专题1.4 多元问题的最值问题-玩转压轴题,突破140分之高三数学选择题填空题高端精品(2019版)(解析版)

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专题5.3 解析几何中的范围问题-玩转压轴题,突破140分之高三数学选择题填空题高端精品(2019版

一．方法综述圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出取值范围；③利用基本不等式求出取值范围；④利用函数的值域的求法，确定取值范围．二．解题策略类型一利用题设条件，结合几何特征与性质求范围【例1】【安徽省六安市第一中学2019届高考模拟四】点在椭圆上，的右焦点为，点在圆上，则的最小值为（）A．B ．C ．D．【答案】D【解析】解：设椭圆的左焦点为则故要求的最小值，即求的最小值，圆的半径为2所以的最小值等于，的最小值为，故选D.【指点迷津】1. 本题考查了椭圆定义的知识、圆上一动点与圆外一定点距离的最值问题，解决问题时需要对题中的目标进行转化，将未知的问题转化为熟悉问题，将“多个动点问题”转化为“少（单）个动点”问题，1从而解决问题.2.在圆锥曲线的最值问题中，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义时，则考虑用图形性质来解决，这样可使问题的解决变得直观简捷．【举一反三】1.【河北省石家庄市第二中学2019届高三上期末】已知实数满足，，则的最大值为（）A ．B．2 C ．D．4【答案】D【解析】设点在圆上，且，原问题等价于求解点A和点C 到直线距离之和的倍的最大值，如图所示，易知取得最大值时点A,C 均位于直线下方，作直线于点，直线于点，取的中点，作直线于点，由梯形中位线的性质可知，当直线时，直线方程为，两平行线之间的距离：，由圆的性质，综上可得：的最大值.本题选择D选项.2.点分别为圆与圆上的动点，点在直线上运23动，则的最小值为（）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】A 【解析】设圆是圆关于直线对称的圆，可得,圆的方程为，可得当点位于线段上时，线段的长就是圆与圆上两个动点之间的距离最小值，此时的最小值为，,圆的半径为,圆的半径为，∴，因此的最小值为，所以A选项是正确的.类型二通过建立目标问题的表达式，结合参数或几何性质求范围【例2】抛物线上一点到抛物线准线的距离为，点关于轴的对称点为，为坐标原点，的内切圆与切于点，点为内切圆上任意一点，则的取值范围为__________．【答案】【解析】因为点在抛物线上，所以，点A 到准线的距离为，解得或．当时，，故舍去，所以抛物线方程为∴，所以是正三角形，边长为，其内切圆方程为，如图所示，∴．设点（为参数），则，∴．【指点迷津】本题主要考查抛物线性质的运用，参数方程的运用，三角函数的两角和公式合一变形求最值，属于难题，对于这类题目，首先利用已知条件得到抛物线的方程，进而可得到为等边三角形和内切圆的方程，进而得到点的坐标，可利用内切圆的方程设出点含参数的坐标，进而得到，从而得到其取值范围，因此正确求出内切圆的方程是解题的关键．【举一反三】【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三二模】已知直线与椭圆：相交于，两点，为坐标原点.当的面积取得最大值时，（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由，得.设，，则，，.又到直线的距离，则的面积，当且仅当，即时，的面积取得最大值.45此时，.故选A.类型三利用根的判别式或韦达定理建立不等关系求范围【例3】【四川省内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断】若直线x ﹣my+m ＝0与圆（x ﹣1）2+y 2＝1相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m 的取值范围是（） A ．（0，1） B ．（0，2）C ．（﹣1，0）D ．（﹣2，0）【答案】D 【解析】圆与直线联立，整理得图像有两个交点方程有两个不同的实数根，即得.圆都在轴的正半轴和原点，若要交点在两个象限，则交点纵坐标的符号相反，即一个交点在第一象限，一个交点在第四象限.，解得，故选D 项. 【指点迷津】圆都在轴的正半轴和原点，若要两个交点在不同象限，则在第一、四象限，即两交点的纵坐标符号相反，通过联立得到，令其小于0，是否关注“判别式”大于零是易错点.【举一反三】已知直线1y x =-+与椭圆()222210x y a b a b +=>>相交于,A B 两点，且OA OB ⊥（O 为坐标原点），若椭圆的离心率132e ⎡∈⎢⎣⎦，则a 的最大值为___________．106类型四利用基本不等式求范围【例4】如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过F 且依次交抛物线及圆()22114x y-+=于点,,,A B C D 四点，则4AB CD +的最小值为（）A ．172 B ． 152 C ． 132 D ． 112【答案】C【解析】由题意得()1,0F ，即为圆的圆心，准线方程为1x =-．由抛物线的定义得1A AF x =+，又12AF AB =+，所以12A AB x =+．同理12D CD x =+． ①当直线l 与x 轴垂直时，则有1A D x x ==， ∴331544222AB CD +=+⨯=．7②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 方程为()1y k x =-，由()21{4y k x y x=-=消去y 整理得()2222240k x k x k -++=，∴22241,A D A D k x x x x k +⋅=+=，∴55134424222A D A D AB CD x x x x +=++≥+=，当且仅当4A D x x =时等号成立．综上可得1342AB CD +≥．选C ．【指点迷津】（1）与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．（2）圆锥曲线中的最值问题，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的条件．【举一反三】【1.河南省安阳市2019届高考一模】已知双曲线的一个焦点恰为圆Ω：的圆心，且双曲线C 的渐近线方程为．点P 在双曲线C 的右支上，，分别为双曲线C 的左、右焦点，则当取得最小值时，＝（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B 【解析】由圆Ω：的圆心（2，0），可得焦点，，双曲线C 的渐近线方程为，可得，且，解得，，设，可得，，当且仅当时取等号，可得．故选：B．2.【四川省凉山州市2019届高三第二次诊断】已知抛物线:的焦点为，过点分别作两条直线，，直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点，若与的斜率的平方和为，则的最小值为___．【答案】8【解析】设，设直线为,联立直线和抛物线得到，两根之和为：,同理联立直线和抛物线得到由抛物线的弦长公式得到代入两根之和得到，已知，故答案为：8.类型五构建目标函数，确定函数值范围或最值【例5】【上海市交大附中2019届高考一模】过直线上任意点向圆作两条切线，切点分别为，线段AB 的中点为，则点到直线的距离的取值范围为______．【答案】【解析】∵点为直线上的任意一点，∴可设，则过的圆的方程为，化简可得，与已知圆的方程相减可得的方程为，由直线的方程为，联立两直线方程可解得，，8故线段的中点，∴点到直线的距离，∵，∴，∴，∴，∴，即故答案为：【指点迷津】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决．【举一反三】1.【2019届高三第二次全国大联考】已知椭圆的右焦点为，左顶点为，上顶点为，若点在直线上，且轴，为坐标原点，且，若离心率，则的取值范围为A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意得，直线的方程为，所以，直线的方程为，所以，故．由可得，整理得，显然函数在上单调递增，所以，即．故选A．2.【山东师范大学附属中学2019届高三第四次模拟】已知双曲线C ：右支上非顶点的9一点A关于原点O的对称点为B，F 为其右焦点，若，设，且，则双曲线C离心率的取值范围是______．【答案】【解析】解：设双曲线的左焦点为，连接，，，可得四边形为矩形，设，，即有，且，，，，由，可得，则，可得，即有，则，即有．故答案为：．1011类型六利用隐含或已知的不等关系建立不等式求范围【例6】【云南省保山市2019年高三统一检测】已知坐标原点为O ，过点作直线n 不同时为零的垂线，垂足为M ，则的取值范围是______．【答案】【解析】根据题意，直线，即，则有，解可得，则直线恒过点．设，又由与直线垂直，且为垂足，则点的轨迹是以为直径的圆，其方程为，所以；即的取值范围是；故答案为：．【指点迷津】1.本题根据题意，将直线变形为，分析可得该直线恒过点，设，进而分析可得点的轨迹是以为直径的圆，其方程为，据此分析可得答案．2.此类问题为“隐形圆问题”，常规的处理办法是找出动点所在的轨迹（通常为圆），常见的“隐形圆”有：（1）如果为定点，且动点满足，则动点的轨迹为圆；（2）如果中，为定长，为定值，则动点的轨迹为一段圆弧．特别地，当，则的轨迹为圆（除去）；（3）如果为定点，且动点满足(为正常数)，则动点的轨迹为圆；【举一反三】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上、下顶点、右顶点、右焦点分别为B 2、B 1、A 、F ，延长B 1F 与AB 2交于点P ，若∠B 1PA 为钝角，则此椭圆的离心率e 的取值范围为_____．【答案】15⎫-+⎪⎪⎝⎭【解析】由题意得椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a 、b 、c ，（22a b -）可得∠B 1PA 等于向量2B A 与21F B 的夹角，12∵A （a ，0），B 1（0，﹣b ），B 2（0，b ），F 2（c ，0） ∴2B A =（a ，﹣b ），21F B =（﹣c ，﹣b ）， ∵∠B 1PA 为钝角，∴2B A 与21F B 的夹角大于2π，由此可得2B A •21F B ＜0，即﹣ac+b 2＜0，将b 2=a 2﹣c 2代入上式得：a 2﹣ac ﹣c 2＜0，不等式两边都除以a 2，可得1﹣e ﹣e 2＜0，即e 2+e ﹣1＞0，解之得e ＜152--或e ＞152-+，结合椭圆的离心率e ∈（0，1），可得15-+＜e ＜1，即椭圆离心率的取值范围为（15-+，1）．故答案为（152-+，1）．三．强化训练一、选择题1．【江西省上饶市2019届高三二模】已知双曲线的左焦点为，过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，且，若的范围为，则双曲线的离心率的取值范围为（） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】设F'为双曲线的右焦点，连接AF'，BF'，,∴四边形AFBF'为矩形，且AB=2c，∴在中，，（1），（2）（1）（2）两式相加故选：B2．【四川省南充市高三2019届第二次高考适应】已知直线与椭圆交于两点，且（其中为坐标原点），若椭圆的离心率满足，则椭圆长轴的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】联立得：（a2+b2）x2﹣2a2x+a2﹣a2b2＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2）△＝4a4﹣4（a2+b2）（a2﹣a2b2）＞0，化为：a2+b2＞1．x1+x2＝，x1x2＝．∵OP⊥OQ，∴＝x1x2+y1y2＝x1x2+（x1﹣1）（x2﹣1）＝2x1x2﹣（x1+x2）+1＝0，∴2×﹣+1＝0．化为a2+b2＝2a2b2．∴b2＝．∵椭圆的离心率e 满足≤e≤，∴，∴，，化为5≤4a2≤6．解得：≤2a≤．满足△＞0．∴椭圆长轴的取值范围是[，]．故选：A．3．【河南省天一大联考2019届高三阶段性测试（五)】已知抛物线：，定点，，点是抛物线上不同于顶点的动点，则的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A13【解析】作出抛物线，如图所示.由图可知，当直线与抛物线相切时，最大.设直线的方程为，联立得.令，得，此时，所以.4．【四川省内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断】设点是抛物线上的动点，是的准线上的动点，直线过且与（为坐标原点）垂直，则点到的距离的最小值的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】抛物线的准线方程是若点的坐标为，此时直线的方程为，显然点到直线的距离的最小值是1若点的坐标为，其中则直线的斜率为直线的斜率为直线的方程为即，1415设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为代入抛物线方程得所以解得所以与直线平行且与抛物线相切的直线方程为所以点到直线的距离的最小值为直线与直线的距离，即因为所以综合两种情况可知点到直线的距离的最小值的取值范围是所以选B 项.5．【2019届湘赣十四校高三第二次联考】如果图至少覆盖函数的一个最大值点和一个最小值点，则的取值范围是（） A ． B ． C ．D ．【答案】D 【解析】化简得，所以，函数靠近圆心的最大值点为，最小值点为，所以只需，解之可得.故选D6．【上海交通大学附属中学2019届高三3月月考】已知点为椭圆上的任意一点，点分别为该椭圆的上下焦点，设，则的最大值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】设||＝m，||＝n，||＝2c，A，B为短轴两个端点，由正弦定理可得，即有，由椭圆定义可得e,∴．在三角形中，由m+n=2a,cos -1=，当且仅当m=n时，即P为短轴端点时，cos 最小，最大，∴=,∴故选：D．7．【2019届湘赣十四校高三第二次联考】已知正方体中，，为的中点，为正方形内的一个动点（含边界），且，则的最小值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】设的中点为，连接、，则在中，，，∴.∴是以为圆心，以1为半径的圆面（位于正方形内）.以为原点建系如图所示，则，，，设的坐标为，则,..1617设点的坐标为，则.故选：B8．【北京市朝阳区2019年高三年级第一次综合练习】已知圆,直线,若直线上存在点，过点引圆的两条切线,使得,则实数的取值范围是（）A ．B ．[,]C ．D ．）【答案】D 【解析】圆C （2,0），半径r ＝，设P （x ，y ），因为两切线，如下图，P A ⊥PB ，由切线性质定理，知：P A ⊥AC ，PB ⊥BC ，P A ＝PB ，所以，四边形P ACB 为正方形，所以，｜PC ｜＝2，则：，即点P 的轨迹是以（2,0）为圆心，2为半径的圆.直线过定点（0，－2），直线方程即，只要直线与P 点的轨迹（圆）有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，即：，解得：，即实数的取值范围是）.本题选择D选项.二、填空题9．【广东省执信中学2018届高三11月月考】抛物线的焦点为，设、是抛物线上的两个动点，若，则的最大值为______．【答案】【解析】解：由抛物线焦半径公式得，，所以由，得，因此，，，所以的最大值为.所以填．10．【上海市徐汇区2019届高三上学期期末】已知圆M ：，圆N ：直线分别过圆心M、N ，且与圆M相交于A，B 两点，与圆N相交于C，D两点，点P 是椭圆上任意一点，则的最小值为______．【答案】8【解析】由题意可得，，，，，，18为椭圆上的点，由题意可知，，，故答案为：8．11．【北京市大兴区2019届高三4月一模】已知点，，点在双曲线的右支上，则的取值范围是_________．【答案】【解析】设点P(x,y),（x＞1），所以，因为，当y＞0时，y=,所以，由于函数在[1，+∞）上都是增函数，所以函数在[1，+∞）上是增函数，所以当y＞0时函数f(x)的最小值=f(1)=1.即f(x)≥1.当y≤0时，y=,所以，由于函数在[1，+∞）上都是增函数，所以函数在[1，+∞）上是减函数，所以当y≤0时函数k(x)＞0.综上所述，的取值范围是.12.【北京市顺义区2019届高三期末】过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点交抛物线的准线于点C ，满足：若，则______；若，则的取值范围为______．19【答案】3【解析】解：由题意，抛物线的准线为，，所以另一种情况同理．所以AF 的斜率为，方程为，代入抛物线方程可得，所以可得，因为：，所以，设直线AB 的方程为，代入到，可得，，由，可得，，，，，，，2021，解得故答案为：3，．13.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，线段2PF 与圆：222xy b +=相切于点Q ，若Q 是线段2PF 的中点，e 为C 的离心率，则223a e b+的最小值是______________【答案】53【解析】连接1,PF OQ ，由OQ 为中位线，可得1//OQ PF ，112OQ PF =，圆222x y b +=，可得OQ b =且12PF b =，由椭圆的定义可得122PF PF a +=，可得222PF a b =-，又2OQ PF ⊥，可得12PF PF ⊥，即有()()()2222222b a b c +-=，即为2222222b a ab b c a b +-+==-，化为23a b =，即23b a =， 225c a b a =-=，即有5c e a ==，则22251515592322929a a ea a ba a a ++⎛⎫==+≥⋅⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当59a a=时，即5a =时等号成立，所以223a e b +的最小值为5．14．【宁夏银川市2019年高三下学期质量检测】已知是抛物线上一动点，定点，过点作轴于点，则的最小值是______．【答案】【解析】由抛物线可知，其焦点坐标为，准线，设点P 到其准线的距离为，根据抛物线的定义可的则点P到y 轴的距离为，且则（当且仅当三点共线时取等号），所以的最小值为2.15．【北京市大兴区2019届高三4月一模】已知点，，点在双曲线的右支上，则的取值范围是_________．【答案】【解析】设点P(x,y),（x＞1），所以，因为，当y＞0时，y=,所以，由于函数在[1，+∞）上都是增函数，所以函数在[1，+∞）上是增函数，所以当y＞0时函数f(x)的最小值=f(1)=1.即f(x)≥1.当y≤0时，y=,所以，由于函数在[1，+∞）上都是增函数，所以函数在[1，+∞）上是减函数，所以当y≤0时函数k(x)＞0.综上所述，的取值范围是.16．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第二次模拟】以抛物线焦点为圆心，为半径作圆交轴于，两点，连结交抛物线于点（在线段上），22延长交抛物线的准线于点，若，且，则的最大值为_____．【答案】32【解析】由题意可得抛物线的焦点为，准线方程为，所以以为圆心，为半径的圆的方程为，因为，两点为圆与轴的两个交点，不妨令为轴正半轴上的点，由得，；所以直线的斜率为，因此直线的方程为，由得；由得，所以，，，又，且，所以，即，因此，当且仅当时，取等号.故答案为17．【河北省唐山市第一中学2019届高三下学期冲刺（一)】已知抛物线的焦点且垂直于轴的直线与抛物线相交于两点，动直线与抛物线相交于两点，若，则直线与圆相交所得最短弦的长度为________．【答案】4【解析】2324由题意可知，＝2，＝﹣2，∴•＝﹣4，设，则，∴y 1y 2＝﹣4．又直线，联立方程组消去x 得：y 2﹣4ty ﹣4n ＝0，则y 1y 2＝﹣4n ，y 1+y 2＝4t ，∵y 1y 2＝﹣4，∴n ＝1．即直线过点E （1，0）．又圆的圆心P （2，-2），半径r=3， ∴当弦最短时，PE ,弦长=2=4,故答案为:4.18．【山东省聊城市2019届高三一模】抛物线的焦点为，动点在抛物线上，点，当取得最小值时，直线的方程为_____．【答案】或【解析】设点的坐标为当且仅当，即时取等号，此时点坐标为或，此时直线的方程为即或故答案为：或19．【四川省成都市2019届高三第二次诊断】已知为抛物线的焦点,过点的直线与抛物线相交于不同的两点,抛物线在两点处的切线分别是,且相交于点,则的小值是___.【答案】6【解析】设直线l的方程为：y＝kx+1，A （），B （．联立，化为：x2﹣4kx﹣4＝0，可得：＝4k ，＝﹣4，|AB|＝＝k （）+4＝4k2+4．对x2＝4y两边求导可得：y′，可得切线PA的方程为：y ﹣（x ﹣）切线PB的方程为：y ﹣（x ﹣），联立解得：x （）＝2k，y＝﹣1．∴P（2k，﹣1）．∴|PF|．∴|PF|，令t≥2．则|PF|t f（t），f′（t）＝1，当t>4, f′（t）>0;t<4, f′（t）<0可得t＝4时，函数f（t）取得极小值即最小值f（4）＝6．当且仅当k时取等号．故答案为：6．20．【天津市和平区2019届高三下学期第一次调查】已知为正数，若直线被圆截得的弦长为，则的最大值是____________.【答案】【解析】圆的圆心坐标为(0,0)，半径r=2，由直线被圆截取的弦长为,可得圆心到直线的距离，25，则时,取得最大值.故答案为：．26。

数学新高考微专题4 多元变量的最值问题

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多元变量的最值问题
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【总结反思】此题是一道学生经常见到的求多元变量最值的试题，虽然此解法不是最优的解法，但可能是学生比较容易想到的解法．它的优点是由前面的等式可以得到 y＝x2－x8，代入 x＋y 中，从而使二元变量变为一元变量，从而达到解题的目的．
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多元变量的最值问题
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多元变量的最值问题
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因为 θ∈0，π2，所以 θ＋π4∈π4，34π，所以 t∈[1， 2]．又 2sin θcos θ＝t2－1，所以 y＝t2－1＋t＋1＝t＋122－14，当 t＝1(即 θ＝0)时，ymin＝2. 故 m≤2.
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多元变量的最值问题
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202多2届元变量的最值问题
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微专题4 多元变量的最值问题
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多元变量的最值问题
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在数学中经常碰到求含有多个变量的最值问题，此类题目题型众多，解法也很多，学生在面对含有多个变量的问题时，最大的困扰是不知从何处入手．对于高中生，主要掌握的是一元变量的最值问题．因此，解决多元变量的最值问题，减元是常见的办法．
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二、等量减元
典例 2 设正实数 x，y，z 满足 x2－3xy＋4y2－z＝0，则当xzy取得最大值时，
2x＋1y－2z的最大值为( )
A．0
B．1
9 C.4
D．3
6
多元变量的最值问题
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[解题指导]
将
z＝x2－3xy＋4y2

高中数学多元函数最值问题(十二大题型)

多元函数最值问题目录题型一：消元法题型二：判别式法题型三：基本不等式法题型四：辅助角公式法题型五：柯西不等式法题型六：权方和不等式法题型七：拉格朗日乘数法题型八：三角换元法题型九：构造齐次式题型十：数形结合法题型十一：向量法题型十二：琴生不等式法方法技巧总结解决多元函数的最值问题不仅涉及到函数、导数、均值不等式等知识，还涉及到消元法、三角代换法、齐次式等解题技能．必考题型归纳题型一消元法1(2023·全国·高三专题练习)已知正实数x，y满足ln x=ye x+ln y，则y-e-x的最大值为.2(2023·广东梅州·高三五华县水寨中学校考阶段练习)已知实数m,n满足：m⋅e m=(n-1)ln(n-1)=t(t >0)，则ln tm(n-1)的最大值为.3(2023·天津和平·高三天津一中校考阶段练习)对任给实数x>y>0,不等式x2-2y2≤cx(y-x)恒成立,则实数c的最大值为.题型二判别式法1(2023·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期中)若x,y∈R，4x2+y2+xy=1，则当x=时，x+y取得最大值，该最大值为.2(2023·全国·高三竞赛)在△ABC中，2cos A+3cos B=6cos C，则cos C的最大值为．3(2023·高一课时练习)设非零实数a，b满足a2+b2=4，若函数y=ax+bx2+1存在最大值M和最小值m，则M-m=.1(2023·江苏·高三专题练习)若正实数x,y满足(2xy-1)2=(5y+2)(y-2)，则x+12y的最大值为．2(2023·全国·高三专题练习)设a,b∈R，λ>0，若a2+λb2=4，且a+b的最大值是5，则λ=.题型三基本不等式法1设x、y、z是不全是0的实数.则三元函数f x,y,z=xy+yzx2+y2+z2的最大值是.2(2023·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习)若实数x,y满足2x2+xy-y2=1，则x-2y5x2-2xy+2y2的最大值为.3(2023·全国·高三专题练习)已知正数a,b,c，则ab+bc2a2+b2+c2的最大值为．1(2023·江苏苏州·高三统考开学考试)设角α、β均为锐角，则sinα+sinβ+cosα+β的范围是．2y=cos(α+β)+cosα-cosβ-1的取值范围是．题型五柯西不等式法1(2023·广西钦州·高二统考期末)已知实数a i，b i∈R，(i=1，2⋯，n)，且满足a21+a22+⋯+a2n=1，b21+b22 +⋯+b2n=1，则a1b1+a2b2+⋯+a n b n最大值为()A.1B.2C.n2D.2n2(2023·陕西渭南·高二校考阶段练习)已知x，y，z是正实数，且x+y+z=5，则x2+2y2+z2的最小值为.3(2023·江苏淮安·高二校联考期中)已知x2+y2+z2=1，a+3b+6c=16，则x-a22+y-b2+z-c 的最小值为.1(2023·全国·高三竞赛)已知x、y、z∈R+，且s=x+2+y+5+z+10，t=x+1+y+1+ z+1，则s2-t2的最小值为.A.35B.410C.36D.452(2023·全国·高三竞赛)设a、b、c、d为实数，且a2+b2+c2-d2+4=0.则3a+2b+c-4d 的最大值等于.A.2B.0C.-2D.-221(2023·甘肃·高三校联考)已知x>0，y>0，且12x+y+1y+1=1，则x+2y的最小值为 .2已知实数x,y满足x>y>0且x+y=1，则2x+3y+1x-y的最小值是3已知a>1,b>1，则a2b-1+b2a-1的最小值是．1已知x,y>0,1x+22y=1，则x2+y2的最小值是．题型七拉格朗日乘数法1x>0，y>0，xy+x+y=17，求x+2y+3的最小值．2设x,y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是．题型八三角换元法1(2023·山西晋中·高三祁县中学校考阶段练习)已知函数f(x)=-3x3-3x+3-x-3x+3，若f(3a2)+f(b2 -1)=6，则a1+b2的最大值是2(2023·浙江温州·高一校联考竞赛)2x2+xy+y2=1，则x2+xy+2y2的最小值为.题型九构造齐次式1(2023·江苏·高一专题练习)已知x>0，y>0，则2xyx2+8y2+xyx2+2y2的最大值是.2(2023·河南·高三信阳高中校联考阶段练习)已知实数a,b>0，若a+2b=1，则3ab+1ab的最小值为()A.12B.23C.63D.83(2023·天津南开·高三统考期中)已知正实数a，b，c满足a2-2ab+9b2-c=0，则abc的最大值为．题型十数形结合法1(2023·全国·高三专题练习)函数f x =x2+ax+b(a，b∈R)在区间[0，c](c>0)上的最大值为M，则当M取最小值2时，a+b+c=2(2023·江苏扬州·高三阶段练习)已知函数f x =x ln x,x>02x+4e,x≤0，若x1≠x2且f x1 =f x2 ，则x1-x2的最大值为()A.2e-1e B.2e+1 C.5e D.52e3(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x ln x,x>0x+1,x≤0，若x1≠x2且f x1 =f x2 ，则x1-x2的最大值为()A.22B.2C.2D.11(2023·江苏·高三专题练习)已知函数f x =x,0≤x≤1,ln2x,1<x≤2,若存在实数x1，x2满足0≤x1<x2≤2，且f x1=f x2，则x2-x1的最大值为()A.e2B.e2-1 C.1-ln2 D.2-ln4向量法1(2023·江苏南通·高一海安高级中学校考阶段练习)17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小，现已证明：在△ABC 中，若三个内角均小于120°，则当点P 满足∠APB =∠APC =∠BPC =120°时，点P 到三角形三个顶点的距离之和最小，点P 被人们称为费马点．根据以上知识，已知a为平面内任意一个向量，b 和c 是平面内两个互相垂直的向量，且|b |=2,|c |=3，则|a -b |+|a +b |+|a -c |的最小值是．2(2023·浙江嘉兴·高一统考期末)已知平面向量a ，b ，c 满足a =1，b =2，|a |2=a ⋅b ，c ⋅c -b2=0，则|c -a |2+|c -b|2的最小值为.3(2023·湖北武汉·高一湖北省武昌实验中学校联考期末)已知向量a ，b 满足a +b ⋅b =0，a+4b =4，则a +b+b 的最大值为．琴生不等式法1(2023·福建龙岩·高三校考阶段练习)若函数f x 的导函数f x 存在导数，记f x 的导数为f x ．如果对∀x ∈a ，b ，都有f x <0，则f x 有如下性质：f x 1+x 2+⋅⋅⋅+x nn ≥f (x 1)+f (x 2)+⋅⋅⋅+f (x n )n ．其中n ∈N *，x 1，x 2，⋯，x n ∈a ，b .若f x =sin x ，则在锐角△ABC 中，根据上述性质推断：sin A +sin B +sin C 的最大值为.2(2023·全国·高三竞赛)半径为R 的圆的内接三角形的面积的最大值是．3(2023·北京·高三强基计划)已知正实数a ，b 满足a +b =1，求a +1a b +1b的最小值．多元函数最值问题目录题型一：消元法题型二：判别式法题型三：基本不等式法题型四：辅助角公式法题型五：柯西不等式法题型六：权方和不等式法题型七：拉格朗日乘数法题型八：三角换元法题型九：构造齐次式题型十：数形结合法题型十一：向量法题型十二：琴生不等式法方法技巧总结解决多元函数的最值问题不仅涉及到函数、导数、均值不等式等知识，还涉及到消元法、三角代换法、齐次式等解题技能．必考题型归纳题型一消元法1(2023·全国·高三专题练习)已知正实数x ，y 满足ln x =ye x +ln y ，则y -e -x 的最大值为.【答案】1e2/e -2【解析】由ln x =ye x +ln y 得ln x y =ye x ，所以x y ln x y =xe x ，则xe x=ln x y ⋅e ln xy ，因为x >0，e x>0，eln xy>0，所以lnxy>0，令f (x )=xe x x >0 ，则f (x )=e x (x +1)>0，所以f x 在0,+∞ 上单调递增，所以由xe x=ln x y ⋅e ln xy ，即f x =f ln x y，得x =ln x y ，所以y =x e x ，所以y -e -x =x e x -1e x =x -1e x，令g (x )=x -1e xx >0 ，则g (x )=2-xe x，令g (x )>0，得0<x <2；令g (x )<0，得x >2，所以g (x )在0,2 上单调递增，在2,+∞ 上单调递减，所以g (x )max =g (2)=1e 2，即y -e -x 的最大值为1e2．故答案为：1e2．2(2023·广东梅州·高三五华县水寨中学校考阶段练习)已知实数m ,n 满足：m ⋅e m =(n -1)ln (n -1)=t (t >0)，则ln tm (n -1)的最大值为.【答案】1e【解析】由已知得，m >0,n -1>0,ln n -1 >0，令f x =xe x (x >0)，则f x =x +1 e x >0，∴f x 在0,+∞ 上单调递增，又因为m ⋅e m =(n -1)ln (n -1)，所以f m =f ln n -1 ,∴m =ln n -1 ，∴m n -1 =(n -1)⋅ln n -1 =t ,∴ln t m n -1=ln t t ，令g t =ln tt(t >0),所以g t =1-ln tt 2，则当t ∈(0,e )时，g (t )>0，g (t )单调递增；当t ∈(e ,+∞)时，g (t )<0，g (t )单调递减；所以g (t )max =g (e )=1e.故答案为：1e.3(2023·天津和平·高三天津一中校考阶段练习)对任给实数x >y >0,不等式x 2-2y 2≤cx (y -x )恒成立,则实数c 的最大值为.【答案】22-4【解析】因为对任给实数x >y >0,不等式x 2-2y 2≤cx (y -x )恒成立，所以c ≤x 2-2y 2xy -x 2=xy2-2x y-x y 2，令x y =t >1，则c ≤t 2-2t -t 2=f (t )，f(t )=t 2-4t +2t -t 2 2=(t -2+2)(t -2-2)t -t 22，当t >2+2时，f (t )>0，函数f (t )单调递增；当1<t <2+2时，f (t )<0，函数f (t )单调递减，所以当t =2+2时，f (t )取得最小值，f (2+2)=22-4，所以实数c 的最大值为22-4故答案为：22-4题型二判别式法1(2023·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期中)若x ,y ∈R ，4x 2+y 2+xy =1，则当x =时，x +y 取得最大值，该最大值为.【答案】 1530/1301541515/41515【解析】令x +y =t ，则y =t -x ，则4x 2+y 2+xy =4x 2+t -x 2+x t -x =4x 2-tx +t 2=1，即4x 2-tx +t 2-1=0，由Δ=t 2-16t 2-1 ≥0，解得：-41515≤t ≤41515，故x +y ≤41515，故x +y =415154x 2+y 2+xy =1，解得：x =1530，y =71530，所以当且仅当x =1530，y =71530时，等号成立，故答案为：1530，415152(2023·全国·高三竞赛)在△ABC 中，2cos A +3cos B =6cos C ，则cos C 的最大值为．【答案】14-16【解析】令cos A =x ,cos B =y ,cos C =z ，则2x +3y =6z ，即y =2z -23x ．因为cos 2A +cos 2B +cos 2C +2cos A cos B cos C =1，所以x 2+2z -23x 2+z 2=1-2x 2z -23x z ，整理得139-43z x 2+4z 2-83z x +5z 2-1=0，Δ=4z 2-83z 2-45z 2-1 139-4z3≥0，化简得(z +1)(z -1)4z 2+4z 3-139≥0，于是4z 2+4z 3-139≤0，得z ≤14-16，所以cos C 的最大值为14-16．故答案为：14-16.3(2023·高一课时练习)设非零实数a ，b 满足a 2+b 2=4，若函数y =ax +bx 2+1存在最大值M 和最小值m ，则M -m =.【答案】2【解析】化简得到yx 2-ax +y -b =0，根据Δ≥0和a 2+b 2=4得到b -22≤y ≤b +22，解得答案.y =ax +bx 2+1，则yx 2-ax +y -b =0，则Δ=a 2-4y y -b ≥0，即4y 2-4yb -a 2≤0，a 2+b 2=4，故4y 2-4yb +b 2-4≤0，2y -b +2 2y -b -2 ≤0，即b -22≤y ≤b +22，即m =b -22,M =b +22，M -m =2.故答案为：2.1(2023·江苏·高三专题练习)若正实数x ,y 满足(2xy -1)2=(5y +2)(y -2)，则x +12y的最大值为．【答案】322-1【解析】令x +12y =t ,(t >0)，则(2xy -1)2=(2yt -2)2=(5y +2)(y -2)，即(4t 2-5)y 2+(8-8t )y +8=0，因此Δ=(8-8t )2-32(4t 2-5)≥0⇒2t 2+4t -7≤0，解得：0<t ≤-1+322，当t =-1+322时，y =4t -44t 2-5=62-817-122>0，x =35-242122-16>0，因此x +12y 的最大值为322-1故答案为：322-12(2023·全国·高三专题练习)设a ,b ∈R ，λ>0，若a 2+λb 2=4，且a +b 的最大值是5，则λ=.【答案】4【解析】令a +b =d ，由a +b =da 2+λb 2=4消去a 得：(d -b )2+λb 2=4，即(λ+1)b 2-2db +d 2-4=0，而b ∈R ，λ>0，则Δ=(2d )2-4(λ+1)(d 2-4)≥0，d 2≤4(λ+1)λ，-2λ+1λ≤d ≤2λ+1λ，依题意2λ+1λ=5，解得λ=4.故答案为：4题型三基本不等式法1设x 、y 、z 是不全是0的实数.则三元函数f x ,y ,z =xy +yzx 2+y 2+z 2的最大值是.【答案】22【解析】引入正参数λ、μ.因为λ2x 2+y 2≥2λxy ，μ2y 2+z 2≥2μyz ，所以，xy ≤λ2x 2+12λy 2，yz ≤μ2y 2+12μz 2.两式相加得xy +yz ≤λ2x 2+12λ+μ2 y 2+12μz 2.令λ2=12λ+μ2=12μ，得λ=2，μ=12故xy +yz ≤22x 2+y 2+z 2.因此，f x ,y ,z =xy +yz x 2+y 2+z2的最大值为22.2(2023·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习)若实数x ,y 满足2x 2+xy -y 2=1，则x -2y5x 2-2xy +2y 2的最大值为.【答案】24【解析】由2x 2+xy -y 2=1，得(2x -y )(x +y )=1，设2x-y=t,x+y=1t，其中t≠0.则x=13t+13t,y=23t-13t，从而x-2y=t-1t,5x2-2xy+2y2=t2+1t2，记u=t-1t，则x-2y5x2-2xy+2y2=uu2+2，不妨设u>0，则1u+2u≤12u×2u=24,当且仅当u=2u，即u=2时取等号，即最大值为24.故答案为：2 4.3(2023·全国·高三专题练习)已知正数a,b,c，则ab+bc2a2+b2+c2的最大值为．【答案】6 4【解析】∵ab+bc2a2+b2+c2=ab+bc2a2+13b2+23b2+c2≤ab+bc223ab+223bc=1223=64(当且仅当2a=3 3b，63b=c时取等号)，∴ab+bc 2a2+b2+c2的最大值为64.故答案为：6 4.题型四辅助角公式法1(2023·江苏苏州·高三统考开学考试)设角α、β均为锐角，则sinα+sinβ+cosα+β的范围是．【答案】1,3 2【解析】因为角α、β均为锐角，所以sinα,cosα,sinβ,cosβ的范围均为0,1，所以sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ<sinα+sinβ，所以sinα+sinβ+cosα+β>sinα+β+cosα+β=2sinα+β+π4因为0<α<π2,0<β<π2,π4<α+β+π4<3π4，所以2sinα+β+π4>2×22=1，sinα+sinβ+cosα+β=sinα+sinβ+cosαcosβ-sinαsinβ=1-sinβsinα+cosαcosβ+sinβ≤1-sinβ2+cos2β+sinβ=21-sinβ+sinβ，当且仅当1-sinβcosα=sinαcosβ时取等，令1-sinβ=t，t∈0,1，sinβ=1-t2，所以=21-sinβ+sinβ=2t+1-t2=-t-2 22+32≤32.则sinα+sinβ+cosα+β的范围是：1,3 2.故答案为：1,3 22y=cos(α+β)+cosα-cosβ-1的取值范围是．【答案】-4,1 2【解析】y=cosαcosβ-sinαsinβ+cosα-cosβ-1=(cosβ+1)cosα-(sinβ)sinα-(cosβ+1)=(cosβ+1)2+sin2βsin(α+φ)-(cosβ+1)=2+2cosβsin(α+φ)-(cosβ+1)因为sin(α+φ)∈[-1,1]，所以-2+2cosβ-(cosβ+1)≤y≤2+2cosβ-(cosβ+1)，令t=1+cosβ，则t∈[0,2]，则-2t-t2≤y≤2t-t2，所以y≥-2t-t2=-t+2 22+12≥-4，(当且仅当t=2即cosβ=1时取等)；且y≤2t-t2=-t-2 22+12≤12，(当且仅当t=22即cosβ=-12时取等)．故y的取值范围为-4,1 2．题型五柯西不等式法1(2023·广西钦州·高二统考期末)已知实数a i，b i∈R，(i=1，2⋯，n)，且满足a21+a22+⋯+a2n=1，b21+b22 +⋯+b2n=1，则a1b1+a2b2+⋯+a n b n最大值为()A.1B.2C.n2D.2n【答案】A【解析】根据柯西不等式，a21+a22+⋯+a2nb21+b22+⋯+b2n≥a1b1+a2b2+⋯+a n b n2，故a1b1+a2b2+⋯+a nb n≤1，又当a1=b1=a2=b2=...=a n=b n=1n时等号成立，故a1b1+a2b2+⋯+a n b n最大值为1故选：A2(2023·陕西渭南·高二校考阶段练习)已知x，y，z是正实数，且x+y+z=5，则x2+2y2+z2的最小值为.【答案】10【解析】由柯西不等式可得x2+2y2+z212+122+12≥(x+y+z)2，所以52x2+2y2+z2≥25，即x2+2y2+z2≥10，当且仅当x1=2y12=z1即x=2y=z也即x=2,y=1,z=2时取得等号，故答案为：103(2023·江苏淮安·高二校联考期中)已知x2+y2+z2=1，a+3b+6c=16，则x-a2+y-b2+z-c2的最小值为.【答案】9【解析】∵a +3b +6c =16≤12+32+6 2a 2+b 2+c 2=4a 2+b 2+c 2∴a 2+b 2+c 2≥4,当且仅当a 1=b 3=c6时等号成立，即a =1,b =3,c =6，∵x -a 2+y -b 2+z -c 2=1-2xa +by +cz +a 2+b 2+c 2≥1-2x 2+y 2+z 2a 2+b 2+c 2+a 2+b 2+c 2=1-2a 2+b 2+c 2+a 2+b 2+c 2=a 2+b 2+c 2-1 2≥9，当且仅当a x =b y =c z 时等号成立，可取x =14,y =34,z =64故答案为：91(2023·全国·高三竞赛)已知x 、y 、z ∈R +，且s =x +2+y +5+z +10，t =x +1+y +1+z +1，则s 2-t 2的最小值为.A.35 B.410C.36D.45【答案】C【解析】由s +t =x +2+x +1 +y +5+y +1 +z +10+z +1 ，s -t =1x +1+x +2+4y +1+y +5+9z +1+z +10.知s 2-t 2=s +t s -t ≥1+2+3 2=36.当x +1+x +2=12y +1+y +5 =13z +1+z +10 时，取得最小值36.故答案为C2(2023·全国·高三竞赛)设a 、b 、c 、d 为实数，且a 2+b 2+c 2-d 2+4=0.则3a +2b +c -4d 的最大值等于.A.2B.0C.-2D.-22【答案】D【解析】由题意得a 2+b 2+c 2+22=d 2，所以42d 2=a 2+b 2+c 2+22 32+22+12+2 2 ≥3a +2b +c +22 2(利用柯西不等式).从而，4d ≥3a +2b +c +22 ≥3a +2b +c +2 2.故3a +2b +c -4d ≤-2 2.当且仅当a =32，b =22，c =2，d =±42时，等号成立.题型六权方和不等式法1(2023·甘肃·高三校联考)已知x >0，y >0，且12x +y +1y +1=1，则x +2y 的最小值为.【答案】3+12【解析】设x +2y =λ1(2x +y )+λ2(y +1)+t ，可解得λ1=12,λ2=32,t =-32，从而x +2y =12(2x +y )+32(y +1)-32=12(2x +y )+32(y +1) 12x +y +1y +1-32≥3+12，当且仅当x =12+33,y =33时取等号.故答案为：3+12．2已知实数x ,y 满足x >y >0且x +y =1，则2x +3y +1x -y的最小值是【答案】3+222【解析】2x +3y +1x -y ≥2+1 22x +2y =3+222．当2x +3y =1x -y 时，x =2-12,y =32-2取等号．3已知a >1,b >1，则a 2b -1+b 2a -1的最小值是．【答案】8【解析】a +b -2=t >0，a 2b -1+b 2a -1≥a +b 2a +b -2=t +2 2t =t +4t +4≥8.当a +b -2=2a b -1=ba -1时，即a =2,b =2，两个等号同时成立．1已知x ,y >0,1x +22y=1，则x 2+y 2的最小值是．【答案】33【解析】1=1x +22y=132x 212+232y 212≥1+232x 2+y 212=33x 2+y2．即当1x 2=2y 21x +22y=1时，即x =3,y =32，有x 2+y 2的最小值为33．题型七拉格朗日乘数法1x >0，y >0，xy +x +y =17，求x +2y +3的最小值．【解析】令F (x ,y ,λ)=x +2y +3-λ(xy +x +y -17)F x ′=1-λy -λ=0，F y ′=2-λx -λ=0，F λ′=-(xy +x +y )+17=0，联立解得x =5，y =2，λ=13，故x +2y +3最小为12．2设x ,y 为实数，若4x 2+y 2+xy =1，则2x +y 的最大值是．【答案】2105【解析】令L =2x +y +λ(4x 2+y 2+xy -1)，由L x =2+8λx -3λy =0L y =1+2λy -3λx =0L λ=4x 2+y 2+xy -1=0，解得x =±1010y =±105，所以2x +y 的最大值是2⋅1010+105=2105．三角换元法1(2023·山西晋中·高三祁县中学校考阶段练习)已知函数f (x )=-3x 3-3x +3-x -3x +3，若f (3a 2)+f (b 2-1)=6，则a 1+b 2的最大值是【答案】33【解析】设g (x )=f (x )-3,所以g (x )= -3x 3-3x +3-x -3x ,所以g (-x )=-3(-x )3+3x +3x -3-x ,∴g (-x )+g (x )=0,所以g (-x )=-g (x ),所以函数g (x )是奇函数，由题得g (x )=-9x 2-3-3-x ln3-3x ln3<0，所以函数g (x )是减函数，因为f 3a 2 +f b 2-1 =6，所以f 3a 2 -3+f b 2-1 -3=0，所以g 3a 2 +g b 2-1 =0,所以g 3a 2 =g (1-b 2),所以3a 2=1-b 2,∴3a 2+b 2=1,设a =33cos θ,b =sin θ,不妨设cos θ>0，所以a 1+b 2=33cos θ1+sin 2θ=33(1+sin 2θ)cos 2θ=33(1+sin 2θ)(1-sin 2θ)=331-sin 4θ≤33，所以a 1+b 2的最大值为33.故答案为332(2023·浙江温州·高一校联考竞赛)2x 2+xy +y 2=1，则x 2+xy +2y 2的最小值为.【答案】-42+97【解析】根据条件等式可设x =2cos θ7,y =sin θ-cos θ7，代入所求式子，利用二倍角公式和辅助角公式化简，根据三角函数的性质可求出最值.∵2x 2+xy +y 2=1，则7x 24+x 24+xy +y 2=1，即7x 2 2+x 2+y 2=1，设7x 2=cos θ,x 2+y =sin θ，则x =2cos θ7,y =sin θ-cos θ7，∴x 2+xy +2y 2=2cos θ7 2+2cos θ7⋅sin θ-cos θ7 +2sin θ-cos θ72=4cos 2θ7-2sin θcos θ7+2sin 2θ=471+cos2θ2 -sin2θ7+1-cos2θ=-17sin2θ-57cos2θ+97=427sin 2θ+φ +97，其中φ是辅助角，且tan φ=357，当sin 2θ+φ =-1时，原式取得最小值为-42+97.故答案为：-42+97.题型九构造齐次式1(2023·江苏·高一专题练习)已知x >0，y >0，则2xy x 2+8y 2+xyx 2+2y 2的最大值是.【答案】23【解析】由题意，2xy x 2+8y 2+xy x 2+2y 2=3x 3y +12xy 3x 4+10x 2y 2+16y 4=3x y+4yxx y2+16yx 2+10=3x y+4yxx y+4y x2+2=3x y+4yxx y+4y x+2x y+4y x，设t =x y +4y x ，则t =x y +4y x ≥2x y ⋅4y x =4，当且仅当x y =4y x，即x =2y 取等号，又由y =t +2t 在[4,+∞)上单调递增，所以y =t +2t 的最小值为92，即t +2t ≥92，所以3x y+4yxxy +4y x+2x y+4y x≤3t +2t=23，所以2xy x 2+4y 2+xy x 2+2y 2的最大值是23.故答案为：23.2(2023·河南·高三信阳高中校联考阶段练习)已知实数a ,b >0，若a +2b =1，则3a b +1ab的最小值为()A.12 B.23C.63D.8【答案】A 【解析】由3a b +1ab，a +2b =1，a ,b >0，所以3a b +1ab =3ab +a +2b 2ab=3a b +a 2+4ab +4b 2ab =3a b +a b+4+4b a =4a b+4b a +4≥24a b ⋅4b a +4=8+4=12，当且仅当4a b=4b a ⇒a =b =13时，取等号，所以3a b +1ab 的最小值为：12，故选：A .3(2023·天津南开·高三统考期中)已知正实数a ，b ，c 满足a 2-2ab +9b 2-c =0，则abc的最大值为．【答案】14/0.25【解析】由a 2-2ab +9b 2-c =0，得c =a 2-2ab +9b 2，∵正实数a ，b ，c∴则ab c =ab a 2-2ab +9b 2=1a b+9b a -2则a b+9b a ≥2a b ⋅9b a =6，当且仅当a b=9ba ，且a ，b >0，即a =3b 时，等号成立a b+9b a -2≥4>0则1a b +9b a -2≤14所以，ab c 的最大值为14.故答案为：14.题型十数形结合法1(2023·全国·高三专题练习)函数f x =x 2+ax +b (a ，b ∈R )在区间[0，c ](c >0)上的最大值为M ，则当M 取最小值2时，a +b +c =【答案】2【解析】解法一：因为函数y =x 2+ax +b 是二次函数，所以f x =x 2+ax +b (a ，b ∈R )在区间[0，c ](c >0)上的最大值是在[0，c ]的端点取到或者在x =-a2处取得．若在x =0取得，则b =±2；若在x =-a 2取得，则b -a 24=2；若在x =c 取得，则c 2+ac +b =2；进一步，若b =2，则顶点处的函数值不为2，应为0，符合题意；若b =-2，则顶点处的函数值的绝对值大于2，不合题意；由此推断b =a 24，即有b =2，a +c =0，于是有a +b +c =2．解法二：设g x =x 2，h x =-ax -b ，则f x =g x -h x ．首先作出g x =x 2在x ∈0,c 时的图象，显然经过(0，0)和c ,c 2 的直线为h 1x =cx ，该曲线在[0，c ]上单调递增；其次在g x =x 2图象上找出一条和h 1x =cx 平行的切线，不妨设切点为x 0,x 20 ，于是求导得到数量关系2x 0=c ．结合点斜式知该切线方程为h 2x =cx -c 24．因此M min =120--c 24 =2，即得c =4．此时h x =cx -c 28，即h x =4x -2，那么a =-4，b =2．从而有a +b +c =2．2(2023·江苏扬州·高三阶段练习)已知函数f x =x ln x ,x >02x +4e ,x ≤0，若x 1≠x 2且f x 1 =f x 2 ，则x 1-x 2的最大值为()A.2e -1eB.2e +1C.5eD.52e 【答案】D【解析】当x >0时，f x =x ln x ，求导f x =ln x +1，令f x =0，得x =1e当x ∈0,1e 时，f x <0，f x 单调递减；当x ∈1e,+∞ 时，f x >0，f x 单调递增；作分段函数图象如下所示：设点A 的横坐标为x 1，过点A 作y 轴的垂线交函数y =f x 于另一点B ，设点B 的横坐标为x 2，并过点B作直线y =2x +4e 的平行线l ，设点A 到直线l 的距离为d ，x 1-x 2 =52d ，由图形可知，当直线l 与曲线y =x ln x 相切时，d 取最大值，令f x =ln x +1=2，得x =e ，切点坐标为e ,e ，此时，d =2e -e +4e5=5e ，∴x 1-x 2 max =52×5e =52e ，故选：D3(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x ln x ,x >0x +1,x ≤0 ，若x 1≠x 2且f x 1 =f x 2 ，则x 1-x 2 的最大值为()A.22B.2C.2D.1【答案】B【解析】设点A 的横坐标为x 1，过点A 作y 轴的垂线交函数y =f x 于另一点B ，设点B 的横坐标为x 2，并过点B 作直线y =x +1的平行线l ，设点A 到直线l 的距离为d ，计算出直线l 的倾斜角为π4，可得出x 1-x 2 =2d ，于是当直线l 与曲线y =x ln x 相切时，d 取最大值，从而x 1-x 2 取到最大值.当x >0时，f x =x ln x ，求导f x =ln x +1，令f x =0，得x =1e当x ∈0,1e 时，f x <0，f x 单调递减；当x ∈1e ,+∞ 时，f x >0，f x 单调递增；如下图所示：设点A 的横坐标为x 1，过点A 作y 轴的垂线交函数y =f x 于另一点B ，设点B 的横坐标为x 2，并过点B 作直线y =x +1的平行线l ，设点A 到直线l 的距离为d ，x 1-x 2 =2d ，由图形可知，当直线l 与曲线y =x ln x 相切时，d 取最大值，令f x =ln x +1=1，得x =1，切点坐标为1,0 ，此时，d =1-0+12=2，∴x 1-x 2 max =2×2=2，故选：B .1(2023·江苏·高三专题练习)已知函数f x =x ,0≤x ≤1,ln 2x ,1<x ≤2, 若存在实数x 1，x 2满足0≤x 1<x 2≤2，且f x 1 =f x 2 ，则x 2-x 1的最大值为()A.e 2B.e 2-1 C.1-ln2 D.2-ln4【答案】B 【解析】f x =x ,0≤x ≤1,ln 2x ,1<x ≤2的图象如下存在实数x 1，x 2满足0≤x 1<x 2≤2，且f x 1 =f x 2 ，即x 1=ln 2x 2∴x 2∈1,e 2，则x 2-x 1=x 2-ln 2x 2 令g x =x -ln 2x ，x ∈1,e 2，则gx =x -1x∴g x 在1,e 2 上单调递增，故g x max =g e 2 =e2-1故选：B 向量法1(2023·江苏南通·高一海安高级中学校考阶段练习)17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小，现已证明：在△ABC 中，若三个内角均小于120°，则当点P 满足∠APB =∠APC =∠BPC =120°时，点P 到三角形三个顶点的距离之和最小，点P 被人们称为费马点．根据以上知识，已知a为平面内任意一个向量，b 和c 是平面内两个互相垂直的向量，且|b |=2,|c |=3，则|a -b |+|a +b |+|a -c |的最小值是．【答案】3+23【解析】以b 为x 轴，c 为y 轴，建立直角坐标系如下图，设a=x ,y ，则b =2,0 ,c =0,3 ，a -c =x 2+y -3 2,a -b =x -2 2+y 2,a +b =x +2 2+y 2，∴a -c +a -b +a +b即为平面内一点x ,y 到0,3 ,2,0 ,-2,0 三点的距离之和，由费马点知：当点P x ,y 与三顶点A 0,3 ,B -2,0 ,C 2,0 构成的三角形ABC 为费马点时a -c+a -b +a +b最小，将三角形ABC 放在坐标系中如下图：现在先证明△ABC 的三个内角均小于120°：AB =BC =22+32=13,BC =4，cos ∠BAC =AB2+AC 2-BC 22AB ∙AC=1113>0，cos ∠ABC =cos ∠ACB =AB2+BC 2-AC 22AB ∙BC=113>0，∴△ABC 为锐角三角形，满足产生费马点的条件，又因为△ABC 是等腰三角形，点P 必定在底边BC 的对称轴上，即y 轴上，∠BPC =120°,∴∠PCB =30°，PO =OC ∙tan ∠PCB =2×33=233，即P 0,233 ，现在验证∠BPA =120°：BP =22+233 2=43,AP =3-233，cos ∠BPA =BP 2+AP 2-AB 22BP ∙AP =-12，∴∠BPA =120°，同理可证得∠CPA =120°，即此时点P 0,233 是费马点，到三个顶点A ，B ，C 的距离之和为BP +CP +AP =2×43+3-233=3+23，即a -c +a -b +a +b 的最小值为3+23；故答案为：3+23.2(2023·浙江嘉兴·高一统考期末)已知平面向量a ，b ，c 满足a =1，b =2，|a |2=a ⋅b ，c ⋅c -b 2=0，则|c -a |2+|c -b |2的最小值为.【答案】72-3【解析】令OA =a ，OB =b ，OC =c ，OB 中点为D ，OD 中点为F ，E 为AB 的中点，由|a |=1，|b |=2，|a |2=a ⋅b ，得1=1×2×cos <a ,b >，则cos <a ,b >=12，<a ,b >=60°即∠AOB =60°，所以AB =OA 2+OB 2-2OA ⋅OB cos ∠AOB =22+12-2×2×1×12=3，所以AO 2+AB 2=OB 2，即∠OAB =90°，∠ABO =30°，所以EF =BF 2+BE 2-2BF ⋅BE cos ∠ABO =32 2+32 2-2×32×32×32=32，因为c ⋅c -b 2=0，所以OC ⋅OC -12OB =0，即OC ⋅OC -OD =0，所以OC ⋅DC =0，所以点C 的轨迹为以OD 为直径的圆，∵2(|c -a |2+|c -b |2)=2(|CA |2+|CB |2)=4|CE |2+|AB |2=4|CE |2+3 2=4|CE |2+3≥4EF -122+3=7-23，当且仅当C 、E 、F 共线且C 在线段EF 之间时取等号．∴|c -a |2+|c -b |2的最小值为72-3．故答案为：72-3．3(2023·湖北武汉·高一湖北省武昌实验中学校联考期末)已知向量a ，b 满足a +b ⋅b =0，a +4b =4，则a +b +b 的最大值为．【答案】4103/4310【解析】取平行四边形OACB ，连接OC设OA =a ,OB =b ，则OC =a +b ，因为向量a ，b 满足a +b ⋅b =0，所以a +b ⊥b ，即OC ⊥OB ，设OB =m ,OC =n ，m ,n >0，如图以O 为原点，OB ,OC 所在直线为x ,y 轴建立平面直角坐标系，则O 0,0 ,B m ,0 ,C 0,n ,A -m ,n 所以a =OA =-m ,n ,b =OB =m ,0 ，则a +4b =-m ,n +4m ,0 =3m ,n =9m 2+n 2=4，故9m 2+n 2=16，所以a +b +b =0,n +m ,0 =n +m因为9m 2+n 2=16，又sin 2θ+cos 2θ=1，可设3m =4sin θ,n =4cos θ,θ∈0,π2 即m =43sin θ,n =4cos θ，所以m +n =43sin θ+4cos θ=43 2+42sin θ+φ =4103sin θ+φ ，其中tan φ=443=3,φ∈0,π2 ，所以θ+φ∈0,π ，所以sin θ+φ ∈0,1 ，故m +n 的最大值为4103，即a +b +b 的最大值为4103.故选：4103.题型十二琴生不等式法1(2023·福建龙岩·高三校考阶段练习)若函数f x 的导函数f x 存在导数，记f x 的导数为f x ．如果对∀x ∈a ，b ，都有f x <0，则f x 有如下性质：f x 1+x 2+⋅⋅⋅+x n n ≥f (x 1)+f (x 2)+⋅⋅⋅+f (x n )n．其中n ∈N *，x 1，x 2，⋯，x n ∈a ，b .若f x =sin x ，则在锐角△ABC 中，根据上述性质推断：sin A +sin B +sin C 的最大值为.【答案】332/323.【解析】f x =sin x ，则f (x )=cos x ，f (x )=-sin x .在锐角△ABC 中，A ，B ，C ∈0，π2，则f (x )=-sin x <0∴ sin A +sin B +sin C 3≤sin A +B +C 3 =sin π3=32，∴ sin A +sin B +sin C 的最大值为332.故答案为：332.2(2023·全国·高三竞赛)半径为R 的圆的内接三角形的面积的最大值是．【答案】334R 2【解析】设⊙O 的内接三角形为△ABC ．显然当△ABC 是锐角或直角三角形时，面积可以取最大值(因为若△ABC 是钝角三角形，可将钝角(不妨设为A )所对边以圆心为对称中心作中心对称成为B C )．因此，S △AB C >S △ABC ．下面设∠AOB =2α，∠BOC =2β，∠COA =2γ，α+β+γ=π．则S △ABC =12R 2sin2α+sin2β+sin2γ ．由讨论知可设0<α、β、γ<π2，而y =sin x 在0,π 上是上凸函数．则由琴生不等式知sin2α+sin2β+sin2γ3≤sin 2α+β+γ 3=32．所以，S △ABC ≤12R 2×3×32=334R 2．当且仅当△ABC 是正三角形时，上式等号成立．故答案为334R 23(2023·北京·高三强基计划)已知正实数a ，b 满足a +b =1，求a +1a b +1b的最小值．【解析】设f (x )=ln x +1x ,0<x <1，则f (x )=x 2-1x 3+x，从而f (x )=-x 4+4x 2+1x 3+x2>0，故f (x )在(0,1)下凸，因此f (a )+f (b )2≥f a +b 2，即a +1a b +1b ≥254,当且仅当a =b =12时等号成立．所以a +1a b +1b的最小值为华254．。

2021高考数学优拔尖必刷压轴题利用拆凑法求多元不等式的最值(选择题、填空题)(含答案)

专题20利用拆凑法求多元不等式的最值【方法点拨】1. 已知的一边是二次齐次可分解，另一边是常数，可考虑换元法：2. 例2、例3中使用了拆凑用以“凑形"，其目的在于一次使用基本不等式，能实现约分或倍数关系.【典型题示例】例1（2021江苏省泰州中学九月测∙16）若实数I y 满足2x 2+xy^y 2=l ,则【答案】—4【解析】因为2x 2 + Λ>,-y 2= (2X-y)(x +y), x-2y = (2x-y)-(x÷y), 5X 2-2xy + 2y 2=(2x-y)~+(x + y)2,设Ix-y = ιι, χ+y = y 9 故原问题可转化为-V = E 求善二的最大值：ιr + ∖^又因为斗=…=— ≤ /1=邑li '+v~ 0γ-v )+2zγv(z∕-v)÷- 2」D 丄4M-V ψ f；/-V所叫二2X2严最大值为字当且仅*十皿取等号• 故答案为：E例2已知兀”ZWRj 则P =：''+严「的最大值是 __________________++君【答案】—2【分析】本题变量个数较多且不易消元，考虑利用均值不等式进行化简，要求得最值则需要分子与分母能够将变莹消掉■观菸分子为Λy,W 均含y,故考虑将分母中的于拆分与X2,Z 2X-Iy5x 2-2xy + 2y 2的最大值为 ________搭配，即P=严严,—— ---- Xf+z所以AT+>7 =T2X√2Λ7÷√2>7 2 •点评：本题在拆分F时还有一个细节，因为分子_yy,yz的系数相同，所以要想分子分母消去变量，则分母中Jtyyz也要相同，从而在拆分F的时候要平均地进行拆分(因为X2,Z2系数也相同).所以利用均值不等式消元要基于调整系数，使之达到消去变量的目的.例3 若实数X, y满足√÷⅛-l=0,则x2+y2的最小值是____________________________ .【分析】思路1：注意到条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，从而求它的最小值.本题中可直接由已知解得>，,代人所求消去y;也可将直接使用“1“的代换，将所求转化为关于X, y的二次齐次分式.思路2：由所求的结论为W+尸，想到将条件应用基本不等式构造出W+护，然后将χ2 +护求解出来即可.【解析一】从结论出发，注意到已知中不含‘护”项，故拆项的系数设X2÷K=Zx2—t x2+y2=tt2—t X2+ v f2]≥Zx2√1 - t Xy(O<∕vl)则『：√1→,解之得：匸三逻代人※得：X2÷y2≥~1^τ (x2xj,> 1；' 5.：工+尸的最小值是【解析二】从已知出发，注意到结论中不含“罚“项，故拆‘为，“项的系数设√+2Ay=λ-2+2(rγ)(i y)<χ-2+[(A∙)2+(; λ∙)2]= (l+∕2)√+ 討⅛⅛=1:IcF 略).W lJ(I÷【巩固训练】/ 2 + b? + 2 )■ + 51 •已知d",*(0,÷∞),则W [ +「 +、的最小值为________________IbC + Cic2•已知正实数x, y满足√≈+τv-2尸=1,则5x-2y的最小值为TS。

高中数学选择、填空题压轴题题型与方法(精华)

则 g x 1 a 1 ax ，若 g x 0 ，可得 x 1 ， g x 为减函数；
x
x
a
若 g x 0 ，可得 x 1 ， g x 为增函数；此时 f x 必须在1,3 上有两个零点，
a
由
g(1) a
g 3
0 0
，解得
ln
3
a
1
．
g
1
0
3
e
法二：当1 x 3 时，求 y=ax 与 f x ln x 相切时的 a 值即可。
2
2
减函数，所以， g 4 m g m f 4 m 1 4 m2 f m 1 m2
2
2
f 4 m f m 8 4m 0
所以， g 4 m g m 4 m m m 2
即实数 m 的取值范围为[2,) .
【例 5】函数 f x 的导函数为 f x ，对 x R ，都有 2 f x f x 成立，若 f ln 4 2 ，则不等
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选择、填空题——压轴题题型与方法
一、函数与导数 1、抽象函数与性质主要知识点：定义域、值域（最值）、单调性、奇偶性、周期性、对称性、趋势线（渐近线）对策与方法：赋值法、特例法、数形结合
【例 1】已知定义在 0,上的函数 f x ，当 x 0,1时， f (x) 2 4 x 1 ;
A． [2,2]
B． [2,)
C． [0,)
D． (, 2] [2, )
【解析】设 g x f x 1 x2 ，因为对任意 x R, f x f x x2 ，
2
所以， g x g x f x 1 x2 f x 1 x2 = f x f x x2 0
2
2
所以，函数 g x f x 1 x2 为奇函数；

多元问题的最值问题-玩转压轴题(原卷版)

多元问题的最值问题一、方法综述多元函数是高等数学中的重要概念之一，但随着新课程的改革，高中数学与大学数学知识的衔接，多元函数的值域与最值及其衍生问题在高考试题中频频出现，因其技巧性强、难度大、方法多、灵活多变而具有挑战性，成为最值求解中的难点和热点。

解决问题的常见方法有：导数法、消元法、均值不等式法（“1”代换）、换元法（整体换元三角换元）、数形结合法、柯西不等式法、向量法等。

二、解题策略类型一导数法例1．已知函数2()lg(1)f x x x=+，且对于任意的(12]x ∈，，21()[]01(1)(6)x mf f x x x ++>---恒成立，则m 的取值范围为（）A ．()0-∞，B ．(]0-∞，C ．[4)+∞，D ．(12)+∞，【举一反三】【2020·浙江学军中学高考模拟】）已知不等式42(,,4)xe x ax b a b R a -+≥+∈≠-对任意实数x 恒成立，则44b a -+的最大值为（）A ．2ln -B ．12ln --C ．22ln -D ．222ln -类型二消元法例2．已知实数a ，b ，c 满足1a b c ++=，2221a b c ++=，则333a b c ++的最小值是（） A ．13B ．59C ．79D ．1【来源】中学生标准学术能力诊断性测试2021年3月测试理科数学（一卷）试卷【举一反三】【2020重庆高考一模】若实数a ，b ，c 满足2a +2b =2a+b ，2a +2b +2c =2a+b+c ，则c 的最大值是．类型三基本不等式法例3．【2020宜昌高考模拟】已知变量,x y 满足13{11x y x y ≤+≤-≤-≤，若目标函数2z x y =+取到最大值a ，则函数224y x =+的最小值为（）A ．1B ．2C ．23 D ．52【举一反三】【2019湖南五市十校12月联考】已知正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（）A ．B ．C ．D ．【2020·陕西西北工业大学附属中学高考模拟】已知函数()x x f x e e -=+，若当0x >时，()1x mf x e m -+-恒成立，则实数m 的取值范围为（） A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦类型四换元法例4．【2020浙江高考模拟】已知0,0a b >>，则2222629ab abb a b a +++的最大值是__________．【举一反三】【2020阜阳市三中调研】已知实数,x y 满足221x y +=,则()()11xy xy -+有（）A ．最小值21和最大值1 B ．最小值43和最大值1 C ．最小值21和最大值43D ．最小值1,无最大值【2019山东济南期末考】已知函数，若对任意，不等式恒成立，其中，则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．三、强化训练1．已知函数2()=++f x x px q 对,∀∈p q R ，总有0[1,5]∃∈x ，使()0f x m ≥成立，则m 的范围是（）A ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(,2]-∞C ．(,3]-∞D ．(,4]-∞【来源】天津市第一中学2021届高三下学期第四次月考数学试题2．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()x f x a =(1)a >.若对任意的[0,1]x b ∈+，均有2()()f x b f x +≥，则实数b 的最大值是（）A ．23-B ．34-C ．0D ．13．已知f （x ）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f （﹣1）＝﹣1，当a ，b ∈[﹣1，1]，且a +b ≠0时，（a +b ）（f （a ）+f （b ））＞0成立，若f （x ）＜m 2﹣2tm +1对任意的t ∈[﹣1，1]恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．（﹣∞，﹣2）∪{0}∪（2，+∞） B ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C ．（﹣2，2）D ．（﹣2，0）∪（0，2）4．已知实数[2,3]a ∈，不等式2cos (4)sin 2(22)|sin 2|0a x a b x a b x a -+-++-+-≥对任意x ∈R 恒成立，则223a a b ++的最大值是（） A ．16-B ．13-C ．6-D ．25．已知函数()2f x x ax b =--，当[]2,2x ∈-时设()f x 的最大值为(),M a b ，则当(),M a b 取到最小值时a =（） A ．0B ．1C ．2D ．12【来源】浙江省宁波市华茂外国语学校2020届高三下学期3月高考模拟数学试题 6．已知函数4(),[,)af x x b x b x=++∈+∞，其中0,b a R >∈，记M 为()f x 的最小值，则当2M =时，a 的取值范围为（）A ．13a >B ．13a < C ．14a > D ．14a <7．函数()||f x x x =．若存在[1,)x ∈+∞，使得(2)0f x k k --<，则k 的取值范围是（）． A ．(2,)+∞B ．(1,)+∞C ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭8．若存在实数a ，对任意(0,]x m ∈，不等式()212ln 0ax x a x---⋅≤恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．(0,2]B ．10,2⎛+ ⎝⎦C ．30,2⎛ ⎝⎦D ．30,2⎛+ ⎝⎦9．已知函数()2log 1f x x =+的定义域为[]1,2，()()()22g x f x f x m =++，若存在实数a ，b ，(){}c y y g x ∈=，使得a b c +<，则实数m 的取值范围是（）A ．74m <-B ．2m <C ．3m <D ．14m <10．已知函数2ln(2),1,()1,1,x x f x x x -⎧=⎨-+>⎩若()0f x ax a -+恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[0,1]C ．[1,)+∞D ．[0,2]11．设定义在R 上的函数()f x 满足()()21f x f x =+，且当[)1,0x ∈-时，()()1f x x x =-+.若对任意[),x λ∈+∞，不等式()34f x ≤恒成立，则实数λ的最小值是（） A ．178-B ．94-C ．114-D ．238-【来源】河南省鹤壁市高级中学2020届高三下学期线上第四次模拟数学（文）试题12．函数()f x 、()g x 分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，且()()2xf xg x e +=，若存在2(]0,x ∈，使不等式()()20f x mg x -≤成立，则实数m 的最小值为（）A ．4B ．C ．8D ．【来源】2020届四川省巴中市高三第一次诊断性数学（理）试题。

高三数学选择填空难题突破与三角函数相关的最值问题

高三数学选择填空难题突破与三角函数相关的最值问题高三数学选择填空难题突破与三角函数相关的最值问题一、方法综述三角函数相关的最值问题一直是高考数学的热点之一。

其中，三角函数的最值问题是三角函数的重要题型之一，主要包括考查三角函数图像和性质的最值问题，以及以三角函数的有界性为主的最值问题。

熟悉三角函数的图像和性质，掌握转化思想是解决这类问题的关键。

二、解题策略1.类型一：与三角函数的奇偶性和对称性相关的最值问题例1】若将函数$f(x)=\sin^2x+\cos^2x$的图像向左平移$\theta$（$\theta>0$）个单位，所得的图像关于$y$轴对称，则$\theta$的最小值是（）。

A。

$\frac{\pi}{3}$。

B。

$\frac{\pi}{5}$。

C。

$\frac{\pi}{4}$。

D。

$\frac{8\pi}{3}$解析】函数$f(x)=\sin^2x+\cos^2x$为常数函数，其图像为一条直线。

将其向左平移$\theta$个单位，得到的图像仍然是一条直线，不可能关于$y$轴对称。

因此，该题没有解。

举一反三】1.【广州市2018届高三第一学期第一次调研】将函数$y=2\sin\left(\frac{x+\pi}{3}\right)+\cos x$的图像向左平移$3$个单位，所得图像对应的函数恰为奇函数，则平移量的最小值为（）。

A。

$\pi$。

B。

$\frac{\pi}{2}$。

C。

$\frac{\pi}{3}$。

D。

$\frac{\pi}{6}$解析】将函数$y=\sin\left(2x+\frac{2\pi}{3}\right)$的图像向左平移$3$个单位，得到的图像对应的函数为$y=-\sin\left(2x+\frac{2\pi}{3}\right)$，为奇函数。

根据奇函数的对称性可知，平移量$\theta$必须是$\frac{\pi}{2}$的倍数，且$\theta>0$。

专题6.1 导数中的构造函数-玩转压轴题,突破140分之高三数学选择题填空题高端精品

【方法综述】函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中．在导数小题中构造函数的常见结论：出现()()nf x xf x '+形式，构造函数()()F nx x f x =；出现()()xf x nf x '-形式，构造函数()()F n f x x x =；出现()()f x nf x '+形式，构造函数()()F nxx e f x =；出现()()f x nf x '-形式，构造函数()()F nxf x x e =．【解答策略】类型一、利用()f x 进行抽象函数构造 1．利用()f x 与x （n x ）构造常用构造形式有()xf x ，()f x x ；这类形式是对u v ⋅，uv型函数导数计算的推广及应用，我们对u v ⋅，u v 的导函数观察可得知，u v ⋅型导函数中体现的是“+”法，uv型导函数中体现的是“-”法，由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“+”法形式时，优先考虑构造u v ⋅型，当导函数形式出现的是“-”法形式时，优先考虑构造uv．例1.【2019届高三第二次全国大联考】设是定义在上的可导偶函数，若当时，，则函数的零点个数为 A ．0 B ．1 C ．2D ．0或2 【指点迷津】设，当时，，可得当时，，故函数在上单调递减，从而求出函数的零点的个数．【举一反三】【新疆乌鲁木齐2019届高三第二次质量检测】的定义域是，其导函数为，若，且（其中是自然对数的底数），则A ．B ．C ．当时，取得极大值D ．当时，2．利用()f x 与x e 构造()f x 与x e 构造，一方面是对u v ⋅，uv函数形式的考察，另外一方面是对()x x e e '=的考察．所以对于()()f x f x '±类型，我们可以等同()xf x ，()f x x的类型处理， “+”法优先考虑构造()()F xx f x e =⋅， “-”法优先考虑构造()()F xf x x e=．例2、【湖南省长郡中学2019届高三下学期第六次月考】已知是函数的导函数，且对任意的实数都有是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【指点迷津】令，可得，可设，，解得，，利用导数研究其单调性极值与最值并且画出图象即可得出．【举一反三】【安徽省黄山市2019届高三第二次检测】已知函数是定义在上的可导函数，对于任意的实数x ，都有，当时，若，则实数a 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．3．利用()f x 与sin x ，cos x 构造sin x ，cos x 因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们一起看看常考的几种形式．()()F sin x f x x =，()()()F sin cos x f x x f x x ''=+；()()F sin f x x x =，()()()2sin cos F sin f x x f x xx x'-'=； ()()F cos x f x x =，()()()F cos sin x f x x f x x ''=-；()()F cos f x x x =，()()()2cos sin F cos f x x f x xx x'+'=．例3、已知函数()y f x =对于任意,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式不成立的是（） A ．234f f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．234f f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()024f f π⎛⎫<⎪⎝⎭ D ．()023f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭【指点迷津】满足“()()cos sin 0f x x f x x '+>”形式，优先构造()()F cos f x x x=，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．注意选项的转化．类型二构造具体函数关系式这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题． 1.直接法：直接根据题设条件构造函数例4、α，,22ππβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且sin sin 0ααββ->，则下列结论正确的是（） A ．αβ> B ．22αβ> C ．αβ< D ．0αβ+> 【指点迷津】根据题目中不等式的构成，构造函数()sin f x x x =，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．【举一反三】【福建省2019届备考关键问题指导适应性练习（四)】已知函数，，若关于的方程在区间内有两个实数解，则实数的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．【指点迷津】根据题目中方程的构成，构造函数，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．2. 参变分离，构造函数例5.【云南省玉溪市第一中学2019届高三下学期第五次调研】设为函数的导函数，且满足，若恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【指点迷津】根据，变形可得，通过构造函数，进一步确定的最大值，利用导数，结合的单调性，即可求解.【举一反三】【河北省唐山市2019届高三下学期第一次模拟】设函数，有且仅有一个零点，则实数的值为（）A．B．C．D．【强化训练】一、选择题1．【山西省2019届高三百日冲刺】已知函数，若对任意的，恒成立，则的取值范围为（）A．B．C．D．2．【海南省海口市2019届高三高考调研】已知函数的导函数满足对恒成立，则下列判断一定正确的是（）A．B．C．D．3．【辽宁省抚顺市2019届高三一模】若函数有三个零点，则实数的取值范围是() A．B．C．D．4．【辽宁省师范大学附属中学2019届高三上学期期中】已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．5．【2019届山西省太原市第五中学高三4月检测】已知函数，若函数在上无零点，则（）A．B．C．D．6．【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考】已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．7．【2019届湘赣十四校高三第二次联考】已知函数为上的偶函数，且当时函数满足，，则的解集是（）A．B．C．D．8．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第三次测评】若函数在区间上单调递增，则的最小值是（）A．-3 B．-4 C．-5 D．9．【宁夏六盘山高级中学2019届高三二模】定义域为的奇函数，当时，恒成立，若，，则（）A．B．C．D．10．【四川省教考联盟2019届高三第三次诊断】已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为，当时，不等式.若对，不等式恒成立，则正整数的最大值为（）A．B．C．D．11．【2019届高三第二次全国大联考】已知定义在上的可导函数的导函数为，若当时，，则函数的零点个数为A．0 B．1 C．2 D．0或2二、填空题12．【江苏省海安高级中学2019届高三上学期第二次月考】若关于x的不等式对任意的实数及任意的实数恒成立，则实数a的取值范围是______．13．【山东省济南市山东师范大学附属中学2019届高三四模】定义在R上的奇函数的导函数满足，且，若，则不等式的解集为______．14．【广东省佛山市第一中学2019届高三上学期期中】已知定义在R上的奇函数满足f（1）=0，当x ＞0时，，则不等式的解集是______．15.【重庆市第一中学校2019届高三3月月考】设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为______. 16．【湖南师大附中2019届高三月考（七)】设为整数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是__________．。

高中数学选填压轴技巧

高中数学选填压轴技巧
高中数学选填压轴题是考试中难度最大的题目之一，需要考生具备扎实的数学基础和灵活的思维。

为了解决这类题目，我们可以采取以下技巧：
1. 观察特例：对于一些抽象的函数或者图形问题，我们可以尝试找到一个特例来进行验证或者排除选项。

2. 极限思想：在处理函数的单调性或者最值问题时，我们可以考虑函数的极限状态，从而得出结论。

3. 排除法：对于一些选项之间相互矛盾的题目，我们可以利用排除法来快速得出答案。

4. 数形结合：对于一些涉及图形的问题，我们可以尝试将问题转化为代数问题，或者将代数问题转化为图形问题，以更直观的方式来解决问题。

5. 构造反例：对于一些涉及命题真假的题目，我们可以尝试构造反例来证明命题的真假。

6. 函数思想：对于一些涉及变量的问题，我们可以尝试将问题转化为函数问题，利用函数的性质来解决问题。

7. 方程思想：对于一些涉及等量关系的问题，我们可以尝试将问题转化为方程问题，利用方程的性质来解决问题。

8. 归纳法：对于一些涉及数列或者组合的问题，我们可以尝试使用归纳法来得出结论。

9. 类比法：对于一些涉及类比的问题，我们可以尝试使用类比法来得出结论。

10. 整体代换：对于一些涉及多个变量或者多个条件的问题，我们可以尝试
将问题转化为整体代换的问题，以更简洁的方式来解决问题。

总之，高中数学选填压轴题的技巧有很多，我们需要根据具体的问题选择合适的方法来解决问题。

同时，我们还需要不断练习，提高自己的数学思维和解题能力。

专题2.3 平面向量中范围、最值等综合问题-玩转压轴题,突破140分之高三数学选择题填空题高端精品(

一．方法综述平面向量中的最值与范围问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，也是难点，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数（二次函数、三角函数）的最值或应用基本不等式，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合，应用图形的几何性质．二．解题策略类型一与向量的模有关的最值问题【例1】【安徽省黄山市2019届高三一模】如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，，则三角形的面积为，解得，由，且C，P，D三点共线，可知，即，故.以所在直线为轴，以点为坐标原点，过点作的垂线为轴，建立如图所示的坐标系，则，，，，则，，，则（当且仅当即时取“=”）.故的最小值为.【指点迷津】三点共线的一个向量性质：已知O、A、B、C是平面内的四点，则A、B、C三点共线的充要条件是存在一对实数、，使，且.【举一反三】1、【宁夏六盘山高级中学2019届高三下学期二模】如图，矩形中边的长为，边的长为，矩形位于第一象限，且顶点分别位于轴、轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，设，则因为所以则所以的最大值为所以选B2、【浙江省湖州三校2019年高考模拟】已知向量，的夹角为，且，则的最小值为（）A．B．C．5 D．【答案】B【解析】由题意可设,，因此表示直线上一动点到定点距离的和,因为关于直线的对称点为，所以选B.3、【四川省成都外国语学校2019届高三3月月考】在平面直角坐标系中，，若，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于，即，即，所以在以原点为圆心，半径为的圆上.得到三点共线.画出图像如下图所示，由图可知，的最小值等于圆心到直线的距离减去半径，直线的方程为，圆心到直线的距离为，故的最小值是，故选C.类型二与向量夹角有关的范围问题【四川省成都市实验外国语学校2019届高三10月月考】已知向量与的夹角为，，，【例2】，，在时取得最小值若，则夹角的取值范围是______. 【答案】【解析】，，，在时取得最小值解可得：则夹角的取值范围本题正确结果：【指点迷津】求变量的取值范围、最值，往往要将目标函数用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，期间要注意变量之间的关系，进而得解．【举一反三】1、非零向量b a ,满足b a ⋅2=22b a ，2||||=+b a，则b a 与的夹角的最小值是．【答案】3π 【解析】由题意得2212a b a b ⋅=，()24a b +=，整理得22422a b a b a b +=-⋅≥⋅，即1a b ⋅≤ 11cos ,22a b a b a b a b ⋅==⋅≤，,3a b ππ∴≤≤，夹角的最小值为3π.2、【上海市2019年1月春季高考】在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为____________【答案】【解析】由题意：，设，，因为，则与结合，又与结合，消去，可得：所以本题正确结果：类型三与向量投影有关的最值问题【例3】【辽宁省沈阳市郊联体2019届高三一模】若平面向量，满足||=|3|=2，则在方向上的投影的最大值为（） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】因为，所以，在方向上的投影为，其中为，的夹角．又，故．设，则有非负解，故，故，故，故选A ．【指点迷津】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是.另外，的几何意义就是向量在向量的投影与模的乘积，向量在向量的投影为．【举一反三】1、已知ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为2，且0OA AB AC ++=，则向量CA 在向量CB 方向上的投影为( ) A. 3 B. 3 C. -3 D. 3-【答案】B本题选择B 选项.2、设1,2OA OB ==， 0OA OB ⋅=， OP OA OB λμ=+，且1λμ+=，则OA 在OP 上的投影的取值范围( ) A. 25-,15⎛⎤⎥ ⎝⎦ B.25,15⎛⎤⎥⎝⎦ C. 5,15⎛⎤⎥⎝⎦ D. 5-,15⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D当λ0=时， 0,x =当222215λ8λ4482λ0521x λλλλ-+⎛⎫>==-+=-+ ⎪⎝⎭，故当λ1=时，1x 取得最小值为1，即1101x x≥∴<≤，当λ0<时， 222215844825215x λλλλλλ-+⎛⎫=-=--+=--+=- ⎪⎝⎭，即15x <- 505x ∴-<< 综上所述]5( ,1x ∈-故答案选D 类型四与平面向量数量积有关的最值问题【例4】【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】中，，，，且，则的最小值等于 A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由题意知，向量，且，可得点D 在边BC 上，，所以，则，即，所以时以C 为直角的直角三角形．如图建立平面直角坐标系，设，则，则，，当时，则最小，最小值为．故选：C ．【指点迷津】平面向量数量积的求法有：①定义法；②坐标法；③转化法；其中坐标法是同学们最容易忽视的解题方法，要倍加注视，若有垂直或者容易出现垂直的背景可建立平面直角坐标系，利用坐标法求解.【举一反三】1、已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE DC的最大值为（）A. 1B. 12C.3D. 2【答案】A2、【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】中，，，，且，则的最小值等于A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意知，向量，且，可得点D在边BC上，，所以，则，即，所以时以C 为直角的直角三角形．如图建立平面直角坐标系，设，则，则，，当时，则最小，最小值为．故选：C ．3、已知圆的半径为2，是圆上任意两点，且，是圆的一条直径，若点满足（），则的最小值为（）A. -1B. -2C. -3D. -4 【答案】C类型五平面向量系数的取值范围问题【例5】在矩形ABCD 中， 12AB AD ==，，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（）A. 3B. 22C. 5D. 2【答案】A∴圆的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=45，设点P 25cosθ+1， 25）， ∵AP AB AD λμ=+，255， 255sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）， ∴55cosθ+1=λ， 55sinθ+2=2μ， ∴255（θ+φ）+2，其中tanφ=2， ∵﹣1≤sin （θ+φ）≤1， ∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3，故选：A【指点迷津】（1）向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题；（3）向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 【举一反三】1、【云南省昆明市云南师范大学附属中学2019届高三上学期第四次月考】已知正方形ABCD 的边长为1，动点P 满足，若，则的最大值为A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】解：以A 为原点建立如图所示的直角坐标系：则，，，，设， ,则由得，化简得：，又，，，，表示圆上的点到原点的距离得平方，其最大值等于圆心到原点的距离加半径的平方，即，故选：C ．2.已知1,3,0OA OB OA OB ==⋅=，点C 在AOB ∠内，且OC 与OA 的夹角为030，设(),OC mOA nOB m n R =+∈，则mn的值为（） A. 2 B. 52C. 3D. 4 【答案】C 【解析】如图所示，建立直角坐标系．由已知1,3,OA OB ==，，则10033OA OB OC mOA nOB m n ==∴=+=（，），（，），（，）， 3330n tan ∴︒==， 3mn∴=．故选B3.【上海市金山区2019届高三二模】正方形ABCD 的边长为2，对角线AC 、BD 相交于点O ，动点P 满足，若，其中m 、n ∈R ，则的最大值是________【答案】【解析】建立如图所示的直角坐标系，则A （﹣1，﹣1），B （1，﹣1），D （﹣1，1），P （，），所以（1，sinθ+1），（2，0），（0，2），又，所以，则，其几何意义为过点E （﹣3，﹣2）与点P （sinθ，cosθ）的直线的斜率，设直线方程为y +2k （x +3），点P 的轨迹方程为x 2+y 2＝1，由直线与圆的位置关系有：，解得：，即的最大值是1，故答案为：1类型六平面向量与三角形四心的结合【例6】已知ABC ∆的三边垂直平分线交于点O ， ,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且()222c b b =-，则AO BC ⋅的取值范围是__________．【答案】2,23⎛⎫-⎪⎝⎭【指点迷津】平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．【举一反三】1、如图，为的外心，为钝角，是边的中点，则的值为（）A. 4B.C.D.【答案】B2.已知点O 是锐角三角形ABC 的外心，若OC mOA nOB =+（m ， n R ∈），则（） A. 2m n +≤- B. 21m n -≤+<- C. 1m n +<- D. 10m n -<+< 【答案】C【解析】∵O 是锐角△ABC 的外心，∴O 在三角形内部，不妨设锐角△ABC 的外接圆的半径为1，又OC mOA nOB =+， ∴|OC |=| mOA nOB +|，可得2OC =22m OA +22n OB +2mn OA ⋅OB ，而OA ⋅OB =|OA |⋅|OB |cos ∠A 0B <|OA |⋅|OB |=1. ∴1=2m +2n +2mn OA ⋅OB <22m n ++2mn ，∴m n + <−1或m n + >1，如果m n + >1则O 在三角形外部，三角形不是锐角三角形， ∴m n + <−1，故选：C.3、在ABC ∆中， 3AB =， 5AC =，若O 为ABC ∆外接圆的圆心（即满足OA OB OC ==），则·AO BC 的值为__________. 【答案】8【解析】设BC 的中点为D ，连结OD ,AD ，则OD BC ⊥，则：()()()()()222212121538.2AO BC AD DO BC AD BCAB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅=⋅=+-=-=-=三．强化训练1.【宁夏平罗中学2019届高三上期中】已知数列是正项等差数列，在中，，若，则的最大值为（）A．1 B．C． D．【答案】C【解析】解：∵，故三点共线，又∵，∴，数列是正项等差数列，故∴，解得：，故选：C．2.【山东省聊城市第一中学2019届高三上期中】已知M是△ABC内的一点，且，，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为1，，，则的最小值是（）A．2 B．8 C．6 D．3【答案】D【解析】∵，，∴，化为．∴．∴．则，而=5+4=9，当且仅当，即时取等号，故的最小值是9，故选：D．3．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟《黄金卷三》】已知是边长为的正三角形，且，，设函数，当函数的最大值为-2时，（）A．B．C．D．【答案】D【解析】,因为是边长为的正三角形，且，所以又因，代入得所以当时，取得最大，最大值为所以，解得，舍去负根.故选D项.4．【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】已知平面向量，，满足，若，则的最小值为A．B．C．D．0【答案】B【解析】因为平面向量，，满足，，，，设，，，，所以的最小值为．故选：B．5.已知直线分别于半径为1的圆O相切于点若点在圆O的内部（不包括边界），则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B6.【河南省南阳市第一中学2019届高三第十四次考试】已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（）A．1 B．2 C．D．【答案】C【解析】解：以所在直线建立平面直角坐标系，设，，，因为所以，即，故，令（为参数），所以，因为，所以，，故选C.7．【四川省成都市外国语学校2019届高三一诊】如图所示，在中，，点在线段上，设，，，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：．∵，，三点共线，∴．即．由图可知．∴．令，得，令得或（舍）．当时，，当时，．∴当时，取得最小值.故选：D．8．【安徽省宣城市2019届高三第二次调研】在直角三角形中，，，，在斜边的中线上，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：以A为坐标原点，以AB，AC方向分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，则B（2，0），C（0，4），中点D(1,2)设，所以，时，最大值为．故选：B．二、填空题9.在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．若对任意λ∈R，不等式恒成立，则的最大值为_____．【答案】2【解析】由，两边平方得，，则，则，又，则，即，由，从而，即，，从而问题可得解.10.【2019年3月2019届高三第一次全国大联考】已知的内角所对的边分别为，向量，，且，若，则面积的最大值为________．【答案】【解析】由，得，整理得．由余弦定理得，因为，所以．又，当且仅当时等号成立，所以，所以，即．故答案为：．11.【四川省广元市2019届高三第二次高考适应】在等腰梯形ABCD中，已知，，，，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，，则的最小值为______．【答案】【解析】解：等腰梯形ABCD中，已知，，，，，，，，，，，则当且仅当即时有最小值故答案为：12.【上海市七宝中学2019届高三下学期开学】若边长为6的等边三角形ABC，M是其外接圆上任一点，则的最大值为______．【答案】【解析】解：是等边三角形，三角形的外接圆半径为，以外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系，设，．设，则，．．的最大值是．故答案为．13．【天津市第一中学2019届高三下学期第四次月考】在中，已知为直角，，若长为的线段以点为中点，则的最大值为________【答案】0【解析】即的最大值为0.14．【安徽省黄山市2019届高三第二次检测】已知是锐角的外接圆圆心，是最大角，若，则的取值范围为________.【答案】【解析】设是中点，根据垂径定理可知，依题意，即，利用正弦定理化简得.由于，所以，即.由于是锐角三角形的最大角，故，故.15．【北京市大兴区2019届高三4月一模】已知点，，点在双曲线的右支上，则的取值范围是_________．【答案】【解析】设点P(x,y),（x＞1），所以，因为，当y＞0时，y=,所以，由于函数在[1，+∞）上都是增函数，所以函数在[1，+∞）上是增函数，所以当y＞0时函数f(x)的最小值=f(1)=1.即f(x)≥1.当y≤0时，y=,所以，由于函数在[1，+∞）上都是增函数，所以函数在[1，+∞）上是减函数，所以当y≤0时函数k(x)＞0.综上所述，的取值范围是.16．【上海市青浦区2019届高三二模】已知为的外心，，，则的最大值为________【答案】【解析】设的外接圆半径为1，以外接圆圆心为原点建立坐标系，因为，所以，不妨设，，，则，，，因为，所以，解得，因为在圆上，所以，即，所以，所以，解得或，因为只能在优弧上，所以，故。

高中数学压轴题题型与方法(选择、填空题)

【例 5】函数 f x 的导函数为 f x ，对 x R ，都有 2 f x f x 成立，若 f ln 4 2 ，则不等
x
式 f x e2 的解是（）【答案】A
A. x ln 4
B. 0 x ln 4
C. x 1
D. 0 x 1
h(1)

log2
1
1 ln 2

1 ln 2

0
，
h(2)

log2
2

2
1 ln
2

1
1 ln 4

0
，
所以
h(x)

log2
x

x
1 ln
2
的零点在区间 (1, 2)
，即方程 f (x) f (x) 2
的解所在的区间是 (1, 2)
4 / 52
【例 4】设函数 f (x) 在 R 上存在导数 f (x) ， x R ，有 f (x) f (x) x2 ，在 (0,) 上 f (x) x ，若 f (4 m) f (m) 8 4m ，则实数 m 的取值范围为（）【答案】B
2
2
所以，函数 g x f x 1 x2 为奇函数；
2
又因为，在 (0,) 上 f (x) x ，所以，当时 x 0 ， g x f x x 0
即函数 g x f x 1 x2 在 (0,) 上为减函数，
2
因为函数 g x f x 1 x2 为奇函数且在 R 上存在导数，所以函数 g x f x 1 x2 在 R 上为
x
x

backup_专题14 多元问题的最值问题-2021届高考数学压轴题讲义(选填题)(原卷版)

一、方法综述多元函数的最值问题就是在多个约束条件下，某一个问题的最大和最小值．在所列的式子之中，有多个未知数．求解多元函数的最值问题技巧性强、难度大、方法多，灵活多变，多元函数的最值问题蕴含着丰富的数学思想和方法．解题办法常有：导数法、消元法、基本不等式法、换元法、数形结合法、向量法等．例1．【2019福建三明上学期期末考】若不等式对任意恒成立，则实数的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 A ．B ．C ．D ．类型二消元法例2．【2019四川攀枝花期末考】已知函数，若方程有四个不等实根，不等式恒成立，则实数的最大值为（） A ． B ． C ． D ．【举一反三】1．【2019合肥一模】已知函数有两个不同的极值点，若不等式恒成立，则实数的取值范围是( )． A ．B ．C ．D ．2．【2018河北省廊坊市第八高级中学模拟】若对任意的实数x ，都存在实数y 与之对应，则当()220x y y x e y x ae ----=时，实数a 的取值范围为（）A ．1,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．(),0-∞ C ．10,3e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．1,3e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 类型三基本不等式法例3．【2019湖北1月联考】在中，角、、的对边分别是、、，若，则的最小值为（） A ．B ．C ．D ．【举一反三】【2019湖南五市十校12月联考】已知正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（）A ．B ．C ．D ．类型四换元法例4．【2019山东济南期末考】已知函数，若对任意，不等式恒成立，其中，则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．【举一反三】【2018四川广元统考】若正项递增等比数列{}n a 满足()()()243510a a a a R λλ+-+-=∈，则89a a λ+的最小值为（） A ．94-B ．94C ．274D ．274- 三、强化训练1．【2019江西宜丰中学月考二】已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（） A ．B ．C ．D ．2．【2019天津一中期中考】已知函数，若对任意，总存在，使得，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．3．【2019浙江台州统考】已知函数，若对任意，总存在，使得，则的取值范围是（）A．B．C．D．4．【2019广西百色摸底调研】若直线：被圆截得的弦长为4，则当取最小值时直线的斜率为（）A．2 B．C．D．5．【2019重庆西大附中月考】已知函数，，若成立，则的最小值是（）A．B．C．D．6．【2019湖北、山东一联】在中，角的对边分别为，若，则当取最小值时，=（）A．B．C．D．7．【2019新疆昌吉模拟】在1和17之间插入个数，使这个数成等差数列，若这个数中第一个为，第个为，当取最小值时，的值为（）A．6 B．7 C．8 D．98．【2019广东六校一联】抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长度为，则点的纵坐标的最小值为（）A．B．C．D．10．【2019安徽皖中名校10月联考】在中，点是上一点，且，为上一点，向量，则的最小值为（）A．16 B．8 C．4 D．211．【2019山东青岛零模】已知函数在点处的切线为，动点在直线上，则的最小值是（）A．4 B．2 C．D．12．【2019上海交大附中10月月考】定义域为的函数图像的两个端点为，向量，是图像上任意一点，其中，．若不等式恒成立，则称函数在上满足“范围线性近似”，其中最小的的正实数称为该函数的线性近似阈值．下列定义在上函数中，线性近似阈值最小的是（）A．B．C．D．13．【2019江苏南师大附中第一学期期中考】己知实数x，y，z[0，4]，如果x2，y2，z2是公差为2的等差数列，则的最小值为_______．14．【2019江苏盐城、南京一模】若正实数、、满足，，则的最大值为________．15．【2019陕西榆林一模】已知正数满足，则的最小值为__________．16．【2019辽宁沈阳东北育才模拟】已知对满足的任意正实数x，y，都有，则实数a的取值范围为______．17．【2019江苏清江中学二模】在中，设角的对边分别是若成等差数列，则的最小值为________．18．【2019广东深圳宝安区零模】定义在上的函数满足，且当若任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是____________．。

高三数学压轴题真题答案大全解析

高三数学压轴题真题答案大全解析一、引言数学是一门重要的学科，也是高中阶段学生备战高考的必考科目之一。

在高三这个关键时期，数学的学习对于学生的升学加分甚至是决定命运的重要因素之一。

而高三数学压轴题则是考察学生对于数学知识掌握的一种重要方式。

本文将分析一些高三数学压轴题的真题答案，并进行全面解析。

二、数学知识梳理在高三数学压轴题中，知识的考察范围广泛且复杂，从代数、几何到数列、概率等等。

为了更好地理解这些压轴题的答案，我们首先需要梳理一下数学知识的重点。

1. 代数：包括多项式、方程、不等式、函数等内容。

2. 几何：包括平面几何和空间几何，重点考察面积、体积、相似、全等等概念。

3. 数列：包括等差数列、等比数列、递推数列等，需要掌握求和公式、通项公式等。

4. 概率：包括排列组合、随机事件概率等，需要掌握计数法和概率计算方法。

5. 解析几何：包括直线、平面、二次曲线等内容，要求掌握函数图像与方程、曲线的性质等。

三、高三数学压轴题答案解析下面我们将通过对一些高三数学压轴题的真题答案进行解析，帮助同学们更好地理解这些问题。

【题目一】已知函数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，存在四个不同的实数$x_1,x_2,x_3,x_4$，满足$f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)=f(x_4)=0$。

求证:存在实数$p$，使得$f(x)=p(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)$。

【解析一】首先我们考察已知条件：$f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)=f(x_4)=0$，根据零点定理，这意味着$f(x)$至少有四个根。

又因为多项式$f(x)$的次数是三次，所以这是一个完全平方后多项式。

可以通过配成四次方项解题，即将$f(x)$表示为$(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)=0$的形式，从而得到答案。

【题目二】平面上有三个点$A(2,3)$，$B(4,7)$，$C(8,10)$，点$D$在直线$BC$上，$D$点的横坐标为$7$，若直线$AD$的斜率为$2$，求点$D$的纵坐标。

(完整版)多元函数的最值问题(学生版)

多元函数的最值问题一、背景介绍多元函数是高等数学中的重要概念之一，但随着新课程的改革，高中数学与大学数学知识的衔接，多元函数的值域与最值及其衍生问题在高考试题及竞赛中频频出现，因其技巧性强、难度大、方法多、灵活多变而具有挑战性，成为最值求解中的难点和热点。

同时，多元函数最值问题中蕴含着丰富的数学思想和方法，而且有利于培养学生联想、化归的解题能力.因此，怎样求多元函数的最值，是师生们非常关注和必须解决的问题，也是必须具备的解题技能. 二、方法思想1.常用方法：换元法、配方法、基本不等式法、柯西不等式法、消元法、数形几何法等；2.基本思想：化归转化、数形结合. 三、题型归纳题型一：换元法例1.实数,x y 满足224545x xy y -+=，设22S x y =+，求S 的最大值与最小值.例2.已知实数,x y 满足22222429x xy y x y +++≤，令)x y xy ω=++，试求ω的最大值和最小值.例3.已知,,a b c 均为正数，且21a b c ++=，则11a b c++的最小值为_______. 题型二：减元法例4.设实数,,x y z 满足237x y z +-=，求222x y z ++的最小值.例5.设,,x y z 为正实数，满足230x y z -+=，则2y x z⋅的最小值是_____.例6.若实数,,0x y z ≥，且30,350x y z x y z ++=+-=，则542T x y z =++的取值范围是______.题型三：构造法例7. 设n 为自然数，,a b 为正实数，且满足条件2a b +=，则1111n na b +++的最小值是________.例8. 对于满足1r s t ≤≤≤的一切实数,,r s t ，求22224(1)(1)(1)(1)s t W r r s t=-+-+-+-的最小值.例9.设123,,x x x 是非负实数，满足1231x x x ++=，求321231(35)()35x x x x x x ++++ 的最小值和最大值.例10.求实数a 的取值范围，使得对x R ∀∈和0,2πθ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦恒有 221(32sin cos )(sin cos )8x x a a θθθθ+++++≥题型四：一题多解例11. 已知实数,x y 满足0x y >>，且2x y +≤，则213x y x y++-的最小值为 . 例12.已知任意非零实数,x y 满足22234()x xy x y λ+≤+恒成立，则实数λ的最小值为____．变式练习：()22222x xy m x y +≤+对于一切正数,x y 恒成立，则实数m 的最小值为 .例13.已知正实数,a b 满足2291a b ，则3aba b的最大值为 .四、直击考题1.（2002年一试二11题）若44log (2)log (2)1x y x y ++-=，则x y -的最小值是______.【变式1】设,x y R ∈，且44log (2)log (2)1x y x y ++-=，则x y -的最小值是（）B.2C.2.（2017年预赛一试第8题）设0x y ≥>，若存在实数,a b 满足0,0a x b y ≤≤≤≤，且222222()()x a y b x b y a -+-=+=+，则xy的最大值为（）D.13.（2017预赛一试第11题）设,,a b c 是互不相等的正整数，则abca b c++的最小值为____.4.（2016年预赛一试第8题）设非负实数,,a b c 满足0ab bc ca a b c ++=++>，则）5.(2016预赛一试第6题)记(,,)M x y z 为,,x y z 三个数中的最小数，若二次函数2()(,,0)f x ax bx c a b c =++>有零点，则(,,)b c c a a bM a b c+++的最大值为（） A.2 B.54 C.32D.16.（2016预赛一试第2题）已知实数,x y 满足33(3)2015(3)(23)2015(23)0x x y y -+-+-+-=，则2244x y x ++的最小值为____.五、课后练习1.求221x yz x y +=++的最大值和最小值. 2.设非负实数12,,,n a a a 满足121n a a a +++=.求122313121111nnn n a a a a a a a a a a a a -+++++++++++++++的最小值.3.设1xy =，且0x y >>，求22x y x y+-的最小值.4.设,,a b c 为正数，且1abc =，求111212121a bc +++++的最小值. 5.设,,x y z 是不全为零的实数，求2222xy yzx y z +++的最大值. 6.对所有,,a b c R +∈的最小值.7.已知,,a b c R +∈，求938432a b cb c c a a b+++++的最小值. 8.设,,a b c 为正实数，且abc a c b ++=，求222223111p a b c =-++++的最大值. 9.设0,0,0,1x y z x y z ≥≥≥++=，求22223f x y z =++的最大值和最小值.。

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【答案】A
6．【2019 湖北、山东一联】在中，角
取最小值时， =（）
A．
B．
【答案】B
C．
D．
的对边分别为
，若
【解析】因为
，由正弦定理及余弦定理得：
，则当，整理得：
t
பைடு நூலகம்
,
1 3
时，
a'
0
，
a
te3t
在
,
1 3
为增函数；当
t
1 3
,
时，
a'
0
，
a
te3t
在
,
1 3
为减函数，所以 amax
1 3e
，注意到当 t
0 时，
a
0
，故选
D．
类型三基本不等式法
例 3．【2019 湖北 1 月联考】在中，角、、的对边分别是、、，若
，则
的最小值为（）
g（x）=log2x+m，在 x∈[1，4]上为单调增函数，故 g（x）min=g（1）=m，所以 m≤ ，故选 C．
4．【2019 广西百色摸底调研】若直线：
被圆
截得的弦
长为 4，则当取最小值时直线的斜率为（）
A．2 B．
C．
D．
【答案】A
【解析】圆 x2+y2+2x﹣4y+1=0 是以（﹣1，2）为圆心，以 2 为半径的圆，又∵直线 ax﹣by+2=0（a＞0，b
＞0）被圆 x2+y2+2x﹣4y+1=0 所截得的弦长为 4，∴直线过圆心，∴a+2b=2，
∴ = （）（a+2b）= （4+ + ）≥ （4+4）=4，当且仅当 a=2b 时等号成立，∴k=2，故选 A．
5．【2019 重庆西大附中月考】已知函数值是（）
，
，若
成立，则的最小
A．
B．
C．
D．
，总存在
，
使得
，则的取值范围是（
） [来源:][来源:学*科*网 Z*X*X*K]
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对∀x1∈[1，2]，∃x2∈[1，4]，使得 f（x1）≥g（x2）等价于 f（x）min≥g（x）min．
f（x）= = + ，换元令 t= ∈[ ，1]，h（t）=t+t2 知 h（t）在（﹣ ，+∞）上单调递增，所以 f（x）min=h（）= ；
，得
，当且仅当
，即
，所以此时
，所以
【解题秘籍】
，故最大值为 1
在利用基本不等式求最值时，要根据式子特征灵活变形，然后再利用基本不等式，要注意条件：一正二定
三相等．
类型四换元法
例 4 ．【 2019 山东济南期末考】已知函数
，若对任意
恒成立，其中，则的取值范围是( )
，不等式
A．
B．
【答案】D
C．
D．
【解题秘籍】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数间基本关系，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想．【举一反三】
【2019 湖南五市十校 12 月联考】已知正实数，，满足
的最大值为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
，则当取得最大值时，
【解析】由正实数，，满足时，取最大值，又因为
一、方法综述
多元函数的最值问题就是在多个约束条件下，某一个问题的最大和最小值．在所列的式子之中，有多个未知数．求解多元函数的最值问题技巧性强、难度大、方法多，灵活多变，多元函数的最值问题蕴含着丰富的数学思想和方法．解题办法常有：导数法、消元法、基本不等式法、换元法、数形结合法、向量法等．
二、解题策略
由题意知，f（2）＝ln2，故 0＜m＜ln2，且 x1＜x2＜x3＜x4，x1+x4＝x2+x3＝4，
x1x2＝1，（4﹣x3）（4﹣x4）＝1，可知，
，由，得
，，
设 t＝x1+x2，则
，又
在
上单调递增，所以
，∴
，即
，∴实数的最大值为，故选 B．
【解题秘籍】题设条件中变量较多，但可以把
x1
则 a8 a9 的最小值为（）
A． 9 4
【答案】C
B． 9 4
C． 27 4
D． 27 4
∴当 x
6 2
，即 x2
3 2
时，
f
x 有最小值，且
f
x min
f
3 2
27 4
．
∴
a8
a9
的最小值为
27 4
．故选
C．
三、强化训练
1．【2019 江西宜丰中学月考二】已知值范围是（）
A．
，对于任意，
，
恒成立，则的取值范围是（）
A．
B．
【答案】A
C．
D．
类型二消元法
例 2．【2019 四川攀枝花期末考】已知函数
大值为（）
，不等式
，若方程
有四个不等实根
恒成立，则实数的最
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】当 2＜x＜4 时，0＜4﹣x＜2，所以 f（x）＝f（4﹣x）＝|ln（4﹣x）|，由此画出函数 f（x）的图象，
e2xy y x ae2yx 0 时，实数 a 的取值范围为（）
A．
,
1 2e
B． , 0
C．
0,
1 3e
D．
,
1 3e
【答案】D
【解析】由题设有 a y xe3x3y ，令 x y t ，则 a te3t ,t R ，所以 a ' 1 3t e3t ,t R ，当
B．
C．
【答案】C
，且
，若
D．
恒成立，则实数的取
2．【2019 天津一中期中考】已知函数
，若对任意
，使得
A．
B．
【答案】C
【解析】因为对任意
，则实数的取值范围是（）
C．
D．
，总存在
，使得
，所以
，总存在，
因为因为
当且仅当
时取等号，所以
，
，所以
，选 C．
3．【2019 浙江台州统考】已知函数
，若对任意
类型一导数法
例 1．【2019 福建三明上学期期末考】若不等式
数的值为（）
A．1 B．2 【答案】C
C．3
D．4
对任意
恒成立，则实
在
上单调递减，在
上单调递增，∴
，即
对任意
恒成立，同理可证：
对任意
恒成立，∴
即
，
∴
，故选 C ．【举一反三】【 2019 福建福州第一学期质量抽测】已知函数
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】作出函数的图象，由图像可知：函数在 R 上单调递减，
即
，由函数在 R 上单调递减，可得：
变量分离可得：
，令
∴
，∴ ，故选 B．
，则
，，
，又
，
【举一反三】【2018 四川广元统考】若正项递增等比数列an 满足1 a2 a4 a3 a5 0 R ，
x2
看成整体，从而把问题转化为求一元函数的最值． [来源:学|科|网]
【举一反三】
1．【2019 合肥一模】已知函数
有两个不同的极值点
，若不等式
恒
成立，则实数的取值范围是(
)．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
2．【2018 河北省廊坊市第八高级中学模拟】若对任意的实数 x ，都存在实数 y 与之对应，则当