高考数学一轮复习 第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性 新人教A版
2023届高考人教A版数学一轮复习课件：函数的奇偶性与周期性
(2)若函数f(x)为奇函数,则必有f(0)=0.( × )
(3)若函数f(x),g(x)均为奇函数,则函数f(g(x))也为奇函数.( √ )
(4)若函数f(x)满足f(x-2)=f(x+3),则函数的周期为1.( × )
(5)若f(4+x)+f(4-x)=0,则函数y=f(4+x)是奇函数.( √ )
(方法2)作出函数f(x)的图象(图略),由f(x)的图象关于原点对称可知,函数为
奇函数.
方法总结判断函数奇偶性的常用方法
(1)定义法:
(2)图象法:
(3)性质法:
在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=
奇.
对点训练1(2021湖南岳阳高三模拟)设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义,下列函
故选B.
(2)解 ①函数定义域为R,且f(-x)=(-x)2-xsin(-x)=x2+xsin x=f(x),所以函数是
偶函数.
2
②函数定义域为 R,且 f(-x)=log2(-x+ (-) + 1)=log2(-x+√ 2 + 1)
=log2
1
+ 2 +1
=-log2(x+√ 2 + 1)=-f(x),所以函数是奇函数.
提示根据偶函数的定义,如果函数f(x+a)是偶函数,那么可得到
f(-x+a)=f(x+a),由此可得到函数f(x)图象的对称轴为直线x=a.也可从图象
变换的角度来理解,函数f(x+a)是偶函数,则其图象关于y轴对称,将该图象
2024届高考一轮复习数学(新教材新高考新人教A版)第二章 §2
题型三 函数的奇偶性与对称性
例3 (多选)已知定义域为R的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，且f(1－x)＝ f(1＋x)，则下列结论一定正确的是 A.f(x＋2)＝f(x)
√B.函数y＝f(x)的图象关于点(2,0)对称 √C.函数y＝f(x＋1)是偶函数
D.f(2－x)＝f(x－1)
对于A选项，因为f(－x)＋f(x)＝0，且f(1－x)＝f(1＋x)， 则f(1－(1＋x))＝f(1＋(1＋x))，即f(x＋2)＝－f(x)，A错； 对于B选项，因为f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 因为f(－x)＋f(x)＝0，则f(－(2＋x))＋f(2＋x)＝0， 即f(2＋x)＝－f(－2－x)＝－f(2－x)，即f(2＋x)＋f(2－x)＝0， 故函数y＝f(x)的图象关于点(2,0)对称，B对； 对于C选项，因为f(1－x)＝f(1＋x)，故函数y＝f(x＋1)是偶函数，C对； 对于D选项，因为f(1－x)＝f(1＋x)，则f(1－(x－1))＝f(1＋(x－1))，即 f(2－x)＝f(x)≠f(x－1)，D错.
√D.[－1,0]∪[1,3]
因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，
则f(0)＝0.
又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，
画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，
(1)
则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示.
当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，
则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.
又当x∈[0,1]时，f(x)单调递增， ∴f(0)<f 12<f(1)， 即 f(6)<f 121<f(－7).
思维升华
周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等， 常利用奇偶性和周期性将所求函数值的自变量转化到已知 解析式的函数定义域内，或已知单调性的区间内求解.
新课标2023版高考数学一轮总复习第2章函数第3节函数的奇偶性与周期性教师用书
第三节 函数的奇偶性与周期性考试要求：1．了解函数的奇偶性的概念及几何意义．2．结合三角函数，了解函数的周期性、对称性及其几何意义．一、教材概念·结论·性质重现1．函数的奇偶性的定义奇偶性偶函数奇函数条件一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I结论f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)图象特点关于y轴对称关于原点对称1．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．2．函数图象的对称性(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．3．函数的周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T 就叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期(若不加特别说明，T一般都是指最小正周期)．4．对称性与周期的关系(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．(2)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．(3)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，4|a －b|是它的一个周期．5．常用结论(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(4)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．(5)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0．( × )(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．( √ )(3)如果函数f(x)，g(x)是定义域相同的偶函数，那么F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．( √ )(4)若T为y＝f(x)的一个周期，则nT(n∈Z)是函数f(x)的周期．( × ) 2．函数f(x)＝－x的图象关于( )A．y轴对称B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称D．直线y＝x对称C 解析：因为函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝－＋x＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．所以f(x)的图象关于坐标原点对称．3．已知f(x)满足f(x＋2)＝f(x)．当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，则f等于( )A． B． C． D．1B 解析：由f(x＋2)＝f(x)，知函数f(x)的周期T＝2，所以f＝f＝2＝．4．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )A．－ B． C． D．－B 解析：因为f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，所以a－1＋2a＝0，所以a＝． 又f(－x)＝f(x)，所以b＝0，所以a＋b＝．5．(多选题)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( ) A．y＝f(|x|)B．y＝f(－x)C．y＝xf(x)D．y＝f(x)＋xBD 解析：由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证．对于选项A，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；对于选项B，f(－(－x))＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；对于选项C，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；对于选项D，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．故选BD．考点1 函数的奇偶性——基础性1．(多选题)若函数f(x)(x∈R)是奇函数，函数g(x)(x∈R)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A．函数f(g(x))是偶函数B．函数g(f(x))是偶函数C．函数f(x)·g(x)是奇函数D．函数f(x)＋g(x)是奇函数ABC 解析：对于选项A，f(g(x))是偶函数，A正确；对于选项B，g(f(x))是偶函数，B正确；对于选项C，设h(x)＝f(x)g(x)，h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)是奇函数；对于选项D，f(x)＋g(x)不一定具备奇偶性．故选ABC．2．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝e x－1，则当x<0时，f(x)＝( )A．e－x－1B．e－x＋1C．－e－x－1D．－e－x＋1D 解析：当x<0时，－x>0．因为当x≥0时，f(x)＝e x－1，所以 f(－x)＝e－x－1． 又因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1．3．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝e x，则g(x)＝( ) A．e x－e－x B．(e x＋e－x)C．(e－x－e x)D．(e x－e－x)D 解析：因为f(x)＋g(x)＝e x，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e－x，所以g(x)＝(e x－e－x)．4．已知函数f(x)＝则该函数的奇偶性是_________．奇函数 解析：当x>0时，－x<0，所以f(－x)＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(1)解决这类问题要优先考虑用定义法，然后考虑用图象法．考点2 函数的周期性——综合性(1)设f(x)是周期为3的函数，当1≤x≤3时，f(x)＝2x＋3，则f(8)＝______．当－2≤x≤0时，f(x)＝________．7 2x＋9 解析：因为f(x)是周期为3的函数，所以f(8)＝f(2)＝2×2＋3＝7．当－2≤x≤0时，f(x)＝f(x＋3)＝2(x＋3)＋3＝2x＋9．(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)>0，f(x＋2)＝对任意x∈R恒成立，则f(2 023)＝________．1 解析：因为f(x)>0，f(x＋2)＝，所以f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝＝＝f(x)，则函数f(x)的周期为4，所以f(2 023)＝f(506×4－1)＝f(－1)．因为函数f(x)为偶函数，所以f(2 023)＝f(－1)＝f(1)．当x＝－1时，f(－1＋2)＝，得f(1)＝．由f(x)>0，得f(1)＝1，所以f(2 023)＝f(1)＝1．(3)设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x<1时，f(x)＝2x－1．则f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝__________．－1 解析：依题意知函数f(x)为奇函数且周期为2，则f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即f(1)＝0．所以f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝f＋0＋f＋f(0)＋f＝f－f＋f(0)＋f＝f＋f(0)＝2－1＋20－1＝－1．1．(2021·长春质量监测)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( ) A．6B．7C．8D．9B 解析：因为f(x)是最小正周期为2的周期函数，且0≤x<2时，f(x)＝x3－x＝x(x －1)(x＋1)，所以当0≤x<2时，f(x)＝0有两个根，即x1＝0，x2＝1．由周期函数的性质知，当2≤x<4时，f(x)＝0有两个根，即x3＝2，x4＝3；当4≤x≤6时，f(x)＝0有三个根，即x5＝4，x6＝5，x7＝6，故f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7．2．(多选题)(2022·长春质检)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，则下列结论正确的是( )A．f(x)的图象关于点(1,0)对称B．f(x＋2)＝f(x)C．f(3－x)＝f(x－1)D．f(x－2)＝f(x)ABD 解析：对于A，由f(x)＋f(2－x)＝0得f(x)的图象关于点(1,0)对称，选项A正确；对于B，用－x替换f(x)＋f(2－x)＝0中的x，得f(－x)＋f(2＋x)＝0，所以f(x＋2)＝－f(－x)＝f(x)，选项B正确；对于C，用x－1替换f(x)＋f(2－x)＝0中的x，得f(3－x)＝－f(x－1)，选项C错误；对于D，用x－2替换f(x＋2)＝f(x)中的x，得f(x－2)＝f(x)，选项D正确．3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________．6 解析：因为f(x＋4)＝f(x－2)，所以f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，所以f(x)是周期为6的周期函数，所以f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6．考点3 函数性质的综合应用——应用性考向1 函数的单调性与奇偶性综合(1)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )A．a<b<c B．c<b<aC．b<a<c D．b<c<aC 解析：易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数．因为奇函数f(x)在R上单调递增，且f(0)＝0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增．又3>log25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，所以g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，即c>a>b．(2)(2020·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)( )A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减D 解析：f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|的定义域为x≠±．又f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故排除A，C．又当x∈时，f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝ln ＝ln ＝ln．因为y＝1＋在上单调递减，由复合函数的单调性可得f(x)在上单调递减．考向2 函数的奇偶性与周期性结合(1)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋4)＝f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2，则f(2 023)＝________．－1 解析：因为f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝4． 又f(1)＝1，所以f(2 023)＝f(－1＋4×506)＝f(－1)＝－f(1)＝－1．(2)设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足f(1＋x)＝f(1－x)，f(2＋x)＝－f(2－x)，则f(x)是( )A．偶函数，又是周期函数B．偶函数，但不是周期函数C．奇函数，又是周期函数D．奇函数，但不是周期函数A 解析：由f(x＋1)＝－f(x－1)，可得f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f(x)，故函数f(x)的周期为4，则f(5)＝f(1)＝a2－2a－4．又因为f(x)是定义在R上的奇函数，f(－1)＞1，所以f(1)＜－1，所以a2－2a－4＜－1，解得－1＜a＜3．若本例(1)中的条件不变，当x∈[2,4]时，f(x)的解析式是____________．f(x)＝x2－6x＋8 解析：当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]．由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2．又f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2． 所以f(x)＝x2＋2x．又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，所以f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，所以f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8．故x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8．函数周期性有关问题的求解方法(1)求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期的定义求出函数的周期．(2)根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．考向3 函数的单调性、奇偶性与周期性结合定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且在[－1,0]上单调递减．设a ＝f(－2.8)，b＝f(－1.6)，c＝f(0.5)，则a，b，c的大小关系是( )A．a>b>c B．c>a>bC．b>c>a D．a>c>bD 解析：因为偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2．所以a＝f(－2.8)＝f(－0.8)，b＝f(－1.6)＝f(0.4)＝f(－0.4)，c＝f(0.5)＝f(－0.5)．因为－0.8<－0.5<－0.4，且函数f(x)在[－1,0]上单调递减，所以a>c>b．故选D．1．解决这类问题一定要1．已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4．若f(－2)＝2，则f(2 022)＝( )A．2B．0C．－2D．－4C 解析：因为函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，所以f(x)为奇函数，所以f(2 022)＝f(505×4＋2)＝f(2)＝－f(－2)＝－2．故选C．2．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为( )A．(－∞，－3)B．(3，＋∞)C．(－∞，－1)D．(1，＋∞)D 解析：因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是定义在R上的以3为周期的函数，所以f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又因为函数f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)，所以f(7)＝f(2)>1，所以a>1，即a∈(1，＋∞)．故选D．3．已知奇函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，当x∈[0,3]时，f(x)＝－x，则f(－16)＝________．2 解析：根据题意，函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，则有f(x)＝f(6－x)．又函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(6－x)＝f(x－12)．所以f(x)的最小正周期是12．故f(－16)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(2)＝－(－2)＝2．4．定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)．现有以下三种叙述：①8是函数f(x)的一个周期；②f(x)的图象关于直线x＝2对称；③f(x)是偶函数．其中正确的序号是________．①②③ 解析：由f(x)＋f(x＋2)＝0，得f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即4是f(x)的一个周期，8也是f(x)的一个周期，故①正确；由f(4－x)＝f(x)，得f(x)的图象关于直线x＝2对称，故②正确；由f(4－x)＝f(x)与f(x＋4)＝f(x)，得f(4－x)＝f(－x)，f(－x)＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，故③正确．。
高考数学(人教A版理)一轮复习教师用书第2章第3节函数的奇偶性与周期性Word版含解析
第三节函数的奇偶性与周期性[考纲传真 ] 1.认识函数奇偶性的含义 .2.会运用基本初等函数的图象剖析函数的奇偶性 .3.认识函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．1．函数的奇偶性奇偶性定义假如对于函数f(x)的定义域内随意一偶函数个 x，都有 f(－x)＝f(x)，那么函数 f(x)图象特色对于 y 轴对称就叫做偶函数奇函数假如对于函数f(x)的定义域内随意一个 x，都有 f(－x)＝－ f(x)，那么函数对于原点对称f(x)就叫做奇函数2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数 f(x)，假如存在一个非零常数 T，使适当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝ f(x)，那么就称函数 f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：假如在周期函数f(x)的全部周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．1．(思虑辨析 )判断以下结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)偶函数图象不必定过原点，奇函数的图象必定过原点．(2)若函数 y＝ f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x) 对于直线()x＝a 对称． ()(3)若函数y＝ f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x) 对于点 (b,0)中心对称．()(4)函数 f(x)在定义域上知足f(x＋a)＝－ f(x)，则 f(x)是周期为 2a(a＞ 0)的周期函数．()[答案 ] (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．已知 f(x)＝ax 2＋bx 是定义在 [a －1,2a] 上的偶函数，那么 a ＋b 的值是 ()【导学号： 01772032】1 1 A ．－ 3B.311 C.2D.－2B [依题意 b ＝0，且 2a ＝－ (a －1)，1 1∴b ＝ 0 且 a ＝3，则 a ＋ b ＝ 3.]3．(2015 ·东高考广 )以下函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 ()21A ．y ＝ 1＋xB.y ＝x ＋xC ．y ＝2 x1 x＋ xD.y ＝x ＋e2D [A 选项定义域为 R ，因为 f(－x)＝1＋ －x 2＝ 1＋x 2＝f(x)，所以是偶1函数．B 选项定义域为 { x|x ≠0} ，因为 f(－x)＝－ x － x ＝－ f(x)，所以是奇函数． C选项定义域为 R ，因为 f(－x)＝2－x＋ 1 x ＝1x ＋2x＝f(x)，所以是偶函数． D 选项2－ 2定义域为 R ，因为 f(－x)＝－ x ＋ e－x＝1x －x ，所以是非奇非偶函数． ]e5时， f(x)＝4x ，则 f －2 ＋ f(2)＝________.5 1 1 1－2 [ ∵f(x)是周期为 2 的奇函数， ∴f －2 ＝f － 2 ＝－ f 2 ＝－ 42＝－ 2，f(2)5＝ f(0)＝ 0，∴f － 2 ＋f(2)＝－ 2＋ 0＝－ 2.]5．(教材改编 )已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当x ≥0 时， f(x)＝x(1＋ x)，则 x ＜0 时， f(x) ＝________.x(1－x) [ 当 x ＜0 时，则－ x ＞0，∴f(－ x)＝ (－x)(1－ x)．又 f(x)为奇函数，∴f(－ x)＝－ f(x)＝ (－x)(1－ x)，∴f(x)＝x(1－x)．]函数奇偶性的判断判断以下函数的奇偶性：(1)f(x)＝ x3－2x；1－x(2)f(x)＝ (x＋1)1＋x；x2＋ x，x＞0，(3)f(x)＝x2－x，x＜0.[解 ] (1)定义域为R，对于原点对称，又 f(－ x)＝(－ x)3－ 2(－x)＝－ x3＋2x＝－ (x3－ 2x)＝－ f(x)．∴该函数为奇函数 .4 分(2)由1－ x≥ 0 可得函数的定义域为 (－1,1]．1＋ x∵函数定义域不对于原点对称，∴函数为非奇非偶函数 .8 分(3)易知函数的定义域为 (－∞，0)∪(0，＋∞)，对于原点对称，又当x＞ 0 时，f(x)＝x2＋ x，则当 x＜ 0 时，－ x＞ 0，故 f(－ x)＝x2－x＝f(x)；当 x＜0 时， f(x)＝ x2－ x，则当 x＞0 时，－ x＜ 0，故 f(－ x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数 .12 分[规律方法 ] 1.利用定义判断函数奇偶性的步骤：2．判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－ x)与 f(x)的关系，只有对各段上的 x 都知足同样的关系时，才能判断其奇偶性；也能够利用函数的图象进行判断．[变式训练 1](1)(2014 全·国卷Ⅰ )设函数 f(x)， g(x)的定义域都为R，且 f(x)是奇函数， g(x)是偶函数，则以下结论中正确的选项是()A．f(x)g(x)是偶函数B． |f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D． |f(x)g(x)|是奇函数(2)判断函数 f(x)＝3－x2＋x2－ 3的奇偶性．(1)C[A ：令 h(x)＝f(x) ·g(x)，则 h(－x)＝f(－x) ·g(－x)＝－ f(x) ·g(x)＝－ h(x)，∴h(x)是奇函数， A 错．B：令 h(x)＝|f(x)|g(x)，则 h(－x)＝ |f(－x)|g(－ x)＝ |－ f(x)|g(x)＝ |f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数， B 错．C：令 h(x)＝f(x)|g(x)|，则 h(－x)＝ f(－ x)|g(－x)|＝－ f(x)|g(x)|＝－ h(x)，∴h(x)是奇函数， C 正确．D：令 h(x)＝|f(x) ·g(x)|，则 h(－ x)＝|f(－ x) ·g(－x)|＝|－ f(x) ·g(x)|＝ |f(x) ·g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函数， D 错． ]3－x 2≥ 0，(2)由x 2－3≥ 0， 得x 2＝ 3，∴ x ＝±3，3分即函数 f(x)的定义域为 { － 3， 3} ，从而 f(x)＝ 3－x 2＋ x 2－ 3＝ 0.8 分所以 f(－x)＝－ f(x)且 f( －x)＝f(x)，∴函数 f(x)既是奇函数又是偶函数 .12 分函数奇偶性的应用(1)(2015 全·国卷Ⅰ ) 若函数 f(x)＝ xln(x ＋ a ＋ x 2 )为偶函数，则 a ＝________.(2)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当x ＞ 0 时， f(x)＝ x 2－4x ，则 f(x)＝________.x 2－4x ，x ＞0，(1)1 (2)0， x ＝0，∵ 为偶函数，∴－ x) －f(x) ＝ 0恒建立，[(1) f(x) f(－x 2－4x ， x ＜ 0∴－xln(－x ＋ a ＋ x 2)－xln(x ＋ a ＋ x 2)＝0 恒建立，∴xln a ＝0 恒建立， ∴ln a＝ 0，即 a ＝1.(2)∵f(x)是定义在 R 上的奇函数，∴f(0)＝ 0.又当 x ＜ 0 时，－ x ＞ 0，∴f(－x)＝ x 2 ＋4x.又 f(x)为奇函数，∴f(－ x)＝－ f(x)，即 f(x)＝－ x 2－4x(x ＜0)，x 2－4x ， x ＞ 0，∴f(x)＝ 0， x ＝ 0，]－ x 2－4x ，x ＜0.[规律方法 ] 1.已知函数的奇偶性求参数，一般采纳待定系数法求解，依据f(x) ±f(x) ＝ 0 获得对于待求参数的恒等式，由系数的平等性得参数的值或方程(组)，从而得出参数的值；2．已知函数的奇偶性求函数值或分析式，将待求区间上的自变量转变到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充足利用奇偶性得出对于f(x)的方程 (组 )，从而可得 f(x)的值或分析式．[变式训练 2]设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥ 0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b 为常数 )，则 f(－ 1)＝()【导学号： 01772033】A．－3 B.－1C．1 D.3A[因为f(x)为定义在 R 上的奇函数，所以有f(0)＝ 20＋2×0＋b＝0，解得 b ＝－ 1，所以当 x≥0 时， f(x)＝ 2x＋2x－ 1，所以 f(－ 1)＝－ f(1)＝－ (21＋ 2× 1－ 1)＝－ 3.]函数的周期性及其应用设定义在 R 上的函数f(x)知足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，则 f(0)＋f(1)＋f(2)＋＋ f(2 017)＝ ________.1 009[ ∵f(x＋2)＝f(x)，∴函数 f(x)的周期 T＝2.又当 x∈[0,2)时， f(x)＝2x－x2，∴f(0)＝0，f(1)＝ 1，f(0)＋ f(1)＝ 1.∴f(0)＋f(1)＝f(2)＋f(3)＝f(4)＋ f(5)＝＝ f(2 016)＋f(2 017)＝ 1，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋＋f(2 017)＝1 009.][迁徙研究 1]若将本例中“ f(x＋2)＝f(x)”改为“ f(x＋1)＝－f(x)”，则结论怎样？[解 ]∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝ f[( x＋ 1)＋1] ＝－ f(x＋ 1)＝f(x).5 分故函数 f(x)的周期为 2.8 分由本例可知， f(0)＋f(1)＋f(2)＋＋f(2 017)＝ 1 009.12 分1 [迁徙研究 2]若将本例中“ f(x＋2)＝f(x)”改为“ f(x＋1)＝f x”，则结论如何？1[解 ]∵f(x＋1)＝f x，1∴f(x＋2)＝ f[( x＋ 1)＋1] ＝＝f(x).5分f x＋1故函数 f(x)的周期为 2.8 分由本例可知， f(0)＋f(1)＋f(2)＋＋f(2 017)＝ 1 009.12 分[规律方法 ] 1.判断函数的周期只要证明f(x＋ T)＝f(x)(T≠0)即可证明函数是周期函数，且周期为T，依据函数的周期性，能够由函数局部的性质获得函数的整体性质．2．函数周期性的三个常用结论：(1)若 f(x＋ a)＝－ f(x)，则 T＝2a，1(2)若 f(x＋ a)＝f x，则 T＝2a，1(3)若 f(x＋ a)＝－f x，则 T＝2a(a＞0)．[变式训练 3] 定义在R上的函数 f(x)知足 f(x＋6)＝f(x)，当－ 3≤x＜－ 1 时，f(x)＝－ (x＋2)2；当－ 1≤x＜3 时， f(x) ＝ x.则 f(1) ＋ f(2)＋ f(3) ＋＋ f(2 018)＝________.339[∵f(x＋ 6)＝f(x)，∴T＝6.∵当－3≤x＜－ 1 时， f(x)＝－ (x＋ 2)2；当－ 1≤ x＜3 时， f(x)＝x，∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－ 1，f(4)＝f(－2)＝ 0， f(5)＝ f(－1)＝－ 1，f(6)＝f(0)＝0，∴f(1)＋f(2)＋＋ f(6)＝ 1，2 016∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋＋f(2 015)＋f(2 016)＝1×6＝336.又 f(2 017)＋f(2 018)＝ f(1)＋ f(2)＝3，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋＋f(2 018)＝339.][思想与方法 ]1．函数奇偶性的三个常用性质(1)若奇函数 f(x)在 x＝ 0 处有定义，则f(0)＝ 0.(2)若 f(x)为偶函数，则 f(|x|)＝ f(x)．(3)设 f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇× 偶＝奇．2．利用函数奇偶性能够解决以下问题(1)求函数值； (2)求分析式； (3)求函数分析式中参数的值；(4)画函数图象，确立函数单一性．3．在解决详细问题时，要注意结论“若 T 是函数的周期，则 kT(k∈Z且 k≠ 0)也是函数的周期”的应用．[易错与防备 ]1．判断函数的奇偶性，应第一判断函数定义域能否对于原点对称．定义域对于原点对称是函数拥有奇偶性的一个必需条件．2．f(0)＝0 既不是 f(x) 是奇函数的充足条件，也不是必需条件．应用时要注意函数的定义域并进行查验．3．判断分段函数的奇偶性时，要以整体的看法进行判断，不可以用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否认函数在整个定义域上的奇偶性．。
高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义：第2篇 第3讲 函数的奇偶性与周期性
第3讲函数的奇偶性与周期性[考纲]1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．知识梳理1．函数的奇偶性(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数．②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数．③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数．(3)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．辨析感悟1．对奇偶函数的认识及应用(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．( )(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )(3)(教材习题改编)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．( )(4)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．( )(5)(2013·山东卷改编)已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋1x，则f(－1)＝－2.( )(6)(2014·菏泽模拟改编)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f(a)≥f(2)，则实数a的取值范围是[－2,2]．( )2．对函数周期性的理解(7)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．( )(8)(2014·枣庄一模改编)若y＝f(x)既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y＝f′(x)既是周期函数又是奇函数．( )[感悟·提升]1．两个防范一是判断函数的奇偶性之前务必先考查函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数一定是非奇非偶函数，如(1)；二是若函数f(x)是奇函数，则f(0)不一定存在；若函数f(x)的定义域包含0，则必有f(0)＝0，如(2)．2．三个结论一是若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称；若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称，如(4)；二是若对任意x∈D都有f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是以2a为周期的函数；若对任意x∈D都有f(x＋a)＝±1f(x)(f(x)≠0)，则f(x)也是以2a为周期的函数，如(7)；三是若函数f(x)既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y＝f′(x)既是周期函数又是偶函数，如(8)中因为y＝f(x)是周期函数，设其周期为T，则有f(x＋T)＝f(x)，两边求导，得f′(x＋T)(x＋T)′＝f′(x)，即f′(x＋T)＝f′(x)，所以导函数是周期函数，又因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，两边求导，得f′(－x)(－x)′＝－f′(－x)＝－f′(x)，即－f′(－x)＝－f′(x)，所以f′(－x)＝f′(x)，所以导函数是偶函数.考点一函数奇偶性的判断及应用【例1】(1)判断下列函数的奇偶性：①f(x)＝x2－1＋1－x2；②f(x)＝ln 1－x1＋x.(2)已知函数f(x)＝ln(1＋9x2－3x)＋1，则f(lg 2)＋f(lg 12)＝()．A．－1 B．0 C．1 D．2规律方法判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．【训练1】 (1)(2014·武汉一模)已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a >0且a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)＝( )．A ．2B.154C.174 D ．a 2(2)设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )．A ．－3B ．－1C ．1D ．3考点二 函数的单调性与奇偶性【例2】 (1)(2014·山东实验中学诊断)下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是( )．A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝－xC ．f (x )＝2－x －2xD ．f (x )＝－tan x(2)(2013·辽宁五校联考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，在区间[0，＋∞)上为增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则不等式f (log 18x )＞0的解集为( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(2，＋∞)规律方法 对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题，若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．【训练2】(2014·北京101中学模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝e x＋a，若f(x)在R上是单调函数，则实数a的最小值是()．A．－2 B．－1 C．1 D．2考点三函数的单调性、奇偶性、周期性的综合应用【例3】(经典题)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则()．A．f(－25)＜f(11)＜f(80)B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25)D．f(－25)＜f(80)＜f(11)规律方法关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．【训练3】(2014·黄冈中学适应性考试)定义在R上的偶函数f(x)满足：f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，下列关于f(x)的判断：①f(x)是周期函数；②f(x)的图象关于直线x＝2对称；③f(x)在[0,1]上是增函数；④f(x)在[1,2]上是减函数；⑤f(4)＝f(0)．其中判断正确的序号是________．1．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f (－x )＝±f (x )⇔f (－x )±f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝±1(f (x )≠0)． 3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．营养餐根据函数的奇偶性求参数值【典例】 (2011·辽宁卷)若函数f (x )＝x (2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a ＝( )． A.12 B.23 C.34 D ．1[反思感悟] 已知函数的奇偶性求参数值一般思路是：利用函数的奇偶性的定义转化为f (－x )＝±f (x )，从而建立方程，使问题获得解决，但是在解决选择题、填空题时还显得较麻烦，为了使解题更快，可采用特值法．【自主体验】1．(2014·永康适应性考试)若函数f(x)＝ax2＋(2a2－a－1)x＋1为偶函数，则实数a的值为()．A．1 B．－1 2C．1或－12D．02．(2014·山东省实验中学诊断)已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数，则a＝________，b＝________.自助餐基础巩固题组一、选择题1．(2013·广东卷)定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是()．A．4 B．3 C．2 D．12．(2013·温州二模)若函数f(x)＝sin x(x＋a)2是奇函数，则a的值为()．A．0 B．1 C．2 D．43．(2014·哈尔滨三中模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝13对称，则f⎝⎛⎭⎪⎫－23＝()．A．0 B．1 C．－1 D．24．(2014·湛江一测)已知f(x)是定义在R上的奇函数，对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，若f(－2)＝2，则f(2 014)等于()．A．2 012 B．2 C．2 013 D．－25．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( )．A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)二、填空题6．(2014·温岭中学模拟)f (x )为奇函数，当x ＜0时，f (x )＝log 2(1－x )，则f (3)＝________.7．(2013·青岛二模)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x ＋2)＝f (x )对任意x ∈R 成立，当x ∈(－1,0)时f (x )＝2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝________. 8．设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (1－m )＜f (m )，则实数m 的取值范围是________．三、解答题9．f (x )为R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝－2x 2＋3x ＋1，求f (x )的解析式．10．设f (x )是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x .(1)判定f (x )的奇偶性；(2)试求出函数f (x )在区间[－1,2]上的表达式．能力提升题组一、选择题1．(2013·昆明模拟)已知偶函数f (x )对∀x ∈R 都有f (x －2)＝－f (x )，且当x ∈[－1,0]时f (x )＝2x ，则f (2 013)＝( )．A ．1B ．－1 C.12 D ．－122．(2014·郑州模拟)已知函数f (x ＋1)是偶函数，当1＜x 1＜x 2时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＞0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )． A ．b ＜a ＜c B ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c二、填空题3．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x ，则： ①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3. 其中所有正确命题的序号是________．三、解答题4．已知函数f (x )在R 上满足f (2－x )＝f (2＋x )，f (7－x )＝f (7＋x )，且在闭区间[0,7]上，只有f (1)＝f (3)＝0.(1)试判断函数y ＝f (x )的奇偶性；(2)试求方程f (x )＝0在闭区间[－2 014,2 014]上根的个数，并证明你的结论．。
【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 2-3函数的奇偶性与周期性 新人教A版
2-3函数的奇偶性与周期性基础巩固强化1.(2012·洛阳示范高中联考)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝2－|x |[答案] B[解析] y ＝x 3是奇函数，y ＝－x 2＋1与y ＝2－|x |在(0，＋∞)上为减函数，故选B.2．(文)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝2x－3，则f (－2)的值等于( )A ．－1 B.114C ．1D ．－114[答案] A[解析] f (2)＝22－3＝1，又f (x )是奇函数， ∴f (－2)＝－f (2)＝－1，故选A.(理)(2011·浙江杭州月考)已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋m (m 为常数)，则f (－1)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3[答案] A[解析] ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1.∴当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x －1，f (1)＝21＋2×1－1＝3，f (－1)＝－f (1)＝－3.3．(文)函数f (x )(x ∈R )是周期为3的奇函数，且f (－1)＝a ，则f (2014)的值为( ) A ．a B ．－a C ．0 D ．2a[答案] B[解析] ∵f (x )周期为3， ∴f (2014)＝f (671×3＋1)＝f (1)， ∵f (x )为奇函数，f (－1)＝a ， ∴f (1)＝－a ，故选B.(理)(2012·河南商丘模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则f (－T2)的值为( )A ．－T2B ．0 C.T2 D ．T[答案] B[解析] ∵f (－T 2)＝－f (T 2)，且f (－T 2)＝f (－T 2＋T )＝f (T 2)，∴f (T 2)＝0，∴f (－T2)＝0.4．(文)(2011·北京东城一模)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)，则函数f (x )的图象大致为( )[答案] C[解析] 函数f (x )＝ln(x ＋1)的图象由f (x )＝ln x 的图象向左平移1个单位得到，选取x >0的部分，然后作关于y 轴的对称图形即得．(理)(2011·北京西城模拟)定义在R 上的偶函数f (x )的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f (x )的单调性不同的是( )A ．y ＝x 2＋1B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥0x 3＋1，x <0D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥0e －x，x <0[答案] C[解析] ∵f (x )为偶函数，由图象知，f (x )在(－2,0)上为减函数，而y ＝x 3＋1在(－∞，0)上为增函数．5．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋3)＝1－f x ，则f (2013)的值为( )A ．－2－ 3B ．－2＋ 3C ．2－ 3D ．－3－ 3[答案] A[解析] 由题意得f (x ＋6)＝f (x ＋3＋3)＝1－f x ＋3＝1－－1f x ＝f (x )．∴函数f (x )的周期为6.f (2013)＝f (335×6＋3)＝f (3)，而f (3)＝f (0＋3)＝－1f 0＝－12－3＝－2－ 3.6．(文)(2011·合肥模拟)设f (x )是偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (2x )＝f (x ＋1x ＋4)的所有x 之和为( ) A ．－92B ．－72C ．－8D ．8[答案] C[解析] ∵f (x )是偶函数，f (2x )＝f (x ＋1x ＋4)， ∴f (|2x |)＝f (|x ＋1x ＋4|)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上为单调函数， ∴|2x |＝|x ＋1x ＋4|，即2x ＝x ＋1x ＋4或2x ＝－x ＋1x ＋4， 整理得2x 2＋7x －1＝0或2x 2＋9x ＋1＝0，设方程2x 2＋7x －1＝0的两根为x 1，x 2，方程2x 2＋9x ＋1＝0的两根为x 3，x 4. 则(x 1＋x 2)＋(x 3＋x 4)＝－72＋(－92)＝－8.(理)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (0.20.6)，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．b <a <cD ．a <b <c[答案] C[解析] 由题意知f (x )＝f (|x |)．∵log 47＝log 27>1，|log 12 3|＝log 23>log 27，0<0.20.6<1，∴|log 123|>|log 47|>|0.20.6|.又∵f (x )在(－∞，0]上是增函数，且f (x )为偶函数， ∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数． ∴b <a <c .故选C.7．(文)若f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x ＝2对称，且当x ∈(－2,2)时，f (x )＝－x 2＋1.则f (－5)＝________.[答案] 0[解析] 由题意知f (－5)＝f (5)＝f (2＋3)＝f (2－3)＝f (－1)＝－(－1)2＋1＝0. (理)(2011·湖南文)已知f (x )为奇函数，g (x )＝f (x )＋9，g (－2)＝3，则f (2)＝________.[答案] 6[解析] 由g (x )＝f (x )＋9知g (－2)＝f (－2)＋9＝3， ∴f (－2)＝－6，而由于f (x )是奇函数， 所以f (2)＝－f (－2)＝－(－6)＝6.8．(文)若f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x ＋a (a ∈R )是奇函数，则a ＝________.[答案] －1[解析] ∵f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫2x 1＋x ＋a 是奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0恒成立， 即lg ⎝⎛⎭⎪⎫2x 1＋x ＋a ＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 1－x ＋a＝lg ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x x －1＋a ＝0. ∴⎝⎛⎭⎪⎫2x 1＋x ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x x －1＋a ＝1，∴(a 2＋4a ＋3)x 2－(a 2－1)＝0， ∵上式对定义内的任意x 都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a ＋3＝0，a 2－1＝0，∴a ＝－1.[点评] ①可以先将真数通分，再利用f (－x )＝－f (x )恒成立求解，运算过程稍简单些．②如果利用奇函数定义域的特点考虑，则问题变得比较简单．f (x )＝lg a ＋2x ＋a 1＋x 为奇函数，显然x ＝－1不在f (x )的定义域内，故x ＝1也不在f (x )的定义域内，令x ＝－aa ＋2＝1，得a ＝－1.故平时解题中要多思少算，培养观察、分析、捕捉信息的能力．(理)设函数f (x )＝sin(3x ＋φ)(0<φ<π)．若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________.[答案]2π3[解析] ∵f ′(x )＝3cos(3x ＋φ)．∴f (x )＋f ′(x )＝sin(3x ＋φ)＋3cos(3x ＋φ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋φ＋π3. f (x )＋f ′(x )是奇函数⇔φ＋π3＝k π(k ∈Z )，即φ＝k π－π3(k ∈Z )．又∵0<φ<π，∴k ＝1时，φ＝2π3.9．定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且f (12)＝0，则满足f (log 14 x )<0的集合为________．[答案] (0，12)∪(2，＋∞)[解析] 由题意知f (x )<0的解为x >12或x <－12，∴由f (log 14 x )<0得log 14 x >12或log 14 x <－12，∴0<x <12或x >2.10．(文)已知函数f (x )＝1－42a x＋a(a >0且a ≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数． (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的值域；(3)当x ∈(0,1]时，tf (x )≥2x－2恒成立，求实数t 的取值范围．[解析] (1)∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，即f (－x )＝－f (x )恒成立，∴f (0)＝0.即1－42×a 0＋a＝0，解得a ＝2. (2)∵y ＝2x－12x ＋1，∴2x＝1＋y 1－y ，由2x>0知1＋y 1－y>0，∴－1<y <1，即f (x )的值域为(－1,1)． (3)不等式tf (x )≥2x－2即为t ·2x －t2x＋1≥2x－2.即：(2x )2－(t ＋1)·2x ＋t －2≤0.设2x＝u ， ∵x ∈(0,1]，∴u ∈(1,2]．∵u ∈(1,2]时u 2－(t ＋1)·u ＋t －2≤0恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧12－t ＋1×1＋t －2≤0，22－t ＋1×2＋t －2≤0，解得t ≥0.(理)(2011·烟台模拟)已知函数f (x )＝ax ＋1x2(x ≠0，常数a ∈R )．(1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在x ∈[3，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．[解析] (1)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当a ＝0时，f (x )＝1x，满足对定义域上任意x ，f (－x )＝f (x )，∴a ＝0时，f (x )是偶函数；当a ≠0时，f (1)＝a ＋1，f (－1)＝1－a ， 若f (x )为偶函数，则a ＋1＝1－a ，a ＝0矛盾； 若f (x )为奇函数，则1－a ＝－(a ＋1)，1＝－1矛盾， ∴当a ≠0时，f (x )是非奇非偶函数． (2)对任意x 1，x 2∈[3，＋∞)，且x 1>x 2，f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋1x 21－ax 2－1x 22＝a (x 1－x 2)＋x 22－x 21x 21x 22＝(x 1－x 2)(a －x 1＋x 2x 21x 22)．∵x 1－x 2>0，f (x )在[3，＋∞)上为增函数， ∴a >x 1＋x 2x 21x 22，即a >1x 1x 22＋1x 21x 2在[3，＋∞)上恒成立． ∵1x 1x 22＋1x 21x 2<227，∴a ≥227.能力拓展提升11.(文)(2011·泰安模拟)f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0，则方程f (x )＝0在区间(0,6)内解的个数至少是( )A ．1B ．4C ．3D ．2 [答案] B[解析] 由f (2)＝0，得f (5)＝0， ∴f (－2)＝0，f (－5)＝0. ∴f (－2)＝f (－2＋3)＝f (1)＝0，f (－5)＝f (－5＋9)＝f (4)＝0，故f (x )＝0在区间(0,6)内的解至少有1,2,4,5四个．(理)(2012·东北三校联考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有f (2＋x )＝－f (x )，且当x ∈[0,1]时有f (x )＝－x 2＋1，当x ∈(1,2]时，f (x )＝x －2，f (x )＝0在[－1,5]上有5个根x i (i ＝1,2,3,4,5)，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10 [答案] D[解析] ∵f (2＋x )＝－f (x )，∴f (4＋x )＝f [2＋(2＋x )]＝－f (2＋x )＝f (x )，∴f (x )的周期为4，∵x ∈[0,1]时，f (x )＝－x 2＋1， ∴x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x 2＋1， 即x ∈[－1,1]时，f (x )＝－x 2＋1， 又x ∈(1,2]时，f (x )＝x －2， ∴x ∈[－2，－1)时，f (x )＝－x －2，∴x ∈[2,3)时，f (x )＝f (x －4)＝－(x －4)－2＝2－x .从而可知在[－1,5]上有f (－1)＝0，f (1)＝0，f (2)＝0，f (3)＝0，f (5)＝0，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝10，故选D.12．(2012·河南洛阳统考)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)[答案] B[解析] ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，∴当x∈(－∞，0)时，f (x )＝－lg(－x )，且f (0)＝0，∴f (x )>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >0，lg x >0，或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－lg －x >0，解得x >1或－1<x <0.13．(文)(2011·山东淄博一模)设奇函数f (x )的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f (1)≥1，f (2)＝2a －3a ＋1，则a 的取值范围是( ) A ．a <－1或a ≥23B ．a <－1C ．－1<a ≤23D ．a ≤23[答案] C[解析] 函数f (x )为奇函数，则f (－1)＝－f (1)． 由f (1)＝－f (－1)≥1得，f (－1)≤－1； 函数的最小正周期T ＝3，则f (－1)＝f (2)，由2a －3a ＋1≤－1解得，－1<a ≤23.(理)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11) [答案] D[解析] ∵f (x －4)＝－f (x )， ∴f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，∴f (x ＋8)＝f (x )，∴f (x )周期为8.∴f (80)＝f (0)， 又∵f (x )为奇函数，∴f (－25)＝f (－24－1)＝f (－1)， ∴f (11)＝f (3)＝－f (3－4)＝f (1)， 由条件知f (x )在[－2,2]上为增函数，∴f (－1)<f (0)<f (1)，∴f (－25)<f (80)<f (11)．14．若函数f (x )＝a －e x1＋aex (a 为常数)在定义域上为奇函数，则实数a 的值为________．[答案] 1或－1[解析] f (－x )＝a －e －x 1＋ae －x ＝ae x －1e x＋af (x )＋f (－x )＝a －e xa ＋e x ＋1＋ae x ae x －11＋ae x e x＋a ＝a 2－e 2x ＋a 2e 2x －11＋ae x e x＋a ＝0恒成立， 所以a ＝1或－1.15．已知函数f (x )＝e x －e －x(x ∈R 且e 为自然对数的底数)． (1)判断函数f (x )的奇偶性与单调性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．[解析] (1)∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x－e x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数； ∵f (x )＝e x －1e x ，而y ＝e x为增函数，y ＝－1ex 为增函数，∴f (x )为增函数．(2)∵f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0，∴f (x 2－t 2)≥－f (x －t )， ∵f (x )为奇函数，∴f (x 2－t 2)≥f (t －x )， ∵f (x )为增函数，∴x 2－t 2≥t －x ，∴t 2＋t ≤x 2＋x . 由条件知，t 2＋t ≤x 2＋x 对任意实数x 恒成立， 当x ∈R 时，x 2＋x ＝(x ＋12)2－14≥－14.∴t 2＋t ≤－14，∴(t ＋12)2≤0，∴t ＝－12.故存在t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切实数x 都成立．16．已知函数f (x )＝log a 1－mxx －1(a >0且a ≠1)是奇函数．(1)求m 的值；(2)判断f (x )在区间(1，＋∞)上的单调性并加以证明；(3)当a >1，x ∈(1，3)时，f (x )的值域是(1，＋∞)，求a 的值．[解析] (1)∵f (x )是奇函数，x ＝1不在f (x )的定义域内，∴x ＝－1也不在函数定义域内，令1－m ·(－1)＝0得m ＝－1. (也可以由f (－x )＝－f (x )恒成立求m ) (2)由(1)得f (x )＝log ax ＋1x －1(a >0且a ≠1)， 任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2， 令t (x )＝x ＋1x －1，则t (x 1)＝x 1＋1x 1－1，t (x 2)＝x 2＋1x 2－1， ∴t (x 1)－t (x 2)＝x 1＋1x 1－1－x 2＋1x 2－1＝2x 2－x 1x 1－1x 2－1， ∵x 1>1，x 2>1，x 1<x 2， ∴x 1－1>0，x 2－1>0，x 2－x 1>0. ∴t (x 1)>t (x 2)，即x 1＋1x 1－1>x 2＋1x 2－1， ∴当a >1时，log ax 1＋1x 1－1>log a x 2＋1x 2－1， 即f (x 1)>f (x 2)； 当0<a <1时，log ax 1＋1x 1－1<log a x 2＋1x 2－1，即f (x 1)<f (x 2)， ∴当a >1时，f (x )在(1，＋∞)上是减函数，当0<a <1时，f (x )在(1，＋∞)上是增函数． (3)∵a >1，∴f (x )在(1，3)上是减函数， ∴当x ∈(1，3)时，f (x )>f (3)＝log a (2＋3)， 由条件知，log a (2＋3)＝1，∴a ＝2＋ 3.1．已知g (x )是定义在R 上的奇函数，且在(0，＋∞)内有1005个零点，则f (x )的零点共有( )A ．1005个B ．1006个C ．2009个D ．2011个[答案] D[解析] ∵奇函数的图象关于原点对称，g (x )在(0，＋∞)上与x 轴有1005个交点，故在(－∞，0)上也有1005个交点，又f (0)＝0，∴共有零点2011个．2．下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是( ) A ．f (x )＝sin x B ．f (x )＝－|x ＋1| C ．f (x )＝12(a x ＋a －x)D ．f (x )＝ln 2－x2＋x[答案] D[解析] y ＝sin x 与y ＝ln 2－x 2＋x 为奇函数，而y ＝12(a x ＋a －x)为偶函数，y ＝－|x ＋1|是非奇非偶函数．y ＝sin x 在[－1,1]上为增函数．故选D.3．(2012·浙江湖州第二次质检)已知图甲是函数y ＝f (x )的图象，则图乙中的图象对应的函数可能是( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝－f (－|x |)D ．y ＝f (－|x |)[答案] D[解析] 由图乙可知，该函数为偶函数，且x <0时，其函数图象与f (x )的函数图象相同，即该函数图象的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ， x <0，f －x ， x ≥0，即y ＝f (－|x |)，故应选D.4．定义两种运算：a ⊗b ＝a 2－b 2，a ⊕b ＝|a －b |，则函数f (x )＝2⊗x x ⊕2－2( )A ．是偶函数B ．是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数 [答案] B[解析] f(x)＝4－x2|x－2|－2，∵x2≤4，∴－2≤x≤2，又∵x≠0，∴x∈[－2,0)∪(0,2]．则f(x)＝4－x2－x，f(x)＋f(－x)＝0，故选B.5．已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若g(1)＝2，则f(2012)的值为( )A．2 B．0C．－2 D．±2[答案] A[解析] 由已知：g(－x)＝f(－x－1)，又g(x)、f(x)分别为R上的奇、偶函数，∴－g(x)＝f(x＋1)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，即f(x)的周期T＝4，∴f(2012)＝f(0)＝g(1)＝2，故选A.。
【人教A版】2020年高考数学一轮课件：第二章 第3节 函数的奇偶性与周期性
偶函数
那么函数f(x)是偶函数
对称
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__f(_－__x_)_＝__－__f(_x_) ，关于_原__点___
奇函数
那么函数f(x)是奇函数
对称
2
知识衍化体验
考点聚集突破
核心素养提升
@《创新设计》
2.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任 何值时，都有__f_(x_＋__T_)_＝__f_(x_)__，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数 的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中___存__在__一__个__最__小____的正数，那么 这个最小正数就叫做f(x)的___最__小_____正周期.
3
知识衍化体验
考点聚集突破
核心素养提升
@《创新设计》
[微点提醒] 1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相
反的单调性.
＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.
(2)因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，
则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.
又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，
故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个.
B.0
C.2
D.50
(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y
高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第三节函数的奇偶性与周期性学案理(含解析)新人教A版
第三节函数的奇偶性与周期性2019考纲考题考情1．函数的奇偶性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期。
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。
1．一条规律奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称。
函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件。
2．两个性质(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0。
(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇。
3．函数周期性常用的结论对f(x)定义域内任一自变量的值x，(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a≠0)。
(2)若f(x＋a)＝1f(x)，则T＝2a(a≠0)。
(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则T＝2a(a≠0)。
一、走进教材1．(必修1P 35例5改编)下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x |D ．y ＝2－x解析 根据偶函数的定义知偶函数满足f (－x )＝f (x )且定义域关于原点对称，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数。
故选B 。
答案 B2．(必修4P 46A 组T 10改编)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________。
解析 由题意得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1。
人教a版高考数学(理)一轮课件：2.3函数的奇偶性及周期性
2.奇偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点 对称的区间上的单调性相反(填“相同”或“相反”). (2)在公共定义域内, ①两个奇函数的和函数是奇函数,两个奇函数的积函数是偶函数; ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数; ③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数. (3)若 f(x)是奇函数且在 x=0 处有定义,则 f(0)=0.
a+b 对称. 2
(4)y=f(x)的图象关于直线 x=a 及 x=b 对称,则 y=f(x)的周期为 2|a-b|. (5)y=f(x)的图象关于直线 x=a 及点(b,0)对称,则 y=f(x)的周期为 4|a-b|. (6)y=f(x)的图象关于点(a,0)及点(b,0)对称,则 y=f(x)的周期为 2|a-b|. 其中最后三条可以通过类比正弦函数的图象来记忆.
2.(2012·广东卷,4)下列函数为偶函数的是( A.y=sin x C.y=ex 【答案】D B.y=x3 D.y=ln x 2 + 1
)
【解析】∵ 函数 f(x)=ln x 2 + 1的定义域是 R 且 f(x)=ln (-x)2 + 1=ln x 2 + 1=f(x),∴ f(x)是偶函数. 3.已知 f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是( A.1 3
5.对称性 若函数 f(x)满足 f(a-x)=f(a+x)或 f(x)=f(2a-x),则函数 f(x)关于直线 x=a 对称.
1.对任意实数 x,下列函数为奇函数的是( A.y=2x-3 C.y=ln 5x 【答案】C B.y=-3x2 D.y=-|x|cos x
)
【解析】A 为非奇非偶函数,B,D 为偶函数,C 为奇函数. 设 y=f(x)=ln 5x=xln 5, 则 f(-x)=-xln 5=-f(x).
高考数学 第二章 第三节 函数的奇偶性与周期性课件 理 新人教A版
【拓展提升】判断函数奇偶性的两个方法 (1)定义法：
(2)图象法：
【变式训练】(1)(2013·广州模拟)若函数f(x)=3x+3-x与 g(x)=3x-3-x的定义域均为R，则( ) (A)f(x)与g(x)均为偶函数 (B)f(x)为偶函数,g(x)为奇函数 (C)f(x)与g(x)均为奇函数 (D)f(x)为奇函数,g(x)为偶函数 【解析】选B.∵f(-x)=3-x+3x=f(x)， g(-x)=3-x-3x=-g(x)， ∴f(x)为偶函数,g(x)为奇函数，故选B.
x
x
∴函数f(x)为奇函数.
(3)显然函数f(x)的定义域为： (-∞，0)∪(0,+∞)，关于原点对称， ∵当x<0时，-x>0，则f(-x)=-(-x)2-x =-x2-x=-f(x)； 当x>0时,-x<0，则f(-x)=(-x)2-x =x2-x=-f(x). 综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(-x)=-f(x)成立， ∴函数f(x)为奇函数.
(1) fxx1 1x.
1x
(2) f x lg1x2 . x2 2
(3) f xx2x2 x,xx,＜ x＞ 0,0.
【思路点拨】先求定义域，看定义域是否关于原点对称，在定 义域下，解析式带绝对值号的先尽量去掉，再判断f(-x)与f(x) 的关系，分段函数应分情况判断.
1 x 0,
【规范解答】(1)由 1
x
x
∴函数f(x)为奇函数.
②f(x)的定义域为R，关于原点对称， 当x＞0时，-x＜0,f(-x)=-(-x)2-2=-(x2+2)=-f(x); 当x＜0时，-x＞0,f(-x)=(-x)2+2=-(-x2-2)=-f(x); 当x=0时，f(0)=0,也满足f(-x)=-f(x). 故该函数为奇函数.
高三数学一轮复习 第2章 第3课时 函数的奇偶性与周期性 文 新人教版A
.
教材梳理 基础自测
二、函数的周期性
[自测 4] 已知 f(x)在 R 上满足 f(x＋4)＝f(x)，且为奇函数，当 x∈(0,2]时，
f(x)＝2x2，则 f(2 015)＝__________.
A．－2
B．2
C．－98
D．98
A
.
教材梳理 基础自测
二、函数的周期性
[自测 5] 函数 f(x)＝2x2＋ax＋1 是 R 上的偶函数，则 a＝__________. 0
.
考点突破 题型透析
考点一 判断函数的奇偶性
{关键点1} 定义域关于(0,0)对称是函数有奇偶性的前提 求出函数 f(x)的定义域，判断定义域是否关于原点对称．若定义域不关于 原点对称，则此函数为非奇非偶函数；若定义域关于原点对称，则继续 进行第(2)步．
.
考点突破 题型透析
考点一 判断函数的奇偶性
1．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝(x＋1)
1－x 1＋x.
(1)要使 f(x)有意义，则11－ ＋xx≥0，
解得－1<x≤1，显然 f(x)的定义域不关于原点对称，
∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
.
考点突破 题型透析
考点一 判断函数的奇偶性
上，选 A.
.
教材梳理 基础自测
一、函数的奇偶性
[自测 3] f(x)＝1x－x 的图象关于( )
A．y 轴对称
B．直线 y＝－x 对称
C．坐标原点对称
D．直线 y＝x 对称
C
.
教材梳理 基础自测
二、函数的周期性
1．周期函数：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取 定义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝ f(x) ，那么就称函数 y＝f(x)为周期 函数，称 T 为这个函数的周期． 2．最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个 最小的正数，
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版 提优版)：函数的奇偶性、周期性
那么函数f(x)就叫做偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 奇函数 ∀x∈D，都有－x∈D，且_f_(_－__x_)＝__－__f_(x_)_， 关于_原__点__对称
那么函数f(x)就叫做奇函数
知识梳理
2.周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数 T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且__f(_x_＋__T_)＝__f_(_x_) _，那么函数y＝f(x) 就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_最__小__的正数， 那么这个_最__小__正__数__就叫做f(x)的最小正周期.
√A.f(2 023)＝0 √B.f(x)的值域为[－1,2]
C.f(x)在[4,6]上单调递减
D.f(x)在[－6,6]上有8个零点
f(2 023)＝f(506×4－1)＝f(－1)＝f(1)＝0，所以A正确； 当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－2单调递增， 所以当x∈[0,2]时，函数的值域为[－1,2]， 由于函数是偶函数，所以函数的值域为[－1,2]，所以B正确； 当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－2单调递增， 又函数的周期是4， 所以f(x)在[4,6]上单调递增，所以C错误；
教材改编题
2.已知函数y＝f(x)是奇函数，且当x>0时，有f(x)＝x＋2x，则f(－2)＝_－__6_.
因为函数y＝f(x)是奇函数，且当x>0时，有f(x)＝x＋2x， 所以f(－2)＝－f(2)＝－(2＋4)＝－6.
教材改编题
3.已知函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，若f(1)＝1，则f(2 023)＝ _－__1__.
新高考2023版高考数学一轮总复习第2章第3讲函数的奇偶性与周期性课件
又当x∈(2，4]时，x－4∈(－2，0]， ∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)． 又f(x)是周期为4的周期函数， ∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8. 即当x∈(2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8.
〔变式训练1〕 (1)(角度1)将例2中“函数f(x)在R上为奇函数”改为“函数f(x)为偶函 数且定义域为{x∈R|x≠0}”，则f(x)的解析式为_f_(x_)_＝____x－_＋_x_1＋_x_1>_0_x<_，_0_. (2)(角度2)(2019·北京，13，5分)设函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)．若 f(x)为奇函数，则a＝__－__1__.
(5)去掉绝对值符号，根据定义判断．
1－x2≥0，
－1≤x≤1，
由|x＋2|－2≠0， 得x≠0.
故 f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]，关于原点对称，且有 x＋2>0.
从而有 f(x)＝x＋12－－x22＝ 1－x x2，这时有 f(－x)＝ 1－－－x x2＝－ 1－x x2＝
－f(x)，故 f(x)为奇函数．
(4)f(x)＝xx22＋ －xx， ，xx><00， ； (5)f(x)＝|x＋12－|－x22； (6)已知函数 f(x)对任意 x，y∈R，都有 f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)·f(y)， 且 f(0)≠0. [分析] 先求出定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域 内，解析式带绝对值号的先化简，计算f(－x)，再判断f(－x)与f(x)之间的 关系．抽象函数常用赋值法判断．
(3)函数的定义域x∈(－∞，＋∞)，关于原点对称． ∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－ f(x)， ∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数． (4)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又 当x>0时，f(x)＝x2＋x，则当x<0时，－x>0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)； 当x<0时，f(x)＝x2－x，则当x>0时，－x<0， 故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．
【新高考】高三数学一轮复习知识点专题2-3 函数的奇偶性与周期性
【核心素养分析】1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.3.培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。
【重点知识梳理】知识点一函数的奇偶性知识点二函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【特别提醒】1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.3.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a>0).(3)若f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a(a>0).4.对称性的三个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )的图象关于点(b ，0)中心对称. 【典型题分析】高频考点一函数奇偶性的判定例1．【2020·全国Ⅱ卷理数】设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x ) A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D 【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--， ()ln 21y x =+在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭， 2121x μ=+-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减，D 正确. 【举一反三】（2020·四川成都七中模拟）下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 B ．y ＝x 2＋e |x | C ．y ＝x cos x D ．y ＝ln|x |－sin x【答案】B【解析】对于选项A ，易知y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4为非奇非偶函数；对于选项B ，设f (x )＝x 2＋e |x |，则f (－x )＝(－x )2＋e |－x |＝x 2＋e |x |＝f (x )，所以y ＝x 2＋e |x |为偶函数；对于选项C ，设f (x )＝x cos x ，则f (－x )＝－x cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，所以y ＝x cos x 为奇函数；对于选项D ，设f (x )＝ln|x |－sin x ，则f (2)＝ln 2－sin 2，f (－2)＝ln 2－sin(－2)＝ln 2＋sin 2≠f (2)，所以y ＝ln|x |－sin x 为非奇非偶函数，故选B.【方法技巧】判断函数奇偶性的常用方法 (1)定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f (－x )＝±f (x )或其等价形式f (－x )±f (x )＝0是否成立．(2)图象法：f (x )的图像关于原点对称，f (x )为奇函数； f (x )的图像关于y 轴对称，f (x )为偶函数。
高三数学一轮复习 第二章 第三节 函数的奇偶性与周期性课件 理 新人教A版
∴f(x)＝lg（－1－xx2）.
又∵f(－x)＝lg[1－（x－x）2]＝－lg（1－－xx2）＝－f(x)， ∴函数f(x)为奇函数．
第十一页，共36页。
1．本题第(1)题，若盲目化简：f(x)＝ （x＋1）2·xx－＋11 ＝ x2－1 将扩大函数的定义域，作出 错误判断．第(2)题易忽视定义域无从入手．
2．判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于 原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析 式，根据f(－x)与f(x)的关系作出判断，对于分段函数，应 分情况判断．
第十二页，共36页。
判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝|x＋4－3|－x23. (2)f(x)＝x－2＋x22－（2（x＞x≤0）0， ）.
2．奇、偶函数的性质
(1)图象(túxiànɡ)特征：
奇函数的图象(tú xi原àn点ɡ)关于_______对称，偶函数的图象
(túxiànyɡ轴)关于
________对称．
第二页，共36页。
(2)对称(duìchèn)区间上的单调性：奇函数在关于原点对 称(duìch相èn同)的(x两iān个ɡ 区tón间ɡ)上有_______的单调性；偶函数在关于 原点对称相(d反u(ìxcihāènng)f的ǎn两) 个区间上有______的单调性．
【错解】
因为f(x)的周期为2，所以f(
3 2
)＝f(
3 2
－2)＝
f(－12)，
即f(12)＝f(－12)．
第二十八页，共36页。
又因为f(－12)＝－12a＋1，f(12)＝12b2＋＋12＝b＋3 4， 所以－12a＋1＝b＋3 4. ∴3a＋2b＝－2. 【答案(dáàn)】 －2
高考数学一轮复习讲义 函数的奇偶性课件 新人教A版
1试, 2
(1)根据函数的奇偶性的定义进行证明,
只思需维证启f迪(x)+f(-x)=0;
(2)根据函数的单调性定义进行证明,并注意函数奇
偶性的应用.
第十八页，编辑于星期五：七点 五十四分。
(1)证明 ∵函数定义域为R,其定义域关于原点对称.
∵f〔x+y〕=f〔x〕+f〔y〕，令y=-x,
∴f(0)=f(x)&#x+y)<f(x).
6分
∵x+y>x,
∴f(x)在〔0，+∞〕上是减函数.
8分
又∵f〔x〕为奇函数，f〔0〕=0，
∴f〔x〕在〔-∞,+∞〕上是减函数.
∴f〔-2〕为最大值，f(6)为最小值. ∵f(1)= 1 , ∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,
f(6)=2f(32 )=2[f〔1〕+f〔2〕]=-3.
奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴
对称.
第一页，编辑于星期五：七点 五十四分。
2.判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般 步骤是:
〔1〕考查定义域是否关于______对称；
〔假2设〕考f〔查-表x〕达=式__f_〔__-_x_〕，是那否么等f原〔于点xf〕〔为x〕奇或函-数f〔；x〕：
即f(x)在R上单调递减.
∴f〔-2〕为最大值，f〔6〕为最小值.
10分
∵f〔1〕= 1 , ∴f〔-2〕=-f〔2〕=-2f〔1〕=1 f〔6〕=2f〔23〕=2[f〔1〕+f〔2〕]=-3.
∴所求f(x)在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值
为-3.
12分
第二十一页，编辑于星期五：七点 五十四分。
高考数学一轮复习第2章函数3函数的奇偶性与周期性课件新人教版
2
.
2+sin
2+sin
f(x)=1+ 2
,令 g(x)= 2
,可知 g(x)为奇函数.
+1
+1
对于一个奇函数,其最大值与最小值之和为0,
即g(x)max+g(x)min=0,而f(x)max=1+g(x)max,f(x)min=1+g(x)min,
故f(x)max+f(x)min=M+m=2.
(4)已知函数g(x)是定义在区间[-2,2]上的偶函数,当x≥0时,g(x)单调递减,
若g(1-m)<g(m),求m的取值范围.
解 ∵g(1-m)<g(m),且g(x)为偶函数,
∴g(|1-m|)<g(|m|).
又g(x)在区间[0,2]上单调递减,
1
∴|1-m|>|m|,且|1-m|≤2,|m|≤2,解得 -1≤m<2.
又 f(-1)=-ln(-1+√ + 1)=ln
+1+1
,f(1)=ln(1+
+
1),
√
∴ln(√ + 1+1)-ln a=ln(√ + 1+1),
∴ln a=0,∴a=1.
经检验,当 a=1 时,f(x)为偶函数.
.
2
(+1) +sin
(3)设函数 f(x)=
的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m=
1+
(4)设a,b∈R,且a≠2,若定义在区间(-b,b)内的函数 f(x)=lg1+2 是奇函数,
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规 律 方 法 1 1. 本 例 第 1 题 ， 若 盲 目 化 简 ： fx ＝ x＋12·xx－ ＋11 ＝ x2－1 将扩大函数的定义域，作出错误判断. 第2题易忽视定义域无从入手.
2.判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对 称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据 f－ x与 fx的关系作出判断，对于分段函数，应分情况判断.
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5．(2013·山东高考)已知函数 f(x)为奇函数，且当 x＞0 时，f(x)
＝x2＋1x，则 f(－1)＝(
)
A．2
B．1
C．0
D．－2
【解析】 利用奇函数的性质 f(－x)＝－f(x)求解．
当 x＞0 时，f(x)＝x2＋1x，∴f(1)＝12＋11＝2.
∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.
(5)若 f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，那么函数 f(x)是周期函数，其
中一个周期为 T＝2|a－b|.
整理ppt
1．已知 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么 a
＋b 的值是( )
A．－13
B.13
C.12
D．－12
【解析】 依题意 b＝0，且 2a＝－(a－1)，
【答案】 D
整理ppt
6．(2013·北京高考)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋
∞)上单调递减的是( )
A．y＝1x
B．y＝e－x
C．y＝－x2＋1
D．y＝lg|x|
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【解析】 A 项，y＝1x是奇函数，故不正确； B 项，y＝e－x 为非奇非偶函数，故不正确； C，D 两项中的两个函数都是偶函数，且 y＝－x2＋1 在(0， ＋∞)上是减函数，y＝lg|x|在(0，＋∞)上是增函数，故选 C. 【答案】 C
∴b＝0 且 a＝13，
则 a＋b＝13. 【答案】 B
整理ppt
2．下列函数为偶函数的是( )
A．y＝sin x
B．y＝x3
C．y＝ex
D．y＝ln x2＋1
【解析】 由函数奇偶性的定义知A、B项为奇函数，C项 为非奇非偶函数，D项为偶函数．
【答案】 D
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3．已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x＋4)＝f(x)，则
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考向一 [016] 函数奇偶性的判断
判断下列各函数的奇偶性：
(1) f(x)＝(x＋1)
11－＋xx；
(2)f(x)＝|lxg－1－2|－x22 ；
(3)f(x)＝－x2＋x2＋x x
x＜0 x＞0 .
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【思路点拨】 先求定义域，看定义域是否关于原点对称， 在定义域下，带绝对值符号的要尽量去掉，分段函数要分情况 判断．
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考向二 [017] 函数奇偶性的应用 (1)设函数 f(x)＝x＋1xx＋a为奇函数，则实数 a 的 值为________． (2)已知 y＝f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x≥0 时，f(x)＝ x2－2x，则 f(x)在 R 上的解析式为________． (3)设偶函数 f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且 f(2)＝0，则不等 式fx＋xf－x＞0 的解集为________．
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1．奇、偶函数对称区间上的单调性 奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；偶函 数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性． 2．奇函数图象与原点的关系： 如果奇函数 f(x)在原点有定义，则 f(0)＝0.
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二、周期性 1．周期函数：T 为函数 f(x)的一个周期，则需满足的条件： ①T≠0； ②_f_(x_＋___T_)＝__f_(_x_)__对定义域内的任意 x 都成立． 2．最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个 _最__小__的__正__数__，那么这个_最__小__的__正__数___就叫做它的最小正周期．
抓
住
挖
２
掘
个
１
基
大
础
技
知
法
识
点
第三节 函数的奇偶性与周期性
掌
课
握
堂
３
限
个
时
核
检
心
测
考
向
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[考情展望] 1.考查函数奇偶性的判断.2.利用函数的奇偶 性、周期性求函数值.3.与函数的对称性相结合，综合考查知识的 灵活应用能力．
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一、奇(偶)函数的定义及图象特征 1．奇、偶函数的定义 对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x. (1)f(x)为偶函数⇔_f_(_－__x_)_＝__f(_x_)___； (2)f(x)为奇函数⇔_f_(－__x_)_＝__－__f_(_x_) _． 2．奇、偶函数的图象特征 奇函数的图象关于_原__点__对称，偶函数的图象关于_y_轴___对称．
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周期性常用的结论
对 f(x)定义域内任一自变量的值 x：
(1)若 f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2a；
(2)若 f(x＋a)＝f1x，则 T＝2a；
(3)若 f(x＋a)＝－f1x，则 T＝2a.
(4)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a－x)＝f(x)，且 f(2b－x)＝
f(x)(其中 a＜b)，则：y＝f(x)是以 2(b－a)为周期的周期函数．
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1＋x≠0，
【尝试解答】 (1)由11＋－xx≥0
得，定义域为(－1,1]，关
于原点不对称，故 f(x)为非奇非偶函数．
(2)由|1x－－x22|＞≠02 得，定义域为(－1,0)∪(0,1)．
∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x，
∴f(x)＝lg1－－xx2.
又∵f(－x)＝lg[1－x－x2]＝－lg1－－xx2＝－f(x)，
∴函数 f(x)为奇函数．
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(3)显然函数 f(x)的定义域为： (－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当 x＜0 时，－x＞0，则 f(－x)＝－(－x)2－x ＝－x2－x＝－f(x)； 当 x＞0 时，－x＜0，则 f(－x)＝(－x)2－x ＝x2－x＝－f(x)； 综上可知：对于定义域内的任意 x，总有 f(－x)＝－f(x)成立， ∴函数 f(x)为奇函数．
f(8)的值为( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
【解析】 ∵f(x＋4)＝f(x)，
∴f(x)是以4为周期的周期函数．
∴f(8)＝f(0)．
又函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(8)＝f(0)＝0，故选B.
【答案】 B
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4．若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝________. 【解析】 因为y＝(x＋1)(x－a)＝x2＋(1－a)x－a 由题意可知1－a＝0，即a＝1. 【答案】 1