考研辅导班第二讲一元微积分学
【考研】一元函数积分学
������
不定积分与定积分的计算
1、基本积分公式 以下公式中，α 与 a 均为常数，除声明者外，a > 0
������ ������+1 + ������(������ ≠ −1) ������ + 1 ������ ������ (3) ∫ ������ ������ ������������ = + ������ ln ������ (1) ∫ ������ ������ ������������ = (5) ∫ ������������������������ ������������ = −������������������������ + ������
������→������0 −
lim ������(������) = ������(������0 − ) ， lim+ ������(������) = ������(������0 + )，������(������0 − ) ≠ ������(������0 + )
一元微积分及微分方程讲义
r'ay=!(x+.i+~)+~(!~ x)+C;(!~-.i),
4 2 2
7
!1P
1 1 1 1 1 ' C)r +(-+-C +-C)x' Y =(-- C)x+(1 2 4 4 42122
7'l Y +J:rX)Y' + 0x)y= f(x) i¥JilRftW.
[ff 3] itilltf(x),g(x)1$=M'lf,., Jl/(x) =f(x) + g(x),
•••
_
M
.i + Cx ".
y,
'.JCD4t- p
JJ!IJy' = p', mxp' = p, tip = dx; lnp= Inx+ In~, :. p
p
X
~x,
my=.i, ~p ./(x) =.i.
®xy-y
.i,
1 p-dt- S -p-dty--y=x, y=e x [ xe x dx+CJ
,ttl 2JttYt (X)'Y2 (X)'Y3 (X)'Y4 (x) ~~~~~.~fj.y" + p(x)y + ~x)y= ./(x) fJ
1l9-+IJ,
!l})(x)=x, Y2(X)=.i, Y3(X)+Y4(X)=~' JlII..I:.J!fJ"~
1 4 1 1 1 1 1 14 42122 1 1 1 1 ~)x+(-- C;).i +(-+ ~ + C;)~ 3 3 2 2
不定积分的计算方法(I)
三、 有理函数的积分
1. 有理函数:
R(x) P(x) a0xn a1xn1 an Q(x)
m n时, 为假分式; m n 时, 为真分式
有理函数 相除 多项式 + 真分 式
分解
若干部分分式之和
例如整数的除法 : 5 1 2 33
30
之前的 引入例: 例1
求
2
x
2
3x x 1
解
(2x3 1)3 d x (8x6 12x4 6x2 1) d x
8 x6 d x 12 x4 d x 6 x2 d x d x
积分的线性性质
8 x7 12 x5 2x3 x C . 75
直接的积分公式 4
已知生产的成本y的变化率(边际成本)是产量 例2
x的函数, y 7 25 . 又固定成本为1000元
1.公式 : 首先看复合函数的导数 公式 :
设可微函数 y F (u), u (x) 可构成区间 I 上的
可微的复合函数 y F ( (x)), 则
(F((x))) F((x))(x),
它的微分形式为
d(F((x))) F((x))(x)d x
记 F(u) f (u), 则 看出点什么东西没有?
相应的凑微分公式(方法):
(3). cosxdx=dsinx. (4). sinxdx=-dcosx.
2.被积函数出现正\余弦函数的奇数次幂时:
22
例8
求 tan x dx .
拆出个正\余弦的1次幂
解
tan
x
dx
sinx cosx
dx
凑微分得
1 cosx
dc
osx
1 u
du
令u cosx
一元微积分(第一章 函数、极限、连续)
第一章 函数、极限、连续重点：1、求函数的极限（最重要的方法是L ’P 法则）2、无穷小的比较3、考察分段函数在分段点的连续性4、间断点的判定及分类5、介值定理 一、函数1、函数的定义及表示法【理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立简单应用问题的函数关系式】 函数概念 ()y f x =函数的两要素 ⎧⎨⎩定义域对应规则函数的表示方法① 显函数： ()y f x =② 隐函数：由方程(,)0F x y =确定的函数()y y x =.例：1yy xe +=确定了()y y x =⇒01x y==．③ 参数方程表示的函数：由方程()()x x t y y t =⎧⎨=⎩确定的函数()y y x =.例：2ln(1)arctan x t y t⎧=+⎨=⎩ 确定了()y f x =.④ 积分上限函数： ()()xax f t dt Φ=⎰．例：2311()(1)3xx t dt x Φ==-⎰⑤ 概率表示的函数：()()F x P X x =≤， 其中X 为随机变量，x 为实数.⑥ 分段函数：自变量不同范围内用不同式子表示的一个函数．【例】 ,0()sin ,0a x x f x x x x +≥⎧⎪=⎨<⎪⎩ ； 1sin ,0()0,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ .如 A. 绝对值表示的函数 11111x x y x xx -≥⎧=-=⎨-<⎩ ；B. 极限表示的函数 2211()lim111nnn x x x f x x x x x x →∞⎧<-⎪=⋅==⎨+⎪->⎩； C. 其他形式 2022101()max{1,}12x x f x x xx ≤≤≤≤⎧==⎨<≤⎩ ．10sgn()0010x y x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩-------符号函数[]y x =--取整函数．2、函数的性质 【了解函数的有界性，单调性，周期性，奇偶性】①．有界性：()f x 在某区间I 内有定义，若存在0M >，对任意x I ∈，总有()f x M ≤， 则称()f x 在某区间I 内有界.否则称()f x 在某区间I 内无界.例：2111sin1,(0);arctan ,();,1,()2121xx x x x R x R xx e π≤≠≤∈≤<∈++． ②．单调性：()f x 在某区间I 内有定义，若12,x x I ∀∈，当12x x <时12()()f x f x ≤，就称()f x 单调上升；当12x x <时，12()()f x f x ≥，就称()f x 单调下降． 不含等号时称严格单增（或单减）.③．奇偶性：若()()f x f x -=， 则称()f x 为偶函数，偶函数的图形关于y 轴对称； 若()()f x f x -=-，则称()f x 为奇函数，奇函数的图形关于原点对称．④．周期性：()()(0)f x T f x T +=≠． （主要是三角函数）【例1】讨论()ln(f x x =的奇偶性． 【奇函数】 【例2】 设sin ()tan xf x x x e=⋅⋅，则()f x 是（ ）．A. 偶函数B. 无界函数C. 周期函数D. 单调函数． 【解】 因为 2x k ππ→+时， ()f x →∞，所以()f x 非有界即为无界函数.3、 基本初等函数 【掌握基本初等函数的性质及图形】 （反、对、幂、三、指）① 常数函数---y C =② 幂函数---y x μ= （μ为常数）例：21,y x y y x===③ 指数函数---xy a = （0,1a a >≠） ，xy e =④ 对数函数---log a y x = （0,1a a >≠） ， ln y x =， lg y x = ⑤ 三角函数---sin ,cos ,tan y x y x y x===⑥ 反三角函数---arcsin ,arctan y x y x==4、 复合函数、反函数、初等函数 【了解反函数和隐函数的概念，理解复合函数及分段函数的概 念，了解初等函数的概念】① 复合函数 (),()[()y f uu x y f x ϕϕ==⇒=；f 为外层函数，ϕ称为内层函数．② 反函数 ()y y x =的反函数为1()x fy -=或1()y fx -=.【例】3y x x y =⇒=⇒3y x =的反函数.【例】 sin xy e= 看作是由 ,sin uy e u x == 复合而成的复合函数.③ 初等函数：由六类基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算而得的用一个数学式子 表示的函数. 注意：分段函数一般不是初等函数。
不定积分的计算方法I
引入例: 例1
求
2
x
2
3x x 1
1
d
x
.
解
2x2 3x 1 2x 5 6 (多项式的 除法)
x 1
x 1
2
x
2
3x x 1
1
d
x
(2
x
5
x
6
) 1
d
x
2x
d
x
5
d
x
6
x
1 1
d
x
x2 5x 6ln | x 1| C . 绝对值
现在介绍与复合函数求导法则相对应的 积分方法 —— 不定积分换元法.
它是在积分运算过程中进行适当的变量 代换, 将原来的积分化为对新的变量的积分, 而后者的积分是比较容易积出的.
该方法从使用的方式上看，又有第一与 第二换元积分法之分, 但它们的公式实际上 是一样的,都来源于复合函数求导公式.
一. 不定积分的第一换元法:
F (u) C
F ((x)) C.
证明过程 请看书!
该定理称为不定积分的第一换元法,也叫“凑微分”法。
2.换元积分的效率:
再利用积分的
指数为100时如线何性? 性质计算
例1 求 (2x 1)3 d x .
展开式
解 法1: (2x 1)3 d x (8x3 12x2 6x 1)d x
(2x3 1)3 d x (8x6 12x4 6x2 1) d x
8 x6 d x 12 x4 d x 6 x2 d x d x
积分的线性性质
8 x7 12 x5 2x3 x C . 75
直接的积分公式
一元微积分,多元微积分,高等数学复习提纲(同济大学版)
（1）1，补集的记号2，什么是笛卡尔乘积3，什么是邻域，记号，中心，半径4，去心邻域，记号，左邻域，右邻域5，两个闭区间的直积6，映射的概念，原像，满射，单射，一一映射7，泛函，变换，函数8，逆映射，复合映射9，多值函数，单值分支10，绝对值，符号函数，取整函数，最值函数11，上界、下界，有界，无界的定义12，奇偶性、周期性13，初等函数，基本初等函数（2）1，数列极限的定义，用符号语言2，收敛数列的四个性质3(3)1,函数在某点的极限定义，符号语言2，函数在无穷大处的极限，符号语言3，函数极限的性质（4）1，无穷小的定义2，函数极限的充分必要条件，用无穷小表示3，无穷大4，无穷大和无穷小的定义（5）1，有限个无穷小的和2，有界函数与无穷小的乘积3，极限的四则运算4，函数y1始终大于y2，那么极限的关系是（6）1，极限存在的夹逼准则2，单调有界的数列是否存在极限3，（1+1/x）^x的极限4，柯西审敛准则1，什么是高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，k阶无穷小，等价无穷小2，等价无穷小的充要条件3，两组等价无穷小之间的比例关系（8）1，函数连续性的定义，左连续，右连续2，什么是连续函数3，间断点的三种情况4，第一类间断点，第二类间断点，可去间断点，条约间断点，无穷间断点，振荡间断点（9）1，连续函数的四则运算后的连续性2，反函数和复合函数的连续性3，初等函数的连续性（10）1，有界性与最大最小值定理2，零点定理3，介值定理和推论第二章（1）1，导数的定义2，函数在一点可导的充要条件，用等式表示3，可导和连续的关系（2）1，函数的和差积商如何求导2，tanx、secx的导数，cscx和cotx3，反函数的求导法则是什么4，arcsinx的导数，arccos的导数，arctanx, areccotx的导数5，复合函数求导法则（3）1，二阶导数的微分表示法2，莱布尼兹公式3，a^x\sinkx\coskx\x^a\lnx\1/x\的n阶导4，隐函数的求导5，对数求导法的应用6，参数所表示的函数怎样求导7，什么是相关变化率1，可微的充分必要条件2，⊿y与dy的关系3，什么是线性主部4，什么是函数的微分，什么是自变量的微分5，函数的和差积商的微分6，复合函数的微分法则是什么、7，如何利用微分进行近似计算8，利用0点处的微分可以导出什么近似计算公式9，误差估计（星号）第三章（1）1，什么是费马引理2，什么是罗尔定理3，什么是拉格朗日中值定理4，什是有限增量公式5，什么是柯西中值定理（2）1，什么是罗比达法则（3）1，什么泰勒中值定理2，什么是泰勒多项式，什么是拉格朗日余型3，什么是皮亚诺余型4，什么是迈克劳林公式5，e^x\sinx\cosx\ln(1+x)\(1+x)^a的带有拉格朗日余项的麦克莱林公式（4）1，凹凸性的定义，导数如何判定凹凸性2，什么是拐点以及如何寻找拐点（5）1，极大值的定义2，什么是驻点，怎样利用导数判断极大值极小值3，如何利用二阶导数判断极大值极小值4，怎样判断最大值，最小值（6）函数图形描绘的步骤(7)1,弧微分公式2，什么是弧段的平均曲率，什么是曲率3，曲率的公式4，参数方程的曲率公式5，什么是曲率圆，曲率中心，曲率半径（8）1，什么是二分法2，什么是切线法第四章（1）1,什么是原函数2，原函数存在定理3，什么事不定积分4，1/x\1/(1+x^2)\1/sqr(1-x^2)\cosx\sinx\1/cosx^2\1/sinx^2\secxtanx\cscxcotx\e^x\a^x的原函数5，什么是第一类换元法6，cscx、secx的不定积分7，cos3x*cos2x的不定积分8，什么是第二类换元法9，tanx\cotx\secx\cscx\1/(a^2+x^2)\ 1/(x^2-a^2)\1/sqr(a^2-x^2)\1/sqr(x^2+a^2)\1/sqr(x^2-a^2)积分10，什么是分部积分法11，分部积分法，分部积分法的优先法则12，有理函数的积分怎样积，带根号的函数怎样积分（根号中x的次数是1）（5）积分表第五章（1）1，定积分的定义2，可积的2个充分条件是什么3，怎样利用积分的定义求定积分4，怎样利用定积分进行近似计算5，积分外面的绝对值和积分里面的绝对值之间的大小关系6，定积分与被积函数最大值最小值之间的关系7，什么是积分中值公式8，积分上限函数可导的充分条件，导数是9，什么是牛顿莱布尼兹公式10，定积分的换元法有什么条件，怎样换12，sinx^n从0积分到pi/2的结果13，什么是反常积分14，正负无穷的反常积分是怎样定义的15，如何利用牛顿莱布尼兹公式判定反常积分是存在还是发散16，瑕积分的定义，存在和发散的一般规则17，反常积分的比较审敛法13，绝对收敛的反常积分14，Γ函数的定义和重要性质第六章（1）1，什么是元素法2，怎样用定积分求面积，体积，弧长第七章（1）1，什么事微分方程呢，什么是微分方程的阶，什么事微分方程的通解，微分方程的特解，什么是初始条件2，什么是可分离变量的微分方程，怎样求解3，什么是其次方程，怎样求解4，什么事可以化为齐次的方程，怎样求解5，什么是齐次一阶线性微分方程和非齐次一阶线性微分方程，怎样求解6，什么是常数变易法，怎样求非齐次一阶线性微分方程7，什么是伯努利方程，怎样求解8，y^(n)=f(x)、y’’=f(x,y’)、y’’=f(y,y’)的形式怎样求解9，二阶齐次线性方程的性质，通解的结构10，n阶齐次线性方程通解11，二阶非齐次线性方程解的结构12，什么事线性微分方程的解的叠加原理13，怎样利用常数变异法求二阶非齐次线性方程的通解14，二阶线性常系数齐次方程的通解15，n阶常系数齐次线性微分方程的一般形式16，y’’+py’+qy=f(x),如果f(x)=e^(λx)p(x)怎样求解，如果f(x)= e^(λx)(p1(x)coswx+p2(x)sinwx)第八章（1）1,向量b平行于a的充要条件是2，有向线段AB的λ分点坐标3，怎样求向量的模4，怎样求方向角和方向余弦5,3个方向余弦之间有什么关系6，向量投影的记号（2）1，什么是向量的数量积2，两向量夹角余弦的坐标表示3，什么是向量积，怎样确定方向4，向量积的运算规律，向量积的坐标表示5，什么是向量的混合积怎样计算，几何意义是什么6，三向量共面的充分必要条件是7，球面方程8，围绕z轴的旋转曲面方程9，圆锥面方程，旋转单叶双曲面，旋转双叶双曲面，抛物柱面，柱面的方程10，椭圆锥面、椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆抛物面、双曲抛物面11，什么是空间曲线的一般方程12，什么是空间曲线的参数方程13，什么是螺旋线14，球面的参数方程15，如何求投影16，什么是平面的点法式方程17，什么是平面的一般方程18，什么是平面的截距式方程19，什么是两平面的夹角20，两平面互相平行和重合的条件21，点到平面的距离公式22，什么是对称式方程，怎样求平面的参数方程23，两直线的夹角是什么，怎样求24，直线与平面的夹角有什么25，直线与平面的夹角怎样求，直线与平面垂直或平行的条件是什么26，什么是平面束第九章（1）1，平面的邻域和去心邻域怎样表示2，什么是内点、外点、边界点、聚点3，什么是开集，闭集、连通集、闭区域、有界集、无界集4，什么是二元函数5，多元函数的极限6，利用多元函数的定义怎样判定极限不存在7，什么是多元函数的连续性、8，多元函数的有界性和最大最小值定理9，介值定理（2）1，偏导数的定义2，什么是混合偏导数3，二阶混合偏导数相等的充要条件4，什么是偏微分5，什么是全微分，什么是可微6，可微和连续的关系式7，可微分的充分条件是8，什么是多元函数微分的叠加原理（4）1，什么是全导数2，多元函数和多元函数复合时怎样求偏导数3，什么是隐函数的求导公式，4，什么是隐函数的偏导公式5，两个方程组所确定的函数如何求偏导(6)1，什么是一元向量值函数2，什么是向量函数的极限3，向量值函数的导数运算法则4，向量值函数的法平面方程5，曲线在点m处的切线方程6，空间曲线以F(x,y,z)=1,G(x,y,z)=0给出时，怎样求切线方程和法平面方程7，怎样求曲面的切面和法向量8，什么是方向导数，与偏导数的关系是什么9，什么是梯度，与方向导数的关系式什么10，梯度的意义（疑问）（8）1，什么是多元函数的极大值和极小值2，多元函数有极值的必要条件3，多元函数有极值的充分条件4，怎样运用拉格朗日乘数法第十章（1）1，什么是二重积分2，什么是二重积分的可加性3，什么是二重积分的中值定理（2）1，怎样利用极坐标求二重积分2，什么是二重积分的换元法（3）1，什么是三重积分2，三重积分在直角坐标下有哪些方法3，怎样利用柱面坐标三重积分4，怎样利用球坐标进行三重积分5，怎样积分曲面面积6，怎样利用曲面的参数方程积分7，怎样求质心和转动惯量（5）第十一章（1）1，什么是第一类曲线积分，怎样计算2，什么是第二类曲线积分，怎样计算3，两类曲线积分之间是什么关系（3）1，什么是格林公式2，曲线积分与路径无关的充分必要条件是什么（3个第十二章（1）1，什么是级数的部分和2，什么是级数的和3，收敛级数的5个性质4，什么是柯西审敛原理（2）1，正项级数收敛的充分必要条件2，什么是比较审敛法，有什么推论3，什么是比较审敛法的极限形式4，什么是大朗贝尔判别法5，什么是根值判别法6，什么是极限审敛法7，什么是莱布尼兹定理8，什么是绝对收敛和条件收敛（3）1，什么是函数项无穷级数2，什么是幂级数3，什么是阿贝尔定理，推论是什么4，怎样求收敛半径5，幂级数的和函数在收敛域上的积分和微分，怎样利用（4）1，什么是泰勒级数2，函数能展开成泰勒级数的充分必要条件3，函数展开成幂级数的步骤（5）1，微分方程的幂级数解法是什么2，什么是幂级数3，傅里叶级数。
一元微积分
一元微积分微积分是数学中最重要的分支之一，它被广泛应用于自然科学、工程学、经济学、金融学等领域。
在微积分中，学生学习如何利用极限、导数、积分等概念来解决许多与连续变量相关的问题。
本篇文章将重点介绍一元微积分的基本概念和应用。
一、导数导数是微积分中最基础的概念之一。
在数学中，导数可以理解为函数在某点处的斜率。
更准确地说，函数f(x)在点x_0处的导数定义为：f'(x_0) = lim_(h->0) [f(x_0 + h) - f(x_0)] / h.其中，"lim"是取极限的符号，"h"是一个趋近于零的数，表示x_0点向左或向右的距离。
当h足够小的时候，我们可以近似地认为f(x_0+h)和f(x_0)之间的差值和f'(x_0)之间的比率相等。
这个比率称为斜率，它在概念上等于函数f(x)在x_0处的导数。
导数有许多有用的性质，其中最常见的是导数的求导法则。
其中包括：常数法则、幂法则、求和法则和乘积法则。
这些规则使得求导变得更加容易和直观化。
二、微分微分是导数的一种表达方式。
函数f(x)的微分df(x)定义为：df(x) = f'(x) dx,其中dx是一个无穷小的微小量，它表示x轴上的一个非常小的增量。
微分可以用来求解函数的局部变化和线性逼近等问题。
三、积分积分是微积分中的另一个核心概念。
在数学中，积分可以看作是导数的反运算。
给定一条导数，我们可以通过积分来求出原函数。
也就是说，积分可以通过对导数反复求积来追溯函数的起源。
积分的符号表示为∫，读作“积分”。
它的基本形式为：∫f(x)dx，其中f(x)是被积函数，dx表示积分变量。
函数f(x)的积分可以看作是将函数曲线下面的面积求和。
这个面积可以通过求和近似，也可以通过解析方法解决。
四、微积分的应用微积分是一门广泛应用的数学科目。
它可以用来解决许多与连续变量相关的问题。
以下是微积分的一些常见应用：1. 切线和曲率微积分可以用来计算给定点上曲线的切线和曲率。
一元微积分
考 研 数 学 强 化 讲 义 白 云 霄第一章 函数、极限、连续(一)函数一、 函数的解析式 二、 函数的性质 三、 几种特殊函数 （1）()[]f x x =；（2）()sgn f x x =：sgn x x 与x 的关系； （3）分段函数； （4）复合函数； 题型1 求函数表达式例1 设1()()f x f x ==1()[()]n n f x f f x +=，1,2,n =求1150();();()n n n f x f x f x dx⎰例2 设()f x 是周期为2的偶函数，当(2,3)x ∈时，2()f x x =.求当(2,0)x ∈-时，()f x 的表达式.例3 设()n f x =0x ≥，求()f x 的表达式.例4 已知()x x xe e f -='，且()01=f ，求()x f 例5已知,,()()(),(0)2x y f x f y f x y f '∀=+=，求()x f题型2 函数奇偶性例1．设()()x f x F ='，则下列结论正确的是 （ ） （A ）若()x f 为奇函数，则()x F 为偶函数（B ）若()x f 为偶函数，则()x F 为奇函数 （C ）若()x f 为周期函数，则()x F 为周期函数 （D ）若()x f 为单调函数，则()x F 为单调函数 例2．求()()[]⎰--++-+=11251ln dx x x e e x x I x x题型3 判别函数的有界性 例1设()(,)f x C ∈-∞+∞，且lim ()x f x A →∞=，证明：()(,)f x B ∈-∞+∞.例2设2()1x f x x=+，220()x x t f x e te dt -=⎰，判别()f x 的有界性. （二）极限 极限的定义 极限的性质 极限的运算法则 极限的计算 极限的应用1．求极限的方法 1) 洛必达法则；00；∞∞；∞*0；∞-∞；∞1；00；0∞2) 等价无穷小因子代换； 3) 无穷小与有界量之积为无穷小 4) 重要极限 5) 导数的定义 6) 夹逼准则7）定积分的定义基本公式：()⎰∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→1011lim dx x f n k f n n k n [如果存在]7) 单调有界原理8）泰勒公式：当0→x 时，()n nxx o n x x x e +++++=!!212 例：求32021lim x x x e xx ---→用()332!3!21x o x x x e x ++++=（最后一项比3x 高阶无穷小）原式61)(6lim 3330=+=→xx o x x ，这样比用洛比达法则简单 ()()()121253!121!5!3sin ++++-++-=n n nx o n x x x x x()()()n nn x o n xx x x 2242!21!4!21cos +-+-+-=()()()n nn x o nx x x x x +--+-=++1321321ln ()()121215312153arctan +++++-+-+-=n n n x o n xx x x x ()()()()[]()n nax o x n n a a a x a a ax x +---++-++=+!11!21112 题型1 研究数列{}n x 的极限例1 设1112,2,1,2,n nx x n x +==-=，证明{}n x 收敛并求例2设1112,2,1,2,n nx x n x +==+=，证明{}n x 收敛并求lim nn x →∞题型2 n 项和的极限常用到的方法有：夹逼准则；定积分定义；级数求和.例1证明22212lim()12n nn n nn n n n→∞+++++++++收敛例2设数列22(1)n n k n x +==∑，则lim n n x →∞=例2 证明11112n n n n++++++收敛例3极限n →∞∑=∞→+nk n kn n122lim 例5 证明2121lim 1nn k k n n →∞=++∑收敛 例6 证明21lim nn k →∞=收敛例7 证明1sinlim 1nn k k nn kπ→∞=+∑收敛 题型3 多项乘积的极限常用到的方法有：乘以某个因子，引发连锁反应；取对数后再求极限. 例8 （1）当1x <时，求22lim(1)(1)(1)nn x x x →∞+++（2）当0x ≠时，求limcoscos cos242n n x x x→∞题型4 未定式的极限型，常用到的方法有：（1）等价无穷小代换；（2）分解因式或根式有理化后消去零因子；（3）洛必达法则；（4）利用麦克劳林展开式；例9 （1）202lim x x →（2）0ln(1)lim(1cos )sin x x x x x x→-++（3）1202sin()limx xt dt x →⎰（4）设函数)(x f 连续，0)0(≠f ，求⎰⎰--→x xx dtt x f x dtt f t x 0)()()(lim∞∞型，常用到的方法有：（1）抓大头法；（2）洛必达法则； 例10 （1）limx →-∞（2）limx（3）[]lim 1x x x x →∞++ （4）222(1)limx t x x t edtx-→+∞+⎰∞-∞型（合并、提取、代换）例11 22201cos lim()sin x x x x →-lim (x x →+∞-21lim[ln(1)]x x x x →∞-+0⋅∞型（下放）lim [arctan ]41x xx x π→+∞-+ 1121lim (22)nn n n +→∞-1∞ 000∞型例12 2lim tan ()4nn n π→∞+ sin 0lim xx x+→lim x x π+→ 21lim(tan )n n n n →∞ tan 01lim()x x x +→题型5求分段函数的极限例1 求下列函数在分段点处的极限2sin 2 <0() >01cos xx xf x x x x⎧⎪⎪=⎨⎪⎪-⎩ 例3求1402sin lim 1x x x e x x e →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭题型6 求极限的反问题例3（1）当0x →时，34sin sin cos x x x x -+ 与n x 是同阶无穷小，则n =（2）已知)0x ax b →∞-=时，求,a b（3）已知54lim[(42)](0)c x x x x A →∞+--=≠），求,c A（4）设()x f 在()+∞,0内可导，()0>x f ，()1lim =∞→x f x ，且满足()()x hh e x f hx x f 11lim =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→，求()x f 。
02-初等函数及数列极限的概念
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
第二讲 初等函数及数列极限的概念
一、基本初等函数
大家在中学就已熟悉它们了！
以下六种简单函数 称为基本初等函数
1. 常值函数 y = C ( C 为常数 )
2. 幂函数 y = x ( R 为常数 )
3. 指数函数 y = a x ( a > 0, a 1 )
23
n
通项：
xn
1
(1)n n
.
x2n1
x2n
x4
•••••
•••••
0
1
1
x1 x3
n
2
M 所有奇数项
x2 x
1
(5)
n
n
1
:
1, 2, 3, , n , 2 3 4 n1
通项 :
xn
n. n 1
x1 x2 x3 … xn …
••••• •••••
x
0
1 2
2 3
3 4
…
n n 1
(2) 反双曲余弦函数 双曲余弦函数 y chx 是(, ) 到 [1, )
上的映射, 但不是一一对应。
由 y chx ex ex 解得 2
x ln y y2 1 ,
y [1, )。
这里有两支, 单独来看, 这两支分别都可作为 双曲余弦的反函数。
通常取 x ln y y2 1 , y[1, )
数列中的每一个数称为数列的一项
xn = f (n) 称为数列的通项或一般项
例1
介绍几个数列
(1) {2n}: 2, 4, 8, , 2n ,
通项 : xn 2n.
数学考研名师指导微元法的运用
数学考研名师指导微元法的运用
数学考研名师指导：微元法的运用
微元法是高等数学中的重要内容，但是有很多的考生对微元法却是一知半解，从心里面比较排斥微元法，无法在做题的过程中使用微元法。
事实上，微元法远不像大多数考生想象的那样抽象，那样不可理解。
在高等数学中，微元法的思想首先出现在定积分之中，归根结底它的中心思想就是分割，近似，求和，取极限。
借助于这种思想和思路，我们进一步用微元法去求解面积，旋转体的体积，弧长，旋转体的表面积以及在物理中的应用。
下面，我主要给大家介绍一下如何用微元法求解极坐标下的面积，旋转体的体积，弧长，旋转体的表面积。
极坐标下的面积
首先我们必须明确，由于这个不规则的扇形的半径在不断的变化，所以我们无法将它的面积按照扇形的面积公式进行计算，所以我们首先对它进行分割，在分割的比较细的时候，
图中阴影部分近似的看作是半径不变的扇形，然后我们按照扇形的面积公式进行计算。
通过以上四个例子，相信大家对微元法已经有了一定的了解，对于微元法在物理中的应用类似我们也可以得到相关结论，微元法的根本思想就是分割，近似，求和，取极限。
只要我们牢牢的把握住这一点，微元法对大家而言也是很简单的。
2022考研领学班基础阶段高等数学第二讲 1-6
(2).
1
lim(1 x) x e
x0
或
lim
x
1
1 x
x
e.
例 36(1993-4) lim 3x2 5 sin 2 x 5x 3 x
例 36(1993-4) lim 3x2 5 sin 2 x 5x 3 x
例 37 lim tan( x2 1) x1 x 1
例
38
b1
x n1 0
0, m n
5.
lim
x
a0 xm b0 xn
a1 xm1 b1 xn1
am1x am bn1x bn
a0 b0
mn
6. lim n n 1, lim n a 1
m n
n
n
0, x 0
7. lim enx
1,
x0
n
, x 0
am1x0 am bn1x0 bn
lim
n
nn1 (n 1)n
答案：A
例
22(1998-2)设数列
xn
与
yn
满足
lim
n
xn
yn
0
，则下列断言正确的是
(A) 若 xn 发散，则 yn 必发散. (C) 若 xn 有界，则 yn 必为无穷小.
【分析 1】直接法
(B) 若 xn 无界，则 yn 必有界.
(D)
若
1 xn
为无穷小，则 yn 必为无穷小.
【分析 2】举反例
是等价无穷小，则
(A) a 1, b 1 . (B) a 1, b 1 . (C) a 1, b 1 . (D) a 1, b 1 .
6
6
6
6
汤家凤高等数学辅导讲义
汤家凤高等数学辅导讲义是一本非常实用的高等数学辅导资料，它由汤家凤老师团队精心编写，涵盖了高等数学的核心内容和重要知识点。
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2-第二讲不定积分的计算方法(I)剖析.
解
sin10 x cos3 x d x sin10 x cos2 x cosx d x
sin10 x cos2 x d sin x sin10 x(1 sin2 x) d sin x
(u10 u12 ) d u
令u sin x
凑微分得
1 u11 1 u13 C 11 13
1 sin11 x 1 sin13 x C .
(3). cosxdx=dsinx. (4). sinxdx=-dcosx.
2.被积函数出现正\余弦函数的奇数次幂时:
例8
求 tan x dx .
拆出个正\余弦的1次幂
解
tan
x
dx
sinx cosx
dx
凑微分得
1 cosx
dc
osx
1 u
du
令u cosx
ln u C
ln cosx C
例9
求 sin 3 x cos x d x .
凑微分得
解 sin3 x cosx d x sin3 x d sin x
令 u sin x, 故
拆出个正\余 弦的1次幂
u3 du
1u4 C 4
1 sin4 x C 4
例10 计算 sin10 x cos3 x d x.
拆出个正\余 弦的1次幂
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（二）
—— 一元微积分学
第二讲 不定积分的计算方法
第五、六章 一元函数的积分
本章学习要求： ▪ 熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式. ▪ 熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积 分的换元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部 分分式法. ▪ 理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的 关系. ▪ 熟悉牛顿—莱布尼兹公式（微积分基本定理）. ▪ 理解广义积分的概念.能运用牛顿—莱布尼兹公式计算 广义积分。 ▪ 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运 用定积分表达和计算一些量：平面图形的面积、旋转体 的体积、经济应用问题等。
初等函数及数列极限的概念
一个数列有界(有上界, 有下界), 则必有 无穷多个界(上界, 下界).
数列{xn } 的所有上界中的最小者, 称为数列的上确界, 记为 sup xn.
数列{xn}的所有 下界中的最大者, 称为数列的下确界, 记为 inf xn.
现在来讨论如何定义数列的无界性：
首先看有界性定义的关键所在
对所有的
并称该支反函数为反双曲余弦的主支。
通常所说的反双曲余弦函数即指此主支。
类似于上面的作法, 可以得到 arth x , arcth x , arsech x , arcsch x 的表达式.
第二章 极限
本章学习要求：
了解数列极限的概念， 会用《 N》语言描述数列的 极限。正确理解 和 N 的含义。
(2) 反双曲余弦函数 双曲余弦函数 y chx 是(, ) 到 [1, )
上的映射, 但不是一一对应。
由 y chx ex ex 解得 2
x ln y y2 1 ,
y [1, )。
这里有两支, 单独来看, 这两支分别都可作为 双曲余弦的反函数。
0, 1, 0, 1 , 0, 1,, 1 (1)n ,
23
n
x2n1
x2n
x4
•••••
•••••
0
1
1
x1 x3
n
2
M
x2 x
1
1
(1)n n
不单调,
但有界 (可取
M
1).
(4)
n
n
1
:
1 , 2 , 3, , n , 2 3 4 n1
但有个别分段函数例外，例如
x, x0 y x , x 0 因为它可以改写为初等函数 y x2 的形式.