第五章 数值微积分
第数值微积分
第五章数值微积分一、内容分析与教学建议本意内容是数值微积分。
数值微分包括：用插值多项式求数值微分、用三次样条函数求数值微分和用Richardson外推法求数值微分。
数值积分包括：常见的Newton-Cotes求积公式，如：梯形公式、Simpson公式和Cotes公式；复化求积公式；Romberg求积公式和Gauss型求积公式等内容。
(一)数值微分1、利用Taylor展开式建立数值微分公式，实际上是利用导数的离散化，即用差商近似代替导数，在由Taylor公式的余项估计误差；由于当步长h很小时，回出现两个非常接近的数相减，因此，在实际运用中往往采用事后估计的方法来估计误差。
2、用插值多项式求数值微分，主要是求插值节点处的导数的近似值。
借助第二章的Lagrange插值公式及其余项公式，确定插值节点处的导数的近似值及其误差。
常用的有三点公式和五点公式。
3、阐明用三次样条函数s(x)求数值微分的优点：由第三章的三次样条函数s(x)的性质知：只要f(x)的4阶导数连续，则当步长h 0时，s(x)收敛到f (x) , s(x)收敛到f (x) , s (x) 收敛到f (x).因此，用三次样条函数s(x)求数值微分，效果是很好的。
指出其缺点是：需要解方程组，当h很小时，计算量较大。
4、讲解用Richardson外推法求数值微分时，首先阐明方法的理论基础是导数的离散化，即用差商近似代替导数；然后重点讲解外推法的思想和推导过程，因为这种方法和思路在后面的数值积分和微分方程数值解中还要用到。
（二）数值积分的一般概念1、由定积分的几何意义引入数值积分的思想，介绍求积公式、求积节点、求积系数、余项等基本概念。
2、重点介绍代数精度以及如何求一个判定积公式的代数精度，并举例说明。
3、介绍插值型求积公式以及插值型求积公式的代数精度的特点。
（三）等距节点的求积公式1、简单介绍一般的等距节点的插值型求积公式--- Newton-Cotes公式以及Cotes系数。
微积分的数值计算
通过数值方法（如梯形法、辛普森法等）可以近似计算定积分的值。
不定积分的数值计算实例
计算不定积分
例如，计算不定积分$int x^3 dx$，即求函 数$f(x) = x^3$的不定积分。
不定积分的近似计算
通过数值方法（如牛顿-莱布尼兹法等）可 以近似计算不定积分的值。
05
数值计算的优缺点与未来发展
不定积分
不定积分是求函数原函数的操作，可以用来解决求导和求原函数的问题。
微积分的应用场景
物理
微积分在物理中有广泛的应用，如计算速度、 加速度、功、功率等。
工程
在土木工程、机械工程、航空航天等领域， 微积分被用来解决各种实际问题。
经济
在经济学中，微积分被用来分析边际成本、 边际收益等问题。
计算机科学
促进科学研究
数值计算可以用于模拟实验和预测未来趋势，为科学研究提供重要 的数据支持和理论依据。
02
微积分基础知识
导数与微分
导数
导数描述了函数在某一点的切线斜率， 是函数局部变化率的一种度量。
微分
微分是函数在某一点附近的小增量， 可以用来近似计算函数值。
定积分与不定积分
定积分
定积分是计算某一区间内函数值的和，可以用来解决面积、体积等问题。
数值计算的优点
高效性
数值计算能够快速地解决大规模的数学问题，尤其在处理复杂函数和方程时。
可扩展性
随着计算机技术的进步，数值计算的精度和计算能力也在不断提升。
应用广泛
数值计算在科学、工程、经济等领域都有广泛的应用，能够解决实际问题。
灵活性
数值计算方法可以根据具体问题进行调整和优化。
数值计算的局限性
高等数学第五章定积分总结
高等数学第五章定积分总结定积分作为微积分的重要概念，是无穷积分的一种形式，并在多个领域中有着广泛的应用。
本章主要介绍了定积分的定义和性质，以及定积分的计算方法和应用。
首先，本章介绍了定积分的概念和定义。
定积分是一个数值，表示在给定的区间上，函数曲线与x轴之间的面积。
定积分可以分为两个部分：积分号和被积函数。
积分号表示积分的区间，被积函数表示要求积分的函数。
定积分的计算可以通过数值方法或解析方法进行，具体方法和结论有不少。
其次，本章介绍了定积分的性质。
定积分具有线性性、区间可加性和保号性等性质。
线性性质表示定积分可以进行加减运算，并且可以乘以一个常数。
区间可加性是指定积分的区间可以分为多个子区间，进行分段积分。
保号性表示如果被积函数在一些区间上恒大于等于0，那么该区间上的定积分也大于等于0。
这些性质为定积分的计算和应用提供了更多的方便性。
然后，本章介绍了定积分的计算方法。
定积分的计算可以通过不定积分和定积分的关系来进行。
通过求解原函数，并利用牛顿-莱布尼茨公式，可以简化计算过程。
本章还介绍了定积分的几何意义，即定积分表示函数曲线与x轴围成的面积，也可以表示其中一种物理量在一定时间或一定空间内的累积变化量。
最后，本章介绍了定积分的应用。
定积分在几何学、物理学、经济学等多个领域中有着广泛的应用。
例如，通过定积分可以计算曲线的弧长、曲线围成的面积、质心的坐标等几何问题；通过定积分可以计算物体的质量、重心、转动惯量等物理问题；通过定积分可以计算收益、成本、利润等经济问题。
这些应用都是建立在定积分的几何意义和计算方法的基础之上，对于深入理解和运用定积分具有重要意义。
总之，定积分是微积分中的重要概念，不仅具有丰富的理论性质，还有着广泛的应用价值。
通过学习定积分的定义、性质、计算方法和应用，可以帮助学生更好地理解和掌握微积分的知识，为解决实际问题提供更有效的数学工具。
第五章 数值积分与微分1
b−a T( f ) = [ f ( a ) + f ( b )] 2
b−a a+b S( f ) = f (a ) + 4 f ( 2 ) + f (b) 6
b−a C( f ) = [ 7 f (a ) + 32 f (a + h) + 12 f (a + 2h) 90
+32 f (a + 3h) + 7 f (b )]
( f ( x)dx ≈ (b − a)∑Ckn) f (a + kh) = In ( f ) k=0
n
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
a k =0
n
求积公式的代数精度（/*Algebraic Precision */） 求积公式的代数精度（/* 代数精度
Def 1如果求积公式 I n ( f ) = ∑ Ak f ( xk )
k =0
n
次的多项式都恒成立 对一切不高于m次的多项式都恒成立， 对一切不高于 次的多项式都恒成立，而对于某个 m+1次多项式不能精确成立，则称该求积公式具有 次多项式不能精确成立 次多项式不能精确成立， m次代数精度。 次代数精度。 次代数精度
分别利用梯形公式、 梯形公式 公式、 例1：分别利用梯形公式、 Simpson公式、 Cotes公式 公式 公式
1 解： a = 0, b = 1, f ( x ) = 1+ x 1− 0 1 T( f ) = [ f (0) + f (1)] = [1 + 0.5] = 0.75 2 2 1− 0 1 S( f ) = f (0) + 4 f ( 2 ) + f (1) ≈ 0.69444444 6 1 1 1 3 C( f ) = 7 f (0) + 32 f ( ) +12 f ( ) + 32 f ( ) + 7 f (1) 90 4 2 4
05数值微分与数值积分48页PPT
dpA=diff(pA); ％ 求压力的差分
q=dpA./dt ％ q为数值微分结果
执行结果：
q=
Columns 1 through 8
-8.4000 -7.6000 -7.4000 -6.0000 -5.4000 -4.6000 4.2000 -3.6000
Step 1:对离散数据用csapi函数（或spline函数）得到其三次样条插值函数
调用形式 pp = csapi(x,y)
其中： x,y分别为离散数据对的自变量和因变量；
pp为得到的三次样条插值函数。
Step 2: 用fnder函数求三次样条插值函数的导数
表5-1 反应动力学实验数据
01.04.2020
3
0.1 建立数值微分公式的三种思路
常用三种思路建立数值微分公式：
1. 从微分定义出发，通过近似处理，得到数值微 分的近似公式
2. 从插值近似公式出发，对插值公式的近似求导 可得到数值微分的近似公式
3. 先用最小二乘拟合方法根据已知数据得近似函 数，再对此近似函数求微分可得到数值微分的 近似公式。然后对各方法数值微分后得到的多 项式求值，即可求出任意点处的任意阶微分
pA
pA
01.04.2020
7
解：程序如下：
t=[0:5:90];
pA=[632.0 590.0 552.0 515.0 485.0 458.0 435.0 414.0 396.0 378.0 362.0 348.0 336.0 325.0 314.0 304.0 294.0 284.0 274.0];
01.04.2020
6
例5.1：丁二烯的气相二聚反应如下：
ch05 第二节 数值积分的余项
f
]
b
a n
n3
f (n2) ()
(n 2)!
n t 2 (t 1)L
0
(t n)dt,
(2) 若 n 为奇数， f (x) Cn+1[a, b] ，则存在 (a, b) 使得
b a
f
( x)dx
Q[
f
]
ba n
n2
f (n1) ()
(n 1)!
n
t(t 1)L
0
(t n)dt,
ab 2
)2
(
x
b)
dx
1 2880
(b
a)5
f
(4)(
)
Newton-Cotes余项的一般形式
n
定理 设 Q[ f ] (b a) Ci(n) f ( xi ) ，则有
i0
(1) 若 n 为偶数， f (x) Cn+2[a, b] ，则存在 (a, b) 使得
b a
f
( x)dx
Q[
b
b
a f (h(x))g(x)dx f ()a g(x)dx
§5.2数值积分的余项
左矩形公式余项(证明: 用Taylor展开公式)
RGa ( f )
b
(b a)2
f ( x)dx (b a) f (a)
a
2
f ()
证明：将被积函数f(x)在a处泰勒展开,
f ( x) f (a) f '( ( x))( x a),(x在) x、a之间
b
b
f ( x) dx H ( x) dx
1
a
a
(2n 2)!
b a
f
(2n2) ( x )
第五章 数值微积分
第五章 数值微积分一、内容分析与教学建议本章内容是数值微积分。
数值微分包括：用插值多项式求数值微分、用三次样条函数求数值微分和用Richardson 外推法求数值微分。
数值积分包括：常见的Newton-Cotes 求积公式，如：梯形公式、Simpson 公式和Cotes 公式；复化求积公式；Romberg 求积公式和Gauss 型求积公式等内容。
（一） 数值微分1、利用Taylor 展开式建立数值微分公式，实际上是利用导数的离散化，即用差商近似代替导数，在由Taylor 公式的余项估计误差；由于当步长h 很小时，回出现两个非常接近的数相减，因此，在实际运用中往往采用事后估计的方法来估计误差。
2、用插值多项式求数值微分，主要是求插值节点处的导数的近似值。
借助第二章的Lagrange 插值公式及其余项公式，确定插值节点处的导数的近似值及其误差。
常用的有三点公式和五点公式。
3、阐明用三次样条函数()s x 求数值微分的优点：由第三章的三次样条函数()s x 的性质知：只要()f x 的4阶导数连续，则当步长0h →时，()s x 收敛到()f x ，()s x '收敛到()f x '，()s x ''收敛到()f x ''. 因此，用三次样条函数()s x 求数值微分，效果是很好的。
指出其缺点是：需要解方程组，当h 很小时，计算量较大。
4、讲解用Richardson 外推法求数值微分时，首先阐明方法的理论基础是导数的离散化，即用差商近似代替导数；然后重点讲解外推法的思想和推导过程，因为这种方法和思路在后面的数值积分和微分方程数值解中还要用到。
（二） 数值积分的一般概念1、由定积分的几何意义引入数值积分的思想，介绍求积公式、求积节点、求积系数、余项等基本概念。
2、重点介绍代数精度以及如何求一个判定积公式的代数精度，并举例说明。
3、介绍插值型求积公式以及插值型求积公式的代数精度的特点。
第5章 数值微积分与常微分方程求解
数值微分
diff函数：用f(x)在点x处得某种差商做为其导数。 在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的 函数，
只有计算向前差分的函数diff，调用格式
• •
DX=diff(X)：计算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i) DX=diff(X)：计算向量X的n阶向前差分，例如， diff(X,2)=diff(diff(X)) DX=diff(A,n,dim)：计算矩阵A的n阶差分，dim=1时（默认
[I, err]=quadgk[@fname,a,b]
其中，err返回近似误差范围，其他参数的含义与
用法与quad函数相同，积分上下限可以是-Inf或
Inf，也可以是复数（在复平面上求积分）
梯形积分法：对由表格形式定义的函数关系的求
定积分问题用梯形积分函数trapz，调用格式为 trapz(Y)：若Y是向量，则从1开始取单位步长， 以Y为函数值计算积分值；若Y是一矩阵，则计算 Y的每一列的积分
2阶Rosebrock算法，低精度 梯形算法，低初值问题，试求其数值解，并与精确
p 解相比较，精确解为( x) = ( x + ) / cos x y 2 p ¢= ytgx + sec x, 0 ＃x 1, y y = x =0 2
(1)
建立函数文件
(2)
求解微分方程
例：用trapz函数计算定积分
2 .5
1
1 dx 2 1 x
多重积分的数值求解：二重积分和三重积分函
数的调用格式为
dblquad (fun,a,b,c,d,tol)
triplequad (fun,a,b,c,d,e,f,tol)
第五章数值积分方法优秀课件
将其用于积分的近似计算，取ξ=b, 得
---积分右矩形公式
复合右矩形公式 如在区间[a,b]内插入节点xj=a+jh(j=0,1,···,n), h=(b-a)/n 得到复合右矩形求积公式：
利用拉格朗日中值定理 f(x)f(a)f'(x)x (a)(x[a,b])
T(f)baf(a)f(b)
2
Tn
n1
Ik
k 0
n1 k 0
h 2
f
(xk
)
f (xk1)
Tn(f)h 2f(a)2k n 1差减小→控制
复合梯形公式(节点加密)
x 1/2
x 3/2
x k 1/2
x n1/2
…
…
x0
x1
x2 xk
2
5.1 插值型求积公式
梯形公式误差
广义积分中值定理 若f在[a, b]上连续，g在[a, b]上可积，且g(x)在[a, b]
上不变号，存在x, x∈[a, b]，使
bf(x)g(x)dxf(x)
b
g(x)dx
利用这一定理
a
a
梯形与曲边梯形面积的对比：
正负决定
5.1 插值型求积公式 三点二次拉格朗日插值积分--辛卜生公式 y=f(x) L2(x)
xk+1 xn-1
xn
Tnkn10Ikkn10h2f(xk)f(xk1) Tn
n1 k 0
Ik
n1 k 0
h 2
f
(xk )
f
(xk1)
Tn(f)h 2f(a)2kn 1 1f(xk)f(b)
I k k f(x) L1(x)axbbf(xa)L b1x(x)aafx(b)bbf(a)h 4 bxaaf(b) h 4 f x fk x k fx k 1 2 /2 f x h 4 k 1 f/2 x k 1 /2 f f x k x 1 k 1
NA-5-1-数值积分与数值微分
0
x0
x1
图2
b
a
ba ab f ( x)dx ( f (a) 4 f ( ) f (b)) 6 2
x2
x
三、牛顿—柯特斯系数
n 1 2 3 4 5 6 7 8 c0 c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8
例
n=3 为3/8 辛卜生公式
x0 =a, x1=a+h, x2=a+2h, x3=b , h= (b-a)/3
一、 牛顿—柯特斯求积公式的导出
将积分区间[a,b] n等分，节点xi为 xi=a+ih, i=0,1,2,…,n 其中h=(ba)/n。有
其中
b
a
f ( x )dx Ai f ( xi )
i 0
b
n
(4)
Ai li ( x )dx
a
引进变换 x=a+th , 0≤t≤n
Ai
1
1
f ( x )dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
成立，确定 A0、 A1 、 A2，使上述数值求积公式的代数 精度尽可能高，并求代数精度。 解：分别取(x)=1，x，x2，则有 A0 +A1 + A2=2 -A0 + A2=0
A0 + A2=2/3 解得 A0 =1/3，A1 =4/3， A2=1/3； 1 1 则 f ( x )dx ( f ( 1) 4 f (0) f (1)) 1 3 取 (x)=x3，左=右=0；
x n构造的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度至少为
n+1。
证：只要证明当 n 为偶数时，公式对f (x)＝xn+1精确成立。
[数学]NA-5-1-数值积分与数值微分
![[数学]NA-5-1-数值积分与数值微分](https://img.taocdn.com/s3/m/bdf1c82ef78a6529647d5335.png)
n
b
a
f ( n1) ( )n1 ( x )dx 0
由于Newton-Cotes公式是其特殊情形(等距节点), 它的代数精度至少是n,还可以证明当n 为偶数时 Newton-Cotes公式的代数精度至少是n+1. 定理2：当n为偶数时，由n+1个等距节点x0 、x1 、…
Ci(n) 称为柯特斯系数。 于是牛顿—柯特斯求积公式为
i 0,1,
,n
b
a
f ( x )dx Ai f ( xi ) (b a ) C i( n ) f ( xi ) (6)
i 0 i 0
n
n
（1）梯形公式(n=1) x0 =a, x1=b, h= b- a,
(1) 0
例 ： 用梯形公式与辛卜生公式
求
I
e
1
3
x 2
dx
的近似值。
解： I=0.7668010
梯形公式
2 I e dx (e 2 1
3
x 2
1 2
e ) 0.829660819
2 2 3 2
3 2
辛卜生公式
2 I e dx (e 6 1
3
x 2
数值求积公式的一般形式
b
a
f ( x )dx Ai f ( xi )
i 0
n
Ai (i=0,1,…,n)称为求积系数， xi (i=0,1,…,n)称为求积节点。
第一节 等距节点的牛顿—柯特斯求积公式
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
20112011-3-18
20112011-3-18
【例5-4】
20112011-3-18
多项式相关函数： 多项式相关函数： polyval(P,x)：按多项式的系数计算x点多项式的值 polyder(P): 求多项式P的导函数
20112011-3-18
5.2
数值微分
数值方法的基本思想： 对于已知的原型函数，可通过diff( )函数 对于已知的原型函数，可通过diff( )函数 求取各阶导数解析解，如果函数表达式未 知，只有实验数据，在实际应用中经常也 有求导的要求，这样的问题就不能用前面 的方法获得问题的解析解。 要求解这样的问题，需要引入数值算法得 出所需问题的解 在MATLAB中没有现成的数值微分函数。 MATLAB中没有现成的数值微分函数。
第 五 章 数值微积分 的MATLAB求解
20112011-3-18
主要内容
插值与数据拟合 数值微积分
20112011-3-18
5.1 插值与数据拟合
20112011-3-18
在实际问题中常遇到这样的函数
，其在
某个区间[a b]上是存在的。但是， 某个区间[a，b]上是存在的。但是，通过观察或 [a， 上是存在的 测量只能得到在[a b]区间上有限个离散点 测量只能得到在[a，b]区间上有限个离散点 [a， 上的函数值 ，而不知道 该函数的解析式。或者函数的表达式是已知的， 该函数的解析式。或者函数的表达式是已知的， 但却很复杂不便于计算，希望用一个简单的函数 但却很复杂不便于计算， 来描述它。 来描述它。 由这些已知样本点的信息获得该函数在其他点上 函数值的方法称为函数的插值
20112011-3-18
20112011-3-18
20112011-3-18
5.1.2数据拟合
曲线拟合的目的就是用一个较简单的函数去逼近 一个复杂的或未知的函数，所依据的条件都是在 一个复杂的或未知的函数， 一个区间(或一个区域) 一个区间(或一个区域)上的有限个采样点的函数 值。 曲线拟合放弃在插值点两者完全相等的要求，而 曲线拟合放弃在插值点两者完全相等的要求， 要求从整体上两者之间的误差尽量小些。 要求从整体上两者之间的误差尽量小些。
20112011-3-18
数值积分
对于积分： 如果知道f 如果知道f（x）的原函数F（x），则 ）的原函数F
但是在工程技术和科学研究中经常会见到以下现象： （1） （2） （3） 的解析解根本不存在，只给出了的一些数值 的原函数F 的原函数F求不出来。 的表达式结构复杂，求原函数较困难
20112011-3-18
20112011-3-18
假设在实验中测得一组数 据 且
，
为严格单调递增的数值，直接求取这些点对应曲 为严格单调递增的数值，
线的数值积分的最直观的方法就是用梯形方法。 线的数值积分的最直观的方法就是用梯形方法。
sum((2*y(1:end-1),:)+diff(y)).*diff(x))/2 s=trapz(x,y)
20112011-3-18
数值差分与差商
函数f(x)在 点的导数的定义： 函数f(x)在x点的导数的定义：
引入前向差分算子： 引入前向差分算子：
当步长h充分小时： 当步长 充分小时： 充分小时
20112011-3-18
数值微分的实现
方法一： f(x)在点 处的某种差商作为其导数。 在点x 方法一：用f(x)在点x处的某种差商作为其导数。 方法二：用多项式或样条函数g(x)对f(x)进行 方法二：用多项式或样条函数g(x)对f(x)进行 逼近（插值或拟合），然后用逼近函数在x点处 逼近（插值或拟合），然后用逼近函数在 ），然后用逼近函数在x 的导数作为f(x)在点 处的导数。 的导数作为f(x)在点x处的导数。 在点x
20112011-3-18
5.1.1 数据的插值问题 一、一维插值问题的求解
20112011-3-18
【例5-1】已知的数据点来自函数 已知的数据点来自函数
根据生成的数据进行插值处理， 根据生成的数据进行插值处理，得出较平滑的曲线 直接生成数据。 直接生成数据。
20112011-3-18
20112011-3-18
20112011-3-18
【例5-5】作图并观察：对函数 作图并观察：
分别取 h=0.5,h=0.05,h=0.01,h=0.005,画出 h=0.5,h=0.05,h=0.01,h=0.005,画出 和 形。
20112011-3-18
的图
方法二
【例5-6】用不同的方法求函数 数 的数值导
，并在同一个坐标系中做出的图像。 并在同一个坐标系中做出的图像。
20112011-3-18
【例7-6】试用梯形法求出 内，函数sin(x),cos(x),sin(x/2)的定积 函数sin(x),cos(x),sin(x/2)的定积 分的值。 分的值。
20112011-3-18
例5.2.给出概率积分：
的数据表如下表所示，用不同的插值方法计算f(0.472)
x f(x)
0.46
0.47
0.48
0.49
0.48465555 0.4937542 0.5027498 0.5116683
20112011-3-18
二、二维网格数据的插值问题
20112011-3-18
【例5-3】
以上这些现象Newton-Leibniz公式不再适用 以上这些现象Newton-Leibniz公式不再适用，只能建 公式不再适用， 立积分的近似计算。 立积分的近似计算。 求解定积分的数值方法：梯形法、simpson法 求解定积分的数值方法：梯形法、simpson法， romberg法 romberg法，它们的基本思想都是将整个积分问题分解 为求和形式，最简单的求每一子空间的积分方法是采用梯 为求和形式， 形近似的方法。 形近似的方法。
20112011-3-18
方法一
在MATLAB中没有直接提供求数值导数的函数， MATLAB中没有直接提供求数值导数的函数， 只有计算前向差分的函数： DX=diff(X) ：计算向量X的前向差分 ：计算向量X DX(i)=X(i+1)DX(i)=X(i+1)-X(i) DX=diff(X,n) ：计算向量X的n阶前向差分 ：计算向量X diff(X,2)=diff(diff(X))