03曲面及其方程、二次曲面
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二次曲面方程
二次曲面方程一、引言二次曲面方程是数学中非常重要的一类曲面方程。
它们具有丰富的几何性质和广泛的应用领域，如物理学、工程学和计算机科学等。
本文将从二次曲面的定义和性质、几何图形以及实际应用三个方面，生动全面地介绍二次曲面方程。
二、定义和性质二次曲面是由二次方程表示的曲面。
一般地，二次曲面方程可以写成Ax² + By² + Cz² + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0的形式。
其中A、B、C不全为零，D、E、F、G、H、I、J是常数。
这种方程描述了空间中的一个曲面，其形状和性质与方程的系数有关。
对于二次曲面方程，有一系列重要的性质。
首先，二次曲面在三维空间中通常表示一个曲面，形状可以是椭圆、双曲线或抛物面。
其次，二次曲面可能有中心或焦点等特殊点，这些点对于曲面的性质和几何特征具有重要意义。
最后，通过调整方程的系数，可以改变二次曲面的形状和方向，从而产生不同的几何图形。
三、几何图形根据二次曲面方程的不同形式，我们可以了解到不同的几何图形。
首先是椭球面，当A、B、C都为正数时，方程描述了一个椭球体。
椭球体在三维空间中呈现出类似于地球的形状，可以用来表示行星、人工卫星等球状物体。
其次是双曲面，当A、B、C中有一个为负数时，方程描述了一个双曲体。
双曲体的形状类似于双曲线，可以用来表示一些物理现象，如电场分布和透镜等。
最后是抛物面，当A或B为零，且C不为零时，方程描述了一个抛物体。
抛物体可以用来描述抛物运动，也可以用于建模天文、航空等领域的问题。
四、实际应用二次曲面方程在现实生活中有广泛的应用。
首先，它们在物理学中发挥着重要作用。
例如，抛物面方程可以用来描述物体的运动轨迹，从而对物体的运动进行预测和分析。
其次，二次曲面方程在工程学中也有重要应用。
通过使用椭球面方程，工程师可以设计出符合实际需求的复杂三维结构，如建筑物、车辆和飞机等。
此外，二次曲面方程还在计算机科学领域得到了广泛应用。
二次曲面的标准方程
二次曲面的标准方程二次曲面是代数几何学中一类重要的曲面。
它们的标准方程是二次方程，形式为Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0，其中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J为常数。
二次曲面可以分为三类：椭球面、双曲面和抛物面。
它们在三维空间中的几何形状各有特点。
首先，我们来讨论椭球面。
椭球面的标准方程为Ax^2 + By^2 + Cz^2 + D = 0，其中A、B、C、D为常数，且A、B、C不能同时为零。
椭球面可以分为三种情况：1. A、B、C的符号相同。
这种情况下，椭球面的几何形状是一个椭球。
椭球的中心在原点(0,0,0)。
如果A、B、C均大于0，则椭球面的形状是一个椭球；如果A、B、C均小于0，则椭球面的形状是一个椭球的内部部分；如果A、B、C两两异号，则椭球面的形状是一个双曲椭球面。
2. A、B、C的符号不完全相同。
这种情况下，椭球面的几何形状是一个椭圆柱体。
与椭球类似，如果A、B、C均大于0，则椭圆柱面的形状是一个椭圆柱体；如果A、B、C均小于0，则椭圆柱面的形状是一个椭圆柱体的内部部分；如果A、B、C两两异号，则椭圆柱面的形状是一个双曲椭圆柱面。
3.有一个变量的系数为零。
这种情况下，椭球面的几何形状是一个平面。
当A、B或C等于零时，椭球面变成一个二次曲面；当D、E、F等于零时，椭球面变成一个抛物面；当G、H、I等于零时，椭球面变成一个双曲抛物面。
接下来，我们来讨论双曲面。
双曲面的标准方程为Ax^2 + By^2 - Cz^2 + D = 0，其中A、B、C、D为常数，且A、B、C不能同时为零。
双曲面分为两种情况：1. A、B、C的符号相同。
这种情况下，双曲面的几何形状是一个双曲抛物面。
与椭球类似，当A、B均大于0时，双曲抛物面的形状是一个双曲抛物面；当A、B均小于0时，双曲抛物面的形状是一个双曲抛物面的内部部分。
曲面及其方程、二次曲面ppt课件
37
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
38
柱面举例 抛物柱面
平面
39
一般地，已知准线方程
母线平行于 z 轴的柱面方程为： 注意：方程中缺z，表示z可以任意取值，所以方程 表示母线平行于z轴的柱面。 一般地，在空间直角坐标下
8
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
9
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
10
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
17
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
18
所求方程为
4
解 根据题意有
化简得所求方程
5
例4 方程 解 根据题意有
的图形是怎样的？
图形上不封顶，下封底．
6
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
（讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
（讨论柱面、二次曲面）
7
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线分 别称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
38
柱面举例 抛物柱面
平面
39
一般地，已知准线方程
母线平行于 z 轴的柱面方程为： 注意：方程中缺z，表示z可以任意取值，所以方程 表示母线平行于z轴的柱面。 一般地，在空间直角坐标下
8
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
9
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
10
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
17
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
18
所求方程为
4
解 根据题意有
化简得所求方程
5
例4 方程 解 根据题意有
的图形是怎样的？
图形上不封顶，下封底．
6
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
（讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
（讨论柱面、二次曲面）
7
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线分 别称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
03曲面及其方程、二次曲面27851
0
圆锥面方程
M(0, y, z)
o
y
zx2y2co t x
2019/7/24
9
高等数学（下）主讲杨益民
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
2019/7/24
播放
10
柱面举例
高等数学（下）主讲杨益民
（4）用平面 xx1或yy1去截；
z
o
x
2019/7/24
y
17
高等数学（下）主讲杨益民
椭圆抛物面的图形如下： z
z o y
x
xo
y
p0, q0
p0, q0
特殊地：当p=q时，方程变为
x2 y2 z 2p 2p
旋转抛物面
2019/7/24
18
高等数学（下）主讲杨益民
（2）双曲抛物面（马鞍面）
x2 a2
z2 c2
1
表示什么曲面？
回顾
1. 三元方程 F(x,y,z)=0表示空间的一张曲面S。
2. A x 2 A y 2 A z 2 B x C y D z E 0 表示一张球面。
3. A xB yC zD 0表示空间的一张平面。
4. yoz平面上的母线
2019/7/24
3
高等数学（下）主讲杨益民
例4 方程 z (x 1 )2 (y 2 )2 1 的图形是怎样的？
解 根据题意有 z1
用平面z c去截图形得圆：
z
( x 1 ) 2 ( y 2 ) 2 1 c( c 1 )
第八章 第3节 曲面及其方程
11
旋转曲面
12
旋转曲面
13
旋转曲面
14
旋转曲面
15
旋转曲面
16
旋转曲面
17
旋转曲面
18
旋转曲面
19
旋转曲面
20
旋转曲面
21
旋转曲面
22
旋转曲面
23
旋转曲面
重播
24
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: 母线: f ( y , z ) 0 ， x 0，
2
2
z1
y 轴 、//
思考题
指出下列方程在平面解析几何中和空 间解析几何中分别表示什么图形？
(1) x 2;
( 3) y x 1.
(2) x 2 y 2 4;
51
思考题解答
方程
x2
x2 y2 4
y x 1
平面解析几何中
空间解析几何中
平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0) ，
y
x2 y2 2 2 1 a b z 0
y2 z2 x2 z2 2 2 1 2 2 1 . , a b c c y 0 x 0
54
(1) 椭球面
z
x y z 2 2 1 2 a b c
x
2
2
2
O
y
2、 用平面z = k去截割(要求 |k | c), 得椭圆
(2) a b c ,
x2 y2 z2 2 2 1 球面 2 a a a
球面方程可写为
x y z a .
2 2 2 2
57
(2) 椭圆抛物面
第五节曲面及其方程
第五节 曲面及其方程 二次曲面
1. 一个几何图形的方程应满足什么条件？ 2. 平面、直线的一般方程分别是什么？
一、曲面方程的概念
课前 准备
如果曲面 S 上任意一点的坐标 都满足方程 F( x ,y ,z)=0，同时 不满足方程 F( x ,y ,z)=0的点都
z F x, y, z 0
S
不在曲面 S 上，则称三元方程
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R z
即 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
——称为球面方程的标准形式。 o
M M0
y
x
2、旋转曲面
一平面曲线绕着该平面内一定直线L旋转一周而成的曲面
叫做旋转曲面，其中定直线L叫做旋转曲面的轴。 z
如：XOY面内的椭圆
过点M作垂直于x轴的平面, 交x轴于点Q，交曲线C于点P，则有
Q x,0,0, Px, y1,0, QM PQ ,
M
o
y
Q
x
•
P
C
小结旋转曲面方程的规律
1 xoy面内的曲线
f
x,
y
0 ,
z 0
绕x轴旋转而成旋转曲面的方程为 f x, y2 z2 0；
绕y轴旋转而成旋转曲面的方程为 f x2 z2 , y 0.
转曲面、母线平行于坐标轴的柱面等曲面方程 的建立方法
Exercises
1. P192 1，3，4 2. 复习第一章
柱面
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x2 a2
y2 b2
1
绕Y轴旋转一周而形成的曲面。
XOY面内的曲线C： f x, y 0 绕Y轴旋转
z 0
x
o
1. 一个几何图形的方程应满足什么条件？ 2. 平面、直线的一般方程分别是什么？
一、曲面方程的概念
课前 准备
如果曲面 S 上任意一点的坐标 都满足方程 F( x ,y ,z)=0，同时 不满足方程 F( x ,y ,z)=0的点都
z F x, y, z 0
S
不在曲面 S 上，则称三元方程
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R z
即 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
——称为球面方程的标准形式。 o
M M0
y
x
2、旋转曲面
一平面曲线绕着该平面内一定直线L旋转一周而成的曲面
叫做旋转曲面，其中定直线L叫做旋转曲面的轴。 z
如：XOY面内的椭圆
过点M作垂直于x轴的平面, 交x轴于点Q，交曲线C于点P，则有
Q x,0,0, Px, y1,0, QM PQ ,
M
o
y
Q
x
•
P
C
小结旋转曲面方程的规律
1 xoy面内的曲线
f
x,
y
0 ,
z 0
绕x轴旋转而成旋转曲面的方程为 f x, y2 z2 0；
绕y轴旋转而成旋转曲面的方程为 f x2 z2 , y 0.
转曲面、母线平行于坐标轴的柱面等曲面方程 的建立方法
Exercises
1. P192 1，3，4 2. 复习第一章
柱面
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x2 a2
y2 b2
1
绕Y轴旋转一周而形成的曲面。
XOY面内的曲线C： f x, y 0 绕Y轴旋转
z 0
x
o
曲线和二次曲面
z
x2 y2 z2 2 2 1 (abc 0) 2 a b c
o
y
5）锥面
x
x2 y2 z2 z ( abc 0) 2 2 0 2 a b c
o
y
x
20
6）双曲抛物面
x2 y2 z ( 2 2 ) (ab 0) a b
z
o
x
y
21
18
常用二次曲面
x2 y2 z2 1）椭球面 2 2 2 1 (abc 0) a b c z 2）椭圆抛物面 x2 y2 z 2 2 (ab 0) a b o 3）单叶双曲面
x y z 2 2 1 2 a b c (abc 0)
x
2
2
2
z
x
y
o
y
19
4）双叶双曲面
P ( x, y, z )
P0 ( x0 , y0 , z0 )
2
例1、求与点 A (3, 7, 6) 的距离为 2 个单位，而与点 B (2, 5, 4) 的距离为 4 个单位的点的轨迹方程。 设P (x, y, z) 为所求轨迹的任一点， 解：
AP 2 ,
BP 4 ,
2 2 2 ( x 3) ( y 7) ( z 6) 2 即 2 2 2 ( x 2) ( y 5) ( z 4) 4 ( x 3) 2 ( y 7 ) 2 ( z 6 ) 2 4 2 2 2 ( x 2 ) ( y 5 ) ( z 4 ) 16
当曲线绕 z 轴旋转一周得左图 显然 OP0 OP
2 2 2 y x y ( z z ) x 即 0 0
第3节曲面及其方程
18
一般地 :
F ( x , y ) = 0, F ( y , z ) = 0, F ( x , z ) = 0
在空间都表示一个柱面 .
上面方程中缺少哪个变 量, 就 表示此柱面与哪个坐标 轴平行 .
19
四、二次曲面
曲面方程 :
F ( x, y, z ) = 0
如x + ( y − 1) + z = 1
y
d = x + y =| y1 |
将 z = z1 , y1 = ± x 2 + y 2 代入
F( y1, z1) = 0
9
将 z = z1 , y1 = ± x + y
2
2
得方程 F ±
所以
x + y , z = 0, F ( y , z ) = 0 绕 z 轴旋转曲面方程 旋转曲面方程.
2 2
( 2) a = b = c ,
x2 y2 z2 1 球面 2 + 2 + 2 = a a a
方程可写为 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 .
24
（二）抛物面
x2 y2 + = z （ p 与 q 同号） 同号） 2 p 2q
椭圆抛物面 用截痕法讨论： 设 p > 0, q > 0 用截痕法讨论： （1）用坐标面 xoy ( z = 0) 与曲面相截 ） 截得一点， 截得一点，即坐标原点 O ( 0,0,0) 原点也叫椭圆抛物面的顶点 原点也叫椭圆抛物面的顶点. 顶点
2 2 2
二次曲面： 三元二次方程所表示的曲面称之． 二次曲面： 三元二次方程所表示的曲面称之．
相应地平面被称为一次曲面． 相应地平面被称为一次曲面． 一次曲面
一般地 :
F ( x , y ) = 0, F ( y , z ) = 0, F ( x , z ) = 0
在空间都表示一个柱面 .
上面方程中缺少哪个变 量, 就 表示此柱面与哪个坐标 轴平行 .
19
四、二次曲面
曲面方程 :
F ( x, y, z ) = 0
如x + ( y − 1) + z = 1
y
d = x + y =| y1 |
将 z = z1 , y1 = ± x 2 + y 2 代入
F( y1, z1) = 0
9
将 z = z1 , y1 = ± x + y
2
2
得方程 F ±
所以
x + y , z = 0, F ( y , z ) = 0 绕 z 轴旋转曲面方程 旋转曲面方程.
2 2
( 2) a = b = c ,
x2 y2 z2 1 球面 2 + 2 + 2 = a a a
方程可写为 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 .
24
（二）抛物面
x2 y2 + = z （ p 与 q 同号） 同号） 2 p 2q
椭圆抛物面 用截痕法讨论： 设 p > 0, q > 0 用截痕法讨论： （1）用坐标面 xoy ( z = 0) 与曲面相截 ） 截得一点， 截得一点，即坐标原点 O ( 0,0,0) 原点也叫椭圆抛物面的顶点 原点也叫椭圆抛物面的顶点. 顶点
2 2 2
二次曲面： 三元二次方程所表示的曲面称之． 二次曲面： 三元二次方程所表示的曲面称之．
相应地平面被称为一次曲面． 相应地平面被称为一次曲面． 一次曲面
曲面及其方程
虚轴与 z 轴平行.
虚轴与 x 轴平行.
( 3)
y1 b, 截痕为一对相交于点 (0, b,0) 的直线.
20
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21/32
x z 0 , a c y b
x z 0 . a c y b
(4)
y1 b,
截痕为一对相交于点 (0, b,0) 的直线.
椭球面与 三个坐标面 的交线：
2 z2 x2 2 1 , a c y 0
2 y2 x2 2 1 , a b z 0
2 y2 2 z2 1 . b c x 0
z
o x
y
16
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17/32
（其他类推）
实 例
y2 z2 2 1 椭圆柱面 // x 轴 2 b c 2 2 x y 2 1 双曲柱面 // z 轴 2 a b 抛物柱面 // y 轴 x 2 2 pz
【结论】柱面的方程是 x，y，z 的二元方程，且与 其准线方程相同.
13
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实轴与 x 轴相合， 虚轴与 z 轴相合.
19
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20/32
与平面 y y1 ( y1 b) 的交线为双曲线.
2 x2 z2 y1 2 2 1 2 b 双曲线的中心都在 y 轴上. a c y y 1
(1 ) ( 2 )
2 y1 b 2 , 实轴与 x 轴平行, 2 y1 b 2 , 实轴与 z 轴平行,
z
o x
y
22
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第三节 曲面及其方程学习资料
M (x,y,z)的坐标也满足方程 x2 y2 R2 ,
沿曲线C, 平行于z轴的一切直线所形成的曲面上的点
的坐标都满足此方程
19
此曲面称为圆柱面.
z
M•
在空间, x2y2R2就是圆柱面方程.
•
C
因此,该方程的图形是以xOy面上圆为准线, x
OM1
• •
• •
y
•
母线平行于z轴的柱面.
L
20
z
第三节 曲面及其方程
z
一、曲面方程的概念
F(x, y,z) 0
S
曲面方程的定义
O
y
如果曲面S与三元方程 F (x ,y ,z) x0 有下述关系:
(1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程;
(2) 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程;
那么, 方 F (x 程 ,y ,z ) 0就叫做曲面S的方程,
而曲面S就叫做方程的图形.
13
圆锥面方程 zx2y2cot
即 z 2 a 2 (x 2 y 2 )( a co ) t
a1时, cot1
4
即 圆锥面方程 z2x2y2
(用得较多)
14
yOz面上直线方程为 yzcot
绕y轴旋转所得曲面方程及图形.
y x2z2cot
即 y 2 c2 o (x 2 t z2 )
绕 y轴 旋 转 ay22x2c2z21
旋 转
椭
绕 z轴 旋 转 x2a2y2cz22 1
球 面
(3) yO坐 z 标面上的抛y2物 2线 pz绕z轴.
x2y22pz 旋转抛物面
17
三、柱面 (cylindrical surface )
高数A(下)第八章第三节
那么, 方F (程 x,y,z)0就叫做曲面S的方程,
而曲面S就叫做方程的图形.
M 1 M 2 ( x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y 1 ) 2 ( z 2 z 1 ) 2
例 建立球 M 0(x 心 0,y0,在 z0)、 点 半 R 的 径为
球面方程.
解 设 M(x,y,z)是球面上任一点, |M0M |R
解 原方程可以表示为：
(x 1 )2 (y 2 )2 z2 5
所以方程表示？
研究空间曲面有 两个基本问题
(1)已知曲面, 求方程; (讨论旋转曲面)
(2)已知方程, 研究图形. (讨论柱面, 二次曲面)
二、旋转曲面
定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面, 称为旋转曲面.
zyco t
圆锥面方程
L
L
zx2y2co t O
y
x
圆锥面方程 zx2y2co t z
即z2 a 2 (x 2 y 2 ) (a co )t
a1时, cot1
4
即 圆锥面方程 z2 x2y2
O
y
x
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L
M是由C上的点 M1(0,y1,z1),
O
y
旋转而得到，其中 f(y1,z1)0 x
由于 (1) z1z (2)点M到z轴的距d离 x2y2| y1 |
将 z1 z, y1x2y2代入 f(y1,z1)0
得方程 f(x2y2,z)0
f(x2y2, z)0
z
即为yO坐 z 标面上的已f知 (y,z曲 )线 0
坐标系中表示母线平行于z轴的柱面, 其准线
几种常见的曲面及其方程二次曲面曲线
O
x y z 2 2 1 2 a a b
y 2 x2 z 2 1 2 2 a b
222aFra biblioteka y
绕 y轴旋转而成的旋转曲面方程为 即
x
x2 y 2 z 2 2 2 1 2 b a b
例3 求
旋转所形成的旋转抛物面（图7-28）的方程。 解 方程 便得到旋转抛物线的方程为
就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
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1. 椭球面 x2 y 2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数) 2 a b c
(1)范围： x a,
y b,
z c
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2 y 2 2 2 1 , 黄a b z0
xoy 面上的抛物线 x ay 2 (a 0) 绕x轴
x ay 2 中的x 不变， 换成 y 2 z 2
x a( y z )
2 2
例4 求 yoz 面上的直线 z ky(k 0) 绕z轴 z 旋转一周而成的圆锥面的方程。
解 所求圆锥面的方程为
即
y
z k x2 y 2
x
l1
y
z
l2
y
母线 平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H ( z, x) 0 表示 柱面,
z
x
l3
x
母线 平行于 y 轴;
y
准线 xoz 面上的曲线 l3.
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3.旋转曲面
定义2. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转
一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转
x y z 2 2 1 2 a a b
y 2 x2 z 2 1 2 2 a b
222aFra biblioteka y
绕 y轴旋转而成的旋转曲面方程为 即
x
x2 y 2 z 2 2 2 1 2 b a b
例3 求
旋转所形成的旋转抛物面（图7-28）的方程。 解 方程 便得到旋转抛物线的方程为
就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
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1. 椭球面 x2 y 2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数) 2 a b c
(1)范围： x a,
y b,
z c
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2 y 2 2 2 1 , 黄a b z0
xoy 面上的抛物线 x ay 2 (a 0) 绕x轴
x ay 2 中的x 不变， 换成 y 2 z 2
x a( y z )
2 2
例4 求 yoz 面上的直线 z ky(k 0) 绕z轴 z 旋转一周而成的圆锥面的方程。
解 所求圆锥面的方程为
即
y
z k x2 y 2
x
l1
y
z
l2
y
母线 平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H ( z, x) 0 表示 柱面,
z
x
l3
x
母线 平行于 y 轴;
y
准线 xoz 面上的曲线 l3.
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3.旋转曲面
定义2. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转
一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转
高等数学几种常见的曲面及其方程
一、二次曲面
1-1球面
(X-X0)2+(Y-Y0)2+(Z-Z0)2=R2
球心为M0(X0,Y0,Z0)
1-2椭圆锥面
1-3椭球面
其中，表示xOz平面上的椭圆绕z轴旋转而成的椭球面。
1-4单叶双曲面
其中，表示xOz平面上的双曲线绕z轴旋转而成的单叶双曲面。
1-5双叶双曲面
其中，表示xOz平面上的双曲线绕x轴旋转而成的双叶双曲面。
1-6椭圆抛物面
1-7双曲抛物面（马鞍面）
二、柱面
2-1圆柱面
X2+Y2=R2
2-2椭圆柱面
2-3双曲柱面
2-4抛物柱面
y2=2px
注：形如二、柱面只含x,y而缺少z的方程F(x,y)=0在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面，其准线为xOy平面上的曲线C：F(x,y)=0
特别地，
1.球x2+y2+z2=R2
2.圆柱面x2+y2=R2
3.旋转抛物面X2+Y2=z(以原点为顶点，上下两个开口分别向上向下的抛物线旋转而成的图形)
4.X2+Y2=z2(以原点为顶点，上下两个开口分别向上向下的圆锥，锥顶角为90。
)。
几种常见的曲面及其方程
x2 y2 + =z 2 p 2q 双曲面: 单叶双曲面 双叶双曲面 x2 y2 x2 y2 + 2 + 2 =1 = 1 2 2 a b a b 2 2 x y 椭圆锥面: + 2 = z2 a2 b
( p, q同 ) 号
三,曲线 1,空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
�
z
2
x y z + 2 2 =1 ( a, b, c 为 数) 正 2 a b c 平 z = z1 上 截 为椭圆. 面 的 痕
平面 y = y1上的截痕情况:
2
2
x
y
1) y1 < b 时, 截痕为双曲线:
a c y = y1
2 y1 x z 2 =1 2 2 2 2
b
(实轴平行于x 轴; 虚轴平行于z 轴)
z
C : f ( y, z) = 0
o x
y
f ( y, ± x + z ) = 0
2 2
例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
z
L
α
M(0, y, z)
y
两边平方
x
2
z =a (x + y )
2 2 2
l
z
x y = 0 经过z 轴的平面 平面. 平面
o
以上的柱面母线 都平行于Z轴
o
y
y
x
x
一般地,在三维空间
z
y
方 F(x, y) = 0 表 柱面, 程 示 母线 平行于 z 轴;
二次曲面的标准方程
二次曲面的标准方程一、引言二次曲面是解析几何中的重要概念之一，广泛应用于物理学、工程学等学科中。
本文将探讨二次曲面的标准方程及其基本性质。
二、二次曲面的定义二次曲面是由二次函数所描述的曲面。
在三维空间中，一般可以表示为一个二次方程，即Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0三、二次曲面的分类二次曲面可以分为三类：椭圆面、抛物面和双曲面。
它们的标准方程分别为：1. 椭圆面椭圆面是一个封闭的曲面，其标准方程为(x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 = 1其中，a、b、c分别为椭圆长轴、长半轴和短半轴的长度。
2. 抛物面抛物面是一个开口朝上或朝下的曲面，其标准方程为z = Ax^2 + By^2其中，A和B为常数，决定了抛物面的形状和方向。
3. 双曲面双曲面有两个分支，其标准方程可以分为两种形式：（1）椭圆双曲面：(x/a)^2 + (y/b)^2 - (z/c)^2 = 1其中，a、b、c为常数，决定了椭圆双曲面的形状。
（2）双曲抛物面：z = (x/a)^2 + (y/b)^2其中，a和b为常数，决定了双曲抛物面的形状。
四、二次曲面的性质二次曲面具有多种有趣的性质，以下列举其中几个典型的性质：1. 对称性二次曲面通常具有一定的对称性，可以分为关于x轴、y轴、z轴、原点等不同的对称性。
2. 交点与切线二次曲面与坐标轴的交点，即截距，可以通过将某一坐标设为0求解得到。
而在交点处，二次曲面的切线与坐标轴平行。
3. 焦点与准线对于椭圆面和双曲面，其焦点和准线是重要的概念。
焦点是指到其上任意一点距离差的长度之和为常数，准线则是过焦点的直线。
4. 焦点和直径对于椭圆面，焦点和直径是有着紧密联系的。
直径是通过椭圆中心并且两端都在椭圆上的线段，它的中垂线过焦点。
五、应用示例二次曲面的标准方程在物理学和工程学中有着广泛的应用，下面以一个简单的实例来说明：一个椭圆形的太阳能反射镜可以通过椭圆面的标准方程来描述。
第三节 曲面及其方程
( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 R
所求方程为
( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 ) R
2 2 2
2
特殊 球心在原点的球面方程
x 2 y 2 z 2 R2
4
曲面及其方程
例 求与原点O及M0 (2,3,4)的距离之比为 1： 2的点 的全体所组成的曲面方程. 解 设M ( x , y , z )是曲面上任一点, | MO | 1 | MM 0 | 2 1 x2 y2 z2 2 2 2 x 2 y 3 z 4 2 所求方程
绕z轴旋转
2 z x y 2 1 2 c a
2
2
旋 转 双 曲 面
13
曲面及其方程
y z (2) yOz坐标面上的椭圆 2 2 1 绕y轴和z轴; a c
2
2
y2 x2 z2 绕 y 轴旋转 2 1 2 a c x2 y2 z2 绕 z 轴旋转 2 1 2 a c
2 4 116 2 x y 1 z 3 3 9
5
2
2
曲面及其方程
研究空间曲面有两个基本问题 (1)已知曲面, 求方程; (讨论旋转曲面) (2)已知方程, 研究图形. (讨论柱面, 二次曲面)
6
曲面及其方程
二、旋转曲面 (surface of revolution)
F ( x , y , z ) 0 有下述关系:
(1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程;
x
O
S
y
(2) 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程; 那么, 方程F ( x , y, z ) 0 就叫做曲面S的方程, 而曲面S就叫做方程的图形.
曲面及其方程 柱面、锥面、旋转曲面
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二、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线. 观察柱面的形 成过程:
播放
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考察方程 F(x,y)=0 F(x,y)=0表示母线平行于z轴的柱面
(不含z)
z
0 2
过原点和椭圆上任一点的直线的方向向量为 v {a cos , b sin , c }
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过原点和椭圆上任一点的直线族方程为：
x0 y0 z0 t a cos b sin c
即
x (a cos )t y (b sin )t z ct
y
x G ( y , z ) 0 准线 是 yoz 面上的曲线 z x 0 方程 H ( z , x ) 0 表示 柱面， l3 母线 平行于 y 轴; H ( z, x) 0 x 准线是 xoz 面上的曲线 y 0
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y
椭圆柱面
第六节
第七章
曲面及其方程
一、基本概念 二、柱面、锥面、旋转曲面 三、二次曲面
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结束
一、基本内容
曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程 F ( x , y , z ) 0 有下述关系：
(1) 曲面S 上任一点的坐标都满足方程；
(2) 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程 F ( x , y , z ) 0 就叫做曲面 S 的 方程，而曲面 S 就叫做方程的图形.
几种常见的曲面及其方程(精)
方程 F(x, y) 0 表示柱面,
母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H (z, x) 0 表示柱面,
母线 平行于 y 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3. 0表示母线平行 z 轴的柱面.
又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
2. 二次曲面
三元二次方程
• 椭球面
• 抛物面:
( p, q 同号)
椭圆抛物面
x2 y2 z 2 p 2q
双曲抛物面
• 双曲面: 单叶双曲面
双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
1
• 椭圆锥面:
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有:
椭球面、抛物面、双曲面、锥面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
1. 椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b, c为正数)
(1)范围：
ay
ay
x
x2 z2 a2 (x 0, z 0) y0
作业
P32 3， 4，5，6， 7， 8， 9，10，11，12
y z l2
x z l3
x
y y
3、旋转曲面
一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴.
例如 :
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) 0
母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H (z, x) 0 表示柱面,
母线 平行于 y 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3. 0表示母线平行 z 轴的柱面.
又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
2. 二次曲面
三元二次方程
• 椭球面
• 抛物面:
( p, q 同号)
椭圆抛物面
x2 y2 z 2 p 2q
双曲抛物面
• 双曲面: 单叶双曲面
双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
1
• 椭圆锥面:
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有:
椭球面、抛物面、双曲面、锥面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
1. 椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b, c为正数)
(1)范围：
ay
ay
x
x2 z2 a2 (x 0, z 0) y0
作业
P32 3， 4，5，6， 7， 8， 9，10，11，12
y z l2
x z l3
x
y y
3、旋转曲面
一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴.
例如 :
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) 0
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f ( y, z) 0
C:
x
0
为母线所产生的旋转曲面S的方程为：f( x2y2,z)0
证明： 旋转曲面如图
z
设M(x, y, z)为旋转曲面S上任意一点， (0, 0, z)
显然，M一定是由母线C上某点 M1(0, y1, z1)旋转得到， 即
M(x, y,z)
M 1(0,y1,z1)
f ( y,z) 0
z2 c2
1
表示什么曲面？
回顾
1. 三元方程 F(x,y,z)=0表示空间的一张曲面S。
2. A x 2 A y 2 A z 2 B x C y D z E 0 表示一张球面。
3. A xB yC zD 0表示空间的一张平面。
4. yoz平面上的母线
C:
f ( y, z) 0
x
0
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
2020/6/13
44
高等数学（下）主讲杨益民
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
2020/6/13
45
高等数学（下）主讲杨益民
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
2020/6/13
41
高等数学（下）主讲杨益民
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
（4）用平面 xx1或yy1去截；
z
o
x
2020/6/13
y
17
高等数学（下）主讲杨益民
椭圆抛物面的图形如下： z
z o y
x
xo
y
p0, q0
p0, q0
特殊地：当p=q时，方程变为
x2 y2 z 2p 2p
旋转抛物面
2020/6/13
18
高等数学（下）主讲杨益民
（2）双曲抛物面（马鞍面）
观察柱面的 形成过程:
2020/6/13
42
高等数学（下）主讲杨益民
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
2020/6/13
43
高等数学（下）主讲杨益民
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
z
o
y
x
oy x
2020/6/13
21
高等数学（下）主讲杨益民
习题8－3 4，5，7，8，9，10，11
2020/6/13
22
高等数学（下）主讲杨益民
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
2020/6/13
2020/6/13
14
高等数学（下）主讲杨益民
（一）椭球面
x2 a2
by22
cz22
1
椭球面与三个 x 2 y 2 坐标面的交线： a 2 b 2 1 ,
z 0
x2 z2
a2
c2
1,
y 0
椭球面与平面 z z1 的交线为椭圆
y2 b2
z2 c2
1,
x 0
x2
y2
a2 c2
(2 ) abc,
x2 a2
ay22
az22
1
球面
方程可写为 x2y2z2a2
2020/6/13
16
（二）抛物面
高等数学（下）主讲杨益民
（1）椭圆抛物面
x2 y2
2p
2q
z
（p与q同号）
用截痕法讨论： 设p与q都大于零。 （1）用坐标面 xoy (z=0) 去截； （2）用平面 zz1(z1 0) 去截； （3）用坐标面 xoz 或 yoz 去截；
的圆锥面方程。
z
解: 圆锥面的母线方程为
z y cot
C
:
x
0
圆锥面方程
M(0, y, z)
o
y
zx2y2co t x
2020/6/13
9
高等数学（下）主讲杨益民
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
高等数学（下）主讲杨益民
高等数学
北京工商大学 杨益民
2020/6/13
1
高等数学（下）主讲杨益民
第三节 曲面及其方程
一、曲面方程的概念
一般地，若曲面S与三元方程 F(x,y,z)=0 满足： （1）曲面S上任一点的坐标都满足方程 F(x,y,z)=0 ； （2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程 F(x,y,z)=0 ；
一般地，在空间直角坐标下
f(x, y)0（缺z）， 表示母线∥？，准线为？的柱面。
f(x,z)0（缺y）， 表示母线∥？，准线为？的柱面。
f(y,z)0（缺x）， 表示母线∥？，准线为？的柱面。
2020/6/13
12
高等数学（下）主讲杨益民
问：
（1）
y2 b2
z2 c2
1
表示什么曲面？
（2）
x2 a2
2020/6/13
播放
10
柱面举例
高等数学（下）主讲杨益民
z
z
y2 2x z 0
平面
o
y
o
y
x
x
抛物柱面
y x
z
0
2020/6/13
11
高等数学（下）主讲杨益民
一般地，已知准线方程
f (x, y) 0
C:
z
0
母线平行于 z 轴的柱面方程为：f(x, y)0
注意：方程 f(x, y)0中缺z，表示z可以任意取值，所以 方程 f(x, y)0表示母线平行于z轴的柱面。
则称：方程F(x,y,z)=0是曲面S的方程，而曲面S就叫做方程 F(x,y,z)=0的图像。
两个基本问题：
（1）已知曲面S，求曲面方程F(x, y, z) = 0 ？
（2）已知F(x, y, z) = 0 ，问它表示什么曲面？
2020/6/13
2
高等数学（下）主讲杨益民
例1 求球心在点 M 0(x0,y0,z0)半径为R的球面方程。 例2 已知空间两点A(1,2,3)，B(2,-1,4)，求线段AB的垂直平分
x2 y2 z 2p 2q
( p与q同号 )
用截痕法讨论： 设 p0,q0
z
2020/6/13
o x
y
19
高等数学（下）主讲杨益民
（三）双曲面
（1）
x2 a2
by22
cz22
1
单叶双曲面
z
z
o
y
o
y
x x
.
2020/6/13
20
高等数学（下）主讲杨益民
（2）
x2 a2
by22
cz22
1
双叶双曲面
绕oz轴旋转得旋转曲面
2020/6f( x2y2,z)0
5.
xoy平面上的准线方程
C:
f (x,
z
0
y)
0
母线平行于
z
轴的
柱面方程为： f(x,y)0
四、二次曲面
三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面。
目的：利用截痕法讨论二次曲面的形状。
即：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线 （即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
2020/6/13
39
高等数学（下）主讲杨益民
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
2020/6/13
40
高等数学（下）主讲杨益民
2020/6/13
3
高等数学（下）主讲杨益民
例4 方程 z (x 1 )2 (y 2 )2 1 的图形是怎样的？
解 根据题意有 z1
用平面z c去截图形得圆：
z
( x 1 ) 2 ( y 2 ) 2 1 c( c 1 )
当平面z c上下移动时，得
到一系列圆。
c
圆心在(1,2, c)，半径为 1 c 。
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
2020/6/13
46
x
0
(1) z1 z, (2)| y1| x2y2
o
y
代入母线方程即得证明。 x
2020/6/13
6
高等数学（下）主讲杨益民
注意：
1. yoz平面上的母线
C:
f ( y, z) 0
x
0
绕oz轴旋转得旋转曲面
f( x2y2,z)0
2. yoz平面上的母线
C:
f ( y, z) 0
x
0
绕 x轴 旋 转 x2 a2
y2 z2 c2
1
旋 转
双
绕 z轴 旋 转x2a2y2 cz22 1