【数学】浙江省宁波市2013-2014学年高二下学期期末考试(理)
浙江宁波市2024年高二下学期期末考试数学试题+答案 (1)
宁波市2023学年第二学期期末考试高二数学试题卷本试卷共4页，19小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项:1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、学校、准考证号填涂在答题卡上。
将条形码横贴在答题卡的“贴条形码区”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁，不要折叠、不要弄破。
选择题部分(共58分)一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合U ={1，2，3，4，5}，A ={1，2，4}，B ={1，5}，则∁U A ∩B =()A.⌀B.{1}C.{5}D.{1，5}2.已知复数z =1+2i ，则1z 的虚部为()A.25B.25iC.-25i D.-253.已知角α的终边过点-4，3 ，则sin α+cos αsin α=()A.-12B.-13C.14D.734.已知a ，b 为单位向量，则“a ⊥b ”是“a -2b =2a +b”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.对于直线m ，n 和平面α，β，下列说法错误的是()A.若m ⎳α，n ⎳α，m ，n 共面，则m ⎳nB.若m ⊂α，n ⎳α，m ，n 共面，则m ⎳nC.若m ⊥β，且α⎳β，则m ⊥αD.若m ⊥α，且m ⎳β，则α⊥β6.若ln x -ln y >y 2-x 2，则()A.ex -y>1 B.e x -y<1 C.ln x -y >0 D.ln x -y <07.袋子中有n 个大小质地完全相同的球，其中4个为红球，其余均为黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，已知摸出的2个球都是红球的概率为16，则两次摸到的球颜色不相同的概率为()\A.518B.49C.59D.13188.颐和园的十七孔桥，初建于清乾隆年间；永定河上的卢沟桥，始建于宋代；四川达州的大风高拱桥，修建于清同治7年.这些桥梁屹立百年而不倒，观察它们的桥梁结构，有一个共同的特点，那就是拱形结构，这是悬链线在建筑领域的应用.悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特.胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为cosh x =e x +e -x 2，相应的双曲正弦函数的表达式为sinh x =e x -e -x2.若关于x 的不等式4m cosh 2x -4sinh 2x -1>0对任意的x >0恒成立，则实数m 的取值范围为()A.2，+∞B.[2，+∞)C.14，+∞ D.14，+∞ 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。
浙江省2014届理科数学复习试题选编22：等比数列(学生版)
浙江省2014届理科数学复习试题选编22：等比数列一、选择题1 ．（浙江省温州十校联合体2013届高三期中考试数学（理）试题）已知321121,,,...,,...n n a a a a a a a -是首项为1,公比为2的等比数列,则数列{ a n }的第100项等于（ ）A ．25050B ．24950C ．2100D ．2992 ．（浙江省黄岩中学2013年高三5月适应性考试数学(理)试卷 ）已知等比数列{n a }的公比2=q ,且42a ,6a ,48成等差数列,则{n a }的前8项和为（ ）A ．127B ．255C ．511D ．10233 ．（浙江省宁波市十校2013届高三下学期能力测试联考数学（理）试题）若方程250x x m -+=与2100x x n -+=的四个根适当排列后,恰好组成一个首项1的等比数列,则:m n 值为（ ）A ．14B ．12C ．2D ．44 ．（浙江省一级重点中学（六校）2013届高三第一次联考数学（理）试题）已知数列}{n a 为等比数列,274=+a a ,865-=⋅a a ,则101a a +的值为 （ ）A ．7B ．5-C ．5D ．7-5 ．（浙江省宁波一中2013届高三12月月考数学（理）试题）已知等比数列{}n a 中,12345640,20a a a a a a ++=++=,则前9项之和等于（ ）A ．50B ．70C ．80D ．90 6 ．（浙江省考试院2013届高三上学期测试数学（理）试题）设数列{a n }.（ ）A ．若2n a =4n,n ∈N*,则{a n }为等比数列B ．若a n a n +2=21n a +,n ∈N*,则{a n }为等比数列C ．若a m a n =2m +n,m ,n ∈N*,则{a n }为等比数列 D ．若a n a n +3=a n +1a n +2,n ∈N*,则{a n }为等比数列7 ．（浙江省重点中学2013届高三上学期期中联谊数学（理）试题）设等比数列{}n a 的前n 项和为S n ,若3510=S S ,则=1015S S （ ）A ．2B ．73C ．83D.38 ．（浙江省诸暨中学2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知等比数列{}n a 中,各项都是正数,且2312,21,a a a 成等差数列,则8967a a a a ++等于 （ ）A ．21+B ．21-C ．223+D ．223-9 ．（浙江省湖州市2013年高三第二次教学质量检测数学(理)试题(word 版) ）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,若2580a a -=,则42S S = （ ）A ．8-B ．5C ．8D ．1510．（浙江省杭州二中2013届高三年级第五次月考理科数学试卷）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,0852=-a a ,则=24S S （ ）A ．5B ．8C ．8-D ．1511．（浙江省海宁市2013届高三2月期初测试数学（理）试题）已知等比数列}{n a 前n 项和为n S ,则下列一定成立的是（ ）A ．若01>a ,则02013<aB ．若02>a ,则02014<aC ．若01>a ,则02013>SD ．若02>a ,则02014>S12．（浙江省宁波市鄞州中学2012学年高三第六次月考数学（理）试卷 ）设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若10S :5S 2:1=,则15S :5S = （ ）A ．4:3B ．3:2C ．2:1D ．3:1二、填空题13．（浙江省永康市2013年高考适应性考试数学理试题 ）已知公比为q 的等比数列{}n b 的前n 项和n S 满足13223S S S +=,则公比q 的值为____;14．（浙江省2013年高考模拟冲刺（提优）测试一数学（理）试题）各项都是正数的等比数列{}n a 中,首项21=a ,前3项和为14,则654a a a ++值为_____________.15．（浙江省名校新高考研究联盟2013届高三第一次联考数学（理）试题）在各项均为正数的等比数列}{n a 中,若公比为32,且满足113a a ⋅=16,则=162log a _______.16．（浙江省金丽衢十二校2013届高三第二次联合考试理科数学试卷）等比数列{n a }的前n 项和为n S ,已知123,2,3S S S 成等差数列,则等比数列{n a }的公比为______17．（浙江省绍兴市2013届高三教学质量调测数学（理）试题（word 版） ）已知实数1234,,,a a a a 依次构成公差不为零的等差数列.若去掉其中一个数后,其余三个数按原来顺序构成一个等比数列,则此等比数列的公比为______.18．（浙江省温州十校联合体2013届高三期中考试数学（理）试题）数列{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列,则0123991001100210031004100100100101100........a C a C a C a C a C a C -+-+-+=_____.19．（浙江省绍兴一中2013届高三下学期回头考理科数学试卷）各项均为正偶数的数列1234,,,a a a a 中,前三项依次成公差为(0)d d >的等差数列,后三项依次成公比为q 的等比数列,若4188a a -=,则q 的所有可能的值构成的集合为____________.20．（浙江省杭州二中2013届高三6月适应性考试数学（理）试题）各项均为正数的等比数列{}n a 满足17648a a a ==，,若函数()231012310f x a x a x a x a x =+++⋅⋅⋅+的导数为()f x ',则1()2f '=__________.21．（浙江省重点中学2013届高三上学期期中联谊数学（理）试题）等比数列}{n a 的公比为q ,其前n 项的积为n T ,并且满足条件11a >,9910010a a ->,99100101a a -<-.给出下列结论:①01q <<;②9910110a a ⋅-<,③100T 的值是n T 中最大的;④使1n T >成立的最大自然数n 等于198.其中正确的结论是__________;22．（浙江省六校联盟2013届高三回头联考理科数学试题）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,若数列{}n S 是首项和公比都是3的等比数列,则{}n a 的项公式n a =_________23．（浙江省温州市十校联合体2013届高三上学期期末联考理科数学试卷）已知等比数列}{n a 满足1129-+⋅=+n n n a a ,*N n ∈则数列}{n a 的前n 项和n S 为____.三、解答题24．（浙江省丽水市2013届高三上学期期末考试理科数学试卷）在等比数列{}n a 中,已知13a =,公比1q ≠,等差数列{}n b 满足1142133b a b a b a ===，，. (Ⅰ)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式;(Ⅱ)记n n nn a b c +-=)1(,求数列{}n c 的前n 项和n S .25．（浙江省稽阳联谊学校2013届高三4月联考数学(理)试题（word 版） ）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足2*.()n n a S n n N +=∈,记2.n n b a =- (I)求证:{}n b 是等比数列,并求{}n b 的前n 项和n B ;(II)求1122112()()()().n n n n n b B b b B b b B b n ---+-++-≥26．（浙江省一级重点中学（六校）2013届高三第一次联考数学（理）试题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且11,4a =*1()16n n ta S t +=+∈n N ,为常数. I ()若数列{}n a 为等比数列,求t 的值;II ()若14,lg n t b a +>-=n ,数列{}n b 前n 项和为n T ,当且仅当n=6时n T 取最小值,求实数t 的取值范围.浙江省2014届理科数学复习试题选编22：等比数列参考答案一、选择题 1. B 2. B 3. A 4. D 5. B 6. C 7. B 8. C 9. B 10. A 11. C 12. A 二、填空题 13. 2 14. 11215. 516. 31 17. 或218. 1 19. {}58 37，20.55421. ①②④22. 1323n n a -⎧=⎨⨯⎩(1)(2)n n =≥ 23. )12(3-n三、解答题24.解:(Ⅰ) 设等比数列{}n a 的公比为q ,等差数列{}n b 的公差为d .由已知得:2323,3q a q a ==,d b d b b 123,23,31341+=+==3411123333322=⇒⎩⎨⎧+=+=⇒⎩⎨⎧+=+=q d q dq d q d q 或 1=q (舍去) 所以, 此时 2=d所以,nn a 3=, 12+=n b n ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈(Ⅱ) 由题意得:n n n n n n n a b c 3)12()1()1(++-=+-=n n c c c S +++= 21n n n n n 333)12()1()12()1()97()53(21+++++-+--+++-++-=-当n 为偶数时,2323232311-+=-+=++n n S n n n当n 为奇数时,27232323)12()1(11--=-++--=++n n n S n n n所以,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---+=++)(2723)(232311为奇数时为偶数时n n n n S n n n ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈25.解:(I)∵2n n a S n +=, ∴ 112(1)(2)n n a S n n --+=-≥,两式相减得122n n a a -=+,11221(2)22(22)2n n n n n n b a a n b a a ----===≥--- {}n b ∴是等比数列.11111()1121,21,,2[1()]12212nn n a b a q B -=∴=-==∴==-- (II)原式=11223311()()()() n n n n n n b B b b B b b B b b B b ---+-+-++-222212311231()() n n n B b b b b b b b b --=++++-++++ 222211231() n n n B B b b b b --=-++++1111()118140142[1()]2[1()]12()()122323414n n n n n ---=---=-+-26. .解:I () 11....(1);....(2)1616n n n n t ta S a S +-=+=+1(1)(2):2(2)n n a a n +-=≥得2141616t ta S +=+=, 数列{}n a 为等比数列, 212a a ∴= 42,44tt +=∴= II ()2416t a +=,12(1)n n a a n +=>1*142()16n n t a n N -++∴=⋅∈ 1432,,+⋅⋅⋅n a a a a 成等比数列,1n a +n b =lg ,∴n 数列{b }是等差数列 数列{}n b 前n 项和为n T ,当且仅当n=6时n T 取最小值, 6700b b ∴<>且可得78011a a <<>且,27415:-<<-t t 的范围是解得。
浙江省2014届理科数学复习试题选编25：线性规划(教师版)
浙江省2014届理科数学复习试题选编25：线性规划一、选择题1 ．（浙江省温州市2013届高三第三次适应性测试数学(理)试题（word 版） ）在平面直角坐标系中,不等式组⎩⎨⎧≤-≤xy x 44表示的平面区域的面积是（）A ．216B ．16C ．28D ．8【答案】B 2 ．（浙江省宁波市十校2013届高三下学期能力测试联考数学（理）试题）已知实数x .y 满足222242(1)(1)(0)y xx y y x y r r ≤⎧⎪+≤⎪⎨≥-⎪⎪++-=>⎩则r 的最小值为（） A ．1BCD【答案】B3 ．（浙江省五校2013届高三上学期第一次联考数学（理）试题）若,x y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩,目标函数2z ax y =+仅在点()1,0处取得最小值, 则a的取值范围是 （） A ．()1,2-B ．()4,2-C ．(]4,0-D ．()2,4-【答案】 B ． 4 ．（浙江省十校联合体2013届高三上学期期初联考数学（理）试题）已知变量,x y 满足约束条件241y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩,则3z x y =+的最小值为 ()A 12 ()B 11 ()C 8()D -1【答案】C 5 ．（浙江省一级重点中学（六校）2013届高三第一次联考数学（理）试题）已知实数,x y 满足14x x y ax by c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≤⎩,且目标函数2z x y =+的最大值为6,最小值为1,[ 其中0,c b b ≠则的值为 （） A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A6 ．（浙江省宁波市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知点P(3,3),Q(3,-3),O 为坐标原点,动点M(x,y)满足⎪⎩⎪⎨⎧≤⋅≤⋅12||12||OM OQ OM OP ,则点M 所构成的平面区域的面积是（） A ．12B ．16C ．32D ．64【答案】C7 ．（浙江省温州中学2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题）设不等式组4,010x y y x x +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域为D .若圆C:222(1)(1)(0)x y r r +++=> 经过区域D上的点,则r的取值范围是() （）A．⎡⎣B．⎡⎣C ．(0,D ．(【答案】 B ．8 ．（浙江省宁波市鄞州中学2012学年高三第六次月考数学（理）试卷 ）设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≥035321y x y a x 表示的平面区域是W ,若W 中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)共有91个,则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(]1,2--B ．[)0,1-C ．(]1,0D ．[)2,1【答案】C9 ．（浙江省海宁市2013届高三2月期初测试数学（理）试题）若实数,x y 满足约束条件24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩,目标函数z tx y =+有最小值2,则t 的值可以为（） A ．3B ．3-C ．1D ．1-【答案】C10．（浙江省杭州市2013届高三第二次教学质检检测数学（理）试题）若存在实数x, y 使不等式组0320,60x y x y x y ì- ïïï-+ íïï+- ïïî与不等式20x y m -+ 都成立,则实数m 的取 值范围是 （） A ．m≥0B ．m≤3C ．m≥lD ． m≥3【答案】B11．（浙江省温州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）若实数x ,y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+≥+14222y x y x y x ,则3|x -1|+y的最大值是（） A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C12．（浙江省五校联盟2013届高三下学期第一次联考数学（理）试题）在平面直角坐标系中,不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-≥+ax y x y x 00a (为常数)表示的平面区域的面积为8,则32+++x y x 的最小值为 （） A ．1028- B ．246- C ．245-D ．32 【答案】B13．（浙江省嘉兴市2013届高三上学期基础测试数学（理）试题）已知不等式组210y x y kx y ≤-+⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩所表示的平面区域为面积等于14的三角形,则实数k 的值为（） A ．-1B ．12-C ．12D ．1【答案】D14．（浙江省绍兴一中2013届高三下学期回头考理科数学试卷）设不等式组 1230x x y y x ≥,⎧⎪-+≥,⎨⎪≥⎩所表示的平面区域是1Ω,平面区域2Ω与1Ω关于直线3x-4y-9=0对称.对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B,|AB|的最小值等于 （）A ．285B ．4C ．125D ．2【答案】B15．（浙江省嘉兴市2013届高三第二次模拟考试理科数学试卷）在平面直角坐标系中,不等式2|2|≤≤-x y 表示的平面区域的面积是（） A ．24B ．4C ．22D ．2【答案】B; 16．（浙江省乐清市普通高中2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥-+303002y x y x ,则52-+=y x z 的最大值与最小值的和为（） A ．-3B ．1C ．3D ．4【答案】B17．（浙江省丽水市2013届高三上学期期末考试理科数学试卷）已知实数y x ,满足不等式组2020350x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，，，则y x +2的最大值是 （） A ．0B ．3C ．4D ．5【答案】C18．（浙江省考试院2013届高三上学期测试数学（理）试题）若整数x ,y 满足不等式组0,2100,0,x y x y y ⎧->⎪--<⎨+-≥ 则2x +y 的最大值是（） A ．11B ．23C ．26D ．30【答案】B19．（浙江省温岭中学2013届高三冲刺模拟考试数学（理）试题）已知约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-+≥+-083,012043y x y x y x 若目标函数z =x +ay (0≥a )仅在点(2, 2)处取得最大值,则a 的取值范围为 （ ） A ．310<<a B ．31>a C ．31≥a D ．210<<a 【答案】C ．20．（浙江省杭州二中2013届高三年级第五次月考理科数学试卷）在平面直角坐标系中,有两个区域N M ,,M 是由三个不等式x y x y y -≤≤≥2,,0确定的;N 是随变化的区域,它由不等式)10(1≤≤+≤≤t t x t 所确定.设N M ,的公共部分的面积为)(t f ,则)(t f 等于（）A ．t t 222+-B ．2)2(21-t C ．2211t -D ．212++-t t 【答案】D21．（浙江省温州八校2013届高三9月期初联考数学（理）试题）设y x ,满足约束条件 ⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+323221y x y x y x ,若ay x ≥+224恒成立,则实数a的最大值为 （） A ．253 B ．54 C ．4 D ．1【答案】B 22．（浙江省绍兴市2013届高三教学质量调测数学（理）试题（word 版） ）已知实数y x 满足210,330,1,x y x y x ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩则4z x y=-的最小值为（） A ．5B ．2-C ．4-D ．5-【答案】C23．（浙江省五校联盟2013届高三下学期第二次联考数学（理）试题）已知实数x y 、满足1240y x y x y x my n ≥⎧⎪-≥⎪⎨+≤⎪⎪++≥⎩,若该不等式组所表示的平面区域是一个面积为54的直角三角形,则n 的值是（）A ．32-B ．-2C ．2D ．12【答案】A24．（2013届浙江省高考压轴卷数学理试题）设变量x 、y 满足1,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪--≥⎩则目标函数z=2x+y 的最小值为 （） A ．6B ．4C ．2D ．32【答案】C【解析】由题意可得,在点B 处取得最小值,所以z=2,故选C 25．（浙江省2013年高考模拟冲刺（提优）测试一数学（理）试题）如图,阴影部分(含边界)所表示的平面区域对应的约束条件是（）A ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-≥+-≥≤010200y x y x y xB ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-≤+-≥≤010200y x y x y xC ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-≥+-≥≤010200y x y x y xD ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-≤+-≥≤010200y x y x y x【答案】A26．（浙江省温岭中学2013届高三高考提优冲刺考试（三）数学（理）试题 ）设实数x ,y 满足不等式（第2题）组2y x x y x a ≥+≤≥⎧⎪⎨⎪⎩.若z =3x +y 的最大值是最小值的2倍,则a 的值为（） A ．31B ．3C ．21 D ．2【答案】C解析:作图可知,若可行区域存在,则必有1≤a ,故排除BD;结合图像易得当1,1==y x 时:4z max =,当a y a x ==,时:a 4z m in =,由442=⨯a ,解得21=a ,故选 C ．27．（浙江省杭州高中2013届高三第六次月考数学（理）试题）已知约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-+≥+-083,012043y x y x y x 若目标函数z =x +ay (a ≥0)恰好在点(2,2)处取得最大值,则a的取值范围为（）A ．0<a <13B ．a ≥13C ．a >13D ．0<a <12【答案】C28．（浙江省金华十校2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）设不等式组4,010x y y x x +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域为 D ．若圆C:222(1)(1)(0)x y r r +++=>不经过区域D 上的点,则r 的取值范围是 （ ）A．B． C．)+∞D．)+∞【答案】C 29．（浙江省“六市六校”联盟2013届高三下学期第一次联考数学（理）试题）实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤-++-+315164242y x y x y x ,则xyy x u 22+=的取值范围是（） A ．]310,2[ B ．]526,2[ C ．]526,310[D ．]310,1[【答案】B30．（浙江省温州十校联合体2013届高三期中考试数学（理）试题）已知正数x 、y 满足20350{x y x y -≤-+≥,则14()2x yz -=⋅的最小值为（） A ．1B ．14C ．116D ．132【答案】C 二、填空题31．（浙江省重点中学协作体2013届高三摸底测试数学（理）试题）已知钝角三角形ABC 的最大边长为4,其余两边长分别为y x ,,那么以()y x ,为坐标的点所表示的平面区域面积是______.【答案】84-π 32．（浙江省2013年高考模拟冲刺（提优）测试二数学（理）试题）已知正数a b c ，，满足:4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则ba的取值范围是________; 【答案】[e33．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））设y kx z +=,其中实数yx ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+04204202y x y x y x ,若z 的最大值为12,则实数=k ________.【答案】234．（浙江省温岭中学2013届高三高考提优冲刺考试（五）数学（理）试题）设实数x ,y 满足不等式组2y x x y x a ≥+≤≥⎧⎪⎨⎪⎩,若z =2x -y 的最大值与最小值的和为0,则a 的值为__________. 【答案】13提示 容易知道当x =1,y =1时z 最大=1,当x =a ,y =2-a 是z 最小=3a -2.即3a -2+1=0,所以a =13.35．（浙江省宁波一中2013届高三12月月考数学（理）试题）已知实数,x y 满足不等式组20302x y x y x y m -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+≤⎩,且z x y =-的最小值为3-,则实数m 的值是__________________.【答案】m=6 36．（2013年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科数学试题）若整数．．,x y 满足不等式组700y x x y x -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,则2x y +的最大值为________. 【答案】10解:由题意,绘出可行性区域如下:设2z x y =+,即求2y x z =-+的截距的最大值.因为,x y Z ∈,不妨找出77,22⎛⎫⎪⎝⎭附近的“整点”.有(3, 3)、(3, 4)满足. 显然过(3, 4)时,10z =最大.37．（浙江省嘉兴市第一中学2013届高三一模数学（理）试题）已知实数x ,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤-≤+2122x y x y x 则z =【答案】38．（【解析】浙江省镇海中学2013届高三5月模拟数学（理）试题）已知实数,a b 满足10210,|1|2210a b a b z a b a b -+≥⎧⎪--<=--⎨⎪+-≥⎩,则z 的取值范围是_________. 【答案】122z <≤ 解法1:画出可行域知:10a b --<,转化为已知实数,a b 满足:102102210a b a b a b -+≥⎧⎪--<⎨⎪+-≥⎩,则1z a b =-++的取值范围,代入三个顶点坐标即可得122z <≤. 解法2:问题转化为先求动点(,)a b 到直线10x y --=的距离d 的取值范围,d <≤;由于d ,则122z <≤. 39．（浙江省新梦想新教育新阵地联谊学校2013届高三回头考联考数学（理）试题 ）已知M ,N 为平面区域360y 200x y x x --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩内的两个动点,向量(1,3)a =r ,则MN a uuu r r g 的最大值是________【答案】40 40．（浙江省稽阳联谊学校2013届高三4月联考数学(理)试题（word 版） ）实数,x y 满足条件360200x y x y x --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩,则2x y +的最小值为__________. 【答案】-641．（浙江省湖州市2013年高三第二次教学质量检测数学(理)试题(word 版) ）已知实数x y ，满足2212x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪-≤≤⎩，，，,则2z x y =+的最小值是____. 你的首选资源互助社区11 【答案】5-42．（浙江省六校联盟2013届高三回头联考理科数学试题）已知M,N 为平面区域360200x y x y x --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩内的两个动点向量a =(1,3)则MN ·a 的最大值是_______________【答案】4043．（浙江省宁波市2013届高三第一学期期末考试理科数学试卷）已知D 是由不等式组2030x y x y -≥⎧⎨+≥⎩所确定的平面区域,则圆224x y +=在区域D 内的弧长是_________. 【答案】2π 44．（浙江省黄岩中学2013年高三5月适应性考试数学(理)试卷 ）若变量x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≤34120y x y x y ,则y x z 53+=的最大值是________.【答案】945．（浙江省金丽衢十二校2013届高三第二次联合考试理科数学试卷）若实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧+-≥≥≥-b x y x y y x 02,且2z x y =+的最小值为3,则实数b 的值为______ 【答案】49。
浙江省2014届理科数学复习试题选编28：空间角和空间距离(教师版)
浙江省2014届理科数学复习试题选编28：空间角和空间距离一、选择题1 ．（浙江省海宁市2013届高三2月期初测试数学（理）试题）在平行四边形ABCD中,22,60BC AB B ==∠=o ,点E 是线 段AD 上任一点(不包含点D ),沿直线CE 将△CDE 翻折成△E CD ',使'D 在平面ABCE 上的射影F 落在直线CE 上,则'AD 的最小值是（）A B C ．2 D 【答案】A2 ．（浙江省六校联盟2013届高三回头联考理科数学试题）棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1在空间直角坐标系中移动,但保持点（ ）A ．B 分别在X 轴、y 轴上移动,则点C 1到原点O 的最远距离为 （ ）A ．B ．C ．5D ．4【答案】D3 ．（温州市2013年高三第一次适应性测试理科数学试题）正方体1111ABCD A B C D -中,1CC 与平面1A BD所成角的余弦值为（）A B C ．23D 【答案】D4 ．（浙江省绍兴一中2013届高三下学期回头考理科数学试卷）已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1,N M ,是对角线1AC 上的两点,动点P 在正方体表面上且满足||||PN PM =,则动点P 的轨迹长度的最大值为（） A ．3B ．23C ．33D ．6【答案】B5 ．（浙江省“六市六校”联盟2013届高三下学期第一次联考数学（理）试题）如图所示,在正方体1111D C B A ABCD -中,E 为1DD 上一点,且131DD DE =,F 是侧面11C CDD 上的动点,且//1F B 平面BE A 1,则F B 1与平面11C CDD 所成角的正切值构成的集合是 （ ）A ．}23{ B ．}1352{C ．}22323|{≤≤m m D ．}231352|{≤≤m m【答案】C6 ．（浙江省稽阳联谊学校2013届高三4月联考数学(理)试题（word 版） ）已知四面体A BCD -中,P为棱AD 的中点,则过点P 与侧面ABC 和底面BCD 所在平面都成60的平面共有(注:若二面角l αβ--的大小为120,则平面α与平面β所成的角也为60)（ ） A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．无数个【答案】B 提示:设平面ABC 的法向量为a ,平面BCD 的法向量为b,因为二面角A BC D --的平面角的余弦值为13,即平面角大约为71 ,所以过点P 与法向量,a b 都成60的向量有4个,所以过点P 与侧面ABC 和底面BCD 所在平面都成60的平面共有4个.7 ．（浙江省温州中学2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题）已知正四面体ABCD -中,P 为AD 的中点,则过点P 与侧面ABC 和底面BCD 所在平面都成 60的平面共有(注:若二面角l αβ--的大小为120,则平面α与平面β所成的角也为 60)（） A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．无数个非选择题部分(共100分) 【答案】 B ．8 ．（【解析】浙江省镇海中学2013届高三5月模拟数学（理）试题）如图ABC ∆是等腰直角三角形,其中90A ∠=︒,且,30DB BC BCD ⊥∠=︒,现将ABC ∆折起,使得二面角A BC D --为直角,1C （第10题图）ABCDE1A 1B 1D则下列叙述正确的是①0BD AC ⋅=; ②平面BCD 的法向量与平面ACD 的法向量垂直;③异面直线BC 与AD 所成的角为60︒;④直线DC 与平面ABC 所成的角为30︒ （ ） A ．①③ B ．①④ C ．①③④ D ．①②③④ 【答案】【答案】B 解析:易证BD ABC ⊥面,则AC ABD ⊥面,到此很容易证明①④正确,②错误,而BC 与AD9 ．（浙江省五校2013届高三上学期第一次联考数学（理）试题）一质点受到平面上的三个力123,,F F F (单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知12,F F 成120 角,且12,F F 的大小分别为1和2,则有（）A ．13,F F 成90 角B ．13,F F 成150 角C ．23,F F 成90 角D ．23,F F 成60 角【答案】（） A ．10．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））在空间中,过点A 作平面π的垂线,垂足为B ,记)(A f B π=.设βα,是两个不同的平面,对空间任意一点P,)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有21PQ PQ =,则（）A ．平面α与平面β垂直B ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为045C ．平面α与平面β平行D ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为060【答案】A11．（浙江省宁波市2013届高三第一学期期末考试理科数学试卷）正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中BC 1与截面BB 1D 1D所成的角是 （） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】A 二、填空题12．（浙江省永康市2013年高考适应性考试数学理试题 ）如图,斜边长为4的直角ABC ∆,=90B ∠ ,60A ∠= 且A 在平面α上,B ,C 在平面α的同侧,M 为BC 的中点.若ABC ∆在平面α上的射影是以A 为直角顶点的三角形''C AB ∆,则M 到平面α的距离的取值范围是____.【答案】5(2,)213．（浙江省温州八校2013届高三9月期初联考数学（理）试题）在二面角βα--l 中,,,,,βα⊂⊂∈∈BD AC l B l A 且,,l BD l AC ⊥⊥已知,1=AB 2==BD AC ,5=CD , 则二面角βα--l 的余弦值为___________【答案】2114．（浙江省宁波一中2013届高三12月月考数学（理）试题）正四面体S —ABC 中,E 为SA 的中点,F为ABC ∆的中心,则直线EF 与平面ABC 所成的角的正切值是___________________.15．（浙江省2013年高考模拟冲刺（提优）测试二数学（理）试题）在三棱锥S-ABC 中,△ABC 为正三角形,且A 在面SBC 上的射影H 是△SBC 的垂心,又二面角H-AB-C 为300,则SAAB=________; 16．（浙江省杭州四中2013届高三第九次教学质检数学（理）试题）如图,在正方形ABCD 中,E ,F 分别为线段AD ,BC 上的点,∠ABE =20°,∠CDF =30°.将△ABE 绕直线BE 、△CDF 绕直线CD 各自独立旋转一周,则在所有旋转过程中,直线AB 与直线DF 所成角的最大值为_________.【答案】70°17．（浙江省杭州高中2013届高三第六次月考数学（理）试题）1ABC ∆和2ABC ∆是两个腰长均为 1 的等腰直角三角形,当二面角12C AB C --为60 时,点1C 和2C 之间的距离等于 __________.(请写出所有可能的值)三、解答题18．（浙江省杭州二中2013届高三6月适应性考试数学（理）试题）等边三角形ABC 的边长为3,点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点,且满足AD DB =12CE EA =(如图1).将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置,使二面角1A DE B --成直二面角,连结1A B 、1AC (如图2). (Ⅰ)求证:1A D ⊥平面BCED ;(Ⅱ)在线段BC 上是否存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60 ?若存在,求出PB 的长,若不存在,请说明理由.【答案】证明:(1)因为等边△ABC 的边长为3,且AD DB =12CE EA =,所以1AD =,2AE =. 在△ADE 中,60DAE ∠= ,由余弦定理得DE ==. 因为222AD DE AE +=,所以AD DE ⊥.折叠后有1A D DE ⊥. 因为二面角1A DE B --是直二面角,所以平面1A DE ⊥平面BCED . 又平面1A DE 平面BCED DE =,1A D ⊂平面CDF1A DE ,1A D DE ⊥,所以1A D ⊥平面BCED .(2)解法1:假设在线段BC 上存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60 .如图,作PH BD ⊥于点H ,连结1A H 、1A P .由(1)有1A D ⊥平面BCED ,而PH ⊂平面BCED ,所以1A D ⊥PH .又1A D BD D = ,所以PH ⊥平面1A BD .所以1PA H ∠是直线1PA 与平面1A BD 所成的角. 设PB x=()03x ≤≤,则2x BH =,PH x =.在Rt △1PA H 中,160PA H ∠= ,所以112A H x =. 在Rt △1A DH中,11A D =,122DH x =-. 由22211A D DH A H +=,得222111222x x ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解得52x =,满足03x ≤≤,符合题意.所以在线段BC 上存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60 ,此时52PB =. 解法2:由(1)的证明,可知ED DB ⊥,1A D ⊥平面BCED .以D 为坐标原点,以射线DB 、DE 、1DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系D xyz -如图设2PB a =()023a ≤≤,则BH a =,PH =,2DH a =-. 所以()10,0,1A ,()2,0P a -,()E .所以()12,,1PA a =-.因为ED ⊥平面1A BD ,所以平面1A BD 的一个法向量为()DE = .因为直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60 ,所以11sin 60PA DE PA DE===, 解得54a =.即522PB a ==,满足023a ≤≤,符合题意. 所以在线段BC 上存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60 ,此时52PB =.19．（浙江省考试院2013届高三上学期测试数学（理）试题）如图,平面ABCD ⊥平面ADEF ,其中ABCD为矩形,ADEF 为梯形, AF ∥DE ,AF ⊥FE ,AF =AD =2 DE =2.(Ⅰ) 求异面直线EF 与BC 所成角的大小;(Ⅱ) 若二面角A-BF-D 的平面角的余弦值为13,求AB 的长.【答案】本题主要考查空间点、线、面位置关系,异面直线所成角、二面角等基础知识,空间向量的应用,同时考查空间想象能力和运算求解能力.满分15分. (Ⅰ) 延长AD ,FE 交于Q .因为ABCD 是矩形,所以 BC ∥AD ,所以∠AQF 是异面直线EF 与B C 所成的角.在梯形ADEF 中,因为DE ∥AF ,AF ⊥FE ,AF =2,DE =1得(第20题图)∠AQF =30°(Ⅱ) 方法一:设AB =x .取AF 的中点G .由题意得 DG ⊥AF .因为平面ABCD ⊥平面ADEF ,A B ⊥AD,所以 AB ⊥平面ADEF , 所以 AB ⊥DG . 所以DG ⊥平面ABF .过G 作GH ⊥BF ,垂足为H ,连结DH ,则DH ⊥BF , 所以∠DHG 为二面角A -BF -D 的平面角. 在直角△AGD 中,AD =2,AG =1,得 DG在直角△BAF 中,由AB BF =sin ∠AFB =GH FG,得 GHx=所以 GH.在直角△DGH 中,DGGH,得DH=因为cos ∠DHG =GH DH =13,得 x, 所以(第20题图)AB. 方法二:设AB =x .以F 为原点,AF ,FQ 所在的直线分别为x 轴,y 轴建立空间直角坐标系Fxyz .则 F (0,0,0),A (-2,0,0),EDB (-2,0,x ), 所以 DFBF=(2,0,-x ).因为EF ⊥平面ABF ,所以平面ABF 的法向量可取1n=(0,1,0).设2n=(x 1,y 1,z 1)为平面BFD 的法向量,则111120,0,x z x x -=⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以,可取2n因为cos<1n ,2n >=1212||||n n n n ⋅⋅=13,得 x, 所以 AB.20．（浙江省温州市十校联合体2013届高三上学期期末联考理科数学试卷）如图,AC 是圆 O 的直径,点 B 在圆 O 上,∠BAC=30°,BM⊥AC 交 AC 于点 M,EA⊥平面ABC,FC//EA,AC=4,EA=3,FC=1. (I)证明:EM⊥BF;(II)求平面 BEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值.（第20题图）(第20题图)【答案】解:(1)3AM BM =，.如图,以A 为坐标原点,垂直于AC 、AC 、AE 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.由已知条件得(0,0,0),(0,3,0),(0,0,3),3,0),(0,4,1)A M E B F,(0,3,3),(,1)ME BF ∴=-=.由(0,3,3)(,1)0ME BF ⋅=-⋅=, 得MF BF ⊥, EM BF ∴⊥(2)由(1)知(3,3),(,1)BE BF =-= . 设平面BEF 的法向量为(,,)n x y z =,由0,0,n BE n BF ⋅=⋅=得3300y z y z ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩,]令x =1,2y z ==,)2n ∴= ,由已知EA ⊥平面ABC ,所以取面ABC 的法向量为(0,AE =设平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角为θ,则cos cos ,n AE θ→=<>==,平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值为21．（浙江省名校新高考研究联盟2013届高三第一次联考数学（理）试题）如图,AB 为圆O 的直径,点E 、F 在圆O 上,EF AB //,矩形ABCD 所在的平面与圆O 所在的平面互相垂直.已知2=AB ,1=EF .(Ⅰ)求证:平面⊥DAF 平面CBF ;(Ⅱ)求直线AB 与平面CBF 所成角的大小;(Ⅲ)当AD 的长为何值时,平面DFC 与平面FCB 所成的锐二面角的大小为60 ?(I)证明: 平面⊥ABCD 平面ABEF ,AB CB ⊥, 平面 ABCD 平面ABEF =AB ,⊥∴CB 平面ABEF .⊂AF 平面ABEF ,CB AF ⊥∴, 又AB 为圆O 的直径,BF AF ⊥∴, ⊥∴AF 平面CBF⊂AF 平面ADF ,∴平面⊥DAF 平面CBF . (II)根据(Ⅰ)的证明,有⊥AF 平面CBF , ∴FB 为AB 在平面CBF 内的射影,因此,ABF ∠为直线AB 与平面CBF 所成的角 6分 EF AB // ,∴四边形ABEF 为等腰梯形, 过点F 作AB FH ⊥,交AB 于H .2=AB ,1=EF ,则212=-=EF AB AH .在AFB Rt ∆中,根据射影定理AB AH AF ⋅=2,得1=AF21sin ==∠AB AF ABF , 30=∠∴ABF . ∴直线AB 与平面CBF 所成角的大小为 30(Ⅲ)设EF 中点为G ,以O 为坐标原点,OA 、OG 、AD 方向分别为x 轴、y 轴、z 轴方向建立空间直角坐标系(如图).设t AD =)0(>t ,则点D 的坐标为),0,1(t 则 (1,0,)C t -,又1(1,0,0),(1,0,0),(2A B F -1(2,0,0),(,)2CD FD t ∴==设平面DCF 的法向量为),,(1z y x n =,则10n CD ⋅= ,10n FD ⋅=.即20,0.x y tz =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 令3=z ,解得t y x 2,0== )3,2,0(1t n =∴由(I)可知AF ⊥平面CFB ,取平面CBF的一个法向量为21(,0)2n AF ==- ,依题意1n与2n 的夹角为 6060cos ∴12=,解得t =因此,当AD,平面与DFC 平面FCB 所成的锐二面角的大小为60 .22．（浙江省湖州市2013年高三第二次教学质量检测数学(理)试题(word 版) ）如图,一个正ABC '∆和一个平行四边形ABDE 在同一个平面内,其中8AB BD AD ==，AB DE ，的中点分别为F G ，. 现沿直线AB 将ABC '∆翻折成ABC ∆,使二面角C AB D --为120︒,设CE 中点为H . (Ⅰ) (i)求证:平面//CDF 平面AGH ; (ii)求异面直线AB 与CE 所成角的正切值; (Ⅱ)求二面角C DE F --的余弦值.【答案】解法一:(Ⅰ) (i)证明:连FD . 因为ABDE 为平行四边形,F G 、分别为AB DE 、中点, 所以FDGA 为平行四边形,所以//FD AG又H G 、分别为CE DE 、的中点,所以//HG CD FD CD ⊄、平面AGH ,AG HG 、⊂平面AGH ,所以//FD 平面AGH ,//CD 平面AGH ,而FD CD ⊂、平面CDF ,所以平面//CDF 平面AGH(ii)因为//DE AB ,所以CED ∠或其补角即为异面直线AB 与CE 所成的角因为ABC 为正三角形,BD AD =,F 为AB 中点,所以AB CF AB DF ⊥⊥，,从而AB ⊥平面CFD ,而//DE AB ,所以DE ⊥平面CFD ,因为CD ⊂平面CFD ,所以DE CD ⊥由条件易得CF DF ===又CFD ∠为二面角C AB D --的平面角,所以120CFD ∠=︒,所以CD所以tan CD CED DE∠=(Ⅱ) 由(Ⅰ)的(ii)知DE ⊥平面C F D ,即CD DE FD DE ⊥⊥，,所以C D F ∠即为二面角C DE F --的平面角222cos 2CD DF CF CDF CD DF +-∠===⋅解法二:(Ⅰ) (i )同解法一;(ii) 因为ABC 为正三角形,BD AD =,F 为AB 中点,所以AB CF AB DF ⊥⊥，,从而CFD ∠为二面角C AB D --的平面角且AB ⊥平面CFD ,而AB ⊂平面ABDE ,所以平面CFD ⊥平面ABDE .作CO ⊥平面ABDE 于O ,则O 在直线DF 上,又由二面角C AB D --的平面角为120CFD ∠=︒,故O 在线段DF 的延长线上. 由CF=6FO CO ==以F 为原点,FA FD FZ 、、为x y z 、、轴建立空间直角坐标系,如图,则由上述及已知条件得各点坐标为()040A ，，,()040B -，，,()00D ,()80E ,()06C -，,所以()080AB =-，，,()86CE =- 你的首选资源互助社区所以异面直线AB 与CE 所成角的余弦值为()cos AB CE AB CE AB CE ∙===⋅，,=(Ⅱ)由(Ⅰ)的(ii)知()()06080CD DE =-= ，，，,设平面C D E 的法向量为1=n ()x y z ，，,则由1⊥n CD ,1⊥n DE 得6080.z y ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，令z =得1=n (60，又平面DEF 的一个法向量为()2001=，，n ,而二面角C DE F --为锐二面角,所以二面角C DE F --的余弦为121212cos ∙=⋅，n n n n n n 23．（浙江省一级重点中学（六校）2013届高三第一次联考数学（理）试题）如图:在直三棱柱111ABC A B C -中,1AB AC ==,90BAC ∠= .(Ⅰ)若异面直线1A B 与11B C 所成的角为60 ,求棱柱的高h ;(Ⅱ)设D 是1BB 的中点,1DC 与平面11A BC 所成的角为θ,当棱柱的高h 变化时,求sin θ的最大值.【答案】解法1:(Ⅰ)由三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱可知,1AA 即为高,如图1,因为11//C B BC ,所以BC A 1∠是异面直线B A 1与11C B 所成的角或其补角, 连接1A C ,因为AB AC =,所以11A B AC =. 在Rt△ABC 中,由1AB AC ==,90BAC ∠= ,可得BC 又异面直线1A B 与11B C 所成的角为60 ,所以160A BC ∠= ,即△1A BC 为正三角形.于是111A B B C =.在Rt△1A AB 中,1A B 得11AA =,即棱柱的高为1 (Ⅱ)设1(0)AA h h =>,如图1,过点D 在平面11A B BA 内作1DF A B ⊥于F ,则 由11AC ⊥平面11BAA B ,DF ⊂平面11BAA B ,得11AC DF ⊥. 而1111AC A B A = ,所以DF ⊥平面11A BC .故1DC F ∠就是1DC 与平面11A BC 所成的角,即1DC F θ∠= 在Rt △DFB 中,由2hBD =,得DF =,在Rt △11DB C 中,由12h B D =,11B C =得1DC , 在Rt △1DFC 中,1sin DF DC θ===令()f h =,(Ⅰ)因为异面直线1A B 与11B C 所成的角60 ,所以111111||cos60||||B C A B B C A B ⋅=⋅,12=,解得1h = (Ⅱ)由D 是1BB 的中点,得(1,0,)2h D ,于是1(1,1,)2hDC =- .设平面11A BC 的法向量为(,,)x y z =n ,于是由1A B ⊥ n ,11AC ⊥n ,可得 1110,0,A B AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 即0,0,x hz y -=⎧⎨=⎩ 可取(,0,1)h =n , 于是1sin |cos ,|DC θ=<>n .而111|||||cos ,|||||h h DC DC DC -+⋅<>===⋅n n n令()f h =,因为22899h h++≥,当且仅当228h h =,即h =,等号成立.所以()f h ==,故当h ,sin θ24．（浙江省新梦想新教育新阵地联谊学校2013届高三回头考联考数学（理）试题 ）如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面A,AD AB ⊥,CD AC ⊥ ,︒=∠60ABC ,BC AB PA == ,E 是PC 的中点.(Ⅰ)证明:CD AE ⊥; (Ⅱ)证明:PD ⊥平面ABE ; (Ⅲ)求二面角A PD C --的正切值.ABCDPE【答案】解法一:(Ⅰ)证明:在四棱锥P ABCD -中,因PA ⊥底面ABCD ,CD ⊂平面ABCD , 故PA CD ⊥.AC CD PA AC A ⊥= ，∵,CD ⊥∴平面PAC .[而AE ⊂平面PAC ,CD AE ⊥∴(Ⅱ)证明:由PA AB BC ==,60ABC ∠=°,可得AC PA =. E ∵是PC 的中点,AE PC ⊥∴.由(Ⅰ)知,AE CD ⊥,且PC CD C = ,所以AE ⊥平面PCD .而PD ⊂平面PCD ,AE PD ⊥∴.PA ⊥∵底面ABCD PD ，在底面ABCD 内的射影是AD ,AB AD ⊥,AB PD ⊥∴. 又AB AE A = ∵,综上得PD ⊥平面ABE(Ⅲ)过点A 作AM PD ⊥,垂足为M ,连结EM .则(Ⅱ)知,AE ⊥平面PCD ,AM 在平面PCD 内的射影是EM ,则EM PD ⊥.因此AME ∠是二面角A PD C --的平面角.由已知,得30CAD ∠=°.设AC a =,可得PA a AD PD AE ====，，，.在ADP Rt △中,AM PD ⊥∵,AMPD PA AD =∴··,则a PA AD AM PD===··. 在AEM Rt △中,sin AE AME AM ==所以二面角A PD C --的正切值为7解法二:(Ⅰ)证明:以AB 、AD 、AP 为x 、y,z 轴建立空间直角坐标系,设AB=a.60ABC AB BC ABC ∠==∴∆o Q ，，是正三角形6030BAC DAC AD ∴∠=∴∠=∴=oo，，(),0,,00,0,,2a C D P a ⎛⎫⎛⎫∴ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,42a a E ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭,0,,242a a a CD AE ⎛⎫⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uu u r uu u r 220,88a a CD AE CD AE ∴⋅=-+=∴⊥uu u r uu u rABCDPEFMACDPEM(Ⅱ)证明:()(),0,0,,0,0,,B a AB a PD a ⎛⎫∴==- ⎪ ⎪⎝⎭uu u r uu u r Q 又 220,022a a PD AB PD AE ∴⋅=⋅=-=uu u r uu u r uu u r uu u r,PD AB PD AE ∴⊥⊥,AB AE A PD ADE =∴⊥I 又平面(Ⅲ)设平面PDC 的法向量为(),,n x y z =r则()0202az n a yx ⎧-=⎪⎧⎪⎪∴=⎨=⎪-+=⎪⎩r 即 又平面APD 的法向量是()1,0,0,cos ,,m m n m n =∴==u r u r r u r rtan ,m n =u r r所以二面角A PD C --的正切值是725．（浙江省宁波市十校2013届高三下学期能力测试联考数学（理）试题）如图,ABC∆中,90,1,B AB BC D E ∠=== 、两点分别在线段AB AC 、上，满足,(0,1)AD AEAB ACλλ==∈.现将ABC ∆沿DE 折成直二面角A DE B --. (1)求证:当12λ=时,ADC ABE ⊥面面;(2)当(0,1)λ∈时,二面角E AC D --的大小能否等于4π?若能,求出λ的值;若不能,请说明理由.【答案】ABCDEAB CD E26．（浙江省温州中学2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题）如图,在三棱锥ABCP -中,22,4======BC AB AC PC PB PA(I)求证:平面ABC ⊥平面APC(II)若动点M 在底面三角形ABC 上,二面角M PA C --的余弦值为322,求BM 的最小值.【答案】 解:(1)取AC 中点O,因为AP=BP,所以OP⊥OC 由已知易得三角形ABC 为直角三角形,∴OA=OB=OC,⊿POA≌⊿POB≌⊿POC,∴OP⊥OB∴OP⊥平面ABC, ∵OP 在平面PAC 中,∴平面ABC ⊥平面APC ( )[ ZXXK] (2) 以O 为坐标原点,OB 、OC 、OP 分别为 x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系. 由题意平面PAC 的法向量1(1,0,0)n OB →→==,设平面PAM 的法向量为()()2,,,,,0n x y z M m n =((),,2,0AP AM m n ∴==+由220,0AP n AM n ⋅=⋅=()2020y mx n y ⎧+=⎪∴⎨++=⎪⎩,取)221n n m ⎛⎫+=-⎪ ⎪-⎝⎭21cos ,n n →→∴<>===∴0-∴BM的最小值为垂直距离d =27．（【解析】浙江省镇海中学2013届高三5月模拟数学（理）试题）如图,在梯形ABCD中,//,,60AB CD AD CD CB a ABC ===∠=︒,平面ACFE ⊥ 平面ABCD ,四边形ACFE 是矩形,AE a =,点M 在线段EF 上.(1)求证:BC ⊥平面ACFE ;(2)求二面角B EF D --的余弦值.【答案】 证明:(1)在梯形ABCD 中,∵,,60AB CD AD DC CB a ABC ===∠=︒ ,∴四边形ABCD 是等腰梯形, 且30,120,DCA DAC DCB ∠=∠=︒∠=︒∴90ACB DCB DCA ∠=∠-∠=︒,∴.AC BC ⊥又∵平面ACFE ⊥平面ABCD ,交线为AC ,∴BC ⊥平面ACFE . (2)方法一;(几何法)取EF 中点G ,EB 中点H ,连结DG 、GH 、DH , ∵容易证得DE =DF ,∴.DG EF ⊥∵BC ⊥平面ACFE ,∴.BC EF ⊥ 又∵EF FC ⊥,∴.EF FB ⊥ 又∵GH FB ,∴.EF GH ⊥∴DGH ∠是二面角B —EF —D 的平面角.在△BDE 中,,.DE DB BE ==== ∴222BE DE DB =+∴90EDB ∠=︒,∴.DH =又,.DG GH ==∴在△DGH 中,由余弦定理得cos DGH ∠=即二面角B —EF —D 的平面角余弦值为1010方法二;(向量法)以C 为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系:所以)0,0,3(a EF -=,),,0(a a BF -=,),2,23(a aa DF -=分别设平面BEF 与平面DEF 的法向量为),,(1111z y x n =,),,(2222z y x n =所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=-=⋅00311111az ay BF n ax EF n ,令11=y ,则1,011==z x又⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⋅=-=⋅022*********az y a x a DF n ax EF n ,显然02=x ,令21-,122==z y 则 所以)1,1,0(1=n ,,设二面角的平面角为θθ,为锐角所以θ28．（2013届浙江省高考压轴卷数学理试题）如图,在斜三棱柱111ABC A B C -中,侧面11AA B B ⊥底面ABC ,侧棱1AA 与底面ABC 成60°的角,12AA =.底面ABC 是边长为2的正三角形,其重心为G 点, E 是线段1BC 上一点,且113BE BC =.(1)求证:GE //侧面11AA B B ;(2)求平面1B GE 与底面ABC 所成锐二面角的正切值; (3)在直线．．AG 上是否存在点T ,使得AG T B ⊥1?若存在,指出点T 的位置;若不存在,说明理由.【答案】【解析】解法1:(1)延长B 1E 交BC 于点第20题图F ,11B EC ∆ ∽△FEB ,BE =21EC 1,∴BF =21B 1C 1=21BC , 从而点F 为BC 的中点.∵G 为△ABC 的重心,∴A 、G 、F 三点共线.且11//,31AB GE FB FE FA FG ∴==, 又GE ⊄侧面AA 1B 1B ,∴GE //侧面AA 1B 1B .(2)在侧面AA 1B 1B 内,过B 1作B 1H ⊥AB ,垂足为H ,∵侧面AA 1B 1B ⊥底面ABC ,∴B 1H ⊥底面ABC .又侧棱AA 1与底面ABC 成60°的角,AA 1=2,∴∠B 1BH =60°,BH =1,B 1H =.3 在底面ABC 内,过H 作HT ⊥AF ,垂足为T ,连B 1T ,由三垂线定理有B 1T ⊥AF , 又平面B 1CE 与底面ABC 的交线为AF ,∴∠B 1TH 为所求二面角的平面角. ∴AH =AB +BH =3,∠HAT =30°,∴HT =AH 2330sin =︒.在Rt△B 1HT 中,332tan 11==∠HT HB TH B , 从而平面B 1GE 与底面ABC(3)(2)问中的T 点即为所求,T 在AG 的延长线上,距离A 点233处. 解法2:(1)∵侧面AA 1B 1B ⊥底面ABC ,侧棱AA 1与底面ABC 成60°的角,∴∠A 1AB =60°, 又AA 1=AB =2,取AB 的中点O ,则AO ⊥底面ABC . 以O 为原点建立空间直角坐标系O —xyz 如图,则()0,1,0A -,()0,1,0B,)C,(1A,(10,B,1C .∵G 为△ABC的重心,∴G ⎫⎪⎪⎭.113BE BC =,∴E ,∴113CE AB ⎛== ⎝ . 又GE ⊄侧面AA 1B 1B ,∴GE //侧面AA 1B 1B .(2)设平面B 1GE 的法向量为(,,)a b c =n ,则由10,0.B E GE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n得0,0.b b -=⎪=⎪⎩可取=-n 又底面ABC 的一个法向量为()0,0,1=m设平面B 1GE 与底面ABC 所成锐二面角的大小为θ,则cos ||||θ⋅==⋅m n m n .由于θ为锐角,所以sin θ==,进而tan θ=故平面B 1GE 与底面ABC (3))0,1,33(=AG ,设)0,,33(λλλ==AG AT , )3,3,33(11--=+=λλAT A B T B , 由AG T B ⊥1,03311=-+=⋅∴λλAG T B ,解得49=λ 所以存在T 在AG 延长线上,2332349===AF AG AT . 29．（浙江省2013年高考模拟冲刺（提优）测试二数学（理）试题）如图:在多面体EF-ABCD 中,四边形ABCD 是平行四边形,△EAD 为正三角形,且平面EAD ⊥平面ABCD,EF∥AB, AB=2EF=2AD=4,060=∠DAB .(Ⅰ)求多面体EF-ABCD 的体积;(Ⅱ)求直线BD 与平面BCF 所成角的大小.【答案】30．（浙江省温岭中学2013届高三高考提优冲刺考试（五）数学（理）试题）如图,在长方形ABCD中,2=AB ,1=AD ,E 为DC 的中点,现将DAE ∆沿AE 折起,使平面DAE ⊥平面ABCE , 连DB ,DC ,BE .(Ⅰ)求证:BE ⊥平面ADE ; (Ⅱ)求二面角C BD E --的余弦值.【答案】所以所求二面角的余弦值为11222 解法二(坐标法)ACBAB（第20题）如图,取AE 的中点O ,则⊥DO 面ABCE .作EB OF //,则AE OF ⊥. 以O 为原点,OA 、OF 、OD 为轴建立空间坐标系xyz O - 则)2200(，，D ,)0,222(，-B ,)022,2(，-C ,)0022(，，A .所以)02222(，，--=BC ,)22222(--=，，DB ,)22,0,22(-=DA . 设面DBC 的法向量为),,(1z y x n =,则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=⋅=--=⋅0222220222211z y x DB n y x BC n ,取)3,1,1(1--=n设面DBE 的法向量为2n ,则DA n //2,取)1,0,1(2-=n 11222,cos 21>=<n n ,所以所求二面角的余弦值为11222 31．（浙江省嘉兴市第一中学2013届高三一模数学（理）试题）如图,直角梯形ABCD有EC=FD=2.(I )求证:AD 丄B F :(II )若线段EC 上一点M 在平面BDF 上的射影恰好是BF 的中点N,试求二面角 B-MF-C 的余弦值.【答案】解:(Ⅰ)证明:∵DC BC ⊥,且2==CD BC ,∴2=BD 且45=∠=∠BDC CBD ;又由DC AB //,可知45=∠=∠CBD DBA∵2=AD ,∴ADB ∆是等腰三角形,且45=∠=∠DBA DAB , ∴90=∠ADB ,即DB AD ⊥;∵⊥FD 底面ABCD 于D,⊂AD 平面ABCD,∴DF AD ⊥, ∴⊥AD 平面DBF.又∵⊂BF 平面DB F,∴可得BF AD ⊥(Ⅱ)解:如图,以点C 为原点,直线CD 、CB 、CE 方向为x 、y 、z 轴建系.可得)0,2,22(),2,0,2(),0,2,0(),0,0,2(A F B D ,又∵ N 恰好为BF 的中点,∴)1,22,22(N又∵⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00DF MN BD MN ,∴可得10=z .故M 为线段CE 的中点设平面BMF 的一个法向量为),,(1111z y x n =, 且)2,2,2(--=BF ,)1,2,0(-=BM ,由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n BM n BF 可得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=--02022211111z y z y x , 取⎪⎩⎪⎨⎧===213111z y x 得)2,1,3(1=n又∵平面MFC 的一个法向量为)0,1,0(2=n , ∴63,cos 21<n n .故所求二面角B-MF-C 的余弦值为6332．（浙江省稽阳联谊学校2013届高三4月联考数学(理)试题（word 版） ）如图,在矩形ABCD 中,21AB ,BC ,E ==为边AB 上一点,以直线EC 为折线将点B 折起至点,P 并保持PEB ∠为锐角,连接,,,PA PC PD 取PD 中点F ,若有//AF平面.PEC (I)求线段AE 的长;(II)当60PEB ∠=时(i)求证:平面PEC ⊥平面CDAE ;(ii)求平面PEC 与平面PAD 所成角的余弦值.【答案】解:(I)取PC 的中点G ,连接,FG EG ,//,//,//FG CD AE CD FG AE ∴ ,,,,A F G E ∴四点共面 //AF 平面,//PCE AF GE ∴AFGE ∴为平行四边形11122,GF CD AE AB =∴== (II)(i)证明: 异面直线,PE CD 所成的角为60,60PEB ∴∠=1,1 PE BE PB ==∴=,取CE 中点O , 1PE PC == 且90EDC ∠= ,同理BO =所以222,,, OP OB BP PO OB PO CE PO CDAE +=∴⊥⊥∴⊥平面,PO PCE PCE CDAE ⊆∴⊥ 平面平面平面(ii)将该几何体补形成如图所示的长方体,以点B 为坐标原点建立空间直角坐标系,1102012022(,(,,),(,,)P A D 取平面PCE 的一个法向量110(,,)m =设平面PAD 法向量为(,,)n x y z =,1310022(,,),(,AD AP ==- ,由00n AD n AP ⎧=⎪⎨=⎪⎩得03(,,)n z =,取3z =,得03()n =cos ,||||m n m n m n ∴<>==平面PEC 与平面MAB 133．（浙江省嘉兴市2013届高三上学期基础测试数学（理）试题）如图,1111ABCD A B C D -是棱长为1的正方体,四棱锥1111P A B C D -中,P ∈平面11DCC D,11PC PD ==. C1C A第20题(Ⅰ)求证:平面11PA B 平面11ABC D ;(Ⅱ)求直线1PA 与平面11ADD A 所成角的正切值.【答案】取11C D 的中点H ,连结PH ,AH .2511==PD PC ,111=C D ,∈P 平面11D DCC , ∴21,111=⊥H D C D PH ,∴12121=-=H D PD PH ,∴A A D D PH 11////, A A PH 1=,∴四边形AH PA 1为平行四边形,∴AH PA //1,（第20题）PBDC1B A1A 1C 1D H又⊂AH 平面11D ABC ,⊄1PA 平面11D ABC , ∴//1PA 平面11D ABC在正方体ABCD 中, AB B A //11, ∴//11B A 平面11D ABC ,1111A B A PA = ,∴平面//11B PA 平面11D ABC(II)方法1以直线1,,DD DC DA 为轴轴轴，z y x ,的如图所示空间直角坐标系,令,则)1,0,1(1A ,,2,21,0⎪⎭⎫ ⎝⎛P )0,0,0(D ∴ ,1,21,11⎪⎭⎫⎝⎛--=PA∵ =n (0,1,0)是平面11A ADD 的一个法向量 设直线1PA 与平面11A ADD 所成角为θ31sin θ,42tan =θ ∴直线1PA 与平面11A ADD 所成角的正切值为42方法2:∵AH PA //1,∴直线1PA 与平面11A ADD 所成角等于直线AH 与平面11A ADD 所成角. 正方体1111D C B A ABCD -中,显然⊥1HD 平面11A ADD , ∴1HAD ∠就是直线AH 与平面11A ADD 所成角在1HAD Rt ∆中,211=H D ,21=AD ,42tan 111==∠AD H D HAD∴直线1PA 与平面11A ADD 所成角的正切值为42. 34．（浙江省杭州高中2013届高三第六次月考数学（理）试题）如图,已知长方形ABCD中,1,2==AD AB ,M 为DC 的中点. 将ADM ∆沿AM 折起,使得平面⊥ADM 平面ABCM .(1)求证:BM AD ⊥(2)点E 是线段DB 上的一动点,当二面角D AM E --大小为3π时,试确定点E 的位置.【答案】取AM 的中点O,AB 的中点B,则OD OA ON ,,两两垂直,以O 为原点建立空间直角坐标系,如图.根据已知条件,得)0,0,22(A ,)0,2,22(-B ,)0,0,22(-M ,)22,0,0(D (1)由于)0,2,0(),22,0,22(-=-=AD ,则0=⋅BM AD ,故BM AD ⊥.(2)设存在满足条件的点E,并设DB DE λ=, 则)22,2,22()22,,(--=-λE E E z y x 则点E的坐标为)2222,2,22(λλλ--.(其中]1,0[∈λ)易得平面ADM 的法向量可以取)0,1,0(1=n ,设平面AME 的法向量为),,(2z y x n =,则)0,0,2(-=AM,)2222,2,2222(λλλ---=AE 则⎪⎩⎪⎨⎧=-++--=⋅=-=⋅0)2222()2()2222(0222λλλz y x AE n x AM n 则λλ2:)1(:0::-=z y x ,取)2,1,0(2λλ-=n *由于二面角D AM E --大小为3π,则A|,cos |3cos212121n n =><=π214)1(122=+--=λλλ,由于]1,0[∈λ,故解得332-=λ.故当E 位于线段DB 间,且332-=DB DE 时,二面角D AM E --大小为3π35．（浙江省杭州四中2013届高三第九次教学质检数学（理）试题）如图,已知ABCD 是边长为1的正方形,AF ⊥平面ABCD ,CE ∥AF ,)1(>=λλAF CE . (Ⅰ)证明:BD ⊥EF ;(Ⅱ)若AF =1,且直线BE 与平面ACE 所成角的正弦值为1023,求λ的值.【答案】本题满分14分.(Ⅰ)方法1:连结BD 、AC ,交点为O .∵ABCD 是正方形 ∴BD ⊥AC ∵AF ⊥平面ABCD ∴AF ⊥BD ∴BD ⊥平面ACEF ∴BD ⊥EF方法2:如图建立空间直角坐标系A-x yz,∵)0,0,1(B ,)0,1,0(D ∴)0,1,1(-= 设),0,0(h F ,那么),1,1(h E λ, 则))1(,1,1(h EF λ---= ∴0=⋅EF BD ∴BD ⊥EF(Ⅱ)方法1:连结OE ,由(Ⅰ)方法1知,BD ⊥平面ACEF , 所以∠BEO 即为直线BE 与平面ACE 所成的角∵AF ⊥平面ABCD ,CE ∥AF ,∴CE ⊥平面ABCD ,CE ⊥BC , ∵BC =1,AF =1,则CE =λ,BE =21λ+,BO =22, ∴Rt△BEO 中, 1023122sin 2=λ+==∠BE BO BEO , 因为1>λ,解得34=λ 方法2:∵),1,0(λ=BE ,由(Ⅰ)法1知,BD ⊥平面ACEF , 故)0,1,1(-=是平面ACE 的法向量 记直线BE 与面ACE 所成角为θ,则sin , ;因为1>λ,解得34=λ36．（浙江省乐清市普通高中2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）如图,底角为060的等腰梯形ABFE 垂直于矩形ABCD ,1,2==EF AB . (1)求证:平面⊥ADF 平面BCF ;(2)当AD 长为2时,求二面角A EF D --的余弦值的大小.【答案】(1)证明:∵平面⊥ABEF 平面ABCD ,且AB AD ⊥∴⊥AD 平面ABEF ∵⊂BF 平面ABEF ∴BF AD ⊥①在梯形ABEF 中,BF AF ⊥② 又∵A AF AD = ③由①②③得⊥BF 平面ADF ∴平面⊥ADF 平面BCF(2)解:分别取DC AB EF ,,的中点N M G ,,,两两连接, 易证MGN ∠就是所求二面角的一个平面角α 计算得23=GM ,又∵2==AD MN37．（浙江省六校联盟2013届高三回头联考理科数学试题）如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD, ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.(Ⅰ)证明:CD ⊥AE;(Ⅱ)证明:PD⊥平面ABE;(Ⅲ)求二面角A-PD-C的正切值.【答案】38．（浙江省温州市2013届高三第三次适应性测试数学(理)试题（word 版） ）已知四棱锥ABCD P -,⊥PA 底面ABCD ,AC AD AB BC AD ,,//⊥与bd 交于点O ,又,6,32,2,3====BC AB AD PA(Ⅰ) 求证:⊥BD 平面PAC ;(Ⅱ)求二面角A PB O --的余弦值.【答案】39．（浙江省重点中学协作体2013届高三摸底测试数学（理）试题）如图,斜三棱柱111C B A ABC -,已知侧面C C BB 11与底面ABC 垂直且∠BCA =90°,∠160B BC = ,1BB BC ==2,若二面角C B B A --1为30°,(Ⅰ)证明C C BB AC 11平面⊥及求1AB 与平面C C BB 11所成角的正切值; (Ⅱ)在平面B B AA 11内找一点P,使三棱锥C BB P 1-为正三棱锥,并求P 到平面C BB 1距离【答案】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想及应用意识. 满分14分.解:(Ⅰ)面C C BB 11⊥面ABC ,因为面C C BB 11⋂面C C BB 11=BC ,BC AC ⊥, 所以⊥AC 面C C BB 11取1BB 中点E ,连接AE CE ,,在1CBB ∆中,01160,2=∠==CBB CB BB1CBB ∆∴是正三角形,1BB CE ⊥∴,又⊥AC 面C C BB 11且⊂1BB 面C C BB 11, AE BB ⊥∴1,即CEA ∠即为二面角C B B A --1的平面角为30°,⊥AC 面C C BB 11,CE AC ⊥∴,在ECA Rt ∆ 中,130tan ,30=⋅=∴=CE AC CE ,又⊥AC 面C C BB 11,A CB 1∠∴即1AB 与面C C BB 11所成的线面角, 在CA B Rt 1∆中,21tan 11==∠CB AC A CB (Ⅱ)在CE 上取点1P ,使1211=E P CP ,则因为CE 是BC B 1∆的中线, 1P ∴是BC B 1∆的重心,在ECA ∆中,过1P 作P P 1//CA 交AE 于P ,⊥AC 面C C BB 11,P P 1//CA⊥∴1PP 面1CBB ,即P 点在平面1CBB 上的射影是1BCB ∆的中心,该点即为所求,ABC11 1A C BCD且311=AC PP ,311=∴PP 40．（浙江省温州八校2013届高三9月期初联考数学（理）试题）如图,四棱锥P ABCD -的底面ABCD为矩形,且1PA AD ==,2AB =,120,90PAB PBC ︒︒∠=∠=,(Ⅰ)平面PAD 与平面PAB 是否垂直?并说明理由; (Ⅱ)求直线PC 与平面ABCD 所成角的正弦值.DCBAP【答案】(I)平面PAD ⊥平面PAB ;证明:由题意得AD AB ⊥且//AD BC 又BC PB ⊥,则DA PB ⊥ 则DA ⊥平面PAB ,故平面PAD ⊥平面PAB(Ⅱ)解法1:以点A 为坐标原点,AB 所在的直线为y 轴建立空间直角坐标系如右图示则(0,0,1)D ,(0,2,1)C,1,0)2P -可得5,1)2CP =--,平面ABCD 的单位法向量为(1,0,0)m =,设直线PC 与平面ABCD 所成角为θ,则cos()2||||m CP m CP πθ⋅-===⋅则sin θ=,即直线PC 与平面ABCD解法2:由(I)知DA ⊥平面PAB ,∵AD ⊂面ABCD ∴平面ABCD⊥平面PAB,在平面PAB 内,过点P 作PE⊥AB,垂足为E,则PE⊥平面ABCD,连结EC,则∠PCE 为直线PC 与平面ABCD 所成的角, 在Rt△P EA中,∵∠PAE=60°,PA=1,∴PE =,又2222cos1207PB PA AB PA AB =+-⋅=∴PC ==在Rt△PEC中sin PE PC θ===41．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））如图,在四面体BCDA -中,⊥AD 平面BCD ,22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是AD 的中点,P 是BM 的中点,点Q 在线段AC 上,且QC AQ 3=.(1)证明://PQ 平面BCD ;(2)若二面角D BM C --的大小为060,求BDC ∠的大小.【答案】解:证明(Ⅰ)方法一:如图6,取MD 的中点F ,且M 是AD 中点,所以3AF FD =.因为P 是BM 中点,所以//PF BD ;又因为(Ⅰ)3AQ QC =且3AF FD =,所以//QF BD ,所以面//PQF 面BDC ,且PQ ⊂面BDC ,所以//PQ 面BDC;方法二:如图7所示,取BD 中点O ,且P 是BM 中点,所以1//2PO MD ;取CD 的三等分点H ,使3DH CH =,且3AQ QC =,所以11////42QH AD MD ,所以////PO QH PQ OH ∴,且ABCDPQM（第20题图）OH BCD ⊂,所以//PQ 面BDC ;(Ⅱ)如图8所示,由已知得到面ADB ⊥面BDC ,过C 作CG BD ⊥于G ,所以CG BMD ⊥,过G 作GH BM ⊥于H ,连接CH ,所以CHG ∠就是C BM D --的二面角;由已知得到3BM ==,设BDC α∠=,所以cos ,sin ,sin ,,CD CG CBCD CG BC BD CD BDαααααα===⇒===,在RT BCG ∆中,2sin BGBCG BG BCααα∠=∴=∴=,所以在R T B H G ∆中, 13HG =∴=,所以在RT CHG ∆中tan tan 60CG CHG HG ∠====tan (0,90)6060BDC ααα∴=∈∴=∴∠= ;42．（浙江省诸暨中学2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）如图,已知四棱锥ABCDP -中,⊥PA 平面ABCD ,底面ABCD 是直角梯形,90DAB ABC ∠=∠=︒,E 是线段PC 上一点,PC ⊥平面BDE . (Ⅰ)求证:BD ⊥平面PAC(Ⅱ)若4PA =,2AB =,1BC =,求直线AC 与平面PCD 所成角的正弦值.。
2013-2014学年下学期期末高二数学试卷(理)(含答案)
2013-2014学年下学期期末高二数学试卷（理）（含答案）选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知全集I ＝R ，若函数，集合M ＝{x|}，N ＝{x|}，则 ( ) A. ⎣⎡⎦⎤32，2 B. ⎣⎡⎭⎫32，2 C. ⎝⎛⎦⎤32，2 D. ⎝⎛⎭⎫32，2 2.下列命题，正确的是（ ）A.若z ∈C ，则z2≥0B.若a ，b ∈R ，且a>b ，则a ＋i>b ＋iC.若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数D.若z ＝1i，则z3＋1对应的点在复平面内的第一象限 3.用数学归纳法证明,在验证1n =成立时,左边所得的项为( ) A. 1 B. 1+a C. 21a a ++ D. 231a a a +++ 4.若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x ===⎰⎰⎰则的大小关系为（ ） A ．123S S S << B ．213S S S << C ．231S S S << D ．321S S S <<5.设Sn ＝1＋2＋3＋…＋n ，n ∈N*，则函数 f(n)＝Sn ＋＋1 的最大值为( ) A.120 B.130 C.140 D.1506.若，且函数 在处有极值，则的最大值等于( )A.2B.3C.6D. 97. p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc· b m ＋d n(m 、n 、a 、b 、c 、d 均为正数)，则p 、q 的大小关系为( )[来源:21世纪教育网]A ．p≥qB ．p≤qC ．p>qD ．不确定 8.观察式子：，， ，… ，则可归纳出式子为( ) A.( B. C. D.9.设函数的定义域为R,是的极大值点,则以下结论一定正确的是（ ） A.B.是的极小值点 [来源:21世纪教育网]C. 是的极小值点D.是的极小值点10.若 的最小值为（ ）A. B. C. D.11.已知函数6761)(3+-=x x f 在点处的切线方程为 则满足约束条件的点的可行域面积为 （ ） A. 6 B. 7C. 8 D ．9 12.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）。
【新课标版】2013-2014学年高二下学期期末考试 数学理 Word版含答案
2013-2014学年度下学期期末考试高二数学理试题【新课标】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合}4,3,2,1,0{=A ，集合},2|{A n n x x B ∈==，则=B A （ ）A 、}0{B 、}4,0{C 、}4,2{D 、}4,2,0{2、投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数2)(ni m -为纯虚数的概率为（ ）A 、61B 、41C 、31D 、121 3、已知两不共线向量a=（cos α，sin α），b =（cos β，sin β），则下列说法不正确的是（ ）A 、1==b aB 、())(b a b a-⊥+C 、a 与b的夹角为βα-D 、a 在b a+方向上的射影与b 在b a +方向上的射影相等4、已知α是第二象限角，且53)sin(-=+απ，则α2tan 的值为 （ ） A 、54 B 、724- C 、 725- D 、924-5、在等比数列{}n a 中，若4a ，8a 是方程0342=+-x x 的两根，则6a 的值是（ ）C ．3± 6、某班级有70名学生，其中有30名男生和40名女生， 随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93，下列说法正确的是 （ ） A 、这种抽样方法是一种分层抽样 B 、这种抽样方法是一种系统抽样C 、这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D 、该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数7、给定命题p ：函数)42sin(π+=x y 和函数)432cos(π-=x y 的图象关于原点对称；命题q ：当)(,2Z k k x ∈+=ππ时，函数)2cos 2(sin 2x x y +=取得极小值．下列说法正确的是（ ）A 、q p ∨是假命题B 、q p ∧⌝是假命题C 、q p ∧是真命题D 、q p ∨⌝是真命题 8、函数()4x ex f -=π的部分图象大致是（ ）9、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）A 、1311B 、2113C 、813D 、13810、半径为1的球面上的四点A ，B ，C ，D 是正四面体的顶点， 则A 与B 两点间的球面距离为（ ）A 、)33arccos(- B 、)36arccos(- C 、)31arccos(-D 、)41arccos(-11、已知函数()y f x =是定义在实数集R 上的奇函数，且当(,0),()()0x f x xf x '∈-∞+<时成立（其中()()f x f x '是的导函数），若)2(2f a =，)3(log )3(log 77f b =，)81(log )81(log 22f c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A 、c a b >>B 、c b a >>C 、a b c >>D 、a c b >>12、如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB=2AD ，设θ=∠DAB ，） 2，0（πθ∈，以A ，B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为1e ，以C ，D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为2e ，则 （ ）A 、随着角度θ的增大，1e 增大，21e e 为定值第9题图B 、随着角度θ的增大，1e 减小，21e e 为定值C 、随着角度θ的增大，1e 增大，21e e 也增大D 、随着角度θ的增大，1e 减小，21e e 也减小二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江省宁波效实中学2013-2014学年高二下学期期末考试数学【理】试题及答案
宁波效实中学2013-2014学年高二下学期期末考试数学理试题说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分．第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 是虚数单位，则2(12)i -=（A ）34i -+ （B ）34i -- （C ）52i - （D ）54i - 2．若α是第二象限角，且1tan()2πα-=，则3cos()2πα-= （A（B） （C（D）3．已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则 （A ）c a b >> （B ）a c b >> （C ）a b c >> （D ）c b a >>4．下列函数中最小正周期是π的函数是（A ）sin cos y x x =+ （B ）sin cos y x x =- （C ）sin cos y x x =- （D ）sin cos y x x =+ 5．函数()sin()=+f x A x ωϕ（其中0,||2><A πϕ）的图象如图所示，为了得到()sin 2=g x x 的图象，则只要将()f x 的图象（A ）向右平移12π个单位长度 （B ）向右平移6π个单位长度 （C ）向左平移6π个单位长度 （D ）向左平移12π个单位长度6．已知22ππθ-<<，且sin cos θθ+=，则tan θ的值为 （A ）3- （B ）3或13 （C ）13- （D ）3-或13- 7．ABC ∆中，,2,45a x b B ==∠=，则“2x <<是“ABC ∆有两个解”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件第5题8．已知函数1)(-=x e x f ，34)(2-+-=x x x g ，若存在实数,a b ，满足)()(b g a f =，则b 的取值范围是（A ）)3 ,1( （B ）]3 ,1[ （C ）)22 ,22(+- （D ）]22 ,22[+- 9．已知)(x f y =是定义在R 上的奇函数，且)2()2(x f x f -=+ππ，对于函数)(x f y =，给出以下几个结论：①)(x f y =是周期函数； ②π=x 是)(x f y =图象的一条对称轴；③)0,(π-是)(x f y =图象的一个对称中心； ④当2π=x 时，)(x f y =一定取得最大值．其中正确结论的序号是（A ）①③ （B ）①④ （C ）①③④ （D ）②④ 10．设偶函数)(x f y =和奇函数)(x g y =的图象如下图所示：集合A ={}0))((=-t x g f x 与集合B ={}0))((=-t x f g x 的元素个数分别为b a ，，若121<<t ， 则b a -的值不．可能是 （A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2第Ⅱ卷（非选择题 共70分）二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分． 11．若α的终边所在直线经过点33(cos,sin )44P ππ，则sin α=__ ▲ _． 12．已知在ABC ∆中，tan tan tan A B A B +=⋅，则角C =__ ▲ _． 13．函数214cos y x =+的单调递增区间是__ ▲ _．14．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+<=⎨-≥⎩，若()()0f a f a -+≤，则a 的取值范围是__ ▲ _．15．方程24cos sin 40x x m ++-=恒有实数解，则实数m 的取值范围是__ ▲ _．16．在ABC ∆中，已知sin sin cos sin sin cos sin sin cos A B C A C B B C A ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅，若,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，则2c ab的最小值为__ ▲ _．17．若直角坐标平面内两点,P Q 满足条件：①,P Q 都在函数)(x f y =的图象上；②,P Q 关于原点对称，则称(,)P Q 是函数)(x f y =的一个“伙伴点组”（点组(,)P Q 与(,)Q P 看作同一个“伙伴点组”）．已知函数2(1),0()1,k x x f x x x +<⎧=⎨+≥⎩有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是__ ▲ _．三、解答题：本大题共5小题，共49分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．已知0a >且1a ≠，设:P 函数x y a =在R 上单调递减，:Q 函数2ln(1)y x ax =++的定义域为R ，若P 与Q 有且仅有一个正确，求a 的取值范围．19．ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知60,1a A b c =--，求,b c 和,B C ．20．已知函数x x x x f cos sin 2cos 2)(2+=． （Ⅰ）求()12f π的值；（Ⅱ）记函数ππ()()()44g x f x f x =-⋅+，若[,]123x ππ∈，求函数)(x g 的值域． 21．已知函数()()2log f x x a =+.（Ⅰ）当1a =时，若()()10f x f x +->成立，求x 的取值范围；（Ⅱ）若定义在R 上奇函数)(x g 满足()()2g x g x +=-，且当01x ≤≤时，)()(x f x g =，求()g x在[]3,1--上的解析式，并写出()g x 在[]3,3-上的单调区间（不必证明）；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的()g x ，若关于x 的不等式321()()822x x t g g +-≥-+在R 上恒成立，求实数t 的取值范围．22．已知,a b 是实数，函数2()3f x x a =+，()2g x x b =+，若()()0f x g x ⋅≥在区间I 上恒成立，则称()f x 和()g x 在区间I 上为“Ω函数”．（Ⅰ）设0a >，若()f x 和()g x 在区间[1,)-+∞上为“Ω函数”，求实数b 的取值范围； （Ⅱ）设0a <且a b ≠，若()f x 和()g x 在以,a b 为端点的开区间上为“Ω函数”，求a b -的最大值．参考答案一、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
浙江省宁波市2013-2014学年高二下学期期末考试数学文试题
浙江省宁波市2013-2014学年高二下学期期末考试数学文试题说明：1．本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟。
2．请将答案全部填写在答题卡上。
选择题部分(共50分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{|ln(1)}A x y x ==+，{}2,1,0,1B =--，则()R A B =ð（ ）A . }2{-B . {2,1}--C . }0,1,2{--D . {2,1,0,1}-- 2. 若a 、b 为实数，则“01ab <<”是“10a b<<”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3．平面向量a 与b 的夹角为120，且a (2,0)=，b 1=，则2=a +b ( ) A. 4B.C. 2D.4. 已知直线,m l ，平面,αβ，且,m l αβ⊥⊂，给出下列命题，其中正确的是（ ） A. 若//αβ，则m l ⊥ B. 若αβ⊥，则//m l C. 若m l ⊥，则//αβ D. 若//m l ，则//αβ5．已知函数2()4f x x =-,()y g x =是定义在R 上的奇函数,当0x >时,2()log g x x =,则函数()()f x g x ⋅的大致图象为( )A .B .C ．D ．6．数列{}n a 的首项为1，数列{}n b 为等比数列，且1n n na b a +=，若1016b b ⋅=则20a =（ ） A . 12 B . 13 C . 1 D . 27. 将函数()2sin(2)4f x x π=+的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原的12倍，所得图象关于直线4x π=对称，则ϕ的最小正值为（ ） A ．34π B ．12π C ．38π D ．18π8. 已知抛物线1C ：y x 22=的焦点为F ，以F 为圆心的圆2C 交1C 于,A B 两点，交1C 的准线于,C D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则圆2C 的方程为（ ）A . 22(1)12x y +-=B . 22(1)16x y +-=C . 221()32x y +-= D . 221()42x y +-= 9．已知正实数,a b 满足21a b +=，则2214a b ab++的最小值为（ ） A .72B . 4C .16136D .17210．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()[)[)()()222,0,1,22,1,0,x x f x f x f x x x ⎧+∈⎪=+=⎨-∈-⎪⎩且，()252x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为（ ） A ．7- B ．6- C ．8- D ．0非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7个小题，每小题4分，共28分.把答案填在答题卷的相应位置. 11. 已知函数2l o g ,0,()31,0,xx xf x x >⎧=⎨+≤⎩则1(())4f f 的值是___________12. 直线l 与圆222410x y x y ++-+=相交于A ,B 两点，若弦AB 的中点()2,3-，则直线l 的方程为_____________ 13. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 __ __14．已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+011y y x y x 所表示的平面区域为D ，若直线k kx y 3-=与平面区域D 有公共点，则k 的取值范围为15．如果关于x 的不等式()0f x <和()0g x <的解集分别为(,)a b 和（11,b a ），那么称这两个不等式为对偶不等式。
2013-2014学年下学期期末高一数学(理)试卷(含答案)
2013-2014学年下学期期末高一数学（理）试卷（含答案）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项）1.已知3(,)2a ππ∈，且4tan 3α=，则sin α= （ ） A ．53- B ．53C ．54-D ．542.已知0＜α＜π，且12cos 13α=-，则sin 2α= （ ） A ．169120 B ．169120- C ．169120±D ．16960± 3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知6510,20a S ==，则9a =（ ）A ．8B ．12C ．16D ．244.若1a =，2b =()()22a b a b +⊥-，则a 与b 的夹角余弦是（ ）A ．23B ．32C ．21-D ．23-5.函数()(1)cos f x x x =的最小正周期为 （ ）A ．2πB ．32πC ．πD ．2π6.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22-=n n a S -4，则4a = （ ） A ．64B ．32C ．16D ．8 7.已知{}n a 为等差数列，若2588a a a π++=，则37cos()a a +的值为（ ）A ．12- B．C ．12 D． 8.数列{}n a 的通项公式11++=n n a n ，若9n S = ,则 n 的值为 （ ）A ．98B ．99C ．96D ．979. sin 54sin18︒︒= （ ）A ．21B ．31C ．41D ．8110.已知向量()2,3a =，(1,4)a b +=，则a 在b 方向上的投影等于（ ）A ．1313-B ．1313C ．22- D．11.ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ,若sin sin A c B b =，()()3b c a b c a bc +++-=，则ABC ∆的形状为 （ ）21世纪教育网A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形12.下列命题：①若)(x f 是定义在[－1，1]上的偶函数，且在[－1，0]上是增函数，)2,4(ππθ∈，则)(cos )(sin θθf f >； ②若锐角α、β满足,sin cos βα> 则2πβα<+;③在ABC ∆中，若B A >，则B A sin sin >； ④要得到函数)42cos(π-=x y 的图象,只需将2sin x y =的图象向左平移4π个单位.其中真命题的个数有 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若tan22α=，则sin α=____________14. 数列{a n }中，若a 1=1，123n n a a +=+（n ≥1），则该数列的通项n a =________。
浙江省宁波市2013-2014学年高一下学期期末考试 数学试题 Word版含答案
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设a 、b 、R c ∈，0<<b a ，则下列不等式一定成立的是.A 22b a < .B 22bc ac < .C b a 11> .D ab a 11>- 2.数列}{n a ：3-、3、33-、9、…的一个通项公式是.A n a n n 3)1(-=(*∈N n ) .B n n n a 3)1(-=(*∈N n ) .C n a n n 3)1(1+-= (*∈N n ) .D n n n a 3)1(1+-=(*∈N n )3.设、l m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题不正确．．．的是 .A 若α⊥l ，α⊂m ，则m l ⊥ .B 若α⊥l ，l ∥m ，则α⊥m .C 若l ⊥α，α⊥m ，则l ∥m .D 若l ∥α,m ∥α,则l ∥m4.等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若84=S ，48=S ，则=+++1211109a a a a.A 16- .B 12- .C 12 .D 165.在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，那么下列给出的各组条件能确定三角形有两解的是.A 10=a ，8=b ， 30=A .B 8=a ，10=b ， 45=A .C 10=a ，8=b ， 150=A .D 8=a ，10=b ， 60=A6. 已知数列}{n a 满足21=a ，)(111*+∈+-=N n a a a n n n ，则=30a .A 2 .B 31 .C 21- .D 3- 7.当10<<a 时，关于x 的不等式12)1(>--x x a 的解集是.A )12,2(--a a .B )2,12(--a a .C ),12()2,(+∞---∞a a .D ),2()12,(+∞---∞ a a8.已知函数x x x f cos sin )(λ+=的图象的一个对称中心是点)0,3(π，则函数()g x ＝x x x 2sin cos sin +λ的图象的一条对称轴是直线 .A 65π=x .B 34π=x .C 3π=x .D 3π-=x 9.若不等式33922++≤≤+t t t t μ对任意的]2,0(∈t 上恒成立，则μ的取值范围是.A ]2172,61[- .B ]2172,132[- .C ]22,61[ .D ]22,132[10.如图，三棱柱111C B A ABC -的各棱长均为2，侧棱1BB 与底面ABC 所成的角为 60，11B AA ∠为锐角，且侧面11A ABB ⊥底面ABC ，给出下列四个结论：①601=∠ABB ； ②1BB AC ⊥；③直线1AC 与平面11A ABB 所成的角为45；④11AC C B ⊥. 其中正确的结论是.A ①③ .B ②④ .C ①③④ .D ①②③④二、填空题：本大题共7个小题，每小题4分，共28分.把答案填在答题卷的相应位置 11.求值：=+ 7cos 52cos 83cos 52sin ___________. 12.圆锥的母线长为3，侧面展开图的中心角为23π，那么它的表面积为___________. 13.将棱长为2的正方体切割后得一几何体，其三视图如图所示， 则该几何体的体积为___________. 14.正数x 、y 满足8=++y x xy ，那么y x +的最小值等于 ___________.15.已知数列}{n a 是首项为3，公差为1的等差数列，数列}{n b是首项为21，公比也为21的等比数列，其中*∈N n ，那么数 列}{n n b a 的前n 项和=n S ________.16.在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，若c b a 、、成等差数列，则角B的取值范围是__________(角用弧度表示).17.在数列}{n a 中，11=a ，326=a ， 212++=n n n a a a （*∈N n ），把数列的各项按如下方法进行分组：(1a )、(432,,a a a )、(98765,,,,a a a a a )、……，记),(n m A 为第m 组的第n 个数（从前到后），若),(n m A ),(m n A ⋅=502，则=+n m ____________.三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18.（本题满分14分）(Ⅰ)已知πθ<<0，31cos sin =+θθ，求θ2cos 的值； (Ⅱ)已知202πβαπ<<<<-，53)cos(=-βa ，135sin =β，求αtan 的值.正视图侧视图俯视图 （第13题图）AA 1CC 1B 1 （第10题图）19.（本题满分14分）在ABC ∆中，c b a 、、分别是角C B A 、、所对的边，且C c B b a A a sin sin )(sin =++. (Ⅰ)求角C ；(Ⅱ)若1=c ，求ABC ∆的周长l 的取值范围. 20．（本题满分14分）某市环保部门对市中心每天环境污染情况进行调查研究，发现一天中环境污染指数)(x f 与时刻x （时）的关系为916|1|)(2++-+=a a x x a x f ，]24,0[∈x ，其中a 是与气象有关的参数，且]41,0(∈a ，用每天)(x f 的最大值作为当天的污染指数，记作)(a M .(Ⅰ)令12+=x xt ，]24,0[∈x ，求t 的取值范围；(Ⅱ)按规定，每天的污染指数不得超过2，问目前市中心的污染指数是否超标？21.（本题满分15分）如图，已知四棱锥ABCD P -的底面为菱形，PA ⊥面ABCD ，且AB PA =， 60=∠BAD ,F E 、分别是BC PA 、的中点. (Ⅰ)求证：BE ∥平面PDF ；(Ⅱ)过BD 作一平面交棱PC 于点M ，若二面角C BD M --的大小为 60，求MPCM的值.PMFADECB(第21题图)22.（本题满分15分）设数列}{n a 的首项11=a ，前n 项和为n S ，且12+n a 、n S 、2a -成等差数列，其中*∈N n . (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)数列}{n b 满足：)18)(18(21--=++n n nn a a a b ，记数列}{n b 的前n 项和为n T ,求n T 及数列}{n T 的最大项.命题：宁海中学 陈金伟审题：象山中学 张美娟、俞建英宁波市 八校联考高一数学参考答案三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18.（本题满分14分）因为πθ<<0，0cos sin >+θθ，所以432πθπ<<，232πθπ<<, ……5分 917)98(12cos 2-=---=θ. ………………………………………………7分（Ⅱ）因为20πβ<<且135sin =β，所以125tan =β， ……………………………9分因为202πβαπ<<<<-，所以0<-<-βαπ，又053)cos(>=-βα,所以02<-<-βαπ，所以34)tan(-=-βα，……11分2013学年所以563312534112534])tan[(tan -=⋅++-=+-=ββαα.……………………………14分因为 600<<A ，所以 1206060<+<A ，1)60sin(23≤+< A ， 32)60sin(321≤+< A ，所以1322+≤<l ，即13322+≤<l . ………14分法2：由余弦定理得，ab b a ab b a c ++=-+=22222120cos 2 ， …………9分 而1=c ，故2222)(43)2()()(1b a b a b a ab b a +=+-+≥-+=，………………11分 所以332≤+b a ， …………………………………………………………………12分 又1=>+c b a ， ……………………………………………………………………13分 所以13322+≤++<c b a ，即13322+≤<l . ………………………………14分20.（本题满分14分）(Ⅰ)(1)当0=x 时，0=t ；………………………………………………………………1分)(t g 在),0[a 上单调递减，在]21,[a 上单调递增，所以)(t g 的最大值只可能在0=t 或21=t21.（本题满分15分）(Ⅰ)取PD 的中点G ,连结EG 、FG ,因为E 是PA 的中点，所以EG ∥AD ,且EG AD 21=，又F 是菱形ABCD 边BC 的中点，所以BF ∥AD ,且BF AD 21=，所以EG ∥BC ,且EG BC =，四边形 EGFB 是平行四边形，所以BE ∥FG ,……………………………………………5分 而⊂FG 平面PDF ,⊄BE 平面PDF ，……………………………………………6分所以BE ∥平面PDF .…………………………………………………………………7分PMFADECB(第21题图)G O(Ⅱ)连结AC 交BD 于O ，连结OM ，因为PA ⊥面ABCD ，所以PA ⊥BD ，即BD ⊥PA ，又BD ⊥AC ，且A AC PA = ,所以BD ⊥平面PAC ，…………10分 从而BD OM ⊥,BD OC ⊥,所以MOC ∠就是二面角C BD M --的平面角， 60=∠MOC ，………………………………………………………………………12分设1=AB ,因为AB PA =， 60=∠BAD ，所以1=PA ,3=AC ,2=PC ,30=∠PCA ,所以 90=∠OMC ,在OCM Rt ∆中,4330cos 23==CM ，…14分 所以5343243=-=MP CM ……………………………………………………………15分22.（本题满分15分）(Ⅰ) 由12+n a 、n S 、2a -成等差数列知，2122a a S n n -=+，………………………1分当2≥n 时，2122a a S n n -=-，所以n n n n a a S S 222211-=-+-，n n a a 21=+ ……………………………………4分 当1=n 时，由22122a a a -=得122a a =， ……………………………………5分 综上知，对任何*∈N n ,都有n n a a 21=+,又11=a ，所以0≠n a ，21=+nn a a .…6分 所以数列}{n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12-=n n a . ……………7分(Ⅱ))182)(182(2)18)(18(112!--=--=+-++n n n n n n n a a a b )18211821(211---=+n n ……10分 )182118211821182118211821(2113221---++---+---=+n n n T )1821161(21)18211821(21111---=---=++n n ，……………………………12分 )182)(92(2)18211821(21111211--=---=-++-+++n n n n n n n T T ，当2≤n 时，n n T T >+1，即3210T T T <<<；当4≥n 时，也有n n T T >+1，但0<n T ；当3=n 时，01<-+n n T T ，n n T T <+1，即34T T <. 所以数列}{n T 的的最大项是3273=T . ……………………………………………15分。
2013-2014学年上学期期末考试高二数学试卷(理)
2013-2014学年上学期期末考试高二数学试卷（理）注意事项：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,满分150分,考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知点(3,1,4)A -，则点A 关于原点的对称点的坐标为（ ）A ．(1,3,4)--B ．(4,1,3)--C ．(3,1,4)--D ．(4,1,3)-2．已知命题：“若x ≥0，y ≥0，则xy ≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3. “0ab >”是“方程221ax by +=表示椭圆”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．与命题“若a M ∈，则b M ∉”等价的命题是( )A ．若a M ∉，则b M ∉B ．若b M ∉，则a M ∈C ．若a M ∉，则b M ∈D ．若b M ∈，则a M ∉5. 已知空间四边形ABCD 中，,,OA a OB b OC c === ，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则MN = （ ）A ．121232a b c -+B ．211322a b c -++C ．111222a b c +- D ．221332a b c +- 6．设α、β、γ为两两不重合的平面，c 、m 、n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①如果α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ②如果m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ③如果α∥β，c ⊂α，则c ∥β； ④如果α∩β＝c ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，c ∥γ，则m ∥n .其中真命题个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7.将两个顶点在抛物线22(0)y px p =>上，另一顶点是此抛物线焦点的正三角形数记为则()A ．n=0B ．n=1C ． n=2D ．n 38．设F 1，F 2是双曲线22221x y a b-= (a >0，b >0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使22()0OP OF F P +∙= (O 为坐标原点)，且|PF 1|PF 2|，则双曲线的离心率为( )A. B.1 D. 1+9.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰十角三角形。
浙江省2014届理科数学复习试题选编25：线性规划(学生版)
浙江省2014届理科数学复习试题选编25：线性规划一、选择题1 ．（浙江省温州市2013届高三第三次适应性测试数学(理)试题（word 版） ）在平面直角坐标系中,不等式组⎩⎨⎧≤-≤xy x 44表示的平面区域的面积是（）A ．216B ．16C ．28D ．82 ．（浙江省宁波市十校2013届高三下学期能力测试联考数学（理）试题）已知实数x .y 满足222242(1)(1)(0)y xx y y x y r r ≤⎧⎪+≤⎪⎨≥-⎪⎪++-=>⎩则r 的最小值为（） A ．1BCD3 ．（浙江省五校2013届高三上学期第一次联考数学（理）试题）若,x y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩,目标函数2z ax y =+仅在点()1,0处取得最小值, 则a的取值范围是 （） A ．()1,2-B ．()4,2-C ．(]4,0-D ．()2,4-4 ．（浙江省十校联合体2013届高三上学期期初联考数学（理）试题）已知变量,x y 满足约束条件241y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩,则3z x y =+的最小值为 ()A 12 ()B 11 ()C 8()D -15 ．（浙江省一级重点中学（六校）2013届高三第一次联考数学（理）试题）已知实数,x y 满足14x x y ax by c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≤⎩,且目标函数2z x y =+的最大值为6,最小值为1,[ 其中0,c b b ≠则的值为 （） A ．4B ．3C ．2D ．16 ．（浙江省宁波市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知点P(3,3),Q(3,-3),O 为坐标原点,动点M(x,y)满足⎪⎩⎪⎨⎧≤⋅≤⋅12||12||,则点M 所构成的平面区域的面积是（） A ．12B ．16C ．32D ．647 ．（浙江省温州中学2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题）设不等式组4,010x y y x x +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域为D .若圆C:222(1)(1)(0)x y r r +++=> 经过区域D上的点,则r的取值范围是() （）A．⎡⎣B．⎡⎣C ．(0,D ．(8 ．（浙江省宁波市鄞州中学2012学年高三第六次月考数学（理）试卷 ）设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≥035321y x y a x 表示的平面区域是W ,若W 中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)共有91个,则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(]1,2--B ．[)0,1-C ．(]1,0D ．[)2,19 ．（浙江省海宁市2013届高三2月期初测试数学（理）试题）若实数,x y 满足约束条件24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩,目标函数z tx y =+有最小值2,则t 的值可以为（） A ．3B ．3-C ．1D ．1-10．（浙江省杭州市2013届高三第二次教学质检检测数学（理）试题）若存在实数x, y 使不等式组0320,60x y x y x y ì- ïïï-+ íïï+- ïïî与不等式20x y m -+ 都成立,则实数m 的取 值范围是 （） A ．m≥0B ．m≤3C ．m≥lD ． m≥311．（浙江省温州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）若实数x ,y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+≥+14222y x y x y x ,则3|x -1|+y的最大值是（） A ．2B ．3C ．4D ．512．（浙江省五校联盟2013届高三下学期第一次联考数学（理）试题）在平面直角坐标系中,不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-≥+ax y x y x 00a (为常数)表示的平面区域的面积为8,则32+++x y x 的最小值为 （） A ．1028- B ．246- C ．245-D ．32 13．（浙江省嘉兴市2013届高三上学期基础测试数学（理）试题）已知不等式组210y x y kx y ≤-+⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩所表示的平面区域为面积等于14的三角形,则实数k 的值为（） A ．-1B ．12-C ．12D ．114．（浙江省绍兴一中2013届高三下学期回头考理科数学试卷）设不等式组 1230x x y y x ≥,⎧⎪-+≥,⎨⎪≥⎩所表示的平面区域是1Ω,平面区域2Ω与1Ω关于直线3x-4y-9=0对称.对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B,|AB|的最小值等于（） A ．285B ．4C ．125D ．215．（浙江省嘉兴市2013届高三第二次模拟考试理科数学试卷）在平面直角坐标系中,不等式2|2|≤≤-x y 表示的平面区域的面积是（） A ．24B ．4C ．22D ．216．（浙江省乐清市普通高中2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥-+303002y x y x ,则52-+=y x z 的最大值与最小值的和为（） A ．-3B ．1C ．3D ．417．（浙江省丽水市2013届高三上学期期末考试理科数学试卷）已知实数y x ,满足不等式组2020350x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，，，则y x +2的最大值是 （） A ．0B ．3C ．4D ．518．（浙江省考试院2013届高三上学期测试数学（理）试题）若整数x ,y 满足不等式组0,2100,0,x y x y y ⎧->⎪--<⎨+-≥ 则2x +y 的最大值是（） A ．11B ．23C ．26D ．3019．（浙江省温岭中学2013届高三冲刺模拟考试数学（理）试题）已知约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-+≥+-083,012043y x y x y x 若目标函数z =x +ay (0≥a )仅在点(2, 2)处取得最大值,则a 的取值范围为 （ ） A ．310<<a B ．31>a C ．31≥a D ．210<<a20．（浙江省杭州二中2013届高三年级第五次月考理科数学试卷）在平面直角坐标系中,有两个区域N M ,,M 是由三个不等式x y x y y -≤≤≥2,,0确定的;N 是随变化的区域,它由不等式)10(1≤≤+≤≤t t x t 所确定.设N M ,的公共部分的面积为)(t f ,则)(t f 等于（）A ．t t 222+-B ．2)2(21-t C ．2211t -D ．212++-t t 21．（浙江省温州八校2013届高三9月期初联考数学（理）试题）设y x ,满足约束条件 ⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+323221y x y x y x ,若ay x ≥+224恒成立,则实数a的最大值为 （） A ．253B ．54 C ．4 D ．122．（浙江省绍兴市2013届高三教学质量调测数学（理）试题（word 版） ）已知实数y x 满足210,330,1,x y x y x ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩则4z x y=-的最小值为（） A ．5B ．2-C ．4-D ．5-23．（浙江省五校联盟2013届高三下学期第二次联考数学（理）试题）已知实数x y 、满足1240y x y x y x my n ≥⎧⎪-≥⎪⎨+≤⎪⎪++≥⎩,若该不等式组所表示的平面区域是一个面积为54的直角三角形,则n 的值是（）A ．32-B ．-2C ．2D ．1224．（2013届浙江省高考压轴卷数学理试题）设变量x 、y 满足1,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪--≥⎩则目标函数z=2x+y 的最小值为 （） A ．6B ．4C ．2D ．3225．（浙江省2013年高考模拟冲刺（提优）测试一数学（理）试题）如图,阴影部分(含边界)所表示的平面区域对应的约束条件是（）A ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-≥+-≥≤010200y x y x y xB ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-≤+-≥≤010200y x y x y xC ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-≥+-≥≤010200y x y x y xD ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-≤+-≥≤010200y x y x y x26．（浙江省温岭中学2013届高三高考提优冲刺考试（三）数学（理）试题 ）设实数x ,y 满足不等式组2y xx y x a ≥+≤≥⎧⎪⎨⎪⎩.若z =3x +y 的最大值是最小值的2倍,则a 的值为（） A ．31B ．3C ．21 D ．227．（浙江省杭州高中2013届高三第六次月考数学（理）试题）已知约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-+≥+-083,012043y x y x y x 若目标函数z =x +ay (a ≥0)恰好在点(2,2)处取得最大值,则a的取值范围为（）A ．0<a <13B ．a ≥13C ．a >13D ．0<a <1228．（浙江省金华十校2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）设不等式组4,010x y y x x +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩表示的平面（第2题）区域为 D ．若圆C:222(1)(1)(0)x y r r +++=>不经过区域D 上的点,则r 的取值范围是 （ ）A．B． C．)+∞D．)+∞29．（浙江省“六市六校”联盟2013届高三下学期第一次联考数学（理）试题）实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤-++-+315164242y x y x y x ,则xyy x u 22+=的取值范围是（） A ．]310,2[ B ．]526,2[ C ．]526,310[D ．]310,1[30．（浙江省温州十校联合体2013届高三期中考试数学（理）试题）已知正数x 、y 满足20350{x y x y -≤-+≥,则14()2x yz -=⋅的最小值为（） A ．1B ．14C ．116D ．132二、填空题31．（浙江省重点中学协作体2013届高三摸底测试数学（理）试题）已知钝角三角形ABC 的最大边长为4,其余两边长分别为y x ,,那么以()y x ,为坐标的点所表示的平面区域面积是______.32．（浙江省2013年高考模拟冲刺（提优）测试二数学（理）试题）已知正数a b c ，，满足:4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则ba的取值范围是________; 33．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））设y kx z +=,其中实数yx ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+04204202y x y x y x ,若z 的最大值为12,则实数=k ________.34．（浙江省温岭中学2013届高三高考提优冲刺考试（五）数学（理）试题）设实数x ,y 满足不等式组2y xx y x a ≥+≤≥⎧⎪⎨⎪⎩,若z =2x -y 的最大值与最小值的和为0,则a 的值为__________.35．（浙江省宁波一中2013届高三12月月考数学（理）试题）已知实数,x y 满足不等式组20302x y x y x y m -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+≤⎩,且z x y =-的最小值为3-,则实数m 的值是__________________.36．（2013年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科数学试题）若整数．．,x y 满足不等式组700y x x y x -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,则2x y +的最大值为________. 37．（浙江省嘉兴市第一中学2013届高三一模数学（理）试题）已知实数x ,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤-≤+2122x y x y x 则z =38．（【解析】浙江省镇海中学2013届高三5月模拟数学（理）试题）已知实数,a b 满足10210,|1|2210a b a b z a b a b -+≥⎧⎪--<=--⎨⎪+-≥⎩,则z 的取值范围是_________. 39．（浙江省新梦想新教育新阵地联谊学校2013届高三回头考联考数学（理）试题 ）已知M ,N 为平面区域360y 200x y x x --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩内的两个动点,向量(1,3)a =r ,则MN a uuu r r g 的最大值是________40．（浙江省稽阳联谊学校2013届高三4月联考数学(理)试题（word 版） ）实数,x y 满足条件360200x y x y x --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩,则2x y +的最小值为__________. 41．（浙江省湖州市2013年高三第二次教学质量检测数学(理)试题(word 版) ）已知实数x y ，满足2212x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪-≤≤⎩，，，,则2z x y =+的最小值是____. 42．（浙江省六校联盟2013届高三回头联考理科数学试题）已知M,N 为平面区域360200x y x y x --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩内的两个动点向量a =(1,3)则MN ·a的最大值是_______________43．（浙江省宁波市2013届高三第一学期期末考试理科数学试卷）已知D 是由不等式组2030x y x y -≥⎧⎨+≥⎩所确定的平面区域,则圆224x y +=在区域D 内的弧长是_________.44．（浙江省黄岩中学2013年高三5月适应性考试数学(理)试卷 ）若变量x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≤34120y x y x y ,则y x z 53+=的最大值是________. 45．（浙江省金丽衢十二校2013届高三第二次联合考试理科数学试卷）若实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧+-≥≥≥-b x y x y y x 02,且2z x y =+的最小值为3,则实数b 的值为______浙江省2014届理科数学复习试题选编25：线性规划参考答案一、选择题 1. B 2. B 3. B. 4. C 5. A 6. C 7. B 8. C 9. C 10. B 11. C 12. B 13. D 14. B 15. B; 16. B 17. C 18. B 19. C 20. D 21. B 22. C 23. A 24. C【解析】由题意可得,在点B 处取得最小值,所以z=2,故选C 25. A 26. C解析:作图可知,若可行区域存在,则必有1≤a ,故排除BD;结合图像易得当1,1==y x 时:4z max =,当a y a x ==,时:a 4z m in =,由442=⨯a ,解得21=a ,故选C. 27. C 28. C 29. B 30. C 二、填空题 31. 84-π32.[,7]e33. 2 34. 13提示 容易知道当x =1,y =1时z 最大=1,当x =a ,y =2-a 是z 最小=3a -2.即3a -2+1=0,所以a =13. 35. m=636. 10解:由题意,绘出可行性区域如下:设2z x y =+,即求2y x z =-+的截距的最大值.因为,x y Z ∈,不妨找出77,22⎛⎫ ⎪⎝⎭附近的“整点”.有(3, 3)、(3, 4)满足. 显然过(3, 4)时,10z =最大.37. 5-38. 122z <≤ 解法1:画出可行域知:10a b --<,转化为已知实数,a b 满足:102102210a b a b a b -+≥⎧⎪--<⎨⎪+-≥⎩,则1z a b =-++的取值范围,代入三个顶点坐标即可得122z <≤. 解法2:问题转化为先求动点(,)a b 到直线10x y --=的距离d 的取值范围,d <≤;由于d ,则122z <≤. 39. 4040. -641. 5-42. 40 43. 2π 44. 9 45.49。
【高考必做卷】浙江省宁波市金兰组织2013-2014学年高二下学期期中考试数学(理科)试题
【高考必做卷】宁波市金兰合作组织高二第二学期期中考试数学（理）试题(2014年4月)选择题部分 (共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1．集合{}0,2,A a =,{}21,B a=,若{}0,1,2,4,16A B = ,则a 的值为 （ ）A. 0B. 1C. 2D. 42．已知),2(ππα∈，53sin =α,则αtan 等于（ ）A ． 43B ． 34C ． 43-D ．34-3．在平行四边形ABCD 中， AC 为一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC ==则AD = （ ）A ．)1,1(B ．()1,1--C ．)4,2(D ．)4,2(--4. 已知b a ,都是实数，那么“22-->b a ”是“b a >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5． 函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-+=0,ln 20,32)(22x x x x x x f 的图像与x 轴的交点个数为（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D. 36．已知平面内三点AC BA x C B A ⊥满足),7(),3,1(),2,2(，则x 的值为（ ） A ． 3 B ． 6 C ． 7 D. 97．已知函数()f x 对任意的实数x ，满足()()f x f x π=-，且当(,)22x ππ∈-时，()sin f x x x =+，则（ ）A.(3)(1)(2)f f f <<B. )2()3()1(f f f <<C.(3)(2)(1)f f f <<D. (1)(2)(3)f f f << 8. 要得到函数πsin (2)3y x =-的图象，只需将函数cos2y x =的图象（ ） A ．向左平移π6个单位 B ．向左平移5π12个单位C ．向右平移5π12个单位 D ．向右平移π3个单位 9．在ABC ∆中,若AD 是边BC 上的高,且BC AD =,则ACABAB AC +的最大值是（ ） A ．2B ．5C ．6D ．310．已知函数x x a x f +-=)(（a 为常数，且*N a ∈），对于定义域内的任意两个实数1x 、2x ，恒有1|)()(|21<-x f x f 成立，则正整数a 可以取的值有（ ）A ．4个B ．5个C ．6 个D ．7个非选择题部分 (共100分)二、 填空题 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分。
2013--2014学年(下)期末考试卷高二数学(理科)
2013--2014学年（下）期末考试卷高二数学（理科）满分：150分 考试时间：120分钟2014.6一、选择题 (本大题共10小题，每题5分，合计50分)1．在复平面上，复数(2i)i z =-+的对应点所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.下列函数中，与函数y =有相同定义域的是( ) A . ()xf x e = B.1()f x x=C. ()||f x x =D. ()ln f x x = 3.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ）4．若集合2{|20}A x x x =--<，{|2}B x x a =-<<， 则“A B ≠∅”的充要条件是( )A ． 2a >-B ．2a ≤-C ．1a >-D ．1a ≥-5.曲线y 2=x 与直线y = x 所围成的图形的面积为( )A.B.C. D.6.设二次函数在区间[0,1]上单调递减，且，则实数m.的取值范围是( )A. (,0]B. [2,)C. (,0][2,)D.[0,2]7.定义运算()()a ab a b b a b ≤⎧⊗=⎨>⎩，则函数xx f 21)(⊗=具有如下性质（ ）A ．最大值为1 B, 最小值为1C. 在区间()0,∞-上单调递减D. 在区间()+∞,0上单调递增8．设0>a ，若关于x 的不等式51≥-+x ax 在）∞+∈,1(x 恒成立， 则a 的最小值为( ) A ． 16B ． 9C ．4D ． 29．有3个男生和3个女生参加某公司招聘，按随机顺序逐个进行面试，那么任何时候等sA ．sssB ．C ．D ．待面试的女生人数都不少于男生人数的概率是( )A ．12B ．14C ．124D ．114410．定义在R 上的函数()f x 及其导函数()f x ' 的图象都是连续不断的曲线，且对于实数,()a b a b < 有()0,()0f a f b ''><．现给出如下结论：①00[,],(=0x a b f x ∃∈）；②00[,],(()x a b f x f b ∃∈>）；③00[,],(()x a b f x f a ∀∈≥）；④00[,],(()()()x a b f a f b f x a b '∃∈->-）. 其中结论正确的个数是( )A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4：定义在R 上的函数f （x ）及其导函数f ′（x ）的图象都是连续不断的曲线，且对于实数a ，b （a ＜b ），有f'（a ）＞0，f ′（b ）＜0，说明在区间（a ，b ）内存在x 0，使f ′（x 0）=0，所以函数f （x ）在区间（a ，b ）内有极大值点，同时说明函数在区间[a ，b]内至少有一个增区间和一个减区间．由上面的分析可知，函数f （x ）在区间[a ，b]上不一定有零点，故①不正确；因为函数在区间（a ，b ）内有极大值点，与实数b 在同一个减区间内的极大值点的横坐标就是存在的一个x 0，所以②正确；函数f （x ）在区间[a ，b]的两个端点处的函数值无法判断大小，若f （b ）＞f （a ），取x 0=a ，则③不正确； 当f （a ）＞f （b ），且x 0是极大值点的横坐标时结论④正确． 故选B ．二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 11．()2321d xx -+=⎰ .12. 若随机变量2~(,)X N μσ，则()P X μ≤=________. 13．523)1(xx +展开式的常数项是 ． 14.设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =的图像关于直线21=x 对称，则 .______________)5()4()3()2()1(=++++f f f f f 15．对于非空实数集A ，记*{,}A y x A y x =∀∈≥．设非空实数集合P M ⊆，若1>m 时，则P m ∉． 现给出以下命题：①对于任意给定符合题设条件的集合M 、P ，必有**M P ⊆； ②对于任意给定符合题设条件的集合M 、P ，必有*M P ⋂≠∅； ③对于任意给定符合题设条件的集合M 、P ，必有*M P ⋂=∅；④对于任意给定符合题设条件的集合M 、P ，必存在常数a ，使得对任意的*b M ∈，恒有*a b P +∈，其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号）解：由A*={y|∀x ∈A ，y ≥x}．可知：数集A*是数集A 的所有上界组成的集合． ①分别用A max 、A min 表示集合A 的所有元素（数）的最大值、最小值． 由M ⊆P 及A*的定义可知：M max ≤ M* min ，P max ≤P* min ，M* min ≤P max ，∴M* min ≤P* min，∴必有P *⊆M *．故①正确．②若设M=（-∞，1）=P ，满足M ⊆P ，而M *=[1，+∞），此时M *∩P=∅，故②不正确． ③若设M=（-∞，1]=P ，满足M ⊆P ，而P *=[1，+∞），此时M ∩P *={1}≠∅． ④由①可知：对于M ⊆P ，必有P*⊆M*；取a= P* min -M* min，则对于任意的b ∈M*，必恒有a+b ∈P*． 故正确命题是①④．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. (本题满分13分)设实数,a b 满足29a b +=． （Ⅰ）若93b a -+<，求a 的取值范围；（Ⅱ）若,0a b >，且2z a b =，求z 的最大值．17. (本题满分13分) 在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 已知点M 的极坐标为(,)4π，曲线C 的参数方程为1c os ,(s i n x y ααα⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数）． （Ⅰ）求直线OM 的直角坐标方程；（Ⅱ）求点M 到曲线C 上的点的距离的最小值．18.( 本题满分13分) 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式210(6)3ay x x =+--，其中36x <<，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (Ⅰ) 求a 的值； (Ⅱ) 若该商品的成本为3元/千克, 试确定销售价格x 的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大．19. (本题满分13分) 某商场“五.一”期间举行有奖促销活动，顾客只要在商店购物满200元就能得到一次摸奖机会.摸奖规则是：在盒子内预先放有6个形状和大小相同的球，其中两个球标号是0，三个球标号是20，还有一个球标号是40.顾客依次从盒子里摸球，每次摸一个球（不放回），若累计摸到两个标号为0的球就停止摸球，否则将盒子内球摸完才停止.奖金数为摸出球的标号之和（单位：元），已知某顾客得到一次摸奖机会. （Ⅰ）求该顾客摸两次球被停止的概率；（Ⅱ）设ξ（元）为该顾客摸球停止时所得的奖金数，求ξ的分布列及数学期望E ξ.20. (本题满分14分)已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2＋2x ． (Ⅰ)求函数g (x )的解析式；(Ⅱ)解不等式g (x )≥f (x )－|x －1|；(Ⅲ)若h (x )＝g (x )－λf (x )＋1在[－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．21. （本题满分14分）已知函数()f x ={321ln 1x x bx c x a x x -+++<≥，，的图象过坐标原点O ，且在点))1(,1(--f 处的切线的斜率是-5。
2013—2014学年度高二下学期期末考试数学试卷(文)
2013—2014学年度高二下学期期末考试 数学试卷（文）选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知全集U =R ，集合{}11,02x M x x N x x +⎧⎫=≥=>⎨⎬-⎩⎭，则M N =（ ）A. [1,)+∞B. (2,)+∞C.(1,2]-D.[1,2)-2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c，若045a b B ===，则角A 等于()．A ． 030 B. 060 C ．0120 D ．0060120或3．如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随 机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为( )．A.43B.83C.23D ．无法计算4. 已知tan 2α=，则2sin sin cos ααα-的值是（ ）A.25B.25－C.-2D. 25. 设向量a =（1,cos θ）与b =（-1,2cos θ）垂直，则cos 2θ等于 （ ）A．2 B.12 C .0 D.-16.给定函数①12y x =，②12log (1)y x =+，③1y x =-，④12x y +=，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④7.如图是函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><其中的图象的一部分， 则( )．xA．1,23πωϕ==B.1,26πωϕ==C.2,3πωϕ==D.2,6πωϕ==8.已知()f x是定义在R上的偶函数，并满足1(2)()f xf x+=-，当01x≤≤时，()2f x x=-，则( 6.5)f-＝()A．12B．23C．32D．139．函数)(xf的定义域为区间[,]a b，导函数)('xf在[,]a b内的图象如图所示，则函数)(xf在区间[,]a b内有极小值点()A．1个B．2个C．3个D．4个10.函数2sin cos()44y x xππ⎛⎫=++⎪⎝⎭图象的一个对称轴方程是( )A.π=8xB.π=4xC.π=2xD.34π11. 若,x y满足约束条件0,40,0,x yx yx+≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则3z x y=-（）A．有最小值-8，最大值0 B.有最小值-4，最大值0 C.有最小值-4，无最大值 D.有最大值-4，无最小值12.若0,022ππαβ<<-<<，1cos()43πα+=，cos()423πβ-=，则cos()2βα+＝()．A.33B．－33 C.539D．－69二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）13.35cos()3π-的值是．14. 函数-1()=-2xf x a恒过定点.15. 函数2223()(5)m mf x m m x--=+-是幂函数，且在(0,)x∈+∞上是减函数，则实数m=.16. 函数)(coscossin2sin22Rxxxxxy∈--=的单调递增区间为.三、解答题17．(10 分)在极坐标系中，求直线sin()24πρθ+=被圆ρ＝4截得的弦长。
浙江省宁波市2013-2014学年高一第一学期期末考试数学试卷(解析版)
浙江省宁波市2013-2014学年高一第一学期期末考试数学试卷（解析版）一、选择题1（A （B （C （D 【答案】A 【解析】2，即B ={2}A 为正确答案.考点：集合的运算. 2．)60sin(︒-（A （B （C （D【答案】C【解析】试题分析：故C 为正确答案. 考点：三角函数的诱导公式、三角函数值的计算.3（A （B （C （D 【答案】A 【解析】试题分析：所以该. 考点：函数的奇偶性、周期性.4（A （B （C （D 【答案】D【解析】试题分析：（A（B是R上的减函数；（C（D）D为正确答案.考点：函数的单调性.5（A（B（C（D【答案】D【解析】D为正确答案.考点：分段函数求值.6（A（B（C（D【答案】B【解析】试题分析：B为正确答案.考点：函数的单调性和值域的求法.7（A （B（C（D 【答案】B 【解析】 试题分析：根据新定义，可知2,0xB 为正确答案.考点：新定义问题、函数值域的求法.8（A（B（C（D【答案】B 【解析】①；又②，①+考点：向量的加减运算法则. 9（A（B （C（D【答案】A 【解析】试题分析：将函数的图像向左平移个单位，得=；而所得图像关轴对称，即A为正确答案.考点：三角函数的平移变换、奇偶性.10（A（B（C（D【答案】C【解析】根据函数的单调性可求得C为正确答案.考点：三角函数的运算、三角函数的性质.二、填空题11的定义域是．【解析】试题分析：由定义域的求法知，考点：函数定义域的求法. 12【解析】考点：对数函数的运算.13a b ==b【解析】试题分析：因为)b，所以考点：向量的数量积.14【解析】=-2.考点：三角函数之间的关系、诱导公式. 15的值域为 ．【解析】试题分析：当时，，在区间上考点：三角函数的值域求法、函数性质.16，则【解析】 试题分析：定义上的奇函数，所，求得；而7考点：函数奇偶性.17．若函数对于上的任意都有的取值范围是 ．【解析】考点：函数的单调性.三、解答题18【解析】再根据得，即512（7分）（14分）考点：三角函数之间的关系及运算.19．（1（2【答案】（1（2．【解析】试题分析：（1y轴，从而可求得实数的值；（2）把代入，用换元法设，则2试题解析：（1（4分）（2（8分）．（14分）考点：函数的性质、函数定义域及值域的求法.20．已知点是函数，一个周期内图象上的两点，满足（1（2【答案】（1（2【解析】试题分析：（1，；又，有已知条件可知)，，进而可得，所以的表达式为)（2）关于x.试题解析：（1（3分）（6分），，（9分） （2即（14分）考点：三角函数的性质、函数的零点、向量的数量积.21为实数）． （1； （2c 的最小值，并求出此时向量【答案】（1；（22c2c=【解析】试题分析：（1；（2(1c =-2c=试题解析：（1（4分）； （6分）（2(1c =-（9分）2c=（12分）2c = （15分）考点：向量的坐标表示、向量的数量积等运算. 22． （1（2【答案】（1. （2【解析】试题分析：（1（2）由（1试题解析：（1证明如下：（6分）（2（9分）（11分），（13分）（15分）考点：函数的单调性、分段函数求值域问题.第11 页共11 页。
2013-2014学年高二下学期数学(理)活动单学案：第1课时——矩阵的概念
【学习目标】 1、 了解矩阵产生的背景，并会用矩阵形式表示一些实际问题；2、了解矩阵的相关知识，如行、列、元素，零矩阵的意义和表示。
【学习重点】 矩阵的概念的理解【活动过程】活动一：情景引入1、已知向量 ，O （0，0），P （1，3）。
因此向量 =（1，3）2、某电视台举行的歌唱比赛,甲、乙两选手初赛、复赛成绩如表：3、下列方程组中未知数x,y,z 的系数按原来顺序排列：活动二：构建数学 。
1、 矩阵及其表示：2、 几种特殊的矩阵：3、矩阵的相等：4、矩阵与列向量的关系：活动三：数学应用。
1、用矩阵表示下图中的，其中A （-1，0），B （0，2），C （2，0）80906085⎡⎤⎢⎥⎣⎦简记为231,3242x y mz x y z ++=⎧⎨-+=⎩23324m ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦简记为O x y P(1,3) 13⎡⎤⎢⎥⎣⎦简记为13op op ABC ∆【课后作业】1、用矩阵表示ABC ∆其中2(-A .0) )0.3()2.0(C B2、设矩阵A 为二阶矩阵，且规定2.1,1,22==-=j i j i a ij ，求A 。
22,,32-,,,.x m n x y B y x y m n x y m n ++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦、设Ａ＝＝若Ａ＝Ｂ，求的值⎡⎤⎢⎥⎣⎦０１３４思考：用矩阵Ｍ＝表示平面中的图形，０２２０请问：该图形有什么几何特征?3、已知][3202x x A -= ][322+=y x y B 若,B A =求y x ,4、已知⎢⎣⎡-=ββsin cos 1A ⎢⎣⎡=⎥⎦⎤+21,1sin cos B αα ⎥⎥⎦⎤12，若B A =，求βα,。
5、已知平面上一个正方形的四个顶点用矩阵表示为⎢⎣⎡00c a 20⎥⎦⎤d b ，求d c b a ,,,及正方形的面积。
6、已知⎢⎣⎡2132⎥⎦⎤b a 是一个正三角形的三个顶点坐标所组成的矩阵，求b a ,。
2013-2014学年下学期期末考试高二数学(理)试卷
2013-2014学年下学期期末考试高二数学（理）试卷说明：本试卷为发展卷，采用长卷出题、自主选择、分层计分的方式，试卷满分150分，考生每一大题的题目都要有所选择，至少选作120分的题目，多选不限。
试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共80分）一、选择题（本大题共16个题，每题5分，共80分，请将答案填涂在答题卡上）1.(48)i i -的虚部是（ ）A ．-8B ．8i -C ．4D ．4i2.若命题“p q ∧”为假，且“p ⌝”为假，则（ ）A ．p 假q 真B ．p 真q 假C ．p 和q 均为真D ．不能判断,p q 的真假 3.1()f x x =，则'(2)f -等于（ ）A ．4B ．14C ．4-D ．14-4.下列各组向量中不平行的是（ ） A ．)4,4,2(),2,2,1(--=-=b a B ．)0,0,3(),0,0,1(-==d cC ．)0,0,0(),0,3,2(==f eD ．(2,3,5),(4,6,10)g h =-=5.抛物线28y x =的焦点到准线的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．86.抛掷红、蓝两枚骰子，事件A=“红色骰子出现点数3”，事件B=“蓝色骰子出现偶数点”，则()P B A =（ ）A ．12B ．13C ．16D ．1127.“a c b d +>+”是“a b >且c d >”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8.函数)0,4(2cos π在点x y =处的切线方程是（ ） A ．024=++πy x B ．024=+-πy x C ．024=--πy x D ．024=-+πy x9. 10(2)x e x dx +⎰等于（ ）A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋110.如图，四面体O ABC -中，,,,OA a OB b OC c === D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则向量OE 用向量,,a b c表示为（ ）A ．111222OE a b c =++B ．111244OE a b c=++C ．111444OE a b c =++D ． 1144OE a b c=++11.用反证法证明命题“若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是（ ）A ．假设,,a b c 都是偶数B ．假设,,a b c 都不是偶数C ．假设,,a b c 至多有一个是偶数D ．假设,,a b c 至多有两个是偶数12. 双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =（ ）A ．14-B ．4-C ．4D ．1413.函数32()1f x x ax x =-+--在(,)-∞+∞上是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A．(,)-∞+∞ B．[ C．(,)-∞+∞ D．(14.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）Ａ．1440种 Ｂ．960种 Ｃ．720种 Ｄ．480种15.用数学归纳法证明*111111...()12324n N n n n n n ++++≥∈++++时，由n k =到1n k =+时，不等式左边应添加的式子为（ ）A ．121k +B ．122k +C ．112122k k +++D ．112122k k -++16．()f x 是定义在(0,)+∞上的非负可导函数，且满足'()()0xf x f x -<，对任意正数,a b ，若a b <则必有（ ）A ．()()af b bf a <B ．()()af b bf a >C ．()()af a bf b <D ．()()af a bf b >第Ⅱ卷（非选择题，共70分）注意事项：1.第Ⅱ卷所有题目的答案考生须用黑色签字笔答在答题纸上，考试结束后将答题卡和答题纸一并上交。
2013-2014学年高二下学期数学(理)活动单学案：第8课时——逆矩阵的概念
【学习目标】掌握逆矩阵的概念，会用逆矩阵的概念解一些简单的题目【学习重点】逆矩阵的求法【活动过程】活动一、情景引入。
看书第48页第一段活动二、构建数学。
1）逆变换定义：2）逆变换的性质： 活动三、数学运用。
1 、对于下列给出的变换矩阵A ，是否存在变换矩阵B ，使得连续进行两次变换（先A T 后B T ）的结果与恒等变换的结果相同？(1)、以x 轴为反射轴作反射变换(2)、绕原点逆时针旋转060作旋转变换（3）、横坐标不变，沿y 轴方向将纵坐标拉伸为原来的2倍作伸压变换（4）、沿y 轴方向，向x 轴作投影变换（5）、纵坐标y 不变，横坐标依纵坐标的比例增加，且(x,y)→(x+2y,y)的切变变换。
2、从几何角度考虑下列矩阵表示的变换是否存在逆变换，如果存在，试给出其逆矩阵。
（1）⎢⎣⎡-10 ⎥⎦⎤-01； （2）⎢⎣⎡01 ⎥⎦⎤30； （3）⎢⎣⎡-01 ⎥⎦⎤-10； （4）⎢⎣⎡01 ⎥⎦⎤11。
3、 设⎢⎣⎡=12A⎢⎣⎡=⎥⎦⎤-10,01B ⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤-10,21C ⎥⎦⎤21，试问C B ,是不是A 的逆矩阵？4 、试从代数和几何角度分别求乘积矩阵⎢⎣⎡01⎢⎣⎡⎥⎦⎤1012 ⎥⎦⎤01的逆矩阵。
【课后作业】1、从几何上体会，投影变换矩阵如⎢⎣⎡11⎢⎣⎡⎥⎦⎤01,00 ⎥⎦⎤01等不存在逆矩阵，请再给一些不存在逆矩阵的矩阵。
2、从几考虑下列乘积矩阵是否有逆矩阵，如果存在，试拾出其逆矩阵，并验证。
（1）⎢⎣⎡10⎢⎣⎡⎥⎦⎤-0101 ⎥⎦⎤11； （2）⎢⎣⎡-01 ⎢⎣⎡⎥⎦⎤-0210 ⎥⎦⎤10。
3、设⎢⎣⎡-=21A ⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤23,32B ⎥⎦⎤-12，A 是不是B 的逆矩阵？4、运用定义求矩阵⎢⎣⎡=01A ⎥⎦⎤12的逆矩阵。
5、试从代数和几何角度分别求乘积矩阵⎢⎣⎡21⎢⎣⎡-⎥⎦⎤1010 ⎥⎦⎤-01的逆矩阵。
6、设⎢⎣⎡=01A ⎥⎦⎤d b ，讨论A 可逆的条件；当A 可逆时，求出1-A 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
选择题部分 (共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合22{|20},{|l g (1)}A x x x B x y o x =-≤==-,则A B = （ ）A ．{|12}x x ≤<B ．{|12}x x <<C ．{|12}x x <≤D ．{|12}x x ≤≤2.已知,a b R ∈,若a b >,则下列不等式成立的是 （ ） A ．lg lg a b > B ．0.50.5ab> C ．1122a b > D>3.已知,a b R ∈,则“222a b ab+≤-”是“0,b 0a ><且”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件4.已知m l 、是空间中两条不同直线,αβ、是两个不同平面,且,m l αβ⊥⊂,给出下列命题：①若//αβ，则m l ⊥； ②若αβ⊥，则//m l ; ③若m l ⊥，则//αβ； ④若//m l ，则αβ⊥其中正确命题的个数是 （ ）A. 1 B. 2 C ．3 D ．4 5.将函数()2sin(2)4f x x π=+的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变),所得图象关于直线4x π=对称,则ϕ的最小值为（ ） A ．34π B ．12π C ．38πD ． 18π6.下列四个图中,函数10ln 11x y x +=+的图象可能是 （ ）7.已知双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>的左、右焦点分别为1F ，2F ,过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线,垂足为H ,若2F H 与双曲线C 的交点M 恰为2F H 的中点,则双曲线C 的离心率为 ( ) A．C ．2D ．3 8.如图所示,O 为ABC ∆的外接圆圆心,10,4AB AC ==,BAC ∠为钝角,M 是边BC 的中点,则AM AO ⋅= （ ） A ．21 B ．29 C ．25 D ．409.已知定义在R 上的函数()f x 满足:()[)[)()()222,0,1,22,1,0,x x f x f x f x x x ⎧+∈⎪=+=⎨-∈-⎪⎩且，()252x g x x +=+,则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为 ( ) A ．8- B ． 7- C ．6- D ．0 10.对数列{}n a ,如果*12,,,,k k N R λλλ∃∈∈及1122,n k n k n k k n a a a a λλλ++-+-=+++使成立,*n N ∈其中,则称{}n a 为k 阶递归数列．给出下列三个结论： ①若{}n a 是等比数列,则{}n a 为1阶递归数列； ②若{}n a 是等差数列,则{}n a 为2阶递归数列；③若数列{}n a 的通项公式为a n =n 2,则{}n a 为3阶递归数列．其中正确结论的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3非选择题部分 (共100分)二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分. 11.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若24612a a a ++=,正视图俯视图则7S 的值是 ．12.一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为 . 13.过点(4,2)P 作圆224x y +=的两条切线,切点分别为,A B ,O 为坐标原点,则OAB ∆的外接圆方程是 ．14.设0cos 420a =,函数,0,()log ,0,x a a x f x x x ⎧<=⎨≥⎩,则211()(log )46f f +的值等于 ．15.已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+011y y x y x 所表示的平面区域为D ,若直线k kx y 3-=与平面区域D 有公共点,则k 的取值范围为 .16.如果关于x 的不等式()0f x <和()0g x <的解集分别为(,)a b 和11(,)b a,那么称这两个不等式为对偶不等式.如果不等式2cos220x θ-⋅+<与不等式224sin 210x x θ+⋅+< 为对偶不等式,且(,)2πθπ∈,则cos θ=_______________.17.已知不等式组22021x x a a x a ⎧-+-<⎨+>⎩的整数解恰好有两个,求a 的取值范围是 ．三、解答题:本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本题满分14分)已知函数()2sin sin ,63f x x x x R ππ⎛⎫⎛⎫=-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （I ）求函数()f x 的最小正周期； （II ）在ABC ∆中,若角ABBC C f 求满足锐角,21)62(C ,4A =+=ππ的值.19.(本题满分14分)在如图所示的空间几何体中,平面⊥ACD 平面ABC ,ACD ∆与ACB ∆均是边长为2的等边三角形,2=BE ,直线BE 和平面ABC 所成的角为︒60,且点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上． （I ）求证://DE 平面ABC ；（II ）求二面角A BC E --的余弦值．(第12题图)20.(本题满分14分)数列{}n a 是公比为21的等比数列,且21a -是1a 与31a +的等比中项,前n 项和为n S ;数列{}n b 是等差数列,1b =8,其前n 项和n T 满足1n n T n b λ+=⋅(λ为常数,且λ≠1)．（I ）求数列{}n a 的通项公式及λ的值； （II ）比较1231111n T T T T ++++与12n S 的大小．21.(本题满分15分)函数()log (3)(0,1)a f x x a a a =->≠且,当(,)P x y 是函数()y f x =图象上的点时,(,)Q x a y --是函数()y g x =图象上的点. （I ）求函数()y g x =的解析式；（II ）当[3,4]x a a ∈++时,恒有()()1f x g x -≤,试确定a 的取值范围.22.(本题满分15分)如图,F 1、F 2C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左、右焦点,直线l ：x ＝－1将线段F 1F 2分成两段,其长度之比为1 : 3.设A 、B 是椭圆C 上的两个动点,线段AB 的中垂线与椭圆C 交于P 、Q 两点,线段（I ）求椭圆C 的方程； （II ）求22F P F Q ⋅的取值范围．(第22题图)宁波市八校联考高二数学（理科）参考答案18.已知函数()2sin sin ,63f x x x x R ππ⎛⎫⎛⎫=-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （I ）求函数()f x 的最小正周期； （II ）在ABC ∆中，若ABBCC f 求满足锐角,21)62(C ,4A =+=ππ的值.πsinsin 42π1sin sin 62BC A AB C ==== ……………14分 2013学年 第二学期分14分…………14分20.数列{a n }是公比为21的等比数列，且1-a 2是a 1与1+a 3的等比中项，前n 项和为S n ；数列{b n }是等差数 列，b 1=8，其前n 项和T n 满足T n =n λ·b n+1(λ为常数，且λ≠1)． (I)求数列{a n }的通项公式及λ的值； (Ⅱ)比较11T +21T +31T +…+n T 1与21S n 的大小．21.函数f (x )=log a (x －3a )(a ＞0,且a ≠1),当点P （x ,y )是函数y =f (x )图象上的点时，Q (x －a ,－y )是函数y =g (x )图象上的点. （Ⅰ）写出函数y =g (x )的解析式.（Ⅱ）当x ∈［a +3,a +4］时，恒有f (x )－g (x )≤1,试确定a 的取值范围.解:（Ⅰ）设P (x 0,y 0)是y =f (x )图象上点，Q （x ,y ）,则⎩⎨⎧-=-=00y y ax x ，∴⎩⎨⎧-=+=yy a x x 00 ∴－y =log a (x +a －3a )，∴y =log a a x 21- (x ＞2a ) ---------- 5分（2）令]4)25[(log )]3)(2[(log )()()(22a a x a x a x x g x f x a a --=--=-=ϕ 由⎩⎨⎧>->-,03,02a x a x 得a x 3>，由题意知a a 33>+，故23<a ，从而53(3)(2)022a a a +-=->， 故函数4)25()(22a a x x --=δ在区间]4,3[++a a 上单调递增------------------8分等价于不等式1)16122(log 2≤+-a a a 成立， 从而a a a ≤+-161222，即0161322≤+-a a ，解得4411344113+≤≤-a ． 易知2344113>-，所以不符合． -----------------------14分 综上可知：a 的取值范围为(0,1)． -------------------------15分22. (本题满分15分) 如图，F 1，F 2C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左、右焦点，直线l ：x ＝－1将线段F 1F 2分成两段，其长度之比为1 : 3．设A ，B 是C 上的两个动点，线段AB 的中垂线与椭圆C 交于P ，Q 两点，线段AB 的中点M 在直线l 上．（I ）求椭圆C 的方程；（II ）求22F P F Q ⋅的取值范围．(Ⅰ) 设F 2(c ，0)，则11c c -+＝13， 所以c ＝2．因为离心率e2所以a＝所以椭圆C 的方程为22184x y +=． ………… 6分(第22题图)(第22题图)(Ⅱ) 当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 方程为x ＝－1，此时P(22-，0)、Q(22,0)224F P F Q ⋅=-．当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的斜率为k ，M (－1，m ) (m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由 221122221,841,84x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得 (x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)1212y y x x -⋅-＝0， 则 －1＋2mk ＝0， 故k ＝12m． ………… 8分 此时，直线PQ 斜率为m k 21-=，PQ 的直线方程为)1(2+-=-x m m y ． 即 m mx y --=2．联立⎪⎩⎪⎨⎧=+--=148222y x m mx y 消去y ，整理得 2222(81)8280m x m x m +++-=．所以 2122881m x x m +=-+，21222881m x x m -=+．………… 10分。