微积分：微商的运算法则
微积分公式与运算法则
微积分公式与运算法则 Jenny was compiled in January 2021微积分公式与运算法则1.基本公式（1）导数公式(2)微分公式(xμ)ˊ=μxμ-1d(xμ)=μxμ-1dx(a x)ˊ=a x lnad(a x)=a x lnadx(loga x)ˊ=1/(xlna)d(loga x)=1/(xlna)dx(sinx)ˊ=cosxd(sinx)=cosxdx(conx)ˊ=-sinxd(conx)=-sinxdx(tanx)ˊ=sec2xd(tanx)=sec2xdx(cotx)ˊ=-csc2xd(cotx)=-csc2xdx(secx)ˊ=secx·tanxd(secx)=secx·tanxdx(cscx)ˊ=-cscx·cotxd(cscx)=-cscx·cotxdx(arcsinx)ˊ=1/(1-x2)1/2d(arcsinx)=1/(1-x2)1/2dx(arccosx)ˊ=-1/(1-x2)1/2d(arccosx)=-1/(1-x2)1/2dx(arctanx)ˊ=1/(1+x2)d(arctanx)=1/(1+x2)dx(arccotx)ˊ=-1/(1+x2)d(arccotx)=-1/(1+x2)dx(sinhx)ˊ=coshxd(sinhx)=coshxdx(coshx)ˊ=sinhxd(coshx)=sinhxdx2.运算法则（μ=μ(x)，υ=υ（x），α、β∈R）（1）函数的线性组合积、商的求导法则（αμ+βυ）ˊ=αμˊ+βυˊ（μυ）ˊ=μˊυ+μυˊ（μ/υ）ˊ=(μˊυ-μυˊ)/υ2（2）函数和差积商的微分法则d（αμ+βυ）=αdμ+βdυd（μυ）=υdμ+μdυd（μ/υ）=(υdμ-μdυ)/υ23.复合函数的微分法则设y=f(μ)，μ=ψ(x),则复合函数y=f[ψ(x)]的导数为dy/dx=fˊ[ψ(x)]·ψˊ(x)所以复合函数的微分为dy=fˊ[ψ(x)]·ψˊ(x)dx由于fˊ[ψ(x)]=fˊ(μ)，ψˊ(x)dx=dμ，因此上式也可写成dy=fˊ(μ)dμ由此可见，无论μ是自变量，还是另一变量的可微函数，微分形式dy=fˊ(μ)dμ保持不变，这一性质称为微分形式不变性。
导数
当t1无限趋近于t0时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就近似等于t0时刻的瞬时速度，因而就把 此时的极限作为汽车在时刻t0的瞬时速度，即，这就是通常所说的速度。这实际上是由平均速度类比到瞬时速度 的过程（如我们驾驶时的限“速”指瞬时速度）。
历史沿革
起源
大约在1629年，法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法；1637年左右，他写一篇手稿《求 最大值与最小值的方法》。在作切线时，他构造了差分f（A+E）-f（A），发现的因子E就是我们所说的导数f’ （A）。
发展
17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，在前人创造性研究的基础上，大数学家牛顿、莱布尼茨 等从不同的角度开始系统地研究微积分。牛顿的微积分理论被称为“流数术”，他称变量为流量，称变量的变化 率为流数，相当于我们所说的导数。牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方 程的计算法》和《流数术和无穷级数》，流数理论的实质概括为：他的重点在于一个变量的函数而不在于多变量 的方程；在于自变量的变化与函数的变化的比的构成；最在于决定这个比当变化趋于零时的极限。
需要指出的是：
两者在数学上是等价的。
导函数
如果函数y=f（x）在开区间内每一点都可导，就称函数f（x）在区间内可导。这时函数y=f（x）对于区间内 的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数值，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数y=f（x）的 导函数，记作y’、f’（x）、dy/dx或df（x）/dx，简称导数。
性质
单调性
（1）若导数大于零，则单调递增；若导数小于零，则单调递减；导数等于零为函数驻点，不一定为极值点。 需代入驻点左右两边的数值求导数正负判断单调性。
微积分常用公式及运算法则
微积分常用公式及运算法则1.调和级数：调和级数为H(n)=1+1/2+1/3+...+1/n，其中n为正整数。
它是发散级数，在计算机科学和数学中都有重要应用。
2.多项式级数：多项式级数为f(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3+...。
其中a0、a1、a2是常数系数，x是变量。
多项式级数可以直接求和，也可以使用其他方法进行求和。
3.幂级数：幂级数为f(x)=c0+c1(x-a)+c2(x-a)^2+c3(x-a)^3+...。
其中c0、c1、c2是常数系数，a是常数。
幂级数可以表示为基于常数系数和常数a的级数。
4.泰勒级数：在微积分中，泰勒级数是一种用函数的高阶导数来逼近函数的方法。
泰勒级数可以将函数表示为一个无限级数。
5.泰勒公式：泰勒公式是泰勒级数的具体表达形式。
泰勒公式可以将函数在其中一点的值表示为该点的函数值和函数的各阶导数值的线性组合。
6.均值定理：均值定理是微积分中的重要定理，它指出在其中一区间上，连续函数的平均变化率等于该区间内其中一点的瞬时变化率。
7.拉格朗日中值定理：拉格朗日中值定理是微积分中的一类中值定理，它指出在其中一区间上，连续函数的导数必在其中一区间内的其中一点等于函数在该区间两个端点的斜率。
8.柯西中值定理：柯西中值定理是微积分中的一类中值定理，它指出在其中一区间上，连续函数的导数必在其中一区间内的其中一点等于函数在该区间两个端点的斜率。
9.极值点：极值点是函数在其中一区间内的最大值点或最小值点。
极值点可以使用导数的符号和戴布尔不等式来判断。
10.弧长：弧长是曲线上的一段长度。
计算曲线的弧长可以使用微积分的方法，如积分的方法。
11.曲率：曲率是表示曲线弯曲程度的一个数值。
曲率可以使用导数和二阶导数计算。
12.方向角：方向角是表示曲线在其中一点的切线方向的角度。
方向角可以使用导数计算。
数学公式知识：微积分中的积分运算法则
数学公式知识：微积分中的积分运算法则微积分是数学的一个分支，其中的积分运算法则是微积分最重要的部分之一。
在微积分中，积分是指找到一个函数的原函数，就是找到一个函数，如果对这个函数求导的话，得到的结果就是原来函数。
微积分中求积分的过程十分困难，而这里面涉及到了许多的法则和规则。
本文将详细讲解微积分中的积分运算法则。
首先要了解的是积分符号。
积分符号就是一个弧形的S字，表示所求函数的区间。
例如，如果要在从a到b的区间内求函数f(x)的积分，就可以写成∫ab f(x)dx。
首先是求导后的反函数的求法。
如果一个函数f(x)求导后得到一个函数g(x)，这两个函数是互为反函数的，那么在区间内求函数g(x)的积分时，就可以用f(x)代替g(x)，而在代入f(x)后，得到的积分的区间要分别对应上下界之差，这个区间就是区间内所有值为x的f(x)的对应值的和。
接下来是被积函数的加减法法则。
对于一个大的被积函数，可以把它拆成小的部分，这个小的部分可能是两个或更多个函数的和或差，即可以表示成f(x)+g(x)或f(x)-g(x)的形式。
对于这种被积函数，它的积分就可以表示成f(x)的积分加上g(x)的积分或f(x)的积分减去g(x)的积分的和的形式。
这个公式可以表示为∫ab(f(x)+g(x))dx=∫abf(x)dx+∫abg(x)dx，以及∫ab(f(x)-g(x))dx=∫abf(x)dx-∫abg(x)dx。
然后是对被积函数进行伸缩和平移。
当对函数进行伸缩和平移时，它的积分也会变化。
伸缩时，积分的上下界要分别除以伸缩比例，这个公式可以表示为∫abf(kx)dx=(1/k)∫(ak)(bk)f(x)dx。
平移时，积分的上下界要加上平移距离，这个公式可以表示为∫abf(x+k)dx=∫(a+k)(b+k)f(x)dx。
在微积分中，还有一种特殊的函数，就是不连续的函数。
对于一个不连续的函数，其积分就不是普通意义上的积分，而是被称为广义积分，这个积分可以被描述为两极限之间积分的值，其中的两极限可能是正无穷或负无穷。
微积分的四则运算法则
微积分的四则运算法则微积分是数学中的一门重要学科，它是研究函数的变化规律和极限的学科。
在微积分中，四则运算是最基本的运算法则之一，它包括加法、减法、乘法和除法。
下面我们将详细介绍微积分的四则运算法则。
一、加法法则在微积分中，加法法则是指两个函数相加的运算法则。
具体来说，设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上有定义，则它们的和函数h(x)=f(x)+g(x)在[a,b]上也有定义，且满足如下性质：1.交换律：f(x)+g(x)=g(x)+f(x)2.结合律：(f(x)+g(x))+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x))3.存在零元素：f(x)+0=f(x)二、减法法则减法法则是指两个函数相减的运算法则。
具体来说，设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上有定义，则它们的差函数h(x)=f(x)-g(x)在[a,b]上也有定义，且满足如下性质：1.减法的定义：f(x)-g(x)=f(x)+(-g(x))2.交换律：f(x)-g(x)=-(g(x)-f(x))3.结合律：(f(x)-g(x))-h(x)=f(x)-(g(x)+h(x))三、乘法法则乘法法则是指两个函数相乘的运算法则。
具体来说，设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上有定义，则它们的积函数h(x)=f(x)g(x)在[a,b]上也有定义，且满足如下性质：1.交换律：f(x)g(x)=g(x)f(x)2.结合律：(f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(x)h(x))3.分配律：f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x)四、除法法则除法法则是指两个函数相除的运算法则。
具体来说，设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上有定义，且g(x)≠0，则它们的商函数h(x)=f(x)/g(x)在[a,b]上也有定义，且满足如下性质：1.除法的定义：f(x)/g(x)=f(x)×(1/g(x))2.乘法逆元：若g(x)≠0，则存在一个函数1/g(x)，使得g(x)×(1/g(x))=13.分配律：f(x)/(g(x)+h(x))=f(x)/g(x)-f(x)/h(x)综上所述，微积分的四则运算法则是微积分中最基本的运算法则之一，它们在微积分的各个领域中都有着广泛的应用。
2.2 微商的运算法则和公式
2.2 微商的运算法则和公式1.微商的四则运算法则（1）如果函数()u x 、()v x 都可微，那么函数()()u x v x ± 也可微，且()()()().u x v x u x v x '''±=±⎡⎤⎣⎦于是公式可简写为().u v u v '''±=± 例1设22y x = ，求.y ' 解()()()22222y x x x '''''==-+=（2）如果函数()u x 、()v x 都可微，那么函数()()u x v x ⋅ 也可微，且()()()()()().u x v x u x v x u x v x '''=+⎡⎤⎣⎦以上公式可简写为().uv u v uv '''=+特别地，如果函数()u x 可微，则函数()cu x 也可微，且()(),cu x cu x ''=⎡⎤⎣⎦其中c 为常数.以上公式可简写为().cu cu ''= 例2 求自由落体212s gt =在时刻1t = （秒）时代瞬时速度.v 解 ()221112.222v s gt g t g t gt '⎛⎫''====⋅= ⎪⎝⎭当1t = 时，1.v g g =⋅= 例3 求2sin y x x = 的微商. 解 ()()()2222sin sin sin 2sin cos .y x xx x x x x x xx ''''==+=+（3）若()u x 、()v x 都可微，()0v x ≠ ，则()()u x v x 也可微，且 ()()()()()()()2.u x u x v x u x v x v x v x '⎡⎤''-=⎢⎥⎣⎦以上公式可简写为2.u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭例4 求tan ,cotx x 的微商. 解()()()222222sin cos sin cos sin tan cos cos cos sin 1sec .cos cos x x x x x x x x x x x'''-⎛⎫'== ⎪⎝⎭+=== 类似地，()2cot csc .x x '=-例5 求sec x 、cscx 的微商. 解()()()221cos 1cos 1sec cos cos sin 1sin sec tan .cos cos cos x x x x x x x x x x x x'''-⋅⎛⎫'==⎪⎝⎭==⋅=⋅类似地，()sec cscx cotx.x '=-⋅ 例6 设1n y x=（n 为正整数），求.y ' 解 ()()()1122111.n n n n n n n x x nx y nx x x x ---'''-⋅-⎛⎫'====- ⎪⎝⎭ 设n 为整数，则()1.nn x nx-'=例7 求函数2310155x x y x +-= 的微商.解()()()()()()2123312323423410151235511231223355149.5x x y x x x x x x x x x x x x x---------''⎛⎫+-⎛⎫'==+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'''=+-=⋅-⋅+⋅-⋅-⋅-⋅=--+2.复合函数的微商定理 如果函数()u x ϕ= 在点0x 处可微，()00u x ϕ= ，函数()y f u = 在点0u 处可微，则复合函数()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦ 在点0x 处可微，且00.x x u u x x dy dy dudxdu dx====⋅推论 如果函数()u x ϕ= 在点x 可微，函数()y f u = 在相应点u 处可微，则复合函数()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦ 在点x 可微，且.dy dy du dx du dx=⋅ 例8 设()sin s t ωε=+ ，求.ds dt解 函数()sin s t ωε=+ 是由sin s u = 与u t ωε=+ 复合而成的复合函数，由复合函数的微商公式，可得()()()sin cos cos .dx dx du d d u t u t dt du dt du dtωεωωωε=⋅=⋅+=⋅=+ 例9 设()ny ax b =+ ，求.dy dx解 函数()ny ax b =+ 是由n y u = 与u ax b =+ 复合而成的复合函数，由复合函数的微商公式得()()()11.n n n dy dy du d d u ax b nu a an ax b dx du dx du dx--=⋅=⋅+=⋅=+ 例10 设1tan 1y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求.dy dx 解222111tan 1sec 1111sec 1.dy dx x x x x x ''⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭例11 设2cosln y x = ，求.dy dx解()()()2222222221cos ln sin ln ln sin ln 12sin ln 2sin ln .dy x x x x x dx xx x x x x'''==-⋅=-⋅⋅=-⋅⋅=-例12 设()sin 3y x = ，求.dydx解()()()()()2sin 3sin 3sin 3cos33sin 313.dy x x x dx x x x x x x '''⎡==⋅⎣''=⋅+= 例13 已知曲柄连杆机构上滑块B 的位移s 与时刻t 的关系为cos s r t ω=求滑块的速度（图2-4中t θω= ）.解(()()()()()()()()222222222cos cos cos sin sin sin sin 0sin sin 2sin v s r t r t r t l r t r t t l r t r t r t r t r ωωωωωωωωωωωωω''''==+=+''=+-⎡⎤'''=-⋅+-⎢⎥⎣⎦⎡⎤'=-+-⎢⎥⎣⎦=-+-⋅()()22sin sin 2sin cos sin t t r t r t t r t ωωωωωωωω⎡⎤'⋅⎢⎥⎣⎦=-+-⋅⋅=--3.指数函数与幂函数的微商法则 （1）指数函数的微商()()ln 0,1xxa aa a a '=>≠，特别地().x x e e '=（2）幂函数的微商()1x xααα-'= （α 为任意常数）例14 设2323xy x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求.y '解2233211332233222222ln ln .333333x x x x y x x x x --'''⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=+=+⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 例15 设lnsin xy e x =⋅ ，求.dydx解()()()()()ln sin ln sin ln sin 11ln sin sin ln sin cos sin sin ln sin cot .x x x x xx x x dye x e x e x dxe x e x e x e x x xe x x '''=⋅=+'=+⋅⋅=+⋅⋅=+例16设(ln y x = ，求.dy dx解((()()2ln 1112dy x x dx x x x ''⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤'''=+=++⎥⎥⎦⎦⎛⎫===⎪⎭ 例17 求231342exp y x x x ⎧⎫=++⎨⎬⎩⎭的微商，这里()()exp .f x f x e =⎡⎤⎣⎦ 解231342x x x y e++= ，223131334242231342231342231342231342*********121131334242321432321exp .432x x xx x x x x x x x x y e e x x x ex x x ex x x x x x x x x ++++++---++---''⎛⎫⎛⎫'==⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤'''⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭⎛⎫⎧⎫=++++⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭例18 设sin xy x = ，求.dydx解 在sin xy x=的两边取对数，得ln sin ln y x x =⋅ .上式两边对x 求微商，得11cos ln sin .y x x x y x'⋅=⋅+⋅ 所以，sin sin sin cos ln cos ln .x x x y y x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫'=⋅+=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例19 设()1sin xy x x =++ ，求.dydx解 因为()()()ln 1ln 11sin sin sin xxx x x y x x ex ex ++=++=+=+ ，所以()()()()()()()()(){}()()()()()ln 1ln 1ln 1sin sin ln 1cos 1ln 1ln 1cos 1=1+ln 11cos 1ln 1cos .11x x x x xx x x x y ex e x e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++'''⎡⎤⎡⎤'=+=+⎣⎦⎣⎦'''=⋅++=+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤'++⋅⋅++=++++⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦4.隐函数与反三角函数的微商法则（1）隐函数的微商 由方程310y x --=可确定y 是x的函数：y =一般地，由方程(),0F x y =所确定的函数称为隐函数，而形如2sin y x x =+ 的函数称为显函数.函数y =是由方程310y x --=所确定的函数，把y =代入方程310y x --= ，就可得到关于x 的恒等式：310.x --≡一般地，设()y f x = 是由方程(),0F x y = 所确定的函数，则有关于x 的恒等式：()(),0.F x f x ≡下面求由方程310y x --=所确定的函数()y f x = 的导数.方程两边对x 求导，则由复合函数的微商法则得22310,1.3y y y y'-='=若在把y 代入，则有()231.31y x '=+当然，也可以用以前的方法求导数：()()()11133231111.331y x x x -''⎡⎤'==+=+=⎢⎥⎣⎦+ 例20 若()y y x = 是方程0xyxy e e -+= 所确定的函数，求.dydx解 方程两边对x 求微商，得0.x y y xy e e y ''+-+⋅=于是，(),.yxx yx e y ey e y y x e'+=--'=+例21 求曲线()()355221y x +=+ 在点10,5⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线. 解 方程两边对x 求微商，得()()243525521 2.y y x '+⋅=+⋅于是，()()42212.352x y y +'=⋅+ 曲线在点10,5⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线斜率为()()402105152122.3352x y x y x y y ==-==-+'==+ 从而可求出所求切线的点斜式方程：1253y x += . 化为一般方程：101530.x y --=（2）反三角函数的微商()arcsin x '=；()arccos x '=；()21arctan 1x x'=+ ； ()21arccot .1x x '=-+ 例22 设()221arcsin 01x y x x -=>+ ，求.dy dx 解()()()()()()()()222222222222222211arcsin 1111111211212.211dy x x dx x x x x x x x x x x x x x x x ''⎛⎫⎛⎫--== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭''-+--+=+-+--⋅+=⋅=-++ 例23 若()arctan y x y =+ ，求.dy dx解 方程两边对x 求导，得()()211.1y y x y ''=+++所以，()()()()22221,1111,1.y y x y x y x y y y x y y ''=+++++⎡⎤''++=+⎣⎦'+=所以，()21.dy dx x y =+ 习题1.求微商dy dx： （1）2321y x x =-+ ； 解()()()()()()()2223213213213226 2.dyx x x x x x dxx x ''''=-+=-+=-+=⋅-=- （2）()()52211y x x =++ ；解()()()()()()()()5252524256466421121121110121210104214102.dy x x x x x x dx x x x x x x x x x x x '''⎡⎤=++=+++++⎣⎦=+++⋅=+++=++（3）23111y x x x =++ ； 解()()()()()()2323123112131234111111123123.dy dx x x x x x x x x x x x x x x x ---------''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭'''=++=-+-+-=--- （4）21x y x+=； 解232223111122.dy x x x dx x x x x x--''+⎛⎫⎛⎫==+=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （5）()21sin y x x =+ ；解()()()()()22221sin 1sin 1sin 2sin 1cos .dy x x x x x x dx x x x x '''⎡⎤=+=+++⎣⎦=++（6）y =；解))()222cos cossin cos2sin cos2.x x x xdydx xx x xxx x xx'''-==⎝⎭==+=-（7）2cosy x x=+；解()()()()()22cos cos12cos cos12cos sin1sin2.dyx x x x x xdxx x x'''' =+=+=+⋅=+⋅-=-（8）sin21xyx=+；解()()()()()()()()22222sin21sin21sin211cos221sin2121cos2sin2.11x x x xdy xdx x xx x x x x xx x'''+-⋅+⎛⎫==⎪+⎝⎭+⋅⋅+-⋅+-==++（9）sin cossin cosx x xyx x x+=-；解()()()()()()()()()()()()()()()222sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos sin cos sin sin cos dy x x dx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x '+⎛⎫= ⎪-⎝⎭''+--+-=-⎡⎤'---++⎢⎥⎣⎦=----+++=-=-()22sin sin cos 1.sin cos x x x x x x x +++-（10）22sec tan y x x =+ ； 解()()()()()()2222222sec tan 1tan tan 12tan 12tan 022tan tan 4tan sec .dyx x x x x dx x x x x x '''=+=++=+'''=+=+⋅⋅=⋅ 2.求一点的微商的值：（1）()22S t t t =- ，求()0S ' 和14S ⎛⎫'⎪⎝⎭； 解 因为()22S t t t =- ，所以()()2214.S t t t t ''=-=- 于是，()1101401,140.44S S ⎛⎫''=-⨯==-⨯= ⎪⎝⎭（2）2S R π= ，求1.R S =' 解 因为2S R π= ，所以()()222.S R R R πππ'''=== 于是，1212.R S ππ='=⋅=3.若()f x 为已知的可微函数，求.dy dx（1）()y x f x =+ ； 解()()()()1.dy x f x x f x f x dx''''=+=+=+⎡⎤⎣⎦ （2）()sin .y f x x =解()()()()()()sin sin sin sin cos .dy f x x f x x f x x f x x f x x dx''''==+=+⎡⎤⎣⎦ 4.在抛物线241y x x =-+ 上，哪一点的切线与直线y x = 平行？哪一点的切线是水平的？写出曲线在这些点的切线与法线方程. 解 抛物线241y x x =-+ 是函数()2114y x x =-+ 的图像. ()()211121.44y x x x '⎡⎤'=-+=-⎢⎥⎣⎦解方程()12114x -= ,得52x = ，此时2155191.42216y ⎡⎤⎛⎫=-+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 故抛物线在点519,216⎛⎫⎪⎝⎭ 处的切线与直线y x = 平行.解方程()12104x -= ，得12x = ，此时21113142216y ⎡⎤⎛⎫=-+=⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ .故抛物线在点13,216⎛⎫⎪⎝⎭处的切线是水平的. 在点519,216⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为和法线方程分别为 195162y x -=- 和195162y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭ ， 即1616210x y --= 和1616590.x y +-=在点13,216⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程和法线方程分别为12y = 和3.16x =6.求微商：（1）()431y x =+ ；解 ()()()()43331431311231.y x x x x ''⎡⎤'=+=+⋅+=+⎣⎦（2）y = ； 解()22y a x '''==+=（3）22xy a x =- ；解()()()()()()()22222222222222222222.x a x x a x x y a x a x a x x x a x axax'''---⎛⎫'== ⎪-⎝⎭---⋅-+==--（4）y = ；解()()()()()()()()()()()()()()()()()()11331233121233332233143322211223312.3a x a x a x a x a x y a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x ----'⎡⎤''-----⎡⎤'⎢⎥-⎣⎦⎢⎥'===⎢⎥--⎢⎥⎣⎦'----⋅-⋅---+--==--=--+-- （5）()2312x y x =+ ；解()()()()()()()()()()()()()()()()33222363232226622441212121221231212212612121222126.1212x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x '''⎡⎤+-+⎡⎤⎣⎦'==⎢⎥++⎢⎥⎣⎦'+-⋅+⋅++-+==++-+-==++（6）41x y x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭；解()()()()()()43323325411111411144.111x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x x ''⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫'==⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦''+-+⎛⎫=⋅ ⎪+⎝⎭++-⎛⎫=⋅= ⎪+⎝⎭++ （7）y =；解()()()()()()()()22a bx y x a bx x a bx x xb x a bx x αβαβαβαβαββαβ''⎛⎫+'== ⎪+⎝⎭''++-++=++-+=+=（9）y = ； 解()()()()()()()()()()115221411552222241522245243111434343151121111143.651211151x y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -----''⎡⎤⎛⎫⎢⎥'==+- ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦'⎡⎤''⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫'⎢⎥=+-=⋅+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⋅---⎛⎫=⋅+-- ⎪-⎝⎭-⎛⎫=⎪-⎝⎭-()122343.x x--- （10）u t = 解()()2222223121222u t t t t a t t t ''⎛''== ⎝'⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=-⋅=7.求微商：（1）()cos 12y x =- ；解 ()()()()cos 12sin 12122sin 12.y x x x x '''=-=--⋅-=-⎡⎤⎣⎦（2）3sin 3y x = ； 解 ()()()3222sin 33sin3sin33sin 3cos339sin 3cos3.y x x x x x x x x ''''==⋅=⋅⋅=（3）tan cot 22x x y =- ； 解222222222tan cot tan cot 2222sec csc sec csc 22222111112.2cos sin 2cos sin sin 2x x x x y x x x x x xx x x x x'''⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭''+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅--= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫=+=⋅= ⎪⎝⎭ （4）()2cos y x x -=+ ； 解()()()()()()()2333cos 2cos cos 2cos 1sin 2sin 1cos .y x x x x x x x x x x x x ----''⎡⎤'=+=-+⋅+⎣⎦=-+⋅-=-+（5）y =；解()()()()32121sin 331sin 1sin cos .1sin .22y x x x x x ''⎡⎤'==+⎢⎥⎣⎦'=++=+（6）tan 42x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ ； 解 221tan sec sec .424242242x x x x y ππππ''⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=-=-⋅-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（7）sin xy xπ= ；解()()()222sin sin sin cos sin 1cos sin .x x x x x y x x x x x x x x x x x πππππππππ'''-⋅⎛⎫'==⎪⎝⎭'⋅⋅-⋅-==（8）y =. 解()()()22222secsec1111sec1yxxx xx''⎛'==⎝'⎛⎫= ⎪-⎝⎭⋅--⋅-=-=8.设()()siny x xϕ=+（()xϕ是可微的），求.dydx解()()()()()()()()()() sin cos1cos.dyx x x x x x x x x dxϕϕϕϕϕ''⎡⎤'=+=+⋅+=++⎣⎦9. 求微商：（1）()12x xy e e-=+；解()()()()()()11122211.22x x x x x xx x x xy e e e e e ee e x e e-----'⎡⎤⎡⎤''''=+=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤'=+⋅-=-⎢⎥⎣⎦（2）n xy x e=；解()()()1.n x n x n x n x n xy x e x e x e nx e x e-''''==+=+（3）x xx xe eye e---=+；解()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()22222222224.x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x xxx xx xx e e e e e e e e e e y e ee e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e eeeeee-----------------------'''-+--+⎛⎫-'== ⎪+⎝⎭+⎡⎤⎡⎤''''-+--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+++---=++--⋅===+++（4）23sin3x y e x -= ； 解()()()()()23232323232323sin 3sin 3sin 323sin 3cos333sin 33cos3.x x x x x x x y e x e x e x e x x e x x e x e x -------''''==+''=⋅-⋅+⋅⋅=-+（5）2x y e -= ； 解 ()()22222.x x x y ee x xe ---'''==⋅-=-（6）sin xy e-= ；解 ()()sin sin sin sin cos .xxx y e ex e x ---'''==⋅-=-（7）ln tan 24t y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； 解221ln tan tan 2424tan 24cot sec 24242411cot sec 242422sin cos 242411sec .cos sin 2t t y t t t t t t t t t t t πππππππππππ''⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫'=+=⋅+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦+ ⎪⎝⎭'⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅=⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===⎛⎫+ ⎪⎝⎭（8）)ln sin .y x =解))()lnsin sin cos 1ln cos cos .y x xx x x x ''⎡⎤'==⎣⎦⎡⎤'=-⎢⎥⎣⎦⎤'=+-⎥⎦⎫=⎪⎭11.求的微商：先直接求之，再用对数的性质简化函数而后求之.解 直接求解（略）利用对数性质求微商(()()()()()()22222211ln ln 1ln 22311ln 1ln 223111112213211111121..2132132x x x x x x x x x x x x x x''⎛⎫'⎡⎤==+-+ ⎢⎥ ⎣⎦⎝''⎡⎤=+-+⎡⎤⎣⎦⎣⎦''=⋅⋅+-⋅⋅+++=⋅⋅-⋅⋅=-++++。
微积分
一、函数1.经济函数：成本函数C=ax+b, 总收入函数R=px, 总利润函数=C-R, 需求函数Q=a-bp, 供给函数Q=dp-c；2.函数定义域，不管求什么都要算一下；3.反三角函数值域arcsin [-π/2, π/2]，arccos [0,π]，arctan (-π/2, π/2)，arccot(-π/2,0)U(0,π/2)二、极限与连续1.X—>Xo时的极限，E>0, |X-Xo|<Δ, |f(x)-A|<E；X—>∞时的极限, E>0, |x|>X, |f(x)-A|<E. f(x)极限存在且等于A<=>左极限=右极限=A2.极限等于A <=> 极限为A+o(无穷小量)3.有限个无穷小量和/差/积仍是无穷小量；无穷小除以极限不为零的变量仍是无穷小；无穷小乘以有界变量仍是无穷小；无穷小的导数是无穷大。
4.高阶无穷小-（极限的比值）极限是0，等价无穷小-比值的极限是1，同阶无穷小- 比值是非零常数；5.极限的保号性6.极限四则运算与幂运算【有限个函数；函数都有极限；分母不为0】；【！若函数是一个分式多项式P(x)/Q(x), P(x)=aX^n+......, Q(x)=bX^m,则：当n<m, 极限为0；当n=m, 极限为a/b；当n>m, 极限为∞】7.夹逼定理，两个重要极限sinx/x(x—>0)=1，(1+1/x)^x=e【本质上是0/0和(1+∞)^x】8.函数连续：Δy=0，函数在Xo连续<=>左连续=右连续；【在Xo点连续一定要有定义】！9.第一类间断点（左右极限都存在）：可去间断点-左右极限相等，跳跃间断点- 左右极限不相等；第二类间断点（做右极限至少有一个不存在）：无穷间断点、非无穷间断点；10.复合函数与反函数连续性和单调性、初等函数在定义区间内连续；11.闭区间上的连续函数：最值定理、介值定理、零值定理—【条件是函数在[a,b]上连续】；三、导数与微分1.导数概念：（瞬时速度/曲线斜率）导数是一个极限（ΔY/ΔX）,极限存在即可导.(df/dx)；【极限是∞不可导】；导函数- f '(x) - 函数在区间内处处可导，且有唯一导数值对应切线方程- 特殊点(Xo,Yo), k=f '(Xo); 法线方程- k=-1/f '(Xo)2.求导法则【根据定义求导】：第一步计算ΔY=f(x+Δx)-f(x)；第二步计算ΔY/ΔX；第三步求极限（Δx→0）时的比值，即得导数。
第四节微商与微分
y x
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不0可导.
xo
x
不可导
点
4. 微商的计算
原料
基本初等函数 的微商公式
加工
四则运算 复合运算
微商法则
产品
初等函数 的微商
基本初等函数的微商公式
（1）常值函数 y c '
c' 0 （2） y xn : 其中 n 是正整数
(xn ) ' nxn1 （3）正弦函数 y sin x 与余弦函数 y cos x
第四章 微商与微分
微商概念来自一个连续量随另一 个速度量变化的“瞬时”变化率。
§1 微商的概念及其计算
例1 变速直线运动的速度
设描述质点运动位置的函数为
则 到 的平均速度为
v f (t) f (t0 ) t t0
而在 时刻的瞬时速度为
v lim
t t0
f (t) f (t0 ) t t0
特别：
x ' 1 2x
1 x
'
1 x2
总结：
ln x ' 1
x
98页 微商公式表和运算法则。要求：熟记
例7 y sin x2 ，求 y '
解： y sin x2 可视为y sin u 和 u x2 的复合，故
y ' sin u ' x2 ' cos u 2x 2x cos x2
例13
设
f
x
x sin
0,
1 x
,
x0 x0
当 x 0 时，函数 f x 是可导的：
f
'x
sin
1 x
1 x
导数概念及其应用
导数概念及其应用导数，也叫导函数值。
又名微商，是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a 如果存在，a即为在x0处的导数，记作f’（x0）或df（x0）/dx。
导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。
若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。
然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。
对于可导的函数f（x），x↦f’（x）也是一个函数，称作f（x）的导函数（简称导数）。
寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。
实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。
反之，已知导函数也可以反过来求原来的函数，即不定积分。
微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。
求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。
导数的应用：导数与物理、几何、代数关系密切：在几何中可求切线；在代数中可求瞬时变化率；在物理中可求速度、加速度。
导数亦名纪数、微商（微分中的概念），是由速度变化问题和曲线的切线问题（矢量速度的方向）而抽象出来的数学概念，又称变化率。
积分和微积分
微积分包括微分和积分，积分包括不定积分和定积分。
一、微分：如果函数在某点处的增量可以表示成△y=A△x+o(△x) (o(△x)是△x的高阶无穷小）且A是一个与△x无关的常数的话，那么这个A△x就叫做函数在这点处的微分，用dy表示,即dy=A△x△y=A△x+o(△x),两边同除△x有△y/△x=A+o(△x)/△x,再取△x趋于0的极限有lim△y/△x=lim[A+o(△x)/△x]=limA+lim[o(△x)/△x]=A+0f'(x)=lim△y/△x=A所以这里就揭示出了,导数与微分之间的关系了,某点处的微分:dy=f'(x)△x通常我们又把△x叫自变量的微分,用dx表示所以就有dy=f'(x)dx.证明出了微分与导数的关系正因为f'(x)=dy/dx,所以导数也叫做微商（两个微分的商）二、积分求积分的过程,与求导的过程正好是逆过程,好加与减,乘与除的关系差不多。
1、不定积分：求一个函数f(x)的不定积分,就是要求出一个原函数F（x）,使得F'(x)=f(x)，而F(x)+C（C为任意常数）就是不定积分∫f'(x)dx的所有原函数，不定积分其实就是这个表达式：∫f'(x)dx2、定积分：定积分与不定积分的区别是,定积分有上下限,∫（a,b）f'(x)dx而不定积分是没有上下限的,因而不定积分的结果往往是个函数,定积分的结果则是个常数,这点对解积分方程有一定的帮助。
三、联系和区别微积分包括微分和积分，积分包括不定积分和定积分。
其中，不定积分没有积分上下限，所得原函数后面加一个常数C；定积分是在不定积分的基础上，加上了积分上下限，所得的是数。
dy/dx 叫导数，将dx乘到等式右边，就是微分。
扩展资料：微分、定积分、不定积分的几何意义：1、微分：设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。
微商与微分
第四章 微商与微分概念清楚，运算熟练与准确，是本章的基本要求．微分是函数改变量的线性主部,常用来做近似计算.数值上等于导数与自变量改变量的乘积.微商也叫导数,是函数改变量与自变量改变量的比的极限,描述函数的变化率.可以理解为微分之商.其几何意义是函数图像切线的斜率.物理意义是即时速度,即时加速度等.设函数y = f(x)在x 0的邻域内有定义，x 0及x 0 + Δx 在此区间内。
如果函数的增量Δy = f(x 0 + Δx) - f(x 0)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A 是不依赖于Δx 的常数），而o(Δx)是比Δx 高阶的无穷小（注：o 读作奥密克戎，希腊字母）那么称函数f(x)在点x 0是可微的，且AΔx 称作函数在点x 0相应于自变量增量Δx 的微分，记作dy ，即dy = AΔx 。
函数的微分是函数增量的主要部分，且是Δx 的线性函数，故说函数的微分是函数增量的线性主部（△x→0）。
[1]通常把自变量x 的增量 Δx 称为自变量的微分，记作dx ，即dx = Δx 。
于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx 。
函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。
因此，导数也叫做微商。
§1 微商概念及其计算1．微商概念例1 质点作变速直线运动的瞬时速度．当自变量X 改变设质点P 沿直线作变速运动，运动规律 )(t S S =， 问题：求质点P 在时刻0t 的瞬时速度0()v t ．从0t 到t t ∆+0一段时间内，质点P 所走过的路程为 )()()(000t S t t S t S -∆+=∆平均速度为 tt S t t S t S v ∆-∆+=∆∆=)()(00Word2007中，这是页面背景问题，分情况处理。
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微积分的基本介绍
微积分的基本介绍微积分学基本定理指出，求不定积分与求导函数互为逆运算[把上下限代入不定积分即得到积分值，而微分则是导数值与自变量增量的乘积]，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。
我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中，微分学一般会先被引入。
微积分学是微分学和积分学的总称。
它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。
十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。
他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，但是理论基础是不牢固的。
因为“无限”的概念是无法用已经拥有的代数公式进行演算，所以，直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。
学习微积分学，首要的一步就是要理解到，“极限”引入的必要性：因为，代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。
所以，必须要利用代数处理代表无限的量，这时就精心构造了“极限”的概念。
在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，相反引入了一个过程任意小量。
就是说，除的数不是零，所以有意义，同时，这个小量可以取任意小，只要满足在德尔塔区间，都小于该任意小量，我们就说他的极限为该数——你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能性。
这个概念是成功的。
微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。
特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。
客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。
因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。
由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。
x分之一的导数
x分之一的导数
x分之一的导数等于-1/x2。
导数也叫导函数值。
又名微商，是微积分中的重要基础概念。
1/x导数计算过程
导数的计算
计算已知函数的导函数可以按照导数的定义运用变化比值的极限来计算。
在实际计算中，大部分常见的解析函数都可以看作是一些简单的函数的和、差、积、商或相互复合的结果。
只要知道了这些简单函数的导函数，那么根据导数的求导法则，就可以推算出较为复杂的函数的导函数。
导数的求导法则
由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。
基本的求导法则如下：
1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。
2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。
3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。
4、如果有复合函数，则用链式法则求导。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
微积分常用公式及运算法则(上册).pdf
; (1 x ) a − 1 ∼ ax ( a ≠ 0); 2
a x − 1 ∼ x ln a ( a 0, a ≠ 1).
设 lim f i ( x ) Ai , i 1, 2, ⋯, n, 那么对 ki ∈ R , i 1, 2, ⋯n, 有
函数连续性：
x → x0
lim[ k1 f1 ( x ) k 2 f 2 ( x ) ⋯ k n f n ( x)] k1 A1 k 2 A2 ⋯ k n An , lim[ f1 ( x ) f 2 ( x ) ⋯ f n ( x )] A1 A2 ⋯An P ( x ), Q ( x )为多项式, 当 Q ( x) ≠ 0, 有 lim P ( x) P ( x ) x → x0 lim P ( x0 ) Q ( x ) lim Q ( x ) Q ( x0 ) x → x0
x ln a (sin x )′ cos x
(cos x )′ − sin x (tan x )′ sec2 x
设 lim f (u ) A, lim u ( x ) u 0 , 且 u ( x ) ≠ u0 则 lim f [u ( x )] lim f (u ) A
x → x0 u →u0 u→u0 x → x0
xx0gx平均曲率基本积分表kdx?kx?ck?1时dx?x?c??1??dx???1?1xdx?lnx?c1?1x2dx?arctanx?c?1?1x2??xx??cdx?arcsinxccosxdx?sinx?csinxdx??cosx?ccos1sin21dx?sec2xdx?tanx?c2xk??sdx?csc2xdx??cotx?cxs为曲线上弧段mm的长为点m到点m曲线的?线的转角曲率公式曲线在点mxy处的曲?公式y1?y232当曲线c由参数方程x??t给出时y?tk??tt??tt?其中?kk??2t?2t321为曲?半径微积分运算fxdx?fx?cdfx??fxdx??fx?c?fxdx???fx?c??fxd?fxdx??fxdxsecxtanxdx?secx?ccscxcotxdx??cscx?ceasinhxdx?coshx?ccoshxdx?sinhx?c不定积分线性运算法则xdx?ex?cxdx??ax?ca?0a1lnaux?vxdx?uxdx?vxdx不定积分的换元法f?x?xdx?fuduu??xfxdx??fttdt?t??1x5
微积分数学公式[整理版]
![微积分数学公式[整理版]](https://img.taocdn.com/s3/m/e23431e5f80f76c66137ee06eff9aef8941e48a6.png)
微积分微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。
积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。
微积分是与科学应用联系着发展起来的微积分是与科学应用联系着发展起来的。
最初，牛顿应用微积分学及微分方程对第谷浩瀚的天文观测数据进行了分析运算，得到了万有引力定律，并进一步导出了开普勒行星运动三定律。
此后，微积分学成了推动近代数学发展强大的引擎，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。
并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。
编辑本段一元微分定义设函数y = f(x)在某区间内有定义，x0及x0 + Δx在此区间内。
如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) – f(x0)可表示为Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小，那么称函数f(x)在点x0是可微的，且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy = AΔx。
通常把自变量x的增量Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx = Δx。
于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。
函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。
因此，导数也叫做微商。
几何意义设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。
当|Δx|很小时，|Δy－dy|比|Δx|要小得多(高阶无穷小)，因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。
编辑本段多元微分多元微分多元微分又叫全微分，是由两个自变量的偏导数相对应的一元微分的增量表示的。
ΔZ=A*ΔX+B*ΔY+ο(ρ)为函数Z在点（x、y)处的全增量，（其中A、B不依赖于ΔX和ΔY，而只与x、y有关，ρ=[（x∧2+y∧2)]∧(1\2),A*ΔX+B*ΔY即是Z在点的全微分。
微积分简介
一、函数
导数
有两个互相联系的变量x和y，每当x取某一数值后，按照 一定的规律就可以确定y的值，就称y是x的函数，记作
y f (x0 x) f (x0 ) f '(x0 ) x f (x) f (x0 ) f '(x0 )(x x0 ) f (x) f (x0 ) f '(x0 )(x x0 )
当取 x0 0 时，有近似公式
f (x) f (0) f '(0)x
14
tt
物体做变速直线运动，速度v=v(t),如图2所示.可以把t
分成许多均等小段Dt，只要其充分小，每段时间中
的速率近似看成是不变的，把各小段时间内走过的 路程相加，即近似为总路程。
16
n
s (t1) t (t2 ) t (tn ) t (ti ) t i 1
当 t 0 时，n 上式右边的极限值就是所求总路程，
则在x=a到x=b区间内f(x)对x的定积分等于f(x)在这区 间内的增量，即
b
a f (x)dx f(b) f(a)
其中f(x)称为原函数。积分是导数的逆运算。
18
例1. 求 2 x3dx 0
2
解：
2 0
x3dx
1 4
x4
0
1 4
(24
04 )
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y f (2x )2x ln 2 f ( x ) 1 . 2x
五、其它微商法
1、隐函数微商法
定义：若变量x、y之间的函数关系是由 一个方程F( x, y) 0所确定，则称 这种函数为隐函数。
方法： 把y看成是x的函数，在方程两边 直接对x求微商就行。
例 1方程 x3 2xy y5 0确定了
x
)
1 cos
x 1(cos cos2 x
x)
sin x
secx tan x.
cos2 x
(secx) sec x tan x
同理
(cot
x)
1 sin2
x
csc2
x
(cscx) csc x cot x.
例4 求函数y log a x(a 1, a 0)的导数。
解 loga
（4）(
u) v
uv v2
uv
(v
0).
例1 求函数 y x 2 1 x 3 的导数。
x
解 y ( x 2 ) ( 1 ) ( x ) 3
x 11 2x . x2 2 x
例 2 求函数 y x 2 sin x 的导数。
解 y (x2 sin x)
( x 2 ) sin x x 2 (sin x) 2x sin x x2 cos x.
且
f
( x )
1 ( y )
,
或 dy 1 .
dx
dx dy
例1 求函数y arcsin x的导数。
解 y arcsin x,) 1 (sin y)
1 cos y
1
1
1 sin2 y
1 x2
类似 (arccos x) 1 1 x2
例2 求函数y arctan x的导数。 解 y arctan x , x (,)是x tan y
的反函数。 (arctan x) 1 1
(tan y) sec2 y
1
1 tan 2 y
1
1 x2
类似 (arc cot x) 1 1 x2
四、复合函数微商法则
设函数y f (u)与u ( x)可以复合成
隐函数y f ( x)，求y.
解 方程两边对x求导
3x 2 2 y 2xy 5 y4 y 0
y
3x2 2y 2x 5y4
(tan x) sec2 x
(sec x) sec x tan x
(a x ) a x ln a
(log a
x)
1 x ln a
( x ) x 1
(cos x) sin x (cot x) csc2 x (csc x) csc x cot x
(e x ) e x (ln x) 1
例 1 设 y x2 1, 求 yx。
解 令 y u, u x2 1,
yx ( u) ( x2 1) 1 2x 2u x. x2 1
注意：先对最外层函数求导，然后去 掉最外层函数，再乘以对剩下函 数的导数。
例 2 y lnsin x, 求 dy .
dx
解
dy dx
1 （sin x) sin x
函数y f [( x)], 若u ( x)在点x可微，
且y f (u)在对应点u可微，则复合函
数y f [( x)]在点x可微，且
yx f (u) ( x )
或y x
y u
ux 或
dy dx
dy du . du dx
注意：
关键是把一个函数分解成几 个比较简单的函数，而这几个简 单函数的导数是我们已经会求的。
cos x sin x
cot
x.
1
例3
sin
ye x,
求 dy . dx
解
dy
1 sin
ex
(sin
1 )
dx
1 sin
ex
x
cos 1
( 1 )
xx
1 x2
sin 1
ex
cos
1 x
.
例 4 求幂函数y x (为实数)的微商
解 y x e ln x
（y） e ln x 1
x
(1 cos x)2
sin
x(1
cos
x)
x (1
cos x cos
x x)2
cos2
x
x
sin2
x
sin
x(1
cos x) x(1 (1 cos x)2
cos
x)
sin 1
x cos
x x
三、反函数微商法则
设函数y f ( x)为函数x ( y)的反函数, 若( y)在点y的某领域内可微，严格单调， 且'( y) 0，则f ( x)在对应的x处可微，
x x 1
x
例 5 y ln(x x2 1), 求 dy .
dx
解 dy 1 (x x2 1) dx x x2 1
1 (1 x ) x x2 1 x2 1
1 x2 1 x 1 .
x x2 1 x2 1
x2 1
例 7 设 f 是可微函数，
y f (2x ) f ( x), 求y.
重点：求微商； 难点：复合函数的微商
隐函数的微商
新课内容：
一、基本微商公式 二、函数的和、差、积、商的微商法则 三、反函数微商法则 四、复合函数微商法则 五、隐函数微商法 六、对数微商法
2.1微商的运算法则
一、基本微商公式
常数和基本初等函数的导数公式
(C ) 0
(sin x) cos x
例3 求函数 tan x、sec x的导数。
解 (tan x) ( sin x )
cos x
(sin x) cos x sin x(cos x)
cos2 x
cos 2 x sin2 cos 2 x
x
1 sec2 x. cos2 x
(tan x)
1 cos2
x
sec2
x.
(secx)
(1 cos
x
(arcsin x) 1 1 x2
(arctan
x )
1
1 x
2
(arccos x) 1 1 x2
(
arccot
x)
1
1 x2
二、函数的和、差、积、商的微商法则
设u u( x), v v( x)可导，则
（1）(u v) u v, （2）(cu) cu ( C 是常数)
（3）(uv) uv uv,
x
ln x ln a
,
(loga
x)
( ln x ) ln a
1 (ln x) 1 .
ln a
x ln a
例 5设
f (x)
x sin x ,
1 cos x
求f
( x)。
解
f
( x)
(x
sin
x)(1
cos x) (1 cos
x sin x)2
x(1
cos
x)
(sin x x cos x)(1 cos x) x sin x( sin x)