高考数学一轮复习第八章第三节椭圆讲义含解析
一轮复习讲解椭圆
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忆一忆知识要点
(2)第二定义：平面内到一个定点 F 的距离和到一条定直线(F 不在 l 上)的距离的比是常数 e (0<e<1) 时，则这个点的轨迹 是椭圆．定点是椭圆的 焦点 ，定直线叫椭圆的 准线 ，常 数是椭圆的 离心率 ．
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忆一忆知识要点
2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 xa22＋by22＝1 (a>b>0) ay22＋xb22＝1 (a>b>0) 图形
S ∴ PF1F2 ＝12mnsin 60°＝ 33b2，
即△PF1F2 的面积只与短轴长有关．
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探究提高
(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角 形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦 定理、PF1＋PF2＝2a，得到 a、c 的关系．
定义式的平方 (2)对△F1PF2 的处理方法余弦定理
(2)利用SF1PF2＝12PF1·PF2sin 60°可证．
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(1)解 设椭圆方程为xa22＋by22＝1 (a>b>0)，
PF1＝m，PF2＝n，则 m＋n＝2a. 在△PF1F2 中，由余弦定理可知， 4c2＝m2＋n2－2mncos 60°＝(m＋n)2－3mn ＝4a2－3mn≥4a2－3·m＋2 n2＝4a2－3a2＝a2 (当且仅当 m＝n 时取等号)． ∴ac22≥14，即 e≥12. 又 0<e<1，∴e 的取值范围是12，1. (2)证明 由(1)知 mn＝43b2，
如果 b<12，则当 y＝－b 时， d2 取得最大值，即有( 7)2＝b＋322， 解得 b＝ 7－32>12与 b<12矛盾．
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如果 b≥12，则当 y＝－12时，
苏教版版高考数学一轮复习第八章平面解析几何椭圆及其性质教学案
１．椭圆的定义（１）平面内与两个定点F１，F２的距离的和等于常数（大于|F１F２|）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．（２）集合P＝{M||MF１|＋|MF２|＝２a}，|F１F２|＝２c，其中a，c为常数且a>0，c>0．１当２a>|F１F２|时，M点的轨迹为椭圆；２当２a＝|F１F２|时，M点的轨迹为线段F１F２；３当２a<|F１F２|时，M点的轨迹不存在．２．椭圆的标准方程和几何性质标准方程错误!＋错误!＝１（a>b>0）错误!＋错误!＝１（a>b>0）图形性质范围—a≤x≤a—b≤y≤b—b≤x≤b—a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A１（—a,0），A２（a,0），B１（0，—b），B２（0，b）A１（0，—a），A２（0，a），B１（—b,0），B２（b,0）离心率e＝错误!，且e∈（0,１）a，b，c的关系c２＝a２—b２错误１．点P（x0，y0）和椭圆的位置关系（１）点P（x0，y0）在椭圆内⇔错误!＋错误!＜１．（２）点P（x0，y0）在椭圆上⇔错误!＋错误!＝１．（３）点P（x0，y0）在椭圆外⇔错误!＋错误!＞１．２．焦点三角形如图，椭圆上的点P（x0，y0）与两焦点构成的△PF１F２叫做焦点三角形．设r１＝|PF１|，r２＝|PF２|，∠F１PF２＝θ，△PF１F２的面积为S，则在椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）中：（１）当r１＝r２时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；（２）S＝b２tan 错误!＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.（３）a—c≤|PF１|≤a＋c.（４）|PF１|＝a＋ex0，|PF２|＝a—ex0.３．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a２＝b２＋c２.４．已知过焦点F１的弦AB，则△ABF２的周长为４a.５．椭圆中点弦的斜率公式若M（x0，y0）是椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的弦AB（AB不平行y轴）的中点，则有k AB·k OM ＝—错误!，即k AB＝—错误!.6．弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长|AB|＝错误!|x１—x２|＝错误!＝错误!|y１—y２|＝错误!（k为直线的斜率）．一、思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）平面内与两个定点F１，F２的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．（）（２）椭圆上一点P与两焦点F１，F２构成△PF１F２的周长为２a＋２c（其中a为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距）．（）（３）椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．（）（４）关于x，y的方程mx２＋ny２＝１（m＞0，n＞0，m≠n）表示的曲线是椭圆．（）[答案]（１）×（２）√（３）×（４）√二、教材改编１．若F１（—３,0），F２（３,0），点P到F１，F２距离之和为１0，则P点的轨迹方程是（）Ａ．错误!＋错误!＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１或错误!＋错误!＝１A[设点P的坐标为（x，y），因为|PF１|＋|PF２|＝１0>|F１F２|＝6，所以点P的轨迹是以F１，F２为焦点的椭圆，其中a＝５，c＝３，b＝错误!＝４，故点P的轨迹方程为错误!＋错误!＝１．故选Ａ．]２．设椭圆的两个焦点分别为F１，F２，过点F２作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F１PF２为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．２—错误!Ｄ．错误!—１D[法一：设椭圆方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0），依题意，显然有|PF２|＝|F１F２|，则错误!＝２c，即错误!＝２c，即e２＋２e—１＝0，又0<e<１，解得e＝错误!—１．故选Ｄ．法二：因为△F１PF２为等腰直角三角形，所以|PF２|＝|F１F２|＝２c，|PF１|＝２错误!c.因为|PF１|＋|PF|＝２a，所以２错误!c＋２c＝２a，所以e＝错误!＝错误!＝错误!—１．故选Ｄ．]２３．若方程错误!＋错误!＝１表示椭圆，则k的取值范围是．（３,４）∪（４,５）[由已知得错误!解得３＜k＜５且k≠４．]４．已知椭圆的一个焦点为F（１,0），离心率为错误!，则椭圆的标准方程为．错误!＋错误!＝１[设椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１（a>b>0）．因为椭圆的一个焦点为F（１,0），离心率e＝错误!，所以错误!解得错误!故椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．]第１课时椭圆及其性质考点１椭圆的定义及应用椭圆定义的应用主要有两个方面一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等．（１）如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（）Ａ．椭圆Ｂ．双曲线Ｃ．抛物线Ｄ．圆（２）F１，F２是椭圆错误!＋错误!＝１的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF１F２＝４５°，则△AF１F２的面积为（）Ａ．7 Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（１）A（２）C[（１）由题意可知，CD是线段MF的垂直平分线，∴|MP|＝|PF|，∴|PF|＋|PO|＝|PM|＋|PO|＝|MO|（定值）．又|MO|＞|FO|，∴点P的轨迹是以F，O为焦点的椭圆，故选Ａ．（２）由题意得a＝３，b＝错误!，c＝错误!，∴|F１F２|＝２错误!，|AF１|＋|AF２|＝6．∵|AF２|２＝|AF１|２＋|F１F２|２—２|AF１|·|F１F２|cos ４５°＝|AF１|２—４|AF１|＋8，∴（6—|AF１|）２＝|AF１|２—４|AF１|＋8．∴|AF１|＝错误!，∴S△AF１F２＝错误!×错误!×２错误!×错误!＝错误!.]本例（１）应用线段中垂线的性质实现了“|PF|＋|PO|”向定值的转化；本例（２）把余弦定理与椭圆的定义交汇在一起，借助方程的思想解出|AF１|，从而求得△AF１F２的面积．[教师备选例题]设F１，F２分别是椭圆错误!＋错误!＝１的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为（6,４），则|PM|—|PF１|的最小值为．—５[由椭圆的方程可知F２（３,0），由椭圆的定义可得|PF１|＝２a—|PF２|.∴|PM|—|PF１|＝|PM|—（２a—|PF２|）＝|PM|＋|PF２|—２a≥|MF２|—２a，当且仅当M，P，F２三点共线时取得等号，又|MF２|＝错误!＝５,２a＝１0，∴|PM|—|PF１|≥５—１0＝—５，即|PM|—|PF１|的最小值为—５．]已知F１，F２是椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF１⊥PF２，若△PF１F２的面积为9，则b＝ .３[设|PF１|＝r１，|PF２|＝r２，则错误!所以２r１r２＝（r１＋r２）２—（r错误!＋r错误!）＝４a２—４c２＝４b２，所以S△PF１F２＝错误! r１r２＝b２＝9，所以b＝３．]考点２椭圆的标准方程定义法先根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义，并确定a２，b２的值，再结合焦点位置可写出椭圆方程．特别地，利用定义法求椭圆方程要注意条件２a＞|F１F２|.１．在△ABC中，A（—４,0），B（４,0），△ABC的周长是１8，则顶点C的轨迹方程是（）Ａ．错误!＋错误!＝１（y≠0）Ｂ．错误!＋错误!＝１（y≠0）Ｃ．错误!＋错误!＝１（y≠0）Ｄ．错误!＋错误!＝１（y≠0）A[由|AC|＋|BC|＝１8—8＝１0＞8知，顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆（A，B，C不共线）．设其方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0），则a＝５，c＝４，从而b＝３．由A，B，C不共线知y≠0．故顶点C的轨迹方程是错误!＋错误!＝１（y≠0）．]２．已知两圆C１：（x—４）２＋y２＝１69，C２：（x＋４）２＋y２＝9，动圆在圆C１内部且和圆C１相内切，和圆C２相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１D[设圆M的半径为r，则|MC１|＋|MC２|＝（１３—r）＋（３＋r）＝１6，又|C１C２|＝8＜１6，∴动圆圆心M的轨迹是以C１，C２为焦点的椭圆，且２a＝１6,２c＝8，则a＝8，c＝４，∴b２＝４8，故所求的轨迹方程为错误!＋错误!＝１．]利用定义法求轨迹方程时，注意检验所求轨迹是否是完整的曲线，倘若不是完整的曲线，应对曲线中的变量x或y进行限制．待定系数法利用待定系数法要先定形（焦点位置），再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx２＋ny２＝１（m＞0，n＞0，m≠n）的形式．１．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点错误!，（错误!，错误!），则椭圆方程为．错误!＋错误!＝１[设椭圆方程为mx２＋ny２＝１（m，n＞0，m≠n）．由错误!解得m＝错误!，n＝错误!.∴椭圆方程为错误!＋错误!＝１．]２．过点（错误!，—错误!），且与椭圆错误!＋错误!＝１有相同焦点的椭圆的标准方程为．错误!＋错误!＝１[法一：椭圆错误!＋错误!＝１的焦点为（0，—４），（0,４），即c＝４．由椭圆的定义知，２a＝错误!＋错误!，解得a＝２错误!.由c２＝a２—b２可得b２＝４，∴所求椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．法二：∵所求椭圆与椭圆错误!＋错误!＝１的焦点相同，∴其焦点在y轴上，且c２＝２５—9＝１6．设它的标准方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）．∵c２＝１6，且c２＝a２—b２，故a２—b２＝１6．１又点（错误!，—错误!）在所求椭圆上，∴错误!＋错误!＝１，则错误!＋错误!＝１．２由１２得b２＝４，a２＝２0，∴所求椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．]３．设F１，F２分别是椭圆E：x２＋错误!＝１（0＜b＜１）的左、右焦点，过点F１的直线交椭圆E 于A，B两点．若|AF１|＝３|F１B|，AF２⊥x轴，则椭圆E的方程为．x２＋错误!y２＝１[不妨设点A在第一象限，如图所示．∵AF２⊥x轴，∴A（c，b２）（其中c２＝１—b２,0＜b＜１，c＞0）．又∵|AF１|＝３|F１B|，∴由错误!＝３错误!得B错误!，代入x２＋错误!＝１得错误!＋错误!＝１．又c２＝１—b２，∴b２＝错误!.故椭圆E的方程为x２＋错误!y２＝１．]（１）已知椭圆上两点，常设方程为mx２＋ny２＝１（m＞0，n＞0，m≠n）；（２）椭圆的通径（过焦点且与长轴垂直的弦）长为错误!.考点３椭圆的几何性质椭圆的长轴、短轴、焦距求解与椭圆几何性质有关的问题，如：顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系，同时要结合图形进行分析．（１）已知椭圆错误!＋错误!＝１的长轴在x轴上，焦距为４，则m等于（）Ａ．8 Ｂ．7Ｃ．6 Ｄ．５（２）已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0），若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为．（１）A（２）错误!＋错误!＝１[（１）因为椭圆错误!＋错误!＝１的长轴在x轴上，所以错误!解得6<m<１0．因为焦距为４，所以c２＝m—２—１0＋m＝４，解得m＝8．（２）椭圆长轴长为6，即２a＝6，得a＝３，∵两焦点恰好将长轴三等分，∴２c＝错误!×２a＝２，得c＝１，因此，b２＝a２—c２＝9—１＝8，所以此椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．]求离心率的值（或范围）求椭圆的离心率，常见的有三种方法一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．（１）（２0１8·全国卷Ⅱ）已知F１，F２是椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为错误!的直线上，△PF１F２为等腰三角形，∠F１F２P＝１２0°，则C的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（２）椭圆C的两个焦点分别是F１，F２，若C上的点P满足|PF１|＝错误!|F１F２|，则椭圆C的离心率e的取值范围是．（１）D（２）错误![（１）由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F１F２|＝２c，∵△PF １F２为等腰三角形，且∠F１F２P＝１２0°，∴|PF２|＝|F１F２|＝２c.∵|OF２|＝c，∴点P坐标为（c＋２c cos 60°，２c sin 60°），即点P（２c，错误!c）．∵点P在过点A，且斜率为错误!的直线上，∴错误!＝错误!，解得错误!＝错误!，∴e＝错误!，故选Ｄ．（２）因为椭圆C上的点P满足|PF１|＝错误!|F１F２|，所以|PF１|＝错误!×２c＝３c.由a—c≤|PF１|≤a＋c，解得错误!≤错误!≤错误!. 所以椭圆C的离心率e的取值范围是错误!.]本例（２）在求解时运用了隐含条件“a—c≤|PF１|≤a＋c”．特别地，在求与椭圆的相关量的范围时，要注意经常用到椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系．１．（２0１9·昌平二模）嫦娥四号月球探测器于１２月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.１２日下午４点４３分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道３所示，其近月点与月球表面距离为１00公里，远月点与月球表面距离为４00公里．已知月球的直径为３４76公里，则该椭圆形轨道的离心率约为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!B[如图，F为月球的球心，月球半径为：错误!×３４76＝１7３8，依题意，|AF|＝１00＋１7３8＝１8３8，|BF|＝４00＋１7３8＝２１３8．∴２a＝１8３8＋２１３8，即a＝１988，∴a＋c＝２１３8, c＝２１３8—１988＝１５0，故椭圆的离心率为：e＝错误!＝错误!≈错误!，选Ｂ．]２．已知F１，F２是椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PF１⊥PF２，则该椭圆的离心率的取值范围是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!B[∵F１，F２是椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右两个焦点，∴0<e<１，F１（—c,0），F（c,0），c２＝a２—b２.设点P（x，y），由PF１⊥PF２，得（x＋c，y）·（x—c，y）＝0，化简得x２＋y ２２＝c２.联立方程组错误!整理得，x２＝（２c２—a２）·错误!≥0，解得e≥错误!.又0<e<１，∴错误!≤e<１．]与椭圆性质有关的最值或范围问题与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法（１）利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围．（２）利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围．（３）利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．（１）（２0１7·全国卷Ⅰ）设A，B是椭圆C：错误!＋错误!＝１长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝１２0°，则m的取值范围是（）Ａ．（0,１]∪[9，＋∞）Ｂ．（0，错误!]∪[9，＋∞）Ｃ．（0,１]∪[４，＋∞）Ｄ．（0，错误!]∪[４，＋∞）（２）（２0１9·烟台模拟）若点O和点F分别为椭圆错误!＋错误!＝１的中心和左焦点，若P为椭圆上的任意一点，则错误!·错误!的最大值为（）Ａ．２Ｂ．３Ｃ．6 Ｄ．8（１）A（２）C[（１）由题意知，当M在短轴顶点时，∠AMB最大．１如图１，当焦点在x轴，即m＜３时，a＝错误!，b＝错误!，tan α＝错误!≥tan 60°＝错误!，∴0＜m≤１．图１图２２如图２，当焦点在y轴，即m＞３时，a＝错误!，b＝错误!，tan α＝错误!≥tan 60°＝错误!，∴m≥9．综上，m的取值范围（0,１]∪[9，＋∞），故选Ａ．（２）由题意知，O（0,0），F（—１,0），设P（x，y），则错误!＝（x，y），错误!＝（x＋１，y），∴错误!·错误!＝x（x＋１）＋y２＝x２＋y２＋x.又∵错误!＋错误!＝１，∴y２＝３—错误!x２，∴错误!·错误!＝错误!x２＋x＋３＝错误!（x＋２）２＋２．∵—２≤x≤２，∴当x＝２时，错误!·错误!有最大值6．]本例（１）的求解恰恰应用了焦点三角形中张角最大的情形，借助该临界点可以迅速求出此种情形下的椭圆离心率，然后数形结合求解；本例（２）的求解采用了先建模，再借助椭圆中变量x（y）的有界性解模的思路．[教师备选例题]１．（２0１9·深圳模拟）设椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F１，F２，P 是C上的点，PF２⊥F１F２，∠PF１F２＝３0°，则C的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!D[法一：（直接法）如图，在Rt△PF２F１中，∠PF１F２＝３0°，|F１F２|＝２c，∴|PF１|＝错误!＝错误!，|PF２|＝２c·tan ３0°＝错误!.∵|PF１|＋|PF２|＝２a，即错误!＋错误!＝２a，可得错误!c＝a.∴e＝错误!＝错误!.法二：（特殊值法）在Rt△PF２F１中，令|PF２|＝１，∵∠PF１F２＝３0°，∴|PF１|＝２，|F１F２|＝错误!.∴e＝错误!＝错误!＝错误!.故选Ｄ．]２．如图，焦点在x轴上的椭圆错误!＋错误!＝１的离心率e＝错误!，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则错误!·错误!的最大值为．４[由题意知a＝２，因为e＝错误!＝错误!，所以c＝１，b２＝a２—c２＝３．故椭圆方程为错误!＋错误!＝１．设P点坐标为（x0，y0）．所以—２≤x0≤２，—错误!≤y0≤错误!.因为F（—１,0），A（２,0），错误!＝（—１—x0，—y0），错误!＝（２—x0，—y0），所以错误!·错误!＝x错误!—x0—２＋y错误!＝错误!x错误!—x0＋１＝错误!（x0—２）２.则当x0＝—２时，错误!·错误!取得最大值４．]３．已知椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>c>0，a２＝b２＋c２）的左、右焦点分别为F１，F２，若以F为圆心，b—c为半径作圆F２，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于错误!２（a—c），则椭圆的离心率e的取值范围是．错误![因为|PT|＝错误!（b>c），而|PF２|的最小值为a—c，所以|PT|的最小值为错误!.依题意，有错误!≥错误!（a—c），所以（a—c）２≥４（b—c）２，所以a—c≥２（b—c），所以a＋c≥２b，所以（a＋c）２≥４（a２—c２），所以５c２＋２ac—３a２≥0，所以５e２＋２e—３≥0．１又b>c，所以b２>c２，所以a２—c２>c２，所以２e２<１．２联立１２，得错误!≤e<错误!.]以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为１，则椭圆长轴长的最小值为（）Ａ．１Ｂ．错误!Ｃ．２Ｄ．２错误!D[设a，b，c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，当三角形的高为b时面积最大，所以错误!×２cb＝１，bc＝１，而２a＝２错误!≥２错误!＝２错误!（当且仅当b＝c＝１时取等号）．即长轴长２a的最小值为２错误!.]。
[精品]新高三高考数学一轮复习热点难点详解8.4椭圆优质课教案
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高考一轮复习热点难点详解：8.4椭 圆（一）椭圆的定义以及标准方程 ※相关链接※ 1.椭圆定义的应用利用椭圆的定义解题时，一方面要注意常数2a>|F1F2|这一条件；另一方面要注意由椭圆上任意一点与两个焦点所组成的“焦点三角形”中的数量关系.2.椭圆的标准方程（1）当已知椭圆的焦点在x 轴上时，其标准方程为22x a +22y b =1(a>b>0)；当已知椭圆的焦点在y 轴上时，其标准方程为y a 22+y b22=1(a>b>0)；（2）当已知椭圆的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为2x m +2y n=1(m>0,n>0,m ≠n)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax 2+By 2=1(A>0,B>0,A ≠B)这种形式,在解题时更简便.求椭圆的标准方程主要有定义、待定系数法，有时还可根据条件用代入法。
用待定系数法求椭圆方程的一般步骤是：（1）作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能。
（2）设方程：根据上述判断设方程222222221(0)1(0)x y x y a b a b a b b a+=>>+=>>或。
（3）找关系：根据已知条件，建立关于a b c m n 、、或、的方程组。
（4）得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求。
注：当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设221(0,0,)x y m n m n m n+=>>≠，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为221(0,0)Ax By A B A B +=>>≠且，这种形式在解题时更简便。
※例题解析※〖例1〗已知F 1、F 2为椭圆2x 25+2y 9=1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若|F 2A|+|F 2B|=12，则|AB|=____；方法诠释：注意|AF 1|+|AF 2|=10，|BF 1|+|BF 2|=10,且|AF 1|+|F 1B|=|AB|，再结合题设即可得出结论；解析：由椭圆的定义及椭圆的标准方程得： |AF 1|+|AF 2|=10,|BF 1|+|BF 2|=10, 又已知|F 2A|+|F 2B|=12， 所以|AB|=|AF 1|+|BF 1|=8. 答案：8〖例2〗已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5、3，过P 且长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程。
2025高考数学一轮复习-8.5-椭圆【课件】
得（x1－x2）a（2 x1＋x2）＋（y1－y2）b（2 y1＋y2）＝0. 因为线段AB的中点坐标为(1，－1)， 所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2， 且 kAB＝xy11－－yx22＝12，所以ba22＝12，即 a2＝2b2②. 由①②，得 b2＝9，a2＝18，所以椭圆 E 的方程为1x82＋y92＝1.
第八章 平面解析几何
知识诊断 基础夯实
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做 _椭__圆___.这两个定点叫做椭圆的__焦__点__，两焦点间的距离叫做椭圆的__焦__距__， 焦距的一半称为半焦距. 其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0， 且a，c为常数： (1)若__a_＞__c___，则集合P为椭圆； (2)若__a_＝__c___，则集合P为线段； (3)若__a_＜__c___，则集合P为空集.
D. x2＋y2＝1 18 9
解析 由题意可知，椭圆E的半焦距c＝3，所以a2－b2＝9①. 因为直线 AB 经过点(1，－1)，F(3，0)，所以 kAB＝－1－ 1－30＝12. 设点 A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则xaxa212222＋ ＋bbyy212222＝ ＝11， ，两式相减，
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
xa22＋by22＝1(a>b>0)
图形
ay22＋xb22＝1(a>b>0)
范围
－a≤x≤a －b≤y≤b
－b≤x≤b －a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
高三数学一轮复习 第8篇 第3节 椭圆课件 理
1 A
0,
A 0,
1 B 1 A
0,
1 B
,
即
B A
0, B
)
质疑探究3:椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的 关系?
(提示:离心率 e= c 越接近 1,a 与 c 就越接近,从而 b= a2 c2 就越小, a
椭圆就越扁平;同理离心率越接近 0,椭圆就越接近于圆)
第3节 椭圆
最新考纲 1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单的 几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).
2.理解数 形结合的 思想.
编写意图 椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考重点考查的内 容;直线和椭圆的位置关系是高考考查的热点.本节围绕椭圆的定义、 标准方程和几何性质、直线和椭圆的位置关系设置例题,巩固基础 知识,引导学生形成解题思路,提高运算能力和解题能力.
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(3)(2014 四川省南充模拟)若椭圆 x2 + y 2 =1 的焦点在 x 轴上,过点（1, 1 ）作圆 x2+y2=1
43
54
解析:设椭圆的方程为 x2 + y 2 =1(a>b>0),由题意知 b2 = 3 ,又 c2=a2-b2=1,
a2 b2
a2
解得 a=2 或 a=- 1 (舍去),而 b2=3,故椭圆的方程为 x2 + y 2 =1.
2
43
4.(2014 高考全国卷)已知椭圆 C: x2 + y 2 =1(a>b>0)的左、右焦点 a2 b2
a2
b2
即 y1 y2 =- b2 (x1 x2 ) ,即 1 = b2 ,
x1 x2 a2 ( y1 y2 )
2 a2
中职高考数学一轮复习讲练测专题8-4 椭圆(讲)(含详解)
专题8.4 椭圆【考纲要求】1.理解椭圆的定义和椭圆的标准方程，能够根据条件写出椭圆的标准方程；2.了解椭圆的性质：范围、对称性、顶点、长轴和短轴、离心率．【考向预测】1. 椭圆的定义应用．2. 求椭圆的标准方程．3. 求椭圆的主要几何量．4. 求椭圆的离心率．5.直线与椭圆的位置关系．【知识清单】1. 椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的__距离的和等于常数(大于|F1F2|)__的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的__焦点__，两焦点间的距离叫做椭圆的__焦距__．注：若集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a、c为常数，则有如下结论：(1)若a＞c，则集合P为__椭圆__；(2)若a＝c，则集合P为__线段F1F2__；(3)若a＜c，则集合P为__空集__．2.椭圆的标准方程和几何性质－a≤x≤a－b≤x≤b3.直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的位置关系判断方法：由⎩⎪⎨⎪⎧y＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1.消去y (或x )得到一个一元二次方程.4．直线与椭圆相交弦长设直线斜率为k ，直线与椭圆两交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2__|x 1－x 2|__＝1＋1k2__|y 1－y 2|__，一般地，|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2用根与系数关系求解.【考点分类剖析】考点一 椭圆的定义例1．设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝10，则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．直线 C ．圆D ．线段【变式探究】1．设P 是椭圆x 24＋y 23＝1上的任意一点，若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．2C ．23D ．32. 已知△ABC 的周长是8，且B (－1,0)、C (1,0)，则顶点A 的轨迹方程是( ) A ．x 29＋y 28＝1(x ≠±3) B ．x 29＋y 28＝1(x ≠0)C ．x 24＋y 23＝1(y ≠0)D ．x 23＋y 24＝1(y ≠0)考点二 求椭圆的标准方程例1. 求满足下列各条件的椭圆的标准方程： (1)长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)； (2)经过点P (－23，1)，Q (3，－2)两点；(3)与椭圆x 24＋y 23＝1有相同离心率，且经过点(2，－3)．【方法归纳】 1.已知椭圆的几何性质，求其标准方程主要采用待定系数法，解题步骤为：(1)确定焦点所在的位置，以确定椭圆标准方程的形式；(2)确立关于a 、b 、c 的方程(组)，求出参数a 、b 、c ；(3)写出标准方程．2．注意事项：当椭圆的焦点位置不确定时，通常要分类讨论，分别设出标准方程求解，可确定类型的量有焦点、顶点；而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率、焦距．【变式探究】1.根据下列条件，求椭圆的标准方程． (1)经过点P (1，32)，两焦点间的距离为2，焦点在x 轴上；(2)经过点(2，－3)且与椭圆9x 2＋4y 2＝36有共同的焦点．2.已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为13，长轴长为12，则椭圆方程为( )A ．x 2144＋y 2128＝1或x 2128＋y 2144＝1B ．x 26＋y 24＝1C ．x 236＋y 232＝1或x 232＋y 236＝1D ．x 24＋y 26＝1或x 26＋y 24＝1考点三 椭圆的主要几何量例1 求椭圆9x 2＋16y 2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 【方法归纳】由椭圆方程讨论其几何性质的步骤： (1)化椭圆方程为标准形式，确定焦点在哪个轴上． (2)由标准形式求a 、b 、c ，写出其几何性质．【变式探究】求椭圆25x 2＋16y 2＝400的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标． 考点四 椭圆的离心率例1. 椭圆x 24＋y 23＝1的离心率是( )A ．32B ．22C ．13D ． 12【变式探究】1.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则椭圆C 的方程是( )A ．x 23＋y 24＝1B ．x 24＋y 23＝1C ．x 24＋y 22＝1D ．x 24＋y 23＝12. 已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为( ) A ．13B ．12C ．33D ．22考点五 直线与椭圆的位置关系例1 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；【变式探究】当m 取何值时，直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆9x 2＋16y 2＝144.(1)无公共点；(2)有且仅有一个公共点；(3)有两个公共点．专题8.4 椭圆【考纲要求】1.理解椭圆的定义和椭圆的标准方程，能够根据条件写出椭圆的标准方程；2.了解椭圆的性质：范围、对称性、顶点、长轴和短轴、离心率．【考向预测】1. 椭圆的定义应用．2. 求椭圆的标准方程．3. 求椭圆的主要几何量．4. 求椭圆的离心率．5.直线与椭圆的位置关系．【知识清单】1. 椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的__距离的和等于常数(大于|F1F2|)__的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的__焦点__，两焦点间的距离叫做椭圆的__焦距__．注：若集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a、c为常数，则有如下结论：(1)若a＞c，则集合P为__椭圆__；(2)若a＝c，则集合P为__线段F1F2__；(3)若a＜c，则集合P为__空集__．2.椭圆的标准方程和几何性质－a≤x≤a－b≤x≤b3.直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的位置关系判断方法：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1.消去y (或x )得到一个一元二次方程.4．直线与椭圆相交弦长设直线斜率为k ，直线与椭圆两交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2__|x 1－x 2|__＝1＋1k2__|y 1－y 2|__，一般地，|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2用根与系数关系求解.【考点分类剖析】考点一 椭圆的定义例1．设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝10，则动点M 的轨迹是( A ) A ．椭圆 B ．直线 C ．圆D ．线段[解析] ∵|MF 1|＋|MF 2|＝10>|F 1F 2|＝6，由椭圆定义，动点M 轨迹为椭圆．【变式探究】1．设P 是椭圆x 24＋y 23＝1上的任意一点，若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( A )A ．4B ．2C ．23D ．3[解析] ∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，∴选A ．2. 已知△ABC 的周长是8，且B (－1,0)、C (1,0)，则顶点A 的轨迹方程是( A )A ．x 29＋y 28＝1(x ≠±3)B ．x 29＋y 28＝1(x ≠0)C ．x 24＋y 23＝1(y ≠0)D ．x 23＋y 24＝1(y ≠0)[解析] ∵|AB |＋|AC |＝8－|BC |＝6>|BC |＝2，∴顶点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则a ＝3，b ＝2 2.又∵A 、B 、C 三点不共线，∴顶点A 的轨迹方程为x 29＋y 28＝1(x ≠±3)．考点二 求椭圆的标准方程例1. 求满足下列各条件的椭圆的标准方程： (1)长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)； (2)经过点P (－23，1)，Q (3，－2)两点；(3)与椭圆x 24＋y 23＝1有相同离心率，且经过点(2，－3)．[解析] (1)若焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∵椭圆过点A (3,0)，∴9a 2＝1，∴a ＝3．∵2a ＝3×2b ，∴b ＝1．∴方程为x 29＋y 2＝1．若焦点在y 轴上，设方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∵椭圆过点A (3,0)，∴9b 2＝1，∴b ＝3．又2a ＝3×2b ，∴a ＝9．∴方程为y 281＋x 29＝1．综上所述，椭圆方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1．(2)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )， ∵点P (－23，1)，Q (3，－2)在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧12m ＋n ＝1，3m ＋4n ＝1，解得m ＝115，n ＝15．故椭圆方程为x 215＋y 25＝1．(3)若焦点在x 轴上，设所求椭圆方程为x 24＋y 23＝t (t ＞0)，将点(2，－3)代入，得t ＝224＋(－3)23＝2．故所求方程为x 28＋y 26＝1．若焦点在y 轴上，设方程为y 24＋x 23＝λ(λ＞0)代入点(2，－3)，得λ＝2512，∴所求方程为y 2253＋x 2254＝1．综上可知椭圆方程为x 28＋y 26＝1或y 2253＋x 2254＝1．例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)椭圆过点(3,0)，离心率e ＝63； (2)在x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8. [解析] (1)若焦点在x 轴上，则a ＝3， ∵e ＝c a ＝63，∴c ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝9－6＝3.∴椭圆的方程为x 29＋y 23＝1.若焦点在y 轴上，则b ＝3， ∵e ＝c a＝1－b 2a2＝1－9a 2＝63，解得a 2＝27.∴椭圆的方程为y 227＋x 29＝1.综上可知椭圆方程为x 29＋y 23＝1或y 227＋x 29＝1.(2)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．如图所示，△A 1F A 2为等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，∴c ＝b ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝32，故所求椭圆的方程为x 232＋y 216＝1. 【方法归纳】 1.已知椭圆的几何性质，求其标准方程主要采用待定系数法，解题步骤为：(1)确定焦点所在的位置，以确定椭圆标准方程的形式；(2)确立关于a 、b 、c 的方程(组)，求出参数a 、b 、c ；(3)写出标准方程．2．注意事项：当椭圆的焦点位置不确定时，通常要分类讨论，分别设出标准方程求解，可确定类型的量有焦点、顶点；而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率、焦距．【变式探究】1.根据下列条件，求椭圆的标准方程．(1)经过点P (1，32)，两焦点间的距离为2，焦点在x 轴上；(2)经过点(2，－3)且与椭圆9x 2＋4y 2＝36有共同的焦点． [解析] (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，(a >b >0)，∵焦点在x 轴上，2c ＝2，∴a 2＝b 2＋1，又椭圆经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，∴1b 2＋1＋94b 2＝1，解之得b 2＝3，∴a 2＝4. ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)∵椭圆9x 2＋4y 2＝36的焦点为(0，±5)，则可设所求椭圆方程为x 2m ＋y 2m ＋5＝1(m >0)，又椭圆经过点(2，－3)，则有4m ＋9m ＋5＝1，解得m ＝10或m ＝－2(舍去)， 即所求椭圆的方程为x 210＋y 215＝1.2.已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为13，长轴长为12，则椭圆方程为( C )A ．x 2144＋y 2128＝1或x 2128＋y 2144＝1B ．x 26＋y 24＝1C ．x 236＋y 232＝1或x 232＋y 236＝1D ．x 24＋y 26＝1或x 26＋y 24＝1[解析] 由条件知a ＝6，e ＝c a ＝13，∴c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝32，故选C ．考点三 椭圆的主要几何量例1 求椭圆9x 2＋16y 2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．[解析] 把已知方程化成标准方程x 216＋y 29＝1，于是a ＝4，b ＝3，c ＝16－9＝7，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ＝8和2b ＝6，离心率e ＝c a ＝74，两个焦点坐标分别是(－7，0)、(7，0)，四个顶点坐标分别是(－4,0)、(4,0)、(0，－3)、(0,3)． 【方法归纳】由椭圆方程讨论其几何性质的步骤： (1)化椭圆方程为标准形式，确定焦点在哪个轴上． (2)由标准形式求a 、b 、c ，写出其几何性质．【变式探究】求椭圆25x 2＋16y 2＝400的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．[解析] 将方程变形为y 225＋x 216＝1，得a ＝5，b ＝4，所以c ＝3，故椭圆的长轴和短轴的长分别为2a ＝10,2b＝8，离心率e ＝c a ＝35，焦点坐标F 1(0，－3)、F 2(0,3)，顶点坐标为A 1(0，－5)、A 2(0,5)、B 1(－4,0)、B 2(4,0)．考点四 椭圆的离心率例1. 椭圆x 24＋y 23＝1的离心率是( D )A ．32B ．22C ．13D ． 12[解析] 由椭圆x 24＋y 23＝1可知，a ＝2，b ＝3，c ＝1，∴离心率e ＝c a ＝12，故选D ．【变式探究】1.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则椭圆C 的方程是( D )A ．x 23＋y 24＝1B ．x 24＋y 23＝1C ．x 24＋y 22＝1D ．x 24＋y 23＝1[解析] 由椭圆的右焦点为F (1,0)知，椭圆的焦点在x 轴上，且c ＝1. 又离心率为c a ＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，故选D ．2. 已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为( D ) A ．13B ．12C ．33D ．22[解析] 依题意椭圆的焦距和短轴长相等，故b ＝c ，a 2－c 2＝c 2，∴e ＝22. 考点五 直线与椭圆的位置关系例1 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1y ＝x ＋m ，消去y 得，5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， ∵直线与椭圆有公共点， ∴Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52. 【变式探究】当m 取何值时，直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆9x 2＋16y 2＝144.(1)无公共点；(2)有且仅有一个公共点；(3)有两个公共点．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m 9x 2＋16y 2＝144，消去y 得， 9x 2＋16(x ＋m )2＝144，化简整理得，25x 2＋32mx ＋16m 2－144＝0，Δ＝(32m )2－4×25×(16m 2－144)＝－576m 2＋14 400.(1)当Δ＝0时，得m ＝±5，直线l 与椭圆有且仅有一个公共点．(2)当Δ>0时，得－5<m <5，直线l 与椭圆有两个公共点．(3)当Δ<0时，得m <－5或m >5，直线l 与椭圆无公共点．。
高三数学第一轮复习讲义椭圆
芯衣州星海市涌泉学校高三数学第一轮复习讲义〔50〕椭圆一．复习目的：纯熟掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质及参数方程．二．知识要点：1．椭圆的定义〔1〕第一定义：．〔2〕第二定义：．2．标准方程：．3．几何性质：．4．参数方程．三．课前预习：1．设一动点P 到直线3x=的间隔与它到点(1,0)A 的间隔之比为3，那么动点P 的轨迹方程是 〔 〕2．曲线192522=+y x 与曲线)9(192522<=-+-k ky k x 之间具有的等量关系 〔 〕 ()A 有相等的长、短轴()B 有相等的焦距()C 有相等的离心率()D 有一样的准线3．椭圆的长轴长是短轴长的34．底面直径为12cm 的圆柱被与底面成30该椭圆的长轴长，短轴长，离心率为．5．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为35后，所得新椭圆的一条准线方程是163y =，那么原来的椭圆方程是；新椭圆方程是．四．例题分析：例1．设,A B 是两个定点，且||2AB =，动点M 到A 点的间隔是4，线段MB 的垂直平分线l 交MA 于点P ，求动点P 的轨迹方程．例2．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，P 为椭圆上除长轴端点外的任一点，12,F F 为椭圆的两个焦点，〔1〕假设α=∠21F PF ，β=∠21F PF ，求证：离心率2cos 2cosβαβα-+=e ； 〔2〕假设θ221=∠PF F ，求证：21PF F ∆的面积为2tan b θ⋅．例3．设椭圆2211x y m +=+的两个焦点是12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，且椭圆上存在点P ，使得直线1PF 与直线2PF 垂直．〔1〕务实数m 的取值范围；〔2〕设l 是相应于焦点2F 的准线，直线2PF 与l 相交于点Q，假设22||2||QF PF =，求直线2PF 的方程． 五．课后作业：班级学号姓名1．P 是椭圆14522=+y x 上的一点，1F 和2F 是焦点，假设1230F PF ∠=，那么12F PF ∆的面积等于 〔 〕2．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，(,0),(0,)A a B b -为椭圆的两个顶点，假设F 到AB，那么椭圆的离心率为 〔 〕()A ()B ()C 12()D 45 3．椭圆C 与椭圆14)2(9)3(22=-+-y x ，关于直线0x y +=对称，那么椭圆C 的方程是___________________．4．到两定点12(3,0),(9,0)F F 的间隔和等于10的点的轨迹方程是．5．椭圆19822=++y a x 的离心率21=e ，那么a 的值等于． 6．如图，PMN ∆中，1tan 2PMN ∠=,tan 2PNM ∠=-,PMN ∆面积为1，建立适当的坐标系，求以M 、N 为焦点，经过点P 的椭圆方程．7．AB 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中不平行于对称轴的一条弦，M 是AB 的中点， O 是椭圆的中心，求证：OM AB k k ⋅为定值．8．椭圆13422=+y x ，能否在此椭圆位于y 轴左侧的部分上找到一点M ，使它到左准线的间隔为它到两焦点12,F F 间隔的等比中项，假设能找到，求出该点的坐标，假设不能找到，请说明理由． N P。
椭圆及其性质课件-2025届高三数学一轮复习
,
=
+
向量的数量积求解；
= ，再由 =
+ ，借助
思路二：先利用椭圆定义以及在焦点三角形中用余弦定理先求出
,
=
+
和等于四条边的平方和求解.
思路三：利用等面积，即
点的坐标.ຫໍສະໝຸດ = ，再利用平行四边形对角线的平方
2025届高考数学一轮复习讲义
平面解析几何之椭圆及其性质
1.椭圆的定义
条件
结论1
，
①________为椭
平面内与两个定点 ， 的距离的和等
于常数（大于 ）的点
+ =
>
结论2
点的轨
迹为椭圆
圆的焦点；
②_______为椭圆
求 ⋅ 的值,通过整体代入可求其面积等.
1.(2023·全国甲卷)设 , 为椭圆:
+ = 的两个焦点，点在上，
若 ⋅ = ，则 ⋅ =(
A.1
B.2
√
)
C.4
D.5
解析：选B.方法一：因为 ⋅ = ，所以 ⊥ ,则
的焦距
若= ，则动点的轨迹是线段 ；若< ，
则动点 的轨迹不存在.
2.椭圆的标准方程及几何性质
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
范围
顶点
+
= >>
+
8.5.1椭圆讲义-高三数学一轮复习
椭圆一、课标要求1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质二、知识梳理1.椭圆的定义（1）定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于（大于|F1F2|）的点的轨迹.（2）焦点：两个定点F1，F2.（3）焦距：两焦点间的距离|F1F2|；半焦距：焦距的一半.2.椭圆的标准方程与几何性质标准方程x2a2+y2b2=1(a>b>0)y2a2+x2b2=1(a>b>0)图形范围|x|≤a，|y|≤b|x|≤b，|y|≤a对称性关于x轴，y轴对称，关于原点中心对称顶点坐标A1(−a,0)，A2(a,0)A1(0,−a)，A2(0,a)B1(0,−b)，B2(0,b)B1(−b,0)，B2(b,0)焦点坐标，，半轴长长半轴长为a，短半轴长为b离心率e=a，b，c的关系a2=提醒1.集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}，|F1F2|=2c，其中a＞0,c＞0，且a,c为常数.（1）若a＞c，则集合P表示椭圆；（2）若a=c，则集合P表示线段；（3）若a＜c，则集合P为空集.2.焦点在x轴上⇔标准方程中含x2项的分母较大；焦点在y轴上⇔标准方程中含y2项的分母较大.三、典例探究考点一椭圆的定义及应用例1：已知两圆C1:(x−4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1内切，和圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )A. x 264−y248=1 B. y264+x248=1 C. x248−y264=1 D. x264+y248=1练习：“4<k<10”是“方程x 2k−4+y210−k=1表示焦点在x轴上的椭圆”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 考点二 椭圆的标准方程 例2 已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 的离心率为13，A 1 ,A 2 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点.若BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1 ,则C 的方程为( ) A.x 218+y 216=1 B.x 29+y 28=1 C.x 23+y 22=1 D.x 22+y 2=1练习：已知椭圆过点P (35,−4) 和点Q (−45,−3) ，则此椭圆的方程是 ( ) A. y 225+x 2=1 B.x 225+y 2=1 或x 2+y 225=1C.x 225+y 2=1D. 以上均不正确四、课堂练习1.已知F 1 、F 2 是定点,|F 1F 2|=6 .若动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6 ,则动点M 的轨迹是( ) A. 直线B. 线段C. 圆D. 椭圆2.已知椭圆的两个焦点为F 1(−√5,0) ，F 2(√5,0) ，M 是椭圆上一点，若MF 1⊥MF 2 ，|MF 1|⋅|MF 2|=8 ，则该椭圆的方程是( ) A. x 27+y 22=1 B. x 22+y 27=1 C.x 29+y 24=1D.x 24+y 29=13. [2023辽宁沈阳模拟]已知两定点F 1(−1,0) ，F 2(1,0) 和一动点P ，若|F 1F 2| 是|PF 1| 与|PF 2| 的等差中项，则动点P 的轨迹方程为( ) A.x 216+y 29=1 B.x 24+y 23=1C. x 216−y29=1 D. y24+x23=14. [2021全国甲，15，5分]已知F1，F2为椭圆C:x 216+y24=1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为5.设F1,F2分别是椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,|AF1|=3|F1B|,且|AB|=4,△ABF2的周长为16,则|AF2|=。
【课件】椭圆完全解读课件-2023届高三数学一轮复习
②求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程。
椭圆的常见模型
中点弦问题
3.已知椭圆: + �� = ( > > )的左右焦点分别为�� , ，点 ,
上，
且∆ 的面积为.
①求椭圆的标准方程；
②若椭圆上存在, 两点关于直线 = �� + 对称，求的取值范围.
圆的离心率的取值范围是.
,
，则该椭
椭圆的定义及其方程
第二定义
平面内一定点距离与一定直线距离之比为常数 < < 的点的轨迹.
焦 点
相应准线
离心率
焦半径： = + , = −
∈ − , +
≤ ∙ ≤
= ∙
（其为参数）
= ∙
③极坐标方程： =
=
（极点为左焦点）
−
（极点为右焦点）
+
+
= （焦点在轴）
椭圆的定义及其方程
椭圆的方程
③极坐标方程
左
例6.已知椭圆:
+
= ,过左焦点作两条相互垂直的直线，分别交椭圆于, , , 四点，
在椭圆
椭圆的常见模型
斜率型定点定值
1.已知椭圆:
+
= ( > > )，四点 , , , , −,
, ,
中恰有三点在椭圆上.
①求 的方程；
椭圆(知识点讲解)高考数学一轮复习(新教材新高考)(解析版)
专题9.3 椭圆（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.结合椭圆的定义，考查应用能力，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．2．结合椭圆的定义、简单的几何性质、几何图形，会求椭圆方程及解与几何性质有关的问题，凸显数学运算、直观想象的核心素养．【知识点展示】一．椭圆的定义及其应用1.椭圆的概念(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)代数式形式：集合①若，则集合P为椭圆；1212P={M||MF|+|MF|=2a|FF|=2c.}a c>②若，则集合P 为线段； ③若，则集合P 为空集．2.椭圆的标准方程：焦点在轴时，；焦点在轴时，二．椭圆的标准方程 1. 椭圆的标准方程：（1）焦点在轴，；（2）焦点在轴，.2．满足条件：三．椭圆的几何性质椭圆的标准方程及其几何性质条件图形标准方程范围对称性曲线关于轴、原点对称 曲线关于轴、原点对称 顶点 长轴顶点 ,短轴顶点长轴顶点 ,轴顶点焦点a c =a c <x 2222=1(a>b>0)x y ab +y 2222=1(a>b>0)y x a b+x 2222+=1(a>b>0)x y a by 2222y +=1(a>b>0)x a b22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞2222+=1(a>b>0)x y a b 2222y +=1(a>b>0)x a bx a y b ≤≤,x b y a ≤≤,,x y ,x y (),0a ±()0,b ±()0,a ±(),0b ±(),0c ±()0,c ±焦距离心率，其中通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为四．直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆位置关系的判断(1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y ，整理得到关于x 的方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0.记该一元二次方程根的判别式为Δ，①若Δ＞0，则直线与椭圆相交；②若Δ＝0，则直线与椭圆相切；③若Δ＜0，则直线与椭圆相离．(2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系． 2．直线与椭圆的相交长问题：（1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点则弦长公式为或 （2）弦中点问题，适用“点差法”. （3）椭圆中点弦的斜率公式若M (x 0，y 0)是椭圆的弦AB (AB 不平行y 轴)的中点，则有k AB ·k OM ＝22b a-，即k AB ＝2020b x a y -.【常考题型剖析】题型一：椭圆的定义及其应用例1.（2021·全国高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12C ．9D ．6【答案】C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答222122()F F c c a b -＝＝() 0,1ce a∈＝c ＝22a b -22b a1122()()M x y N x y ，，，，MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-MN 2121221(1)[(y )4]y y y k++-2222+=1(a>b>0)x y a b案． 【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）． 故选：C ．例2. （2021·全国）已知椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，P 为椭圆C 上一动点，定点(2,4)A ，则||||PA PF -的最小值为（ ） A ．1 B ．－1 C 17 D ．17-【答案】A 【分析】设椭圆的左焦点为F '，得到||4PF PF '=-，得出||||||4PA PF PA PF '-=+-，结合图象，得到当且仅当P ，A ，F '三点共线时，||PA PF '+取得最小值，即可求解.【详解】设椭圆的左焦点为F '，则||4PF PF '+=，可得||4PF PF '=-， 所以||||||4PA PF PA PF '-=+-，如图所示，当且仅当P ，A ，F '三点共线（点P 在线段AF '上）时， 此时||PA PF '+取得最小值，又由椭圆22:143x y C +=，可得(1,0)F '-且(2,4)A ，所以2(21)165AF '=++=，所以||||PA PF -的最小值为1． 故选：A ．例3.（2023·全国·高三专题练习）已知P 是椭圆221259x y +=上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若1212PF PF PF PF ⋅=⋅12，则12F PF △的面积为（ ）A ．33B ．3C 3D ．9【答案】A【分析】由已知可得12F PF ∠，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解. 【详解】因为121212121212cos 1cos 2PF PF F PF PF PF F PF PF PF PF PF ⋅∠⋅==∠=⋅⋅，120F PF π∠≤≤所以123F PF π∠=，又224c a b =-=记12,PF m PF n ==，则222464210m n mn c m n a ⎧+-==⋅⋅⋅⎨+==⋅⋅⋅⎩①②，②2-①整理得：12mn =，所以12113sin 12332322F PF S mn π==⨯⨯= 故选：A【规律方法】1.应用椭圆的定义，可以得到结论：（1）椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2.2.对焦点三角形的处理方法，通常是运用.3.椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 题型二：椭圆的标准方程例4.（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（ ）A ．2211816x y +=B ．22198x yC ．22132x y +=D ．2212x y +=【答案】B【分析】根据离心率及12=1⋅-BA BA ，解得关于22,a b 的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率22113c b e a a ==-=，解得2289b a =，2289=b a ，12,A A 分别为C 的左右顶点，则()()12,0,,0A a A a -，B 为上顶点，所以(0,)B b .所以12(,),(,)=--=-BA a b BA a b ，因为121BA BA ⋅=-所以221-+=-a b ，将2289=b a 代入，解得229,8a b ==，故椭圆的方程为22198x y .12F PF △⎧⎪⎨⎪⎩定义式的平方余弦定理面积公式2212222121212(2a)212S θθ∆⎧⎪=⎪=-⋅⎨⎪⎪=⋅⎩⇔（|PF|+|PF|）(2c)|PF|+|PF||PF||PF|cos |PF||PF|sin故选：B.例5.（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为（ ）A.2212x y += B.22132x y +=C.22143x y +=D.22154x y += 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得3n =． 22224233312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =．22224233,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ． 例6.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）点1F ，2F 为椭圆C 的两个焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒，则椭圆C 方程可以是（ ）A ．221259x y +=B ．2212516x y +=C ．221189x y +=D ．221169x y +=【答案】AC【分析】设椭圆上顶点为B ，由题满足1290F BF ∠≥︒，即2221212BF BF F F +≤，可得222a b ≥，即可得出答案.【详解】设椭圆方程为22221x y a b+=()0a b >>，设椭圆上顶点为B ，椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒， 则需1290F BF ∠≥︒， 2221212BF BF F F ∴+≤，即2224a a c +≤，222c a b =-，222424a a b -≤， 则222a b ≥，所以选项AC 满足. 故选：AC. 【总结提升】1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是： (1)作判断：根据条件判断焦点的位置．(2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为 ． (3)找关系：根据已知条件，建立关于的方程组． (4)求解，得方程．2．(1)方程与有相同的离心率．(2)与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便． 题型三：椭圆的几何性质例7.（2022·全国·高考真题（理））椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ）A 3B 2C ．12D ．13【答案】A【分析】设()11,P x y ，则()11,Q x y -，根据斜率公式结合题意可得2122114y x a =-+，再根据2211221x y a b+=，将1y 用1x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.221mx ny ＋＝(0)0m n m n ≠＞，＞且a b c m n 、、或、2222y +=1x a b 2222y +=(>0)x a bλλ2222+=1(a>b>0)x y a b 22222+=1(a>b>0,0)x y b k a k b k+>++【详解】解：(),0A a -， 设()11,P x y ，则()11,Q x y -， 则1111,AP AQ y y k k x a x a==+-+， 故21112211114AP AQy y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+， 又2211221x y a b +=，则()2221212b a x y a-=， 所以()2221222114b a x a x a -=-+，即2214b a =， 所以椭圆C 的离心率22312c b e a a ==-=. 故选：A .例8.（2023·全国·高三专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的蒙日圆方程为2222x y a b +=+，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点.5M 为蒙日圆上一个动点，过点M 作椭圆C 的两条切线，与蒙日圆分别交于P ，Q 两点，若MPQ 面积的最大值为36，则椭圆C 的长轴长为（ ） A ．25B ．45C ．3D ．43【答案】B【分析】利用椭圆的离心率可得5a c =，分析可知PQ 为圆2223x y b +=的一条直径，利用勾股定理得出222236MP MQ PQ c +==，再利用基本不等式即可求即解【详解】因为椭圆C 的离心率55c e a ==，所以5a c =. 因为222a b c =+，所以2b c =，所以椭圆C 的蒙日圆的半径为223a b c +=. 因为MP MQ ⊥，所以PQ 为蒙日圆的直径， 所以6PQ c =，所以222236MP MQ PQ c +==. 因为222182MP MQMP MQ c +⋅≤=，当32MP MQ c ==时，等号成立， 所以MPQ 面积的最大值为：2192MP MQ c ⋅=.由MPQ 面积的最大值为36，得2936c =，得2c =，进而有24b c ==，25a =， 故椭圆C 的长轴长为45. 故选：B例9.（2018·全国·高考真题（文））已知椭圆C ：2221(0)4x y a a +=>的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．12C 2D 22【答案】C【详解】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为()20，，从而求得2c =，再根据题中所给的方程中系数，可以得到24b =，利用椭圆中对应,,a b c 的关系，求得22a =，最后利用椭圆离心率的公式求得结果.详解：根据题意，可知2c =，因为24b =， 所以2228a b c =+=，即22a =， 所以椭圆C 的离心率为22222e ==，故选C. 例10.（2022·四川成都·高三期末（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，以坐标原点O 为圆心，线段12F F 为直径的圆与椭圆C 在第一象限相交于点A ．若122AF AF ≤，则椭圆C 的离心率的取值范围为______． 【答案】25,23⎛⎤⎥ ⎝⎦【分析】根据题意可得1290F AF ∠=，且c b >，再根据焦点三角形中的关系表达出离心率，结合函数的单调性求解即可【详解】由题意，因为线段12F F 为直径的圆与椭圆C 在第一象限相交于点A ． 故半径1OF b >,即 c b >，且1290F AF ∠=.又离心率()22212121212121212222AFAF AF AF AF AF F F c c a a AF AF AF AF AF AF +-⋅+====+++()12212122122112AF AF AF AF AFAF AF AF ⋅=-=-+++，因为122AF AF ≤，结合题意有1212AF AF <≤， 设12AF t AF =，则2112c a t t=-++，易得对勾函数12y t t =++在(]1,2上单调递增， 故2112y t t=-++在(]1,2上单调递增， 故2221111111222212t t -<-≤-++++++，即2523c a <≤故答案为：25,23⎛⎤⎥ ⎝⎦【总结提升】1.关于椭圆几何性质的考查，主要有四类问题，一是考查椭圆中的基本量a ，b ，c ；二是考查椭圆的离心率；三是考查离心率发最值或范围；四是其它综合应用.2.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘：(1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a －c )，过焦点垂直于长轴的通径长为等．(2)设椭圆上任意一点P (x ，y )，则当x ＝0时，|OP |有最小值b ，这时，P 在短轴端点处；当x ＝a 时，|OP |有最大值a ，这时P 在长轴端点处．(3)椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2. 3．重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征．4.求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建2222e?b b c a =2222+=1(a>b>0)x y a b立关于参数c 、a 、b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用.题型四：直线与椭圆的位置关系例11.（2022·全国·高三专题练习）椭圆2214x y +=，则该椭圆所有斜率为12的弦的中点的轨迹方程为_________________． 【答案】2xy =-()22-<<x 【分析】设斜率为12的直线方程为12y x b =+，与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ，利用点差法可得答案. 【详解】设斜率为12的直线方程为12y x b =+，与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ， 设中点坐标为(),x y ，则211221121,,222y y x xy y x y x x -++=-==-， 所以221122221414⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，两式相减可得()()()()12221214+=-+-x x x x y y y y ，()()22121124-+-=+x x y y y y x x ，即2xy =-，由于在椭圆内部，由221412⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩x y y x b得22102++-=x bx b ，所以()22210∆=--=b b 时，即2b =±直线与椭圆相切，此时由22102±+=x x 解得2x =或2x =-，所以22x -<<， 所求得轨迹方程为2xy =-()22-<<x ． 故答案为：2xy =-()22-<<x ． 例12.（2022·北京八中高三阶段练习）已知P 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上任意一点，12,F F 为左､右焦点，M 为1PF 中点.如图所示：若1122OM PF +=，离心率3e = 22 ,1c b e e a a=-＝(1)求椭圆E 的标准方程； (2)已知直线l 经过11,2且斜率为12与椭圆交于,A B 两点，求弦长AB 的值.【答案】(1)2214x y +=(2)5【分析】（1）由题意可得21||||2OM PF =结合1122OM PF +=求得a ，继而求得b ，即可得椭圆方程； （2）写出直线l 的方程，联立椭圆方程，可求得交点坐标，从而求得弦长. （1）由题意知，M 为1PF 中点，O 为12F F 的中点，故21||||2OM PF =, 又 1122OM PF +=，故121()22PF PF +=，即124PF PF +=，所以24,2a a == ， 又因为32e =，故3c =，所以2221b a c =-= ， 故椭圆E 的标准方程为2214x y += ；（2）由直线l 经过11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为12可知直线方程为11(1)22y x =+-，即112y x =+，联立2214x y +=，消去y 可得220x x += ，解得120,2x x ==- ，则,A B 两点不妨取为(0,1),(2,0)-， 故22215AB =+=.例13.（2022·天津·高考真题）椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F 、右顶点为A ，上顶点为B ，且满足3BF AB=(1)求椭圆的离心率e ；(2)直线l 与椭圆有唯一公共点M ，与y 轴相交于N （N 异于M ）．记O 为坐标原点，若=OM ON ，且OMN 3 【答案】(1)63e =(2)22162x y +=【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、b 的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；（2）由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，设直线l 的方程为y kx m =+，将直线l 的方程与椭圆方程联立，由0∆=可得出()222313m a k =+，求出点M 的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得2a 的值，即可得出椭圆的方程.（1）解：()2222222222234332BF b c aa b a a b AB b a b a+===⇒=+⇒=++，离心率为22263c a b e a a -===. （2）解：由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，联立2223y kx mx y a=+⎧⎨+=⎩得()()222213630k x kmx m a +++-=，由()()()222222223641330313k m k m a m a k ∆=-+-=⇒=+，①2331M kmx k =-+，213M Mm y kx m k =+=+，由=OM ON 可得()()222229131m k m k+=+，②由3OMN S =可得2313213km m k⋅=+，③联立①②③可得213k =，24m =，26a =，故椭圆的标准方程为22162x y +=． 【规律方法】一.涉及直线与椭圆的基本题型有： 1.位置关系的判断2.弦长、弦中点问题.弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数的关系表示中点； (2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率． 3.轨迹问题4.定值、最值及参数范围问题5.存在性问题二．常用思想方法和技巧有：1.设而不求；2.坐标法；3.根与系数关系.三. 若直线与椭圆有两个公共点可结合韦达定理，代入弦长公式或 题型五：椭圆与圆的相关问题例14. （2019·天津·高考真题（文）） 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .3|2||OA OB =（O 为原点）. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C在直线4x =上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.【答案】（I ）12；（II ）2211612x y +=.【分析】（I ）根据题意得到32a b =，结合椭圆中,,a b c 的关系，得到2223()2a a c =+，化简得出12c a =，从而求得其离心率；（II ）结合（I ）的结论，设出椭圆的方程2222143x y c c +=，写出直线的方程，两个方程联立，求得交点的坐标，利用直线与圆相切的条件，列出等量关系式，求得2c =，从而得到椭圆的方程. 【详解】（I ）解：设椭圆的半焦距为c ，由已知有32a b =， 又由222a b c =+，消去b 得2223()2a a c =+，解得12c a =，所以，椭圆的离心率为12.（II ）解：由（I ）知，2,3a c b c ==，故椭圆方程为2222143x y c c +=，由题意，(,0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+，点P 的坐标满足22221433()4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7cx c x ==-， 代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-，因为点P 在x 轴的上方，所以3(,)2P c c ，1122()()M x y N x y ，，，，MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-MN 2121221(1)[(y )4]y y y k++-由圆心在直线4x =上，可设(4,)C t ，因为OC AP ∥，且由（I ）知(2,0)A c -，故3242ct c c =+，解得2t =， 因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径为2，又由圆C 与l 相切，得23(4)24231()4c +-=+，解得2c =， 所以椭圆的方程为：2211612x y +=.【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.例15.（陕西高考真题）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为． （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．【答案】；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）过点的直线方程为， 则原点到直线的距离， 由，得，解得离心率. :E 22221x y a b+=0a b >>c O (),0c ()0,b 12c E AB :M ()()225212x y ++-=E A B E 3221123x y +=()(),0,0,c b 0bx cy bc +-=O 22bcd ab c ==+12d c =2222a b a c ==-32c e a ==（Ⅱ）由（1）知，椭圆的方程为. 依题意，圆心是线段的中点，且. 易知，不与轴垂直.设其直线方程为，代入（1）得.设，则，.由，得，解得. 从而.于是.由.故椭圆的方程为.例16.（2021·山东·高三开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，已知点1(6,0)F -，2(6,0)F ，动点M 满足1243MF MF +=M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)圆224x y +=的切线与C 相交于A ，B 两点，P 为切点，求||||PA PB ⋅的值．【答案】(1)221126x y +=(2)||||4PA PB ⋅=【分析】（1）结合椭圆的定义求得,,a b c ，由此求得C 的方程.（2）当直线AB 斜率不存在时，求得,PA PB ，从而求得PA PB ⋅；当直线AB 斜率存在时，设出直线AB 的方程，根据直线和圆的位置关系列方程，联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，求得0OA OB ⋅=，由此判断出90AOB ∠=︒，结合相似三角形求得PA PB ⋅.E 22244x y b +=()2,1M -AB 10AB =AB x ()21y k x =++()()()22221482142140k x k k x k b +++++-=()()1122,,,A x y B x y ()12282114k k x x k++=-+()22122421414k b x x k+-=-+124x x +=-()2821=414k k k +--+12k =21282x x b =-()()222121212151410222AB x x x x x b ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭10AB ()210210b -=23b =E 221123x y +=（1）为12124326MF MF F F +=>=，所以点M 的轨迹曲线C 是以1F ，2F 为焦点的椭圆．设其方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则243a =，226a b -=，解得23a =，6b =，所以曲线C 的方程为221126x y +=．（2）当直线AB 的斜率不存在时，(2,0)P ±，此时||||2PA PB ==，则||||4PA PB ⋅=． 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+， 由直线AB 与圆224x y +=相切可得2||21m k =+，化简得()2241m k =+．联立22,1,126y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222142120k x kmx m +++-=，0∆>．设()11,A x y ，()22,B x y ，则122421km x x k -+=+，212221221m x x k -=+，所以1212OA OB x x y y ⋅=+()()2212121k x x km x x m =++++()()2222222121242121km k mm k k +-=-+++()222312121m k k -+=+()()222121121021k k k +-+==+，所以90AOB ∠=︒，所以AOB 为直角三角形．由OP AB ⊥，可得AOP OBP ∽△△， 所以||||||||PA OP OP PB =，所以2||||||4PA PB OP ⋅==． 综上，||||4PA PB ⋅=． 【总结提升】从高考命题看，与椭圆、圆相结合问题，一般涉及到圆的方程（圆心、半径）、直线与圆的位置关系（相切、相交）、点到直线的距离、直线方程等.。
2020版高考数学一轮复习第八章解析几何椭圆课件
一 椭圆的定义
椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭 圆；二是当 P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点 F1，F2 组成的三角形通常称为“焦点三 角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求PF1·PF2，通过整体代入 可求其面积等．
【例 1】 (1)如图所示，一圆形纸片的圆心为 O，F 是圆内一定点，M 是圆周上一
动点，把纸片折叠使 M 与 F 重合，然后抹平纸片，折痕为 CD，设 CD 与 OM 交于
点 P，则点 P 的轨迹是( A )
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．圆
(2)已知 F1，F2 是椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)F2 的面积为 9，则 b＝__3__________.
长轴 A1A2 的长为__2_a_________，短轴 B1B2 的长为__2_b_________
F1F2＝___2_c________ e＝_____ac_______，e∈___(_0_,1_)______
c2＝___a_2_－__b_2____
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × ) (2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1 F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长 半轴长，c为椭圆的半焦距)．( √ ) (3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( × ) (4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．( √ )
解析 (1)错误．由椭圆的定义知，当该常数大于F1F2时，其轨迹才是椭圆，而 常数等于F1F2时，其轨迹为线段 F1F2，常数小于F1F2时，不存在图形．
(2)正确．由椭圆的定义得，PF1＋PF2＝2a，又F1F2＝2c，所以PF1＋PF2＋ F1F2＝2a＋2c.
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《椭圆》课件ppt
A.x62＋y52＝1
√B.x52＋y42＝1
C.x32＋y22＝1
D.x42＋y32＝1
如图，不妨设A(x0，y0)在第一象限，由椭圆的左焦 点F1(－1,0)，点C，F1是线段AB的三等分点， 得C为AF1的中点，F1为BC的中点， 所以x0＝1， 所以a12＋by202＝1， 解得 y0＝ba2，即 A1，ba2， 所以 C0，2ba2 ，B－2，－2ba2 ，
(2)(2022·全国甲卷)椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左顶点为 A，点 P，Q 均 在 C 上，且关于 y 轴对称.若直线 AP，AQ 的斜率之积为14，则 C 的离心 率为
√A.
3 2
1 C.2
2 B. 2
1 D.3
设P(m，n)(n≠0)，
则Q(－m，n)，易知A(－a,0)，
常用结论
(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c. (4)|PF1|·|PF2|≤|PF1|＋2 |PF2|2＝a2. (5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. (6)焦点三角形的周长为2(a＋c).
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.
b4 将点 B 的坐标代入椭圆方程得a42＋4ba22＝1， 即a42＋4ba22＝1，
结合a2－b2＝c2＝1，解得a2＝5，b2＝4， 所以椭圆的标准方程是x52＋y42＝1.
题型三 椭圆的几何性质
命题点1 离心率 例 4 (1)(2022·太原模拟)设 F1，F2 是椭圆 E：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右
高考数学一轮讲义：平面解析几何 椭圆
8．5 椭圆[知识梳理] 1．椭圆的定义(1)定义：在平面内到两定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)集合语言：P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a ，且2a >|F 1F 2|}，|F 1F 2|＝2c ，其中a >c >0，且a ，c 为常数．注：当2a >|F 1F 2|时，轨迹为椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹为线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质图3．直线与椭圆位置关系的判断直线与椭圆方程联立方程组，消掉y ，得到Ax 2＋Bx ＋C ＝0的形式(这里的系数A 一定不为0)，设其判别式为Δ：(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交； (2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切； (3)Δ<0⇔直线与椭圆相离． 4．弦长公式(1)若直线y ＝kx ＋b 与椭圆相交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|.(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长2b 2a ，最长为2a . 5．必记结论(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，P点在长轴端点处．(2)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.[诊断自测]1．概念思辨(1)平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)表示的曲线是椭圆．()(3)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．()(4)x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)与y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的焦距相同．()答案(1)×(2)√(3)√(4)√2．教材衍化(1)(选修A1－1P35例3)已知椭圆的方程是x2a2＋y225＝1(a>5)，它的两个焦点分别为F1，F2，且F1F2＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为()A．10 B．20C．241 D．441答案 D解析因为a>5，所以椭圆的焦点在x轴上，所以a2－25＝42，解得a＝41.由椭圆的定义知△ABF2的周长为4a＝441.故选D.(2)(选修A1－1P42A组T6)已知点P是椭圆x25＋y24＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1 解析 设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)，由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x >0，所以x ＝152，∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1. 3．小题热身(1)(2014·大纲卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1答案 A解析 由题意及椭圆的定义知4a ＝43，则a ＝3，又c a ＝c 3＝33，∴c ＝1，∴b 2＝2，∴C 的方程为x 23＋y 22＝1，故选A.(2)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．答案3－1解析 由已知得直线y ＝3(x ＋c )过M ，F 1两点，所以直线MF 1的斜率为3，所以∠MF 1F 2＝60°，则∠MF 2F 1＝30°，∠F 1MF 2＝90°，则MF 1＝c ，MF 2＝3c ，由点M 在椭圆Γ上知：c ＋3c ＝2a ，故e ＝ca ＝3－1.题型1 椭圆的定义及应用典例1 已知椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到椭圆一个焦点F 1的距离为3，则P 到另一个焦点F 2的距离为( )A ．2B ．3C ．5D ．7应用椭圆的定义．答案 D解析 根据椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，得|PF 2|＝7，故选D.[条件探究] 若将典例中的条件改为“F 1，F 2分别为左、右焦点，M 是PF 1的中点，且|OM |＝3”，求点P 到椭圆左焦点的距离？解 由M 为PF 1中点，O 为F 1F 2中点，易得|PF 2|＝6，再利用椭圆定义易知|PF 1|＝4.典例2(2018·漳浦县校级月考)椭圆x 24＋y 2＝1上的一点P 与两焦点F 1，F 2所构成的三角形称为焦点三角形．(1)求PF 1→·PF 2→的最大值与最小值； (2)设∠F 1PF 2＝θ，求证：S △F 1PF 2＝tan θ2.(1)利用向量数量积得到目标函数，利用二次函数求最值；(2)利用余弦定理、面积公式证明．解 (1)设P (x ，y )，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则PF 1→·PF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝x 2＋y 2－3＝34x 2－2， ∵x 2∈[0,4]，∴34x 2－2∈[－2,1]． ∴PF 1→·PF 2→的最大值为1，最小值为－2. (2)证明：由椭圆的定义可知||PF 1|＋|PF 2||＝2a ， |F 1F 2|＝2c ，设∠F 1PF 2＝θ， 在△F 1PF 2中，由余弦定理可得： |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos θ ＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|(1＋cos θ)，可得4c 2＝4a 2－2|PF 1|·|PF 2|(1＋cos θ)⇒|PF 1|·|PF 2|＝2b21＋cos θ，即有△F 1PF 2的面积S ＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝b 2·sin θ1＋cos θ＝b 2tan θ2＝tan θ2.方法技巧椭圆定义的应用技巧1．椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率等．2．通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．见典例2.冲关针对训练已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，B 是圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为________．答案 x 2＋43y 2＝1解析 如图，由题意知|P A |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2.所以|P A |＋|PF |＝2且|P A |＋|PF |>|AF |，即动点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆，a ＝1，c ＝12，b 2＝34.所以动点P 的轨迹方程为x 2＋43y 2＝1.题型2 椭圆的标准方程及应用典例1(2018·湖南岳阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为坐标原点，F 1、F 2为它的两个焦点，离心率为22，过F 1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为________．在未明确焦点的具体位置时，应分情况讨论．答案 x 216＋y 28＝1或x 28＋y 216＝1解析 由椭圆的定义及△ABF 2的周长知4a ＝16，则a ＝4，又ca ＝22，所以c ＝22a ＝22，所以b 2＝a 2－c 2＝16－8＝8.当焦点在x 轴上时，椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1；当焦点在y 轴上时，椭圆C 的方程为y 216＋x 28＝1.综上可知，椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1或x 28＋y 216＝1.典例2(2017·江西模拟)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，且焦距为23，O 为坐标原点，点P 为椭圆上一点，|OP |＝24a ，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等比数列，求椭圆的方程．用待定系数法，根据已知列出方程组．解 设P (x ，y )，则|OP |2＝x 2＋y 2＝a28，由椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|2＋2|PF 1|·|PF 2|＋|PF 2|2＝4a 2， 又∵|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等比数列， ∴|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2＝4c 2， |PF 1|2＋|PF 2|2＋8c 2＝4a 2，∴(x ＋c )2＋y 2＋(x －c )2＋y 2＋8c 2＝4a 2，整理得x 2＋y 2＋5c 2＝2a 2，即a 28＋5c 2＝2a 2，整理得c 2a 2＝38，又∵2c ＝23，∴c ＝3， ∴a 2＝8，b 2＝5.85方法技巧求椭圆标准方程的步骤1．判断椭圆焦点位置． 2．设出椭圆方程．3．根据已知条件，建立方程(组)求待定系数，注意a 2＝b 2＋c 2的应用．4．根据焦点写出椭圆方程．见典例1,2.提醒：当椭圆焦点位置不明确时，可设为x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0，m ≠n )，也可设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，且A ≠B )．可简记为“先定型，再定量”．冲关针对训练已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.P 为椭圆上的一点，PF 1与y 轴相交于M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，且M 为PF 1的中点，S △PF 1F 2＝32.求椭圆的方程．解 设P (x 0，y 0)∵M 为PF 1的中点，O 为F 1F 2的中点． ∴x 0＝c ，y 0＝12.PF 2∥y 轴，△PF 1F 2是∠PF 2F 1＝90°的直角三角形，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧c 2a 2＋14b 2＝1，12·2c ·12＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.4题型3 椭圆的几何性质典例 F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．由∠F 1PF 2＝90°，求出x 20＝a 2(c 2－b 2)c 2后，利用x 20∈[0，a 2]求解．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1解析 设P (x 0，y 0)为椭圆上一点，则x 20a 2＋y 20b 2＝1.PF 1→＝(－c －x 0，－y 0)，PF 2→＝(c －x 0，－y 0)， 若∠F 1PF 2＝90°，则PF 1→·PF 2→＝x 20＋y 20－c 2＝0.∴x 20＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 20a 2＝c 2，∴x 20＝a 2(c 2－b 2)c 2. ∵0≤x 20≤a 2，∴0≤c 2－b 2c 2≤1.∴b 2≤c 2，∴a 2≤2c 2，∴22≤e <1.[条件探究] 将典例2中条件“∠F 1PF 2＝90°”改为“∠F 1PF 2为钝角”，求离心率的取值范围．解椭圆上存在点P 使∠F 1PF 2为钝角⇔以原点O 为圆心，以c 为半径的圆与椭圆有四个不同的交点⇔b <c ，如图，由b <c ，得a 2－c 2<c 2，即a 2<2c 2，解得e ＝c a >22，又0<e <1，故椭圆C 的离心率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1. 方法技巧求解椭圆离心率(或其范围)常用的方法1．若给定椭圆的方程，则根据椭圆方程确定a 2，b 2，进而求出a ，c 的值，从而利用公式e ＝ca 直接求解．2．若椭圆的方程未知，则根据条件及几何图形建立关于a ，b ，c 的齐次等式(或不等式)，化为关于a ，c 的齐次方程(或不等式)，进而化为关于e 的方程(或不等式)进行求解．见典例.冲关针对训练(2015·重庆高考)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .解 (1)由椭圆的定义，有2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2.设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2， 得2c ＝|F 1F 2| ＝|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)连接QF 1，由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此，4a －2|PF 1|＝2|PF 1|.|PF 1|＝2(2－2)a ，从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2(2－2)a ＝2(2－1)a .由PF 1⊥PF 2，知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2， 因此e ＝c a ＝|PF 1|2＋|PF 2|22a ＝ (2－2)2＋(2－1)2＝9－62＝6－ 3.题型4 直线与椭圆的综合问题角度1 利用直线与椭圆的位置关系研究椭圆的标准方程及性质典例(2014·全国卷Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .本题(2)用代入法列出方程，用方程组法求解．解 (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ， 2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12或ca ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，得原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a ＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎨⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a ＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.角度2 利用直线与椭圆的位置关系研究直线及弦的问题 典例 (2014·全国卷Ⅰ)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点．当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．直线与椭圆构成方程组，用设而不求的方法求弦长，再求△OPQ 的面积．解 (1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3. 又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1.从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积 S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0， 所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2.方法技巧直线与椭圆相交时有关弦问题的处理方法1．合理消元，消元时可以选择消去y ，也可以消去x .见角度1典例．2．利用弦长公式、点到直线的距离公式等将所求量表示出来． 3．构造基本不等式或利用函数知识求最值．见角度2典例． 4．涉及弦中点的问题常用“点差法”解决．冲关针对训练(2015·陕西高考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．解 (1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c2＝bca ，由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32. (2)由(1)知，椭圆E 的方程为 x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10. 易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得 (1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8k (2k ＋1)1＋4k 2，x 1x 2＝4(2k ＋1)2－4b 21＋4k 2.由x 1＋x 2＝－4，得－8k (2k ＋1)1＋4k 2＝－4，解得k ＝12. 从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2| ＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2).由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.1.(2017·浙江高考)椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是( ) A.133 B.53 C.23 D.59答案 B解析 ∵椭圆方程为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，c ＝a 2－b 2＝9－4＝5.∴e ＝c a ＝53.故选B.2．(2017·河北衡水中学二调)设椭圆x 216＋y 212＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，且满足PF 1→·PF 2→＝9，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．8B ．10C ．12D ．15 答案 D解析 由椭圆方程x 216＋y 212＝1，可得c 2＝4，所以|F 1F 2|＝2c ＝4，而F 1F 2→＝PF 2→－PF 1→，所以|F 1F 2→|＝|PF 2→－PF 1→|，两边同时平方，得|F 1F 2→|2＝|PF 1→|2－2PF 1→·PF 2→＋|PF 2→|2，所以|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2→|2＋2PF 1→·PF 2→＝16＋18＝34，根据椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，所以34＋2|PF 1||PF 2|＝64，所以|PF 1|·|PF 2|＝15.故选D.3．(2018·武汉调研)已知直线MN 过椭圆x 22＋y 2＝1的右焦点F ，与椭圆交于M ，N 两点．直线PQ 过原点O 且与直线MN 平行，直线PQ 与椭圆交于P ，Q 两点，则|PQ |2|MN |＝________.答案 2 2解析 解法一：由题意知，直线MN 的斜率不为0，设直线MN ：x ＝my ＋1，则直线PQ ：x ＝my .设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4).⎩⎨⎧x ＝my ＋1，x 22＋y 2＝1⇒(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0⇒y 1＋y 2＝－2mm 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2.∴|MN |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝22·m 2＋1m 2＋2.⎩⎨⎧x ＝my ，x 22＋y 2＝1⇒(m 2＋2)y 2－2＝0⇒y 3＋y 4＝0，y 3y 4＝－2m 2＋2.∴|PQ |＝1＋m 2|y 3－y 4|＝2 2m 2＋1m 2＋2.故|PQ |2|MN |＝2 2. 解法二：取特殊位置，当直线MN 垂直于x 轴时，易得|MN |＝2b 2a ＝2，|PQ |＝2b ＝2，则|PQ |2|MN |＝2 2.4．(2015·安徽高考)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510.(1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．解 (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510，进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x 5b ＋yb＝1，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52b ，－12b .设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，72，则线段NS 的中点T 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫54b ＋x 12，－14b ＋74.又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1，从而有⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧5b 4＋x 125b＋－14b ＋74b ＝1，72＋12b x 1－52b＝5，解得b ＝3.所以a ＝35， 故椭圆E 的方程为x 245＋y 29＝1.[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．(2018·江西五市八校模拟)已知正数m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y2m ＝1的焦点坐标为( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±3，0)或(±5，0)D ．(0，±3)或(±5，0)答案 B解析 因为正数m 是2和8的等比中项，所以m 2＝16，则m ＝4，所以圆锥曲线x 2＋y 2m ＝1即为椭圆x 2＋y 24＝1，易知其焦点坐标为(0，±3)，故选B.2．(2017·湖北荆门一模)已知θ是△ABC 的一个内角，且sin θ＋cos θ＝34，则方程x 2sin θ－y 2cos θ＝1表示( )A ．焦点在x 轴上的双曲线B ．焦点在y 轴上的双曲线C ．焦点在x 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的椭圆 答案 D解析 因为(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝916，所以sin θcos θ＝－732＜0，结合θ∈(0，π)，知sin θ>0，cos θ<0，又sin θ＋cos θ＝34＞0，所以sin θ＞－cos θ＞0，故1－cos θ＞1sin θ＞0，因为x 2sin θ－y 2cos θ＝1可化为y 2－1cos θ＋x 21sin θ＝1，所以方程x 2sin θ－y 2cos θ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆．故选D.3．(2018·湖北八校联考)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A.514B.513C.49D.59答案 B解析 由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2.设线段PF 1的中点为M ，则有OM ∥PF 2，∵OM ⊥F 1F 2，∴PF 2⊥F 1F 2，∴|PF 2|＝b 2a ＝53.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，∴|PF 2||PF 1|＝53×313＝513，故选B.4．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63B.33C.23D.13答案 A解析 由题意知以A 1A 2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a . 又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切， ∴圆心到直线的距离d ＝2ab a 2＋b2＝a ，解得a ＝3b ， ∴b a ＝13，∴e ＝ca ＝a 2－b 2a ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝63.故选A. 5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a ，m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率为( )A.32B.22C.12D.14答案 C解析 因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，所以c 2＝a 2－b 2＝m 2＋n 2.因为c 是a ，m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，所以c 2＝am,2n 2＝2m 2＋c 2，所以m 2＝c 4a 2，n 2＝c 4a 2＋c 22，所以2c 4a 2＋c 22＝c 2，化为c 2a 2＝14，所以e ＝c a ＝12.故选C.6．(2017·荔湾区期末)某宇宙飞船运行的轨道是以地球中心为一焦点的椭圆，测得近地点距地面m 千米，远地点距地面n 千米，地球半径为r 千米，则该飞船运行轨道的短轴长为( )A ．2(m ＋r )(n ＋r )千米 B.(m ＋r )(n ＋r )千米 C ．2mn 千米 D ．mn 千米答案 A解析 ∵某宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F 2为一个焦点的椭圆，设长半轴长为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ， 则近地点A 距地心为a －c ，远地点B 距地心为a ＋c . ∴a －c ＝m ＋r ，a ＋c ＝n ＋r ， ∴a ＝m ＋n 2＋r ，c ＝n －m 2.又∵b 2＝a 2－c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2＋r2－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －m 22＝mn ＋(m ＋n )r ＋r 2＝(m ＋r )(n ＋r )．∴b ＝(m ＋r )(n ＋r )，∴短轴长为2b ＝2(m ＋r )(n ＋r )千米，故选A.7．(2017·九江期末)如图，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则该椭圆的离心率为( )A.32B.12C.3－1D.22答案 C解析 连接AF 1，∵F 1F 2是圆O 的直径，∴∠F 1AF 2＝90°， 即F 1A ⊥AF 2，又∵△F 2AB 是等边三角形，F 1F 2⊥AB ， ∴∠AF 2F 1＝12∠AF 2B ＝30°， 因此，在Rt △F 1AF 2中，|F 1F 2|＝2c ， |F 1A |＝12|F 1F 2|＝c ，|F 2A |＝32|F 1F 2|＝3c .根据椭圆的定义，得2a ＝|F 1A |＋|F 2A |＝(1＋3)c ，解得a ＝1＋32c ，∴椭圆的离心率为e ＝ca ＝3－1.故选C.8．(2018·郑州质检)椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝a 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( )A.55B.655C.855D.455答案 C解析 设椭圆的右焦点为E ，由椭圆的定义知△FMN 的周长为L ＝|MN |＋|MF |＋|NF |＝|MN |＋(25－|ME |)＋(25－|NE |)．因为|ME |＋|NE |≥|MN |，所以|MN |－|ME |－|NE |≤0，当直线MN 过点E 时取等号，所以L ＝45＋|MN |－|ME |－|NE |≤45，即直线x ＝a 过椭圆的右焦点E 时，△FMN 的周长最大，此时S △FMN ＝12×|MN |×|EF |＝12×2×45×2＝855，故选C.9．如图所示，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC ，BD ，设内层椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，若直线AC 与BD 的斜率之积为－14，则椭圆的离心率为( )A.12B.22 C.32 D.34答案 C解析 设外层椭圆方程为x 2(ma )2＋y 2(mb )2＝1(a >b >0，m >1)，则切线AC 的方程为y ＝k 1(x －ma )，切线BD 的方程为y ＝k 2x ＋mb ，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x －ma )，(bx )2＋(ay )2＝a 2b 2，消去y ，得(b 2＋a 2k 21)x 2－2ma 3k 21x ＋m 2a 4k 21－a 2b 2＝0.因为Δ＝(2ma 3k 21)2－4(b 2＋a 2k 21)(m 2a 4k 21－a 2b 2)＝0，整理，得k 21＝b 2a 2·1m 2－1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 2x ＋mb ，(bx )2＋(ay )2＝a 2b 2，消去y ，得(b 2＋a 2k 22)x 2＋2a 2mbk 2x ＋a 2m 2b 2－a 2b 2＝0，因为Δ2＝(2a 2mbk 2)2－4×(b 2＋a 2k 22)(a 2m 2b 2－a 2b 2)＝0，整理，得k 22＝b 2a 2·(m 2－1)．所以k 21·k 22＝b 4a 4.因为k 1k 2＝－14，所以b 2a 2＝14，e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以e ＝32，故选C.10．(2018·永康市模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和圆x 2＋y 2＝b 2，若椭圆C 上存在点P ，使得过点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，满足∠APB ＝60°，则椭圆的离心率e 的取值范围是( )A ．0<e ≤32 B.12≤e <1 C.32<e <1 D.32≤e <1答案 D解析 由椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)焦点在x 轴上， 连接OA ，OB ，OP ，依题意，O ，P ，A ，B 四点共圆， ∵∠APB ＝60°，∠APO ＝∠BPO ＝30°， 在直角三角形OAP 中，∠AOP ＝60°， ∴cos ∠AOP ＝b |OP |＝12，∴|OP |＝b12＝2b ，∴b <|OP |≤a ，∴2b ≤a ，∴4b 2≤a 2， 由a 2＝b 2＋c 2，即4(a 2－c 2)≤a 2，∴3a 2≤4c 2，即c 2a 2≥34，∴e ≥32，又0<e <1， ∴32≤e <1，∴椭圆C 的离心率的取值范围是32≤e <1.故选D. 二、填空题11．(2017·湖南东部六校联考)设P ，Q 分别是圆x 2＋(y －1)2＝3和椭圆x 24＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是________．答案 733解析 依据圆的性质可知，P ，Q 两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加上圆的半径3，设Q (x ，y )，则圆心(0,1)到椭圆上点的距离为d ＝x 2＋(y －1)2＝－3y 2－2y ＋5＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＋163，∵－1≤y ≤1，∴当y ＝－13时，d 取最大值433，所以P ，Q 两点间的最大距离为d max ＋3＝733.12．(2018·广州二测)已知中心在坐标原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，点F 关于直线y ＝12x 的对称点在椭圆C 上，则椭圆C 的方程为________．答案 5x 29＋5y 24＝1解析 设F (1,0)关于直线y ＝12x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎨⎧0＋y 2＝12×1＋x 2，y －0x －1×12＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35，y ＝45，由于椭圆的两个焦点为(－1,0)，(1,0)，所以2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫35＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝655，a ＝355，又c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝95－1＝45，所以椭圆C 的方程为x 295＋y 245＝1，即5x 29＋5y 24＝1.13．(2018·江西五市联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 为椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 5，0，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫55，1 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－a 52＋y 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－a 52＋y 22，x 21a 2＋y21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 5(x 1－x 2)＝x 21－x 22＋y 21－y 22，y 21＝b 2－b2a 2x 21，y 22＝b 2－b 2a2x 22，所以2a 5(x 1－x 2)＝a 2－b 2a 2(x 21－x 22)，所以2a 35(a 2－b 2)＝x 1＋x 2.又－a ≤x 1≤a ，－a ≤x 2≤a ，x 1≠x 2，所以－2a <x 1＋x 2<2a ，则2a 35(a 2－b 2)<2a ，即b 2a 2<45，所以e 2>15.又0<e <1，所以55<e <1. 14．(2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．答案 63解析 由已知条件易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，F (c,0)，∴BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2，CF →＝⎝⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2，由∠BFC ＝90°，可得BF →·CF→＝0， 所以⎝⎛⎭⎪⎫c －32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0，c 2－34a 2＋14b 2＝0，即4c 2－3a 2＋(a 2－c 2)＝0，亦即3c 2＝2a 2， 所以c 2a 2＝23，则e ＝c a ＝63.B 级三、解答题15．(2018·安徽合肥三校联考)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，且椭圆经过圆C ：x 2＋y 2－4x ＋22y ＝0的圆心C .(1)求椭圆的方程；(2)设直线l 过椭圆的焦点且与圆C 相切，求直线l 的方程． 解 (1)圆C 方程化为(x －2)2＋(y ＋2)2＝6， 圆心C (2，－2)，半径r ＝ 6. 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4.所以所求的椭圆方程是x 28＋y 24＝1.(2)由(1)得椭圆的左、右焦点分别是F 1(－2,0)，F 2 (2,0)， |F 2C |＝(2－2)2＋(0＋2)2＝2<r ＝ 6.F 2在圆C 内，故过F 2没有圆C 的切线，所以直线l 过焦点F 1. 设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0， 点C (2，－2)到直线l 的距离为d ＝|2k ＋2＋2k |1＋k 2， 由d ＝6，得|2k ＋2＋2k |1＋k2＝ 6. 化简，得5k 2＋42k －2＝0，解得k ＝25或k ＝－ 2.故l 的方程为2x －5y ＋22＝0或2x ＋y ＋22＝0.16．(2018·陕西咸阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2,1)，且离心率e ＝32.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．求△P AB 面积的最大值．解 (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2.又椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2,1)， ∴4a 2＋1b 2＝1.∴a 2＝8，b 2＝2. 故所求椭圆方程为x 28＋y 22＝1.(2)设l 的方程为y ＝12x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y 22＝1，整理得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0.∵Δ＝4m 2－8m 2＋16>0，解得|m |<2. ∴x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4. 则|AB |＝1＋14×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5(4－m 2).点P 到直线l 的距离d ＝|m |1＋14＝2|m |5. ∴S△P AB＝12d |AB |＝12×2|m |5×5(4－m 2)＝m 2(4－m 2)≤m 2＋4－m 22＝2.而且仅当m 2＝2，即m ＝±2时取得最大值． ∴△P AB 面积的最大值为2.17．(2018·兰州模拟)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为F 1(－2,0)，点B (2，2)在椭圆C 上，直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 分别与y 轴交于点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， ∵椭圆的左焦点为F 1(－2,0)，∴a 2－b 2＝4. ∵点B (2，2)在椭圆C 上，∴4a 2＋2b 2＝1， 解得a 2＝8，b 2＝4， ∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)依题意点A 的坐标为(－22，0)，设P (x 0，y 0)(不妨设x 0>0)，则Q (－x 0，－y 0)，由⎩⎨⎧y ＝kx ，x 28＋y 24＝1，得x 0＝221＋2k 2，y 0＝22k1＋2k2， ∴直线AP 的方程为y ＝k1＋1＋2k 2(x ＋22)， 直线AQ 的方程为y ＝k1－1＋2k2(x ＋22)， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，22k 1＋1＋2k 2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，22k 1－1＋2k 2， ∴|MN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪22k 1＋1＋2k2－22k 1－1＋2k 2＝22(1＋2k 2)|k |. 设MN 的中点为E ，则点E 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－2k ， 则以MN 为直径的圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋2k 2＝2(1＋2k 2)k 2，即x 2＋y 2＋22k y ＝4， 令y ＝0得x ＝2或x ＝－2，即以MN 为直径的圆经过两定点P 1(－2,0)，P 2(2,0)．18．(2018·湖南十校联考)如图，设点A ，B 的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，直线AP ，BP 相交于点P ，且它们的斜率之积为－23.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点P 的轨迹为C ，点M ，N 是轨迹C 上不同于A ，B 的两点，且满足AP ∥OM ，BP ∥ON ，求证：△MON 的面积为定值．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，由题意得，k AP ·k BP ＝y x ＋3·y x －3＝－23(x ≠±3)， 化简得，点P 的轨迹方程为x 23＋y 22＝1(x ≠±3)．(2)证明：由题意知，M ，N 是椭圆C 上不同于A ，B 的两点，且AP ∥OM ，BP ∥ON ，则直线AP ，BP 的斜率必存在且不为0.因为AP ∥OM ，BP ∥ON ，所以k OM ·k ON ＝k AP ·k BP ＝－23.设直线MN 的方程为x ＝my ＋t ，代入椭圆方程x 23＋y 22＝1，得(3＋2m 2)y 2＋4mty ＋2t 2－6＝0，①设M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1，y 2是方程①的两根，所以y 1＋y 2＝－4mt 3＋2m 2，y 2y 2＝2t 2－63＋2m 2. 又k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝y 1y 2m 2y 1y 2＋mt (y 1＋y 2)＋t 2＝2t 2－63t 2－6m 2， 所以2t 2－63t 2－6m 2＝－23，即2t 2＝2m 2＋3. 又S △MON ＝12|t ||y 1－y 2|＝12·|t |－24t 2＋48m 2＋723＋2m 2， 所以S △MON ＝26t 24t 2＝62，即△MON 的面积为定值62.。
高三数学第一轮复习《椭圆》讲义
(1) 若 ___ a >c _____ ，则集合 P为椭圆；
(2) 若 ___ a ＝ c _____ ，则集合 P 为线段；
(3) 若 ___ a <c _____ ，则集合 P为空集．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
x2 y2 a2＋ b2＝ 1 ( a>b>0)
y2 x2 a2＋ b2＝ 1 ( a>b>0)
2
x2 y2 (1) 解 设椭圆方程为 a2＋ b2＝ 1 (a>b>0) ，
|PF 1| ＝ m， |PF2| ＝ n.
在△ PF1F2 中，由余弦定理可知， 4c2 ＝m2＋ n2－ 2mncos 60°． ∵m＋ n＝ 2a，∴ｍ2＋ n2＝ (m＋ n) 2－2mn＝ 4a2－ 2mn.
∴4c 2＝ 4a2－ 3mn，即 3mn＝ 4a2－ 4c 2.
2
2
2
yx
b
在方程 a2＋ b2＝1 中令 y＝± c 得 | x| ＝ a ，
依题意并结合图形知
b2 2 ＝
5 . ∴b2＝ 10.
a3
3
x2 3y2
y2 3x2
即椭圆的标准方程为 ＋ ＝ 1 或 ＋ ＝ 1.
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题型二 椭圆的定义及应用 例 2 一动圆与已知圆 O1：( x＋3) 2＋ y2＝ 1 外切，与圆 O2：( x－3) 2＋ y2＝ 81 内切，试求动圆
3
P
0， 2
到这个椭圆
上的点最远距离是 7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点 P 的距离等于 7的点的坐标．
分析： 点在椭圆上， 就有－ b≤ y≤ b，因此在求椭圆上的点到点
高中数学椭圆讲义及例题
7.椭圆1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。
.注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.2、椭圆的标准方程1）．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=；2）．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：221x y m n+=或者 mx 2+ny 2=1 。
3、椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12222=+by a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。
（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。
③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,b B B 221=。
a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
(新课改省份专用)2020版高考数学一轮复习第八章解析几何第三节椭圆讲义(含解析)
第三节 椭圆突破点一 椭圆的定义和标准方程[基本知识]1．椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ＞0，c ＞0，且a ，c 为常数． (1)若a ＞c ，则集合P 为椭圆． (2)若a ＝c ，则集合P 为线段． (3)若a ＜c ，则集合P 为空集． 2．椭圆的标准方程(1)焦点在x 轴上的椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c 2＝a 2－b 2.(2)焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦点为F 1(0，－c )，F 2(0，c )，其中c 2＝a 2－b 2.[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)方程mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( )(3)y 2a 2＋x 2b2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× 二、填空题1．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是________．答案：4 32．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．答案：(－6，－2)∪(3，＋∞)3．已知椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点，则椭圆C 的标准方程为____________．答案：x 216＋y 212＝1[全析考法]考法一 椭圆的定义及应用[例1] (1)(2019·衡水调研)已知A (－1,0)，B 是圆F ：x 2－2x ＋y 2－11＝0(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为( )A.x 212＋y 211＝1 B.x 236－y 235＝1 C.x 23－y 22＝1 D.x 23＋y 22＝1 (2)(2019·齐齐哈尔八中模拟)如图，椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a ＞2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是椭圆上的一点，若∠F 1PF 2＝60°，那么△PF 1F 2的面积为( )A.233 B.332 C.334D.433[解析] (1)由题意得|PA |＝|PB |，∴|PA |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝r ＝23＞|AF |＝2， ∴点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆，且a ＝3，c ＝1，∴b ＝2， ∴动点P 的轨迹方程为x 23＋y 22＝1，故选D.(2)设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则cos 60°＝m 2＋n 2－2c22mn＝2a2－2mn －2c 22mn＝12，化简得，3mn ＝4(a 2－c 2)＝4b 2，∵b 2＝4，∴mn ＝163，∴S △PF 1F 2＝12mn sin 60°＝433.故选D.[答案] (1)D (2)D [方法技巧]椭圆焦点三角形中的常用结论以椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)和焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)为顶点的△PF 1F 2中，若∠F 1PF 2＝θ，则(1)|PF 1|＋|PF 2|＝2a .(2)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ.(3) S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ，当|y 0|＝b ，即P 为短轴端点时，S △PF 1F 2取最大值为bc .(4)焦点三角形的周长为2(a ＋c )． 考法二 椭圆的标准方程[例2] (1)如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( )A.x 225＋y 25＝1 B.x 230＋y 210＝1 C.x 236＋y 216＝1 D.x 245＋y 225＝1 (2)(2019·武汉调研)一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为____________．[解析] (1)设F ′为椭圆的右焦点，连接PF ′，在△POF 中，由余弦定理，得cos ∠POF ＝|OP |2＋|OF |2－|PF |22|OP |·|OF |＝35，则|PF ′|＝|OP |2＋|OF ′|2－2|OP |·|OF ′|cos π－∠POF ＝8，由椭圆定义，知2a ＝4＋8＝12，所以a ＝6，又c ＝25，所以b 2＝16.故椭圆C 的方程为x 236＋y 216＝1.(2)∵椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，∴可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∵P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，2a ＝4c ，又a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝22，b ＝6，c ＝2，∴椭圆方程为x 28＋y 26＝1.[答案] (1)C (2)x 28＋y 26＝1[方法技巧] 待定系数法求椭圆方程的思路[集训冲关]1.[考法二]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )A.x 236＋y 232＝1 B.x 29＋y 28＝1 C.x 29＋y 25＝1 D.x 216＋y 212＝1 解析：选B 由题意可得2c 2a ＝13，2a ＝6，解得a ＝3，c ＝1，则b ＝32－12＝8，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 28＝1.故选B.2.[考法一、二]已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆G 上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为( )A.x 236＋y 29＝1 B.x 29＋y 236＝1 C.x 24＋y 29＝1 D.x 29＋y 24＝1 解析：选A 依题意设椭圆G 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为12，∴2a ＝12，∴a ＝6，∵椭圆的离心率为32，∴e ＝ca ＝1－b 2a 2＝32，即1－b 236＝32，解得b 2＝9，∴椭圆G 的方程为x 236＋y 29＝1，故选A. 3.[考法一]P 为椭圆x 225＋y 29＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆的左焦点和右焦点，过P 点作PH ⊥F 1F 2于点H ，若PF 1⊥PF 2，则|PH |＝( )A.254B.83C．8 D.94解析：选D 由椭圆x225＋y29＝1得a2＝25，b2＝9，则c＝a2－b2＝25－9＝4，∴|F1F2|＝2c＝8.由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝82.∴2|PF1|·|PF2|＝(|PF1|＋|PF2|)2－(|PF1|2＋|PF2|2)＝100－64＝36，∴|PF1|·|PF2|＝18.又S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|＝12|F1F2|·|PH|，∴|PH|＝|PF1|·|PF2||F1F2|＝94.故选D.突破点二椭圆的几何性质[基本知识]标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0) 图形性质范围－a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：(0,0)顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 离心率e＝ca，且e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长等于a .( )(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a －c .( ) (3)椭圆的离心率e 越小，椭圆越圆．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 二、填空题1．若焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为12，则m 的值为________．答案：322．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________．答案：(0，±69)3．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过P (－5,4)，则椭圆的方程为________．答案：x 245＋y 236＝1[全析考法]考法一 椭圆的离心率椭圆的离心率是一个重要的基本量，在椭圆中有着极其特殊的作用，也是高考常考的知识点，主要考查两类问题：一是求椭圆的离心率；二是求椭圆离心率的取值范围．[例1] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23 B.12 C.13D.14(2)(2019·江西临川二中、新余四中联考)已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 上下两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e 的取值范围是( )A ．(0，2－1)B ．(2－1,1)C ．(0，3－1)D ．(3－1,1)[解析] (1)如图，作PB ⊥x 轴于点B .由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1.由∠F 1F 2P ＝120°，可得|PB |＝3，|BF 2|＝1，故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2，tan ∠PAB ＝|PB ||AB |＝3a ＋2＝36，解得a ＝4，所以e＝c a ＝14. (2)∵F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 上下两点，∴F 1(－c,0)，F 2(c,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a ，∵△ABF 2是锐角三角形，∴∠AF 2F 1＜45°，∴tan ∠AF 2F 1＜1，∴b 2a 2c＜1，整理得b 2＜2ac ，∴a 2－c 2＜2ac ，两边同时除以a 2，并整理，得e 2＋2e －1＞0，解得e ＞2－1或e ＜－2－1(舍去)，∵0＜e ＜1，∴椭圆的离心率e 的取值范围是(2－1,1)，故选B.[答案] (1)D (2)B [方法技巧]1．求椭圆离心率的3种方法(1)直接求出a ，c 来求解e .通过已知条件列方程组，解出a ，c 的值．(2)构造a ，c 的齐次式，解出e .由已知条件得出关于a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．[提醒] 在解关于离心率e 的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e ∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根．2．求椭圆离心率范围的2种方法 方法解读适合题型几何法利用椭圆的几何性质，设P (x 0，y 0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)上一点，则|x 0|≤a ，a －c ≤|PF 1|≤a ＋c 等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系题设条件有明显的几何关系 直接法 根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接题设条件直接有转化为含有a ，b ，c 的不等关系式不等关系考法二 与椭圆性质有关的最值范围问题[例2] (1)(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0， 3 ]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0， 3 ]∪[4，＋∞)(2)(2019·合肥质检)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF ―→·PA ―→的最大值为________．[解析] (1)当0＜m ＜3时，焦点在x 轴上， 要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan 60°＝3，即3m≥3，解得0＜m ≤1.当m ＞3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan 60°＝3，即m3≥3，解得m ≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． (2)由题意知a ＝2，因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3. 故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.设P 点坐标为(x 0，y 0)．所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3. 因为F (－1,0)，A (2,0)，PF ―→＝(－1－x 0，－y 0)，PA ―→＝(2－x 0，－y 0)， 所以PF ―→·PA ―→＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2.则当x 0＝－2时，PF ―→·PA ―→取得最大值4. [答案] (1)A (2)4 [方法技巧]与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围． (2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围． (3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围． (4)利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围．[提醒] 求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系．[集训冲关]1.[考法一]已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为M ，上顶点为N ，右焦点为F ，若NM ―→·NF ―→＝0，则椭圆的离心率为( )A.32B.2－12 C.3－12D.5－12解析：选D 由题意知，M (－a,0)，N (0，b )，F (c,0)，∴NM ―→＝(－a ，－b )，NF ―→＝(c ，－b )．∵NM ―→·NF ―→＝0，∴－ac ＋b 2＝0，即b 2＝ac .又b 2＝a 2－c 2，∴a 2－c 2＝ac .∴e 2＋e －1＝0，解得e ＝5－12或e ＝－5－12(舍去)．∴椭圆的离心率为5－12，故选D. 2.[考法一]如图，F 1，F 2是双曲线C 1：x 2－y 28＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限内的交点，若|F 1F 2|＝|F 1A |，则C 2的离心率是( )A.23B.45C.35D.25解析：选C 设椭圆的长半轴长为a .由题意可知，|F 1F 2|＝|F 1A |＝6，∵|F 1A |－|F 2A |＝2，∴|F 2A |＝4，∴|F 1A |＋|F 2A |＝10，∴2a ＝10，∴C 2的离心率是610＝35.故选C.3.[考法二]已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P (x 0，y 0)满足0＜x 202＋y 20＜1，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．解析：由点P (x 0，y 0)满足0＜x 202＋y 20＜1，可知P (x 0，y 0)一定在椭圆内(不包括原点)，因为a ＝2，b ＝1，所以由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＜2a ＝22，当P (x 0，y 0)与F 1或F 2重合时，|PF 1|＋|PF 2|＝2，又|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|＝2，故|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是[2,22)．答案：[2,22)。
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第三节 椭圆突破点一 椭圆的定义和标准方程[基本知识]1．椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ＞0，c ＞0，且a ，c 为常数． (1)若a ＞c ，则集合P 为椭圆． (2)若a ＝c ，则集合P 为线段． (3)若a ＜c ，则集合P 为空集． 2．椭圆的标准方程(1)焦点在x 轴上的椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c 2＝a 2－b 2.(2)焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦点为F 1(0，－c )，F 2(0，c )，其中c 2＝a 2－b 2.[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)方程mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( )(3)y 2a 2＋x 2b2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× 二、填空题1．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是________．答案：4 32．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．答案：(－6，－2)∪(3，＋∞)3．已知椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点，则椭圆C 的标准方程为____________．答案：x 216＋y 212＝1[全析考法]考法一 椭圆的定义及应用[例1] (1)(2019·衡水调研)已知A (－1,0)，B 是圆F ：x 2－2x ＋y 2－11＝0(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为( )A.x 212＋y 211＝1 B.x 236－y 235＝1 C.x 23－y 22＝1 D.x 23＋y 22＝1 (2)(2019·齐齐哈尔八中模拟)如图，椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a ＞2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是椭圆上的一点，若∠F 1PF 2＝60°，那么△PF 1F 2的面积为( )A.233 B.332 C.334D.433[解析] (1)由题意得|PA |＝|PB |，∴|PA |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝r ＝23＞|AF |＝2， ∴点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆，且a ＝3，c ＝1，∴b ＝2， ∴动点P 的轨迹方程为x 23＋y 22＝1，故选D.(2)设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则cos 60°＝m 2＋n 2－c22mn＝a2－2mn －c22mn＝12，化简得，3mn ＝4(a 2－c 2)＝4b 2，∵b 2＝4，∴mn ＝163，∴S △PF 1F 2＝12mn sin 60°＝433.故选D.[答案] (1)D (2)D [方法技巧]椭圆焦点三角形中的常用结论以椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)和焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)为顶点的△PF 1F 2中，若∠F 1PF 2＝θ，则(1)|PF 1|＋|PF 2|＝2a .(2)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ.(3) S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ，当|y 0|＝b ，即P 为短轴端点时，S △PF 1F 2取最大值为bc .(4)焦点三角形的周长为2(a ＋c )．考法二 椭圆的标准方程[例2] (1)如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( )A.x 225＋y 25＝1 B.x 230＋y 210＝1 C.x 236＋y 216＝1 D.x 245＋y 225＝1 (2)(2019·武汉调研)一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为____________．[解析] (1)设F ′为椭圆的右焦点，连接PF ′，在△POF 中，由余弦定理，得cos ∠POF ＝|OP |2＋|OF |2－|PF |22|OP |·|OF |＝35，则|PF ′|＝|OP |2＋|OF ′|2－2|OP |·|OF π－∠POF ＝8，由椭圆定义，知2a ＝4＋8＝12，所以a ＝6，又c ＝25，所以b 2＝16.故椭圆C 的方程为x 236＋y 216＝1.(2)∵椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，∴可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∵P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，2a ＝4c ，又a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝22，b ＝6，c ＝2，∴椭圆方程为x 28＋y 26＝1.[答案] (1)C (2)x 28＋y 26＝1[方法技巧] 待定系数法求椭圆方程的思路[集训冲关]1.[考法二]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )A.x 236＋y 232＝1 B.x 29＋y 28＝1 C.x 29＋y 25＝1 D.x 216＋y 212＝1 解析：选B 由题意可得2c 2a ＝13，2a ＝6，解得a ＝3，c ＝1，则b ＝32－12＝8，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 28＝1.故选B.2.[考法一、二]已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆G 上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为( )A.x 236＋y 29＝1 B.x 29＋y 236＝1 C.x 24＋y 29＝1 D.x 29＋y 24＝1 解析：选A 依题意设椭圆G 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为12，∴2a ＝12，∴a ＝6，∵椭圆的离心率为32，∴e ＝ca ＝1－b 2a 2＝32，即1－b 236＝32，解得b 2＝9，∴椭圆G 的方程为x 236＋y 29＝1，故选A. 3.[考法一]P 为椭圆x 225＋y 29＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆的左焦点和右焦点，过P 点作PH ⊥F 1F 2于点H ，若PF 1⊥PF 2，则|PH |＝( )A.254 B.83 C ．8D.94解析：选D 由椭圆x 225＋y 29＝1得a 2＝25，b 2＝9，则c ＝a 2－b 2＝25－9＝4， ∴|F 1F 2|＝2c ＝8.由椭圆的定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10， ∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝82. ∴2|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－(|PF 1|2＋|PF 2|2) ＝100－64＝36， ∴|PF 1|·|PF 2|＝18.又S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12|F 1F 2|·|PH |，∴|PH |＝|PF 1|·|PF 2||F 1F 2|＝94.故选D.突破点二 椭圆的几何性质[基本知识]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长等于a .( )(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a －c .( ) (3)椭圆的离心率e 越小，椭圆越圆．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 二、填空题1．若焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为12，则m 的值为________．答案：322．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________．答案：(0，±69)3．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过P (－5,4)，则椭圆的方程为________．答案：x 245＋y 236＝1[全析考法]考法一 椭圆的离心率椭圆的离心率是一个重要的基本量，在椭圆中有着极其特殊的作用，也是高考常考的知识点，主要考查两类问题：一是求椭圆的离心率；二是求椭圆离心率的取值范围．[例1] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23 B.12 C.13D.14(2)(2019·江西临川二中、新余四中联考)已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 上下两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e 的取值范围是( )A ．(0，2－1)B ．(2－1,1)C ．(0，3－1)D ．(3－1,1)[解析] (1)如图，作PB ⊥x 轴于点B .由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1.由∠F 1F 2P ＝120°，可得|PB |＝3，|BF 2|＝1，故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2，tan ∠PAB ＝|PB ||AB |＝3a ＋2＝36，解得a ＝4，所以e ＝c a ＝14. (2)∵F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 上下两点，∴F 1(－c,0)，F 2(c,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a ，∵△ABF 2是锐角三角形，∴∠AF 2F 1＜45°，∴tan ∠AF 2F 1＜1，∴b 2a 2c＜1，整理得b 2＜2ac ，∴a 2－c 2＜2ac ，两边同时除以a 2，并整理，得e 2＋2e －1＞0，解得e ＞2－1或e ＜－2－1(舍去)，∵0＜e ＜1，∴椭圆的离心率e 的取值范围是(2－1,1)，故选B.[答案] (1)D (2)B [方法技巧]1．求椭圆离心率的3种方法(1)直接求出a ，c 来求解e .通过已知条件列方程组，解出a ，c 的值．(2)构造a ，c 的齐次式，解出e .由已知条件得出关于a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．[提醒] 在解关于离心率e 的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e ∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根．2．求椭圆离心率范围的2种方法考法二 与椭圆性质有关的最值范围问题[例2] (1)(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0， 3 ]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0， 3 ]∪[4，＋∞)(2)(2019·合肥质检)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF ―→·PA ―→的最大值为________．[解析] (1)当0＜m ＜3时，焦点在x 轴上， 要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan 60°＝3，即3m≥3，解得0＜m ≤1.当m ＞3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan 60°＝3，即m3≥3，解得m ≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． (2)由题意知a ＝2，因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3. 故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.设P 点坐标为(x 0，y 0)．所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3. 因为F (－1,0)，A (2,0)，PF ―→＝(－1－x 0，－y 0)，PA ―→＝(2－x 0，－y 0)， 所以PF ―→·PA ―→＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2.则当x 0＝－2时，PF ―→·PA ―→取得最大值4. [答案] (1)A (2)4[方法技巧]与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围． (2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围． (3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围． (4)利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围．[提醒] 求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系．[集训冲关]1.[考法一]已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为M ，上顶点为N ，右焦点为F ，若NM ―→·NF ―→＝0，则椭圆的离心率为( )A.32B.2－12 C.3－12D.5－12解析：选D 由题意知，M (－a,0)，N (0，b )，F (c,0)，∴NM ―→＝(－a ，－b )，NF ―→＝(c ，－b )．∵NM ―→·NF ―→＝0，∴－ac ＋b 2＝0，即b 2＝ac .又b 2＝a 2－c 2，∴a 2－c 2＝ac .∴e 2＋e －1＝0，解得e ＝5－12或e ＝－5－12(舍去)．∴椭圆的离心率为5－12，故选D. 2.[考法一]如图，F 1，F 2是双曲线C 1：x 2－y 28＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限内的交点，若|F 1F 2|＝|F 1A |，则C 2的离心率是( )A.23B.45C.35D.25解析：选C 设椭圆的长半轴长为a .由题意可知，|F 1F 2|＝|F 1A |＝6，∵|F 1A |－|F 2A |＝2，∴|F 2A |＝4，∴|F 1A |＋|F 2A |＝10，∴2a ＝10，∴C 2的离心率是610＝35.故选C.3.[考法二]已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P (x 0，y 0)满足0＜x 202＋y 20＜1，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．解析：由点P (x 0，y 0)满足0＜x 202＋y 20＜1，可知P (x 0，y 0)一定在椭圆内(不包括原点)，因为a＝2，b＝1，所以由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＜2a＝22，当P(x0，y0)与F1或F2重合时，|PF1|＋|PF2|＝2，又|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|＝2，故|PF1|＋|PF2|的取值范围是[2,22)．答案：[2,22)。