2016-2017年《金版学案》数学·必修2(苏教版)：章末过关检测卷(一) Word版含解析
2022-2021年《金版学案》数学·必修2(苏教版)：章末过关检测卷(一)
章末过关检测卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l()A．平行B．相交C．垂直D．异面解析：无论l在α内，还是与α平行或相交，都可在α内找到一条直线与l 垂直．答案：C2．对两条异面直线a与b，必存在平面α，使得()A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α解析：已知两条异面直线a和b，可以在直线a上任取一点A，则A∉b.过点A 作直线c∥b，则过a，c确定平面α，且使得a⊂α，b∥α.答案：B3．已知直线m，n和平面α，β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则()A．n⊥βB．n∥β或n⊂βC．n⊥αD．n∥α或n⊂α解析：在平面β内作直线l垂直于α，β的交线，则由α⊥β得直线l⊥α.又由于m⊥α，所以l∥m.若m⊂β，要满足题中限制条件，明显只能n∥α或n⊂α；同理m⊄β，仍有n∥α或n⊂α.综上所述，D正确．答案：D4．已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，则下列命题正确的是()A．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nB．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nC．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥nD．若m∥α，n⊥β，α⊥β，则m∥n解析：对于A，m与n还可能平行或相交或异面；对于C，m与n还可能相交或异面；对于D，m与n还可能相交或异面．答案：B5．(2021·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是()A．8 cm3B．12 cm3C.323cm3 D.403cm3解析：该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体．下面是棱长为2 cm的正方体，体积V1＝2×2×2＝8(cm3)；上面是底面边长为2 cm，高为2 cm的正四棱锥，体积V2＝13×2×2×2＝83(cm3)，所以该几何体的体积V＝V1＋V2＝323 (cm3)．答案：C6．(2021·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )A ．2＋ 5B ．4＋ 5C ．2＋2 5D ．5解析：该三棱锥的直观图如图所示，且过点D 作DE ⊥BC ，交BC 于点E ，连接AE ，则BC ＝2，EC ＝1，AD ＝1，ED ＝2，S 表＝S △BCD ＋S △ACD ＋S △ABD ＋S △ABC ＝12×2×2＋12×5×1＋12×5×1＋12×2×5＝2＋2 5. 答案：C7．(2021·课标全国Ⅰ卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：由题意知，2r ·2r ＋12·2πr ·2r ＋12πr 2＋12πr 2＋12·4πr 2＝4r 2＋5πr 2＝16＋20π，解得r ＝2.答案：B8．(2021·广东卷)若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( )A ．大于5B ．等于5C ．至多等于4D ．至多等于3解析：当n ＝3时明显成立，故排解A 、B ；由正四周体的四个顶点，两两距离相等，得n ＝4时成立．答案：C9．如左下图所示，有一个水平放置的透亮 无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，假如不计容器的厚度，则球的体积为( )A.500π3cm 3B.866π3cm 3C.1 372π3cm 3D.2 048π3cm 3解析：作出该球轴截面的图象，如图所示，依题意BE ＝2，AE ＝CE ＝4，设DE ＝x ，故AD ＝2＋x ，由于AD 2＝AE 2＋DE 2，解得x ＝3，故该球的半径AD ＝5，所以V ＝43πR 3＝500π3(cm 3)．答案：A10.如图所示，等边三角形ABC 的边长为4，M ，N 分别为AB ，AC 的中点，沿MN 将△AMN 折起，使得平面AMN 与平面MNCB 所成的二面角为30°，则四棱锥A -MNCB 的体积为( )A.32B.32C. 3 D ．3 解析：如图所示，作出二面角A -MNB 的平面角∠AED ，AO 为△AED 底边ED 上的高，也是四棱锥A -MNCB 的高．由题意，得AO ＝32. V ＝13×32×33＝32.答案：A11．轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是( ) A ．1∶2B ．2∶3C ．1∶3D ．1∶4答案：B12．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，在l 上取线段AB ＝4，AC 、BD 分别在平面α和平面β内，且AC ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC ＝3，BD ＝12，则CD 的长度为( )A ．13 B.151 C ．12 3 D ．15 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上)13．已知正四棱锥O -ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．解析：设正四棱锥的高为h ，则13×(3)2h ＝322，解得高h ＝322.底面正方形的对角线长为2×3＝6，所以OA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝6，所以球的表面积为4π(6)2＝24π.答案：24π14．(2022·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．解析：依据三视图还原几何体，得如图所示的三棱锥P -ABC ，由三视图的外形特征及数据，可推知PA ⊥平面ABC ，且PA ＝2.底面为等腰三角形，AB ＝BC ，设D 为AC 中点，AC ＝2，则AD ＝DC ＝1，且BD ＝1，易得AB ＝BC ＝2，所以最长的棱为PC ，PC ＝PA 2＋AC 2＝2 2.答案：2 215．(2021·江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．解析：底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱的总体积为13π·52×4＋π·22×8＝196π3.设新的圆锥和圆柱的底面半径为r ，则13π·r 2·4＋π·r 2×8＝28π3r 2＝196π3，解得r ＝7.答案：716．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2，若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________．解析：设甲、乙两个圆柱的底面半径和高分别为r 1，r 2和h 1，h 2， 则2πr 1h 1＝2πr 2h 2，所以h 1h 2＝r 2r 1，又S 1S 2＝πr 21πr 22＝94， 所以r 1r 2＝32.所以V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝r 21r 22·h 1h 2＝r 21r 22·r 2r 1＝32.答案：32三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)17．(本小题满分10分)(2022·课标全国Ⅱ卷)如图所示，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设AP ＝1，AD ＝3，三棱锥P -ABD 的体积V ＝34，求A 到平面PBC 的距离．(1)证明：如图所示，设BD 与AC 的交点为O ，连接EO .由于四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点．又E 为PD 的中点， 所以EO ∥PB .由于EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， 所以PB ∥平面AEC .(2)解：由V ＝16PA ·AB ·AD ＝36AB ，又V ＝34，可得AB ＝32.作AH ⊥PB 交PB 于点H .由题设知BC ⊥平面PAB ，所以BC ⊥AH .故AH ⊥平面PBC .在Rt △PAB 中，由勾股定理可得PB ＝132， 所以AH ＝PA ·AB PB ＝31313.所以A 到平面PBC 的距离为31313.18．(本小题满分12分)如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BCD ＝60°.已知PB ＝PD ＝2，PA ＝ 6.(1)证明：PC ⊥BD ；(2)若E 为PA 的中点，求三棱锥P -BCE 的体积． (1)证明：如图所示，连接BD ，AC 交于点O . 由于PB ＝PD ， 所以PO ⊥BD .又由于ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC .而AC ∩PO ＝O ， 所以BD ⊥面PAC .所以BD ⊥PC . (2)解：由(1)知BD ⊥面PAC .由已知得BD ＝2，AC ＝23，PO ＝ 3. 所以S △PEC ＝12S △PAC ＝12×12×23×3＝32.所以V P -BCE ＝V B -PEC ＝13·S △PEC ·BO ＝13×32×1＝12.19．(本小题满分12分)将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积．解：设扇形的半径和圆锥的母线都为l ，圆锥的底面半径为r ， 则120360πl 2＝3π，l ＝3；2π3×3＝2πr ，r ＝1； S 表面积＝S 侧面＋S 底面＝πrl ＋πr 2＝4π，V ＝13Sh ＝13×π·12×22＝223π.20．(本小题满分12分)一个几何体按比例绘制出的三视图如图所示(单位：m)．(1)试画出其直观图； (2)求它的体积．解：(1)几何体的直观图如图所示．(2)由直观图知，该几何体可看成底面立起来的四棱柱，其体积为V ＝12×(1＋2)×1×1＝32(m 3)．21.(本小题满分12分)如图所示，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝1，AD ＝3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．(1)求三棱锥E -PAD 的体积；(2)点E 为BC 的中点时，试推断EF 与平面PAC 的位置关系，并说明理由； (3)求证：无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF . (1)解：由于PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥AD ，所以三棱锥E -PAD 的体积为V ＝13S △PAD ·AB ＝13×12×1×3×1＝36.(2)解：当点E 为BC 的中点时，EF 与平面PAC 平行． 由于在△PBC 中，E ，F 分别为BC ，PB 的中点， 所以EF ∥PC .又EF ⊄平面PAC ，而PC ⊂平面PAC ， 所以EF ∥平面PAC .(3)证明：由于PA ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ， 所以EB ⊥PA .由于EB ⊥AB ，AB ∩AP ＝A ，AB ，AP ⊂平面PAB ，所以EB ⊥平面PAB . 又由于AF ⊂平面PAB ， 所以AF ⊥BE .由于PA ＝AB ＝1，点F 是PB 的中点，所以AF ⊥PB . 由于PB ∩BE ＝B ，PB ，BE ⊂平面PBE ， 所以AF ⊥平面PBE .由于PE ⊂平面PBE ，所以AF ⊥PE .22．(本小题满分12分)(2022·广东卷)如图①所示，四边形ABCD 为矩形，PD⊥平面ABCD ，AB ＝1，BC ＝PC ＝2，按图②方式折叠，折痕EF //DC .其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF .(1)证明：CF ⊥平面MDF ； (2)求三棱锥M -CDE 的体积．(1)证明：如图所示，由于PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AD .又由于ABCD 是矩形，CD ⊥AD ，PD 与CD 交于点D ， 所以AD ⊥平面PCD . 又CF ⊂平面PCD ， 所以AD ⊥CF ，即MD ⊥CF . 又MF ⊥CF ，MD ∩MF ＝M ， 所以CF ⊥平面DMF .(2)解：由于PD ⊥DC ，BC ＝2，CD ＝1，∠PCD ＝60°， 所以PD ＝3，由(1)知FD ⊥CF ， 在直角三角形DCF 中，CF ＝12CD ＝12.过点F 作FG ⊥CD ，得FG ＝FG sin 60°＝12×32＝34，所以DE ＝FG ＝34，故ME ＝PE ＝3－34＝334. 所以MD ＝ME 2－DE 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3342－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝62.S △CDE ＝12DE ·DC ＝12×34×1＝38.故V M - CDE ＝13MD ·S △CDE ＝13×62×38＝216.。
2022-2021年《金版学案》数学·必修2(苏教版)练习：第1章1.2-1.2.1平面的基本性质
第1章立体几何初步1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质A组基础巩固1．下列有关平面的说法正确的是()A．平行四边形是一个平面B．任何一个平面图形都是一个平面C．安静的太平洋面就是一个平面D．圆和平行四边形都可以表示平面解析：我们用平行四边形表示平面，但不能说平行四边形就是一个平面，故A项不正确；平面图形和平面是两个概念，平面图形是有大小的，而平面无法度量，故B项不正确；太平洋面是有边界的，不是无限延展的，故C项不正确；在需要时，除用平行四边形表示平面外，还可用三角形、梯形、圆等来表示平面．答案：D2.如图所示，用符号语言可表示为()A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝AB．α∩β＝m，n∈a，m∩n＝AC．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂nD．α∩β＝m，n∈a，A∈m，A∈n解析：α与β交于m，n在α内，m与n交于A.答案：A3．下列说法正确的是()A．经过三点确定一个平面B．两条直线确定一个平面C．四边形确定一个平面D．不共面的四点可以确定4个平面解析：对于A，若三点共线，则错误；对于B项，若两条直线既不平行，也不相交，则错误；对于C项，空间四边形就不只确定一个平面．答案：D4．一条直线和直线外的三点所确定的平面有()A．1个或3个B．1个或4个C．1个，3个或4个D．1个，2个或4个解析：若三点在同始终线上，且与已知直线平行或相交，或该直线在由该三点确定的平面内，则均确定1个平面；若三点有两点连线和已知直线平行时可确定3个平面；若三点不共线，且该直线在由该三点确定的平面外，则可确定4个平面．答案：C5.如图所示，平面α∩平面β＝l，A，B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过点________．解析：依据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．答案：C和D6．空间任意四点可以确定________个平面．解析：若四点共线，可确定很多个平面；若四点共面不共线，可确定一个平面；若四点不共面，可确定四个平面．答案：1个或4个或很多7．下列命题说法正确的是________(填序号)．①空间中两两相交的三条直线确定一个平面；②一条直线和一个点能确定一个平面；③梯形肯定是平面图形．解析：依据三个公理及推论知①②均不正确．答案：③8．下列各图的正方体中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则使这四个点共面的图形是________(把正确图形的序号都填上)．解析：①中PS∥RQ，③中SR∥PQ，由推论3知四点共面．答案：①③9．点A在直线l上但不在平面α内，则l与α的公共点有__________个．答案：0或110．依据下列条件，画出图形：平面α∩平面β＝AB，直线CD⊂α，CD∥AB，E∈CD，直线EF∩β＝F，F∉AB.解：由题意画出图形如图所示．B级力量提升11．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1＝E，则B，E，D1三点的关系是________________________．解析：连接AC、A1C1、AC1，(图略)则E为A1C与AC1的交点，故E为AC1的中点．又ABC1D1为平行四边形，所以B，E，D1三点共线．答案：共线12．下列叙述中，正确的是________(填序号)．①若点P在直线l上，点P在直线m上，点P在直线n上，则l，m，n共面；②若点P在直线l上，点P在直线m上，则l，m共面；③若点P不在直线l上，点P不在直线m上，点P不在直线n上，则l，m，n不共面；④若点P不在直线l上，点P不在直线m上，则l，m不共面；⑤若点P在直线l上，点P不在直线m上，则l，m不共面．解析：由于P∈l，P∈m，所以l∩m＝P.由推论2知，l，m共面．答案：②13.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线．证明：由于MN∩EF＝Q，所以Q∈直线MN，Q∈直线EF.又由于M∈直线CD，N∈直线AB，CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以M，N⊂平面ABCD.所以MN⊂平面ABCD.所以Q∈平面ABCD.同理，可得EF⊂平面ADD1A1.所以Q∈平面ADD1A1.又由于平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，所以Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线．14．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，AB的中点，求证：D1E，CF，DA三线共点．证明：如图所示，连接EF，A1B，D1C，由于E，F为AA1，AB的中点，所以EF綊12A1B.又由于A1B綊D1C，所以EF綊12D1C.故直线D1E，CF在同一个平面内，且D1E，CF不平行，则D1E，CF必相交于一点，设该点为M.又由于M∈平面ABCD且M∈平面ADD1A1，所以M∈AD，即D1E、CF、DA三线共点．15.如图所示，在四周体ABCD中，E，G，H，F分别为BC，AB，AD，CD 上的点，EG∥HF，且HF<EG.求证：EF，GH，BD交于一点．证明：由于EG∥HF，所以E，F，H，G四点共面，又HF<EG，所以四边形EFHG是一个梯形．如图所示，延长GH和EF交于一点O，所以a，b，c，l四线共面．由于GH在平面ABD内，EF在平面BCD内，所以点O既在平面ABD内，又在平面BCD内．所以点O在这两个平面的交线上，而这两个平面的交线是BD，且交线只有这一条．所以点O在直线BD上．所以GH和EF的交点在BD上，即EF，GH，BD交于一点．16.已知：如图所示，a∥b∥c，直线l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c，l四线共面．证明：由于a∥b，所以a，b确定一个平面α.由于A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.所以AB⊂α，即l⊂α.同理，由b∥c，得b，c确定一个平面β，可证l⊂β.所以l，b⊂α，l，b⊂β.由于l∩b＝B，所以l，b只能确定一个平面．所以α与β重合．故c在平面α内．。
金版学案2016_2017学年高中数学第2章函数2.1_2.1.1函数的概念和图象练习苏教版必修1
2.1 函数的概念 2.1.1 函数的概念和图象A 级 基础巩固1．下列各图中，不可能表示函数y ＝f (x )的图象的是( )答案：B2．函数y ＝1－x ＋x 的定义域是( ) A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |x ≥1，或x ≤0}D ．{x |0≤x ≤1}解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ≥0，得0≤x ≤1.答案：D3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，且f (a )＋f (1)＝0，则a ＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：当a >0时，f (a )＋f (1)＝2a ＋2＝0⇒a ＝－1，与a >0矛盾；当a ≤0时，f (a )＋f (1)＝a ＋1＋2＝0⇒a ＝－3，适合题意．答案：A4．定义域在R 上的函数y ＝f (x )的值域为[a ，b ]，则函数y ＝f (x ＋a )的值域为( ) A ．[2a ，a ＋b ] B ．[0，b －a ] C ．[a ，b ] D ．[－a ，a ＋b ]答案：C5．下列函数完全相同的是( ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2C ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2xD ．f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋3解析：A 、C 、D 的定义域均不同． 答案：B6．二次函数y ＝x 2－4x ＋3在区间(1，4]上的值域是( ) A ．[－1，＋∞) B ．(0，3] C ．[－1，3] D ．(－1，3)解析：y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，再结合二次函数的图象(如右图所示)可知，－1≤y ≤3.答案：C7．已知函数f (x )的定义域为(－3，0)，则函数y ＝f (2x －1)的定义域是( ) A ．(－1，1) B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12 C ．(－1，0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析：由于f (x )的定义域为(－3，0) 所以－3＜2x －1＜0，解得－1＜x ＜12.故y ＝f (2x －1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12. 答案：B8．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －120＋x 2－1x ＋2的定义域是__________________．解析：要使f (x )有意义，必有 ⎩⎪⎨⎪⎧x －12≠0，x ＋2＞0，解得x ＞－2且x ≠12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞9．已知函数f (x )的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，则f (x ＋2)的定义域是________，值域是________．解析：因为f (x )的定义域为[0，1]，所以0≤x ＋2≤1.所以－2≤x ≤－1，即f (x ＋2)的定义域为[－2，－1]，值域仍然为[1，2]． 答案：[－2，－1] [1，2]10．(2015·课标全国Ⅱ卷)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1，4)，则a ＝________．解析：因为点(－1，4)在y ＝f (x )的图象上， 所以4＝－a ＋2.所以a ＝－2. 答案：－211．若f (x )＝ax 2－2，a 为正常数，且f [f (2)]＝－2，则a ＝________． 解析：因为f (2)＝a ·(2)2－2＝2a －2， 所以f ()f （2）＝a ·(2a －2)2－2＝－ 2.所以a ·(2a －2)2＝0.又因为a 为正常数，所以2a －2＝0.所以a ＝22. 答案：2212．已知函数f (x )＝x ＋1x.(1)求f (x )的定义域； (2)求f (－1)，f (2)的值； (3)当a ≠－1时，求f (a ＋1)的值．解：(1)要使函数f (x )有意义，必须使x ≠0， 所以f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)f (－1)＝－1＋1－1＝－2，f (2)＝2＋12＝52.(3)当a ≠－1时，a ＋1≠0. 所以f (a ＋1)＝a ＋1＋1a ＋1. B 级 能力提升13．若函数y ＝f (x )的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f （2x ）x －1的定义域为( ) A ．[0，1] B ．[0，1) C ．[0，1)∪(1，4]D ．(0，1)解析：因为f (x )的定义域为[0，2]，所以g (x )＝f （2x ）x －1需满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x ＜1.所以g (x )的定义域为[0，1)． 答案：B14．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( )解析：因为汽车先启动，再加速、匀速，最后减速，s 随t 的变化是先慢，再快、匀速，最后慢，故A 图比较适合题意．答案：A15．已知函数f (x )＝x 21＋x 2，那么f (1)＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝______．解析：因为f (x )＝x 21＋x 2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x 2＋1，所以f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝1. 所以f (1)＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝12＋1＋1＋1＝72.答案：7216．已知函数f (x )＝2x －1－7x .(1)求f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111； (2)求函数的定义域．解：(1)f (0)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17＝217＝277， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＝2111－1－711＝411－411＝0. (2)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－7x ≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ≤17，所以0≤x ≤17.所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0≤x ≤17.17．已知函数y ＝ 1ax ＋1(a ＜0且a 为常数)在区间(－∞，1]上有意义，求实数a的值．解：已知函数y ＝1ax ＋1(a ＜0且a 为常数)， 因为1ax ＋1≥0，a ＜0，所以x ≤－a ，即函数的定义域为(－∞，－a ]． 因为函数在区间(－∞，1]上有意义， 所以(－∞，1]⊆(－∞，－a ]． 所以－a ≥1，即a ≤－1.所以a 的取值范围是(－∞，－1]．18．试画出函数f (x )＝(x －2)2＋1的图象，并回答下列问题： (1)求函数f (x )在x ∈[1，4]上的值域； (2)若x 1＜x 2＜2，试比较f (x 1)与f (x 2)的大小． 解：由描点法作出函数的图象如图所示．(1)由图象知，f (x )在x ＝2时有最小值为f (2)＝1， 又f (1)＝2，f (4)＝5.所以函数f (x )在[1，4]上的值域为[1，5]． (2)根据图象易知，当x 1＜x 2＜2时，f (x 1)＞f (x 2)．。
【金版学案】2016-2017学年苏教版高中数学必修2(测试)第1章1.1-1.1.4直观图画法 Word版含解析
第1章立体几何初步1.1 空间几何体1.1.4 直观图画法A组基础巩固1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是()A．原来相交的线段仍相交B．原来垂直的线段仍垂直C．原来平行的线段仍平行 D．原来共点的线段仍共点解析：根据斜二测画法可知，原来垂直的线段未必垂直．答案：B2．建立坐标系，得到的两个正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是()解析：由斜二测画法规则易知A、B、D中的直观图全等．答案：C3．利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图，正确的是()解析：正方形的直观图应为平行四边形且平行于y′轴的线段的长度减半，故只有C正确．答案：C4．下图为一平面图形的直观图，因此平面图形可能是()解析：根据直观图，平面图形的一边在x′轴上，另一边与y′轴平行，故此平面图形是左边为直角腰的直角梯形．答案：C5．如图所示，△A′B′C′是△ABC的直观图，其中A′C′＝A′B′，那么△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形解析：由直观图看出，三角形中有两边分别和两轴平行且相等，由斜二测画法知原图中相应两边与两轴平行，即有两边垂直且不等，所以原三角形为直角三角形．答案：B6．利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形；⑤梯形的直观图是梯形．以上结论，正确的是________(填序号)．解析：因平行性不改变，故②正确，①也正确，梯形的两底保持平行且不相等，故⑤也正确；平行于y轴的线段，长度变为原来的一半，故③④不正确．答案：①②⑤7．如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是________(填序号)．①②③④解析：根据斜二测画法知，在y轴上的线段长度为直观图中相应线段长度的2倍，可知①正确．答案：①B级能力提升8.如图所示，Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，直角边O′B′＝1，则这个平面图形的面积是()A．2 2 B．1C. 2 D．4 2解析：设这个平面图形为△OAB.因为O′B′＝1，所以O′A′＝ 2.所以在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OB＝1，OA＝22，所以S△AOB＝12×1×22＝ 2.答案：C9.如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是()A．8 cm B．6 cmC．2(1＋3)cm D．2(1＋2)cm解析：根据直观图的画法，原几何图形如图所示，四边形OABC为平行四边形，OB＝22，OA＝1，AB＝3，从而原图周长为8 cm.答案：A10．有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其直观图的面积为________．解析：该矩形的面积为S＝5×4＝20(cm2)，由平面图形的面积与直观图的面积间的关系，可得直观图的面积为S′＝24S＝52cm2.答案：5 211．画出水平放置的等腰梯形的直观图．解：等腰梯形及其直观图如图①和图②所示．(1)如图①所示，取AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点，AB 的中垂线为y轴建立直角坐标系，画出对应的直观图中的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)．(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝12OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴并使C′D′＝CD.(3)连接B′C′，D′A′，如图②所示，所得到的四边形A′B′C′D′即是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．12．下图是已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．解：(1)画轴，如图①所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画圆台的两底面．画出底面⊙O假设交x轴于A，B两点，在z 轴上取点O′，使OO′等于三视图中相应高度，过点O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′.利用O′x′与O′y′画出底面⊙O′，设⊙O′交x′轴于A′，B′两点．(3)成图，连接A′A，B′B.去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，即得到给出三视图所表示的直观图，如图②所示．13．如果一个水平放置的图形的斜二测画法得到的直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是多少？解：由题意，知原图形为直角梯形，且上底为1，下底为1＋2，高为2，所以实际图形的面积＝（1＋1＋2）×22＝2＋ 2.。
2022-2021年《金版学案》数学·必修1(苏教版)习题：章末过关检测卷(二)
章末过关检测卷(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1．设全集为R，函数f(x)＝1－x2的定义域为M，则∁R M为()A．[－1，1]B．(－1，1)C．(－∞，－1)∪[1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：由1－x2≥0，知－1≤x≤1.所以M＝[－1，1]．所以∁R M＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：D2．下列图中不能作为函数图象的是()解析：选项B对于给定的变量有两个值与其对应，不是函数的图象．答案：B3．已知函数f(x)＝2x2－4kx－5在区间[－1，2]上不具有单调性，则k的取值范围是()A．[－1，2] B．(－1，2)C．(－∞，2) D．(－1，＋∞)解析：由于函数f(x)＝2x2－4kx－5在区间[－1，2]上不具有单调性，即对称轴直线x＝k在此区间内，所以有－1＜k＜2.答案：B4．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数()A．y＝x B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1 D．y＝－2x解析：A、D中函数是奇函数，不是偶函数，B中y＝|x|＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上递增，但D中，y＝－x2＋1在(0，＋∞)上是减函数．答案：B5．函数y＝x2－2x＋3，－1≤x≤2的值域是()A．R B．[3，6]C．[2，6] D．[2，＋∞)解析：画出函数的图象，如图所示，观看函数的图象可得图象上全部点的纵坐标的取值范围是[2，6]，所以值域是[2，6]．答案：C6．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3（x ＞10），f （f （x ＋5））（x ≤10），则f (5)的值是( )A ．24B ．21C ．18D ．16解析：f (5)＝f (f (10))＝f (f (f (15)))＝f (f (18))＝f (21)＝24. 答案：A7．若二次函数y ＝f (x )满足f (5＋x )＝f (5－x )，且方程f (x )＝0有两个实根x 1，x 2，则x 1＋x 2等于( )A ．5B ．10C ．20 D.52解析：由于f (x ＋5)＝f (5－x )，所以f (x )的对称轴为x 0＝5，x 1＋x 2＝2x 0＝10. 答案：B8．若对于任意实数x ，都有f (－x )＝f (x )，且f (x )在区间(－∞，0]上是增函数，则( )A ．f (－2)＜f (2)B ．f (－1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32C ．f ⎝⎛⎭⎪⎫－32＜f (2)D ．f (2)＜f ⎝⎛⎭⎪⎫－32解析：依据题意可知，f (x )是偶函数． 由于f (x )在区间(－∞，0]上是增函数， 所以f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数．所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＞f (2)． 答案：D9．若奇函数f (x )在区间[3，7]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为－1，则2f (－6)＋f (－3)的值为( )A ．10B ．－10C ．－15D ．15解析：依题意可得，f (x )在[3，6]上是增函数， 所以f (6)＝8，f (3)＝－1. 又y ＝f (x )为奇函数，所以2f (－6)＋f (－3)＝－2f (6)－f (3)＝－15. 答案：C10．已知函数f (x )＝1＋x 21－x 2，则有( )A ．f (x )是奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )B ．f (x )是奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝f (x )C ．f (x )是偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )D ．f (x )是偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝f (x )解析：由f (－x )＝1＋（－x ）21－（－x ）2＝1＋x 21－x 2＝f (x )， 得f (x )为偶函数．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝x 2＋1x 2－1＝－f (x )， 故C 选项正确． 答案：C11．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (0)＝f (4)＞f (1)，则( ) A ．a ＞0，4a ＋b ＝0 B ．a ＜0，4a ＋b ＝0 C ．a ＞0，2a ＋b ＝0D ．a ＜0，2a ＋b ＝0解析：由f (0)＝f (4)，知函数图象关于直线x ＝2对称，所以－b2a ＝2.所以b ＋4a ＝0，由f (0)＞f (1)知函数图象开口向上，所以a ＞0. 答案：A12．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2ax －2a ，x ≥1，ax ＋1，x ＜1是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2，0)B ．[－2，0)C ．(－∞，1]D ．(－∞，0)解析：由x ≥1时，f (x )＝－x 2＋2ax －2a 是减函数，得a ≤1， 由x ＜1时，函数f (x )＝ax ＋1是减函数，得a ＜0， 分段点1处的值应满足－12＋2a ×1－2a ≤1×a ＋1，解得a ≥－2，所以－2≤a ＜0. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(2022·课标全国Ⅱ卷)偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________．解析：利用函数的对称轴和奇偶性来确定函数值即可． 由于f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (4－x )＝f (x )． 所以f (4－1)＝f (1)＝f (3)＝3， 则f (1)＝3.又y ＝f (x )是偶函数， 所以f (－1)＝f (1)＝3. 答案：314.已知f (x )是定义在[－2，0)∪(0，2]上的奇函数，当x ＞0时，f (x )的图象如图所示，则f (x )的值域是________．解析：当x ＞0时，f (x )的值域是(2，3]．依据奇函数的性质可得，f (x )的值域是[－3，－2)∪(2，3]．答案：[－3，－2)∪(2，3]15．若f (x )，g (x )都是奇函数，且F (x )＝af (x )＋bg (x )＋2在区间(0，＋∞)上有最大值8，则在区间(－∞，0)上的最小值是________．解析：由于f (x )，g (x )为奇函数， 所以F (x )－2＝af (x )＋bg (x )为奇函数． 则F (－x )－2＝－(F (x )－2)＝2－F (x )． 由于F (x )在(0，＋∞)上有最大值8. 当x ＜0时，－x ＞0，F (－x )≤8.所以F (－x )－2≤6，从而－(F (x )－2)≤6.因此F (x )≥－4，F (x )在(－∞，0)上的最小值为－4. 答案：－416．若定义在R 上的偶函数f (x )满足对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)都有f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1＜0，则f (1)，f (－2)，f (3)的大小关系是________．解析：由f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1＜0可知，f (x )在区间[0，＋∞)上为减函数，所以f (1)＞f (2)＞f (3)．又由于f (x )是偶函数， 所以f (－2)＝f (2)， 因此f (1)＞f (－2)＞f (3)． 答案：f (1)＞f (－2)＞f (3)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝x ＋mx ，且f (1)＝3.(1)求m ；(2)推断函数f (x )的奇偶性． 解：(1)由于f (1)＝3，即1＋m ＝3， 所以m ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x ＋2x，其定义域是{x |x ≠0}，关于原点对称，又f (－x )＝－x ＋2－x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x ＝－f (x )，所以此函数是奇函数．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4，6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4，6]上是单调函数． 解：(1)当a ＝－2时， f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1. 又由于x ∈[－4，6]，所以函数f (x )在[－4，2]上为减函数， 在[2，6]上为增函数．所以f (x )max ＝f (－4)＝(－4－2)2－1＝35， f (x )min ＝f (2)＝－1.(2)由于函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3的对称轴为x ＝－a ，且f (x )在[－4，6]上是单调函数，所以－a ≥6或－a ≤－4， 即a ≤－6或a ≥4.故a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)．19．(本小题满分12分)设f (x )为定义在R 上的奇函数．如图是函数图象的一部分，当0≤x ≤2时，是线段OA ；当x ＞2时，图象是顶点为P (3，4)的抛物线的一部分．(1)在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象；(2)求函数f(x)在[2，＋∞)上的解析式；(3)写出函数f(x)的单调区间．解：(1)图象如图所示．(2)当x≥2时，设f(x)＝a(x－3)2＋4(a≠0)．由于f(x)的图象过点A(2，2)，所以f(2)＝a(2－3)2＋4＝2所以a＝－2.所以f(x)＝－2(x－3)2＋4.(3)由f(x)的图象知，f(x)的单调递减区间为(－∞，－3]和[3，＋∞)，单调递增区间为[－3，3]．20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝xx－a(x≠a)．(1)若a＝－2，试证明f(x)在区间(－∞，－2)上单调递增；(2)若a＞0，且f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．(1)证明：任取x1＜x2＜－2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1＋2－x2x2＋2＝2（x1－x2）（x1＋2）（x2＋2）.由于(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，所以f(x1)＜f(x2)．故函数f(x)在区间(－∞，－2)上单调递增．(2)解：任取1＜x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1－a－x2x2－a＝2（x1－x2）（x1－a）（x2－a）.由于a＞0，x1－x2＜0，所以要使f(x1)－f(x2)＞0，只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，所以a≤1.故a的取值范围是(0，1]．21．(本小题满分12分)某商场经销一批进价为每件30元的商品，在市场试销中发觉，此商品的销售单价x(元)与日销售量y(件)之间有如下表所示的关系：x 30404550y 6030150(1)在所给的坐标图纸中，依据表中供应的数据，描出实数对(x，y)的对应点，并确定y与x的一个函数关系式．(2)设经营此商品的日销售利润为P元，依据上述关系，写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润？解：(1)由题表作出(30，60)，(40，30)，(45，15)，(50，0)的对应点，它们近似地分布在一条直线上，如图所示．设它们共线于直线y ＝kx ＋b ，则⎩⎨⎧50k ＋b ＝0，45k ＋b ＝15，⎩⎨⎧k ＝－3，b ＝150.所以y ＝－3x ＋150(0≤x ≤50，且x ∈N *)，经检验(30，60)，(40，30)也在此直线上．所以所求函数解析式为y ＝－3x ＋150(0≤x ≤50，且x ∈N *)．(2)依题意P ＝y (x －30)＝(－3x ＋150)(x －30)＝－3(x －40)2＋300.所以当x ＝40时，P 有最大值300，故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润．22．(本小题满分12分)若f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x ，y＞0，满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )．(1)求f (1)的值；(2)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋3)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜2.解：(1)在f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )中，令x ＝y ＝1，则有f (1)＝f (1)－f (1)，所以f (1)＝0. (2)由于f (6)＝1，所以f (x ＋3)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜2＝f (6)＋f (6)．所以f (3x ＋9)－f (6)＜f (6)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋32＜f (6)．由于f (x )是(0，＋∞)上的增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32＞0，x ＋32＜6，解得－3＜x ＜9.故不等式的解集为(－3，9)．。
【金版学案】高一数学苏教版必修2习题：章末知识整合 Word版含答案[ 高考]
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章末知识整合一、数形结合思想的应用若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ ＝120°(其中O为原点)，则k的值为________．解析：本小题考查直线与圆的位置关系和数形结合的方法．y＝kx＋1恒过点(0，1)，结合图知，直线倾斜角为120°或60°.∴k＝3或－ 3.答案：3或－ 3规律总结：根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将抽象的数学语言和直观的图形相结合，使抽象思维和形象思维相结合．1．以形助数，借助图形的性质，使有关“数”的问题直接形象化，从而探索“数”的规律．比如，研究两曲线的位置关系，借助图形使方程间关系具体化；过定点的直线系与某确定的直线或圆相交时，求直线系斜率的范围，图形可帮助找到斜率的边界取值，从而简化运算；对于一些求最值的问题，可构造出适合题意的图形，解题中把代数问题几何化．2．以数助形，借助数式的推理，使有关“形”的问题数量化，从而准确揭示“形”的性质．►变式训练1．若过定点M(－1，0)且斜率为k的直线与圆x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是________．解析：∵x2＋4x＋y2－5＝0，∴(x＋2)2＋y2＝9是以(－2，0)为圆心，以3为半径的圆．如图所示：令x＝0得y＝±5.∴点C的坐标为(0，5)．又点M的坐标为(－1，0)，∴kMC＝5－00－（－1）＝ 5.结合图形得0<k< 5.答案：(0，5)2．当P (m ，n )为圆x 2＋(y －1)2＝1上任意一点时，若不等式m ＋n ＋c ≥0恒成立，则c 的取值范围是________．解析：方法一 ∵P (m ，n )在已知圆x 2＋(y －1)2＝1上，且使m ＋n ＋c ≥0恒成立，即说明圆在不等式x ＋y ＋c ≥0表示的区域中，如图，－c 为直线x ＋y ＋c ＝0在y 轴上的截距，可求出切线l 的截距为－(2－1)，∴－c ≤－(2－1)．∴c ≥2－1.方法二 P (m ，n )为圆x 2＋(y －1)2＝1上的点，∴⎩⎨⎧m ＝cos α，n ＝1＋sin α.∴m ＋n ＝1＋cos α＋sin α. ∴－2＋1≤m ＋n ≤2＋1.∴－(2＋1)≤－(m ＋n )≤2－1.若不等式m ＋n ＋c ≥0恒成立，∴c ≥－(m ＋n )．∴c ≥2－1.答案：[2－1，＋∞)二、函数与方程思想的应用已知F(0，1)，直线l：y＝－2，圆C：x2＋(y－3)2＝1.(1)若动点M到点F的距离比它到直线l的距离小1，求动点M的轨迹E的方程；(2)过轨迹E上一点P作圆C的切线，切点为A、B，要使四边形PACB的面积S最小，求S的最小值．分析：考虑四边形PACB的面积最小，首先应建立目标函数，通过函数解决问题．解析：(1)设动点M(x，y)，据题意有（x－0）2＋（y－1）2＋1＝y－(－2)，化简得x2＝4y.(2)设动点P(x0，y0)，考虑到切线长相等，所以四边形PACB的面积S＝2S△PAC＝PA·AC，又由于圆C的半径为1，所以S＝PA＝PC2－1＝（x0－0）2＋（y0－3）2－1.因为x02＝4y0，所以S ＝y02－2y0＋8＝（y0－1）2＋7≥7，当且仅当y0＝1，x0＝±2时成立．即S的最小值为7.规律总结：1.函数思想的实质是用联系和变化的观点提出问题的数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用有关函数的性质(定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、图象等)，使问题得到解决．2．方程的思想多用于曲线方程的求解(如求直线的方程、圆的方程，通常构造含确定曲线方程形态的特征常数的方程或方程组)；两直线位置关系的判定；圆的切线方程的求解等．3．方程和函数这两种思想在本章有机地结合，帮助我们更好地解决了两曲线的位置关系及求函数的值域问题．►变式训练3．已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0.(1)当t 为何值时，方程表示圆？(2)当t 为何值时，方程表示的圆的半径最大？并求出半径最大时圆的方程．解析：(1)方程表示圆的条件是[－2(t ＋3)]2＋[2(1－4t 2)]2－4(16t 4＋9)>0，即(t －1)(7t ＋1)<0，解得－17<t <1，故当－17<t <1，方程表示圆．(2)由(1)知，当－17<t <1时，方程表示圆，且其半径 r ＝12[－2（t ＋3）]2＋[2（1－4t 2）]2－4（16t 4＋9）＝12－4（7t 2－6t －1）＝－7t 2＋6t ＋1 ＝－7⎝ ⎛⎭⎪⎫t －372＋167. 所以当t ＝37时，半径r 有最大值，且r max ＝167＝477，此时圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫247，－1349，故圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2472＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋13492＝167.三、转化与化归思想的应用圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是________． 解析：设圆心与直线的距离为d ，d ＝|2＋2－14|2＝52，R ＝32，∴圆上点到直线的距离最大值为d ＋R ＝82，最小值d －R ＝2 2.∴(d ＋R )－(d －R )＝82－22＝6 2.答案：6 2规律总结：通过各种变换，把复杂或未知转化为简单或已知，达到化归的目的．1．运用恒等变换与同解变换，可以把角的关系变换为斜率的关系，把两直线的位置关系变换成斜率与截距间的关系，把点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系变换为两点间距离与半径的关系等．2．运用“实际问题—数学问题”的变换，构建数学模型，通过数学知识寻求实际问题的答案，体现数学的作用，同时发展学生解决问题的能力．3．通过化抽象为具体，化数为形，化形为数，化一般为特殊的数学思想综合处理直线和圆方程中的各类问题．►变式训练4．若线段OQ在xOy平面及yOz平面上的投影长分别为22和17，试问线段OQ最长可为多少？最短可为多少？解析：设Q(u，v，w)，据题意则有u2＋v2＝22，v2＋w2＝17，所以u2＝8－v2，w2＝17－v2.而OQ＝u2＋v2＋w2，从而有u2＋v2＋w2＝25－v2.因为0≤v2≤8，故17≤OQ≤5.∴线段OQ最长可为5，最短可为17.5．若直线y＝kx＋2与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若MN≥23，则k的取值范围为________．解析：圆心(2，3)到直线y ＝kx ＋2的距离为：|2k －1|k 2＋1，∵MN ≥23，∴4－（2k －1）2k 2＋1≥3.即（2k －1）2k 2＋1≤1.解得0≤k ≤43. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43四、分类讨论思想的应用设A (1，－2，x )、B (x ，3，0)、C (7，x ，6)，且A 、B 、C 三点构成直角三角形，求x 的值．解析：由已知条件知AB 2＝(x －1)2＋(3＋2)2＋(0－x )2＝2x 2－2x ＋26，BC 2＝(7－x )2＋(x －3)2＋(6－0)2＝2x 2－20x ＋94，CA 2＝(1－7)2＋(2＋x )2＋(x －6)2＝2x 2－8x ＋76，若AB 2＋BC 2＝CA 2，则4x2－22x＋120＝2x2－8x＋76，即x2－7x＋22＝0，无实数解．若AB2＋CA2＝BC2，则4x2－10x＋102＝2x2－20x＋94，即x2＋5x＋4＝0，解之得x1＝－4，x2＝－1.若BC2＋CA2＝AB2，则4x2－28x＋170＝2x2－2x＋26，即x2－13x＋72＝0，无实数解．综上可知，实数x的值为－4或－1.规律总结：根据对象的属性，选择适当的标准，把研究对象不重复、不遗漏地划分为若干类，对于培养学生综合运用基础知识能力，严谨、周密的分析能力，良好的思维素质都有重要作用．1．涉及的数学概念是分类定义的，应用的定理、公式，运算性质是分类给出的，解题中必然引起讨论．如求直线的斜率问题，用斜率表示的直线方程，用二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆等都要分类讨论．2．数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值会导致不同结果，解题中需讨论，如判定两曲线的位置关系等．►变式训练6．设A (－c ，0)，B (c ，0)(c >0)为两定点，动点P 到点A 的距离与到点B 的距离的比为定值a (a >0)，求点P 的轨迹．解析：设动点P 的坐标为(x ，y )，由PA PB ＝a (a >0)，得（x ＋c ）2＋y 2（x －c ）2＋y 2＝a ，化简得 (1－a 2)x 2＋2c (1＋a 2)x ＋c 2(1－a 2)＋(1－a 2)y 2＝0.当a ≠1时，得x 2＋2c （a 2＋1）1－a 2x ＋c 2＋y 2＝0， 整理得⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －c （a 2＋1）a 2－12＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2ac a 2－12. 当a ＝1时，化简得x ＝0. 所以当a ≠1时，点P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2－1c ，0为圆心， ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2ac a 2－1为半径的圆． 当a ＝1时，点P 的轨迹为y 轴．7．已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0无公共点，求实数m 的取值范围．解析：把圆C 1和圆C 2的方程化为标准方程，得：C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，专业文档C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.(1)若圆C1与圆C2内含，则有：（m＋1）2＋（m＋2）2<3－2.即m2＋3m＋2<0.解得－2<m<－1.(2)若圆C1与圆C2外离，则有：（m＋1）2＋（m＋2）2>3＋2.即m2＋3m－10>0.解得m<－5或m>2.综合(1)、(2)可知m的取值范围是(－∞，－5)∪(－2，－1)∪(2，＋∞)．珍贵文档。
2016-2017年《金版学案》数学·必修2(苏教版)：章末过关检测卷(二) Word版含解析
章末过关检测卷(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若直线过点(1，2)，(4，2＋3)，则此直线的倾斜角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 解析：直线斜率为k ＝2＋3－24－1＝33，故倾斜角为30°.答案：A2．直线mx －y ＋2m ＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标为( ) A ．(－2，1) B ．(2，1) C ．(1，－2)D ．(1，2)解析：直线mx －y ＋2m ＋1＝0可化为 (x ＋2)m ＋1－y ＝0，令⎩⎨⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝1.答案：A3．直线x ＋ky ＝0，2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0交于一点，则k 的值是( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2解析：解方程组⎩⎨⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－2，则点(－1，－2)在直线x ＋ky ＝0上，得k ＝－12.答案：B4．若坐标原点在圆x 2＋y 2－2mx ＋2my ＋2m 2－4＝0的内部，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1，1) B.⎝⎛⎭⎪⎫－22，22C ．(－3，3)D ．(－2，2)解析：由题设把原点代入方程 02＋02－2m ·0＋2m ·0＋2m 2－4<0， 所以－2<m < 2. 答案：D5．两圆x 2＋y 2＋4x －4y ＝0与x 2＋y 2＋2x －12＝0的公共弦长等于( )A ．4B ．2 3C ．3 2D ．4 2 解析：公共弦方程为x －2y ＋6＝0，圆x 2＋y 2＋2x －12＝0的圆心(－1，0)，半径r ＝13，d ＝ 5. 所以弦长＝2×13－5＝4 2.答案：D6．与圆(x ＋2)2＋y 2＝2相切，且在x 轴与y 轴上的截距相等的直线条数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：当截距均为0时，即直线过原点易知有两条切线；当截距不为0时，设切线为x a ＋ya ＝1，即x ＋y －a ＝0，由圆心(－2，0)到切线的距离等于半径2，解得a ＝－4，即此时切线为x ＋y ＋4＝0，故共有3条．答案：C7．(2014·安徽卷)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.(]0°，30°B.(]0°，60°C.[]0°，30°D.[]0°，60°解析：法一 如图所示，过点P 作圆的切线PA ，PB ，切点为A ，B .由题意知|OP |＝2，|OA |＝1，则sin α＝12，所以α＝30°，∠BPA ＝60°.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0°，60°.故选D.法二 设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1，则由直线和圆有公共点知|3k －1|1＋k2≤1.解得0≤k ≤ 3.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0°，60°.答案：D8．以A (－2，－2)，B (－3，1)，C (3，5)，D (7，－7)为顶点的四边形是( )A ．正方形B ．矩形C ．平行四边形D ．梯形答案：D9．垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0答案：A10．平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( )A ．2x －y －5＝0或2x －y －5＝0B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0D ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0解析：设所求切线方程为2x ＋y ＋c ＝0，依题有|0＋0＋c |22＋12＝5，解得c ＝±5，所以所求切线的直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0.答案：D11．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积是球的表面积的( )A.316B.916C.38D.58 答案：A12．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( )A ．120°B ．150°C ．180°D ．240°解析：S 底＋S 侧＝3S 底，2S 底＝S 侧，即2πr 2＝πrl ，得2r ＝l .设侧面展开图的圆心角为θ，则θπl 180°＝2πr ，所以θ＝180°.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中的横线上)13．直线5x ＋12y ＋13＝0与直线10x ＋24y ＋5＝0的距离是________．解析：把5x ＋12y ＋13＝0化为10x ＋24y ＋26＝0，由平行线之间的距离公式d ＝|26－5|26＝2126.答案：212614．在z 轴上与点A (－4，1，7)和点B (3，5，－2)等距离的点C 的坐标为________．解析：设C 点的坐标为(0，0，z )， 由|AC |＝|BC |，得|AC |2＝|BC |2.于是有16＋1＋(7－z )2＝9＋25＋(－2－z )2， 解得z ＝149.故点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，149.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，149 15．已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2.设圆O 到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝________．解析：圆心O 到直线x cos θ＋y sin θ＝1距离d ＝1，即直线与圆相交．因为半径r ＝5＞2，所以O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为4个，所以k ＝4.答案：416．直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________．解析：作出图象，如图所示．依题意，不妨设直线y ＝x ＋a 与单位圆相交于A ，B 两点，则∠AOB ＝90°，此时a ＝1，b ＝－1，满足题意， 所以a 2＋b 2＝2. 答案：2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)17．(本小题满分10分)求经过A (－2，3)，B (4，－1)的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式、截距式和一般式．解：过A ，B 两点的直线方程是y ＋13＋1＝x －4－2－4， 点斜式为：y ＋1＝－23(x －4)，斜截式为：y ＝－23x ＋53，截距式为：x 52＋y53＝1，一般式为：2x ＋3y －5＝0.18．(本小题满分12分)点A (0，2)是圆x 2＋y 2＝16内的定点，B ，C 是这个圆上的两个动点，若BA ⊥CA ，求BC 中点M 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．解：设点M (x ，y )．M 是弦BC 的中点，故OM ⊥BC ， 又因为∠BAC ＝90°，所以|MA |＝12|BC |＝|MB |.因为|MB |2＝|OB |2－|OM |2，所以|OB |2＝|MO |2＋|MA |2，即42＝(x 2＋y 2)＋[(x －0)2＋(y －2)2]，化简为x 2＋y 2－2y －6＝0，即x 2＋(y －1)2＝7.所以所求轨迹为以(0，1)为圆心，以7为半径的圆．19．(本小题满分12分)若圆C 经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y ＝1相切，求圆C 的方程．解：如图所示，因为圆C 经过坐标原点O 和点A (4，0)，所以圆心必在线段OA 的中垂线上， 所以圆心的横坐标为2，设圆心坐标为C (2，b )，b ＜0，半径为R . 因为圆与直线y ＝1相切， 所以R ＝1－b ，且b 2＋22＝ R 2＝(1－b )2.解得b ＝－32，所以圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－32，半径R ＝1－b ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝52. 所以圆的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254.20．(本小题满分12分)已知实数x ，y 满足方程(x －3)2＋(y －3)2＝6，求x ＋y 的最大值和最小值．解：设x ＋y ＝t ，则直线y ＝－x ＋t 与圆(x －3)2＋(y －3)2＝6有公共点．所以|3＋3－t |2≤ 6.所以6－23≤t ≤6＋2 3.因此x ＋y 最小值为6－23，最大值为6＋2 3.21．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0(m ∈R)．(1)判断直线l 与圆C 的位置关系；(2)设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若直线l 的倾斜角为120°，求弦AB 的长．解：(1)直线l 可变形为y －1＝m (x －1)， 因此直线l 过定点D (1，1)， 又12＋（1－1）2＝1<5，所以点D 在圆C 内，则直线l 与圆C 必相交． (2)由题意知m ≠0，所以直线l 的斜率k ＝m ， 又k ＝tan 120°＝－3，即m ＝－ 3.此时，圆心C (0，1)到直线l ：3x ＋y －3－1＝0的距离 d ＝|－3|（3）2＋12＝32，又圆C 的半径r ＝5， 所以|AB |＝2r 2－d 2＝25－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝17. 22．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心在直线l 1：2x －y ＋1＝0上，与直线3x －4y ＋9＝0相切，且截直线l 2：4x －3y ＋3＝0所得的弦长为2，求圆C 的方程．解：设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＋1＝0，|3a －4b ＋9|5＝r ，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4a －3b ＋352＋1＝r 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ＋1，|3a －4（2a ＋1）＋9|＝5r ，[4a －3（2a ＋1）＋3]2＋25＝25r 2，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ＋1，|a －1|＝r ，4a 2＋25＝25r 2.化简，得4a 2＋25＝25(a －1)2. 解得a ＝0或a ＝5021.因此⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1，r ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5021，b ＝12121，r ＝2921.故所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝1或⎝⎛⎭⎪⎫x －50212＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －121212＝⎝ ⎛⎭⎪⎫29212.。
【金版学案】2016-2017学年苏教版高中数学必修2(测试)模块综合检测卷(二) Word版含解析
模块综合检测卷(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若PQ 是圆x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点是M (1，2)，则直线PQ 的方程是( )A ．x ＋2y －3＝0B ．x ＋2y －5＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＝0解析：由题意知k OM ＝2－01－0＝2， 所以k PQ ＝－12. 所以直线PQ 的方程为：y －2＝－12(x －1)， 即：x ＋2y －5＝0.答案：B2．直线l 通过两直线7x ＋5y －24＝0和x －y ＝0的交点，且点(5，1)到l 的距离为10，则l 的方程是( )A ．3x ＋y ＋4＝0B ．3x －y ＋4＝0C ．3x －y －4＝0D ．x －3y －4＝0解析：由⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋5y －24＝0，x －y ＝0，得交点(2，2)． 设l 的方程为y －2＝k (x －2)，即kx －y ＋2－2k ＝0， 所以|5k －1＋2－2k |k 2＋（－1）2＝10，解得k ＝3.所以l的方程为3x－y－4＝0.答案：C3．在坐标平面xOy上，到点A(3，2，5)，B(3，5，1)距离相等的点有()A．1个B．2个C．不存在D．无数个解析：在坐标平面xOy内，设点P(x，y，0)，依题意得（x－3）2＋（y－2）2＋25＝（x－3）2＋（y－5）2＋1，整理得y＝－12，x∈R，所以符合条件的点有无数个．答案：D4．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝() A．2B．42C．6D．210解析：圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为C(2，1)，半径为r＝2，因此2＋a·1－1＝0，a＝－1，即A(－4，－1)，|AB|＝|AC|2－r2＝（－4－2）2＋（－1－1）2－4＝6.答案：C5．已知两点A(－2，0)，B(0，2)．点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是()A．3－ 2 B．3＋ 2C．3－22 D.3－22解析：l AB：x－y＋2＝0，圆心(1，0)到l 的距离d ＝|3|2＝32， 所以AB 边上的高的最小值为32－1. 所以S min ＝12×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝3－ 2. 答案：A6．若点P (－4，－2，3)关于坐标平面xOy 及y 轴的对称点的坐标分别是(a ，b ，c )，(e ，f ，d )，则c 与e 的和为( )A ．7B ．－7C ．－1D ．1 答案：D7．一个多面体的三视图如左下图所示，则该多面体的体积为( )A.233B.476C ．6D ．7 解析：该几何体是正方体去掉两个角所形成的多面体，如图所示，其体积为V ＝2×2×2－2×13×12×1×1×1＝233.答案：A8．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1，B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°解析：如图所示，取A 1B 1的中点M ，连接GM ，HM .由题意易知EF ∥GM ，且△GMH 为正三角形．所以异面直线EF 与GH 所成的角即为GM 与GH 的夹角∠HGM .而在正三角形GMH 中∠HGM ＝60°.答案：B9．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞ 解析：C 1：(x －1)2＋y 2＝1，C 2：y ＝0或y ＝mx ＋m ＝m (x ＋1)．如图所示，当m ＝0时，C 2：y ＝0，此时C 1与C 2显然只有两个交点；当m ≠0时，要满足题意，需圆(x －1)2＋y 2＝1与直线y ＝m (x ＋1)有两交点，当圆与直线相切时，m ＝±33， 即直线处于两切线之间时满足题意， 则－33<m <0或0<m <33. 答案：B10．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝4，则S ＝x 2＋y 2－6x －8y ＋25的最大值和最小值分别为( )A ．49，9B ．7，3 C.7， 3 D ．7， 3解析：函数S ＝x 2＋y 2－6x －8y ＋25化为(x －3)2＋(y －4)2＝S ，它是以点C (3，4)为圆心，半径为S 的圆，当此圆和已知圆x 2＋y 2＝4外切和内切时，对应的S 的值即为要求的最小值和最大值．当圆C 与已知圆x 2＋y 2＝4相外切时，对应的S 为最小值，此时两圆圆心距等于两圆半径之和，即5＝S min ＋2，求得S min ＝9；当圆C 与已知圆x 2＋y 2＝4相内切时，对应的S 为最大值，此时两圆圆心距等于两圆半径之差，即5＝S max －2，求得S max ＝49.答案：A11．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R)对称，则ab 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，14 解析：圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R)对称，则圆心在直线上，求得a ＋b ＝1，ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14≤14，ab 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14，故选A.答案：A12．已知半径为1的动圆与圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25B ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝17或(x －5)2＋(y ＋7)2＝15C ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝9D ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25或(x －5)2＋(y ＋7)2＝9解析：设动圆圆心为P ，已知圆的圆心为A (5，－7)，则外切时|PA |＝5，内切时|PA |＝3，所以P 的轨迹为以A 为圆心，3或5为半径的圆，选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上)13．若函数y ＝ax ＋8与y ＝－12x ＋b 的图象关于直线y ＝x 对称，则a ＋b ＝________．解析：直线y ＝ax ＋8关于y ＝x 对称的直线方程为x ＝ay ＋8，所以x ＝ay ＋8与y ＝－12x ＋b 为同一直线， 故得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4，所以a ＋b ＝2. 答案：214．圆x 2＋(y ＋1)2＝3绕直线kx －y －1＝0旋转一周所得的几何体的表面积为________．解析：由题意，圆心为(0，－1)，又直线kx －y －1＝0恒过点(0，－1)，所以旋转一周所得的几何体为球，球心即为圆心，球的半径即是圆的半径，所以S ＝4π(3)2＝12π.答案：12π15．过点(3，1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．解析：借助圆的几何性质，确定圆的最短弦的位置，利用半径、弦心距及半弦长的关系求弦长．设A (3，1)，易知圆心C (2，2)，半径r ＝2，当弦过点A (3，1)且与|CA |＝（2－3）2＋（2－1）2＝ 2. 所以半弦长＝r 2－|CA |2＝4－2＝ 2.所以最短弦长为2 2.答案：2216．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________cm 3.解析：由三视图可知该几何体为一个直三棱柱被截去了一个小三棱锥，如图所示．三棱柱的底面为直角三角形，且直角边长分别为3和4，三棱柱的高为5，故其体积V 1＝12×3×4×5＝30(cm 3)，小三棱锥的底面与三棱柱的上底面相同，高为3，故其体积V 2＝13×12×3×4×3＝6(cm 3)，所以所求几何体的体积为30－6＝24(cm 3)．答案：24三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)17．(本小题满分10分)已知两条直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m ，n 的值，使：(1)l 1与l 2相交于点(m ，－1)；(2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.解：(1)因为l 1与l 2相交于点(m ，－1)，所以点(m ，－1)在l 1，l 2上．将点(m ，－1)代入l 2，得2m －m －1＝0，解得m ＝1.又因为m ＝1，把(1，－1)代入l 1，所以n ＝7.故m ＝1，n ＝7.(2)要使l 1∥l 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－16＝0，m ×（－1）－2n ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.(3)要使l 1⊥l 2，则有m ·2＋8×m ＝0，得m ＝0.则l 1为y ＝－n 8，由于l 1在y 轴上的截距为－1， 所以－n 8＝－1，即n ＝8.故m ＝0，n ＝8. 18．(本小题满分12分)有一块扇形铁皮OAB ，∠AOB ＝60°，OA ＝72 cm ，要剪下来一个扇环形ABCD ，作圆台容器的侧面，并且在余下的扇形OCD 内能剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台容器的下底面(大底面)．(1)AD 应取多长？(2)容器的容积为多大？解：(1)如图①和图②所示，设圆台上、下底面半径分别为r ，R ，AD ＝x ，则OD ＝72－x .图① 图②由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2πR ＝60×π180·72，2πr ＝60×π180（72－x ），72－x ＝3R .所以R ＝12，r ＝6，x ＝36，所以AD ＝36 cm.(2)圆台所在圆锥的高H ＝722－R 2＝1235，圆台的高h ＝H 2＝635，小圆锥的高h ′＝635， 所以V 容＝V 大锥－V 小锥＝13πR 2H －13πr 2h ′＝50435π. 19．(本小题满分12分)如图所示，在三棱锥S -ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB .过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ；(2)BC ⊥SA .证明：(1)因为AS ＝AB ，AF ⊥SB ，垂足为F ，所以F 是SB 的中点．又因为E 是SA 的中点，所以EF ∥AB .因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC . 同理EG ∥平面ABC .又EF ∩EG ＝E ，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF⊂平面SAB，AB⊂平面SAB.所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.20．(本小题满分12分)已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解：(1)设AP中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2.所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.21．(本小题满分12分)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC 的中点．(1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1；(2)求证：C 1F ∥平面ABE ；(3)求三棱锥E -ABC 的体积．(1)证明：在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ，所以BB 1⊥AB .又因为AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面B 1BCC 1.又AB ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(2)证明：如图所示，取AB 的中点G ，连接EG ，FG .因为E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点，所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC . 因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1，所以四边形FGEC 1为平行四边形．所以C 1F ∥EG .又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ，所以C 1F ∥平面ABE .(3)解：因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ，所以AB ＝AC 2－BC 2＝ 3.所以三棱锥E -ABC 的体积V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝33. 22．(本小题满分12分)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)圆C 1的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4.所以圆C 1的圆心坐标为(3，0)．(2)设动直线l 的方程为y ＝kx .联立⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）2＋y 2＝4，y ＝kx ⇒(k 2＋1)x 2－6x ＋5＝0，则Δ＝36－4(k 2＋1)×5>0⇒k 2<45.设A ，B 两点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6k 2＋1⇒AB 中点M 的轨迹C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3k 2＋1，y ＝3k k 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－255<k <255，即轨迹C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94，53<x ≤3.(3)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋y 2＝0，y ＝k （x －4）⇒(1＋k 2)x 2－(3＋8k )x ＋16k 2＝0.令Δ＝(3＋8k )2－4(1＋k 2)16k 2＝0⇒k ＝±34.又因为轨迹C (即圆弧)的端点⎝ ⎛⎭⎪⎫53，±253与点(4，0)决定的直线斜率为±257. 所以当直线y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点时，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－257，257∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，34.。
【金版学案】苏教版高中数学必修2测试章末知识整合1含解析
章末知识整合一、数形联合思想“数形联合”是把代数中的“数”与几何中的“形”联合起来认识问题、理解问题并解决问题的思想方法，是人们的一种广泛思想习惯在数学上的详细表现．数形联合一般包含两个方面，即以“形”助“数”和以“数”解“形”．分析几何研究问题的主要方法——坐标法，就是数形联合的典范．在本章的学习中主要表此刻以下两个方面：(1)直线的方程中有好多看法，如距离、倾斜角、斜率等都很简单转化成“形”，因本题目中波及这些问题时能够试试用数形联合来解决．(2)与圆相关的最值问题、直线与圆的交点个数、圆与圆的地点关系等都可能用到数形联合思想．例 1] 已知圆 C1：x2＋y2＝ 4 和圆 C2：x2＋ (y－8)2＝4，直线 y＝25 x＋ b 在两圆之间 (不与圆订交或相切 )，务实数 b 的取值范围．解：画出表示图如下图，5直线 y＝2 x＋b，即5x－2y＋2b＝0.|2b|当直线与圆 C1相切时，＝2，解得 b＝±3；当直线与圆 C2相切时，|－16＋2b|＝2，解得 b＝5 或 b＝11.5＋4联合图形可知 3<b<5.规律总结圆是一种几何特点特别显然的图形．在解圆的相关问题时，一般要依据题意在平面直角坐标系中画出图形，而后充足利用图形解决问题．变式训练 ]1．设点 P(x，y)是圆 x2＋(y＋4)2＝4 上的随意一点，则分析：由于点 P(x，y)是圆 x2＋(y＋4)2＝4 上的随意一点，所以（x－1）2＋（y－1）2表示点(1，1)与该圆上随意一点的距离．易知点 (1，1)在圆 x2＋(y＋4)2＝4 外，如下图，所以（1－0）2＋（ 1＋4）2＋2＝26＋2.答案：26＋22．已知点 A(3，1)，在直线 y＝x 和 y＝0 上各找一点 M 和 N，使△AMN 的周长最短，并求出最短周长．解：由点 A(3，1)及直线 y＝x，可求得点 A 对于 y＝x 的对称点 B(1，3)，同理可得点 A 对于 y＝0 的对称点 C(3，－ 1)，如下图．则 AM ＋AN＋MN ＝BM＋CN＋MN ≥BC，当且仅当 B，M，N，C 四点共线时，△ AMN 的周长最短，为BC＝2 5.由点 B(1，3)， C(3，－ 1)可得直线 BC 的方程为 2x＋y－5＝0.52x ＋y －5＝0，x ＝3，由 ， 得 ＝5y xy ＝3.5 5故点 M 的坐标为 3，3 .5对于 2x ＋ y －5＝ 0，令 y ＝0，得 x ＝2，5故点 N 的坐标为 2，0 .故点 M 5，5 与点 N 5，0 即所求，此时△ AMN 的周长最短， 且最3 3 2短周长为 2 5.二、分类议论思想分类议论思想是数学的基本思想之一， 其本质就是把整体问题化为部分问题，进而增添题设的条件来解决问题．例 2] 过点 P(－1，0)，Q(0，2)分别作两条相互平行的直线，使它们在 x 轴上截距之差的绝对值为 1，求这两条直线方程．解：(1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x ＝－1， x ＝0，它们在 x 轴上截距之差的绝对值为 1，知足题意；(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为 k ，则两条直线的方程分别为y ＝k(x ＋1)，y ＝kx ＋2.2令 y ＝0，分别得 x ＝－ 1，x ＝－ k .2由题意 －1＋k ＝1，即 k ＝1.所以这两条直线的方程分别为y ＝x ＋1，y ＝x ＋2，即 x －y ＋1＝0， x －y ＋2＝0.综上可知，所求的直线方程分别为x ＝－ 1，x ＝0 或 x －y ＋1＝0，x －y ＋2＝0.规律总结研究直线要擅长从斜率的角度去考虑问题，即从斜率存在和斜率不存在两个方面分类议论．这是隐含在题中的一个分类要素，易被忽略，也是犯“对而不全”错误的本源之一．变式训练 ]3．已知直线 l：4x－ysin θ＋1＝0，求它的斜率及斜率的取值范围．解：直线 l 的方程中 y 的系数是－ sin θ，而 sin θ的值域是－ 1，1]，sin θ的值可取零，但 sin θ＝0 的直线的斜率不存在，故视 sin θ为研究对象，分类议论．(1)当 sin θ＝0，即θ＝kπ(k∈Z)时，π直线 l 的斜率不存在，倾斜角α＝2；(2)当 sin θ≠0，即θ≠kπ(k∈Z)时，4直线 l 的斜率 k＝? k的取值范围为(－∞，－4]∪4，＋∞)．三、函数与方程思想函数与方程思想在圆中应用较宽泛，求圆的方程、直线与圆的交点及圆与圆的交点等都要用到函数与方程思想．例 3] 已知过点 (3，0)的直线 l 与圆 x2＋y2＋x－6y＋3＝0 订交于 P，Q 两点，且 OP⊥OQ(此中 O 为坐标原点 )，求直线 l 的方程．剖析：已知 OP⊥OQ，若设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 x1x2＋y1y2＝0，由点 P， Q 在圆及直线 l 上，可联立方程，借助根与系数的关系求解．解：设直线 l 的方程为 x＋ay－3＝ 0，由题意知 a≠0.x2＋y2＋x－6y＋3＝ 0，由(*)x＋ ay－3＝0，消去 y，得 x2＋3－x 2＋x－ 6×3－x＋3＝0，a a即(a2＋1)x2＋(a2＋6a－ 6)x＋3a2－ 18a＋9＝0，设 P(x 1， y 1 ， 2 ，y 2 ，则 2－18a ＋9 ①) 1 2＝3a2.Q(x ) x x a ＋1由方程组 (*) 消去 x ，得(3－ay)2＋y 2＋3－ay －6y ＋3＝0，即(a 2＋1)y 2－ (7a ＋6)y ＋15＝0，15所以y1y2＝a 2＋1.②依题意知 OP ⊥ OQ ，所以 x 1x 2＋y 1y 2＝0.3a 2－ 18a ＋915将①②代入，得a 2＋1＋a 2＋1＝0.整理，得 a 2－6a ＋8＝0，解得 a ＝2 或 a ＝4，经查验知 a ＝2 和 a＝4 都知足题意，所以直线 l 的方程为 x ＋2y －3＝0 或 x ＋4y －3＝0.规律总结函数思想的本质是用联系和变化的看法提出问题的数学特点，成立各变量间的函数关系．经过函数形式，利用函数的相关性质，使问题得到解决．方程的思想多用于曲线方程的求解和两直线地点关系的判断．变式训练 ]14．已知直线 l ：y ＝ 2x 和两个定点 A(1，1)，B(2，2)，问直线 l 上能否存在一点 P ，使得 |PA|2＋|PB|2获得最小值， 若存在，求出点 P 的坐标和 |PA|2＋|PB|2 的最小值；若不存在，说明原因．解：假定存在一点 P ，使得 |PA|2＋ |PB|2 获得最小值，设此点为 P(2x 0，x 0)，则 |PA|2＋ |PB|2＝ (2x 0－1)2＋(x 0－1)2＋(2x 0－2)2＋ (x 0－2)2＝10x 20－18x 0＋10.9由于 x 0∈R ，所以当x＝10，99即点 P 的坐标为5，10时，PA2＋PB2可获得最小值，且最小值为1910.四、转变与化归思想把代数问题几何化、几何问题代数化，可使较复杂问题直观化、具体化、简单化，进而使问题迅速获得解决．例 4] 已知实数 x，y 知足 y＝x2－2x＋2(－1≤x≤ 1)，试求y＋3的x＋2最大值和最小值．解：设 y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)表示曲线段 AB.由y＋3的几何意义x＋2可知，它表示定点P(－2，－3)和曲线段 AB 上任一点 (x，y)的连线的斜率 k，如下图，可知k PA≤k≤k PB.由已知可得 A(1，1)，B(－1， 5)，所以 k＝1－（－3）＝4，k＝5－（－ 3）＝8.PA－（－）3PB－1－（－ 2）124y＋3的最大值是8，最小值是4所以3≤k≤8，故＋3.x2规律总结y2－y1c＋dx对于形如 k＝的分式函数 y＝的值域问题，可利用定点x2－1a＋bxx与动点的相对地点，转变为求直线斜率的范围，利用数形联合进行求解．变式训练 ]5．已知实数 x，y 知足 x＋y＋1＝ 0，求 x2＋y2－2x－2y＋2 的最小值．解：原式可化为 (x －1)2＋ (y －1)2，其几何意义为点 P(x ，y)和点 Q(1，1)间距离的平方，而点 P(x ，y)在直线 x ＋y ＋1＝0 上．设 d 为点 Q 到直线 x ＋y ＋ 1＝0 的距离，由|PQ|≥d 得 （ x －1）2＋（ y －1）2≥|1＋1＋1|，2即 x 2＋y2－2x －2y ＋2≥29，故所求最小值为 92.。
金版新学案2016-2017学年(北师大版)高中数学选修2-2：阶段质量评估2含答案
第二章变化率与导数一、选择题（本大题共10小题，每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)1．某物体的运动规律是s＝s（t),则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是（）A.错误!＝错误!＝错误!B.错误!＝错误!C.v＝错误!D。
错误!＝错误!解析: 由平均速度的定义可知，物体在t到Δt，Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比．所以v＝错误!＝错误!。
答案：A2．下列各式正确的是( )A．(ln a)′＝错误!(a为常数）B．(cos x）′＝sin xC．（sin x)′＝cos x D．(x－3)′＝－错误!x－4解析：因为a为常数，(ln a）′＝0，故A错．由导数公式表易知B、D错误．答案：C3．设f(x)＝x ln x＋x,若f′(x0）＝3，则x0＝（)A．e2B．eC。
错误!D．ln 2解析：∵f（x）＝x ln x＋x，∴f′(x)＝ln x＋2.又∵f′（x0)＝3,∴x0＝e.答案：B4．设f（x）＝错误!－错误!，则f′(1)等于（) A．0 B。
错误!C。
错误!D．－错误!解析: ∵f′（x)＝错误!′＝－错误!x－错误!＋错误!x－错误!，∴f′(1)＝－23＋错误!＝错误!.答案：C5．若点P在曲线y＝x3－3x2＋（3－错误!)x＋错误!上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（)A.错误!B。
错误!∪错误!C。
错误!D。
错误!∪错误!解析：y′＝3x2－6x＋3－错误!＝3（x－1）2－错误!≥－错误!，即tan α≥－ 3.又α∈［0，π)，∴α∈错误!∪错误!。
答案：B6．曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0）处的切线方程为( ）A．y＝x－1 B．y＝－x＋1C．y＝2x－2 D．y＝－2x＋2解析：由题可知,点(1，0)在曲线y＝x3－2x＋1上，求导可得y′＝3x2－2，所以在点(1,0）处的切线的斜率k＝1，切线过点（1,0），根据直线的点斜式可得切线方程为y＝x－1.答案：A7．已知f（x）＝错误!＋3xf′(0），则f′（1)＝( )A．1 B．－1C．0 D．3解析：f′（x）＝x2＋3f′（0），令x＝0，则f′（0)＝3f′（0),则f′(0)＝0。
2016-2017年《金版学案》数学·必修5(苏教版)练习：章末过关检测卷(三) Word版含解析
章末过关检测卷(三)(测试时间：120分钟 评价分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．若a ＜b ＜0，则下列不等式不能成立的是( ) A.1a ＞1b B ．2a ＞2b C ．|a |＞|b |D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12b解析：因为a ＜b ＜0，所以ab ＞0.所以a ·1ab ＜b ·1ab ，即1a ＞1b.由y ＝|x |(x ＜0)为减函数和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x为减函数知C 、D 成立，因此不能成立的是B.答案：B2．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( )A.72 B ．4 C.92D ．5 解析：1a ＋4b ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋b a ＋4a b ≥12⎝⎛⎭⎪⎫5＋2b a ·4a b ＝92. 答案：C3．不等式ax 2＋5x ＋c >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13<x <12，则a ，c 的值为( ) A ．a ＝6，c ＝1 B ．a ＝－6，c ＝－1 C ．a ＝1，c ＝1D ．a ＝－1，c ＝－6解析：由已知得a <0且13，12为方程ax 2＋5x ＋c ＝0的两根，故13＋12＝－5a ，13×12＝ca ，解得a ＝－6，c ＝－1，故选B. 答案：B4．(2014·浙江卷)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A ．c ≤3B ．3＜c ≤6C ．6＜c ≤9D ．c ＞9解析：由题意得⎩⎨⎧－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，－1＋a －b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，化简得⎩⎨⎧3a －b －7＝0，4a －b －13＝0，解得⎩⎨⎧a ＝6，b ＝11.所以f (－1)＝c －6.所以0＜c －6≤3.解得6＜c ≤9，故选C. 答案：C5．已知向量a ＝(x ＋z ，3)，b ＝(2，y －z )且a ⊥b ，若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为( )A ．[－2，2]B ．[－2，3]C ．[－3，2]D ．[－3，3]解析：由a ⊥b ⇒a ·b ＝0即2(x ＋z )＋3(y －z )＝0亦即z ＝2x ＋3y ，由约束条件|x |＋|y |≤1，画出平行域．可知z 在(0，－1)和(0，1)时分别得最小值－3和最大值3，故z ∈[－3，3]．答案：D6. 某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处解析：设仓库建在离车站x km 处，则土地费用y 1＝k 1x (k 1≠0)，运输费用y 2＝k 2x (k 2≠0)，把x ＝10，y 1＝2代入得k 1＝20，把x ＝10，y 2＝8代入得k 2＝45，故总费用y ＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x＝45x ，即x ＝5时等号成立． 答案：A7．若1a ＜1b ＜0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2 C.b a ＋ab＞2 D ．|a |－|b |＝|a －b |解析：由1a ＜1b＜0，所以a ＜0，b ＜0.所以0＞a ＞b .由不等式基本性质知A 、B 、C 正确． 答案：D8．直线3x ＋2y ＋5＝0把平面分成两个区域，下列各点与原点位于同一区域的是( )A ．(－3，4)B ．(－3，－4)C ．(0，－3)D ．(－3，2)解析：当x ＝y ＝0时，3x ＋2y ＋5＝5>0，则原点一侧对应的不等式是3x ＋2y ＋5>0，可以验证仅有点(－3，4)满足3x ＋2y ＋5>0.答案：A9．方程x 2＋(m －2)x ＋5－m ＝0的两根都大于2，则m 的取值范围是( )A ．(－5，－4]B ．(－∞，－4]C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－5)∪(－5，－4]解析：令f (x )＝x 2＋(m －2)x ＋5－m ，要使f (x )＝0的两根都大于2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（m －2）2－4（5－m ）≥0，f （2）>0，－m －22>2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m 2≥16，m >－5，m <－2.⇒－5<m ≤－4，故选A.答案：A10．下列结论正确的是( ) A ．当x ＞0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2B ．当x ＞0时，x ＋1x ≥2C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2D ．当0＜x ≤2时，x －1x无最大值解析：由基本不等式知：因为x ＞0，所以x ＞0. 由x ＋1x ≥2x ·1x ，即x ＋1x≥2， 所以x ＝1x，x ＝1 时“＝”成立． 答案：B11．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当xyz 取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( )A ．0B ．1 C.94D ．3解析：xy z ＝xyx 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx－3≤14－3＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立，此时z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝－1y2＋2y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1，当且仅当y ＝1时等号成立，故所求的最大值为1.答案：B12．(2015·重庆卷)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A ．－3B ．1 C.43D ．3解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A ，B ，C ，D的坐标分别为A (2，0)，B (1－m ，1＋m )，C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－4m 3，2＋2m 3，D (－2m ，0)．S △ABC ＝S △ADB －S △ADC ＝12|AD |·|y B －y C |＝12(2＋2m )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋m －2＋2m 3＝(1＋m )⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋m －23＝43，解得m ＝1或m ＝－3(舍去)．答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．(2015·广东卷)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示)解析：由－x 2－3x ＋4>0，得x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1. 答案：(－4，1)14．(2015·课标全国Ⅰ卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________． 解析：作出可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，在点A (1，3)处， yx取得最大值3.答案：315．函数y ＝1x －2＋x ＋1(x >2)的图象的最低点的坐标是________．解析：由y ＝1x －2＋x ＋1＝1x －2＋x －2＋3≥2＋3＝5(x >2) 当且仅当1x －2＝x －2，即x ＝3时，取“＝”号．故函数y ＝1x －2＋x ＋1的图象最低点为(3，5)．答案：(3，5)16．如图建立平面直线坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k >0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．则炮的最大射程为______千米．解析：令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x >0，k >0，故x ＝20k1＋k 2＝20k ＋1k ≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10千米． 答案：10三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明 、证明过程或推演步骤)17．(本小题满分10分)解下列不等式： (1)3x 2＋5x －2＞0； (2)x ＋1x＜3.解：(1)3x 2＋5x －2＝(3x －1)(x ＋2)＞0， 所以x ＞13或x ＜－2，即不等式的解集为(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞. (2)原不等可变形为2x －1x＞0，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜0或x ＞12. 18．(本小题满分12分)已知不等式ax 2＋4x ＋a >1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．解：原不等式等价于(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1>0对一切实数x 恒成立．显然a ＝－2时，解集不是R ，因此a ≠－2.从而有⎩⎨⎧a ＋2>0，Δ＝42－4（a ＋2）（a －1）<0，整理得⎩⎨⎧a >－2，（a －2）（a ＋3）>0，所以⎩⎨⎧a >－2，a <－3或a >2，即a >2，故a 的取值范围是(2，＋∞)．19．(本小题满分12分)设f (x )＝ax 2＋bx ，1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．解：法一：设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)， 则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .于是得⎩⎨⎧m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1.所以f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又因为1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4， 所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10. 故5≤f (－2)≤10.法二：由⎩⎨⎧f （－1）＝a －b ，f （1）＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f （－1）＋f （1）]，b ＝12[f （1）－f （－1）].所以f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又因为1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4， 所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10. 故5≤f (－2)≤10.20．(本小题满分12分)设f (x )＝2x ＋44x ＋8.(1)求f (x )的最大值；(2)证明：对任意实数a 、b 恒有f (a )＜b 2－3b ＋214.(1)解：f (x )＝16×2x 22x ＋8＝162x ＋82x ≤162 2x ·82x ＝1642＝22，当且仅当2x ＝82x 时，即x ＝32时，等号成立．所以f (x )的最大值为2 2.(2)证明：因为b 2－3b ＋214＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b －322＋3，所以当b ＝32时，b 2－3b ＋214有最小值3.由(1)知f (a )有最大值22，且22＜3，所以对任意实数a ，b 都有f (a )＜b 2－3b ＋214. 21．(本小题满分12分)某厂准备生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3千元，2千元．甲、乙产品都需要在A ，B 两种设备上加工，在每台A ，B 上加工一件甲产品所需工时分别为1小时和2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时和1小时，A 、B 两种设备每月有效使用工时分别为400小时和500小时．如何安排生产可使月收入最大？解：设甲、乙两种产品的产量分别为x ，y 件，约束条件是⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤400，2x ＋y ≤500，x ≥0，y ≥0，目标函数是f ＝3x ＋2y ，要求出适当的x ，y 使f ＝3x ＋2y 取得最大值．作出可行域，如图所示．设3x ＋2y ＝a ，a 是参数，将它变形为y ＝－32x ＋a 2，这是斜率为－32，随a 变化的一簇直线． 当直线与可行域相交且截距a 2最大时，目标函数f 取得最大值．由⎩⎨⎧x ＋2y ＝400，2x ＋y ＝500得⎩⎨⎧x ＝200，y ＝100.因此，甲、乙两种产品的每月产量分别为200件和100件时，可得最大收入800千元．22．(本小题满分12分)(1)设x ≥1，y ≥1，证明：x ＋y ＋1xy ≤1x＋1y＋xy ； (2)设1＜a ≤b ≤c ，证明：log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c .证明：(1)由于x ≥1，y ≥1，所以x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ⇔xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2， 此式的右边减去左边得y ＋x ＋(xy )2－[xy (x ＋y )＋1]＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )]＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1)＝(xy －1)(xy －x －y ＋1)＝(xy －1)(x －1)·(y －1)．因为x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0.故所证不等式成立．(2)令log a b ＝x ，log b c ＝y ，则 log c a ＝1xy ，log b a ＝1x ，log c b ＝1y ，log a c ＝xy .由1＜a ≤b ≤c 得x ＝log a b ≥1，y ＝log b c ≥1. 由(1)亦即得到所证的不等式成立．。
金版新学案2016-2017学年(北师大版)高中数学选修2-1检测：第一章 常用逻辑用语1.4含答案
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分,共20分)1．由下列各组命题构成的复合命题中,“p或q”为真，“p且q"为假，“綈p"为真的一组为( ）A．p：2∈Q,q：∅A B．p：π＜3，q：5＞3 C．p：a∈{a,b｝，q：{a}{a,b} D．p：Q R，q：N＝Z解析：若“綈p"为真，则p为假．又p或q真,p且q假，所以q真．故选B.答案：B2．命题p：a2＋b2〈0(a、b∈R)，命题q：a2＋b2≥0(a、b∈R）,下列结论正确的是（）A．“p或q"为真B．“p且q"为真C．“綈p”为假D．“綈q”为真解析：因为p为假q为真，所以“p且q”为假；“p或q"为真;“綈p”为真；“綈q”为假．答案：A3．(2012·金华高二检测)“p或q为假命题"是“¬p为真命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由“p或q为假命题”可知，p、q均为假命题，故¬p 为真命题．而由“¬p为真命题"可知p为假命题，而q的真假不定，“p或q”也可能是真命题．故选A。
答案：A4．若p：点P在直线y＝2x－3上,q：点P在抛物线y＝－x2上，则使“p且q”为真命题的一个点P的坐标是（)A．(0，－3）B．(1,2）C．(1，－1）D．（－1,1）解析：由题意知点P的坐标满足错误!,故可验证各选项，只有C 正确．答案: C二、填空题（每小题5分，共10分)5．若命题p：不等式ax＋b＞0的解集为错误!，命题q：关于x的不等式(x－a）（x－b)＜0的解集为{x|a＜x＜b}，则“p且q”“p或q"“¬p”中真命题是________．解析：p与q均为假命题，故“p且q”与“p或q”都假，只有“¬p"真．答案：¬p6．设命题p：2x＋y＝3；q：x－y＝6。
[金版学案]2016_2017学年苏版高中数学必修2(测试)模块综合检测卷(二)_Word版含解析
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模块综合检测卷(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若PQ 是圆x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点是M (1，2)，则直线PQ 的方程是( )A ．x ＋2y －3＝0B ．x ＋2y －5＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＝0解析：由题意知k OM ＝2－01－0＝2，所以k PQ ＝－12.所以直线PQ 的方程为： y －2＝－12(x －1)，即：x ＋2y －5＝0. 答案：B2．直线l 通过两直线7x ＋5y －24＝0和x －y ＝0的交点，且点(5，1)到l 的距离为10，则l 的方程是( )A ．3x ＋y ＋4＝0B ．3x －y ＋4＝0C ．3x －y －4＝0D ．x －3y －4＝0解析：由⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋5y －24＝0，x －y ＝0，得交点(2，2)．设l 的方程为y －2＝k (x －2)， 即kx －y ＋2－2k ＝0，所以|5k －1＋2－2k |k 2＋（－1）2＝10，解得k ＝3.所以l的方程为3x－y－4＝0.答案：C3．在坐标平面xOy上，到点A(3，2，5)，B(3，5，1)距离相等的点有( )A．1个B．2个C．不存在D．无数个解析：在坐标平面xOy，设点P(x，y，0)，依题意得（x－3）2＋（y－2）2＋25＝（x－3）2＋（y－5）2＋1，整理得y＝－12，x∈R，所以符合条件的点有无数个．答案：D4．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝( ) A．2 B．4 2 C．6 D．210解析：圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为C(2，1)，半径为r＝2，因此2＋a·1－1＝0，a＝－1，即A(－4，－1)，|AB|＝|AC|2－r2＝（－4－2）2＋（－1－1）2－4＝6.答案：C5．已知两点A(－2，0)，B(0，2)．点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是( )A．3－ 2 B．3＋ 2C．3－22D.3－22解析：l AB：x－y＋2＝0，圆心(1，0)到l的距离d＝|3|2＝32，所以AB边上的高的最小值为32－1.所以S min＝12×22×⎝⎛⎭⎪⎪⎫32－1＝3－ 2.答案：A6．若点P(－4，－2，3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为( )A．7 B．－7 C．－1 D．1答案：D7．一个多面体的三视图如左下图所示，则该多面体的体积为( )A.233B.476C．6 D．7解析：该几何体是正方体去掉两个角所形成的多面体，如图所示，其体积为V＝2×2×2－2×13×12×1×1×1＝233.答案：A8．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°解析：如图所示，取A 1B 1的中点M ，连接GM ，HM .由题意易知EF ∥GM ，且△GMH 为正三角形．所以异面直线EF 与GH 所成的角即为GM 与GH 的夹角∠HGM .而在正三角形GMH 中∠HGM ＝60°.答案：B9．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，33 C.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－33，33 D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫33，＋∞ 解析：C 1：(x －1)2＋y 2＝1，C 2：y ＝0或y ＝mx ＋m ＝m (x ＋1)．如图所示，当m ＝0时，C 2：y ＝0，此时C 1与C 2显然只有两个交点；当m ≠0时，要满足题意，需圆(x －1)2＋y 2＝1与直线y ＝m (x ＋1)有两交点，当圆与直线相切时，m ＝±33， 即直线处于两切线之间时满足题意， 则－33<m <0或0<m <33.答案：B10．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝4，则S ＝x 2＋y 2－6x －8y ＋25的最大值和最小值分别为( )A ．49，9B ．7，3 C.7， 3D ．7， 3解析：函数S ＝x 2＋y 2－6x －8y ＋25化为(x －3)2＋(y －4)2＝S ，它是以点C (3，4)为圆心，半径为S 的圆，当此圆和已知圆x 2＋y 2＝4外切和切时，对应的S 的值即为要求的最小值和最大值．当圆C 与已知圆x 2＋y 2＝4相外切时，对应的S 为最小值，此时两圆圆心距等于两圆半径之和，即5＝S min ＋2，求得S min ＝9；当圆C 与已知圆x 2＋y 2＝4相切时，对应的S 为最大值，此时两圆圆心距等于两圆半径之差，即5＝S max －2，求得S max ＝49.答案：A11．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R)对称，则ab 的取值围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，14解析：圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R)对称，则圆心在直线上，求得a ＋b ＝1，ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14≤14，ab 的取值围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14，故选A.答案：A12．已知半径为1的动圆与圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25B ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝17或(x －5)2＋(y ＋7)2＝15C ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝9D ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25或(x －5)2＋(y ＋7)2＝9解析：设动圆圆心为P ，已知圆的圆心为A (5，－7)，则外切时|PA |＝5，切时|PA |＝3，所以P 的轨迹为以A 为圆心，3或5为半径的圆，选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上)13．若函数y ＝ax ＋8与y ＝－12x ＋b 的图象关于直线y ＝x 对称，则a ＋b ＝________．解析：直线y ＝ax ＋8关于y ＝x 对称的直线方程为x ＝ay ＋8， 所以x ＝ay ＋8与y ＝－12x ＋b 为同一直线，故得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4，所以a ＋b ＝2.答案：214．圆x 2＋(y ＋1)2＝3绕直线kx －y －1＝0旋转一周所得的几何体的表面积为________．解析：由题意，圆心为(0，－1)，又直线kx－y－1＝0恒过点(0，－1)，所以旋转一周所得的几何体为球，球心即为圆心，球的半径即是圆的半径，所以S＝4π(3)2＝12π.答案：12π15．过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．解析：借助圆的几何性质，确定圆的最短弦的位置，利用半径、弦心距及半弦长的关系求弦长．设A(3，1)，易知圆心C(2，2)，半径r＝2，当弦过点A(3，1)且与|CA|＝（2－3）2＋（2－1）2＝ 2.所以半弦长＝r2－|CA|2＝4－2＝ 2.所以最短弦长为2 2.答案：2216．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________cm3.解析：由三视图可知该几何体为一个直三棱柱被截去了一个小三棱锥，如图所示．三棱柱的底面为直角三角形，且直角边长分别为3和4，三棱柱的高为5，故其体积V1＝12×3×4×5＝30(cm3)，小三棱锥的底面与三棱柱的上底面相同，高为3，故其体积V2＝13×12×3×4×3＝6(cm3)，所以所求几何体的体积为30－6＝24(cm 3)． 答案：24三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)17．(本小题满分10分)已知两条直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m ，n 的值，使：(1)l 1与l 2相交于点(m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1. 解：(1)因为l 1与l 2相交于点(m ，－1)， 所以点(m ，－1)在l 1，l 2上．将点(m ，－1)代入l 2，得2m －m －1＝0，解得m ＝1. 又因为m ＝1，把(1，－1)代入l 1，所以n ＝7. 故m ＝1，n ＝7.(2)要使l 1∥l 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－16＝0，m ×（－1）－2n ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.(3)要使l 1⊥l 2，则有m ·2＋8×m ＝0，得m ＝0. 则l 1为y ＝－n8，由于l 1在y 轴上的截距为－1，所以－n8＝－1，即n ＝8.故m ＝0，n ＝8.18．(本小题满分12分)有一块扇形铁皮OAB ，∠AOB ＝60°，OA ＝72 cm ，要剪下来一个扇环形ABCD ，作圆台容器的侧面，并且在余下的扇形OCD能剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台容器的下底面(大底面)．(1)AD应取多长？(2)容器的容积为多大？解：(1)如图①和图②所示，设圆台上、下底面半径分别为r，R，AD＝x，则OD＝72－x.图①图②由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2πR＝60×π180·72，2πr＝60×π180（72－x），72－x＝3R.所以R＝12，r＝6，x＝36，所以AD＝36 cm.(2)圆台所在圆锥的高H＝722－R2＝1235，圆台的高h＝H2＝635，小圆锥的高h′＝635，所以V容＝V大锥－V小锥＝13πR2H－13πr2h′＝50435π.19．(本小题满分12分)如图所示，在三棱锥S-ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.证明：(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF ⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF⊂平面SAB，AB⊂平面SAB.所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.20．(本小题满分12分)已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解：(1)设AP中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2.所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.21．(本小题满分12分)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥E-ABC的体积．(1)证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面B1BCC1.又AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明：如图所示，取AB的中点G，连接EG，FG.因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FG∥AC，且FG＝12 AC.因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1，所以四边形FGEC1为平行四边形．所以C1F∥EG.又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ， 所以C 1F ∥平面ABE .(3)解：因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ， 所以AB ＝AC 2－BC 2＝ 3. 所以三棱锥E -ABC 的体积V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝33.22．(本小题满分12分)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值围；若不存在，说明理由．解：(1)圆C 1的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4. 所以圆C 1的圆心坐标为(3，0)． (2)设动直线l 的方程为y ＝kx .联立⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）2＋y 2＝4，y ＝kx ⇒(k 2＋1)x 2－6x ＋5＝0，则Δ＝36－4(k 2＋1)×5>0⇒k 2<45.设A ，B 两点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝6k 2＋1⇒AB 中点M 的轨迹C 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3k 2＋1，y ＝3k k 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－255<k <255，即轨迹C 的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94，53<x ≤3.(3)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋y 2＝0，y ＝k （x －4）⇒(1＋k 2)x 2－(3＋8k )x ＋16k 2＝0.令Δ＝(3＋8k )2－4(1＋k 2)16k 2＝0⇒k ＝±34.又因为轨迹C (即圆弧)的端点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫53，±253与点(4，0)决定的直线斜率为±257. 所以当直线y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点时，k 的取值围为⎝⎛⎭⎪⎪⎫－257，257∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，34.。
【南方新课堂 金牌学案】2016-2017学年高中数学必修二(苏教版)练习：1.2.1 Word版含答案
课时训练5平面的基本性质1.图中表示两个相交平面,其中画法正确的是()解析：对于A,图中没有画出平面α与平面β的交线,另外图中的实、虚线也没有按照画法原则去画,因此A的画法不正确.同样的道理,也可知图形B,C的画法均不正确.选项D的画法正确.答案：D2.下列命题中正确的是()A.如果平面α与平面β相交,那么它们只有有限个公共点B.两个平面的交线可能是一条线段C.两两平行的三条直线确定三个平面D.如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个面就重合为一个面解析：由公理2知A,B不正确;两两平行的三条直线也可能确定一个平面,C不正确.答案：D3.已知点A,直线a,平面α.①A∈a,a⊄α⇒A∉α;②A∈a,a∈α⇒A∈α;③A∉a,a⊂α⇒A∉α;④A∈a,a⊂α⇒A⊂α.以上命题表达正确的个数为()A.0B.1C.2D.3解析：①中若a与α相交,且交点为A,则不正确;②中“a∈α”符号不正确;③中A可在α内,也可在α外;④符号“A⊂α”不正确.答案：A4.(2016安徽蚌埠高二期中)三条两两平行的直线可以确定平面的个数为()A.0B.1C.0或1D.1或3解析：若三条直线在同一个平面内,则此时三条直线只能确定一个平面;若三条直线不在同一个平面内,则此时三条直线能确定三个平面.故选D.答案：D5.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为.(六个面都是平行四边形的四棱柱为平行六面体)解析：如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1,与AB,CC1都共面的棱为BC,D1C1,DC,AA1,BB1,共5条.答案：56.(2016四川德阳高二期中)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F,G分别为棱BC,C1C,B1C1的中点,O1,O2分别为四边形ADD1A1,A1B1C1D1的中心,则下列各组中的四个点在同一个平面上的是.(导学号51800110)①A,C,O1,D1;②D,E,G,F;③A,E,F,D1;④G,E,O1,O2.解析：①由题意,O1是AD1的中点,所以O1在平面ACD1内;②因为E,G,F在平面BCC1B1内,D 不在平面BCC1B1内,所以D,E,G,F不共面;③由已知可得EF∥AD1,所以A,E,F,D1共面;④连结GO2,交A1D1于点H,则H为A1D1的中点,连结HO1,则HO1∥GE,所以G,E,O1,O2四点共面.答案：①③④7.按照给出的要求,完成下面两个相交平面的作图.如图(1),(2),(3),(4),(5),(6)中的线段AB,分别是两个平面的交线.解本题只需过线段的端点画出与交线AB平行且相等的线段,即可得到相关的平行四边形,注意被平面遮住的部分应画成虚线,然后在相关的平面上标上表示平面的字母即可,如图所示.8.已知△ABC在平面α外,其三边所在的直线满足AB∩α=M,BC∩α=N,AC∩α=P,如图所示,求证:M,N,P三点共线.证明∵直线AB∩α=M,∴M∈AB,M∈α.又∵直线AB⊂平面ABC,∴M∈平面ABC,∴由此可知M是平面ABC与α的公共点,∴点M在平面ABC与α的交线上,同理可证:N,P也在平面ABC与α的交线上,即M,N,P三点都在平面ABC与α的交线上,∴M,N,P三点共线.9.如右图,课本ABCD的一个角A在桌面上,并且课本立于课桌上,问课本所在的平面α与桌面所在的平面β是只有这一个公共点A吗?要不是,如何作出平面α与平面β的交线?(导学号51800111)解不止一个公共点,除点A外还有公共点.延长线段CD交平面β于点P,作直线P A,即是平面α与平面β的交线,∵P∈CD,CD⊂α,∴P∈α.又∵P∈β,∴P是平面α和平面β的公共点.∵A∈β且A∈α,∴直线P A是平面α与平面β的交线.。
苏教版2016-2017年《金版学案》数学·必修1(苏教版)习题：第3章3.1-3.1.2指数函数 Word版含解析
第3章指数函数、对数函数和幂函数3.1 指数函数3.1.2 指数函数A级基础巩固1．下列一定是指数函数的是()A．形如y＝a x的函数B．y＝x a(a>0，a≠1)C．y＝(|a|＋2)－x D．y＝(a－2)a x答案：C2．下列判断正确的是()A．2.52.5＞2.53B．0.82＜0.83C．π2＜π2D．0.90.3＞0.90.5解析：因为y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.3，所以0.90.3＞0.90.5.答案：D3．函数y＝2x＋1的图象是()解析：当x＝0时，y＝2，且函数单调递增，故选A.答案：A4．函数f(x)的图象向右平移一个单位长度所得图象与y＝e x关于y轴对称，则f(x)＝()A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e －x －1D ．e －x ＋1解析：和y ＝e x 关于y 轴对称的是y ＝e －x ，将其向左移一个单位即y ＝e －x －1.答案：C5．(2014·江西卷)已知函数f (x )＝5x，g (x )＝ax 2－x (a ∈R)．若f (g (1))＝1，则a ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．－1 解析：先求函数值，再解指数方程．因为g (x )＝ax 2－x ，所以g (1)＝a －1.因为f (x )＝5|x |， 所以f (g (1))＝f (a －1)＝5|a －1|＝1.所以|a －1|＝0. 所以a ＝1. 答案：A6．当x ＞0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1，则实数a 的取值范围是( )A ．1＜|a |＜2B ．|a |＜1C ．|a |＞1D ．|a |＞ 2解析：根据指数函数性质知a 2－1＞1，即a 2＞2. 所以|a |＞ 2. 答案：D7．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋a ＋32x >⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋a ＋321－x ，则实数x 的取值范围________．解析：因为a 2＋a ＋32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋54>1，即y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋a ＋32x在R 上为增函数，所以x >1－x ⇒x >12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 8．函数y ＝a 2x ＋b ＋1(a ＞0，且a ≠1，b ∈R)的图象恒过定点(1，2)，则b 的值为________．解析：因为函数y ＝a 2x ＋b ＋1的图象恒过定点(1，2)，所以⎩⎨⎧2×1＋b ＝0，a 0＋1＝2，即b ＝－2.答案：－29．若函数f (x )＝a ＋14x ＋1为奇函数，则a ＝________．解析：因为f (x )为奇函数且定义域为R ， 所以f (0)＝0，即a ＋140＋1＝0.所以a ＝－12.答案：－1210．求函数y ＝32x －1－19的定义域为________．解析：要使函数有意义，则x 应满足32x －1－19≥0， 即32x －1≥3－2.因为函数y ＝3x 是增函数，所以2x －1≥－2，即x ≥－12.故所求函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ 11．求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x ＋2(0≤x ≤3)的值域．解：令t ＝x 2－2x ＋2，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t，又t ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1， 因为0≤x ≤3，所以当x ＝1时，t min ＝1，当x ＝3时，t max ＝5.故1≤t ≤5，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫125≤y ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫121. 故所求函数的值域⎣⎢⎡⎦⎥⎤132，12.12．已知函数f (x )＝1＋22x －1.(1)求函数f (x )的定义域；(2)证明函数f (x )在(－∞，0)上为减函数． (1)解：f (x )＝1＋22x －1，因为2x －1≠0，所以x ≠0.所以函数f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}． (2)证明：任意设x 1，x 2∈(－∞，0)且x 1＜x 2.f (x 1)－f (x 2)＝22x 1－1－22x 2－1＝2（2x 2－2x 1）（2x 1－1）（2x 2－1）.因为x 1，x 2∈(－∞，0)且x 1＜x 2， 所以2x 2＞2x 1且2x 1＜1，2x 2＜1. 所以f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)． 所以函数f (x )在(－∞，0)上为减函数．B 级 能力提升13．函数y ＝a x－1a(a >0，a ≠1)的图象可能是( )解析：函数y ＝a x －1a 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1a ，当a >1时，1－1a ∈(0，1)且为增函数，排除A ，B ；当0<a <1时，1－1a <0且y ＝a x －1a 为减函数，排除C.答案：D14．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a ＞0，且a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)等于( )A ．2 B.154 C.174D ．a 2解析：因为f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， 所以由f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2.①所以得f (－x )＋g (－x )＝－f (x )＋g (x )＝a －x －a x ＋2.② ①＋②，得g (x )＝2， ①－②，得f (x )＝a x －a －x .又g (2)＝a ，所以a ＝2.所以f (x )＝2x －2－x . 所以f (2)＝22－2－2＝154.答案：B15．若函数f (x )＝⎩⎨⎧1x ，x ＜0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≥0，则不等式f (x )≥13的解集是________．解析：(1)当x ≥0时，由f (x )≥13得⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥13，所以0≤x ≤1.(2)当x ＜0时，不等式1x ≥13明显不成立，综上可知不等式f (x )≥13的解集是{x |0≤x ≤1}．答案：{x |0≤x ≤1}16．若函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________．解析：当a >1时，有a2＝4，a －1＝m ⇒a ＝2，m ＝12，但此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意．若0<a <1，则a －1＝4，a 2＝m ⇒a ＝14，m ＝116，适合题意．答案：1417．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1时，求函数f (x )的单调增区间； (2)如果函数f (x )有最大值3，求实数a 的值．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7， 由于g (x )在(－2，＋∞)上递减，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是减函数， 所以f (x )在(－2，＋∞)上是增函数，即f (x )的单调增区间是(－2，＋∞)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h （x ），由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1； 因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1.故当f (x )有最大值3时，a 的值为1.18．一个人喝了少量酒后，血液中酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少．为了保障交通安全，某地交通规则规定，驾驶员血液酒精含量不得超过0.08 mg/mL ，那么喝了少量酒的驾驶员，至少要过几小时才能驾驶(精确到1小时)?解：1小时后驾驶员血液中的酒精含量为0.3(1－50%)mg/mL ，…，x 小时后其酒精含量为0.3(1－50%)x mg/mL ，由题意知0.3(1－50%)x ≤0.08，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤415.采用估算法，x ＝1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝12＞415.x ＝2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14＝416＜415.由于⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是减函数，所以满足要求的x 的最小整数为2.故至少要过2小时驾驶员才能驾驶.。
金版学案2016-2017学年高中数学1-2(人教版)练习：章末复习课3 含解析
章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．复数代数形式为z＝a＋b i，a、b∈R，应用复数相等的条件时,必须先将复数化成代数形式．2．复数表示各类数的前提条件是必须是代数形式z＝a＋b i(a、b∈R)．z为纯虚数的条件为a＝0且b≠0，注意虚数与纯虚数的区别．3．不要死记硬背复数运算的法则，复数加减可类比合并同类项，乘法可类比多项式乘法，除法可类比分母有理化．4．a2≥0是在实数范围内的性质,在复数范围内z2≥0不一定成立，|z2|≠z2.5．复数与平面向量相联系时，必须是以原点为始点的向量．6．不全为实数的两个复数不能比较大小．7．复平面的虚轴包括原点．专题一复数的概念解决与复数概念相关的问题时，复数问题实数化是求解的基本策略，“桥梁”是设z＝x＋y i(x,y∈R)，依据是“两个复数相等的充要条件”．［例1］（1）已知i是虚数单位，若(m＋i)2＝3－4i，则实数m的值为( ）A．－2 B．±2 C．±错误!D．2(2)满足方程x2－2x－3＋(9y2－6y＋1）i＝0的实数对（x,y）表示的点的个数是________．解析：（1）（m＋i)2＝m2＋2m i－1＝3－4i,则错误!所以m＝－2。
（2）错误!所以错误!所以点（x，y)为错误!，错误!.答案：（1）A （2)2个归纳升华1．当复数的实部与虚部含有字母时,利用复数的有关概念进行分类讨论,分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数．当x＋y i没有说明x,y∈R时，也要分情况讨论．2．复数相等的充要条件，其实质是复数问题实数化,体现了转化与化归的思想．［变式训练] 设i是虚数单位，复数错误!为纯虚数,则实数a的值为（)A．2 B．－2 C．－错误!D。
错误!解析:错误!＝错误!＝错误!，由于该复数为纯虚数,所以2－a＝0，且2a＋1≠0,因此a＝2。
答案：A专题二复数的四则运算及几何意义历年高考对复数的考查，主要集中在复数的运算，尤其是乘除运算上,熟练掌握复数的乘法法则和除法法则，熟悉常见的结论是迅速准确求解的关键．复数的加法与减法运算有着明显的几何意义，因此有些问题的求解可结合加法与减法的几何意义进行．[例2］(1）设z＝错误!＋i＋错误!错误!，则|z|＝________．(2）在复平面内，复数z＝错误!（i为虚数单位）的共轭复数对应点为A，点A关于原点O的对称点为B,求:①点A所在的象限；②向量错误!对应的复数．（1）解析：因为错误!＋i＝错误!＋i＝错误!＋错误!。
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章末过关检测卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l()A．平行B．相交C．垂直D．异面解析：无论l在α内，还是与α平行或相交，都可在α内找到一条直线与l垂直．答案：C2．对两条异面直线a与b，必存在平面α，使得()A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α解析：已知两条异面直线a和b，可以在直线a上任取一点A，则A∉b.过点A作直线c∥b，则过a，c确定平面α，且使得a⊂α，b∥α.答案：B3．已知直线m，n和平面α，β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则() A．n⊥βB．n∥β或n⊂βC．n⊥αD．n∥α或n⊂α解析：在平面β内作直线l垂直于α，β的交线，则由α⊥β得直线l⊥α.又因为m⊥α，所以l∥m.若m⊂β，要满足题中限制条件，显然只能n∥α或n⊂α；同理m⊄β，仍有n∥α或n⊂α.综上所述，D 正确．答案：D4．已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，则下列命题正确的是( )A ．若m ⊥α，n ∥β，α⊥β，则m ⊥nB ．若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥nC ．若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥nD ．若m ∥α，n ⊥β，α⊥β，则m ∥n解析：对于A ，m 与n 还可能平行或相交或异面；对于C ，m 与n 还可能相交或异面；对于D ，m 与n 还可能相交或异面．答案：B5．(2015·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A ．8 cm 3B ．12 cm 3 C.323 cm 3 D.403cm 3 解析：该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体．下面是棱长为2 cm 的正方体，体积V 1＝2×2×2＝8(cm 3)；上面是底面边长为2 cm ，高为2 cm 的正四棱锥，体积V 2＝13×2×2×2＝83(cm 3)，所以该几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝323(cm 3)． 答案：C6．(2015·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )A ．2＋ 5B ．4＋ 5C ．2＋2 5D ．5解析：该三棱锥的直观图如图所示，且过点D 作DE ⊥BC ，交BC 于点E ，连接AE ，则BC ＝2，EC ＝1，AD ＝1，ED ＝2，S 表＝S △BCD ＋S △ACD ＋S △ABD ＋S △ABC ＝12×2×2＋12×5×1＋12×5×1＋12×2×5＝2＋2 5. 答案：C7．(2015·课标全国Ⅰ卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：由题意知，2r ·2r ＋12·2πr ·2r ＋12πr 2＋12πr 2＋12·4πr 2＝4r 2＋5πr 2＝16＋20π，解得r ＝2.答案：B8．(2015·广东卷)若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( )A ．大于5B ．等于5C ．至多等于4D ．至多等于3解析：当n ＝3时显然成立，故排除A 、B ；由正四面体的四个顶点，两两距离相等，得n ＝4时成立．答案：C9．如左下图所示，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A.500π3cm 3 B.866π3cm 3 C.1 372π3cm 3 D.2 048π3cm 3 解析：作出该球轴截面的图象，如图所示，依题意BE ＝2，AE ＝CE ＝4，设DE ＝x ，故AD ＝2＋x ，因为AD 2＝AE 2＋DE 2，解得x ＝3，故该球的半径AD ＝5，所以V ＝43πR 3＝500π3(cm 3)． 答案：A10.如图所示，等边三角形ABC 的边长为4，M ，N 分别为AB ，AC 的中点，沿MN 将△AMN 折起，使得平面AMN 与平面MNCB 所成的二面角为30°，则四棱锥A -MNCB 的体积为( )A.32B.32C. 3 D ．3 解析：如图所示，作出二面角A -MNB 的平面角∠AED ，AO 为△AED 底边ED 上的高，也是四棱锥A -MNCB 的高．由题意，得AO ＝32. V ＝13×32×33＝32. 答案：A11．轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是( )A ．1∶2B ．2∶3C ．1∶3D ．1∶4答案：B12．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，在l 上取线段AB ＝4，AC 、BD 分别在平面α和平面β内，且AC ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC ＝3，BD＝12，则CD 的长度为( )A ．13 B.151 C ．12 3 D ．15答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上)13．已知正四棱锥O -ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．解析：设正四棱锥的高为h ，则13×(3)2h ＝322，解得高h ＝322.底面正方形的对角线长为2×3＝6，所以OA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝6，所以球的表面积为4π(6)2＝24π.答案：24π14．(2014·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．解析：根据三视图还原几何体，得如图所示的三棱锥P -ABC ，由三视图的形状特征及数据，可推知PA ⊥平面ABC ，且PA ＝2.底面为等腰三角形，AB ＝BC ，设D 为AC 中点，AC ＝2，则AD ＝DC ＝1，且BD ＝1，易得AB ＝BC ＝2，所以最长的棱为PC ，PC ＝PA 2＋AC 2＝2 2.答案：2 215．(2015·江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．解析：底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱的总体积为13π·52×4＋π·22×8＝196π3.设新的圆锥和圆柱的底面半径为r，则13π·r2·4＋π·r2×8＝28π3r2＝196π3，解得r＝7.答案：716．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且S1S2＝94，则V1V2的值是________．解析：设甲、乙两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，则2πr1h1＝2πr2h2，所以h1h2＝r2 r1，又S1S2＝πr21πr22＝9 4，所以r1r2＝32.所以V1V2＝πr21h1πr22h2＝r21r22·h1h2＝r21r22·r2r1＝32.答案：3 2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)17．(本小题满分10分)(2014·课标全国Ⅱ卷)如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设AP＝1，AD＝3，三棱锥P-ABD的体积V＝34，求A到平面PBC的距离．(1)证明：如图所示，设BD与AC的交点为O，连接EO.因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD的中点．又E为PD的中点，所以EO∥PB.因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC.(2)解：由V＝16PA·AB·AD＝36AB，又V＝34，可得AB＝32.作AH⊥PB交PB于点H.由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH.故AH⊥平面PBC.在Rt△PAB中，由勾股定理可得PB＝13 2，所以AH＝PA·ABPB＝31313.所以A 到平面PBC 的距离为31313. 18．(本小题满分12分)如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BCD ＝60°.已知PB ＝PD ＝2，PA ＝ 6.(1)证明：PC ⊥BD ；(2)若E 为PA 的中点，求三棱锥P -BCE 的体积．(1)证明：如图所示，连接BD ，AC 交于点O .因为PB ＝PD ，所以PO ⊥BD .又因为ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC .而AC ∩PO ＝O ，所以BD ⊥面PAC .所以BD ⊥PC .(2)解：由(1)知BD ⊥面PAC .由已知得BD ＝2，AC ＝23，PO ＝ 3.所以S △PEC ＝12S △PAC ＝12×12×23×3＝32. 所以V P -BCE ＝V B -PEC ＝13·S △PEC ·BO ＝13×32×1＝12. 19．(本小题满分12分)将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积．解：设扇形的半径和圆锥的母线都为l ，圆锥的底面半径为r ，则120360πl2＝3π，l＝3；2π3×3＝2πr，r＝1；S表面积＝S侧面＋S底面＝πrl＋πr2＝4π，V＝13Sh＝13×π·12×22＝223π.20．(本小题满分12分)一个几何体按比例绘制出的三视图如图所示(单位：m)．(1)试画出其直观图；(2)求它的体积．解：(1)几何体的直观图如图所示．(2)由直观图知，该几何体可看成底面立起来的四棱柱，其体积为V＝12×(1＋2)×1×1＝32(m3)．21.(本小题满分12分)如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝3，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．(1)求三棱锥E-PAD的体积；(2)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；(3)求证：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF.(1)解：因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AD，所以三棱锥E-PAD的体积为V＝13S△PAD·AB＝13×12×1×3×1＝36.(2)解：当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．因为在△PBC中，E，F分别为BC，PB的中点，所以EF∥PC.又EF⊄平面PAC，而PC⊂平面PAC，所以EF∥平面PAC.(3)证明：因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以EB⊥PA.因为EB⊥AB，AB∩AP＝A，AB，AP⊂平面PAB，所以EB⊥平面PAB.又因为AF⊂平面PAB，所以AF⊥BE.因为PA＝AB＝1，点F是PB的中点，所以AF⊥PB.因为PB∩BE＝B，PB，BE⊂平面PBE，所以AF⊥平面PBE.因为PE⊂平面PBE，所以AF⊥PE.22．(本小题满分12分)(2014·广东卷)如图①所示，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，按图②方式折叠，折痕EF//DC.其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.(1)证明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱锥M-CDE的体积．(1)证明：如图所示，因为PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PD⊥AD.又因为ABCD是矩形，CD⊥AD，PD与CD交于点D，所以AD⊥平面PCD.又CF⊂平面PCD，所以AD⊥CF，即MD⊥CF.又MF⊥CF，MD∩MF＝M，所以CF⊥平面DMF.(2)解：因为PD⊥DC，BC＝2，CD＝1，∠PCD＝60°，所以PD＝3，由(1)知FD⊥CF，在直角三角形DCF中，CF＝12CD＝1 2.过点F作FG⊥CD，得FG＝FG sin 60°＝12×32＝34，所以DE ＝FG ＝34，故ME ＝PE ＝3－34＝334. 所以MD ＝ME 2－DE 2＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3342－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝62. S △CDE ＝12DE ·DC ＝12×34×1＝38. 故V M - CDE ＝13MD ·S △CDE ＝13×62×38＝216.。