中考数学辅导之—函数与图像下学期北师大版

2005中考数学辅导之—函数及其图象一、学习目标1、能正确画出直角坐标系；并能在直角坐标系中，根据点的坐标找出点，由点求出点的坐标。

2、能分清实例中出现的常量与变量、自变量与函数；对简单的函数表达式，能确定自变量的取值范围，并会求出函数值。

3、能画出简单函数的图象；知道不仅可以用解析法，而且还可以用列表法和图象法表示函数。

二、教材简析函数是数学中的重要概念之一，它使我们从研究不变的量，转化为研究变量之间的相依关系。

函数不仅是一个重要的概念，也是一种很重要的数学思想方法。

通过函数概念和图象的学习可以用几何图形来解析代数问题，使代数问题变得更形象、直观，便于理解，另一方面，也可以用代数方法来研究几何问题。

本章内容包括三个单元。

第一单元是直角坐标系的初步知识，第二单元是函数及其图象，第三单元是常见的几种函数，包括一次函数(正比例函数)、二次函数、反比例函数及其图象。

(本讲主要学习巩固第一、二单元，第三单元留待下学期复习)。

学习直角坐标系，建立有序实数与平面内的点的一一对应关系，为研究函数的图象作准备。

学习函数概念，首先要了解常量、变量概念，用动态的观点来看问题。

弄清函数的本质是具有某些特点的对应关系，抓住函数对自变量的依从关系就是函数与自变量的对应关系。

函数关系中自变量的取值范围是函数存在的不可缺少的部分。

了解函数有三种表示方法，即解析法、列表法和图象法。

能正确迅速地列表、描点并绘出函数图象，(以下为下学期内容)要逐步学会用图象总结函数的性质，由函数的性质能想象出表达式中自变量x与函数y的变化情况。

本章重点是函数的概念、函数解析式与图象性质的内在联系。

能灵活地进行数与形之间的变换是难点。

三、本讲(即第一、二单元)的重点内容有1、掌握x轴、y轴上和四个象限内点的坐标的特征。

2、懂得建立了平面直角坐标系，就使平面上的点与一对有序实数之间建立起一一对应关系，建立数与形之间的联系，初步了解数形结合思想。

3、对函数概念的理解和自变量取值范围的确定。

4、函数的三种表示方法及用描点法画函数图像。

四、基本内容及应注意的问题1、平面直角坐标系是以数轴为基础的，坐标平面内的点的坐标也是利用数轴上点的坐标来定义的。

有关直角坐标系的概念比较多，学习时应紧密结合图形，不能死记硬背定义，看到一个概念，脑子里要能马上反映出相关的图形。

如对“象限”的理解，关键在于结合直角坐标系，能指出各个象限的位置，进而明确坐标轴上的点不属于任何一个象限的真正含义。

2、对于函数的意义，在初中阶段主要应领会两点：一是有两个变量，二是一个变量的数值随着另一个变量的数值变化而变化。

3、关于函数自变量的取值范围问题，主要包含两个方面：一是自变量的取值使函数解析式有意义，这是常用的一个方面，也是以前学过的知识；二是自变量的取值使实际问题有意义，这一方面虽然用的不多，但需要对实际问题作具体分析，有一定难度。

4、关于函数值的问题，可以和求代数式的值的问题联系起来，注意运算的熟练与准确程度。

5、对于函数的三种常用的表示方法，应该有这样的认识：给出一种函数关系，根据需要，有时可以写出它的解析表达式，有时可以列出函数与其自变量的对应数值表，有时也可以画出它的图象；反过来，也可以用一个解析式，或一个反映两个变量的对应关系的数值表，或一个图象，来表示一个函数关系。

6、关于函数图象的意义，要注意到是“把自变量x与函数y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标。

”五、例题例1：若点P(3m-2,5-2m)在第二象限，求m的取值范围解：∵点P(3m-2,5-2m)在第二象限∴ 3m-2＜0 解得：m＜2 35-2m＞0注：根据各象限内点的横纵坐标的特征列出两个不等式，组成不等式组即可求得。

例2：若A点坐标为(m,n)，它关于原点的对称点为A1，而A1关于x轴的对称点为A2，且点A2的坐标为(3,-4)，求m、n的值。

解：∵A点坐标为(m,n)∴A点关于原点的对称点A1的坐标为(-m,-n)，A1点关于x轴的对称点A2的坐标为(-m,n)又∵点A2的坐标为(3,-4)∴ -m=3 即：m=-3n=-4 n=-4注：本题是按题意中的对称关系顺次由点A的坐标推得点A2的坐标。

由于点的轴对称和中心对称关系是相互的，所以本题也可由点A2的坐标逆方向求点A 的坐标，即：A2(3,-4)→A1(3,4)→A(-3,-4)→m=-3,n=-4例3：已知点P(a,a-b)在第四象限，求：(1)Q(-a,b)所在象限。

(2)若a=b，则P点和Q点在什么位置？解：(1)∵P(a,a-b)在第四象限∴a＞0,且a-b＜0∴ b＞a＞0-a＜0则：Q(-a,b)在第二象限(2)当a=b时，P、Q两点坐标可分别表示为P(a,0) Q(-a,a)又∵a＞0∴P 点在x 轴正半轴上，Q 点在第二象限角平分线上(原点除外)。

注：(1)因为P 点在第四象限，横坐标a 为正值，纵坐标a-b 应为负值，所以b 必大于a ，也为正数；(2)当点的横、纵坐标相同时，该点在一、三象限角平分线上。

而点的横、纵坐标互为相反数时，点必在二、四象限角平分线上。

本例有前提P 在第四象限a ＞0，所以Q 只能在第二象限角平分线上，且原点要除外。

例4：求下列各函数的自变量取值范围 (1)y x x =--31572 (2)y x =-156 (3)y x x =+35(4)y x x =+-23(5)y x x =-⋅-33 (6)y x x=--321 (7)y x x x =--0223解：(1)∵不论x 取什么值，原函数都有意义∴x 为全体实数(2)要使函数有意义，必须使15-6x ≥0∴x ≤52 (3)要使函数有意义，只须3x+5＞0，∴x ＞-53(4)要使函数有意义，必须使 x+2≥0 ∴x ≥-2且x ≠3 x-3≠0(5)要使函数有意义，必须使 x-3≥0 即 x ≥3 ∴x=33-x ≥0 x ≤3(6)要使函数有意义，必须使 3-2x ≥0 ∴x ≤32且x ≠±1 1-x ≠0(7)要使函数有意义，必须使 x ≠0 ∴x ≠0,x ≠-1且x ≠3x 2-2x-3≠0例5：如图，锐角∆ABC 中，BC=10，高AD=6，EFGH 是它的内接矩形，设EF 为x ，EH 为y.求y 与x 的函数关系式分析：①学会在图中标注数据②EFGH 是∆ABC 的内接矩形，本身隐含着EH ∥BC 这一条件③EH ∥BC 提供 ∆AEM ∽∆ABD ⇒ AM AD AE AB = ⇒AM AD EH BC= ∆AEH ∽∆ABC ⇒ EH BC AE AB=即：6610-=x y ，变形即得：y x =-356() ④x 是矩形一边EF 的长度，因此0＜x ＜6，这里x ≠0且x ≠6因为x=0或x=6时矩形都不存在，也就失去了该题的实际意义了。

解：∵EFGH 为矩形∴EH ∥BC ⇒ ∆AEM ∽∆ABD ⇒ AM AD AE AB= ⇒ ∆AEH ∽∆ABC ⇒EH BC AE AB= ⇒AM AD EH BC =⇒6610-=x y ∴y x =-356() (0＜x ＜6) 注：对根据实际问题得到的函数关系，它的自变量取值不仅要使函数解析式有意义，而且还要使实际问题有意义，应根据实际问题的限制，确定自变量的取值范围。

例6：求y x x =-+1232，当x=12时的函数值 分析：实质上是当x=12时，求代数式x x -+1232的值。

解：当x=12时y x x =-+1232＝12123122123123163131342363122-+=--+=---=-⋅-=-()()()() 例7：当x 为何值时，y x x =-+212与y=1-x 的函数值相等分析：此题即x 为何值时x x x -=+-1122成立解：当x x x -=+-1122时即：x 2+x=0 ∴x 1=-1,x 2=0经检验：x 1=-1，x 2=0都是原方程的根。

∴当x=-1或x=0时，两函数值相等。

六、练习及作业（一）、选择题1、 点M 在第二象限，且M 点到x 轴距离为2，到y 轴距离为3，则M 点坐标是：A 、 (2,3)B 、(3,2)C 、(-2,3)D 、(-3,2)2、 点P(m,-5)在第二、四象限夹角平分线上，则m 的值为：A 、15B 、－15C 、5D 、－5 3、 已知点A(5m-4,3-m)在第二象限，则m 的取值范围是：A 、m ＜3B 、m ＜45C 、m ＞3D 、45＜m ＜3 4、 已知点M(a,0)在x 轴的负半轴上，则点N(1+a 2,-a)在：A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限5、 已知ab ≠0，则坐标平面上四个点A(a,b)、B(-a,-b)、C(a,-b)、D(-a,b)中关于x 轴对称的点是：A 、 A 与B ，C 与D B 、A 与C ，B 与DC 、A 与D ，B 与C D 、A 与B ，B 与C6、在下列函数中，与y=x-2图像完全相同的函数是：A 、 y x =-()22B 、y x =-()22C 、y x =-()233 D 、y x x =-+242（二）、填空题：7、已知点P 的坐标是(m-n,m+n)，则点P 关于x 轴的对称点坐标是______，点P 关于x 轴的对称点坐标是______，点P 关于原点的对称点坐标是______。

8、在x 轴上的点_____坐标是零；在第四象限夹角的平分线上的点P 坐标 为(m,n)，则m 、n 的关系是______。

9、以(4,0)为圆心，5为半径画一圆，则此圆与y 轴的交点坐标为______。

10、把等腰三角形的一个底角的度数y 表示成顶角度数x 函数解析式是______， 自变量x 的取值范围是______。

（三）、解答题：11、求下面各函数中自变量取值范围 (1)y x x=+1 (2)y x x =++13（3）y x x =-+-111212、∆ABC 的∠∠B C 和两角的角平分线交于点D ，设∠BDC 度数为y ，∠A 度数 为x ，求y 关于x 的函数解析式及自变量x 的取值范围。

13、已知点M 坐标为(-5,0)，点N 在第三象限坐标为(x,y)且x+y=-6，设∆O M N 面积为S 。

(1)求S 关于x 的函数表达式(2)求x 的取值范围(3)当S=10时，求N 点坐标七、答案及解题指导1、D2、C3、B4、A5、B6、C解题指导：1、设M 点坐标为(x 0，y 0)则由题意有x 0＜0，y 0＞0及y x 0023==,，得x 0＝－3，y 0＝2。

2、第二、四象限夹角平分线上的点，其横坐标和纵坐标互为相反数，故m+(-5)=0得m=5。