微积分：微商的运算法则

且
f
( x )
1 ( y )
,
或 dy 1 .
dx
dx dy
例1 求函数y arcsin x的导数。
解 y arcsin x, x (1,1)是x sin y
的反函数，
(arcsin x) 1 (sin y)
1 cos y
1
1
1 sin2 y
1 x2
类似 (arccos x) 1 1 x2
cos x sin x
cot
x.
1
例3
sin
ye x,
求 dy . dx
解
dy
1 sin
ex
(sin
1 )
dx
1 sin
ex
x
cos 1
( 1 )
xx
1 x2
sin 1
ex
coswk.baidu.com
1 x
.
例 4 求幂函数y x (为实数)的微商
解 y x e ln x
（y） e ln x 1
x
解
y f (2x )2x ln 2 f ( x ) 1 . 2x
五、其它微商法
1、隐函数微商法
定义：若变量x、y之间的函数关系是由 一个方程F( x, y) 0所确定，则称 这种函数为隐函数。
方法： 把y看成是x的函数，在方程两边 直接对x求微商就行。
例 1方程 x3 2xy y5 0确定了
x
ln x ln a
,
(loga
x)
( ln x ) ln a
1 (ln x) 1 .
ln a
x ln a
例 5设
f (x)
x sin x ,
1 cos x
求f
( x)。
解
f
( x)
(x
sin
x)(1
cos x) (1 cos
x sin x)2
x(1
cos
x)
(sin x x cos x)(1 cos x) x sin x( sin x)
x
(arcsin x) 1 1 x2
(arctan
x )
1
1 x
2
(arccos x) 1 1 x2
(
arccot
x)
1
1 x2
二、函数的和、差、积、商的微商法则
设u u( x), v v( x)可导，则
（1）(u v) u v, （2）(cu) cu ( C 是常数)
（3）(uv) uv uv,
x x 1
x
例 5 y ln(x x2 1), 求 dy .
dx
解 dy 1 (x x2 1) dx x x2 1
1 (1 x ) x x2 1 x2 1
1 x2 1 x 1 .
x x2 1 x2 1
x2 1
例 7 设 f 是可微函数，
y f (2x ) f ( x), 求y.
（4）(
u) v
uv v2
uv
(v
0).
例1 求函数 y x 2 1 x 3 的导数。
x
解 y ( x 2 ) ( 1 ) ( x ) 3
x 11 2x . x2 2 x
例 2 求函数 y x 2 sin x 的导数。
解 y (x2 sin x)
( x 2 ) sin x x 2 (sin x) 2x sin x x2 cos x.
(tan x) sec2 x
(sec x) sec x tan x
(a x ) a x ln a
(log a
x)
1 x ln a
( x ) x 1
(cos x) sin x (cot x) csc2 x (csc x) csc x cot x
(e x ) e x (ln x) 1
隐函数y f ( x)，求y.
解 方程两边对x求导
3x 2 2 y 2xy 5 y4 y 0
y
3x2 2y 2x 5y4
例 1 设 y x2 1, 求 yx。
解 令 y u, u x2 1,
yx ( u) ( x2 1) 1 2x 2u x. x2 1
注意：先对最外层函数求导，然后去 掉最外层函数，再乘以对剩下函 数的导数。
例 2 y lnsin x, 求 dy .
dx
解
dy dx
1 （sin x) sin x
重点：求微商； 难点：复合函数的微商
隐函数的微商
新课内容：
一、基本微商公式 二、函数的和、差、积、商的微商法则 三、反函数微商法则 四、复合函数微商法则 五、隐函数微商法 六、对数微商法
2.1微商的运算法则
一、基本微商公式
常数和基本初等函数的导数公式
(C ) 0
(sin x) cos x
(1 cos x)2
sin
x(1
cos
x)
x (1
cos x cos
x x)2
cos2
x
x
sin2
x
sin
x(1
cos x) x(1 (1 cos x)2
cos
x)
sin 1
x cos
x x
三、反函数微商法则
设函数y f ( x)为函数x ( y)的反函数, 若( y)在点y的某领域内可微，严格单调， 且'( y) 0，则f ( x)在对应的x处可微，
例2 求函数y arctan x的导数。 解 y arctan x , x (,)是x tan y
的反函数。 (arctan x) 1 1
(tan y) sec2 y
1
1 tan 2 y
1
1 x2
类似 (arc cot x) 1 1 x2
四、复合函数微商法则
设函数y f (u)与u ( x)可以复合成
例3 求函数 tan x、sec x的导数。
解 (tan x) ( sin x )
cos x
(sin x) cos x sin x(cos x)
cos2 x
cos 2 x sin2 cos 2 x
x
1 sec2 x. cos2 x
(tan x)
1 cos2
x
sec2
x.
(secx)
(1 cos
x
)
1 cos
x 1(cos cos2 x
x)
sin x
secx tan x.
cos2 x
(secx) sec x tan x
同理
(cot
x)
1 sin2
x
csc2
x
(cscx) csc x cot x.
例4 求函数y log a x(a 1, a 0)的导数。
解 loga
函数y f [( x)], 若u ( x)在点x可微，
且y f (u)在对应点u可微，则复合函
数y f [( x)]在点x可微，且
yx f (u) ( x )
或y x
y u
ux 或
dy dx
dy du . du dx
注意：
关键是把一个函数分解成几 个比较简单的函数，而这几个简 单函数的导数是我们已经会求的。