电路分析基础第6章 耦合电感和理想变压器
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线圈电流产生的磁通全部与耦合线圈交链Mmax =
；
K 近于1时称为紧耦合；K 值较小时称为松耦合；K=0 称
为无耦合。
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第二节 有耦合电感的正弦电路
含有耦合电感电路（简称互感电路）的正弦稳态计算可采用 相量法。分析时要注意耦合电感上的电压是由自感电压和互 感电压叠加而成的。根据电压、电流的参考方向及耦合电感 的同名端确定互感电压的方向是互感电路分析计算的难点。 由于耦合电感支路的电压不仅与本支路电流有关，还和与之 有耦合支路的电流有关，列写节点电压方程较困难，所以互 感电路的分析计算一般采用支路电流法（网孔法）。
第六章 耦 合 电 路
第一节 耦合电感 第二节 有耦合电感的正弦电路 第三节 空心变压器 第四节 理想变压器
第一节 耦合电感
一、互感
1. 互感现象 我们先观察下面这个实验。图6−1 所示的实验电路中，线
圈2 两端接一灵敏检流计。当开关S 闭合瞬间，可以观察到 检流计指针偏转一下之后又回到零位。发生这种现象的原因 是由于开关S 闭合的瞬间，线圈1 产生变化的磁通Φ 11，其 中的一部分磁通Φ 12与线圈2 交链，使线圈2 产生感应电动 势，因而产生感应电流使检流计指针偏转。S 闭合后，线圈 1 的电流不再发生变化，虽然仍有磁通与线圈2 交链，但该 磁通是不变化的，所以不产生感应电动势，没有电流流过检 流计，因而检流计的指针回到零位。
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第一节 耦合电感
在同频正弦稳态电路中，耦合电感的伏安关系可以用相量形 式表示，式（6−5）可表示为
（6−8）
例6−3 电路如图6−8 所示，已知R1=1 Ω，L1=L2=1 H， M=0.5 H，uS=10sin 4t。试求u2。
第6章 耦合电感电路
令
Z 11 Z 1 j L1
Z 22 Z 2 j L 2
Z M j M
Z11称作初级回路的自阻抗，Z22称作次级回路 的自阻抗，ZM为互感阻抗，
6.2空心变压器和理想变压器
1、空心变压器
对上式可改写为
由上列方程可求得
Z 11 I1 Z M I 2 U S Z 22 I 2 Z M I1 0
M L1L2
将两式解得
的电流有效值之比，近似 L1 N1 2 因为L1趋于无穷大，且 等于它们的匝数比的倒数， ( ) 即变比的倒数，这就是理 L N I1 1 2 2 想变压器的电流变换作用。 因此
U1 说明，理想变压器负载运 U1 L L 1L 2 2 I1 I2 I2 j L1 行时，其初、次线圈回路 L1 j L1 L1
6.2空心变压器和理想变压器
2、理想变压器
因此
称n为变压器变比，这就是理 d 1 d 1 d u1 N1 N1 想变压器的电压变换作用。表 dt dt dt 明：理想变压器初、次线圈的 端电压与初、次线圈的匝数成 d 2 d 2 d 正比。当 1时为降压变压器， u2 n＞ N2 N2 dt dt n＜1dt 时为升压变压器。 将两式相除得
6.1互感现象及耦合电感的伏安特性
1、互感现象和同名端 如果用互感磁通链前面的符号取正或负，取决 于两线圈磁通的相助或相消，这与线圈的绕向和 电流的方向有关。在工程上将起到磁通的相助的 电流的入端（或出端）称为耦合电感的同名端， 并采用相同的标记“”或“*”进行标识。 可用耦合电感元件的电路符号进行表示，如图 所示。
6.2空心变压器和理想变压器
《电路分析基础》补充_耦合电感和理想变压器
i1
3. 耦合电感的同名端 为了在看不见线圈相对位置和绕法的情况下，确定互 感电压取正号或负号，人们在耦合线圈的两个端钮上标
注一对特殊的符号，称为同名端(• ,*) 。
1
i1 * N1 i2 * N2 N3
+ u11 –
+ u12 – + u13 –
当两个电流分别从两个线圈对应的同名端端子流入时， 互感电压的符号为正，反之为负。
1
+ i1 u1 –
2
+ u2 – i2
2. 耦合电感的耦合系数 k 一对耦合电感的电流产生的磁通只有部分磁通相交链， 而彼此不交链的部分磁通称为漏磁通。用耦合系数表征耦 合电感的紧密程度
定义：k M （k＝ 0～1 ） L1 L2
i1
k = 1时称为全耦合(紧耦合) k 值较小时称为松耦合 k = 0 时为无耦合(孤立电感) 全耦合电感一般采用双线并绕制作。
i1
L1
11 = N111 = L1i1
i1与11的方向满足右手螺旋法则 同时部分磁通穿过临近线圈2， 在圈2上产生互感磁链21
i2
L2
21 = N221 = M21i1
当线圈2也存
M21 —— 线圈1与2的互感系数
在电流 i2 时:
1 = 11 + 12 = L1i1 + M12i2 2 = 21 + 22 = M21i1 + L2i2
M
L1
L2
i1
i2
i = i1 + i2 解得 u, i 的关系：
( L1 L2 M 2 ) di u L1 L2 2 M dt Leq di dt
第6章 耦合电感和理想变压器22847
k 0 .5 ， u 2 2 0 2 c o s 3 1 4 t 3 0 V ， 求电流i。改为反接再求i。
解 求互感系数M
R1
M kL 1L 20.5141 H u
因为是顺接，故
i
L1 M
L2 R2
Re
u
Le
i
R eR 1R 2 1 23 k
(a )
(b )
两个线圈的总磁链为
11112L 1 i1M i2 22 22 1L 2i2M i1
(6 3)
当i1、i2随时间变化时，磁链也将随之变化。根据电磁 定律，变化的磁链将在线圈中产生感应电压。则
u 1d d t1L 1d d it1M d d it2u 1 1 u 1 2 u 2d d t2L 2d d it2 M d d it1 u 2 2 u 2 1
(6 11)
同侧并联等效电路见左图
i i1 i2
uR1i1L1ddit1
Mdi2 dt
uR2i2L2
di2 dt
Mdi1 dt
(6 12)
整理方程，得出u的表达式
uR1i1(L1M)d dit1Md dti uR2i2(L2M)d dit1Md dti
(6 13)
“”“”“”“”
图b是图a的图形符 号表示。
1 i1 M
2
u1
L1
L2 u2
1
i2 2
(b )
伏安关系列写规则
当u1与i1、 u2与i2取关联参 考方向时，自感电压取正号， 否则取负号；当施感电流由同 名端流入，而产生它的互感电
1 i1 M
解 求互感系数M
R1
M kL 1L 20.5141 H u
因为是顺接，故
i
L1 M
L2 R2
Re
u
Le
i
R eR 1R 2 1 23 k
(a )
(b )
两个线圈的总磁链为
11112L 1 i1M i2 22 22 1L 2i2M i1
(6 3)
当i1、i2随时间变化时，磁链也将随之变化。根据电磁 定律，变化的磁链将在线圈中产生感应电压。则
u 1d d t1L 1d d it1M d d it2u 1 1 u 1 2 u 2d d t2L 2d d it2 M d d it1 u 2 2 u 2 1
(6 11)
同侧并联等效电路见左图
i i1 i2
uR1i1L1ddit1
Mdi2 dt
uR2i2L2
di2 dt
Mdi1 dt
(6 12)
整理方程，得出u的表达式
uR1i1(L1M)d dit1Md dti uR2i2(L2M)d dit1Md dti
(6 13)
“”“”“”“”
图b是图a的图形符 号表示。
1 i1 M
2
u1
L1
L2 u2
1
i2 2
(b )
伏安关系列写规则
当u1与i1、 u2与i2取关联参 考方向时，自感电压取正号， 否则取负号；当施感电流由同 名端流入，而产生它的互感电
1 i1 M
全耦合变压器和理想变压器的关系
全耦合变压器和理想变压器的关系全耦合变压器和理想变压器是电力系统中常用的两种变压器类型，它们在结构和工作原理上存在一定的差异。
全耦合变压器是指在变压器的一侧加入了耦合电感器，以实现对电压和电流进行调节的目的。
而理想变压器是一种假设模型，它假设变压器的磁路无漏磁，损耗为零，从而简化了变压器的分析和计算。
全耦合变压器是一种常见的变压器类型，它在电力系统中广泛应用于电能传输和配电系统中。
全耦合变压器的主要作用是实现电压的变换和电流的调节。
通过调节耦合电感器的参数，可以实现对电压和电流的调节，从而满足不同电力系统的需求。
全耦合变压器的结构相对简单，主要由主线圈、副线圈和耦合电感器组成。
主线圈用于接入电源，副线圈用于输出电能，而耦合电感器则用于调节电压和电流的传输。
全耦合变压器具有调节灵活、稳定性好的特点，可以满足不同负载条件下的电能传输要求。
理想变压器是一种理论模型，它假设变压器的磁路无漏磁，损耗为零。
在理想变压器模型中，变压器的输入功率等于输出功率，变压器的变比等于输入电压与输出电压的比值。
理想变压器的工作原理基于电磁感应定律，它将输入电压的变化通过变压器的变比关系转化为输出电压的变化。
理想变压器的结构相对简单，主要由主线圈和副线圈组成。
主线圈用于接入电源，副线圈用于输出电能。
理想变压器具有计算简便、分析方便的特点，常用于电力系统的分析和计算，可以帮助工程师快速获取变压器的工作参数。
全耦合变压器和理想变压器在结构和工作原理上存在一定的差异。
全耦合变压器通过加入耦合电感器实现对电压和电流的调节，而理想变压器则是一种理论模型，假设变压器的磁路无漏磁，损耗为零。
从实际应用的角度来看，全耦合变压器更加灵活和可调节，可以满足不同电力系统的需求。
而理想变压器则更多用于分析和计算，可以快速获取变压器的工作参数。
在电力系统中，根据具体的需求和应用场景，可以选择使用全耦合变压器或理想变压器。
全耦合变压器和理想变压器是电力系统中常用的两种变压器类型。
第六章磁耦合电路分析
第六章 磁耦合电路分析6-1 学习要求（1）了解耦合电感元件的定义、互感M 的物理意义和耦合电感的电路符号；了解同名端的意义，并会判定同名端；能正确写出耦合电感的伏安关系方程，包括时域微分方程和相量方程；（2）会画耦合电感的去耦等效电路，并会用“去耦法”求解简单电路的等效电感； （3）会用“直接法”和去耦等效电路法，分析计算含耦合电感的正弦稳态电路；（4）了解理想变压器的定义及电路符号；了解变比的定义；能正确写出理想变压器的伏安关系方程，包括时域微分方程和相量方程；（5）了解阻抗变换的意义，并会进行阻抗变换计算； （6）会用“直接法”、阻抗变换法和等效电源定理法分析含理想变压器的简单电路。
6-2 主要内容1、互感与互感元件（1）自磁通与互磁通、自磁链与互磁链和自感与互感设线圈1的电流为1i 、匝数为1N ，线圈2的电流为2i 、匝数为2N ，如图6-44（a ）所示。
则电流为1i 产生的全部穿过线圈1 的磁通，称为线圈1的自磁通，用11Φ表示；由电流为2i 产生的全部穿过线圈2 的磁通，称为线圈2的自磁通，用22Φ。
11Φ中与线圈2相链的磁通21Φ，称为线圈1对线圈2的互磁通；22Φ与线圈1相链的磁通12Φ，称为线圈2对线圈1的互磁通。
11Φ中的一部分1σΦ只与线圈1相链，1σΦ称线圈1的漏磁通，故有11211σΦ=Φ+Φ。
22Φ中的一部分2σΦ只与线圈2相链， 2σΦ称线圈2的漏磁通，故有22122σΦ=Φ+Φ。
()a ()b图6-44 互感元件及其电路符号 （a ）互感元件 （b ）电路符号线圈1的自磁链11ψ和线圈2的自磁链22ψ分别为11111N ψ=Φ， 22222N ψ=Φ 线圈1对线圈2的互磁链21ψ和线圈2对线圈1 的互磁链12ψ分别为21221N ψ=Φ， 12112N ψ=Φ 线圈1自感和线圈2的自感分别为11111111L N i i ψΦ==， 22222222L N i i ψΦ== 线圈1对线圈2的互电感21M 和线圈2对线圈1的互电感12M 为212121211M N i i ψΦ==， 121212122M N i i ψΦ== （2）耦合电感元件与耦合系数彼此靠近的两个或多个线圈，若认为它们本身的电阻均为零，则这样的两个或多个线圈即构成了一个互感元件，也称耦合电感元件。
耦合电感和理想变压器.完整资料PPT
i2 u2
2、耦合电感的同名端
i1
•
• i2
i1 •
i2
u1
u2 u1
u2
•
同名端规定：
当电流i1 、i2分别从两个线圈对应的端纽流入时，磁通相互加强，则这两个端纽称作为同名端。
意 义：若电流i1由N1的“ • ”端流入，则在N2中产生的互感电压u21的正极在N2的“• ”端。
同名端判断：
1、已知线圈绕向判断
dt
U 1 U 2
jL1 I1 jL2 I2
jMI2 jMI1
耦合电感伏安关系中正负号的确定 请记下
1）自感电压的正负：
u与i是否关联，关联为正，否则为负; 2）互感电压的正负：
将同名端•重合，若i2与u1 （或i1 与u2 ）参考方向关联， 则互感为正，否则为负。
例11-1 试写出如图所示各耦合电感的伏安关系。
耦合系数k 154页
M
M
k
，它反映了两线圈耦合松紧的程度
M max
L1 L2
讨论： 0 k 1 :
k=1
全耦合
k=0
无耦合
k>0.5 紧耦合
k<0.5 松耦合
含互感M的两线圈L1 和L2，其储能为：
w
1 2
L1 i1 2
1 2
L2 i2 2
Mi1i2
当互感磁通与自感磁通方向一致时取正，否则取负
1、互感电压
i1
u11
d11
dt
L1
di1 dt
u1
u21
d 21
dt
M 21
di1 dt
M21: 互感系数
u22
d 22
dt
电路分析基础耦合电感和理想变压器
电路分析基础耦合电感和理想变压器耦合电感（mutual inductance）是指两个或多个电感器件之间由于相互作用而产生的互感现象，其中一个电感器件的磁通变化会在另一个电感器件中感应出电动势。
理想变压器（ideal transformer）是一种特殊的耦合电感，其工作原理是利用磁感应定律，将输入电压和输出电压之间按一定的变比比例转换。
在电路分析中，耦合电感和理想变压器经常被用来探讨和解决一些特定的问题。
下面将分别介绍其基本原理和应用。
1.耦合电感：耦合电感的基本原理是根据电磁感应定律，当一个电感器件中通过的电流变化时，会在另一个电感器件中感应出电动势。
考虑两个简单的线圈，分别为主线圈和副线圈。
当主线圈中的电流变化时，根据电磁感应定律，在副线圈中也会感应出一个与主线圈中电流变化相关的电动势。
这种相互作用可以由一个耦合系数k表示，取值范围为0-1，表示两个线圈之间磁通的共享程度。
耦合电感可以用于共振电路、振荡电路等。
在共振电路中，当主线圈与副线圈之间有耦合时，可以通过调整耦合系数k来改变电路的共振频率，实现频率调谐的效果。
在振荡电路中，耦合电感可以提供正反馈，增强电路的振荡效果。
2.理想变压器：理想变压器是电路分析中常用的电气元件之一，其特点是无能量损耗、无电阻、无磁滞，能够以一定的变比将输入电压转换为输出电压。
理想变压器的基本结构由两个线圈绕制在共同的磁芯上组成。
理想变压器的工作原理是利用电磁感应定律和电压平衡原理。
当输入线圈（初级线圈）中通过的电流变化时，根据电磁感应定律，在输出线圈（次级线圈）中也会感应出一个与输入电流变化相关的电动势。
由于磁通守恒，输入线圈的磁通变化与输出线圈的磁通变化成一定的比例，从而实现输入电压和输出电压之间的变比转换。
理想变压器可以用于电压调整、功率传递等电路。
在电压调整电路中，通过改变输入线圈和输出线圈的匝数比例，可以实现对输入电压和输出电压之间的调整。
在功率传递电路中，根据变压器的功率平衡原理，输入功率和输出功率之间的关系可以用变压器变比关系表示。
第6章 互感耦合电路与变压器
R+jX
US
－
Z 22 = ( R2 + R) + j ( X L2 + X )
1'
2'
称为空芯变压器初、次级 回路的自阻抗 自阻抗；把
Z12 = Z 21 = jωM 称为空芯变压器回路的互阻抗 互阻抗。
6.1.3 耦合系数和同名端 1、耦合系数
两互感线圈之间电磁感应现象的强弱程度不仅与它们之 间的互感系数有关，还与它们各自的自感系数有关，并且 取决于两线圈之间磁链耦合的松紧程度。 我们把表征两线圈之间磁链耦合的松紧程度用耦合系数 耦合系数 “k” 来表示： M
k=
L1 L2
通常一个线圈产生的磁通不能全部穿过另一个线圈，所 以一般情况下耦合系数k<1，若漏磁通很小且可忽略不计 时：k=1；若两线圈之间无互感，则M=0，k=0。因此，耦 合系数的变化范围：0 ≤ k ≤ 1。 0
应用举例
1
uS i1 L1 R1 M i2 L2 R2
2
u20 ZL
**
左图所示为空芯变压器的电路模 型。其中左端称为空芯变压器的初 回路，右端为空芯变压器的次级回 路。图中uS为信号源电压，u20为次 级回路的开路电压。
• • S
2' 1' ( R 1 + jω L1 ) I 1 = U • • 由图可得空芯变压器电压方程为： j ω M I 1 = U 20 若次级回路接上负载ZL，则回路方程为：
= jω ( L1 + L2 + 2 M ) I = jωL顺 I
• •
即两线圈顺串时等效电感量为： L 顺 = L1 + L 2 + 2 M 2、 两线圈反串时，电流同时由 M L2 异名端流入（或流出)，因此它们 i * L1 * 的磁场相互消弱，自感电压和互 uM2 uL1 uM1 uL2 感电压反方向，总电压为：
US
－
Z 22 = ( R2 + R) + j ( X L2 + X )
1'
2'
称为空芯变压器初、次级 回路的自阻抗 自阻抗；把
Z12 = Z 21 = jωM 称为空芯变压器回路的互阻抗 互阻抗。
6.1.3 耦合系数和同名端 1、耦合系数
两互感线圈之间电磁感应现象的强弱程度不仅与它们之 间的互感系数有关，还与它们各自的自感系数有关，并且 取决于两线圈之间磁链耦合的松紧程度。 我们把表征两线圈之间磁链耦合的松紧程度用耦合系数 耦合系数 “k” 来表示： M
k=
L1 L2
通常一个线圈产生的磁通不能全部穿过另一个线圈，所 以一般情况下耦合系数k<1，若漏磁通很小且可忽略不计 时：k=1；若两线圈之间无互感，则M=0，k=0。因此，耦 合系数的变化范围：0 ≤ k ≤ 1。 0
应用举例
1
uS i1 L1 R1 M i2 L2 R2
2
u20 ZL
**
左图所示为空芯变压器的电路模 型。其中左端称为空芯变压器的初 回路，右端为空芯变压器的次级回 路。图中uS为信号源电压，u20为次 级回路的开路电压。
• • S
2' 1' ( R 1 + jω L1 ) I 1 = U • • 由图可得空芯变压器电压方程为： j ω M I 1 = U 20 若次级回路接上负载ZL，则回路方程为：
= jω ( L1 + L2 + 2 M ) I = jωL顺 I
• •
即两线圈顺串时等效电感量为： L 顺 = L1 + L 2 + 2 M 2、 两线圈反串时，电流同时由 M L2 异名端流入（或流出)，因此它们 i * L1 * 的磁场相互消弱，自感电压和互 uM2 uL1 uM1 uL2 感电压反方向，总电压为：
电路PPT课件：第6章 含耦合电感电路的计算
L1 L2
可以证明，k1。
全耦合: 11= 21 ，22 =12
L1
N 1Φ11 i1
,
L2
N 2Φ22 i2
M 21
N 2Φ21 i1
,
M12
N 1Φ12 i2
M12 M 21 L1L2 , M 2 L1L2
k1
k 的大小与两个线圈的结构、相互位置及周 围磁介质有关。
注意
电路理论基础
•一个线圈可以不止和一个线圈有磁耦合关系； 有多个线圈，相互两两之间都有磁耦合，每 对耦合线圈的同名端必须用不同的符号来标记。
电路理论基础
第六章 含耦合电感电路的计算
第六章 含耦合电感电路的计算 电路理论基础
6. 1 耦合电感 6. 2 含有耦合电感电路的计算 6. 3 空心变压器 6. 4 理想变压器
6.1耦合电感
电路理论基础
1、互感现象
自感现象
i1 ↕ →φ11 →ψ11(ψ11 = N1φ11) ↕ →u11(自感电压）
1、电流流入端 2、磁场加强
该端为同名端。
例6-1
•*
1
2
Байду номын сангаас
电路理论基础
3
*
1'
2'
3' •
实际中，线圈制好后，很难看出其绕向，用上
述的方法不能判断出同名端，但是同名端是与感应 电压和施感电流有关的。
由上述分析可以看出： 感应电压与施感电流的方向对同名端是一致的，
换句话讲，电流方向（参考方向）由一个线圈同名端 处流入，则在另一线圈的线圈同名端处产生的感应电 压的极性（或参考极性）必然为“+”极性。
L2
di2 dt
电路基础第6章 耦合电感电路的分析
6.1.3 耦合线圈的同名端和互感电压 实际应用中，有时需要知道耦合线圈产生的互感电压的极
性，为方便分析，引入同名端的概念。 1．同名端
两个具有磁耦合的线圈，当电流分别从两个线圈的对应端 钮同时流入或流出时，若产生的磁通相互增强，则这两个对 应端钮称为两互感线圈的同名端，用小圆点“·”或星号“*” 等符号作标记。
Ψ1＝L1i1±Mi2
Ψ2＝L2i2±Mi1
互感系数M的数值取决于两个耦合线圈的几何尺寸、匝数、相
对位置和媒介质。当媒介质是非铁磁性物质时，M为常数。
2. 耦合因数 耦合因数k定量描述两个耦合线圈的耦合紧密程度，即
k M L1 L2
0≤k≤1。 当k =1时，说明两个线圈耦合得最紧，没有漏磁通，因此产 生的互感最大，这种情况又称为全耦合，如图（a）。 当k = 0时，说明线圈产生的磁通互不交链，因此不存在互感 如图（b）。
无论何时，在同一个变化磁通的作用下，耦合线圈同名端 产生的感应电压的极性总是相同的，即同名端有同极性，因 此同名端也称为同极性端。 2. 互感电压
如果每个线圈的电压、电流为关联参考方向，且每个线圈 的电流与该电流产生的磁通符合右手螺旋法则，则有每个线 圈两端的电压为
u1
d 1
dt
L1
di1 dt
仍可采用前面介绍的相量法进行分析计算，但应注意耦合电
感上的互感电压。
本节主要介绍耦合电感的电路模型和去耦等效法在含有耦
合电感电路分析中的应用，讨论如何将耦合电感用无耦合的
电路来等效替代。
6.2.1 应用耦合电感电路模型的分析计算 耦合电感可用电感元件和电流控制电压源CCVS来模拟，注
意受控电压源的极性。图（b）中，电感L1和L2之间已经没有 耦合关系，称为去耦，则可利用前面介绍的各种电路分析法 进行计算。
第6章含有耦合电感的电路
结束
措施1：直接列写方程法 与一般电路相比，在列写互感电路方程时，必须 考虑互感电压，并注意极性。 对互感电路旳正弦稳态分析，用相量形式。
措施2：互感消去法(去耦等效法) 经过列写、变换互感电路旳VCR方程，能够得到一 种无感等效电路。 分析计算时，用无感等效电路替代互感电路即可。
10/10/2023
10/10/2023
. I
R1
jwL1
.
+ + U1
-
.
jwM
U
jwL2
-
+ 结束 R2 .
U2
-
去耦等效电路为
. I
R1 jw(L1+M)
.
+ + U1 - +
.
R2 .
U
U2
jw(L2+M)
-
-
23
解题指导：电路如图，
. I
R1
L1
M
L2
R2
L1=0.01H，L2=0.02H + +
R1=R2=10W，C=20mF，
用于可控硅中频电源、中频电炉、超音频电源 旳降压、增流或升压隔离旳中频变压器；
整流电源里使用旳电源变压器；电力变压器等；
它们都是耦合电感元件，熟悉此类多端元件旳 特征，掌握包括此类多端元件旳电路问题旳分 析措施非常必要。
10/10/2023
3
结束
中周线圈(中频变压器)、振荡线圈
10/10/2023
1'
i1
1 2'
1 i1
+
i2 2
+
u1
-
L1
L2
u2
措施1：直接列写方程法 与一般电路相比，在列写互感电路方程时，必须 考虑互感电压，并注意极性。 对互感电路旳正弦稳态分析，用相量形式。
措施2：互感消去法(去耦等效法) 经过列写、变换互感电路旳VCR方程，能够得到一 种无感等效电路。 分析计算时，用无感等效电路替代互感电路即可。
10/10/2023
10/10/2023
. I
R1
jwL1
.
+ + U1
-
.
jwM
U
jwL2
-
+ 结束 R2 .
U2
-
去耦等效电路为
. I
R1 jw(L1+M)
.
+ + U1 - +
.
R2 .
U
U2
jw(L2+M)
-
-
23
解题指导：电路如图，
. I
R1
L1
M
L2
R2
L1=0.01H，L2=0.02H + +
R1=R2=10W，C=20mF，
用于可控硅中频电源、中频电炉、超音频电源 旳降压、增流或升压隔离旳中频变压器；
整流电源里使用旳电源变压器；电力变压器等；
它们都是耦合电感元件，熟悉此类多端元件旳 特征，掌握包括此类多端元件旳电路问题旳分 析措施非常必要。
10/10/2023
3
结束
中周线圈(中频变压器)、振荡线圈
10/10/2023
1'
i1
1 2'
1 i1
+
i2 2
+
u1
-
L1
L2
u2
耦合电感和变压器电路分析
特性
变压器具有变换电压、电流和阻抗的 功能，能够实现电能的安全传输和分 配。
变压器的物理结构
铁芯
作为磁路，传递磁通， 分为闭合磁路和开放磁
路。
绕组
作为电路，传递电能， 分为一次绕组和二次绕
组。
油箱
作为变压器的外壳，保 护内部结构和绝缘。
其他附件
如分接开关、冷却系统 等。
变压器的电气参数
额定电压
变压器正常工作时的输入和输 出电压值。
行能量传递。
02 03
耦合电感的电路模型
在电路分析中，耦合电感通常用电路模型表示，包括串联和并联两种形 式。串联耦合电感通过一个公共磁路连接，而并联耦合电感则通过各自 的磁路连接。
耦合电感的电压和电流关系
对于串联耦合电感，电压与磁通量成正比，电流与磁通量变化率成正比； 对于并联耦合电感，电流与磁通量成正比，电压与磁通量变化率成正比。
额定电流
变压器正常工作时的输入和输 出电流值。
额定容量
变压器正常工作时的最大输出 功率。
效率
变压器传输电能的有效程度， 通常以百分比表示。
03
耦合电感和变压器的工作 原理
耦合电感器的工作原理
磁耦合
耦合电感器由两个或多个线圈组 成，通过磁场相互耦合。当一个 线圈中的电流发生变化时，会在 另一个线圈中产生感应电动势。
互感现象
当一个线圈中的电流发生变化时， 会在另一个线圈中产生感应电动 势，这个电动势的大小与两个线 圈之间的互感系数和电流的变化
率成正比。
电压和电流关系
在耦合电感器中，电压和电流之 间存在一定的相位差，这取决于
线圈的匝数比和耦合系数。
变压器的工作原理
电压变换
变压器通过改变线圈匝数比，实现输入和输出电 压之间的变换。
变压器具有变换电压、电流和阻抗的 功能，能够实现电能的安全传输和分 配。
变压器的物理结构
铁芯
作为磁路，传递磁通， 分为闭合磁路和开放磁
路。
绕组
作为电路，传递电能， 分为一次绕组和二次绕
组。
油箱
作为变压器的外壳，保 护内部结构和绝缘。
其他附件
如分接开关、冷却系统 等。
变压器的电气参数
额定电压
变压器正常工作时的输入和输 出电压值。
行能量传递。
02 03
耦合电感的电路模型
在电路分析中，耦合电感通常用电路模型表示，包括串联和并联两种形 式。串联耦合电感通过一个公共磁路连接，而并联耦合电感则通过各自 的磁路连接。
耦合电感的电压和电流关系
对于串联耦合电感，电压与磁通量成正比，电流与磁通量变化率成正比； 对于并联耦合电感，电流与磁通量成正比，电压与磁通量变化率成正比。
额定电流
变压器正常工作时的输入和输 出电流值。
额定容量
变压器正常工作时的最大输出 功率。
效率
变压器传输电能的有效程度， 通常以百分比表示。
03
耦合电感和变压器的工作 原理
耦合电感器的工作原理
磁耦合
耦合电感器由两个或多个线圈组 成，通过磁场相互耦合。当一个 线圈中的电流发生变化时，会在 另一个线圈中产生感应电动势。
互感现象
当一个线圈中的电流发生变化时， 会在另一个线圈中产生感应电动 势，这个电动势的大小与两个线 圈之间的互感系数和电流的变化
率成正比。
电压和电流关系
在耦合电感器中，电压和电流之 间存在一定的相位差，这取决于
线圈的匝数比和耦合系数。
变压器的工作原理
电压变换
变压器通过改变线圈匝数比，实现输入和输出电 压之间的变换。
电路分析基础耦合电感和理想变压器
L1
u1 M di2-
- dt+
i2
+
L2
+
M
di1
u2
- dt -
相量模型
I1 +
I2 +
U
1
jwL1
-
jMI2
-+
j+wjL2MI1U 2
--
i1
-
L1
u1 M di2
+ dt+
i2 +
L2
+ u2
M di1
- dt -
事实上，互感电压的极性 取决于磁通相互作用情况 若磁通相助，互感电压源 极性与流过电源的电流方 向一致（关联）；反之， 则非关联。
返节目录
电路分析基础
例2 电路如图，已知 us (t) 10 2 cos2tV ，求 u2 (t)
解： 画出电路等效电源模型如图示
有
U S jL1I jL2I 2 jMI
+ us
I 0.5 900 A
-
U 2 jL2I jMI
I
300
+
u2 (t) 3 2 cos 2tV
U S
i 80 a 9mH b
+
L1 6mH
L2
us 4mH
-
c
+ 5F uc
-
Z
U C
j(L2 M ) j(L2 M ) jM
1
jC
I
1
jC
10 126.90V
I 80 a j(L1-M)
+
U S
j(L2-M)
M Lb
L2 Lb Lc
u1 M di2-
- dt+
i2
+
L2
+
M
di1
u2
- dt -
相量模型
I1 +
I2 +
U
1
jwL1
-
jMI2
-+
j+wjL2MI1U 2
--
i1
-
L1
u1 M di2
+ dt+
i2 +
L2
+ u2
M di1
- dt -
事实上，互感电压的极性 取决于磁通相互作用情况 若磁通相助，互感电压源 极性与流过电源的电流方 向一致（关联）；反之， 则非关联。
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电路分析基础
例2 电路如图，已知 us (t) 10 2 cos2tV ，求 u2 (t)
解： 画出电路等效电源模型如图示
有
U S jL1I jL2I 2 jMI
+ us
I 0.5 900 A
-
U 2 jL2I jMI
I
300
+
u2 (t) 3 2 cos 2tV
U S
i 80 a 9mH b
+
L1 6mH
L2
us 4mH
-
c
+ 5F uc
-
Z
U C
j(L2 M ) j(L2 M ) jM
1
jC
I
1
jC
10 126.90V
I 80 a j(L1-M)
+
U S
j(L2-M)
M Lb
L2 Lb Lc
耦合电感的计算
所以
i1 t ( 1 0 t 2 0 )
uab t R1i1t 10(10t 20) (100t 200)V
ubc
t
L1
di dt
5 d dt
(10t
20)
50V
uac t uab tubc(t) (100t 150)V
ude
t
M di1 dt
d10t 20
1 dt
10V
在t≥2s时
i1（t）=0
在0≤t≤时，
i1（t）=10tA (由给出的波形写出)
所以
uab t R1i1 t 10 10t 100tV
ubc t
Li
dii dt
5 d 10t 50V
dt
uac t uab t ubc t 100t 50V
ude
t
M
di1 dt
d 10t
1 dt
10V
在1≤t≤2s时
6.2 耦合电感的去耦等效
6.2.1 耦合电感的串联等效 6.2.2 耦合电感的T型等效
6.2.1 耦合电感的串联等效
图6.10(a)所示相串联的两互感线圈，其相连的端钮
是异名端，这种形式的串联称为顺接串联。
由所设电压、电流参考方向及互感线圈上电压、电流
关系，得 式中
u
u1
u2
L1
di dt
该线圈中的自感电压同号。即自感电压取正号时互感电压亦
取正号，自感电压取负号时互感电压亦取负号；否则，当两
线圈电流从异名端流入（或流出）时，由于线圈中磁通相消，
故互感电压与自感电压异号，即自感电压取正号时互感电压
取负号，反之亦然。
6.1.3 同名端
6 耦合电感电路与理想变压器
M
di2di2 dt
相量形式：
U 1 jωL1 I1 jωMI2
U 2 jωMI1 jωL2 I2
•
I1
+
•
I2
+
j L1
•
U1
+
•
jω M I 2
–
–
j L2
•
+
U2
•
jω M I 1
–
–
6. 2 含耦合电感的正弦稳态电路的分析
计算含有耦合电感的电路通常有两种方法： （1）直接列写方程法； （2）去耦等效分析法，等效成无互感的电路；
U S 2
_
方法2：回路电流法
( R1 jL1 R3 jL3 )Ia ( R3 jL3 )Ib jMIb U S1 (R2 jL2 R3 jL3 )Ib (R3 jL3 )Ia jMIa U S 2
注意互感电压的表示式及正负号。
例 已知: L1 L2 10 , M 5 , R1 R2 6 , U S 6V , 求其戴维南等效电路。
M
di1 dt
u1和i2的方 向对同名
端相反
u2和i1的方 向对同名
端一致
u2、i2非关联
在线圈绕向和相对位置无法辨认的情况下，可以用实验的方 法来判断同名端。
1 i1 M +
2 ++
开关闭合时，di1/dt>0 若1和2为同名端，则
E
u_1 L1
L2 u_2 V
u2=Mdi1/dt>0
-
若1和2’为同名端，则
磁场相互消弱
磁场增强还是消弱取决于线圈的绕向和电流的方向
实际线圈往往是封闭的，看不出线圈的绕向。
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k 21 12 11 22
将式(6.1-3)~式(6.1-7)代入式(6.1-8)，可得耦合系数
(6.1-8)
k 21 12 M
11 22
L1L2
(6.1-9)
第6章 耦合电感和理想变压器
6.1.2 耦合电感的伏安关系 由自感磁链产生的感应电压称为自感电压，如图6.1-3(a)
所示。由于自感磁链是由本线圈的电流产生的，因此自感磁 链与电流符合右手螺旋关系。自感电压的极性与自感磁链的 方向按右手螺旋定则选取，则线圈1和线圈2的自感电压分别 为
磁耦合的两个线圈称为耦合线圈，如图6.1-2所示。
第6章 耦合电感和理想变压器 图6.1-2 耦合线圈
第6章 耦合电感和理想变压器
在图6.1-2中，线圈1通电流i1，由i1所产生的并与线圈1 相交链的磁通Φ11称为线圈1的自感磁通，磁通Φ11的方向与 电流i1的参考方向符合右手螺旋定则。自感磁通Φ11与线圈1 的匝数N1的乘积为线圈1的自感磁链，即ψ11=N1Φ11。自 感磁链ψ11与电流i1的关系如下：
第6章 耦合电感和理想变压器
电路分析基础第6章 耦合电感和理想 变压器
第6章 耦合电感和理想变压器
6.1 耦合电感
6.1.1 耦合电感的基本概念
在第4章中我们曾介绍过电感线圈，它是孤立的单个线
圈，如图6.1-1所示。当线圈通以变化的电流i时，其周围将
建立磁场，产生磁通Φ，磁通Φ与N匝线圈交链，则磁链
名端相连的串联耦合线圈从连接点引出一个公共端所构成的。 在图6.2-1(a)所示的电压、电流参考方向下，有
u
1
3
L1
d i1 dt
M
d i2 dt
u
2
3
L2
d i2 dt
M
d i1 dt
(6.2-1)
第6章 耦合电感和理想变压器 图6.2-1 耦合电感的去耦等效图(一)
第6章 耦合电感和理想变压器
6.1.3 互感线圈的同名端 互感线圈的同名端是这样规定的：它是分属于两个线圈
的一对端钮，当两个电流各自从这对端钮流入时，它们所产 生的磁场是相互加强的(即自感磁通与互感磁通方向一致)， 则这一对端钮称为互感线圈的同名端，用“·”或“*”来表 示。按此规定，在图6.1-3(a)中，电流i1从线圈1的a端流入， 电 流i2从线圈2的c端流入，这时它们所产生的磁场是相互加强 的，我们称端钮a、c为同名端，并用“·”标示，如图所示。 显然，端钮b、d也是同名端。在图6.1-3(b)中，当电流分别 从a端和d端流入时，它们产生的磁场是相互加强的，故端钮 a、d是同名端，端钮b、c也是同名端。标定了同名端, 图 6.1-3(a)和(b)所示的互感线圈就可用图6.1-4(a)和(b)所示的电
ψ11=L1i1
类似于自感系数的定义，有
(6.1-3)
ψ21=M21i1
(6.1-4)
第6章 耦合电感和理想变压器
同样，若线圈2中通电流i2，则由电流i2产生的并与线圈 2相交链的磁通Φ22称为线圈2的自感磁通，自感磁链ψ22= N2Φ22，且有
ψ22=L2i2
(6.1-5)
式中，比例系数L2称为线圈2的自感系数(简称自感)。磁通
6.2.2 含互感电路的相量法分析 【例6.2-3】 求图6.2-6(a)所示的互感电路的ab端输入
阻抗。 解 应用耦合电感的去耦等效图6.2-1，将图6.2-6(a)等
效为图(b)。根据阻抗串、并联公式，得ab端口输入阻抗为
Zab30j10j15//(5j5) 30j10j15(5j5)32.65j14.4 j155j5
第6章 耦合电感和理想变压器 图6.2-3 四端耦合电感的去耦等效
第6章 耦合电感和理想变压器
【例6.2-1】 互感电路如图6.2-4(a)所示，已知自感系 数L1=10 mH， L2=2 mH，互感系数M=4 mH，求端口等效电 感Lab。
解 应用耦合电感的去耦等效图6.2-2，将图6.2-4(a)等 效为图(b)。根据无互感的电感串、并联公式，可得
图6.1-6 同名端的实验确定法
第6章 耦合电感和理想变压器
6.1.4 耦合电感的串联和并联 1. 耦合电感的串联 耦合电感的串联有两种方式：顺接串联和反接串联。顺
接串联是将两个线圈的异名端相连接，如图6.1-7(a)所示。
第6章 耦合电感和理想变压器 图6.1-7 耦合电感的顺接串联
第6章 耦合电感和理想变压器
设电压、电流的参考方向如图6.1-7(a)所示，根据耦合 电感的伏安关系有
式中
u
u1
u2
L1
di dt
M
di dt
L2
di dt
M
di dt
di (L1 L2 2M) dt
di L顺串 dt
L顺串=L1+L2+2M
(6.1-14)
第6章 耦合电感和理想变压器
反接串联是将两个线圈的同名端相连接，如图6.1-8(a) 所示。由图6.1-8(a)可得
ψ=NΦ。磁通Φ(或磁链ψ)的方向与电流的参考方向成右手螺
旋关系，如图6.1-1所示。磁链ψ与电流i满足以下关系：
ψ=Li
(6.1-1)
第6章 耦合电感和理想变压器 图6.1-1 孤立的单个线圈
第6章 耦合电感和理想变压器
当通过电感线圈的电流发生变化时，磁链也相应地发生
变化，根据电磁感应定律，线圈两端将产生感应电压，感应
式中
u
u1
u2
L1
di dt
M
di dt
L2
di dt
M
di dt
di (L1 L2 2M) dt
L反串
di dt
L反串=L1+L2－2M
(6.1-15)
第6章 耦合电感和理想变压器 图6.1-8 耦合电感的反接串联
第6章 耦合电感和理想变压器
2. 耦合电感的并联 耦合电感的并联也有两种连接方式：一种是两线圈的同 名端两两相接，如图6.1-9(a)所示，称为同名端同侧并联； 另一种是两线圈的异名端两两相接，如图6.1-9(b)所示，称 为同名端异侧并联。
第6章 耦合电感和理想变压器 图6.1-9 耦合电感的并联
第6章 耦合电感和理想变压器 下面分析图6.1-9(a)所示的同名端并联电路，其相量模
型如图6.1-10所示。
图6.1-10 耦合电感同名端同侧并联电路的相量模型
第6章 耦合电感和理想变压器
6.2 含互感电路的分析
6.2.1 耦合电感的去耦等效 1. 同名端相连 图6.2-1(a)所示为具有互感的三端电路，它是由两个同
【例6.2-5】 电路如图6.2-8(a)所示，已知us(t)=10 cos2t V，M=0.5 H，问负载阻抗ZL为何值时可获得最大有功功率？ 最大有功功率PLmax为多少？
第6章 耦合电感和理想变压器 图6.2-8 例6.2-5用图
第6章 耦合电感和理想变压器
6.3 空 芯 变 压 器
空芯变压器通常由两个具有磁耦合的线圈绕在非铁磁材 料制成的空芯骨架上构成。它在高频电路和测量仪器中获得 广泛应用。由于变压器是利用电磁感应原理制作的，因此可 以用耦合电感来构成它的模型。图6.3-1(a)所示为空芯变压 器的电路模型。
解 应用四端耦合电感的去耦等效图6.2-3，将图6.2-5(a) 等效为图(b)。根据电感元件的伏安关系有
u 2 (t) 2 d id s( tt) 2 d d t 4 (1 e 3 t) 2 4 e 3 t V
第6章 耦合电感和理想变压器 图6.2-5 例6.2-2用图
第6章 耦合电感和理想变压器
u
L
1
d 11 dt
L1
d i1 dt
u
L
2
d 22 dt
L2
d i2 dt
(6.1-10)
第6章 耦合电感和理想变压器 图6.1-3 耦合电感的自感电压和互感电压
第6章 耦合电感和理想变压器
由互感磁链产生的感应电压称为互感电压。若互感电压 的极性与互感磁链的方向按右手螺旋定则选取(见图6.1-3(a))， 则线圈1和线圈2的互感电压分别为
Φ22也将有一部分磁通Φ12与邻近的线圈1相交链，称为线圈2
对线圈1的互感磁通，相应的互感磁链ψ12=N1Φ12，有
ψ12=M12i2
(6.1-6)
式中，比例系数M12称为线圈2对线圈1的互感系数。
由电磁场理论可以证明
M12=M21=M
(6.1-7)
第6章 耦合电感和理想变压器
为了定量描述两个线圈耦合的松紧程度，引入耦合系数 k。我们用两个线圈的互感磁链与自感磁链比值的几何平均 值来表征两个线圈耦合的松紧程度，定义为耦合系数，即
第6章 耦合电感和理想变压器 图6.1-4 耦合电感的电路模型
第6章 耦合电感和理想变压器 下面就图6.1-5(a)所示的耦合电感写出其端口的伏安关
系式。
图6.1-5 耦合电感的时域模型和相量模型
第6章 耦合电感和理想变压器 对于未标明同名端的一对耦合线圈，可用图6.1-6所示
的实验装置来确定其同名端。
Lab (L1 M)(L2 M)//M
(10 4) (10 4) //(4) 1414(4) 2 mH
14(4)
第6章 耦合电感和理想变压器 图6.2-4 例6.2-1用图
第6章 耦合电感和理想变压器
【例6.2-2】 互感电路如图6.2-5所示，已知激励is(t)= 4(1－e－3t) A，求电压u2(t)。
第6章 耦合电感和理想变压器 图6.3-1 空芯变压器的电路模型和相量模型
第6章 耦合电感和理想变压器
M
di1 dt
(6.1-12)
根据右手螺旋定则，可标出电流所产生的磁通方向如图