【数学】江苏省泰州市兴化一中2018届高三考前适应性练习试卷

江苏省泰州市兴化一中2018届高三考前适应性练习数学试卷一、填空题1．已知集合{}=2,3,4A ，{}=2B a a +,，若=AB B ，则=BC A ．2．一个容量为20的样本数据分组后，分组与频数分别如下：，2；，3；，4；，5；，4；，2．则样本在上的频率是 ． 3．已知复数i zz=-+11，则=||z ． 4．运行如图所示的程序后，输出的结果为 ．5．记函数()f x =D ．若在区间[－6，6]上随机取一个数x ，则Dx ∈的概率为 ．6．函数()()2lg 23f x x x =-++的单调递减区间是 ．7．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝3，CD ＝2， 2AM MD =.若3AC BM ⋅=-，则AB AD ⋅= .8．设向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，其中πβα<<<0，若a 3-=+，则βα-= .9．一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的3倍，则圆柱的侧面积是(]10,20(]20,30(]30,40(]40,50(]50,60(]60,70(]10,50其底面积的 倍.10．若直线a x y l +=:1和直线b x y l +=:2将圆5)2()1(22=-+-y x 分成长度相等的四段弧，则=⋅b a ． 11．已知数列112， 134， 158， 1716，…，则其前n 项和S n 为 . 12．在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线1422=-y x 右支上的一个动点。

若点P 到直线012=+-y x 的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为13．已知函数⎩⎨⎧<++≥-+=1,21,3ln )(2x ax x x e x x f x 有且仅有2个零点，则a 的范围是 ．14．已知ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且π3C =，2c =，当AB AC ⋅取得最大值时， ba的值为 ． 二、解答题150>ω）的周期为π.（1)(x f 的值域； （2）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若3)2(=Af ，且4=a ，5=+c b ，求ABC ∆的面积.16．如图，在四棱锥ABCD P -中，已知底面ABCD 为矩形，⊥PA 平面PDC ,点E 为棱PD 的中点，求证：（1）//PB 平面EAC ； （2）平面⊥PAD 平面ABCD ．17．某公司拟购买一块地皮建休闲公园，如图，从公园入口A 沿AB ，AC 方向修建两条小路，休息亭P 与入口的距离为米（其中a 为正常数），过P 修建一条笔直的鹅卵石健身步行带，步行带交两条小路于E 、F 处，已知045BAP ∠=，12tan 5CAB ∠=．（1）设AE x =米，AF y =米，求y 关于x 的函数关系式及定义域； （2）试确定E ，F 的位置，使三条路围成的三角形AEF 地皮购价最低．18．椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x M 的离心率为23，点)2,0(E 关于直线x y -=的对称点在椭圆M 上． （1）求椭圆M 的方程；（2）如图，椭圆M 的上、下顶点分别为A ，B ，过点P 的直线l 与椭圆M 相交于两个不同的点C ，D ．①求⋅的取值范围；②当AD 与BC 相交于点Q 时，试问：点Q 的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．19．在数列{}n a 中，11a =，1114n n a a +=-，121n n b a =-，其中n *∈N ． （1）求证：数列{}n b 为等差数列；（2）设2n bn c =，试问数列{}n c 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，说明理由．（3）已知当n *∈N 且6n ≥时，1132n mm n ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，其中1m =，2，⋅⋅⋅，n ，求满足等式()()3423n nbn n n n b ++⋅⋅⋅++=+的所有n 的值．20．设函数()sin cos xf x xe a x x =-（a R ∈，其中e 是自然对数的底数）.（1）当0a =时，求()f x 的极值； （2）若对于任意的0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）是否存在实数a ，使得函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【参考答案】一、填空题 1．{}32． 7103． 1 4． 9 5． 1256． ()1,3 7． 328． 32π9． 24 10． 4- 11． 2112n n +-12．55 13．a =3a <-【解析】设()ln 3,1xh x x e x =+-≥， ()h x 在[)1,+∞上递增，由()()10{20h h <>，可得()h x 在[)1,+∞上有一个零点，只需函数()22,1g x x ax x =++<，在(),1-∞有一个零点即可，0∆=时，a =此时()g x有一个零点，符合题意，若0∆>，只需()10g <即可，可得1++3<0,<3a a -， a ∴的取值范围是a =或<3a -，故答案为a =或3a <-.14．2【解析】设ABC ∆的外接圆半径为R，则2sin 3c R C == .cos 2cos 2cos cos AC AB bc A b A B A B A ⋅==== , 2π3B A =-, 832πsin3AC AB A A ⎛⎫⋅=-= ⎪⎝⎭21sin 4cos 2A A AA ⎫+=+⎪⎪⎝⎭sincos A A()121cos22cos22sin22A A A A A A⎫=++=++=+⎪⎪⎝⎭π223A ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ . 2π4π0,0233A A <<<<,ππ5π2<333A <+ ，则当ππ232A +=，即：π12A =时， AC AB ⋅取得最大值为23+，此时ABC ∆中， 7π,12B =,π7πsin sin 1212a b=)17πsin 122πsin 124ba ===.二、解答题15．解：（1）1π()cos2)sin 2sin(2)23f x x x x ωωω=++=++()f x 的周期为π，且0ω>，22ππω∴=，解得1ω=π()sin(2)3f x x ∴=++ 得65326πππ≤+≤-x ，1)32sin(21≤+≤-πx ，231)32sin(213+≤+≤-πx 即函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-231,213． （2）()2Af sin()π3A ∴+=()y f x =由π(0,)A ∈，知ππ4333πA <+<， 解得：23π3πA +=，所以π3A = 由余弦定理知：2222cos a b c bc A =+-，即2216b c bc =+-216()3b c bc ∴=+-，因为5b c +=，所以3bc = ∴13sin 324ABC S bc A ∆==16． （1）证明：连接BD 与AC 相交于点O ，连结OE ．因为四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 中点． 因为E 为棱PD 中点，所以PB ∥OE ． 因为PB ⊄平面EAC ，OE 平面EAC ， 所以直线PB ∥平面EAC ．（2）解：因为P A ⊥平面PDC ，CD 平面PDC ，所以 P A ⊥CD ． 因为四边形ABCD 为矩形，所以AD ⊥CD ．因为 P A ∩AD ＝A ，P A ，AD 平面P AD ，所以 CD ⊥平面P AD ． 因为CD 平面ABCD ，所以 平面P AD ⊥平面ABCD ．17． 解：（方法一）（1）由12tan 5CAB ∠=得12sin 13CAB =∠，5cos 13CAB =∠且72sin sin()sin(45)26FAP CAB PAE CAB ∠=∠-∠=∠-︒= 由题可知AEFAEPAFPS SS=+所以111sin sin sin 222AE AF CAB AE AP PAE AP AF FAP ∠=∠+∠ 得11212172323221322xy x a y a ⋅=⋅+⋅⋅ 即1232113213xy ax ay =+ 所以1347axy x a=-由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ (2) 设三条路围成地皮购价为y 元，地皮购价为k 元/平方米，则AEFy k S =⋅(k 为常数)，所以要使y 最小，只要使AEFS 最小由题可知2111266136sin 221313134747AEFax ax S AE AF CAB xy xy x x a x a=⋅⋅∠=⋅==⋅=-- 定义域为7(,)4a+∞ 令470t x a =->则2222763144934941488AEFt a a a t at a a a St a t t t +⎛⎫ ⎪⎛⎫++⎝⎭==⋅=++ ⎪⎝⎭23211482a a a ⎛⎫≥+= ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当7t a =即72ax =时取等号 所以，当72ax =时，AEFS 最小，所以y 最小答：当点E 距离点A72a米远时，三条路围成地皮购价最低. （方法二）(1) 由12tan 5CAB ∠=得12sin 13CAB =∠，5cos 13CAB =∠sin sin()sin(45)26FAP FAE PAE FAE ∠=∠-∠=∠-︒=设FPA θ∠=APF 中，由正弦定理sin sin sin AF PF APAPF FAP AFE==∠∠∠所以26,sin sin yPF AFE θ=∠=同理可得122,sin xy xPE FE θ==由PF PE FE +=即12262sin sin y xy θθ+=整理得1347axy x a=-，由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ （方法三）（1）以AB 所在直线为x 轴，点A 为坐标原点，建立如图直角坐标系，则(),0E x ，()3,3P a a ，由12tan 5CAB ∠=，得12sin 13CAB =∠，5cos 13CAB =∠所以512,1313F y y ⎛⎫⎪⎝⎭因为PE 与PF 共线所以()()51233331313y a a y a x a ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1347axy x a=-由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ . 18．解：（1）因为点)2,0(E 关于直线y x =-的对称点为(2,0)-，且(2,0)-在椭圆M 上，所以2a =．又23=e ，故c =则222431b a c =-=-=．所以椭圆M 的方程为2214x y +=．（2）①当直线l 的斜率不存在时， (0,1),(0,1)C D -，所以OC OD ⋅＝－1．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为11222,(,),(,)y kx C x y D x y =+，222,1,4y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得22(14)16120k x kx +++=，由0∆>，可得243k >，且1212221612,1414k x x x x k k +=-=++， 所以1212OC OD x x y y ⋅=+21212217(1)2()4114k x x k x x k=++++=-++， 所以1314OC OD -<⋅<，综上13[1,)4OC OD ⋅∈-． ②由题意得，AD ：2211y y x x -=+，BC ：1111y y x x +=-， 联立方程组，消去x 得121221233kx x x x y x x ++=-，又121243()kx x x x =-+，解得12y =-，故点Q 的纵坐标为定值12. 19．（1）证明：11111111212121212n n n n n nb b a a a a ++-=-=-=----- ∴数列{}n b 为等差数列；（2）解：假设数列{}n c 中存在三项，它们可以构成等差数列；不妨设为第p ，r ，q（p r q <<）项， 由（1）得n b n=，∴2nnc =，∴2222rpq⋅=+，∴1212r pq p +--=+，又12r p+-为偶数，12q p-+为奇数．故不存在这样的三项，满足条件．（3）由（2）得等式()()3423nnbn n n n b +++⋅⋅⋅++=+，可化为()()3423nnn n n n ++⋅⋅⋅++=+即3421333nnnn n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴111111333nnnn n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 当6n ≥时，1132nmm n ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， ∴11132nn ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭，221132nn ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，⋅⋅⋅，1132nnn n ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，∴2111111111113332222n n n n nn n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-<++⋅⋅⋅+=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴当6n ≥时，()()3423n nn n n n ++⋅⋅⋅++<+当1n =，2，3，4，5时，经验算2n =，3时等号成立∴满足等式()()3423nn bn n n n b ++⋅⋅⋅++=+的所有2n =，320．解：（1）当0a =时，()()()e ,e 1xxf x x f x x '==+令()0f x '=，得1x =-列表如下：所以函数()f x 的极小值为()11e f -=-，无极大值； （2）①当0a ≤时，由于对于任意π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有sin cos 0x x ≥所以()0f x ≥恒成立，当0a ≤时，符合题意；②当01a <≤时，因为()()()0=e 1cos2e 01cos010xf x x a x a a '+-≥+-=-≥所以函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，所以()()00f x f ≥=，即当01a <≤，符合题意；③当1a >时，()'010f a =-<，π'4ππ=e 1044f ⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以存在π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()'0f α=，且在()0,α内，()'0f x <所以()f x 在()0,α上为减函数，所以()()00f x f <=即当1a >时，不符合题意综上所述，a 的取值范围是(],1-∞;（3）不存在实数a ，使得函数()f x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点， 由（2）知，当1a ≤时，()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，且()00f =，故函数()f x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点 当1a >时，()()'=e 1cos2x f x x a x +-令()()e1cos2xg x x a x =+-，()()'e 22sin 2x g x x a x =++当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，恒有()'0g x >，所以()g x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数由()π2ππ010,=e 1022g a g a ⎛⎫⎛⎫=-<++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故()g x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一的零点0x ，即方程()'0f x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一解0x且当()00,x x ∈时，()'0f x <，当0π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()'0f x >即函数()f x 在()00,x 上单调递减，在0π,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，当()00,x x ∈时，()()00f x f <=，即()f x 在()00,x 无零点；当0π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()π20ππ0,=e 022f x f f ⎛⎫<> ⎪⎝⎭ 所以()f x 在0π,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一零点， 所以，当1a >时，()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点 综上所述，不存在实数a ，使得函数()f x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点.。