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人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质习题(含答案) (30)

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人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质作业复习题(含答案) (90)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质作业复习题(含答案) (90)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质作业复习题（含答案)如图1，直线AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点G和点H 分别是直线AB和CD上的动点，作直线GH，EI平分∥AEF，HI平分∥CHG，EI与HI交于点I.（1）如图，点G在点E的左侧，点H在点F的右侧，若∠AEF=70°，∠CHG=60°，求∠ETH的度数.（2）如图，点G在点E的右侧，点H也在点F的右侧，若∠AEF=α，∠CHG=β，其他条件不变，求∠ETH的度数.（3）如图，点G在点E的右侧，点H也在点F的右侧，∠GHC的平分线HJ交∠KEG的平分线EJ于点J.其他条件不变，若∠AEF=α，∠CHG=β，求∠EJH的度数.【答案】（1）65°；（2）1122αβ+；（3）1118022αβ︒--. 【解析】【分析】（1）过点I 作IM ∥AB ，由角平分线的性质得到∠AEI=35°，∠CHI=30°，根据平行线的性质，由IM ∥AB 得到∠MIE=∠AEI=35°，由AB ∥CD ，IM ∥AB可得∠MIH=∠CHI=30°，再由∠EIH=∠MIE+∠MIH 计算即可得到答案；（2）过点I 作IM ∥AB ，由角平分线的性质得到∠AEI=1α2，∠CHI=1β2，根据平行线的性质由IM ∥AB 可得∠MIE=∠AEI=1α2，由AB ∥CD ，IM ∥AB 得到IM ∥CD ，结合题意得到∠EIH=∠MIE+∠MIH 计算即可得到答案；（3）过点J 作MN ∥AB ，由角平分线的性质得到∠JEG=1α2，∠JHF=1β2，根据平行线的性质由MN ∥AB 得到∠MJE=∠JEG =1α2，由AB ∥CD ，MN ∥AB 得到MN ∥CD ，结合题意得到∠EJH=180°-∠MJE-∠NJH ，计算即可得到答案.【详解】（1）解：过点I 作IM ∥AB∵EI 平分∠AEF ，HI 平分∠CHG ，∠AEF=70°，∠CHG=60°，∴∠AEI=35°，∠CHI=30°∵IM ∥AB∴∠MIE=∠AEI=35°∵AB∥CD，IM∥AB∴IM∥CD∴∠MIH=∠CHI=30°∴∠EIH=∠MIE+∠MIH=35°+30°=65°（2）解：过点I作IM∥AB∵EI平分∠AEF，HI平分∠CHG，∠AEF=α，∠CHG=β，∴∠AEI=1α2，∠CHI=1β2∵IM∥AB∴∠MIE=∠AEI=1α2∵AB∥CD，IM∥AB ∴IM∥CD∴∠MIH=∠CHI=1β2∴∠EIH=∠MIE+∠MIH=1α2+1β2（3）解：过点J作MN∥AB∵∠AEF=α∴∠KEB=α∵EJ 平分∠KEB ，HJ 平分∠CHG ，∠KEB =α，∠CHG=β，∴∠JEG=1α2，∠JHF=1β2 ∵MN ∥AB∴∠MJE=∠JEG =1α2∵AB ∥CD ，MN ∥AB∴MN ∥CD∴∠NJH=∠CHJ=1β2∴∠EJH=180°-∠MJE-∠NJH=180°-1α2-1β2. 【点睛】本题考查平行线的性质和角平分线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质和角平分线的性质的综合使用.92．材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品—圆规.我们不妨把这样图形叫做“规形图”.解决问题：（1）观察“规形图”，试探究BDC ∠与A ∠，B ，C ∠之间的数量关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：Ⅰ.如图②，把一块三角尺DEF 放置在ABC △上，使三角尺的两条直角边DE ，DF 恰好经过点B ，C ，若40A ∠=︒，则ABD ACD +=∠∠_____︒.Ⅱ.如图③，BD 平分ABP ∠，CD 平分ACP ∠，若40A ∠=︒，130BPC ∠=︒，求BDC ∠的度数.【答案】（1）详见解析；（2）50︒；BDC ∠=85︒【解析】【分析】（1）连接AD 并延长至点F ，根据三角形外角性质即可得到BDC ∠与A ∠，B ，C ∠之间的数量关系；（2）Ⅰ、由（1）可得，BDC ABD ACD A ∠=∠+∠+∠，再根据40A ∠=︒，90D ∠=︒，即可得出ABD ACD ∠+∠的度数；Ⅱ、根据（1），可得BPC BAC ABP ACP ∠=∠+∠+∠，BDC BAC ABD ACD ∠=∠+∠+∠，再根据BD 平分ABP ∠，CD 平分ACP ∠，即可得出BDC ∠的度数.【详解】解：（1）如图①，连接AD 并延长至点F ，根据外角的性质，可得BDF BAD B ∠=∠+∠，CDF C CAD ∠=∠+∠，又BDC BDF CDF ∠=∠+∠，BAC BAD CAD ∠=∠+∠，BDC A B C ∴∠=∠+∠+∠；（2）Ⅰ.由（1），可得BDC ABD ACD A ∠=∠+∠+∠；又40A ∠=︒，90D ∠=︒，904050ABD ACD ∴∠+∠=︒-︒=︒，故答案为：50︒；Ⅱ.由（1），可得BPC BAC ABP ACP ∠=∠+∠+∠，BDC BAC ABD ACD ∠=∠+∠+∠，1304090ABP ACP BPC BAC ∴∠+∠=∠-∠=︒-︒=︒，又BD 平分ABP ∠，CD 平分ACP ∠，()1452ABD ACD ABP ACP ∴∠+∠=∠+∠=︒， 454085BDC ∴∠=︒+︒=︒.【点睛】本题考查三角形内角和定理、三角形外角性质及角平分线的定义的运用，熟知三角形的内角和等于180°、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键.93．已知：如图，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，F 、G 分别是OA 、OB 上的点，且PF ＝PG ，DF ＝EG ．（1）求证：OC 是∠AOB 的平分线．（2）若PF ∥OB ，且PF ＝4，∠AOB ＝30°，求PE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）PE ＝2．【解析】【分析】（1）利用“HL ”证明Rt △PFD 和Rt △PGE 全等，根据全等三角形对应边相等可得PD ＝PE ，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可；（2）在Rt △PFD 中，求出PD 即可解决问题.【详解】（1）证明：在Rt △PFD 和Rt △PGE 中，PF PG DF EG =⎧⎨=⎩， ∴Rt △PFD ≌Rt △PGE （HL ），∴PD ＝PE ，∵P 是OC 上一点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴OC 是∠AOB 的平分线；（2）∵PF ∥OB ，∠AOB ＝30°，∴∠PFD ＝∠AOB ＝30°，在Rt △PDF 中，PD ＝12PF ＝2，∴PE ＝PD ＝2．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，熟记性质并求出全等三角形是解题的关键．94．如图，D ，E ，F ，G ，H ，I 是三角形ABC 三边上的点，连结EI ，//EF BC ，//GH AC ，//DI AB ．（1）判断GHC ∠与FEC ∠是否相等，并说明理由．（2）若EI 平分FEC ∠，56C ∠=︒，50B ∠=︒，求EID ∠的度数．【答案】（1）相等，理由见解析；（2）12∠=︒EID【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到∠FEC ＋∠C ＝180°，∠GHC ＋∠C ＝180°，根据余角的性质即可得到结论；（2）根据平行线的性质得到∠FEC ＋∠C ＝180°，求得∠FEC ＝180°−∠C＝124°，根据角平分线的定义得到∠FEI ＝12∠FEC ＝62°，由平行线的性质得到∠DIC ＝∠B ＝50°，即可得到结论．【详解】（1）GHC FEC ∠=∠，理由：//EF BC ，180FEC C ∴∠+∠=︒，//GH AC ，180GHC C ∴∠+∠=︒，GHC FEC ∴∠=∠；（2）//EF BC ，56C ∠=︒180FEC C ∴∠+∠=︒，180124∴∠=︒-∠=︒FEC C EI 平分FEC ∠，1622∴∠=∠=︒FEI FEC 62∴∠=∠=︒FEI EIC//DI AB ，50B ∠=︒50∴∠=∠=︒DIC B12∴∠=∠-∠=︒EID EIC DIC【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，同旁内角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．95．如图，在△ABC 中，∠BAC=20°，∠ABC=30°.（1）画出BC边上的高AD和角平分线AE；（2）求∠EAD的度数.【答案】（1）见解析；（2）50°【解析】【分析】从三角形的一个顶点向它的对边作一条垂线，画出的这条线段就是三角形的高，注意钝角三角形较短边上的高在三角形的外部，再结合尺规作角平分线的方法即可解答第（1）问；（2）根据已知条件，在△ABD中运用三角形内角和定理可得到∠BAD的度数，然后由角平分线的定义可得∠BAE=10°，再结合∠EAD=∠BAD-∠BAE即可得到答案.【详解】（1）如图所示，AD为BC边上的高，AE为角平分线.（2）∵AD⊥BD，∴∠ADB=90°.∵在△ABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，∴∠BAD=180°-90°-30°=60°.∵∠BAC=20°，AE为∠BAC的平分线，∴∠BAE=10°.∵∠BAD=60°，∠BAE=10°，∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=60°-10°=50°.【点睛】此题考查三角形的角平分线、中线和高，解题关键在于掌握作图法则.96．（1）如图1，AC平分∠DAB，∠1=∠2，试说明AB与CD的位置关系，并予以证明：（2）如图2，在（1）的结论下，AB的下方点P满足∠ABP=30︒，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，PQ∥GN，GM平分∠DGP，下列结论：①∠DGP-∠MGN的值不变；②∠MGN的度数不变．可以证明，只有一个是正确的，请你做出正确的选择并求值．【答案】（1）见详解；（2）②正确，∠MGN的度数为15°，理由见详解．【解析】【分析】（1）由AC平分∠DAB，∠1=∠2，可得∠2=∠BAC,进而即可得到结论；（2）由角平分线的定义和三角形外角的性质，可得∠MGP=12（∠BPG+∠B），由PQ∥GN，得∠NGP=∠GPQ=12∠BPG，进而由∠MGN=∠MGP-∠NGP，即可得到结论．【详解】（1）AB∥CD，理由如下：∵AC平分∠DAB，∴∠1=∠BAC，∵∠1=∠2，∴∠2=∠BAC,∴AB∥CD；（2）②∠MGN的度数不变是正确的，理由如下：∵PQ平分∠BPG，GM平分∠DGP，∴∠GPQ=12∠BPG，∠MGP=12∠DGP，∵AB∥CD，∴∠1=∠DGP，∵∠1=∠BPG+∠B，∴∠MGP=12∠1=12（∠BPG+∠B），∵PQ∥GN，∴∠NGP=∠GPQ=12∠BPG，∴∠MGN=∠MGP-∠NGP=12（∠BPG+∠B）-12∠BPG=12∠B=12×30°=15°，∴∠MGN的度数不变，度数为15°．【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理与平行线的性质和判定定理，理清角的和差倍分关系，是解题的关键．97．已知：在△ABC中,∠ABC=60°,CD平分∠ACB交AB于点D,点E在线段CD上(点E不与点C．D重合)，且∠EAC=2∠EBC．(1)如图1,若∠EBC=27°,且EB=EC,则∠DEB=___°,∠AEC=___°.(2)如图2，①求证：AE+AC=BC；②若∠ECB=30°，且AC=BE，求∠EBC的度数。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质习题(含答案) (12)

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人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=70°，则∠BOE 的度数等于（）A．145°B．135°C．35°D．120°【答案】A【解析】因为OA平分∠EOC,∠EOC=70°,所以∠EOA=70°÷2=35°,所以∠BOE=180°－35°=145°,故选A.12．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论正确的有( )①AD平分∠BAE；②AF平分∠EAC；③AE平分∠DAF；④AF平分∠BAC；⑤AE平分∠BAC．A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】C【解析】试题解析：AD不一定平分∠BAF，①错误；AF不一定平分∠DAC，②错误；∵∵1=∵2，∵AE平分∠DAF，③正确；∵∵1=∵2，∵3=∵4，∵∵1+∵3=∵2+∵4，即∠BAE=∵CAE，∵AE平分∠BAC，④正确；故选C．13．如图，△ABC中，∠C=90°、AD是角平分线，E为AC边上的点，DE=DB，下列结论：①∠DEA＋∠B=180°；②∠CDE=∠CAB；③AC=1(AB2S四边形ABDE，其中正确的结论个数为( )＋AE)；④S△ADC=12A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】A【解析】在AB上截取AF＝AE，交AB于点F，如图所示：∵AD是∠CAB的角平分线，∴∠EAD＝∠FAD,在△AED和△AFD中，()AE AF EAD FAD AD AD =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝公共边， ∴△AED ≌△AFD （SAS ），∴∠DEA ＝∠DFA ，DF ＝DE ，又∵DE =DB ，∴DF ＝DB ，∴∠DFB ＝∠B ，又∵∠DFA+∠DFB ＝180o ，∠DEA ＝∠DFA ，∴∠DEA ＋∠B =180°(等量代换),又∵∠CED+∠AED ＝180o ,∴∠CED=∠B,又∵∠C+∠CED+∠CDE ＝180o ，∠C+∠CAB+∠B ＝180o ，∴∠CDE ＝∠CAB ，过点D 作DG ⊥AB 于点G ，如图所示：∵DG ＝DB （已证），∴DG 是BF 的垂直平分线，∴FG ＝BG ，∵AD 是是∠CAB 的角平分线，∠C =90°，DG ⊥AB ，∴DC ＝DG ，在△ADC 和△AGD 中90oC AGD CAD GAD AD AD ⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADC ≌△AGD （AAS ），∴AC ＝AG ，又∵AC ＝AE+CE ，AG ＝AF+FG ，∴AE+CE ＝AF+FG ，又∵AE ＝AF ，∴CE ＝FG ，又∵FG ＝BG ，∴CE ＝BG ，∴AC ＝AE+BG ，又∵AB+AE ＝AG+BG+AE ，AG ＝AC ，∴AB+AE ＝AC+AC ＝2AC ，即AC =12(AB ＋AE )， ∵S 四边形ABDE ＝S △ABD +S △AED ＝11··22AB DG AE DC +， ∴S 四边形ABDE 11·()2?22DG AB AE DC AC DC AC =+=⨯⨯=， 又∵S △ADC ＝1•2AC DC ， ∴S △ADC =12S 四边形ABDE . 故①②③④都正确，共计4个正确.故选A.【点睛】主要运用了角平分线到角两边的距离相等，类似题型：有角平分线和角平分线上的点到一边的垂线段，做辅助线的常用方法是过这个点作另一边的垂线段，解决本题关键是作辅助线.14．如图,∠MON为锐角.下列说法:①∠MOP=12∠MON;②∠MOP=∠NOP=12∠MON;③∠MOP=∠NOP;④∠MON=∠MOP+∠NOP.其中,能说明射线OP 一定为∠MON的平分线的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】从一个角的顶点引出的把这个角分成两个相等的角的射线,叫做这个角的角平分线,当OP在∠MON外部时不成立,故①错误,∠MOP=∠NOP=12∠MON,则OP在∠MON内部,且平分角,故②正确,当∠MOP,∠NOP为钝角(OP是角平分线的反向延长线)时不成立,故③错误,OP可以是∠MON内的任意射线,无法证明∠MOP=∠NOP,故④错误,综上,只有②正确,故选A.15．如图，AD是△ABC的角平分线，过点D向AB，AC两边作垂线，垂足分别为E，F，那么下列结论中不一定正确的是( )A ．BD ＝CDB ．DE ＝DFC ．AE ＝AFD ．∠ADE ＝∠ADF 【答案】A【解析】【分析】 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF ，然后利用“HL ”证明Rt △ADE 和Rt △ADF 全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF ，∠ADE=∠ADF ．【详解】解：如图，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE=DF ，在Rt △ADE 和Rt △ADF 中，AD AD DE DF ⎧⎨⎩＝，＝∴Rt △ADE ≌Rt △ADF （HL ），∴AE=AF ，∠ADE=∠ADF ，即只有AB=AC 时，BD=CD ．综上所述，结论错误的是BD=CD ．故选A ．【点睛】本题考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．16．观察下列命题的逆命题：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；③直角三角形的两个锐角互余；④全等三角形的面积相等．其中逆命题为假命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】①有两边相等的三角形是等腰三角形的逆命题为：等腰三角形是两边相等的三角形，此命题是真命题；②到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上的逆命题为：角平分线上的点到角的两边的距离相等，此命题为真命题；③直角三角形的两个锐角互余的逆命题为有两个角互余的三角形为直角三角形，此命题为真命题；④全等三角形的面积相等的逆命题为面积相等的三角形全等，此命题为假命题。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质习题(含答案) (18)

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人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE=90°，OF平分∠AOE．（1）写出∠AOC与∠BOD的大小关系并说明理由；（2）若∠COF=34°26′，求∠BOD．【答案】解：（1）∠AOC=∠BOD，理由见解析；（2）∠BOD=21°08′．【解析】试题分析：（1）根据对顶角的性质即可判断，∠AOC=∠BOD；（2）根据直角的定义可得∠COE=90°，然后求出∠EOF，再根据角平分线的定义求出∠AOF，然后根据∠AOC=∠AOF-∠COF求出∠AOC，再根据对顶角相等解答．试题解析：（1）∠AOC=∠BOD，理由如下：因为∠AOC与∠BOD是对顶角，根据对顶角相等，所以∠AOC=∠BOD；（2）∵∠COE是直角，∴∠COE=90°，∴∠EOF=∠COE−∠COF=90°−34°26′=55°34′，∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=∠COE=55°34′，∴∠AOC=∠AOF−∠COF=55°34′−34°26′=21°08′，∴∠BOD=∠AOC=21°08′．72．已知：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过D作DE∥BC交AB于点E．已知∠A=45°，∠C=105°，求∠EDB的度数．【答案】15°【解析】试题分析：先由三角形的内角和求出∠ABC的度数，再由BD是∠ABC的平分线求出∠DBC的度数，最后由DE∥BC求出∠EDB的度数.试题解析：在ΔABC中，∠A=45°，∠C=105°，∴∠ABC=30°∵BD平分∠ABC∴∠DBC=15°∵DE∥BC∴∠BDE=∠DBC=15°73．如图，在△ABC 中，∠B=32°，∠C =48°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，DF⊥AE于点F，求∠ADF的度数.【答案】∠ADF=82°.【解析】试题分析：由在△ABC中，∠B=32°，∠C=48°，根据三角形内角和定理，可求得∠BAC的度数，由AE平分∠BAC，根据角平分线的定义，可求得∠CAE 的度数，由AD⊥BC，根据直角三角形的性质，可求得∠CAD的度数，继而求得∠DAE的度数，则可求得∠ADF的度数．试题解析：在△ABC中，∠B=32°，∠C=48°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=100°，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=12∠BAC=50°，∵AD⊥BC，∴∠CAD=90°−∠C=42°，∴∠DAE=∠CAE−∠CAD=8°，∵DF⊥AE，∴∠ADF=90°−∠DAE=82°.74．已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°．（1）作∠B的平分线BD，交AC于点D；（2）作AB的中点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；（3）连接DE，求证：△ADE≌△BDE．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）①以B为圆心，任意长为半径画弧，交AB、BC于F、N，FN长为半径画弧，两弧交于点M，过B、M画射线，再以F、N为圆心，大于12交AC于D，线段BD就是∠B的平分线；（2）分别以A、B为圆心，大于1AB长为半径画弧，两弧交于X、Y，过2X、Y画直线与AB交于点E，点E就是AB的中点；（3）首先根据角平分线的性质可得∠ABD的度数，进而得到∠ABD=∠A，根据等角对等边可得AD=BD，再加上条件AE=BE，ED=ED，即可利用SSS证明△ADE≌△BDE．试题解析：（1）作出∠B的平分线BD；（2）作出AB的中点E.（3）证明：∵∠ABD=12×60°=30°,∠A=30°，∴∠ABD=∠A，∴AD=BD，在△ADE和△BDE中，AE BE ED ED AD BD=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ADE≌△BDE(SSS).75．读句画图并填空：（1）画平角AOB，画射线OC，再分别画∠AOC、∠BOC的角平分线OD、OE；（2）图中，∠∠COE= ∠COB，∠COD= ∠AOC，∠∠DOE=∠COE+∠COD= ∠AOB= ×180°＝．【答案】（1）见解析图；（2）12，12，12，12，90°【解析】试题分析：根据基本作图进行作图即可．试题解析：解：（1）如下图所示：（2）∵COE ∠= 12COB ∠，12AOC ∠（角平分线的定义）∵DOE COE COD ∠=∠+∠ 12AOB =∠=1180902⨯︒=（等量代换）． 76．已知下列条件，求角的度数。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质作业复习题(含答案) (87)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质作业复习题(含答案) (87)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质作业复习题（含答案)如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BE=CF．求证：BD=CD．【答案】见解析【解析】【分析】根据角平分线的性质得到DE=DF，通过SAS证明△DEB≌△DFC，即可得到结论．【详解】∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°．在△DEB和△DFC中，∵DE DFDEB DFCBE FC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEB≌△DFC，∴BD=DC．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．62．如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，求证：∠EAB=∠EAD．【答案】证明见详解【解析】【分析】由题意利用角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”进行分析证明.【详解】解：证明：如图，过点E作EF⊥AD于F，∵∠C=90°，DE平分∠ADC，∴CE=EF，∵E是BC的中点，∴BE=CE，∴BE=EF，又∵∠B=90°，∴点E在∠BAD的平分线上，∴∠EAB=∠EAD．【点睛】本题考查角平分线性质，熟练掌握角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”是解题的关键.63．如图，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，△ABC 的面积为36cm 2，AB=18cm ，BC=12cm ，求DE 的长．【答案】125cm 【解析】【分析】由题意作DF ⊥BC 于F ，根据角平分线性质可得DE=DF ，进而利用ABC BCD ABD S S S =+进行分析计算即可求得DE 的长．【详解】解：作DF ⊥BC 于F ，∵BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB ，∴DE=DF ，∵△ABC 的面积为36cm 2， ∴113622ABC BCD ABD S S S BC DF AB DE =+=+=cm 2， ∵AB=18cm ，BC=12cm ，∴69691536DF DE DE DE DE +=+==，∴5361125DE ==cm. 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．64．如图，已知在ABC ∆中，90C ∠=︒，CA CB =，AD 平分CAB ∠交BC 于D ，DE AB ⊥.（1）说明ADC ADE ∆∆≌的理由；（2）若8AB =，求DEB ∆的周长.【答案】（1）详见解析；（2）8.【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质及HL 即可判定Rt Rt ACD AED ∆∆≌；（2）根据全等三角形的性质及周长的定义即可求解.【详解】（1）90C ∠=︒DC AC ∴⊥ AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥CD ED ∴=在Rt ACD ∆和Rt AED ∆中CD ED AD AD =⎧⎨=⎩Rt Rt ACD AED ∴∆∆≌（2）∵Rt Rt ACD AED ∆∆≌，CA CB =，CD ED =∴8DEB C DB DE EB BC BE AC BE AE BE AB ∆=++=+=+=+==【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知角平分线的性质定理.65．如图，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，且CE 交BA 的延长线于点E ，∠B=40°，∠E=30°，求∠BAC 的度数.【答案】∠BAC=100°.【解析】【分析】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用，根据三角形外角性质求出∠ECD ，根据角平分线定义求出∠ACD ，根据三角形外角性质求出即可.【详解】解：∵∠B=40°，∠E=30°，∴∠ECD=∠B+∠E=70°，∵CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，∴∠ACD=2∠ECD=140°，∴∠BAC=∠ACD﹣∠B=140°﹣40°=100°.【点睛】本题的关键是掌握三角形外角性质，并能灵活运用定理进行推理66．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠ABC＝70°，∠C＝30°，求∠DAE和∠AOB．【答案】20°，105°.【解析】【分析】先根据三角形内角和定理计算出∠BAC=180°-∠ABC-∠C=80°，再根据角平分线的性质得到∠CAE=12∠BAC=40°，利用三角形外角性质得∠AED=∠CAE+∠C=70°，进一步求得∠DAE；利用三角形外角的性质得出∠AOB=∠AED+∠CBF进行计算．【详解】∵∠ABC＝70°，∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝80°，∵AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∴∠CAE＝12∠BAC＝40°，∠CBF＝12∠ABC＝35°，∴∠AED＝∠CAE+∠C＝40°+30°＝70°，∵AD ⊥BC ，∴∠DAE ＝90°﹣∠AED ＝20°；∵∠AOB ＝∠AED +∠CBF ，∴∠AOB ＝70°+35°＝105°．【点睛】此题考查三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线的定义，解题关键在于掌握三角形内角和为180°．67．如图，DAB BCD ∠=∠，12180∠+∠=︒，BC 平分ACH ∠.（1）找出图中所有的平行直线，直接写出结论.（2）判断：AD 是GAC ∠的角平分线吗？并说明理由.（3）图中与B 相等的角共有______个.（不包括B ）【答案】（1）AB ∥DC ，AD ∥BC ；（2）是，理由见解析；（3）5【解析】【分析】（1）根据平行线的判定解答即可；（2）利用平行线的性质和角平分线的定义解答即可；（3）根据平行线的性质和等量代换解答即可．【详解】（1）∵∠1+∠2=180°，∠2+∠ACD=180°，∴∠1=∠ACD，∴AB∥DC，∴∠DAB+∠ADC=180°，∵∠DAB=∠BCD，∠BCD+∠BCH=180°，∴∠ADC=∠BCH，∴AD∥BC；（2）∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∵AB∥DC，∴∠GAC=∠ACH，∵BC平分∠ACH．∴∠ACB=∠BCH，∴∠GAD=∠DAC，即AD平分∠GAC；（3）∵AB∥DC，∴∠B=∠BCH, ∠DAF=∠ACB.∵AD∥BC，∴∠B=∠GAD, ∠D=∠BCH.∵∠GAD=∠DAC，∴∠B=∠BCH=∠D=∠GAD=∠ACB=∠DAC，∴图中与B相等的角共有5个.【点睛】此题考查平行线的判定和性质，用到的知识点：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．68．如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE （1）判断OF与OD的位置关系，并进行证明．（2）若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．【答案】（1）OF⊥OD，证明详见解析；（2）∠EOF＝60°．【解析】【分析】（1）由OD平分∠BOE、OF平分∠AOE，可得出∠FOE＝12∠AOE、∠EOD＝12∠EOB，根据邻补角互补可得出∠AOE+∠EOB＝180°，进而可得出∠FOD ＝∠FOE+∠EOD＝90°，由此即可证出OF⊥OD；（2）由∠AOC：∠AOD＝1：5结合邻补角互补、对顶角相等，可求出∠BOD 的度数，根据OD平分∠BOE、OF平分∠AOE，可得出∠BOE的度数以及∠EOF＝12∠AOE，再根据邻补角互补结合∠EOF＝12∠AOE，可求出∠EOF的度数．【详解】（1）OF⊥OD．证明：∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE，∴∠FOE＝12∠AOE，∠EOD＝12∠EOB．∵∠AOE+∠EOB＝180°，∴∠FOD＝∠FOE+∠EOD＝12（∠AOE+∠EOB）＝90°．∴OF⊥OD．（2）∵∠AOC：∠AOD＝1：5，∠AOC＝∠BOD，∴∠BOD：∠AOD＝1：5．∵∠AOD+∠BOD＝180°，∴∠BOD＝30°，∠AOD＝150°．∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE，∴∠BOE＝2∠BOD＝60°，∠EOF＝12∠AOE．∵∠AOE+∠BOE＝180°，∴∠AOE＝120°，∴∠EOF＝60°．【点睛】此题考查对顶角，邻补角，角平分线的定义，解题的关键是：（1）根据邻补角互补结合角平分线的定义找出∠FOD=90°；（2）通过比例关系结合邻补角互补求出∠BOD的度数．69．已知DB∥EH，F是两条射线内一点，连接DF、EF．（1）如图1：求证：∠F＝∠D+∠E；（2）如图2：连接DE，∠BDE、∠HED的角平分交于点F时，求∠F的度数；（3）在（2）条件下，点A是射线DB上任意一点，连接AF，并延长交EH于点G，求证：AF＝FG．【答案】（1）见解析；（2）90 ；（3）见解析.【解析】【分析】（1）过点F作FM∥BD，则FM∥HE，又根据FM∥BD，即可有∠1＝∠D，∠2＝∠E，则可证明∠F＝∠D+∠E；（2）根据角平分线得出∠3＝∠5，∠4＝∠6，DB∥HE得出∠3+∠5+∠4+∠6＝1800，即可证明∠F＝900；（3）过F 点作BD的垂线，垂足为K，延长KF交EH于点I；过F点作FJ垂线于点J，根据DA∥EH得出∠AKF＝∠GIF＝900，由角平分线得出KF＝FJ，FI＝FJ，所以KF＝FI，则可证明△AKF≌△GIF，所以AF＝FG.【详解】（1）过点F作FM∥BD，则FM∥HE，∵FM∥BD，FM∥HE∴∠1＝∠D，∠2＝∠E∵∠F＝∠1+∠2∴∠F＝∠D+∠E（2）∵DF是角平分线∴∠3＝∠5又∵EF是角平分线∴∠4＝∠6又∵DB∥HE∴∠3+∠5+∠4+∠6＝1800∴∠5+∠6＝900∴∠F＝900（3）过F 点作BD 的垂线，垂足为K ，延长KF 交EH 于点I ；过F 点作FJ 垂线于点J∵DA ∥EH∴∠AKF ＝∠GIF ＝900∵DF 是角平分线∴KF ＝FJEF 是角平分线∴FI ＝FJ∴KF ＝FI在△AKF 和△GIF 中90 KFA IFG AKF GIF KF FI∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝＝ ∴△AKF ≌△GIF （AAS ）∴AF ＝FG【点睛】本题考查了平行线、角平分线、三角形全等等知识点，综合性较强，熟练掌握各个知识点，并学会综合运用是解题的关键.70．如图，OA BC ⊥，ODC ABO ∠=∠.(1)请判断CD 和AB 位置关系，并说明理由；(2)ADC ∠的平分线DE 与OAB ∠的平分线交于F ，求F ∠的度数.(3)在(2)的条件下，M 是线段AD 上任意一点(不同于A 、D )，作MN OA ⊥交AF 于N ，作ADE ∠与ANM ∠的平分线交于P 点，求P ∠的度数.【答案】（1）CD ⊥AB ，理由见解析；（2）45F ∠=︒；（3）22.5P ∠=︒.【解析】【分析】（1）利用等量代换得出∠ABO +∠OCD =90°，说明CD ⊥AB 即可；（2）利用角平分线的性质，邻补角的意义以及三角形的内角和定理在△AFD 中解决问题即可；（3）利用角平分线的性质，三角形的内角和，四边形的内角和解决问题即可．【详解】CD ⊥AB .如图，延长CD 交AB 于点P ，∵OA BC ⊥∴∠ODC +∠OCD =90°，∵ODC ABO ∠=∠∴∠ABO +∠OCD =90°，∴∠CPB =180°−(∠ABO +∠OCD )=90°∴CD ⊥AB .（2）∵DE 平分∠ADC ，AF 平分∠OAB ，11()22ADE ADC COD OCD ∴∠=∠=∠+∠ 12FAD BAO ∠=∠， OA BC ⊥，90,90,90COD OAB ABO OCD ODC ，11180()13522FDA COD OCD OCD ∴∠=︒-∠+∠=︒-∠ ∵ODC ABO ∠=∠∴OCD OAB ∠=∠，∴在△ADF 中，180()F FDA DAF ∠=︒-∠+∠1118013522OCD OAB ⎛⎫=︒-︒-∠+∠ ⎪⎝⎭180135=-︒︒45=︒（3）∵MN OA ⊥∴90NMD ∠=︒，()360225ADF MNF F NDF ∴∠+∠=︒-∠+∠=︒∵ADE ∠与ANM ∠的平分线交于P 点 ∴11,22PDA EDA PNM ANM ()11()18018067.522PDA PNM EDA ANM ADF MNF ∴∠+∠=∠+∠=-∠+-∠=︒︒︒ 360P F ADF MNF PDA PNM ︒∴∠=-∠-∠-∠-∠-∠360()()22.5F ADF MNF PDA PNM ︒=-∠-∠+∠-∠+∠=︒.【点睛】本题考查三角形内角和定理，垂线，三角形的外角性质，四边形的内角和定理，角平分线的性质.（1）中能正确画出辅助线是解题关键；（2）中能考虑到利用△AFD 的内角和，并正确表示出FDA ∠和FAD ∠是解题关键；（3）中能表示出四边形DNFP 的其它三个角是解题关键.。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质习题(含答案) (64)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质习题(含答案) (64)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)如图，OC平分∠AOB,点D，E分别在OA,OB上，点P在OC上且有PD=PE．求证：∠PDO =∠PEB．【答案】证明见解析；【解析】试题分析：过点P作AO、BO的垂线，利用直角三角形全等的判定可证出结论.试题解析：过P做PM垂直OA于M PN垂直OB于N因为OC平分∠AOB所以PM="PN" (角平分线上的点到2边的距离相等)因为PD=PE所以∠PDM全等于∠PEN（HL）所以∠PDO=∠PEB考点：1.角平分线的性质；2.直角三角形全等的判定与性质.32．已知：如图，CD∠AB于D，BE∠AC于E，∠1＝∠2．求证：OB＝OC．【答案】证明见解析【解析】试题分析：又CD∠AB，BE∠AC，∠1＝∠2，可得OE=OD，∠BDO=∠CEO=90°，再由∠BOD=∠COE，可得∠BOD∠∠COE，从而OB＝OC．试题解析：∠CD∠AB，BE∠AC，∠1＝∠2，∠OE=OD，∠BDO=∠CEO=90°，又∠∠BOD=∠COE，∠∠BOD∠∠COE，∠OB＝OC．考点：1．角平分线的性质；2．三角形全等的判定与性质．33．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB=16，BC=12．（1）△ABD与△CBD的面积之比为；（2）若△ABC的面积为70，求DE的长．【答案】4:3；5.【解析】AB求出BC两个三角形的面积之比等于底的比求出△ABD与△CBD的面积之比；根据（1）求出的△ABD与△CBD的面积之比，得到△ABD的面积，根据三角形的面积公式求出DE．试题解析：(1)、∵BD是△ABC的角平分线，ABBC =43，∴△ABD与△CBD的面积之比为4：3；(2)、∵△ABC的面积为70，△ABD与△CBD的面积之比为4：3，∴△ABD的面积为40，又AB=16，则DE=5．考点：角平分线的性质34．根据图中尺规作图的痕迹，先判断得出结论：．然后证明你的结论（不要求写出已知、求证）．【答案】OM平分∠BOA．【解析】试题分析：根据角作图的画法得出三角形全等，从而说明角平分线.试题解析：OM是∠AOB的角平分线连接CM、DM∠OC=OD，CM=DM，OM=OM，∠∠OCM∠∠OCD，∠∠BOM=∠AOM，∠OM是∠AOB的角平分线．考点：(1)、尺规作图；(2)、三角形全等35．（8分）已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠BAD；（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．【答案】（1）见解析（2）DM⊥AM，（3）CD+AB=AD【解析】试题分析：（1）首先要作辅助线，ME⊥AD则利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知ME=MC，再利用中点的条件可知ME=MB，再利用到角两边距离相等的点在角的平分线上的逆定理证明AM平分∠DAB．（2）根据平行线性质得出∠CDA+∠BAD=180°，求出∠1+∠3=90°，根据三角形内角和定理求出即可．（3）证Rt△DCM≌Rt△DEM，推出CD=DE，同理得出AE=AB，即可得出答案．试题解析：（1）证明：作ME⊥AD于E，∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，∴ME=MC，∵M为BC中点，∴MB=MC，又∵ME=MC，∴ME=MB，又∵ME⊥AD，MB⊥AB，∴AM平分∠DAB．（2）解：DM⊥AM，理由是：∵DM平分∠CDA，AM平分∠DAB，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵DC∥AB，∴∠CDA+∠BAD=180°，∴∠1+∠3=90°，∴∠DMA=180°﹣（∠1+∠3）=90°，即DM⊥AM．（3）解：CD+AB=AD，理由是：∵ME⊥AD，MC⊥CD，∴∠C=∠DEM=90°，在Rt△DCM和Rt△DEM中DM DM EM CM=⎧⎨=⎩ ∴Rt △DCM ≌Rt △DEM （HL ），∴CD=DE ，同理AE=AB ，∵AE+DE=AD ，∴CD+AB=AD ．考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质36．如图，在∠ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=AD（1）作∠A 的平分线交CD 于E ；（2）过B 作CD 的垂线，垂足为F ；（3）请写出图中两对全等三角形（不添加任何字母），并选择其中一对加以证明．【答案】（1）作图见试题解析；（2）作图见试题解析；（3）∠ACE ∠∠ADE ，∠ACE ∠∠CFB ．【解析】试题分析：（1）利用角平分线的作法得出∠A的平分线；（2）利用钝角三角形高线的作法得出BF；（3）利用等腰三角形的性质及全等三角形的判定得出答案．试题解析：（1）如图所示：AE即为所求；（2）如图所示：BF即为所求；（3）如图所示：∠ACE∠∠ADE，∠ACE∠∠CFB，∠AC=AD，AE平分∠CAD，∠AE∠CD，EC=DE，在∠ACE和∠ADE中，∠AE=AE，∠AEC=∠AED，EC=ED，∠∠ACE∠∠ADE（SAS）．考点：1．作图—复杂作图；2．全等三角形的判定．37．（8分）如图，在∠ABC中，∠B=90°，AB=BC=4，点E在BC上，将∠ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点F处．（1）求BE的长；（2）判断∠CEF是什么特殊三角形．【答案】BE=4√2－4【解析】试题分析：（1）先由勾股定理求出AC的长，由折叠可得∠CEF为直角三角形，BE="EF," 设BE=，根据勾股定理可得；（2）由（1）可得EF=FC=，所以直角三角形CEF是等腰直角三角形.试题解析：在∠ABC中，∠B=90°，AB=BC=4，∠AC=42分将∠ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点F处.所以BE=EF,∠∠CEF为直角三角形EC2=EF2+FC2 4分设BE=，（4-）2=2+（4-4）24分∠6分EF=FC=7分∠∠CEF是等腰直角三角形8分考点：1.勾股定理；2. 图形折叠的性质；3.等腰直角三角形的判定.38．如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，⊥E=⊥3．请问：AD平分⊥BAC吗？若平分，请说明理由．【答案】平分，理由见解析．【解析】【分析】先利用平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，得到AD∥EG，再利用平行线的性质和已知条件求出∥1=∥2即可．【详解】解：平分．证明：∥AD∥BC于D，EG∥BC于G，（已知）∥∥ADC=∥EGC=90°，（垂直的定义）∥AD∥EG，（同位角相等，两直线平行）∥∥2=∥3，（两直线平行，内错角相等）∥E=∥1，（两直线平行，同位角相等）又∥∥E=∥3（已知）∥∥1=∥2（等量代换）∥AD平分∥BAC（角平分线的定义）．【点睛】本题考查平行线的判定与性质；角平分线的定义．39．画图说明题，试用几何方法说明你所得结果的正确性．（1）作∠AOB=90°；（2）在∠AOB的内部任意画一条射线OP；（3）画∠AOP的平分线OM以及∠BOP的平分线ON；（4）用量角器量得∠MON= 度．【答案】45，理由见解析【解析】【分析】首先根据题意画出图形，再根据角平分线的性质可得∠POM=1∠POB，2∠PON=12∠POA，然后可得∠POM+∠PON=12（∠POB+∠POA），进而可得答案．【详解】如图所示：∥OM是∥AOP的平分线，ON是∥BOP的平分线，∥∥POM=12∥POA，∥PON=12∥POB，∥∥POB+∥POA=∥AOB=90°，∥∥POM+∥PON=12（∥POB+∥POA）=12∥AOB=12×90°=45°．【点睛】考查了基本作图，以及角平分线的作法，关键是掌握角平分线的画法．40．（本题满分10分）如图，把∠EFP按图所示的方式放置在菱形ABCD 中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上.已知EP=FP=，EF=，∠BAD=60°，且AB.（1）求∠EPF的大小；（2）若AP=6，求AE+AF的值；（3）若∠EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值.【答案】（1）∠EPF=120°；（2）AE+AF=；（3）AP的最大值为8，AP 的最小值为4.【解析】试题分析：（1）过点P作PG∠EF,垂足为G,在RtFPG中，利用锐角三角函数求得∠FPG=60°，即可得∠EPF的度数.（2）作PM∠AB,PN∠ND,垂足分别为M、N，可证RtPME∠RtPNF，可得FN=EM；在RtPMA中,利用锐角三角函数求得AM的长，同样的方法求得AN的长，根据AE+AF=（AM-EM）+（AN+NF）=AM+AN即可求得AE+AF的值.（3）当PE∠AB,PF∠AD时，AP的值最大为8，当点A与点E（或点F）重合时，PA的值最小为4.试题解析：解：（1）过点P作PG∠EF,垂足为G,∠PE=PF,PG∠EF,∠FG=EG=,∠FPG=∠EPG=∠EPF.在RtFPG中，,∠∠FPG=60°∠∠EPF=2∠FPG=120°.作PM∠AB,PN∠ND,垂足分别为M、N，在菱形ABCD中，∠AD=AB,,DC=BC,AC=AC,∠∠ABC∠∠ADC,∠∠DAC=∠BAC∠点P到AB、CD两边的距离相等，即PM=PN.在RtPME和RtPNF中,∠PM=PN,PE=PF,∠RtPME∠RtPNF∠FN=EM在RtPMA中,∠PMA=90°，∠PAM=∠DAB=30°，∠AM=同理，AN=∠AE+AF=（AM-EM）+（AN+NF）=AM+AN=.（3）AP的最大值为8，AP的最小值为4.考点：菱形的性质；角平分线的性质；全等三角形的判定及性质.。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质作业复习题(含答案) (91)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质作业复习题(含答案) (91)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质作业复习题（含答案)一、单选题1．如图，DF 是BDC ∠的平分线，//AB CD ，若118ABD ∠=，则1∠的度数为（ ）A ．29B ．31C ．35D ．40【答案】B【解析】【分析】 根据平行线的性质得出∠BDC ，进而利用角平分线的定义得出∠ADC ，利用平行线的性质解答即可．【详解】∵,118A AB C BD D ∠=∥∴62BDC ∠=∵DF 是∠BDC 的平分线，∴31ADC ∠=∵//AB CD∴131∠=故选B.【点睛】此题考查平行线和角平分线的性质，解题关键在于掌握运算法则.2．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，点P到边OB的距离为4，则PD =（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【解析】【分析】过点P作PE⊥OB于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE=PD，从而得解．【详解】解：如图，过点P作PE⊥OB于点E，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于D，∴PE=PD，∵PE=4，∴PD=4，故选：C．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，比较简单，熟记性质是解题的关键．3．如图,在ABC中,∠C=90° ,∠A的平分线交BC于D,BC=12cm,CD:BD=1:2，则点D到斜边AB的距离为（）．A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【答案】B【解析】【分析】过D作DE⊥AB于E，根据角平分线性质可得CD＝DE，求出CD即可．【详解】解：过D作DE⊥AB于E，则DE的长是点D到斜边AB的距离，∵BC＝12cm，CD：BD＝1：2，∴CD＝13BC＝4cm，∵∠BAC的平分线是AD，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝CD＝4cm，故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的点到这个角的两边的距离相等是解此题的关键．4．如图所示，在△ABC中，∠1=∠2，点G为AD的中点，连接BG并延长，交AC于点E，F为AB上一点，且CF⊥AD于点H，下列判断中：①AD 是△ABE的角平分线；②BE是△ABD边AD上的中线；③CH是△ACD边AD 上的高．正确的个数有( )A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【解析】【分析】对于①，根据角平分线的定义和已知可以判断AG是△ABE的角平分线，据此判断①是否正确；对于②，根据已知可以判断BG是△ABD边AD上的中线，据此可对②进行判断；对于③，根据CF⊥AD于H，结合三角形的高的定义即可判断③.∵∠1=∠2，∴AG 是△ABE 的角平分线，∴AD 不是△ABE 的角平分线.故①错误.∵G 为△ABD 边AD 的中点，∴BG 是△ABD 边AD 上的中线，∴BE 不是△ABD 边AD 上的中线.故②错误.∵CF ⊥AD 于H ，∴CH 为△ACD 的边AD 上的高.故③正确.综上可知，正确的结论只有1个.故选B.【点睛】此题考查三角形的角平分线、中线和高，解题关键解在于掌握各性质定义.5．如图，ABC ∆中，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点F ，过点F 作DE BC ∥交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论，①BDF ∆是等腰三角形；②DE BD CE =+；③若50A ∠=， 105BFC ∠=； ④BF CF =.其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】主要考查了平行线，角平分线，等腰三角形的知识，综合性比较强，需要仔细分析.【详解】解：∵DE ∥BC ，∴∠DFB=∠FBC ，∵BF 是∠ABC 的平分线，∴∠FBC=∠FBD ，∵∠DBF=∠DFB,∴△BDF 是等腰三角形． 所以①正确；由①可得△BDF 是等腰三角形，同理可得△ECF 是等腰三角形DE=DF+EF,∵DF=DB,EF=CE∴DE=DB+CE; 所以②正确；若50A ∠=，则11180-=--=+50=11522BFC ∠=⨯（∠FBC+∠FCB ）180（180∠A ）90 所以③错误；④△BDF ，△ECF 都是等腰三角形，但是无法证全等，所以④错误.综上正确的是①②，选B【点睛】三角形的内角角平分线相交所形成的钝角大小为（90°+12顶角）. 6．如图所示，等腰Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分CAB ∠，交BC 于D ，过D 作DE AB ⊥于E ，若CD b =，BD a =，那么AB 的长度是( )A ．+a bB ．2+a bC ．2a b +D ．22a b +【答案】B【解析】【分析】 只要证明AC ＝AE ＝BC ＝a ＋b ，CD ＝DE ＝BE ＝b 即可解决问题．【详解】解：∵CA ＝CB ，∠C ＝90°，∴∠B ＝45°，∵DE ⊥AB ，∴∠DEB ＝90°，∴∠EDB ＝∠B ＝45°，∴ED ＝EB ，∵DA 平分∠CAB ，DC ⊥AC ，DE ⊥AB ，∴CD ＝DE ＝EB ＝b ，∵DC ＝DE ，AD ＝AD ，∠C ＝∠AED ＝90°，∴Rt △ADC ≌Rt △ADE （HL ），∴AE＝AC＝BC＝a＋b，∴AB＝AE＋BE＝a＋2b，故选：B．【点睛】本题考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，若CD=m，AB=2n，则△ABD的面积是（）A．mn B．5mn C．7mn D．6mn【答案】A【解析】【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】如图,过点D作DE⊥AB于E,∵BD是∠ABC的平分线,∠C=90°，∴DE=CD=m，∴△ABD的面积=12×2n×m=mn，故选：A.【点睛】此题考查角平分线的性质，解题关键在于掌握运算公式.8．点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A＝60°，则∠BOC 的度数为（）A．60°B．90°C．120°D．150°【答案】C【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=120°，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等判断出点O是△ABC角平分线的交点，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB的度数，然后在△OBC中，利用三角形内角和定理列式进行计算即可得解．【详解】∵点O是△ABC内一点，且O到三边的距离相等，∴O是△ABC的内切圆的圆心，即为△ABC内角平分线的交点，∴∠OCB=12∠ACB，∠OBC=12∠ABC，∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°，∴∠OBC+∠OCB =12（∠ABC+∠ACB）=60°，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-60°=120°，故选C．【点睛】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，判断出点O是△ABC角平分线的交点是解题的关键，要注意整体思想的利用．9．如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，直尺与OC垂直，则∠1等于( )A．80°B．70°C．60°D．50°【答案】B【解析】【分析】由平行线的性质和对顶角相等得出∠1=∠2=∠3，由角平分线的定义求出∠AOC= 12∠AOB=20°，由直角三角形的性质求出∠3=70°，即可得出∠1的度数．【详解】如图所示：根据题意得：∠1=∠2=∠3，∵OC 平分∠AOB ，∴∠AOC=12∠AOB=20°， ∴∠3=90°-20°=70°，∴∠1=70°；故选：B ．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、角平分线的定义、平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，求出∠1=∠3是解决问题的关键．10．如图，ABC △中，90︒∠=C ，AC BC =，AD 平分CAB ∠，交BC 于D ，DE AB ⊥于E ，且6cm AB =， 则DEB ∆的周长为（ ）A ．4cmB ．6cmC ．10cmD ．12cm【答案】B【解析】【分析】分析已知条件，根据勾股定理可求得CA的长，△CAD≌△EAD，则DE=DC，在△BED中，BE=AB-AE，DE=DC，△DEB的周长为：BE+DE+DB=BE+CD+DB=BE+CB．【详解】△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AB=6根据勾股定理得2CB2=AB2，∴，∵AD平分∠CAB∴∠CAD=∠EAD∵DE⊥AB∴∠DEA=90°=∠C∴△CAD≌△EAD（AAS）∴，DE=CD∴故△DEB的周长为：=6．故选：B【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，应用了勾股定理，三角形周长的求法，范围较广．。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题(含答案) (20)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题(含答案) (20)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)如图，AD 是△ABC 的高线，AB ＝AC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，求证：DE ＝DF ．【答案】证明见解析【解析】【分析】根据已知条件证出AD 是∠BAC 的平分线，再根据角平分线的性质可得出答案．【详解】证明：∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠BAD ＝∠CAD ，∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ．【点睛】此题考查了等腰三角形三线合一的性质以及角平分线的性质，关键是证出AD 是∠BAC 的平分线．22．用圆规和直尺作图，不写作法，保留作图痕迹.已知及其边上一点.在内部求作点，使点到两ABC ∠BC D ABC ∠P P ABC ∠边的距离相等，且到点，的距离相等.【答案】见解析.【解析】【分析】作∠ABC 的平分线BK ，线段BD 的垂直平分线MN ，射线BK 与直线MN 的交点P 即为所求.【详解】解：点P 是∠ABC 的平分线与线段BD 的垂直平分线的交点，如图点P 即为所求.【点睛】本题考查复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．23．在中，已知.BD ABC ∆A α∠=（1）如图1，的平分线相交于点．①当时，度数= 度（直接写出结果）；②的度数为 （用含的代数式表示）；（2）如图2，若的平分线与角平分线交于点,求的度数（用含的代数式表示）．（3）在（2）的条件下，将以直线BC 为对称轴翻折得到，的角平分线与的角平分线交于点（如图3），求的度数（用含的代数式表示）．【答案】（1）①；②；(2) （3） 【解析】【详解】：（1）①；②； （2）∵和分别平分和∴, ∴ABC ACB ∠∠、D 80α=BDC ∠BDC ∠αABC ∠ACE ∠F BFC ∠αFBC ∆GBC ∆GBC ∠GCB ∠M BMC ∠α1301902α+12BFC α∠=1904BMC α∠=+1301902α+BF CF ABC ∠ACE ∠12FBC ABC ∠=∠12FCE ACE ∠=∠BFC FCE FBC ∠=∠-∠()12ACE ABC =∠-∠即 （3）由轴对称性质知： 由（1）②可得 ∴． 24．如图，，，、分别是和的角平分线，与平行吗？说明你的理由.【答案】，理由见解析.【解析】【分析】根据角平分线的性质、平行线的性质及判定即可求解.【详解】理由如下：因为，所以，，所以12A =∠12BFC α∠=12BGC BFC α∠=∠=1902BMC BGC ∠=+∠1904BMC α∠=+//AB CD //ADBC BF DE ABC ∠ADC ∠DE BF DE BF ∕∕DE BF ∕∕//AB CD //AD BC 180ADC A ∠+∠=︒180ABC A ∠+∠=︒CDE AED ∠=∠ADC ABC ∠=∠因为、分别是和的角平分线所以，， 因为所以所以【点睛】此题主要考查平行线的判定，解题的关键是熟知角平分线的性质及平行线的性质与判定定理.25．已知，如图，AE 是的平分线，.求证：.【答案】证明见解析.【解析】【分析】根据角平分线的定义得到，然后利用得到AE ∥CD ，进而得到，进行证明.【详解】BF DE ABC ∠ADC ∠12CDE ADC ∠=∠12ABF ABC ∠=∠CDE ABF ∠=∠CDE AED ∠=∠AED ABF ∠=∠//DEBF BAC ∠1D ∠=∠12∠=∠1EAC ∠=∠1D ∠=∠2EAC ∠=∠证明：∵AE 是的平分线∴∵∴AE ∥CD∴∴【点睛】本题考查角平分线的定义和平行线的判定和性质，熟练掌握同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等是本题的解题关键.26．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 与⊙O 相切与点C ，与AB 的延长线交于点D ，CE ⊥AB 于点E 。

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人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)一、单选题1．△ABC是一个任意三角形，用直尺和圆规作出∠A，∠B的平分线，如果两条平分线交于点O，那么下列选项中不正确的是（）A．点O一定在△ABC的内部B．点O到△ABC的三边距离一定相等C．∠C的平分线一定经过点O D．点O到△ABC三顶点的距离一定相等【答案】D【解析】由三角形的三条角平分线在三角形内相交于一点可知：A、C正确；而由角平分线的性质可证得点O到△ABC的三边距离相等，所以B正确；而三角形三条角平分线的交点到三个顶点的距离不一定相等，所以D错误.故选D.2．如图，△ABC的两条外角平分线AP、CP相交于点P，PH⊥AC于H；如果∠ABC=60º，则下列结论：①∠ABP=30º；②∠APC=60º；③PB=2PH；④∠APH=∠BPC；其中正确的结论个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】作PM ⊥BC 于M ，PN ⊥BA 于N ．根据角平分线的性质定理可证得PN=PM ，再根据角平分线的判定定理可得PB 平分∠ABC ，即可判定①；证明⊥PAN ⊥⊥PAH ，⊥PCM ⊥⊥PCH ，根据全等三角形的性质可得⊥APN=⊥APH ，⊥CPM=⊥CPH ，由此即可判定②；在Rt ⊥PBN 中，∠PBN=30°，根据30°角直角三角形的性质即可判定③；由⊥BPN=⊥CPA=60°即可判定④.【详解】如图，作PM ⊥BC 于M ，PN ⊥BA 于N ．⊥⊥PAH=⊥PAN ，PN ⊥AD ，PH ⊥AC ，⊥PN=PH ，同理PM=PH ，⊥PN=PM ，⊥PB 平分∠ABC ，⊥⊥ABP=12⊥ABC=30°，故①正确， ∵在Rt ⊥PAH 和Rt ⊥PAN 中，PA PA PN PH =⎧⎨=⎩， ⊥⊥PAN ⊥⊥PAH ，同理可证，△PCM ⊥⊥PCH ，⊥⊥APN=⊥APH ，⊥CPM=⊥CPH ，⊥⊥MPN=180°-⊥ABC=120°，⊥⊥APC=12⊥MPN=60°，故②正确，在Rt⊥PBN中，∵∠PBN=30°，⊥PB=2PN=2PH，故③正确，⊥⊥BPN=⊥CPA=60°，⊥⊥CPB=⊥APN=⊥APH，故④正确．综上，正确的结论为①②③④.故选D.【点睛】本题考查了角平分线的性质定理及判定定理、全等三角形的判定与性质及30°角直角三角形的性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键.3．如图，AD是△ABC中△BAC的角平分线，DE△AB于点E，S△ABC=9，DE=2，AB=5，则AC长是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】如图，作DF⊥AC交AC于点F，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF,∴S△ABC=S△ADC+S△ADB=12AC·DF+12AB·DE=12DE（AC+AB）=9，∴12×2×（AC+5）=9，∴AC=4.故选B.点睛：（1）遇到角平分线较常用的一类辅助线的作法是过角平分线上一点向角的两边作垂线.（2）三角形的面积除了用公式法还可以用割补法将三角形的面积用别的形式表示出来，此题将三角形面积表示为两个三角形的面积之和，然后列方程求解.4．若△ABC内一点O到三角形三条边的距离相等，则O为△ABC（）的交点．A．角平分线B．高线C．中线D．边的中垂线【答案】A【解析】试题分析：由角平分线性质的逆定理：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，则这个点是三角形三条角平分线的交点，即可确定答案.解：∵到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，∴这个点是三角形三条角平分线的交点.故选A.5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，若BD=5cm，DE=3cm，则AC的长为（）A．8 cm B．10 cm C．6cm D．16 cm【答案】A【解析】解：⊥AD平分⊥BAC，⊥C=90°，DE⊥AB，⊥CD=DE，⊥BD=5，DE=3，⊥CD=3，⊥AC=BC=CD+DB=3+5=8．故选A．6．如图，在△ABC中，△1＝△2，G为AD的中点，BG的延长线交AC 于点E，F为AB上的一点，CF与AD垂直，交AD于点H，则下面判断正确的有（）△AD是△ABE的角平分线；△BE是△ABD的边AD上的中线；△CH是△ACD的边AD上的高；△AH是△ACF的角平分线和高A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】解：①根据三角形的角平分线的概念，知AG是△ABE的角平分线，故此说法错误；②根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故此说法错误；③根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故此说法正确；④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH是△ACF的角平分线和高线，故此说法正确．故选B．点睛：本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键．7．如图，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠CBE、∠BCF•的平分线，若∠=︒，则∠D的度数是（）A70A．40°B．50°C．65°D．55°【答案】D【解析】∵∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=110°，∴∠EBC+∠FCB=360°－110°=250°，∵BD、CD分别平分∠CBE、∠BCF，∴∠DBC=∠DBE，∠DCB=∠DCF，∴∠DBC+∠DCB=125°，∴∠D=55°.故选D.点睛:充分利用三角形的内角和，平角的性质，以及角平分线的性质.8．如图，△1＝△2，PD△OA，PE△OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（）A．PD＝PE B．OD＝OE C．△DPO＝△EPO D．PD＝OP【答案】D【解析】试题分析：根据角平分线的性质可得：PD=PE，根据题意HL判定定理可得：Rt△POE△Rt△POD，则OD=OE，△DPO=△EPO.考点：角平分线的性质9．若∠α与∠β互为余角，则∠α的补角与∠β的补角之和为( )A．90°B．180°C．270°D．360°【答案】C【解析】∵∠α与∠β互为余角，∴∠α+∠β=90°，∵∠α的补角为180°-∠α，∠β的补角为180°-∠β，∴(180°-∠α)+(180°-∠β)=360°-(∠α+∠β)=360°-90°=270°．故选C．【点睛】这是一道有关余角和补角的题目，需明确余角和补角的含义；由于互补的两角之和为180°，于是可以表示出∠α和∠β的补角，进而得到它们的之和；再根据互余的两角之和为90°得到∠α+∠β=90°，即可求出∠α与∠β的补角之和.10．在ABC △内部取一点P ，使得点P 到ABC △的的三边距离相等，则点P 是ABC △的（ ）．A ．三条高的交点B ．三条角平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三边的垂直平凡线的交点【答案】B【解析】如图：PD PF PE ==．故选B ．。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题(含答案) (88)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题(含答案) (88)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)如图,已知AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F,EP平分∥BEF,FP平分∥DFE.试说明:∥PEF是直角三角形.【答案】△PEF是直角三角形【解析】试题分析：根据平行线的性质，由AB△CD得到△BEF＋△DFE＝180°，再根据角平分线定义得∠PEF＋△PFE(△BEF＋△DFE)，然后计算出∠P＝90°，根据直角三角形的定义即可得到△EPF是直角三角形．试题解析：证明：因为AB∥CD，所以∠BEF＋∠DFE＝180°．又因为EP平分∠BEF，FP平分∠DFE，所以∠PEF＝∠BEF，∠PFE＝∠DFE．所以∠PEF＋∠PFE(∠BEF＋∠DFE)＝90°．又因为∠PEF＋∠PFE＋∠P＝180°，所以∠P＝90°．所以△PEF是直角三角形．点睛：本题考查了平行线性质，角平分线定义和三角形内角和定理的运用，根据平行线的性质和角平分线的定义得出△PEF＋△PFE＝90°是解题的关键．72．作图题：如图，在CD上求作一点P，使它到OA，OB的距离相等．【答案】见解析【解析】分析：作出△AOB的平分线交线段CD于P点即可．本题解析:如图所示：73．如图所示，∥AOB是平角，OM、ON分别是∥AOC、∥BOD的平分线．（1）知∥AOC=40°，∥BOD=60°，求∥MON的度数；（2）知∥COD=90°，求出∥MON的度数．【答案】（1）130°；（2）135°．【解析】试题分析：（1）根据平角即可求得∠COD的度数，再根据角平分线的定义求得∠COM和∠DON的度数，从而求得∠MON的度数；（2）因为OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，故知∠MOC+∠NOD=∠AOC+∠BOD=（∠AOC+∠BOD）即可解答．试题解析：（1）△△AOB是平角，∠AOC=40°，△BOD=60°，△△COD=△A0B-△AOC-△BOD=180°-40°-60°=80°，∵OM、ON分别是∠AOC、∠BOD 的平分线，△COM=△AOC=20°，△DON=△BOD=30°，△MON=△COM+∠COD+△DON，△MON=20°+80DU5+30°=130°；（2）△COD=90°，△AOC+△BOD =90°，又OM、ON分别是∠AOC、∠BOD 的平分线，△MOC=△AOC，△NOD=△BOD，即∠MOC+∠NOD=（△AOC+△BOD）=45°，又△MON=△MOC+△NOD+△COD，△MON=45°+90°=135°.74．如图，已知直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOC，射线OF⊥CD 于点O，且∠BOF=32°，求∠COE的度数．【答案】61°【解析】根据已知条件，并结合图形中角与角的关系即可求解.解：∵∠COF是直角，∠BOF=32°，∴∠COB=90°﹣32°=58°，∴∠AOC=180°﹣58°=122°又∵OE平分∠AOC，∴∠COE=∠AOC=61°.75．.如图，直线AB与CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，OE⊥AB，OF⊥CD，(1)图中除直角外，还有相等的角吗？请写出两对：①____________；②____________．(2)如果∠AOD＝40°，则①∠BOC＝_______；②OP是∠BOC的平分线，所以∠COP＝______度；③求∠BOF的度数．【答案】（1）∠AOD＝∠BOC，∠BOP＝∠COP；（2）①40°，②20°，③50°.【解析】（1）根据同角的余角相等可知∠COE=∠BOF，利用角平分线的性质可得∠COP=∠BOP，对顶角相等的性质得∠COB=∠AOD．（2）①根据对顶角相等可得；②利用角平分线的性质得；③利用互余的关系可得．解：(1)∠COE=∠BOF、∠COP=∠BOP、∠COB=∠AOD(写出任意两个即可)；(2)①∵∠BOC与∠AOD是对顶角，∴∠BOC＝∠AOD＝40°；②∵OP是∠BOC的平分线，∴∠COP=∠BOC=20°；③∵OF⊥CD，且∠BOC=40°，∴∠BOF=90°−40°=50°.76．如图，已知直线及其两侧两点A、B. （要求：保留作图痕迹，不需要证明）（1）在直线上求一点P，使PA=PB；（2）在直线上求一点Q，使平分∠AQB．【答案】作图见解析.【解析】试题分析：（1）作线段AB的垂直平分线与l的交点即为所求；（2）作点A关于l的对称点A′，连接BA′并延长交l于点Q，点Q即为所求．试题解析：如图所示，77．如图，∠AOB=115°，∠EOF =155°，OA平分∠EOC，OB平分∠DOF，（1）求∠AOE+∠FOB度数；（2）求∠COD度数。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质作业复习题(含答案) (42)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质作业复习题(含答案) (42)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质作业复习题（含答案)如图，AP 平分NAM ∠,PC PB =,AB AC >,PD AB ⊥于D ,50DPB ∠=︒,则∠ACP =（ ）A ．120︒B ．130︒C ．140︒D ．150︒【答案】C【解析】【分析】 如图，作PT ⊥AN 于T ．由Rt △PTC ≌Rt △PDB （HL ），推出∠PCT=∠PBD ，只要求出∠PBD 即可解决问题；【详解】解：如图，作PT ⊥AN 于T ．∵PA 平分∠MAN ，PT ⊥AN ，PD ⊥AM ，∴PT=PD ，∠PTC=∠PDB=90°，∵PC=PB ，∴Rt △PTC ≌Rt △PDB （HL ），∴∠PCT=∠PBD，∵∠PBD=90°-50°=40°，∴∠PCT=40°，∴∠ACP=180°-40°=140°，故选：C．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD 交CB的延长线于点E．若∠E＝35°，则∠EAC的度数是（）A．40°B．65°C．70°D．75°【答案】D【解析】【分析】根据平行线的性质，角平分线性质，可求出∠BAE，∠ABC，再利用等腰三角形的性质，求出∠BAC即可解决问题．【详解】∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∵BD∥AE，∴∠BAE=∠ABD，∠E=∠DBC，∴∠BAE=∠E=35°，∠ABC=70°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=70°，∴∠BAC=180°-70°-70°=40°，∴∠EAC=∠BAE+∠BAC=35°+40°=75°，故选：D．【点睛】考查了等腰三角形的性质，角平分线性质，平行线的性质，熟记几何图形的性质内容是解题的关键．13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，若CD=3，AB=4，则△ABD的面积是( )A．3 B．6 C．7 D．12【答案】B【解析】【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，∴DE=CD=3，∴△ABD的面积=11=43=6 22AB ED⨯⨯⨯⨯，故选B.【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键.14．綦河两岸互相平行，小皮不小心将足球踢入河中，小明站在P处看到足球从与桥及两岸等距离的A处漂到与桥及两岸等距离的B处，则小明的视线转角为（）A．90°B．100°C．120°D．150°【答案】A【解析】【分析】如解析图所示，连接PB，PA，AB，根据题意可得PB是∠MPE的角平分线，PA 是∠MPF 的角平分线，利用平角等于180°即可得出结论．【详解】解：如图所示，连接PB ，PA ，AB ，∵A 处和B 处与桥及两岸等距离，∴PB 是∠MPE 的角平分线，PA 是∠MPF 的角平分线，∴∠MPB=∠BPE ，∠MPA=∠APF ，∵∠MPB+∠BPE+∠MPA+∠APF=180°，∴∠MPB+∠MPA=90°，∴∠BPA=90°．故选：A【点睛】本题主要考查的是角平分线的性质，判断出PB 是∠MPE 的角平分线，PA 是∠MPF 的角平分线是解题关键．15．如图，OP 平分MON ∠，PE OM ⊥于点E ，PF ON ⊥于点F ，OA OB =，则图中全等三角形的对数是（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对 【答案】C【解析】【分析】根据SAS ， HL ，AAS 分别证明AOP BOP =，Rt PAE Rt PBF ≅，OEP OFP ≅，即可得到答案．【详解】∵OP 平分MON ∠，∴∠AOP=∠BOP ，∵OA OB =，OP=OP ，∴AOP BOP =（SAS ）∴AP=BP ，∵OP 平分MON ∠，∴PE=PF ，∵PE OM ⊥于点E ，PF ON ⊥于点F ，∴Rt PAE Rt PBF ≅（HL ），∵OP 平分MON ∠，∴∠AOP=∠BOP ，又∵∠OEP=∠OFP=90°，OP=OP ，∴OEP OFP ≅（AAS ）．故选C ．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定定理，掌握SAS ， HL ，AAS 证明三角形全等，是解题的关键．16．△ABC 中，∠C =90°，AC =8，BC =6，角平分线AD 、BE 相交于点O ，则四边形OECD 的面积为( )A ．5B ．163C ．173D ．8【答案】C【解析】【分析】 由题意作OM ⊥AB 于M ，OJ ⊥BC 于J ，OK ⊥AC 于K ，DH ⊥BC 于H ，连接OC ，并根据题意分别求出CD ，CE ，OJ ，OK 即可解决问题．【详解】解：如图，作OM △AB 于M ，OJ △BC 于J ，OK △AC 于K ，DH △BC 于H ，连接OC ．在Rt △ABC 中，△△ACB=90°，AC=8，BC=6，△AB=10，△点O 是△ABC 的内心，△OM=OJ=OK 2CB AC AB +-==2， △△DCA=△DHA=90°，AD=AD （公共边），△DAC=△DAH ，△△DAC △△DAH(AAS)，△CD=DH ，AC=AH=8，△BH=10﹣8=2，设CD=DH=x ，在Rt △BDH 中，△BD 2=BH 2+DH 2，△(6﹣x)2=x 2+22，△x 83=， 同法可求：EC=3，△S 四边形CDOE =S △COD +S △COE 12=•CD •OJ 12+•EC •OK 1823=⨯⨯212+⨯3×2173=． 故选：C ．【点睛】本题考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．17．如图，OC 是MON ∠的平分线，P 为OC 上任意一点，过点P 分别作PA OM ⊥，PB ON ⊥，垂足分别为A ，B ，连接AB ，则下列结论不正确是（ ）A ．PA PB =B ．OA OB =C ．PO 平分APB ∠D ．AB 垂直平分OP【答案】D【解析】【分析】 根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PA=PB ，然后用HL 判定Rt △OPA ≌Rt △OPB ，即可得到OA=OB ，∠OPA=∠OPB ，即PO 平分∠APB ，无法证明AB 垂直平分OP ．【详解】∵OC 平分∠MON ，PA ⊥OM ，PB ⊥ON∴PA=PB故A 正确；在Rt △OPA 和Rt △OPB 中，∵OP=OP ，PA=PB∴Rt △OPA ≌Rt △OPB （HL ）∴OA=OB ，∠OPA=∠OPB ，即PO 平分∠APB ，故B ，C 正确；无法证明AB 垂直平分OP ，故D 错误．故选D ．【点睛】本题考查角平分线得到性质与全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．18．如图，//AB CD ，BP 和CP 分别平分ABC ∠和DCB ∠，AD 过点P ，且与CD 垂直．若12AD =，则点P 到BC 的距离是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】B【解析】【分析】 过点P 作PE ⊥BC 于E ，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PA=PE ，PD=PE ，那么PE=PA=PD ，进而求出PE ．【详解】过点P 作PE ⊥BC 交BC 于E∵AD CD ⊥∴90ADC ∠=︒∵//AB CD∴90BAD ADC ︒=︒∠=180-∠∴AD AB ⊥∵BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB∴PA=PE ，PD=PE∴ PE=PA=PD∵PA+PD=AD=12∴PE=PA=PD=6∴点P 到BC 的距离6．故选：B ．【点睛】本题考查角平分线的性质和平行线的性质，根据角平分线上的点到角两边距离相等作垂线段是解题关键．19．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ， DF ⊥AC 于点F ．若S △ABC =7，DE=2，AB=4，则AC=（ ）A ．4B ．6C ．3D ．5【答案】C【解析】【分析】 根据角平分线的性质得到DE=DF ，再根据△ABC 的面积=△ABD 的面积+△ACD 的面积即可求出答案.【详解】∵AD 是△BAC 的平分线，DE △AB 于点E ， DF △AC 于点F ，∴DF=DE=2，∵ABC ABD ACD S S S =+, ∴11722AB DE AC DF ⋅⋅+⋅⋅=, ∵AB=4， ∴11422722AC ⨯⨯+⨯=, ∴AC=3，故选：C.【点睛】此题考查角平分线的性质定理，三角形面积的和差数量关系，在利用角平分线的性质时需角平分线与两个垂直一起运用，得到垂线段相等.20．已知：如图，42MCN ∠=︒，点P 在MCN ∠内部，,PA CM PB CN ⊥⊥，垂足分别为AB 、，PA PB =，则MCP ∠的度数为( )A ．21B ．24C ．48D ．42【答案】A【解析】【分析】 根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得CP 在∠MCN 的角平分线上，即可求得MCP ∠的度数．【详解】解：∵点P 在MCN ∠内部，,PA CM PB CN ⊥⊥，垂足分别为AB 、，PA PB =，∴CP 在∠MCN 的角平分线上，即CP 平分∠MCN ，∴MCP ∠=12∠MCN=21， 故选A.【点睛】此题主要考查了角平分线的性质和判定，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题(含答案) (51)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题(含答案) (51)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)如图，已知四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，AC平分∠BAD，CE⊥AD，E为垂足．求证：AB＋AD＝2AE.【答案】证明见解析.【解析】【分析】过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于点H.利用角平分线性质得CH＝CE，∠HCA＝∠ECA，证△ACH≌△ACE(AAS)，得AH＝AE.∠HBC＝∠D.再证△BHC≌△DEC(AAS)，得HB＝DE，所以AB＋AD＝AB＋AE＋DE＝AB＋AE＋HB＝AH＋AE＝2AE.【详解】证明：如图，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于点H.∵AC平分∠BAD，CE⊥AD，∴CH＝CE，∠HCA＝∠ECA(等角的余角相等)．在△ACH和△ACE中，∴△ACH≌△ACE(AAS)，∴AH＝AE.又∵∠ABC＋∠HBC＝180°，∠ABC＋∠D＝180°，∴∠HBC＝∠D.在△BHC和△DEC中，∴△BHC≌△DEC(AAS)，∴HB＝DE，∴AB＋AD＝AB＋AE＋DE＝AB＋AE＋HB＝AH＋AE＝2AE.【点睛】本题考核知识点：角平分线，全等三角形.解题关键点：利用角平分线性质和全等三角形判定和性质证线段相等.62．如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，按要求完成下列各题：（1）作△ABC的角平分线AE；（2）根据你所画的图形求∠BAE的度数．【答案】（1）作图见解析；（2）∠BAE =30°．【解析】分析：（1）以点A为圆心，适当长为半径画弧，交BC于两点，以这两点为圆心，大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，做过这点和点A的直线交BC于点E即可；(2) ）利用三角形内角和计算出∠BAC,然后利用角平分线的定义可得∠DAE的度数．详解：（1）如图，AE为所作；（2）∵∠B=40°，∠C=80°，∴∠BAC=180°﹣40°﹣80°=60°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=BAC=30°．点睛：本题考查了基本作图，三角形的角平分线的画法以及三角形内角和定理的运用．63．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥CD，若∠BOE=2∠BOD，求∠AOF的度数．【答案】54°【解析】分析：设∠BOD=x，∠BOE=2x；根据题意列出方程2x+2x+x=180°，得出x=36°，求出∠AOC=∠BOD=36°，即可求出∠AOF=90°-∠36°=54°．详解：设∠BOD=x，∠BOE=2x；∵OE平分∠BOC，∴∠COE=∠EOB=2x，则2x+2x+x=180°，解得：x=36°，∴∠BOD=36°，∴∠AOC=∠BOD=36°，∵FO⊥CD，∴∠AOF=90°-∠AOC=90°-36°=54°．点睛：本题考查了垂线、对顶角、邻补角的知识；弄清各个角之间的数量关系是解题的关键．64．如图，在中，，点O是BC上一点，以点O圆心，OC为半径的圆交BC于点D，恰好与AB相切于点E．求证：AO是的平分线；若，，求及AC的长．【答案】(1)证明见解析；（2）12cm.【解析】【分析】（1）由∠ACB=90°，且OC为圆O的半径，判断得到AC与圆O相切，又AB与圆O相切，根据切线长定理得到AO为∠BAC的平分线，且AE=AC；（2）由BE为圆O的切线，BC为圆O的割线，利用切割线定理列出关系式，将BD及BE的长代入，求出BC的长，用BC-BD求出直径CD的长，进而确定出圆O的半径，由OD+BD求出OB的长，连接OE，由切线的性质得到OE垂直于BE，在直角三角形OEB中，利用锐角三角函数定义求出sinB的值，同时由OB及OE的长，利用勾股定理求出BE的长，由∠ACB=90°，OC为圆O的半径，可得出AC为圆O的切线，由AE与AC都为圆的切线，根据切线长定理得到AE=AC，设AC=AE=xcm，由AE+EB表示出AB，再由BC及AC，在直角三角形ABC中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x 的值，即为AC的长．【详解】，OC为圆O的半径，为圆O的切线，又AB与圆O相切，E为切点，，AO平分；为圆O的切线，BC为圆O的割线，，又，，，即，，连接OE，由BE为圆O的切线，得到，在直角三角形BEO中，，，，，在直角三角形ABC中，设，则，，根据勾股定理得：，即，解得：，则．【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握和灵活应用相关性质及定理是解本题的关键．65．如图，中，，，E，F分别是BC，AC的中点，若，求线段AB的长．【答案】6.【解析】【分析】作BH平分交AC于H，连结HE，如图，由于，则，可得为等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得，可得，根据平行线分线段成比例定理得，再根据角平分线的性质定理得，则可得，然后把BC=2CE代入计算即可求得AB=6.【详解】作BH平分交AC于H，连结HE，如图，平分，，，，为等腰三角形，点E为BC的中点，，，，，为的平分线，，，即，．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，角平分线的性质等，综合性较强，正确添加辅助线、熟练应用相关性质与定理是解题的关键.66．阅读并理解下面的证明过程，并在每步后的括号内填写该步推理的依据．已知：如图，AM，BN，CP是△ABC的三条角平分线．求证：AM、BN、CP交于一点．证明：如图，设AM，BN交于点O，过点O分别作OD△BC，OF△AB，垂足分别为点D，E，F．△O是△BAC角平分线AM上的一点（），△OE=OF（）．同理，OD=OF．△OD=OE（）．△CP是△ACB的平分线（），△O在CP上（）．因此，AM，BN，CP交于一点．【答案】已知角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等等量代换已知角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上【解析】【分析】根据已知条件和角平分线的性质定理与判定定理即可解答.【详解】证明：设AM，BN交于点O，过点O分别作OD⊥BC，OF⊥AB，垂足分别为点D，E，F．⊥O是⊥BAC角平分线AM上的一点（已知），⊥OE=OF（角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等）．同理，OD=OF．⊥OD=OE（等量代换）．⊥CP是⊥ACB的平分线（已知），⊥O在CP上（角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．因此，AM，BN，CP交于一点；【点睛】本题综合考查角平分线的性质定理与判定定理，熟练应用角平分线的性质定理与判定定理是解题的关键．67．如图，∠CAD和∠ACE的角平分线AF，CF相交于点F.求证：点F在∠DBE的平分线上．【答案】见解析【解析】【详解】过点F作FG⊥BD于点G，FH⊥AC于点H，FK⊥BE于点K.由角平分线性质定理得FG＝FH＝FK，根据逆定理可得点F在∠DBE的平分线上.证明：过点F作FG⊥BD于点G，FH⊥AC于点H，FK⊥BE于点K.∵AF平分∠CAD，CF平分∠ACE，∴FG＝FH，FH＝FK，∴FG＝FK.又∵FG⊥BD, FK⊥BE，∴点F在∠DBE的平分线上.【点睛】本题考核知识点：角平分线性质定理和逆定理.解题关键点：熟记角平分线性质定理和逆定理.68．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC．求证：EB＝FC．【答案】见解析【解析】【分析】根据角平分线性质得DE＝DF，根据HL证Rt△BDE≌Rt△CDF，可得EB ＝FC.【详解】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.又∵DB＝DC，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴EB＝FC.【点睛】本题考核知识点：角平分线性质，直角三角形全等的判定.解题关键点：熟记角平分线性质，直角三角形全等的判定.69．如图，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，且BD＝CD，请证明点D 在∠BAC的平分线上．【答案】见解析【解析】【分析】在Rt△BDE和Rt△CDF中，由∠BED＝∠CFD，∠BDE＝∠CDF，BD＝CD，证△BDE≌△CDF，得DE＝DF.可进一步证点D在∠BAC的平分线上.【详解】证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠BED＝∠CFD＝90°.在Rt△BDE和Rt△CDF中，∴△BDE≌△CDF(AAS)，∴DE＝DF.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴点D在∠BAC的平分线上.【点睛】本题考核知识点：全等三角形的判定和性质，角平分线性质定理的逆定理. 解题关键点：熟记全等三角形的判定和性质，角平分线性质定理的逆定理.70．如图,在△ABC中,点E在AC上,△AEB=△ABC．(1)图1中,作△BAC的角平分线AD,分别交CB、BE于D、F两点,求证:△EFD=△ADC；(2)图2中,作△ABC的外角△BAG的角平分线AD,分别交CB、BE的延长线于D、F两点,试探究(1)中结论是否仍成立?为什么?【答案】（1）证明见解析；（2）（1）中结论仍成立，理由见解析.【解析】【分析】（1）首先根据角平分线的性质可得∠BAD=∠DAC，再根据内角与外角的性质可得∠EFD=∠DAC+∠AEB，∠ADC=∠ABC+∠BAD，进而得到∠EFD=∠ADC；（2）首先根据角平分线的性质可得⊥BAD=⊥DAG，再根据等量代换可得⊥FAE=⊥BAD，然后再根据内角与外角的性质可得⊥EFD=⊥AEB-⊥FAE，⊥ADC=⊥ABC-⊥BAD，进而得⊥EFD=⊥ADC．【详解】（1）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，∵∠EFD=∠DAC+∠AEB，∠ADC=∠ABC+∠BAD，又∵∠AEB=∠ABC，∴∠EFD=∠ADC；（2）探究（1）中结论仍成立；理由：∵AD平分∠BAG，∴∠BAD=∠GAD，∵∠FAE=∠GAD，∴∠FAE=∠BAD，∵∠EFD=∠AEB-∠FAE，∠ADC=∠ABC-∠BAD，又∵∠AEB=∠ABC，∴∠EFD=∠ADC．【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质习题(含答案) (41)

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人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)一、单选题1．如图，在△ABC中，∠C=90 ，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D,DE⊥AB于点E，且AB=6cm，则△DEB的周长是( )A．6cm B．4cm C．10cm D．以上都不对【答案】A【解析】试题分析：∵CA=CB，∵C=90°，AD平分∵CAB，∵∵ACB为等腰直角三角形，BC=AC=AE，∵∵ACD∵∵AED，∵CD=DE，又∵DE∵AB于点E，∵∵EDB为等腰直角三角形，DE=DB=CD，∵∵DEB的周长=DE+EB+DB=CD+DB+EB=CB+EB=AE+EB=AB=6，∵周长为6．故选A．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰直角三角形．2．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝8，DE=4，则△BCE的面积等于（）A．32 B．16 C．8 D．4【答案】B【解析】【分析】根据角平分线的性质可得：点E到BC的距离为4，则三角形的面积=8×4÷2=16.【详解】解：如图：过E作EF⊥BC于F，∵CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，DE=8，∴DE=EF=4，∵BC=8，∴12×BC×EF=12×8×4=16，故选B．3．在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，⊥ABC的面积为15，AB=6，DE=3，则AC的长是（）A．8 B．6 C．5 D．4【答案】D试题分析：根据角平分线的性质可得：点D到AB和AC的距离相等，根据题意可得：∵ABD的面积为9，∵ADC的面积为6，则AC的长度=6×2÷3=4.考点：角平分线的性质4．如图，在△ABC中，AD为△BAC的平分线，DE△AB于E，DF△AC于F，△ABC的面积是28cm2，AB=20cm，AC=8cm，则DE的长是（）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm【答案】C【解析】试题分析：根据角平分线的性质求出DE=DF，根据三角形的面积公式列式计算即可．∵AD是∵BAC的平分线，DE∵AB于点E，DF∵AC于点F，∵DE=DF，∵×AB×DE+AC×DF=S∵ABC=28，即×20DE+×8DE=28，解得DE=2．考点：角平分线的性质．5．下列说法正确的是（）A．三角形三条高的交点都在三角形内B．三角形的角平分线是射线C．三角形三边的垂直平分线不一定交于一点D．三角形三条中线的交点在三角形内【解析】试题分析：根据三角形的角平分线、中线和高的定义及性质进行判断即可．A、锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．说法错误；B、三角形的角平分线是线段，错误；C、三角形三边的垂直平分线一定交于一点，错误；D、三角形三条中线的交点在三角形内，正确；考点：三角形的角平分线、中线和高．6．如图，OC是△AOB的平分线，PD△DA于点D，PD=2，则P点到OB 的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】试题分析：可过点P作PE∵OB，由角平分线的性质可得，PD=PE，进而可得出结论．如图，过点P作PE∵OB，∵OC是∵AOB的平分线，点P在OC上，且PD∵OA，PE∵OB，∵PE=PD，又PD=2，∵PE=PD=2．考点：角平分线的性质．7．如图，OC平分△AOB，点P是射线OC上的一点，PD△OB于点D，且PD=3，动点Q在射线OA上运动，则线段PQ的长度不可能是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】试题分析：过点P作PE∵OA于E，根据角平分线上的点到脚的两边距离相等可得PE=PD，再根据垂线段最短解答．解：如图，过点P作PE∵OA于E，∵OC平分∵AOB，PD∵OB，∵PE=PD=3，∵动点Q在射线OA上运动，∵PQ≥3，∵线段PQ的长度不可能是2．故选A．点评：本题考查了角平分线上的点到脚的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．8．如图，AB⊥CD，BP和CP分别平分⊥ABC和⊥DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【解析】过点P作PE⊥BC于E，⊥AB⊥CD，PA⊥AB，⊥PD⊥CD，⊥BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，⊥PA=PE，PD=PE，⊥PE=PA=PD，⊥PA+PD=AD=8，⊥PA=PD=4，⊥PE=4．故选C．9．已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB，那么作法的合理顺序是（）①作射线OC；②在射线OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE；③分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径在∠AOB内作弧，两弧交于点C．A．⊥⊥⊥B．⊥⊥⊥C．⊥⊥⊥D．⊥⊥⊥【答案】C【解析】由题意可知其作图法依据的是，切线的性质，故必须先选择圆心，再求半径，最后作出OC，故其顺序为②③①．故选C．10．如图，在△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边AC、AB于点M、N；②分别以点M和点N 为圆心、大于12MN的长为半径作圆弧，在∠BAC内，两弧交于点P；③作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（）A．15 B．30 C．45 D．60【答案】B【解析】解：作DE⊥AB于E，由基本作图可知，AP平分∠CAB．⊥AP平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC=4，∴△ABD的面积=12×AB×DE=30．故选B．。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题(含答案) (19)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题(含答案) (19)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)一、单选题1．如图，点P在∠MON的角平分线上，过点P作OP的垂线交OM，ON于C、D，PA⊥OM．PB⊥ON，垂足分别为A、B，EP∥BD，则下列结论错误的是（）A．CP＝PD B．PA＝PB C．PE＝OE D．OB＝CD【答案】D【解析】【分析】依据全等三角形的判定进而性质（ASA）、角平分线的性质以及等腰三角形的性质进行分析，即可得到正确结论，进而得出答案．【详解】∵点P在∠MON的角平分线上，∴∠COP＝∠DOP，∵CD⊥OP，∴∠CPO＝∠DPO，又∵OP＝OP，∴△COP≌△DOP（ASA），∴CP＝DP，故A选项正确；∵OP平分∠MON，且PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA＝PB，故B选项正确；∵EP∥BD，∴∠EPO＝∠POB，又∵∠COP＝∠DOP，∴∠EOP＝∠EPO，∴EO＝EP，故C选项正确；而OB＝CD不一定成立，故D选项错误；故选：D．【点睛】本题考查角平分线的性质以及全等三角形的判定（ASA）与性质，等角对等边的性质，熟记性质是解题的关键．2．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，以点B为圆心，适当长为半1径的画弧，分别交BA，BC于点M、N；再分别以点M、N为圆心，大于MN2的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D，则下列说法中不正确的是（）A ．BP 是∠ABC 的平分线B ．AD=BDC ．D ．CD=BD 【答案】C【解析】【分析】 A 、由作法得BD 是∠ABC 的平分线，即可判定；B 、先根据三角形内角和定理求出∠ABC 的度数，再由BP 是∠ABC 的平分线得出∠ABD ＝30°＝∠A,即可判定；C ，D 、根据含30°的直角三角形，30°所对直角边等于斜边的一半，即可判定.【详解】解：由作法得BD 平分∠ABC ，所以A 选项的结论正确；∵∠C ＝90°，∠A ＝30°，∴∠ABC ＝60°，∴∠ABD ＝30°＝∠A ，∴AD ＝BD ，所以B 选项的结论正确；∵∠CBD ＝∠ABC ＝30°， ∴BD ＝2CD ，所以D 选项的结论正确；∴AD ＝2CD ，∴S △ABD ＝2S △CBD ，所以C 选项的结论错误．故选：C ．:1:3CBD ABD S S 1212【点睛】此题考查含30°角的直角三角形的性质，尺规作图（作角平分线），解题关键在于利用三角形内角和进行计算.3．如图，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P 若点P 的坐标为（﹣2a ，4a ﹣6），则a 的值为（ ）A ．3B ．﹣3C ．2D ．﹣2【答案】A【解析】【分析】 根据作图方法可得点P 在第二象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第二象限内点的坐标符号可得﹣2a +4a ﹣6＝0，然后再整理可得答案．【详解】12解：根据作图方法可得点P 在第二象限的角平分线上，∵第二象限角平分线上的点的横,纵坐标互为相反数∴﹣2a +4a ﹣6＝0，解得：a ＝3．故选：A ．【点睛】此题考查的是第二象限角平分线上点的坐标特征,掌握第二象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数是解决此题的关键.4．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围城的一块三角形平地上修建一个度假村。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质习题(含答案) (63)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质习题(含答案) (63)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)如图，△ABC中，∠C = 90°，AC = BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB 于E，若AB= 10cm，则△DBE的周长等于( )A．10cm B．8cm C．6cm D．9cm【答案】A.【解析】试题分析：∵AD平分∠CAB，且∠C=90°，DE⊥AB，∴DC=DE．可证△ACD≌△AED．∴AC=AE．又∵AC=BC，∴DE+EB+BD=DC+EB+BD=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB．又∵AB=10cm，∴△DBE的周长=DB+BE+DE=10cm．∴△DBE的周长是10cm．故选A.考点：1.角平分线的性质；2.全等三角形的判定与性质．22．如图，OP平分，，，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）A．B．平分 C．D．垂直平分【答案】D【解析】试题分析：∵OP平分∵AOB，PA∵OA，PB∵OB∵PA=PB∵∵OPA∵∵OPB∵∵APO=∵BPO，OA=OB∵A、B、C项正确设PO与AB相交于E∵OA=OB，∵AOP=∵BOP，OE=OE∵∵AOE∵∵BOE∵∵AEO=∵BEO=90°∵OP垂直AB而不能得到AB平分OP故D不成立故选D．考点：角平分线的性质．23．如图，点P是∠BAC的平分线上一点，PB∠AB于B，且PB=5cm，AC=12，则∠APC的面积是（）A．30 cm2B．40 cm2C．50 cm2D．60 cm2【答案】A【解析】【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得点P到AC的距离等于5，代入面积公式从而求得△APC的面积．【详解】过P作PD⊥AC于D，∵点P是∠BAC的平分线上一点，PB⊥AB于B，∴PD=PB=5cm，∴S△APC=12AC⋅PD=12×12×5=30cm2，故选A.【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，根据题意构造角平分线性质定理的基本图形是关键，难度适中．24．如图，伊宁火车站附近现要建一个货物中转站，三条直线表示3条公路要求中转站到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A.一处B.两处C.三处D.四处【答案】D【解析】试题分析：由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有4个．故选D.考点：角平分线的性质点评：本题考查了角平分线的性质．关键是熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，注意数形结合思想的应用．25．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DF⊥AC交AC的延长线于F，连接CD，给出四个结论：①∠ADC＝45°；②BD＝1AE；③AC＋CE＝AB；④AB—BC＝2FC；其2中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】试题分析：过点E 作EQ ∵AB 于Q ，∵∵ACB=90°，AE 平分∵CAB ，∵CE=EQ ，∵∵ACB=90°，AC=BC ∵∵CBA=∵CAB=45° ∵EQ ∵AB∵∵EQA=∵EQB=90° 由勾股定理可得AC=AQ ∵∵QEB=45°=∵CBA∵EQ=BQ ∵AB=AQ+BQ=AC+CE ∵③正确作∠ACN=∠BCD ，交AD 于N ，∵∠CAD=12∠CAB=22.5°=∠BAD ∴∠ABD=67.5° ∴∠DBC=22.5°=∠CAD∵∵DBC=∵CAD ∵AC=BC ∵ACN=∵DCB ∵∵ACN ∵∵BCD ∵CN=CD AN=BD ∵∵ACN+∵NCE=90°∵∵NCB+∵BCD=90° ∵∵CND=∵CDA=45° ∵∵ACN=22.5°=∵CAN ∵AN=CN ∵∵NCE=∵AEC=67.5° ∴CN=NE ∴CD-AN=EN=12AE ∵AN=BD ∴BD=12AE ∴①正确 ②正确. 过D 作DH ∵AB 于H ，∵∵FCD=∵CAD+∵CDA=67.5° ∵DBA=90°－∵DAB=67.5° ∵∵FCD=∵DBA∵AE 平分∵CAB DF ∵AC ，DH ∵AB ，∵DF=DH ∵∵DCF ∵∵DBH ∵BH=CF 由勾股定理可得：AF=AH ∴22AC AB AC AH BH AC AF CF AF AF AF AF AF+++++====，∴AC+AB=2AF AC+AB=2AC+2CFAB －AC=2CF ∵AC=CB ∵AB －CB=2CF ∵④正确.考点：三角形全等的判定及性质、勾股定理.26．如图，BD 是∠ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，，，，△cm 12BC cm 18AB cm 362ABC ===S 则DE 的长是（ ）A ．2cmBC ．3cmD 【答案】B【解析】 试题分析：∵BD 是∠ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥BC,由角平分线的性质可得DE=DF∴所以选B.考点：角平分线的性质27．如图在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DE ＝3，BD ＝2CD ，则BC ＝（ ）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】试题分析：要求BC，因为BC=BD+CD，且BD=2CD，所以求CD即可，求证∵ADE∵∵ADC即可得：CD=DE，可得BC=BD+DE．解：∵在∵ADE和∵ADC中，，∵∵ADE∵∵ADC，∵CD=DE，∵BD=2CD，∵BC=BD+CD=3DE=9．故答案为9．考点：勾股定理；角平分线的性质．28．观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（）A．PQ为∠APB的平分线B．PA=PBC．点A、B到PQ的距离不相等D．∠APQ=∠BPQ【答案】C【解析】试题分析：根据角平分线的作法进行解答即可．解：∵由图可知，PQ是∵APB的平分线，∵A，B，D正确；∵PQ是∵APB的平分线，PA=PB，∵点A、B到PQ的距离相等，故C错误．故选C．点评：本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法及性质是解答此题的关键．二、解答题29．（6分）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）在△ABC的形内求作一点P，使得点P到A、B两点的距离相等，到AB、AC两边的距离也相等．【答案】作图见试题解析．【解析】试题分析：分别作∠A的平分线AE和线段AB的垂直平分线MN，利用角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质得出即可．试题解析：如图所示：作∠A的平分线AE和线段AB的垂直平分线MN，交点即为所要求作的点P．考点：1．作图—复杂作图；2．角平分线的性质；3．线段垂直平分线的性质．30．如图所示，BD平分∠ABC，AB=BC，点P在BD上，PM∠AD，PN∠CD，M、N为垂足．求证：PM=PN．【答案】见解析【解析】试题分析：根据条件证明∵ABD∵∵CBD得出∵ADD=∵CDB，然后利用角平分线的性质可得出结论．试题解析：证法一：∵BD平分∵ABD，∵∵ABD=∵CBD．在∵ABD和∵CBD中，{AB BCABD CBD BD BD=∠=∠= ∵∵ABD ∵∵CBD∵∵ADD=∵CDB∵PM ∵AD ，PN ∵CD ， ∵PM=PN ．证法二：∵BD 平分∵ABD ， ∵∵ABD=∵CBD ．在∵ABD 和∵CBD 中， {AB BCABD CBD BD BD=∠=∠= ∵∵ABD ∵∵CBD∵∵ADD=∵CDB∵PM ∵AD ，PN ∵CD ， ∵∵PND=∵PMD=90° 在∵PMD 和∵PND 中， {PMD PNDMDP NDP PD PD∠=∠∠=∠= ∵PM=PN ．考点：角平分线的性质、全等三角形的判定与性质．。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质习题(含答案) (90)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质习题(含答案) (90)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________．【答案】50°【解析】是利用角平分线的性质定理和判定定理证AP是∠BAC外角的平分线！而∠BAC=2∠BPC也是可证的！由∠BPC=40°和角平分线性质，得∠ACD-2∠ABC=2×40°=80°即∠BAC=80°，则∠BAC的外角为100°，∠CAP=1×100°=50°．292．如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE=_____ °．【答案】50【解析】【分析】根据△ABC中DE垂直平分AC，可求出AE=CE，再根据等腰三角形的性质求出∠ACE=∠A=30°，再根据∠ACB=80°即可解答．【详解】∵DE垂直平分AC，∠A=30°，∴AE=CE，∠ACE=∠A=30°，∵∠ACB=80°，∴∠BCE=80°-30°=50°．故答案为：50．93．角的平分线上的点到角的两边的距离相等．（____）【答案】对【解析】【分析】先写出已知、求证，根据角平分线的定义得到∠POE=∠POF，由垂直的定义得∠PEO=∠PFO=90°，易证得△PEO≌△PFO，根据三角形全等的性质即可得到PE=PF．【详解】已知：OC平分∠AOB，点P为OC上任一点，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F.求证：PE=PF证明：∵OC平分∠AOB，∴∠POE=∠POF ，∵PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，∴∠PEO=∠PFO=90∘，在△PEO 和△PFO 中PEO PFO POE POF OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PEO ≌△PFO(AAS)，∴PE=PF.所以角平分线上的点到这个角的两边距离相等.故答案为：√【点睛】此题考查角平分线的性质，解题关键在于利用证明法求解.94．角平分线所在的直线是角的对称轴．（____）【答案】对【解析】【分析】根据对称轴的定义以及角平分线的定义分别分析得出答案即可．【详解】根据角平分线所在的直线是角的对称轴，故说法正确；故答案为：√.【点睛】此题考查轴对称的性质，解题关键在于掌握其性质.95．如图，∠AOB＝60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于12CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM＝6，则M点到OB的距离为_____．【答案】3【解析】【分析】直接利用角平分线的作法得出OP是∠AOB的角平分线，再利用直角三角形的性质得出答案．【详解】过点M作ME⊥OB于点E，由题意可得：OP是∠AOB的角平分线，则∠POB＝12×60°＝30°，∴ME＝12OM＝3．【点睛】此题主要考查了基本作图以及含30度角的直角三角形，正确得出OP是∠AOB的角平分线是解题关键．96．如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC＝90°，AD＝3，则DE的长为___．【答案】3．【解析】【分析】根据角平分线的性质解答即可．【详解】∵BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC＝90°，∴DE＝AD＝3，故答案为3．【点睛】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质解答．97．如图，四边形ABCD中，∠BCD＝90°，∠ABD＝∠DBC，AB＝3，DC＝4，则△ABD的面积为_____．【答案】6【解析】【分析】过点D作DE⊥AB交BA延长线于点E，利用角平分线的性质得出DE＝DC，进而利用三角形的面积公式解答即可．【详解】解：过点D作DE⊥AB交BA延长线于点E，∵∠ABD＝∠DBC，DC⊥BC，DE⊥AB，∴CD＝DE＝4，∴△ABD的面积＝11AB?DE436 22=⨯⨯=，故答案为：6．【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形面积求法，角平分线上的点到角两边距离相等，根据题意作出三角形的高，从而求出面积.98．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于D，交BC于E；②分别以D，E为圆心，以大于12DE的同样长为半径作弧，两弧交于点M；③作射线BM交AC于N．如果BN＝NC，∠A＝57°，那么∠ABN的度数为_____．【答案】41°【解析】【分析】根据作图方法可得BN是∠ABC的角平分线，进而可得∠ABN＝∠CBN，根据等边对等角可得∠C＝∠NBC，设∠ABN＝x°，则∠CBN＝∠C＝x°，利用三角形内角和为180°列出方程，再计算出x的值即可．【详解】解：根据作图方法可得BN是∠ABC的角平分线，∴∠ABN＝∠CBN，∵BN＝NC，∴∠C＝∠NBC，设∠ABN＝x°，则∠CBN＝∠C＝x°，x+x+x+57＝180，解得：x＝41，故答案为：41°．【点睛】此题主要考查了基本作图，以及三角形内角和定理，关键是掌握角平分线的作法．99．如图，已知直角三角形ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，AD平分∠BAC，DE∠AB于E点，BE＝3 cm，则CD＝________cm，∠DEB的周长为________cm.【答案】3 6＋3√2【解析】在等腰Rt∠BDE中∠BE＝3 cm，∠BD＝3√2cm，DE＝3 cm∠CD＝DE＝3 cm∠DEB周长为DE＋DB＋BE＝6＋3√2cm100．如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，EG 平分∠AEF交CD于点G，如果∠2＝64°，那么∠1的度数是______．【答案】32°【解析】【分析】先根据平行线的性质，求出∠AEF的度数；然后由角平分线性质，得出∠AEG 度数；再根据平行线的性质，即可得出∠1的度数．【详解】∵AB∥CD，∴∠AEF=∠2＝64°，∵EG平分∠AEF，∴∠AEG=12∠AEF＝32°，又∵AB∥CD，∴∠1=∠AEG＝32°，故答案为：32°．【点睛】本题主要考查平行线的性质和角平分线的性质．解题的关键是，熟练掌握平行线的性质，主要用到了“两直线平行，内错角相等”的性质．。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质习题(含答案) (86)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质习题(含答案) (86)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)如图，∠AOB为直角，∠BOC为锐角，且OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．（1）若∠BOC＝50°，试求∠MON的度数；（2）如果（1）中的∠BOC＝α（α为锐角），其他条件不变，试求∠MON 的度数；（3）如果（1）中∠AOB＝β，其他条件不变，你能求出∠MON的度数吗？（4）从（1）、（2）、（3）的结果，你能看出什么规律？【答案】（1）∠MON＝45；（2）∠MON＝45°；（3）∠MON＝1β；（4）2当∠BOC为锐角时，∠MON的大小等于∠AOB的一半而与∠BOC的大小无关.【解析】【分析】（1）先根据已知条件求出∠AOC的度数，再根据角平分线的性质即可得出∠MOC、∠NOC的度数，由∠MON=∠MOC-∠NOC即可得出结论；（2）把∠BOC=α代入（1）中，用α表示出∠MON与∠NOC的度数，再根据∠MON=∠MOC-∠NOC即可得出结论；（3）同（2），把∠AOB代入进行计算；（4）由（1）、（2）、（3）中∠MON的值找出规律进行解答．【详解】（1）∵∠AOB＝90°，∠BOC＝50°，∴∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝90°＋50°＝140°，又∵OM为∠AOC平分线，ON为∠BOC平分线，∴∠MOC＝12∠AOC＝12×140°＝70°，∠NOC＝12∠BOC＝12×50°＝25°，∴∠MON＝∠MOC－∠NOC＝70°－25°＝45；（2）当∠BOC＝α时，∠MOC＝12(90°＋α)，∠NOC＝12α，∠MON＝∠MOC－∠NOC＝12(90°＋α)－12α＝45°；（3）当∠AOB＝β时，∠MOC＝12(β＋50°)，∠NOC＝12∠BOC＝25°，∠MON＝∠MOC－∠NOC＝12(β＋50°)－25°＝12β；（4）由（1）、（2）、（3）可以看出，当∠BOC为锐角时，∠MON 的大小等于∠AOB的一半而与∠BOC的大小无关.【点睛】本题考查了角平分线的定义、角的和差，解决此类问题，注意结合图形，熟练运用角的和差和角平分线的定义求解是关键.52．已知: ∠AOB,点M、N.求作：点P,使点P在∠AOB的平分线上,且PM=PN.（要求：用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法）【答案】点P就是所求的点【解析】作出∠AOB的平分线；连接MN，作出MN的垂直平分线，角平分线与垂直平分线的交点即为所求的点．53．如图，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD交BE于点O.(1)若OC=OB，求证：点O在⊥BAC的平分线上；(2)若点O在⊥BAC的平分线上，求证：OC=OB．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)连接AO．通过全等三角形的判定定理ASA证明△CEO≌△BDO，继而可得OE=OD，再根据角平分线的判定定理即可得证；(2)由角平分线的性质可得OD=OE，然后证明△DOB≌△EOC，可得证OB=OC．【详解】(1)连接AO，∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，∴∠CEB=∠BDO=90°，又∵∠COE=∠BOD （对顶角相等），∴∠C=∠B （等角的余角相等），∴在△CEO 和△BDO 中，C B OC OBCOE BOD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△CEO ≌△BDO （ASA ），∴OE=OD （全等三角形的对应边相等），又∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，∴点O 在∠BAC 的平分线上；(2)∵AO 平分∠BAC ，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，∴OD=OE ，在△DOB 和△EOC 中，DOB EOC OD OEODB OEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△DOB ≌△EOC （ASA ），∴OB=OC ．【点睛】本题考查了角平分线的判定和性质和全等三角形的判定和性质，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.54．如图，⊥AOP=⊥BOP ，AD ⊥OB 于D ，BC ⊥OA 于C ，AD 与BC 交于点P ．求证：AP=BP .【答案】见解析【解析】【分析】先利用角平分线的性质得PC=PD ，再根据ASA 证明△APC ≌△BPD 即可得AP=BP【详解】证：∵∠AOP=∠BOP ，AD ⊥OB ，BC ⊥OA ，∴PC=PD在△ACP 和△BDP 中，90,,,ACP BDP PC PD APC BPD ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△APC ≌△BPD （ASA ）∴AP=BP.55．如图，在⊥ABC中，AD为⊥BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC 于F，⊥ABC的面积是28cm2，AB=20cm，AC=8cm，求DE的长．【答案】DE=2cm【解析】【分析】利用角平分线的性质，得出DE=DF，再利用△ABC面积是28cm2可求DE．【详解】解：△在△ABC中，AD为△BAC的平分线，DE△AB于E，DF△AC于F，△DE=DF，△△ABC面积是28cm2，AB=20cm，AC=8cm，△S△ABC=12AB•DE+12AC•DF=28，即12×20×DE+12×8×DF=28，解得DE=2cm．【点睛】全等三角形的判定与性质；三角形的面积；角平分线的性质．56．如图，在RtΔABC中，BE平分⊥ABC，ED⊥AB于D，若AC=3cm，求AE+DE.【答案】3cm【解析】【分析】要求AE+DE，现知道AC=3cm，即AE+CE=3cm，只要CE=DE则问题可以解决，而应用其它条件利用角平分线的性质正好可求出CE=DE．【详解】∵∠ACB=90°，∴EC⊥CB，又BE平分∠ABC，DE⊥AB，∴CE=DE，∴AE+DE=AE+CE=AC=3cm.【点睛】此题主要考查角平分线性质：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等；做题时要认真观察各已知条件在图形上的位置，根据位置结合相应的知识进行思考是一种很好的方法．57．如图，在⊥ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CF，AD+EC=AB．（1）求证：⊥DEF是等腰三角形；（2）当⊥A=40°时，求⊥DEF的度数；（3）请你猜想：当⊥A为多少度时，∠EDF+∠EFD=120°．【答案】（1）见详解；（2）70°；（3）60°．【解析】【分析】（1）根据已知条件证明△DBE△△ECF，问题得证；（2）根据等腰三角形性质求出△B=△C=70°，根据△DBE△△ECF，证明△FEC=△BDE，进而证明△FEC+△DEB=110°，从而求得△DEF=70°；（3）根据∠EDF+∠EFD=120°，求出∠DEF=60°，进而求出∠B=60°，最后求出∠A．【详解】（1）证明：△AB=AC△△B=△C．在△DBE和△ECF中△BE=CF，△B=△C，BD=EC，△△DBE△△ECF（SAS）．△DE=EF．△DEF是等腰三角形．（2）解：△△A=40°，△B=△C，△△B=△C=70°．△△BDE+△DEB=110°．∵△DBE△△ECF．△△FEC=△BDE，∴△FEC+△DEB=110°，△△DEF=70°．（3）解：△EDF+△EFD=120°，即△DEF=60°，△△FEC+△DEB=120°，即△B=60°．△AB=AC，△△A=60°．【点睛】本题是全等应用的常见题型；证明△DBE≌△ECF是解决本题的关键．58．如图，已知DE∥AB，∠EAD =∠ADE，试问AD是∠BAC的平分线吗，为什么．【答案】证明见解析．【解析】【分析】由DE∥AB，根据两直线平行，内错角相等，即可证得∠BAD=∠ADE，又由∠EAD=∠ADE，即可证得结论．【详解】解：AD是∠BAC的平分线．理由：∵DE∥AB，∴∠BAD=∠ADE，∵∠EAD=∠ADE，∴∠EAD=∠BAD，即AD是∠BAC的平分线．【点睛】此题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．59．如图，已知∠AOB及边OB上一点P求作⊙M，使⊙M与边OA、OB相切，且其中一个切点为点P【答案】详见解析【解析】【分析】根据切线的判定和性质先作∠AOB平分线，再过点P作OB的垂线，确定点M，据此作图可得．【详解】作法：如图，1、作∠AOB的平分线OE，2、过点P作射线OB的垂线PD，3、PD与OE的交点即为点M，4、以点M为圆心、MP为半径作圆，则⊙M即为所求．【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆的切线的判定与性质及角平分线的性质．60．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，在四边形ABCD中找一点P，使△ABP和△CDP的面积相等．尺规作图，找出所有满足条件的P点．【答案】见解析【解析】【分析】延长BA，CD交于点Q，尺规作∠BQC的角平分线交AD于点E，交BC 于点F，根据角平分线的性质可知，线段EF上的点到AB，CD上的距离相等，结合AB=CD即可得到△ABP和△CDP的面积相等．【详解】解：如图所示，延长BA，CD交于点Q，尺规作∠BQC的角平分线交AD 于点E，交BC于点F，则当点P在线段EF上时，△ABP和△CDP的面积相等，故线段EF上的点均是满足条件的点P．【点睛】本题考查了尺规作角平分线以及角平分线的性质，解题的关键是明确题意，确定作∠BQC的角平分线，并熟知角平分线的性质．。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质习题(含答案) (92)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质习题(含答案) (92)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)如图，AB 、CD 相交于点O ，∠1= 80°，DE ∥AB ，DF 是∠CDE 的平分线，与AB 交于点F 那么∠DFB 的度数为（ ）A ．80°B ．100°C ．120°D ．130°【答案】D【解析】【分析】 根据邻补角的定义，求出COF ∠的度数，由DE ∥AB ，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠CDE 的度数，又由角平分线的性质得到FDE ∠的度数，然后由平行线的性质，即可求得答案．【详解】∵∠1= 80°，18080100,COF ∠=-=∵DE ∥AB ，∴100,CDE COF ∠=∠=∵DF 是∠CDE 的平分线， ∴150,2FDE CDE ∠=∠= ∵DE ∥AB ，∴180********.DFB FDE ∠=-∠=-=故选:D.【点睛】考查平行线的性质，角平分线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键.12．如图，在四边形ABDC中，∠B＝∠D＝90°，∠BAC与∠ACD的平分线交于点O，且点O在线段BD上，BD＝4，则点O到边AC的距离是（）A．1 B．1.5 C．2 D．3【答案】C【解析】【分析】过O作OE⊥AC于E，根据角平分线的性质即可得到结论．【详解】解：过O作OE⊥AC于E，⊥⊥B＝⊥D＝90°，⊥BAC与⊥ACD的平分线交于点O，⊥OB＝OE＝OD，⊥BD＝4，⊥OB＝OE＝OD＝2，⊥点O到边AC的距离是2，故选C．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．13．如图,观察图中尺规作图痕迹,下列说法错误的是( )A ．OE 是AOB ∠的平分线B ．OC OD = C ．点C,D 到OE 的距离不相等D ．AOE BOE ∠=∠【答案】C【解析】 分析：根据图形的画法得出OE 是AOB ∠的平分线，再根据尺规作图的画法结合角平分线的性质逐项分析四个选项即可得出结论．详解：根据尺规作图的画法可知：OE 是∠AOB 的角平分线．A. OE 是∠AOB 的平分线，A 正确；B. OC =OD ，B 正确；C. 点C . D 到OE 的距离相等，C 不正确；D. ∠AOE =∠BOE ，D 正确.故选C.点睛：考查尺规作图-角平分线，根据角平分线的性质回答即可.14．若AD 是ABC ∆ 的角平分线，则AD 是( )A．直线B．射线C．线段D．以上都不对【答案】C【解析】【分析】根据三角形角平分线的定义解答．【详解】解：三角形的角平分线是一条线段．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线、高，熟记角平分线的定义是解题的关键．15．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，以点A为圆心，以任意长为半径EF 画弧，交AB于点E，交AD于点F，分别以点E和点F为圆心，以大于12长为半径画弧，两弧交于点G，作射线AG，交BC于点H，由作图过程可得到△ABH一定是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】利用角平分线的性质以及平行线的性质得出∠BAH＝∠AHB，进而得出△ABH的形状．【详解】∵AD∥BC，∴∠DAH＝∠AHB，∵作图过程是作的∠DAB的角平分线，∴∠BAH＝∠DAH，∴∠BAH＝∠AHB，∴AB＝BH，∴△ABH一定是等腰三角形．故选：A．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的性质等知识，利用已知得出∠BAH＝∠AHB是解题关键．16．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心作弧，分别与x轴和yAB的长为半径轴的正半轴交于点A和点B，再分别以A、B为圆心，以大于12作弧，两弧交于点P（m﹣1，2n），则实数m与n之间的关系是（）A．m﹣2n＝1 B．m+2n＝1 C．2n﹣m＝1 D．n﹣2m＝1【答案】A【解析】【分析】根据题意可得出点P在∠AOB的角平分线上，再由∠AOB=90°可知m-1=2n，据此可得出结论．【详解】解：⊥由题意可得出点P在⊥AOB的角平分线上，⊥AOB＝90°，⊥m﹣1＝2n，即m﹣2n＝1．故选：A．【点睛】本题考查的是尺规作图-作角的平分线，以及角平分线的性质，点的坐标，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．，，三点，现计划修建一个商品超市，要求17．三条公路两两相交于A B C这个超市到三条公路距离相等，可供选择的地方有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】【分析】因为要到三条公路距离相等，所以超市要选择的位置是△ABC内角平分线和外角平分线的交点，作图可知．【详解】如图故选：D ．【点睛】此题考查角平分线的性质，解题关键在于画出图形.18．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC 、AB 于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若2CD =，13AB =，则ABD ∆的面积是（ ）A ．26B ．13C ．39D ．52【答案】B【解析】【分析】 作DE AB ⊥于E ，根据角平分线的性质得到3DE DC ==，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：如图，作DE AB ⊥于E ，由基本尺规作图可知，AD 是ABC ∆的角平分线，90C∠=︒，DE AB⊥，2DE DC∴==，ABD∴∆的面积1113213 22AB DE=⨯⨯=⨯⨯=，故选：B．【点睛】本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．19．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（）A．a=b B．2a+b=﹣1 C．2a﹣b=1 D．2a+b=1【答案】B【解析】试题分析：根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上，则P点横纵坐标的和为0，即2a+b+1=0，∴2a+b=﹣1．故选B ．20．如图，Rt OAB 的直角边OA 在x 轴上，OB 在y 轴的正半轴上，且()3,0A ，4sin 5OAB ∠=，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交OA ，AB 于点C ，D ；②分别以C ，D 为圆心，大于12CD 的长为半径作弧，两弧在OAB ∠内交于点M ；③作射线AM ，交y 轴于点E ，则点E 的坐标为（ ）A ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(D ．( 【答案】B【解析】【分析】如图，过点E 作EF 垂直AB 于点F ，垂足为点F.由()3,0A ，4sin 5OAB ∠=，可求得OB 的长度，根据基本作图可知AM 为∠OAB 的平分线，易得OE=EF ，利用面积相等法可得S △OAB =S △OAE + S △BAE ，即可求得点E 的坐标.【详解】解：如图，过点E 作EF 垂直AB 于点F ，垂足为点F.∵()3,0A ，4sin 5OAB ∠=， 根据勾股定理可得：OB=4，AB=5， ∵点E 作EF 垂直AB 于点F ，∴∠EFA=90°，∴∠OEA=∠EFA ，根据基本作图可知AM 为∠OAB 的平分线， ∴OE=EF ，∵S △OAB =S △OAE + S △BAE ， ∴111222OA OB OA OE AB EF 1113435222OE OE ， 解得：32OE =, ∴点E 的坐标为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故答案选：B.【点睛】本题考查角平分线的性质以及勾股定理，利用面积相等法得到S△OAB=S△OAE+ S△BAE是解题的关键.。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质习题(含答案) (14)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质习题(含答案) (14)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)如图，已知OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA＝2，则PQ的最小值为_____，理论根据为_____．【答案】2 角平分线上的点到角两边的距离相等【解析】如图，当PQ⊥ON时，PQ最短，由OP平分⊥MON，PA⊥ON于点A，可知：此时PQ=PA=2，根据是:“角平分线上的点到角两边的距离相等”.32．如图所示，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，AB=36cm，BC=24cm，S△ABC=144cm，则DE的长是____．【答案】4.8cm【解析】如图，过点D作DF⊥BC于点F，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，∴DF=DE.⊥S△ABC= S△ABD + S△BCD =12AB⋅DE+12BC⋅DF=12(AB+BC)⨯DE=144，⊥12(36+24)⨯DE=144，解得：DE=4.8（cm.）33．如图所示，△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB 于点E，AB=8cm，BC=6cm，S△ABC=14cm2，则DE的长是_________cm．【答案】2【解析】∵BD是∠ABC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB于点E，∴DE=DC.⊥S△ABC= S△ABD + S△BCD =12AB⋅DE+12BC⋅DC=12(AB+BC)⨯DE=14，⊥12(8+6)⨯DE=14，解得：DE=2（cm.）34．如图所示，AO为∠A的平分线，OE⊥AC于E，且OE=2，则点O到AB的距离等于_______．【答案】2【解析】如图，作OF⊥AB于点F，∵AO为∠BAC的角平分线，OE⊥AC于点E，∴OF=OE=2，即点O到AB的距离等于2.35．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC 于F，△ABC面积是45cm2，AB=16cm，AC=14cm，则DE=______．【答案】3cm【解析】⊥AD为⊥BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，⊥DE=DF.⊥S△ABC=S△ABD+S△ACD=12AB⋅DE+12AC⋅DF=12(AB+AC)⋅DE⊥12DE(AB+AC)=45，即：1(1614)452DE⨯+=，解得：DE=3（cm）.36．如图，在⊥ABC，⊥C=90°，⊥ABC=40°，按以下步骤作图：⊥以点A为圆心，小于AC的长为半径．画弧，分别交AB、AC于点E、F；⊥分别以点E、F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；⊥作射线AG，交BC边于点D，则⊥ADC的度数为_____．【答案】65°【解析】由题意可知，所作的射线AG是∠BAC的角平分线.⊥在⊥ABC中，⊥C=90°，⊥ABC=40°，⊥⊥BAC=180°-90°-40°=50°，⊥⊥CAD=12⊥BAC=25°，⊥⊥ADC=180°-90°-25°=65°.37．如图，点O在直线AB上，OD是∠AOC的平分线，OE是∠COB的平分线，则∠DOE=______．【答案】90°【解析】∵OD是∠AOC的平分线，∴∠COD=12∠AOC，∵OE是∠COB的平分线，∴∠COE═12∠COB.∴∠DOE=∠COD+∠COE=12∠AOC+12∠COB=12∠AOB，∵∠AOB=180°，∴∠DOE=90°；故答案为：90°.38．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC 于F，△ABC面积是322cm，AB＝9cm，AC＝7cm，则DE=______．【答案】4cm【解析】试题解析：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∵S△ABC=S△ABD+S△ACD=12AB×DE+12AC×DF∴S△ABC=12（AB+AC）×DE即12×（9+7）×DE=32，故DE=4cm．39．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=7,BD=4，则点D到AB的距离为________.【答案】3【解析】如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵BD=4，BC=7，∴CD=BC-BD=7-4=3，∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=3.40．如图，在△ABC中，∠A=64°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，则∠A1= ______ ；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；…；∠A n-1BC与∠A n-1CD的平分线相交于点A n，要使∠A n的度数为整数，则n的值最大为______ ．【答案】32˚ 6【解析】由三角形的外角性质得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∴∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12∠ACD，∴∠A1+∠A1BC=12(∠A+∠ABC)=12∠A+∠A1BC，∴∠A1=12∠A=12×64°=32°；∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，而∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠A1，∴∠A1=12∠A，同理可得∠A1=2∠A2，∴∠A2=14∠A，∴∠A=2n∠A n，∴∠A n=(12)n∠A=642n，∵∠A n的度数为整数，∵n=6.故答案为：32°，6.点睛：本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键.。

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质复习题(含答案) (29)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质复习题(含答案) (29)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)如图①，∠AOB＝90°，∠AOC为∠AOB外的一个角，且∠AOC＝30°，射线OM平分∠BOC，ON平分∠AOC．（1）求∠MON的度数；（2）如果（1）中∠AOB＝α，∠AOC＝β．（α，β为锐角），其它条件不变，求出∠MON的度数；（3）其实线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，如图②线段AB＝m，延长线段AB到C，使得BC＝n，点M，N分别为AC，BC的中点，求MN的长（直接写出结果）．【答案】（1）45°；（2）12 ；（3）MN＝12m．【解析】【分析】（1）根据角的平分线的特点，可以得知所分两角相等，等于原角的一半，根据角与角之间的数量关系即可得出结论；（2）根据角的平分线的特点，可以得知所分两角相等，等于原角的一半，根据角与角之间的数量关系即可得出结论；（3）根据（2）的原理，可直接得出结论．【详解】解：（1）∵∠BOC ＝∠AOB +∠AOC ＝90°+30°＝120°，射线OM 平分∠BOC ，∴∠COM ＝12∠BOC ＝12×120°＝60°， ∵ON 平分∠AOC ，∴∠CON ＝12∠AOC ＝12×30°＝15°， ∴∠MON ＝∠COM ﹣∠CON ＝60°﹣15°＝45°．（2）∵∠BOC ＝∠AOB +∠AOC ＝α+β，∵射线OM 平分∠BOC ，∴∠COM ＝12∠BOC ＝12（α+β）， ∵ON 平分∠AOC ，∴∠CON ＝12∠AOC ＝12β， ∴∠MON ＝∠COM ﹣∠CON ＝12（α+β）﹣12β＝12α． （3）MN ＝12m ． 【点睛】 本题考查的是角的计算，解题的关键是明白角平分线的特点，根据此特点结合角与角间的数量关系即可得出结论．82．()1如图(甲)，点O 在直线AB 上，OC 为射线，OD ，OE 分别平分BOC ∠，AOC ∠．①若40BOC ∠=，COD ∠与COE ∠有怎样的数量关系？说明理由； ②若(180)BOC ∠αα=<，COD ∠与COE ∠又有怎样的数量关系？说明理由；()2如图(乙)，120AOB ∠=，OC 为AOB ∠内的一条射线，(120)BOC ∠αα=<，OD ，OE 分别平分BOC ∠，AOC ∠，()1中的结论是否还成立？若不成立，直接写出正确的结论．【答案】()1COD ∠①与EOC ∠互余②见解析()2不成立【解析】【分析】()1①先求出AOC ∠的值，再根据角平分线的定义表示出COD ∠、EOC ∠的值，然后相加即可得出二者的关系；②同①计算即可；()2根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论．【详解】()1COD ∠①与EOC ∠互余；理由：OD 平分BOC ∠，40BOC ∠=，140AOC ∠∴=，1202COD BOC ∠∠∴==， OE 平分C AO ∠，1EOC AOC 702∠∠∴==； 11DOE COD EOC BOC AOC 20709022∠∠∠∠∠∴=+=+=+=， COD ∠∴与EOC ∠互余； OD ②平分BOC ∠，BOC α∠=，AOC 180α∠∴=-，11COD BOC α22∠∠∴==， OE 平分AOC ∠，11EOC AOC 90α22∠∠∴==-； 1111DOE COD EOC BOC AOC α90α902222∠∠∠∠∠∴=+=+=++=-=， COD ∠∴与EOC ∠互余；()2不成立，OD ，OE 分别平分BOC ∠，AOC ∠，1COD BOC 2∠∠∴=，1COE AOC 2∠∠=， ()11111COD COE BOC AOC BOC AOC AOB 1206022222∠∠∠∠∠∠∠∴+=+=+==⨯=．【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，正确的识别图形，找出各部分量之间的关系是解题的关键．83．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AD 与BC 相交于点D ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，连接EF ．（1）求证：AD 垂直平分EF ；（2）试问：AB AC 与BD CD相等吗？并说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）AB BD AC CD= 【解析】【分析】（1）利用全等三角形的性质，证明AE ＝AF ，DE ＝DF 即可解决问题；（2）利用面积法证明即可.【详解】（1）∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ，∠AED ＝∠AFD ＝90°，∴Rt △ADE ≌Rt △AFD （HL ），∴AE ＝AF ，∵DE ＝DF ，∴AD 垂直平分相等EF ．（2）解：结论：AB BD AC CD =． 理由：∵1212ABD ADC AB DE S BD S CD AC DF ⋅==⋅， ∵DE ＝DF ，∴AB BD AC CD=． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用面积法证明线段之间的关系．84．如图，ABD ∠和BDC ∠的平分线交于点E ，BE 的延长线交CD 于点F ，且1290︒∠+∠=，求证：（1）AB ∥CD ；（2）猜想∠2与∠3的关系并证明．【答案】（1）证明见解析（2）90°【解析】【分析】由角平分线的性质得到∠1=12∠ABD，∠2=12∠BDC；由∠1+∠2=90°，得∠ABD+∠BDC=180°；所以AB∥CD；（2）由DE平分∠BDC，得∠2=∠FDE；由∠1+∠2=90°，结合题意得∠3+∠FDE=90°；所以∠2+∠3=90°．【详解】解：证明：（1）∵BE、DE平分∠ABD、∠BDC，∴∠1=12∠ABD，∠2= 12∠BDC；∵∠1+∠2=90°，∴∠ABD+∠BDC=180°；∴AB∥CD；（同旁内角互补，两直线平行）（2）∵DE平分∠BDC，∴∠2=∠FDE；∵∠1+∠2=90°，∴∠BED=∠DEF=90°；∴∠3+∠FDE=90°；∴∠2+∠3=90°．【点睛】本题考查角平分线的性质、平行线的判定，解题的关键是熟悉平分线的性质、平行线的判定.85．如图，AB∥CD，∠A＝90°，E是AD边的中点，CE平分∠BCD．（1）求证：BE平分∠ABC；（2）若AB＝2，CD＝1，求BC的长．【答案】(1)见解析;(2)3.【解析】【分析】（1）由角平分线的性质可得ED＝EM，由角平分线的判定可证BE平分∠ABC；（2）由全等三角形的性质可得DC＝CM＝1，AB＝BM＝2，即可求BC 的长．【详解】证明：（1）如图，作EM⊥BC于点M，⊥EC平分⊥DCB，ED⊥CD，EM⊥BC⊥ED＝EM又⊥DE＝AE，且EA⊥AB，EM⊥BC⊥BE平分⊥ABC（2）⊥DE ＝EM ，CE ＝CE⊥Rt ⊥DCE ⊥Rt ⊥MCE （HL ）⊥DC ＝CM ＝1同理可得AB ＝BM ＝2⊥BC ＝CM+BM ＝CD+AB ＝3【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，角平分线的性质和判定，熟练运用角平分线的性质和判定是本题的关键．86．如图所示，AOB ∠与COD ∠都是直角，OE 为BOD ∠的平分线，23BOE ∠=．①求AOC ∠的度数；②如果BOE α∠=，请直接用α的代数式(最简形式)表示AOC ∠．【答案】①134AOC ∠=；②AOC=1802∠α-.【解析】【分析】（1）易知AOC 360AOB COD BOD ∠∠∠∠=---，则只需求BOD ∠即可；（2）同理（1）.【详解】解：OE ①为BOD ∠的平分线，BOE 23∠=，BOD 2BOE 22346∠∠∴==⨯=，AOC 360AOB COD BOD 360909046134∠∠∠∠∴=---=---=， 故AOC 134∠=BOE α②∠=，OE 为BOD ∠的平分线，AOC 360AOB COD BOD 36090902α1802α∠∠∠∠∴=---=---=- ，故用α的代数式(最简形式)表示AOC ∠为：1802α-.【点睛】本题考查的是角平分线的定义：角平分线分得的两个角相等，都等于该角的一半．87．如图，80AOB ∠=，OP 平分BOC ∠，OQ 平分AOC ∠，求POQ ∠的度数．【答案】40°.【解析】【分析】根据角平分线的定义求出QOC ∠与POC ∠的度数，然后相减即可得到POQ ∠的度数．【详解】解：80AOB ∠=， OP 平分BOC ∠，OQ 平分AOC ∠，1BOC 2POC ∠∠∴=，1QOC AOC 2∠∠=， ()11POQ QOC POC AOC BOC AOB 4022∠∠∠∠∠∠∴=-=-==． 【点睛】本题考查了角的计算与角平分线的定义，准确识图，找出POQ QOC POC ∠∠∠=-的等量关系是解题的关键．88．如图1，在长方形纸片ABCD 中，E 点在边AD 上，F 、G 分别在边AB 、CD 上，分别以EF 、EG 为折痕进行折叠并压平，点A 、D 的对应点分别是点A ′和点D ′，（1）如图2中A ′落在ED ′上，求∠FEG 的度数；（2）如图3中∠A ′ED ′＝50°，求∠FEG 的度数；（3）如图4中∠FEG ＝85°，请直接写出∠A ′ED ′的度数；（4）若∠A ′ED '＝n °，直接写出∠FEG 的度数（用含n 的代数式表示）．【答案】（1）∠FEG ＝90°；（2）∠FEG ＝115°；（3）∠A ′ED ′＝10°；（4）∠FEG 的度数为1802n ︒+︒或1802n ︒-︒． 【解析】【分析】（1）由翻折性质知△EAF≌△EA′F，△EDG≌△ED′G，据此得∠A′EF＝12∠AEA′，∠D′EG＝12∠DED′，结合∠AEA′+∠DED′＝180°可得答案；（2）由∠A′ED′＝50°知∠AEA′+∠DED′＝130°，据此得∠A′EF+∠D′EG ＝12×（∠AEA′+∠DED′）＝65°，根据∠FEG＝∠A′ED′+∠A′EF+∠D′EG可得答案；（3）由∠FEG＝85°知∠A′EF+∠D′EG＝95°，根据∠A′ED′＝∠A′EF+∠D′EG﹣∠FEG可得答案；（4）分别结合图3和图4两种情况，先表示出∠A′EF+∠D′EG的度数，再分别根据∠FEG＝∠A′EF+∠D′EG+∠A′ED′和∠FEG＝∠A′EF+∠D′EG﹣∠A′ED′求解可得．【详解】解：（1）由翻折知△EAF≌△EA′F，△EDG≌△ED′G，∴∠A′EF＝12∠AEA′，∠D′EG＝12∠DED′，∵∠AEA′+∠DED′＝180°，∴∠FEG＝∠A′EF+∠D′EG＝12（∠AEA′+∠DED′）＝90°；（2）由（1）知∠A′EF＝12∠AEA′，∠D′EG＝12∠DED′，∵∠A′ED′＝50°，∴∠AEA′+∠DED′＝130°，∴∠A′EF+∠D′EG＝12×（∠AEA′+∠DED′）＝65°，∴∠FEG＝∠A′ED′+∠A′EF+∠D′EG＝115°；（3）∵∠FEG＝85°，∴∠AEF+∠DEG＝95°，∴∠A ′EF +∠D ′EG ＝95°，则∠A ′ED ′＝∠A ′EF +∠D ′EG ﹣∠FEG ＝95°﹣85°＝10°；（4）如图3，∵∠A ′ED ′＝n °，∴∠AEA ′+∠DED ′＝180°﹣∠A ′ED ′＝（180﹣n ）°，∵2∠A ′EF ＝∠AEA ′，2∠D ′EG ＝∠DED ′，∴∠A ′EF +∠D ′EG ＝180?2n ︒-， ∴∠FEG ＝∠A ′EF +∠D ′EG +∠A ′ED ′＝180?2n ︒-+n °＝180?2n ︒+； 见图4，∵∠AEA ′+∠DED ′﹣∠A ′ED ′＝180°，∠A ′ED ′＝n °，∴∠AEA ′+∠DED ′＝180°+n °，∵2∠A ′EF ＝∠AEA ′，2∠D ′EG ＝∠DED ′，∴∠A ′EF +∠D ′EG ＝180?2n ︒+， ∴∠FEG ＝∠A ′EF +∠D ′EG ﹣∠A ′ED ′＝180?2n ︒+﹣n °＝180?2n ︒-； 综上，∠FEG 的度数为180?2n ︒+或180?2n ︒-． 【点睛】本题是翻折变换的综合问题，解题的关键是掌握翻折变换的性质、角度的和差倍分运算等知识点．89．已知：如图，∠ABC ＝∠ADC ，BF 、DE 分别平分∠ABC 与∠ADC ．∠1＝∠3，求证：AB ∥DC ．证明：∵∠ABC ＝∠ADC ( )∴1122ABC ADC∠=∠( )∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC ( )∴111,222ABC ADC∠=∠∠=∠( )∴∠______＝∠______ ( )∵∠1＝∠3( )∴∠2＝∠______ (等量代换)∴____∥____ ( )【答案】已知，等式的性质；已知，角平分线的定义；1，2，等量代换；已知，3，AB，DC，内错角相等，两直线平行.【解析】【分析】根据等式的性质，角平分线的定义，等量代换，平行线的判定方法求解即可.【详解】证明：⊥⊥ABC＝⊥ADC (已知)，∴1122ABC ADC∠=∠(等式的性质).∵BF、DE分别平分⊥ABC与⊥ADC(已知)，∴111,222ABC ADC∠=∠∠=∠(角平分线的定义)，∴∠1＝∠2(等量代换).∵∠1＝⊥3( 已知)，∴∠2＝⊥3(等量代换)，∴AB∥DC (内错角相等，两直线平行).故答案为：已知，等式的性质；已知，角平分线的定义；1，2，等量代换；已知，3，AB，DC，内错角相等，两直线平行.【点睛】本题考查了等式的性质，角平分线的定义，等量代换，平行线的判定方法等知识.解答本题的关键是熟练掌握平行线的判定方法.90．如图，已知△ABC中AB＝AC，在AC上有一点D，连接BD，并延长至点E，使AE＝AB．（1）画图：作∠EAC的平分线AF，AF交DE于点F（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，连接CF，求证：∠ABE＝∠ACF；（3）若AC＝8，∠E＝15°，求三角形ABE的面积．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）16.【解析】【分析】（1）以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别与AC、AE相交，然后以这两点为圆心，以大于它们1长度为半径画弧，两弧相交于一点，过点A与这2一点作出射线与BE的交点即为所求的点F；（2）求出AE ＝AC ，根据角平分线的定义可得∠EAF ＝∠CAF ，再利用“边角边”证明△AEF 和△ACF 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABE ＝∠ACF ；（3）作高线EG ，根据三角形的外角性质得∠EAG ＝30°，根据直角三角形的性质可得高线EG ＝4，根据三角形面积公式可得结论．【详解】（1）解：如图所示；（2）证明：∵AB ＝AC ，AE ＝AB ，∴AE ＝AC ，∵AF 是∠EAC 的平分线，∴∠EAF ＝∠CAF ，在△AEF 和△ACF 中，AE AC EAF CAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AEF ≌△ACF （SAS ），∴∠E ＝∠ACF ，∵AB ＝AE ，∴∠ABE＝∠E，∴∠ABE＝∠ACF．（3）解：如图，过E作EG⊥AB，交BA的延长线于G，∵AB＝AC＝AE＝8，∴∠ABE＝∠AEB＝15°，∴∠GAE＝∠ABE+∠AEB＝30°，∴EG＝12AE＝4，∴三角形ABE的面积＝12AB EG⨯⨯＝1842⨯⨯＝16．【点睛】本题考查了全等三角形的判断与性质，等腰三角形的性质，角平分线的作法，确定出全等三角形的条件是解题的关键．。

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人教版_部编版八年级数学上册第十二章第三节角的平分线的性质考试复习题（含答案)如图，在△ABC中，AB=AC，CD是AB边上的中线，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE. 请你探究：（1）当∠BAC为直角时，直接写出线段CE与CD之间的数量关系；（2）当∠BAC为锐角或钝角时，（1）中的上述数量关系是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。

【答案】（1）CE=2CD；（2）仍然成立【解析】试题分析：（1）如图，延长CE到F，使EF=CE，连接FB．由CE是AB边上的中线，∠BEF=∠AEC，可证得△AEC≌△BEF，进而得∠1=∠A，FB=BD，从而可得△CDB≌△CFB，即可得到结果;（2）根据上面的方法，直接可画图证明即可.试题解析：（1）CE=2CD；延长CE到F，使EF=CE，连接FB，∵CE是AB边上的中线，∴AE=BE，又∵∠BEF=∠AEC，∴△AEC≌△BEF，∴FB=AC，∠1=∠A，∵BD=AB，∴FB=BD，∵∠3=∠A+∠ACB=∠1+∠2，即∠CBD=∠CBF，又∵BC为公共边，∴△CDB≌△CFB，∴CD=CF=2CE，即2CE=CD（2）仍然成立. 例如取AC中点M,连接BM.证法较多，略。

点睛：辅助线问题是初中数学学习中的难点，能否根据具体情况正确作出恰当的辅助线往往能够体现一个学生对图形的理解能力，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.92．用直尺和圆规按下列要求作图：（不写作法，保留作图痕迹）（1）作∠ABC的角平分线（2）过点P作L的垂线【答案】画图见解析.【解析】试题分析：（1）根据作已知角平分线的方法作图即可．（2）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法可作出垂线即可．试题解析：(1)(2)如图所示：。

93．如图，在△ABC中，∠BAC是钝角，按要求完成下列画图．（不写作法，保留作图痕迹，并分别写出结论）①用尺规作∠BAC的角平分线AE．②用三角板作AC边上的高BD．③用尺规作AB边上的垂直平分线MN．【答案】【解析】试题分析：（1）根据角平分线的做法作图即可（2）利用直角三角板，一条直角边与AC重合，另一条直角边过点B，再画垂线即可；（3）根据线段垂直平分线的作法作图．试题解析：如图所示：94．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．（1）求证：CF＝EB．（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．【答案】（1）见解析；（2）2【解析】试题分析：（1）根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D 到AB 的距离=点D 到AC 的距离即DE=CD ，再根据HL 证明Rt △CDF ≌Rt △EBD ，从而得出CF=EB ；（2）设CF=x ，则AE=12-x ，再根据题意得出△ACD ≌△AED ，进而可得出结论．试题解析：（1）证明：∵AD 平分∠BAC ，∠C=90°，DE ⊥AB 于E ，∴DE=DC ．在△CDF 与△EDB 中，DF DB DC DE ⎧⎨⎩＝＝ ∴Rt △CDF ≌Rt △EDB （HL ），∴CF=EB ．（2）解：设CF=x ，则AE=12-x ，∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，∴CD=DE ．在△ACD 与△AED 中，AD AD CD DE ＝＝⎧⎨⎩∴△ACD ≌△AED （HL ），∴AC=AE ，即8+x=12-x ，解得x=2，即CF=2．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键．95．如图，两条公路OA OB 、相交于点O ，在AOB ∠内部有两个村庄C D 、，现要在AOB ∠内部修建一个水库P ，使得该水库到两条公路OA OB 、距离相等，且到两个村庄C D 、的距离也相等．请通过尺规作图确定水库P 的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论）【答案】作图见解析.【解析】试题分析：利用角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质分别得出即可． 试题解析：如图所示：P 点即为所求。

96．如图①，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点E 在AC 上（且不与点A ，C 重合），在△ABC 的外部作△CED ，使∠CED=90°，DE=CE ，连接AD ，分别以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABFD ，连接AF ．（1）请直接写出线段AF ，AE 的数量关系 ；（2）将△CED 绕点C 逆时针旋转，当点E 在线段BC 上时，如图②，连接AE ，请判断线段AF ，AE 的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）AE ；（2）AE ，证明见解析.【解析】解：（1）如图①中，∵四边形ABFD 是平行四边形，∴AB=DF ，∵AB=AC ，∴AC=DF ，∵DE=EC ，∴AE=EF ，∵∠DEC=∠AEF=90°，∴△AEF 是等腰直角三角形， ∴AE ．（2）如图②中，连接EF ，DF 交BC 于K ．∵四边形ABFD 是平行四边形，∴AB ∥DF ，∴∠DKE=∠ABC=45°，∴EKF=180°﹣∠DKE=135°，∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°，∴∠EKF=∠ADE ， ∵∠DKC=∠C ，∴DK=DC ，∵DF=AB=AC ，∴KF=AD ， 在△EKF 和△EDA 中，{EK DKEKF ADE KF AD=∠=∠=，∴△EKF ≌△EDA ， ∴EF=EA ，∠KEF=∠AED ，∴∠FEA=∠BED=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴．97．解决问题时需要思考：是否解决过与其类似的问题.小明从问题1解题思路中获得启发从而解决了问题2.问题1：如图①，在正方形ABCD中，E、F是BC、CD上两点，∠EAF＝45°.求证：∠AEF＝∠AEB.小明给出的思路为：延长EB到H，满足BH＝DF，连接AH.请完善小明的证明过程.问题2：如图②，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D 为AB中点，E、F是AC、BC边上两点，∠EDF＝45°．（1）求点D到EF的距离．（2）若AE＝a，则S△DEF＝（用含字母a的代数式表示）．【答案】（1）证明见解析；（2）2，（3）a＋－4【解析】试题分析：问题1：如图①中，延长EB到H，满足BH=DF，连接AH，只要证明△AHE≌△AFE，即可推出∠AEF=∠AEB；问题2：（1）如图②中，过点D分别向AC、BC、EF作垂线，垂足分别为G、H 、M ，利用（1）中即可，根据角平分线的性质定理即可解决问题，（2）在Rt △DEG 中，S △AED =12•AE •DG=a ，△DEF ∽△AED ，推出222-4+8=()DEF AED S DE a a SAE a ，由此即可解决问题； 试题解析：问题1：证明：如图①中，延长EB 到H ，满足BH=DF ，连接AH∵AB=AD ，∠ABH=∠D=90°，BH=DF ，∴△ADF ≌ABH ，∴∠DAF=∠BAH ，AF=AH ，∵∠DAF+∠BAE=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°，即∠EAH=∠BAH+∠BAE=45°，∴∠EAH=∠EAF ，又∵AF=AH ，AE=AE ，∴△AHE ≌△AFE ，∴∠AEF=∠AEB ．问题2：解：（1）过点D 分别向AC 、BC 、EF 作垂线，垂足分别为G 、H 、M ，∵∠ACB=90°，∴CGDH 为矩形，∵AC=BC=4，D 为AB 中点， ∴DG=DH=12BC=2， ∴四边形CGDH为正方形，由问题1知∠DEG=∠DEM ，∴DM=DG=2．（2）在Rt △DEG 中，DE=22222+=(-2)+2=-4+8EG DG a a a ，∵S △AED =12•AE •DG=a ， ∵△DEF ∽△AED ，∴222-4+8=()DEFAED S DE a a S AE a ， ∴S △DEF =2-4+8a a a． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．98．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB,交CB 于点D,DE ⊥AB 于点E.(1)求证：△ACD ≌△AED(2)若AC=5，△DEB 的周长为8，求△ABC 的周长【答案】（1）证明见解析；（2）△ABC 的周长是18．【解析】试题分析：(1)、根据角平分线的性质得出DC=DE ，结合AD=AD 从而得出两个直角三角形全等；(2)、根据全等得出AE=AC=5，CD=ED ，从而得出△ABC 的周长=AC+AC+△DEB 的周长得出答案.试题解析：(1)、因为AD 平分∠CAB ，∠C=90°，DE ⊥AB 所以DC=DE在△ACD 和△AED 中，DC=DE ，AD=AD 得△ACD ≌△AED （HL ）（2）由（1）得△ACD ≌△AED 所以AE=AC=5，CD=EDABC C ∆=AC+AB+BC=AC+（AE+EB ）+（BD+DC ）=AC+AC+EB+BD+DE ）=AC+AC+DEB C ∆=5+5+8=18．99．在平行四边形ABCD 中，AB=2AD ．（1）作AE 平分∠BAD 交DC 于E （尺规作图，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，连接BE ，判定△ABE 的形状（不要求证明）．【答案】（1）作图见解析；（2）△ABE为直角三角形．【解析】试题分析：（1）根据作角平分线的方法求作即可；（2）过E作EF∥AD交AB于点F，则四边形AFED是平行四边形，可证AB，即可求得结果.得EF＝12试题解析：（1）如图，AE为所求；（2）△ABE为直角三角形．证明：过E作EF∥AD交AB于点F，则四边形AFED是平行四边形，∴∠FEA=∠FAD EF=AD∵AE为∠DAB的平分线∴∠EAF=∠EDA∴∠FEA=∠EAF∴EF=AF∵AB=2AD∴AB=2EF∴AF=EF=FB∴△ABE为直角三角形．100．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC 于点D，若AC=5，BC=12．求点D到AB的距离．【答案】103【解析】试题分析：过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD=DE，然后利用“HL”证明△ACD和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AC，表示出BE，设DE=x，表示出BD，然后利用勾股定理列式计算即可得解．试题解析：作DE⊥AB于点E，∵∠C=90°，AC=5，BC=12．∴AB=13∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB∴DC=DE，∴△AEH≌△CEB．∴AE=AC=5，BE=13－5=8设DE=x，则DC=x，BD=12－x，在Rt△BDE中，∵DE2+BE2=BD2 ∴x2+82=(12－x) 2 得x=103答：点D到AB的距离为103。

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