高中数学二项式定理高考复习
高三一轮复习《二项式定理》
高三一轮复习《二项式定理》考纲考点：1、掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和证明2、会用二项式的通项公式求展开式中的指定项3、能用二项式定理证明组合恒等式及解决某些关于数的整除问题。
重、难点：二项式定理和性质的应用，求展开式中的指定项。
考情分析：二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，解法灵活但比较基础，高考对二项式定理的考查，多为选择题、填空题，注意二项式定理在近似计算中的应用。
考查的内容以二项式展开式及通项公式运用为主，要注意展开式的通向公式正、反两个方面的应用：（1）直接运用通项公式求特定项或特定项的系数或与系数有关的问题；（2）需用转化思想化归为二项式问题来处理的问题。
⒈二项展开式(a+b) n = 。
⒉二项展开式的通项：T r+1= . T r+1表示第r+1项⒊二项式系数为0n C ，1n C ，2n C ，…，r n C ，…，n n C .其性质有：⑴m n n m n C C -=；⑵r n r n C r r n C 11+-=+； ⑶0n C +1n C +2n C +……+n n C =2 n ；（4） +++=+++531420n n n n n n C C C C C C = 。
（5）当n 是偶数时， 的二项式系数最大；当n 是奇数时， 的二项式系数相等且最大。
⒋在运用二项式定理解题时，要注意下列问题：⑴展开式的通项是第r+1项，不是第r 项；⑵要区分展开式中某一项．与项的系数．．，区分某一项的系数．．．．．．与二项式系数．．．．．； ⑶注意(a −b) n 展开式中各项的符号；⑷二项式定理对任何实数a 、b 都成立，应注意赋值法的应用.题型一、求二项展开式中的指定项和相关系数的问题（1）18)31(x x -的展开式中含15x 的项的系数为 。
（2）)()24(6R x x x ∈--的展开式中的常数项为 。
（3）设=+++++=-11102121221021,)1(a a x a x a x a a x 则 。
专题10-2 二项式定理-2023年高考数学一轮复习热点题型(全国通用)(解析版)
【详解】 x 2 10 的展开式中,通项公式： Tr1 C1r0 x10r 2 r ，
令 10−r=7，解得 r=3.
∴x7 的系数为 C130 2 3 = 8C170 ,
故选：C.
2.．
1 2
x
2
y
5
的展开式中
x2
y3
的系数为_____．
【答案】-20 分析：首先利用二项展开式的通项公式写出该二项展开式的通项，之后令相应的幂指数与题中所给的项的
k
1 项 Tk1
Ckn
x3 nk
x3 k Ckn x3n6k
令 3n 6k 0 则 n 2k （ k Z ）
所以 n 为偶数。故选：A
【题型四】给通项求参数
【典例分析】
已知
ax
b x
6
的展开式中
x
3 2
项的系数为
160，则当
a
0
，
b
0
时，
a
b
的最小值为（
）
A．4
B． 2 2
C．2
D． 2
当 r 3 时， T4 253C53x53 y 3 40x2 y3 ，此时只需乘以第一个因式 x 2 y 中的 x 即可，得到 40x3 y3 ；
当 r 2 时，T3 252 C52 x52 y 2 80x3 y2 ，此时只需乘以第一个因式 x 2 y 中的 2 y 即可，得到 160x3 y3 ；
故选：D．
3. x 2 y 2x y 5 的展开式中的 x3 y3 系数为（
）
A． 200
B． 120
C．120
D．200
【答案】A
【分析】由题意首先确定 (2x y)5 展开式的通项公式，再采用分类讨论法即可确定 x3 y3 的系数.
专题58二项式定理-高考数学复习资料(解析版)
A．5 B．－10 C．－32 D．－42
【答案】 D
1
1
1
－2
－2
【解析】 由于 x 5 的通项为 Cr5· x 5－r·(－2)r＝Cr5(－2)r·x，故(x2＋1)· x 5 的展开式的常
数项是 C15·(－2)＋C55(－2)5＝－42.故选 D. 8.(2019·潍坊模拟)设 a∈Z，且 0≤a<13，若 512018＋a 能被 13 整除，则 a＝( )
方程或不等式的知识求解.
2.求几个多项式积的特定项：可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情
形，求出相应的特定项，最后进行合并即可.
3.三项展开式特定项：(1)通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系
数)问题的处理方法求解；(2)将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式展开，然后再分类考虑特定项
A.5
B.－10
C.－32
D.－42
31
x－ 3 10
(2)
2 x 的展开式中所有的有理项为________.
【答案】 (1)D (2)45x2，－63， 45 x－2
4
8 256
1
5
1 5－r
1
5
－2
r－5
－2
【解析】 (1)由于 x
的通项为 Cr5· x ·(－2)r＝Cr5·(－2)r·x 2 ，故(x2＋1)· x
所以 a6＝C510，则 k 的最大值为 6. x3＋2 n
2.(2019·烟台模拟)已知 x 的展开式的各项系数和为 243，则展开式中 x7 的系数为( )
A.5
B.40
C.20
D.10
最新高三数学专题复习资料二项式定理
第三节二项式定理1．能利用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．1．二项式定理2．二项式系数的性质1．二项式(x＋y)n的展开式的第k＋1项与(y＋x)n的展开式的第k＋1项一样吗？提示：尽管(x＋y)n与(y＋x)n的值相等，但它们的展开式形式是不同的，因此应用二项式定理时，x，y的位置不能随便交换．2．二项式系数与项的系数一样吗？提示：不一样．二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．1．(x －y )n 的二项展开式中，第r 项的系数是( )A ．C r nB ．C r ＋1nC ．C r －1nD ．(－1)r －1C r －1n 解析：选D 本题中由于y 的系数为负，故其第r 项的系数为(－1)r －1C r －1n .2．(1＋x )7的展开式中x 2的系数是( ) A ．42 B ．35 C ．28 D ．21解析：选D 依题意可知，二项式(1＋x )7的展开式中x 2的系数等于C 27×15＝21.3．C 16＋C 26＋C 36＋C 46＋C 56＋C 66的值为( )A ．62B ．63C ．64D ．65解析：选B 因为C 16＋C 26＋C 36＋C 46＋C 56＋C 66＝(C 06＋C 16＋C 26＋C 36＋C 46＋C 56＋C 66)－C 06＝26－1＝63.4.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 展开式中只有第6项的二项式系数最大，则n 等于________．解析：∵展开式中只有第6项的二项式系数最大， ∴n ＝10. 答案：105．(A.嘉兴模拟)(x ＋1)9的展开式中x 3的系数是________．(用数字作答) 解析：依题意知：(x ＋1)9的展开式中x 3的系数为C 69＝C 39＝9×8×73×2×1＝84.答案：841．二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．2．高考对二项式定理的考查主要有以下几个命题角度： (1)求二项展开式中的第n 项； (2)求二项展开式中的特定项；(3)已知二项展开式的某项，求特定项的系数．[例1] (1)(A.浙江高考)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝( )A ．45B ．60C ．120D ．210(2)(A.四川高考)在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15 D ．10(3)(A.湖南高考)⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( )A ．－20B ．－5C ．5D ．20(4)使⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7[自主解答] (1)由题意知f (3,0)＝C 36C 04，f (2,1)＝C 26C 14，f (1，2)＝C 16C 24，f (0,3)＝C 06C 34，因此f (3,0)＋f (2,1)＋f (1，2)＋f (0,3)＝120，选C.(2)只需求(1＋x )6的展开式中含x 2项的系数即可，而含x 2项的系数为C 26＝15，故选C.(3)由二项展开式的通项可得，第四项T 4＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2·(－2y )3＝－20x 2y 3，故x 2y 3的系数为－20，选A.(4)T r ＋1＝C r n(3x )n －r·x －32r ＝C r n ·3n －r ·xn －r －32r ＝C r n ·3n －r·xn －5r 2(r ＝0,1,2，…，n )，若T r ＋1是常数项，则有n －52r ＝0，即2n ＝5r (r ＝0,1，…，n )，当r ＝0,1时，n ＝0，52，不满足条件；当r ＝2时，n ＝5.[答案] (1)C (2)C (3)A (4)B互动探究若本例(2)中的条件“n ∈N *”改为“n ≥3”，其他条件不变，则展开式中的有理项最少有________项．解析：由本例(2)中的自主解答可知：T r ＋1＝C r n3n －rxn －5r2(r ＝0,1,2，…，n )．即当⎝⎛⎭⎪⎫n －5r 2为整数时，T r ＋1为有理项．显然当n ＝3时，r 的取值最少，有r ＝0，r ＝2， 即有理项为T 1、T 3两项． 答案：2求二项式展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的第n 项．可依据二项式的通项公式直接求出第n 项； (2)求展开式中的特定项．可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可．(3)已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数．1．若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n 的展开式中第5项是常数项，则正整数n 的值可能为( )A ．6B ．10C ．12D ．15解析：选C T r ＋1＝C r n(x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－2)r C r n x n －3r 2，当r ＝4时，n －3r 2＝0，又n ∈N *，所以n ＝12.2．(A.金华模拟)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x (1－x )4的展开式中x 的系数是________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x (1－x )4的展开式x 的项为2x ·C 4410(－x )4＋x C 0414(－x )0＝2x ＋x ＝3x .所以x 的系数为3.答案：3[例2] (1)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8(2)若C 3n ＋123＝C n ＋623(n ∈N *)且(3－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝________.[自主解答] (1)由题意得：a ＝C m 2m ，b ＝C m 2m ＋1， 所以13C m 2m ＝7C m 2m ＋1，∴132mm ！·m ！＝72m ＋1mm ＋1，∴72m ＋1m ＋1＝13，解得m ＝6，经检验为原方程的解，选B.(2)由C 3n ＋123＝C n ＋623，得3n ＋1＝n ＋6(无整数解)或3n ＋1＝23－(n ＋6)，解得n ＝4，问题即转化为求(3－x )4的展开式中各项系数和的问题，只需在(3－x )4中令x ＝－1即得a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝[3－(－1)]4＝256.[答案] (1)B (2)256方法规律 赋值法的应用(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可．(2)对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(3)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f 1f 12，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f 1f 12.1．设(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a n x n ，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝63，则展开式中系数最大的项是( )A ．15x 3B ．20x 3C ．21x 3D ．35x 3解析：选B 在(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a n x n 中，令x ＝1得2n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n .令x ＝0，得1＝a 0，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1＝63，∴n ＝6.而(1＋x )6的展开式中系数最大的项为T 4＝C 36x 3＝20x 3.2．(A.丽水模拟)若(1－2x )2 014＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 013x 2 013＋a 2 014x 2 014(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＋a 2 01422 014的值为( ) A ．2 B ．0 C ．－1 D ．－2解析：选C 令x ＝0，则a 0＝1，令x ＝12，则a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＋a 2 01422 014＝0，∴a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＋a 2 01422 014＝－1.—————————————[课堂归纳——通法领悟]——————————————1个公式——二项展开式的通项公式通项公式主要用于求二项式的特定项问题，在运用时，应明确以下几点：(1)C r n an －r b r是第r ＋1项，而不是第r 项； (2)通项公式中a ，b 的位置不能颠倒；(3)通项公式中含有a ，b ，n ，r ，T r ＋1五个元素，只要知道其中的四个，就可以求出第五个，即“知四求一”．3个注意点——二项式系数的三个注意点 (1)求二项式所有系数的和，可采用“赋值法”；(2)关于组合式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法；(3)展开式中第r ＋1项的二项式系数与第r ＋1项的系数一般是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心，以防出错．前沿热点(十六)与二项式定理有关的交汇问题1．二项式定理作为一个独特的内容，在高考中总有所体现，常常考查二项式定理的通项、项的系数、各项系数的和等．2．二项式定理作为一个工具，也常常与其他知识交汇命题，如与数列交汇、与不等式交汇、与函数交汇等．因此在一些题目中不仅仅考查二项式定理，还要考查其他知识，其解题的关键点是它们的交汇点，注意它们的联系即可．[典例](B.陕西高考)设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6，x <0，－x ，x ≥0，则当x >0时，f [f (x )]表达式的展开式中常数项为( )A ．－20B ．20C ．－15D ．15[解题指导] 先寻找x >0时f (x )的取值，再寻找f [f (x )]的表达式，再利用二项式定理求解．[解析] x >0时，f (x )＝－x <0，故f [f (x )]＝⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋1x 6，其展开式的通项公式为T r ＋1＝C r6·(－x )6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r＝(－1)6－r ·C r 6·(x )6－2r ，由6－2r ＝0，得r ＝3，故常数项为(－1)3·C 36＝－20.[答案] A[名师点评] 解决本题的关键有以下几点： (1)正确识别分段函数f (x )； (2)正确判断f (x )的符号； (3)正确写出f [f (x )]的解析式； (4)正确应用二项式定理求出常数项.(A.安徽高考)设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n .若点A i (i ，a i )(i ＝0,1,2)的位置如图所示，则a ＝________.解析：由题图可知a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧C 1n ·1a＝a 1＝3，C 2n ·1a 2＝a 2＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧na ＝3，n n －1a2＝8，可得⎩⎨⎧n ＝9，a ＝3.答案：31．在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 5的二项展开式中，x 的系数为( )A ．10B ．－10C ．40D ．－40 解析：选D T r ＋1＝C r 5(2x 2)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·25－r ·C r 5·x10－3r， 令10－3r ＝1，得r ＝3.所以x 的系数为(－1)3·25－3·C 35＝－40.2．在(1＋x )2－(1＋3x )4的展开式中，x 的系数等于( ) A ．3 B ．－3 C ．4 D ．－4解析：选B 因为(1＋x )2的展开式中x 的系数为1，(1＋3x )4的展开式中x 的系数为C 34＝4，所以在(1＋x )2－(1＋3x )4的展开式中，x 的系数等于－3.3．(A.金华模拟)(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( ) A ．56 B ．84 C ．112 D ．168解析：选D (1＋x )8展开式中x 2的系数是C 28，(1＋y )4的展开式中y 2的系数是C 24，根据多项式乘法法则可得(1＋x )8(1＋y )4展开式中x 2y 2的系数为C 28C 24＝28×6＝168.4.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40解析：选D 由题意，令x ＝1得展开式各项系数的和为(1＋a )·(2－1)5＝2，∴a ＝1.∵二项式⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的通项公式为T r ＋1＝C r 5(－1)r ·25－r·x 5－2r ，∴⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5展开式中的常数项为x ·C 35(－1)322·x －1＋1x·C 25·(－1)2·23·x ＝－40＋80＝40.5．在(1－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n 中，若2a 2＋a n －3＝0，则自然数n 的值是( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选B 易知a 2＝C 2n ，a n －3＝(－1)n －3·C n －3n ＝(－1)n －3C 3n ，又2a 2＋a n －3＝0，所以2C 2n ＋(－1)n －3C 3n ＝0，将各选项逐一代入检验可知n ＝8满足上式． 6．设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．12解析：选D 512 012＋a ＝(13×4－1)2 012＋a ，被13除余1＋a ，结合选项可得a ＝12时，512 012＋a 能被13整除．7．(A.新课标全国卷Ⅱ)(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________.(用数字填写答案)解析：二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10x10－r a r，当10－r ＝7时，r ＝3，T 4＝C 310a 3x 7，则C 310a 3＝15，故a ＝12. 答案：128．(A.山东高考)若⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________．解析：T r ＋1＝C r 6(ax 2)6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫b x r ＝C r 6a 6－r b r x 12－3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3，故C 36a 3b 3＝20，所以ab ＝1，a 2＋b 2≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1时，等号成立．答案：29．(B.浙江高考)设二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________.解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －13x 5的通项T r ＋1＝C r 5(x )5－r ·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x r ＝(－1)r C r 5x 5－r 2x －r 3＝(－1)r C r 5x15－5r 6. 令15－5r ＝0，得r ＝3，所以常数项为(－1)3C 35x 0＝－10.即A ＝－10. 答案：－1010．已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求： (1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|. 解：令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1.① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.② (1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2. (2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094.(3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093.(4)∵(1－2x )7展开式中a 0、a 2、a 4、a 6大于零，而a 1、a 3、a 5、a 7小于零， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7) ＝1 093－(－1 094)＝2 187. 11．若某一等差数列的首项为C11－2n 5n－A2n －211－3n，公差为⎝ ⎛⎭⎪⎫52x －253x 2m的展开式中的常数项，其中m 是7777－15除以19的余数，则此数列前多少项的和最大？并求出这个最大值．解：设该等差数列为{a n }，公差为d ，前n 项和为S n . 由已知得⎩⎨⎧11－2n ≤5n ，2n －2≤11－3n ，又n ∈N *， ∴n ＝2，∴C 11－2n 5n －A 2n －211－3n ＝C 710－A 25＝C 310－A 25＝10×9×83×2－5×4＝100， ∴a 1＝100.∵7777－15＝(76＋1)77－15＝7677＋C 177·7676＋…＋C 7677·76＋1－15 ＝76(7676＋C 177·7675＋…＋C 7677)－14＝76M －14(M ∈N *)，∴7777－15除以19的余数是5，即m ＝5.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫52x －253x 2m 的展开式的通项是T r ＋1＝C r 5·⎝ ⎛⎭⎪⎫52x 5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－253x 2r ＝(－1)r C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫525－2rx 53r －5(r ＝0,1,2,3,4,5)，令53r －5＝0，得r ＝3，代入上式，得T 4＝－4，即d ＝－4，从而等差数列的通项公式是a n ＝100＋(n －1)×(－4)＝104－4n .设其前k 项之和最大，则⎩⎨⎧104－4k ≥0，104－4k ＋10，解得k ＝25或k ＝26，故此数列的前25项之和与前26项之和相等且最大，S 25＝S 26＝a 1＋a 252×25＝100＋104－4×252×25＝1 300.12．从函数角度看，组合数C r n 可看成是以r 为自变量的函数f (r )，其定义域是{r |r ∈N ，r ≤n }．(1)证明：f (r )＝n －r ＋1rf (r －1)； (2)利用(1)的结论，证明：当n 为偶数时，(a ＋b )n 的展开式中最中间一项的二项式系数最大．解：(1)证明：∵f (r )＝C r n＝n ！rn －r，f (r －1)＝C r －1n ＝n ！r －1n －r ＋1，∴n －r ＋1r f (r －1)＝n －r ＋1r ·n ！r －1n －r ＋1＝n ！rn －r.则f (r )＝n －r ＋1rf (r －1)成立． (2)设n ＝2k ， ∵f (r )＝n －r ＋1rf (r －1)，f (r －1)>0， ∴f r f r －1＝2k －r ＋1r . 令f (r )≥f (r －1)，则2k －r ＋1r≥1，则r ≤k ＋12(等号不成立)．∴当r ＝1,2，…，k 时，f (r )>f (r －1)成立．反之，当r ＝k ＋1，k ＋2，…，2k 时，f (r )<f (r －1)成立． ∴f (k )＝C k 2k 最大，即(a ＋b )n 的展开式中最中间一项的二项式系数最大． [冲击名校]1．已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1解析：选D 已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中，x 2的系数为C 25＋a C 15＝5，则a ＝－1.2．(A.湖州模拟)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋a x 6的展开式中1x 2的系数为－12，则实数a 的值为________．解析：二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋a x 6展开式中第r ＋1项为T r ＋1＝C r 6·(2x )6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫a x r＝C r 6·26－r ·a r ·x 3－r ，当3－r ＝－2，即r ＝5时，含有1x2的项的系数是C 56·2·a5＝－12，解得a ＝－1.答案：－1。
高中数学二项式定理高考复习汇编
课题：二项式定理一、知识要点1.二项式定理一般地,对于任意整数n ,都有n n n n n n n n b C b a C a C b a ++=+-110)(,这个公式叫做二项式定理.【注意】⑴等号右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式;⑵),2,1,0(n r C r n =叫做二项式系数,它与展开式中对应项的系数不一定相等,二项式系数r n C 一定为正,而项的系数与b a , 的系数有关,正负不能确定.⑶公式右边共有1+n 项,比二项式的次数n 大1.⑷各项的次数都等于二项式的幂指数n ;字母a 按降幂排列,次数由n 递减到0,字母b 按升幂排列,次数由0递增到n .⑸二项式定理表示一个恒等式,对于任意的b a ,,该等式都成立.通过对b a ,取不同的特殊值,可给某些问题的解决带来方便.令x b a ==,1,则得到一个比较常用的公式: n n n n nn x C x C x C x ++++=+ 2211)1(； 若令1,1==b a,则得到一个组合数恒等式: n n n n n n C C C C ++++= 2102； 2.二项展开式的通项二项展开式的第1+r 项),2,1,0(1n r b a C T r r n r n r ==-+叫做二项展开式的通项.【注意】⑴它表示二项式展开的第1+r 项,该项的二项式系数是r n C ,而不是1+r n C ;⑵字母b 的次数和组合数的上标相同;⑶a 与b 的次数之和为n ;⑷n 是常量,n r ,,2,1,0 =是变量;⑸公式中第一个量a 与第二个量b 的位置不能颠倒;⑹整理通项时,一般要将通项中的系数和字母分开整理;⑺它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用.3.二项式系数的性质一般地, n b a )(+展开式的二项式系数nn n n n C C C C 210,,有以下性质⑴r n n r n C C -=;⑵r n r n r n C C C 11+-=+; ⑶当21-<n r 时, 1+<r n r n C C ;当21->n r ,r n r n C C <+1,即当n 为偶数时,二项式系数中, 2n n C 最大;当n 为奇数时, 二项式系数中, 21-n n C 和21+n n C （两者相等）最大.⑷n n n n n n C C C C 2210=++++ ；⑸131202-=++=++n n n n n C C C C ,即二项式展开式奇数项系数的和等于偶数项系数的和,二、金典题型题型一:通项公式的应用求二项式展开式中的有理项,一般是根据通项公式所得到的项,其所有的未知数的指数恰好都是整数的项,解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据整数的整除性求解.若求二项展开式中的整式项,则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项一致.【☞例1】已知在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3321的展开式中,第6项为常数项. ⑴求n ;⑵求含2x 的项的系数;⑶求展开式中所有的有理项.点评:解此类问题可以分两步完成:第一,根据所给出的条件（待定项）和通项公式,建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件（n ,r 均为非负整数,r n ≥））;第二,根据所求的指数,再求所求解的项.【☞例2】若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为（ ）A.10 B.20 C.30 D.120题型二:系数最大值问题在求展开式中系数最大项时,可设第1+r 项的系数为1+r t 最大,则利用⎩⎨⎧≥≥+++211r r r r t t t t ,解不等式组即可得出. 【☞例3】已知()nx x 2323+展开式各项系数和比它的二项式系数和大992. ⑴求展开式中二项式系数最大项; ⑵求展开式中系数最大项.点评:应注意区分项的系数和二项式系数两个概念.在求项的系数和时,常采用赋值法,求项的系数时,用1+r T 来求,而二项式系数能直接写出.【变式训练】1. ()nx 21+的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.题型三:赋值法的应用对形如()n b ax +、()m c bx ax ++2),,(R c b a ∈的式子求其展开式的各项系数之和,常采用赋值法, 只需令1=x 即可;对()n by ax +),(R b a ∈的式子求其展开式各项系数之和,只需令1==y x 即可.【☞例4】已知()772210721x a x a x a a x ++++=- .⑴求721a a a +++ ;⑵7531a a a a +++;⑶6420a a a a +++;⑷||||||||7210a a a a ++++ .【变式训练】2.对于12212⎪⎭⎫⎝⎛-x x 的展开式,求⑴求各项系数之和;⑵奇数项系数之和;⑶偶数项系数之和.三、基础落实1.二项式521⎪⎭⎫⎝⎛+x x 展开式中,x 的系数为（ ）A.5 B.10 C.20 D.402.如果nx x ⎪⎭⎫⎝⎛-2323的展开式中含有非零常数项,则正整数n 可能是（ ）A.6 B.8 C.9 D.103.已知nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-1的展开式中只有第四项的二项式系数最大,则展开式中的常数项等于（ ）A.15 B.-15 C.20 D.-204.若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-13展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为（ ）A.-540 B.-162 C.162 D.540 5.在n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-312的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式的常数项为（ ）A.-7 B.7 C.-28 D.28 6.在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2的二项展开式中,若常数项为60,则n 等于（ ） A.3 B.6 C.9 D12 7. 61⎪⎭⎫ ⎝⎛-x mx 的展开式中3x 的系数为15.则m 的值为 .8.若)(*6271327N n C C n n ∈=++,则n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32的展开式中的常数项是 .（用数字作答） 9.已知92⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x a 的展开式中,3x 的系数为94,则常数a 的值为 . 10.6)21(x -展开式中,所有项的系数之和为 ;63)21)(1(x x -+展开式中5x 的系数为 . 四、课堂小结与作业1.“各项的二项式系数”是指),,2,1,0(n i C i n =,而“某项的系数”是指这一项的所有的系数;只有当字母的系数为1时,某项的二项式系数与某项的系数才是相等的.2.二项式系数之和为n n n n n n C C C C ++++= 2102;各项系数之和是每项的所有系数之和.3.因为二项式定理中的字母可取任意数或式,所以在解题时根据题意给字母赋值是求解的重要方法之一.4.注意r r n r n r b a C T -+=1表示的是二项式展开式中的第1+r 项,而非第r 项,此式为二次展开式的通项.【作业】见复印件。
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）
A．1
B．2
C． -1
【例 9】 （ 2018 ?信 阳 二 模 ） (x 2 1)( 1 2)5 的 展 开 式 的 常 数 项 是 （ x
A．5
B． -10
C． -32
D ． -2 ）
D ． -42
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【例 10】 （ 2018 ? 泉 州 模 拟 ） ( x 1) 4(1 1 )4 的 展 开 式 中 ， 常 数 项 是 _______ ． x
A．3
B．5
【变式 2】（ 2018?湖 北 模 拟 ）在 (3 x
常数项等于 _______．
C．6 2) n 的二项展开式中，只有第 x
D．7 5 项的二项式系数最大，则二项展开式
【变式 3】 （2018?芜 湖 模 拟 ）已知 (1 2 x) n 展开式中只有第 4 项的二项式系数最大，则 开式中常数项为 _______．
C． 12x 4
D ． 12x 4
【变式 4】 （2018?四 川 模 拟 ） (x 1 )6 展开式中的常数项为（
）
x
A ． -20
B． -15
C． 15
D ． 20
【变式 5】 (2016 ·全 国 卷 Ⅰ )(2x＋ x)5 的展开式中， x3 的系数是 ________．(用数字填写答案 )
【例 3】 （ 2018? 唐 山 一 模 ） (2 x 1)6 的 展 开 式 中 ， 二 项 式 系 数 最 大 的 项 的 系 数 是 _______ ．
【例 4】 （ 2018 ?马 鞍 山 二 模 ） 二 项 式 ( 3x
1 3x
)n
的
展
开
式
中
只
高考数学一轮复习二项式定理
高考一轮复习--二项式定理二、高考考点1、对二项式定理的掌握与应用：以二项展开式（或多项展开式）中某一项（或某一项的系数）的问题为主打试题；2、对二项展开式的性质的掌握与应用：二项展开式中二项式系数的和与各项系数的和；组合多项式的求和等问题。
三、知识要点1、定义，这一公式表示的定理叫做二项式定理，其中（1）公式右边的多项式叫做的二项展开式；上述二项展开式中各项的系数叫做二项式系数，第r+1项叫做二项展开式的通项，用表示；（2）叫做二项展开式的通项公式。
2.认知（1）二项展开式的特点与功能（Ⅰ）二项展开式的特点①项数：二项展开式共n+1（二项式的指数+1）项；②指数：二项展开式各项的第一字母a依次降幂（其幂指数等于相应二项式系数的下标与上标的差），第二字母b依次升幂（其幂指数等于二项式系数的上标），并且每一项中两个字母的系数之和均等于二项式的指数n；③系数：各项的二项式系数下标等于二项式指数；上标等于该项的项数减去1（或等于第二字母b的幂指数；（Ⅱ）二项展开式的功能注意到二项展开式的各项均含有不同的组合数，若赋予a，b不同的取值，则二项式展开式演变成一个组合恒等式。
因此，揭示二项式定理的恒等式为组合恒等式的“母函数”，它是解决组合多项式问题的原始依据。
又注意到在的二项展开式中，若将各项中组合数以外的因子视为这一组合数的系数，则易见展开式中各组合数的系数依次成等比数列。
因此，解决组合数的系数依次成等比数列的求值或证明问题，二项式公式也是不可或缺的理论依据。
（2）二项式系数的性质（Ⅰ）对称性：在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等。
（Ⅱ）单调性：二项式系数（数列）在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间（项）取得最大值。
其中，当n 为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数 最大；当n 为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数 ，相等，且最大。
（Ⅲ）组合总数公式：即二项展开式中各项的二项式系数之和等于（Ⅳ）“一分为二”的考察：二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即四、典型例题例1、 已知二项式 展开式中，末三项的系数依次成等差数列，求此展开式中所有的有理项。
高三数学二项式定理(知识点和例题)
二项式定理1． 知识精讲：（1）二项式定理：()nn n r r n r n n n n n nb C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110（*∈N n ）其通项是=+1r T r r n r n b a C - （r=0,1,2,……,n ），知4求1，如：555156b a C T T n n -+== 亦可写成：=+1r T rnr n aba C )(()()()n n n n r r n r n r n n n n n b C b a C b a C a C b a 11110-++-++-=--- （*∈N n ） 特别地：()n n n r n r n n n n nx C x C x C x C x +++++=+- 101（*∈N n ）其中，rn C ——二项式系数。
而系数是字母前的常数。
例1．n nn n n n C C C C 1321393-++++ 等于 （ ） A ．n4 B 。
n43⋅ C 。
134-n D.314-n 解：设nnn n n n n C C C C S 1321393-++++= ，于是： n n n n n n n C C C C S 3333333221++++= =13333332210-+++++nn n n n n n C C C C C故选D例2．（1）求7(12)x +的展开式的第四项的系数；（2）求91()x x-的展开式中3x 的系数及二项式系数解：（1）7(12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==，∴7(12)x +的展开式的第四项的系数是280． （2）∵91()x x-的展开式的通项是9921991()(1)r rr r r r r T C xC x x--+=-=-， ∴923r -=，3r =，∴3x 的系数339(1)84C -=-，3x 的二项式系数3984C =．（2）二项展开式系数的性质：①对称性,在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即 ,,,,2211kn nkn n n n n n n nn n C C C C C C C C ---====②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。
高三一轮复习二项式定理.pptx
＝15.
(2)含 x4 的项为 C38x5( a )3＝C38a3x4， 3 x
∴C38a3＝7，∴a＝12.
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(3)a＝∫π20(sin2x2－12)dx＝∫π20(1－c2os x－12)dx
＝∫π20(－co2s x)dx＝－12.此时二项式的展开式的通项为 Tr＋1＝
Cr9(－12x)9－r(－
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考点二
二项式系数或各项系数和
【例2】 (1)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋ y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b。若13a＝7b，则m＝( )
A．5 B．6 C．7 D．8
(2)在二项式 x2－1x n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项 系数的和为( )
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3．求证：3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*，n>2)．
【证明】因为 n∈N*，且 n>2，
所以 3n＝(2＋1)n 展开后至少有 4 项．
(2
＋
1)n
＝
2n
＋
C
1 n
·2n
－
1
＋
…＋
Cnn－1
·2 ＋
1≥2n
＋
n·2n
－
1
＋
2n
＋
1>2n＋n·2n－1＝(n＋2)·2n－1，
所以 T4＝C36x3(－2)3＝－160x3，所以 x3 项的系数为－160.
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2．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为( )
二项式定理知识点高考
二项式定理知识点高考是高考数学中非常重要的知识点，其应用广泛并且涉及到很多的高阶数学概念。
在本篇文章中，我们将从浅显易懂的角度来介绍和探讨。
首先，我们来了解一下什么是。
是数学中关于二项式幂展开的一个重要定理，其主要内容是：对于任何非负整数n和任意实数a、b，二项式展开公式为(a + b)^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^(n-1) b^1 + ... + C(n,n)a^0 b^n，其中C(n,k)表示从n个不同元素中选取k个元素的组合数。
在这个公式中，我们可以看到有两个变量a和b，它们分别表示了一个二项式的两个项。
而n则表示了二项式的次数。
当我们展开一个二项式时，可以得到一系列的项，每个项包括了一个系数和一个幂。
而C(n,k)则表示了这个系数，它代表了从n个元素中选择k个元素的组合数。
接下来，让我们来看一下的一些重要性质和应用。
首先，可以用来求解二项式系数。
在定理中，我们可以得到C(n,k)的表达式，这就使得我们能够通过来计算组合数，进而解决一系列的问题。
例如，在排列组合中，我们常常需要计算从n个不同元素中选取k个元素的组合数，这时候就可以派上用场了。
其次，可以用来展开和化简一个复杂的多项式表达式。
通过，我们可以将一个形如(a + b)^n的多项式展开为一系列的项，从而得到一个更为简单的表达式。
这对于高中数学中的多项式运算和解题是非常有用的。
此外，还可以用于证明一些数学问题和定理。
在数学证明中，我们经常需要使用到数学归纳法，而则是数学归纳法的重要工具之一。
通过合理运用，我们可以有效地进行数学证明，推导出正确的结论。
最后，我们还需要了解一些关于的注意事项。
在使用进行计算时，我们需要格外注意项的次数和系数的变化规律。
同时，对于大数和高次方的计算，我们还需要借助计算器或者数学软件来进行辅助计算，以避免出现错误。
综上所述，是高考数学中一个重要的知识点，它在数学中有着广泛的应用和重要的意义。
高中数学 新高考 复习试卷讲义 第10章 §10.3 二项式定理
§10.3 二项式定理 考试要求 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．知识梳理1．二项式定理二项式定理(a ＋b )n ＝ (n ∈N *) 二项展开式的通项T k ＋1＝ ，它表示展开式的第 项 二项式系数(k ＝0,1，…，n )2.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数 ．(2)增减性与最大值：当n 是偶数时，中间的一项 取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项 与 相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和：(a ＋b )n 的展开式的各二项式系数的和为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝ .常用结论1．C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1. 2．C m n ＋1＝C m －1n ＋C m n . 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)C k n a n －k b k 是(a ＋b )n 的展开式中的第k 项．( ) (2)(a ＋b )n 的展开式中每一项的二项式系数与a ，b 无关．( )(3)通项公式T k ＋1＝C k n a n －k b k 中的a 和b 不能互换．( ) (4)二项式的展开式中的系数最大项与二项式系数最大项是相同的．( )教材改编题1.⎝⎛⎭⎫1x －x 10的展开式中x 2的系数等于( ) A ．45 B ．20 C ．－30 D ．－902．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝243，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n等于( ) A ．31 B ．32 C ．15 D ．163．若⎝⎛⎭⎫x ＋1x n 的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．题型一 通项公式的应用命题点1 形如(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式的特定项例1 (1)二项式⎝⎛⎭⎫1x －x 210的展开式中的常数项是( ) A ．－45 B ．－10 C ．45 D ．65(2)已知⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式中x 5的系数为A ，x 2的系数为B ，若A ＋B ＝11，则a ＝__________. 听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 命题点2 形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式问题例2 (1)(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( )A ．56B ．84C ．112D ．168(2)在(2x ＋a )⎝⎛⎭⎫x ＋2x 6的展开式中，x 2的系数为－120，则该二项展开式中的常数项为( ) A ．3 204 B ．－160 C ．160 D ．－320听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________思维升华 (1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．跟踪训练1 (1)(2022·新高考全国Ⅰ)⎝⎛⎭⎫1－y x (x ＋y )8的展开式中x 2y 6的系数为________(用数字作答)．(2)在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________． 题型二 二项式系数与项的系数问题 命题点1 二项式系数和与系数和例3 (1)在⎝⎛⎭⎫3x －1x n 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则( ) A ．二项式系数和为32B ．各项系数和为128C ．常数项为－135D ．常数项为135(2)若(1＋x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则a 2＋a 6＋a 8＝________；a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋10a 10＝________.听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 命题点2 系数与二项式系数的最值问题例4 (多选)(2023·唐山模拟)下列关于⎝⎛⎭⎫1x －2x 6的展开式的说法中正确的是( )A ．常数项为－160B ．第4项的系数最大C ．第4项的二项式系数最大D ．所有项的系数和为1听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 赋值法的应用一般地，对于多项式(a ＋bx )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，令g (x )＝(a ＋bx )n ，则(a ＋bx )n 的展开式中各项的系数和为g (1)，(a ＋bx )n 的展开式中奇数项的系数和为12[g (1)＋g (－1)]，(a ＋bx )n 的展开式中偶数项的系数和为12[g (1)－g (－1)]． 跟踪训练2 (1)(多选)对于⎝⎛⎭⎫x 2－3x 6的展开式，下列说法正确的是( ) A ．所有项的二项式系数和为64B ．所有项的系数和为64C ．常数项为1 215D ．系数最大的项为第3项(2)设()2＋x 10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)2 －(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9)2的值为________．题型三 二项式定理的综合应用例5 (1)设a ∈Z ，且0≤a ≤13，若512 023＋a 能被13整除，则a 等于( )A ．0B ．1C ．11D ．12(2)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是( )A ．1.23B ．1.24C ．1.33D ．1.34听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.·11－1除以13的余数跟踪训练3(1)设n为奇数，那么11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋C n－1n是()A．－3 B．2 C．10 D．11(2)0.996的计算结果精确到0.001的近似值是()A．0.940 B．0.941C．0.942 D．0.943。
(完整版)高考数学二项式定理专题复习(专题训练)
(a
x )n
Cn0a n x0
Cn1a n 1x
C
2 n
a
n
2 x2
L
C
n n
a
0
x
n
a0 a1x 1 a 2 x 2
( x a)n
Cn0a 0 xn
Cn1ax n 1
C
2 n
a
2
x
n
2
L
C
n n
a
n
x
0
an xn L
a2 x2
令 x 1, 则 a0 a1 a2 a3L an (a 1)n
①
令 x 1,则 a0 a1 a2 a3 L an (a 1)n
②
① ②得 , a0 a2 a4 L
n
n
an (a 1) ( a 1) (奇数项的系数和 )
2
① ②得 , a1 a3 a5L
an ( a 1)n (a 1)n (偶数项的系数和 ) 2
L anx n a1x1 a0
（ 5）二项式系数的最大项 ：如果二项式的指数 n 是偶数时，则中间项为第 （ n 1）项的二项式 2
（ 6）系数的最大、最小项的求法：求 (a bx) n 展开式中最大、最小项，一般采用待定系数
法。设展开式中各项系数分别为 A1 , A2 , , An 1 ，设第 r 1 项系数最大，应有：
Ar 1 Ar 且 Ar 1 Ar 2 ；如果设第 r 1 项系数最小，应有 Ar 1 Ar 且 Ar 1 Ar 2 ，从而解出 r 的范围。
与 (b a)n 的二项展开式是不同的。
（ 3）二项式项数共有 (n 1) 项，是关于 a 与 b 的齐次多项式。
（ 4）二项式系数：展开式中各项的系数为
高考数学二轮复习名师知识点总结：二项式定理
二项式定理【高考考情解读】1．能用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．二项式定理的核心是其展开式的通项公式，复习时要熟练掌握这个公式，注意二项式定理在解决有关组合数问题中的应用．基础梳理1．二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的二项展开式．其中的系数C r n(r＝0,1，…，n)叫二项式系数．式中的C r n a n－r b r叫二项展开式的通项，用T r＋1表示，即通项T r＋1＝C r n a n－r b r.2．二项展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C0n，C1n，一直到C n－1n，C n n.3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即C r n＝C n－rn.(2)增减性与最大值：二项式系数C k n，当k＜n＋12时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n是偶数时，中间一项C n2n取得最大值；当n是奇数时，中间两项C n－12n，Cn＋12n取得最大值．(3)各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C r n＋…＋C n n＝2n；C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.三条性质(1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和；以上性质可通过观察杨辉三角进行归纳总结．双基自测1．(2011·福建)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于()．A．80 B．40 C．20 D．10解析T r＋1＝C r5(2x)r＝2r C r5x r，当r＝2时，T3＝40x2. 答案 BA ．45B ．55C ．70D ．80 解析 (1＋2)5＝1＋52＋10(2)2＋10(2)3＋5(2)4＋(2)5＝41＋29 2由已知条件a ＝41，b ＝29，则a ＋b ＝70. 答案 C3．(人教A 版教材习题改编)若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为( )．A ．9B ．8C ．7D ．6解析 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝16∴a 0＋a 2＋a 4＝8.答案 B4．(2011·重庆)(1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n ＝( )．A ．6B ．7C ．8D ．9解析 T r ＋1＝C r n (3x )r ＝3r C r n x r 由已知条件35C 5n ＝36C 6n 即C 5n ＝3C 6n n ！5！(n －5)！＝3n ！6！(n －6)！整理得n ＝7 答案 B5．(2011·安徽)设(x －1)21＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 21x 21，则a 10＋a 11＝________.解析 T r ＋1＝C r 21x 21－r (－1)r ＝(－1)r C r 21x21－r 由题意知a 10，a 11分别是含x 10和x 11项的系数，所以a 10＝－C 1121，a 11＝C 1021，∴a 10＋a 11＝C 1021－C 1121＝0. 答案 0考向一 二项展开式中的特定项或特定项的系数【例1】►已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．[审题视点] 准确记住二项展开式的通项公式是解此类题的关键．解 通项公式为T r ＋1＝C r n x n －r 3(－3)r x －r 3＝(－3)r C r n x n －2r 3. (1)∵第6项为常数项，∴r ＝5时，有n －2r 3＝0，解得n ＝10.(2)令n －2r 3＝2，得r ＝12(n －6)＝2，∴x 2的项的系数为C 210(－3)2＝405.(3)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 10－2r 3∈Z ，0≤r ≤10，r ∈Z .令10－2r 3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k ，∵r ∈Z ，∴k 应为偶数，∴k ＝2,0，－2，即r ＝2,5,8.∴第3项，第6项，第9项为有理项，它们分别为405x 2，－61 236,295 245x －2.求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项公式即可．【训练1】 (2011·山东)若⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值为________． 解析 二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 26展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 6x 6－r (－a )r x －2r ＝C r 6x 6－3r (－a )r ，当r ＝2时，T r ＋1为常数项，即常数项是C 26a ，根据已知C 26a ＝60，解得a ＝4.答案 4考向二 二项式定理中的赋值【例2】►二项式(2x －3y )9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和．[审题视点] 此类问题要仔细观察，对二项式中的变量正确赋值．解 设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9.(1)二项式系数之和为C 09＋C19＋C 29＋…＋C 99＝29.(2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1(3)由(2)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，令x ＝1，y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59，将两式相加，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，即为所有奇数项系数之和．二项式定理给出的是一个恒等式，对a ，b 赋予一些特定的值，是解决二项式问题的一种重要思想方法．赋值法是从函数的角度来应用二项式定理，即函数f (a ，b )＝(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n an －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n .对a ，b 赋予一定的值，就能得到一个等式．【训练2】 已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.解 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1.①令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.②(1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094.(3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093. (4)∵(1－2x )7展开式中，a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零，∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.考向三 二项式的和与积【例3】►(1＋2x )3(1－x )4展开式中x 项的系数为________．[审题视点] 求多个二项式积的某项系数，要会转化成二项式定理的形式．解析 (1＋2x )3(1－x )4展开式中的x 项的系数为两个因式相乘而得到，即第一个因式的常数项和一次项分别乘以第二个因式的一次项与常数项，它为C 03(2x )0·C 14(－x )1＋C 13(2x )1·C 0414(－x )0，其系数为C03·C 14(－1)＋C 13·2＝－4＋6＝2. 答案 2对于求多个二项式的和或积的展开式中某项的系数问题，要注意排列、组合知识的运用，还要注意有关指数的运算性质．二项式定理研究两项和的展开式，对于三项式问题，一般是通过合并其中的两项或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．【训练3】 (2011·广东)x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 7的展开式中，x 4的系数是________(用数字作答)． 解析 原问题等价于求⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 7的展开式中x 3的系数，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 7的通项T r ＋1＝C r 7x 7－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－2)r C r 7x 7－2r ，令7－2r ＝3得r ＝2，∴x3的系数为(－2)2C 27＝84，即x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 7的展开式中x 4的系数为84. 答案 84。
二项式定理的复习(高三复习)
8 2
练习3：若（1 + x）n = x n +…+ ax3 + bx2 +…+1
（n∈N*）， 且 a ：b=3 ： 1 ，那么 n =_____ （95上海高考）
练习4：求（1 + x + x2）（1－x）10展开式 中含 x 项的系数
(3)各二项式系数的和
(1 )C
0 n
C
n
1 n
C
2 n
C
r n
C
n n
2
n
即： (a b ) 的 展 开 式 的 各 个 二 项 式 系 数 的 和 等 于 2
n
( 2 )C
0 n
C
n
2 n
C
1 n
C
3 n
2
n1
即： (a b ) 的 展 开 式 中 ， 奇 数 项 的 二 项 式 系 数 的 和 等于偶数项的二项式系数的和
知 它 的 后 半 部 分 是 逐 渐 减 小 的 ,且 在 中 间 取 得 最 大 值 .
n
当 n 是 偶 数 时 , 中 间 的 一 项 C n2 取 得 最 大 值 ; 当 n 是 奇
n1 n1
数 时 ,中 间 的 两 项 C n 2 , C n 2 相 等 , 且 同 时 取 得 最 大 值 .
注1）．二项展开式共有n+1项 2）．各项中a的指数从n起依次减小1，到0为此 各项中b的指数从0起依次增加1，到n为此 如(1+x)n =1+ Cn1 x+ Cn2 x2＋ … ＋Cnr xr ＋…+ xn
二项式定理高考总复习
二项式定理1．二项式定理：011()()nnn r n rrn nn n n n ab C aC abC abC b nN ，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b 的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数r nC(0,1,2,,)rn .③项数：共(1)r项，是关于a 与b 的齐次多项式④通项：展开式中的第1r项rnrrn C ab 叫做二项式展开式的通项。
用1r n rrrn T C ab 表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n 项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()na b 与()nb a 是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.rnn n n n n C C C C C 项的系数是a与b 的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：令1,,a bx 0122(1)()nr rn nn n n n n x C C x C x C x C x n N 令1,,ab x 0122(1)(1)()n r rnn nnnnnnx CC xC xC xC x n N 5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C ，・・・1kk n nC C ②二项式系数和：令1ab,则二项式系数的和为0122rnnn n n nnC C C C C ，变形式1221rnnnnnnC C C C 。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令1,1ab ，则0123(1)(11)0n nnn n nnnC C C C C ，从而得到：0242132111222rr nn nnnnnn nC C C C C C C ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：001122201201201122202121001230123()()1,(1)1,(1)nn n n n nnn n n n n n nn n nnnn n n n n nnnn a x C a x C axC axC a x a a xa x a x x a C a x C ax C a x C a x a xa xa xa x a a a a a ax a a a a a a令则①令则024135(1)(1),()2(1)(1),()2nnnnnnaaa a a a aa a a a a ②①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2nn C 取得最大值。
高考数学复习、高中数学 二项式定理附答案解析
第3节 二项式定理基础巩固题组（建议用时：40分钟）一、单项选择题1. 二项式的展开式中，常数项为( ) ()9212x x-A.－671B.671C.－672D. 672 2. 若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( )A.1或3B.－3C.1D.1或－3 3. 若二项式7的展开式的各项系数之和为－1，则含x 2项的系数为( ) (x 2＋a x )A.560B.－560C.280D.－2804. 已知(1＋x )n 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A.29B.210C.211D.2125. 已知C －4C ＋42C －43C ＋…＋(－1)n 4n C ＝729，则C ＋C ＋…＋C 的值等于( ) 0n 1n 2n 3n n 1n 2n n A.64B.32C.63D.31 6. 若(x 2－a )10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( ) (x ＋1x )A. B. 1312C.1D.2 二、多项选择题7. 已知二项式的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的可能值为( ) ()1n x x-A. 7B. 8C. 9D. 108. 若将函数表示为，其中，，，…，10()f x x =21001210()(1)(1)++(1)f x a a x a x a x =+++++L 0a 1a 2a 10a 为实数，则下列说法正确的有（） A. 的值为1 B. 的值为－1200a 3aC. 的值为512D. ，，，…，中最大数的是 02410++a a a a ++L 0a 1a 2a 10a 5a三、填空题9. 若n 展开式的二项式系数之和为64，则n 的值为________，展开式的常数项为________． (x ＋1x)10．已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈N *)是一个单调递增数列，则k 的最大值是________．11. 5展开式中的常数项为________. (x ＋1x ＋1)12．（2011浙江）设二项式的展开式中3x 的系数为A ，常数项为B ，若B =4A ，则a 的值 (6(0)x a > 是 ．能力提升题组（建议用时：20分钟）13.（1）5的展开式中各项系数的和为2，求该展开式中含x 4项的系数； (x －a x )(2x －1x )（2）若的展开式中项的系数为20，求的最小值． ()62b ax x+3x 22a b +14．已知二项式的展开式中的前三项的系数的绝对值依次成等差数列. n（1）求证：展开式中没有常数项.（2）求展开式中所有的有理项.15．试用二项式定理证明：2<<3(n ∈N *，n ≥2).()11n n +16. 设.已知. 2*012(1)4n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N L ，，…23242a a a = （1）求n 的值；（2）设，求的值.(1n a =+*,a b ∈N 223a b -第3节 二项式定理1. C 2. D 3.A 4.A 5.C 6.D7. AB 8.ABC 9. 6; 20.10．611. 515展开式的通项公式为T r ＋1＝C ·5－r .令r ＝5，得常数项为C ＝1，令r ＝3，得常数(x ＋1x ＋1)r 5(x ＋1x )5项为C ·2＝20，令r ＝1，得常数项为C ·C ＝30，所以展开式中的常数项为1＋20＋30＝51. 35152412． 2 由题意得()k k k k k k k x C a x a x C T 2366661--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=， ∴()262C a A -=，()464C a B -=，又∵A B 4=， ∴()464C a -()2624C a -=，解之得42=a ，又∵0>a ，∴2=a ． 13.解（1）令x ＝1，可得5的展开式中各项系数的和为1－a ＝2，得a ＝－1， (x －a x )(2x －1x)则5展开式中含x 4项的系数即是5展开式中的含x 3项与含x 5项系数的和. (x ＋1x )(2x －1x )(2x －1x )又5展开式的通项为T r ＋1＝C (－1)r ·25－r ·x 5－2r ，令5－2r ＝3，得r ＝1，令5－2r ＝5，得r ＝0， (2x －1x )r 5将r ＝1与r ＝0分别代入通项，可得含x 3项与含x 5项的系数分别为－80与32， 故原展开式中含x 4项的系数为－80＋32＝－48.（2），令，得， 266123166()()r r r r r r r r b T C ax C a b x x ---+==1230r -=3r =故，∴，333620C a b =221,22ab a b ab =+=≥当且仅当或时等号成立．所以的最小值为2.1a b ==1a b ==-22a b +14．解依题意知前三项系数的绝对值依次是1，121211C C 22n n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 则21C n ·12=1+221C 2n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即n 2-9n+8=0，所以n=8(n=1舍去)， 所以T r+1=8C r)8-r r⎛ ⎝=81-C 2rr ⎛⎫ ⎪⎝⎭·8-2r x ·-4r x =(-1)r ·8C 2r r ·16-34r x . (1)若T r+1为常数项，则16-34r =0，即3r=16． 因为r ∈Z ，所以这不可能，所以展开式中没有常数项. (2)若T r+1为有理项，则16-34r 为整数. 因为0≤r ≤8，r ∈Z ，所以r=0，4，8， 即展开式中的有理项共有三项，它们分别是T 1=x 4，T 5=358x ，T 9=1256x -2． 15．解因为11nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=1+11C n n +221C n n +…+1C n n n n ，又各项均是正数，且n ∈N *， 所以去掉第二项以后的各项得11n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>1+1=2． 而11n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=1+11C n n +221C n n +…+1C n n n n =1+1+12!·-1n n +13!·2(-1)(-2)n n n +…+1!n ·-1(-1)(-2)21n n n n ⨯⨯ <1+1+12!+13!+…+1!n <1+1+12+212+…+-112n =1+11-211-2n =3--112n <3． 综上，2<11nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭<3(n ∈N *，n ≥2). 16. 解（1）因为， 0122(1)C C C C 4n n n n n n n x x x x n +=++++≥ ，所以，． 2323(1)(1)(2)C ,C 26n n n n n n n a a ---====44(1)(2)(3)C 24n n n n n a ---==因为，所以，解得． 23242a a a =2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯5n =（2）由（1）知，．5n =所以5(1(1n +=02233445555555C C C C C C =++++a =+解法一：因为，所以， *,a b ∈N 024135555555C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=从而．222237634432a b -=-⨯=-解法二：50122334455555555(1C C (C (C (C (C (=+++++． 02233445555555C C C C C C =-+-+-因为，所以．*,a b ∈N 5(1a =-因此．225553((1(1(2)32a b a a -=+-=+⨯=-=-。
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, 则展开式中的常数项等于（
） A.15 B.-15 C.20
4.若 3 x
n
1
展开式中各项系数之和为
x
64, 则展开式的常数项为（
） A.-540
B.-162 C.162 D.540
x
5. 在
2
n
1
的展开式中 , 只有第 5 项的二项式系数最大
3x
, 则展开式的常数项为（
）A.-7 B.7 C.-28 D.28
7
【 ? 例 4 】已知 1 2x
a0
a1x a2 x2
a7 x7 .
, 只需令 x y 1即可 .
⑴求 a1 a2
a7 ;⑵ a1 a3 a5 a7 ;⑶ a0 a 2 a4 a6 ;⑷ | a0 | | a1 | | a2 |
|a7 |.
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【变式训练】
2.对于 2x
12
1
的展开式 , 求⑴求各项系数之和
, 求解方式与求有理项一致 .
n
【 ? 例 1 】已知在
3x
1 23 x
的展开式中 , 第 6 项为常数项 .
⑴求 n ;⑵求含 x 2 的项的系数 ;⑶求展开式中所有的有理项 .
点评 : 解此类问题可以分两步完成 :第一 , 根据所给出的条件（待定项）和通项公式 , 建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中
n
6.在 x 2 的二项展开式中 , 若常数项为 60, 则 n 等于（ ） A.3 B.6 C.9 D12 x
6
7. mx 1 的展开式中 x3 的系数为 15. 则 m 的值为
.
x
8.
若
C
3n 27
1
C
n 27
6
(
n
N*) , 则
n
2
x
的展开式中的常数项是
3x
. （用数字作答）
10. (1 2 x)6 展开式中 , 所有项的系数之和为
课题：二项式定理
一、知识要点
1.二项式定理
一般地 , 对于任意整数 n , 都有 (a b)n
C
0 n
a
n
C n1a n 1b
C
n n
b
n
,
这个公式叫做二项式定理
.
【注意】 ⑴等号右边的多项式叫做 (a b) n 的二项展开式 ;
⑵
C
r n
(r
0,1, 2,
n) 叫做二项式系数 , 它与展开式中对应项的系数不一定相等
二、金典题型
题型一 :通项公式的应用
求二项式展开式中的有理项 , 一般是根据通项公式所得到的项 , 其所有的未知数的指数恰好都是整数的项 , 解这种
类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数
, 根据具体要求 , 令其属于整数 , 再根据整数的整除性求解 .若求二项
展开式中的整式项 , 则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数
接写出 .
【变式训练】
1.
1
2x
n
的展开式中第
6 项与第 7 项的系数相等 , 求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项
.
题型三 :赋值法的应用
对形如 ax
b
n
、
ax2
bx
m
c (a,b,c
R) 的式子求其展开式的 各项系数之和 , 常采用赋值法 , 只需令
x 1即可 ;对 ax by n (a, b R) 的式子求其展开式各项系数之和
1 ;当
r
2
n
1
,
C
r n
1
2
C
r n
,
即当 n 为偶数时
,
二项式系数中
,
n
Cn2 最大 ;当 n 为奇数时 ,
n1
n1
二项式系数中 , Cn 2 和 Cn 2 （两者相等）最大 .
⑷
C
0 n
C
1 n
C
2 n
C
n n
2n ；
⑸
C
0 n
C
2 n
C
1 n
C
3 n
2n 1 , 即二 项式展开式奇数项系数的和等于偶数项系数的和 ,
着广泛的应用 .
; , 是二项式定理的核心 , 它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有
3.二项式系数的性质
一般地 ,
(a
b )n 展开式的二项式系数
C
0 n
,
Cn1
,
C
2 n
C
n n
有以下性质
⑴
C
r n
C
n n
r
;⑵
C
r n
C
r n
1
C
r n
1
;
第 1 页共 5 页
⑶当 r
n1
时,
C
r n
C
r n
2x
;⑵奇数项系数之和
;⑶偶数项系数之和 .
三、基础落实
1. 二项式 x2
5
1 展开式中 , x 的系数为（
x
） A.5
B.10
C.20 D.40
n
2.如果 3x3
2 x2
的展开式中含有非零常数项
, 则正整数 n 可能是（ ）A.6
B.8
C.9
D.10
1
3. 已知
x
D.-20
n
x 的展开式中只有第四项的二项式系数最大
时, 某项的二项式系数与某项的系数才是相等的 .
2. 二项式系数之和为
2n
C
0 n
C
1 n
C
2 n
C
n n
;各项系数之和是每项的所有系数之和
.
3.因为二项式定理中的字母可取任意数或式 , 所以在解题时根据题意给字母赋值是求解的重要方法之一
.
4. 注意 Tr 1
C
r n
a
n
r br
表示的是二项式展开式中的第
n 和 r 的隐含条件（ n , r 均为非负整数 , n r ）） ;第二 , 根据所求的指数 , 再求所求解的项 .
n
1
【 ? 例 2 】若 x
展开式的二项式系数之和为
x
64, 则展开式的常数项为（
） A.10 B.20 C.30 D.120
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题型二 :系数最大值问题
在求展开式中系数最大项时
,
二项式系数
C
r n
一定为正
,
而项的系数与
a ,b 的系数有关 , 正负不能确定 .
⑶公式右边共有 n 1项, 比二项式的次数 n 大 1. ⑷各项的次数都等于二项式的幂指数 n ;字母 a 按降幂排列 , 次数由 n 递减到 0, 字母 b 按升幂排列 , 次数由 0 递增到 n . ⑸二项式定理表示一个恒等式 , 对于任意的 a ,b , 该等式都成立 .通过对 a,b 取不同的特殊值 , 可给某些问题的解决带来方便 .
; (1 x3)(1 2 x)6 展开式中 x5 的系数为
.
9
a
9. 已知
x
的展开式中
,
x3 的系数为
4
,
则常数 a 的值为
.
x2
9
四、课堂小结与作业
第 4 页共 5 页
1. “各项的二项式系数”是指
C
i n
(i
0,1,2,
, n) , 而“某项的系数”是指这一项的所有的系数
;只有当字母的系数为 1
r 1项 , 而非第 r 项 , 此式为二次展开式的通项 .
【作业】见复印件
第 5 页共 5 页
, 可设第 r
1项的系数为 tr 1 最大 , 则利用
tr 1 tr 1
tr
, 解不等式组即可得出 .
tr 2
n
【 ? 例 3 】已知 3 x 2 3x2 展开式各项系数和比它的二项式系数和大
992.
⑴求展开式中二项式系数最大项 ; ⑵求展开式中系数最大项 .
点评 : 应注意区分项的系数和二项式系数两个概念 . 在求项的系数和时 , 常采用赋值法 , 求项的系数时 , 用 Tr 1 来求 , 而二项式系数能直
.
【注意】 ⑴它表示二项式展开的第
r
1 项, 该项的二项式系数是
C
r n
,
而不是
C
r n
1
;
⑵字母 b 的次数和组合数的上标相同 ; ⑶ a 与 b 的次数之和为 n ;
⑷ n 是常量 , r 0,1,2, , n 是变量 ;
⑸公式中第一个量 a 与第二个量 b 的位置不能颠倒 ;
⑹整理通项时 , 一般要将通项中的系数和字母分开整理 ⑺它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律
令a
1, b
x , 则得到一个比较常用的公式 : (1
x) n
1
C
1 n
x
C
2 n
x
2
C
n n
xn
；
若令 a
1, b
1 , 则得到一个组合数恒等式 : 2 n
C
0 n
Cn1
C
2 n
C
n n
；
2.二项展开式的通项
二项展开式的第 r 1 项 Tr 1
r n
a
n
rb r
(r
0,1,2,
n) 叫做二项展开式的通项