旋转框架下Navier-Stokes方程的殆周期解
Navier-Stokes方程的解
常数
有 积分，得
d
du dy
1
dp dx
dy
du dy
1
dp dx
y
C1
u
1
2
dp dx
y2
C1 y
C2
6.1.1 Couette (库埃特)剪切流
由边界条件y＝0，u＝0，得C2＝0 y＝h，C1 u＝uh U，21 得ddpx h
因此
6.1 平行流动
不可压缩流体的平行流动是最简单的一
类流动，它只有一个不为零的速度分量，所有流
体质点都沿同一个方向运动。在直角坐标系中，
如果把流体运动方向取作x轴，那么，由连续性方
程得
ux 0 x
即：运动速度u与坐标轴x无关，
ux u u( y, z,t)
uy 0 uz 0
6.1 平行流动
uy
u z y
uz
u z z
1
p z
2uz x 2
2uz y 2
2uz z 2
得到
p p 0 y z
6.1 平行流动
可见，压强与坐标轴y、z无关，只是坐 标轴x的函数
dp p dx x
将上述式子代入N-S方程的x方向项，得
6 Navier-Stokes方程的解
Navier-Stokes 方 程 的 精 确 解 仅 限 于层流问题，湍流问题不可能有精确解。
6.1 平行流动
（一）、定常流动
1、平行直线流动
两平行平板间流动 （1）Couette流动，运动平板通过粘性拖曳 （2）Poiseuille流动，压力梯度推动 充分发展的管道流动 （1）圆管（Hagen-Poiseuille流） （2）椭圆管、矩形管、同心环空、偏心环空 2、平行圆周流动 两同轴旋转圆柱体间流动 （二）、非定常流动（两平行平板间，平行直线流动） 1、底部平板突然起动——突然起动平板STOKES第一问题 2、底部平板简谐振动——振动平板STOKES第二问题
关于定常navier-stokes方程非协调有限元三种迭代方法的研究
第 37 卷 暋 第 6 期 暋 暋 暋 暋 暋 暋 暋 暋 暋 暋 暋 暋 暋 暋 暋 陕 西 科 技 大 学 学 报 暋 暋 暋 暋 暋 暋 暋 暋 暋 暋 暋Vol.37 No.6
navierstokes方程的三种迭代法
navierstokes方程的三种迭代法
Navier-Stokes方程是描述流体运动的基本方程，其解法通常涉及到数值计算。
以下是三种常见的迭代法：
有限差分法（Finite Difference Method）：
有限差分法是一种直接求解Navier-Stokes方程的方法。
它通过将连续的时间和空间离散化，将偏微分方程转化为差分方程，然后通过迭代求解这些差分方程来逼近原方程的解。
这种方法简单直观，但可能对初值敏感，且在处理复杂边界条件时可能遇到困难。
有限元法（Finite Element Method）：
有限元法是一种基于变分原理的数值方法。
它将连续的流体域离散为有限个小的子域（或称为“元”），然后在这些子域上定义近似函数。
通过最小化近似函数与真实解之间的误差，可以得到原方程的近似解。
这种方法能够处理复杂的边界条件，且对初值不敏感，但计算量较大。
有限体积法（Finite Volume Method）：
有限体积法是一种介于有限差分法和有限元法之间的方法。
它将流体域划分为一系列控制体积，并在每个控制体积上定义离散的数值格式。
通过求解这些离散方程，可以
得到原方程的近似解。
这种方法在处理复杂边界条件和流场变化时具有较好的适应性，且计算效率较高。
以上三种迭代法各有优缺点，可以根据具体问题选择适合的方法进行求解。
navier-stokes方程数学基础
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纳维-斯托克斯方程(Navier-Stokes equations)
纳维-斯托克斯方程(Navier-Stokes equations)名称由来Navier-Stokes equations描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。
简称N-S方程。
因1821年由C.-L.-M.-H.纳维和1845年由G.G.斯托克斯分别导出而得名。
该方程是可压缩流体的N-S方程。
其中，Δ是拉普拉斯算子；ρ是流体密度；pN-S方程意义后人在此基础上又导出适用于可压缩流体的N-S方程。
N-S方程反映了粘性流体（又称真实流体）流动的基本力学规律，在流体力学中有十分重要的意义。
它是一个非线性偏微分方程，求解非常困难和复杂，目前只有在某些十分简单的流动问题上能求得精确解；但在有些情况下，可以简化方程而得到近似解。
例如当雷诺数Re1时，绕流物体边界层外，粘性力远小于惯性力，方程中粘性项可以忽略，N-S方程简化为理想流动中的欧拉方程（=－Ñp+ρF）；而在边界层内，N-S方程又可简化为边界层方程，等等。
在计算机问世和迅速发展以后，N-S方程的数值求解才有了很大的发展。
基本假设在解释纳维-斯托克斯方程的细节之前，首先，必须对流体作几个假设。
第一个是流体是连续的。
这强调它不包含形成内部的空隙，例如，溶解的气体的气泡，而且它不包含雾状粒子的聚合。
另一个必要的假设是所有涉及到的场，全部是可微的，例如压强P，速度v，密度，温度Q，等等。
该方程从质量，动量，和能量的守恒的基本原理导出。
对此，有时必须考虑一个有限的任意体积，称为控制体积，在其上这些原理很容易应用。
该有限体积记为\Omega，而其表面记为\partial\Omega。
该控制体积可以在空间中固定，也可能随着流体运动。
纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations），以克劳德-路易·纳维(Claude-Louis Navier)和乔治·盖伯利尔·斯托克斯命名，是一组描述象液体和空气这样的流体物质的方程。
纳维-斯托克斯方程(N-S方程)详细推导
vz x
vx z
本构方程和NS方程
本构方程的讨论：
正应力与线变形速率：
线变形率与流体流动：
正应力中的粘性应力：
粘性流体动力学基础
流体正应力与三个速度偏导数有关 (即:线变形率)，同固体力学中的虎 克定律。
从流体流动角度看，线变形率的正负 反映了流体的流动是加速还是减速； 体变形率的正负反映了流动过程中流 体体积是增加还是减少。
dxdydzdt
t
dxdydzdt
或：
(vx ) (vy ) (vz ) 0
t x
y
z
连续性方程
矢量形式： () 0
t
（适用于层流、湍流、 牛顿、非牛顿流体）
连续方程物理意义：流体在单位时间内流经单位体积空间输 出与输入的质量差与其内部质量变化的代数和为零。
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
动量在微元体表面的输入与输出
图中标注的是动量的输入或 输出方向，而动量或其通量 本身的方向均指向x方向，即 分速度vx的方向。
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
输入输出微元体的动量流量
x方向：
(
2 x
x
)
( y x
y
)
( z x
z
)
dxdydz
y方向：
( x y
x
)
( y 2
y
)
( z y
z
)
dxdydz
z方向：
( x z
x
)
(
y z
y
)
(
z
z
2
)
dxdydz
微元体内的动量变化率
流体的瞬时质量为 dxdydz
一个方程的故事——纳维-斯托克斯方程（Navier-StokesEquations）
一个方程的故事——纳维-斯托克斯方程（Navier-StokesEquations）流体力学（Fluid Mechanics）有着非常漫长的历史，最古老的涉及流体力学的人物可能就是古希腊的阿基米德了（Archimedes），大家都知道的阿基米德浮力定理，当时阿基米德在羊皮纸上用希腊语写了论浮力（On Floating Bodies）的文章并流传至今。
但是在很长时间里流体力学并不被当作一门独立的学科，直到1687年牛顿（Isaac Newton）在其划时代的巨著《自然哲学的数学原理》（Philosophiae Naturalis Principia Mathematica）之后流体力学才真正走上历史舞台。
在书中除了著名的牛顿三大定理以外，牛顿还提到流体力学相关的内容，他写到：对于平直的均匀流体，流体层与层之间的剪应力正比于垂直流体方向上的速度梯度。
阿基米德的手稿牛顿的《自然哲学的数学原理》除了阿基米德和牛顿以外，在流体力学的发展历程中，做出贡献的人物可以说是阵容豪华，比如非粘性流体（Inviscid flow）数学分析涉及的人物有欧拉（Leonhard Euler）, 达朗贝尔（Jean le Rond d'Alembert），拉格朗日（Joseph Louis Lagrange）, 拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）, 泊松（Siméon Denis Poisson）；非粘性流体的数学分析涉及的人物有高斯（Guass），泊松，圣维南（Saint-Venant）等等，其它在流体力学中涉及湍流/紊流，粘性/非粘性的推动者有雷诺（Osborne Reynolds），泰勒（Geoffrey Ingram Taylor）等等。
而对这些理论归纳整理的两位科学家就是纳维尔（Claude-Louis Navier）和斯托克斯（George Gabriel Stokes），当今有名的纳维尔-斯托克斯方程组(Navier-Stokes Equations)就是以他们俩的名字命名的，也是今天要讲的主题。
不可缩球绕流的navier—stokes方程的解
不可缩球绕流的navier—stokes方程的解不可缩球绕流是指流体中存在着不可忽略的旋转流动，这种流动的动力学规律可以用 Navier-Stokes 方程来描述。
Navier-Stokes方程是流体动力学的基本方程之一，是由法国数学家 Claude-Louis Navier 和英国数学家 George Gabriel Stokes 于 19世纪末提出的。
Navier-Stokes方程描述了流体的运动规律，包括流体的压强、密度和流速的变化，以及流体内部的热传递和外部的力学作用。
Navier-Stokes 方程的一般形式为：∂u/∂t + (u ∙ ∇)u = -∇P + ν∆u + f其中，u 是流体的速度场，t 是时间，P 是流体的压强，ν是流体的粘性系数，f 是流体内部和外部施加的力的密度。
解决 Navier-Stokes方程的方法有很多，常见的有数值求解方法和解析解方法。
数值求解方法是指使用数值计算的方法来求解 Navier-Stokes方程，常见的有有限差分法和有限元法。
解析解方法是指对 Navier-Stokes 方程进行数学分析，求得其解析解的方法。
不过，要解决 Navier-Stokes方程并不是一件容易的事情，由于方程的复杂性和非线性性，很多情况很多情况下无法得到 Navier-Stokes方程的解析解。
例如，目前为止还没有人能够证明 Navier-Stokes方程在一般情况下都有唯一的解析解，也就是说，在某些情况下可能存在多组解析解，或者根本无解析解。
因此，解决 Navier-Stokes方程的常见方法是使用数值求解方法。
有限差分法是一种常用的数值求解方法，它通过在网格上求解微分方程来近似解决 Navier-Stokes 方程。
有限元法是另一种常用的数值求解方法，它通过对流体的运动范围进行划分，在每个区域内求解方程来近似解决 Navier-Stokes方程。
数值求解方法能够在一定程度上解决 Navier-Stokes方程的解，但是由于求解的近似性，精度不如解析解方法。
第八讲不可压缩的NavierStokes方程的解法
不可压缩Navier-Stokes方程的数值方法不可压缩Navier-Stokes方程的特点人工压缩性方法（求解定常方程）投影法涡量-流函数方法（二维问题）SIMPLE方法的连续性方程，得到2uu u ±=±迎风差分，建议采用高阶的)''(,,1j i j i p p −+α带入离散的连续性方程：/)(/)(12/1,12/1,1,2/11,2/1=Δ−+Δ−+−+++−++y v v x u u n j i n j i n j i n j i )''(,,1*,2/11,2/1j i j i j i n j i p p u u −+=++++α)''(,1,*2/1,12/1,j i j i j i n j i p p v v −+=−+++β得到离散的压力Poisson 方程：)5(ˆ'''''1,41,3,12,11,cp c p c p c p c p j i j i j i j i j i ++++=−+−+求解后，得到压力修正值：ji p ,'（4）带入（4）时得到n+1时刻的速度具体步骤：1）已知n 时刻的速度、压力2）预估压力（可取为n 时刻的压力）3）带入（1）（2）式，解出（隐格式，需迭代求解）4）求解压力的修正方程（5）得到修正压力5）带入（4）式，得到n+1时刻的速度及压力6）推进求解直到给定时刻（或收敛）*p **,v u 如该步改用显格式，则为（离散型）投影法'*1p p p n +=+楼群的三维视图来流的速度分布假定速度在10m 高处的大小为,其余高度的分布则采用风廓线分布：其中Z 是距离地面的高度，是地面粗糙系数，我们在模拟的过程中取它为0.28.10U 10(/10)U U Z α=α算例1. 北风s mU/310=5m高的速度分布15m高的速度分布35m高的速度分布70m高的速度分布80m高的速度分布5m高的流线示意图南北向截面流线示意图近壁面压力分布汽车的表面三角网格模拟来流：正前方u=20m/s（72km/h）汽车基本参数：总宽：900mm总长：2600mm总高：600mm车轮半径：180mm车轮厚度：120mm顶层长度, 宽度：800mm, 620mm流速分布图：低于21m/s的截面图流速分布图：y=0m二维流线：y=0m三维速度面，u=14m/s压力分布图。
navier stokes方程
navier stokes方程Navier-Stokes方程是运动学领域中最重要的基本方程。
它描述了任意流体在任意流动状况下动量储存及其变化。
这个方程式于1800年代中期由法国几何家和物理学家纳认·斯特拉自斯申请，所以又称为Navier-Stokes方程。
该方程常用于模拟动量输运、平流及复杂流动等流体力学现象。
Navier-Stokes方程表示流体动量的储存和变化，生成的方程的核心方程如下，其中，$\rho$为密度，u是流体速度；ρσ是粘滞力；DU/Dt表示动量微分修正系数：$$\rho \frac{D\mathbf{u}}{D t}=-\nabla p+\nabla \cdot \tau +\rho\mathbf{g}$$其中，g表示重力加速度向量，p为压强，τ为粘性应力矩阵。
Navier-Stokes方程可以简化为一些特殊的情形，如非流动的流体，它的方程可以表示为：$$\frac{\partial \bm{u}}{\partial t}=-\frac{1}{\rho}\nabla p$$对于不同的流动条件，Navier-Stokes方程需要得到补充的约束条件，故其可以描述的流体动量的储存和变化的范围更加广泛。
Navier-Stokes方程很多具体应用，可以用来预报一些气象现象以及海陆河流模拟，如上述例子中所提到的地表水流情况。
由这一方程，可以研究一系列流体动力学现象，决定气体、液体环路流动的样式、特征以及变化趋势，以及流体介质内不同细节的演变特性。
Navier-Stokes方程是一个很重要的物理力学方程，它解释了流体中所有运动学现象的基础，其应用在现代工程中极为重要，尤其是在涉及气象、海洋流体力学以及机械控制等方面，对学术界、实际应用有着深远的影响。
navierstokes 方程
navierstokes 方程Navier-Stokes方程是描述流体运动的基本方程之一，它由法国物理学家Navier和英国物理学家Stokes在19世纪提出。
Navier-Stokes方程是由质量守恒、动量守恒和能量守恒三个方程组成的，它们分别描述了流体的质量守恒、动量守恒和能量守恒。
在Navier-Stokes方程中，质量守恒方程描述了流体质量的守恒，即流体在运动过程中质量的增减关系。
动量守恒方程描述了流体运动过程中动量的守恒，即流体在受力作用下的运动规律。
能量守恒方程描述了流体运动过程中能量的守恒，即流体在运动过程中能量的转化和传递。
Navier-Stokes方程是非线性偏微分方程，其求解对于理解和预测流体运动的行为具有重要意义。
然而，由于其复杂性和非线性特点，Navier-Stokes方程的求解一直是一个困难且具有挑战性的问题。
尽管Navier-Stokes方程的解析解很难求得，但通过数值方法和计算机模拟，可以近似求解Navier-Stokes方程，从而得到流体运动的数值解。
这种数值求解方法在工程领域和科学研究中得到了广泛应用，例如在航空航天、汽车工程、石油工程等领域。
Navier-Stokes方程的研究不仅仅局限于流体力学领域，它还与其他科学领域有着密切的联系。
例如，在天气预报和气候模拟中，Navier-Stokes方程被用来描述大气和海洋的运动规律。
在生物学中，Navier-Stokes方程也可以用来描述生物体内液体的流动和输运过程。
然而，Navier-Stokes方程的求解仍然存在许多未解之谜。
其中一个著名的问题是Navier-Stokes方程的解的存在性和光滑性问题，即在一定条件下，是否存在唯一的解以及解的光滑性如何。
这个问题至今仍未完全解决，是数学界的一个重要问题之一。
Navier-Stokes方程是描述流体运动的基本方程之一，它对于理解和预测流体运动的行为具有重要意义。
虽然Navier-Stokes方程的求解仍然存在许多困难和挑战，但通过数值方法和计算机模拟，我们可以近似求解Navier-Stokes方程，从而得到流体运动的数值解。
高速旋转流场中的网格效应
0引言,,(CFD)[1],、。
,,CFD ,CFD ,,。
CFD ,[4]。
,。
,,,。
,,。
,。
,,、,、,。
,,[2],。
1计算域模型与网格划分,1。
r a =0.06m、h =0.01m。
图1流场计算域模型高速旋转流场中的网格效应盛誉路昕凌乃阳周陈龙(核工业理化工程研究院,天津300180)【摘要】CFD 求解流场的过程中,网格分布会直接影响数值计算的精度。
采用有限体积法,求解柱坐标系下的Navier-Stokes 方程,对雷诺数达到106量级的高速旋转流场进行了数值研究。
针对不同网格尺度的流场计算结果,采用数值分析、理论、实验相结合的方法进行对比,研究表明,近壁面网格的法向尺度达到10-7时,计算结果最接近实际流动状态,气体的旋转速度和气体压力在径向上分别接近线性分布和指数分布,转子壁面功耗最接近实验值。
因此,在高雷诺数的流场计算时,应根据实际流动条件来选择合适的近壁面网格尺度。
【关键词】CFD ;高速旋转流场;网格尺度中图分类号:TP39;O35文献标识码:ADOI:10.19694/ki.issn2095-2457.2021.21.41【Abstract 】Mesh distribution has a direct influence on accuracy of numerical computation in CFD.The FVMmethod is adopted to solve the Navier-Stokes equation of cylindrical coordinate.The high-speed rotational flow-field whose Reynolds number reaches to 106is numerically studied.In order to compare the results of different mesh scales,the methods of numerical analysis,theory and experiment are used.The result has the most similarity to the real flow performance of gas if the normal mesh scale reaches to 10-7.Under this condition,the rotational speed hasa liner distribution and the pressure has an exponential distribution radically basically.The power dissipation of the wall has the most similarity to the experiment.The suitable mesh scale should be chosen according to the practical flow condition during the high Reynolds number flow-field study.【Key words 】CFD;High-speed rotational flow-field;Meshscale. All Rights Reserved.,,23,,、,,。
黏性流体动量平衡方程纳维斯托克斯方程(NavierStokes-最全资料PPT
2.3黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
⒍ 动量平衡方程的讨论
v x v x v x x v y v y x v z v z x 2 x v 2 x 2 y v 2 x 2 z v 2 x P x g x
动量蓄积量 对流动量
黏性动量
压重 力力
（1）方程的物理意义：运动的流体能量守恒的表现
动量形式 作用力形式
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
全微分 vv(,x,y,z) d v vd x vd x y vd y v zd z
d dv v x vvx y vvy v zvz
以vx为准：动量通量
vxvx A
vxvx
(vxvx)dx
x
B
动量通量收支差量
(vxvx ) dx
x
xx
x方向的速度、x方向的动量通量
2.3黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
对流动量收支差量为
(vxvx)dxdydz
x
xx
同理，以vx为准，y方向、z方向的对流动量收支差量： (vyvx)dxdydz
a v x vvx y vvy v zvz
ax vx v x xvx v y xvy v z xvz
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
a x 2 x v 2 x 2 y v 2 x 2 z v 2 x P xg x
x方向的总压力为 dxdydz 将以上式子代入下式，整理得：N-S方程
7.3_Navier-Stokes方程的解
(5) (6) (7)
根据待求方程组的边界条件，有
f1 (r0 ) = 0， f 2 (r0 ) = 0 f1 (∞ ) = U 0， f 2 (∞ ) = U 0， f 3 (∞ ) = 0
(8)
7.6.1 Stokes流动 流动
由连续方程(5)，得
1 r f 1′(r ) + f1 (r ) 2 1 3 f 2′(r ) = r f 1′′ (r ) + f1′(r ) 2 2 1 ′′ (r ) = r f1′′′(r ) + 2 f 1′′ (r ) f2 2 f 2 (r ) =
u r = f1 (r ) cos θ (4) u θ = − f 2 (r )sin θ p = µ f (r ) cos θ + p 3 0 将此形式的解代入方程组，先求出f1(r)、f2(r)及 f3(r)，再获得ur(r,θ)、uθ(r,θ)及p(r,θ)的具体表达式。
7.6.1 Stokes流动 流动
1 2 µ f 3′(r ) cos θ = µ f 1′′ (r ) cos θ − 2 f 1 (r ) cos θ + f 1′(r ) cos θ r r ctgθ 2 2 2ctgθ − 2 f 1 (r )sin θ + 2 f 2 (r ) cos θ − 2 f 1 (r ) cos θ + f 2 (r )sin θ r r r r2
−
µ
r
f 3 (r )sin θ = µ [− f 2′′ (r )sin θ +
1 2 f 2 (r ) sin θ − f 2′(r )sin θ r r2 ctgθ 2 1 − 2 f 2 (r ) cos θ − 2 f 1 (r )sin θ + 2 f 2 (r )sin θ r r r sin 2 θ
Navier-Stokes方程mild解的正则性
Navier-Stokes方程mild解的正则性
Navier-Stokes方程是流体力学中描述粘性牛顿流体的方程,对于解决实际问题有十分重要的意义。
粘性牛顿流体的运动规律,可以通过Navvier-Stokes 方程的解,来进行解释和预言。
但是由于Navier-Stokes方程的非线性性,我们通常研究Navier-Stokes方程在分布意义下的解,即弱解,如果弱解有足够的光滑性,则该弱解为问题的经典解。
而带有科氏力的Navier-Stokes方程描述的是旋转体系中流体的运动。
在旋转的的地球上,相对于地球运动的物体会受到另外一种惯性力的作用,称之为科氏力。
引入科氏力之后,可以像处理惯性系中的运动方程一样简单地处理旋转体系中的运动方程。
本文研究了旋转框架下的Navier-Stokes方程在三维区域上的时间周期mild解的正则性问题,即当外力属于空间Bc(R；Bp,2-s(R3))∩ BC(R；L1(R3))时,带有科氏力的Navier-Stokes方程在BC(R；Lσγ(R3))∩ BC(R；W1,q(R3))中的时间周期mild解的正则性。
高等工程流体力学-纳维—斯托克斯方程的解
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
29
第六节 沿有吹吸作用的壁面上的流动
一、沿均匀抽吸的平面上的定常流动
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
第六节 沿有吹吸作用的壁面上的流动
一、沿均匀抽吸的平面上的定常流动 如图3-16所示，流体以速度U平行流过一
无限长的多孔平壁面，由于流体黏性的作用， 在近壁面区域形成了较大速度梯度的薄层。
由实验数据拟合所得的经验公式如下
此式的C误D 差 在R24e± 110%6 R之e 间 0。.4,
0 Re 2 105
（3-34a）
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
21
第四节 低雷诺数流动
二、滑动轴承内的流动 （略）
（参见吴望一书§9.11）
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
第五节 楔形区域的流动
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
3
第三节 平行非定常流动
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
4
第三节 平行非定常流动
得其运动方程为
vx 2vx
t
y 2
（3-20）
， 定解条件为 作无量纲变换
t 0, y 0 : vx 0
t 0, y 0 :
vx
U0
（3-21）
y : vx =0
y ， 2 t
第三章 纳维—斯托克斯方程的解
2
第三节 平行非定常流动
一、突然加速平板引起的流动 设有一无限长、无限宽的平板，平板上
部充满黏性不可压缩流体。平板在某一时刻 突然由静止启动，并沿其自身平面加速至某 一固定速度U0，从而带动其周围原来静止的 流体流动。该问题为斯托克斯第一问题，由 斯托克斯解得，取直角坐标系，如图3-6所示。
纳维-斯托克斯方程
纳维-斯托克斯方程
纳维-斯托克斯方程：
纳维-斯托克斯方程（英文名：Navier-Stokes equations），描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。
简称N-S方程。
粘性流体的运动方程首先由纳维在1827年提出，只考虑了不可压缩流体的流动。
泊松在1831年提出可压缩流体的运动方程。
圣维南与斯托克斯在1845年独立提出粘性系数为一常数的形式，都称为Navier-Stokes方程，简称N-S方程。
三维空间中的N-S方程组光滑解的存在性问题被美国克雷数学研究所设定为七个千禧年大奖难题之一。
注意：
纳维-斯托克斯方程是流体流动建模的核心。
在特定的边界条件（如入口、出口和壁）下求解这些方程，可以预测给定几何体中的流体速度和压力。
由于这些方程本身的复杂性，我们只能得到非常有限的解析解。
例如，对于两个平行板之间的流动或圆管内的流动，方程的求解会相对容易一些；但对于更为复杂的几何结构，求解方程会非常困难。
纳威厄—斯托克斯方程
纳维-斯托克斯方程中文名称：纳维-斯托克斯方程英文名称：Navier Stoke s equati on定义：表达黏性流体运动的动量方程。
所属学科：航空科技(一级学科) ；飞行原理(二级学科)什么是纳维-斯托克斯方程名称由来Navier-Stokes equati ons描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。
简称N-S方程。
因1821年由C.-L.-M.-H.纳维和1845年由G.G.斯托克斯分别导出而得名。
方程含义该方程是可压缩流体的N-S方程。
其中，Δ是拉普拉斯算子；ρ是流体密度；p是压力；u，v，w是流体在t时刻，在点（x，y，z）处的速度分量。
X，Y，Z是外力的分量；常数μ依赖于流体的性质，叫做粘性系数。
对于不可压缩流体，θ=0。
N-S方程N-S方程意义后人在此基础上又导出适用于可压缩流体的N-S方程。
N-S方程反映了粘性流体（又称真实流体）流动的基本力学规律，在流体力学中有十分重要的意义。
它是一个非线性偏微分方程，求解非常困难和复杂，目前只有在某些十分简单的流动问题上能求得精确解；但在有些情况下，可以简化方程而得到近似解。
例如当雷诺数Re1时，绕流物体边界层外，粘性力远小于惯性力，方程中粘性项可以忽略，N-S方程简化为理想流动中的欧拉方程（＝－Ñp＋ρF）；而在边界层内，N-S方程又可简化为边界层方程，等等。
在计算机问世和迅速发展以后，N-S方程的数值求解才有了很大的发展。
基本假设在解释纳维-斯托克斯方程的细节之前，首先，必须对流体作几个假设。
第一个是流体是连续的。
这强调它不包含形成内部的空隙，例如，溶解的气体的气泡，而且它不包含雾状粒子的聚合。
另一个必要的假设是所有涉及到的场，全部是可微的，例如压强，速度，密度，温度，等等。
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ｑｕａｔｌ ｏｎｓ ｌ ｎ ａ Ｒｏ ｔ ａ ｔ ｉ ｎｇ Ｆ ｒ ａ ｍｅ
Ｊ Ｉ Ｘｉ ａ ｏｐ ｉ ｎ ｇ， Ｙ ＵＡ Ｎ Ｒｏ ｎｇ
・ ●
●
（ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ ， Ｑ ｉ ｎ ｇ ｄ ａ ｏ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ， Ｑ ｉ ｎ ｇ ｄ ａ ｏ ２ ６ ６ ０ ７ １ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
，
第瑚
纪晓萍等 ： 旋转框架下 Ｎ ａ ｖ ｉ ｅ ｒ — Ｓ ｔ ｏ ｋ ｅ ｓ 方程的殆周期解
３ ３ ９
０ 引言
Ｎ ａ ｖ ｉ ｅ ｒ — Ｓ ｔ ｏ ｋ ｅ ｓ 方程是描述气体或者流体运动规律的方程， 这些方程建立了流体的粒子动量 的改变率和作用在液体 内部的压力的变化和耗散粘滞力以及重力之间的关系．自然界中大量的 流体模型， 例如具有热传导效应的流体动力学模型， 磁流体动力学模型， 海洋动力学模型以及描 述血液流动的管道流的数学模型， 其主部均为 Ｎ ａ ｖ ｉ ｅ ｒ ． Ｓ ｔ ｏ ｋ ｅ ｓ 方程， 因而 Ｎ ａ ｖ ｉ ｅ ｒ — Ｓ ｔ ｏ ｋ ｅ ｓ 方程在流 体力学中有十分重要的意义， 它的表示形式如下：
△ ｕ＋
×乱＋（பைடு நூலகம்ｕ－ Ｖ ） ＋ ｑ ＝，
ｄ ｉ ｖ ＝０
（ ） ∈Ｒ 。 ～
．
（ ， ｔ ） ∈Ｒ。 ×Ｒ
证明对于小的殆周期外力 ，∈Ｂ ｕ ｃ （ ｎ ； 的殆 周期 ｍｉ ｌ ｄ解 ．
关键词
（ 。 ） ） Ｎ Ｂ Ｕ Ｃ （ Ｒ ； Ｌ ｚ （ Ｒ 。 ） ） ， 该系统存在唯一
一
△ ｕ＋（ ｕ． Ｖ） ｕ＋ ｑ ＝，
ｄ ｉ ｖ ＝０
（ ， ） ∈ Ｑ×Ｒ
（ ， ｔ ）∈Ｑ ×Ｒ
其中， Ｑ为 Ｒ 中的区域， 表示流体的粘度系数， ｔ 正 ＝ｕ （ ｘ ， ｔ ） ＝（ ｕ （ ， ） ， Ｕ ２ （ ， ￡ ） ， … ， ｘ ， ￡ ） ） 表 示流体的速度， ｑ ＝ｇ （ ， ｔ ） 表示流体在点 （ ， ｔ ） ∈Ｑ× Ｒ处的压力， ，＝ｆ （ ｘ ， ｔ ） ＝（ Ｊ Ｐ （ Ｘ ， ￡ ） ， ‘ 厂 （ ， ） ， （ ， ￡ ） ） 为给定 的外 力． 本文 中， 我们考虑旋转体系中的不可压缩流体的 Ｎ ａ ｖ ｉ ｅ ｒ — Ｓ ｔ ｏ ｋ ｅ ｓ 方程， 即在三维空间中带有 科里奥利 （ Ｃ ｏ ｒ ｉ ｏ ｌ ｉ ｓ ） 力的不可压缩流体的Ｎ ａ ｖ ｉ ｅ ｒ — Ｓ ｔ ｏ ｋ ｅ ｓ ｇ ￣ ＂ 程（ 简称为 （ Ｎ ｓ ｃ ） ） ：
ｆ ｏ ｒ ｃ ｅ ，∈Ｂ Ｕ Ｃ （ Ｒ ； ｊ ￣ － Ｓ （ Ｒ 。 ） ） ｎ Ｂ Ｕ Ｃ（ Ｒ ； Ｌ （ Ｒ 。 ） ） ａ ｒ ｅ ｏ ｂ ｔ ａ ｉ ｎ ｅ ｄ ．
Ｋｅ ｙｗ ｏｒ ｄｓ Ｎａ ｖｉ ｅ ｒ — Ｓｔ ｏ ｋ ｅ ｓ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎｓ ； Ｃｏ ｒ ｉ ｏ ｌ ｉ ｓ ｆ ｏ ｒ ｃ ｅ ；ａ ｌ ｍｏ ｓ ｔ Ｄｅ ｒ ｉ ｏ ｄ ｉ ｃ ｓ ｏ ｌ ｕｔ ｉ ０ ｎ： ｍ ｉ ｌ ｄ
ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｊ ｏ ｎ
Ｃ ｈｉ ｎｅ ｓ ｅ Ｌｉ ｂｒ ａ ｒ ｙ Ｃｌ ａｓ ｓ ｉ ｉｃ ｆ ａｔ ｉ ｏｎ Ｏ１ ７ ５
收稿 日期： ２ ０ １ ５ — ０ ６ — ２ ８ 作者 简介：纪晓萍 （ １ ９ ９ １ 一 ） ， 女， 汉族， 山东青 岛人， 硕士研 究生， 研 究方 向： 偏微分方程理论及其应用 Ｅ－ ｍａ ｉ ｌ ： １ ４ ２ １ ２ ０ ４ １ ９ ８ ￣ｑ ｑ ． ｃ ｏ ｍ； 通讯作者： 元荣 （ １ ９ ６ ５ 一 ） ， 女， 汉族， 贵州安顺人， 副教授， 博士， 研究方向： 偏微分方程理论 及其应用 Ｅ － ｍａ ｉ ｌ ： ｙ ｒ ｏ ｎ ｇ ． １ １ １ ￣１ ６ ３ ． ｃ ｏ ｍ．
第１ ７ 卷第 ４ 期
２ ０ １ ５ 年１ ２ 月
应用泛 函分析学报
ＡＣＴＡ ＡＮＡＬ ＹＳＩ Ｓ ＦＵＮＣＴＩ ＯＮＡＬＩ Ｓ ＡＰＰＬＩ ＣＡＴＡ
Ｖ０ １ ． １ ７ ． Ｎｏ ． ４
Ｄｅ ｃ． ，２０１ ５
ＤＯ Ｉ ： １ ０ ． ３ ７ ２ ４ ／ Ｓ Ｐ ． Ｊ ． １ １ ６ ０ ． ２ ０ １ ５ ． ０ ０ ３ ３ ８ 文章 编号： １ ０ ０ ９ — １ ３ ２ ７ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ４ — ０ ３ ３ ８ — ０ ８ 文献 标识码： Ａ
Ａｂｓ ｔ ｒ ａｃ ｔ Ｉ ｎ ｔ ｈｉ ｓ ｐ ａ ｐｅ ｒ ，ｔ ｈ ｅ ｔ ｈ ｒ ｅ ｅ ｄ ｉ ｍｅ ｎ ｓ ｉ ｏ ｎａ ｌ ｉ ｎｃ ｏ ｍｐｒ ｅ ｓ ｓ ｉ ｂｌ ｅ Ｎａ ｖ ｉ ｅ ｒ — Ｓｔ ｏ ｋ ｅ ｓ ｅ ａ ｕａ ＿
ｔ ｉ ｏ ｎｓ ｉ ｎ
旋转框架下 Ｎａ ｖ ｉ ｅ ｒ ． ． Ｓ ｔ ｏ ｋ ｅ ｓ 方程的殆周期解
纪晓萍， 元 荣
（ 青岛大学数学科学学院， 青岛２ ６ ６ ０ ７ １ ）
摘 要 本 文在 空间
一
中研 究三维带有科 氏力 的不 可压缩流体 ￣ ／ Ｎａ ｖ ｉ ｅ ｒ — Ｓ ｔ ｏ ｋ ｅ ｓ ； Ｆ￣
—
０ ｗｉ ｔ ｈ ｔ ｈｅ Ｃｏ ｒ ｉ ｏ ｌ ｉ ｓ ｆ ｏ ｒ ｃ ｅ
一
Ａ ｕ＋ ｅ ３ × 乱＋（ ｕ・ Ｖ ） ｔ 正 ＋ ｑ ＝，
ｄ ｉ ｖ Ｕ＝０
（ ， ） ∈Ｒ 。 ×Ｒ
（ ， ｔ ） ∈Ｒ０×Ｒ
ｉ ｓ ｓ ｔ ｕｄｉ ｅ ｄ．Ａ ｎ ｄ ｔ ｈｅ ｕｎ ｉ ｑ ｕｅ ｅ ｘｉ ｓ ｔ ｅ ｎ ｃ ｅ ｏ ｆ ａ ｌ ｍｏ ｓ ｔ ｐｅ ｒ ｉ ｏ ｄｉ ｃ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｆ ｏ ｒ ｔ ｈｅ ｓ ｍａ ｌ ｌ ｅ ｘｔ ｅ ｒ ｎ ａ ｌ
Ｎａ ｖ ｉ ｅ ｒ — Ｓ ｔ ｏ ｋ ｅ ｓ 方程； 科 氏力； 殆周期解； ｍｉ ｌ ｄ解
中图分类号
Ｏ １ ７ ５
Ａｌ ｍｏ ｓ ｔ Ｐｅ ｒ ｉ ｏ ｄｉ ｃ Ｓｏ ｌ ｕｔ ｉ ｏ ｎｓ ｏ ｆ Ｉ ｎｃ ｏ ｍ ｐｒ ｅ ｓ ｓ ｉ ｂｌ ｅ Ｎａ ｖ ｉ ｅ ｒ － － Ｓｔ ｏ ｋ ｅ ｓ