八年级数学中心对称图形知识点讲义
初中数学知识点轴对称与中心对称
初中数学知识点——轴对称与中心对称一、轴对称与轴对称图形：1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。
2.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
注意：对称轴是直线而不是线段3.轴对称的性质：（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；（3）两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上；（4）如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
4.线段垂直平分线：（1）定义：垂直平分一条线段的直线是这条线的垂直平分线。
（2）性质：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
注意：根据线段垂直平分线的这一特性可以推出：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
5.角的平分线：（1）定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线.（2）性质：①在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.②到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.注意：根据角平分线的性质，三角形的三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.6.等腰三角形的性质与判定：性质：（1）对称性：等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，或底边上的高所在的直线是它的对称轴，或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴；（2）三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；（3）等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。
说明：等腰三角形的性质除“三线合一”外，三角形中的主要线段之间也存在着特殊的性质，如：①等腰三角形两底角的平分线相等；②等腰三角形两腰上的中线相等；③等腰三角形两腰上的高相等；④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等。
对称图形知识点总结
一、对称图形的概念对称图形是指具有某种对称性的图形，即某个中心或轴对称线将图形分成两部分，两部分是完全一样的。
在数学中，对称性是研究图形的一个重要方面，对称图形由对称性的特点而形成，对称性是图形的一种性质，涉及到图形的划分、变换和结构等方面。
对称图形的研究对于理解图形的特点、性质和变换等方面具有重要意义。
二、对称图形的种类1. 中心对称图形中心对称图形是指具有中心对称性质的图形，即图形中心有一个点，以这个点为中心，对称于这个点的对应点，使得整个图形是对称的。
常见的中心对称图形有正方形、长方形等。
2. 轴对称图形轴对称图形是指具有轴对称性质的图形，即图形中有一条直线，使得图形在这条直线上的对称点是完全一样的。
常见的轴对称图形有心形、五角星等。
3. 多重对称图形多重对称图形是指具有多个对称性质的图形，即图形可以在不同的中心或轴上具有对称性质。
常见的多重对称图形有十字花、各种花纹图案等。
三、对称图形的性质1. 中心对称图形的性质（1）中心对称图形的任意两条对称轴相交于图形中心，对称轴上的任意一点到图形中心的距离等于该点的对称点到图形中心的距离。
（2）中心对称图形的任意点关于中心对称点的坐标之和等于中心坐标的两倍。
2. 轴对称图形的性质（1）轴对称图形的对称轴上的任意一点到图形的任意一点的距离等于这两点的对称点之间的距离。
（2）轴对称图形的对称轴也是它的轴对称中心。
3. 多重对称图形的性质多重对称图形具有多个对称轴或对称中心，同时具有多个对称性质，其特点是更加复杂和多样化。
1. 艺术设计对称图形常常被用于各种艺术设计中，例如各种花纹、图案等，对称性的特点可以使得作品更加美观、和谐。
2. 建筑设计建筑设计中的各种图形、装饰等常常利用对称性的特点，使得建筑更加稳定、美观。
3. 工艺制作各种工艺制品、礼品等常常利用对称图形的特点进行制作和加工，使得产品更加精致、美观。
4. 科学研究对称图形的研究也对科学研究有着重要的意义，例如在化学、生物学等领域中，对称性常常被用于研究物质的结构和性质等。
八年级数学几何定理定义公式汇总：中心对称图形
中心对称图形1、中心对称：如果把一个图形绕一个点旋转180°后能够与另一个图形完全重合，那么这两个图形关于这点成中心对称。
2、中心对称图形：把一个图形绕一个点旋转180°后能够与自身完全重合，那么这个图形是中心对称图形。
3、中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形是全等的。
②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
4、真命题：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点成中心对称。
5、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。
6、平行四边形性质：①平行四边形的对角相等。
②平行四边形的对边相等。
③平行四边形的对角线互相平分。
7、平行四边形判定：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
②对角线互相平分的四边形是平行四边形。
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
④真命题：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
⑤真命题：一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形。
注意：假命题．．．：一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形。
（×）8、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形。
9、矩形的性质：①矩形的四个角都是直角。
②矩形的对角线相等。
10、矩形的判定：①有三个角是直角的四边形是矩形。
②对角线相等的平行四边形是矩形。
11、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形。
12、菱形的性质：①菱形的四条边都相等。
②菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
13、菱形面积等于对角线乘积的一半。
推而广之：（真命题）对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半。
14、菱形的判定：①四边都相等的四边形是菱形。
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
③真命题：一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形。
15、正方形的定义：有一个角是直角，并且有一组邻边相等的平行四边形叫作正方形。
16、正方形性质：正方形的四个角都是直角，四条边都相等，正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
八年级数学上册 16.4 中心对称图形 什么叫中心对称和中心对称图形素材 (新版)冀教版
什么叫中心对称和中心对称图形？
中心对称和中心对称图形，这也是两个有联系的概念。
中心对称是指：对于两个几何图形，如果连结它们的对应点之间的线段的中点都和某一定点重合，那么这两个图形就叫中心对称，这一定点，叫做对称中心。
中心对称图形是指：如果绕着一个定点旋转180°后，两个图形中的每一个能够与另一个原来的位置互相重合，那么，这个图形叫做以这个定点为对称中心的中心对称图形。
如图：
图中的三角形A＇B＇C＇绕着定点O旋转180°后，与三角形ABC的原来位置互相重合，因此，三角形 ABC与三角形 A＇B＇C＇是以 O点为对称中心的中心对称图形。
除此之外，如果一个图形绕着某一点旋转180°后，能够和原来图形本身位置重合，就称这个图形为中心对称图形。
这一点叫做对称中心。
以平行四边形为例：
图中的四边形ABCD是平行四边形，绕着对角线交点O旋转180°后，能够和原来图形位置重合，因此，平行四边形是以对角线交点O为对称中心的中心对称图形。
1。
八年级数学上册对称轴图形的相关知识点总结
八年级数学上册对称轴图形的相关知识点总结对称轴图形是指图形中存在一条线称为对称轴，通过对称轴将图形分为两部分可以完全重合的两部分。
在八年级数学上册中，学生会学习对称轴图形的性质和判断方法。
一、对称轴图形的性质1. 对称轴图形的对称轴上的点到图形的任意一点的距离相等。
2. 对称轴图形的对称轴上的点到图形的对称点的距离相等。
3. 对称轴图形的对称点在对称轴上。
二、常见的对称轴图形及其性质1. 线对称图形线对称图形的对称轴是一条直线。
常见的线对称图形有正方形、矩形、平行四边形、等腰三角形等。
正方形：- 对称轴：中垂线、对角线；- 性质：对称轴上的点到图形的任意一点的距离相等。
矩形：- 对称轴：中心对称轴、中垂线、对角线；- 性质：对称轴上的点到图形的任意一点的距离相等。
平行四边形：- 对称轴：中心对称轴、对角线；- 性质：对称轴上的点到图形的任意一点的距离相等。
等腰三角形：- 对称轴：高线；- 性质：对称轴上的点到图形的任意一点的距离相等。
2. 点对称图形点对称图形的对称轴是一个点。
常见的点对称图形有圆、正五边形、等边三角形等。
圆：- 对称轴：圆心；- 性质：对称轴上的点到图形的任意一点的距离相等。
正五边形：- 对称轴：中心对称轴、顶点到圆心的半径；- 性质：对称轴上的点到图形的任意一点的距离相等。
等边三角形：- 对称轴：重心；- 性质：对称轴上的点到图形的任意一点的距离相等。
三、判断对称轴图形的方法1. 观察法：观察图形是否对称，如果有对称轴，可以根据对称轴的性质来进行判断。
2. 折叠法：将图形沿着疑似的对称轴折叠，如果两部分能够完全重合，则说明图形是对称的，折叠的痕迹就是对称轴。
3. 数组法：将图形坐标系化，找出图形的对称规律，判断是否对称。
四、对称轴图形的综合运用1. 在绘制对称轴图形时，可以利用对称轴的性质，通过已知点和对称轴上的点来快速准确地绘制图形。
2. 在判断对称轴图形的性质时，可以根据对称轴的性质来进行推理和证明性质。
初中数学对称知识点总结
初中数学对称知识点总结一、对称的定义1. 点的对称：如果图形中任意一点关于某条直线对称，那么这个图形就是关于这条直线对称的。
对称的直线称为对称轴。
2. 图形的对称：如果图形关于某条直线对称，那么这个图形就是关于这条直线对称的。
对称的直线称为对称轴。
当一个图形关于一个点对称时，这个点称为图形的中心。
3. 对称性质：对称可以分为轴对称和中心对称。
轴对称是指图形可以关于一条直线对称，中心对称是指图形可以关于一个点对称。
4. 对称图形：轴对称的图形称为轴对称图形，中心对称的图形称为中心对称图形。
轴对称图形有对称轴，中心对称图形有对称中心。
二、对称的性质1. 对称性质是指图形、函数、方程等在平移、旋转或翻转后的性质不变。
2. 对称性质通常包括镜像对称、轴对称、中心对称等。
3. 对称性质在代数、几何、组合等数学领域中有着广泛的应用。
三、对称图形1. 关于坐标系的对称图形：在平面直角坐标系中，可以通过坐标变换和对称变换来研究对称图形的性质。
常见的对称图形包括点、直线、圆等。
2. 关于轴对称的图形：轴对称图形是指图形可以关于一条直线对称的图形。
常见的轴对称图形包括正方形、矩形、菱形等。
3. 关于中心对称的图形：中心对称图形是指图形可以关于一个点对称的图形。
常见的中心对称图形包括正圆、正多边形等。
四、对称的应用1. 对称在代数中的应用：对称性质在代数中有着重要的应用，可以简化问题的求解和证明过程。
2. 对称在几何中的应用：对称性质在几何中有着广泛的应用，可以帮助求解几何问题和证明几何定理。
3. 对称在组合中的应用：对称性质在组合问题中有着重要的应用，可以帮助求解排列组合和图形的对称性质等问题。
总之，对称是数学中一个非常重要的概念，它在数学的各个领域都有着广泛的应用。
对称性质可以帮助简化问题的求解和证明过程，可以帮助学生更好地理解和掌握数学的知识。
因此，学生应该认真学习对称的知识，掌握对称的定义、性质和应用，以便更好地应用对称来解决问题和证明定理。
初二数学轴对称与中心对称的知识点
初二数学轴对称与中心对称的知识点一、轴对称与轴对称图形：1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。
2.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
注意：对称轴是直线而不是线段3.轴对称的性质：(1)关于某条直线对称的两个图形是全等形;(2)如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线;(3)两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上;(4)如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
4.线段垂直平分线：(1)定义：垂直平分一条线段的直线是这条线的垂直平分线。
(2)性质：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
注意：根据线段垂直平分线的这一特性可以推出：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
5.角的平分线：(1)定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线.(2)性质：①在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.②到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.注意：根据角平分线的性质，三角形的三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三条边的.距离相等.6.等腰三角形的性质与判定：性质：(1)对称性：等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，或底边上的高所在的直线是它的对称轴，或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴;(2)三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合;(3)等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。
说明：等腰三角形的性质除三线合一外，三角形中的主要线段之间也存在着特殊的性质，如：①等腰三角形两底角的平分线相等;②等腰三角形两腰上的中线相等;③等腰三角形两腰上的高相等;④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等。
八年级数学《中心对称图形》知识点汇总
中心对称图形1、中心对称：如果把一个图形绕一个点旋转180°后能够与另一个图形完全重合，那么这两个图形关于这点成中心对称。
2、中心对称图形：把一个图形绕一个点旋转180°后能够与自身完全重合，那么这个图形是中心对称图形。
3、中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形是全等的。
②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
4、真命题：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点成中心对称。
5、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。
6、平行四边形性质：①平行四边形的对角相等。
②平行四边形的对边相等。
③平行四边形的对角线互相平分。
7、平行四边形判定：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
②对角线互相平分的四边形是平行四边形。
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
④真命题：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
⑤真命题：一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形。
注意：假命题．．．：一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形。
（×）8、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形。
9、矩形的性质：①矩形的四个角都是直角。
②矩形的对角线相等。
10、矩形的判定：①有三个角是直角的四边形是矩形。
②对角线相等的平行四边形是矩形。
11、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形。
12、菱形的性质：①菱形的四条边都相等。
②菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
13、菱形面积等于对角线乘积的一半。
推而广之：（真命题）对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半。
14、菱形的判定：①四边都相等的四边形是菱形。
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
③真命题：一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形。
15、正方形的定义：有一个角是直角，并且有一组邻边相等的平行四边形叫作正方形。
16、正方形性质：正方形的四个角都是直角，四条边都相等，正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
9.2中心对称与中心对称图形(讲义)+2023—2024学年苏科版数学八年级下册
9.2中心对称与中心对称图形（讲义）教学目的：1.掌握中心对称与中心对称图形的概念；2.掌握中心对称与中心对称图形的区别；3.掌握中心对称与中心对称图形的性质教学重难点：1.掌握中心对称与中心对称图形的概念；2.掌握中心对称与中心对称图形的区别；3.掌握中心对称与中心对称图形的性质知识梳理【知识点一】中心对称与中心对称图形的概念1.中心对称的概念：把一个图形绕着某一点旋转180︒，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心（简称中心）.这两个图形再旋转后能重合的对应点叫作关于对称中心的对称点.【补充说明】如图，ABO ∆绕着点O 旋转180︒后，与CDO ∆完全重合，则称CDO ∆和ABO ∆关于点O 对称，点C 是点A 关于点O 的对称点.2.中心对称图形概念：把一个图形绕着某一个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心.ODABC【知识点二】中心对称与中心对称图形的区别中心对称中心对称图形区别（1）是针对两个图形而言的.（2）是指两个图形的（位置）关系.（3）对称点在两个图形上.（4）对称中心在两个图形之间.（1）是针对一个图形而言的.（2）是指具有某种性质的一个图形.（3）对称点在一个图形上.（4）对称中心在图形上.联系（1）都是通过把图形旋转180 重合来定义的。
（2）两者可以相互转化，如果把中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这“一个图形”就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形，那么这“两个图形”中心对称。
【知识点三】中心对称与中心对称图形的性质（1）关于中心对称的两个图形是全等形。
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
初中数学知识点轴对称与中心对称
初中数学知识点——轴对称与中心对称一、轴对称与轴对称图形：1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。
2.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
注意：对称轴是直线而不是线段3.轴对称的性质：（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；（3）两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上；（4）如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
4.线段垂直平分线：（1）定义：垂直平分一条线段的直线是这条线的垂直平分线。
（2）性质：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
注意：根据线段垂直平分线的这一特性可以推出：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
5.角的平分线：（1）定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线.（2）性质：①在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.②到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.注意：根据角平分线的性质，三角形的三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.6.等腰三角形的性质与判定：性质：（1）对称性：等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，或底边上的高所在的直线是它的对称轴，或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴；（2）三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；（3）等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。
说明：等腰三角形的性质除“三线合一”外，三角形中的主要线段之间也存在着特殊的性质，如：①等腰三角形两底角的平分线相等；②等腰三角形两腰上的中线相等；③等腰三角形两腰上的高相等；④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等。
八年级数学下册 第03讲 中心对称与中心对称图形(知识解读+达标检测)(解析版)5
第03讲中心对称与中心对称图形【题型1中心对称图形】【题型2中心对称的性质】【题型3利用中心对称的性质-找对称中心】【题型4利用中心对称的性质-求边长长度】【题型5利用中心对称的性质-求点坐标】【题型6利用中心对称的性质-求面积】【题型7利用中心对称的性质-作图】考点：中心对称（两个图形）1.概念把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；2.性质（1）关于中心对称的两个图形是全等形。
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
3.判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。
4.作图步骤：(1)连接原图形上所有的特殊点和对称中心。
(2)将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等。
(3)将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形5.中心对称图形（一个图形）把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。
【题型1中心对称图形】【典例1】（2023秋•南沙区期末）剪纸是我国源远流长的传统工艺，下列剪纸中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：选项B、C、D中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项A中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：A．【变式1-1】（2023秋•蒙城县校级期末）下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A、B、D中的图形不是中心对称图形，故A、B、D不符合题意；C中的图形是中心对称图形，故C符合题意．故选：C．【变式1-2】（2023秋•清河区校级期末）四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．该图不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项合题意；故选：D．【变式1-3】（2023秋•沙坪坝区校级期末）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：A、图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A不符合题意；B、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故B不符合题意；C、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故C不符合题意；D、图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故D符合题意．故选：D．【题型2中心对称的性质】【典例2】（2022秋•浦北县期末）如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（）A．点A与点A'是对称点B．BO＝B'OC．AB＝A'B'D．∠ACB＝∠C'A'B'【答案】D【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，∴点A与点A'是对称点，BO＝B'O，AB＝A'B'，∴A，B，C正确，故选：D．【变式2-1】（2023春•内江期末）如图，△ADE与△CDB关于点D成中心对称，连结AB，以下结论错误的是（）A．AD＝CD B．∠C＝∠EC．AE＝CB D．S△ADE＝S△ADB【答案】B【解答】解：∵△ADE与△CDB关于点D成中心对称，∴AD＝CD，BD＝ED，AE＝CB，∠E＝∠CBD，∵BD＝ED，＝S△ADE，∴S△ABD故选：B．【变式2-2】（2023春•泉港区期末）如图，△AOD与△BOC关于点O成中心对称，连结AB、CD，以下结论错误的是（）A．OA＝OB B．△AOD≌△COBC．AD＝BC D．S△ACD＝S△BCD【答案】A【解答】解：∵△AOD与△BOC关于点O成中心对称，∴△AOD≌△COB，故选项B正确；∴AD＝BC，故选项C正确；但不一定OA＝OB，故选项A不正确；∵△AOD≌△COB，＝S△BCO，∴S△AOD+S△COD＝S△BCD+S△COD，即S△ACD＝S△BCD，故选项D正确，∴S△AOD故选：A．【变式2-3】（2023秋•安新县期中）如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接BE．（1）△ADC和△EDB成中心对称；（2）已知△ADC的面积为4，则△ABE的面积是8．【答案】（1）△EDB；（2）8．【解答】解：（1）根据中心对称图形的性质可得；△ADC和△EDB成中心对称，故答案为：△EDB；（2）由（1）得：△ADC和△EDB成中心对称，∴线段BD是△ABC的中线，＝S△ACD＝4，∴S△ABD∵D是△ABC边BC的中点，＝2S△EDB＝8，∴S△ABE故答案为：8．【题型3利用中心对称的性质-找对称中心】【典例3】（2023秋•张北县期中）如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，M，N是网格线交点，△ABC与△DEF关于某点对称，则其对称中心是（）A．点G B．点H C．点M D．点N【答案】C【解答】解：AD、CF、BE相交于点M，∴点M是△ABC与△DEF的对称中心，故选：C．【变式3-1】（2023春•渭南期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC经过中心对称变换得到△A′B′C′，那么对称中心的坐标为（）A．（0，0）B．（﹣1，0）C．（﹣1，﹣1）D．（0，﹣1）【答案】B【解答】解：由图可知，点A与点A'关于（﹣1，0）对称，点B与点B'关于（﹣1，0）对称，点C与点C′关于（﹣1，0）对称，所以△ABC与△A′B′C′关于点（﹣1，0）成中心对称，故选：B．【变式3-2】（2023春•高碑店市期末）如图，△ABC与△DEF关于某点成中心对称，则其对称中心是（）A．点P B．点Q C．点M D．点N【答案】C【解答】解：如图，连接BE、CF，发现其交于点M，根据中心对称的性质可知点M即为其对称中心．故选C．【题型4利用中心对称的性质-求边长长度】【典例4】（2023秋•仪陇县期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝2，BD＝8，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，连接AB'，则AB'的长是（）A．3B．4C．5D．7【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OC＝AC，OB＝BD，∵AC＝2，BD＝8，∴OC＝1，OB＝4，∵△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，∴∠O′＝∠BOC＝90°，CO′＝OC＝1，O′B′＝OB＝4，∴AO′＝AC+O′C＝3，∴AB′＝＝5．故选：C．【变式4-1】（2022秋•广宗县期末）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，则BB′的长为（）A．4B．C．D．【答案】A【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝1，∴AB＝2AC＝2，∴BB′＝2AB＝4．故选：A．【变式4-2】（2023秋•富县期末）如图，△ABC与△AB'C'关于点A对称，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，则BB'的长为4．【答案】4．【解答】解：如图，∵△ABC与△AB'C'关于点A对称，∴△ABC≌△AB′C′，∴AB＝AB′，∵∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，∴AB＝2AC＝2，∴BB′＝2AB＝4，故答案为：4．【变式4-3】（2023秋•前郭县期中）如图，△AOB与△COD关于点O成中心对称，已知∠BAO＝90°，AB＝4，AO＝3，则AD的长为2．【答案】2．【解答】解：∵△AOB与△COD关于点O成中心对称，∴AO＝CO＝3，CD＝AB＝4，∠C＝∠BAO＝90°，∴AD＝，故答案为：2．【题型5利用中心对称的性质-求点坐标】【典例5】（2023秋•青岛月考）如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点A（3，3）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），则点C的坐标为（）A．（﹣3，﹣3）B．（﹣1，﹣3）C．（﹣4，﹣2）D．（﹣2，﹣4）【答案】B【解答】解：∵B（5，1）、D（﹣3，﹣1）关于点P对称，＝1，＝0，∴点P的坐标为（1，0）．设点C（x，y），∵A（3，3），∴＝1，＝0，∴x＝﹣1，y＝﹣3．∴C（﹣1，﹣3）．故选：B．【变式5-1】（2022•市南区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'关于D （﹣1，0）成中心对称．已知点A的坐标为（﹣3，﹣2），则点A'的坐标是（）A．（1，3）B．（1，2）C．（3，2）D．（2，3）【答案】B【解答】解：设点A'的坐标是（a，b），根据题意知：＝﹣1，＝0．解得a＝1，b＝2．即点A'的坐标是（1，2），故选：B．【变式5-2】（2022春•青州市期末）如图，将△ABC绕点C（0，1）旋转180°得到△A'B'C，设点A的坐标为（﹣2，3），则点A'的坐标为（）A．（2，﹣3）B．（﹣1，2）C．（2，﹣2）D．（2，﹣1）【答案】D【解答】解：设A′（m，n），∵AC＝CA′，A（﹣2，3），C（0，1），∴＝0，＝1，∴m＝2，n＝﹣1，∴A′（2，﹣1），故选：D．【题型6利用中心对称的性质-求面积】【典例6】（2022秋•乌鲁木齐县校级期中）如图，正方形边长为a，则阴影部分面积为．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意得：S阴影＝S正方形＝，故答案为：．【变式6-1】（2022春•南关区期末）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A1，AB⊥a于点B，A1D⊥b于点D，若OB＝5，OD＝3，则阴影部分的面积之和为15．【答案】15．【解答】解：∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB＝5，OD＝3，∴AB＝3，∴图形①与图形②面积相等，∴阴影部分的面积之和＝长方形ABOE的面积＝3×5＝15．故答案为：15．【变式6-2】（2023春•徐汇区期末）如图，长为6，宽为3的矩形ABCD，阴影部分的面积为9．【答案】9．【解答】解：因为O为矩形的对称中心，则阴影部分的面积是矩形面积的一半，因为矩形面积为6×3＝18，所以阴影部分的面积为9．故答案为：9．【变式6-3】（2023秋•东湖区期中）如图为某公园中心对称的观赏鱼池，阴影部分为观赏喂鱼台，已知OA＝OB＝2米．求阴影部分的面积．【答案】8π平方米．【解答】解：因为观赏鱼池是中心对称，且OA＝OB＝2米，所以阴影部分相当于2个以点O为圆心，OA长为半径的圆，所以阴影部分的面积为2×π×22＝8π（平方米），答：阴影部分的面积为8π平方米．【题型7利用中心对称的性质-作图】【典例7】（2023秋•浦北县期末）如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称．（1）找出它们的对称中心O；（2）若AB＝6，AC＝5，BC＝4，求△DEF的周长．【答案】（1）见解析；（2）15．【解答】解：（1）如图所示，点O即为所求；（2）∵△ABC和△DEF关于点O成中心对称，∴△ABC≌△DEF，∴AB＝DE＝6，AC＝DF＝5，BC＝EF＝4，∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝6+5+4＝15；答：△DEF的周长为15．【变式7-1】（2023春•雁塔区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），（4，2），C（3，5）．（1）请画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于原点成中心对称，并写出点A1，B1，C1的坐标．（2）求△A1B1C1的面积？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．A1（﹣1，﹣4），B1（﹣4，﹣2），C1（﹣3，﹣5）；（2）根据中心对称的性质可得S＝3×3﹣＝9﹣﹣1﹣3＝．【变式7-2】（2022秋•沙河市期末）如图所示，三角形ABC和三角形A′B′C′关于某一点成中心对称，一同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到三角形ABC和线段BC的对应线段B′C′，请你帮该同学找到对称中心O，且补全三角形A′B′C′．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，△A′B′C′即为所求；一．选择题（共10小题）1．（2023秋•江海区期末）下列环保标志，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项不符合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，则此项符合题意；故选：D．2．（2023秋•长海县期末）平面直角坐标系内与点P（﹣1，2）关于原点对称的点的坐标是（）A．（1，﹣2）B．（1，2）C．（2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）【答案】A【解答】解：与点P（﹣1，2）关于原点对称的点的坐标是（1，﹣2）．故选：A．3．（2023秋•武汉期中）已知点A（a，2023）与点A′（2024，b）是关于原点O的对称点，则a﹣b的值为（）A．﹣1B．1C．﹣4047D．4047【答案】A【解答】解：∵点A（a，2023）与点A'（2024，b）是关于原点O的对称点，∴a＝﹣2024，b＝﹣2023，∴a﹣b＝﹣2024﹣（﹣2023）＝﹣1．故选：A．4．（2023秋•莱州市期末）下列各图中，四边形ABCD是正方形，其中阴影部分两个三角形成中心对称的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：根据中心对称的定义可知，选项A中阴影部分两个三角形成中心对称．故选：A．5．（2022春•相城区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，将△BOC 绕着点C旋转180°得到△B'O'C，若AC＝2，AB′＝5，则菱形ABCD的边长是（）A．3B．4C．D．【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且△BOC绕着点C旋转180°得到△B'O'C，AC ＝2，∴OA＝OC＝O'C＝1，OB⊥OC，BC＝B′C，∴O'B'⊥O'C，O'A＝AC+O'C＝2+1＝3，∵AB′＝5，∴，∴，∴，即菱形ABCD的边长是，故选：D．6．（2022秋•五华县期中）如图是北师大版九年级上册数学教材第25页第4题内容的变式，如图，三个边长相同的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，阴影部分的面积和是8，则正方形的边长为（）A．2B．4C．8D．2【答案】B【解答】解：如图所示，连接O1B、O1C，∵∠BO1F+∠FO1C＝90°，∠FO1C+∠CO1G＝90°，∴∠BO1F＝∠CO1G，∵四边形ABCD是正方形，∴∠O1BF＝∠O1CG＝45°，在△O1BF和△O1CG中，，∴△O1BF≌△O1CG（ASA），∴＝，，∴两个正方形重叠阴影部分的面积是S正方形ABCD，同理，另外两个正方形重叠阴影部分的面积也是S正方形ABCD，∴阴影部分的面积和＝8＝S正方形ABCD＝16，∴S正方形ABCD∴正方形ABCD的边长＝＝4，故选：B．7．（2023秋•德城区期中）如图，已知△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列判断不正确的是（）A．∠ABC＝∠A'B'C'B．∠BOC＝∠B'A'C'C．AB＝A'B'D．OA＝OA'【答案】B【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，∴△ABC≌△A′B′C′，∴∠ABC＝∠A′B′C′，AB＝A′B′，OA＝OA′，故A，C，D正确，故选：B．8．（2023秋•泽州县期中）如图，在平面直角坐标系中，OA＝AB＝5，点B到y轴的距离为4，将△OAB关于原点对称得到△O′A′B′，再将△O′A′B′向左平移5个单位长度得到△O″A″B″，则点B″的坐标为（）A．（﹣8，﹣8）B．（﹣8，﹣9）C．（﹣9，﹣9）D．（﹣9，﹣8）【答案】D【解答】解：如图，作BC⊥y轴于点C，∵点B到y轴的距离为4，∴BC＝4，∴AC＝＝3，∴OC＝5+3＝8，∴点B的坐标为（4，8），∴点B关于原点对称的点B′的坐标为（﹣4，﹣8），∴点B″的坐标为（﹣9，﹣8）．故选：D．9．（2023秋•邯郸期末）如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，M，N是网格线交点，△ABC与△DEF关于某点对称，则其对称中心是（）A．点G B．点H C．点M D．点N【答案】C【解答】解：AD、CF、BE相交于点M，∴点M是△ABC与△DEF的对称中心，故选：C．10．（2023秋•仪陇县期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝2，BD＝8，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，连接AB'，则AB'的长是（）A．3B．4C．5D．7【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OC＝AC，OB＝BD，∵AC＝2，BD＝8，∴OC＝1，OB＝4，∵△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，∴∠O′＝∠BOC＝90°，CO′＝OC＝1，O′B′＝OB＝4，∴AO′＝AC+O′C＝3，∴AB′＝＝5．故选：C．二．填空题（共6小题）11．（2023春•徐汇区期末）如图，长为6，宽为3的矩形ABCD，阴影部分的面积为9．【答案】9．【解答】解：因为O为矩形的对称中心，则阴影部分的面积是矩形面积的一半，因为矩形面积为6×3＝18，所以阴影部分的面积为9．故答案为：9．12．（2023春•青冈县期末）如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AG为△ABC的＝5．高，若CE＝5，AG＝2，则S△DEC【答案】5．【解答】解：∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AG＝2，＝S△ABC，∴CE＝BC，S△DEC∴，＝5，∴S△DEC故答案为：5．13．（2023•靖江市校级模拟）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图所示，这个图案绕着它的中心旋转角α（0°＜α＜360°）后能够与它本身重合，则角α可以为60（答案不唯一）度．（写出一个即可）【答案】见试题解答内容【解答】解：360°÷6＝60°，则这个图案绕着它的中心旋转60°后能够与它本身重合，故答案为：60（答案不唯一）．14．（2023秋•开平市期末）如图，△AB'C'是△ABC绕点A旋转180°后得到的，已知∠B ＝90°，AB＝1，∠C＝30°，则CC'的长为4．【答案】4．【解答】解：在Rt△ABC中，sin C＝，则，得AC＝2．又因为△AB'C'是△ABC绕点A旋转180°后得到的，所以AC′＝AC，且C，A，C′三点共线，所以CC′＝2AC＝4．故答案为：4．15．（2023秋•前郭县期中）如图，△AOB与△COD关于点O成中心对称，已知∠BAO＝90°，AB＝4，AO＝3，则AD的长为2．【答案】2．【解答】解：∵△AOB与△COD关于点O成中心对称，∴AO＝CO＝3，CD＝AB＝4，∠C＝∠BAO＝90°，∴AD＝，故答案为：2．16．（2023秋•二道区校级月考）如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O成中心对称的图形．若点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（3，1），点M的坐标为（a，b），点N的坐标为（c，d），则a+c的值为﹣2．【答案】﹣2．【解答】解：由图形可知，点A和点N关于x轴成轴对称，点M和点B关于坐标原点O 成中心对称，因为点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（3，1），所以a＝﹣3，c＝1，a+c＝﹣3+1＝﹣2，故答案为：﹣2．三．解答题（共3小题）17．（2023秋•新民市期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）．（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是4；（2）若点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为（﹣4，﹣3）；（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．【答案】（1）4；（2）（﹣4，﹣3）；（3）（10，0）或（﹣6，0）．【解答】解：（1）如图所示：△ABC的面积是：3×4﹣；故答案为：4；（2）点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为：（﹣4，﹣3）；故答案为：（﹣4，﹣3）；（3）∵P为x轴上一点，△ABP的面积为4，∴BP＝8，∴点P的横坐标为：2+8＝10或2﹣8＝﹣6，故P点坐标为：（10，0）或（﹣6，0）．18．（2023秋•荔湾区校级期中）如图，△AGB与△CGD关于点G中心对称，若点E，F分别在GA，GC上，且AE＝CF，求证：BF＝DE．【答案】证明见解析．【解答】证明：∵△AGB与△CGD关于点G中心对称，∴BG＝DG，AG＝CG，∵AE＝CF，∴AG﹣AE＝CG﹣CF，∴EG＝FG，又∵∠DGE＝∠BGF，∴△DGE≌△BGF（SAS），∴BF＝DE．19．（2022春•余江区期中）（1）如图1，在等边三角形ABC中，AB＝2，BD是AC边上的高，延长BC至点E，使CE＝CD，求BE的长；（2）如图2，将△ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转180°，得到△DEC，过点A作AF∥BE，交DE的延长线于点F，求证：∠B＝∠F．【答案】（1）BE的长为3；（2）见解析．【解答】（1）解：∵等边三角形ABC中，BD是AC边上的高，∴AB＝BC＝AC＝2，∠ADB＝∠CDB＝90°，DB＝DB，∴△ADB≌△CDB（HL），∴AD＝CD＝AC＝AB＝1，∵CE＝CD，∴CE＝CD＝1，∴BE＝BC+CE＝3，∴BE的长为3；（2）证明：∵将△ABC以点C为旋转中心，顺时针旋转180°，得到△DEC，∴B、C、E在同一直线上，且△ABC≌△DEC，∴∠B＝∠CED，∵AF//BE，∴∠F＝∠CED，∴∠B＝∠F．。
对称图形的性质知识点总结
对称图形的性质知识点总结对称图形是数学中一个重要的概念，它在几何学、代数学以及图论等领域都有广泛的应用。
对称图形的性质具有一定的规律性和特点，掌握对称图形的性质对于解决相应的问题和定理证明具有重要的意义。
下面对对称图形的性质知识点进行总结。
1. 对称图形的定义对称图形是指以某一条直线、点或平面作为对称轴，其自身的左右、上下或前后两部分对称重合的图形。
这条直线、点或平面称为对称轴。
对称轴的特点是图形关于它对称。
2. 对称图形的分类对称图形根据对称轴的不同可以分为以下几种类型：（1）关于直线对称：图形关于一条直线对称，对称轴称为对称轴。
（2）关于点对称：图形关于一个点对称，这个点称为对称中心。
（3）关于中心对称：图形相对于一个中心对称，这个中心可以是一个点或一条直线。
3. 对称图形的性质对称图形具有以下性质：（1）对称图形的对称轴上的任意一点的对应点仍在对称图形上。
（2）对称图形的对称中心可移动，但不能移到图形之外。
（3）对称图形的对称轴上的每一点与对称中心之间的线段在对称轴上垂直，且长度相等。
（4）对称图形的每一个点关于对称图形的对称轴都有对应的点。
4. 对称图形的判定对称图形的判定可以根据以下几种方法进行：（1）关于直线对称的图形，可以通过直观观察或数学证明来判断。
（2）关于点对称的图形，可以观察其图形是否关于一个点对称，如果有则是关于点对称。
（3）关于中心对称的图形，可以找到一个中心，观察图形是否关于这个中心对称，如果有则是关于中心对称。
5. 对称图形的应用对称图形在现实生活中有许多应用，如建筑物的设计、雕塑、绘画等方面都有对称图形的设计。
在工程技术中也常常需要利用对称图形进行设计和制造。
此外，对称图形也在数学教学中有广泛的应用，学生通过对对称图形的认识和理解，可以培养其空间想象力和创造力。
总之，对称图形是数学中一个重要的概念，其具有一定的规律性和特点。
掌握对称图形的性质对于解决相应的问题和定理证明具有重要的意义。
对称数学知识点总结
对称数学知识点总结一、几何对称1.轴对称几何中的轴对称是指平面图形相对于一条直线对称，即对称图形在这条直线上的每个点，有一个在对称图形上的对应点，且这个对应点和原来的点与对称轴的距离相等。
轴对称的特点是对称图形和原图形通过对称轴重合。
轴对称的应用非常广泛，常见的有：几何图形的性质，如矩形、正方形等都是轴对称的；轴对称图形的图案设计，如对称的图案具有美感，常用在各种装饰、服装等设计中。
2.中心对称几何中的中心对称是指平面图形相对于一个点对称，即对称图形在这个点上的每个点，有一个在对称图形上的对应点，且这个对应点和原来的点与对称中心的连线的长度相等。
中心对称的特点是对称图形和原图形通过对称中心重合。
中心对称也是几何中的基本概念，常见的有：各种圆、正多边形等都是中心对称的。
中心对称也有着许多实际应用，如在建筑设计、雕塑制作、工艺品制作等方面都有中心对称的应用。
二、函数对称1.奇偶函数在数学中，函数对称有奇偶性的概念。
奇数函数的图象在原点对称，即f（-x）=-f（x）；偶数函数的图象在y轴对称，即f（-x）=f（x）。
奇偶性是一种对称性，它是函数关于y轴的对称性。
奇偶函数的对称性不仅仅是数学概念，它还能帮助我们更好的理解函数的性质。
奇偶函数的性质在微积分、数学分析等领域有着广泛的应用，奇偶函数的图像对称性也是数学研究中的一个重要方面。
2.周期函数周期函数是指满足f（x+T）=f（x）的函数。
在周期函数中，周期T是函数的一个重要性质，它决定了函数在不同区间内的值的关系。
周期函数的图像在每个周期内都有着相似的形状，是一种特殊的对称性。
周期函数在信号处理、电路设计、波动现象等领域有着重要的应用，在理论研究中周期函数的对称性也是重要的研究对象。
三、代数对称1.对称多项式在代数学中，对称多项式是指多元函数的一种特殊形式，它在变量的排列中保持不变。
对称多项式是求和和乘积中的一个重要概念，它包含了一元多项式的对称性和多元函数的对称性。
苏科版八年级下册数学第9章中心对称图形复习讲义
2：例 1：如图，在 □ABCD中，点 E 在 AD 上，连接 BE， DF∥ BE 交 BC 于点 F， AF 与 BE 交与点 M ， CE与 DF 交于点 N．求证：四边形 MFNE 是平行四边形．
中心对称图形复习
一、平行四边形的性质与判定
Байду номын сангаас
【知识梳理】
知识点 1：平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，在四边形
ABCD中， AB∥ DC， AD∥ BC，那么四
边形 ABCD是平行四边形。 定义的作用：（ 1）给出一种判定四边形是平行四边形的方法，
如果所给四边形的两组对边分
别平行，那么它一定是平行四边形； 平行。 知识点 2：平行四边形的性质
【例题精讲】 例 1：如图，将矩形纸片 ABCD沿对角线 AC 折叠，使点 B 落到点 B′的位置， AB′与 CD交于 点 E． （1）试找出一个与△ AED全等的三角形，并加以证明； （2）若 AB=8，DE=3，P 为线段 AC 上的任意一点， PG⊥ AE 于 G，PH⊥ EC于 H，试求 PG+PH 的值，并说明理由．
2：如图，在 △ABC 中， D 是 BC 边上的一点， E 是 AD 的中点，过点 A 作 BC的平行线交 BE 的延长线于 F，且 AF＝ DC，连结 CF． (1)求证： D 是 BC的中点； (2)如果 AB＝ AC，试猜测四边形 ADCF的形状，并证明你的结论
（ 2）给出了平行四边形的一个重要性质
: 两组对边分别
(1)
定义性质：平行四边形的两组对边分别平行。
八年级数学对称图形知识点
八年级数学对称图形知识点对称图形是数学中一个重要的概念，在我们的日常生活和工作中都有广泛的应用。
本文将详细介绍在八年级数学中所学的对称图形知识点。
一、平面直角坐标系中的对称性平面直角坐标系中的对称性是学习对称图形的重要基础。
我们可以通过沿x轴、y轴和原点进行对称来得到各种图形的镜像，进而研究它们的性质和特点。
此外，八年级数学还会让我们学习到直线和抛物线的对称性，这可以通过平移坐标系得到。
二、点、线和平面的对称性在对称图形的应用中，我们需要研究的不仅是图形本身，还需要研究其组成部分的对称性。
比如一个平面图形中的点、线和平面，它们都存在不同类型的对称性。
八年级数学会教给我们如何通过它们的对称特点来判断图形的性质和类型，以及如何利用这些性质来解决实际问题。
三、对称轴和对称中心对称轴和对称中心是对称图形研究的其中两个重要概念。
对称轴是指将一个图形沿某条直线对称后不改变其形状，称这条直线为图形的对称轴。
而对称中心则是指将一个图形绕某个点旋转180度不改变其形状，称这个点为图形的对称中心。
在八年级数学中，我们会学习如何利用对称轴和对称中心来研究图形的性质和特点，进而解决图形的相关问题。
四、旋转对称在对称轴和对称中心的基础上，八年级数学还会向我们介绍旋转对称的概念。
旋转对称是指将一个图形绕其对称中心旋转一定角度后仍然保持原来的样子。
我们会学习到如何通过旋转对称来描述图形的性质和特点，以及利用旋转对称来解决各种问题。
五、应用实例除了以上所述的理论基础外，八年级数学还会有大量的实际应用实例，例如如何通过对称特点来判断图案的属于哪种类型，如何找到最小的包含图案的矩形等等。
通过这些应用实例的练习，我们可以更加深入地理解和掌握对称图形的知识。
总结：八年级数学中对称图形的知识点涉及到了对称性基础、点、线、平面对称性、对称轴、对称中心以及旋转对称等内容。
通过充分的理论学习和实际应用练习，我们可以更好地理解和掌握对称图形的相关知识，提升我们的数学能力和运用能力。
关于中心对称图形的知识点
中心对称图形，即以某个点为对称中心，左右对称的图形。
在数学和几何学中，中心对称图形是一种具有特殊对称性质的图形，它在视觉上给人以平衡和美感的感觉。
本文将从不同角度介绍关于中心对称图形的知识点。
1.定义和特征中心对称图形是指具有对称中心的图形，通过对称中心将图形分为两部分，这两部分完全对称。
中心对称图形具有以下特征：•对称轴：通过对称中心可以找到的一条直线，该直线将图形分为两个完全对称的部分。
•对称点：对称轴上的任一点与对称中心的连线，与该点在图形上的对应点重合。
2.常见的中心对称图形中心对称图形在生活中随处可见，以下是几个常见的中心对称图形：•圆：所有的圆都具有中心对称性，因为它们的每个点都沿着到圆心的半径对称。
•正方形：正方形具有四条对称轴，每条对称轴将正方形分为两个完全对称的部分。
•雪花：雪花是一个六边形，通过对称中心将图形分为六个完全对称的射线。
•心形：心形也是一个中心对称图形，通过对称中心将图形分为两个完全对称的部分。
3.构造中心对称图形的方法构造中心对称图形的方法多种多样，以下是几种常见的构造方法：•折纸法：将一张纸折叠后在折痕上进行切割，再展开纸张就能得到中心对称的图形。
•旋转法：将一个图形绕对称中心旋转180度，得到的图形仍然是中心对称的。
•镜像法：通过镜子来观察图形，当图形与其镜像重合时，即可确认图形具有中心对称性。
4.中心对称图形的应用中心对称图形在日常生活和工程设计中有广泛的应用：•装饰设计：中心对称图形往往给人以和谐、平衡的感觉，因此常用于家居装饰、服装设计等领域。
•建筑设计：中心对称的建筑物往往会给人以庄重、大气的印象，许多宫殿、教堂等建筑都采用了中心对称的设计。
•花纹设计：中心对称图形常用于花纹的设计，如地砖、壁纸等，使其更加美观。
总结：中心对称图形具有特殊的对称性质，通过对称中心将图形分为两个完全对称的部分。
中心对称图形广泛应用于生活和设计中，给人以平衡和美感的感受。
中心对称图形知识点汇总
中心对称图形知识点汇总中心对称图形是指一个图形可以通过某个点进行旋转180度后，仍然与原来的图形完全重合。
在数学中，中心对称图形是一种常见的几何概念，它具有一些独特的性质和特征。
本文将对中心对称图形的知识点进行汇总，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1.中心对称轴：中心对称图形的中心轴是指通过中心点的一条无限延伸的直线。
该轴将图形分成两个完全对称的部分。
中心对称轴是图形中心点的轨迹，在旋转过程中保持不变。
2.中心对称图形的性质：–对称性：中心对称图形具有对称性，即将图形绕中心点旋转180度后，仍然与原始图形完全重合。
–线段对称：对于中心对称图形上的任意一条线段，它的中点必然在中心对称轴上。
–角度对称：对于中心对称图形上的任意一个角度，它的顶点必然在中心对称轴上。
3.构造中心对称图形的方法：–折叠法：将一个图形折叠在中心对称轴上，使得两个部分完全重合，即可得到一个中心对称图形。
–旋转法：将一个图形绕中心点旋转180度，若旋转后与原始图形完全重合，则得到一个中心对称图形。
4.中心对称图形的例子：–正方形：正方形具有四个中心对称轴，它们分别是两条对角线和两条垂直平分线。
–五角星：五角星具有五个中心对称轴，分别是五条对角线和五条垂直平分线。
–圆形：圆形具有无数条中心对称轴，它们都通过圆心。
5.应用中心对称图形的领域：–几何学：中心对称图形是几何学中重要的概念之一，可以用于判断和构造图形的对称性。
–艺术设计：中心对称图形可以应用于艺术设计中，创造对称美感的作品。
–建筑设计：中心对称图形常常被应用于建筑设计中，用于创造具有均衡和和谐感的空间。
中心对称图形是数学和几何学中的重要概念，它具有独特的性质和特征。
通过了解中心对称图形的知识点，我们可以更好地理解和应用这一概念。
无论是在几何学中判断图形的对称性，还是在艺术和建筑设计中追求对称美感，中心对称图形都有着重要的应用价值。
希望本文对读者理解中心对称图形有所帮助。
八年级对称点知识点总结
八年级对称点知识点总结
在数学中，对称点是指平面上一个点向另一个点做垂线，这条垂线被另一个点分成两部分，这两部分的长度相等。
对称点是数学知识中的一个常见概念，下面就让我们来看看八年级对称点知识点的总结。
一、对称点的基本概念
对称点是指平面上一个点通过另一个点和一条垂线的连线，可以得到两个对称的点。
等价地，这也可以理解为一个图形沿着某条直线反转后所得到的形状。
二、对称点的性质
1. 对称点的距离相等，即对称点的垂线是它们之间的中垂线。
2. 对称点构成的直线与它们之间的垂线相交于垂足。
3. 一条直线上的任何点和它的对称点的距离相等。
三、对称点的应用
1. 在绘图时，要求图形对称，常常需要用到对称点的知识。
2. 对称点还可以用于解题，例如，在求平均值时，如果知道对称点的位置，可以通过对称来简化计算。
3. 对称点还可以用于证明一些数学定理。
四、对称点的相关知识
1. 点对称：由一点作对称中心，将平面上的各点对称，如果图形与其自身重合，则该点是该图形的对称中心。
2. 线对称：以一条直线为对称轴，将平面上的各点对称，如果图形与其自身重合，则该直线是该图形的对称轴。
3. 中心对称：即同时具有点对称和线对称的性质。
4. 满足点对称关系的图形称为对称图形。
综上所述，八年级对称点的知识点包括对称点的基本概念、性质、应用以及相关知识。
在学习过程中，需要注意对称点的各种应用方法和技巧，以便更好地解决各类数学问题。
同时，在解题时要善于运用对称点的特性，简化计算，提高解题效率和精度。
中心对称知识点
中心对称知识点中心对称是几何学中的一个重要概念，它描述了一个图形、物体或集合在某一中心点处存在对称性的特征。
在本文中，我们将探讨中心对称的基本定义、性质及其在日常生活和数学中的应用。
首先，我们来了解中心对称的定义。
中心对称是指一个图形或物体相对于某一点旋转180度后，仍然与原来的图形或物体完全重合。
这个点被称为中心点或对称中心。
简单来说，中心对称就是围绕中心点旋转一定角度后不改变形状。
中心对称具有以下几个基本性质。
首先，中心对称是自反性的，即一个图形关于中心点对称后仍然是自身。
其次，中心对称具有传递性，如果一个图形与第二个图形关于同一个中心点对称，并且第二个图形与第三个图形也关于同一个中心点对称，那么第一个图形也与第三个图形关于同一个中心点对称。
另外，中心对称对于平面图形来说是保角的，也即对称的两条线段夹角等于它们对称的两条线段的夹角。
中心对称在日常生活中有广泛的应用。
举例来说，很多生物体都具有中心对称的特征，如人类的脸部、动物的身体等。
有许多家具和装饰品的设计也运用了中心对称的原理，使得整体呈现出一种和谐美观的效果。
在艺术领域，中心对称是艺术家们常用的一种构图手法，通过对称的布局营造出一种平衡感和美感。
此外，在建筑设计中，一些建筑物的平面图形常常以中心对称的形式进行布局，以达到空间美感和结构均衡。
在数学领域，中心对称是一种重要的基础概念。
它在平面几何中起到了重要的作用。
通过研究中心对称的性质，我们可以推导出许多与对称性质相关的数学定理和命题。
在代数学中，中心对称还与群论相关。
中心对称是一类群的对称子群，这为群的研究提供了一个重要的例子。
总结起来，中心对称是一种在几何学和数学中非常重要的概念。
它不仅广泛应用于日常生活中的设计和艺术领域，还在数学的研究和理论中起到了关键作用。
通过了解中心对称的定义和性质，我们可以更好地理解和应用这一概念，深化对几何学和数学的理解。
希望本文对您理解中心对称有所帮助，同时也能够启发您对几何学和数学更深层次的思考和探索。
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八年级数学《中心对称图形一》复习学案 班级 姓名
一、知识点回顾：
（一）图形的旋转
（二）中心对称与中心对称图形
（三）中心对称的性质：1、成中心对称的两个图形 。
2、成中心对称的两个图形，对称点连线都经过 ，并且
被 。
（四）轴对称与中心对称的区别：
1、轴对称是指一个图形沿某 对折，如果它能和另一个图形重合，那么称这两个图形成轴对称。
中心对称是指一个图形绕某 旋转 ，如果它能和另一个图形重合，那么称这两个 图形成中心对称图形。
2、轴对称图形有对称 ，中心对称图形有对称 。
（五）轴对称与中心对称作图题：
二、例题：请在下图中作出△关于x 轴的对称图形△A1B1C1，再作出△关于原点的对称图形△A2B2C2，问△A1B1C1与△A2B2C2有怎样的位置关系？
y C A B
三、常见中心对称图形的定义、性质及判定：
（一）平行四边形
1、平行四边形的定义：叫做平行四边形。
2、平行四边形的性质：①平行四边形的边之间的关系：对边位置关系：对边数量关系：
②平行四边形的角之间的关系：对角，邻角。
③平行四边形的对角线之间的关系：。
④平行四边形的对称性：平行四边形是对称图形，不是对称图形，对称中心是。
⑤平行四边形的面积计算方法：（1）底×高（2）一条对角线分平行四边形所得的两三角形的面积之和，分得的两三角形关系是。
（3）两条对角线分平行四边形所得的四个三角形的面积之和，分得的这四个三角形的面积关系是。
3、平行四边形的判定：
（1）从边之间的关系考虑：①从两组对边之间位置关系考虑：
的四边形是平行四边形。
②从两组对边之间数量关系考虑：
的四边形是平行四边形。
③从一组对边之间位置及数量关系考虑：
的四边形是平行四边形。
（2）从对角线之间的关系考虑：的四边形是平行四边形。
4、例题：
（1）判断：①把平行四边形沿着对角线翻折，直线两旁部分能否重合。
（）
②把平行四边形沿着对角线翻折，直线两旁部分全等，所以平行四边形是轴对称图形。
（）
③把平行四边形沿着对角线交点旋转1800，所得四边形能否与原平行四边形重合。
（）
（2）选择：平行四边形的两条对角线和一边的大小可能是下列哪一组数据：（）
A.6、8、9
B.6、8、8
C.6、8、7
D.6、8、6
（3）已知平行四边形中，点E、F在上，并且。
请判断与的位置关系，并说明理由。
B
（二）矩形
1、矩形的定义：叫做矩形。
2、矩形的性质：（1）总括：矩形既具有平行四边形的一切性质，还具有自身的特殊性质：
①矩形的角：；矩形的对角
线：。
（2）具体从边、角、对角线、对称性角度（含平行四边形的性质）考虑：
①矩形的对边（位置和数量关系），邻边（位置关系）.
②矩形的角：；③矩形的对角
线：。
④矩形的对称性：矩形是对称图形，也是对称图形，对称中心是，有条对称轴。
⑤矩形的面积计算方法：（1）长×宽（2）等于一条对角线分矩形所得的两个三角形的面积之和，分得的这两个三角形的关系
是。
（3）等于两条对角线分矩形所得的四个三角形的面积之和，分得的这四个等腰三角形的面积关系是。
3、矩形的判定：（1）的四边形是矩形。
（2）定义：有的平行四边形是矩形。
（3）对角
线的平行四边形是矩形。
（三）菱形1、菱形的定义：叫做矩形。
2、菱形的性质：（1）总括：菱形既具有平行四边形的一切性质，还具有自身的特殊性质：
①菱形的边：；②菱形的对角
线：。
（2）具体从边、角、对角线、对称性角度（含平行四边形的性质）考虑：
①菱形的对边（位置关系），四边（数量关系）.②菱形的角：；③菱形的对角
线：。
④菱形的对称性：菱形是对称图形，也是对称图形，对称中心是，有条对称轴。
⑤菱形的面积计算方法：（1）看作平行四边形，所以菱形的面积=底×高（2）等于一条对角线分菱形所得的两个三角形的面积之和，分得的这等腰两个三角形的关系是。
（3）等于两条对角线分菱形所得的四个三角形的面积之和，分得的这四个直角三角形的关系是（4）等于两条对角线长乘积的。
3、菱形的判定：（1）的四边形是菱形。
（2）定义：有的平行四边形是菱形。
（3）对角线的平行四边形是菱形。
（四）正方形
1、正方形的定义：叫做正方形。
2、正方形的性质：（1）总括：正方形既具有菱形的一切性质，还具有矩形的一切性质：
（2）具体从边、角、对角线、对称性角度考虑：
①正方形的边：数量关系：位置关系：对
边：，邻边：；
②正方形的角：；③正方形对角
线：。
④正方形的对称性：正方形是对称图形，也是对称图形，对称中心是，有条对称轴。
⑤正方形的面积计算方法：（1）边长的平方（2）等于一条对角线分正方形所得的两个三角形的面积之和，分得的这等腰直角两个三角形的关系是。
（3）等于两条对角线分正方形所得的四个
三角形的面积之和，分得的这四个等腰直角三角形的关系是
（4）等于两条对角线长乘积的。
3、正方形的判定：（1）定义：有的平行四边
形是正方形。
（2）菱形是正方形，或菱形是正方形（3）矩形是正方形，或矩形是正方形.
五、练习：（一）判断：（1）对角线相等的四边形是矩形。
（）（2）对角线互相垂直的四边形是矩形。
（）
（3）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。
（）（4）有一个角是直角的四边形是矩形。
（）
（5）对角线互相垂直平分的四边形是矩形。
（）（6）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。
（）
（二）填空题：1、将n个边长都为的正方形按
如图所示的方法摆放，点A1，A2，……，分别
是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分
(阴影部分)的面积和为
（三）选择题1、在平行四边形中，对角线、相交于点O，若＝6，＝8，则的取值范围为( )A、1<<7 B、2<<14 C、6<<8 D、3<<4
（四）解答题(解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明)
1、已知：如图，在△中，∠90°，是角平分线，⊥，⊥，垂足分别为E、F.
判断四边形的形状并说明理由。
A
D E
2、如图，已知正方形，延长到E ，在上截取，延长交于G ． 求证：⊥．
3、已知：如图，矩形的对角线的垂直平分
线与边、、分别相交于点E 、F 、O ，4，8.（1）判断四边形的形状，并
说明理由.（2）求四边形的面积.
《三角形中位线和梯形中位线》
一、三角形的中位线：1、三角形的中位线的定义： ，叫做三角形的中位线。
2、三角形中位线的性质：三角形的中位线 （位置关系），并且 （数量关系）。
二、梯形的中位线：1、梯形中位线的定义： ，叫做梯形的中位线。
2、梯形中位线的性质：梯形的中位线 （位置关系），并且 （数量关系）。
F A B C
D E O
三、应用1、选择题：
（1）E 、F 、G 、H 分别是四边形各边的中点，如果四边形是矩形，则四边形一定是（ ）
A 、矩形
B 、菱形
C 、等腰梯形
D 、对角线垂直的四边形
（2）E 、F 、G 、H 分别是四边形各边的中点，如果四边形是菱形，则四边形一定是（ ）
A 、矩形
B 、菱形
C 、等腰梯形
D 、对角线相等的四边形
2、填空：（1）E 、F 、G 、H 分别是四边形各边的中点，如果四边形是正方形，则四边形一定是 。
（2）△中，D 是的中点，M 是的中点，12，则。
3、等腰梯形中，∥，M
、N 分别是、的中点，E 、F 分别是、的中点.
试判断四边形是怎样特殊的四边形？并说明理由。
M A
C
B。