1977年普通高等学校招生考试(上海市)理科数学试题及答案

合集下载

1977年高考数学试卷

1977年普通高等学校招生考试数学试题1．解答下列各题：（每题5分）（1）解方程.443=+x 解（2）解不等式|x|<5. 解：（3）已知正三角形的外接圆半径为36cm ，求它的边长解：2．计算下列各题：（每题5分）（1）.222a ma m +- 解：（2）︒⋅︒+︒⋅︒3sin 12cos 3cos 78cos （不查表求值）解：（3）)6arcsin(cos π解：3．解下列各题：（每题5分）（1）解方程.189321=-+xx解：（2）求数列2，4，8，16，……前十项的和解：4．解下列各题：（每题10分）（1）圆锥的高为6cm ，母线和底面半径成300角，求它的侧面积解：（2）求过点（1，4）且与直线0352=+-y x 垂直的直线方程解：5．如果△ABC 的∠A 的平分线交BC 于D ，交它的外接圆于E ，那么 AB ·AC=AD ·AE （本题10分）证：连结BE （如图）6．前进大队响应毛主席关于“绿化祖国”的伟大号召，1975年造林200亩，又知1975年至1977年这三年内共造林728亩，求后两年造林面积的年平均增长率是多少？（本题10分）解：7．解方程).5lg 1()1622lg(-=-+x x x （本题15分）解：8．已知三角形的三边成等差数列，周长为36cm ，面积为54cm 2，求三边的长（本题15分）解：9．（参考题）如图，AP 表示发动机的连杆，OA 表示它的曲柄当A 在圆上作圆周运动时，P 在x 轴上作直线运动，求P 点的横坐标α是直角时，P ∠是最大？（本题附加10分）解：10．（加试题）求曲线x y sin =在],0[π上的曲边梯形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积（本题附加10分）解：B。

小数君：599套可打印高考真题汇编

目录
1987 年普通高等学校招生考试（全国卷）理科数学...........................29 1987 年普通高等学校招生考试（全国卷）文科试卷...........................30 1988 年普通高等学校招生考试（全国卷）理科数学...........................31 1988 年普通高等学校招生考试（全国卷）文科试卷...........................32 1989 年普通高等学校招生考试（全国卷）理科数学...........................33 1989 年普通高等学校招生考试（全国卷）文科试卷...........................34 1990 年普通高等学校招生考试（全国卷）理科数学...........................35 1990 年普通高等学校招生考试（上海卷）数学试卷...........................36 1990 年普通高等学校招生考试（全国卷）文科数学...........................37 1991 年普通高等学校招生考试（全国卷）理科数学...........................38 1991 年普通高等学校招生考试（三南卷）数学试卷...........................39 1992 年普通高等学校招生考试（全国卷）理科数学...........................40 1992 年普通高等学校招生考试（三南卷）数学试卷...........................41 1993 年普通高等学校招生考试（新高考）理科数学...........................42 1993 年普通高等学校招生考试（新高考）文科数学...........................43 1993 年普通高等学校招生考试（旧高考）理科数学...........................44 1993 年普通高等学校招生考试（旧高考）文科数学...........................45 1994 年普通高等学校招生考试（全国卷）理科数学...........................46 1994 年普通高等学校招生考试（旧高考）文科数学...........................47 1995 年普通高等学校招生考试（全国卷）理科数学...........................48 1996 年普通高等学校招生考试（全国卷）理科数学...........................49 1997 年普通高等学校招生考试（全国卷）理科数学...........................50 1997 年普通高等学校招生考试（全国卷）文科数学...........................51 1998 年普通高等学校招生考试（全国卷）理科数学...........................52 1998 年普通高等学校招生考试（全国卷）文科数学...........................53 1999 年普通高等学校招生考试（全国卷）理科数学...........................54 1999 年普通高等学校招生考试（全国卷）文科数学...........................55 2000 年普通高等学校招生考试（京、皖卷）理科数学.......................56

1977年普通高等学校招生考试全国各省市高考数学试题及解答(汇总

1977年全国各省市高考数学试题及解答北京市（理科）1．解方程.31x x -=-解：将两边平方，得 x 2-1=9-6x+x,即x 2-7x+10=0,(x-2)(x-5)=0, ∴x=2,x=5。

经检验x=5是增根，故原方程的解是x=2。

2．计算121222021-++-.122:+=原式解3.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg 45。

解：lg 45=21lg 21032⨯=0.8266。

4．证明αα+=α+22cos 2sin 1)1(tg 原式成立证∴αα+=αα+αα+α=⎪⎭⎫ ⎝⎛αα+α=α+222222cos 2sin 1cos sin cos sin 2cos cos sin cos )1(:tg 5．求过两直线x+y-7=0和3x-y-1=0的交点且过（1，1）点的直线方程。

解：由x+y-7=03x-y-1=0, 解得x=2,y=5。

过点（2，5）和（1，1）的直线方程为y=4x-3。

6．某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？解：七月份到十月份总产值为 100+（1+20%）·100+（1+20%)2·100+（1+20%)3·100=)(8.5362.00736.110012.1]1)2.1[(1004万元=⨯=--⨯ 7.已知二次函数y=x 2-6x+5(1)求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程; (2)画出它的图象;(3)分别求出它的图象和x 轴、y 轴的交点坐标。

解：如图（列表，描点）略。

8．一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A 处看见一灯塔B 在船的北450东方向，一小时后船在C 处看见这个灯塔在船的北150东方向，求这时船和灯塔的距离CB 。

解：由已知条件及图可得AC=20海里，∠BAC=450，∠ABC=300。

由正弦定理可得9．有一个圆内接三角形ABC ，∠A 的平分线交BC 于D ，交外接圆于E ，求证：AD ·AE=AC ·AB 。

1977年普通高等学校招生考试全国各省市高考数学试题及解答(汇总

1977年全国各省市高考数学试题及解答北京市（理科）1．解方程.31x x -=-解：将两边平方，得 x 2-1=9-6x+x,即x 2-7x+10=0,(x-2)(x-5)=0, ∴x=2,x=5。

经检验x=5是增根，故原方程的解是x=2。

2．计算121222021-++-.122:+=原式解3.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg 45。

解：lg 45=21lg 21032⨯=0.8266。

解：由x+y-7=03x-y-1=0, 解得x=2,y=5。

过点（2，5）和（1，1）的直线方程为y=4x-3。

解：如图（列表，描点）略。

解：由已知条件及图可得AC=20海里，∠BAC=450，∠ABC=300。

由正弦定理可得9．有一个圆内接三角形ABC ，∠A 的平分线交BC 于D ，交外接圆于E ，求证：AD ·AE=AC ·AB 。

【高考数学试题】1977年全国各省市高考数学试题及解答(共34页)

【高考数学试题】1977年全国各省市高考数学试题及解答（共34页）【高考数学试题】1977年全国各省市高考数学试题及解答 ...................................................... 1 北京市（理科） ............................................................................................................................... 1 北京市（文科） ............................................................................................................................... 3 上海市（理科） ............................................................................................................................... 5 上海市（文科） ............................................................................................................................... 8 天津市 ............................................................................................................................................ 10 河北省 ............................................................................................................................................ 13 福建省（理科） ............................................................................................................................. 17 福建省（文科） ............................................................................................................................. 23 黑龙江省......................................................................................................................................... 26 江苏省 .. (29)北京市（理科）1．解方程.31x x -=-解：将两边平方，得 x 2-1=9-6x+x,即x 2-7x+10=0,(x-2)(x-5)=0, ∴x=2,x=5。

1997年全国统一高考数学试卷(理科)

1997年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分） 1．（4分）设集合M={x|0≤x ＜2}，集合N={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，集合M∩N=（） A ． {x|0≤x ＜1} B ． {x|0≤x ＜2} C ． {x|0≤x≤1} D ． {x|0≤x≤2} 2．（4分）如果直线ax+2y+2=0与直线3x ﹣y ﹣2=0平行，那么实数a 等于（） A ． ﹣6 B ． ﹣3 C ． D ．3．（4分）函数y=tan （）在一个周期内的图象是（） A ．B ．C ．D ．4．（4分）已知三棱锥P ﹣ABC 的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2．则二面角P ﹣BC ﹣A 的大小为（） A ．B ．C ．D ．5．（4分）函数y=sin （）+cos2x 的最小正周期是（）A ．B ． πC ．2π D ． 4π6．（4分）满足arccos （1﹣x ）≥arccosx 的x 的取值范围是（） A ． [﹣1，﹣] B ． [﹣，0] C ． [0，] D ． [，1] 7．（4分）将y=2x 的图象____________再作关于直线y=x 对称的图象，可得到函数y=log 2（x+1）的图象（） A ．先向左平行移动1个单位 B ．先向右平行移动1个单位 C ．先向上平行移动1个单位 D ．先向下平行移动1个单位 8．（4分）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（） A ． 20π B ． 25π C ． 50π D ． 200π9．（4分）曲线的参数方程是（t 是参数，t≠0），它的普通方程是（）A．（x﹣1）2（y ﹣1）=1 B．y=C．D．10．（4分）函数y=cos2x﹣3cosx+2的最小值为（）A．2B．0C．D．611．（5分）椭圆C与椭圆关于直线x+y=0对称，椭圆C的方程是（）A．B．C．D．12．（5分）圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是（）A．πB．2πC．πD．π13．（5分）（2014•碑林区一模）定义在区间（﹣∞，+∞）的奇函数f（x）为增函数；偶函数g（x）在区间[0，+∞）的图象与f（x）的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式：①f（b）﹣f（﹣a）＞g（a）﹣g（﹣b）；②f（b）﹣f（﹣a）＜g（a）﹣g（﹣b）；③f（a）﹣f（﹣b）＞g（b）﹣g（﹣a）；④f（a）﹣f（﹣b）＜g（b）﹣g（﹣a），其中成立的是（）A．①与④B．②与③C．①与③D．②与④14．（5分）不等式组的解集是（）A．{x|0＜x＜2} B．{x|0＜x＜2.5} C．D．{x|0＜x＜3}15．（5分）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有（）A．150种B．147种C．144种D．141种二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）16．（4分）已知的展开式中x3的系数为，常数a的值为_________．17．（4分）（2014•陕西模拟）已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是_________．18．（4分）的值为_________．19．（4分）已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α；②若l平行于α，则l平行于α内所有的直线；③若m⊊α，l⊊β且l⊥m，则α⊥β；④若l⊊β且l⊥α，则α⊥β；⑤若m⊊α，l⊊β且α∥β，则l∥m．其中正确命题的序号是_________．三、解答题（共6小题，满分69分）20．（10分）已知复数，．复数，z2ω3在复数平面上所对应的点分别为P，Q．证明△OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）．21．（11分）已知数列{a n}，{b n}都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q，其中p＞q，且p≠1，q≠1．设c n=a n+b n，S n为数列{c n}的前n项和．求．22．（12分）甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？23．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．（1）证明AD⊥D1F；（2）求AE与D1F所成的角．24．（12分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜．（1）当x∈（0，x1）时，证明x＜f （x）＜x1；（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，证明x0＜．25．（12分）（2012•北京模拟）设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x﹣2y=0的距离最小的圆的方程．1997年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分）1．（4分）设集合M={x|0≤x＜2}，集合N={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合M∩N=（）A．{x|0≤x＜1} B．{x|0≤x＜2} C．{x|0≤x≤1}D．{x|0≤x≤2}考点：交集及其运算．分析：解出集合N中二次不等式，再求交集．解答：解：N={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，∴M∩N={x|0≤x＜2}，故选B点评：本题考查二次不等式的解集和集合的交集问题，注意等号，较简单．2．（4分）如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，那么实数a等于（）A ．﹣6 B．﹣3 C．D ．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．分析：根据它们的斜率相等，可得=3，解方程求a的值．解答：解：∵直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，∴它们的斜率相等，∴=3，∴a=﹣6．故选A．点评：本题考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等．3．（4分）函数y=tan（）在一个周期内的图象是（）A．B．C．D．考点：正切函数的图象．专题：综合题．分析：先令tan（）=0求得函数的图象的中心，排除C，D；再根据函数y=tan（）的最小正周期为2π，排除B．解答：解：令tan（）=0，解得x=kπ+，可知函数y=tan（）与x轴的一个交点不是，排除C，D∵y=tan（）的周期T==2π，故排除B故选A点评：本题主要考查了正切函数的图象．要熟练掌握正切函数的周期，单调性，对称中心等性质．4．（4分）已知三棱锥P﹣ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2．则二面角P﹣BC﹣A的大小为（）A．B．C．D．考点：平面与平面之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题．分析：要求二面角P﹣BC﹣A的大小，我们关键是要找出二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角，将空间问题转化为平面问题，然后再分析二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角所在的三角形的其它边与角的关系，解三角形进行求解．解答：解：如图所示，由三棱锥的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，得PB=PC=，PA=BC=2，取BC的中点E，连接AE，PE，则∠AEP即为所求二面角的平面角．且AE=EP=，∵AP2=AE2+PE2，∴∠AEP=，故选C．点评：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠AEP 为二面角P﹣BC﹣A的平面角，通过解∠AEP所在的三角形求得∠AEP．其解题过程为：作∠AEP→证∠AEP是二面角的平面角→计算∠AEP，简记为“作、证、算”．5．（4分）函数y=sin（）+cos2x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π考点：三角函数的周期性及其求法．分析：先将函数化简为：y=sin（2x+θ），即可得到答案．解答：解：∵f（x）=sin（）+cos2x=cos2x﹣sin2x+cos2x=（+1）cos2x﹣sin2x=sin（2x+θ）∴T==π故选B．点评：本题主要考查三角函数的最小正周期的求法．属基础题．6．（4分）满足arccos （1﹣x ）≥arccosx 的x 的取值范围是（） A ． [﹣1，﹣] B ． [﹣，0] C ． [0，] D ． [，1]考点：反三角函数的运用．专题：计算题．分析：应用反函数的运算法则，反函数的定义及性质，求解即可．解答：解：arccos （1﹣x ）≥arcco sx 化为cos[arccos （1﹣x ）]≤cos[arccosx ] 所以1﹣x≤x ，即：x，又x ∈[﹣1，1]，所以x 的取值范围是[，1]故选D ．点评：本题考查反余弦函数的运算法则，反函数的定义域，考查学生计算能力，是中档题．7．（4分）将y=2x 的图象____________再作关于直线y=x 对称的图象，可得到函数y=log 2（x+1）的图象（） A ．先向左平行移动1个单位 B ．先向右平行移动1个单位 C ．先向上平行移动1个单位 D ．先向下平行移动1个单位考点：反函数；函数的图象与图象变化．分析：本题考查函数图象的平移和互为反函数的函数图象之间的关系两个知识点，作为本题，可以用逐一验证的方法排除不合题意的选项，验证的个数在1到3个，对于本题，这不是最佳选择，建议逆推得到平移后的解析式，这样就可以方便的观察到平移的方向及单位数．解答：解：利用指数式和对数式的互化，由函数y=log 2（x+1）解得：x=2y ﹣1 则函数y=log 2（x+1）（x ＞﹣1）的反函数为y=2x ﹣1（x ∈R ）即函数y=2x 平移后的函数为y=2x ﹣1，易见，只需将其向下平移1个单位即可．故选D点评：本题采用先逆推获取平移后的解析式的方法，得到解析式后平移的方向和单位便一目了然，简便易行，值得尝试．8．（4分）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（） A ． 20π B ． 25π C ． 50π D ． 200π考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：设出球的半径，由于直径即是长方体的体对角线，由此关系求出球的半径，即可求出球的表面积．解答：解：设球的半径为R ，由题意，球的直径即为长方体的体对角线，则（2R ）2=32+42+52=50，∴R=．∴S 球=4π×R 2=50π．故选C点评：本题考查球的表面积，球的内接体，考查计算能力，是基础题．9．（4分）曲线的参数方程是（t是参数，t≠0），它的普通方程是（）A．（x﹣1）2（y ﹣1）=1 B．y=C．D．考点：参数方程的概念．专题：计算题．分析：由题意知x=1﹣，可得x﹣1=﹣，将方程两边平方，然后与y﹣1=﹣t2，相乘消去t即可求解．解答：解：∵曲线的参数方程是（t是参数，t≠0），∴，∴将两个方程相乘可得，（x﹣1）2（1﹣y）=1，∴y=，故选B．点评：此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．10．（4分）函数y=cos2x﹣3cosx+2的最小值为（）A．2B．0C．D．6考点：函数的值域；余弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：先进行配方找出对称轴，而﹣1≤cosx≤1，利用对称轴与区间的位置关系求出最小值．解答：解：y=cos2x﹣3cosx+2=（cosx﹣）2﹣∵﹣1≤cosx≤1∴当cosx=1时y min=0，故选B点评：本题以三角函数为载体考查二次函数的值域，属于求二次函数的最值问题，属于基本题．11．（5分）椭圆C与椭圆关于直线x+y=0对称，椭圆C的方程是（）A．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：依题意可知椭圆C关于直线x+y=0对称，长轴和短轴不变，主要椭圆的中心即可．根据原椭圆方程可求得其中心坐标，进而求得其关于直线x+y=0对称点，则椭圆方程可得．解答：解：依题意可知椭圆C关于直线x+y=0对称，长轴和短轴不变，主要椭圆的中心即可．∵椭圆的中心为（3，2）关于直线x+y=0对称的点为（﹣2，﹣3）故椭圆C的方程为故选A．点评：本题主要考查了直线与椭圆的关系及点关于直线对称的问题．属基础题．12．（5分）圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是（）A．πB．2πC．πD．π考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：通过圆台的底面面积，求出上下底面半径，利用侧面积公式求出母线长，然后求出圆台的高，即可求得圆台的体积．解答：解：S1=π，S2=4π，∴r=1，R=2，S=6π=π（r+R）l，∴l=2，∴h=．∴V=π（1+4+2）×=π．故选D点评：本题是基础题，通过底面面积求出半径，转化为求圆台的高，是本题的难点，考查计算能力，常考题．13．（5分）（2014•碑林区一模）定义在区间（﹣∞，+∞）的奇函数f（x）为增函数；偶函数g（x）在区间[0，+∞）的图象与f（x）的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式：①f（b）﹣f（﹣a）＞g（a）﹣g（﹣b）；②f（b）﹣f（﹣a）＜g（a）﹣g（﹣b）；③f（a）﹣f（﹣b）＞g（b）﹣g（﹣a）；④f（a）﹣f（﹣b）＜g（b）﹣g（﹣a），其中成立的是（）A．①与④B．②与③C．①与③D．②与④考点：函数奇偶性的性质．分析：根据f（﹣a）=﹣f（a），f（﹣b）=﹣f（b），g（﹣a）=g（a）=f（a），g（﹣b）=g（b）=f（b），对①②③④进行逐一验证即可得答案．解答：解：由题意知，f（a）＞f（b）＞0又∵f（﹣a）=﹣f（a），f（﹣b）=﹣f（b），g（﹣a）=g（a）=f（a），g（﹣b）=g（b）=f（b）；∴①f（b）﹣f（﹣a）＞g（a）﹣g（﹣b）⇔f（b）+f（a）＞f（a）﹣f（b）⇔f（b）＞﹣f（b），故①对②不对．③f（a）﹣f（﹣b）＞g（b）﹣g（﹣a）⇔f（b）+f（a）＞f（b）﹣f（a）⇔f（a）＞﹣f（a），故③对④不对．故选C．点评：本题主要考查函数奇偶性的应用．14．（5分）不等式组的解集是（）A．{x|0＜x＜2} B．{x|0＜x＜2.5} C．D．{x|0＜x＜3}考点：其他不等式的解法．专题：压轴题．分析：可以直接去绝对值解不等式，比较复杂；可结合答案用特值法解决．解答：解：取x=2满足不等式，排除A；再取x=2.5，不满足，排除B、D故选C点评：本题考查解绝对值不等式和分式不等式问题，要注意选择题的特点，选择特殊做法解决．15．（5分）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有（）A．150种B．147种C．144种D．141种考点：排列、组合的实际应用；计数原理的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由题意知从10个点中任取4个点有C104种取法，减去不合题意的结果，4点共面的情况有三类，取出的4个点位于四面体的同一个面上；取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点；由中位线构成的平行四边形，用所有的结果减去不合题意的结果即可得答案．解答：解：从10个点中任取4个点有C104种取法，其中4点共面的情况有三类．第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4C64种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4顶点共面，有3种．以上三类情况不合要求应减掉，∴不同的取法共有C104﹣4C64﹣6﹣3=141种．故选D．点评：本题考查分类计数原理，考查排列组合的实际应用，是一个排列组合同立体几何结合的题目，解题时注意做到不重不漏．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）16．（4分）已知的展开式中x3的系数为，常数a的值为4．考点：二项式定理；二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3求出展开式中x3的系数，列出方程解得．解答：解：的展开式的通项为=令解得r=8∴展开式中x3的系数为∵展开式中x3的系数为∴解得a=4故答案为4点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．17．（4分）（2014•陕西模拟）已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是．考点：简单曲线的极坐标方程；与圆有关的比例线段；不等式的基本性质．专题：计算题；压轴题．分析：先将原极坐标方程中的三角函数式展开后两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解即得．解答：解：将原极坐标方程，化为：ρsinθ+ρcosθ=1，化成直角坐标方程为：x+y﹣1=0，则极点到该直线的距离是=．故填；．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．18．（4分）的值为．考点：角的变换、收缩变换．专题：计算题；压轴题．分析：先将分式中的15°化为7°+8°，利用两角和的余弦、正弦展开，分子、分母分组提取sin7°，cos7°，再用同角三角函数的基本关系式，化简，然后，就会求出tan15°，利用两角差的正切，求解即可．解答：解：=======tan15°=tan（45°﹣30°）===，故答案为：点评：本题考查角的变换，两角和的正弦、余弦，同角三角函数的基本关系式，考查学生运算能力，是中档题．19．（4分）已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α；②若l平行于α，则l平行于α内所有的直线；③若m⊊α，l⊊β且l⊥m，则α⊥β；④若l⊊β且l⊥α，则α⊥β；⑤若m⊊α，l⊊β且α∥β，则l∥m．其中正确命题的序号是①④．考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：压轴题．分析：对于①，考虑直线与平面垂直的判定定理，符合定理的条件故正确；对于②，考虑直线与平面平行的性质定理以及直线与平面的位置关系，故错误；对于③考虑α⊥β的判定方法，而条件不满足，故错误；对于④符合面面垂直的判定定理，故正确；对于⑤不符合线线平行的判定，故错误．正确命题的序号是①④解答：解：①，符合定理的条件故正确；②，若l平行于α，则l与α内的直线有两种：平行或异面，故错误；③m⊊α，l⊊β且l⊥m，则α与β可以相交但不垂直；④符合面面垂直的判定定理，故正确；⑤若m⊊α，l⊊β且α∥β，则l∥m或者异面，错误，故正确命题的序号是①④．点评：本题考查立体几何中线线关系中的平行、线面关系中的垂直、面面关系中的垂直的判定方法，要注意对比判定定理的条件和结论，同时要注意性质定理、空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的应用．三、解答题（共6小题，满分69分）20．（10分）已知复数，．复数，z2ω3在复数平面上所对应的点分别为P，Q．证明△OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）．考点：复数代数形式的混合运算．分析：利用复数三角形式，化简复数，．然后计算复数，z2ω3，计算二者的夹角和模，即可证得结论．解答：解法一：，于是，，=因为OP与OQ的夹角为，所以OP⊥OQ．因为，所以|OP|=|OQ|由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．解法二：因为，所以z3=﹣i．因为，所以ω4=﹣1于是由此得OP⊥OQ，|OP|=|OQ|．由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．点评：本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力，是中档题．21．（11分）已知数列{a n}，{b n}都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q，其中p＞q，且p≠1，q≠1．设c n=a n+b n，S n为数列{c n}的前n项和．求．考点：等比数列的通项公式；极限及其运算；数列的求和．专题：计算题．分析：先根据等比数列的通项公式分别求出a n和b n，再根据等比数列的求和公式，分别求得S n和S n的表达式，进而可得的表达式，分p＞1和p＜1对其进行求极限．﹣1解答：解：，．分两种情况讨论．（Ⅰ）p＞1．∵，====p．（Ⅱ）p＜1．∵0＜q＜p＜1，==点评：本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识，考查逻辑推理能力和运算能力．22．（12分）甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？考点：根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用．专题：应用题．分析：（1）全程运输成本有两部分组成，将其分别分别表示出来依题意建立起程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，由题设条件速度不得超过c千米/时．故定义域为v∈（0，c]．（2）由（1）知，全程运输成本关于速度的函数表达式中出现了积为定值的情形，由于等号成立的条件有可能不成立，故求最值的方法不确定，对对速度的范围进行分类讨论，如等号成立时速度值不超过c，则可以用基本不等式求求出全程运输成本的最小值，若等号成立时速度值大于最高限速v，可以判断出函数在（0，c]上的单调性，用单调性求出全程运输成本的最小值．解答：解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为故所求函数及其定义域为（2）依题意知S，a，b，v都为正数，故有当且仅当，．即时上式中等号成立若，则当时，全程运输成本y最小，若，即a＞bc2，则当v∈（0，c]时，有==因为c﹣v≥0，且a＞bc2，故有a﹣bcv≥a﹣bc2＞0，所以，且仅当v=c时等号成立，也即当v=c时，全程运输成本y最小．综上知，为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为；当时行驶速度应为v=c．点评：本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力．23．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．（1）证明AD⊥D1F；（2）求AE与D1F所成的角．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；证明题．分析：（1）证明线线垂直可先证线面垂直，欲证AD⊥D1F，可先证AD⊥面DC1，即可证得；（2）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，取AB的中点G，将D1F平移到A1G，AB与A1G构成的锐角或直角就是异面直线所成的角，利用三角形全等求出此角即可．解答：解：（Ⅰ）∵AC1是正方体，∴AD⊥面DC1．又D1F⊂面DC1，∴AD⊥D1F．（Ⅱ）取AB中点G，连接A1G，FG．因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，故GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F．设A1G与AE相交于点H，则∠AHA1是AE与D1F所成的角，因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE，∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=90°，即直线AE与D1F所成角为直角．点评：本小题主要考查异面直线及其所成的角，考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于基础题．24．（12分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜．（1）当x∈（0，x1）时，证明x＜f （x）＜x1；（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，证明x0＜．考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；不等式的证明．专题：证明题；压轴题；函数思想；方程思想；作差法．分析：（1）方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2，所以构造函数，当x∈（0，x1）时，利用函数的性质推出x＜f （x），然后作差x1﹣f（x），化简分析出f（x）＜x1，即可．（2）．方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2，函数f（x）的图象，关于直线x=x0对称，利用放缩法推出x0＜；解答：证明：（1）令F（x）=f（x）﹣x．因为x1，x2是方程f（x）﹣x=0的根，所以F（x）=a（x﹣x1）（x﹣x2）．当x∈（0，x1）时，由于x1＜x2，得（x﹣x1）（x﹣x2）＞0，又a＞0，得F（x）=a（x﹣x1）（x﹣x2）＞0，即x＜f（x）．x1﹣f（x）=x1﹣[x+F（x）]=x1﹣x+a（x1﹣x）（x﹣x2）=（x1﹣x）[1+a（x﹣x2）]因为所以x1﹣x＞0，1+a（x﹣x2）=1+ax﹣ax2＞1﹣ax2＞0．得x1﹣f（x）＞0．由此得f（x）＜x1．（2）依题意知因为x1，x2是方程f（x）﹣x=0的根，即x1，x2是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的根．∴，因为ax2＜1，所以．点评：本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．25．（12分）（2012•北京模拟）设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x﹣2y=0的距离最小的圆的方程．考点：直线与圆的位置关系．专题：压轴题．分析：圆被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，劣弧所对的圆心角为90°，设圆的圆心为P（a，b），圆P截X轴所得的弦长为，截y轴所得弦长为2；可得圆心轨迹方程，圆心到直线l：x﹣2y=0的距离最小，利用基本不等式，求得圆的方程．解答：解法一：设圆的圆心为P（a，b），半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P截X轴所得的弦长为，故r2=2b2，又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r2=a2+1．从而得2b2﹣a2=1．又点P（a，b）到直线x﹣2y=0的距离为，所以5d2=|a﹣2b|2=a2+4b2﹣4ab≥a2+4b2﹣2（a2+b2）=2b2﹣a2=1，当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1，从而d取得最小值．由此有解此方程组得或由于r2=2b2知．于是，所求圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2．解法二：同解法一，得∴得①将a2=2b2﹣1代入①式，整理得②把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即△=8（5d2﹣1）≥0，得5d2≥1．∴5d2有最小值1，从而d有最小值．将其代入②式得2b2±4b+2=0．解得b=±1．将b=±1代入r2=2b2，得r2=2．由r2=a2+1得a=±1．综上a=±1，b=±1，r2=2．由|a﹣2b|=1知a，b同号．于是，所求圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2．点评：本小题主要考查轨迹的思想，求最小值的方法，考查综合运用知识建立曲线方程的能力．易错的地方，P到x轴，y轴的距离，不能正确利用基本不等式．。

1977上海高考理科数学试题

1977年普通高等学校招生考试理科数学(上海市)试题及答案1．（1）化简)()2(222222b a a b a a b ab a a b a a --+÷++-+ 解：原式=.)1()1(b a a b b a a b a a b a a ba a +-=--++-+ （2）计算2log 9log 1.0lg 2lg 25lg 2132⨯--+解：原式=21-（3）i =-1，验算i 是否方程2x 4+3x 3-3x 2+3x-5=0的解解：令x=i,左边=2-3i+3+3i-5=0所以i 是所给方程的一个解（4）求证：.2cos 2)4cos()4cos()4sin()4sin(θ=θ-πθ+π+θ-πθ+π.2cos 22cos 211)4cos()4sin(2sin)4cos()4sin()4sin()4cos()4cos()4sin(:右边左边证=θ=θ=θ-πθ-ππ=θ-πθ-πθ-πθ+π+θ-πθ+π=2．在△ABC 中，∠C 的平分线交AB 于D ，过D 作BC 的平分线交AC 于E ，已知BC=a ,AC=b,求DE 的长解：∵DE ∥BC ，∴∠1=∠3又∠1=∠2，∴∠2=∠3 DE=EC 由△ADE ∽△ABC ，,,b DE b a DE AC AE BCDE -==∴BD 3 1 2A E Cb ·DE=ab-a ·DE ，.b a abDE +=3．已知圆A 的直径为32，圆B 的直径为324-，圆C 的直径为2，圆A 与圆B 外切，圆A 又与圆C 外切，∠A=600，求BC 及∠C解：由已知条件可知，AC=31+，AB=2，∠CAB=600根据余弦定理，可得BC=6由正弦定理，则︒=∠∴=⋅=45,22sin sin C BC A AB C 4．正六棱锥V-ABCDEF 的高为2cm ，底面边长为2cm （1）按1:1画出它的二视图;（2）求其侧面积; （3）求它的侧棱和底面的夹角解：（1）见六五年试题1（2）斜高为)(7672216),(7)223(2222cm cm =⨯⨯⨯==⨯+故侧面积（3）侧棱与底面的夹角为450 5．解不等式⎩⎨⎧>--≥-0601622x x x 并在数轴上把它的解表示出来解：略-4≤x ＜-2，3＜x ≤4.6．已知两定点A （-4，0）、B （4，0），一动点P （x,y ）与两定点A 、B 的连线PA 、PB 的斜率的乘积为41-求点P 的轨迹方程，并把它化为标准方程，指出是什么曲线解：直线PA 、PB 的斜率分别是故此曲线为椭圆其标准方程为由题意,14161644144.4,4222221=+=+-=-⋅+-=+=y x y x x y x y x y k x y k 7．等腰梯形的周长为60，底角为600，问这梯形各边长为多少时，面积最大？解：设等腰梯形的腰长为x ，则有AE=2x ，BE=23x ，.2360226022260x x x AEAB BC -=--=-⋅-=等腰梯形ABCD 的面积=BE AE BC BE ADBC ⋅+=⋅+)(2].)15(225[23)30(2323)22360(22--=-=⋅+-=x x x x x x 由此可知，当且仅当x=15时等腰梯形的面积最大此时，腰AB=CD=x=15,上底BC=7.5，下底AD=BC+2AE=22.58．当k 为何值时，方程组⎩⎨⎧=---=--)2(0102)1(02ΛΛΛΛΛk y kx y x 有两组相同的解？并求出它的解解：由（1），x ≥0，y ≥2由（2），y=kx-2k-10.代入（1），得B C x A 600 D E)122(,)122(2=++-+-=k kx x k kx x此方程有二等根的条件是判别式为零，即 k 2-4(2k+12)=0,k 2-8k-48=0,(k-12)(k+4)=0, k 1=12,k 2=-4(增根） ∴当k=12时，x=6,y=38. 附加题9．如图所示，半圆O 的直径为2，A 为半圆直径的延长线上的一点，且OA=2，B 为半圆上任一点，以AB 为边作等边△ABC ，问B 在什么地方时，四边形OACB 的面积最大？并求出这个面积的最大值解：四边形OACB 的面积=△OAB 的面积+△ABC 的面积设∠AOB=θ，则 △OAB 的面积θ=θ⋅⋅⋅=θ⋅⋅⋅=sin sin 1221sin 21OB OA△ABC 的面积C B θ A O)cos 45(43)cos 2(434360sin 21222θ-=θ⋅⋅⋅-+=⋅=︒⋅⋅⋅=OA OB OA OB AB AC AB∴四边形OACB 的面积∴当θ-600=900，即θ=1500时，四边形OACB 的面积最大，其最大面积为.2435+ 10．已知曲线y=x 2-2x+3与直线y=x+3相交于点P （0，3）、Q （3，6）两点，（1）分别求出曲线在交点的切线的斜率;（2）求出曲线与直线所围成的图形的面积解：（1）∵y=x 2-2x+3，∴y ＇=2x-2,∴过点（0，3）的切线斜率k 1=y ＇|x=0=-2过点（3，6）的切线斜率k 1=y ＇|x=3=4（2）设所求的带阴影的图形的面积为S 则S 为梯形OAQP 的面积与曲边梯形OAQP 的面积的差而梯形OAQP 的面积.227)(21=⋅+=OA AQ OP 曲边梯形OAQP 的面积9)331()32(3030232=+-=+-=⎰x x x dx x x .5.49227=-=∴SY 6 Q P O 3 A X)60sin(2435cos 3sin 435︒-θ+=θ-θ+=。

高考理科数学试题及答案1977

2
2
则 △PMN 中， cos PNM MN 2 NP2 PM 2 2 MH NP
又异面线所成角为
0
，π 2
，则余弦值为
10 ． 5
11．A
【解析】 f x x2 a 2 x a 1 ex1，则 f 2 4 2a 2 a 1 e3 0 a 1 ，
则 f x x2 x 1 ex1 ， f x x2 x 2 ex1 ，
最小
值是（）
A． 15 B． 9
C．1
D． 9
6. 安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共
有（）
A．12 种
B．18 种
C．24 种
D．36 种
7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有 2 位优秀，
则当 t 3 时， f x 取最大值 1．
2 15． 2n
n +1
【解析】设an 首项为 a1 ，公差为 d ．
则 a3 a1 2d 3
求得 a1
1， d
1，则 an
n ， Sn
nn 1
2
16． 6
【解析】 y2 8x 则 p 4 ，焦点为 F 2，0 ，准线
l : x 2，如图， M 为 F 、 N 中点，
4. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某
几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部
分所得，则该几何体的体积为（）
A． 90 B． 63
C． 42
D． 36
2x 3y 3 0 5. 设 x ， y 满足约束条件 2x 3y 3 0 ，则 z 2x y 的

普通高等学校招生全国统一考试数学理(上海卷,含答案)

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学理（上海卷，含答案）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码 .2．本试卷共有23道试题，满分150分 .考试时间20分钟 .一．真空题（本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分 .1．若复数 z 满足z (1+i) =1-i (I 是虚数单位)，则其共轭复数z =__________________ . 2．已知集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B R ⋃=，则实数a 的取值范围是______________________ .3．若行列式417 5 xx 3 8 9中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是________________________ . 4．某算法的程序框如右图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是____________________________ .5．如图，若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面连长为2，高为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的大小是______________（结果用反三角函数表示）.6．函数22cos sin 2y x x =+的最小值是_____________________ .7．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E ξ____________（结果用最简分数表示）. 8.已知三个球的半径1R ，2R ，3R 满足32132R R R =+，则它们的表面积1S ，2S ，3S ，满足的等量关系是___________9.已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+by a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且21PF PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9，则b =____________.10.在极坐标系中，由三条直线0=θ，3πθ=，1sin cos =+θρθρ围成图形的面积是________.11.当时10≤≤x ，不等式kx x≥2sinπ成立，则实数k 的取值范围是_______________.12．已知函数x x x f tan sin )(+=.项数为27的等差数列{}n a 满足⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππ，n a ，且公差0≠d .若0)()()(2721=+⋯++a f a f a f ，则当k =____________是，0)(=k a f .13.某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点。

普通高校招生数学(理)统一考试(上海卷)

普通高校招生数学(理)统一考试（理工农医类）本试卷共22道题；满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（共110分）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题；只要求直接填写结果；每个空格填对得4分；否则一律得零分。

1．函数)4sin(cos )4cos(sin ππ+++=x x x x y 的最小正周期T= . 2．若=∈=+=απααπ则其中的解是方程),2,0(,1)cos(23x x .3．在等差数列}{n a 中；a 5=3, a 6=－2,则a 4+a 5+…+a 10= .4．在极坐标系中；定点A ),2,1(π点B 在直线0sin cos =+θρθρ上运动；当线段AB 最短时；点B 的极坐标是 .5．在正四棱锥P —ABCD 中；若侧面与底面所成二面角的大小为60°；则异面直线PA 与BC 所成角的大小等于 .（结果用反三角函数值表示）6．设集合A={x ||x |<4},B={x |x 2－4x +3>0}, 则集合{x |x ∈A 且}B A x ∉= .7．在△ABC 中；sinA;sinB:sinC=2:3:4,则∠ABC= .（结果用反三角函数值表示）8．若首项为a 1；公比为q 的等比数列}{n a 的前n 项和总小于这个数列的各项和；则首项a 1；公比q 的一组取值可以是（a 1；q ）= .9．某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人；则此两人不属于同一个国家的概率为 .（结果用分数表示）10．方程x 3+lg x =18的根x ≈ .（结果精确到）11．已知点),0,24(),2,0(),2,0(nC n B n A +-其中n 的为正整数.设S n 表示△ABC 外接圆的面积；则n n S ∞→lim = .12．给出问题：F 1、F 2是双曲线201622y x -=1的焦点；点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的距离等于9；求点P 到焦点F 2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8；由||PF 1|－|PF 2||=8；即|9－|PF 2||=8；得|PF 2|=1或17.该学生的解答是否正确？若正确；请将他的解题依据填在下面空格内；若不正确；将正确的结果填在下面空格内.二、选择题（本大题满分16分）本大题共4题；每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论；其中有且只有一个结论是正确的；必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内；选对得4分；不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内）；一律得零分.13．下列函数中；既为偶函数又在（0；π）上单调递增的是（）A ．y=tg|x |.B ．y=cos(－x ).C ．).2sin(π-=x yD ．|2|x ctg y =. 14．在下列条件中；可判断平面α与β平行的是（） A ．α、β都垂直于平面r .B ．α内存在不共线的三点到β的距离相等.C ．l ；m 是α内两条直线；且l ∥β；m ∥β.D ．l ；m 是两条异面直线；且l ∥α；m ∥α, l ∥β；m ∥β.15．a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数；不等式a 1x 2+b 1x +c 1>0和a 2x 2+b 2x +c 2>0的解集分别为集合M 和N ；那么“212121c c b b a a ==”是“M=N ”的（）A ．充分非必要条件.B ．必要非充分条件.C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件.16．f (x )是定义在区间[－c,c]上的奇函数；其图象如图所示：令g （x ）=af （x ）+b ；则下列关于函数g （x ）的叙述正确的是（）A ．若a <0,则函数g （x ）的图象关于原点对称.B ．若a =－1；－2<b<0,则方程g （x ）=0有大于2的实根.C ．若a ≠0,b=2,则方程g （x ）=0有两个实根.D ．若a ≥1,b<2,则方程g （x ）=0有三个实根.三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题；解答下列各题必须写出必要的步骤.17．（本题满分12分）已知复数z 1=cos θ－i ；z 2=sin θ+i ；求| z 1·z 2|的最大值和最小值.18．（本题满分12分）已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中；A 1A ⊥平面ABCD ；AB=4；AD=2.若B 1D ⊥BC ；直线B 1D 与平面ABCD 所成的角等于30°；求平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积.19．（本题满分14分）本题共有2个小题；第1小题满分5分；第2小题满分9分. 已知数列}{n a （n 为正整数）是首项是a 1；公比为q 的等比数列.（1）求和：;,334233132031223122021C a C a C a C a C a C a C a -+-+-（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论；并加以证明.20．（本题满分14分）本题共有2个小题；第1小题满分6分；第2小题满分8分.如图；某隧道设计为双向四车道；车道总宽22米；要求通行车辆限高米；隧道全长2.5千米；隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.（1）若最大拱高h 为6米；则隧道设计的拱宽l 是多少？（2）若最大拱高h 不小于6米；则应如何设计拱高h 和拱宽l ；才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最最小？（半个椭圆的面积公式为lh S 4π=；柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到米）21．（本题满分16分）本题共有3个小题；第1小题满分4分；第2小题满分5分；第3小题满分7分.在以O 为原点的直角坐标系中；点A （4；－3）为△OAB 的直角顶点.已知|AB|=2|OA|；且点B 的纵坐标大于零.（1）求向量AB 的坐标；（2）求圆02622=++-y y x x 关于直线OB 对称的圆的方程；（3）是否存在实数a ；使抛物线12-=ax y 上总有关于直线OB 对称的两个点？若不存在；说明理由：若存在；求a 的取值范围.22．（本题满分18分）本题共有3个小题；第1小题满分5分；第2小题满分6分；第3小题满分7分.已知集合M 是满足下列性质的函数f (x )的全体：存在非零常数T ；对任意x ∈R ；有f (x+T )=T f (x )成立.（1）函数f (x )= x 是否属于集合M ？说明理由；（2）设函数f (x )=a x （a >0,且a ≠1）的图象与y=x 的图象有公共点；证明：f (x )=a x ∈M ；（3）若函数f(x)=sin kx∈M ,求实数k的取值范围.。

1977-1987年高考理科数学试题

15°45°B E D AC B 1977年普通高等学校招生考试理科(北京市)数学试题满分120分，120分钟1．（本小题满分10分）3x =-． 2．（本小题满分10分）计算1022-+．3. （本小题满分10分）已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg 45． 4．（本小题满分10分）证明：αα+=α+22cos 2sin 1)1(tg ．5．（本小题满分10分）求过两直线70x y +-=和310x y --=的交点且过(1,1)点的直线方程． 6．（本小题满分10分）某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？7. （本小题满分10分）已知二次函数265y x x =-+．(1)求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程; (2)画出它的图象;(3)分别求出它的图象和x 轴，y 轴的交点坐标． 8．（本小题满分10分）一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A 处看见一灯塔B 在船的北450东方向，一小时后船在C 处看见这个灯塔在船的北150东方向，求这时船和灯塔的距离CB ．9. （本小题满分10分）有一个圆内接三角形ABC ，∠A 的平分线交BC 于D ，交外接圆于E ，求证：AD AE AC AB ⋅=⋅.10. （本小题满分10分）当m 取哪些值时，直线y x m =+与椭圆191622=+y x 有一个交点？有两个交点？没有交点？当它们有一个交点时，画出它的图象.参考题1. （本小题满分10分）（1）求函数2sin(0),()0(0)x x f x xx π⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 的导数.(2)求椭圆12222=+by a x 绕x 轴旋转而成的旋转体体积.2. （本小题满分10分）(1)试用ε-δ语言叙述“函数()f x 在点0x x =处连续的定义.（2）试证明：若()f x 在点0x x =处连续，且0()0f x >,则存在一个0x 的00(,)x x δδ-+，在这个邻域内，处处有()0f x >.c b a A B C D 1978年普通高等学校招生全国统一考试数学满分120分，120分钟（理科考生五，六两题选做一题，文科考生五，六两题选做一题，不要求做第七题）一、（下列各题每题4分，五个题共20分） 1.分解因式：222444x xy y z -+-.2.已知正方形的边长为a ，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积.3．求函数)2lg(x y +=的定义域.4.不查表求cos800cos350+cos100cos550的值.5.化简：1132123421(4)4(0.1)()ab a b ----⎛⎫⋅⎪⎝⎭.二、（本题满分14分）已知方程224kx y +=，其中k 为实数.对于不同范围的k 值，分别指出方程所代表图形的类型，并画出显示其数量特征的草图. 三、（本题满分14分）（如图）AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，直线MN 切半圆于C 点，AM ⊥MN 于M 点，BN ⊥MN 于N 点，CD ⊥AB 于D 点，求证：1)CD =CM =CN . 2)CD 2=AM ·BN四、（本题满分12分）已知18log 9(2),185b a a =≠=.求36log 45.五.（本题满分20分）已知△ABC 的三内角的大小成等差数列，tan tan 23A C =+,,A B C 的大小，又已知顶点C 的对边c 上的高等于3求三角形各边,,a b c 的长（提示：必要时可验证324)31(2+=+）六、（本题满分20分）已知,αβ为锐角，且223sin 2sin 1αβ+=，3sin22sin20αβ-=.求证22παβ+=.七、（本题满分20分，文科考生不要求作此题）已知函数22(21)1y x m x m =+++- (m R ∈）.1）m 是什么数值时，y 的极值是0？ 2）求证：不论m 是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线1l 上.画出1,0,1m =-时抛物线的草图，来检验这个结论. 3）平行于1l 的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任一条平行于1l 而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等.1E DCB A F aαN MEDCBA B /P /PlC BA O y x一九七八年副题1．（1）分解因式：222223x xy y x y -++--(2)求25sin 30tan 0cot cos46ππ︒-︒+-的值（3）求函数lg(255)1x y x -=+的定义域（4）已知直圆锥体的底面半径等于1cm ，母线的长等于2cm ，求它的体积（5）计算1111222112510(2()30()()50093---+的值.2．已知两数12,x x 满足下列条件： 1）它们的和是等差数列1，3，…的第20项;2）它们的积是等比数列2，-6，…的前4项和．求根为211,1x x 的方程．3.已知：△ABC 的外接圆的切线AD 交BC 的延长线于D 点，求证：CDBDAC AB ACD ABC ==∆∆22的面积的面积.4．（如图）CD 是BC 的延长线， AB BC CA CD a ====，DM 与 ,AB AC 分别交于M 点和N 点，且BDM α∠=.求证：BM CN ==5．设432()444f x x px qx =-+22(1)(1)(0)p m x m p ++++≠.求证：1）如果()f x 的系数满足244(1)0p q m --+=,那么()f x 恰好是一个二次三项式的平方. 2）如果()f x 与22()(2)F x x ax b =++表示同一个多项式，那么244(1)0p q m --+=. 6．已知：sin cos 0a x b x +=. ………① sin 2cos2A x B x C +=.………………② 其中,a b 不同时为0.求证：22222()()0abA b a B a b C +-++=.7．已知l为过点3()2P -而倾斜角为300的直线，圆C 为中心在坐标原点而半径等于1的圆，Q 表示顶点在原点而焦点在)0,82(的抛物线A 为l 和C 在第三象限的交点，B 为C 和Q 在第四象限的交点．1）写出直线l ，圆C 和抛物线Q 的方程，并作草图 2）写出线段PA ，圆弧AB 和抛物线上OB 一段的函数表达式． 3）设,P B ''依次为从,P B 到x 轴的垂足求由圆弧AB 和直线段,,,BB B P P P PA ''''所包含的面积．F 1E D CB A βαPC B A VD C BA1979年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）满分120分，120分钟一、（本题满分6分）若2()4()()0z x x y y z ----=,求证：,,x y z 成等差数列．二、（本题满分6分）化简：2111111csc x---．三、（本题满分6分）甲，乙二容器内都盛有酒精甲有1v 公斤，乙有2v 公斤甲中纯酒精与水（重量）之比为1m :1n ,乙中纯酒精与水之比为2m :2n ．问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？四、（本题满6分）叙述并证明勾股定理．五、（本题满10分）外国船只，除特许外，不得进入离我海岸线D 里以内的区域．设A 及B 是我们的观测站，A 及B 间的距离为S 里，海岸线是过A ，B 的直线，一外国船在P 点，在A 站测得∠BAP =α，同时在B 站测得∠ABP =β．问α及β满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？六、（本题满分10分）设三棱锥V ABC -中，∠AVB =∠BVC =∠CVA =直角．求证：△ABC 是锐角三角形．七、（本题满分12分）美国的物阶从1939年的100增加到四十年后1979年的500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：0.1x <,可用：ln(1)x x +≈，取lg2=0.3,ln10=2.3) 八、（本题满分12分）设CEDF 是一个已知圆的内接矩形，过D 作该圆的切线与CE 的延长线相交于点A ，与CF 的延长线相交于点B 求证：33AC BC AE BF =．九、（本题满分14分）试问数列lg100，lg(100sin )4π，2lg(100sin )4π，…，1lg(100sin )4n π-前多少项的和的值最大？并求这最大值lg2=0.301) 十、（本题满分18分）设等腰△OAB 的顶点为2θ，高为h ．1．在△OAB 内有一动点P ，到三边OA ，OB ，AB 的距离分别为||,||,||PD PF PE ，并且满足关系2||||=||PD PF PE ．求P 点的轨迹．2．在上述轨迹中求出点P 的坐标，使得||+||=||PD PE PF ．332211O 3O 2O 1DC B A A (m ,0)lB A P N M1980年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）满分120分，120分钟一、（本题满分6分）将多项式559x y xy -分别在下列范围内分解因式：1．有理数范围;2.实数范围;3.复数范围二、（本题满6分）半径为1、2、3的三个圆两两外切.证明：以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形.三、（本题满分10分）用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点. 四、（本题满分10分）证明对数换底公式：log log log a b a N N b=（,,a b N 是正数，且1,1a b ≠≠）. 五、（本题满分10分）直升飞机上一点P 在地面M 上的正射影是A ，从P 看地面上一物体B （不同于A ）.直线PB 垂直于飞机窗玻璃所在的平面N （如图）.证明：平面N 必与平面M 相交，且交线垂直于AB .六、（本题满分12分）设三角函数()sin(),53k f x ππ=+其中0k ≠.1．写出()f x 极大值M ，极小值m 与最小正周期; 2．试求最小的正整数k ，使得当自变量x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数()f x 至少有一个值是M 与一个值是m . 七、（本题满分14分）CD 为直角三角形ABC 中斜边AB 上的高，已知△ACD 、△BCD 、△ABC 的面积成等比数列，求∠B （用反三角函数表示）.八、（本题满分14分）已知0απ<<，证明：2sin 2cot 2αα≤，并讨论α为何值时等号成立. 九、（本题满分18分）抛物线的方程是22y x =，有一个半径为1的圆，圆心在x 轴上运动问这个圆运动到什么位置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂注：设00(,)P x y 是抛物线22y px =上一点，则抛物线在P 点处的切线斜率是0y P）.附加题（成绩不计入总分，只作参考）设直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+==;,mt b y t x （t 是参数），椭圆E 的参数方程是⎩⎨⎧θ=≠θ+=sin )0(,cos 1y a a x （θ是参数）问,a b 应满足什么条件，使得对于任意m 值来说，直线l 与椭圆E 总有公共点Q AB C a F E D P1981年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）满分120分，120分钟一、（本题满分6分）设A 表示有理数的集合，B 表示无理数的集合，即设A ={有理数}，B ={无理数}，试写出：1. A ∪B , 2. A ∩B . 二、（本题满分6分）在,,,A B C D 四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果：（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果. 三、（本题满分8分）下列各小题中，指出A 是B 的充分条件，还是必要条件，还是充要条件，或者都不是.1.A: 四边形ABCD 为平行四边形, B ：四边形ABCD 为矩形.2.A: 3a =，B ：|a |=33.A: 150θ=︒，B ：1sin 2θ=. 4.A: 点(,)a b 在圆222x y r +=上B: 222a b r +=. 四、（本题满分10分）写出余弦定理（只写一个公式即可），并加以证明. 五、（本题满分10分）解不等式（x 为未知数）：.0>-----cx bac b x a c b a x六、（本题满分10分）用数学归纳法证明等式23sin cos cos cos cos 22222sin 2n n nx x x x xx ⋅⋅⋅⋅=对一切自然数n 都成立. 七、（本题满分15分）设1980年底我国人口以10亿计算.（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，八、（本题满分17分）在1200的二面角P a Q --的两个面P 和Q 内，分别有点A 和点B A 和点B 到棱a 的距离分别为2和4，且线段AB=10，1．求直线AB 和棱a 所成的角; 2．求直线AB 和平面Q 所成的角.九、（本题满分18分）给定双曲线.1222=-y x 1．过点(2,1)A 的直线l 与所给的双曲线交于两点12,P P ，求线段12P P 的中点P 的轨迹方程.2．过点(1,1)B 能否作直线m ，使m 与所给双曲线交于两点12,Q Q ，且点B 是线段12Q Q 的中点？这样的直线m 如果存在，求出它的方程;如果不存在，说明理由. 十、（附加题，本题满分20分，计入总分）已知以AB 为直径的半圆有一个内接正方形CDEF ，其边长为1（如图）设,AC a BC b ==，作数列1u a b =-，222u a ab b =-+，32233u a a b ab b =-+-，…………，122(1)k k k k k k u a a b a b b --=-+-+-.求证：12(3)n n n u u u n --=+≥.N M P (ρ,θ)BA Ox K R Q P N M DC BA 数学（理科）满分120分，120分钟一、（本题满分6分）填表：二、（本题满分8分）1．求20(1)i -+展开式中第15项的数值; 2．求3cos2xy =的导数. 三、（本题满分9分）在平面直角坐标系内，下列方程表示什么曲线？画出它们的图形.1．2113230634x y -=.2．1cos ,2sin .x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩四、（本题满分12分）已知圆锥体的底面半径为R ，高为H . 求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h （如图）. 五、（本题满分15分）设01,0x a <<>，1a ≠，比较|log (1)|a x -与|log (1)|a x +的大小（要写出比较过程）.如图：已知锐角∠AOB =2α内有动点P ，,PM OA PN OB ⊥⊥，且四边形PMON 的面积等于常数2c .今以O 为极点， ∠AOB 的角平分线Ox 为极轴，求动点P 的轨迹的极坐标方程，并说明它表示什么曲线.七、（本题满分16分）已知空间四边形ABCD 中,AB BC CD AD ==，,,,M N P Q 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点（如图）求证MNPQ 是一个矩形.八、（本题满分18分）抛物线22y px =的内接三角形有两边与抛物线22x qy =相切，证明这个三角形的第三边也与22x qy =相切. 九、（附加题，本题满分20分，计入总分）已知数列12,,,n a a a 和数列1b ,2b ,…,n b , …，其中111,,-===n n pa a q b p a ， 11(2)(,,n n n b qa rb n p q r --=+≥是已知常数，且0,0q p r ≠>>）. 1．用,,,p q r n 表示n b ，并用数学归纳法加以证明; 2．求22n n n na b +.函数使函数有意义的 x 的实数范围1 2x y -=2 2)(x y -= 3arcsin(sin )y x =4 sin(arcsin )y x =5 x y lg 10= 6x y 10lg =αF 2F 1A 2A 1N M y xO S N AB C M D 理科数学试题满分120分，120分钟一、（本题满分10分）本题共有5小题，每小题2分 1．两条异面直线，指的是 A.在空间内不相交的两条直线. B.分别位于两个不同平面内的两条直线. C.某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线.D.不在同一平面内的两条直线.2．方程220x y -=表示的图形是A.两条相交直线B.两条平行直线C.两条重合直线D.一个点3．三个数,,a b c 不全为零的充要条件是 A.,,a b c 都不是零B.,,a b c 中最多有一个是零C.,,a b c 中只有一个是零D.,,a b c 中至少有一个不是零4．设,34π=α则)arccos(cos α的值是 A.34π B.32π- C.32π D.3π5．3.0222,3.0log,3.0这三个数之间的大小顺序是 A.3.0log 23.023.02<< B.3.02223.0log 3.0<< C.3.02223.03.0log <<D.23.023.023.0log << 二、（本题满分12分）1．在同一平面直角坐标系内，分别画出两个方程y =y x -=的图形，并写出它们交点的坐标.2．在极坐标系内，方程θ=ρcos 5表示什么曲线？画出它的图形. 三、（本题满分12分） 1.已知x e y x2sin -=，求微分dy .2.一个小组共有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学要从小组内选出3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法.计算行列式（要求结果最简）：五、（本题满分15分） 1.证明：对于任意实数t ，复数 i t t z |sin ||cos |+=的模||z r =适合42≤r . 2.当实数t 取什么值时，复数 i t t z |sin ||cos |+=的幅角主值θ适合40π≤θ≤？六、（本题满分15分）如图，在三棱锥S ABC -中，S 在底面上的射影N 位于底面的高CD 上；M 是侧棱SC 上的一点，使截面MAB 与底面所成的角等于∠NSC ，求证SC 垂直于截面MAB .七、（本题满分16分）如图，已知椭圆长轴12||6A A =，焦距12||F F =，过椭圆焦点1F 作一直线，交椭圆于两点,M N .设21F F M α∠= (0)απ≤<，当α取什么值时，|MN |等于椭圆短轴的长？ϕϕϕβϕ-ββαϕ+ααcos 2cos sin sin )sin(cos cos )cos(sin八、（本题满分16分）已知数列{}n a 的首项1(0)a b b =≠，它的前n 项的和12n n S a a a =+++(1)n ≥,并且123,,,S S S 是一个等比数列，其公比为(0p p ≠且|p |＜1）.1.证明：234,,,,,n a a a a (即{}n a 从第二项起）是一个等比数列.2.设1122n n n W a S a S a S =+++ (1)n ≥ ,求n n W ∞→lim （用,b p 表示）.九、（本题满分12分） 1.已知,a b 为实数，并且e a b <<，其中e 是自然对数的底，证明baa b >. 2.如果正实数,a b 满足baa b =.且1a <，证明a b =.1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案（这份试题共八道大题，满分120分.第九题是附加题，满分10分，不计入总分）一、（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分.1．数集{}(21),X n n Z π=+∈与数集{}(41),Y n k Z π=±∈之间的关系是（ C ） A.X ⊂Y B.X ⊃Y C.X =Y D.X ≠Y2．如果圆220x y Gx Ey F ++++=与x轴相切于原点，那么 A.0,0,0F G E =≠≠ B.0,0,0E F G ==≠ C.0,0,0G F E ==≠ D.0,0,0G E F ==≠ 3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[812---n n 的值 A.一定是零 B.一定是偶数 C.是整数但不一定是偶数 D.不一定是整数 4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 A.]1,0(∈x B.)0,1(-∈x C.]1,0[∈x D.]2,0[π∈x 5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2θA.是第一象限角B.是第三象限角C.可能是第一象限角，也可能是第三象限角D.是第二象限角二、（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分 1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积.2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？3．求方程21)cos (sin 2=+x x 的解集. 4．求3)2||1|(|-+x x 的展开式中的常数项.5．求1321lim +-∞→n nn 的值.6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）. 三、（本题满分12分）本题只要求画出图形.1．设0(0)()1(0)x H x x ≤⎧=⎨>⎩，画出函数(1)y H x =-的图象.2．画出极坐标方程)0(0)4)(2(>ρ=π-θ-ρ的曲线.四、（本题满分12分）已知三个平面两两相交，有三条交线.求证这三条交线交于一点或互相平行.五、（本题满分14分）设,,c d x 为实数，0c ≠，x 为未知数讨论方程1log)(-=+x xd cx 在什么情况下有解，有解时求出它的解. 六、（本题满分16分）1．设0≠p ，实系数一元二次方程022=+-q pz z 有两个虚数根12,z z .再设12,z z 在复平面内的对应点是1,Z Z 以12,Z Z 为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长.（7分）2．求经过定点(1,2)M ，以y 轴为准线，O /C P E yxO F DB AAC 离心率为21的椭圆的左顶点的轨迹方程.（9分）七、（本题满分15分）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为,,a b c ，且c =10，34cos cos ==a b B A ，P 为△ABC 的内切圆上的动点.求点P 到顶点,,A B C 的距离的平方和的最大值与最小值.八、（本题满分12分）设2a >，给定数列{}n x ,其中1x a =,)2,1()1(221 =-=+n x x x n nn .求证：1．2n x >，且11(1,2)n nxn x +<=；2．如果3a ≤，那么112(1,2)2n n x n -≤+=；3．如果3a >，那么当lg34lg 3a n ≥ 时，必有13n x +<.九、（附加题，本题满分10分，不计入总分）如图，已知圆心为O ，半径为1的圆与直线l 相切于点A ，一动点P 自切点A 沿直线l 向右移动时，取弧的长为AP 32，直线PC 与直线AO 交于点M .又知当AP =43π时，点P 的速度为v .求这时点M 的速度.(A )a 2xO xO OxaO xa 1985年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题满分120分，120分钟一、（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对的得3分、不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分1．如果正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为a ，那么四面体A ABD '-的体积是A .32aB .33aC .34aD .36a .2．tan 1x =是54x π=的A .必要条件B .充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要的条件3．在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间)2,0(π上的增函数又是以π为周期的偶函数？ A .).(2R x x y ∈= B .)(|sin |R x x y ∈= C.)(2cos R x x y ∈= D.)(2sin R x ey x ∈= 4．极坐标方程)0(sin >θ=ρa a 的图象是A BC D5．用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有 A.96个 B.78个 C.72个 D.64个二、（本题满分20分）本题共5小题，每一个小题满分4分.只要求直接写出结果） 1．求方程1)6sin(2=π+x 解集．2．设1||≤a ，求)arccos(arccos a a -+的值．3．求曲线64162+-=x y 的焦点． 4．设66565(31)x a x a x -=+++ 10a x a +,求6510a a a a ++++的值． 5．设函数()f x 的定义域是[]0,1，求函数2()f x 的定义域．三、（本题满分14分）1．解方程40.25log (3)log (3)x x -++40.25log (1)log (21)x x =-++．2．解不等式.152+>+x x四、（本题满分15分）如图，设平面AC 和BD 相交于BC ，它们所成的一个二面角为450，P 为平面AC 内的一点，Q 为面BD 内的一点．已知直线MQ 是直线PQ 在平面BD 内的射影，并且M 在BC 上．又设PQ 与平面BD 所成的角为β，∠CMQ (090)θθ=︒<<︒，线段PM 的长为a ，求线段PQ 的长．-θθZ 2Z 1O x y五、（本题满分15分）设O 为复平面的原点，1Z 和2Z 为复平面内的两动点，并且满足：（1）1Z 和2Z 所对应的复数的辐角分别为定值θ和θ-)20(π<θ<；（2）△12OZ Z 的面积为定值S ．求△12OZ Z 的重心Z 所对应的复数的模的最小值.六、（本题满分15分）已知两点(2,2),(0,2)P Q -以及一条直线l ：y x =．设长为2的线段AB 在直线l 上移动，如图求直线PA 和QB 的交点M的轨迹方程（要求把结果写成普通方程）．七、（本题满分14分）设(n a n n =++（1,2n =）．（1）证明不等式2)1(2)1(2+<<+n a n n n 对所有的正整数n 都成立．（2）设),2,1()1( =+=n n n a b nn 用定义证明1lim 2n n b →∞=．八、（本题满分12分）设,a b 是两个实数，{(,),,A x y x n y na b n ===+是整数}，2{(,),315,B x y x m y m m ===+是整数}，22{(,)144}C x y x y =+≤是平面xOy 内的点集合，讨论是否存在a 和b 使得：（1）A ∩B ≠φ（φ表空集），（2）(,)a bC ∈同时成立. 九、（附加题，本题满分10分）已知曲线326116y x x x =-+-.在它对应于]2,0[∈x 的弧段上求一点P ，使得曲线在该点的切线在y 轴上的截距为最小，并求出这个最小值．G 3G 2G 1S F E-θθεD1986年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题满分120分，120分钟一、（本题满分30分）1．在下列各数中，已表示成三角形式的复数是 A ．)4sin 4(cos2π-πi B ．)4sin 4(cos 2π+πiC ．)4cos 4(sin 2π-πiD ．)4cos 4(sin 2π-π-i2．函数1)2.0(+=-x y 的反函数是A ．1log 5+=x yB ．15log +=x yC ．)1(log 5-=x yD ．1log 5-=x y 3．极坐标方程34cos =θρ表示 A ．一条平行于x 轴的直线 B ．一条垂直于x 轴的直线 C ．一个圆 D ．一条抛物线4．函数x x y 2cos 2sin 2=是 A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为2π的偶函数 C ．周期为4π的奇函数D ．周期为4π的偶函数5．给出20个数： 87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．它们的和是A ．1789B ．1799C ．1879D ．1899 6．设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，那么丁是甲的 A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件7．如果方程220x y Dx Ey F ++++=22(40)D E F +->所表示的曲线关于直线y x =对称，那么必有 A ．D E = B ．D F = C ．E F = D ．D E F ==8．在正方形123SG G G 中，,E F 分别是12G G 及23G G 的中点，D 是EF 的中点，现在沿,SE SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使123,,G G G 三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S EFG-中必有 A ．SG ⊥△EFG 所在平面 B ．SD ⊥△EFG所在平面C ．GF ⊥△SEF 所在平面D ．DG ⊥△SEF 所在平面 9．在下列各图中，2y ax bx =+与(0)y ax b ab =+≠的图象只可能是A ．B ．C ．D ．10．当]0,1[-∈x 时，在下面关系式中正确的是A ．21arcsin )arccos(x x -=--πB ．21arccos )arcsin(x x -=--πC ．21arcsin arccos x x -=-πD ．21arccos arcsin x x -=-π 二、（本题满分24分） 1．求方程4)5.0(5252=-+x x 的解．2．已知1,2312+ω+ω--=ω求i 的值．3．在xoy 平面上，四边形ABCD 的四个顶点坐标依次为(0,0)，(1,0)，(2,1)，(0,3)．求这个四边形绕x 轴旋转一周所得O P y x P 2P 1M (-1,0)l 2l 1F (1,0)O C B A yx 到的几何体的体积．4．求11)2(3)2(3lim ++∞→-+-+n n nn n ．5．求523)12(xx -展开式中的常数项．6．已知1sin cos 2θθ-=，求33sin cos θθ-的值．三、（本题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆周上不同于,A B 的任一点，求证：平面PAC 垂直于平面PBC ．四、（本题满分12分）当sin 20x >时,求不等式)13(log )152(log 5.025.0+>--x x x 的解集．五、（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，在y 轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点,A B ．试在x 轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C ，使∠ACB 取得最大值．六、（本题满分10分）已知集合A 和集合B 各含有12个元素，A B 含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C 的个数：（1）C A B ⊂且C 中含有3个元素，（2）C A φ≠（φ表示空集）．七、（本题满分12分）过点(1,0)M -的直线1l 与抛物线24y x =交于12,P P 两点．记：线段12P P 的中点为P ；过点P 和这个抛物线的焦点F 的直线为2l ；1l 的斜率为k ．试把直线2l 的斜率与直线1l 的斜率之比表示为k 的函数，并指出这个函数的定义域、单调区间，同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数．八、（本题满分12分）已知110,1x x >≠，且212(3)(1,2,)31n n n n x x x n x ++==+．试证：数列{}n x 或者对任意自然数n 都满足1n n x x +<,或者对任意自然数n 都满足1n n x x +>．九、（附加题，本题满分10分） 1．求2arctan y x x =的导数． 2．求过点(1,0)-并与曲线21++=x x y 相切的直线方程．1987年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题满分120分，120分钟一、（本题满分24分）本题共有8个小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内选对的得3分）1．设S，T是两个非空集合，且S T，T S，令X S T=，那么S X=A．X B．T C．φ D．S2．设椭圆方程为22221x ya b+=(0)a b>>，令22bac-=，那么它的准线方程为A．cay2±= B．cby2±=C．cax2±= D．cbx2±=3．设,a b是满足0ab<的实数，那么A．|a b+|>|a b-|B．|a b+|<|a b-|C．|a b-|<||a|-|b||D．|a b-|<|a|+|b|4．已知,,,E F G H为空间中的四个点，设命题甲：点,,,E F G H不共面，命题乙：直线EF和GH不相交．那么A．甲是乙的充分条件，但不是必要条件B．甲是乙的必要条件，但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲不是乙的充分条件，也不是乙必要条件5．在区间)0,(-∞上为增函数的是A．)(log21xy--= B．xxy-=1C．2)1(+-=xy D．21xy+=6．要得到函数)32sin(π-=xy的图象，只需将函数xy2sin=的图象（图略）A．向左平行移动3πB．向右平行移动3πC．向左平行移动6πD．向右平行移动6π7．极坐标方程θ+θ=ρcos2sin所表示的曲线是A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线8．函数])2,2[)(arccos(cosππ-∈=xxy的图象是A．B．C．D．二、（本题满分28分）本题共7小题，每一个小题满分4分只要求写出结果1．求函数3x2tgy=的周期2．已知方程22121x yλλ-=++表示双曲线，求λ的范围.3．若(1)nx+的展开式中，3x的系数等于x的系数的7倍，求n.4．求极限222122lim111nnn n n→∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭.5．在抛物线24y x=上求一点，使该点到直线45y x=-的距离为最短.6．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数求这种五位数的个数.7．一个正三棱台的下底和上底的周长分别为30cm和12cm，而侧面积等于两底面积之差，求斜高.三、（本题满分10分）求︒︒︒︒70sin50sin30sin10sin的值.⊆⊆AB C E D P四、（本题满分12分）如图，三棱锥P ABC -中，已知PA BC ⊥，PA BC l ==，,PA BC 的公垂线ED h =.求证三棱锥P ABC -的体积216V l h =.五、（本题满分12分）设对所有实数x ，不等式2222224(1)2(1)log 2log log 014a a a x x a a a++++>+恒成立，求a 的取值范围.六、（本题满分12分，共2个小题）设复数12z z 和满足关系式12120z z Az Az ++=，其中A 为不等于0的复数.证明：（1）212||||||z A z A A ++=；（2）1122z A z Az A z A++=++. 七、（本题满分12分，共3个小题）设数列 ,,,,21n a a a 的前n 项的和nS 与n a 的关系是,)1(11nn n b ba S +-+-=其中b 是与n 无关的常数，且1b ≠-. （1）求1-n n a a 和的关系式;（2）写出用n 和b 表示n a 的表达式; （3）当10<<b 时，求极限n n S ∞→lim .八、（本题满分10分）定长为3的线段AB 的两端点在抛物线2y x =上移动，记线段AB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求此时点M 的坐标.九、（附加题，本题满分10分，共2个小题，每小题5分，不计入总分）（1）求极限1lim 12xn x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）设y ),x 1ln(x y 2'+=求.。

1977年上海市高考数学试卷(理科)

1977年上海市高考数学试卷（理科）一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）（1997•上海）（1）化简；（2）计算；（3），验算i是否方程2x4+3x3﹣3x2+3x﹣5=0的解；（4）求证：．2．（10分）（1997•上海）在△ABC中，∠C的平分线交AB于D，过D作BC的平分线交AC于E，已知BC=a，AC=b，求DE的长．3．（10分）（1997•上海）已知圆A的直径为，圆B的直径为，圆C的直径为2，圆A与圆B外切，圆A又与圆C外切∠A=60°，求BC及∠C．4．（10分）（1997•上海）正六棱锥V﹣ABCDEF的高为2cm，底面边长为2cm．（1）按1：1画出它的三视图；（2）求其侧面积；（3）求它的侧棱和底面的夹角．5．（10分）（1997•上海）解不等式并在数轴上把它的解表示出来．6．（10分）（1997•上海）已知两定点A（﹣4，0）、B（4，0），一动点P（x，y）与两定点A、B的连线PA、PB的斜率的乘积为，求点P的轨迹方程，并把它化为标准方程，指出是什么曲线．7．（10分）（1997•上海）等腰梯形的周长为60，底角为60°，问这梯形各边长为多少时，面积最大？8．（10分）（1997•上海）当k为何值时，方程组有两组相同的解，并求出它的解．9．（10分）（1997•上海）如图所示，半圆O的直径为2，A为半圆直径的延长线上的一点，且OA=2，B为半圆上任一点，以AB为边作等边△ABC，问B在什么地方时，四边形OACB的面积最大？并求出这个面积的最大值．10．（10分）（1997•上海）已知曲线y=x2﹣2x+3与直线y=x+3相交于点P（0，3）、Q（3，6）两点．（1）分别求出曲线在交点的切线的斜率；（2）求出曲线与直线所围成的图形的面积．1977年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）（1997•上海）（1）化简；（2）计算；（3），验算i是否方程2x4+3x3﹣3x2+3x﹣5=0的解；（4）求证：．考点：对数的运算性质；复数的基本概念；三角函数恒等式的证明．专题：计算题；综合题．分析：（1）利用平方和公式、同分，然后化简即可．（2）利用对数的运算性质，化简即可．（3）把i代入方程验证即可．（4）三角方程的左边利用诱导公式化简即可．解答：解：（1）原式=．（2）==（3）令x=i，左边=2﹣3i+3+3i﹣5=0，所以i是所给方程的一个解．（4）证：左边=====右边．点评：本题考查对数的运算性质，复数的基本概念，三角函数恒等式的证明，考查计算能力，是基础题．2．（10分）（1997•上海）在△ABC中，∠C的平分线交AB于D，过D作BC的平分线交AC于E，已知BC=a，AC=b，求DE的长．考点：相似三角形的性质；相似三角形的判定．专题：计算题．分析：根据线线平行得角相等，再结合角平分线可得三角形相似，由相似三角形的性质找出对应边成比例．然后根据已知边的长求出边DE的长．解答：解：∵DE∥BC，∴∠1=∠3．又∠1=∠2，∴∠2=∠3DE=EC由△ADE∽△ABC，∴，b•DE=ab﹣a•DE，故．点评：本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．3．（10分）（1997•上海）已知圆A的直径为，圆B的直径为，圆C的直径为2，圆A与圆B外切，圆A又与圆C外切∠A=60°，求BC及∠C．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题．分析：根据题意可求得AC和AB，再根据余弦定理求得BC，最后利用正弦定理求得sinC，进而求得C．解答：解：由已知条件可知，AC=，AB=2，∠CAB=60°根据余弦定理，可得BC=（1+）2+4﹣2cos60°（1+）•2=．由正弦定理，则，∴∠C=45°．点评：本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用．余弦定理和正弦定理是解三角形问题中常用的方法，应该熟练记忆．4．（10分）（1997•上海）正六棱锥V﹣ABCDEF的高为2cm，底面边长为2cm．（1）按1：1画出它的三视图；（2）求其侧面积；（3）求它的侧棱和底面的夹角．考点：简单空间图形的三视图；由三视图求面积、体积；直线与平面所成的角．专题：计算题．分析：（1）由正六棱锥V﹣ABCDEF的高为2cm，底面边长为2cm．易得其正视图为高为2cm，底边长为4cm三角形，侧视图为高为2cm，底面长为2cm三角形，俯视图为边长为2cm的正六边形．（2）其侧面积等于六个全等的三角形面积的和，由已知中的高及底面边长，我们易求出侧高，进行得到侧面积．（3）由（2）中侧高的长，我们可以计算出侧棱的长，进而易得侧棱与底面的夹角．解答：解：（1）按1：1画出正六棱锥V﹣ABCDEF的三视图，如右图示：（2）斜高为（cm），故侧面积=（cm2）（3）侧棱长为=2，侧棱与底面的夹角的正弦值为=故侧棱和底面的夹角45°．点评：正棱锥（台、柱）的侧面是n个全等的三角形（等腰梯形、矩形），我们只要求出一个侧面的面积，乘以n即可得到侧面积．5．（10分）（1997•上海）解不等式并在数轴上把它的解表示出来．考点：一元二次不等式的解法．分析：分别求解不等式，再求其交集即可．解答：解：解不等式得即﹣4≤x＜﹣2或3＜x≤4点评：注意到数形结合，数轴的运用可帮助更快解题．6．（10分）（1997•上海）已知两定点A（﹣4，0）、B（4，0），一动点P（x，y）与两定点A、B的连线PA、PB的斜率的乘积为，求点P的轨迹方程，并把它化为标准方程，指出是什么曲线．考点：轨迹方程；椭圆的定义．分析：欲求点P的轨迹方程，只须寻找它的坐标x，y间的关系式即可，利用题中斜率的乘积为列式化简即得．最后将把它化为标准方程，指出是什么曲线即可．解答：解：∵A（﹣4，0）、B（4，0），P（x，y）因为直线PA、PB的斜率存在，所以x≠±4∴直线PA、PB的斜率分别是，．由题意：PA、PB的斜率的乘积为，得：，化简得，∴点P的轨迹的标准方程为，x≠±4，它表示椭圆除去x轴上的两个顶点，故此曲线为椭圆，除去x轴上的两个顶点．点评：本题考查了轨迹方程、椭圆的定义．直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．7．（10分）（1997•上海）等腰梯形的周长为60，底角为60°，问这梯形各边长为多少时，面积最大？考点：基本不等式．分析：设等腰梯形的腰长为x，利用x表达出梯形的面积，转化为求函数的最值问题．解答：解：设等腰梯形的腰长为x，则有AE=，BE=，=．等腰梯形ABCD的面积==（BC+AE）•BE===．由此可知，当且仅当x=15时等腰梯形的面积最大．此时，腰AB=CD=x=15，上底BC=7.5，下底AD=BC+2AE=22.5．点评：本题考查函数的应用，求函数关系式和最值，难度不大，要充分结合图形表达各边长．8．（10分）（1997•上海）当k为何值时，方程组有两组相同的解，并求出它的解．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：将两式联立，消元，转化为关于x的二次方程的根的问题，判断△的情况即可．解题中注意挖掘题目隐含的条件：由（1），x≥0，y≥2，注意检验．解答：解：由（1），x≥0，y≥2．由（2），y=kx﹣2k﹣10．代入（1），得，x2﹣kx+（2k+12）=0此方程有二等根的条件是判别式为零，即k2﹣4（2k+12）=0，k2﹣8k﹣48=0，（k﹣12）（k+4）=0，k1=12，k2=﹣4（增根）∴当k=12时，x=6，y=38．点评：本题考查方程组的解的问题、二次方程根的问题，同时考查消元思想和等价转化思想的运用．9．（10分）（1997•上海）如图所示，半圆O的直径为2，A为半圆直径的延长线上的一点，且OA=2，B为半圆上任一点，以AB为边作等边△ABC，问B在什么地方时，四边形OACB的面积最大？并求出这个面积的最大值．考点：在实际问题中建立三角函数模型．专题：计算题．分析：本题考查的知识是余弦定理，及正弦型函数的性质，由于∠AOB的大小不确定，故我们可以设∠AOB=θ，并根据余弦定理，表示出△ABC的面积及△OAB的面积，进而表示出四边形OACB的面积，并化简函数的解析式为正弦型函数的形式，再结合正弦型函数最值的求法进行求解．解答：解：四边形OACB的面积=△OAB的面积+△ABC的面积设∠AOB=θ，则△ABC的面积===△OAB的面积=•OA•OB•sinθ=•2•1•sinθ=sinθ四边形OACB的面积==∴当θ﹣60°=90°，即θ=150°时，四边形OACB的面积最大，其最大面积为．点评：函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A确定，由周期由ω决定，即要求三角函数的周期与最值一般是要将其函数的解析式化为正弦型函数，再根据最大值为|A|，最小值为﹣|A|，周期T=进行求解．10．（10分）（1997•上海）已知曲线y=x2﹣2x+3与直线y=x+3相交于点P（0，3）、Q（3，6）两点．（1）分别求出曲线在交点的切线的斜率；（2）求出曲线与直线所围成的图形的面积．考点：导数的运算；定积分．专题：常规题型．分析：（1）函数y=f（x）在某点的导数值即为在该点的斜率，所以只要求出该点的导数值即可．（2）求图形的面积，根据图形只要求出梯形OAQP的面积与曲边梯形OAQP的面积，求曲边梯形OAQP的面积，用定积分求，再求它们之差即可．解答：解：（1）∵y=x2﹣2x+3，∴y′=2x﹣2，∴过点（0，3）的切线斜率k1=y′|x=0=﹣2．过点（3，6）的切线斜率k1=y′|x=3=4．（2）设所求的带阴影的图形的面积为S，则S为梯形OAQP的面积与曲边梯形OAQP的面积的差．而梯形OAQP的面积=．曲边梯形OAQP的面积=∴．答：（1）过点（0，3）的切线斜率为﹣2．过点（3，6）的切线斜率为4．（2）曲线与直线所围成的图形的面积为4.5．点评：函数y=f（x）在某点的导数值即为在该点的斜率，过（x．y．）点的切线方程为：y﹣y．=y'|x=x．（x ﹣x．）；求曲边梯形的面积，常用定积分求．。

数学试卷77年普通高等试全国各省市高考数学试题及解答(汇总

1977年全国各省市高考数学试题及解答北京市（理科）1．解方程.31x x -=-解：将两边平方，得 x 2-1=9-6x+x,即x 2-7x+10=0,(x-2)(x-5)=0, ∴x=2,x=5。

经检验x=5是增根，故原方程的解是x=2。

2．计算121222021-++-.122:+=原式解3.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg 45。

解：lg 45=21lg 21032⨯=0.8266。

解：由x+y-7=03x-y-1=0, 解得x=2,y=5。

过点（2，5）和（1，1）的直线方程为y=4x-3。

解：如图（列表，描点）略。

解：由已知条件及图可得AC=20海里，∠BAC=450，∠ABC=300。

由正弦定理可得9．有一个圆内接三角形ABC ，∠A 的平分线交BC 于D ，交外接圆于E ，求证：AD ·AE=AC ·AB 。

1997-数一真题、标准答案及解析

n n ♥ 1997 年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析一、填空题3sin x + x 2 cos 1（1） limx = . x →0 (1+ cos x )ln (1+ x )3 【答】.23sin x + x 2 cos 1 limx = 3 lim sin x +lim1 x cos 1 【详解】原式＝ x →0 2x2 x →0 x x →0 2 x =3 + 0 = 3 . 2 2∞∞（2）设幂级数∑ a x n 的收敛半径为 3，则幂级数∑ n a ( x -1)n +1的收敛区间为 .n =0【答】(-2, 4). n =1【详解】根据幂级数的性质，逐项求导后，得∑ n a x n -1 的收敛半径仍为 3，故n =1∞∞∑ n a ( x -1)n +1= ( x -1)2 ∑ n a ( x -1)n -2n =1的收敛区间为 nnn =1x -1 < 3, 即(-2, 4) .（3）对数螺线 ρ = e θ 在点处切线的直角坐标方程为.【答】 πx + y = e 2 . 【项解 1】由于 x = ρ cos θ , y = ρ sin θ , 螺线方程 ρ = e θ 可化为♣x = e θ cos θ ,♦ y = e θsin θ .dysin θ + cos θππ由于|π =| π = -1, 且当θ = 时， x = 0, y = e 2 .dx θ = 2cos θ - sin θ θ = 2 2故所求切线方程为∞ n♦ π ♥π【详解 2】y - e 2 = -1⋅( x - 0), 即 x + y = π .2螺线方程 ρ = e θ 可化为隐函数方程：= yarctan ,xπ利用隐函数求导法，得在点 0, e 2 处的导数为 y ' (0) = -1, 故所求切线方程为y - e 2 = -1⋅( x - 0), 即 x + y = π .2ϒ1 2 -2/ （4）设 A = '4 t 3 ∞ , B 为三阶非零矩阵，且 AB = 0, 则 t= .' ∞【答】 -3.'≤3 -1 1 ∞ƒ【详解】由于 B 为三阶非零矩阵，且 AB = 0, ，可见线性方程组 Ax = 0 存在非零解，故1 2 -2A = 4 t 3 = 0 ⇒ t = -3.3 -1 1(5)袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个是黄球，30 个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是.2 【答】 .5【详解】设 A = {第一个人取出的为黄球}, B = {第一个人取出的为白球}，C = {第二个人取出的为黄球}. 2 3 19 20则P ( A ) = , P ( B ) = , P (C | A ) = , P (C | B ) = .5 5 49 49由全概率公式知：P (C ) = P ( A )⋅ P (C | A ) + P ( B )⋅ P (C | B )= 2 ⨯ 9 + 3 ⨯ 20 = 19 = 2 .5 49 5 49 49 5二、选择题♣ xy, ( x , y ) ≠ (0, 0) （1）二元函数 f ( x , y ) = ♠x 2 + y 2 ♠0, ( x , y ) = (0, 0) ，在点(0, 0) 处()==b2'（A）连续，偏导数存在. （B）连续，偏导数不存在.（C）不连续，偏导数存在. (D) 不连续，偏导数不存在.【】【答】应选（C）.【详解】由偏导数的定义知f (0 +A x, 0)-f (0, 0)f 0, 0 lim 0,xA x→0A x而当y =kx, 有limxy= lim x ⋅kx =k,(x, y)→(0,0)x2 +y2x→0 x2 +k 2 x21+k 2当k 不同时，k不同，故极限limxy不存在，因而f (x, y )在点(0, 0)处不连续，1+k 2(x, y)→(0,0)x2 +y2可见，应选（C）.(2)设在区间[a, b]上f (x)> 0, f ' (x)< 0, f '' (x)> 0 ，令S =⎰a f(x)dx,S2=f (b)(b -a), S3=1 ϒ≤f (a)+f (b)/ƒ(b -a)，则（A） S1 <S2 <S3.(C) S3 <S1 <S2.(B) S2 <S1 <S3.(D) S2 <S3 <S1.【】【答】应选（B）.是有 f (x)>f (b),1⎰ / x⎰ ⎰ f ( x ) < f (a ) +从而f (b ) - f (a ) b - a( x - a ), a < x < b .S 1 = ⎰af (x )dx > f (b )(b - a ) = S 2, S = b f ( x )dx < b ϒ f (a ) + f (b ) - f (a ) ( x - a )∞dx a a ≤ b - a ƒ= 1ϒ f (a ) + f (b )/ (b - a ) = S .2 ≤ƒ 3 即 S 2 < S 1 < S 3 ,故应选（B ）. (3)设 F ( x ) =⎰x +2π e sin t si n tdt , 则 F ( x )（A ）为正常数. （B ）为负常数. （C ）恒为零.（D ）不为常数.【】【答】应选（A ）.【详解】由于e sin t sin t 是以2π 为周期的，因此F ( x ) = ⎰x +2πesin tsin tdt = ⎰2πe sin t s in tdtx= - 2πe sin t d cos t= 0 + 2πcos 2 t ⋅ e sin t dt > 0.故应选（A ）.ϒ a 1 / ϒb 1 / ϒc 1 / （4）设α = 'a ∞ ,α = 'b ∞ ,α = 'c ∞, 则三条直线 1 ' 2 ∞ 2 ' 2 ∞ 3 ' 2 ∞ '≤a 3 ∞ƒ '≤b 3 ∞ƒ '≤c 3 ∞ƒa x +b y +c = 0, a x + b y + c = 0, a x + b y + c = 0 （其中 a 2 + b 2 ≠ 0, i = 1, 2, 3 ）交于一111222333ii点的充要条件是（A ） α1,α2,α3 线性相关.（B ） α1,α2,α3 线性无关.（C ）秩 r (α1,α2,α3 ) ＝秩 r (α1,α2)（D ） α1,α2,α3 线性相关， α1,α2 线性无关.【】【答】应选(D).【详解】由题设，三条直线相交于一点，即线性方程组1 b♣ y 2= 2z ♣ 0♣ a 1x + b 1 y + c 1 = 0 ♠a x + b y + c = 0 ♦ 2 2 2 ♠a x + b y + c = 0 ♥ 333有唯一解，其充要条件为秩秩 r (α1,α2,α3 ) ＝秩 r (α1,α2 ) ＝2.（A ）、（C ）必要但非充分；（B ）既非充分又非必要；只有（D ）为充要条件，故应选（D ）. （5）设两个相互独立的随机变量 X 和Y 的方差分别为 4 和 2，则随机变量3X - 2Y 的方差是（A ）8.（B ）16.（C ）28.（D ）44.【】【答】应选（D ）.【详解】 D (3X - 2Y ) = 32 D ( X ) + 22 D (Y ) = 9 ⨯ 4 + 4⨯ 2 = 44.三、（1）计算 I = ⎰⎰⎰(x 2+ y 2)dV , 其中Ω 为平面曲线♦ 绕 z 轴旋转一周形成的曲面Ω与平面 z = 8 所围成的区域.【详解】利用柱面坐标，积分区域可表示为♥ x = 0Ω= ♦(θ , r , z ) | 0 ≤ θ ≤ 2π , 0 ≤ r ≤ 4, r ♥ 2 ↔ 8←,↑于是2π4824 3r 2I = ⎰ d θ ⎰ rdr ⎰r 2 r d z = 2π ⎰ r8 - 2 dr0 0 2 = 1024π .3♣ x 2 + y 2 = 1（2）计算曲线积分 °⎰ ( z - y )dx + ( x - z ) d y + ( x - y ) d z , 其中C 是曲线♦x - y + z = 2 ,C ♥从 z 轴正向往 z 轴负向看， C 的方向是顺时针的. 【详解 1】令 x = cos θ , y = sin θ , 则 z = 2 - x + y = 2 - cos θ + sin θ由于曲线C 是顺时针方向，其起点和终点所对应θ 值分别为θ = 2π ,θ = 0.于是°⎰ ( z - y )dx + ( x - z ) dy + ( x - y ) dzC= ⎰2π - ϒ≤2 (s in θ + co s θ ) - 2 co s 2θ -1/ƒd θ≤ z ≤ 2♠ d t = ♥ =- ϒ≤2(cos θ + sin θ ) - sin 2θ -θ /ƒ|【详解 2】2π= -2π .设∑ 是平面 x - y + z = 2 以 C 为边界的有限部分，其法向量与 Z 轴负向一致， D xy 为∑ 在xOy 面上的投影区域.记F = ( z - y )i + ( x - z ) j + ( x - y ) k ,则= 2k .根据斯托克斯公式知°⎰ ( z - y )dx + ( x - z ) dy + ( x - y ) dz = ⎰⎰ rotFdSC∑= ⎰⎰ 2dxdy = -⎰⎰ 2dxdy∑= -2π .D xy（3）在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的，设该人群的总人数为 N , 在t = 0 时刻已掌握新技术的人数为 x 0, 在任意时刻t 已掌握新技术的人数为 x (t ) （将 x (t )视为连续可微变量），其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数 k > 0, 求 x (t ).【详解】由题设，有♣ d x= kx ( N - x ) ♦,原方程可化为♠♥ x (0) = x 0 dx= kdt ,x ( N - x )积分，得代入初始条件，得NCe kNt x ,1+ Ce kNtNx e kNtx = 0N - x + x e kNt♣ x + y + b = 0 2 2四、（1）设直线 l : ♦x + ay - z - 3 = 0在平面π 上，而平面π 与曲面 z = x + y 相切于点x y z♥ ♥ (1, -2, 5) ，求 a 、b 之值.【详解 1】令 F ( x , y , z ) = x 2 + y 2 - z ，则 F ' = 2x , F ' = 2 y , F ' = -1.在点(1, -2, 5) 处曲面得法向量为n = {2, -4, -1} ，于是切平面方程为2 ( x -1) - 4 ( y + 2) - ( z - 5) = 0,即2x - 4 y - z - 5 = 0.♣ x + y + b = 0 由l : ♦x + ay - z - 3 = 0 ，得 x - b , z = x - 3 + a (-x - b ) 代入平面π 方程，得2x + 4x + 4b - x + 3 + ax + ab - 5 = 0,有5 + a = 0, 4b + ab - 2 = 0.由此解得a = -5,b = -2【详解 2】由方法一知，平面π 方程为2π - 4 y - z - 5 = 0.♣ x + y + b = 0 过直线l : ♦x + ay - z - 3 = 0 的平面束为x + y + b + κ ( x + ay - z - 3) = 0,即(1+ λ ) x + (1+ a λ ) y - λ z + b - 3λ = 0.其与平面π 重合，要求1+ λ = 1+ a λ = -λ = b - 3λ ,2 -4 -1 -5解得λ = 1, a = -5, b = -2x∂2 z ∂2 z2x（ 2）设函数 f (u ) 具有二阶连续导数，而 z =f (u ) .【详解】f (e sin y) 满足方程 ∂x 2+ ∂y2= e z , 求x →0 12 n 1∂z= f ' (u ) e x sin y , ∂z= f ' (u ) e x cos y , ∂x ∂2z = ∂x 2 f '(u ) e x ∂y sin y + f'' (u ) e 2 xsin 2 y , ∂2 z =- 'x'' 2 x 2 ∂y 2f (u )e sin y + f (u ) e cos y ,∂2 z ∂2 z 2 x''代入方程∂x 2 + ∂y2 = e z , 得f (u ) - f (u ) = 0.解此方程得f (u ) = C e u + C e -u （其中C , C 为任意常数）.12121f ( x ) ' '五、设 f ( x ) 连续，ϕ ( x ) = ⎰0 f ( xt )dt , 且lim x= A （ A 为常数），求ϕ ( x ) 并讨论ϕ ( x ) 在 x = 0 处的连续性.【详解】由题设limx →0f ( x )x= A 知， f (0) = 0, f' (0) = A , 且有ϕ (0) = 0.又ϕ ( x ) = ⎰0f ( xt )dtu = xt f (u )du x( x ≠ 0),于是 ϕ ' ( x ) =xf ( x ) - ⎰0 x2f (u )du( x ≠ 0)由导数定义，有xϕ '(0) = lim ⎰0f (u )du = lim f ( x ) = A .x →0x 2而x →02x2xxlim ϕ ' ( x ) = limxf ( x ) - ⎰0f (u )du= lim f ( x ) - lim ⎰0 f (u )dux →0x →0x 2x →0 x x →0 x 2= A - A = A= ϕ ' (0)2 2可见， ϕ ' ( x )在 x = 0 处的连续性.六、设a 1 = 2, a n +1 = 1 a +, (n = 1, 2,…), 证明： a nx x⎰0na n →∞1 2 3 （1） lim a 存在； n →∞∞a n（2）级数∑ a-1 收敛.n =1n +1【详解】（1）因为a - a = 1 + 1 - a1- a 2 = n , n +1 2 n1 1a n2a n 而a n +1 = 2 a n + a ≥= 1, n于是有 a n +1 - a n ≤ 0, 故数列{a n } 单调递减且有下界，所以lim a n 存在.(2)方法一：由（1）知 0 ≤a n-1 =a n - a n +1≤ a - a .a a nn +1 n +1n +1∞∞由于级数∑(a n - a n +1 ) 的部分和数列 S n = ∑(a k - a k +1 ) = a 1 - a n +1 的极限lim S n 存在，可见n =1∞k =1∞a nn →∞级数∑(a n - a n +1 ) 收敛，由比较判别法知，级数∑ a-1 也收敛. n =1方法二：n =1 n +1令b n = an a n +1-1 ，利用递推公式，有b 1 a 2 +1 a 2-1 ρ = lim n +1 = lim ⋅ n ⋅ n= 0 < 1,n →∞ b n →∞ 4 a 2 + 1 a 2n n +1 n∞a n由比值判别法知级数∑a-1 也收敛.n =1n +1七、（1）设 B 是秩为 2 的5⨯ 4 矩阵，α = (1,1, 2, 3)T,α = (-1,1, 4, -1)T,α = (5, -1, -8, 9)T是齐次方程组 Bx = 0 的解向量，求 Bx = 0 的解空间的一个标准正交基. 【详解】因秩 r ( B ) = 2, 故解空间的维数为： 4 - r ( B ) = 4 - 2 = 2, 又α1,α2 线性无关，可见α1,α2 是解空间的基. 先将其正交化，令：nn11 1 1 ϒ- 3 / ϒ1/ϒ-1/ ϒ1/' 4 ∞ ' ∞ ' ∞ ' ∞ ' 2 ∞ '1∞(α2, β1 ) ' 1 ∞1'1∞ ' ∞ β1 = α1 = '2∞ , β2 = α2 - (β , β ) β1 = ' 4 ∞ - 3 '2∞ = ' 3 ∞ ' ∞1 1 ' ∞ ' ∞ ' 10 ∞ ≤3ƒ ≤-1ƒ ≤3ƒ 3 ∞再将其单位化，令：ϒ1/ ϒ-2/ ' ∞ '≤ -2 ∞ƒ η = β1 = β1' ∞ ' ∞ ,η '2∞ 2 ' ∞ = 2 =β2 ∞ ∞ 5 ∞ ∞ ≤3ƒ ≤-3ƒ即为所求的一个标准正交基.ϒ 1 / ϒ 2 -1 2 / (2)已知 ζ = ' 1 ∞ 是矩阵 A = ' 5 a 3 ∞ 的一个特征向量. ' ∞ ' ∞ '≤-1∞ƒ '≤-1 b -2∞ƒ(I ) 试确定参数 a , b 及特征向量ζ 所对应的特征值； (I )问 A 能否相似于对角阵？说明理由.【详解】（I ）由题设，有 A ζ = λ0ζ , 即ϒ 2 -1 2 / ϒ1/ ϒ 1 /' 5 a 3 ∞ '1∞ = λ ' 1 ∞ , ' ∞ ' ∞ 0 ' ∞ '≤-1 b -2∞ƒ '≤1ƒ∞ '≤-1ƒ∞ ♣ ♠也即♦ 2 -1- 2 = λ05 + a - 3 = λ0 ♠-1+ b + 2 = -λ ♥ 0解得a = -3,b = 0, λ = -1.（II ）由ϒ 2 -1 2 /λ - 21-2 A = ' 5 a 3 ∞ ，知 λ E - A = -5λ + 3 -3 = (λ +1)3 ,' ∞ '≤-1 b -2∞ƒ1λ + 2可见λ = -1 为 A 的三重根，但秩 r (-E - A ) = 2, 从而λ = -1 对应的线性无关特征向量只有3 - r (-E - A ) = 1个，故 A 不可对角化.八、设 A 是 n 阶可逆方阵，将 A 的第i 行和第 j 行对换后得到的矩阵为 B .15 1 392 ♠ ♠ （1）证明 B 可逆;（2）求 AB -1.【详解】（1）记 E (i , j ) 是由 n 阶单位矩阵的第i 行和第 j 行对换后得到的初等矩阵，则B = E (i , j ) A ，于是有 B = E (i , j ) A = - A ≠ 0. 故 B 可逆（2） AB -1 = A ϒ≤E (ij ) A /ƒ-1 = AA -1E -1 (i , j ) = E -1 (i , j ) = E (i , j ).九、从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗，假设再各个交通岗遇到红灯的事件是象话独立的，并且概率都是 2, 设 X 为途中遇到红灯的次数，求随机变量 X 的分布律、分布函数 5和数学期望.【详解】 X 服从二项分布 B3, 2 ，其分布律为5 k P {X = k } = C k ⋅ ⋅ 1- 2 3-k , k = 0,1, 2, 3. 3 5 5因此， X 的分布函数为♣ 0, x < 0 ♠ 7♠ ,0 ≤ x < 1 125 F ( x ) = P {X ≤ x } = ♦ 81♠125 ,1 ≤ x < 2♠117 ,2 ≤ x < 3♥125X 的数学期望为 E ( X ) = 3⋅ 2 = 6 . 5 5十、设总体 X 的概率密度为♣(θ +1) x θ , 0 < x < 1 ♦ ♥0, 其他其中θ > -1是未知参数， x 1 , x 2 ,…, x n 是来自总体 X 的一个容量为 n 的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求θ 的估计值.【详解】总体 X 的数学期望为E ( X ) = ⎰+∞ xf ( x )dx = ⎰1 (θ +1)x θ +1dx =θ +1. -∞ 0 θ + 2 f ( x ) =♠( n θ θ +1 nθ +1^ 2 X -1 令θ + 2 = X ，得参数θ 的矩估计量为θ = . 1- X 设 x 1, x 2 ,…, x n 是相应于样本 X 1, X 2 ,…, X n 的一组观测值，则似然函数为 ♣θ +1)n ∏ x , 0 < x < 1(i = 1, 2, 3,…, n ) L = ♦ ♠ ♥ i i =1 0 i其他. 当0 < x i < 1(i = 1, 2, 3,…, n ) 时， L > 0 且ln L = n ln (θ +1) + θ ∑ln x ii =1 d ln Ln n 令 d θ = + ∑ l n x i = 0,i =1得θ 的极大似然估计值为 ^ θ = -1- n ∑ l n xi i =1从而 θ 的极大似然估计值为 ^ θ = -1- n ∑ l n xi i =1nn。

1997年全国统一高考数学试卷(理科)

1997年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分）1．（4分）设集合M={x|0≤x＜2}，集合N={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合M∩N=（）A ．{x|0≤x＜1}B．{x|0≤x＜2}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0≤x≤2}考点：交集及其运算．分析：解出集合N中二次不等式，再求交集．解答：解：N={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，∴M∩N={x|0≤x＜2}，故选B点评：本题考查二次不等式的解集和集合的交集问题，注意等号，较简单．2．（4分）如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，那么实数a等于（）A ．﹣6 B．﹣3 C．D．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．分析：根据它们的斜率相等，可得=3，解方程求a的值．解答：解：∵直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，∴它们的斜率相等，∴=3，∴a=﹣6．故选A．点评：本题考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等．3．（4分）函数y=tan（）在一个周期内的图象是（）A ．B．C．D．考点：正切函数的图象．专题：综合题．分析：先令tan（）=0求得函数的图象的中心，排除C，D；再根据函数y=tan（）的最小正周期为2π，排除B．解答：解：令tan（）=0，解得x=kπ+，可知函数y=tan（）与x轴的一个交点不是，排除C，D∵y=tan（）的周期T==2π，故排除B故选A点评：本题主要考查了正切函数的图象．要熟练掌握正切函数的周期，单调性，对称中心等性质．4．（4分）已知三棱锥P﹣ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2．则二面角P﹣BC﹣A的大小为（）A ．B．C．D．考点：平面与平面之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题．分析：要求二面角P﹣BC﹣A的大小，我们关键是要找出二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角，将空间问题转化为平面问题，然后再分析二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角所在的三角形的其它边与角的关系，解三角形进行求解．解答：解：如图所示，由三棱锥的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，得PB=PC=，PA=BC=2，取BC的中点E，连接AE，PE，则∠AEP即为所求二面角的平面角．且AE=EP=，∵AP2=AE2+PE2，∴∠AEP=，故选C．点评：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠AEP为二面角P﹣BC﹣A的平面角，通过解∠AEP所在的三角形求得∠AEP．其解题过程为：作∠AEP→证∠AEP是二面角的平面角→计算∠AEP，简记为“作、证、算”．5．（4分）函数y=sin（）+cos2x的最小正周期是（）A ．B．πC．2πD．4π考点：三角函数的周期性及其求法．分析：先将函数化简为：y=sin（2x+θ），即可得到答案．解答：解：∵f（x）=sin（）+cos2x=cos2x﹣sin2x+cos2x=（+1）cos2x﹣sin2x=sin（2x+θ）∴T==π故选B．点评：本题主要考查三角函数的最小正周期的求法．属基础题．6．（4分）满足arccos（1﹣x）≥arccosx的x的取值范围是（）A ．[﹣1，﹣]B．[﹣，0]C．[0，]D．[，1]考点：反三角函数的运用．专题：计算题．分析：应用反函数的运算法则，反函数的定义及性质，求解即可．解答：解：arccos（1﹣x）≥arccosx 化为cos[arccos（1﹣x）]≤cos[arccosx]所以1﹣x≤x，即：x，又x∈[﹣1，1]，所以x的取值范围是[，1]故选D．点评：本题考查反余弦函数的运算法则，反函数的定义域，考查学生计算能力，是中档题．7．（4分）将y=2x的图象____________再作关于直线y=x对称的图象，可得到函数y=log2（x+1）的图象（）A ．先向左平行移动1个单位B．先向右平行移动1个单位C ．先向上平行移动1个单位D．先向下平行移动1个单位考点：反函数；函数的图象与图象变化．分析：本题考查函数图象的平移和互为反函数的函数图象之间的关系两个知识点，作为本题，可以用逐一验证的方法排除不合题意的选项，验证的个数在1到3个，对于本题，这不是最佳选择，建议逆推得到平移后的解析式，这样就可以方便的观察到平移的方向及单位数．解答：解：利用指数式和对数式的互化，由函数y=log2（x+1）解得：x=2y﹣1则函数y=log2（x+1）（x＞﹣1）的反函数为y=2x﹣1（x∈R）即函数y=2x平移后的函数为y=2x﹣1，易见，只需将其向下平移1个单位即可．故选D点评：本题采用先逆推获取平移后的解析式的方法，得到解析式后平移的方向和单位便一目了然，简便易行，值得尝试．8．（4分）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（）A ．20πB．25πC．50πD．200π考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：设出球的半径，由于直径即是长方体的体对角线，由此关系求出球的半径，即可求出球的表面积．解答：解：设球的半径为R，由题意，球的直径即为长方体的体对角线，则（2R）2=32+42+52=50，∴R=．∴S球=4π×R2=50π．故选C点评：本题考查球的表面积，球的内接体，考查计算能力，是基础题．9．（4分）曲线的参数方程是（t是参数，t≠0），它的普通方程是（）A ．（x﹣1）2（y﹣1）=1B．y=C．D．考点：参数方程的概念．专题：计算题．分析：由题意知x=1﹣，可得x﹣1=﹣，将方程两边平方，然后与y﹣1=﹣t2，相乘消去t即可求解．解答：解：∵曲线的参数方程是（t是参数，t≠0），∴，∴将两个方程相乘可得，（x﹣1）2（1﹣y）=1，∴y=，故选B．点评：此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．10．（4分）函数y=cos2x﹣3cosx+2的最小值为（）A ．2 B．0 C．D．6考点：函数的值域；余弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：先进行配方找出对称轴，而﹣1≤cosx≤1，利用对称轴与区间的位置关系求出最小值．解答：解：y=cos2x﹣3cosx+2=（cosx﹣）2﹣∵﹣1≤cosx≤1∴当cosx=1时y min=0，故选B点评：本题以三角函数为载体考查二次函数的值域，属于求二次函数的最值问题，属于基本题．11．（5分）椭圆C与椭圆关于直线x+y=0对称，椭圆C的方程是（）A ．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：依题意可知椭圆C关于直线x+y=0对称，长轴和短轴不变，主要椭圆的中心即可．根据原椭圆方程可求得其中心坐标，进而求得其关于直线x+y=0对称点，则椭圆方程可得．解答：解：依题意可知椭圆C关于直线x+y=0对称，长轴和短轴不变，主要椭圆的中心即可．∵椭圆的中心为（3，2）关于直线x+y=0对称的点为（﹣2，﹣3）故椭圆C的方程为故选A．点评：本题主要考查了直线与椭圆的关系及点关于直线对称的问题．属基础题．12．（5分）圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是（）A ．πB．2πC．πD．π考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：通过圆台的底面面积，求出上下底面半径，利用侧面积公式求出母线长，然后求出圆台的高，即可求得圆台的体积．解答：解：S1=π，S2=4π，∴r=1，R=2，S=6π=π（r+R）l，∴l=2，∴h=．∴V=π（1+4+2）×=π．故选D点评：本题是基础题，通过底面面积求出半径，转化为求圆台的高，是本题的难点，考查计算能力，常考题．13．（5分）（2014•碑林区一模）定义在区间（﹣∞，+∞）的奇函数f（x）为增函数；偶函数g（x）在区间[0，+∞）的图象与f（x）的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式：①f（b）﹣f（﹣a）＞g（a）﹣g（﹣b）；②f（b）﹣f（﹣a）＜g（a）﹣g（﹣b）；③f（a）﹣f（﹣b）＞g（b）﹣g（﹣a）；④f（a）﹣f（﹣b）＜g（b）﹣g（﹣a），其中成立的是（）A ．①与④B．②与③C．①与③D．②与④考点：函数奇偶性的性质．分析：根据f（﹣a）=﹣f（a），f（﹣b）=﹣f（b），g（﹣a）=g（a）=f（a），g（﹣b）=g（b）=f （b），对①②③④进行逐一验证即可得答案．解答：解：由题意知，f（a）＞f（b）＞0又∵f（﹣a）=﹣f（a），f（﹣b）=﹣f（b），g（﹣a）=g（a）=f（a），g（﹣b）=g（b）=f（b）；∴①f（b）﹣f（﹣a）＞g（a）﹣g（﹣b）⇔f（b）+f（a）＞f（a）﹣f（b）⇔f（b）＞﹣f（b），故①对②不对．③f（a）﹣f（﹣b）＞g（b）﹣g（﹣a）⇔f（b）+f（a）＞f（b）﹣f（a）⇔f（a）＞﹣f（a），故③对④不对．故选C．点评：本题主要考查函数奇偶性的应用．14．（5分）不等式组的解集是（）A ．{x|0＜x＜2}B．{x|0＜x＜2.5}C．D．{x|0＜x＜3}考点：其他不等式的解法．专题：压轴题．分析：可以直接去绝对值解不等式，比较复杂；可结合答案用特值法解决．解答：解：取x=2满足不等式，排除A；再取x=2.5，不满足，排除B、D故选C点评：本题考查解绝对值不等式和分式不等式问题，要注意选择题的特点，选择特殊做法解决．15．（5分）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有（）A ．150种B．147种C．144种D．141种考点：排列、组合的实际应用；计数原理的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由题意知从10个点中任取4个点有C104种取法，减去不合题意的结果，4点共面的情况有三类，取出的4个点位于四面体的同一个面上；取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点；由中位线构成的平行四边形，用所有的结果减去不合题意的结果即可得答案．解答：解：从10个点中任取4个点有C104种取法，其中4点共面的情况有三类．第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4C64种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4顶点共面，有3种．以上三类情况不合要求应减掉，∴不同的取法共有C104﹣4C64﹣6﹣3=141种．故选D．点评：本题考查分类计数原理，考查排列组合的实际应用，是一个排列组合同立体几何结合的题目，解题时注意做到不重不漏．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）16．（4分）已知的展开式中x3的系数为，常数a的值为4．考点：二项式定理；二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3求出展开式中x3的系数，列出方程解得．解答：解：的展开式的通项为=令解得r=8∴展开式中x3的系数为∵展开式中x3的系数为∴解得a=4故答案为4点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．17．（4分）（2014•陕西模拟）已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是．考点：简单曲线的极坐标方程；与圆有关的比例线段；不等式的基本性质．专题：计算题；压轴题．分析：先将原极坐标方程中的三角函数式展开后两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解即得．解答：解：将原极坐标方程，化为：ρsinθ+ρcosθ=1，化成直角坐标方程为：x+y﹣1=0，则极点到该直线的距离是=．故填；．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．18．（4分）的值为．考点：角的变换、收缩变换．专题：计算题；压轴题．分析：先将分式中的15°化为7°+8°，利用两角和的余弦、正弦展开，分子、分母分组提取sin7°，cos7°，再用同角三角函数的基本关系式，化简，然后，就会求出tan15°，利用两角差的正切，求解即可．解答：解：=======tan15°=tan（45°﹣30°）===，故答案为：点评：本题考查角的变换，两角和的正弦、余弦，同角三角函数的基本关系式，考查学生运算能力，是中档题．19．（4分）已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α；②若l平行于α，则l平行于α内所有的直线；③若m⊊α，l⊊β且l⊥m，则α⊥β；④若l⊊β且l⊥α，则α⊥β；⑤若m⊊α，l⊊β且α∥β，则l∥m．其中正确命题的序号是①④．考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：压轴题．分析：对于①，考虑直线与平面垂直的判定定理，符合定理的条件故正确；对于②，考虑直线与平面平行的性质定理以及直线与平面的位置关系，故错误；对于③考虑α⊥β的判定方法，而条件不满足，故错误；对于④符合面面垂直的判定定理，故正确；对于⑤不符合线线平行的判定，故错误．正确命题的序号是①④解答：解：①，符合定理的条件故正确；②，若l平行于α，则l与α内的直线有两种：平行或异面，故错误；③m⊊α，l⊊β且l⊥m，则α与β可以相交但不垂直；④符合面面垂直的判定定理，故正确；⑤若m⊊α，l⊊β且α∥β，则l∥m或者异面，错误，故正确命题的序号是①④．点评：本题考查立体几何中线线关系中的平行、线面关系中的垂直、面面关系中的垂直的判定方法，要注意对比判定定理的条件和结论，同时要注意性质定理、空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的应用．三、解答题（共6小题，满分69分）20．（10分）已知复数，．复数，z2ω3在复数平面上所对应的点分别为P，Q．证明△OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）．考点：复数代数形式的混合运算．分析：利用复数三角形式，化简复数，．然后计算复数，z2ω3，计算二者的夹角和模，即可证得结论．解答：解法一：，于是，，=因为OP与OQ的夹角为，所以OP⊥OQ．因为，所以|OP|=|OQ|由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．解法二：因为，所以z3=﹣i．因为，所以ω4=﹣1于是由此得OP⊥OQ，|OP|=|OQ|．由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．点评：本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力，是中档题．21．（11分）已知数列{a n}，{b n}都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q，其中p＞q，且p≠1，q≠1．设c n=a n+b n，S n为数列{c n}的前n项和．求．考点：等比数列的通项公式；极限及其运算；数列的求和．专题：计算题．分析：先根据等比数列的通项公式分别求出a n和b n，再根据等比数列的求和公式，分别求得S n和S n﹣1的表达式，进而可得的表达式，分p＞1和p＜1对其进行求极限．解答：解：，．分两种情况讨论．（Ⅰ）p＞1．∵，====p．（Ⅱ）p＜1．∵0＜q＜p＜1，==点评：本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识，考查逻辑推理能力和运算能力．22．（12分）甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？考点：根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用．专题：应用题．分析：（1）全程运输成本有两部分组成，将其分别分别表示出来依题意建立起程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，由题设条件速度不得超过c千米/时．故定义域为v∈（0，c]．（2）由（1）知，全程运输成本关于速度的函数表达式中出现了积为定值的情形，由于等号成立的条件有可能不成立，故求最值的方法不确定，对对速度的范围进行分类讨论，如等号成立时速度值不超过c，则可以用基本不等式求求出全程运输成本的最小值，若等号成立时速度值大于最高限速v，可以判断出函数在（0，c]上的单调性，用单调性求出全程运输成本的最小值．解答：解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为故所求函数及其定义域为（2）依题意知S，a，b，v都为正数，故有当且仅当，．即时上式中等号成立若，则当时，全程运输成本y最小，若，即a＞bc2，则当v∈（0，c]时，有==因为c﹣v≥0，且a＞bc2，故有a﹣bcv≥a﹣bc2＞0，所以，且仅当v=c时等号成立，也即当v=c时，全程运输成本y最小．综上知，为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为；当时行驶速度应为v=c．点评：本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力．23．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．（1）证明AD⊥D1F；（2）求AE与D1F所成的角．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；证明题．分析：（1）证明线线垂直可先证线面垂直，欲证AD⊥D1F，可先证AD⊥面DC1，即可证得；（2）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，取AB的中点G，将D1F平移到A1G，AB与A1G构成的锐角或直角就是异面直线所成的角，利用三角形全等求出此角即可．解答：解：（Ⅰ）∵AC1是正方体，∴AD⊥面DC1．又D1F⊂面DC1，∴AD⊥D1F．（Ⅱ）取AB中点G，连接A1G，FG．因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，故GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F．设A1G与AE相交于点H，则∠AHA1是AE与D1F所成的角，因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE，∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=90°，即直线AE与D1F所成角为直角．点评：本小题主要考查异面直线及其所成的角，考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于基础题．24．（12分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜．（1）当x∈（0，x1）时，证明x＜f （x）＜x1；（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，证明x0＜．考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；不等式的证明．专题：证明题；压轴题；函数思想；方程思想；作差法．分析：（1）方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2，所以构造函数，当x∈（0，x1）时，利用函数的性质推出x＜f （x），然后作差x1﹣f（x），化简分析出f（x）＜x1，即可．（2）．方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2，函数f（x）的图象，关于直线x=x0对称，利用放缩法推出x0＜；解答：证明：（1）令F（x）=f（x）﹣x．因为x1，x2是方程f（x）﹣x=0的根，所以F（x）=a（x﹣x1）（x﹣x2）．当x∈（0，x1）时，由于x1＜x2，得（x﹣x1）（x﹣x2）＞0，又a＞0，得F（x）=a（x﹣x1）（x﹣x2）＞0，即x＜f（x）．x1﹣f（x）=x1﹣[x+F（x）]=x1﹣x+a（x1﹣x）（x﹣x2）=（x1﹣x）[1+a（x﹣x2）]因为所以x1﹣x＞0，1+a（x﹣x2）=1+ax﹣ax2＞1﹣ax2＞0．得x1﹣f（x）＞0．由此得f（x）＜x1．（2）依题意知因为x1，x2是方程f（x）﹣x=0的根，即x1，x2是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的根．∴，因为ax2＜1，所以．点评：本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．25．（12分）（2012•北京模拟）设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x﹣2y=0的距离最小的圆的方程．考点：直线与圆的位置关系．专题：压轴题．分析：圆被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，劣弧所对的圆心角为90°，设圆的圆心为P（a，b），圆P截X轴所得的弦长为，截y轴所得弦长为2；可得圆心轨迹方程，圆心到直线l：x﹣2y=0的距离最小，利用基本不等式，求得圆的方程．解答：解法一：设圆的圆心为P（a，b），半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P截X轴所得的弦长为，故r2=2b2，又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r2=a2+1．从而得2b2﹣a2=1．又点P（a，b）到直线x﹣2y=0的距离为，所以5d2=|a﹣2b|2=a2+4b2﹣4ab≥a2+4b2﹣2（a2+b2）=2b2﹣a2=1，当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1，从而d取得最小值．由此有解此方程组得或由于r2=2b2知．于是，所求圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2．解法二：同解法一，得∴得①将a2=2b2﹣1代入①式，整理得②把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即△=8（5d2﹣1）≥0，得5d2≥1．∴5d2有最小值1，从而d有最小值．将其代入②式得2b2±4b+2=0．解得b=±1．将b=±1代入r2=2b2，得r2=2．由r2=a2+1得a=±1．综上a=±1，b=±1，r2=2．由|a﹣2b|=1知a，b同号．于是，所求圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2．点评：本小题主要考查轨迹的思想，求最小值的方法，考查综合运用知识建立曲线方程的能力．易错的地方，P到x轴，y轴的距离，不能正确利用基本不等式．。

1977年普通高等学校招生考试(上海市)理科数学试题及答案

1977年高考数学试卷

小数君：599套可打印高考真题汇编

1977年普通高等学校招生考试全国各省市高考数学试题及解答(汇总

1977年普通高等学校招生考试全国各省市高考数学试题及解答(汇总

【高考数学试题】1977年全国各省市高考数学试题及解答(共34页)

1997年全国统一高考数学试卷(理科)

1977上海高考理科数学试题

高考理科数学试题及答案1977

普通高等学校招生全国统一考试数学理(上海卷,含答案)

普通高校招生数学(理)统一考试(上海卷)

1977-1987年高考理科数学试题

1977年上海市高考数学试卷(理科)

数学试卷77年普通高等试全国各省市高考数学试题及解答(汇总

1997-数一真题、标准答案及解析

1997年全国统一高考数学试卷(理科)

最新理科数学常考题1977