例题2

Fx t mv2 x mv1x x mv cos (mv cos ) mv2 2mv cos Fy t mv2 y mv1 y y mv sin mv sin 0 2mv cos F Fx 14.1 N t 方向与 Ox 轴正向相同． F' F
2 0
vB
R
B
vA
v0
v
O A
u
v mM m G m h 2 ( R h) Rh mM g G 2 2 R R g 12 1 v0 ( ) 1 612 m s Rh
飞船在A点以相对 速度 u 向外喷气的短 时间里 , 飞船的质量 减少了 m 而为 m', 并 获得速度的增量 v , 使飞船的速度变为v A , 其值为
m2
O
m1 y
y
求链条下落速度v与y之间的关系．设各处摩 擦均不计，且认为链条软得可以自由伸开．
解 以竖直悬挂的链条 和桌面上的链条为一系统， 建立坐标系
则F
ex
m2
O
ex
m1 g yg
m1
y
由质点系动量定理得
F dt dp 因 dp d(yv) d( yv)
ygdt d( yv)
解 以弹簧、小球和 地球为一系统
P
R
30
A B 只有保守内力做功

系统 EB E A
o
B
A
取点B为重力势能零点
1 1 2 2 o 即 mv B kR mgR (2 sin 30 ) 2 2 2 vB 2 mg 又 kR m g m 所以 k R R
Ep 0
3 1 v 2 . 5 10 m s 已知
v' 1.0 10 m s
3
1
求 v1 , v2
m1 100 kg
m2 200 kg
y
s v
z'
y'
s' v'
m2
m1
z
o
o'
x x'
解
v1 v2 v'
(m1 m2 )v m1v1 m2 v2
已知
m 1.2010 kg h 100 km R 1700km 4 1 u 1.0010 m s 2 g 1.62 m s
4
vB
R
B
vA
v0
v
O h A
u
解 设飞船在点 A 的速度 v0 , 月球质 量 mM ,由万有引力和 牛顿定律
(m1 m2 M ) m2 g
2 m12 m2
2 一质量为0.05 kg、速率 为10 m· s-1的刚球，以与钢板 法线呈45º 角的方向撞击在钢 板上，并以相同的速率和角 度弹回来．设碰撞时间为0.05 s．求在此时间内钢板所受到 的平均冲力．
x

mv1
O
mv2
y
直纸面向里
M mgRcos
由质点的角动量定理
dL mgR cos dt
dL mgRcos dt
考虑到 d dt , L mR v mR
2
得LdL m gR cosθ dθ
2 3
由题设条件积分上式

L
0
LdL m gR
2
3


0
cos d
A D
C B
解：建立坐标系并作受力分析图
N2
Y O X
T T A
F
N1
T m1g
ax F m2 g
2 m12 m2
T
B m2g
D Mg
列方程：
T＝m1a x T sin m a 2 x T cos m2 g F T T sin Max
y
d yv yg dt
d yv y gdy ydy yv d yv dt
2
两边同乘以 y d y 则
d yv yg dt
m2
O
m1 y
y
g y d y yv d yv
y 2 0 0
yv
1 3 1 2 gy yv 3 2
2 v gy 3
E2 E1 mgh h s s' 500 m
Wf E2 E1
FN
h
s' Ff
P cos
P
P sin
10 一轻弹簧, 其一端 P R 系在铅直放置的圆环的顶 30 点P，另一端系一质量为m A o 的小球, 小球穿过圆环并在 环上运动(μ =0)．开始球 静止于点 A, 弹簧处于自然 B 状态，其长为环半径R; 当球运动到环的底端点B时，球对环没有压 力．求弹簧的劲度系数．
解：过滑轮中心O做水平轴oz，方向向外 重物，人和轻滑轮为质点系，重物所受的 外力（重力）对oz轴的力矩-MgR
人所受的外力（重力）对oz轴的力矩MgR 滑轮所受的外力对oz轴的力矩为0，质点系 中各物体所受的外力对oz轴的力矩为0 质点系对oz轴的角动量守恒 设重物上升的速度为v, 质点系对oz轴的角动量为 Lz=MvR – M(u-v)R 因开始时，质点系中各物体静止，角动量为0，故 以后各时刻角动量应保持为0。于是 MvR – M(u-v)R=0 v=u/2 习题集 2-20
vB
R
B
vA
v0
v
O h A
u
vA (v v )
13 习题 2-20 解：从静止开始， 甲相对于绳向上的速度 2u 乙相对于绳向上的速度 u 绳向上的速度 v （乙） 人和轻滑轮为质点系，质点系所受的外力（重力） 对oz轴的力矩为0。 因开始时，质点系中各物体静止，角动量为0 因此，由质点系角动量守恒 Lz=M(2u-v)R – M(u+v)R=0 v=u/2 甲向上的速度 2u-v=3u/2: 乙向上的速度 u+v=3u/2 答案 ( C )
M m t M m l v' dt vdt x 0 0 M M
t
Ml x M m
ml X lx M m
解 原位置左侧端为原点 人质量m,质心位置L 车质量M,质心位置X0；如L/2
系统受合外力为零，质心静止不动
mL MX 0 Xc 初状态系统质心位置 mM mX M ( X X 0 ) 末状态系统质心位置 ' Xc mM 系统质心位置不变 mX M ( X X 0 ) mL MX 0 ml Ml X xlX M m M m 习题集2-47
第二章 习题
例1、水平面上有一质量为51kg的小车D，其上有一定 滑轮C，通过绳在滑轮两侧分别连有质量为m1=5kg 和 m2=4kg的物体A 和B。其中物体A在小车的水平面上， 物体B被绳悬挂，系统处于静止瞬间，如图所示。各接 触面和滑轮轴均光滑，求以多大力作用在小车上，才能 使物体A与小车D之间无相对滑动。（滑轮和绳的质量 均不计，绳与滑轮间无滑动）
1
2
5 一枚返回式火箭以 2.5103 m· s-1 的速 率相对惯性系S沿水平方向飞行．空气阻力 不计．现使火箭分离为两部分, 前方的仪器 舱质量为100 kg，后方的火箭容器质量为200 kg，仪器舱相对火箭容器的水平速率为 1.0103 m· s-1． y s y' s ' v' v 求仪器舱和火 m2 m1 箭容器相对惯 o x x' o' 性系的速度． z z'
12
得 L mR (2 g sin )
32
L mR
2
2g 12 ( sin ) R
15 一质量为 m 的登月飞船，在离月球 表面高度 h 处绕月球作圆周运动．飞船采用 如下登月方式：当飞船位于点 A 时，它向外 侧短时间喷射出粒子流，使飞船与月球相切 地到达点 B , 且OA 与 OB 垂直．飞船所喷 气体相对飞船的速度为 u 1.00104 m s1 试问：登月飞船在登月过程中所需消耗燃料 的质量 m是多少?
11 已知在半径为R的光滑球面上，一 物体自顶端静止下滑, 问物体在何处脱离球 2 面? v FN 解 m g cos FN m
当物体在Ａ处脱离球 面时， FN 0
1 2 mgR (1 cos ) mv 2
R
R
A
mg
2 解得： cos 3
角动量问题 12、一轻绳绕过一轻滑轮, 质量为M的人抓住绳的一端A 而生的另一端B系了一个与人等重的重物。设人从静止开 始上爬。当人以相对于绳以匀速u 上爬时， B端重物上升 的速度等于多少？
m1 v2 v v' 2.17103 m s 1 m1 m2
v1 3. 17103 m s 1
y
s v
z'
y'
s' v'
m2
m1
z
o
o'
x x'
6 水平光滑铁轨上有一小车 长为l，质量为M，车的一端 站有一人，质量为m，人和车 原来都不动，现设人从车的 一端走到另一端，问人和车 各移动多少距离？ m mv MV 0; V v 由动量定理得： 解 M M m 人相对小车的速度 v' v V v M 人在t时间走完小车的长度
7 一质点做圆周运动,有一力
F F0 xi yj


P
C
y
R
F
作用于质点,求在质点由原点运动至 P(0，2R)点过程中,力 F 做的功.
.