2014-2015学年高二数学人教A版选修2-2课时作业：1.4

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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)选修2-1练习：2.2.1 椭圆及其标准方程]

第二章 2.2 第1课时一、选择题1．设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．直线 C ．圆 D ．线段[答案] D[解析] ∵|MF 1|＋|MF 2|＝6，|F 1F 2|＝6， ∴|MF 1|＋|MF 2|＝|F 1F 2|， ∴点M 的轨迹是线段F 1F 2.2．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是( )A ．5B ．3或8C ．3或5D ．20[答案] C[解析] 2c ＝2，c ＝1，故有m －4＝1或4－m ＝1， ∴m ＝5或m ＝3，故选C.3．椭圆ax 2＋by 2＋ab ＝0(a <b <0)的焦点坐标是( ) A ．(±a －b ，0) B ．(±b －a ，0) C ．(0，±a －b ) D ．(0，±b －a )[答案] D[解析] ax 2＋by 2＋ab ＝0可化为x 2－b ＋y 2－a＝1，∵a <b <0，∴－a >－b >0，∴焦点在y 轴上，c ＝－a ＋b ＝b －a ， ∴焦点坐标为(0，±b －a )．4．(2014·长春市高二期末调研)中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分的椭圆的方程是( )A.x 281＋y 245＝1 B ．x 281＋y 29＝1C.x 281＋y 272＝1 D ．x 281＋y 236＝1[答案] C[解析] 由长轴长为18知a ＝9，∵两个焦点将长轴长三等分，∴2c ＝13(2a )＝6，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝72，故选C.5．已知椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为( )A ．95B ．3C ．977D ．94[答案] D[解析] a 2＝16，b 2＝9⇒c 2＝7⇒c ＝7. ∵△PF 1F 2为直角三角形．且b ＝3>7＝c . ∴F 1或F 2为直角三角形的直角顶点， ∴点P 的横坐标为±7，设P (±7，|y |)，把x ＝±7代入椭圆方程，知716＋y 29＝1⇒y 2＝8116⇒|y |＝94.6．(2014·洛阳市期末)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (15，0)，直线y ＝x 与椭圆的一个交点的横坐标为2，则椭圆方程为( )A.x 216＋y 2＝1 B ．x 2＋y 216＝1C.x 220＋y 25＝1 D ．x 25＋y 220＝1[答案] C[解析] 由椭圆过点(2,2)，排除A 、B 、D ，选C. 二、填空题7．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________．[答案] x 24＋y 23＝1[解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝3，a －c ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1.故b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.8．如图所示，F1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2＝________________.[答案] 2 3[解析] 由题意S △POF 2＝34c 2＝3，∴c ＝2，∴a 2＝b 2＋4.∴点P 坐标为(1，3)，把x ＝1，y ＝3代入椭圆方程x 2b 2＋4＋y 2b 2＝1中得，1b 2＋4＋3b2＝1，解得b 2＝2 3. 三、解答题9．已知椭圆的中心在原点，且经过点P (3,0)，a ＝3b ，求椭圆的标准方程．[解析] 当焦点在x 轴上时，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆过点P (3,0)，知9a 2＋0b 2＝1，又a ＝3b ，解得b 2＝1，a 2＝9，故椭圆的方程为x 29＋y 2＝1. 当焦点在y 轴上时，设其方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由椭圆过点P (3,0)，知0a 2＋9b 2＝1，又a ＝3b ，联立解得a 2＝81，b 2＝9，故椭圆的方程为y 281＋x 29＝1. 故椭圆的标准方程为y 281＋x 29＝1或x 29＋y 2＝1.10．已知点A (－12，0)，B 是圆F ：(x －12) 2＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，求动点P 的轨迹方程．[解析] 如图所示，由题意知，|P A |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2，∴|P A |＋|PF |＝2，且|P A |＋|PF |>|AF |， ∴动点P 的轨迹是以A 、F 为焦点的椭圆， ∴a ＝1，c ＝12，b 2＝34.∴动点P 的轨迹方程为x 2＋y 234＝1，即x 2＋43y 2＝1.一、选择题11．已知方程x 2|m |－1＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( )A ．m <2B ．1<m <2C ．m <－1或1<m <2D ．m <－1或1<m <32[答案] D[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|m |－1>0，2－m >0，2－m >|m |－1.即⎩⎪⎨⎪⎧m >1或m <－1，m <2，m <32.∴1<m <32或m <－1，故选D.[点评] 解答本题应注意，方程表示椭圆，分母应取正值，焦点在y 轴上，含y 2项的分母较大，二者缺一不可．12．若△ABC 的两个焦点坐标为A (－4,0)、B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( )A.x 225＋y 29＝1 B ．y 225＋x 29＝1(y ≠0)C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D ．x 225＋y 29＝1(y ≠0)[答案] D[解析] ∵|AB |＝8，△ABC 的周长为18，∴|AC |＋|BC |＝10>|AB |，故点C 轨迹为椭圆且两焦点为A 、B ，又因为C 点的纵坐标不能为零，所以选D.13．已知椭圆的两个焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．射线D ．直线[答案] A[解析] ∵|PQ |＝|PF 2|且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PQ |＋|PF 1|＝2a ，又∵F 1、P 、Q 三点共线， ∴|PF 1|＋|PQ |＝|F 1Q |，∴|F 1Q |＝2a . 即Q 在以F 1为圆心，以2a 为半径的圆上．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (0，－2)和C (0,2)，顶点B 在椭圆y 212＋x 28＝1上，则sin A ＋sin C sin B的值是( )A. 3 B ．2 C ．2 3 D ．4[答案] A[解析] 由椭圆定义得|BA |＋|BC |＝43，又∵sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|BA ||AC |＝434＝3，故选A.二、填空题15．已知椭圆的焦点是F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 是椭圆上的一点，若|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项，则该椭圆的方程是________．[答案] x 24＋y 23＝1[解析] 由题意得2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|， ∴4c ＝2a ，∵c ＝1，∴a ＝2. ∴b 2＝a 2－c 2＝3，故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.16．如图，把椭圆x 225＋y 216＝1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1、P 2、…、P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝________.[答案] 35[解析] 设椭圆右焦点为F ′，由椭圆的对称性知， |P 1F |＝|P 7F ′|，|P 2F |＝|P 6F ′|，|P 3F |＝|P 5F ′|，∴原式＝(|P 7F |＋|P 7F ′|)＋(|P 6F |＋|P 6F ′|)＋(|P 5F |＋|P 5F ′|)＋12(|P 4F |＋|P 4F ′|)＝7a ＝35.[点评] 对椭圆的定义要正确理解、熟练运用，解决与焦点有关的问题时，要结合图形看能否运用定义．三、解答题17．(2013·四川省绵阳中学月考)求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)； (2)a c ＝，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.[解析] (1)由焦距是4可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，2a ＝32＋(2＋2)2＋32＋(2－2)2＝8，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12. 又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1.(2)由题意知，2a ＝26，即a ＝13，又a c ＝135，所以c ＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1.[点评] 用待定系数法求椭圆的标准方程时，要首先进行“定位”，即确定焦点的位置；其次是进行“定量”，即求a 、b 的大小，a 、b 、c 满足的关系有：①a 2＝b 2＋c 2；②a >b >0；③a >c >0.若不能确定焦点的位置，可进行分类讨论或设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)的形式． 18．已知F 1、F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上任一点，若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积．[解析] 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n . 根据椭圆定义有m ＋n ＝20，又c ＝100－64＝6，∴在△F 1PF 2中，由余弦定理得m 2＋n 2－2mn cos π3＝122，∴m 2＋n 2－mn ＝144，∴(m ＋n )2－3mn ＝144， ∴mn ＝2563，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12×2563×32＝6433.。

人教A版高二数学(理)教学进度表

2014—2015学年度第二学期高二数学（理）教学进度安排表周次日期章节至章节教学内容及安排1 3.2-3.6 选修2-1第一章1.1 （1）命题（2）量词1.2（1）“且”与“或”（2）非1.3（1）推出与充分条件、必要条件（2）命题的四种形式2 3.9-3.14 选修2-1第二章2.1.1（1）曲线与方程的概念（2）研究曲线的性质2.1.2（1）椭圆的标准方程（2）椭圆的几何性质3 3.16-3.21 选修2-1第二章2.2.1双曲线的标准方程2.2.2双曲线的几何性质2.3 抛物线的标准方程、抛物线的几何性质2.4直线与圆锥曲线4 3.23-3.28 选修2-1第三章3.1函数的平均变化率、瞬时速度与导数、导数的几何意义3.2常数与幂函数的导数、导数公式表、导数的四则运算法则3.3利用导数判断函数的单调性、利用导数研究函数的极值、实际应用5 3.30-4.3 选修2-2第一章1.1归纳与类比1.2综合法与分析法1.3反证法1.4数学归纳法6 4.6-4.11 选修2-2第二章2.1变化率的快慢与变化率2.2导数的概念及其几何意义2.3导数计算2.4导数的四则运算法则7 4.13-4.18 选修2-2第二章——第三章2.5复合函数的求导法则3.1函数的单调性与极值3.2导数在实际问题中的应用8 4.20-4.25 选修2-2第四章——第五章4.1定积分的概念4.2微积分基本定理4.3定积分的简单应用5.1数系的扩充与复数的引入9 4.27-4.30 选修2-3第一章1.1分类加法计数原理1.2分步乘法计数原理1.3排组合和简单计数问题1.4二项式定理10 5.4-5.9 期中考试期中考试与试卷讲评11 5.11-5.16 选修2-3第二章2.1随机变量和离散型随机变量2.2离散型随机变量的分布列分布列性质2.3条件概率与独立事件2.4超几何分布12 5.18-5.23 选修2-3第二章——第三章2.5离散型随机变量的均值与方差与2.6正态分布3.1 回归分析3.2独立性检验13 5.25-5.30 选修4-1第一章相似三角形的判定及有关性质第二章直线与圆的位置关系4.1 流程图4.2 结构图2.1圆周角定理2.2圆内接四边形的性质与判定定理2.3圆的切线性质及判定定理14 6.1-6.6 选修4-1第二章——第三章2.4弦切角的性质2.5与圆有关的比例线段第三章圆锥曲线性质的讨论15 6.8-6.13 选修4-5 第一讲不一不等式等式和绝对值不等式——1.不等式的基本性质 2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法16 6.15-6.19 第二讲讲明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法17 6.22-6.27 第三讲——第四讲第三讲柯西不等式与排序不等式一、二维形式柯西不等式；二、一般形式的柯西不等式；三、排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一、数学归纳法；二、用数学归纳法证明不等式18 6.29-7.4 期末考试期末考试。

人教新课标A版高二数学《选修2-2》1.1.2 导数的概念

＝
Δt
65 ht0＋Δt－ht0 －4.9 ＋Δt＋6.5＝0 ∴Δ lim ＝Δ lim → t→0 t 0 Δt 49
65 即运动员在 t0＝98 s 时的瞬时速度为 0 m/s. 说明运动员处于跳水运动中离水面最高点处．
点评：运动物体瞬时速度问题实际上是函数平均变化率在物理知识上的一个深入的应用．事实上，瞬时速度就是位移函数相对于时间的瞬 Δs 时变化率．这里需强调的是：依题意在求完平均变化率 Δt ＝ st0＋Δt－st0 Δs Δs 后需对求极限，只有当 Δ lim 为一个常数时，此常数 → t 0 Δt Δt Δt 才称为物体在 t＝t0 时的瞬时速度．
Δy 点评：的最终结果要先化简约分，再令 Δx＝0 代入求出导数值． Δx
变式探究 2
若函数 y＝x ＋ax 在 x＝2 处的导数为 8，求 a 的值．
2
f2＋Δx－f2 解：f′(2)＝Δ lim x→0 Δx 2＋Δx ＋a2＋Δx－2 ＋2a ＝Δ lim x→0 Δx ＝Δ lim (Δx＋4＋a) x→0 ＝4＋a. 由题意知 f′(2)＝8， ∴4＋a＝8. 解得 a＝4.
【答案】C
知识讲解： 1.了解导数的概念需注意 (1)Δx 是自变量 x 在 x0 处的改变量，所以 Δx 可正、可负，但不能为零．当 Δx＞0(或 Δx＜0)时， Δx→0 表示 x0＋Δx 从右边(或从左边)趋近于 x0， Δy 是相应函数的改变量，Δy 可正、可负，也可以为零． (2)导数是一个局部概念，它只与函数 y＝f(x)在 x＝x0 处及其附近的函数值有关，与 Δx 无关． fx0＋Δx－fx0 (3)f′(x0)是一个常数，即当 Δx→0 时，存在一个常数与 Δx Δy 无限接近．如果当 Δx→0 时，Δ lim 不存在，则称函数 f ( x ) 在 x ＝ x 处 0 → x 0Δx 不可导．

新高二数学人教A版选修2-2试题：第1章1.5.3 定积分的概念

一、选择题1．关于定积分m ＝⎠⎛02⎝⎛⎭⎫－13d x ，下列说法正确的是( ) A ．被积函数为y ＝－13xB ．被积函数为y ＝－13C ．被积函数为y ＝－13x ＋CD ．被积函数为y ＝－13x 3【解析】被积函数为y ＝－13.【答案】 B2．已知定积分⎠⎛06f (x )d x ＝8，且f (x )为偶函数，则⎠⎛-66f (x )d x )＝( )A ．0B ．16C ．12D ．8【解析】偶函数图象关于y 轴对称，故⎠⎛-66f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝16.故选B.【答案】 B3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，2x ，x <0，则⎠⎛-11f (x )d x 的值是( )A. ⎠⎛-11x 2d xB. ⎠⎛-112x d xC. ⎠⎛-10x 2d x ＋⎠⎛012x d xD. ⎠⎛-102x d x ＋⎠⎛01x 2d x【解析】被积函数f (x )是分段函数，故将积分区间[－1,1]分为两个区间[－1,0]和[0,1]，由定积分的性质知选D.【答案】 D4．变速直线运动的物体的速度为v (t )≥0，初始t ＝0时所在位置为s 0，则当t 1秒末它所在的位置为( )A ．⎠⎛0t 1∫t 10v (t )d tB ．s 0＋⎠⎛0t 1v (t )d tC ．⎠⎛0t 1v (t )d t －s 0D ．s 0－⎠⎛0t 1v (t )d t【解析】由位移是速度的定积分，同时不可忽视t ＝0时物体所在的位置，故当t 1秒末它所在的位置为s 0＋⎠⎛0t 1v (t )d t .【答案】 B5．定积分⎠⎛ab f (x )d x 的大小( )A ．与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关B ．与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关C ．与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关D ．与f (x )，积分区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关【解析】定积分的大小与被积函数以及区间有关，与ξi 的取法无关．【答案】 A 二、填空题6．定积分⎠⎛13(－3)d x ＝__________.【解析】由定积分的几何意义知，定积分 ⎠⎛13(－3)d x 表示由x ＝1，x ＝3与y ＝－3，y ＝0 所围成图形面积的相反数．所以⎠⎛13(－3)d x ＝－(2×3)＝－6.【答案】－67．定积分⎠⎛-12|x |d x ＝__________.【解析】如图，⎠⎛-12|x |d x ＝12＋2＝52.【答案】 528．曲线y ＝1x 与直线y ＝x ，x ＝2所围成的图形面积用定积分可表示为________．【解析】如图所示，阴影部分的面积可表示为⎠⎛12x d x －⎠⎛121x d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －1x d x .【答案】 ⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －1x d x 三、解答题9．已知⎠⎛01x 3d x ＝14，⎠⎛12x 3d x ＝154，⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛24x 2d x ＝563，求：(1)⎠⎛023x 3d x ；(2)⎠⎛146x 2d x ；(3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x .【解】 (1)⎠⎛023x 3d x ＝3⎠⎛02x 3d x＝3⎝⎛⎭⎫⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x 3d x ＝3⎝⎛⎭⎫14＋154＝12. (2)⎠⎛146x 2d x ＝6⎠⎛14x 2d x＝6⎝⎛⎭⎫⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛24x 2d x ＝6⎝⎛⎭⎫73＋563＝126. (3)⎠⎛12 (3x 2－2x 3)d x ＝3⎠⎛12x 2d x －2⎠⎛12x 3d x ＝3×73－2×154＝－12.10．利用定积分的几何意义，求⎠⎛-111－x 2d x 的值．【解】 y ＝1－x 2(－1≤x ≤1)表示圆x 2＋y 2＝1在x 轴上方的半圆(含圆与x 轴的交点)．根据定积分的几何意义，知⎠⎛-111－x 2d x 表示由曲线y ＝1－x 2与直线x ＝－1，x ＝1，y ＝0所围成的平面图形的面积，所以⎠⎛-111－x 2d x ＝S 半圆＝12π.[能力提升]1．设曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭区域的面积为S ，则下列等式成立的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y【解析】作出图形如图，由定积分的几何意义知，S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ，选B.【答案】 B2．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图1-5-4所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( )图1-5-4A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．t 1时刻后，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面【解析】根据定积分的概念以及几何意义等有关知识可知，由题图可知，曲线v 甲比v 乙在0～t 0,0～t 1与x 轴所围成图形面积大，则在t 0，t 1时刻，甲车均在乙车前面，故选A.【答案】 A3．定积分⎠⎛2 0162 0172 017 d x ＝________________.【解析】由定积分的几何意义知，定积分表示由直线x ＝2 016，x ＝2 017与y ＝2 017，y ＝0所围成矩形的面积，所以⎠⎛2 0162 0172 017d x ＝(2 017－2 016)×2 017＝2 017.【答案】 2 0174．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[－2，2)，2x ，[2，π)，cos x ，[π，2π]，求f (x )在区间[－2,2π]上的积分．【解】由定积分的几何意义知⎠⎛-22x 3d x ＝0，⎠⎛2π2x d x ＝(2π＋4)(π－2)2＝π2－4， ⎠⎛π2π∫2ππcos x d x ＝0. 由定积分的性质得⎠⎛－22πf (x )d x ＝⎠⎛-22x 3d x ＋⎠⎛2π2x d x ＋⎠⎛π2πcos x d x ＝π2－4.。

2014-2015学年人教A版选修2-1高中数学《2.3.2双曲线方程及性质的应用(2)》课件

2 y2 x 1 ，由消去y并整理得x2+4x-6=0, 2 y x 2
因为Δ>0,所以直线与双曲线有两个交点，
设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=-4,x1·x2=-6，
故|DE|=
x1 x 2 y1 y 2
2 2
2

2 x (2)①双曲线C1： y 2 1，左顶点 A( 2 ，， 0) 渐近线方程： 1 2 2 y 2x.
过点A与渐近线 y 2x 平行的直线方程为
2 ), 即 y 2x 1. 2 2 x ， y 2x ， 4 解方程组得 y 1， y 2x 1 2 所求三角形的面积为 S 1 OA y 2 . 2 8 y 2(x
3 3 3
共点，经验证②④表示的直线与双曲线有交点 . 答案：②④
2 3 c2 4 (2)①由 e 可得 2 ，所以a2=3b2,故双曲线方程可化为 3 a 3 2 2 x y 2=1. 将点代入双曲线 C 的方程，可解得 b 1 ， P( 6 ， 1) 3b 2 b 2 2 x 所以双曲线C的方程为 y 2 1. 3
6 3m2 6 由根与系数的关系得 x1 x 2 m, x1x 2 5 10
①
又|AB|= x1 x 2 2 y1 y 2 2 =
1 4 x1 x 2
2
4.
所以5［(x1+x2)2-4x1x2］=16 将①式代入②，解得 m 210 .
y1 y 2 标为 ( x1 x 2 ， ). 2 2
2.|AB|=
x1 x 2

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学第三章空间向量与立体几何单元质量评估课时作业新人教A版选修2-1

"【全程复习方略】2014-2015学年高中数学第三章空间向量与立体几何单元质量评估课时作业新人教A版选修2-1 "(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列说法中不正确的是( )A.平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量B.一个平面的所有法向量互相平行C.如果两个平面的法向量垂直,那么这两个平面也垂直D.如果a,b与平面α共面且n⊥a,n⊥b,那么n就是平面α的一个法向量【解析】选D.只有当a,b不共线且a∥α,b∥α时,D才正确.2.同时垂直于a=(2,2,1),b=(4,5,3)的单位向量是( )A.B.C.D.或【解析】选D.设所求向量为c=(x,y,z),由c·a=0及c·b=0及|c|=1得检验知选D.3.(2014·金华高二检测)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c共面,则实数λ等于( )A. B. C. D.【解析】选D.易得c=t a+μb=(2t-μ,-t+4μ,3t-2μ),所以解得故选D.4.(2014·银川高二检测)已知矩形ABCD,PA⊥平面ABCD,则以下等式中可能不成立的是( )A.·=0B.·=0C.·=0D.·=0【解析】选B.选项A,⇒DA⊥平面PAB⇒DA⊥PB⇒·=0;由A可知·=0,C正确;选项D,PA⊥平面ABCD⇒PA⊥CD⇒·=0;选项B,若·=0,则BD⊥PC,又BD⊥PA,所以BD⊥平面PAC,故BD⊥AC,但在矩形ABCD中不一定有BD⊥AC,故B不一定成立.5.已知a=(cosα,1,sinα),b=(sinα,1,cosα),且a∥b,则向量a+b与a-b的夹角是( )A.90°B.60°C.30°D.0°【解析】选A.因为|a|2=2,|b|2=2,(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2=0,所以(a+b)⊥(a-b),故选A.【变式训练】已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则与的夹角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】选 C.=(0,3,3),=(-1,1,0).设<,>=θ,则cosθ===,所以θ=60°.6.(2014·长春高二检测)已知向量e1,e2,e3是两两垂直的单位向量,且a=3e1+2e2-e3,b=e1+2e3,则(6a)·1()2b 等于( )A.15B.3C.-3D.5【解析】选B.(6a)·1()2b=3a·b=3(3e1+2e2-e3)·(e1+2e3)=9|e1|2-6|e3|2=3.7.已知正方体ABCD-A′B′C′D′中,点F是侧面CDD′C′的中心,若=+x+y,则x-y等于( )A.0B.1C.D.-【解析】选A.如图所示,=+,所以=x+y,所以=x+y,因为=+,=,所以x=y=,x-y=0.8.(2014·安庆高二检测)如图,将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,若点P满足=-+,则||2的值为( )A. B.2 C. D.【解析】选D.过点C作CE垂直于BD,垂足为E,连接AE,则得AC=1,故三角形ABC为正三角形.||2==++-·+·-·=×1+×1+()2-×1×1×cos∠ABC=-=.9.已知A(4,1,3),B(2,-5,1),C是线段AB上一点,且=,则C点的坐标为( )A. B.C. D.【解析】选C.由题意知,2=,设C(x,y,z),则2(x-4,y-1,z-3)=(2-x,-5-y,1-z),即解得即C.10.已知△ABC的顶点A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则AC边上的高BD的长等于( )A.3B.4C.5D.6【解析】选C.设D(x,y,z),则=(x-1,y+1,z-2),=(x-5,y+6,z-2), =(0,4,-3),因为∥,且⊥,所以解得所以||=5.【一题多解】设=λ,D(x,y,z),则(x-1,y+1,z-2)=λ(0,4,-3),所以x=1,y=4λ-1,z=2-3λ.所以=(-4,4λ+5,-3λ),又=(0,4,-3),⊥,所以4(4λ+5)-3(-3λ)=0,所以λ=-,所以=,所以||==5.11.(2014·绵阳高二检测)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E是棱AB的中点,则点E 到平面ACD1的距离为( )A. B. C. D.【解析】选C如图,以D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则D1(0,0,1),E(1,1,0),A(1,0,0),C(0,2,0).从而=(1,1,-1),=(-1,2,0),=(-1,0,1),设平面ACD1的法向量为n=(a,b,c),则即得令a=2,则n=(2,1,2).所以点E到平面ACD1的距离为d===.12.(2014·荆州高二检测)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F且EF=,则下列结论中错误的是( )A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.三棱锥A-BEF的体积为定值D.异面直线AE,BF所成的角为定值【解析】选D.因为AC⊥平面BB1D1D,又BE⊂平面BB1D1D.所以AC⊥BE,故A正确.因为B1D1∥平面ABCD,又E,F在直线D1B1上运动,所以EF∥平面ABCD,故B正确.C中由于点B到直线B1D1的距离不变,故△BEF的面积为定值,又点A到平面BEF的距离为,故V A-BEF为定值.①当点E在D1处,点F为D1B1的中点时,建立空间直角坐标系, 如图所示,可得A(1,1,0),B(0,1,0),E(1,0,1),F,所以=(0,-1,1),=,所以·=.又||=,||=,所以cos<,>===.所以此时异面直线AE与BF成30°角.②当点E为D1B1的中点,点F在B1处时,此时E,F(0,1,1).所以=,=(0,0,1),所以·=1,||==,所以cos<,>===≠,故选D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a,则<,>= .【解析】=,因为△A′BD为正三角形,所以<,>=120°,即<,>=120°.答案:120°14.已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,上底面A1B1C1D1边长为1,下底面ABCD边长为2,侧棱与底面所成的角为60°,则异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为.【解析】设上、下底面中心分别为O1,O,则OO1⊥平面ABCD,以O为原点,直线BD,AC,OO1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.因为AB=2,A1B1=1,所以AC=BD=2,A1C1=B1D1=,因为平面BDD1B1⊥平面ABCD,所以∠B1BO为侧棱与底面所成的角,所以∠B1BO=60°,设棱台高为h,则tan60°=,所以h=,所以A(0,-,0),D1,B1,C(0,,0),所以=,=,所以cos<,>==,故异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为.答案:【变式训练】如图所示,在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱CC1的中点,则异面直线D1E与AC 所成角的余弦值是.【解析】如图,建立空间直角坐标系,则A(4,0,0),C(0,4,0),D1(0,0,4),E(0,4,2),=(-4,4,0),=(0,4,-2).cos<,>==.所以异面直线D1E与AC所成角的余弦值为.答案:15.在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为棱长为1的正三角形,侧棱AA1⊥底面ABC,点D在棱BB1上,且BD=1,若AD 与平面AA1C1C所成的角为α,则sinα的值是.【解题指南】建立空间直角坐标系,求出平面AA1C1C的一个法向量n和,计算cos<n,>即可求解sin α.【解析】如图,建立空间直角坐标系,易求点D,平面AA1C1C的一个法向量n=(1,0,0),所以cos<n,>==,即sinα=.答案:16.给出命题:①在□ABCD中,+=;②在△ABC中,若·>0,则△ABC是锐角三角形;③在梯形ABCD中,E,F分别是两腰BC,DA的中点,则=(+);④在空间四边形ABCD中,E,F分别是边BC,DA的中点,则=(+).以上命题中,正确命题的序号是. 【解析】①满足向量运算的平行四边形法则,①正确;·=||·||·cosA>0⇒∠A<90°,但∠B,∠C无法确定,所以△ABC是否是锐角三角形无法确定,②错误;③符合梯形中位线的性质,正确;④如图,=+,+=++=+2=2(+)=2,则=(+),正确.答案:①③④三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)如图,正方体ABCD-A′B′C′D′中,点E是上底面A′B′C′D′的中心,用向量,,表示向量,.【解析】=-=--+.=+=+=+=+(-)=-++.18.(12分)(2014·福州高二检测)如图所示,已知PA⊥平面ABCD,ABCD为矩形,PA=AD,M,N分别为AB,PC的中点.求证:(1)MN∥平面PAD.(2)平面PMC⊥平面PDC.【证明】如图所示,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系Axyz.设PA=AD=a,AB=b.(1)P(0,0,a),A(0,0,0),D(0,a,0),C(b,a,0),B(b,0,0).因为M,N分别为AB,PC的中点,所以M,N.所以=,=(0,0,a),=(0,a,0),所以=+.又因为MN⊄平面PAD,所以MN∥平面PAD.(2)由(1)可知:P(0,0,a),C(b,a,0),M,D(0,a,0).所以=(b,a,-a),=,=(0,a,-a).设平面PMC的法向量为n1=(x1,y1,z1),则所以令z1=b,则n1=(2a,-b,b).设平面PDC的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),则所以令z2=1,则n2=(0,1,1).因为n1·n2=0-b+b=0,所以n1⊥n2.所以平面PMC⊥平面PDC.【知识拓展】用向量证明线面平行的主要方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.(2)在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量.(3)利用共面向量定理,在平面内找到两不共线向量把直线的方向向量线性表示出来.19.(12分)如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°.当的值等于多少时,能使A1C⊥平面C1BD?【解析】不妨设=x,CC1=1,A1C⊥平面C1BD,则A1C⊥C1B,A1C⊥C1D,而=+,=++=++,由·=0,得(++)·(+)=-+·+·=0,注意到·+·=-,可得方程1-x2+=0,解得x=1或x=-(舍).因此,当=1时,能使A1C⊥平面C1BD.20.(12分)(2013·上海高考)如图,在长方体ABCD-A′B′C′D′中,AB=2,AD=1,AA′=1,证明直线BC′平行于平面D′AC,并求直线BC′到平面D′AC的距离.【解析】如图,建立空间直角坐标系,可得有关点的坐标为A(1,0,1),B(1,2,1), C(0,2,1),C′(0,2,0),D′(0,0,0).则=(1,0,1),=(0,2,1),设平面D′AC的法向量n=(u,v,w),由n⊥,n⊥,所以n·=0,n·=0,即解得u=2v,w=-2v,取v=1,得平面D′AC的一个法向量n=(2,1,-2).因为=(-1,0,-1),所以n·=0,所以n⊥.又BC′不在平面D′AC内,所以直线BC′与平面D′AC平行.由=(1,0,0),得点B到平面D′AC的距离d===,所以直线BC′到平面D′AC的距离为.21.(12分)(2014·广东高考)四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,∠DPC=30°,AF⊥PC于点F,FE∥CD,交PD于点E.(1)证明:CF⊥平面ADF.(2)求二面角D-AF-E的余弦值.【解题指南】(1)采用几何法较为方便,证AD⊥平面PCD⇒CF⊥AD,又CF⊥AF⇒CF⊥平面ADF.(2)采用向量法较为方便,以D为原点建立空间直角坐标系,设DC=2,计算出DE,EF的值,得到A,C,E,F的坐标,注意到为平面ADF的一个法向量.【解析】(1)因为四边形ABCD为正方形,所以AD⊥DC.又PD⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以PD⊥AD,DC∩PD=D,所以AD⊥平面PCD.又CF⊂平面PCD,所以CF⊥AD,而AF⊥PC,即AF⊥FC,又AD∩AF=A,所以CF⊥平面ADF.(2)以D为原点,DP,DC,DA分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设DC=2,由(1)知PC⊥DF,即∠CDF=∠DPC=30°,有FC=DC=1,DF=FC=,DE=DF=,EF=DE=,则D(0,0,0),E,F,A(0,0,2),C(0,2,0),=,=,=,设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),由得取x=4,有y=0,z=,n=(4,0,),又平面ADF的一个法向量=,所以cos<n,>===-,所以二面角D-AF-E的余弦值为.【变式训练】(2014·北京高二检测)如图,四边形ABCD是正方形,EA⊥平面ABCD,EA∥PD,AD=PD=2EA=2,F,G,H 分别为PB,EB,PC的中点.(1)求证:FG∥平面PED.(2)求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小.(3)在线段PC上是否存在一点M,使直线FM与直线PA所成的角为60°?若存在,求出线段PM的长;若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为F,G分别为PB,BE的中点,所以FG∥P E.又FG⊄平面PED,PE⊂平面PED,所以FG∥平面PED.(2)因为EA⊥平面ABCD,EA∥PD,所以PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥CD.又因为四边形ABCD是正方形,所以AD⊥CD.如图,建立空间直角坐标系,因为AD=PD=2EA=2,所以D,P,A,C,B,E(2,0,1).因为F,G,H分别为PB,EB,PC的中点,所以F,G,H(0,1,1).所以=,=.设n1=(x1,y1,z1)为平面FGH的一个法向量,则即再令y1=1,得n1=(0,1,0).=(2,2,-2),=(0,2,-2).设n2=(x2,y2,z2)为平面PBC的一个法向量,则即令z2=1,得n2=(0,1,1).所以所以平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小为.(3)假设在线段PC上存在一点M,使直线FM与直线PA所成角为60°.依题意可设=λ,其中0≤λ≤1.由=(0,2,-2),则=(0,2λ,-2λ).又因为=+,=(-1,-1,1),所以=(-1,2λ-1,1-2λ).因为直线FM与直线PA所成角为60°,=(2,0,-2),所以=,即=,解得λ=.所以=,=.所以在线段PC上存在一点M,使直线FM与直线PA所成角为60°,此时PM的长度为.22.(12分)四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是一个平行四边形,PA⊥底面ABCD,=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).(1)求四棱锥P-ABCD的体积.(2)对于向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),c=(x3,y3,z3),定义一种运算:(a×b)·c=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2z1.试计算(×)·的绝对值的值;说明其与四棱锥P-ABCD体积的关系,并由此猜想向量这一运算(×)·的绝对值的几何意义.【解析】(1)设<,>=θ,则cosθ==.所以sinθ=.所以V=S□ABCD||=||||sinθ||=16.(2)=|-4-32+0-0-4-8|=48,它是四棱锥P-ABCD体积的3倍.猜想:在几何上可表示以AB,AD,AP为棱的平行六面体的体积(或以AB,AD,AP为棱的直四棱柱的体积).【技法点拨】向量法在数形结合思想中的应用向量是有效沟通“数”与“形”的桥梁.在学习中我们一定要充分理解向量概念及向量运算的几何意义,从而有效利用向量工具解决实际问题.如对空间直线的向量表示,应明确空间直线是由空间一点及直线的方向向量惟一确定.。

重庆市2014—2015学年高二数学选修2-2导数导学案加课后作业

探究点一函数的平均变化率
问题1如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？
问题2什么是平均变化率，平均变化率有何作用？
例1某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．
问题3平均变化率有什么几何意义？
跟踪训练1如图是函数y＝f(x)的图象，则：
2．求函数f(x)的平均变化率的步骤：
（1）求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；
（2）计算平均变化率＝ .
【拓展提高】
1．设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量为（）
A． B． C． D．
2．质点运动动规律，则在时间中，相应的平均速度为（）
A． B． C． D．
【课后作业】
三、探究与拓展
13．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？
【知识要点】
1．瞬时速度：我们把物体在某一时来自的速度称为．设物体运动路程与时间的关系是s＝s(t)，物体在t0时刻的瞬时速度v就是运动物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均变化率，当Δt→0时的极限，即v＝＝__________________
2．瞬时变化率：一般地，函数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率是＝_________________.
跟踪训练2分别求函数f(x)＝1－3x在自变量x从0变到1和从m变到n(m≠n)时的平均变化率．
问题一次函数y＝kx＋b(k≠0)在区间[m，n]上的平均变化率有什么特点？

人教a版数学【选修2-2】练习：1.2.2基本初等函数的导数公式(一)(含答案)

选修2-2 第一章 1.2 1.2.2 第1课时一、选择题1．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0 D ．x ＋4y ＋3＝0[答案] A[解析] ∵直线x ＋4y －8＝0的斜率k ＝－14，∴直线l 的斜率为4，而y ′＝4x 3，由y ′＝4得x ＝1而x ＝1时，y ＝1，故直线l 的方程为：y －1＝4(x －1)即4x －y －3＝0.2．已知f (x )＝ax 3＋9x 2＋6x －7，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( ) A ．193B ．163C ．103D ．133[答案] B[解析] ∵f ′(x )＝3ax 2＋18x ＋6，∴由f ′(－1)＝4得，3a －18＋6＝4，即a ＝163.∴选B.3．(2014·山师附中高二期中)设f (x )＝sin x －cos x ，则f (x )在x ＝π4处的导数f ′(π4)＝( )A ． 2B ．－ 2C ．0D ．22[答案] A[解析] ∵f ′(x )＝cos x ＋sin x ， ∴f ′(π4)＝cos π4＋sin π4＝2，故选A.4．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·…·x n的值为( )A ．1nB ．1n ＋1C ．n n ＋1D ．1[答案] B[解析] 对y ＝x n ＋1(n ∈N *)求导得y ′＝(n ＋1)x n ，令x ＝1得在点(1,1)处的切线的斜率k＝n ＋1，在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x n －1)．令y ＝0，得x n ＝nn ＋1.则x 1·x 2·…·x n ＝12×23×34×…×n －1n ×n n ＋1＝1n ＋1，故选B.5．(2014·合肥一六八高二期中)下列函数中，导函数是奇函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝e x C ．y ＝ln x D ．y ＝cos x －12[答案] D[解析] 由y ＝sin x 得y ′＝cos x 为偶函数，故A 错；又y ＝e x 时，y ′＝e x 为非奇非偶函数，∴B 错；C 中y ＝ln x 的定义域x >0，∴C 错；D 中y ＝cos x －12时，y ′＝－sin x 为奇函数，∴选D.6．已知物体的运动方程是s ＝14t 4－4t 3＋16t 2(t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( )A ．0秒、2秒或4秒B ．0秒、2秒或16秒C ．2秒、8秒或16秒D ．0秒、4秒或8秒 [答案] D[解析] 显然瞬时速度v ＝s ′＝t 3－12t 2＋32t ＝t (t 2－12t ＋32)，令v ＝0可得t ＝0,4,8.故选D.二、填空题7．过曲线y ＝cos x 上点P ⎝⎛⎭⎫π3，12且与在这点的切线垂直的直线方程为________． [答案] 2x －3y －2π3＋32＝0[解析] ∵y ＝cos x ，∴y ′＝－sin x ，曲线在点P ⎝⎛⎭⎫π3，12处的切线斜率是 y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为23， ∴所求的直线方程为y －12＝23⎝⎛⎭⎫x －π3，即2x －3y －2π3＋32＝0.[点评] 在确定与切线垂直的直线方程时，应注意考察函数在切点处的导数y ′是否为零，当y ′＝0时，切线平行于x 轴，过切点P 垂直于切线的直线斜率不存在．8．(2014·杭州质检)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为________． [答案] (2，＋∞)[解析] 由f (x )＝x 2－2x －4ln x ，得函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x 2－2x －4x ＝2·x 2－x －2x ＝2·(x ＋1)(x －2)x ，f ′(x )>0，解得x >2，故f ′(x )>0的解集为(2，＋∞)．9．在曲线y ＝4x 2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P 点坐标为________．[答案] (2,1)[解析] 设P (x 0，y 0)，∵y ′＝⎝⎛⎭⎫4x 2′＝(4x －2)′＝－8x －3，tan135°＝－1， ∴－8x －30＝－1.∴x 0＝2，y 0＝1.三、解答题10．求下列函数的导数：(1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x 3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x －1)；(3)y ＝sin 4x 4＋cos 4x4；(4)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x .[解析] (1)∵y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x 2， ∴y ′＝3x 2－2x 3.(2)∵y ＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎫1x －1＝－x 12＋x －12，∴y ′＝－12x －12－12x －32＝－12x ⎝⎛⎭⎫1＋1x . (3)∵y ＝sin 4x 4＋cos 4x4＝⎝⎛⎭⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x4＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ，∴y ′＝－14sin x .(4)∵y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x＝2＋2x 1－x ＝41－x－2， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2.一、选择题11．(2014·长春市期末调研)已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为( ) A ．－e B ．e C ．－1eD ．1e[答案] D[解析] y ′＝1x ＝k ，∴x ＝1k ，切点坐标为⎝⎛⎭⎫1k ，1，又切点在曲线y ＝ln x 上，∴ln 1k ＝1，∴1k ＝e ，k ＝1e.12．(2014·山师附中高二期中)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2 [答案] C[解析] 由条件知，点A 在直线上，∴k ＝2，又点A 在曲线上，∴a ＋b ＋1＝3，∴a ＋b ＝2.由y ＝x 3＋ax ＋b 得y ′＝3x 2＋a ，∴3＋a ＝k ，∴a ＝－1，∴b ＝3，∴2a ＋b ＝1.13．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A ．π2B ．0C ．钝角D ．锐角 [答案] C[解析] y ′|x ＝4＝(e x sin x ＋e x cos x )|x ＝4＝e 4(sin4＋cos4)＝2e 4sin(4＋π4)<0，故倾斜角为钝角，选C.14．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2013(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x[答案] C[解析]f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝f1′(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝(－cos x)′＝sin x，∴4为最小正周期，∴f2013(x)＝f1(x)＝cos x.故选C.二、填空题15．等比数列{a n}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝________.[答案]212[解析]f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)...(0－a8)＋[(0－a1)(0－a2)...(0－a8)]′.0＝a1a2 (8)因为数列{a n}为等比数列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f′(0)＝84＝212.16．(2014·宁夏三市联考)经过点P(2,1)且与曲线f(x)＝x3－2x2＋1相切的直线l的方程是________．[答案]4x－y－7＝0或y＝1[解析]设切点为(x0，x30－2x20＋1)，由k＝f′(x0)＝3x20－4x0，可得切线方程为y－(x30－2x20＋1)＝(3x20－4x0)(x－x0)，代入点P(2,1)解得：x0＝0或x0＝2.当x0＝0时切线方程为y＝1；当x0＝2时切线方程为4x－y－7＝0.综上得直线l的方程是：4x－y－7＝0或y＝1.三、解答题17．已知两条曲线y＝sin x、y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．[解析]由于y＝sin x、y＝cos x，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝y′|x＝x0＝cos x0，k2＝y′|x＝x0＝－sin x0.若使两条切线互相垂直，必须cos x0·(－sin x0)＝－1，即sin x0·cos x0＝1，也就是sin2x0＝2，这是不可能的，∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．18．已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b 的图象在点M (－1，f (－1))处的切线的方程为x ＋2y ＋5＝0，求函数的解析式．[分析] f (x )在点M 处切线方程为x ＋2y ＋5＝0有两层含义，(一)是点M 在f (x )的图象上，且在直线x ＋2y ＋5＝0上，(二)是f ′(－1)＝－12.[解析] 由条件知，－1＋2f (－1)＋5＝0， ∴f (－1)＝－2， ∴－a －61＋b＝－2，(1) 又直线x ＋2y ＋5＝0的斜率k ＝－12，∴f ′(－1)＝－12，∵f ′(x )＝－ax 2＋12x ＋ab(x 2＋b )2，∴－a －12＋ab (1＋b )2＝－12，(2) 由(1)(2)解得，a ＝2，b ＝3.(∵b ＋1≠0，∴b ＝－1舍去)． ∴所求函数解析式为f (x )＝2x －6x 2＋3.。

人教版高中数学高二选修2-2课时作业1-2导数的计算

课时作业2 导数的计算一、选择题1．若对任意x 属于R ，f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则f (x )是( )A ．f (x )＝x 4B ．f (x )＝x 4－2C ．f (x )＝4x 3－5D ．f (x )＝x 4＋2设f (x )＝x 4＋b ，∵f (1)＝－1，∴b ＝－2，∴f (x )＝x 4－2.故应选B.B2．函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数是( ) A.12(e x －e －x ) B.12(e x ＋e －x ) C ．e x －e －x D ．e x ＋e －xy ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(e x ＋e －x )′＝12(e x －e －x )．故应选A.A3．若函数y ＝x 2＋a 2x (a ＞0)的导数为0，则实数x 是( )A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2，由x 2－a 2＝0得x ＝±a .故应选B.B4．函数f (x )＝2a 3＋5a 2x 2－x 6的导数为( )A ．6a 2＋10ax 2－x 6B ．2a 3＋10a 2x －6x 5C ．10a 2x －6x 5D ．5a 2x －6x 5f ′(x )＝(2a 3＋5a 2x 2－x 6)′＝10a 2x －6x 5.故应选C.C5．下列函数在x ＝0处没有切线的是( )A ．y ＝3x 2＋cos xB ．y ＝x sin xC ．y ＝1x ＋2xD ．y ＝1cos x∵y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＋(2x )′＝－1x 2＋2， ∴当x ＝0时，函数无定义，且y ′不存在，故该函数在x ＝0处没有切线．故应选C.C6．若曲线y ＝x n 在x ＝2处的导数为12，则n ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4y ′＝(x n )′＝n ·x n －1.由n ·2n －1＝12得n ＝3.故应选C.C7．已知函数f (x )在x ＝1处的导数为3，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝(x －1)3＋3(x －1)B ．f (x )＝2(x －1)C ．f (x )＝2(x －1)2D ．f (x )＝x －1f (x )＝(x －1)3＋3(x －1)，∵f ′(x )＝3(x －1)2＋3，∴f ′(1)＝3.故应选A.A8．设函数y ＝f (x )是线性函数，已知f (0)＝1，f (1)＝－3，则f ′(x )＝( )A ．4xB ．－4C ．－2D ．6由f (x )是线性函数，可设f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，且a ≠0)，由f (0)＝1，f (1)＝－3，解得a ＝－4，b ＝1，∴f (x )＝－4x ＋1，∴f ′(x )＝－4.故应选B.B二、填空题9．曲线y ＝4x 3在点Q (16,8)处的切线的斜率是________．∵y ＝x 34 ，∴y ′＝34x 34 -1 ＝34x -14 ， ∴y ′| x =16＝38.3810．曲线y ＝x 3＋x ＋1在点(1,3)处的切线方程是________．令f (x )＝x 3＋x ＋1，由导数的几何意义知在点(1,3)处的切线斜率k ＝f ′(1)＝3×12＋1＝4.所以由点斜式得切线方程为y －3＝4(x －1)，即4x －y －1＝0.4x －y －1＝1011．曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴、直线x ＝2所围成的三角形的面积为________．y ′＝3x 2，所以k ＝y ′⎪⎪x ＝1＝3，所以切线方程为y －1＝3(x －1)，即y ＝3x －2.由⎩⎨⎧ y ＝3x －2x ＝2，解得⎩⎨⎧ x ＝2y ＝4，所以S ＝12×43×4＝83. 83 12．曲线y ＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴、直线x ＝a 所围成的三角形的面积为16，则a ＝________. y ′＝3x 2，所以切线方程为y －a 3＝3a 2(x －a )，即y ＝3a 2x －2a 3.可求得切线与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，0，与直线x ＝a 的交点为(a ，a 3)，所以三角形面积为S ＝12×a 3×a 3＝16，解得a ＝±1. ±1三、解答题13．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1,1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a ，b ，c 的值．∵曲线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点P (1,1)，∴a ＋b ＋c ＝1. ① ∵y ′＝2ax ＋b ，∴y ′|x =2＝4a ＋b ，∴4a ＋b ＝1. ②又曲线过点Q (2，－1)，∴4a ＋2b ＋c ＝－1. ③ 联立①②③解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.14．(1)求曲线y ＝2x x 2＋1在点(1,1)处的切线方程； (2)运动曲线方程为S ＝t －1t 2＋2t 2，求t ＝3时的速度． (1)∵y ′＝2(x 2＋1)－2x ·2x (x 2＋1)2 ＝2－2x 2(x 2＋1)2，y ′| x =1＝2－24＝0，即曲线在点(1,1)处的切线斜率k ＝0，因此曲线y ＝2x x 2＋1在(1,1)处的切线方程为y ＝1.(2)S ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t －1t 2′＋(2t 2)′ ＝t 2－2t (t －1)t 4＋4t＝－1t 2＋2t 3＋4t . S ′| t =3＝－19＋227＋12＝112627. 15．已知函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 为偶函数，它的图象过点A (0，－1)，且在x ＝1处的切线方程为2x ＋y －2＝0，求函数y ＝f (x )的表达式．∵f (x )是偶函数，f (－x )＝f (x )，∴b ＝d ＝0，f (x )＝ax 4＋cx 2＋e ，又∵图象过点A (0，－1)，∴e ＝－1，∴f (x )＝ax 4＋cx 2－1，f ′(x )＝4ax 3＋2cx ，当x ＝1时，f ′(1)＝4a ＋2c ＝－2， ①对于2x ＋y －2＝0，当x ＝1时，y ＝0.∴点(1,0)在f (x )图象上，∴a ＋c －1＝0. ②由①②解得a ＝－2，c ＝3，因此f (x )＝－2x 4＋3x 2－1.16．已知曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－(x －2)2，直线l 与C 1，C 2都相切，求直线l 的方程．设l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于点Q (x 2，－(x 2－2)2)．对C 1：y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 21＝2x 1(x－x 1)，即y ＝2x 1x －x 21. ①对C 2：y ′＝－2(x －2)，则与C 2相切于点Q 的切线方程为y ＋(x 2－2)2＝－2(x 2－2)(x －x 2)，即y ＝－2(x 2－2)x ＋x 22－4.② ∵两切线重合，∴⎩⎨⎧ 2x 1＝－2(x 2－2)－x 21＝x 22－4，解得⎩⎨⎧ x 1＝0x 2＝2或⎩⎨⎧ x 1＝2x 2＝0，∴直线方程为y ＝0或y ＝4x －4.。

高中数学(人教A版选修2-2)练习：1.5.3 定积分的概念

课时提升作业(十)定积分的概念一、选择题(每小题3分，共12分)1.(2014·广州高二检测)关于定积分m=dx，下列说法正确的是( )A.被积函数为y=-xB.被积函数为y=-C.被积函数为y=-x+C，D.被积函数为y=-x3【解析】选B.由定积分的定义知，被积函数为y=-.2.定积分f(x)dx(f(x)>0)的积分区间是( )A.[-2，2]B.[0，2]C.[-2，0]D.不确定【解析】选A.由定积分的概念得定积分f(x)dx的积分区间是[-2，2].3.设f(x)=则f(x)dx的值是( )A.x2dxB.2x dxC.x2dx+2x dxD.2x dx+x2dx【解析】选D.因为f(x)在不同区间上的解析式不同，所以积分区间应该与对应的解析式一致.利用定积分的性质可得正确答案为D.4.(2014·南昌高二检测)下列等式不成立的是( )A.[mf(x)+ng(x)]dx=m f(x)dx+n g(x)dxB.[f(x)+1]dx=f(x)dx+b-aC.f(x)g(x)dx=f(x)dx·g(x)dxD.sinxdx=sinxdx+sinxdx【解析】选C.由定积分的性质知选项A，B，D正确.【误区警示】应用定积分的性质计算定积分时，要特别注意积分区间及被积函数的符号.二、填空题(每小题4分，共8分)5.(2014·长春高二检测)定积分(-3)dx=__________.【解析】3dx表示图中阴影部分的面积S=3×2=6，(-3)dx=-3dx=-6.答案：-66.计算：(1-cosx)dx=________.【解题指南】根据定积分的几何意义，运用余弦曲线的对称性计算，或通过补形转化为矩形的面积计算.【解析】根据定积分的几何意义，得1dx=2π，cosxdx=cosxdx+cosxdx+cosxdx+cosxdx=cosxdx-cosxdx-cosxdx+cosxdx=0，所以(1-cosx)dx=1dx-cosxdx=2π-0=2π.答案：2π【一题多解】在公共积分区间[0，2π]上，(1-cosx)dx表示直线y=1与余弦曲线y=cosx在[0，2π]上围成封闭图形的面积，如图，由于余弦曲线y=cosx在[0，π]上关于点中心对称，在上关于点中心对称，所以区域①与②的面积相等，所求平面图形的面积等于边长分别为1，2π的矩形的面积，其值为2π.所以(1-cosx)dx=2π.答案：2π三、解答题(每小题10分，共20分)7.(2014·济南高二检测)已知x3dx=，x3dx=，x2dx=，x2dx=，求：(1)3x3dx.(2)6x2dx.(3)(3x2-2x3)dx.【解析】(1)3x3dx=3x3dx=3=3=12.(2)6x2dx=6x2dx=6(x2dx+x2dx)=6=126.(3)(3x2-2x3)dx=3x2dx-2x3dx=3×-2×=-.8.求定积分(-x)dx的值.【解析】(-x)dx表示圆(x-1)2+y2=1(y≥0)的一部分与直线y=x所围成的图形(图中阴影部分)的面积，故原式=×π×12-×1×1=-.【拓展延伸】1.利用定积分的几何意义求定积分的方法步骤(1)确定被积函数和积分区间.(2)准确画出图形.(3)求出各部分的面积.(4)写出定积分，注意当f(x)≥0时，S=f(x)dx，而当f(x)≤0时，S=-f(x)dx.2.利用定积分的几何意义求定积分的注意点准确理解其几何意义，同时要合理利用函数的奇偶性、对称性来解决问题.另外，要注意结合图形的直观辅助作用.一、选择题(每小题4分，共12分)1.(2014·黄冈高二检测)设曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭区域的面积为S，则下列等式成立的是( )A.S=(x2-x)dxB.S=(x-x2)dxC.S=(y2-y)dyD.S=(y-)dy【解析】选B.将曲线方程y=x2与直线方程y=x联立方程组，解得x=0或x=1，结合图形可得B正确.2.如图所示，图中曲线方程为y=x2-1，用定积分表示围成封闭图形(阴影部分)的面积是( )A.B.(x2-1)dxC.|x2-1|dxD.(x2-1)dx+(x2-1)dx【解题指南】由定积分的几何意义及性质即可得出.【解析】选 C.由定积分的几何意义和性质可得：图中围成封闭图形(阴影部分)的面积S=(1-x2)dx+(x2-1)dx=|x2-1|dx，故选C.【举一反三】将本题中的函数改为f(x)=x-1，则(x-1)dx=__________.【解析】直线y=x-1，与x=0，x=1.y=0围成的图形为三角形，面积为S=×1×1=.由定积分的几何意义得(x-1)dx=-.答案：-3.(2013·天津高二检测)曲线y=与直线y=x，x=2所围成的图形面积用定积分可表示为( )A.dxB.dxC.dxD.dx【解析】选A.如图所示，阴影部分的面积可表示为xdx-dx=dx.二、填空题(每小题4分，共8分)4.(2014·深圳高二检测)定积分2014dx=__________.【解析】根据定积分的几何意义2014dx表示直线x=2014，x=2015，y=0，y=2014围成的图形的面积，故2014dx=2014×(2015-2014)=2014.答案：20145.定积分(2+)dx=________.【解题指南】利用定积分的几何意义先分别求出2dx，dx.再由性质求和.【解析】原式=2dx+dx.因为2dx=2，dx=，所以(2+)dx=2+.答案：2+三、解答题(每小题10分，共20分)6.(2014·青岛高二检测)根据定积分的几何意义求下列定积分的值：(1)xdx.(2)cosxdx.(3)|x|dx.【解析】(1)如图(1)，xdx=-A1+A1=0.(2)如图(2)，cosxdx=A1-A2+A3=0.(3)如图(3)，因为A1=A2，所以|x|dx=2A1=2×=1.(A1，A2，A3分别表示图中相应各处面积)【拓展延伸】利用几何意义求定积分的注意点(1)关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间.(2)正确利用相关的几何知识求面积.(3)不规则的图形常用分割法求面积，注意分割点的准确确定.7.一辆汽车的速度——时间曲线如图所示，求汽车在这一分钟内行驶的路程.【解析】依题意，汽车的速度v与时间t的函数关系式为v(t)=所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为s=v(t)dt=tdt+(50-t)dt+10dt=300+400+200=900(米).关闭Word文档返回原板块。

新课标人教A版高二数学练习题(选修2-2、4-1、4-5)

高二数学练习题一、选择题（每小题5分，共60分）1.设1z i =+（i 是虚数单位），则22z z+= ( ) A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i - D ． 1i +2．曲线23-+=x x y 上一点0P 处的切线平行于直线41y x =+，则点0P 一个的坐标是（） A ．（0，-2） B. (1, 1) C. (-1, －4) D. (1, 4) 3．设y x ,为正数, 则)41)((yx y x ++的最小值为（）A. 6B.9C.12D.154．若函数f(x)的导数为f ′(x)=-sinx ，则函数图像在点（4，f （4））处的切线的倾斜角为（） A ．90° B ．0° C ．锐角 D ．钝角5．如图,用与底面成30︒角的平面截圆柱得一椭圆截线,则该椭圆的离心率为 A ．12B．3C．2D ．非上述结论[]326y 2x 3x 12x 50,3=--+．函数在上的最大值与最小值分别是（）A.5 , -15B.5 , 4C.-4 , -15D.5 , -168、已知{}n b 为等比数列，52b =，则99212=⋅⋅⋅b b b 。

若{}n a为等差数列，第5题图52a =，则{}n a 的类似结论为（）A 99212=⋅⋅⋅a a aB 99212=+++a a a C 92921⨯=⋅⋅⋅a a a D 92921⨯=+++a a a 9.已知曲线3lnx 4xy 2-=的一条切线的斜率为21,则切点的横坐标为（）A. 3B. 2C. 1D. 1210.设R a ∈，若函数x e y ax3+=，R x ∈有大于零的极值点，则（）A ．3->a B. 3-<a C. 31->a D. 31-<a()2111.f x ln(2)b 2x b x =-++∞若在(-1,+)上是减函数，则的取值范围是（）A.[-1，+∞]B.（-1，+∞）Ｃ.(]1,-∞- D.（-∞，-1）12.如右图，求阴影部分的面积是（） A. 32 B. 329- C.332 D. 335二、填空题（每小题4分，共16分）121)3(z z i -12、若复数z =4+29i,z =6+9i,则复数的实部为。

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 3.2.3空间向量与空间角课时作业新人教A版选修2-1

空间向量与空间角(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.在矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA⊥平面ABCD,PA=1,则PC与平面ABCD所成角是( )A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】选 A.建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,1),C(1,,0),=(1,,-1),平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),所以cos<,n>==-,所以<,n>=120°,所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60°,所以斜线PC与平面ABCD所成角为30°.2.(2014²重庆高二检测)设ABCD,ABEF都是边长为1的正方形,FA⊥平面ABCD,则异面直线AC与BF所成的角等于( )A.45°B.30°C.90°D.60°【解析】选D.以B为原点,BA所在直线为x轴,BC所在直线为y轴,BE所在直线为z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),C(0,1,0),F(1,0,1),所以=(-1,1,0),=(1,0,1).所以cos<,>=-.所以<,>=120°.所以AC与BF所成的角为60°.3.把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角,点E,F分别是AD,BC的中点,O是正方形中心,则折起后,∠EOF的大小为( )A. B. C. D.【解析】选C.=(+),=(+),所以²=(²+²+²+²)=-||2.又||=||=||,所以cos<,>==-.所以∠EOF=.4.在直角坐标系中,已知A(2,3),B(-2,-3),沿x轴把直角坐标系折成平面角为θ的二面角A-Ox-B,使∠AOB=90°,则cosθ为( )A.-B.C.D.-【解析】选C.过A,B分别作x轴垂线,垂足分别为A′,B′.则AA′=3,BB′=3,A′B′=4,OA=OB=,折后∠AOB=90°,所以AB==.由=++,得||2=||2+||2+||2+2||²||²cos(π-θ).所以26=9+16+9+2³3³3³cos(π-θ),所以cosθ=.5.(2014²天津高二检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是C1C的中点,则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为( )A.-B.C.-D.【解析】选B.建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,2),E(0,2,1).所以=(-2,-2,0),=(0,0,2),=(-2,0,1).设平面B1BD的法向量为n=(x,y,z).因为n⊥,n⊥,所以所以令y=1,则n=(-1,1,0).所以cos<n,>==,设直线BE与平面B1BD所成角为θ,则sinθ=|cos<n,>|=.6.如图,平面ABCD⊥平面ABEF,四边形ABCD是正方形,四边形ABEF是矩形,且AF=AD=a,G是EF的中点,则GB与平面AGC所成角的正弦值为( )A. B. C. D.【解析】选C.如图,以A为原点建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,2a,0),C(0,2a,2a),G(a,a,0),F(a,0,0),=(a,a,0),=(0,2a,2a),=(a,-a,0),=(0,0,2a),设平面AGC的法向量为n1=(x1,y1,1),由⇒⇒⇒n1=(1,-1,1).sinθ===.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014²唐山高二检测)平面α的一个法向量为(1,0,-1),平面β的一个法向量为(0,-1,1),则平面α与平面β所成二面角的大小为.【解析】设u=(1,0,-1),v=(0,-1,1),平面α与平面β所成二面角为θ,则cosθ=±|cos<u,v>|=±||=±.所以θ=或.答案:或8.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1D1,A1C1的中点,则异面直线AE与CF所成角的余弦值为 . 【解析】设正方体棱长为2,分别取DA,D C,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系, 则A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,0,2),F(1,1,2),则=(-1,0,2),=(1,-1,2),所以||=,||=.²=-1+0+4=3.又²=||||cos<,>=cos<,>,所以cos<,>=,所以所求角的余弦值为.答案:【变式训练】已知在棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中,E是BC的中点.则直线A′C与DE所成角的余弦值为.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则A′(0,0,a),C(a,a,0),D(0,a,0),E,=(a,a,-a),=,所以cos<,>==.即直线A′C与DE所成角的余弦值为.答案:9.(2014²福州高二检测)在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,PA=2,则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为.【解析】以A为原点,AB,AC,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,由AB=AC=1,PA=2,得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2), D, E,F,所以=(0,0,2),=,=,设平面DEF的法向量n=(x,y,z). 则由得取z=1,则n=(2,0,1),设PA与平面DEF所成角为θ,则sinθ==.答案:【变式训练】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值是. 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,设棱长为1,则B(1,1,0),C1(0,1,1),A1(1,0,1),D(0,0,0),=(-1,0,1),=(-1,0,-1),=(-1,-1,0),设平面A1BD的一个法向量为n=(1,x,y),设平面A1BD与BC1所成的角为θ,n⊥,n⊥,所以n²=0,n²=0,所以解得所以n=(1,-1,-1),则cos<,n>==-,所以sinθ=,所以cosθ==.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014²临沂高二检测)四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,AD=PD=2,CD=4,E,F分别为CD,PB的中点.(1)求证:EF⊥平面PAB.(2)求直线AE与平面PAB所成的角.【解析】(1)建立如图所示空间直角坐标系Dxyz,则E(0,-2,0),F(1,-2,1),P(0,0,2),A(2,0,0),B(2,-4,0),所以=(1,0,1),=(0,-4,0),=(2,0,-2),所以²=(1,0,1)²(0,-4,0)=0,²=(1,0,1)²(2,0,-2)=0,所以⊥,⊥,所以EF⊥AB,EF⊥PA,因为AB⊂平面PAB,PA⊂平面PAB,AB∩PA=A,所以EF⊥平面PAB.(2)=(1,0,1)是平面PAB的一个法向量,设直线AE与平面PAB所成的角为θ,因为=(-2,-2,0),所以sinθ===,所以直线AE与平面PAB所成的角是30°.【变式训练】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AA1,AB的中点,求EF和平面ACC1A1夹角的大小. 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体棱长为2,则由E,F分别是AA1,AB的中点,得E(2,0,1),F(2,1,0).过F作FG⊥AC于G,则由正方体性质知FG⊥平面ACC1A1.连接EG,则与的夹角即为所求.又因为F是AB的中点,所以AG=AC,所以G.=,=(0,1,-1),cos<,>==.所以<,>=,即EF与平面ACC1A1的夹角为.【一题多解】建系同上,=(0,1,-1),A1(2,0,2),A(2,0,0),C(0,2,0),=(0,0,-2),=(-2,2,0).设平面ACC1A1的法向量为n=(x,y,z),则即令x=1,则y=1,所以n=(1,1,0),cos<n,>===.所以<n,>=,则EF与平面ACC1A1的夹角为.11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱D1C1,B1C1的中点,求平面EFC与底面ABCD所成二面角的正切值. 【解析】以D为原点,{,,}为单位正交基底建立空间直角坐标系如图,则C(0,1,0),E,F.设平面CEF的法向量为n=(x,y,z),则因为=,=,所以所以令z=1,则n=(-2,2,1).显然平面ABCD的法向量e=(0,0,1),则cos<n,e>==.设二面角为α,则cosα=,所以tanα=2.【拓展延伸】向量法求解二面角时的注意点由于两条直线所成的角,线面角都是锐角或直角,因此可直接通过绝对值来表达,故可直接求出,而二面角的范围是[0,π],有时比较难判断二面角是锐角还是钝角,因为不能仅仅由法向量夹角余弦的正负来判断,故这是求二面角的难点.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量,若cos<m,n>=-,则l与α所成的角θ为( )A.30°B.45°C.135°D.150°【解析】选B.因为cos<m,n>=-,所以sinθ=|cos<m,n>|=.又因为直线与平面所成角θ满足0°≤θ≤90°,所以θ=45°.2.(2014²长春高二检测)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=2,DD1=3,则AC与BD1所成角的余弦值为( )A.0B.C.-D.【解析】选A.建立如图坐标系,则D1(0,0,3),B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),所以=(-2,-2,3),=(-2,2,0).所以cos<,>==0.所以<,>=90°,所求角的余弦值为0.【变式训练】如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM 所成的角的大小是.【解析】不妨设棱长为2,则=-,=+,cos<,>==0,故异面直线AB1和BM所成角为90°.答案:90°3.(2014²哈尔滨高二检测)在正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面内的投影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC的夹角是( )A.30°B.45°C.60°D.75°【解析】选A.如图,以O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz.设OD=SO=OA=OB=OC=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P,则=(2a,0,0),=,=(a,a,0),设平面PAC的一个法向量为n,可取n=(0,1,1),则cos<,n>===,所以<,n>=60°,所以直线BC与平面PAC的夹角为90°-60°=30°.4.(2014²南宁高二检测)如图所示,已知点P为菱形ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC,点F为PC 的中点,则二面角C-BF-D的正切值为( )A. B. C. D.【解析】选D.如图所示,连接BD,AC∩BD=O,连接OF.以O为原点,OB,OC,OF所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系Oxyz.设PA=AD=AC=1,则BD=.所以B,F,C,D.结合图形可知,=且为面BOF的一个法向量,由=,=,可求得平面BCF的一个法向量n=.所以cos<n,>=,sin<n,>=,所以tan<n,>=.二、填空题(每小题5分,共10分)5.正△ABC与正△BCD所在平面垂直,则二面角A-BD-C的正弦值为.【解析】取BC中点O,连接AO,DO,建立如图所示的坐标系:设BC=1,则A,B,D.所以=,=,=.由于=为平面BCD的一个法向量,设平面ABD的法向量n=(x,y,z),则所以取x=1,则y=-,z=1,所以n=(1,-,1),所以cos<n,>=,sin<n,>=.答案:6.(2014²湛江高二检测)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1,则AB1与C1B所成的角的大小为.【解题指南】根据正三棱柱的特点建立空间直角坐标系,再用向量法求异面直线所成的角.【解析】取AC的中点D,建立如图坐标系,设AB=a,则B,C1,A,B1.所以=,=.所以cos<,>==0.所以AB1与C1B所成的角为90°.答案:90°三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2013²新课标全国卷Ⅰ)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(1)证明AB⊥A1C.(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.【解题指南】(1)取AB的中点,利用线面垂直证明线线垂直.(2)利用面面垂直确定线面垂直,找出直线A1C与平面BB1C1C所成的角或建立空间直角坐标系求解. 【解析】(1)取AB的中点O,连结OC,OA1,A1B.因为CA=CB,所以OC⊥AB.由于AB=AA1,∠BAA1=60°,故△AA1B为等边三角形,所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C,故AB⊥A1C.(2)由(1)知,OC⊥AB,OA1⊥AB,又平面ABC⊥平面AA1B1B,交线为AB,所以OC⊥平面AA1B1B,故OA,OC,OA1两两相互垂直. 以O为坐标原点,的方向为x轴的正方向,||为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,则有A(1,0,0),A1(0,,0),C(0,0,),B(-1,0,0).则=(1,0,),==(-1,,0),=(0,-,).设平面BB1C1C的法向量为n=(x,y,z),则有即可取n=(,1,-1).故cos<n,>==-.所以直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.【变式训练】(2013²辽宁高考)如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.(1)求证:平面PAC⊥平面PBC.(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求二面角C-PB-A的余弦值.【解题指南】利用条件证明线线垂直,进而证明线面垂直,由面面垂直的判定定理解决问题;借助前面的垂直关系,建立空间直角坐标系,利用向量法求二面角的余弦值.【解析】(1)由AB是圆的直径,得AC⊥BC;由PA垂直于圆所在的平面,得PA⊥平面ABC;由BC⊂平面ABC,得PA⊥BC;又PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,所以BC⊥平面PAC.又因为BC⊂平面PBC,据面面垂直判定定理,平面PAC⊥平面PBC.(2)过点C作CM∥AP,由(1)知CM⊥平面ABC.如图所示,以点C为坐标原点,分别以直线CB,CA,CM为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.在直角三角形ABC中,AB=2,AC=1,所以BC=,又PA=1,所以A(0,1,0),B(,0,0),P(0,1,1).故=(,0,0),=(0,1,1).设平面PBC的法向量为n1=(x1,y1,z1),则⇒⇒不妨令y1=1,则z1=-1.故n1=(0,1,-1).设平面PAB的法向量为n2=(x2,y2,z2),由同理可得n2=(1,,0).于是cos<n1,n2>===.结合图形和题意,二面角C-PB-A的余弦值为.8.(2014²山东高考)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,∠DAB=60°,AB=2CD=2,M是线段AB的中点.(1)求证:C1M∥平面A1ADD1.(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1=,求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值.【解题指南】(1)本题考查了线面平行的证法,可利用线线平行来证明线面平行.(2)本题可利用空间几何知识求解二面角,也可以利用向量法来求解.【解析】(1)连接AD1,因为ABCD-A1B1C1D1为四棱柱,所以CD∥C1D1,CD=C1D1,又因为M为AB的中点,AB=2CD=2,所以AM=1,所以CD∥AM,CD=AM,所以AM∥C1D1,AM=C1D1,所以四边形AMC1D1为平行四边形,所以AD1∥MC1,又因为C1M⊄平面A1ADD1,AD1⊂平面A1ADD1,所以C1M∥平面A1ADD1.(2)方法一:因为AB∥A1B1,A1B1∥C1D1,所以平面D1C1M与ABC1D1共面,作CN⊥AB,连接D1N,则∠D1NC即为所求二面角的平面角.在ABCD中,DC=1,AB=2,∠DAB=60°,所以CN=,在Rt△D1CN中,CD1=,CN=,所以D1N=,cos∠D1NC==.方法二:作CP⊥AB于P点,以C为原点,CD为x轴,CP为y轴,CD1为z轴建立空间直角坐标系, 所以C1(-1,0,),D1(0,0,),M,所以=(1,0,0),=,设平面C1D1M的法向量为n1=(x1,y1,z1),所以所以n1=(0,2,1),显然平面ABCD的法向量为n2=(0,0,1),所以cos<n1, n2>===.显然二面角为锐角,所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角的余弦值为.【变式训练】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=2AA1,∠ABC=90°,D是BC的中点.(1)求证:A1B∥平面ADC1.(2)求二面角C1-AD-C的余弦值.(3)试问线段A1B1上是否存在点E,使AE与DC1成60°角?若存在,确定E点位置;若不存在,说明理由. 【解析】(1)连接A1C,交AC1于点O,连接OD.由ABC-A1B1C1是直三棱柱,得四边形ACC1A1为矩形,O为A1C的中点.又D为BC的中点,所以OD为△A1BC的中位线,所以A1B∥OD,因为OD⊂平面ADC1,A1B⊄平面ADC1,所以A1B∥平面ADC1.(2)由ABC-A1B1C1是直三棱柱,且∠ABC=90°,得BA,BC,BB1两两垂直.以BC,BA,BB1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.设BA=2,则B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),C1(2,0,1),D(1,0,0),所以=(1,-2,0),=(2,-2,1).设平面ADC1的法向量为n=(x,y,z),则有所以取y=1,得n=(2,1,-2).易知平面ADC的一个法向量为v=(0,0,1).所以cos<n,v>==-.因为二面角C1-AD-C是锐二面角,所以二面角C1-AD-C的余弦值为.(3)假设存在满足条件的点E.因为点E在线段A1B1上,A1(0,2,1),B1(0,0,1),故可设E(0,λ,1),其中0≤λ≤2.所以=(0,λ-2,1),=(1,0,1).因为AE与DC1成60°角,所以|cos<,>|==.即=,解得λ=1或λ=3(舍去).所以当点E为线段A1B1的中点时,AE与DC1成60°角.。

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课时作业新人教A版选修2-1

空间向量的正交分解及其坐标表示(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.已知{a,b,c}是空间的一个基底,则可以与向量p=a+b,q=a-b构成基底的向量是( )A.aB.bC.a+2bD.a+2c【解析】选D.能与p,q构成基底,则与p,q不共面.因为a=,b=,a+2b=p-q,所以A,B,C都不合题意.因为{a,b,c}为基底,所以a+2c与p,q不共面,可构成基底.2.(2014·济宁高二检测)设O-ABC是四面体,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1.若=x+y+z,则(x,y,z)为( )A. B.C. D.【解析】选A.因为==(+)=+×=+[(-)+(-)]=++,而=x+y+z,所以x=,y=,z=.3.(2014·成都高二检测)若向量,,的起点M和终点A,B,C互不重合且无三点共线,则能使向量,,成为空间一个基底的关系是( )A.=++B.=+C.=++D.=2-【解析】选 C.对于选项A,由结论=x+y+z(x+y+z=1)⇔M,A,B,C四点共面知,,,共面;对于B,D选项,易知,,共面,故只有选项C中,,不共面.4.(2014·兰州高二检测)已知点A在基底{a,b,c}下的坐标为(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则点A在基底{i,j,k}下的坐标为( )A.(12,14,10)B.(10,12,14)C.(14,10,12)D.(4,2,3)【解析】选A.8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k,所以点A在基底{i,j,k}下的坐标为(12,14,10).5.(2014·西安高二检测)已知空间四边形OABC,M,N分别是OA,BC的中点,且=a,=b,=c,用a,b,c 表示向量为( )A.a+b+cB.a-b+cC.-a+b+cD.-a+b-c【解析】选C.如图所示,连接ON,AN,则=(+)=(b+c),=(+)=(-2+)=(-2a+b+c)=-a+b+c,所以=(+)=-a+b+c.【变式训练】如图所示,空间四边形OABC中,G是△ABC的重心,D为BC的中点,H为OD的中点.设=a,=b,=c,试用向量a,b,c表示向量.【解析】=-.因为==(+)=(b+c),=+=+=+(-)=+×(+)=a+(b+c),所以=(b+c)-a-(b+c)=-a+b+c,即=-a+b+c.6.已知{e1,e2,e3}为空间的一个基底,若a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3, d=e1+2e2+3e3,d=αa+βb+γc,则α,β,γ分别为( )A.,-1,-B.1,2,3C.1,1,1D.1,-1,1【解析】选 A.因为d=α(e1+e2+e3)+β(e1+e2-e3)+γ(e1-e2+e3)=(α+β+γ)e1+(α+β-γ)e2+(α-β+γ)e3=e1+2e2+3e3,所以解得【拓展延伸】用基底表示向量的三个关注点(1)若a,b,c不共面,则对空间任一向量p=x a+y b+z c,(x,y,z)是惟一的.(2)用基底表示向量,可从要表示的向量入手,运用向量线性运算的法则,结合图形逐步向基向量转化.(3)求a在单位正交基底下的坐标,关键先依据条件结合图形建立空间直角坐标系,将a表示为a=x e1+y e2+z e3.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·南昌高二检测)设{i,j,k}是空间向量的一个单位正交基底,a=2i-4j+5k,b=i+2j-3k,则向量a,b 的坐标分别是.【解析】a的坐标为(2,-4,5),b的坐标为(1,2,-3).答案:(2,-4,5),(1,2,-3)8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,用,,作为基向量,则= .【解析】2=2+2+2=(+)+(+)+(+)=++,所以=(++).答案:(++)9.(2014·长春高二检测)如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,D,E分别为AA1,B1C的中点,若记=a,=b,=c,则= (用a,b,c表示).【解析】=+=+(+)=+(+-)=c+(a+b-c)=a+b.答案:a+b【一题多解】在三角形B1DC中,因为E为B1C的中点,利用平行四边形法则有=(+),=+=+=+=c+a,=+=+=-c+b.所以三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·安庆高二检测)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,以底面正方形ABCD的中心为坐标原点O,分别以射线OB,OC,AA1的方向为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系.试写出正方体顶点A1,B1,C1,D1的坐标.【解析】设i,j,k分别是与x轴、y轴、z轴的正方向方向相同的单位坐标向量.因为底面正方形的中心为O,边长为2,所以OB=.由于点B在x轴的正半轴上,所以=i,即点B的坐标为(,0,0).同理可得C(0,,0),D(-,0,0),A(0,-,0).又=+=i+2k,所以=(,0,2).即点B1的坐标为(,0,2).同理可得C1(0,,2),D1(-,0,2),A1(0,-,2).11.如图所示,在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中,=a,=b,=c,P是CA′的中点,M是CD′的中点,N是C′D′的中点,点Q在CA′上,且CQ∶QA′=4∶1,用基底{a,b,c}表示以下向量:(1).(2).(3).(4).【解题指南】利用空间图形中的平面图形如三角形、平行四边形建立目标向量与已知向量间的关系. 【解析】连接AC,AD′.(1)=(+)=(++)=(a+b+c).(2)=(+)=(+2+)=(a+2b+c).(3)=(+)=[(++)+(+)]=(+2+2)=a+b+c.(4)=+=+(-)=+=++=a+b+c.【变式训练】(2014·牡丹江高二检测)如图,已知正方体ABCD-A′B′C′D′,点E是上底面A′B′C′D′的中心,分别取向量,,为基向量,若(1)=x+y+z,试确定x,y,z的值.(2)=x+y+z,试确定x,y,z的值.【解析】(1)因为=+=++=-++,又=x+y+z,所以x=1,y=-1,z=1.(2)因为=+=+=+(+)=++=++,又=x+y+z,所以x=,y=,z=1.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·南宁高二检测)有以下命题:①如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一个基底,那么a,b的关系是不共线;②O,A,B,C为空间四点,且向量,,不构成空间的一个基底,则点O,A,B,C一定共面;③已知向量a,b,c是空间的一个基底,则向量a+b,a-b,c也是空间的一个基底.其中正确的命题是( )A.①②B.①③C.②③D.①②③【解析】选C.①如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一个基底,那么a,b的关系是共线的;如果a,b有一个向量为零向量,共线但不能构成空间向量的一组基底,所以①不正确.②O,A,B,C为空间四点,且向量,,不构成空间的一个基底,那么点O,A,B,C一定共面,这是正确的.③已知向量a,b,c是空间的一个基底,则向量a+b,a-b,c也是空间的一个基底;因为三个向量非零且不共线,正确.故选C.2.(2014·广州高二检测)在三棱锥S-ABC中,G为△ABC的重心,则有( )A.=(++)B.=(++)C.=(++)D.=++【解析】选B.=+=+(+)=+(-)+(-) =(++).3.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M为A1C1的中点,若=a,=c,=b,则下列向量与相等的是( )A.-a+b+cB.a+b+cC.-a-b+cD.a-b+c【解析】选A.=+=+(+)=+(+)=(-a+b)+c=-a+b+c.4.(2014·泰安高二检测)已知向量{a,b,c}是空间的一基底,向量{a+b,a-b,c}是空间的另一基底,一向量p 在基底{a,b,c}下的坐标为(1,2,3),则向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为( )A. B.C. D.【解析】选 B.设p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z),则p=a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+z c=(x+y)a+(x-y)b+z c,所以解得故p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为.【举一反三】若把题目中的“基底{a,b,c}”与“基底{a+b,a-b,c}”互换,结果如何?【解析】设p在基底{a,b,c}下的坐标为(x,y,z),由向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(1,2,3),得p=(a+b)+2(a-b)+3c=3a-b+3c=x a+y b+z c,所以故p在基底{a,b,c}下的坐标为(3,-1,3).二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·福州高二检测)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,若=x+2y+3z,则x+y+z=.【解析】如图所示,有=++=++(-1).又因为=x+2y+3z,所以解得所以x+y+z=1+-=.答案:6.设a,b,c是三个不共面的向量,现从①a+b;②a-b;③a+c;④b+c;⑤a+b-c中选出一个,使其与a,b构成空间向量的一个基底,则可以选择的向量有 .【解题指南】判断a,b,c可否作为空间的一个基底,即判断a,b,c是否共面,若不共面则可以作为基底,否则不能作为基底,实际判断时,假设a=λb+μc,运用空间向量基本定理建立λ,μ的方程组,若有解则共面,否则不共面.【解析】a+b,a-b均与a,b共面.事实上以a,b为邻边作平行四边形OACB,令=a,=b,=a+b,=a-b,而共面向量不可以作为空间向量的基底.答案:③④⑤三、解答题(每小题12分,共24分)7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E,F分别在线段A1D,AC上,且EF⊥A1D,EF⊥AC,以点D为坐标原点,DA,DC,DD1分别作为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系(如图所示).(1)试求向量的坐标.(2)求证:EF∥BD1.【解题指南】确定此空间向量的单位正交基底,并用单位正交基底表示向量,,从而使问题得解.【解析】(1)因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,根据题意知{,,}为单位正交基底,设=i,=j,=k,所以向量可用单位正交基底{i,j,k}表示,因为=++,与共线,与共线,所以设=λ,=μ,则=λ++μ=λ(+)++μ(-)=(λ+μ)+(1-μ)+λ=(λ+μ)i+(1-μ)j+λk,因为EF⊥A1D,EF⊥AC,即⊥,⊥,所以·=0,·=0,又=-i-k,=-i+j,所以,整理得即解得所以=i +j -k所以的坐标是(,,-).(2)因为=+=-i-j+k,所以=-,即与共线,又EF与BD1无公共点,所以EF∥BD1.8.(2013·吉林高二检测)已知{i,j,k}是空间的一个基底,设a1=2i-j+k, a2=i+3j-2k,a3=-2i+j-3k,a4=3i+2j+5k.试问是否存在实数λ,μ,υ,使a4=λa1+μa2+υa3成立?如果存在,求出λ,μ,υ的值,如果不存在,请给出证明.【解析】假设存在实数λ,μ,υ使a4=λa1+μa2+υa3成立,则有3i+2j+5k=λ(2i-j+k)+μ(i+3j-2k)+υ(-2i+j-3k)=(2λ+μ-2υ)i+(-λ+3μ+υ)j+(λ-2μ-3υ)k.因为{i,j,k}是一个基底,所以i,j,k不共面,所以解得故存在λ=-2,μ=1,υ=-3使结论成立.- 11 -。

2014-2015学年人教A版选修2-1高中数学《3.2.4空间向量与空间距离》课时提升作业(含答案解析)

课时提升作业(二十八)空间向量与空间距离(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·济宁高二检测)如图所示,在空间直角坐标系中,有一棱长为a的正方体ABCO-A′B′C′D′,A′C的中点E与AB的中点F的距离为( )A. aB. aC.aD.a【解析】选B.由图易知A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A′(a,0,a),所以F,E.所以|EF|=== a.2.已知直线l过点A(1,-1,2),和l垂直的一个向量为n=(-3,0,4),则P(3,5,0)到l的距离为( )A.5B.14C.D.【解析】选C.因为=(-2,-6,2).所以·n=(-2,-6,2)·(-3,0,4)=14,|n|==5.所以点P到直线l的距离为=.3.已知向量n=(2,0,1)为平面α的法向量,点A(-1,2,1)在α内,则P(1,2,-2)到α的距离为( )A. B. C.2 D.【解析】选 A.因为=(-2,0,3),所以点P到平面α的距离为d===.4.(2014·安顺高二检测)正四面体ABCD的棱长为1,G是△ABC的中心,M在线段DG上,且∠AMB=90°,则GM的长为( )A. B. C. D.【解析】选D.设=a,=b,=c,=+λ=-a+(a+b+c)=a+b+c,=+=(a-b)+a+b+c=a+b+c.由·=0,a·b=b·c=a·c=,可解得λ=.||=||=.【一题多解】取AB的中点N,由正四面体的对称性可知△AMB为等腰三角形,所以MN=AB=.又G为△ABC的中心,所以NG=,故MG==.5.(2014·南宁高二检测)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是1,则直线DA1与AC 间的距离为( )A. B. C. D.【解析】选C.建立以A为原点,以AB,AD,AA1为x,y,z轴的空间直角坐标系,则得A(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),=(1,1,0),=(0,-1,1),设线段MN为两直线DA1与AC的公垂线段,且设=(x,y,z),则⊥,⊥,得x+y=0,-y+z=0,令y=t,则=(-t,t,t),另可设M(m,m,0),N(0,a,b),=(-m,a-m,b)N(0,2t,t),2t+t=1,t=,=,==.6.(2014·邯郸高二检测)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且=, N为BB1的中点,则|MN|的长为( )A. aB. aC. aD. a【解析】选A.设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=a,a·b=b·c=c·a=0,由条件知,=-=(+)-=(++)-(++)=(2a-c)-(-c+a+b)=a-b-c,||2==(2a-b-c)2=(4|a|2+|b|2+|c|2-4a·b-2a·c+b·c)=,所以||= a.【变式训练】正四面体ABCD棱长为2,E,F分别为BC,AD的中点,则EF的长为.【解析】||2==(++)2=+++2(·+·+·)=12+22+12+2[1×2×cos 120°+0+2×1×cos 120°]=2,所以||=,所以EF的长为.答案:二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·延安高二检测)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,如果AB=BC=1,AA1=2,那么A 到直线A1C的距离为.【解析】建立如图所示空间坐标系A1xyz,则A1(0,0,0),A(0,0,2),C(1,1,2),=(1,1,2),=(0,0,2),又cos∠AA1C===.设A到直线A1C的距离为d,则d=||sin∠AA1C=2×=.答案:8.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC,CD的中点,则BD到平面EFD1B1的距离为 .【解析】以D为原点,直线DA,DC,DD1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,易求平面EFD1B1的法向量n=,又=,所以d==.答案:9.(2014·石家庄高二检测)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱A1B1,BB1的中点,则异面直线AM与CN的距离为.【解析】以A为原点,直线AB,AD,AA1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,易知=,=,设n=(x,y,z),且n⊥,n⊥,所以n·=x+z=0,n·=-y+z=0,所以x=-2z,y=z.取z=2,则n=(-4,1,2),所以AM与CN的距离d==.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·黄山高二检测)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=4,点M 在A1C1上,|MC1|=2|A1M|,N为D1C的中点,求M,N两点间的距离.【解题指南】建立空间直角坐标系表示出点M,N的坐标,利用空间两点的距离公式求出距离.【解析】建立如图所示空间直角坐标系,据题意有|A1C1|=2,因为|MC1|=2|A1M|,所以|A1M|=.所以M.又C(2,2,0),D1(0,2,4),N为CD1的中点,所以N(1,2,2),所以|MN|==.11.三棱柱ABC-A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱,D是侧棱CC1的中点.(1)求证:平面AB1D⊥平面ABB1A1.(2)求点C到平面AB1D的距离.【解析】(1)如图所示,取AB1中点M,则=++,又=++.所以2=+=+.2·=(+)·=0,2·=(+)·(-)=||2-||2=0, 所以DM⊥AA1,DM⊥AB.所以DM⊥平面ABB1A1.因为DM⊂平面AB1D,所以平面AB1D⊥平面ABB1A1.(2)因为A1B⊥DM,A1B⊥AB1.所以A1B⊥平面AB1D.所以是平面AB1D的一个法向量.所以点C到平面AB1D的距离为d===== a.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2013·济南高二检测)已知点A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若=2,则空间P,D两点间的距离为( )A. B. C. D.【解题指南】先利用=2的关系求出P点坐标,再求两点间的距离.【解析】选D.设P(x,y,z),因为=2,所以(x-1,y-2,z-1)=2(-1-x,3-y,4-z),所以所以所以P(-,,3),=(,-,-2),所以||=.2.(2014·衡水高二检测)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=,||=1,点E是棱PB的中点.直线AB与平面ECD的距离为( )A.1B.C.D.【解析】选B.如图,以A为坐标原点,射线AB,AD,AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴,建立空间直角坐标系Axyz.则B(,0,0),P(0,0,),E.由||=1,得D(0,1,0),C(,1,0),从而=(,0,0),=,=,设平面DEC的法向量n=(x,y,z),则n·=0,n·=0.故所以x=0,z=y.可取y=1,则n=(0,1,).故点A到平面ECD的距离d===,又直线AB∥平面ECD,所以直线AB到平面ECD的距离为.【变式训练】在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,则AD到平面PBC的距离为( )A. B.3 C.2 D.【解析】选D.由已知AB,AD,AP两两垂直.所以以A为坐标原点,AB,AD,AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),=(2,0,-2).=(0,2,0),设平面PBC的法向量为n=(a,b,c),则所以n=(1,0,1),又=(2,0,0),所以d==.3.(2014·昆明高二检测)ABCD为正方形,P为平面ABCD外一点,PD⊥AD,PD=AD=2,二面角P-AD-C的大小为60°,则P到AB的距离是( )A.2B.C.2D.【解析】选D.如图建立直角坐标系,易知∠PDC为二面角P-AD-C的平面角,PD=AD=2,得P(0,1,),A(2,0,0),B(2,2,0),=(-2,1,),=(0,2,0),设点P到AB的距离为d,则d=||sin∠PAB,cos∠PAB===,sin∠PAB===,所以d=×=.4.(2014·西安高二检测)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是底面A1B1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1的距离是( )A. B. C. D.【解析】选B.以D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则有D1(0,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),A1(1,0,1), C1(0,1,1).因O为A1C1的中点,所以O,=,设平面ABC1D1的法向量为n=(x,y,z),则有即取n=(1,0,1),所以O到平面ABC1D1的距离为:d===.二、填空题(每小题5分,共10分)5.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,2AC=AA1=BC=2.若二面角B1-DC-C1的大小为60°,则AD的长为.x【解析】以C为坐标原点,CA,CB,CC轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,2,2),C1(0,0,2).设AD=a,则D点坐标为(1,0,a),=(1,0,a),=(0,2,2),设平面B1CD的一个法向量为m=(x,y,z).则⇒令z=-1,得m=(a,1,-1),又平面C1DC的一个法向量为n=(0,1,0),则由cos60°=得=,即a=,故AD=.答案:6.(2014·南京高二检测)等腰Rt△ABC斜边BC上的高AD=1,以AD为折痕将△ABD 与△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出以下结论:①BD⊥AC;②∠BAC=60°;③异面直线AB与CD之间的距离为;④点D到平面ABC的距离为;⑤直线AC与平面ABD所成的角为45°.其中正确结论的序号是.【解析】因为AD⊥BD,AD⊥CD,平面ABD⊥平面ACD,所以∠BDC=90°,所以BD⊥平面ACD,所以BD⊥AC,所以①正确;又知AD=BD=CD=1,所以△ABC为正三角形,∠BAC=60°,所以②正确;以D为原点,DB,DC,DA分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 易知A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),所以=(1,0,-1),=(0,1,-1),=(0,1,0),设n=(x,y,z),由n·=0,n·=0得x-z=0,y=0,令z=1得n=(1,0,1),所以异面直线AB与DC之间的距离d==,故③正确;因为△ABC边长为,所以S△ABC=,由V A-BDC=V D-ABC得×(×1×1)×1=××h,所以h=,故④正确;因为CD⊥平面ABD,所以∠CAD为直线AC与平面ABD所成的角,易知∠CAD=45°,故⑤正确.答案:①②③④⑤三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014·泰安高二检测)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点M,N分别为A1A和B1B的中点.(1)求异面直线CM与D1N所成角的余弦值.(2)求点D1到平面MDC的距离.【解析】(1)分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.则M(2,0,1),C(0,2,0),N(2,2,1),D1(0,0,2).所以=(-2,2,-1),=(2,2,-1),cos<,>==,所以异面直线CM与D1N所成角的余弦值为.(2)=(2,0,1),=(0,2,0),=(0,0,2).设面DMC的法向量为n=(x,y,z),则⇒n=(1,0,-2),所以点D1到平面MDC的距离h===.【变式训练】(2014·安庆高二检测)如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1,AEC1F为平行四边形.(1)求BF的长.(2)求点C到平面AEC1F的距离.【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3),设F(0,0,z). 因为四边形AEC1F为平行四边形,所以由=得,(-2,0,z)=(-2,0,2),所以z=2.所以F(0,0,2).所以=(-2,-4,2).于是||=2.即BF的长为2.(2)设n1为平面AEC1F的法向量,显然n1不垂直于平面ADF,故可设n1=(x,y,1),所以所以即所以又=(0,0,3),设与n1的夹角为α,则cosα===.所以C到平面AEC1F的距离为d=||·cosα=3×=.【拓展延伸】用向量法求点面距离的方法与步骤8.(2014·石家庄高二检测)已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.(1)求点D到平面PEF的距离.(2)求直线AC到平面PEF的距离.【解析】(1)建立以D为坐标原点,DA,DC,DP分别为x轴,y轴,z轴的空间直角坐标系,如图所示.则P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E(1,,0),F(,1,0),=,=,设平面PEF的法向量n=(x,y,z),则n·=0且n·=0,所以令x=2,则y=2,z=3,所以n=(2,2,3),所以点D到平面PEF的距离为d===,因此,点D到平面PEF的距离为.(2)因为=,所以点A到平面PEF的距离为d===,所以AC到平面PEF的距离为.【变式训练】如图所示,已知边长为4的正三角形ABC中,E,F分别为BC和AC 的中点,PA⊥平面ABC,且PA=2,设平面α过PF且与AE平行,求AE与平面α间的距离.【解析】设,,的单位向量分别为e1,e2,e3,选取{e1,e2,e3}作为空间向量的一组基底,易知e1·e2=e2·e3=e3·e1=0,=2e1,=2e2,=2e3,=+=+=+(+)=-2e1+e2+e3,设n=x e1+y e2+e3是平面α的一个法向量, 则n⊥,n⊥,所以⇒⇒所以n=e1+e3.所以直线AE与平面α间的距离为。

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 2.1.1 合情推理课件新人教A版选修2-2

义的类似特征,所以进行类比推理的关键是明确指出两类对象
在某些方面的类似特征.
【知识拓展】类比推理的基本逻辑形式及适用前提
(1)类比推理的基本逻辑形式
A类事物具有性质a,b,c,d
B类事物具有性质a′,b′,c′
所以B类事物可能具有性质d′.(a,b,c,d与a′,b′,c′,d′相
似或相同)
(2)类比推理的适用前提 ①两类对象在某些性质上有相似性或一致性,关键是把这些相似性或一致性确切地表述出来,再由一类对象具有的特性去推断另一类对象也可能具有的特性. ②运用类比推理常常先寻找合适的类比对象.
知识点2
类比推理
类比推理的三个特点
(1)类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征,推测正在被研
究的事物的特征,所以类比推理的结果具有猜测性,不一定可靠.
(2)类比在数学发现中具有重要作用.例如,通过空间与平面、
向量与数、无限与有限、不等与相等的类比,发现可以研究的
问题及其研究方法.
(3)由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定
2.合情推理
观察归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过_____、含 _____ 、_____, 然后提出分析、比较、_____, 联想再进行_____ 归纳类比义 _____ 猜想的推理.我们把它们统称为合情推理.通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理过程从具体问题出发观察、分析、比较、联想归纳、类比
2.方法一:图(1)中的圆圈数为12-0,图(2)中的圆圈数为22-1, 图(3)中的圆圈数为32-2,图(4)中的圆圈数为42-3,图(5)中的圆圈数为52-4,„, 故猜测第n个图形中的圆圈数为n2-(n-1)=n2-n+1. 方法二:第2个图形,中间有一个圆圈,另外的圆圈指向两个方向, 共有2×(2-1)+1个圆圈; 第3个图形,中间有一个圆圈,另外的圆圈指向三个方向,每个方

人教版数学高二数学选修2-1 2.4抛物线重点知识精析.

抛物线重点知识精析1．深刻理解抛物线的定义⑴抛物线的定义还可以叙述为：平面内与一个定点F 和一条直线l 的距离的比等于1的点的轨迹叫做抛物线．⑵定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点．．，设为M ；一个定点．．F ，叫做抛物线的焦点；一条定直线．．．l ，叫做抛物线的准线；一个定值．．，即点M 与点F 的距离和它到直线l 的距离之比等于1．⑶顶点F 不在定直线l 上，这是一个重要的隐含条件，否则动点M 的轨迹不是抛物线，而是过点F 垂直于直线l 的一条直线，比如，到点F(1，0)和直线l ：x + y －1 = 0的距离相等的点的轨迹方程为x －y －1 = 0，轨迹是一条直线．2．抛物线标准方程的特点在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用．由于选取坐标系时，设坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标准方程有四种不同形式，这四种抛物线标准方程y 2=±2px (p ＞0)或x 2=±2py (p ＞0)的特点在于：等号一边是某变元的完全平方，等号另一边是另一变元的一次项，这个形式与位置特征相对应．若对称轴为x 轴时，方程中的一次项就是x 的一次项，且符号指出了抛物线的开口方向，即：开口向左时，该项取正号；开口向右时，该项取负号．若对称轴为y 轴时，方程中的一次项就是y 的一次项，且符号指出了抛物线的开口方向，即：开口向上时，该项取正号；开口向下时，该项取负号．3．动点、焦点、准线三者互化抛物线的定义中指明了抛物线上点到焦点的距离与到准线距离的等价性，因此在解题中，抛物线上的点、焦点、准线三者通常是与抛物线的定义相联系，故它们可以相互转化，这一转化在解题中有着重要的作用．4．圆锥曲线的统一定义椭圆、双曲线和抛物线还有一个相似的地方，就是它们有一个统一的定义：平面上，若一个动点到一个定点的距离与这个动点到一条定直线的距离之比等于常数e ，则这个动点的轨迹叫圆锥曲线．当0＜e ＜1时，轨迹是椭圆；当e = 1时，轨迹是抛物线；当e ＞1时，轨迹是双曲线．二、几个常用结论1．关于抛物线焦点弦的几个结论设AB 为过抛物线y 2= 2px (p ＞0)焦点的弦，A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，直线AB 的倾斜角为θ，则：⑴ x 1· x 2=42p ，y 1· y 2=－p 2； ⑵|AB| =θ2sin 2p ； ⑶以AB 为直径的圆与准线相切；⑷焦点F 对A 、B 在准线上射影的张角为90°； ⑸||1FA +||1FB =p2． 2．抛物线的焦半径公式设抛物线上有一点M ，F 是抛物线的焦点，那么线段MF 叫做抛物线的焦半径．根据抛物线的定义，可以得到：⑴抛物线y2= 2px (p＞0)上一点M(x0，y)的焦半径的长是|MF| = x+2p．⑵抛物线y2=－2px (p＞0)上一点M(x0，y)的焦半径的长是|MF| =－x+2p．⑶抛物线x2= 2py (p＞0)上一点M(x0，y)的焦半径的长是|MF| = y+2p．⑷抛物线x2= 2py (p＞0)上一点M(x0，y)的焦半径的长是|MF| =－y+2p．3．直线与抛物线位置关系问题在直线与抛物线的位置关系中，由直线与抛物线方程联立可得一方程组，消元后可得到一个关于x(或y)的方程ax2+ bx + c = 0，此时直线与抛物线交点个数完全由方程组解的组数，即方程ax2+ bx + c = 0的解的个数决定．⑴当a = 0时，方程解唯一，显然直线与抛物线交点唯一，但不是相切，而是直线与抛物线对称轴平行或重合；⑵当a≠0时，∆= 0，此时直线与抛物线相切；∆＜0，直线与抛物线相离；∆＞0，直线与抛物线相交于两点．4．抛物线的焦半径、准线、对称轴及动点到准线距离这四条线围成一个直角梯形，在此经常借助平面几何图形的性质求解．一、抛物线的综合应用常见问题：1．求抛物线的有关特征量，并讨论其性质；①抛物线与直线的位置关系，特别是过焦点的直线；②抛物线与圆、椭圆及双曲线的位置关系；③抛物线中的最值与定值问题；④求轨迹方程及抛物线的实际应用问题．2．求抛物线方程时，若由已知条件可确定曲线是抛物线，此时一般用待定系数法．由于抛物线的标准方程有四种形式，所以先根据题设条件确定所求抛物线是哪种形式，然后列出方程求待定系数p ，就可得到抛物线的标准方程；若已知条件确定曲线的动点规律一般用轨迹法．3．抛物线标准方程中的p 表示焦点到准线的距离，若不做说明，p 一般取正值．求抛物线的标准方程，只需确定参数p ，由于标准方程有四种，所以解这类问题时，可以根据平方项、一次项的分布画一个草图，进行初步的“定位”；再根据2p 的数值来“定量”，即求出2p 的值，然后把二者结合起来即可． 4．对于抛物线y 2= 2px (p ≠0)上的点的坐标可设为(py 220，y 0)，以简化运算． 5．凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时，要注意利用韦达定理，这样能避免求交点坐标的复杂运算．。

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 2.2.2 反证法课时提升作业新人教A版选修1-2

反证法一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·合肥高二检测)用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”,下列假设中正确的是( )A.有两个内角是钝角B.有三个内角是钝角C.至少有两个内角是钝角D.没有一个内角是钝角【解析】选C.“最多有一个”的反设是“至少有两个”.2.实数a,b,c满足a+2b+c=2,则( )A.a,b,c都是正数B.a,b,c都大于1C.a,b,c都小于2D.a,b,c中至少有一个不小于【解析】选D.假设a,b,c均小于,则a+2b+c<+1+=2,与已知矛盾,故假设不成立,所以a,b,c中至少有一个不小于.3.(2014·唐山高二检测)(1)已知:p3+q3=2,求证:p+q≤2.用反证法证明时,可假设p+q≥2.(2)已知:a,b∈R,|a|+|b|<1,求证:方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设|x1|≥1,以下结论正确的是( )A.(1)与(2)的假设都错误B.(1)与(2)的假设都正确C.(1)的假设正确,(2)的假设错误D.(1)的假设错误,(2)的假设正确【解析】选D.(1)错,应假设为p+q>2.(2)假设正确.故选D.4.(2014·杭州高二检测)设a,b,c大于0,则3个数:a+,b+,c+的值( )A.都大于2B.至少有一个不大于2C.都小于2D.至少有一个不小于2【解题指南】因为三个数的和不小于6,可以判断三个数至少有一个不小于2,所以可假设这三个数都小于2来推出矛盾.【解析】选D.假设a+,b+,c+都小于2,即a+<2,b+<2,c+<2,所以++<6,又a>0,b>0,c>0,所以++=++≥2+2+2=6.这与假设矛盾,所以假设不成立.【变式训练】已知x1>0,且x1≠1,且x n+1=(n=1,2,3…).试证:数列{x n}对任意正整数n都满足x n<x n+1,或者对任意正整数n都满足x n>x n+1.当此题用反证法否定结论时,应为( )A.对任意的正整数n,都有x n=x n+1B.存在正整数n,使得x n=x n+1C.存在正整数n,使x n≥x n-1且x n≥x n+1D.存在正整数n,使得(x n-x n-1)(x n-x n+1)≥0【解析】选B.对于数列中的连续两项来说,要么不相等,要么相等.5.设a,b,c是正数,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR>0”是“P,Q,R同时大于零”的( )A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.必要性显然,充分性:若PQR>0,则P,Q,R同时大于零或其中两个为负,不妨设P<0,Q<0,R>0,因为P<0,Q<0,即a+b<c,b+c<a,所以a+b+b+c<c+a,即b<0,这与b>0矛盾,所以P,Q,R同时大于零,故选C.6.若△ABC能被一条直线分成两个与自身相似的三角形,那么这个三角形的形状是( )A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不能确定【解析】选B.分△ABC的直线只能过一个顶点且与对边相交,如直线AD(点D在BC上),则∠ADB+∠ADC=π,若∠ADB为钝角,则∠ADC为锐角.而∠ADC>∠BAD,∠ADC>∠ABD,△ABD与△ACD不可能相似,与已知不符,只有当∠ADB=∠ADC=∠BAC=时,才符合题意.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·南昌高二检测)命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是.【解析】“至少有一个”的否定是“没有一个”.答案:没有一个是三角形或四边形或五边形8.(2014·石家庄高二检测)设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b=1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2.其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是(填序号).【解题指南】可采用特殊值法或反证法逐一验证.【解析】若a=,b=,则a+b=1,但a<1,b<1,故①不能推出.若a=b=1,则a+b=2,故②不能推出.若a=-2,b=1,则a2+b2>2,故④不能推出.对于③,即a+b>2,则a,b中至少有一个大于1.反证法:假设a≤1且b≤1,则a+b≤2与a+b>2矛盾,因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于1.答案:③9.用反证法证明命题:“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤:①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和为180°相矛盾,则∠A=∠B=90°不成立;②所以一个三角形中不能有两个直角;③假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角,不妨设∠A=∠B=90°.正确顺序的序号排列为__________.【解析】由反证法证明的步骤知,先反设即③,再推出矛盾即①,最后作出判断,肯定结论即②,即顺序应为③①②.答案:③①②三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2013·南阳高二检测)已知a,b,c,d∈R,且a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证:a,b,c,d中至少有一个是负数.【解题指南】反证法来证明正难则反的运用,先否定结论,假设a,b,c,d都是非负数,然后推出矛盾来得到证明.【证明】假设a,b,c,d都是非负数,因为a+b=c+d=1,所以(a+b)(c+d)=1.又(a+b)(c+d)=ac+bd+ad+bc≥ac+bd,所以ac+bd≤1,这与已知ac+bd>1矛盾,所以a,b,c,d中至少有一个是负数.【拓展提升】适用反证法证明的题型适用反证法证明的题型有:(1)一些基本命题、基本定理.(2)易导出与已知矛盾的命题.(3)“否定性”命题.(4)“唯一性”命题.(5)“必然性”命题.(6)“至多”“至少”类命题.(7)“必然性”命题.(8)涉及“无限”结论的命题等.11.求证过一点只有一条直线与已知平面垂直.【解题指南】文字叙述题的证明应先写出已知,求证,本题证明时应分两种情况,即点P在平面α内和点P 在平面α外.【证明】已知:平面α和一点P.求证:过点P与平面α垂直的直线只有一条.证明:如图所示,不论点P在α内或α外,设PA⊥α,垂足为A(或P).假设过点P还有另一条直线PB⊥α,设PA,PB确定的平面为β,且α∩β=a,于是在平面β内过点P有两条直线PA,PB垂直于a,这与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾,所以假设不成立,原命题成立.一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·济宁高二检测)用反证法证明命题“+是无理数”时,假设正确的是( )A.假设是有理数B.假设是有理数C.假设或是有理数D.假设+是有理数【解析】选D.假设结论的反面成立,+不是无理数,则+是有理数.2.(2014·潍坊高二检测)否定结论“至多有两个解”的说法中,正确的是( )A.有一个解B.有两个解C.至少有三个解D.至少有两个解【解析】选C.在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n+1个”,所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”.3.已知直线a,b为异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b的位置关系为( )A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线【解析】选C.假设c∥b,而由c∥a,可得a∥b,这与a,b异面矛盾,故c与b不可能是平行直线.4.已知数列{a n},{b n}的通项公式分别为a n=an+2,b n=bn+1(a,b是常数,且a>b),那么两个数列中序号与相应项的数值相同的项的个数是( )A.0B.1C.2D.无穷多个【解题指南】假设存在两个数列中序号与相应项的数值相同的项,推理得出矛盾.【解析】选A.假设存在两个数列中序号与相应项的数值相同的项,则有an+2=bn+1,得到(a-b)n=-1,这样的n是不存在的,故假设不成立.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·郑州高二检测)若下列两个方程x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,则实数a 的取值范围是.【解析】假设两个一元二次方程均无实根,则有即解得{a|-2<a<-1},所以其补集{a|a≤-2或a≥-1}即为所求的a的取值范围.答案:{a|a≤-2或a≥-1}6.完成反证法证题的全过程.设a1,a2,…,a7是1,2,…,7的一个排列,求证:乘积p=(a1-1)(a2-2)…(a7-7)为偶数.证明:假设p为奇数,则a1-1,a2-2,…,a7-7均为奇数.因奇数个奇数之和为奇数,故有奇数= = =0.但0≠奇数,这一矛盾说明p为偶数.【解题指南】利用奇数个奇数之和为奇数,把a1-1,a2-2,…,a7-7相加,利用a1+a2+…+a7=1+2+…+7可推出矛盾.【解析】据题目要求及解题步骤,因为a1-1,a2-2,…,a7-7均为奇数,所以(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)也为奇数.即(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)为奇数.又因为a1,a2,…,a7是1,2,…,7的一个排列,所以a1+a2+…+a7=1+2+…+7,故上式为0.所以奇数=(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)=(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)=0.答案:(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)(a1+a2+...+a7)-(1+2+ (7)三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2013·临沂高二检测)已知a,b,c∈(0,1).求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于.【证明】假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于.因为0<a<1,0<b<1,所以1-a>0.由基本不等式,得≥>=.同理,>,>.将这三个不等式两边分别相加,得++>++,即>,这是不成立的,故(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于.8.(2014·温州高二检测)设{a n},{b n}是公比不相等的两个等比数列,c n=a n+b n.证明数列{c n}不是等比数列. 【解题指南】假设数列{c n}是等比数列,利用{a n},{b n}是公比不相等的等比数列的条件推出矛盾,即知假设不成立.【证明】假设数列{c n}是等比数列,则(a n+b n)2=(a n-1+b n-1)(a n+1+b n+1). ①因为{a n},{b n}是公比不相等的两个等比数列,设公比分别为p,q,所以=a n-1a n+1,=b n-1b n+1.代入①并整理,得2a n b n=a n+1b n-1+a n-1b n+1=a n b n(+),即2=+②.当p,q异号时,+<0,与②相矛盾;当p,q同号时,由于p≠q,所以+>2,与②相矛盾.故数列{c n}不是等比数列.【拓展延伸】适用反证法证明的题型适用反证法证明的题型有:(1)一些基本命题、基本定理.(2)易导出与已知矛盾的命题.(3)“否定性”命题.(4)“唯一性”命题.(5)“必然性”命题.(6)“至多”“至少”类命题.(7)涉及“无限”结论的命题等. 【变式训练】已知f(x)=x2+px+q.求证:(1)f(1)+f(3)-2f(2)=2.(2)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于.【解题提示】至少有一个不小于的反面是都小于.【证明】(1)f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2.(2)假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于,则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2,而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥f(1)+f(3)-2f(2) =(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)=2,这与|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2相矛盾,从而假设不成立,原命题成立.。

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 3.2.4空间向量与空间距离课件新人教A版选修2-1

n 3
【题型示范】
类型一
点到点、点到线、线到线的距离
【典例1】
(1)(2014·临汾高二检测)如图,在60°的二面角α -AB-β
内,AC⊂β ,BD⊂α ,AC⊥AB于A,BD⊥AB于B,且AC=AB=BD=1,则CD 的长为 .
(2)如图,在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1,点M是线段DC1上的动点,试求点M到直线AD1距离的最小值.
的距离点到平
面的距离
设平面α 的法向量为n,B∉α ,A∈α ,则B点到
| BA n | 平面α 的距离d= n
2.解决立体几何问题的三种方法
逻辑推理作为工具解决问题. (1)综合方法:是以_________
向量的概念及其运算解决问题. (2)向量方法:是利用_____ (3)坐标方法:利用数及其运算来解决问题. 坐标方法经常与向量运算结合.
AD AB BC CD AB BC CD 2AB BC 2AB CD 2BC CD AB BC CD 12，
2 2 2 2 2 2 2 2
所以 AD ＝2 3，故选D.
【补偿训练】直角△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平
面ABC，PC＝
OP n 2 6 2 ＝| |＝| |＝2. n 3
(2)如图所示，以AD的中点O为原点，以OD，OC所在直线为x轴、y轴，过O作 OM⊥平面ACD交AB于M，以直线OM为z轴建立空间直角坐标系，则A( ，0，0)，
B(
2 1 2
3 1 1 3 D( 1 ，0，0)，所以 AC＝( 1 ， 3 ，， 0) AB ＝( ， 0， )， DC ＝( ，，， 0) 2 2 2 2 2 2

高中数学人教A版选修2-1 (1.4)全称命题与特称命题

练习：写出下列命题的否定,并判断其真假：（1）一切分数都是有理数; （2）有些三角形是锐角三角形; （3）∃x∈R, x²+x=x+2; （4）∀x∈R, 2x+4≥0. （5）∀x∈R, x²>0; （6）∃x∈R, x²=1; （7）∃x∈R, 是方程x²-3x+2=0的根.
一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定, 有下面的结论：全称命题它的否定一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定,有下
写出下列命题的否定: (1)有些实数的绝对值是正数; (2)有些平行四边形是菱形; (3) ∃x0∈R, x0²+1<0. (4)所有能被3整除的整数都是奇数; (5)对任意x∈Z, x²的个位数字不等于3.
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?
例题
例3 写出下列特称命题的否定，并判断其真假：（1）p：∃x0∈R, x0²+2x0+2≤0; （2）p：有的三角形是等边三角形; （3）p：有一个素数含三个正因数. （4）q：至少有一个实数x,使x³+1=0 （5）r：任意两个等边三角形都是相似的; （6）s：∃x0∈R, x0²+2x0+2=0.
些”、“有一个”、“对某个”、“有的”在逻辑中通常叫做存在量词。表示：用符号“∃”表示,
2.特称命题及表示：
定义: 含有存在量词的命题,叫做特称命题. 表示：特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可用
符号简记为∃x∈M,p(x). 读作:“存在一个x属于M,使p(x)成立”.
例如: 命题 (1)有的平行四边形是菱形;
关系(3: )在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定,使(3)变成了可以判断真假的语句;

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第一章 1.4
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高应为( ) A ．2033cm
B ．100 cm
C ．20 cm
D ．20
3
cm
解析：设高为h ，体积为V ，则底面半径r 2＝202－h 2＝400－h 2， ∴V ＝13πr 2h ＝π
3(400h －h 3)，
V ′＝π
3(400－3h 2)，
令V ′＝0，
得h ＝2033或h ＝－2033(舍)．
答案： A
2．某厂生产某产品x (万件)的总成本C (x )＝1 200＋2
75x 3(万元)，已知产品单价的平方与
产品件数x 成反比，生产100万件这样的产品单价为50万元，产量定为多少时总利润最大( )
A ．23万件
B ．25万件
C ．50万件
D ．75万件
解析：设单价为a ，由题意知 a 2＝k x 且502＝k 100，
∴k ＝502×100＝25×104， ∴a 2
＝25×104x ，即a ＝500x
，
总利润y ＝a ·x －C (x ) ＝
500
x
·x －⎝⎛⎭⎫1 200＋275x 3 ＝500×x －2
75x 3－1 200，
y ′＝250x －12－2
25
x 2，
令y ′＝0得x ＝25，
∴产量定为25万件时总利润最大．答案： B
3．用长为24 m 的钢筋做成一个长方体形框架，若这个长方体框架的底面为正方形，则这个长方体体积的最大值为( )
A ．8 m 3
B ．12 m 3
C ．16 m 3
D ．24 m 3
解析：设长方体的底面边长为x ，则高为(6－2x )m ， ∴0<x <3，
则V ＝x 2·(6－2x )＝6x 2－2x 3， V ′＝12x －6x 2，
令V ′＝0得x ＝2或x ＝0(舍)， ∴当x ∈(0,2)时，V 是增函数，当x ∈(2,3)时，V 是减函数， ∴当x ＝2时，V max ＝4×2＝8(m 3)．答案： A
4．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x >400，则总利润最大时，每
年生产的产量是( )
A ．100
B ．150
C ．200
D ．300
解析：设Q (x )表示产量为x 时的总利润则Q (x )＝R (x )－100x －20 000 ＝⎩⎪⎨⎪⎧
300x －12x 2－20 000，0≤x ≤400
60 000－100x ，x >400 当0≤x ≤400时，Q ′(x )＝300－x ，令Q ′(x )＝0，则x ＝300，当0≤x <300时，Q ′(x )>0，当300<x ≤400时，Q ′(x )<0，
∴当x ＝300时，Q (x )max ＝Q (300)＝25 000. 当x >400时，Q ′(x )＝－100<0， ∴Q (x )单调递减Q (x )<Q (400)．
综上Q (x )max ＝Q (300)．故选D. 答案： D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．某公司规定：对于小于或等于150件的订购合同，每件售价为200元，对于多于150件的订购合同，每超过1件，则每件的售价比原来减少1元．试问订购________件的合同将会使公司的收益最大．
解析：设x 表示销售的件数，R 表示公司的收益，则R 等于每件的售价×销售件数．当x ＞150时，则R (x )＝[200－(x －150)]x ＝350x －x 2.
为求最大收益的件数，不妨认为R (x )连续可导，求R ′(x )＝350－2x .令R ′(x )＝0，得x ＝175时，R 有最大值．
答案： 175
6．海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30海里/小时，当速度为10海里/小时时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元．如果甲、乙两地相距800海里，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为________．
解析：由题意设燃料费y 与航速x 间满足y ＝ax 3(0≤x ≤30)，又∵25＝a ·103，∴a ＝140
.
设从甲地到乙地海轮的航速为v ，费用为y ，则y ＝a v 3×800v ＋800v ×400＝20v 2＋320 000
v ，由y ′＝40v －320 000
v 2＝0得v ＝20<30.
答案： 20海里/小时
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．从长为32 cm ，宽为20 cm 的矩形薄铁皮的四角剪去四个相等的正方形，做一个无盖的箱子，问剪去的正方形边长为多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？
解析：设剪去的正方形的边长为x cm ，则箱子的容积V (x )＝x (32－2x )(20－2x )(0<x <10) ＝4x 3－104x 2＋640x ， V ′(x )＝12x 2－208x ＋640 ＝4(3x 2－52x ＋160) ＝4(3x －40)(x －4)．令V ′(x )＝0，得x 1＝40
3(舍去)，x 2＝4.
当0<x <4时，V ′(x )>0，
当4<x <10时，V ′(x )<0，所以V (x )在(0,4)内为增函数，在(4,10)内为减函数．
因此V (x )在(0,10)内有唯一的极大值V (4)，且该极大值即为函数V (x )的最大值，其最大值V (4)＝4×(32－8)×(20－8)＝1 152(cm 3)．
答：当剪去的正方形边长为4 cm 时，容器的容积最大，最大容积为1 152 cm 3. 8．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝a
x －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为
5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
(1)求a 的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
解析： (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a
2＋10＝11，
所以a ＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2
x －3＋10(x －6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f (x )＝(x －3)⎣⎡⎦
⎤2x －3＋10(x －6)2
＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.
从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.
答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．尖子生题库
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(10分)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元．
(1)试写出y 关于x 的函数关系式；
(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？解析： (1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝m x
－1.
所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x ＝256⎝⎛⎭⎫m x －1＋m x (2＋x )x ＝
256m
x
＋m x ＋2m －256. (2)由(1)知，
f ′(x )＝－256m x 2＋12mx －12＝m 2x 2(x 3
2
－512)．
令f ′(x )＝0，得x 3
2＝512，所以x ＝64. 当0<x <64时，
f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)内为减函数；当64<x <640时，
f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)内为增函数．所以f (x )在x ＝64处取得最小值，此时n ＝m x －1＝640
64－1＝9.
故需新建9个桥墩才能使y 最小．。