狭义相对论-4

1 2
61
• 二阶张量 如果一个物理量有44＝16个分量，不同参考系之间变换时
M M
则称此物理量为二阶张量。 则称此物理量为二阶张量
g 【例】 是二阶张量（自己证明）。
62
§13 电场和磁场的相对性 电场和磁场也有相对性。 例如： S S S 系中只有静电场， u u q S 系中电场、磁场皆有。 系中电场 磁场皆有
0 0 E / c 0 0 p1 , p 1 0 2 0 1 p3
p p
由于能量和动量有比较简单的变换关系，一般较多用来描述质 点的运动性质，其它量可以导出，例如速度：
2 pc E
普遍地，如果一个物理量有4个分量，不同参考系之间按时空 坐标的方式变换，则称此物理量为 标的方式变换 则称此物 量为4-矢量 矢量。在不引起混淆时， 在不引起混淆时 也称为矢量。 59
56
• 洛伦兹变换可以写成矩阵形式
x0 x1 x2 0 x 0 3

0 0
0 0 x0 0 0 x1 u 1 ， ＝ , c 1 0 x2 1 2 0 1 x3
x x 。 或简写为 简
• 可以证明时空距离与参考系无关：s 2 s 2 时空距离的物理意义－原时 (ct1 , x1 ) (ct 2 , x2 ) 质点以速度 u 沿 x 轴从 x1 运动到 x2 ，即： 即： , x1 ) (ct 2 , x2 x1 ) ，有 在其静止系中对应 (ct1
把一段导线线元 d l 中运动电荷产生的磁场
74
相叠加，就得到毕 — 萨定律：
dB
S

dl
Q

un
r
P
ˆ 0Qu r d B nS d l 2 4 r ˆ 0 I d l r 4 r 2
—— 毕 — 萨定律
I nQuS Q
在一定的条件下， 这里我们看到， 磁场不过是电场的相对论效应。
E x E y E z

1 1 u2 / c 2
三 . 匀速运动点电荷的电场
S S y ut
u
O O Q u
r
E y E P E x
静电场强：
E
x x x
ˆ Qr 2 4 0 r
66
S
y
O O Q u
S y ut
y
u
r
E y E P E x
E
ˆ Qr 2 4 0 r
设场点P在 xo y 则 平面内(z=0) ，则：
x x x
Q x E x E x 2 2 3/ 2 4 0 ( x y ) Q y E y E y 2 2 3/ 2 4 0 ( x y ) 洛仑兹变换 变换 x ( x ut ) y y
由洛仑兹速度 变换 有 变换，有：
vx u v x uv x 1 2 c vy ( 3) v y u (1 2 v x ) c vz v z u (1 2 v x ) c 71
由电场变换关系，
E E x x Ey 有 E y 有： ( 4) Ez Ez
类 空
用光信号联系的两个事件S 0 ( l ct )
x=ct
类 空
▲
对有因果关系的事件：
类 时 x
l c，ct l , t 2 (S ) 0 ,
类 时
▲
该时空域称类时区 该时空域称类时区； 对无因果关系的事件：
l c ，则 S 2 0 ， 若 该时空域称类空区。 t
(A)
(B)
67
(B) (A) 得：
u 1 2 ˆ 令 ˆ Qr u Qr c E K ( , ) 2 2 2 c u 4 r 4 r 2 3/ 2 0 0 (1 2 sin ) c
S y ut O Q

2
yEyΒιβλιοθήκη EP Exy sin ， r
在 u，r 一定时，
S
0
（q可以运动， E 可以随时间变化）
二 . 电场的相对论变换 只由一个特例来分析：
64
S
S
u
q A
Ex
-q
u
Ex
q A
O
O
q q y y S S u 2 Ey Ey u A A A 1 2 -q c u q A A q q O O A A / x x
O O
x
x
再如： S S u u S 中只有磁场， + ++ + + S 中电场、磁场 u O O x x 皆有。 63
一 . 基本依据 1.电量具有相对论不变性。 2.电场强度定义：
F E （q可以运动） q
1 3 高斯定理（律）： 3. 高斯定理（律） E d s q内
x
B线稀疏
73
B线稀疏
B线密集
高速运动点电荷的 E、B 相当于一个随电荷
一起运动的电磁脉冲。
ˆ Qu r 当 u << c 时： B 2 2 4c 0 r 1 1 ， 引入常量 0 2 ， 即 c c 0 00 0Qu r ˆ 则有 B 2 4 r
E A E B EC , pA pB pC
2 4 2 4 EB mB c pB 2 c 2 , E C mC c pC 2 c 2
由此得到 由 得到A粒子的静 粒子的静止质量为 质量为
mA 1 2 2 / / E c E c p p B C B C c
§11 闵可夫斯基空间
• 将事件的时空坐标点用4-维闵可夫斯基的逆变矢量表示
x ( x 0 ct , x 1 x , x 2 y , x 3 z )
两个事件时空坐标点的距离平方定义为
s 2

, 0,1,2,3 0123
g ( x2 x1 ) ( x2 x1 ) (ct 2 ct1 )2 ( r2 r1 )2
Ex E x ) E y ( E y uBz E ( E u B z z y)
或利用爱因斯坦记号（上、下重复指标代表求和）
x g x
再定义 ( g ) ( g ) ，许多表达式可以简洁 许多表 式可以简洁
x g x , x g x
s 2 g ( x2 x1 ) ( x2 x1 ) ( x2 x1 ) ( x2 x1 )
2 u c 2 ( t 2 t1 )2 ( x2 x1 )2 ct 2 (1 2 ) c t1 )2 ( x2 x1 )2 c 2 ( t 2 t1 )2 c 2 (t2
s ct ct s
57
▲
ct -x = c t
u K ( , ) E c
68
r
u

x
x
. Q
u
Q不变，由高斯定理知， 线的总条数不变 条数不变, E 线的 x
∴ E 线向横向集中。 线向横向集中 线向横向集中加剧 u E 线向横向集中加剧。
u K ( , ) E c
ˆ u u Qr 0 时， K ( ， ) 1 ， E 2 c c 4 0 r
x
x
Ex E x 0 高 0
Ey E y ，同理 E E z z 65 0 0
普遍的 E（静止电荷的场强）和 E（运动电 荷的场强）的变换关系也是 荷的场强）的变换关系也是：
E E E
y y
x y z
58
§12 矢量、标量和张量
• 4-动量
p ( E / c , p)

可以证明4-动量在洛伦兹变换下与时空坐标的变换关系相同
E / c p1 p2 0 p 0 3

0 0
－动量缩并
p p E 2 / c 2 p 2 m0 2 c 2
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【例题】在高能加速器中产生出的不稳定粒子A很快衰变
A BC
B和C是已知粒子，静止质量分别为 是已知粒子 静止质量分别为 m B , mC 。实验上测得 实验上测得 末态粒子的动量为 pB , pC 。求粒子A的质量？ 【解】由能量、动量守恒可以得到
• 标量（不变量） 在所有参考系中都相同的物理量，如 c。 矢量“点乘（缩并）”构成标量（自己证明） 矢量“点乘（缩并）”构成标量（自己证明）：
a b g a b a b a b
【例】－原时
s / c ( x2 x1 ) ( x2 x1 ) / c
有关磁的规律， 如 B、Fm 都可由相应电场
的相对论变换给出。
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五 . 电磁场的相对论变换 y y S ：E ，B u S S E , B 在同一点 P P S： E， B E, B 由相对论变换可以得到 由相对论变换可以得到： O O x x
将(1)、(3)、(4)代入(2) 经整理得： u F qE qv ( 2 E ) c
u 令 B 2 E 为磁感强度 c
则
F qE q v B