公式．【解答】解：由已知中数列，…可得数列各项的绝对值是一个以为首项，以公比的等比数列又∵数列所有的奇数项为正，偶数项为负故可用（﹣1）n﹣1来控制各项的符号，故数列，…的一个通项公式为（﹣1）n﹣1故选D【点评】本题考查的知识点是等比数列的通项公式，其中根据已知数列的前几项分析各项的共同特点是解答本题的关键．2．已知a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（）A．﹣a＞﹣b B．a+c＜b+c C．（﹣a）2＞（﹣b）2D．【考点】不等式的基本性质．【专题】计算题．【分析】由条件求得﹣a＜﹣b＜0，从而得到（﹣a）2＞（﹣b）2，从而得到结论．【解答】解：∵a＞b＞0，∴﹣a＜﹣b＜0，∴（﹣a）2＞（﹣b）2，故选C．【点评】本题主要考查不等式的基本性质的应用，属于基础题．3．已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，A=30°，B=45°，a=7，则边长b 为（）A． B．C． D．【考点】正弦定理的应用．【专题】方程思想；综合法；解三角形．【分析】使用正弦定理即可列出方程解出．【解答】解：由正弦定理=得，解得b=7．故选C．【点评】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．4．已知数列{a n}，其通项公式a n=3n﹣18，则其前n项和S n取最小值时n的值为（）A．4 B．5或6 C．6 D．5【考点】数列的函数特性．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由a n=3n﹣18≤0，解得n．即可得出．【解答】解：由a n=3n﹣18≤0，解得n≤6．∴其前n项和S n取最小值时n的值为5，或6．故选：B．【点评】本题考查了数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．在等比数列{a n}中，a1=2，a n+1=3a n，则其前n项和为S n的值为（）A．3n﹣1 B．1﹣3n C．D．【考点】等比数列的前n项和．【专题】综合法；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的定义及其前n项和公式即可得出．【解答】解：由等比数列{a n}中，a1=2，a n+1=3a n，可知：公比为3．∴S n==3n﹣1．故选：A．【点评】本题考查了等比数列的定义及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．已知等比数列{a n}的各项均为正数，公比0＜q＜1，设，，则a3、a9、P与Q的大小关系是（）A．a3＞P＞Q＞a9B．a3＞Q＞P＞a9C．a9＞P＞a3＞Q D．P＞Q＞a3＞a9【考点】等比数列的性质．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】等比数列{a n}的各项均为正数，公比0＜q＜1，，可得=＜=P，又各项均为正数，公比0＜q＜1，可得a9＜P＜a3，a9＜Q＜a3．即可得出．【解答】解：等比数列{a n}的各项均为正数，公比0＜q＜1，，则=＜=P，又各项均为正数，公比0＜q＜1，∴a9＜＜a3，则a9＜=＜a3．∴a9＜Q＜P＜a3．故选：A．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其单调性、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．在△ABC中，若b=asinC，c=acosB，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【考点】三角形的形状判断．【专题】解三角形．【分析】由条件利用正弦定理可得 sinA=1，可得A=．再由sinC=sinB，利用正弦定理可得c=b，可得△ABC的形状为等腰直角三角形．【解答】解：在△ABC中，∵b=asinC，c=acosB，故由正弦定理可得 sinB=sinAsinC，sinC=sinAsinB，∴sinB=sinAsinAsinB，∴sinA=1，∴A=．∴sinC=sinAsinB 即 sinC=sinB，∴由正弦定理可得c=b，故△AB C的形状为等腰直角三角形，故选：C．【点评】本题主要考查正弦定理的应用，判断三角型的形状，属于基础题．8．不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣2，2]【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由于二次项系数含有参数，故需分a﹣2=0与a﹣2≠0两类讨论，特别是后者：对于（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，有求出a的范围，再把结果并在一起．【解答】解：当a=2时，原不等式即为﹣4＜0，恒成立，即a=2满足条件；当a≠2时，要使不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，必须解得，﹣2＜a＜2．综上所述，a的取值范围是﹣2＜a≤2，故选D．【点评】本题考查二次函数的性质，易错点在于忽略a﹣2=0这种情况而导致错误，属于中档题．9．在数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=ln（1+），则a n=（）A．1+n+lnn B．1+nlnn C．1+（n﹣1）lnn D．1+lnn【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用累加求和公式a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1及其对数的运算性质即可得出．【解答】解：∵数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=ln（1+），∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=…++1=+1=lnn+1．故选D．【点评】熟练掌握累加求和公式a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1及其对数的运算性质是解题的关键．10．若a，b，c＞0，且，则2a+b+c的最小值为（）A．B．C．D．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】整体思想；分析法；不等式的解法及应用．【分析】由题意知a（a+b+c）+bc=（a+c）（a+b）=4+2，所以2a+b+c=（a+b）+（a+c）≥2=2=2+2，即可求出2a+b+c的最小值．【解答】解：a（a+b+c）+bc=a（a+b）+ac+bc=a（a+b）+c（a+b）=（a+c）（a+b）=4+2．2a+b+c=（a+b）+（a+c）≥2=2=2+2，所以，2a+b+c的最小值为2+2．故选：B．【点评】本题考查不等式的基本性质和应用：求最值，解题时注意变形，运用因式分解和整体思想，属于中档题．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若a2+c2﹣b2=ac，则角B的值是．【考点】余弦定理．【专题】计算题．【分析】直接利用余弦定理求出B的余弦值，推出B的值即可．【解答】解：在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若a2+c2﹣b2=ac，由余弦定理可知cosB==，因为B是三角形内角，所以B=．故答案为：．【点评】本题考查余弦定理的应用，基本知识的考查．12．数列{a n}的前n项和为，则a4+a5+a6= 33 ．【考点】等差数列的前n项和．【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】利用a4+a5+a6=S6﹣S3．即可得出．【解答】解：当n≥2时，a4+a5+a6=S6﹣S3=72﹣42=33．故答案为：33．【点评】本题考查了数列前n项和公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．若x，y∈R，且，则z=x+2y的最大值等于9 ．【考点】简单线性规划．【专题】作图题；转化思想；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（3，3），化目标函数z=x+2y为，由图可知，当直线过B时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3+2×3=9．故答案为：9．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．设数列{a n}、{b n}都是等差数列，且a1=15，b1=35，a2+b2=60，则a36+b36= 400 ．【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由题意可得数列{a n+b n}为等差数列，且公差为10，则a36+b36可求．【解答】解：∵数列{a n}，{b n}都是等差数列，∴数列{a n+b n}为等差数列，又a1=15，b1=35，∴a1+b1=50，而a2+b2=60，故数列{a n+b n}的公差为10，∴a36+b36=50+35×10=400．故答案为：400．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，属基础题．15．已知x＞0，y＞0，且=1，则4x+y的最小值为21 ．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】整体思想；分析法；不等式的解法及应用．【分析】运用乘1法，可得由4x+y=4（x+1）+y﹣4=[4（x+1）+y]•（）﹣4，化简整理再由基本不等式即可得到最小值．【解答】解：由4x+y=4（x+1）+y﹣4=[4（x+1）+y]•1﹣4=[4（x+1）+y]•（）﹣4=13++﹣4≥9+2=21．当且仅当x=，y=15取得最小值21．故答案为：21．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意乘1法和满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题．16．已知f（x）=|2x﹣1|+x+3，若f（x）≥5，则x的取值范围是{x|x≥1，或x≤﹣1} ．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由题意可得2﹣x≤0 ①，或②，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：f（x）≥5，即|2x﹣1|≥2﹣x，∴2﹣x≤0 ①，或②，解①求得x≥2，解②求得1≤x＜2 或x≤﹣1．综上可得，不等式的解集为{x|x≥1，或x≤﹣1}，故答案为：{x|x≥1，或x≤﹣1}．【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于基础题．17．已知数列{a n}的首项a1=1，且对每个n∈N*，a n，a n+1是方程x2+2nx+b n=0的两根，则b10= 189 ．【考点】数列递推式．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】a n，a n+1是方程x2+2nx+b n=0的两根，可得a n+a n+1=﹣2n，a n•a n+1=b n．于是a n+2﹣a n=﹣2．因此数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为﹣2，首项分别为1，﹣3．即可得出．【解答】解：∵a n，a n+1是方程x2+2nx+b n=0的两根，∴a n+a n+1=﹣2n，a n•a n+1=b n．∴a n+2﹣a n=﹣2．∴数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为﹣2，首项分别为1，﹣3．∴a2k﹣1=1﹣2（n﹣1）=3﹣2n，a2k=﹣3﹣2（k﹣1）=﹣1﹣2k，∴b10=a10a11=（﹣1﹣20）×（3﹣12）=189．故答案为：189．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、递推关系的应用、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：（共42分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18．已知{a n}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12（1）求{a n}通项公式；（2）记{a n}的前n项和为S n，若a1，a k+1，S k+3成等比数列，求正整数k的值．【考点】等差数列与等比数列的综合．【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差等于d，则由题意可得，解得 a1=2，d=2，从而得到{a n}的通项公式；（2）由（1）可得 {a n}的前n项和为S n ==n（n+1），再由a k+12=a1S k+3 ，求得正整数k的值．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差等于d，则由题意可得，解得a1=2，d=2，∴{a n}的通项公式a n =2+2（n﹣1）=2n；（2）由（1）可得 {a n}的前n项和为S n==n（n+1），∵a1，a k+1，S k+3成等比数列，∴a k+12=a1S k+3，∴4（k+1）2 =2（k+3）（k+4），解得k=5或k=﹣2（舍去），故k=5．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等差数列的通项公式和求和公式的运用，属于中档题．19．在△ABC中，（角A，B，C的对应边分别为a，b，c），且．（1）求角B的大小；（2）若△ABC的面积是，且a+c=5，求b．【考点】解三角形．【专题】计算题；整体思想；分析法；解三角形．【分析】（1）将变形为=，结合正弦定理可得出tanB=，从而解出B；（2）由S△ABC==可得ac=3，结合a+c=5，即可解出a，c，然后利用余弦定理求出b．【解答】解：（1）∵，∴=，又∵=，∴cosB=sinB，∴tanB=，∵0＜B＜π，∴B=．（2）∵S△ABC===，∴ac=3∴a2+c2=（a+c）2﹣2ac=19，∴b2=a2+c2﹣2ac•cosB=16，∴b=4．【点评】本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，是必须掌握的题型．20．已知函数f（x）=x2﹣2x﹣8，g（x）=2x2﹣4x﹣16，（1）求不等式g（x）＜0的解集；（2）若对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，求实数m的取值范围．【考点】一元二次不等式的解法；函数恒成立问题．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）直接因式分解后求解不等式的解集；（2）把函数f（x）的解析式代入f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15，分离变量m后利用基本不等式求解m的取值范围．【解答】解：由g（x）=2x2﹣4x﹣16＜0，得x2﹣2x﹣8＜0，即（x+2）（x﹣4）＜0，解得﹣2＜x＜4．所以不等式g（x）＜0的解集为{x|﹣2＜x＜4}；（2）因为f（x）=x2﹣2x﹣8，当x＞2时，f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，则x2﹣2x﹣8≥（m+2）x﹣m﹣15成立，即x2﹣4x+7≥m（x﹣1）．所以对一切x＞2，均有不等式成立．而（当x=3时等号成立）．所以实数m的取值范围是（﹣∞，2]．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了数学转化思想方法，训练了利用基本不等式求函数的最值，是基础题．21．在数列{a n}中，a1=，且3a n+1=a n+2．（1）设b n=a n﹣1，证明：数列{b n}是等比数列，并求出{a n}的通项公项；（2）设，数列的前n项和为T n，是否存在最小的正整数m，使得对于任意的n∈N*，均有T n＜成立，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．【考点】数列与不等式的综合．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】（1）由题意可得3（a n+1﹣1）=（a n﹣1），从而可得b1=， =，从而证明；从而求得a n=•+1；（2）化简=log3=log33﹣2n=﹣2n，从而可得=（﹣），从而利用裂项求和法求解．【解答】解：（1）∵3a n+1=a n+2，∴3（a n+1﹣1）=（a n﹣1），又∵b1=a1﹣1=﹣1=，∴ ==，故数列{b n}是以为首项，为公比的等比数列；∴b n=a n﹣1=•，∴a n=•+1；（2）=log3=log33﹣2n=﹣2n，∴==•=（﹣），∴T n= [（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣）]=（1+﹣﹣）=﹣（+）＜，故m≥3，故m=3．【点评】本题考查了等比数列的证明及裂项求和法的应用．。
浙江省杭州市高二上学期期中数学试卷
浙江省杭州市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·鞍山模拟) 已知，，其中是虚数单位，则的虚部为（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高一上·兴仁月考) 下列在表示元素与集合或集合与集合之间的关系中,正确的是（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高二上·会宁期中) 在△ABC中，B=45°，C=60°，c=1，则最短边的边长是（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高二上·会宁期中) 已知锐角△ABC的面积为，BC=4，CA=3，则角C的大小为（）C . 45°D . 30°5. （2分） (2016高二上·会宁期中) 设a=lge，b=（lge）2 ， c=lg ，则（）A . a＞b＞cB . c＞a＞bC . a＞c＞bD . c＞b＞a6. （2分） (2016高二上·会宁期中) 在△ABC中，A：B：C=4：1：1，则a：b：c=（）A . ：1：1B . 2：1：1C . ：1：2D . 3：1：17. （2分） (2016高二上·会宁期中) 等差数列1，﹣1，﹣3，﹣5，…，﹣89，它的项数是（）A . 92B . 47C . 46D . 458. （2分） (2016高二上·会宁期中) 在等差数列{an}的前n项和为Sn ，若a2+a4+a15的值为常数，则下列为常数的是（）A . S7D . S159. （2分） (2016高二上·会宁期中) 已知数列{an}是公比为q的等比数列，且a1 ， a3 ， a2成等差数列，则公比q的值为（）A . ﹣2B .C .D . 110. （2分） (2016高二上·会宁期中) 在△ABC中，（a+c）（a﹣c）=b（b+c），则A=（）A . 30°B . 60°C . 120°D . 150°11. （2分） (2016高二上·会宁期中) 下列不等式组中，能表示图中阴影部分的是（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高二上·会宁期中) 给出下列四个推导过程：①∵a，b∈R+，∴（）+（）≥2 =2；②∵x，y∈R+，∴lgx+lgy≥2 ；③∵a∈R，a≠0，∴（）+a≥2 =4；④∵x，y∈R，xy＜0，∴（）+（）=﹣[（﹣（））+（﹣（））]≤﹣2=﹣2．其中正确的是（）A . ①②B . ②③C . ③④D . ①④二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x，y=0，x=t（t＞0）围成的△OAB的面积为S（t），则S（t）在t=2时的瞬时变化率是________14. （1分）(2017·海淀模拟) 已知函数f（x）=|sinx|+cosx，现有如下几个命题：①该函数为偶函数；②该函数最小正周期为；③该函数值域为；④若定义区间（a，b）的长度为b﹣a，则该函数单调递增区间长度的最大值为．其中正确命题为________．15. （1分）函数的单调递减区间为________.16. （1分） (2019高一下·桂林期中) 已知函数（其中），其图象如图所示，则 ________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2016高三上·临沂期中) 如图，某旅游区拟建一主题游乐园，该游乐区为五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为主题游乐区，四边形区域为BCDE为休闲游乐区，AB、BC，CD，DE，EA，BE为游乐园的主要道路（不考虑宽度）．∠BCD=∠CDE=120°，∠BAE=60°，DE=3BC=3CD=3km．（1）求道路BE的长度；（2）求道路AB，AE长度之和的最大值．18. （5分）已知，，α，β均为锐角．求sin2α的值；19. （15分） (2019高一上·黑龙江月考) 已知函数: 的周期为 .（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间；（3）当时，求函数的值域.20. （10分） (2020高一下·泸县月考) 计算：（1）已知，求的值；（2）若，求的值.21. （5分）（1）．（2）已知α∈（0，π），，求tanα．22. （5分） (2018高一下·伊通期末) 在平面直角坐标系中，已知向量，， .(Ⅰ)若，求的值；(Ⅱ)若的夹角为，求的值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、22-1、。
浙江省杭州市高二上学期期中数学试卷(理科)
浙江省杭州市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2019 高三上·长治月考) 如图，在正方体直线 AM 与所成角的余弦值为（ ）中，点 M 为中点，则异面A.B.C.D.2. （2 分） 若直线与的交点在第一象限，则直线 的倾斜角的取值范围是（ ）A. B.C.D.3. （2 分） 如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，线段 B1D1 上有两个动点 E，F，且 EF= 论中错误的是（ ），则下列结第 1 页 共 15 页A . AC⊥BE B . EF∥平面 ABCD C . 三棱锥 A-BEF 的体积为定值 D . △AEF 的面积与△BEF 的面积相等4. （2 分） 椭圆的长轴为 ， 短轴为 ， 将椭圆沿 y 轴折成一个二面角，使得 点在平面上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为（ ）.A . 75°B . 60°C . 45°D . 30°5. （2 分） (2020·龙岩模拟) 在棱长为 2 的正方体边界）的动点，M 是 CD 的中点，且，则当中，P 是正方形内（包括的面积最大时， 的值为（ ）A.B.C.D. 6. （2 分） 已知平面 ∥平面 ， 点 P∈平面 ,平面 、 间的距离为 8，则在 内到点 P 的距离为 10 的点的 轨迹是（ ）第 2 页 共 15 页A . 一个圆B . 四个点C . 两条直线D . 两个点7. （2 分） (2019 高一下·广东期末) 设 m，n 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则下列命题 不正确的是（ ）A.若，，，则B.若，，则或C.若，，，则D.若，，则8. （2 分） 如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，P 是侧面 BB1C1C 内一动点，若 P 到直线 BC 与直线 C1D1 的距 离相等，则动点 P 的轨迹所在的曲线是（ ）A . 直线B.圆C . 抛物线D . 双曲线9. （2 分） (2017·福州模拟) 在棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A'B'C'D'中，E 是 AA'的中点，P 是三角形 BDC'内 的动点，EP⊥BC'，则 P 的轨迹长为（ ）A. B. C. D.第 3 页 共 15 页10. （2 分） 已知椭圆 在线段 上有且只有一个点满足的左顶点和上顶点分别为，左、右焦点分别是，，则椭圆的离心率的平方为（ ）A.B.C.D. 11. （2 分） (2020 高三上·闵行期末) 已知直线 的斜率为 ，则直线 的法向量为（ ） A.B.C.D.12. （2 分） (2020·泉州模拟) 已知双曲线 E 的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为P 在 E 的渐近线上，，，则 E 的离心率为（ ）．点A.B.C. D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2017·武汉模拟) 在平面直角坐标系中，设 A、B、C 是曲线 y=第 4 页 共 15 页上三个不同的点，且 D、E、F 分别为 BC、CA、AB 的中点，则过 D、E、F 三点的圆一定经过定点________．14. （1 分） 曲线与直线的交点坐标是________15. （1 分） (2016 高二上·黑龙江期中) 圆锥的轴截面 SAB 是边长为 2 的等边三角形，O 为底面中心，M 为 SO 的中点，动点 P 在圆锥底面内（包括圆周）．若 AM⊥MP，则 P 点形成的轨迹的长度为________．16.（1 分）(2019 高二下·嘉兴期中) 双曲线与直线中点为 , 为坐标原点,则直线 的斜率是________．交于两点, 且线段三、 解答题 (共 6 题；共 60 分)17. （10 分） (2020·九江模拟) 已知椭圆的焦距为，短轴长为.（1） 求 的方程；（2） 若直线与 相交于 、 两点，求以线段 为直径的圆的标准方程.18. （10 分） 如图，已知四面体是的中心.中，且两两互相垂直，点（1） 过 作，求绕直线旋转一周所形成的几何体的体积；（2） 将 取值范围.绕直线旋转一周，则在旋转过程中，直线与直线所成角记为 ，求的19. （10 分） (2018·孝义模拟) 如图，三棱柱中，，平面.第 5 页 共 15 页（1） 证明： （2） 若； ，，求二面角20. （10 分） (2019 高二下·湖州期末) 已知 .的余弦值.，为抛物线上的相异两点，且（1） 若直线 过，求 的值；（2） 若直线 的垂直平分线交 x 轴与点 P，求面积的最大值.21.（5 分）(2016 高二上·平罗期中) 如图，在 Rt△AOB 中，∠OAB= ，斜边 AB=4．Rt△AOC 可以通过 Rt△AOB 以直线 AO 为轴旋转得到，且二面角 B﹣AO﹣C 是直二面角，动点 D 在斜边 AB 上．（Ⅰ）求证：平面 COD⊥平面 AOB； （Ⅱ）当 VA﹣DOC：VA﹣BOC=1：2 时，求 CD 与平面 AOB 所成角的大小．第 6 页 共 15 页22. （15 分） (2016 高二上·平罗期中) 已知曲线 C 的方程为：ax2+ay2﹣2a2x﹣4y=0（a≠0，a 为常数）． （1） 判断曲线 C 的形状； （2） 设曲线 C 分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B（A、B 不同于原点 O），试判断△AOB 的面积 S 是否为定值？并证 明你的判断； （3） 设直线 l：y=﹣2x+4 与曲线 C 交于不同的两点 M、N，且|OM|=|ON|，求曲线 C 的方程．第 7 页 共 15 页一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 8 页 共 15 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 60 分)17-1、17-2、 18-1、第 9 页 共 15 页18-2、 19-1、第 10 页 共 15 页19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、22-3、。
高二数学上学期期中联考试题1
2016学年第一学期期中杭州地区七校联考高二年级 数学学科 试 题一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、不等式0)1(>-x x 的解集是 （ ▲ ） A.)0,(-∞ B. )1,0( C. ),1(∞+ D. ),1()0,(∞+-∞ 2、已知数列1，3，5，7，3，……，12-n ，则21是这个数列的第（ ▲ ）项 A.10 B. 11 C. 12 D. 213、一个正方体的体积为8，则这个正方体的内切球的表面积是 （ ▲ ）A.π8B. π6C. π4D. π4、若关于x 的不等式02>+mx 的解集是}2|{<x x ，则实数m 等于 （ ▲ ） A.1- B. 2- C. 1 D. 25、已知数列}{n a 为等差数列，首项11=a ，公差2=d ，则=5a （ ▲ ） A. 6 B. 9 C. 25 D. 316. 已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b （ ▲ ） A. 一定是异面直线 B. 一定是相交直线 C. 不可能．．．是相交直线 D. 不可能．．．是平行直线 7、下列结论成立是 （ ▲ ）A.若bc ac >，则b a >B. 若b a >，则22b a >C. 若b a >，d c <，则d b c a +>+D. 若b a >，d c >，则c b d a ->-8、下列结论中正确的是 （ ▲ ）A.若0>a ，则2)11)(1(≥++aa B.若0>x ，则2ln 1ln ≥+xx C.若1=+b a ，则2122≥+b a D.若1=+b a ，则2122≤+b a9、设α为平面，a 、b 为两条不同的直线，则下列叙述正确的是 （ ▲ ） A.若a ∥α，b ∥α，则a ∥b B. 若α⊥a ，a ∥b ，则α⊥bC.若α∥β，α⊂a ，β⊂b 则a ∥bD. 若a ∥α，b a ⊥，则α⊥b 10、在等比数列}{n a 中，已知343a a =，则=+++nna a a a a a a a 2362412 （ ▲ ） A.233--n B. 2331--n C. 233-n D. 2331-+n11、如图，长方体1111D C B A ABCD -中，21==AB AA ，1=AD点,,E F G 分别是11,,D DA B C C 的中点，则异面直线1A E 与 GF 所成的角是 （ ▲ ）A. 90°B. 60°C. 45°D. 30° （第11题） 12、某锥体的正视图和侧视图如下图，其体积为332，则该锥体的俯视图可以是（ ▲ ）A B C D13、四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a ，则该四面体的体积的最大值为 （ ▲ ）A.381a B.382a C.383a D. 3121a 14、已知正项等比数列}{n a 满足：5672a a a +=，若存在两项m a 、n a ，使得m a n a 2116a =，则nm 41+的最小值为 （ ▲ ） A ．34 B ．9 C ．23D ．不存在 15、如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，E ，F 是线段11D B 上的两个动点，且22=EF ，则下列结论错误．．的是 （ ▲ ） A.BF AC ⊥ B. 直线AE 、BF 所成的角为定值C. EF ∥平面ABCDD. 三棱锥BEFA -的体积为定值 （第15题）侧视图正视图BA1A 1D CEF1C 1B D16、设函数34)(2+-=x x x f ，若mx x f ≥)(对任意的实数2≥x 都成立，则实数m 的取值范围是 （ ▲ ） A.]432,432[+--- B. ),432[]432,(+∞+----∞C. ),432[+∞+-D. ],(21--∞ 17、已知数列}{n a 的通项公式为11)32()94(---=n n n a ，则数列}{n a （ ▲ ） A.有最大项，没有最小项 B. 有最小项，没有最大项 C. 既有最大项又有最小项 D. 既没有最大项又没有最小项 18、已知关于x 的不等式)1(012><++ab c bx x a 的解集为空集，则1)2()1(21-++-=ab c b a ab T的 最小值为 （ ▲ ） A.3 B. 2 C. 32 D. 4 二、填空题：本大题共4小题，共7空，每空4分，共28分。
浙江省杭州市高二上学期数学期中考试试卷
浙江省杭州市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 已知圆 C1： （）， 圆 C2 与圆 C1 关于直线对称，则圆 C2 的方程为A.B.C.D.2. （2 分） 直线与椭圆焦点，则椭圆 C 的离心率为（ ）交于 A,B 两点，以线段 AB 为直径的圆过椭圆的右A. B. C. D. 3. （2 分） 经过直线 2x-y+4=0 与 x-y+5=0 的交点，且垂直于直线 x-2y=0 的直线方程是（ ） A . 2x+y-8=0 B . 2x-y-8=0 C . 2x+y+8=0 D . 2x-y+8=0第 1 页 共 11 页4. （2 分） 已知 Rt△ABC 的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为 c，则直线 ax+by+c=0 与圆 x2+y2=1 的位置 关系是（ ）A . 相交 B . 相切 C . 相离 D . 相切或相交 5. （2 分） 若 l1 与 l2 为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为 a1 ， a2 ， 斜率分别为 k1 ， k2 ， 则 下列命题 （1）若 l1∥l2 ， 则斜率 k1=k2； （2）若斜率 k1=k2 ， 则 l1∥l2； （3）若 l1∥l2 ， 则倾斜角 a1=a2；（4）若倾斜角 a1=a2 ， 则 l1∥l2； 其中正确命题的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 6. （2 分） (2016 高一上·舟山期末) 若四棱锥 P﹣ABCD 的三视图如图所示，则它的体积为（ ）A. B. C.第 2 页 共 11 页D.7. （2 分） 若抛物线的焦点到准线的距离为 4，则此抛物线的焦点坐标为（ ）A.B.C.或D.8. （2 分） 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻面系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点 与两定点的距离之比为 则直线，那么点 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知 被点 的轨迹截得的弦长为（ ），点 满足，A.B.C.D. 9. （2 分） 关于 x 的方程 x2+（a+1）x+a+b+1=0（a≠0，a、b∈R）的两实根为 x1 ， x2 ， 若 0＜x1＜1＜ x2＜2，则 的取值范围是（ ）A . (-2,- )B . (- ,- )C . (- ,- )D . (- ,- )10. （ 2 分 ） 已 知 a ， b ， c 分 别 是 △ABC 中 角 A ， B ， C 所 对 的 边 ， 且第 3 页 共 11 页△ABC 的形状为（ ） A . 等腰三角形，b 和 c 是关于 x 的方程 x2﹣9x+25cosA=0 的两个根，则B . 锐角三角形 C . 直角三角形 D . 钝角三角形 11. （2 分） (2013·上海理) 已知 A，B 为平面内两个定点，过该平面内动点 m 作直线 AB 的垂线，垂足为 N．若=λ • ，其中 λ 为常数，则动点 m 的轨迹不可能是（ ）A.圆 B . 椭圆 C . 双曲线 D . 抛物线12. （2 分） (2018 高二上·武汉期中) 若坐标原点 和分别为双曲线和左焦点，点 P 为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（ ）的中心A. B.C.D.二、 填空题 (共 7 题；共 7 分)13. （1 分） (2018·山东模拟) 若 ， 分別是双曲线第 4 页 共 11 页的左、右焦点，为坐标原点，点 在双曲线的左支上，点在直线，则该双曲线的离心率为________．14. （1 分） (2016 高二上·成都期中) 设 x，y 满足约束条件b＞0）的值是最大值为 12，则的最小值为________上，且满足，，若目标函数 z=ax+by（a＞0，15. （1 分） (2016 高一下·韶关期末) 若一三角形三边所在的直线方程分别为 x+2y﹣5=0，y﹣2=0，x+y﹣4=0， 则能够覆盖此三角形且面积最小的圆的方程为________．16. （1 分） 在平面直角坐标系中，曲线 标为________.是参数)与曲线是参数)的交点的直角坐17. （1 分） (2019 高三上·郑州期中) 设 是双曲线，分别是双曲线的左、右焦点，若，则上一点，双曲线的一条渐近线方程为 的值为________．18. （1 分） 当 m 取一切实数时，双曲线 x2﹣y2﹣6mx﹣4my+5m2﹣1=0 的中心的轨迹方程为________．19. （1 分） 设抛物线 x2=4y 的焦点为 F，经过点 P（1，4）的直线 l 与抛物线相交于 A、B 两点，且点 P 恰为 AB 的中点，则| |+| |=________ ．三、 解答题 (共 4 题；共 30 分)第 5 页 共 11 页20. （5 分） 已知椭圆 C： + =1（a＞b＞0），离心率 e= ，已知点 P（0， ）到椭圆 C 的右焦点 F 的距离是 点 Q．．设经过点 P 且斜率存在的直线与椭圆 C 相交于 A、B 两点，线段 AB 的中垂线与 x 轴相交于一（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；（Ⅱ）求点 Q 的横坐标 x0 的取值范围．21. （5 分） (2019·全国Ⅲ卷文) 已知曲线 C：y= 切点分别为 A ， B.，D 为直线 y=（1） 证明：直线 AB 过定点：上的动点，过 D 作 C 的两条切线，（2） 若以 E(0， )为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求该圆的方程. 22. （10 分） (2015 高二下·双流期中) 在平面直角坐标系 xoy 中，设点 F（1，0），直线 l：x=﹣1，点 P 在 直线 l 上移动，R 是线段 PF 与 y 轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l． （1） 求动点 Q 的轨迹的方程； （2） 记 Q 的轨迹的方程为 E，过点 F 作两条互相垂直的曲线 E 的弦 AB、CD，设 AB、CD 的中点分别为 M，N．求 证：直线 MN 必过定点 R（3，0）．23. （10 分） (2019 高二上·南通月考) 已知椭圆 C： 1）是 C 的一个焦点，过 F 点的动直线 l 交椭圆于 A，B 两点．1（a＞b＞0）经过点（ ，1），F（0，（1） 求椭圆 C 的方程（2） 是否存在定点 M（异于点 F），对任意的动直线 l 都有 kMA+kMB＝0，若存在求出点 M 的坐标，若不存在， 请说明理由．第 6 页 共 11 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 7 题；共 7 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 7 页 共 11 页16-1、17-1、18-1、19-1、三、 解答题 (共 4 题；共 30 分)20-1、第 8 页 共 11 页第 9 页 共 11 页21-1、21-2、 22-1、第 10 页 共 11 页22-2、23-1、23-2、第11 页共11 页。
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2016-2017学年浙江省杭州市七校联考高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）不等式x（x﹣1）＞0的解集是（）A．（﹣∞，0）B．（0，1） C．（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）2．（3分）已知数列，…是这个数列的第（）项．A．10 B．11 C．12 D．213．（3分）一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（）A．8πB．6πC．4πD．π4．（3分）若关于x的不等式mx+2＞0的解集是{x|x＜2}，则实数m等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．25．（3分）已知数列{a n}为等差数列，首项a1=1，公差d=2，则a5=（）A．6 B．9 C．25 D．316．（3分）已知a，b是异面直线，直线c∥a，那么c与b（）A．一定是异面B．一定是相交直线C．不可能是相交直线D．不可能是平行直线7．（3分）下列结论成立的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＞b，c＜d，则a+c＞b+d D．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c8．（3分）下列结论中正确的是（）A．若a＞0，则（a+1）（+1）≥2 B．若x＞0，则lnx+≥2C．若a+b=1，则a2+b2≥D．若a+b=1，则a2+b2≤9．（3分）设α为平面，a、b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a⊥α，a∥b，则b⊥αC．若α∥β，a⊂α，b⊂β则a∥b D．若a∥α，a⊥b，则b⊥α10．（3分）在等比数列{a n}中，已知a4=3a3，则+++…+=（）A．B．C．D．11．（3分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1点E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是（）A．90°B．60°C．45°D．30°12．（3分）已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为，则该锥体的俯视图可以是（）A．B． C．D．13．（3分）四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a，则该四面体的体积的最大值为（）A．a3B．a3C．a3 D．a314．（3分）已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得a m a n=16a12，则+的最小值为（）A．B．C．D．不存在15．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF=，则下列结论错误的是（）A．AC⊥BF B．直线AE、BF所成的角为定值C．EF∥平面ABC D．三棱锥A﹣BEF的体积为定值16．（3分）设函数f（x）=x2﹣4x+3，若f（x）≥mx对任意的实数x≥2都成立，则实数m的取值范围是（）A．[﹣2﹣4，﹣2+4]B．（﹣∞，﹣2﹣4]∪[﹣2+4，+∞）C．[﹣2+4，+∞）D．（﹣∞，﹣]17．（3分）已知数列{a n}的通项公式为，则数列{a n}（）A．有最大项，没有最小项B．有最小项，没有最大项C．既有最大项又有最小项D．既没有最大项也没有最小项18．（3分）已知关于x的不等式x2+bx+c＜0（ab＞1）的解集为空集，则T=+的最小值为（）A．B．2 C．D．4二、填空题：本大题共4小题，共7空，每空4分，共28分．19．（8分）一个简单几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为，表面积为．20．（8分）已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，S n为其前n项和，且a2=3，又a4、a5、a8成等比数列，则a n，使S n最大的序号n的值．21．（8分）若x＞0，y＞0，且+=1，则x+3y的最小值为；则xy的最小值为．22．（4分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是．三、解答题：本大题共3小题，共38分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23．（12分）已知f（x）=ax2+x﹣a，a∈R（1）若a=1，解不等式f（x）≥1；（2）若a＜0，解不等式f（x）＞1．24．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，△ABD是正三角形，CB=CD，SC⊥BD．（Ⅰ）求证：SB=SD；（Ⅱ）若∠BCD=120°，M为棱SA的中点，求证：DM∥平面SBC．25．（14分）各项均为正数的数列{a n}中，a1=1，S n是数列{a n}的前n项和，对任意n∈N*，有2S n=2pa n2+pa n﹣p（p∈R）（1）求常数p的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）记b n=，求数列{b n}的前n项和T．2016-2017学年浙江省杭州市七校联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）不等式x（x﹣1）＞0的解集是（）A．（﹣∞，0）B．（0，1） C．（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）【解答】解：x（x﹣1）=0，可得x=1或0，不等式x（x﹣1）＞0，解得{x|x＞1或x＜0}，故选：D．2．（3分）已知数列，…是这个数列的第（）项．A．10 B．11 C．12 D．21【解答】解：根据数列前几项，可判断数列的通项公式为an=，假设为数列的第n项，则，解得，n=11故选：B．3．（3分）一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（）A．8πB．6πC．4πD．π【解答】解：正方体的体积为8，故边长为2，内切球的半径为1，则表面积S=4πR2=4π，故选：C．4．（3分）若关于x的不等式mx+2＞0的解集是{x|x＜2}，则实数m等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【解答】解：∵不等式mx+2＞0的解集是{x|x＜2}，∴方程mx+2=0的解是2，则2m+2=0，解得m=﹣1，故选：A．5．（3分）已知数列{a n}为等差数列，首项a1=1，公差d=2，则a5=（）A．6 B．9 C．25 D．31【解答】解：在等差数列{a n}中，由首项a1=1，公差d=2，得a5=a1+4d=1+4×2=9．故选：B．6．（3分）已知a，b是异面直线，直线c∥a，那么c与b（）A．一定是异面B．一定是相交直线C．不可能是相交直线D．不可能是平行直线【解答】解：∵直线a与b是异面直线，直线c∥a，∴直线b和c有可能在同一平面上，也有可能不在同一平面上，如果b和c在同一平面上的话，二者的位置关系为相交；如果b和c不在同一平面上，二者的位置关系为异面．如果b∥c，则a∥b与已知a，b是异面直线矛盾；故选：D．7．（3分）下列结论成立的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＞b，c＜d，则a+c＞b+d D．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c【解答】解：对于A．当c＜0时，不成立；对于B．取a=﹣1，b=﹣2，不成立；对于C．∵a＞b，c＜d，∴a﹣c＞b﹣d，因此不成立；对于D．∵c＞d，∴﹣d＞﹣c，又a＞b，∴a﹣d＞b﹣c，因此成立．故选：D．8．（3分）下列结论中正确的是（）A．若a＞0，则（a+1）（+1）≥2 B．若x＞0，则lnx+≥2C．若a+b=1，则a2+b2≥D．若a+b=1，则a2+b2≤【解答】解：对于A：（a+1）（+1）=1+1+a+≥2+2=4，故A不正确，对于B，当0＜x＜1时，lnx+＜0，故B不正确，∵a+b=1，则a2+b2≥=，当且仅当a=b=，故C正确，D不正确，故选：C．9．（3分）设α为平面，a、b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a⊥α，a∥b，则b⊥αC．若α∥β，a⊂α，b⊂β则a∥b D．若a∥α，a⊥b，则b⊥α【解答】解：由α为平面，a、b为两条不同的直线，知：在A中，若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故A错误；在B中，若a⊥α，a∥b，则由线面垂直的判定定理得b⊥α，故B正确；在C中，若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面，故C错误；在D中，若a∥α，a⊥b，则b与α相交、平行或b⊂α，故D错误．故选：B．10．（3分）在等比数列{a n}中，已知a4=3a3，则+++…+=（）A．B．C．D．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a4=3a3，∴q=3，∴+++…+=q+q2+q3+…+q n===．故选：D．11．（3分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1点E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是（）A．90°B．60°C．45°D．30°【解答】解：由题意：ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，连接B1G，∵A1E∥B1G，∴∠FGB1为异面直线A1E与GF所成的角．连接FB1，在三角形FB1G中，AA1=AB=2，AD=1，B1F==B1G==，FG==，B1F2=B1G2+FG2．∴∠FGB1=90°，即异面直线A1E与GF所成的角为90°．故选：A．12．（3分）已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为，则该锥体的俯视图可以是（）A．B． C．D．【解答】解：∵锥体的正视图和侧视图均为边长为2的等边三角形，故锥体的高为，又∵锥体的体积为，故锥体的底面面积为2，A中图形的面积为4，不满足要求；B中图形的面积为π，不满足要求；C中图形的面积为2，满足要求；D中图形的面积为，不满足要求；故选：C．13．（3分）四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a，则该四面体的体积的最大值为（）A．a3B．a3C．a3 D．a3【解答】解：若一个四面体有五条棱长都等于a，则它必然有两个面为等边三角形，如下图由图结合棱锥的体积公式，当这两个平面垂直时，底面积是定值，高最大，故该四面体的体积最大，此时棱锥的底面积S=×a2×sin60°=，棱锥的高h=，则该四面体的体积最大值为V=×a2×=．故选：C．14．（3分）已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得a m a n=16a12，则+的最小值为（）A．B．C．D．不存在【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q，易知q≠1，由a7=a6+2a5，得到a6q=a6+2，解得q=﹣1或q=2，因为{a n}是正项等比数列，所以q＞0，因此，q=﹣1舍弃．所以，q=2因为a m a n=16a12，所以，所以m+n=6，（m＞0，n＞0），所以≥，当且仅当m+n=6，即m=2，n=4时等号成立．故选：A．15．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF=，则下列结论错误的是（）A．AC⊥BF B．直线AE、BF所成的角为定值C．EF∥平面ABC D．三棱锥A﹣BEF的体积为定值【解答】解：∵在正方体中，AC⊥BD，∴AC⊥平面B1D1DB，又BE⊂平面BB1D1D，∴AC⊥BE，故A正确；∵当点E在D1处，F为D1B1的中点时，异面直线AE，BF所成的角是∠OEB，当E在上底面的中心时，F在C1的位置，异面直线AE，BF所成的角是∠OE1B，显然两个角不相等，B不正确；∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，∴EF∥平面ABCD，故C正确；∵由于点B到直线B1D1的距离不变，故△BEF的面积为定值．又点A到平面BEF为定值．D正确；的距离为，故V A﹣BEF故选：B．16．（3分）设函数f（x）=x2﹣4x+3，若f（x）≥mx对任意的实数x≥2都成立，则实数m的取值范围是（）A．[﹣2﹣4，﹣2+4]B．（﹣∞，﹣2﹣4]∪[﹣2+4，+∞）C．[﹣2+4，+∞）D．（﹣∞，﹣]【解答】解：若f（x）≥mx对任意的实数x≥2都成立，则m≤x+﹣4对任意的实数x≥2都成立，由对勾函数的图象和性质，可得y=x+，（x≥2）在x=2时，取最小值，故m≤﹣4=﹣，即实数m的取值范围是（﹣∞，﹣]，故选：D．17．（3分）已知数列{a n}的通项公式为，则数列{a n}（）A．有最大项，没有最小项B．有最小项，没有最大项C．既有最大项又有最小项D．既没有最大项也没有最小项【解答】解：令，则t是区间（0，1]内的值，而=，所以当n=1，即t=1时，a n取最大值，使最接近的n的值为数列{a n}中的最小项，所以该数列既有最大项又有最小项．故选：C．18．（3分）已知关于x的不等式x2+bx+c＜0（ab＞1）的解集为空集，则T=+的最小值为（）A．B．2 C．D．4【解答】解：由题意得：，，得．∴，令ab﹣1=m，则m＞0，所以．则的最小值为4．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，共7空，每空4分，共28分．19．（8分）一个简单几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为，表面积为．【解答】解：由三视图知：几何体是三棱锥，且几何体的后侧面SAC与底面垂直，高SO为，如图：其中OA=OB=OC=1，SO⊥平面ABC，AB=BC=，SA=SB=SC=2，底面△ABC的面积为：，后侧面△SAC的面积为：，左右两个侧面△SAB和△SBC的底面边长为，两腰长为2，故底边上的高为：=，故左右两个侧面△SAB和△SBC的面积为：，故几何体的表面积：，几何体的体积V==，故答案为：，20．（8分）已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，S n为其前n项和，且a2=3，又a4、a5、a8成等比数列，则a n=﹣2n+7，使S n最大的序号n的值3．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，d≠0，∵a2=3，a4，a5，a8成等比数列，∴，又d≠0，解得a1=5，d=﹣2，∴a n=5﹣2（n﹣1）=﹣2n+7；∴S n==﹣n2+6n=﹣（n﹣3）2+9，∴当n=3时，S n取到最大值为9，故答案为：=﹣2n+7；3．21．（8分）若x＞0，y＞0，且+=1，则x+3y的最小值为16；则xy的最小值为12．【解答】解：∵x，y＞0，且+=1，∴x+3y=（x+3y）（+）=10++≥10+6=16，当且仅当=即x==y 取等号．因此x+3y的最小值为16．∵x＞0，y＞0，且+=1，∴1≥2，化为xy≥12，当且仅当y=3x时取等号．则xy的最小值为12．故答案为：16，1222．（4分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是[]．．【解答】解：如下图所示：分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥BC1，EF∥BC1，∴MN∥EF，又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，∴MN∥平面AEF；∵AA1∥NE，AA1=NE，∴四边形AENA1为平行四边形，∴A 1N∥AE，又A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，∴A1N∥平面AEF，又A1N∩MN=N，∴平面A1MN∥平面AEF，∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P∥平面AEF，则P必在线段MN上，在Rt△A1B1M中，A1M===，同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N=，∴△A1MN为等腰三角形，当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长，A1O===，A1M=A1N=，所以线段A1P长度的取值范围是[]．故答案为：[]．三、解答题：本大题共3小题，共38分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23．（12分）已知f（x）=ax2+x﹣a，a∈R（1）若a=1，解不等式f（x）≥1；（2）若a＜0，解不等式f（x）＞1．【解答】解：（1）若a=1，不等式f（x）≥1可化为：x2+x﹣1≥1，即x2+x﹣2≥0，解得：x∈（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞），（2）若a＜0，不等式f（x）≥1可化为：ax2+x﹣a﹣1＞0，即（x﹣1）（x+）＜0，当﹣＜1，即a＜﹣时，不等式的解集为（﹣，1）；当﹣=1，即a=﹣时，不等式的解集为∅；当﹣＞1，即﹣＜a＜0时，不等式的解集为（1，﹣）．24．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，△ABD是正三角形，CB=CD，SC⊥BD．（Ⅰ）求证：SB=SD；（Ⅱ）若∠BCD=120°，M为棱SA的中点，求证：DM∥平面SBC．【解答】证明：如图示：（Ⅰ）设BD中点为O，连接OC，OE，则由BC=CD知，CO⊥BD，又已知SC⊥BD，SC⊥CO=C，所以BD⊥平面SOC，所以BD⊥SO，即SO是BD的垂直平分线，所以SB=SD，（Ⅱ）取AB中点N，连接DM，MN，DN，∵M是SA的中点，∴MN∥BE，∵△ABD是正三解形，∴DN⊥AB，∵∠BCD=120°得∠CBD=30°，∴∠ABC=90°，即BC⊥AB，所以ND∥BC，所以平面MND∥平面BSC，故DM∥平面SBC．25．（14分）各项均为正数的数列{a n}中，a1=1，S n是数列{a n}的前n项和，对任意n∈N*，有2S n=2pa n2+pa n﹣p（p∈R）（1）求常数p的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）记b n=，求数列{b n}的前n项和T．【解答】解：（1）∵a1=1，对任意的n∈N*，有2S n=2pa n2+pa n﹣p∴2a1=2pa12+pa1﹣p，即2=2p+p﹣p，解得p=1；（2）2S n=2a n2+a n﹣1，①2S n﹣1=2a n﹣12+a n﹣1﹣1，（n≥2），②①﹣②即得（a n﹣a n﹣1﹣）（a n+a n﹣1）=0，因为a n+a n﹣1≠0，所以a n﹣a n﹣1﹣=0，∴（3）2S n=2a n2+a n﹣1=2×，∴S n=，∴=n•2nT n=1×21+2×22+…+n•2n③又2T n=1×22+2×23+…+（n﹣1）•2n+n2n+1 ④④﹣③T n=﹣1×21﹣（22+23+…+2n）+n2n+1=（n﹣1）2n+1+2∴T n=（n﹣1）2n+1+2赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。