第二节 常数项级数的审敛法

第二节 常数项级数的审敛法 ㈠本课的基本要求会用正项级数的比较审敛法和根值审敛法，掌握正项级数的比值审敛法，会用交错级数的莱布尼茨定理㈡本课的重点、难点正项级数的审敛法为重点、交错级数审敛法为难点 ㈢教学内容一．正项级数及其审敛法 1．定义 定义1 级数∑∞=1n nu= n u u u +++21)0(≥n u ⑴称为正项级数。

显然，正项级数的部分和数列{}n S 是单调增加的，即≤≤≤≤≤n S S S S 321如果数列{}n S 有界，则根据单调有界数列必有极限的准则知级数⑴必收敛，若设其和为S ，则S Snn =∞→lim ，反之，若正项级数收敛于S ，可知数列{}n S 有界。

因此我们得到正项级数收敛的充要条件如下：定理1 正项级数⑴收敛的充要条件是它的部分和数列{}n S 有界。

2．比较审敛法由上述定理，可建立正项级数的一个基本审敛法 定理2 （比较审敛法）设有两个正项级数),3,2,1(11=≤∑∑∞=∞=n v uv u n nn nn n，如果和成立，那么：⑴若级数∑∞=1n nv收敛，则级数∑∞=1n nu也收敛；⑵若级数∑∞=1n nu发散，则级数∑∞=1n nv也发散。

比较审敛法的要点是将要判断的级数与已知敛散性的级数加以比较。

必须注意在比较时，是取两级数的一般项进行比较。

常用等比级数和P-级数（其敛散性见书上P.195.例1）作为判断其它级数敛散性的依据。

推论 设有两个正项级数∑∑∞=∞=11n nn n vu 和，如果级数∑∞=1n nv收敛，且存在自然数N ，使当Nn ≥时有)0(>≤k kv u n n 成立，则级数∑∞=1n nu收敛；如果级数∑∞=1n nv发散，且存在自然数N ，使当N n ≥时有)0(>≥k kv u n n 成立，则级数∑∞=1n nu发散。

定理3（比较审敛法的极限形式） 设∑∑∞-∞=11n nn n vu 和为两个正项级数，⑴如果)0(lim∞<≤=∞→l l v u n nn ，且级数∑∞-1n n v 收敛，则级数∑∞=1n n u 收敛； ⑵如果0lim>=∞→l v u n n n 或+∞=∞→n nn v u lim ，且级数∑∞-1n n v 发散，则级数∑∞=1n n u 发散。

例1．讨论级数)0(111>+∑∞=a an n的敛散性 例2．判别级数∑∞=-+1212n nn）（的敛散性 例3．判别级数∑∞=+11n b an 的敛散性例4．判别级数∑∞=++1)4)(1(1n n n 的敛散性例5．判别级数∑∞=122sin n nn的敛散性 结论：如果正项级数的通项n u 是分式，而其分子分母都是n 的多项式（常数是0次多项式）或无理式时，只要分母的最高次数高出分子最高次数一次以上（不包括一次），该正项级数收敛，否则发散。

例6．判别级数∑∞=++12)1/()1(n nn 的敛散性例7．判别级数∑∞=-+14)1/()1(n nn 的敛散性例8．判别级数∑∞=+1)11ln(n n 的敛散性 例9．讨论级数)30(3sin21π<<∑∞=x xn nn 敛散性 3．比值审敛法将所讨论的正项级数与等比级数比较，我们可以得出在实际应用中很方便的比值审敛法和根值审敛法。

定理4 （达朗贝尔比值审敛法）设有正项级数ρ=+∞→∞=∑nn n n n u u u 11lim，如果极限存在，那么 ⑴当ρ<1时级数收敛；⑵当ρ>1时级数发散(1<ρ<+∞)；⑶当ρ=1时定理失效。

例1．判定级数∑∞=⋅123n nnn 的敛散性 例2．判定级数∑∞=1!n nn n 的敛散性例3．判定级数∑∞=⋅-12)12(1n n n 的敛散性例4．判定级数∑∞=+112tann n n π的敛散性例5．判定级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+112n nn n 的敛散性例6．判定级数∑∞=1!1000n nn 的敛散性例7．判定级数∑∞=+122n nn 的敛散性 例8．证明级数 +-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅+⋅++)1(32113211211111n 收敛，并估计以部分和n S 近似代替和S 所产生的误差。

定理5 （根值审敛法，柯西判别法）设∑∞=1n nu为正项级数，如果ρ=∞→nn n u lim，则当1<ρ时级数收敛，1>ρ（或+∞=∞→nn n u lim）时级数发散，1=ρ时级数可能收敛也可能发散。

将所给正项级数与P ─级数作比较，可得在实用上较方便的极限审敛法。

定理6 （极限审敛法）设∑∞=1n nu为正项级数，⑴如果0lim >=∞→l nunn 或∞>=∞→l nu n n lim ，则级数∑∞=1n nu发散；⑵如果1>p ，而)0(lim +∞<≤=∞→l l u nn pn ，则级数∑∞=1n n u 收敛。

例9．判定级数∑∞=2)(ln 1n nn 的敛散性例10．判定级数∑∞=+12)11(21n n nn 的敛散性 二．交错级数及其p 审敛法1．交错级数 定义1 级数)0()1(432111≥+-+-=-∑∞=-n n n n u u u u u u 称为交错级数。

2．审敛法（莱布尼兹判别法） 定理7 若交错级数∑∞=--11)1(n n n u 满足0)();,3,2,1()(lim 1==≥∞→+nn n n uii n u u i ，则交错级数∑∞=--11)1(n n n u 收敛，且11+≤≤n n u r n u S 项和的余项绝对值，前和。

例1．判别交错级数∑∞=--111)1(n n n的敛散性。

解：因为01)();,3,2,1(111)(limlim1===+=≥=∞→∞→+nu ii n n u n u i n n n n n 故交错级数∑∞=--111)1(n n n 收敛，且和11,1+≤<n r S n 。

例2．判别交错级数∑∞=-⋅++-11112)1(n n nn n 的敛散性。

（解略） 三．绝对收敛和条件收敛 定义2 级数),2,1(211=++++=∑∞=n u u u u un n n n其中为任意实数，则称级数为任意项级数。

任意项级数各项的绝对值组成的正项级数为++++=∑∞=n n nu u u u211定义3 若级数∑∞=1n nu收敛，则称级数∑∞=1n nu绝对收敛；若级数∑∞=1n nu发散，而级数∑∞=1n nu收敛，则称级数∑∞=1n nu条件收敛。

定理8 绝对收敛的级数收敛。

即若级数∑∞=1n nu绝对收敛，则有级数∑∞=1n nu收敛。

证明只须令),2,1)((21=+=n u u v n n n 即可。

注：如果级数∑∞=1n nu发散，就称级数∑∞=1n nu非绝对收敛。

但须说明，这时不能说级数∑∞=1n nu一定发散。

例如级数∑∞=--111)1(n n n 收敛，而级数∑∞=11n n 发散。

例1．判断下列级数是否收敛，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛。

⑴∑∞=125sin n nn π⑵ ∑∞=+--11121)1(n n n ⑶∑∞=---1113)1(n n n n ⑷ ∑∞=-13)1(n nnn n ⑸∑∞=-13)1(n nn⑹∑∞=---1112)1(n n n n小结作业：P.206.1,2,3,4,5双数。